Szanowni koledzy! Jak pewnie wi kszo ci z Pa stwa wiadomo, postanowili my uklada zadania na kolejne wiczenia, które wiczeniowcy mog na swoich zaj ciach wykorzysta a w ka dym razie s zobowi zani rozprowadzi w ród swoich studentów jako standard wymaga egzaminacyjnych. Mam nadziej , e wkrótce uda mi si uruchomi w sieci SHG stron wspomagaj c nauczanie matematyki na dziennych i popoludniowych studiach, gdzie b dziemy umieszcza te materialy z dost pem dla wszystkich studentów. Na razie próbuj rozpowszechni to meilowo lub dla wybranych osób bezpo rednio. Przesylamy pierwsz porcj zada do wicze nr3 za chwil dostarcz nast pne i tak do ko ca semestru. Ci gi liczbowe – wlasno ci i granica Wlasno ci ci gów 1. Niech 3 2 - - = n a n dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy (a n ) jest ciągiem monotonicznym, ograniczonym, arytmetycznym. 2. Dla następujących ciągów napisać ogólny wyraz: a) ,... 27 2 , 9 2 , 3 2 , 2 ; b) ,... 6 , 7 5 , 4 , 5 3 , 2 , 3 1 ; c) ,... 16 11 , 12 8 , 8 5 , 4 2 - - . 3. Sprawdzić czy następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym a) n n a = 5 3 , b) n n n a 2 ! = , c) ( 2 1 n a n n - = . Dla ciągu geometrycznego obliczyć sumę 10 S . 4. Czy następujący ciąg jest ciągiem arytmetycznym a) 7 2 + = n a n , b) ! 2 n a n n = , c) n a n 3 7 - = . Dla ciągu arytmetycznego obliczyć sumę 10 S . 5. Niech 1 2 3 - ⋅ = n n a dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy: a) 10 2 = a , b) 1 2 6 1 - ⋅ = + n n a dla n = 1,2,... c) ciąg ( n a ) jest rosnący. 6. Niech n n a n n 1 6 2 + - = dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy a) 32 2 - > a , b) ciąg n a jest malejący, c) ciąg n a jest ograniczony z góry.
26
Embed
web.sgh.waw.pllpawel/Matemat/komplet.pdf · 1.W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji a następnie wyznaczyd a) ... (A.Bryk i W. Marcinkowska) Zadanie 1. Na podstawie
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Szanowni koledzy! Jak pewnie wi�kszo�ci z Pa�stwa wiadomo, postanowili�my układa� zadania na kolejne �wiczenia, które �wiczeniowcy mog� na swoich zaj�ciach wykorzysta� a w ka�dym razie s� zobowi�zani rozprowadzi� w�ród swoich studentów jako standard wymaga� egzaminacyjnych. Mam nadziej�, �e wkrótce uda mi si� uruchomi� w sieci SHG stron� wspomagaj�c� nauczanie matematyki na dziennych i popołudniowych studiach, gdzie b�dziemy umieszcza� te materiały z dost�pem dla wszystkich studentów. Na razie próbuj � rozpowszechni� to meilowo lub dla wybranych osób bezpo�rednio. Przesyłamy pierwsz� porcj� zada� do �wicze� nr3 za chwil� dostarcz� nast�pne i tak do ko�ca semestru.
Ci�gi liczbowe – własno�ci i granica
Własno�ci ci�gów
1. Niech 32 −−= nan dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy (an) jest ciągiem monotonicznym,
ograniczonym, arytmetycznym. 2. Dla następujących ciągów napisać ogólny wyraz:
a) ,...27
2,
9
2,
3
2,2 ; b) ,...6,
7
5,4,
5
3,2,
3
1; c) ,...
16
11,
12
8,
8
5,
4
2 −− .
3. Sprawdzić czy następujący ciąg jest ciągiem geometrycznym
a) n
na
=5
3, b)
nn
na
2
!= , c) ( )
2
1
na
n
n
−= .
Dla ciągu geometrycznego obliczyć sumę 10S .
4. Czy następujący ciąg jest ciągiem arytmetycznym
a) 72 += nan , b) !
2
na
n
n = , c) nan 37 −= .
Dla ciągu arytmetycznego obliczyć sumę 10S .
5. Niech 123 −⋅= nna dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy:
a) 102 =a ,
b) 1261 −⋅=+n
na dla n = 1,2,...
c) ciąg ( na ) jest rosnący.
6. Niech n
na nn
162 +−= dla n = 1,2,... . Sprawdzić, czy
a) 322 −>a ,
b) ciąg na jest malejący,
c) ciąg na jest ograniczony z góry.
7. Niech nn
n
na42
)1( 1
+−=
+ dla n = 1,2,... Sprawdzić, czy spełnione ciąg ( na ) jest monotoniczny i
czy jego wyrazy spełniają warunek 61
201 ≤≤− na .
8. Ciąg an ma wyraz ogólny dany wzorem n n 3+ dla n = 1,2,3,... Zbadać, czy jest to ciąg arytmetyczny.
*9. Niech nn
nn
na25
25 22
+−= dla n = 1,2,... Wykazać, Ŝe nn
na 25 −= oraz sprawdzić, czy ( na )
jest ciągiem geometrycznym i czy jest monotoniczny. *10. Ciąg (an ) jest ciągiem arytmetycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 312 −=− aa . Wykazać, Ŝe jest on ciągiem malejącym, a ponadto: a) 53 +−= nan ,
b) 62 −=+ nn aa dla n = 1,2,...
*11. Ciąg (an) jest ciągiem geometrycznym takim, Ŝe 21 =a oraz 2
1−=q . Wyznaczyć wzór
ogólny tego ciągu oraz wykazać, Ŝe nn aa 41
2 =+ dla n = 1,2,... .
Granica ci�gu
Obliczyć granicę ciągu (an), jeśli:
1. nn
nnan 52
232
2
+++=
2.384
7322
23
+++−−=
nn
nnan
3.869
37653
24
+++++−=
nn
nnnan
4. 44
44
)2()2(
)2()2(
−++−−+=
nn
nnan
5. )8(274
2)3)(1(423
2
−++
+−=nnn
nnnan
6. )3(5)1(
)5(32
32
+++
+=nnn
nnnan
7. nnnan 234 2 −+=
8. 2
32
)1(1
−+=nn
an
n
9. n
nn
na5
47 2−=
10. n
na
nn 3
12 −=
Zadania przygotował Prof. S. Dorosiewicz z zespołem.
11. 3 21 nna +=
12. 52
23
2 ++−
= n
nn
na
13. 152
32
2
3
1 ++−+
=nn
n
na
14. 1
1
5 += nna
15. n
n n
na
+= 2
16. 5
1
11
+
+−=
n
n na
17.
1
3
−
+=
n
n n
na
18. 2
2
31
−−
++=
n
n na
19. 12
3
7+
++=
n
n n
na
*20. 3
2
11
+
−=n
nn
a
*21. n
n nn
nna
+−=
)1(2
3
To kolejny zestaw zadao do dwiczeo nr. 4. Mam nadzieję, że tym razem dotrze
do wszystkich na czas. Pozdrawiam- W. Marcinkowska
Zadania 2 do matematyki 75h.
Funkcje, wykresy, podstawowe własności, granica i ciągłośd.
1.W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji
a następnie wyznaczyd
a) punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
b) obrazy , jeśli
c) przeciwobrazy , jeśli .
2. W układzie współrzędnych narysowad wykresy funkcji
a następnie
a) wyznaczyd punkty, w których każda z funkcji ma ekstrema.
b) dla każdej z tych funkcji wyznaczyd przedziały w których funkcji jest rosnąca,
c) zbadad różnowartościowośd każdej z tych funkcji.
3. W tym samym układzie współrzędnych narysowad wykresy trzech funkcji określonych
wzorami
Wyznaczyd zbiory
a)
b)
c)
4.Dla , podad wykres, określid zbiór wartości oraz wyznaczyd zbiór ,
jeśli
a) ,
b) ,
c)
5. Wiadomo, że
Wyznaczyd, o ile to możliwe następujące granice;
6. Obliczyd granice:
7. Dla podanych funkcji wyznaczyd dziedzinę oraz granice na wszystkich koocach przedziałów
określoności
a) b) c)
8. W zależności od wartości parametru , gdzie , wyznacz wartośd granicy lub granic
jednostronnych funkcji
9. Narysowad wykres funkcji
a) Określid przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji .
Wyznaczyć elastyczność funkcji utargu w punkcie �� * 10, jeśli cena zbytu towaru wynosi
I��" * 0,1�� 0,5� 0 20, gdzie x jest wielkością produkcji.
(J. Nowakowski z zespołem)
Zadania nr 5 do MATEMATYKI 75 Pochodna II-go rzędu. (M. Dędys)
1. Wyznacz pochodną drugiego rzędu funkcji f w punkcie 0x .
a) 5)(3
3
1 +−= xxxxf , 40 =x (odp. 4
61)4( =′′f )
b) xxxf ln)( = , ex =0 (odp. 1
)(−=′′ eef )
c) x
exf
x−=)( , 10 =x (odp.
15)1(
−=′′ ef ).
2.Wyznacz pochodne drugiego rzędu funkcji f oraz przedziały., w których ta funkcja
i) rośnie coraz szybciej; ii) maleje coraz szybciej; iii) jest wklęsła; iv) jest wypukła gdy
a) xxxf −= 3)(
b) ...4,3,2,)( =−= nnxxxfn
c) ,....3,2,1),1()( =−= nxxxfn
d)* nxxxf )1()( −= , ,...2,1=n
e)* .....3,2,1,,)1()( =−= mnxxxfmn
f) xxxf sin)( += .
3. Wyznacz przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji f .
a)x
xxf1
)( += b)2
1
1)(
xxf
+= c)
2)(
+=
x
exf
x
d)x
exxf−= 3
)( e)x
xxf
ln)( = .
4. Zbadaj tempo zmian funkcji f .
a) 496)(23 +−+−= xxxxf b) 4)(
2 −= xxf
c) xxexf
1
)( = ; d) 2
1ln)(
xxxf = .
5.* Naszkicuj wykres funkcji f .
a)4
)(2
2
−=
x
xxf ; b)
1)(
2 +=
x
xxf c)
2)(
xexf
−= .
6.Zbadaj dla jakich wartości parametrów R∈γβα ,, funkcja γβα ++= xxxf )( jest
wklęsła, a dla jakich wartości jest wypukła w przedziale ),0( ∞ .
7.Zbadaj, dla jakich wartości parametru R∈α funkcja x
exf
α+=
1
1)( jest wklęsła, a dla
jakich wartości wypukła w przedziale ),0( ∞ .
8.Zbadaj tempo zmian funkcji 2
)(axax
eexf
−+= w zaleŜności od wartości parametru
Ra ∈ .
9. Dana jest funkcja wielkości produkcji ( )23),( yxyxf += , gdzie yx, są nakładami
na czynniki produkcji. A i B odpowiednio Jeśli nakłady na czynnik A rosną, zaś nakłady na czynnik B pozostają bez zmian, to w jakim tempie zmienia się wielkość produkcji? 10. Kupiec zastanawiając się nad sprzedaŜą skrzynki wina analizuje aktualną wartość tejŜe skrzynki w zaleŜności od momentu sprzedaŜy t oraz stopy dyskontowej r. Funkcja
aktualnej wartości dana jest wzorem 1),( += −tertf
rt . Określić moment t , w którym,
przy ustalonej stopie dyskontowej r obecna wartość skrzynki wina będzie największa ?
11. Wyznacz z definicji pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie
)00 ,( yx , o ile istnieją.
a) yxyyxf += 2),( , )1,2(,( )00 −=yx
b) xyyxf 2),( = , )1,0(,( )00 =yx .
12. Oblicz pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji f po kaŜdej ze zmiennych x oraz y.
a) xyxyxyxf ++= 22),( b) yyxyxf += cos),( c)
yxxeyxf
−= 2),(
d) yx
yxyxf
+
−=),( e) xyxyxf 2),(
4 −= f) )3ln(),(2
xyxyxf += .
13. Dane są funkcje róŜniczkowalne RRg →: oraz RRh →: . Wyznacz obie pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f .
a) )()(3),( ygxhyxf +=
b) )()(),( ygxhyxf =
c) )(
)(),(xg
exhyxf = .
14. Dana jest funkcja RRf →2: , yyxyxyxf 32),(
423 ++= . Sprawdź, Ŝe
),(),( yxfyxf yxxy ′′=′′ dla 2),( Ryx ∈ .
15. Oblicz wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f .
a) 532),(33 +++= xyxyxyxf b)
x
yyxf =),( c)
yxyxf =),(
d) yxeyxf
2
),( = e) yxxyeyxf
+=),( f)yx
yxf3
1),(
2 += .
1
Zadania nr 6 do MATEMATYKI 75. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
1. Narysowa¢ warstwice funkcji f dla podanych warto±ci c:a) f(x, y) = 2x + 5; c = −1, c = 1, c = 3;b) f(x, y) = −3x + y + 7; c =0, c = 2, c = −2;c) f(x, y) = x2 + y2 − 1; c = −3, c = −1, c = 3, c = 8;d) f(x, y) = ex2+y2−2x+4y; c = 1, c = e, c = 1
e3 ;e) f(x, y) = x+y
x−y, dla x 6= y; c = 1, c = 0, c = −2;
f) f(x, y) = ye−x + 3; c = −1, c = 3, c = 4;g) f(x, y) = |x + 3|+ |y − 1|; c ≥ 0;h) f(x, y) = max{|x| , |y|}; c ≥ 0;i) f(x, y) = ln(1−x+y
x2+y2 ), dla 0<x− y < 1; c ≥ 0.
2. Wyznaczy¢, korzystaj¡c z warstwic, najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f na zbiorze X,je±li:
x2 + y2 ;j) f(x, y) = (1 + ex) cos y − xex;k*) f(x, y) = xy ln(x2 + y2), gdzie (x, y) 6= (0, 0).
5. Liczb¦ a > 0 zapisa¢ w postaci sumy 3 liczb, których iloczyn jest maksymalny.
6. Firma produkuje dwa wyroby w warunkach doskonaªej konkurencji. Ceny produkowanychwyrobów wynosz¡ odpowiednio P1 i P2. Oznaczmy przez Q1 i Q2 poziomy produkcji wyrobupierwszego i drugiego. Zakªadamy, »e funkcja kosztów caªkowitych rozwa»anej �rmy ma posta¢C(Q1, Q2) = Q2
1 + Q1Q2 + Q22. Wyznaczy¢ poziomy produkcji przy których zysk �rmy jest
maksymalny.
7. Zaªó»my, »e �rma rozwa»ana w poprzednim zadaniu jest teraz monopolist¡ na rynku. Oznaczato, »e ceny obu produktów zale»¡ od wielko±ci produkcji. Przyjmujemy, »e funkcje popytu zjakimi styka si¦ monopolista s¡ nast¦puj¡ce:
Funkcja kosztów caªkowitych jest taka sama jak poprzednio. Wyznaczy¢ poziomy produkcjimaksymalizuj¡ce zysk �rmy.
8. Wyznaczy¢ i zinterpretowa¢ elastyczno±ci cz¡stkowe funkcji w podanych punktach:a) f(x, y) = 5x + 2y + 3, P (4, 10);b) f(x, y) = x ln y, P (2, e);c) f(x, y) = 9K1/4L3/4, P (k, l).
9. Oszacowana funkcja produkcji przedsi¦biorstwa ma posta¢
Y = 6K3/2L1/2,
gdzie Y oznacza wielko±¢ produkcji, K � warto±¢ maj¡tku produkcyjnego, L � zatrudnienie.W pewnym okresie otrzymano warto±ci: K=50, L=400.a) Jaka byªa w tym okresie elastyczno±¢ produkcji przedsi¦biorstwa wzgl¦dem: 1) maj¡tku
produkcyjnego? 2) zatrudnienia?b) Planuje si¦ na koniec okresu zmniejszenie zatrudnienia o 10%. Jaki wzrost maj¡tku
produkcyjnego pozwoliªby utrzyma¢ wielko±¢ produkcji na niezmienionym poziomie?
10. Popyt zewn¦trzny na eksport (X) zale»y od dochodu za granic¡ (Y ) i ±redniego poziomucen (P ):
X = Y 1/2 + P−2.
Znale¹¢ elastyczno±¢ cz¡stkow¡ zagranicznego popytu na eksport wzgl¦dem poziomu cen.
Zadania nr 7 do MATEMATYKI 75
1. Dane są wektory ]2,1[=x , ]1,1[−=y oraz ]3,3[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
a) x3− b) zx − c) z2yx31++ .
2. Dane są wektory ]0,1,2[=x , ]1,0,2[ −−=y oraz ]1,1,1[=z . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
a) x2 b) zx − c) z2yx +− .
3.W przestrzeni wektorowej 4
R rozwiązać równanie:
a) ]0,2,3,2[]3,2,0,1[ −−=− x ;
b) ]1,0,4,2[2 −=x ;
c) xx 3]1,5,2,2[]0,3,2,0[ −−=−+ .
4. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów k21 xxx ...,,, , gdy:
a) >? @ AB C DE F GH I JK �111 b) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK
c) L1 1 1 1M >? @ AB C DE F GH I JK �111
6. Posługując się przykładem konkretnej macierzy o wymiarach 4 � 2 i znanych elementach
liczbowych, podać ilustrację twierdzenia:
Dla dowolnej macierzy A macierze N � OPO oraz Q � OOP są macierzami symetrycznymi.
7. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy trzeciego stopnia, podać
ilustrację twierdzenia:
JeŜeli macierze A i B są kwadratowe tego samego stopnia oraz jeŜeli są to macierze
trójkątne górne, to N � OR teŜ jest macierzą trójkątną górną.
8. Posługując się przykładem dwóch konkretnych macierzy tego samego stopnia, zilustrować
twierdzenie:
Iloczyn macierzy diagonalnych tego samego stopnia jest macierzą diagonalną.
9. Niech A � �a bc d� , B � �VW4XY � d �b�c a �, gdzie ad Z cb. a) Sprawdzić, Ŝe przy dowolnych liczbach a, b, c, d, jeśli ad Z cb, to AB � I� oraz BA � I�.
b) Wyznaczyć macierze � 3 �2�10 7 �4� oraz ^0,5 0,30,2 1 _4�
na podstawie punktu (a).
10. Niech A stopnia n będzie macierzą diagonalną:
� � % �� 0 ` 00 �� ` 0` ` ` `0 0 ` ::', przy czym !! Z 0 dla # � 1, 2, … , <. Zilustrować na podstawie
konkretnych przykładów macierzy trzeciego i czwartego stopnia, Ŝe
�4� �abbbbbc 1 �� 0 ` 0
0 1 �� ` 0` ` ` `0 0 ` 1 ::deeeeef
11. Dana jest macierz � � � 3 �4 0 1�2 1 �5 �14 7 6 �3 oraz wektory g, h i j+, gdzie
g � �308 , h � k?@Al, oraz wektory m, n i j�, gdzie m � %�1121 ' , n � %?�?�?+?�'.
Podany poniŜej związek zapisać w postaci układu równań.
a) �h � g c) ?�H� � ?�H� � ?+H+ � ?�H� � g
b) ��n � m d) ?D�� � @D�� � AD+� � m
gdzie wektory H" dla $ � 1, 2, 3, 4 oraz D!� dla # � 1, 2, 3 są odpowiednio kolejnymi
kolumnami i wierszami macierzy A.
12. Dla kaŜdego z poniŜszych układów równań liniowych podać jego macierzowy zapis, tj. �? � 5, gdzie A jest macierzą o wymiarach J � <, ? i j:, 5 i jo. a) p3?� �7?� �4?� � 2�?� �8?+ �9?� � 12q b) r ?� �6?� � �2�?� �8?� � 43?� �10?� � 25?� �22?� � �2q c) s 4?� �12?+ � 0 �5?� �7?+ � 0�?� �?� �6?+ � 0q przygotowała prof. W. Marcinkowska-Lewandowska z zespołem
Zadania do MATEMATYKI 75 Układy równań liniowych
Zadanie 1*
Dla kwadratowej macierzy ���� zbudowano macierze blokowe:
� � �� 0� , � � � �0 ��
Wyznacz blokową postać macierzy ��, � � �, ��, ��. Czy � � � jest macierzą symetryczną?
Zadanie 2*
Niech B i C będą macierzami nieosobliwymi. Wyznaczyć postać blokową macierzy A-1
, gdzie
a/ � � � 00 � b/ � � �� 00 �.. c/� � � �0
d/� � �� �0 .. e/� � �� �0 � f/� � �0 �� �
Zadanie 3
Dana jest macierz A=[aij]mxn oraz wektor λλλλ0000=�λ�λ��λ�
�.
• Wyznaczyć wektor b=Aλλλλ0000.
• Zapisać macierz A w postaci kolumnowej � � ��� �� … ��� tj. takiej, że
blokami są kolumny macierzy A (oznaczone � , k=1,…,n).
• Wyznaczyć blokową postać iloczynu Aλλλλ0000.
• Przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn macierzy A:
a/ Wyznacz elementarnie liczby x1 i x2. Zapisz macierz rozszerzoną �� |0.� tego układu
równań. Macierz współczynników tego układu zapisz w postaci kolumnowej � ���� ��� (por. Zadanie 3) i w postaci wierszowej � � ����� tj. takiej, że blokami są
wiersze �1 i �2 macierzy A.
b/ Wykorzystując blokowa postać iloczynu Ax0 = ��� ��� �+�+�, gdzie wektor �+�+� jest
wektorem kolumnowym, przedstawić wektor b jako kombinację liniową kolumn a1 oraz
a2 macierzy A. Zilustrować układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów
kolumnowych R2.
c/ Wykorzystując iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni liniowej wektorów
wierszowych R2, zapisz układ (*) jako
*34�|+56 � 834�|+56 � 5., gdzie x0=[x1, x2].
Zilustruj układ równań (*) w przestrzeni liniowej wektorów wierszowych R2.
Zadanie 5
Dana jest macierz � � 71 12 1 3 24 13 1 1 28. Niech � � $�����9% oraz � � ��� �� �9 �:�
będą odpowiednio postacią wierszową postacią kolumnową macierzy A.
a/ Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy A sprowadzić tę macierz do
postaci bazowej względem kolumn I, II oraz III.
Odp. � ; �1 00 1 0 ' ��0 40 0 1 ' ���.
b/ Przedstawić wektor a4 jak kombinację liniową wektorów a1, a2, a3.
c/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3, a4). Czy zachodzi równość L(a1, a2, a3, a4)= L(a1, a2, a3)? Czy
L(a1, a2, a3)=R3?
d/ Ile wynosi dim L(a1, a2, a3)?
e/ Ile wynosi rząd macierzy A?
Zadanie 6.
Stosując operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej �� |0.� wyznaczyć
rozwiązanie ogólne układu jednorodnego. Przedstawić zbiór rozwiązań X(0) jako