DASAR-DASAR PROSES PEMBELAJARAN MATEMATIKA 1 Bahan Ajar DISUSUN OLEH : Kelompok I Nama kelompok I : 1. Feby Setia Nengsih (2011.121.133) 2. I Wayan Mertayase (2011.121.100) 3. Hermawansyah (2011.121.114) 4. Aldina (2011.121.121) Kelas : 4 C Mata Kuliah : Dasar-dasar Proses Pembelajaran Matematika 1 Dosen PA : Farida Aryani, M.Pd Jurusan : Pendidikan MIPA 1
64
Embed
wayanmerta95.files.wordpress.com · Web viewDASAR-DASAR PROSES PEMBELAJARAN MATEMATIKA 1Bahan Ajar. DISUSUN OLEH : Kelompok I. Nama. kelompok I: 1. Feby Setia Nengsih (2011.121.1.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
DASAR-DASAR PROSES PEMBELAJARAN MATEMATIKA 1
Bahan Ajar
DISUSUN OLEH :
Kelompok I
Nama kelompok I : 1. Feby Setia Nengsih (2011.121.133)
2. I Wayan Mertayase (2011.121.100)
3. Hermawansyah (2011.121.114)
4. Aldina (2011.121.121)
Kelas : 4 C
Mata Kuliah : Dasar-dasar Proses Pembelajaran Matematika 1
Dosen PA : Farida Aryani, M.Pd
Jurusan : Pendidikan MIPA
Program Studi : Pendidikan MatematikA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
TAHUN AJARAN 2012
KATA PENGANTAR
1
Puji syukur kami panjakan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karen ata
curahan karunia-Nya kami dapat menghadirkan buku “Modul” khusus bagi siswa
kreatif guna menunjang proses belajarnya.
Modul ini memiliki keunggulan tersendiri, dengan menggunakan
Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan(KTSP) yang menekankan pada
pemingkatan mutu di segala aspek pembelajaran dan pemuatan materi pokok
mencangkup ringkasan materi, lembar kegiatan serta untuk menguji kemampuan
siswa dalam memahami materi yang telah diberikan.
Kami berterima kasih kepada guru dan siswa yang telah memiliki modul
ini, semoga dapat meningkatkan hasil proses belajar mengajar dalam upaya
peningkatan mutu di segala aspek pembelajaran.
Semoga modul ini bermanfaat dalam proses pembelajaran siswa, segala
kritik dan saran dari pembaca kami harapkan demi perbaikan modul ini.
Palembang, Mei 2013
Ttd
BAB 1
2
BENTUK AKAR, PANGKAT, dan LOGARITMA
A. BENTUK PANGKAT
1. Pangkat Bulat Negatif dan Nol
Sifat-sifat :
a0 = 1
a−P= 1aP
2. Pangkat Bulat Positif
Bentuk pangkat :
an = b
Untuk n = 1 maka a1 = a
Keterangan :
a : Bilangan pokok
b : Pangkat atau eksponen
c : Hasil perpangkatan
Contoh :
a. 2−5= 125 =
132
b. ¿ 8 )0 = 1
c. 43 = 4 x 4 x 4 = 64
d. 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
B. BENTUK AKAR dan PANGKAT PECAHAN
1. Bentuk Akar
Bilangan rasional
Adalah bilangan yang dapat di tulis dalam bentuk ab ; dimana a , b∈B
dan b ≠ 0.
Contoh : 15=0,4 ;0 ,−1 ,−2
3
3
a x a x a x...x a
Sebanyak n kali
Bilangan irasional
Adalah yang tidak dapat di tulis dalam bentuk ab diman a , b∈B
Contoh : √3 ;−√2 ; 1√3
; log 2; 2log 100
Bentuk akarn√a=b, apabila bn=a, untuk bilangan asli n.
Sifat-sifat :
1. n√a=a1n 2. n√a . b= n√a . n√b=a
1n .
b1n 5. n√a . n√b= n√ a
b
3. n√am=amn 4.
n√an√b
=n√ ab
Semua berlaku untuk a , b≥ dengan definisi bahwa; √a=a12
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan menggunakan sifat bahwa :
b. Metode EliminasiLangkah-langkah penyelesaian :1) Koefisien salah satu variabel dari sistem persamaan disamakan
terlebih dahulu.2) variabel yang koefisiennya sama dieliminasi(dihilangkan)dengan cara
penguranganatau penjumlahan,sehinggadiperoleh nilai salah satu variabelnya.
3) Nilai variabel yang lain diperoleh dengan cara yang sama.Contoh :Selesaikan sistem persamaan berikut dengan car metode elliminasi! 2x + 2y = 8
27
4x - 2y = 10Jawab :
Koefisien yang sama adalah variabel y seehingga variabel y yang
dapat dihilangkan untuk mencari nilai variabel x.
2x + 2y = 84x – 2y = 106x = 18X = 3
Untuk mencari nilai varabel y, maka koefisienvariabel x harus disamakan supaya varriabel x bisa dihilangkan.2x + 2y = 8 x 2 4x + 4y = 164x – 2y = 10 x1 4x – 2y = 10
6y = 6 y = 1
c. Gabungan eliminasi dan SubtitusiLangkah-langkah penyelesaian :1) Nilai salah satu variabel dicari dengan cara eliminasi.2) Nilai variabel yang suah diperoleh disubtitusikan ke salah satu
persamaan untuk mencari nilai variabel yang kedua.d. Metode Determinan (pengayaan)
Persamaan linear dengan dua peubah : a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
determinan matriks ordo 2x2 : [a1 b1
a2 b2]→ D = a1b2 – a2b1
langkah-langkah penyelesaian: 1) Dicari determinan dari dua persamaan. Jika D = sistem persamaan
linear tidak mempunyai penyelesaian.2) Dicari Dx , Dy , nilai x dan y.
5. Di sebuah toko, Aprillia membeli barang A dan 2 barang B dengan harga Rp. 4.000,00. Juia membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga RP. 9.500,00. Januar ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga...
B. Sistem Persamaan Linear Dengan Tiga Variabela1x + b1y + c1z = d1
Langkah-langkah penyelesaian:Secara prinsip sama dengan cara penyelesaian sistem linear dengan dua variabel.
29
Contoh :Selesaikan persamaan :x + y + z = 2 ...............(1)2x – y +3z = -3 .........(2)x + 2y – 2z = 7 .........(3)
Jawab : Dari persamaan x + y + z = 2 → x = 2– y – z ......(4)Persamaan (4) disubtitusikan ke persamaan (2)2(2– y – z) – y + 3z = -34 – 2y - 2z –y + 3z = -3 z = 3y – z ........(5)
Persamaan (5) disubtitusikan ke persamaan (4) : x = 9 – 4y ......(6)Persamaan (5) dan (6) disubtitusikan ke persamaan (3) : x + 2y – 2z = 7Menjadi (9 – 4y) + 2y – 2(3x – 7) = 7 9 – 2y + 14 – 6y = 7 -8y = - 16 y = 2Nilai y = 2 disubtitusikan ke persamaan (5) dan persamaan (6) diperoleh:z = 3y – 7 x = 9 – 4yz = 3.2 – 7 x = 9 – 4.2z = -1 x = 1
Jadi, penyelesaian persamaan diatas adalah (1, 2, -1)
C. Sistem Persamaan Linear dengan Persamaan KuadratUntuk menyelesaiakan sistem dengan dua varabel, satu linear, dan satu kuadrat, dapat digunakan metode subtitusi atau pemfaktoran.
32
Contoh :Selesaiakan persamaan y = x2 + 1 dan x + 3y = 7!Jawab :y = x2 + 1 disubtitusikan x + 3y = 7
x + 3(x2 + 1) = 7x + 3x2 + 3 = 73x2 + x – 4 = 0(3x + 4)(x – 1) = 03x = -4 V x = 1
x = −4
3
Untuk x = −4
3 → y = ()2
+ 1 =
169 + 1 =
259
Untuk x = 1 → y = 12 + 1 = 2Jadi, titik potong dari kedua persamaan tersebut adalah A () dan B (1,2)
D. Sistem Persamaan Kuadrat Dengan Persamaan KuadratUntuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan persamaan kuadrat dapat digunakan metode subtitusi atau pemfaktoran.Contoh : Diketahui persamaan kuadrat y = 3x2 – 4x + 1 dan y = x2 + x + 4. Tentukan himpunan penyelesaiannya!Jawab :
5. Diketahui sistem persamaan linear {2 x+5 y=133 x+2 y=10 ,maka nilai (x + y) adalah ...
a.
4211
b.
4311
c.
1143
d.
1243
e.
1043
6. Nilai 3x + 2y dari sistem persamaan linear {2 x+2 y=23 x+3 y=3 adalah ...
a. 0b. 1c. 2d. 3e. 4
7. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear { 2 x− y=14 x−11+7 y=0 adalah ...
a. { 1, 0}b. {1, 1} c. {1, 2}d. {2, -1}e. {-1, 1}
8. Nilai p dan q dari sistem persamaan
12 p + 2q = 5 dan
13 p +
45 q = -2 adalah ...
a. {14 , }b. {, }c. {24 , }d. {, }e. {, }
9. Jika diketahui persamaan linear { −2 x+ y=53 x+4 y=−2 ,maka nilai 3(x + y) adalah ...
a. 4
35
b. -2c. 3d. -3e. 2
10. Nilai y + 2x dari sistem persamaan { x+2 y=102 x+3 y=13 adalah ...
a. 11b. 8
c. 7
12
d. 7e. −¿
PERTIDAKSAMAAN
Pertidaksamaan adalah suatu kalimat yang mengandung tanda atau notasi > , <,
≤ , ≥. Penyelesaian pertidaksamaan seperti pada penyelesaian persamaan yaitu
menentukan nilai-nilai yang membuat kalimatnya menjadi benar.
A. Pengertian Pertidaksamaan Satu Variabel
Satu bentuk aljabar yang memuat tanda > , <, ≤ , atau≥ dan hanya memuat satu
variabel, misal : x , y , z.
36
Pengertian selang atau interval
Selang pada umumnya merupakan himpunan penyelasian dari suatu
pertidaksamaan.
Contoh :
-1 < x < 3 digambarkan dengan :
(karena tanda pertidaksamaan tidak memakai “ = “ , maka bulatannya kosong
“o” )
x ≥ 1 digambarkan dengan :
(bulatannya penuh “ .” karena pakai “ = ”)
B. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
1. Pengertian
Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan yang memuat variabel yang
berpangkat satu.
Contoh : -5y + 1 < 2
px + q > -5
2 z−1≤ 3 z+5
2. Sifat-sifat sebuah pertidaksamaan
Jika a>b ;a ,b , c ,∈R ; maka berlaku :
a. a ± c>b± c
b. ac>bc ,c>0
c. ac<bc ,c<0
d.ac>b
c,c>0
e.ac<b
c,c<0
37
. o . . . o .-2 -1 0 1 2 3 4
. . . . .-1 0 1 2 3
Dan berlaku sebaliknya, jika a < b.
3. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari :
a. 2 x+7≤ 5;
b. 3−x ≥ 2 x+12!
Jawab :
a. 2 x+7≤ 5
2 x≤ 5−7
2 x≤−2
x ≤ −22
x ≤−1
∴HP {x x ≤−1 , x∈R }
b. 3−x≥ 2x+12
−x−2 x≥ 12−3
−3 x≥ 9
x≤ 9−3
x ≤−3
∴ HP {x x ≤−3 , x∈R }
C. Pertidaksamaan Kuadrat Satu Variabel
1. Pengertian
Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memuat variabel
berbentuk kuadrat / pangkat dua.
Misalnya : p x2+qx+r<0
2 x2+x>5
2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
Langkah-langkahnya :
a. Kumpulkan semua suku ke ruas kiri, sehingga ruas kanan nol.
b. Tentukan harga-harga nol (faktorkan) jika ada. Jika ternyata D < 0, maka
ingat “definit positif” dan “negatif”.
c. Setelah difaktorkan ditemukan nilai x, letakkan pada garis bilangan,
kemudian tentukan daerah positif dan negatifnya.
Contoh :
38
(tanda dibalik karena koefisien x negatif)
Tentukan HP dari :
a. 2 x2−5>−9 x
b. 2 x−3<x2
Jawab :
a. 2 x2−5>−9 x
2 x2+9 x−5>0
(2 x−1 )(x+5)>0
2 x−1=0∨ x+5=0
x=12∨ x=−5
Letakkan pada garis bilangan :
Dari arah kanan, lihat koefisien x2
yaitu 2; jadi, positif.
Dari soal “ > 0” ; jadi, daerah
positif.
∴HP={x x←5 x> 12}
b. 2 x−3<x2
−x2+2 x−3<0
Harga nol : −x2+2x−3<0
Ternyata :
D= b2 – 4ac
= 4 – 4(-1) (-3)
= 4 – 12
=- 8
D<0 dan a = -1 < 0 ; jadi, definit
negatif maka −x2+2 x−3<0
(selalu negatif)
∴HP {x x∈R }
D. Pertidaksamaan Simultan
Pertidaksamaan simultan adalah pertidaksamaan dengan dua tanda tidak sama.
Misal : a< x<b
−1<x+2<5
Cara menentukan penyelesaiannya.
Contoh : Tentukan HP dari pertidaksamaan :
a. −2<3 x−5<4
b. 3 ≤ 8−5 x≤ 18
Jawab :
a. −2<3 x−5<4 ( cara langsung )
−2+5<3 x<4+5
39
3<3 x<9
1<x<3
∴HP={x1<x<3 , x∈R }
Cara lain (terpisah = dua kali penyelesaian)
−2<3 x−5<4
−2<3 x−5
−2+5<3 x
3<3 x
1<x ..................(1)
3 x−5<4
3 x<4+5
3 x<9
x<3..........................(2)
Dari (1) dan (2) dibuat garis bilangan :
1<x<3
b. Cara langsung :
3 ≤ 8−5 x≤ 18
3−8≤−5 x≤ 18−8
−5≤−5 x≤ 10
1 ≥ x ≥−2
∴HP={x−2≤ x≤ 1 , x∈R }
E. Pertidaksamaan Pecahan
1. Pengertian
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang mempunyai bagian
pembilang dan penyebut dengan variabel tertentu.
Misal : 2 x+1x−5 ≥ 0
2. Macam-macam bentuk baku pertidaksamaan pecahan.
40
(2)
(1)
1 3
(tanda dibalik, karena koefisien x negatif)
a.f (x )g (x) < 0, g(x) ≠ 0
b.f (x )g (x) > 0, g(x) ≠ 0
c.f (x )g (x) ≤ 0, g(x) ≠ 0
d.f (x )g (x) ≥ 0, g(x) ≠ a
3. Langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan
a. Kumpulkan semua suku pada ruas kiri, sehingga ruas kanan nol dan
janganlah melakukan perkalian silang.
b. Samakan penyebutnya (jika perlu).
c. Tentukan harga nol pembilang (catatan : tanda pertidaksamaannya
mengikuti soal) dan hharga nol penyebut (catatan : apapun tanda
pertidaksamaan dalam soal, untuk penyebut tidak boleh memakai tanda
“=” ).
d. Letakkan harga-harga x yang didapatkan, kemudian dari arah kanan garis
bilangan letakkan tanda “+” atau minusnya (lihat keofisien tertinggi pada
pembilang dibagi keofisien x tertimggi penyebutnya).
Contoh :
Tentukan HP dari pertidaksamaan :
a.x−4x+1 ≥ 2 b.
3 x−2x2−x−6
≤ 0
Jawab :
a.x−4x+1 ≥ 2 →
x−4x+1 -2 ≥ 0 (ruas kanan nol )
→ x – 4−2(x+1)x+1
≥ 0 (samakan penyebutnya)
→ x – 4−2 x+4
x+1 ≥ 0
→ – x−6
x+1 ≥0
Harga nol : -x – 6 = 0
41
X = -6
Penyebut : x + 1 = 0
X = -1
Letakan pada garis pembilang :
- - lihat keofisien x pembilang dibagi keofisien x penyebut
-6 -1
−11 = -1 < 0 (negatif)
b.3 x−2
x2−x−6 ≤ 0
Harga nol : 3x – 2 = 0
X = 23
Penyebut : x2 – x – 6 = 0
(x-3)(x-2) = 0
X = 3 ⋁ x= 2
Letakkan pada garis bilangan :
+ +
31 = 3 (positif)
-2
23 3
F. Pertidaksamaan Bentuk Akar
42
1) Pengertian pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang
memuat akar atau fungsi irasional.
Misal : √ f (x) < p, f(X) ≥ 0, p > 0
2) langkah-langkah penyelesaian pertidaksamaan bentuk akar
a. kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan
b. berlakukan syarat bagi fungsi-fungsi yang berada di bawah tanda akar
yaitu harus selalu positif atau nol.
c. Potongkan antara hasil (1) dan (2)
Contoh :
Tentukan HP dari pertidaksamaan :
a. √3 x+3 ≥ √ x−1 b. √ x2−4 x < √5
Jawab :
a. √3 x+3 ≥ √ x−1 dikuadratkan
3x + 3 ≥ x – 1
3x – x ≥ -1 -4
2x ≥ -5
X ≥ -52
Dipotongkan (1), (2) dan (3)
syarat :
3x + 3 ≥ 0
3x ≥ -3
X ≥ -1
X – 1 ≥ 0
43
−52 -1 1
X ≥ 1
HP = {X|X ≥ 1, X ∈ R}
b. √ x2−4 x < √5 dikuadratkan
X2 – 4x < 5
(x-5)(x+1) < 0
X = 5 ⋁x = -1 -1 < X < 5. . . . . . . . . . (1)
Syarat :
X2 – 4x < 5
X(x -4) ≥ 0
X = 0⋁x=4
Dipotongkan (1) dan (2) :
X ≤ 0 ∨ X ≥ 4 .. . . . . . .. . .(2)
G. Pertidaksamaan Nilai Mutlak1. Pengertian nilai mutlak
a. Untuk setiap bilangan x,nilai mutlak x yang akan disimbolkan dengan “|X|” ditemtukan sebagai :
|x|={+x ,untuk x ≥ 0−x , untuk x<0
b. Sifat-safat nilai mutlak :1) |x| = √ x2
2) |x . y| = |x||y|3) || = ||
2. Pengertian dan penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlakUntuk a ∈ R, a ≥ 0 berlaku :a. Jika|x|<a, maka −a< x<ab. Jika|x|≤ a, maka −a≤ x≤ ac. Jika|x|>a, makax<−aV x>ad. Jika|x|≥ a, makax≤−aV x≥ a
Sifat – sifat :
a. |x− y|≥||x|−|y|| b. |x+ y|≤|x|+|y|
44
+ - +
-1 5
+ - +
0 4
Cara penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak : dengan mengukuadratkan kedua ruasContoh:Tentukan HP dari pertidaksamaan :
a. |2 x+1|<6 c. |x+1|≤|1−2 x|
b. |4−x|≥3 d. |x2−3|>6
Jawab :
a. |2 x+1|<6→ −6<2 x+1<6−6−1<2 x<6−1
−7<2 x<5
−7
2< x< 5
2Atau dengan cara mengkuadratkan kedua ruas
|2 x+1|<6→ (2 x+1 ) 2 <364 x2+4 x+1−36<0
4 x2+4 x+35<0(2 x+7 ) (2 x−5 )<0
x=−72∨x=5
2 + - +
∴−72< x< 5
2−7
252
b. |4−x|≥3 →4−x≤−3∨4−x≥3−1≤−7∨−x≥−1
x≥7∨x≤1
c. |x+1|≤|1−2 x|x2+2 x+1≤1−4 x+4 x2
+ - +0≤3 x2−6 x 0 20≤3 x ( x−2 )
∴ x≤0∨x≥2
d. |x2−3|>6 → x2−3<−6∨x2−3>6
x2<−3∨x2−9>0x2−3<0∨( x−3 ) (x−3 )>0 + - +
-3 3Jadi, x<−3∨x>3
45
H. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Pertidaksamaan Satu VariableContoh :1. Sebuah segitiga ABC, siku – siku di A. Jika panjang AB = xc dan AC = dua
lebihnya dari AB dan luas segitiga ABC tersebut lebih dari 4 cm2, maka tentukan nilai x yang memenuhi, ingat x > 0
Jawab :
C
L=12
x (x+2 )
x+2 L > 412
x ( x+2 )>4
x2+2 x>8
A x B x2+2 x−8>0( x+4 ) (x−2 )>0x=−4∨x>2
Karena x > 0, maka nilai x yang memenuhi adalah x > 22. Jumlah dua buah bilangan asli lebih besar atau sama dengan 18 dan kurang
dari 50. Jika bilngan kedua lebihnya empat dari bilangan pertama, maka tentukan batasan bagi bilangan pertama.
Jawab : misal : bilangan pertama = x*bilangan kedua = 4 + x
Jadi, 18≤x+( 4+x )<5018≤4+2 x<5014≤2 x<467≤x<23
46
SOAL - SOAL LATIHAN :
1. Jika nilai x yang memenuhi 5x + 1 ≤
8 – 2x adalah x ≤
a2 , maka nilai a = . . .
a. 7
b. 14
c. 16
d. 21
e. 25
2. Penyelesaian dari pertidaksamaan
3 x−1x+4 ≤
2 adalah . . .
a. X ≤
-4 ∨
x ≥
13
b. X < -4 ∨ x ≥ 9
c. -4 < x ≤ 9
d. -4 ≤ x ≤ 9
e. -9 ≤ x ≤ -4
3. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
3x+1 >
2xx−2 adalah . . .
a. X < -1 ∨ x > 2
b. X < 0 ∨ x > 2
c. X < 0 ∨ -1< x < 2
d. -1 < x < 2
e. X < -1 ∨ 0 < x < 2
4. Nilai x yanng memenuhi x2 – 4x – 12 ≤ 0 dan 3x + 2 > 5 adalah . . .
a. 1 < x ≤ 6
b. 1 ≤ x ≤ 6
c. -2 ≤ x ≤ 6
d. -2 ≤ x < 1
e. x ≤ 6
47
5. Agar gratis 2x + 3y = 6 berada di bawah sumbu, maka nilai x yang memenuhi
adalah. . .
a. x < 3
b. x < 2
c. x ≤ 3
d. x > 2
e. x > 3
6. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan √❑≤3 adalah ...a. −1<x<17b. −1<x≤ 17c. −1 ≤ x ≤18d. −1 ≤ x ≤17e. 1 ≤ x ≤17
7. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √ x+1 ≥√x−3 adalah c ≤ x ≤ d, maka nilai c + d = ...
a.
12
b. 3
c.5 1
2d. 6
e.7 1
28. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ¿2 x−1∨¿2−3|2 x−1|−2≥ 0¿
adalah ...a. x≤ atau x ≥ 2
b.− 1
2 ≤ x≤
c. x≤−atau x ≥d. x≤ atau x ≥e. x≤−atau x ≥
9. Penyelesaian pertidaksamaan √ x2+2 x−8≥√x−2 adalah ...a. −3 ≤ x ≤ 2b. −4≤ x ≤2c. x≤−3atau x ≥2
48
d. x≤−4 atau x≥ 2e. x≥ 2
10. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan √❑≥2 adalah ...a. −5<x<−1b. x<1V x>4c. 4<x<5d. 4 ≤ x<5e. 2 ≤ x<5