5/28/2018 Warto bezwzgl dna
1/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
WARTOSC BEZWZGL EDNA
DefinicjaWartosci a bezwzgledn aliczbyanazywamy liczbe
|a|=
a jezelia 0a jezelia < 0.
Dla osb, ktre te definicje widz a pierwszy raz wyjasnijmy,ze branie wartosci bezwzglednejma polegac na odrzuceniu znajduj acego sie przed liczb a znaku minus. Jezeli tego znakuminus nie ma, to branie wartosci bezwzglednej nic nie zmienia.
Dokadnie taki jest sens powyzszego wzoru: jezeli liczba ajest nieujemna (czyli nie maz przodu minusa), to|a| = a; jezeli natomiast liczba ajest ujemna, to|a| =a(ta operacjausuwa minus, bo dwa minusy daj a plus).
Licznie wartosci bezwzglednej sprowadza sie do ustalenia, czy liczba, z ktrej li-czymy wartosc bezwzgledn a jest ujemna, czy tez nie, np.
|2|=2| 2|=2|0|=0|1 2|= 2 1| log 1
23|= log 1
23
| sin350|=sin350| x2|= x2.
Os liczbowa
O wartosci bezwzglednej liczbyawarto jest myslec w sposb geometryczny:
Liczba |a|jest rwna odlegosci liczbyaod punktux =0 na osi liczbowej.
Odlegosc liczby 4 od pocz atku osi rwna sie | 4|=4. Dokadnie taka sama jestodlegosc od pocz atku osi liczby 4.
W pierwszej chwili powyzsza uwaga moze wydawac sie dosc banalna, ale ma ona niezwy-kle uzyteczne konsekwencje:
Materia pobrany z serwisu 1
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
2/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
|x|= a (x= alubx =a)|x| < a a < x < a|x| a a x a
|x| > a (x > alubx< a)|x| a (x alubx a),
o ilea > 0.Powyzsze rwnowaznosci s a uzyteczne, gdyz pozwalaj a (w prostych sytuacjach) pozbyc
sie wartosci bezwzglednej. Zanim jednak przejdziemy do przykadw, wyjasnijmy sk ad onesie wziey.
Rwnosc|x| = aspeniaj a liczby x, ktre s a odlege od 0 o a. Na osi liczbowej s a dwieliczby o tej wasnosci:x = aix =a(rysunek powyzej).
Nierwnosc
|x
| < aspeniaj a liczby, ktrych odlegosc od 0 jest mniejsza niz a. Jest to
dokadnie przedzia(a, a), czyli zbir opisany nierwnosci a a < x < a.
Podobnie myslimy o sabej nierwnosci |x| a.Nierwnosc|x| > a speniaj a liczby, ktrych odlegosc od 0 jest wieksza od a. S a to
dokadnie te liczby, ktre znajduj a sie na prawo oda (czylix > a) lub na lewo od
a(czylix < a). Analogiczna sytuacja ma miejsce w przypadku sabej nierwnosci.
Rozwi azmy rwnanie |2x 3|=5.Mamy
|2x 3|=5 (2x 3=5 2x 3=5)Z pierwszej rwnosci otrzymujemyx =4, a z drugiejx =1.
Rozwi azmy rwnanie |2 |3 x|| =1.Mamy
|2 |3 x|| =1 (2 |3 x|=1 2 |3 x|=1).Z pierwszego rwnania mamy
|3 x|=1 (3 x=1 3 x=1),czylix =2 lubx = 4. Druga rwnosc daje
|3 x|=3 (3 x=3 3 x=3),
czylix =0 lubx = 6.
Materia pobrany z serwisu 2
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
3/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Rozwi azmy nierwnosc |3x 5| < 2.Mamy
2 < 3x 5 < 2 /+53 < 3x < 7 / : 3
1 < x < 73
.
Rozwi azaniem jest wiec przedzia(1,73 ).
Rozwi azmy nierwnosc |2 2x| 5.Liczymy
2 2x 5 2 2x 53 2x 7 2x
3
2 x 7
2 x.Rozwi azaniem jest wiec zbir(, 32 72 , +).
Odlegosc na osi
Widzielismy przed chwil a,ze myslenie o liczbie |x| w sposb geometryczny (jako odlegoscina osi) pozwala w prosty sposb rozwi azac nawet dosc skomplikowane zadania.
Id ac za ciosem, sprbujmy jeszcze odrobine wytezyc nasz a wyobraznie i ustalmy, jakajest interpretacja geometryczna liczby |a b|? Odpowiedz jest niezwykle elegancka
Liczba |a b|jest rwna odlegosci na osi liczbaib.Za uzasadnienie powyzszego stwierdzenia niech suzy ponizszy rysunek.
Rwnanie|x 3| = 5 jest spenione przez liczby x, ktre s a odlege od liczby 3 o5 jednostek. Gdy naszkicujemy os liczbow a, robi sie jasne, ze s a dwie takie liczbyx=3 5=2 orazx =3+5=8.
Rozwi azaniem nierwnosci|x 2|
5/28/2018 Warto bezwzgl dna
4/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Rozwi azaniem nierwnosci |x+4| 5 jest zbir liczb, ktrych odlegosc od -4 jestrwna co najmniej 5.
Jezeli wykonamy obrazek, to widac,ze jest to zbir(, 4 5 4+5, +) = (, 9 1, +).
Rozwi azmy rwnanie |x+2| + |x 3|=5.Mysl ac geometrycznie, powyzsze rwnanie oznacza: szukamy liczb x, ktrych su-ma odlegosci od -2 i od 3 jest rwna 5. Rysujemy os liczbow a i widzimy,ze s a dwiemozliwosci.
Jezelix 2, 3 to suma odlegoscixod -2 i 3 jest rwna dokadnie dugosci prze-dziau 2, 3, czyli jest rwna 5.
Jezeli natomiastx 2, 3, to odlegosc xod jednego z koncw tego przedziau
jest wieksza niz 5, wiec suma odlegosci bedzie jeszcze wieksza.Rozwi azaniem rwnania jest wiec zbir 2, 3.
Definicja i przypadki
W przypadku bardziej skomplikowanych wyrazen z wartosci a bezwzgledn a, jedynym spo-sobem na pozbycie sie jej, jest skorzystanie z definicji
|a|=
a jezelia 0
a jezelia < 0.
Schemat jest nastepuj acy: dla kazdego wyrazenia postaci|w|rozwazamy dwa przypadki,gdyw 0 (wtedy zastepujemy |w| przezw), oraz gdyw < 0 (wtedy zastepujemy |w| przezw).
Materia pobrany z serwisu 4
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
5/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Rozwi azmy rwnanie |x 2|=2x+3.Rozwazamy dwa przypadki.
Jezelix 2 to mamy rwnanie
x 2=2x+3 5= x .Rozwi azanie to nie spenia zaozeniax 2, wiec je odrzucamy.
Jezeli natomiastx < 2 to rwnanie przybiera postac
(x 2) =2x+3 1=3x x=13
.
Rozwi azanie to spenia warunekx 3 to mamy nierwnosc
x 2 (3 x) < 3 2x < 8 x < 4.W po aczeniu z warunkiemx > 3 mamy w tym przypadku rozwi azanie:(3, 4).
Jezeli 3 x 2 to mamy nierwnosc
x
2+3
x < 3
1 < 3.
W tym przypadku nierwnosc jest wiec speniona tozsamosciowo.Jezelix < 2 to mamy
(x 2) +3 x < 3 2 < 2x 1 < x.Zatem w tym przypadku mamy rozwi azanie:(1, 2).Zbieraj ac razem rozwi azania ze wszystkich przypadkw, rozwi azaniem jest zbir(1, 4).
Funkcjay =|x|W wielu przykadach wygodnie jest myslec o wartosci bezwzglednej jako ofunkcjiy =|x|.Korzystaj ace ze wzoru
y=|x|=
x jezelix 0x jezelix < 0.
bez trudu rysujemywykrestej funkcji
Materia pobrany z serwisu 5
http://www.zadania.info/23721http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/23721http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
6/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
W podobny sposb rysujemy wykresy funkcji, w ktrych wartosc bezwzgledna wyste-puje w bardziej skomplikowanych wyrazeniach.
Sprawdzmy dla jakiej wartosci parametrumrwnanie
|x| +3= mma dwa rozwi azania.atwo narysowac wykres lewej strony: jest to wykres y =|x|przesuniety o 3 jed-nostki do gry.
Z wykresu widac,ze rwnanie ma dwa rozwi azania dlam > 3.
Materia pobrany z serwisu 6
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
7/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Raz jeszcze rozwi azmy nierwnosc |x 2| + |3 x| < 3. Tym razem posuzymy siejednak wykresem lewej strony. Rysujemy wykres funkcji
y=|x 2| + |3 x|= x
2
(3
x) =2x
5 dlax > 3
x 2+3 x=1 dla 3 x 2(x 2) +3 x=2x+5 dlax < 2.
Z wykresu nie jest trudno odczytac, ze rozwi azaniem nierwnosci jest przedzia(1, 4).
TIPS& TRICKS
1Uwazny czytelnik z pewnosci a zauwazy,ze w definicji wartosci bezwzglednej
|a|=
a jezelia 0a jezelia < 0
napisalismy sab a nierwnosc w pierwszej linijce, a ostr a w drugiej. Tak naprawde jest tylkoi wy acznie kwestia umowy i rwnie dobrze moglismy zrobic na odwrt. Saba nierwnosc
jest po to,zeby uwzglednic w tym wzorze przypadeka =0, a dlaa =0 oba wzory zwracaj ate sam a wartosc.
Powyzsza uwaga jest czesto zrdem konsternacji dla uczniw, ktrzy rozwazaj ac przy-padki w zadaniach z wartosci a bezwzgledn a nie s a pewni, w ktrym przypadku napisacsab a nierwnosc, a w ktrym ostr a. Konkluzja jest taka,ze nie ma to znaczenia.
Materia pobrany z serwisu 7
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
8/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Opuszczaj ac wartosc bezwzgledn a w wyrazeniu|1 3x|mozemy rozwazac przy-padki x > 13 i x
13 , ale rwnie dobrze mozemy wybrac inne przypadki:x
13 i
x < 13 .Jedyne o czym musimy pamietac, to ze jeden z przypadkw musi uwzgledniac
x= 13(czyli jedna z nierwnosci musi byc saba).
2
W wielu zadaniach wygodna jest (dosc oczywista) rwnowaznosc
|x|=|y| (x= y x=y).
Rozwi azmy rwnanie |x+3|=|2 2x|.Liczymy
x+3=2 2x x+3=(2 2x)3x=1 5= xx=1
3 x= 5.
3
Wzr
|a|= a jezelia 0a jezelia < 0.jest bardzo uniwersalny, bo pozwala cakowicie pousuwac wartosci bezwzgledne z kazdegowyrazenia. Obarczone jest to jednak kosztem rozwazania przypadkw.
Rozwi azmy rwnanie x|x|+sinx|x|
2 =0.Jezelix > 0 to mamy rwnanie
x
x+sinx
x
2 =01+0=0,
ktre jest sprzeczne. Jezeli natomiastx < 0 to mamy
x
x+sinx+x
2 =0
sin x=1 x= 2
+2k, kC.
Materia pobrany z serwisu 8
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
9/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
4
Rozbijanie na przypadki jest uniwersaln a metod a na pozbycie sie wartosci bezwzglednych,jednak na og traktujemy j a jako ostatecznosc, bo jest uci azliwa rachunkowo. Wasnie z
tego powodu ten poradnik jest dosc dugi warto nauczyc sie roznych metod na ominieciepotrzeby rozbijania na przypadki.
Gdybysmy chcieli rozwi azac rwnanie|||x 1| 2| 3| = 4 rozbijaj ac na przy-padki, musielibysmy sie bardzo napracowac. Tymczasem rwnanie to mozna roz-wi azac dosc szybko:
||x 1| 2| 3=4 ||x 1| 2| 3=4||x 1| 2|=1 ||x 1| 2|=7.
Pierwsza rwnosc jest oczywiscie sprzeczna, wiec zostaje
|x 1| 2=7 |x 1| 2=7|x 1|=5 |x 1|=9.
Jak poprzednio, pierwsza rwnosc jest sprzeczna, wiec
x 1=9 x 1=9.Zatemx =8 lubx =10.
5Rozwazaj ac przypadki (przy opuszczaniu wartosci bezwzglednej) pamietajmy,ze otrzyma-ny wynik musimy zawsze skonfrontowac z warunkiem pod jakim znalezlismy sie w tymprzypadku.
Rozwi azmy nierwnosc |2x| x 1.Jezelix 0 to mamy
2x x 1 x 1.Otrzymana nierwnosc jest sprzeczna z warunkiemx 0, wiec nie otrzymujemy
w tym przypadku rozwi azania. Jezelix < 0 to mamy nierwnosc
2x x 1 1 3x 13 x.
Tak jak poprzednio, otrzymany warunek jest sprzeczny z zaozeniem, co oznacza,ze nierwnosc jest sprzeczna (nie spenia jej zadna liczba).
6
Pamietajmy,ze wartosc bezwzgledna jest zawsze nieujemna.
Materia pobrany z serwisu 9
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
10/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Rozwi azmy rwnanie 3|x3 5x2 +8x 4| +5|x2 4|=0.Oba skadniki z lewej strony s a nieujemne, wiec ich suma moze byc rwna 0 tylkowtedy, gdy oba s a rwne 0. Zatem musi byc
x2 4=0 x=2.
atwo sprawdzic, ze pierwszy skadnik jest niezerowy dla x =2, oraz zeruje siedlax =2. Jedynym rozwi azaniem jest wiecx = 2.
7
Wartosc bezwzgledna ma niezwykle uzyteczn a wasnosc:
|ab
|=
|a
||b
|(czyli wartosc bezwzgledna iloczynu to iloczyn wartosci bezwzglednych). W szczeglnosci
jezeliwjest dowolnym wyrazeniem, to
|aw|= a|w|, jezelia 0| w|=|w||w|2 =|w| |w|=|w2|= w2.
Drugi wzr wynika z rwnosci
| w|=|(1)w|=| 1||w|=|w|i najczesciej stosujemy go do zmiany kolejnosci skadnikw pod wartosci a bezwzgledn a:
|a b|=|b a|.
Rozwi azmy nierwnosc |2 x| |x 2| + |4x 8| < 8.Liczymy
| (
x 2)| |x 2|
+|4
(x 2
)| 0 to otrzymujemy dwa rwnania w(x) =miw(x) =m.Rozwi azmy rwnanie z parametrem: |2x+1|=3m 2.
Jezeli 3m 2 < 0 to rwnanie jest sprzeczne. Jezeli 3m 2 = 0 to rwnanie majedno rozwi azanie
2x+1=0 x=12
.
Pozostaje zatem przypadek 3m 2 > 0 (czylim > 23 ). Mamy wtedy
2x+1=3m 2 2x+1=3m+2x=
3m 3
2 x=
3m+1
2
.
Materia pobrany z serwisu 14
http://www.zadania.info/29155http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/29155http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
15/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
13
Ciekawostka, ktra w rznych formach przewija sie w zadaniach szkolnych: punkty(x,y)paszczyzny, ktrych wsprzedne speniaj a rwnosc |x| + |y|= k, gdziek> 0 tworz a brzegkwadratu o wierzchokach(k, 0)i(0, k).
Sprawdzmy to. Jezeliy 0 to mamy rwnosc
|x| +y= k y=|x| +k.W tym przypadku szukane punkty lez a wiec na fragmencie wykresu funkcji y =
|x|
+k, ktry znajduje sie powyzej osi Ox (bo ma byc y 0). Gdy naszkicujemy te sytuacje,otrzymamy grn a powke interesuj acego nas kwadratu.
Jezeli natomiasty < 0 to mamy rwnosc
|x| y= k y=|x| k.Tym razem mamy fragment wykresu funkcjiy =|x| k, ktry znajduje sie ponizej osiOx.atwo sie przekonac,ze jest to brakuj aca, dolna powka kwadratu.
14
Czasem w zadaniach nainterpretacje geometryczn amusimy naszkicowac zbiory opisanerwnaniem w stylu x =|y|. Problem polega oczywiscie na zamienionej roli literek xi y.
Jest na to prosta metoda: myslimy owykresiefunkcji x = f(y), czyli patrzymy na ukadwsprzednych z boku (tak jakby osOxwskazywaa gre).
Materia pobrany z serwisu 15
http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/29100http://www.zadania.info/34492http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
16/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
Naszkicujmy wykresyx =|y|,x =|y| +1 ix =|y+1|.
Rozwi azmy ukad rwnan
|y| x= 1(x+1)2 +y2 =8.
Drugie rwnanie opisuje okr ag o
srodku w punkcie(1, 0)i promieniu 8=222, 8. Pierwsze natomiast moze-my zapisac w postacix =|y| 1 i widzimy,ze jest to wykresx =|y| przesuniety o1 jednostke w d osiOx(czyli w lewo).
Jezeli naszkicujemy w miare dokadny obrazek, to mozna zauwazyc,ze otrzymanekrzywe przecinaj a sie w okolicach punktw(1, 2)oraz(1, 2). atwo to sprawdzic
wstawiaj ac te wsprzedne do ukadu rwnan.
15
W wiekszosci kalkulatorw oraz programw do rysowania wykresw uzywa sie funkcyj-nego zapisu wartosci bezwzglednej, tzn. zamiast |x| piszemy abs(x)(od ang.absolute value).
|x+ |x 3| 2|2x+5|| =abs(x+abs(x 3) 2abs(2x+5)).
Materia pobrany z serwisu 16
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
17/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
16
Funkcja y =|x|jest najprostszym przykadem funkcji, ktra jest ci aga, ale ktra nie jestrzniczkowalna.
Dokadniej, jezeli o pochodnej w punkcie myslimy jak o wspczynniku kierunkowymstycznej do wykresu w tym punkcie, to patrz ac na wykresy =|x| widzimy,ze jest problemze zdefiniowaniem pochodnej w punkciex =0. W tym punkcie wykres ma kant i przez tonie specjalnie jest sens mwic o stycznej do wykresu. Dokadnie taki jest sens stwierdzenia,ze funkcjay =|x| nie ma pochodnej w punkciex =0.
17Niezwykle waznym uoglnieniem wartosci bezwzglednej jestmoduliczby zespolonejz =a+bizdefiniowany wzorem
|z|=
a2 +b2
Uzywamy tego samego oznaczenia, jak dla wartosci bezwzglednej, bo jezeliz= ajest liczb arzeczywist a (czylib =0) to mamy
|z|= a2 =|a|(formalnie z lewej jest modu, a z prawej wartosc bezwzgledna, ale prbujemy wasnie uza-sadnic,ze takie rozrznienie jest niepotrzebne).
Modu liczby zespolonej ma szereg wasnosci analogicznych do wasnosci wartosci bez-wzglednej, np.
|zw|=|z||w||z|2 =z2
|z|
+|w
|
|z+w
|.
Materia pobrany z serwisu 17
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/5/28/2018 Warto bezwzgl dna
18/18
NAJWI EKSZYINTERNETOWYZBIRZAD AN ZMATEMATYKI
18
W jednym z przykadw udowodnilismy nierwnosc |x| + |y| |x+y|. Jezeli podstawimyw tej nierwnoscix = a biy = b cto otrzymamy tzw. nierwnosc trjk ata
|a b| + |b c| |a c|.
Dlaczego nazywamy te nierwnosc nierwnosci a trjk ata? Mwilismyjuz,zeoliczbie |a b|wygodnie jest myslec jak o odlegosci (na osi) miedzy liczbamiaib. W takim razie powyzsz anierwnosc mozna przeczytac nastepuj aco: odlegosc odadobplus odlegosc odbdocjestnie mniejsza niz odlegosc odadoc. Mwi ac jeszcze inaczej, id ac zadocprzezbpokonamyco najmniej tak a droge jak id ac zadocbezposrednio.
Fajnie, a gdzie tu trjk at? Tak naprawde go nie ma (bo jestesmy na osi liczbowej). Zebyby, musimy przejsc do liczb zespolonych i wtedy liczby zaczynaj a byc punktami na pasz-
czyznie.
W takiej sytuacji mamy prawdziw a nierwnosc trjk ata: suma dwch bokw jest niemniejsza od trzeciego (nierwnosc jest saba,zeby uwzglednic przypadek, gdy punktblezy
na odcinku miedzyaic).
Materia pobrany z serwisu 18
http://www.zadania.info/http://www.zadania.info/