Web viewTranslasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah

bidang dari suatu tempat ke tempat yang lain. Transfomasi T pada suatu bidang

memetakan titik P pada bidang menjadi P ' di tempat lain pada bidang tersebut. Titik

P ' disebut bayangan titik P sebagai hasil transformasi T.

Jenis-jenis transformasi geometri :

1. Translasi

2. Rotasi

3. Refleksi

4. Dilatasi

Translasi

Translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan

jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili oleh ruas garis berarah

(misal A⃗B ) atau oleh suatu bilangan terurut [ab] Jika translasi T = [ab] memetakan titik P ( x1 , y1 ) ke titik P' ( x1

' , y1' ) maka berlaku

hubungan :

x1' =¿ x1+a

y1' =¿ y1+b

Atau P' ( x1' +a , y1

' +b ).Hubungan ini dapat ditulis dalam bentuk

T = [ab] : P ( x1 , y1 ) P' ( x1' +a , y1

' +b )

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia

berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas

sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari.

Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

1

Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini,

Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis

sebagai (−2

2 ) Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah

ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang

ditulis sebagai (−2

1 ) Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat

Cartesius. Dengan translasi (−2

2 ), diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik

N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

N (a , b )⃗(−22 )N ' ( a−2 , b+2 )

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T 1=(ab )

maka

diperoleh bayangannya P' ( x+a , y+b ) . Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

P ( x , y ) T⃗ 1(ab ) P' ( x+a , y+b )

2

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh denganT 2=(cd)

Didapat, P' ( x+a , y+b ) T⃗2(c

d) P '' ( x+a+c , y+b+d ) Perhatikan bahwa

P'' ( x+a+c , y+b+d )=P '' ( x+(a+c ) , y+( b+d ) )

Ini berarti P'' ( x+a+c , y+b+d ) diperoleh dengan mentranslasikan P ( x , y ) dengan

T=(a+cb+d)

Translasi T ini merupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang

ditulis sebagai T 1∘T 2

Oleh karena T 1=(ab )

dan T 2=(cd)

maka T 1∘T 2=(a+c

b+d)Akibatnya, titik P ( x , y ) ditranslasikan dengan T1 dilanjutkan dengan translasi T2

menghasilkan bayangan P'' sebagai berikut

P ( x , y )⃗T 1∘T2(a+cb+d ) P'' ( x+a+c , y+b+d )

Sifat:

Dua buah translasi berturut-turut (ab )

diteruskan dengan(cd )

dapat

digantikan dengan translasi tunggal (a+cb+d )

Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh :

1. Translasi T 1=( p

q )memetakan titik A(1,2) ke titik A'(4,6)

a. Tentukan translasi tersebut !

b. Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudut A(1, 2), B(3, 4), dan

C(5, 6) oleh translasi tersebut.

3

c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan

T 2=(−1−1)

Tentukan bayangannya!

d. Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 ◦T1. Samakah jawabannya

dengan jawaban c?

Jawab:

a. A (1,2 ) T⃗ 1( p

q ) A ' (1+ p , 2+q )=A1 ( 4,6 )

Diperoleh 1+p = 4 sehingga p = 3

2+q = 6 sehingga q = 4

Jadi translasi tersebut adalah T 1=(34)

b. translasi T 1=(34)

artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan

4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A', B', dan C' dari segitiga ABC

dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A'B'C' sebagai berikut

A (1,2 ) T⃗ 1(34 ) A ' (1+3,2+4 )=A ' (4,6 )

B (3,4 ) T⃗ 1(34 ) B' (3+3,4+4 )=B ' (6,8 )

C (−5,6 ) T⃗ 1(34 )C ' (−5+3,6+4 )=C ' (−2 , 10 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(4,6), B'(6,8), dan

C'(-2,10)

c. A ' (4,6 ) T⃗2(−1

−1) A '' (4+(−1 ) , 6+(−1 ) )=A '' (3,5 )

A ' (6,8 ) T⃗2(−1−1 ) A '' (6+(−1 ) , 8+(−1 ))=B '' (5,7 )

A ' (4,6 ) T⃗2(−1−1 ) A '' ( (−2 )+ (−1 ) ,10+(−1 ))=A '' (−3,9 )

4

Jadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengan titik A''(3,5), B''(5,7)

dan C''(-3,9)

d. translasi titik T 1∘T 2=(3+(−1 )

4+(−1 ))=(23)A (1,2 )⃗(23) A ' (1+2,2+3 )=A ' (3,5 )

B (3,4 )⃗(23) B ' (3+2,4+3 )=B ' (5,7 )

C (−5,6 )⃗(23)C ' (−5+2,6+3 )=C ' (−3,9 )

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan

C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang diperoleh pada jawaban c sama dengan

segitiga yang diperoleh pada jawaban d.

Tentukan bayangan lingkaran ( x−3 )2+( y+1 )2=4 jika ditranslasikan oleh T=(−52 ).

Jawab :

Ambil sebarang titik P(a,b) pada ( x−3 )2+( y+1 )2=4, sehingga diperoleh

(a−3 )2+(b+1 )2=4…(*)

Titik P (a , b ) P' ( a+(−5 ) , b+2 )=P ' (a−5 , b+2 )

Jadi diperoleh a '=a−5 atau a=a'+5 dan b '=b+2 atau b=b'−2

Dengan mensubtitusi a dan b ke persamaan (*) diperoleh

(a '+5−3 )2+( b'−2+1 )2=4

(a '+2 )2+( b'−1 )2=4

Jadi bayangan lingkaran ( x−3 )2+( y+1 )2=4 jika ditranslasikan oleh T=(−52 )adalah

( x+2 )2+ ( y−1 )2=4

Rotasi

Rotasi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar

titik-titik sejauh αdengan pusat titik P.

5

(−52 )

Rotasi pada bidang datar ditentukan oleh :

1) Titik pusat rotasi

2) Besar sudut rotasi

3) Arah sudut rotasi

a b c

Gambar 1 a dan b menunjukkan suatu rotasi pada titik A pada roda terhadap pusat

roda P.

Arah rotasi dapat berlawanan dengan arah putar jarum jam ataupun searah. Jika sudut

rotasi bernilai (+) maka arah sudut rotasi berlawanan dengan arah putar jam. Jika

sudut rotasi bernilai (–) maka arah sudut rotasi searah dengan arah putar jam. Besar

sudut rotasi adalah sudut yang terbentuk dari besarnya rotasi yang terjadi. Suatu rotasi

terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi dinamakan dengan R [ P , ].

Contoh :

Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama 1 tahun yang dilakukan oleh

7 kantor cabang maka diadakan rapat yang dilakukan menggunakan meja bundar

seperti pada gambar di bawah ini.

6

jika kursi A ditempati oleh direktur pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B, C, D,

E, F, G dan H ditempati oleh direktur peamsaran kantor cabang daerah B, C,D,E, F,

G, dan H. selanjutnya, jika meja tersebut diputar (dirotasikan) dengan rotasi , R=

[O ,−90o ] tentukanlah pasangan nomor ada meja dengan huruf pada kursi yang terjadi

sebagai hasil rotasi.

Jawab :

Rotasi yang dinyatakan oleh R=[O ,−90o ] berarti terhadap titik 0 sebesar 90o searah

putaran jarum jam. Perhatikan gambar berikut

Gambar 3.

Setelah meja diputar sejauh 90o searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama

meja, pada gambar 3, diperlihatkan titik 1 yang mula-mula berpasangan dengan kursi

A berputas sejauh 90o dan menyebabkan titik 1 berpasangan dengan kursi C,

demikian juga titik 5 yang mula-mula berpasangan dengan kursi E berputar sejauh

90o dan menyebabkan titik 5 berpasangan kursi G. Demikian untuk yang lain yang

7

dapat dilihat hasilnya pada gambar 4 setelah dilakukan rotasi sebesar 90o searah

dengan jarum jam.

Gambar 4.

Dari gambar di atas dapa dilihat pasangan dari titik 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 adalah C, D,

E, F, G, H, A, B.

Rotasi Rumus Matriks

Rotasi

dengan pusat

(0,0) dan

sudut putar α

A ( x , y ) R⃗ (0 , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '=x cosα− y sin α

y '=x sin α+ y cosα(x '

y ')=(cos α −sin αsin α cosα )(x

y )

Rotasi

dengan pusat

P(a,b) dan

sudut putar α

A ( x , y ) R⃗ ( P , α ) A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=( x−a ) cosα−( y−b ) sin α

y '−b=( x−a )sin α+( y−b ) cosα(x '

y ')=(cos α −sin αsin α cosα )(x−a

y−b)+(ab )

Sifat-sifat

Rotasi yang dilakukan sebanyak dua kali berturut-turut dengan sudut putar yang sama

akan sama hasilnya dengan melakukan rotasi sebesar jumlah sudut putar dari dua kali

rotasi tersebut.

Pada rotasi bentuk bangun tidak berubah.

Contoh :

Tentukan bayangan dari titik P (2,1) jika dirotasikan terhadap :

a. R=[O ,30o ]b. R=[O ,−30o ]

8

Jawab :

a.

x '=2 cos30o−1sin 30o=2 . 12 √3−1. 1

2=√3−1

2

y '=2sin 30o+1cos30o=2. 12−1. 1

2 √3=1+ 12 √3

Jadi bayangan titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,30o ] adalah

P' (√3−12

, 1+ 12 √3)

b.

x '=2cos (−30o )−1sin (−30o )=2 . 12 √3+1. 1

2=√3+ 1

2

y '=2sin(−30o¿)+1cos (−30¿¿o¿)=−2 . 12−1. 1

2 √3=−1+12 √3¿¿¿

Jadi bayangan dari titik P (2,1) yang dirotasikan terhadap R=[O ,−30o ] adalah

P' (√3+ 12

,−1+ 12 √3)

Tentukan bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1)

sejauh 90o.

Jawab :

Karena ( x , y )=(3,3 )dan (a , b )=(1,1 ) maka

x '−1=(3−1 ) cos90o−(3−1 ) sin 90o=2 .0−2. 1=0−2=−2

x '=−2+1=−1

y '−1=(3−1)sin 90o+(3−1)cos90o=2.1−0=2

y '=2+1=3

Jadi bayangan dari titik P (3,3) yang dirotasikan terhadap titik pusat M (1,1) adalah

P' (−1,3 )

Tentukan peta dari garis y = -x + 2 jika dirotasi seperempat putaran.

Persamaan rotasi seperempat putaran x' = -y dan y' = x. Maka dari persamaan didapat

x = y' dan y = -x' yang selanjutnya disubstitusikan pada persamaan y' = -x' +2 atau –x'

9

= -y' + 2 dengan menghilangkan tanda " aksen" diperoleh -x = -y + 2 atau y = x + 2

yang merupakan peta dari garis y = -x + 2

Refleksi

Kita pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri sendiri. Apakah memiliki

bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak kita ke cermin. Samakah dengan

jarak bayangan kita ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-

pertanyaan tersebut, kita akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

Gambar 5.

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’

Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik

bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.

Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke

bayangannya adalah sudut siku-siku.

Refleksi atau pencerminan merupakan suatu transformasi yang mencerminkan suatu

objek.

Refleksi Rumus Matriks

Refleksi

terhadap

sumbu-x

A ( x , y ) s⃗b . x A ' ( x ,− y ) (x 'y ' )=(1 0

0 −1 )(xy)

10

Refleksi

terhadap

sumbu-y

A ( x , y ) s⃗b . y A ' (−x , y ) (x 'y ' )=(−1 0

0 1 )(xy)

Refleksi

terhadap

garis y=x

A ( x , y ) y⃗=x A ' ( y , x ) (x 'y ')=(0 1

1 0 )(xy)

Refleksi

terhadap

garis y=-x

A ( x , y ) y⃗=−x A ' ( y ,−x ) (x 'y ')=( 0 −1

−1 0 )(xy )

Refleksi

terhadap

garis x=k

A ( x , y ) x⃗=k A ' (2 k−x , y )

Refleksi

terhadap

garis y=k

A ( x , y ) y⃗=k A ' ( x ,2 k− y )

Refleksi

terhadap

titik (p,q)

A ( x , y ) (⃗ p, q ) A ' ( x ', y ' )Sama dengan rotasi pusat (p,q)

sejauh 180˚

(x '−py '−q )=(cos180 ° −sin 180 °

sin 180° cos180 ° )(x−py−q)

Refleksi

terhadap

titik pusat

(0,0)

A ( x , y ) (⃗ 0,0 ) A ' (−x ,− y ) (x 'y ')=(−1 0

0 −1 )(xy )

Refleksi

terhadap

garis y=mx,

m= tan α

A ( x , y ) y⃗=mx A ' ( x ', y ' )dengan x '=x cos2 α+ y sin 2α

y '=x sin2α− y cos2α(x '

y ')=(cos 2α sin 2 αsin 2 α −cos 2 α )( x

y )

Refleksi

terhadap

garis y=x+k

A ( x , y ) y⃗=x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '= y−k

y '=x+k(x '

y ')=(0 11 0 )( x

y−k )+(0k )

11

Refleksi

terhadap

garis y=-

x+k

A ( x , y )⃗ y=−x+k A ' ( x ', y ' )dengan x '=− y+k

y '=−x+k(x '

y ')=( 0 −1−1 0 )( x

y−k)+(0k )

Sifat-sifat refleksi

a. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas,

artinya yang direfleksikan tidak berpindah.

b. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi

(pergeseran) dengan sifat:

Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua

sumbu pencerminan.

Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke

sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatif.

c. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus,

menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari

kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus

bersifat komutatif.

d. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan

menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:

Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.

Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu

pencerminan.

Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Contoh :

Tentukan bayangan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10jika dicerminkan terhadap garis

y=−x .

Persamaan dari pencerminan terhadap garis y=−x adalah x '=− ydan y '=−x

Subtitusikan −x '= ydan − y '=x ke persamaan x2+ y2−4 x+6 y=10maka

diperoleh

12

(− y ' )2+(−x ' )2−4 (− y ' )+6 (−x ' )=10

( y ' )2+( x ' )2+4 ( y ' )−6 ( x ' )=10

Jadi bayangan dari persamaan lingkaran x2+ y2−4 x+6 y=10 adalah

( y )2+( x )2+4 ( y )−6 ( x )=10

Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang

menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk mendapatkan A’

dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x= 3 untuk memperoleh A”

dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.

Jawab :

A (−2,2 ) A ' (−2 ,−2 ) A' ' (2.3−(−2) ,−2 )

B (1,4 ) B' (1 ,−4 ) B' ' (2.3−1 ,−4 )

A' ' (2.3−(−2) ,−2 )=A' ' (6+2,−2 )=A ' ' (8 ,−2 )

B' ' (2.3−1 ,−4 )=B' ' (6−1,−4 )=B' ' (5 ,−4 )

Dilatasi

Adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor skala

(pengali) tertentu dipusat dilatasi tertentu. Dilatasi suatu bangun akan mengubah

ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut.

Gambar 6.

Perhatikan lingkaran pada Gambar dibawah yang berpusat di titik P(4, 2) dan

melalui titik Q(4, 4) berikut yang didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala

13

x = 3

x = 3

Sb. x

Sb. x

12 . Bayangan yang diperoleh adalah lingkaran yang berpusat di titik P'(2, 1) dan

melalui titik Q' (2, 2). Lingkaran ini sebangun dengan lingkaran P dengan ukuran

diperkecil.

Gambar 7.

Atau kita dapat menentukan lingkaran hasil dilatasi ini dengan menggunakan matriks

seperti berikut

[ x1' x2

'

y1' y2

' ]=[ 12

0

0 12 ][4 4

2 4]=[2 21 2]

Dengan dilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala 12 , diperoleh lingkaran

dengan titik pusat P'(2, 1) dan melalui titik Q'(2, 2).

Transformasi dilatasi dengan faktor skala sebesar k adalah suatu pemetaan yang

didefinisikan sebagai berikut :

T : R2 R2

( x , y )(kx ,ky ) dimana k adalah bilangan real.

14

Suatu dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi P ditulis : P ,k

Jika P , k :A( x , y ) → A '(x ' , y' ) dengan P (a,b) maka terdapat hubungan :

x '=a+k (x−a )

y '=b+k ( y−b )

Jika dengan pusat O (0,0) terdapat hubungan :

x '=kx

y '=ky

dengan matriks yang sesuai [k 00 k ]

Pada dilatasi faktor k akan menentukan ukuran dan letak bangun bayangannya.

1) Jika k >1, maka bangun bayangan diperbesar dan searah terhadap pusat dan

bangun semula.

2) Jika 0 < k < 1, maka bangun bayangan diperkecil dan searah terhadap pusat dan

bangun semula.

3) Jika -1< k < 0 , maka bayangan diperkecil dan berlawanan arah dengan pusat

dan bangun semula.

4) Jika k < -1, maka bangun bayangan diperbesar dan berlawanan arah terhadap

pusat dan bangun semula

Dilatasi Rumus Matriks

Dilatasi dengan pusat

(0,0) dan faktor dilatasi

k

A ( x , y ) [⃗0 , k ] A ' (kx , ky ) (x 'y ')=(k 0

0 k )( xy )

Dilatasi dengan pusat

P(a,b) dan faktor dilatasi

k

A ( x , y ) [⃗ P ,k ] A ' ( x ', y ' )dengan x '−a=k (x−a )

y '−b=k ( y−b )(x '

y ' )=(k 00 k )( x−a

y−b )+(ab )

Contoh :

Diketahui dilatasi dengan pusat (2,1) dan faktor skala 3. Oleh dilatasi tsb tentukan

bayangan dari :

a. titik A(3,2) dan B(9-4,3)

b. garis y-2x+5=0

15

Jawab :

a. A' [ x '

y ' ]=[3 00 3 ][3−2

2−1]+[21]=[54 ]B' [ x '

y' ]=[3 00 3] [−4−2

3−1 ]+[21]=[−167 ]

b. [ x '

y ']=[3 00 3] [ x−2

y−1]+[21]=[3 x−6+23 y−3+1]=[3 x−4

3 y−2]x '=3 x−4→ x= x '+4

3

y '=3 y−2→ y= y '+23

Subtitusi x dan y tersebut ke y-2x+5=0 sehingga diperoleh

y '+23

−2. x'+43

+5=0

y '+2−2. (x '+4¿+15=0

y '+2−2 x '−8+15=0

y '−2 x '+9=0

Jadi bayangan dari garis y-2x+5 = 0 adalah y-2x+9=0.

Transformasi Gusuran

Gambar 8.

Transformasi gusuran adalah suatu transformasi yang menggeser suatu titik menurut

arah sumbu X atau sumbu Y, jadi ada 2 macam transformasi gusuran, yaitu:

1. Transformasi gusuran arah sumbu X

16

Matriks transformasi yang bersesuaian adalah [1 q0 1]dengan q= 1

tg∝=¿ faktor skala

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x + qy

y' = y

2. Transformasi gusuran dengan arah sumbu Y

Matriks transformasi yang bersesuaian adalah [1 0p 1]dengan p=

1tg∝=¿ faktor skala.

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan

x' = x

y' = y + p

Contoh :

Diketahui titik (2 , -3 ) . Tentukan bayangan titik itu oleh

a. gusuran searah sumbu Y dengan faktor skala – 3

b. gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 4

Jawab :

a. [ x '

y ']=[ 1 0−3 1] [ x

y ]=[ 1 0−3 1 ][ 2

−3]=[ 2−9]

b. [ x '

y ']=[1 40 1] [ x

y ]=[1 40 1 ][ 2

−3]=[−10−3 ]

Regangan

Merupakan suatu transformasi yang memetakan himpunan titik pada bidang ke

himpunan titik lainnya dengan cara memperbesar/memperkecil jarak titik-titik itu ke

garis tertentu (invariant) . Perbandingan antara jarak titik peta ke garis invariant

dengan jarak titik semula ke garis invariant disebut factor regangan. Arah garis yang

tegak lurus dengan garis invariant disebut arah regangan.

17

Gambar 9.

a. Regangan searah sumbu X

Artinya garis searah sumbu Y ( garis invariant) dengan faktor regangan k

Matriks transformasi yang bersesuaian [k 00 1]

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = kx

y' = y

b. Regangan searah sumbu Y

Artinya garis searah sumbu X ( garis invariant) dengan faktor regangan k

Matriks transformasi yang bersesuaian [1 00 k ]

Titik A ( x, y ) ditransformasikan menjadi ( x' , y' ) dengan :

x' = x

y' = k y

Contoh :

Carilah persamaan bayangan kurva 3x + y = 9 oleh regangan [−2 00 1 ]

Jawab :

[−2 00 1 ][ x

y ]=[ x '

y ']

18

[−2 00 1 ]

−1

[−2 00 1 ][ x

y ]=12 [1 0

0 −2] [ x '

y '][1 00 1][ x

y ]=[−12

0

0 1][ x'

y ' ]Maka [ x

y ]=[12

x'

y' ] sehingga diperoleh

3 x+ y=9

3(−12

x ')+ y '=9

3 x ' – 2 y '=−18

Jadi bayangan dari 3 x '+ y '=9adalah 3 x – 2 y=−18

Komposisi transformasi

1. Komposisi dua translasi berurutan

Diketahui dua translasi T 1=(ab )

dan T 2=(cd)

. Jika translasi T 1 dilanjutkan

translasi T 2 maka dinotasikan ”T 1∘T 2 ” dan translasi tunggalnya adalah

T=T1+T2=T2+T1 (sifat komutatif).

2. Komposisi dua refleksi berurutan

a. refleksi berurutan terhadap dua sumbu sejajar

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkan terhadap garis x=b.

Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x' = 2(b-a) + x

y' = y

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y = a dilanjutkan terhadap garis y =

b. Maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) yaitu:

x' = x

y'=2(b-a)+y

19

b. refleksi terhadap dua sumbu saling tegak lurus

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x = a dilanjutkan terhadap garis y=b

(dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir A adalah A ' ( x ', y ' ) sama dengan rotasi titik A(x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu (garis) dan

sudut putar 180˚

c. refleksi terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

Jika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis g dilanjutkan terhadap garis h, maka

bayangan akhirnya adalah A ' ( x ', y ' ) dengan pusat perpotongan garis g dan h dan

sudut putar 2 α (α sudut antara garis g dan h) serta arah putaran dari garis g ke h.

Catatan

tan α=mk−ml

1+mk⋅mlml=gradien garis lmk=gradien garis k

d. sifat komposisi refleksi

Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali

komposisi refleksi terhadap sumbu x dilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu

yang saling tegak lurus).

3. Rotasi berurutan yang sepusat

a. Diketahui rotasi R1(P(a,b),α) dan R2(P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari

komposisi transformasi rotasi R1 dilanjutkan R2 adalah rotasi R(P(a,b),α+β)

b. Rotasi R1 dilanjutkan R2 sama dengan rotasi R2 dilanjutkan R1

4. Komposisi transformasi

Diketahui transformasi T 1=(a b

c d ) dan T 2=( p qr s )

maka transformasi tunggal

dari transformasi:

a. T1 dilanjutkan T2 (T2 ◦ T1) adalah T=T2 . T1

b. T2 dilanjutkan T1 (T1 ◦ T2) adalah T=T1 . T2

Catatan T1 . T2 = T2 . T1

5. Bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih

20

Contoh: Tentukan bayangan garis -4x+y=5 oleh pencerminan terhadap garis y=x

dilanjutkan translasi (32 )

!

Jawab: misal titik P(x,y) pada garis -4x+y=5

P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannya P'(y,x)

P'(y,x) ditranslasi (32 )

. Bayangannya P''(y+3, x+2)=P''(x'',y'')

Jadi x'' = y +3 → y = x''-3

y'' = x +2 → x = y'' -2

persamaan -4x+y=5 → -4(y'' -2) + (x'' - 3) = 5

-4y'' + 8 + x'' – 3 = 5

x'' - 4y''= 0

jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0

6. Luas bangun hasil tranformasi

Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka:

a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi,

dan rotasi.

b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika

luas bangun mula-mula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas

bangun bayangannya adalah L' = k2 +L

c. Jika luas bangun semula = L, kemudian bangun itu ditransformasikan

dengan matriks [a bc d ] maka luas bangun bayangannya adalah

L'=|ad−bc|x L

21