W-3 Dyskretne Transformatory wybranych ciągów: delta Kroneckera tzn. operator przesunięcia opóźnienia o k w czasie z własności o opóźnieniami ciągu liczbowego dyskretny skok jednostki tzn. funkcja wielomianowa a – liczba, n = 0, 1, 2, 3, ... W szczególności: oraz Jeszcze raz przykłady; Przykład 1. Znaleźć dyskretny oryginał (czyli ciąg liczbowy) funkcji o transformace Z równej:
27
Embed
W-3 Dyskretne - Pracownia Sterowania i Optymalizacji, KAM, … · Web view2007-10-05 · Transformatory wybranych ciągów: delta Kroneckera tzn. operator przesunięcia opóźnienia
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
W-3 Dyskretne
Transformatory wybranych ciągów:
delta Kroneckera tzn.
operator przesunięcia opóźnienia o k w czasie z własności o opóźnieniami
ciągu liczbowego
dyskretny skok jednostki tzn.
funkcja wielomianowa a – liczba, n = 0, 1, 2, 3, ...
W szczególności:
oraz
Jeszcze raz przykłady;
Przykład 1.
Znaleźć dyskretny oryginał (czyli ciąg liczbowy) funkcji o transformace Z równej:
(zrobić sami)
Przykład 2.
Parę wyrazów tego ciągu:
Obliczenie w MATLABie:
Potraktujemy obliczenia jako odpowiedź systemu dyskretnego o transmitancji Y(z) na -
Kroneckera, która jak wiadomo .
num = [1 20];
den = [1 21];
x = [1 zeros (1 30)]; % wprowadzenie na wejście delty Kroneckerak = 0 : 30;
wyspecyfikowana oś czasu
y = filter (num, den, x);
plot (k, y, ’ro’);
grid
Przypomnijmy:
z l. r. różnic. i reguły o ciągach opóźnionych
+ WP = 0 o założenie, że
otrzymamy:
a WP wynoszą:
Stąd:
Czyli rozwiązanie l. r. różnic. z dodatkowymi założeniami: oraz WP = 0 prowadzi do
dyskretnej transmitancji operatorowej:
Możemy to przedstawić jako:
n
nx
nx
30
K(s)T
Jest to abstrakcja matematyczna powstała w wyniku ’zabiegu próbkowania’:
Przykład
Obliczyć K(z) mając dane
W wyniku procesu próbkowania:
otrzymam: i obliczam K(z):
Transmitancje dyskretne systemów złożonych – także same jak ciągłych, np.:
)(ˆ}{ zuun }{ˆ)( nyzY )()()(zMzLzK
zegar
K(z)u(t) u*(t)y*(t)T
T- impulsator
Transmitancja widmowa
Def. Transmitancja widmową nazywamy następującą funkcję argumentu co;
Z uwagi na wzór Eulera: transmitancja widmowa jest funkcją okresowo o
okresie np.
Odpowiedź na standardowe pobudzenia:
Odpowiedź impulsowa – odpowiedź na pobudzenie impulsem dyskretnym
Wł. przyjmujemy, że
{ }
Np. system dyskretny o transmitancji ma odpowiedź impulsową
Odpowiedź skokowa – jest to reakcja systemu na pobudzenie dyskretnym skokiem
jednostkowym (dla WP = 0) i wynosi:
{yn}
}{ n
}{ nK(z)
{yn}
Im K(ej)
Re K(ej)
gdzie .
Stabilność systemów dyskretnych
Przypomnijmy;
System dyskretny (liniowy) ma transmitancję dyskretną:
,
przy założeniu (żeby nie było zerowego bieguna)
(żeby ustalić rząd transmitancji)
oraz WP = y-1, y-2, ... , y-m = 0.
Przez z1, z2, ... , zm oznaczymy pierwiastki jego wielomianu charakterystycznego (czyli bieguny
transmitancji):
DEF. Jeśli, przy zerowym pobudzeniu i każdym WP , to dyskretny system
nazywamy stabilnym.
(”niepraktyczna”)DEF. ”BIBO” – ograniczone wejście – ograniczone wyjście.
System jest stabilny jeśli;
TW. (o stabilności systemów dyskretnych)
System o transmitancji jest stabilny
iff .
Czyli, system dyskretny jest stabilny iff wszystkie bieguny jego dyskretnej transmitancji leżą
wewnątrz koła jednostkowego (tzn. koła o promieniu 1 i środku z = 0)
Skąd się bierze to podstawowe kryterium?
Przypomnijmy, że z = eST (tą zależność wyprowadzimy później).
Jeśli , to (liczba zespolna)
.
Z równania otrzymamy:
O stabilności układów ciągłych decyduje: , - obojętne, ale wprowadza oscylacje
Czyli: , a stąd - powstaje warunek stabilności systemów dyskretnych
Oraz = 0 w systemach ciągłych – granica stabilności,
Czyli: - granica stabilności systemu dyskretnego
- jako moduł liczby zespolonej z - wyraża okrąg o promieniu na płaszczyźnie liczb
zespolonych.
Natomiast drugi człon - wprowadza okresowość , ale jest
ograniczone, więc nie zagraża stabilności!!
A teraz wyjaśnijmy, skąd się bierze zależność .
Ona musi się wziąć z DYSKRETYZACJI (próbkowania impulsami sygnału ciągłego).
1
1-1
-1
Im z
Re z
Obszar stabilności systemu dyskretnego
Matematyczny impulsator (wyidealizowany) zapisany jako ciąg:
Ma on taką własność, że wszędzie poza punktem t = kT.
Spróbkowany sygnał x* (t) jest nieskończonym ciągiem impulsów o amplitudach x(t = kT) i
może być opisany sumą nieskończoną:
Jak to matematycznie powstaje?
Sygnał x* (t) jest równy iloczynowi ciągłego wejścia x(t) i matematycznego impulsatora
:
Jeśli podstawimy , to otrzymamy:
- transformatę Z.
x(t)
t
x*(t)
t
sygnałspróbkowany
X(s) Tx*(t)
X*(s)
x(t)
tT 2T 4T 6T
T
WNIOSEK: Jeśli ciągły sygnał x(t) jest okresowo próbkowany (impulsami ), to uzyskany
matematyczny zapis: - transformaty Z,
przy czym pomiędzy zmienną zespoloną a zmienna zespoloną istnieje
wzajemna jednoznaczna zależność: czyli .
Kryteria stabilności systemów dyskretnych
Aby zbadać, czy dyskretny UAR jest stabilny, trzeba rozstrzygnąć, czy wszystkie
pierwiastki z1, z2, ... , zm jego równania ch-nego Mz(z) = 0 leżą w kole jednostkowym, tzn. czy
spełniają nierówności
Można to wykazać na dwa, zasadniczo różne, sposoby.
1. Dokonać odwzorowania płaszczyzny zmiennej zespolonej na płaszczyznę innej zmiennej
zespolonej, powiedzmy . Odwzorowanie to przekształca okrąg jednostkowy w oś liczb
urojonych, a jego wnętrze w lewą półpłaszczyznę.
Teraz; badanie czy pierwiastki równania ch-nego zmiennej zespolonej leżą w kole
jednostkowym sprowadza się do pytania: czy pierwiastki równania ch-nego powstałego
przez odpowiednią zamianę zmiennej zespolonej na zmienną zespolona leżą w lewej
półpłaszczyźnie. Ten problem można rozwiązać stosując znane kryteria stabilności z
analizy systemów ciągłych.
2. Druga klasa metod to wykorzystanie kryteriów opracowanych specjalnie dla systemów
dyskretnych (np. kryterium Jury’ego). Niektóre z nich sa po prostu dyskretnymi
odpwiednikami kryteriów dla systemów ciągłych; Nyquist, Hurwitz, Michajłow.
Ad. 1. przekształcenie półpłaszczyzny w koło.
Posłużmy się odwzorowaniem (tzw. homograficznym, które przekształca całą
płaszczyznę domkniętą z pktem w nią samą):
Odwzorowanie z = T (w) przekształca:
Oś Im w w okrąg (granica stabilności);
Lewą półpłaszczyznę we wnętrze koła jednostkowego, czyli w zbiór punktów
dla których ;
Prawą półpłaszczyznę w zewnętrze koła jednostkowego, czyli w zbiór
punktów z takich, że .
Te własności (i inne dodatkowe mniej istotne) pozwalają sprawdzić stabilność DUAR za
pomocą obliczenia, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego
leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej w.