Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3 (Un-)sicherheiten in der Ökosystemmodellierung
Jan 05, 2016
Extended multistep outflow method for the accurate determination of soil hydraulic properties close to water saturation
W. Durner und S.C. Iden, SS2012. Unsicherheiten - 3
(Un-)sicherheiten in der
Ökosystemmodellierung
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.2
Inhalt
Ökosysteme/Modelle
Daten, Fehler, Unsicherheiten
Stochastik
Intervallarithmetik
Fuzzy Set Theorie
Fehlerrechnung
Monte Carlo Verfahren
Parameterschätzung
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.3
Quantifizierung von Unsicherheiten
Top down:Wiederholung von Messungen und deren statistische Auswertung
Bottom up:Berechnung der Fehlerpropagation
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.4
Modellfehler erkennen: Residuenanalyse
Unabhängigkeit der Residuen:
Beispiel: Niederschlags-Abfluss Modellierung - Topmodel
+++ - - - - - ----- - - - - - - - +++++++++ - - -
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.5
Propagation von Unsicherheiten durchs Modell
Input F(i ,j) Output
i - Prozessparameteri - Eingangsgrößen:
Rand- und Anfangsbedingungen
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.6
Propagation von Unsicherheiten
Entscheidend: Das Wissensniveau 1)Nur Werteintervall bekannt, keine Vorstellung über Verteilung innerhalb des Intevalls
Min-Max-Abschätzung (Intervallarithmetik)
2)Werteintervall bekannt, sowie grobe Vorstellung über Verteilung innerhalb des Range („unscharfe Zahl“)
Fuzzy-Number Rechnungen
3)Verteilungsform und –Parameter bekannt Monte Carlo-Verfahren
4)Fehler sind normalverteilt mit bekannter Varianz Gauss‘sche Fehlerfortpflanzung
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.7
Min-Max-Abschätzung: Intervallarithmetik
Def.: Abgeschlossenes Intervall
Beobachtungs-/Messgenauigkeit
Rundungsfehler
bax ,
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.8
10 cm
1=-66 cm
2=-60 cm
K-63cm = 20 cm/d
-60
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Intervallarithmetik
F(x)
x[xu,xo]
y [yu,yo]
0 2 4
0
2
4
6
8
10
Y
X[1,4]
[0.5
,8]
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.10
Zusammenfassung
Elementare Rechenoperationen:
Addition:
Subtraktion:
Multiplikation:
Division:
mit
yx, yyyxxx ,:,:
],[: yxyxyx
],[: yxyxyx
),,,max(,),,,min( yxyxyxyxyxyxyxyxyx
yyxxy
x 1,1
,
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.11
Zusammenfassung
f(x)=x2
))((max)),((min])2,2([ 2222 xfxffy xx
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.12
Fuzzy Set Theorie
Unscharfe Zahlen statt pure Intervalle
x
Zu
geh
öri
gke
itsg
rad
0
0
1
1„Dreieckige“
a1 a2 a3 a1=a2=a3
Sonderfall: “Reelle Zahl“
a1 a2 a3 a4
„Viereckige“
a1=a2 a3=a4
Sonderfall: “Intervall“
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.13
Fehlerrechnung (Gauss)
f(x)
-4 -2 0 2 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
p(x)
x
-x1, x1
x1-4 -2 0 2 4
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
p(x)
x
-x2, x2
x2
-4 -2 0 2 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
p(x)
x
-y, y
y
Eingangsgrößen:- normalverteilt
- unabhängig
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.14
ix
fS
Fehlerrechnung: »Sensitivität«
Sensitivität: »Sensitivität von f(x) auf xi«
x
f(x)
x+x
f(x+x)
f(x)+f‘(x)x
x
ix
f
f
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.15
f
x
x
fS
ixi
Sensitivitätsanalyse: »relative Sensitivität«
Sensitivitäten(normiert):
x
f(x)
x+x
f(x+x)
f(x)+f‘(x)x
x
ix
f
f
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.16
mit: - Varianzen der Eingangsgrößen xi
- Varianz der Zielgröße y
Fehlerrechnung
Fehlerfortpflanzung nach Gauß:
n
ix
i
xn
xxy
i
n
sx
f
sx
fs
x
fs
x
fs
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
21
2
ixs2ys
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Fehlerrechnung
Für unkorrelierten (!) Fehler gilt:
Reduktion durch wiederholtes Messen
Summe oder Differenz:
n
ssx
nx x
x
n
ii
1
1
2221 21 xxy sssxxy !!!
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.21
Fehlerrechnung
mit relativem Fehler:
Produkt oder Quotient:
i
xx x
si
i
22
2
121 21 xxyx
xyxxy ;
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.22
Zusammenfassung
Voraussetzung für Gauß‘sche Fehlerrechnung sind unkorrelierte normalverteilte Fehler der Eingangsgrößen.
Bei offensichtlicher Verletzung der voraussetzungen kann eventuell mit transformierten Daten gerechnet werden
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.23
Datentransformation
Test auf Normalverteilung Beibehaltung der Nullhypothese
»Beweis« für normalverteilt!
Datentransformationen Logarithmieren von Daten! Weitere Transformationen
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.24
Sinnlosigkeit von Unsicherheitsberechnungen
Verletzung von Annahmen Verteilungstyp der Eingangsfehler (-> Datentransformation) Homoskedastizität (-> Datentransformation) Richtigkeit des Modells Richtigkeit der Parametrisierung Autokorrelation von Eingangsdaten Kreuzkorrelation von Eingangsdaten (Bsp.
Temperatureinfluss)
Interpretation statistischer Unsicherheitsmaße bei Modellfehlern
Beispiel B&C-Fit an Retentionsdaten; Parameterunsicherheit Beispiel dynamische Effekte; PI mit Richardsgleichung
W. Durner und S.C. Iden: Unsicherheiten in der Ökosystemmodellierung , SS2012 Folie 3.25
Ende