Vzorove zkou´ ˇskov e ot´ ´azky - maticeweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1920ZS_B1/zk_matice.pdf · zaplatila 60 Euro. Kolik stoj´ı l ´ıstek pro studenta a kolik pro dospelˇ eho´

Vzorove zkouskove otazky - matice

Kristyna Kuncova

Matematika B1 19/20

Kristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 1 / 74

Linearnı rovnice

Prıklad

y = ax + b

Najdete ulohu, ktera

1. ma prave jedno resenı2. ma prave dve resenı

3. ma nekonecne mnoho resenı4. nema zadne resenı


ZOO

Prıklad

Studenti a pedagogove sli doVıdenske ZOO. Skupina 6 studenteka 2 ucitelu zaplatila 100 Euro.Skupina 4 studentu a 1 ucitelkyzaplatila 60 Euro. Kolik stojı lıstekpro studenta a kolik pro dospelehopedagoga? Zdroj: https://www.milevskem.cz/event-pro/zajezd-

do-zoo-praha/

6x + 2y = 1004x + y = 60

(6 2 | 1004 1 | 60

)x = 10, y = 20


ZOO podruhe

Prıklad

Studenti a pedagogove sli doVıdenske ZOO. Skupina 6 studentua 2 ucitelu zaplatila 100 Euro.Skupina 3 studentek a 1 ucitelkyzaplatila 50 Euro. Kolik stojı lıstekpro studenta a kolik pro dospelehopedagoga? Zdroj: https://www.milevskem.cz/event-pro/zajezd-

do-zoo-praha/

6x + 2y = 1003x + y = 50

(6 2 | 1003 1 | 50

)

x = t, y = 50− 3t, t ∈ R


ZOO potretı

Prıklad

Studenti a pedagogove sli doVıdenske ZOO. Skupina 6 studentua studentek a 2 ucitelu zaplatila100 Euro. Skupina 3 studentu a 1ucitelky zaplatila 40 Euro. Kolikstojı lıstek pro studenta a kolik prodospeleho pedagoga? Zdroj: https://www.milevskem.cz/event-pro/zajezd-

do-zoo-praha/

6x + 2y = 1003x + y = 40

(6 2 | 1003 1 | 40

)

nema resenı


Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic. Jake je resenı tetosoustavy?

Zdroj: http://mathquest.carroll.edu/libraries/ALG.student.edition.pdf

A (−6; 0)B (−3;−2)C (−2; 4)

D soustava nema resenı

E soustava ma nekonecne mnohoresenı

B


Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic. Jake je resenı tetosoustavy?


A (0;−6)B (0; 1)C (3; 0)

D soustava nema resenı

E soustava ma nekonecne mnohoresenı

DKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 7 / 74

Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic. Jake soustave odpovıdaobrazek?


A 3x + 3y = −6, 4x + 2y = 3B x− y = −5, 2x + 4y = 4

C −8x + 4y = 12, 2x + 4y = −8D −x + 3y = 9, 2x− y = 4

C


Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic. Jake soustave odpovıdaobrazek?


A −x + 3y = 6, 2x + 6y = −6B −x + 3y = 6, 2x + 6y = 12

C x + 3y = 6, 2x + 6y = 12D x + 3y = 6, x + 3y = −3

C


Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic. Jaky obrazek odpovıdasoustave

3x− y = 2−9x + 3y = −6

Zdroj: http://mathquest.carroll.edu/libraries/ALG.student.edition.pdfBKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 10 / 74

Graficke resenı

OtazkaNa obrazku je graficke znazornenı soustavy trı rovnic o 2 neznamych. Kolikma soustava resenı?


A 0B 1

C 2D 3

E ∞

A


Soustavy s parametrem

Prıklad

Necht’ k ∈ R je parametr. Pro jake hodnoty k ma nasledujıcı soustava

x + ky = 1kx + y = 1

1. prave 1 resenı,2. nekonecne mnoho resenı,3. nema resenı?

k ∈ R \ {±1}, k = 1, k = −1


Matice

OtazkaKtera matice znazornuje nasledujıcı soustavu rovnic?

x + 2y = 34y + 5x = 6

A (0 2 | 34 5 | 6

)B (

1 2 | 34 5 | 6

)C (

1 2 | 35 4 | 6

)D (

0 2 | 35 4 | 6

)C


Matice

OtazkaKtera matice znazornuje nasledujıcı soustavu rovnic?

x = 6y = 3

A (1 | 61 | 3

)B (

1 1 | 9)

C (1 0 | 60 1 | 3

)

C


Matice

OtazkaKtere upravy matice jsou ekvivalentnı?

A Prohozenı dvou radku.B Prohozenı dvou sloupcu.C Vynasobenı radku libovolnym cıslem.D Prictenı vynasobeneho radku k jinemu radku.E Smazanı radku.

A, D


Matice

OtazkaNa 1. obrazku je graficke znazornenı soustavy rovnic o 2 neznamych.Soustavu jsme prevedli do matice a v nı provedli nekolik ekvivalentnıchuprav. Ktery obrazek znazornuje upravenou matici?

CKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 16 / 74

Mobil

Prıklad

Zdroj: http://solveme.edc.org/mobilesKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 17 / 74

Mobil podruhe

Prıklad

Zdroj: http://solveme.edc.org/mobiles


Mobil potretı

Prıklad

Zdroj: http://solveme.edc.org/mobiles


Matice

OtazkaJake je resenı soustavy s touto maticı?1 0 0 | 2

0 1 0 | 30 0 1 | 4

A x = 2, y = 3, z = 4B x = −1, y = 1, z = 1C nekonecne mnoho resenıD nema resenıE nelze urcit

A


Matice

OtazkaJake je resenı soustavy s touto maticı?1 0 0 | 2

0 1 0 | 30 0 0 | 4

A x = 2, y = 3, z = 4B x = −1, y = 1, z = 1C nekonecne mnoho resenıD nema resenıE nelze urcit

D


Matice

Otazka

Jaka matice NENI ekvivalentnı nasledujıcı matici?2 1 3 | 10 1 3 | 41 2 0 | 4

A 2 4 0 | 8

0 1 3 | 42 1 3 | 1

B 2 1 3 | 1

0 1 3 | 41 3 3 | 8

C 1 2 3 | 11 0 3 | 42 1 0 | 4

C


Matfyzacka ZOO

Prıklad

Pavouk ma 8 ocı, 8 nohou a zadnerohy. Nosorozec ma 2 oci, 4 nohya 3 rohy. Hlemyzd’ ma 2 oci, zadnenohy, 2 rohy. Jacksonuv chameleonma 2 oci, 4 nohy a 3 rohy. V mat-fyzacke zoo majı dohromady 14 ocı,20 nohou a 9 rohu. Kolik jakychzvırat se tam nachazı? Zdroj: https://commons.wikimedia.org/wiki/

File:Jackson%27s Chameleon 2 edit1.jpg8 2 2 2 | 148 4 0 4 | 200 1 2 3 | 9

Obecne resenı: (0, 5, 2, 0) + t(1,−5,−2, 3), t ∈ R.Nezaporna cela resenı jsou jen pro t ∈ {0, 1}, tedy (0, 5, 2, 0) nebo(1, 0, 0, 3).


TNT

Prıklad

C7H8 + HNO + 3 −→ C7H5O6N3 + H2O

Chemicka reakce toluenu a kyseliny dusicne- vznikne TNT a voda. Tuto rovnici je trebavycıslit, tedy

xC7H8+yHNO+3 −→ zC7H5O6N3+vH2O Zdroj: https://www.amazon.com/Classic-Dynamite-Explosion-Cartoon-Sticker/dp/B07N1C9LMP

Dostaneme soustavu7x = 7z

8x + y = 5z + 2v

y = 3z

3y = 6z + v

z = v3 , x = v

3 , y = v, Zdroj:skripta Barto, TumaKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 24 / 74

Soustavy vıce rovnic

Prıklad (Pravda – Nepravda)

1. Soustava sestava ze trı rovnic o trech neznamych. Pak ma prave jednoresenı.Nepravda.

2. Soustava sestava ze trı rovnic o ctyrech neznamych. Pak muze mıtjednoznacne resenı.Nepravda.


Graficke resenı

Otazka

Linearnı rovnici o dvou neznamych lze reprezentovat prımkou v R2. Jakmuzeme nejlepe reprezentovat rovnici o trech neznamych?

A Prımkou v R2

B Prımkou v R3

C Rovinou v R3

D Telesem v R3

C


Graficke resenı

OtazkaMejme soustavu trı rovnic o trech neznamych takovou, ze ma nekonecnemnoho resenı. Co muzeme rıct o rovinach, ktere reprezentujı jednotliverovnice?

A Vsechny tri rovnice urcujı stejnou rovinu.B Nejmene dve ze trı rovnic musı urcovat stejnou rovinu.C Ty tri roviny se protınajı v jedne prımce.D Vsechny tri roviny jsou rovnobezne.E Vıce moznostı je spravne.

E


Graficke resenı

OtazkaMejme soustavu trı rovnic o trech neznamych takovou, ze nema zadneresenı. Co muzeme rıct o rovinach, ktere reprezentujı jednotlive rovnice?

A Vsechny tri roviny musı byt rovnobezne.B Alespon dve roviny musı byt rovnobezne.C Alespon dve rovnice reprezentujı stejnou rovinu.D Ani jedna rovina neprotına jinou rovinu.E Ani jedna moznost.

E


Matice a graficke resenı

OtazkaNasledujıcı matice reprezentuje soustavu trı rovnic o trech neznamych. Jakbude vypadat graficke znazornenı?1 0 3 | 2

0 1 2 | 30 0 0 | 0

A Vsechny tri rovnice reprezentujı stejnou rovinu.B Obe dve rovnice reprezentujı stejnou rovinu.C Dve roviny, ktere majı spolecnou prımku.D Jakykoli obrazek, ktery ma za prunik rovinu.E Toto nelze geometricky znazornit.

C


Matice a graficke resenı

OtazkaNasledujıcı matice reprezentuje soustavu trı rovnic o trech neznamych. Jakbude vypadat graficke znazornenı?1 0 0 | 2

0 1 0 | 30 0 0 | 4

A Dve prımky, jez se protınajı v bode x = 2, y = 3.B Tri rovnobezne roviny.C Tri nerovnobezne roviny, ktere se ale nemajı spolecny bod.D Toto nelze geometricky znazornit.

D


Soustavy o vıce neznamych

Otazka

Mejme soustavu 5 rovnic o 7 neznamych. Pak NEmuze mıt praveA 0 resenıB 1 resenıC nekonecne mnoho resenıD A-C muze byt.

B


Ctvercova matice

OtazkaJakeho typu je matice (

6 11 −223 31 5

)A 2x3 B 3x2 C 6

A


Stejne matice

OtazkaJsou si matice A a B rovne?

A =

1 2 34 0 4−1 −2 5

B =

4 0 41 2 3−1 −2 5

Ne. Ale jsou ekvivalentnı.


Scıtanı matic

Otazka

Necht’

A =

(4 6

20 24

) B =

(2 53 7

).

Kolik je A + B?

A 71B (

6 97 11

)C (

6 1123 31

)

D (26 62

112 268

)E (

4 6 2 520 24 3 7

)

C


Nasobenı matice skalarem

Otazka

A =

(4 6

20 7

)Kolik je 5A?

A (9 620 7

)B (

9 1125 12

)C (

20 620 7

)D (

20 30100 35

)D


Transponovana matice

Otazka

A =

2 3 10 −1 3−2 0 4

.

Kolik je AT?

A

AT =

2 3 10 −1 3−2 0 4

B

AT =

2 0 −23 −1 01 3 4

C

AT =

−2 0 40 −1 32 3 1

D

AT =

1 3 43 −1 02 0− 2

B


Linearnı kombinace

Otazka

Necht’ u = (1, 2, 4) a v = (−2, 0, 5). Pak 2u− 3v jeA (−4, 4, 23)B (8, 4,−7)C (8, 4, 23)D (7, 6, 2)

B


Linearnı kombinace

Otazka

Napiste z = (−5, 3, 6) jako linearnı kombinaci x = (1,−1, 4) ay = (−3, 2, 6).

A −5x

B −2x + y

C x + 2y

D 2x + y

E z nelze zapsatE


Linearnı kombinace

Otazka

Napiste vektor w jako linearnı kombinaci vektoru u a v.

A w = 2u + vB w = u + vC w = −u + v

D w = u− v

E w takto nelze zapsat

A


Linearnı kombinace

Otazka

Uvazujme vektory (3, 1, 2) a (5, 0, 1). Jaky z nasledujıcıch vektoru NENIjejich linearnı kombinacı?

A (6, 2, 4)B (8, 0, 3)C (8, 1, 3)

D (2,−1,−1)

E (40, 5, 15)

B

Otazka

Uvazujme vektory (3, 1, 2) a (5, 0, 1). Ktera z nasledujıcıch tvrzenı jsoupravdiva?

A Kazdy vektor v R3 lze zapsat jako jejich linearnı kombinaci.B Nektere vektory v R3 lze zapsat jako jejich linearnı kombinaci, ale

vsechny ne.C Kazdy vektor v R2 lze zapsat jako jejich linearnı kombinaci.

BKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 40 / 74

Linearnı kombinace

Otazka

Ktery z nasledujıcıch vektoru lze zapsat jako linearnı kombinaci vektoru(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)?

A (0, 2, 0)B (−3, 0, 1)C (0.4, 3.7,−1.5)

A, B, C

Otazka

Jak byste popsali mnozinu vsech linearnıch kombinacı vektoru (1, 2, 0) a(−1, 1, 0)?

A bodB prımkaC rovinaD prostor

C


Linearnı zavislost a nezavislost

Otazka

Vektory (1, 0, 0), (0, 0, 2), (3, 0, 4) jsouA linearne zavisleB linearne nezavisle

A



OtazkaKtere vektory jsou linearne zavisle?

A u,w

B t,w

C t, v

D t, u, v

E vsechny jsou nezavisle

B, DKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 43 / 74


OtazkaKtere vyroky jsou pravdive?

A 4 vektory z R3 mohou byt linearne nezavisle.B 3 vektory z R3 mohou byt linearne nezavisle.C 2 vektory z R3 musı byt linearne nezavisle.

B

OtazkaKtera tvrzenı jsou ekvivalentnı k vyroku: u, v, w jsou linearne nezavisle.

A Jedine resenı rovnic au + bv + cw = 0 je a = b = c = 0.B w nelze zapsat jako linearnı kombinaci vektoru u a v.C Zadny vektor nenı nasobkem jineho.

A



Otazka

Ktere z nasledujıcıch vyrazu jsou linearnı kombinacı funkcı f (x) a g(x)?A 2f (x) + 3g(x) + 4B f (x)− 2g(x) + x

C 2f (x)g(x)− 3f (x)

D f (x)− g(x)

E 4f (x)

D, E


Hodnost matice

Otazka

Necht’

A =

5 4 −8 11 3 4 80 2 1 3−1 −2 4 1

.

Po Gaussove eliminaci dostavame1 0 0 10 1 0 10 0 0 10 0 0 0

.

Jaka je hodnost A?

A 0B 1

C 2D 3

E 4

D


Hodnost matice

Otazka

Z vektoru x, y, u, v a w jsme sestavili matici. Jaka je hodnost teto matice?

A 1B 2C 3D 4E 5

B


Hodnost matice

Otazka

Z vektoru x, y, u, v a w jsme sestavili sloupce matice. Jaka je hodnost tetomatice?

A 1 B 2 C 3 D 4 E 5

B

Otazka

Necht’ A je typu 4x4 a ma hodnost 3. Jsou jejı sloupce linearne nezavisle?Ne.


Resenı soustav

OtazkaJestlize radky matice jsou linearne zavisle, kolik resenı ma soustava Ax = 0?

A 0B 1C ∞D nelze urcit

C


Nasobenı matic - prıklady

OtazkaJaky je soucin A× B, jestlize

A =

(2 0−3 1

) B =

(0 −12 2

)

A(

3 −1−2 2

)B(

0 −22 5

) C(

0 0−6 2

)D ani jedna z moznostı

E soucin A× B nenı definovan

B



OtazkaJaky je soucin A× B, jestlize

A =

(2 13 2

) B =

(4−1

)

A(

52

)B(10 7

)C(

8 4−3 −2

)D(

710

)E soucin A× B nenı definovan

D



Otazka

Necht’ A a B jsou matice typu 2x3. Ktere z nasledujıcıch operacı nejsoudobre definovany?

A A + BB ATBC BA

D ABT

E AB

E, C

OtazkaAbychom mohli vynasobit matice A× B, tak

A A a B musı mıt stejny pocet radkuB A a B musı mıt stejny pocet sloupcuC pocet radku A musı byt stejny jako pocet sloupcu B

D pocet sloupcu A musı byt stejny jako pocet radku B

D



Otazka

Necht’ A je matice typu 2x3 a B je typu 3x6. Jakeho typu je AB?A 2x6B 6x2C 3x3D 2x3E 3x6

A



OtazkaMejme vektory x a y jako na obrazku. Mejme navıc matici A takovou, zeAx = 0. Je pak pravda, ze Ay = 0?

Ano.



Otazka (Pravda / Nepravda)

Necht’ A a B jsou ctvercove matice stejne dimenze. Pak

(A + B)× (A + B) = A2 + 2AB + B2.

Nepravda

Otazka

Mejme matice A, B a C takove, ze jejich soucin ABC je definovan. Cemu sepak rovna (ABC)T?

A ATBTCT

B BTCTAT

C ATBTCT

D CTATBT

E CTBTAT

E


Zmrzlinarna

Otazka

Vlastnıte dve ruzne zmrzlinarny. V prvnım kramku prodate denne 5hektolitru vanilkove a 8 cokoladove zmrzliny. Ve druhem prodate 6vanilkove a 10 cokoladove za den. Obchody jsou ovsem otevreny ruzne,naprıklad v cervnu byl prvnı obchod otevren c1 dnı, kdezto druhy c2. Kteryvyraz vyjadruje vas celkovy prodej vanilkove a celkovy prodej cokoladovezmrzliny (kazde zvlast’) za cely mesıc?

A

c1

(58

)+ c2

(6

10

)B (

5 68 10

)(c1c2

)C (

5c18c1

)+

(6c2

10c2

)D Neco jineho

B, CKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 56 / 74

Inverznı matice – prıklad

OtazkaJaka je inverznı matice k matici

A =

(0 42 0

)A (

0 42 0

)B (

4 00 2

)C (

0 1/41/2 0

)D (

0 1/21/4 0

)

D



OtazkaKtere z nasledujıcıch matic nemajı invers?

A (1 23 4

)B (

2 24 4

)C (

−1 00 3

)D (

0 42 0

)E Vsechny majı invers.

B



Otazka

Necht’ A B jsou invertibilnı matice. Necht’ AB = C. Jak vypada inverznımatice k C?

A A−1B−1

B B−1A−1

C AB−1

D BA−1

E C nemusı mıt invers

B

Otazka (Pravda - Nepravda)

Necht’ A, B a C jsou ctvercove matice takove, ze AC = BC. Pak A = B.Nepravda.


Necht’ A, B a C jsou ctvercove matice takove, ze B = CA a A je regularnı.Pak C = A−1B.Nepravda.


Determinant - otazky

OtazkaUrcete determinant matice (

5 41 3

)A 4B 11

C 15D 19

B



OtazkaUrcete determinant matice 5 2 −1

0 3 40 0 1

A 0B 6

C 15D 22

C



OtazkaVıme, ze

det

−1 15 162 5 42 3 5

= −107.

Kolik je

det

2 5 42 3 5−1 15 16

?

A -107B 107

C neco jineho

A



OtazkaVıme, ze

det

−1 15 162 5 42 3 5

= −107.

Kolik je

det

15 −1 165 2 43 2 5

?

A -107B 107

C neco jineho

B



OtazkaVıme, ze

det

−2 1 32 0 41 3 1

= 44.

Kolik je

det

−2 1 30 1 71 3 1

?

A 44B -44

C 88D neco jineho

A



OtazkaVıme, ze

det

−2 1 32 0 41 3 1

= 44.

Kolik je

det

−2 1 32 0 40 7 5

?

A 44B -44C 88

D 22

E neco jineho

C



Otazka

Necht’ detA = 3. Kolik je detA−1?

A 1/3B 3

C 9D tezko rıct.

A

Otazka

Necht’ A je matice typu 2x2. Kolik je det(5A)?

A 5detAB 10 detA

C 25detAD tezko rıct

C



OtazkaVıme, ze

det

−2 1 32 0 41 3 1

= 44.

Kolik je

det

−2 2 11 0 33 4 1

?

A 44B 1/44C 88

D 22E -44F neco jineho

A



Otazka

Je pravda, ze det(A + B) = detA + detB?Zkuste svuj nazor podporit nejakym prıkladem nebo oduvodnenım.Ne.


Determinant matice je roven 0 prave tehdy, jestlize obsahuje 2 identickeradky.Nepravda

OtazkaJestlize detA = 0, pak

A vektory matice A jsou linearne nezavisle.B vektory matice A jsou linearne zavisle.C tezko rıct.

B


Vlastnı cısla - otazky

Otazka

Ktery z nasledujıcıch vektoru je vlastnım vektorem matice(2 −1−4 −1

)

A (4, 1)B (−1, 4)C (1, 4)D (−1,−4)E ani jeden z nich

D



Otazka

Vektor x = (1, 3) je vlastnım vektorem matice A. Jestlize Ax = (4, 12)T ,jake je prıslusne vlastnı cıslo?

A 1B 2C 3D 4E nejake jine

D



Otazka

Vektor t je vlastnım vektorem matice A. Jaky muze byt vysledek At?

A u

B v

C w

D Neco jineho

C



Otazka

Vektor u je vlastnım vektorem matice A a navıc Au = v. Jaky muze bytvysledek Av?

A uB v

C wD x

E y

EKristyna Kuncova Vzorove zkouskove otazky - matice 72 / 74


Otazka

Vektor (4/3, 1) je vlastnım vektorem matice(

2 43 1

). Jake k nemu prıslusı

vlastnı cıslo?A 4/3B 5C −2D 1

B



Otazka (Pravda / Nepravda)

Kazda nenulova linearnı kombinace dvou vlastnıch vektoru matice A jevlastnım vektorem A.Pravda.


Vzorove zkou´ ˇskov e ot´ ´azky - maticeweb.natur.cuni.cz/~kunck6am/1920ZS_B1/zk_matice.pdf · zaplatila 60 Euro. Kolik stoj´ı l ´ıstek pro studenta a kolik pro dospelˇ eho´

Documents