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Das ganze Leben besteht daraus, dass Dinge voneinander abhängen.
Im mathematischen Sinne bezeichnen wir diese Dinge als „GrößenGrößen“. Es handelt sich also um
messbare Größen. Nicht messbare Dinge gibt es auch. Sie können sogar sehr wichtig sein, aber für
die Mathematik sind sie nicht brauchbar.
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Das Körpergewicht eines Menschen ist messbar, seine Körpergröße ist auch messbar, sein Alter ist
auch messbar. Berechenbar sind diese Größen ...
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NICHT !
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Wenn man einkauft, muss man für sieben Brötchen mehr bezahlen als für drei.
Berechnen kann man diese Größen ....
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Sehr gut !
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Auch bei den Abhängigkeiten, die für die Mathematik brauchbar sind, unterscheiden wir
verschieden Fälle:
Wenn mehr bei einer Arbeit mit anfassen, dann ist man schneller fertig.
Berechnen kann man diese Größen ....
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Sehr gut !
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Klassisches Beispiel für voneinander abhängige Größen ist das Kaufen von Speiseeis!
Je mehr Kugeln jemand kauft, desto mehr muss er auch
bezahlen.Eine Kugel kostet 80 Cent.
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Die Eisdiele macht daraus ein Preisschild:Preistafel:Preistafel:
1 Kugel = 0,80 €1 Kugel = 0,80 €
2 Kugeln = 1,60 €2 Kugeln = 1,60 €
3 Kugeln = 2,40 €3 Kugeln = 2,40 €
4 Kugeln = 3,20 €4 Kugeln = 3,20 €
jede weitere Kugel jede weitere Kugel kostet 0,80 € kostet 0,80 €
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Schülerinnen und Schüler machen daraus eine Wertetabelle ....
Kugeln 1 2 3 4 5 6
Preis 0,80 € 1,60 € 2,40 € 3,20 € 4,00 € 4,80 €
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... und einen Graphen (Zeichnung):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Anzahl_der_Kugeln
Preis
in
Euro
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Aus diesem Graphen kann man – genau wie bei der Wertetabelle – alle Eispreise ablesen. Und das geht so:
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Anzahl_der_Kugeln
Preis
in
Euro
Die grünen Pfeile zeigen den Preis für vier Kugeln –
die hellblauen Pfeile zeigen, was sieben Kugeln kosten.
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Wir merken uns:
Es gibt eine Größe, die ich nach Belieben – oder nach vorhandenem Taschengeld – auswählen kann.
Das ist die Anzahl der Eiskugeln.Und es gibt eine Größe, die dann berechnet wird.
Das ist der Preis.
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Unser Eisverkäufer hat eine Idee:
Er bietet jetzt sein Eis auf Wunsch des Kunden mit Sahne an. Wenn man Sahne zu
seinem Eis haben möchte, so kostet das
1,00 Euro extra.
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Die Eisdiele macht ein neues Preisschild:Preistafel:Preistafel:
1 Kugel = 0,80 €1 Kugel = 0,80 €
2 Kugeln = 1,60 €2 Kugeln = 1,60 €
3 Kugeln = 2,40 €3 Kugeln = 2,40 €
4 Kugeln = 3,20 €4 Kugeln = 3,20 €
jede weitere Kugel kostet 0,80 € jede weitere Kugel kostet 0,80 €
Mit Sahne 1,00 Euro mehrMit Sahne 1,00 Euro mehr
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Schülerinnen und Schüler machen daraus eine neue Wertetabelle ....
Kugeln 1 2 3 4 5 6
Preis 1,80 € 2,60 € 3,40 € 4,20 € 5,00 € 5,80 €
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... und einen neuen Graphen (Zeichnung):
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Anzahl_der_Kugeln
Preis
in
Euro Dieser Graph sieht ganz ähnlich aus. Er
geht allerdings nicht mehr durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, sondern schneidet die Preisachse bei EINS.
In normalen deutschen Worten heißt das: Wenn man nur Sahne ohne Eis kaufen will, so kostet das einen Euro.
Ist zwar Unsinn – ist aber möglich!
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-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Anzahl_der_Kugeln
Preis
in
Euro
4,20 Euro
6,60 Euro
Auch aus diesem Graphen kann man – genau wie ohne Sahne - alle Eispreise ablesen. Wie es geht, wissen wir schon:
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Wir fangen jetzt damit an, aus dem Eisverkauf ein bisschen Mathematik zu machen:
Der Gesamtpreis hängt natürlich von der Anzahl an Kugeln ab. Diese Anzahl kann jeder
Käufer für sich frei wählen!
Anzahl Anzahl Preis PreisDer Mathematiker sagt: x Der Mathematiker sagt: x y y
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Nicht wählen kann der Kunde aber, wie teuer eine Kugel ist und was die Sahne kostet.
Wir schauen uns das einmal ganz genau an:
Zuerst lassen wir den Preis einer Kugel bei 0,80 € -so wie das in Hameln üblich ist –
und nehmen verschiedene Preise für die Sahne.
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1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
2
3
4
5
x
y
PREIS
ANZAHL DER
KUGELN
Und jetzt erkläre bitte:
Was unterscheidet diese vier Geraden? Was ist bei den vier Geraden gleich?
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Sie unterscheiden sich nur den Preis der Sahne. Sie verlaufen parallel.
Der SAHNEPREISSAHNEPREIS wird auf der y-Achse angezeigt.
Logisch:Logisch: Wenn man NULL Kugeln kauft, aber Sahne haben möchte, muss man auch nur die Sahne
bezahlen.
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Alle Eisdielen haben vereinbart,
für Sahne grundsätzlich nur einen Euro zu nehmen.
Aber der Kugelpreis ist unterschiedlich:
In Hameln – ECE – nimmt man 0,80 €In Berlin – Zeno am Hbf – nimmt man 1,20 €In Amsterdam – Guiseppe an der Damstrat – nimmt 1,75 €Und in Frankreich ist Eis sowieso idiotisch teuer,
dort nimmt man überall inzwischen 2,50 € pro Kugel.
Da würde ich kein Eis
essen!
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-1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
1
2
3
4
5
x
y
PREIS
ANZAHL DER
KUGELN
Wo ist Hameln?Wo ist Frankreich?
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Auf mathematisch:GESAMTPREIS = EINZELPREIS MAL ANZAHL PLUS SAHNE
oder
y = m y = m ● x + b● x + b
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Gut, jetzt haben wir bereits vieles über lineare Funktionen gelernt.
Wir wissen, dass zu einem Wert „x“ ein Wert „y“ errechnet wird.
x x y y
Wie dort gerechnet wird, bestimmt die Funktionsgleichung
y = m y = m ● x + b● x + b
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Bei der FunktionsgleichungBei der Funktionsgleichung
y = m y = m ● x + b● x + bentscheidenentscheiden
m m undund b b
über den über den Verlauf der GeradenVerlauf der Geraden
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y = m y = m ● x + b● x + b
„„b“ legt fest, wo die Gerade b“ legt fest, wo die Gerade die y-Achse schneidet:die y-Achse schneidet:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-2
-1
1
2
3
4
5
x
yDie Gerade schneidet die y-Achse bei dem Wert „+3“.
Also lautet ihre Funktionsgleichung:
y = m y = m ● x + 3● x + 3
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Der Wert für „b“ kann in jeder Zeichnung einfach abgelesen werden:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
y = m x + 7
y = m x + 4
y = m x + 1
y = m x - 2
y = m x - 4
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y = m y = m ● x + b● x + b
„„mm“ legt fest, wie die Gerade “ legt fest, wie die Gerade verläuft. verläuft.
Ob sie Ob sie steil steil oderoder flach flach ist. ist.
Ob sie Ob sie steigtsteigt oder oder fälltfällt..
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y = m y = m ● x + b● x + b
Wir wollen zuerst zeichnenzeichnen, dann genau beobachtenbeobachten und dann unsere
Beobachtungsergebnisse aufschreibenergebnisse aufschreiben.
Es sei b = -2b = -2 und für mm wählen wir die Werte
-0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5-0,5 / +0,5 / -2,5 / +2,5
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Das ergibt dann die Funktionsgleichungen:
y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2
Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:Und dazu machen wir eine kleine Wertetabelle:
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Wertetabelle:
x 0 -2 2 5
y = - 0,5 x - 2 y = - 0,5 x - 2 -2 -1 -3 -5
y = + 0,5 x - 2 y = + 0,5 x - 2 -2 -3 -1 1
y = - 2,5 x - 2 y = - 2,5 x - 2 -2 3 -7 -15
y = + 2,5 x - 2 y = + 2,5 x - 2 -2 -7 3 11
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
x
y
y = - 0,5 x - 2y = - 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = + 0,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = - 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2y = + 2,5 x - 2
Ergebnisse :
negatives m positives m
m>|1| steil - fallend steil - steigend
m<|1| flach - fallend flach - steigend
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Wir prüfen gleich am die Geraden von Folie 29 auf ihre Eigenschaften:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
flach – fallendflach – fallend
steil – steigendsteil – steigend
flach – fallendflach – fallend
flach – steigendflach – steigend
steil - fallendsteil - fallend
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: Mathematik
Thema: Lineare Funktionen – Bestimmung der Funktionsgleichung
Gegeben sei der Graph einer Funktion:
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Zu dieser Geraden gehört eine Funktion der Form
y = m x + b
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
Hier lesen wir das „b“ Hier lesen wir das „b“ einfach ab!einfach ab!
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Die Funktionsgleichung lautet also:
y = m x - 3
Wie groß ist „m“?
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Zur Berechnung
vvon
"m"
suche
ich
Punkte, die
genau
auf
f Kreuzungslinien
des Koordinatensystems
faf llen.
Page 41
Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Hier sind
solche
Punkte:
Page 42
Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
Der Weg
zwischen
zwei
solcher
Punkte:
3 nach
rechts:
+3
2 nach
oben:
+2
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Berechnung
m3
2
33
2 xy
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Woher weiß ich, welche Punkte ich nehmen soll?
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Es ist egal!
Alle Punkte sind geeignet um
die Größe m zu berechnen.
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
m
3
2
9
6
also:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
xy
9 nach
rechts:
+9
6 nach
oben: +6+
33
2 xy
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Es funktioniert sogar rückwärts
WAS FÜR DIE DEUTSCHE SPRACHE NICHT GILT:
sträwkcür ragos treinoitknuf sE
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
Der Weg
zwischen
zwei
Punkten rückwärts:
12 nach
links:
-12
8 nach
unten: -8
m
3
2
12
8
33
2 xy
ALSO:
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Dieses Verfahren funktioniert natürlich auch dann, wenn die Gerade nicht durch Punkte mit glatten Werten
verläuft.
In diesem Fall muss gemessen werden!
Wir führen das ganz genau vor.
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Diese Gerade ist ziemlich schwer zu bearbeiten.
Wir markieren die Punkte, an denen die beiden Achsen geschnitten werden.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Page 50
Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Gemessen: 3,7
cm
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Gemessen: 6,3
cm
Page 52
Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
6,3 cm
nach
rechts: +
6,3
3,7 cm
nach
unten: - 3,7
7,3mxy
... Und das „m“?
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
6,3 cm
nach
rechts: +
6,3
3,7 cm
nach
unten: - 3,7
6,03,6
7,3
3,6
7,3
m
7,36,0 xy
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Die folgenden Folien enthalten Standardaufgaben, die
jede/r beherrschen sollte und die auch bei
Klassenarbeiten gebräuchlich sind.
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1. Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3
Zu dieser Aufgabe gibt es zwei Lösungswege auf den folgenden Folien
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
1. Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3
Lösungsweg a)Der Graph verläuft durch den Punkt P1 (0/3).Ein weiterer Punkt wird benötigt. Ich wähle
x = 4Und berechne y:Y = -0,75●4 + 3 = 0(bitte mit TR nachrechnen.)Der zweite Punkt ist also P2 (4/0).Punkte eintragen, Gerade zeichnen, fertig -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
x
y
P1 (0
| 3)
P2 (4
| 0)
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
1. Zeichne den Graphen der Funktion
y = - 0,75 x + 3Lösungsweg b)Der Graph verläuft auch durch den Punkt P1 (0/3).
Dann brauche ich ein Steigungsdreieck für die Steigung m = - 0,75.
Dieses Verfahren ist nur brauchbar, wenn du sofort weißt, dass zu 0,75 der Bruch ¾ gehört. Also 4 nach rechts (+4) und 3 nach unten (-3). Gerade zeichnen, fertig!
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
P1 (0
| 3)
+4
-3
Natürlich ist die Lösung bei beiden
Lösungswegen die Gleiche.
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2. Vorhanden ist der Graph einer Funktion.
Stelle die Funktionsgleichung auf.
Zu dieser Aufgabe gibt es nur einen Lösungsweg auf der folgenden Folie
-2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
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b ablesen (grüner Pfeil): b = -2
Geeigneten Punkt suchen, Dreieck zeichnen, Werte einfach abzählen und aus den Werten die Steigung m berechnen:
Also: y = 1,4 x - 2
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
+5(einfach
zählen)
+7(aucheinfaf ch
zählen)
4,15
21
5
7m
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3. Gegeben sind die Punkte A ( -2 / 4 ) und B ( 4 / -5 ).
Zeichne die Gerade durch A und B.Gib die Funktionsgleichung an.
Zu dieser Aufgabe gibt es einen Lösungsweg auf den folgenden Folien
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
A
B
Trage die Punkte in ein Koordinaten-system ein.
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und B.
Nicht etwa von A nach B – das Nicht etwa von A nach B – das wäre eine Strecke und damit wäre eine Strecke und damit
falsch!falsch!
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
A
B
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Wilhelm-Raabe-Schule Fachbereich: MathematikThema: Lineare Funktionen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
A
B
b bestimmen: b = 1
Dreieck zeichnen; Werte auszählen:
+4 in x-Richtung
-6 in y-Richtung
M berechnen:
Also: y = - 1,5 x + 1
5,12
3
4
6
4
6
m