กกกกกกกกกกก กกกกกกกกกกก คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคค a n คคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคค ฐฐฐ a คคค ฐฐฐฐฐฐฐฐฐฐฐฐ (คคคค ฐฐฐฐฐฐ) n คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคค ค คคค คคค a คคคคคคคคคคคคคคคค n คคค คคคคค n คคคค คคคคคคคคคค คคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคค ค คคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคค คคคคคคคคค คคคคคค a n คคคคคคค a ฐฐฐฐฐฐฐฐ n คคคค คคคคคคคค a ฐฐฐฐฐฐ n คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค a 2 คคคคคคคคคค square คคค a 3 คคคคคคคค cube คคคคคคค คคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค a^n คคค a**n คคคคคคค คคคคคคคคคคค a n คคคคคคคคคคค n คคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคค a คคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคค a คคค n คคคคคค ค คคคคคค คคคคคคคค คคคคคคคคคคค a คคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคค a n คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค n คคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค e z คคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคคค คคคคคคคคคคคคคค
34
Embed
kruamm.files.wordpress.com · Web viewจำนวนเช งซ อน a ท ทำให an = 1 สำหร บจำนวนเต มบวก n เร ยกว า รากท
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
การยกกำาลง
การยกกำาลง คอการดำาเนนการทางคณตศาสตรอยางหนง เขยนอยในรป an ซงประกอบดวยสองจำานวนคอ ฐาน a และ เลขชกำาลง (หรอ กำาลง) n การยกกำาลงมความหมายเหมอนการคณซำา ๆ กน คอ a คณกนเปนจำานวน n ตว เมอ n เปนจำานวนเตม บวก
คลายกบการคณซงมความหมายเหมอนการบวกซำา ๆ กน
โดยปกตเลขชกำาลงจะแสดงเปนตวยกอยดานขวาของฐาน จำานวน an อานวา a ยกกำาลง n หรอเพยงแค a กำาลง n ในภาษาองกฤษอาจเรยกการยกกำาลงบางตวตางออกไปเชน a2 จะเรยกวา square และ a3 เรยกวา cube เปนตน เมอตวยกไมสามารถใชไดเชนในขอความแอสก กมรปแบบการเขยนอยางอนทใชกนอาท a^n และ a**n เปนตน
เลขยกกำาลง an อาจนยามให n เปนจำานวนเตมลบกไดเมอคา a ไมเปนศนย ตามปกตไมสามารถกระจายจำานวนจรง a กบ n ไดทก ๆ คาโดยธรรมชาต แตเมอฐาน a เปนจำานวนจรงบวก จำานวน an สามารถนยามเลขชกำาลง n ไดทกคาแมแตจำานวนเชงซอนผานฟงกชนเลขชกำาลง ez ฟงกชนตรโกณมตกสามารถเขยนใหอยในรปของการยกกำาลงได
เมอ a เปนจำานวนใด ๆ ทไมเปนศนยและ n เปนจำานวนเตมบวก แตสำาหรบจำานวน 0 ยกกำาลงจำานวนลบ จะทำาใหเกดกรณการหารดวยศนย จงไมมการนยาม
นยามของ a−n สำาหรบคา a ใด ๆ ทไมใชศนย ทำาใหเอกลกษณ aman = am+n เปนจรงบนทกชวงจำานวนเตมของ m กบ n (ทงบวก ลบ และศนย) จากเดมเปนจรงเฉพาะเมอ m กบ n เปนจำานวนเตมไมเปนลบ โดยเฉพาะอยางยงการใชเอกลกษณนโดยกำาหนดให m = −n จะทำาให
ถา n เปนจำานวนค จากสมการ xn = a ถา a เปนบวกจะมสองคำาตอบ ไดแกรากท n ทเปนบวกและลบ แตถา a เปนลบจะไมมคำาตอบเปนจำานวนจรง
ถา n เปนจำานวนค จากสมการ xn = a จะมคำาตอบทเปนจำานวนจรงหนงจำานวน ถา a เปนบวกกจะไดคำาตอบนนเปนบวก และถา a เปนลบกจะไดคำาตอบนนเปนลบ
สำาหรบเลขชกำาลงทเปนจำานวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสด ถา m เปนจำานวนค ผลลพธจะเปนบวก; ในกรณท a เปนลบ ถา m กบ n เปนจำานวนค ผลลพธจะเปนลบ; ในกรณท a เปนบวกและ n เปนจำานวนค ผลลพธอาจเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนง ตวอยางเชน (−27)1/3 = −3, (−27)2/3 = 9, 43/2 มสองคำาตอบคอ 8 กบ −8 และเนองจากไมมจำานวนจรง x ททำาให x2 = −1 ดงนนนยามของ am/n ในกรณท a เปนลบและ n เปนจำานวนค จงจำาเปนตองใชหนวยจนตภาพ i เขามาเกยวของ
ไมวาวธการใชลอการทมหรอเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะ กไมสามารถนยาม ar ใหเปนจำานวนจรงได สำาหรบ a ทเปนจำานวนจรงลบและทกชวงคาของจำานวนจรง r และทำานองเดยวกน er ใหผลลพธเปนบวกสำาหรบทกชวงคาของจำานวนจรง r ดงนน ln(a) ซงเปนฟงกชนผกผนจงไมอาจนยามใหเปนจำานวนจรงไดสำาหรบ a ≤ 0 (ในทางตรงขาม กำาลงเชงซอนของจำานวนลบ a สามารถนยามไดดวยลอการทมเชงซอนของ a)
วธการใชเลขชกำาลงเปนจำานวนตรรกยะไมสามารถใชไดกบคา a ทเปนลบ เพราะวธการนขนอยกบความตอเนอง หมายความวา ฟงกชน f(r) = ar เปนการขยายจำานวนตรรกยะไปเปนจำานวนจรงอยางตอเนองเพยงหนงเดยวเมอ a > 0 แตในกรณ a < 0 ฟงกชน f ไมตอเนองบนเซตของจำานวนจรง r ทกำาหนดไวแตละคา
ตวอยาง สมมตให a = −1 รากท n ของ −1 เทากบ −1 สำาหรบจำานวนคบวก n ทกจำานวน; แตถา n เปนจำานวนคบวก (−1)(m/n) = −1 เมอ m เปนจำานวนค, (−1)(m/n) = 1 เมอ m เปนจำานวนค ดงนนเซตของจำานวนตรรกยะ q ททำาให (−1)q = 1 เปนเซตหนาแนน (dense set) ในจำานวนตรรกยะ เชนเดยวกบเซตของ q ททำาให (−1)q = −1 สงนหมายความวาฟงกชน (−1)q ไมตอเนองทจำานวนตรรกยะ q ใด ๆ ทกำาหนดไวแตละคา
สำาหรบจำานวนเชงซอน a และ b ซง a ≠ 0 สญกรณ ab เกดความกำากวมในคำาตอบเหมอนกบ log a
เพอหาคาของ ab ขนตอนแรกจะตองเลอกลอการทมของ a ขนมาคาหนง ทางเลอกนนอาจเปน Log a (คอคามขสำาคญของ log a โดยปรยายหากมไดกำาหนดเงอนไขอนเพม) หรออาจเปนคาหนงจากกงอนของ log z ทกำาหนดตายตว ดงนนจงสามารถนยามโดยใชฟงกชนลอการทมเชงซอนดงน
จำานวนจรงบวกและคามขสำาคญของ log a (ซงเปนจำานวนจรง) ไดถกเลอก
ถา b เปนจำานวนเตม ดงนนคาของ ab จะไมขนอยกบตวเลอกของ log a เพราะสอดคลองกบนยามการยกกำาลงทมเลขชกำาลงเปนจำานวนเตม
ถา b เปนจำานวนตรรกยะ m/n ในพจนนอยทสดโดยท n > 0 ดงนนจะมตวเลอกของ log a เปนจำานวนไมจำากดใหคาทแตกตางกน n จำานวนสำาหรบ ab ซงคาเหลานคอจำานวนเชงซอน z ทเปนคำาตอบของสมการ zn = am
ถา b เปนจำานวนอตรรกยะ ดงนนจะมตวเลอกของ log a เปนจำานวนไมจำากด นำาไปสคาของ ab ทแตกตางกนเปนจำานวนไมจำากดเชนกน
การคำานวณกำาลงจำานวนเชงซอนสามารถทำาใหงายขนโดยการแปลงฐาน a เปนรปแบบเชงขว ดงทอธบายไวดานลาง การสรางทคลายกสามารถใชควอเทอรเนยน (quaternion) ไดดวย
รากเชงซอนของ 1 (รากปฐมฐาน)
จำานวนเชงซอน a ททำาให an = 1 สำาหรบจำานวนเตมบวก n เรยกวา
รากท n ของ 1 (nth root of unity) หรอเรยกสน ๆ วา รากของ 1 (root of unity) รากเหลานม n คำาตอบและวางตวคลายจดยอดของรป n เหลยมปรกต บนรปวงกลมหนงหนวยบนระนาบเชงซอน ซงมจดยอดจดหนงอยทจำานวนจรง 1
ถา zn = 1 แต zk ≠ 1 สำาหรบจำานวนธรรมชาต k ตามเงอนไข 0 < k < n แลว z จะเรยกวา รากปฐมฐานท n (primitive nth root of unity) ตวอยางเชน −1 เปนรากปฐมฐานทสองเพยงตวเดยว, รากปฐมฐานทสมสองตวไดแก i และ −i (ไมนบรากปฐมฐานทสอง) เปนตน
จำานวน e2πi (1/n) คอรากปฐมฐานท n ทมอารกวเมนตเปนบวกนอยทสด (บางครงอาจเรยกวา รากปฐมฐานท n "มขสำาคญ" ถงแมวาการใชคำานจะไมแพรหลายและอาจทำาใหสบสนกบ คามขสำาคญของรากท n ของ 1 ซงหมายถงคา 1 [1])
เอกลกษณนกไมเปนจรงหากพจารณาวาลอการทมเปนฟงกชนหลายคา คาทเปนไปไดของ log(ab) จะมคา b · log a เหลานนเปนเพยงเซตยอยเซตหนง คาทเปนไปไดทงสองขางของเอกลกษณซงแสดงดวย Log(a) แทนคามขสำาคญของ log(a) และ m กบ n เปนจำานวนเตมใด ๆ จะไดวา
เอกลกษณ (ab)c = acbc และ (a/b)c = ac/bc ใชไดเฉพาะเมอ a กบ b เปนจำานวนจรงบวกและ c เปนจำานวนจรง แตการคำานวณโดยใชกงมขสำาคญแสดงใหเหนวา
กำาหนดให X เปนเซตทมการดำาเนนการทวภาคอยางหนง ซงมสมบตการเปลยนหมของกำาลง (power associativity) และเขยนอยในรปแบบการคณแลว xn ถกนยามใหเปนผลคณของ x จำานวน n ตว สำาหรบสมาชก x ใด ๆ ของ X และจำานวนธรรมชาต n ใด ๆ ทไมเปนศนย ซงนยามแบบเวยนเกดไดวา