(MK2011- LE5 - IS5) TAJUK KEMAHIRAN DAN SEMESTER ELEKTRIKAL/ELEKTRONIK – SEMESTER 2 No. DAN TAJUK MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2 No. DAN TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN LE 1 : KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESAN LE 2 : KENALPASTI DAN FAHAM GEOMETRI LE 3 : KENALPASTI DAN FAHAM TRIGONOMETRI LE 4 : KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKS LE 5 : KENALPASTI DAN FAHAM VEKTOR OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGUNAKAN KAEDAH KOORDINAT CARTESAN , GEOMETRI ,TRIGONOMETRI , FUNGSI , NOMBOR KOMPLEKS DAN VEKTOR SUPAYA : 1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL. 2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS. 164 INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA MALAYSIA KERTAS PENERANGAN
22
Embed
ilpmiri.files.wordpress.com · Web viewContoh 1 : Suatu vektor yang diwakili RS , bermula pada satu titik R bergerak ke timur menuju titik S dengan halaju 800kmj-1. dengan diberi
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
(MK2011- LE5 - IS5)
TAJUK KEMAHIRAN DAN SEMESTER
ELEKTRIKAL/ELEKTRONIK – SEMESTER 2
No. DAN TAJUK MODUL MK 2011 MATEMATIK KEJURUTERAAN 2
No. DAN TAJUK PENGALAMAN PEMBELAJARAN
LE 1 : KENALPASTI DAN FAHAM KOORDINAT CARTESAN
LE 2 : KENALPASTI DAN FAHAM GEOMETRILE 3 : KENALPASTI DAN FAHAM TRIGONOMETRILE 4 : KENALPASTI DAN FAHAM NOMBOR KOMPLEKSLE 5 : KENALPASTI DAN FAHAM VEKTOR
OBJEKTIF PRESTASI AKHIRAN
KENALPASTI DAN FAHAM PERMASALAHAN MATEMATIK KEJURUTERAAN DENGAN MENGUNAKAN KAEDAH KOORDINAT CARTESAN , GEOMETRI ,TRIGONOMETRI , FUNGSI , NOMBOR KOMPLEKS DAN VEKTOR SUPAYA :
1. DAPAT MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIK YANG BERKAITAN DENGAN BETUL.
2. DAPAT MEMBANTU PELAJAR SEMASA KEGUNAAN DI BENGKEL BAGI SUBJEK TERAS.
164
INSTITUSI LATIHAN JABATAN TENAGA MANUSIA KEMENTERIAN SUMBER MANUSIA
MALAYSIA
KERTAS PENERANGAN
ISI KANDUNGAN
LE6 – Kenal pasti dan faham vektor
TASK 02.05 – Vektor
165
No. & TAJUK PENGALAMANPEMBELAJARAN
LE5 : Kenal pasti dan faham Vektor
No. & TAJUK TUGASAN
02.05 Vektor
Code No. : MK 2011-LE5 – IS5 Muka: 1 drp : 15
TAJUK : PENGENALAN VEKTOR DAN SKALAR TUJUAN :
Kertas penerangan ini bertujuan menerangkan mengenai takrifan dan komponen vektor dan skalar disamping operasi yang melibatkan penambahan dan penolakan kuantiti vektor.
PENERANGAN :
1.0 PENGENALAN VEKTOR DAN SKALAR
Vektor ialah suatu kuantiti yang mempunyai magnitud (ukuran saiz sesuatu benda) dan arah (petunjuk kedudukan). Contoh-contoh vektor ialah halaju, sesaran, pecutan dan daya. Manakala skalar ialah suatu kuantiti yang hanya mempunyai magnitud sahaja. Contoh-contoh skalar ialah laju, jarak, kuasa dan kerja.
Untuk penjelasan, katakan anjakan kedudukan dari satu titik P0 ke P1 seperti dalam rajah 1. Jika anjakan ini diwakili dengan anak panah. Anjakan ini mempunyai magnitud dan arah, Panjang anak panah mewakili magnitud manakala arah anak panah mewakili arah vektor. Setiap vektor mesti diwakili dengan anak panah
P1 P1
P0 P0
Rajah 1
ialah vektor yang magnitudnya sama dengan panjang AB dan arahnya dari A ke B. Vektor boleh ditandakan sebagai dan magnitudnya ditulis sebagai atau .
Vektor Sifar ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar yang ditandakan sebagai .
Vektor Negatif bagi ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah , iaitu = - .
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 2 drp: 15
166
Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama.
Dengan menggunakan kaedah skala, suatu vektor dapat ditentukan magnitud dan arah tuju vektor tersebut . Rujuk contoh di bawah :
Contoh 1 :
Suatu vektor yang diwakili RS , bermula pada satu titik R bergerak ke timur menuju titik S dengan halaju 800kmj -1. dengan diberi skala 1cm mewakili 200kmj-1 , lakarkan vektor RS. Penyelesaian :
Panjang anak panah = dan arah RS adalah timur
u R 800kmj-1 S
Rajah 2
Untuk mengira panjang bagi suatu vektor seperti dalam rajah 3, gunakan rumus seperti di bawah :-
Panjang Vektor AB : A
a
B b
Rajah 3
Contoh 2 :
Kirakan magnitud dan arah bagi vektor AB dalam rajah 4.
Penyelesaian : Panjang AB : = 5 unit
Magnitud AB : 5 x 2 N = 10 N arah tenggara.
Rajah 4
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 3 drp: 15
2.0 KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR
167
A
B 1unit:2 N
Konsep asas dalam komponen-komponen vektor perlu diketahui supaya dapat digunakan dalam menyelesaikan masalah berkaitan dengan vektor. Dengan menggunakan sistem koordinat , sesuatu vektor selalunya merupakan
suatu garis berarah daripada titik awal ke titik hujung. Katakan , atau atau bermula dari asalan , di
mana x dan y ialah komponen-komponen vektor. Magnitud vektor boleh diwakili oleh modulus atau atau . Rujuk rajah 5.
Paksi y
P
y
O Paksi x
x Rajah 5
Magnitud vektor bagi boleh diungkapkan dalam bentuk x + y atau dalam bentuk lajur .
Jika = x + y = , maka
i) =
ii) vektor unit dalam arah ialah
= atau
=
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 4 drp: 15
Contoh 3 :
168
Diberi = , dapatkan dan vektor unit pada arah
Penyelesaian :
Diberi =
Maka = = = 5 unit
Vektor unit pada arah =
= =
Vektor kedudukan ialah vektor yang ditetapkan kedudukan relatifnya kepada suatu titik lain. Jika 0 ialah asalan
dan A ialah titik (x,y), maka vektor kedudukan bagi A ialah = . Vektor kedudukan untuk B (4,7) ialah
= .
Vektor bebas ialah vektor yang tidak bergantung pada mana tempat iaitu ianya boleh bermula pada mana-mana tempat manakala vektor setempat (localized) bermaksud vektor yang mesti bermula pada satu tempat yang ditetapkan.
Vektor bebas Vektor setempat
Rajah 6
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 5 drp: 15
Dua vektor adalah sama jika kedua vektor itu mempunyai magnitud dan arah yang sama walaupun kedudukan
titik permulaannya tidak sama. Contohnya vektor = , maka // dan =
Vektor negatif adalah vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi berlainan arah dengan vektor yang
lain. Vektor - ialah vektor negatif bagi kerana arah bertentangan tetapi magnitudnya adalah sama, =
169
- Kesamaan 2 vektor Vektor negatif
Rajah 7
Contoh 4 :
Rajah 8 di bawah ialah sebuah heksagon sekata. Nyatakan vektor yang sama dengan berikut
B C
A D
F E Rajah 8
a) b) c)
Penyelesaian :
a) = b) = c) =
Contoh 5 :
Sebuah kereta bergerak ke utara sejauh 6km dari A ke B’ kemudian ke timur dari B ke C sejauh 8km dan akhirnya patah balik ke A. Lukis ketiga-tiga anjakan itu mengikut skala 1cm : 2km. Tentukan magnitud dan arah sesaran tersebut dari C ke A.
Penyelesaian : B 8 km C Magnitud : = 10 km 6 km Arah : 10 km arah barat daya
A
Rajah 9
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 6 drp: 15
3.0 PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN KUANTITI VEKTOR
Vektor-vektor boleh ditambah atau ditolak dengan menambah atau menolak komponen-komponen itu secara beberapa petua dan kaedah. Penjumlahan ini akan menghasilkan vektor gabungan atau dikenali sebagai vektor paduan.
Katakan terdapat dua vektor iaitu vektor dan vektor , maka hasil tambah kedua-dua vektor tersebut ialah
+ dimana + merupakan satu contoh vektor paduan.
170
3.0.1 Vektor Paduan bagi dua vektor selari
i. Penambahan vektor
A B
=
B C A B C Rajah 10
Vektor paduan =
Vektor paduan bagi vektor-vektor yang selari dalam arah yang sama mempunyai magnitud yang sama dengan hasil tambah kedua-dua vektor serta punyai arah yang sama.
ii. Penolakan vektor
Dengan merujuk pada rajah 10 bagi penambahan vektor, penolakan vektor adalah bersamaan dengan
penambahan kepada -
- = + ( - )
jadi penolakan vektor juga boleh dikatakan penambahan vektor negatif
3.0.2 Vektor Paduan bagi dua vektor tak selari
a) Petua segitiga
Pertimbangkan dua vektor dan dihubungkan pada titik 0. Unjurkan vektor selari hingga bertemu titik akhir
vektor dan titik mula vektor . Hasil dari pertemuan itu akan menghasilkan vektor iaitu mewakili vektor
hasiltambah kedua-dua vektor dan , juga dikenali sebagai vektor paduan seperti yang ditunjukkan di dalam
rajah 11 di bawah:
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 7 drp: 15
B B B
O A O A O A
171
Rajah 11
+ = + =
Penolakan dua vektor diperolehi melalui pemanjangan petua segitiga. Katakan bila dua vektor dan
ditolakkan akan diperolehi vektor beza . Ianya boleh dianggap sebagai hasiltambah vektor dan (- ) seperti
yang ditunjukkan rajah 12 dibawah.
B
O A O A O A
- - B’ B’ B’ Rajah 12
+ =
Jadi, vektor paduan + (- ) =
Contoh 6 :
Tunjukkan vektor paduan bagi +
Penyelesaian :
Rajah 13
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 8 drp: 15
Contoh 7 :
Rajah 14 menunjukkan sebuah segitiga, BCDE satu garislurus yang berkeadaan . Diberi
dan . Cari dalam sebutan dan untuk vektor berikut
172
~a
~a
~c
~a~
b~a
~b
(+ )
i. ii. iii.
E
D C
A B
Rajah 14
Penyelesaian :
i.
ii.
iii.
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 9 drp: 15
173
( - )
(3 + 2 )
b) Petua Segiempat selari
Dengan menggunakan hukum segiempat selari bagi dua daya yang bertindak pada satu titik. Hasiltambah vektor bagi dua vektor itu boleh diperolehi dengan menyambungkan titik permulaan kedua-dua vektor itu di O untuk membentuk dua sisi sebuah segiempat selari OPQR seperti yang ditunjukkan dalam rajah 15 di bawah :
Q Q R
O P O P
Rajah 15
= =
= =
maka, + = + =
atau vektor paduan + =
Dengan menggunakan kaedah yang sama, hasiltolak juga akan perolehi vektor beza yang boleh dianggap
sebagai penyambungan titik akhir antara dua vektor dan seperti di rajah 16 :
Q Q R
Rajah 16
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 10 drp: 15
174
~q
~q
~p
~p
~r
c) Vektor paduan bagi 3 atau lebih vektor
Dengan menggunakan hukum segitiga atau hukum segiempat selari, hasiltambah 3 vektor atau lebih atau vektor paduan boleh ditentukan. Iaitu dengan menyambung titik akhir vektor terakhir dengan titik awal vektor pertama untuk membentuk satu poligon.
T
S
R
P
Q
Rajah 17
Rajah 17 menunjukkan sebuah pentagon hasil penambahan 5 vektor . Dalam pentagon PQRST, didapati
+ =
+ =
+ + =
+ =
maka, + + + =
iaitu, + + + =
Jadi, vektor paduan bagi , , dan boleh diwakili dengan sisi . Kaedah mencari hasiltambah 3 atau lebih
vektor ini dikenali sebagai hukum poligon.
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 11 drp: 15
d) Pengungkapan vektor sebagai gabungan vektor linear yang lain.
175
+ + +
~a
~b
~c
~d
Vektor paduan juga boleh ditentukan sebagai gabungan linear vektor yang lain.
C
A B
Rajah 18
Maka , untuk mendapatkan vektor paduan ,
= +
= +
Untuk mendapatkan vektor paduan
= +
= (- ) +
= -
Contoh 8 :Diberi ABCD ialah sebuah segiempat selari serta pepenjuru-pepenjuru AC dan BD bersilang pada titik O. Cari vektor paduan bagi setiap kes berikut
A B
O
D C Rajah 19
a. b.
c. d.
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 12 drp: 15
Penyelesaian :
176
a. b. c. d.
Contoh 9 :
A F
B E
C D Rajah 20
Dalam rajah 20 di atas ABCDEF ialah sebuah heksagon. Cari vektor paduan berikut.
a. + + b. + +
c. + + + + +
Penyelesaiana. + + =
b. + + = + +
=
c. + + + + +
= + + + + +
=
=
Code No. MK 2011-LE5-IS5 Muka : 13 drp: 15
SOALAN : (Para pengajar diminta menunjukkan cara penyelesaian bagi semua soalan latihan di bawah bagi mencukupi keperluan tajuk in)
177
1. Diberi = dan =
a) Cari + 2
b) Hitung
2. Diberi = , = dan =
Cari
a) Nilai p dan q jika = 2 -
b) Vektor unit dalam arah
3. Diberi A (2, 5) dan B (3, 8) . Nyatakan dalam bentuk vektor lajur dan cari .
4. Diberi A (1 , 2) , B (-2 , 3) dan C (3, 7).
a) Ungkapkan dan dalam bentuk xi + yj
b) Hitung
5. Diberi = 2 - dan = - 4 + 3 . Cari nilai
a) jika = 4 + 2
b) Vektor unit dalam arah
6. Diberi = dan = Jika = 2 + , cari dan
RUJUKAN:
1) Siri Analisis Matematik Tambahan (SPM) – Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd Tahun 1999