Willkommen zu Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie LV 107.254 Wintersemester 2019 Tijana Levajkovi´ c Michael Messer E105 Institut f ¨ ur Stochastik und Wirtschaftsmathematik Kommentare bitte an: M. Messer, [email protected]T. Levajkovi´ c, [email protected]
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Willkommen zu Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie...Die Vorlesung bietet eine Einfuhrung¨ in die Wahrscheinlichkeitstheorie (Stochastik) = Theorie des Zufalls Statistik = Beschreibung
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Willkommen zuStatistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
LV 107.254Wintersemester 2019
Tijana LevajkovicMichael Messer
E105 Institut fur Stochastik und Wirtschaftsmathematik
• Verschiedene Themen: beide uber zufallige Prozesse
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Logisch in sich abgeschlossen• Einige Regeln fur die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten• Eine richtige Antwort
• Statistik
• Sammeln/Beobachten experimenteller Data mit dem Ziel,probabilistische Schlussfolgerungen zu ziehen
• Keine einzige richtige Antwort
Wahrscheinlichkeit vs. Statistik: Beispiele
1. WahrscheinlichkeitsbeispielWir werfen eine faire Munze (gleiche Wahrscheinlichkeit fur Kopf oderZahl) 100 Mal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 60 oder mehr Kopfezu bekommen?
• Es gibt nur eine Antwort (ungefahr 0.0284) und wir werden lernen,wie man sie berechnet.
? Der Zufallsprozess ist bekannt (Wahrscheinlichkeit von Kopfen ist 0.5).
? Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses (mindestens 60Kopfe) aus dem Zufallsprozess zu ermitteln.
2. Statistik BeispielWir haben eine Munze unbekannter Herkunft. Um zu untersuchen, ob siefair ist, werfen wir sie 100 Mal und zahlen die Anzahl der Kopfe.Angenommen, wir zahlen 60 Kopfe. Aus diesen Daten mussen wir alsStatistiker eine Schlussfolgerung (Inferenz) ziehen.• Es gibt viele Moglichkeiten, um fortzufahren. Verschiedene Statistiker konnen
unterschiedliche Schlussfolgerungen ziehen.
? Das Resultat ist bekannt (60 Kopfe).
? Ziel ist es, den unbekannten Zufallsprozess (die Wahrscheinlichkeit von Kopfen)zu erklaren.
In example 1.1 Der Zufallsprozess ist vollstandig bekannt
(Wahrscheinlichkeit von Kopfen ist 0.5).2 Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses (mindestens
60 Kopfe) aus dem Zufallsprozess zu ermitteln.In example 2., the outcome is known (60 heads) and the objective is toilluminate the unknown random process (the probability of heads).
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
• Viele verschiedene Anwendungen
• Medizin, Physik, Ingenieurwissenschaften, Sozialwissenschaften,Biowissenschaften, Wirtschaftswissenschaften und Informatik
• Tests einer medizinischen Behandlung im Vergleicht zu einer anderer (oder einPlacebo)
• Maßnahmen der genetischen Verknupfung• die Suche nach Elementarteilchen• Machine Learning fur Vision oder Sprache• Glucksspiel Wahrscheinlichkeiten und -strategien• Klimamodellierung• Wirtschaftsprognosen• Epidemiologie• Marketing• ...
• Wir werden Spielzeugmodelle wie Munzen und Wurfel untersuchen.• Der Munzwurf ist ein realistisches Modell fur alle Situationen mit zwei
moglichen Ergebnissen: Erfolg oder Misserfolg einer Behandlung, Wette usw.
Geplante Vorlesungsinhalte
I Wahrscheinlichkeitstheorie ... ungefahr die ersten 5 Wochen
Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1 Kopf in 3 Wurfen einer fairenMunze zu erhalten?
• Antwort
• Wir listen die acht moglichen Ergebnisse auf:
TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH
• Drei Ergebnisse haben genau einen Kopf
TTH, THT, HTT
• Alle Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Wir haben
P(ein Kopf in 3 Wurfen) =Anzahl der Ergebnisse mit 1 Kopf
Gesamtzahl der Ergebnisse=
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Zahlen: Beispiele
(2) Spielkarten: Pokerhande
• Ein voller Kartensatz besteht aus 52 Karten:• 13 Werte in hierarchischer Ordnung: 2, . . . 9, 10, J, Q, K, A• 4 Farbwerte: ♥,♠,♦,♣
• Pokerhande• bestehen aus 5 Karten• One Pair (ein Paar) bezeichnet zwei wertgleiche Karten neben drei weiteren• Beispiele: 5♠, 5♥, 8♦, 10♣, Q♥
• Die Wahrscheinlichkeit einer Hand mit einem Paar ist:
(a) weniger als 5%(b) zwischen 5% und 10%(c) zwischen 10% und 20%(d) zwischen 20% und 40%(e) großer als 40%.
Wir werden auf diese Frage zuruckkommen!
Zahlen: Ziel
• Um die genaue Wahrscheinlichkeit zu finden, arbeiten wir mit Mengen.Außerdem mussen wir die Anzahl der Elemente in jeder dieser Mengenzahlen.• Unser Ziel ist es, Techniken zum Zahlen der Anzahl der Elemente einer
Menge zu lernen.
• Wir haben festgestellt, dass alle moglichen Ergebnisse gleichwahrscheinlich waren und haben dies verwendet, um eineWahrscheinlichkeit durch Zahlen zu finden.
• Der Grundsatz:Angenommen, es gibt n mogliche Ergebnisse fur ein Experiment und jedesist gleich wahrscheinlich. Wenn es k wunschenswerte Ergebnisse gibt, ist dieWahrscheinlichkeit eines wunschenswerten Ergebnisses k/n.
HU Frage: Konnen Sie sich ein Beispiel vorstellen, bei dem die moglichenErgebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind?
Mengen
• Eine Menge S ist eine Sammlung von Elementen.• x ∈ S ... ein Element x in der Menge S• A ⊂ S ... die Menge A ist eine Teilmenge von S• ∅ ... die Nullmenge• Ac = S\A = x : x < A ... Komplement• A ∩ B = x : x ∈ A und x ∈ B ... Schnittmenge• A ∪ B = x : x ∈ A oder x ∈ B ... Vereinigungsmenge• A\B = x : x ∈ A und x < B ... Differenz• A4B = (A\B) ∪ (B\A) ... Symmetrische Differenz• |A| ... Anzahl der Elemente in A
Einige Eigenschaften:
• A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A• A ∩ ∅ = ∅, A ∪ ∅ = A, A ∩ S = A, A ∪ S = S• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)• Komplementgesetze: A ∪ Ac = S, A ∩ Ac = ∅, (Ac)c = A, ∅c = S, Sc = ∅• De Morgansche Regeln: (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Venn-Diagramme
• Venn-Diagramme bieten eine einfache Moglichkeit, festgelegte Vorgangezu visualisieren.
Beispiel
• Beginnen Sie mit einer Menge S aller naturlichen Zahlen unter 20.Betrachten Sie zwei Teilmengen
A = die Menge aller ungeraden ZahlenB = die Menge aller naturlichen Zahlen, teilbar durch 3
Schauen Sie sich verschiedene Set-Operationen an.• Schreiben Sie die Menge aller durch 6 teilbaren Zahlen in Form von A und B.
• Was ist Ac ∪ B? Zustand in ”Worten” und als Venn-Diagramm.
Beispiel
• Beginnen Sie mit einer Menge S aller naturlichen Zahlen unter 20.Betrachten Sie zwei Teilmengen
Schauen Sie sich verschiedene Mengen-Operationen an.• Schreiben Sie die Menge aller durch 6 teilbaren Zahlen in Form von A und B.
aller naturlichen Zahlen, teilbar durch 6
= aller geraden Zahlen, teilbar durch 3
= Ac ∩ B
• Was ist Ac ∪ B? Zustand ”in Worten” und als Venn-Diagramm?
Ac ∪ B = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20
= alle Zahlen entweder gerade oder durch 3 teilbar
Die Produktmenge
• Das Produkt der Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare
A× B = (a, b) : a ∈ A und b ∈ B
• Beispiel
B× 1 2 3 41 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
A 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
A ×B = 1, 2, 3× 1, 2, 3, 4
Zahlen
1 Das Prinzip von Inklusion und Exklusion
|A ∪ B| = |A|+ |B|− |A ∩ B|
• Beispiel:
• Eine Band besteht aus Sangern und Gitarristen• 7 Leute singen S• 4 spielen Gitarre G• 2 beides S∩ G
Wie viele Leute sind in der Band?
Große der Band = |S|+ |G|− |S ∩ G| = 7 + 4 − 2 = 9
Zahlen
1 Produktregel (Multiplikationsprinzip)
• Wenn es n Moglichkeiten gibt, Aktion 1 und anschließend m Moglichkeiten,Aktion 2 auszufuhren, gibt es n ·m, um Aktion 1 und anschließend Aktion 2auszufuhren.
• Seien n = 3 und m = 2
Um eine von a1, a2, a3︸ ︷︷ ︸Aktion1
UND eine von b1, b2︸ ︷︷ ︸Aktion 2
zu wahlen
ist das gleiche wie eine von a1b1, a1b2, a2b1, a2b2, a3b1, a3b2︸ ︷︷ ︸Aktion1, Aktion2
zu wahlen
• Beispiel:• Es gibt 8 Teilnehmer im 400m-Finale. Auf wie viele Arten konnen Gold-,
Silber- und Bronzemedaillen vergeben werden? 8 · 7 · 6 = 330 Arten
Fragen
HU DNA besteht aus Sequenzen von Nukleotiden: Adenin (A), Thymin (T),Guanin (G) and Cytosin (C).
(1) Wie viele DNA-Sequenzen der Lange 3 gibt es?(2) Wie viele DNA-Sequenzen der Lange 3 gibt es ohne Wiederholungen?
HU Anna will nicht grun and rot zusammen tragen.Sie denkt, Schwarz und Jeans passen zu allem.Hier ist ihre Kleidung:
• Hemden: 4R, 5B, 2G
• Pullover: 3B, 2R, 1G
• Hose: 3J, 2B.
Wie viele verschiedene Outfits kann sie tragen?Hinweis: Ein Baumdiagramm ist eine einfache Moglichkeit, eine Antwortdarzustellen.
Permutationen
• Die Dinge in eine Reihe bringen = Ordnung ist wichtig• Auf wie viele Arten konnen wir das tun?
• abc and cab sind verschiedene Permutationen von a, b, c
• Alle moglichen Permutationenvon a, b, c:
abc, acb, bac, bca, cab, cba
Insgesamt 3! = 6 Moglichkeiten
• Wie viele Permutationen von a, b, c, d, e, f , g, h, i gibt es?
Es gibt 9! Moglichkeiten
• Die Produktregel besagt, dass die Anzahl der Permutationen einerMenge von k -Elementen entspricht
k! = k · (k − 1) · · · · · 3 · 2 · 1
Permutationen von k aus einer Menge von n
• Geben Sie alle Permutationen von 3 Elementen aus a, b, c, d an.
• Wie viele Permutationen von 8 aus einer Menge von 15 gibt es?
Kombinationen
• Auswahl von Teilmengen - Ordnung ist nicht wichtig
• Auf wie viele Arten konnen wir das tun?
• Alle Kombinationen von 3 Elementen aus a, b, c, d sinda, b, c, a, b, d, a, c, d, b, c, d.
Insgesamt 4 Moglichkeiten
Insgesamt(4
3
)= 4 Moglichkeiten
• Die Anzahl aller Kombinationen von k aus einer Menge von n ist(n
k
).
• Wie viele Permutationen von 3 aus einer Menge von 4 gibt es?
Permutationen und Kombinationen
abc acbd bac bca cab cba a, b, cabd adb bad bda dab dba a, b, dacd adc cad cda dac dca a, c, dbcd bdc cbd cdb dbc dcb b, c, d
Permutationen Kombinationen
4P3 = 3! ·(4
3
)= 24 4C3 =
(43
)
Fragen
(1) Wie viele Moglichkeiten gibt es, um bei 10 Wurfen mit einer fairenMunze genau 3 mal Kopf zu erhalten?
(103
)= 120
(2) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit genau 3 mal Kopf zu erhalten?(10
3 )210 = 120
1024 = 0.117
Wahrscheinlichkeit
• Wir verwenden die folgende Notation/Interpretation:• Zufallsexperiment• Ω ...Menge aller moglichen Ausgange...Ergebnismenge (Stichprobenraum)
• ω ∈Ω ... Elementarereignisse
• A ⊆ Ω ... Ereignis• ∅ ... unmogliches Ereignis• Ω ... sicheres Ereignis• Ac =Ω\A ... komplementares Ereignis• A∩ B, A∪ B zweier Ereignisse A, B ... sind wieder Ereignisse• A∩ B = ∅ ... A und B sind disjunkt (unvereinbar)
• Wahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeitsvertreilung) P: P(Ω)→ [0, 1]Axiome:• P(Ω) = 1• P(A) > 0 fur alle A• P(A∪ B) = P(A) + P(B) fur alle disjunkten A, B
• Eigenschaften von P• P(Ac) = 1 − P(A), speziel P(∅) = 0• P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(A∩ B) ..weitere Details nachste Woche...