Wenn MathematikerInnen Billard spielen... J ¨ ORN S TEUDING (U NI W ¨ URZBURG ) W ¨ URZBURG , 21. M ¨ ARZ 2013 T¨ ubinger Studenten beim Billardspiel, fr¨ uhes 19. Jahrhundert, St ¨ adtische Sammlungen T¨ ubingen; Quelle: R.A. M¨ uller, Geschichte der Universit ¨ at, 1990 – p. 1
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Wenn MathematikerInnen Billard spielen · Wenn MathematikerInnen Billard spielen... JORN¨ STEUDING (UNI WURZBURG¨) WURZBURG¨, 21. MARZ¨ 2013 Tu¨binger Studenten beim Billardspiel,
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Wenn MathematikerInnen Billard spielen...
JORN STEUDING (UNI WURZBURG)
WURZBURG, 21. MARZ 2013
Tubinger Studenten beim Billardspiel, fruhes 19. Jahrhundert, Stadtische Sammlungen Tubingen; Quelle: R.A. Muller, Geschichte der Universitat, 1990 – p. 1
Worum geht es?
§1. Mathematisches Billard§2. Kombinatorik mit Wörtern§3. Ausblick: Ergodizität
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 2
Eine Frage vonKonig & Szucs aus dem Jahr 1913
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 3
Eine Frage vonKonig & Szucs aus dem Jahr 1913
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,
wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel ohne Effet
und treffe niemals eine Ecke!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 3
Eine Frage vonKonig & Szucs aus dem Jahr 1913
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,
wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel ohne Effet
und treffe niemals eine Ecke!
Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels rational, so ist die Bahn
der Kugel auf dem Billardtisch periodisch.
Die Kugelbahn sei anfänglich in der xy-Ebene beschrieben durch
y = y0 + αx.
Die Steigung dieser Geraden ist der Tangens des Einfallswinkels
oder dessen Kehrwert.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 3
Periodische Bahnen
Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden
x = k, y = j für k, j ∈ 1
2{. . . ,−2, ,−1, 0, 1, 2, . . .}
und denken uns den Billardtisch als die Masche mit denEckpunkten (0, 0), (1
2, 0), (1
2, 12), (0, 1
2).
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 4
Periodische Bahnen
Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden
x = k, y = j für k, j ∈ 1
2{. . . ,−2, ,−1, 0, 1, 2, . . .}
und denken uns den Billardtisch als die Masche mit denEckpunkten (0, 0), (1
2, 0), (1
2, 12), (0, 1
2).
Statt die Kugelbahn an der Bande zu reflektieren, spiegeln wir denBillardtisch an der berandenden Geraden...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 4
Periodische Bahnen
treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation(x, y) 7→ (x+ q, y + p) gibt;
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 5
Periodische Bahnen
treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation(x, y) 7→ (x+ q, y + p) gibt;
in diesem Fall ist α = pq.
Also ist die Kugelbahn genau dann periodisch, wenn α rational ist.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 5
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?wenn also α irrational ist?
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 6
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?wenn also α irrational ist?
Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die
Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe
(besucht aber nicht jeden Punkt!).
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 6
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?wenn also α irrational ist?
Satz: Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die
Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe
(besucht aber nicht jeden Punkt!).
Der Beweis basiert auf folgendem Resultat aus der diophantischen Approximationstheorie:
Satz von Kronecker (1884): Sei α irrational. Zu jedem x mit 0 < x < 1
und jedem ǫ > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, so dass
|nα− ⌊nα⌋ − x| < ǫ,
d.h. die gebrochenen Anteile von nα kommen jedem Punktx ∈ [0, 1) beliebig nahe; die Aussage ist falsch für rationale α.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 6
Gleichverteilte Zahlenfolgen
Die Vielfachen der gebrochenen Anteile irrationaler Zahlen
kommen jedem Punkt des Einheitsintervalls beliebig nahe:
die zugehörige Beatty-Folge. Sei β definiert durch 1
α+ 1
β= 1,
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 16
Beatty-Folgen
Sei α > 1 irrational, dann heißt
B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}
die zugehörige Beatty-Folge. Sei β definiert durch 1
α+ 1
β= 1, dann
ist auch β irrational und es gilt:
Satz von Beatty.
B(α) ∪B(β) = 1, 2, 3, . . . B(α) ∩B(β) = ∅;
d.h. die beiden Beatty-Folgen bilden eine disjunkte Zerlegung der
Menge der natürlichen Zahlen!
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Beatty-Folgen
Sei α > 1 irrational, dann heißt
B(α) = {⌊nα⌋ : n = 1, 2, . . .}
die zugehörige Beatty-Folge. Sei β definiert durch 1
α+ 1
β= 1, dann
ist auch β irrational und es gilt:
Satz von Beatty.
B(α) ∪B(β) = 1, 2, 3, . . . B(α) ∩B(β) = ∅;
d.h. die beiden Beatty-Folgen bilden eine disjunkte Zerlegung der
Menge der natürlichen Zahlen!
Im Falle des goldenen Schnittes√5+1
2ergibt sich beispielsweise
1,2,3, 4,5,6,7,8, 9, . . .
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 16
Thue 1906 und 1912 und Marston Morse 1921 studierten...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 17
... eine weiteren Folge von Nullen und Einsen
t = 0 1 10 1001 10010110 . . .
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 18
... eine weiteren Folge von Nullen und Einsen
t = 0 1 10 1001 10010110 . . .
Die Ziffern von t = t0t1t2 . . . sind definiert über
t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 18
... eine weiteren Folge von Nullen und Einsen
t = 0 1 10 1001 10010110 . . .
Die Ziffern von t = t0t1t2 . . . sind definiert über
t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.
t ist auch Fixpunkt der Transformation 0 7→ 01, 1 7→ 10
t = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 . . .
= 01 10 10 01 10 01 01 10 10 . . . ;
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 18
... eine weiteren Folge von Nullen und Einsen
t = 0 1 10 1001 10010110 . . .
Die Ziffern von t = t0t1t2 . . . sind definiert über
t0 = 0, t2n = tn, t2n+1 = 1− tn.
t ist auch Fixpunkt der Transformation 0 7→ 01, 1 7→ 10
t = 0 1 1 0 1 0 0 1 1 . . .
= 01 10 10 01 10 01 01 10 10 . . . ;
Thue zeigte u.a., dass t nicht periodisch ist und
keine dreimal direkt aufeinanderfolgenden Sequenzen enthält!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 18
Der Mathematiker und passionierte Schachspieler und spätereWeltmeister Machgielis Euwe wiederentdeckte die Folge 1929 imZusammenhang mit dem Problem unendlicher Schachpartien...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 19
Die Deutsche Regel
besagte, dass eine Schachpartie mit einem Unentschieden endet,wenn dieselbe Folge von Zügen – mit allen Figuren in denselbenPositionen – dreimal hintereinander vorkommt.
Euwe bemerkte, dass trotzdem nicht erwünschte, unendlichandauernde Schachpartien möglich sind!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 20
Arbeitet man nämlich die Thue-Morse Folge gemäß folgender
Vorschrift
0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8
1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8
in eine passende Schachstellung ein, so kann man nach den 1929gültigen Regeln unendlich lange Schach spielen!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 21
Arbeitet man nämlich die Thue-Morse Folge gemäß folgender
Vorschrift
0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8
1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8
in eine passende Schachstellung ein, so kann man nach den 1929gültigen Regeln unendlich lange Schach spielen!
Die Deutsche Regel wurde im Nachhinein abgeschafft und
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 21
Arbeitet man nämlich die Thue-Morse Folge gemäß folgender
Vorschrift
0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8
1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8
in eine passende Schachstellung ein, so kann man nach den 1929gültigen Regeln unendlich lange Schach spielen!
Die Deutsche Regel wurde im Nachhinein abgeschafft und
Euwe 1935-1937 Weltmeister :-)
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 21
Arbeitet man nämlich die Thue-Morse Folge gemäß folgender
Vorschrift
0 : Sb1-c3, Sb8-c6; Sc3-b1, Sc6-b8
1 : Sg1-f3, Sg8-f6; Sf3-g1, Sf6-g8
in eine passende Schachstellung ein, so kann man nach den 1929gültigen Regeln unendlich lange Schach spielen!
Die Deutsche Regel wurde im Nachhinein abgeschafft und
Euwe 1935-1937 Weltmeister :-)
Dreimal dieselbe Stellung wäre ein hinreichendes Abbruchkriterium
für endliches Schach!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 21
Hintergrund
Satz (Thue, 1912): Die Thue-Morse Folge t = t0t1t2 . . . enthält keine
sich direkt hintereinander dreimal wiederholende Sequenz:
. . . BBB . . . 6⊂ t für alle B ∈ {0, 1}n.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 22
Hintergrund
Satz (Thue, 1912): Die Thue-Morse Folge t = t0t1t2 . . . enthält keine
sich direkt hintereinander dreimal wiederholende Sequenz:
. . . BBB . . . 6⊂ t für alle B ∈ {0, 1}n.
Ein Satz von Hedlund und Morse liefert sogar die Unmöglichkeit des
Auftretens von BBb, wobei b die erste Ziffer von B sei.
Beweisidee: Induktion nach der Anzahl ♯B der Ziffern in B. Die
Bausteine von t sind 01 bzw. 10, was das Auftreten von 000 bzw.
111 bereits unmöglich macht; Sequenzen wie 010101 bzw. 101010
korrepsondieren mit dem Morphismus 0 7→ 01, 1 7→ 10 mit 000 bzw.
111, sind also auch unmöglich...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 22
Hedlund und Morse begründeten mit einer Reihe vonUntersuchungen in den 1940ern das Gebiet der symbolischenDynamik (bzw. auch Kombinatorik von Wörtern).
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 23
Abschließend ein Problem der Physik...
Laplace , Boltzmann und Maxwell (von der Webseite des MacTutor History of Mathematics archive)
§1. Mathematisches Billard§2. Kombinatorik mit Wörtern§3. Ausblick: Ergodizität
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 24
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 25
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 25
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen Teilchen in
geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik);
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 25
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen Teilchen in
geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik); der Physiker und Mathematiker Poincar e (1890)
widerlegte die Ergodenhypothese mathematisch und lieferte der
Physik ein neues statistisches Verständnis von Vorhersagbarkeit
entgegen dem vorherrschenden Determinismus (’Laplacescher
Dämon’).
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 25
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα− ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen Teilchen in
geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik); der Physiker und Mathematiker Poincar e (1890)
widerlegte die Ergodenhypothese mathematisch und lieferte der
Physik ein neues statistisches Verständnis von Vorhersagbarkeit
entgegen dem vorherrschenden Determinismus (’Laplacescher
Dämon’). Ergodentheorie wurde weiter entwickelt von Weyl (1914),
Neumann und Birkhoff (1931)...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 25
Arnold’s Cat Map
”Arnold’s cat map” ist eine von Vladimir Arnold erdachte ergodischeAbbildung; hier zu sehen sind Iterationen eines Bildes von Felix
unter dieser Abbildung!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 26
Arnold’s Cat Map
”Arnold’s cat map” ist eine von Vladimir Arnold erdachte ergodische
Abbildung; hier zu sehen sind Iterationen eines Bildes von Felix
unter dieser Abbildung! Felix kehrt nach 135 Iterationen zurück!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 26
Wie die Abbildung funktioniert
”Arnold’s cat map” ist definiert durch
A : [0, 1)2 → [0, 1)2(
x
y
)
7→(
2
1
1
1
)(
x
y
)
mod 1.
Hierbei steht mod 1 für das Abschneiden des Ganzteils: x mod 1 = x− ⌊x⌋.
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 27
Wie die Abbildung funktioniert
”Arnold’s cat map” ist definiert durch
A : [0, 1)2 → [0, 1)2(
x
y
)
7→(
2
1
1
1
)(
x
y
)
mod 1.
Hierbei steht mod 1 für das Abschneiden des Ganzteils: x mod 1 = x− ⌊x⌋.
Aber wieso kommt Felix vollständig wieder?
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 27
Poincaré s Wiederkehrsatz
besagt, dass in autonomen hamiltonschen Systemen, derenPhasenraum X ein endliches Maß hat, in jeder offenen TeilmengeA ⊂ X im Phasenraum fast jedes Element x ∈ A eine Trajektoriebesitzt, die beliebig oft wieder nach A zurückkehrt.
Völlig neue Konzepte: die mengentheoretische Sichtweise und Sprache wie insbesondere
”fast jedes”. Probabilistische und maßtheoretische Methoden in der Physik!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 28
Friedrich Nietzsche...
schrieb in seiner Frohlichen Wissenschaft
” Dieses Leben, wie du es jetzt lebst und gelebt hast, wirst du noch
einmal und noch unzahlige Male leben mussen; und es wird nichts
Neues daran sein, sondern jeder Schmerz und jede Lust und jeder
Gedanke und Seufzer und alles unsaglich Kleine und Große deines
Lebens muß dir wiederkommen, und alles in derselben Reihe und
Folge – und ebenso diese Spinne und dieses Mondlicht zwischen den
Baumen, und ebenso dieser Augenblick und ich selber. Die ewige
Sanduhr des Daseins wird immer wieder umgedreht – und du mit ihr,
Staubchen vom Staube! ”
und bezog sich dabei auf namhafte Mathematiker und Physikerseiner Zeit :-)
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 29
Thermodynamik
Gegeben eine geschlossene Box mit leerer rechter Kammer undmit einem Gas gefüllter linker Kammer. Wird die trennende Wandentfernt, verteilen sich die Gasmoleküle in der ganzen Box. Wirerwarten eine Gleichverteilung derselben!
Entgegen unserer Intuition zeigt der POINCAREsche Wiederkehrsatz,
dass das System aus fast jeder Konfiguration heraus nach einer
gewissen Zeit nahezu in die Ausgangssituation zurückkehren wird!Insofern ist eine deterministische Formulierung des zweitenHauptsatzes der Thermodynamik, dass die Entropie einesgeschlossenen Systems nicht abnehmen kann, falsch, vielmehr istdieser Satz statistischer Natur!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 31
Entgegen unserer Intuition zeigt der POINCAREsche Wiederkehrsatz,
dass das System aus fast jeder Konfiguration heraus nach einer
gewissen Zeit nahezu in die Ausgangssituation zurückkehren wird!Insofern ist eine deterministische Formulierung des zweitenHauptsatzes der Thermodynamik, dass die Entropie einesgeschlossenen Systems nicht abnehmen kann, falsch, vielmehr istdieser Satz statistischer Natur!
Beim Billard stellt sich auch fast sicher nahezu die
Ausgangssituation wieder ein, aber auch fast jede andere
Konfiguration...
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 31
Murphy’s Law
from the blog Discover at blogs.discovermagazine.com
Anything that can go wrong will wrong!
Forum fur Begabtenforderung in Mathematik – p. 32
Empfehlenswerter Lesestoff:
• M. BETTINAGLIO, F. LEHMANN, Mathematisches Billard – Zwei Vorschläge zu projektartigemUnterricht, Grüne Berichte an der ETH Zürich 1998,www.educ.ethz.ch/unt/um/mathe/gb/Billard Text.DOC
• K. DAJANI, C. KRAAIKAMP, Ergodic Theory of Numbers, Carus Mathematical Monographs,2002 — schlichtweg die beste Einführung in Ergodentheorie!
• F. HERRLICH, G. SCHMITHUSEN, Mathematik auf Billardtischen, Karlsruhe 2008,jdm.mathematik.uni-karlsruhe.de/herrlich/vortrag.pdf — sehr schöne Illustrationen und ungelösteFragen!
• J. STEUDING, Ergodic Number Theory, http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/agzt.htm
• K.B. STOLARSKY, Beatty sequences, continued fractions, and certain shift operators,Canadian Math. Bull. 19 (1976), 473-482 — knüpft an den zweiten Teil des Vortrages an
• S. TABACHNIKOV, Geometry and Billiards, AMS Bookstore 2005 – sehr lesenswert undinformativ; enthält vieles mehr als das hier angesprochene und im internet frei verfügbar!
• die Webseiten von WOLFRAM MATHWORLD http://mathworld.wolfram.com/ zu Billiard