stranatalantov.com · Web viewFN и FP, причем FE FM = FK FN = FT FP = 2 3 .а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны. б) Найдите

Краевое государственное автономное

профессиональное образовательное учреждение

«Губернаторский авиастроительный колледж г. Комсомольска-на-Амуре

(Межрегиональный центр компетенций)»

Рабочая тетрадь по БД.04 Математика раздел «Стереометрия»

для студентов 1 курса всех специальностей

Выполнил студент группы____________

__________________________________

ФИ

г. Комсомольск-на-Амуре, 2019

Автор: Ж.В. Бугаева, преподаватель математики первой квалификационной категории. Рабочая тетрадь по БД.04 Математика раздел «Стереометрия»

Рабочая тетрадь направлена на формирование у обучающихся базовых понятий по данным разделам и совокупности умений оперировать ими. Предлагаемые в ней задания соответствуют стандарту математического образования.

Тетрадь содержит задания, проверяющие знание формулировок и понимание смысла определений, теорем, свойств, признаков по разделу «Стереометрия». Эти задания носят либо тестовый характер, либо предлагают вставить пропущенные ключевые слова в утверждение, чтобы оно было верным, закончить формулировку определения или ответить на вопросы, уточняющие некоторые детали в содержании того или иного факта. Многие задания дополняются пожеланиями проиллюстрировать и пояснить ответ.

Данная тетрадь может быть использована для аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы.

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Прямые и плоскости в пространстве.

1. Аксиомы стереометрии

2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых.

3. Признак скрещивающихся прямых.

4. Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.

5. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

6. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

7. Угол между прямой и плоскостью.

8. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

Геометрические тела и поверхности.

1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства.

2. Пирамида. Усеченная пирамида.

3. Правильные многогранники.

4. Поверхность тел вращения. Цилиндр.

5. Конус. Усеченный конус.

6. Шар и сфера.

Прямые и плоскости в пространстве.

1.Аксиомы стереометрии.

А1. Через любые три точки, ________________________________________________________, проходит плоскость, и притом _________________________.

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то______________________________________ лежат в этой плоскости.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют _____________________________, на которой лежат ________________________________________ этих плоскостей.

А1 А3

А2

Вопрос. Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой?

Ответ. Да. Так как каждая точка принадлежит обеим плоскостям, то эти плоскости по аксиоме ______ имеют __________________________________.

Tеорема 1. Через прямую и __________________________________ точку проходит плоскость, и притом ___________________________.

Дано: прямая a, М .

Доказать:

а) через прямую а и точку M проходит плоскость;

б) такая плоскость единственная.

Доказательство.

а) Пусть . Точки _________________ не лежат на одной прямой,

поэтому через эти точки по________________________ проходит некоторая плоскость α. Так как , то прямая а лежит в плоскости α_______. Итак, плоскость α проходит через точку ______ и _______.

б) Допустим, что через прямую а и точку M проходит еще одна плоскость β. Тогда точки _________ будут лежать и__________________ . Следовательно, по ________________ плоскости α и β __________________ . Таким образом, через точку _______ и ______ проходит_________________ плоскость. Теорема доказана.

Теорема 2. Через две ________________________ прямые проходит плоскость, и притом _____________________ .

Дано: прямые a и b, .

Доказать:

а) через прямые a и b проходит плоскость;

б) такая плоскость единственная.

Доказательство.

а) Пусть , причем H и M - ____________________ точки, тогда по ___________________ через прямую a и точку H проходит плоскость . Так как две точки ____ и ____ прямой b лежат в плоскости α, то по _______________ прямая b ___________________. Итак, через прямые a и b проходит ______________________.

б) Допустим, что через прямые a и b проходит еще одна ______________ β. Тогда точка ______ и _______________ лежат в этой плоскости, поэтому, согласно ___________________ , плоскости α и β _______________ . Таким образом, через пересекающиеся прямые ____ и ____ проходит ____________ плоскость. Теорема доказана.

Задачи:

№1. На рисунке изображен куб. Назовите:

а) плоскости, в которых лежат прямые NE, MN, TP, PM;

б) точки пересечения прямой MN с плоскостью DCC1, прямой СЕ с плоскостью ABD, прямой РМ с плоскостью ВСС1;

в) прямые, по которым пересекаются плоскости АBС и В1C1N, AlBlCl и CDE;

г) точки пересечения прямых АР и ЕС1, DE и B1C1, AT и A1D1.

Ответ.

а) Прямая NE лежит в плоскости DСС1, прямая MN лежит в плоскости _______, прямая TP лежит в плоскости _______ прямая РМ лежит в плоскости ________.

б) прямая MN пересекает плоскость DCC1 в точке ______, прямая СЕ пересекает плоскость ABD в точке ______, прямая РМ пересекает плоскость ВCC1 в точке _____.

в) плоскости AВС и В1C1N1 пересекаются по прямой _____, плоскости А1В1C1 и CDE пересекаются по прямой _____.

г) прямые АР и EC1 пересекаются в точке ______, прямые DE и В1С1 пересекаются в точке _____, прямые AT и A1D1 пересекаются в точке ______.

№2. Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости . Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости ? Ответ обоснуйте (задача 9 учебника).

Решение. Пусть смежные вершины В и C и точка О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD лежат в плоскости . Тогда по аксиоме ______ прямые ______ и ______ лежат в плоскости , и так как , то точки __________________________________________ .

Ответ. ______

№3. Точки M, N, P и Q не лежат в одной плоскости. Могут ли прямые MQ и NP пересекаться?

Ответ. ______. Если бы прямые MQ и NP пересекались, то, согласно ____________, эти прямые лежали бы в _______ плоскости, а поэтому точки _______________ также лежали бы в этой плоскости, что противоречит _____________.

2.Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак параллельности двух прямых.

Лемма. Если одна из двух __________________________ прямых пересекает данную плоскость, то и _______________________________________ эту плоскость.

Дано: - точка пересечения прямой a и плоскости .

Доказать: прямая b __________________________

Доказательство: Пусть – плоскость, в которой лежат параллельные прямые a и b. Так как , то __________________________ плоскости и пересекаются по некоторой прямой p, проходящей через ___________________. Таким образом, в плоскости прямая p пересекает прямую a в точке ______ , а потому она __________________ и параллельную ей ____________ в некоторой точке N, причем точка , так как _________ . Итак, N – общая точка прямой ____ и плоскости ____. Других общих точек с плоскостью прямая b не имеет. Действительно, если предположить, что прямая b ______________________________________ еще одну _______________________, то, согласно _____________________, прямая b будет целиком лежать в __________________ _, а значит, будет общей прямой _________________________ и потому совпадает _____________. Но это невозможно, так как по условию , а прямые a и p ____________________________. Лемма доказана.

Теорема (о трех параллельных прямых). Если две прямые параллельны третьей, то они ____________________________.

Дано: .

Доказать: _______

Доказательство. Нужно доказать, что прямые a и b:

1) Лежат в одной _____________________.

2) Не _______________________________.

1) Пусть K – какая-нибудь точка на прямой b. Плоскость, проходящую через прямую a и точку K, обозначим буквой . Прямая b лежит в плоскости , то, согласно лемме ________________________________________________ ___________________________________, прямая c также будет пересекать плоскость . Но , поэтому и прямая a будет _____________________________________________, что невозможно, так как прямая a лежит в _________________________. Итак, прямые a и b лежат в одной плоскости.

2) Прямые a и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы ___________________________________, параллельные _______________, что невозможно. Итак, . Теорема доказана.

Задачи:

№4. Точка D не лежит в плоскости ABC, точки E, F, G, K – середины отрезков AD, DC, BC и AB.

а) Докажите, что точки E, F, G, K лежат в одной плоскости.

б) Найдите периметр четырехугольника EFGK, если AC = 18 см, BD = 24 см.

Решение. а) EF – средняя линия треугольника __________, поэтому _____ и EF = ______; KG – средняя _________________________ и потому _______________.

Следовательно, _____, т.е. точки E, F, G, K лежат на параллельных прямых, а значит, лежат в одной __________________.

б) Четырехугольник EFGK – параллелограмм, так как ________________________, причем EF = ____________, EK = _______________, а потому ____________________________.

Ответ. б) ____________

№5. Сторона AB треугольника ABC лежит в плоскости , а вершина , точки M и N – середины сторон AC и BC. Докажите, что прямая .

Доказательство. Так как MN – средняя линия ________________, то , а потому, согласно _________________________________, .

№6. Сторона AC треугольника ABC параллельна плоскости , а стороны AB и BC пересекаются с этой плоскостью в точках M и N. Докажите что треугольники ABC и MBN подобны (задача 26 учебника).

Доказательство. На рисунке плоскость ABC проходит через прямую ________, параллельную плоскости , и пересекает ее по ________________, следовательно, __________, а потому ___________.

3.Признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая _____________________________, в точке, _________ ____________________________________, то эти прямые скрещивающиеся.

Дано: прямая AB лежит в плоскости , прямая CD пересекает плоскость , .

Доказать: прямые AB и СВ - _______________________________

Доказательство. Допустим, что прямые AB и CD не ____________________. Тогда они будут лежать в некоторой ________________ β. Так как в этой плоскости будут лежать прямая AB и C, то плоскость β совпадает с ________________________, а значит, прямая CD _______________ __________________________________________, что противоречит _______________________ . Теорема доказана.

Задачи:

№7. На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые:

а) AA1 и B1C1;

б) A1D1 и DC;

в) AC и BD1 -

являются скрещивающимися.

Доказательство.

А) Прямая B1C1 лежит в плоскости B1C1D1, а прямая AA1 пересекает эту плоскость __________________ , причем так как ________________________ , поэтому, согласно ____________________________________, прямые AA1 и являются _________________________________.

б) ________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

в) ________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

№8. Прямые MN и PQ скрещивающиеся. Докажите, что прямые MQ и NP также скрещивающиеся.

Доказательство. Допустим, что прямые MQ и NP не ______ ______________________________. Тогда они лежат в некоторой плоскости β. Так как , то, согласно ____________________, прямые ___________ также будут ______________________ . Но это противоречит условию. Значит, прямые MQ и NP _____________________ .

4.Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей.

Теорема (признак параллельности двух плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости _____________________________________________ двум прямым другой плоскости, то эти плоскости __________________________.

Дано:

.

Доказать: .

Доказательство. Заметим, что по признаку _______

__________________________________________. Теперь допусти, что плоскости α и β не __________________________, а пересекаются по ___________________________________ c. Тогда плоскость α проходит через прямую a, параллельную плоскости _______ , и пересекает плоскость β по прямой c. Следовательно, . Но плоскость α проходит и ____________ _________________________________________________________________________________ , следовательно, . Таким образом, через точку M проходят две прямые ________ , параллельные прямой _____ . Но это невозможно, так как по ______________________________ _______________________________ через точку M ______________________________________ ____________________________ . Значит, наше допущение неверно и . Теорема доказана.

Задачи:

№9. Две стороны треугольника параллельны плоскости α. Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости α (задача 52 учебника).

Доказательство. Пусть стороны AB и АС треугольника ABC параллельны плоскости α. Докажем, что и третья сторона ВС параллельна плоскости α. Так как АВ ║ α, то, в плоскости α существует некоторая прямая А1В1 ║АВ. Аналогично существует прямая А1С1 плоскости α, параллельная прямой AC. Итак, две пересекающиеся прямые АВ и АС плоскости ABC параллельны двум прямым А1В1 и А1С1 плоскости α, следовательно, _______________________________________ _______________________________________, эти плоскости ____________________________ , а потому прямая BC __________________________ плоскости α.

№10.

Точка F не лежит в плоскости треугольника MNP, точки E, K и T лежат на отрезках FM, FN и FP, причем .

а) Докажите, что плоскости EKT и MNP параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника EKT равна 36 см2.

Решение.

а) _______, так как _______________________________________, поэтому EK║_______ и EK = ___________. Аналогично ________, так как _______________________________________________, поэтому KT ║ _______ и KT = ____________

Итак, пересекающиеся прямые EK и KT плоскости EKT соответственно ____________________ ________________________________________________ плоскости MNP, следовательно, эти плоскости ________________________________________

б) ___________, так как _______________________________________________________ _________________________________, и коэффициент подобия k равен _______. Поэтому _________ =_________, откуда ______________ = ________________

Ответ. б) ____________

№11. На рисунке параллельные плоскости α и β пересечены прямыми MN и MF, P1, P2 и Q1, Q2 – точки пересечения прямых с плоскостями α и β. Найдите P1P2, если MP1:MQ1=3:4 и Q1Q2 =72 см.

Решение. 1) Пересекающиеся прямые MN и MF задают некоторую ________________ . P1 и P2 – общие точки плоскостей α и , поэтому прямая P1P2 - _______________________________, поэтому прямая Q1Q2 - __________________

Итак, параллельные плоскости α и β пересечены плоскостью , поэтому, согласно _________ ________________________________________________, линии их пересечения ______________ ________________, т.е. P1P2║ ______________

2)__________, так как ______________, следовательно, _______, _____________ = ______________

Ответ. __________

5.Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости):

Если прямая перпендикулярна к двум _________________________ прямым, ________________________ __________________________________________, то она ________________________________ __________________________________

Дано: прямые p и q лежат в плоскости α и пересекаются в точке O (рис. а).

Доказать: .

Доказательство. Для доказательства перпендикулярности прямой a и плоскости α надо доказать, что , где m - __________________________________________________________

Рассмотрим два случая.

1)Пусть , прямая n пересекает прямые p, q и l в точках P, Q, L, OA = OB (рис.б). Так как прямые p и q – серединные __________________________________________ ____________________________, то AP = __________ и AQ = _________, и, следовательно, по ____________________________________. Поэтому ____________. Далее по ____________________________________________________________ ________________________________________________________________________, поэтому AL= ______, а это означает, что ___________________________________ и его медиана LO является __________________, т.е. или ____. Так как и , то по лемме _________________________________________________________________________________ ______. Таким образом, прямая a перпендикулярна к любой прямой плоскости α, а это означает, что ____________

2)Пусть (рис.в). Проведем . Тогда по лемме _________ _________________________________________________________________________________ __________________________________________ и, следовательно, согласно _________ _________________________________. Итак, одна из параллельных прямых a и a1 перпендикулярна ____________________________, поэтому и вторая прямая _______________ _________________________________________________, т.е. _______. Теорема доказана.

№12. Через точку O пересечения диагоналей ромба ABCD проведена прямая OM, перпендикулярная к плоскости ромба, причем OM = 6 см, AC = 16 см, BD = см. Найдите:

а) расстояние от точки M до вершин ромба;

б) расстояние от точки M до стороны DC.

Решение. а) Четырехугольник ABCD – ромб, а отрезки AC и BD – его диагонали, пересекающиеся в точке O, поэтому OA = _____, OB = _____. Так как , то ____ и _____. В треугольниках AMC и BMD медиана MO является и _______________, поэтому эти треугольники __________________________, т.е. ____________________________________. Из прямоугольного треугольника AOM с катетами 6 см и 8 см имеем: MA = _______. Из прямоугольного треугольника BOM находим: MB = ________________________ см.

Итак, MA = MC = ________, MB = MD = ________

б) В треугольнике DMC проведем и рассмотрим плоскость MOP. Прямая DC перпендикулярна к двум пересекающимся прямым _______ и _______ этой плоскости, следовательно, по _________________________________________________________________ ________________ _________, а потому перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности . прямоугольный, так как ______________________, OP – его высота, поэтому _______________ = _______________

Ответ. а) _______________; б) ______________

№13. На рисунке . Докажите, что линия пересечения плоскостей AFC и BMC параллельна прямым AF и BM.

Доказательство. Так как , то AF║________, и, следовательно, AF║BMC по _______________________________________ _________________ . Плоскость AFC проходит через прямую AF, параллельную плоскости ________, и пересекает эту плоскость. Следовательно, линия пересечения плоскостей _______________ параллельна прямой _______. А так как AF║BM, то по ___________________________________ ___________________________ прямая BM также параллельна _______________________________________________________ ____________________.

№14. Четырехугольник ABCD – квадрат, O – точка пересечения его диагоналей, . Докажите, что:

а) ;

б) .

Доказательство. Четырехугольник ABCD – квадрат, поэтому ________. По условию , следовательно, ________ и ________

а) Рассмотрим плоскость AMC. Прямая BD перпендикулярна к двум пересекающимся прямым ________________ этой плоскости, следовательно по ____________________________ ________________________________________________ BD_______, а потому прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности BD______ и BD_____

б) Рассмотрим плоскость BMD. ___________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

№15. В тетраэдре MABC AB = AC, MB = MC. Докажите, что .

Доказательство. По условию треугольники BAC и BMC - _______________________ с общим ___________________________, поэтому их медианы AH и MH, проведенные к _____________ __________________, являются ________________________, т.е. ______ и _____________

Рассмотрим плоскость AMH. Так как ______, то по _________________________________________________ ______________ , а потому прямая BC перпендикулярна к любой _______________________________________________ _______, в частности _______

№16. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Докажите, что диагональ куба B1D перпендикулярна к диагонали AC его основания.

Доказательство. Так как грани AA1B1B и BB1C1C – квадраты, то . Следовательно, по ______________________________________________________. Рассмотрим плоскость . Поскольку , так как _______________________________, и , так как _______________________, то __________ по _____________________________________________________ __________________________, а потому _____________

6.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

№17. Концы отрезка отстоят от плоскости α на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости α (задача 142 учебника).

Решение. Рассмотрим два случая:

1) концы отрезка находятся по одну сторону от плоскости α;

2) концы отрезка находятся по разные стороны от плоскости α.

1) Пусть отрезок AB расположен по одну сторону от плоскости α (см.рис.a), см, см. Так как и , то ______, и поэтому четырехугольник A1ABB1 - ____________. Проведем в ней среднюю линию PP1, тогда PP1║_______, PP1║_______, и так как , то и PP1 _______. Следовательно, длина отрезка PP1 и есть искомое расстояние от середины отрезка AB до плоскости α, ____________________ = ____________________=________ см.

2) Пусть концы отрезка AB расположены по разные стороны от плоскости α (см.рис.б) и пусть AA1 и BB1 – перпендикулярны к плоскости α, см, см. Так как и , то ______, и прямые AA1, BB1, A1B1 лежат в одной ____________________. Проведем через точку P – середину отрезка AB – прямую, параллельную B1B. Тогда по _____ _____________________________________________ точки P1 и F пересечения этой прямой с прямыми A1B1 и A1B будут серединами отрезков ________ и _________, а отрезки P1F и PF – средними _______________________________________________________________________. P1P = P1F - ________ = ____________________=________ см.

Ответ. _________ см или ________ см.

№18. Расстояние от точки M до каждой вершин правильного треугольника ABC равно 4 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6 см (задача 143 учебника).

Решение. Пусть MO – перпендикуляр к плоскости ABC, тогда расстояние от точки M до плоскости α равно ______. Так как , то ______, _____. =_______________=_______________ по _____________ _____________________________________________________ _____________________________________________________ ___________________________________________________ ____ _________________________________, следовательно, OA = OB = OC, т.е. точка O равноудалена от ______________________________ ___________________ и, значит, является центром этого треугольника. Поэтому AO = ________ = ____________________= ____________(см), и из прямоугольного треугольника AMO находим: MO = _______________ = _______________(см) = ______ см.

Ответ. ______ см.

№19. Через вершину A прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Докажите, что треугольник CBD прямоугольный (задача 145 а учебника).

Доказательство. Из точки D к плоскости ABC проведены перпендикуляр _____ и наклонная ______. Прямая BC лежит в плоскости ABC и перпендикулярна к проекции ______ наклонной ______ на эту плоскость, поэтому, согласно ______________________________________________________________, , т.е. треугольник CBD ____________________________________

№20. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 основанием которого является ромб ABCD, а боковое ребро перпендикулярно к плоскости основания. Докажите, что диагональ B1D параллелепипеда перпендикулярна к диагонали AC его основания.

Доказательство. _______________________, диагональ AC лежит в плоскости ABC, , так как _________________________________________________ __________________________________. Следовательно, согласно теореме ___________________________, _________

7.Угол между прямой и плоскостью.

№21. Из точки M к плоскости α проведены перпендикуляр MO и две наклонные MA и MB, которые образуют со своими проекциями на эту плоскость угол между наклонными равен 900.

Найдите расстояние между основаниями наклонных, если проекция наклонной MA равна см.

Решение. , поэтому _______ и _______. прямоугольный и равнобедренный: ______, ____=______, AO = ______, следовательно, MO = _____, AM = _______. прямоугольный: _____, ____, MO = ____, поэтому MB=2___= ____ см.

прямоугольный: _______, AM = ________, BM = ________, поэтому AB = _________________ = ______________= ________ см.

Ответ. ________ см.

№22. Через точку A, удаленную от плоскости α на расстояние см, проведена прямая, пересекающая плоскость α в точке B. Найдите угол между прямой AB и плоскостью α, если AB = 2 см.

Решение. Пусть отрезок AO – перпендикуляр к плоскости α. Тогда AO = ____________, прямая OB – проекция ____________ ________________________, а угол между прямой AB и плоскостью α равен ________. Из прямоугольного треугольника AOB находим: ________=________, следовательно, ________

Ответ. ________

№23. В прямоугольном треугольнике ABC см. Точка P не лежит в плоскости ABC и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние см. Найдите угол между прямой PC и плоскостью ABC.

Решение. Пусть PO – перпендикуляр к плоскости ABC. Поскольку отрезки PA, PB, PC – равные наклонные, проведенные из _______________ к _________________________________, то их проекции тоже ____________, т.е. OA = _________=_________, а потому точка O – центр окружности, ______________________________________________________________________. Следовательно, точка O – середина ________________________. Так как AB = ____________, то ______=______ см.

Искомый угол между прямой ______ и плоскостью ______ есть угол между ________________________________ ___________________________________, т.е.________. прямоугольный, так как _____________________, PC = ____________, CO = __________ см, поэтому ________ = __________ = _________. Отсюда получаем, что ______

Ответ. ______

8.Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.

№24. К плоскости равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой см проведен перпендикуляр DC, равный 18 см. Найдите угол между плоскостями DAB и CAB.

Решение. Треугольники ABC и ADB равнобедренные: _______________________, а в DA = _______, так как эти стороны - ______________________________ _____________ __________________________. Поэтому медианы CF и DF этих треугольников, проведенные из вершин C и D к общему основанию ________, являются __________________, и, следовательно, - линейный угол _____________________________________________, а значит, угол между плоскостями DAB и CAB равен ______. прямоугольный, DC=_____, ______=______ см и поэтому ______ = ______ = ______, откуда ____

Ответ. ______

№25. Катет AC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C лежит в плоскости α, а угол между плоскостями α и ABC равен 600. Найдите расстояние от точки B до плоскости α, если AC = 5 см, AB = 13 см (задача 172 учебника).

Решение. Проведем перпендикуляр BO к плоскости α. Отрезок BC – наклонная к _________ ________________________, отрезок OC – проекция наклонной ______ на __________________, а прямая AC, лежащая в плоскости α, перпендикулярна к наклонной BC. Следовательно, согласно _____________ ________________________________________________ _____________, . Таким образом, - линейный угол двугранного угла между плоскостями α и ABC, и, значит, ________

прямоугольный: ______, AC = ________, AB = _________, поэтому BC = _________

прямоугольный: ______, ______, BC = _________, следовательно BO = _____________ см = ____________ см = ______ см.

Ответ. ______ см.

№26. Через сторону AD ромба ABCD проведена плоскость ADM так, что двугранный угол BADM равен 600. Найдите сторону ромба, если и расстояние от точки B до плоскости ADM равно (задача 176 учебника).

Решение. Проведем перпендикуляр BP к плоскости ADM. Искомое расстояние от точки B до плоскости ADM равно BP. Проведем высоту ромба BE . Тогда получим, что из точки B к плоскости ADM проведены перпендикуляр ______ и наклонная ______

Следовательно, отрезок PE – проекция _________________ __________ на ________________

Прямая AD, лежащая в плоскости ADM, перпендикулярна к наклонной BE, а потому, согласно _____________________ _____________________________________________________, ______, и - линейный угол ________________________________________________, т.е. ________

прямоугольный, так как _______________________________, причем _____ , BP = _________, поэтому BE = _________________________ = _________________ = _________

прямоугольный: _______, ______, BE = __________, следовательно, AB = ________________ = __________

Ответ. ____________

№27. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 если его диагональ ВD1 =24 см и составляет с плоскостью грани DAA1, угол в 450 , а с ребром DD1, — угол в 600 .

Решение. Все грани прямоугольного параллелепипеда — ____________________, поэтому BA _______ , ВА ______, и, следовательно, BA DAA1. Прямая BD1 пересекает плоскость DAA1 в точке ________ , а прямая AD1 — проекция____ на эту плоскость, поэтому =____. Из прямоугольного треугольника , в котором _________, D1B = __________ и ______, находим: AB = AD1 = _______=________ см. Из прямоугольного треугольника BD1D, в котором _______, BD1= ____, =___ по условию, получаем ______= ______ см. Из треугольника AD1D, в котором ______, AD1=__________, DD1=______, находим: AD = ______ см.

Ответ. _______________

Геометрические тела и поверхности.

1.Тело и его поверхность. Многогранники. Призма. Параллелепипед и его свойства.

№28. Сколько граней, ребер, вершин и диагоналей у каждого из изображенных на рисунке многогранников?

Решение.

а)Тетраэдр DABC составлен из ___________ граней. Он имеет ___________ ребер и _______ вершины. Диагональю многогранника называется ______________, соединяющий две _______ _______, не принадлежащие _____________________. У тетраэдра любые две вершины _______ _____________________ одной грани, следовательно, у него ______________ диагоналей.

б) ________________________________ ABCDA1B1C1D1 составлен из ____________ граней. Он имеет __________ ребер, _______ вершин и _______ диагонали (AC1, _________________).

в) __________________________ NABCDS имеет ___________________________________ _____________ и _____________ диагонали (AC, ________________ ).

№29. Заполните пропуски в предположении:

В выпуклом многограннике сумма всех __________________ углов при __________________ его вершине __________________ 3600.

№30. Какой из данных многогранников является призмой?

Решение. а) Грани ABCD и A1B1C1D1 многогранника ____________________________ равны и расположены в параллельных ______________________________. Остальные ________ грани – параллелограммы. Следовательно, __________________________ ABCDA1B1C1D1 __________ ____________ призмой.

б) Грань KK1M1M многогранника ________________________ не является _______________ ________________________. Следовательно, этот многогранник _________________________ призмой.

в) У многогранника ABCD нет граней, расположенных в ______________________________ плоскостях. Следовательно, этот многогранник _________________________________ призмой.

г) Грани ABC и A1B1C1 ________________________ ABCA1B1C1 – равные ________________, расположенные в ________________________ плоскостях. Остальные ________ грани являются ________________________________________. Следовательно, многогранник ABCA1B1C1 _____ _______________________________ призмой.

№31. Высота призмы равна 5 см. Чему равно расстояние между плоскостями оснований призмы?

Решение. Основания призмы расположены в _____________________________ плоскостях, а расстоянием между параллельными плоскостями называется ____________________ от произвольной _____________________ одной из параллельных ___________________ до другой плоскости.

Расстоянием от данной точки до плоскости называется длина ____________________, проведенного из этой ____________ к данной _________________

Поскольку высота призмы называется ______________________, проведенный из какой-нибудь точки одного _______________________ к плоскости другого _________________, то длина высоты и есть искомое _________________________ между плоскостями оснований ________________

Ответ. ____ см.

№32.

Докажите, что все боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Доказательство.

1) Прямой призмой называется ____________ , боковые ребра которой ______________ к основаниям. Но если прямая перпендикулярна к плоскости, то по определению она _____________ к любой прямой, лежащей в этой _________________. Следовательно, боковые ребра прямой призмы ________________________________ к сторонам основания.

2)Каждая боковая грань призмы является _________________________,

а параллелограмм, смежные стороны которого взаимно перпендикулярны, является ____________________. Следовательно, все боковые грани прямой призмы — ____, чтои требовалось доказать.

№33.

№34. Диагональ AC основания прямой призмы ABCDA1B1C1D1 равна 6 см, а высота призмы равна см. Найдите угол наклона диагонали A1C к плоскости основания.

Решение. 1) Из определения прямой призмы следует, что ее боковое ребро ______________ _______________________ к плоскости _______________________ и равно высоте __________, т.е. AA1 = см.

2)Поскольку прямая AA1 ____________________________ к плоскости ABC, то прямая AC является ____________________ прямой A1C на плоскость ABC, и, следовательно, угол наклона ________________ A1C к плоскости ABC равен углу ___________

3)Поскольку прямая AA1 ________________________ к плоскости ABC, то AA1________ AC (по определению прямой, ___________________________ к плоскости). Из прямоугольного треугольника A1AC получаем: _________=_________:________=_______. Следовательно, __________

Ответ. __________

2.Пирамида. Усеченная пирамида.

№35. Основание пирамиды – прямоугольник ABCD, AB = 18 м, BC = 10 м, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 12 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. 1) Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле __________+__________. Так как основание пирамиды - _________________________ со сторонами 10 м и __________, то _____*_____=_________ (.

2)Чтобы найти площадь боковой ____________________ пирамиды, вычислим площади ее _______________ граней.

В прямоугольнике ABCD AC ____BD, диагонали ___________________ в точке O, поэтому AO = BO =_____=_____. Отрезок MO – высота пирамиды, значит, MO - ____________________ к плоскости основания, и отрезки AO, BO, _____, DO – проекция наклонных AM, _____, _____, _____ и _____ на плоскость основания. Следовательно, AM = BM = _____ = _____ и _____, а _______ (по трем ____________________ ), поэтому .

3)Пусть , тогда OK_____AB (обратная теорема о __________ перпендикулярах) и OK = _____ BC = 0,5*_____=_____ (м). Аналогично если , то ON = _____AB = 0,5*_____ = _____ (м).

Поскольку , то MO_____OK, а значит, (м).

Аналогично (м).

Итак, , _______________________ _________________. Отсюда получаем: =__________ (), .

Ответ. _________________________

№36. Основание пирамиды – параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды равна 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Решение. 1) Пусть отрезок MO – высота _______________. Так как MA=MB=_____=_____, то OA =_____=_____=_____, поэтому точка O – центр _______________, _______________ около параллелограмма является ______________________________, диагонали которого пересекаются в точке _____ и равны друг другу.

2)По теореме Пифагора (см), следовательно, OA = _____ см.

3), поэтому MO _____OA. В треугольнике AMO (см).

Ответ. _________

№37. Плоскость параллельная основанию треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Докажите, что эта плоскость делит боковые ребра в том же отношении.

Доказательство. Так как плоскости A1B1C1 и __________ параллельны, то A1B1_____AB (____________________ параллельных плоскостей). Аналогично B1C1_____BC, A1C1_____AC и A1O1 _____AO. Поэтому

Итак, , что и требовалось доказать.

3.Правильные многогранники.

№38. Заполните пропуски.

Точки M и M1 называются симметричными относительно:

точки A _________________ a __________________ a

№39. Заполните пропуски:

а) Точка называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ точка фигуры _________________________ относительно нее некоторой точке той же _____________

б) Прямая называется осью ____________________ фигуры, если каждая точка фигуры симметрична _________________________ нее некоторой _______________ той же фигуры.

в) Плоскость называется ____________________ симметрии фигуры, если _______________ _________________________________________________________________ относительно нее _____________________________________________ фигуры.

№40. Заполните пропуски в определении правильного многогранника:

Выпуклый ________________________ называется правильным, если __________ его грани - _________________________ многоугольники, и в ___________________ его _____________ сходится одно и то же число _______________

№41. Докажите, что куб является правильным многогранником.

Доказательство. Проверим, обладает ли куб всеми признаками правильного ____________________, указанными в определении.

1)Куб ____________________ выпуклым многогранником.

2) Каждая грань куба - _______________, т.е. _____________ _________ многоугольник, и все грани _______________ между собой.

3) В ____________________ вершине куба сходится ________________________ число ребер, а именно _____ ребра.

Итак, у куба ______________ все признаки, указанные в определении ______________ многогранника. Следовательно, куб ____________________ правильным __________________, что и требовалось доказать.

№42. Вершины A, C, B1 и D1 куба соединены попарно отрезками. Докажите, что многогранник ACB1D1 является правильным.

Доказательство. 1) Получившийся многогранник ACB1D1 – тетраэдр, а известно, что тетраэдр ______________________ выпуклым многогранником.

2)Все ребра многогранника ACB1D1 являются __________________ граней куба, следовательно, они ________________ между собой, а потому все грани многогранника ACB1D1 являются правильными ________________________________

3)В каждой вершине ____________________ ACB1D1 сходится ____________________ количество ________________, а именно ____ ребра.

Итак, у тетраэдра ACB1D1 _______________ все признаки правильного многогранника, следовательно, этот тетраэдр - ____________________ многогранник.

№43. Запишите в таблицу значения параметров: n – число сторон грани правильного многогранника; k – число ребер, сходящихся в одной вершине; B – число вершин многогранника; P – число ребер; Г – число граней. Напишите названия многогранников. Вычислите для каждого из них величину В +Г – Р.

4.Поверхность тел вращения. Цилиндр.

№44. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 600. Найдите:

а) высоту цилиндра;

б) радиус цилиндра;

в) площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение.

Осевое сечение цилиндра представляет собой _ , стороны ВС и AD которого являются _ цилиндра, а две другие стороны – оснований цилиндра. По условию задачи BD = _ см. DBC= _

а) Высота цилиндра равна его , а BС = BD *соs =

= * = (см), т.е. высота равна см.

б) Радиус цилиндра — это основания цилиндра: (см).

в) Площадь боковой _ цилиндра равна произведению _ окружности цилиндра на цилиндра, т.е. =.

Ответ.

а) см; б) см; в) см2.

№45. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Задача 538 учебника.)

Решение. Пусть h – высота цилиндра, r – его радиус. По условию задачи _____, т.е.

2πr____ = S. (1)

Осевым сечением цилиндра является _________________________ со сторонами 2r и _____. Поэтому площадь осевого сечения равна _____ * h. Учитывая равенство (1), получаем .

Ответ. __________

№46. Найдите площадь поверхности (внешней и внутренней) шляпы, размеры которой (в см) указаны на рисунке.

Решение.

Если дно шляпы опустить на плоскость ее полей, то получим круг радиуса r = ____ см.

Площадь боковой поверхности цилиндрической части вычисляем по формуле ___ ______r1h, где r1 = ____________ см, _________ = 10 см. Следовательно, _______10*10 = ________ (см2).

Итак, ____________см2.

Ответ. ____________ см2.

№47. Цилиндр получен вращением прямоугольника со сторонами a и 2a вокруг большей стороны. Найдите площадь:

а) осевого сечения цилиндра;

б) боковой поверхности цилиндра.

Решение. Пусть r – радиус цилиндра, h – его высота. По условию r = ____, h = ____

а)

б)

Ответ. а) ________; б) __________

5.Конус. Усеченный конус.

№48. Радиус основания конуса равен 2 м, а осевое сечение - прямоугольный треугольник. Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен 300.

Решение. По условию задачи треугольник АРВ- ____________________, а так как PA = ____, то В прямоугольном треугольнике PAO катет м.

Пусть , тогда сечение, проведенное через образующие PA и ____, является ____ _______________________________ треугольником, в котором PC = ______ = 2 ______ м. Поэтому (м2).

Ответ. ________

№49. Осевое сечение конуса — треугольник со стороной 8 см и прилежащим углом 120°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение. Осевым сечением конуса является ____________________ треугольник. По условию задачи один из углов этого треугольника равен __________, следовательно, это угол, противолежащий _______________ стороне треугольника, а потому боковые стороны треугольника равны _____ см, т. е. образующая l конуса равна ______ см. Из прямоугольного треугольника РОА находим радиус основания конуса: (см). Таким образом, , (см2).

Ответ. ____________________

№50. В трапеции ABCD A = 90°, =450. ВС = 4 см, CD = см. Вычислите площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса, образованного вращением данной трапеции вокруг стороны АВ. (Задача 571 учебника.)

Решение. При вращении данной трапеции получается _____________________ конус.

1)Проведем ___________. Тогда см, AD = AH +______ = ______ + HD = ______ см.

2) (см2).

3) (см2).

Ответ. ____________ см2 и __________________

6. Шар и сфера.

№51. Точки A и B лежат на сфере с центром , а точка M лежит на отрезке AB. Докажите, что:

А) если M – середина отрезка AB, то ;

Б) если , то M – середина отрезка AB.

(задача 573 учебника)

Доказательство. а) Пусть точка M – середина отрезка AB, R – радиус сферы. равнобедренный, так как ________________ = R, поэтому медиана OM является также ________ ________________, т.е. ________________AB.

Б) Пусть . Треугольник AOB равнобедренный, и OM – его высота по ___________, следовательно, OM – его ____________________, т.е. M - _________________________

№52. Шар радиуса 17 см пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 8 см от центра. Найдите площадь сечения.

Решение. Пусть точка O – центр шара радиуса R = 17 см, α – секущая плоскость и . По условию задачи расстояние OO1 от центра шара до секущей плоскости меньше радиуса шара, поэтому сечением шара плоскостью α является ____________, площадь которого , где ____ - радиус сечения. Возьмем точку M на линии пересечения сферы и плоскости α, тогда треугольник OO1M ________________ (, OM = R = ____________, OO1 = ____ см), откуда находим: O1M = r =________, ____________

Ответ. ____________ см2.