-
Peti susret Hrvatskog drutva za mehaniku Terme Jezerica, Donja
Stubica, 6.-7. lipnja 2013.
TRAJNA DINAMIKA VRSTOA KORIJENA ZUBA ZUPANIKA
Vukovi, K., Gali, I. & egec, N.
Saetak: U radu je, primjenom metode konanih elemenata, provedena
nelinearna analiza naprezanja zupanika u zahvatu. Predmet analize
su geometrijski idealni zupanici s vanjskim evolventnim ozubljenjem
ravnim zubima. Pretpostavljeno je da su oba zupanika izraena iz
istog materijala te da je materijal homogen, izotropan i linearno
elastian.
Modeliranjem kontakta izmeu zubi te simuliranjem njihovog
prolaska kroz zahvat odreen je ciklus naprezanja za svaki pojedini
vor na prijelaznoj krivulji analiziranog korijena zuba pogonskog
zupanika pri emu su u obzir uzeti veliki pomaci. Potom je, za svaki
od promatranih vorova, analitikim postupkom odreena trajna dinamika
vrstoa na osnovu pripadajueg ciklusa naprezanja i Smithovog
dijagrama te izraunan faktor sigurnosti kao omjer te trajne
dinamike vrstoe i najveeg naprezanja u pripadajuem ciklusu.
Trajna dinamika vrstoa vora na prijelaznoj krivulji korijena
zuba s najmanjim faktorom sigurnosti poistovjeena je s trajnom
dinamikom vrstoom korijena zuba, a poloaj tog vora s poloajem
kritinog mjesta. Dobivene vrijednosti usporeene su s odgovarajuima
izraunanim konvencionalnim proraunom. Kljune rijei: zupanik,
Smithov dijagram, trajna dinamika vrstoa, MKE
1 UVOD
Zupanik je ozubljeni strojni element koji u paru s drugim takvim
elementom ili ozubljenom letvom slui za mehaniki prijenos snage i
gibanja. Pri prolasku zuba kroz zahvat, savojno optereenje kojem je
izloen korijen zuba mijenja svoj poloaj, smjer i intenzitet. Kao
posljedica takvog optereenja, naprezanje u korijenu zuba je
promjenljivo, a kako se ponavlja sa svakim novim okretajem zupanika
ono je i cikliko. Da ne bi dolo do zamornog loma zuba, a time i do
neeljenih posljedica, zupanici se konstruiraju s obzirom na trajnu
dinamiku vrstou korijena zuba.
Prema normi ISO 6336 [6], trajna dinamika vrstoa korijena zuba
je najvee naprezanje koje zubi uz 99 % pouzdanost izdre bez pojave
loma nakon 3106 ciklusa promjene naprezanja. Vrijednosti trajnih
dinamikih vrstoa FE za razliite materijale koje se upotrebljavaju
za izradu zupanika navedene su u spomenutoj normi, a dobivene su
ispitivanjem na savijanje glatkih uzoraka pri istom istosmjernom
ciklusu naprezanja (znaajka ciklusa je R = 0). Poznato je da u
trenutku izlaska zuba iz zahvata naprezanje u korijenu aktivnog
boka zuba, a zbog utjecaja optereenja sa susjednog zuba, iz vlanog
podruja prelazi dijelom i u tlano [7], [9], [10] i [11]. Budui da
trajna dinamika vrstoa FE ne uzima u obzir tlani dio ciklusa
naprezanja u korijenu zuba, ve samo vlani, u ovom je radu na
primjeru konkretnog zupanog para predloen postupak za odreivanje
stvarnog ciklusa naprezanja te pripadajue (korigirane) trajne
dinamike vrstoe korijena zuba manjeg zupanika FEkor.
219
-
2 NUMERIKI MODEL ZA ODREIVANJE CIKLUSA NAPREZANJA Ciklus
naprezanja u korijenu zuba gonjenog zupanika odreen je
nelinearnom
analizom primjenom metode konanih elemenata (MKE) uz
pretpostavku velikih pomaka. Predmet analize provedene u okviru
komercijalnog programskog paketa ABAQUS su geometrijski idealni
zupanici s vanjskim evolventnim ozubljenjem ravnim zubima.
Dvodimenzijski modeli zupanika kreirani su u skladu s podacima
navedenim u tablici 1. te diskretizirani pomou nekompatibilnih
etverokutnih konanih elemenata prvog reda za ravninsko stanje
naprezanja oznake CPS4I [5].
Tablica 1. Podaci o zupanom paru (duljine u mm)
Naziv Simbol Iznos Pogonski zupanik Gonjeni zupanik Broj zubi z
54 20 Modul m 5 irina zupanika b 10 Diobeni promjer d 270 100
Osnovni profil ozubnice - ISO 53 profil A Razmak osi a 185
Podruja u blizini prijelaznih krivulja korijena te aktivnih
bokova zubi koji prolaze
kroz analizirani zahvat, diskretizirana su manjim elementima, a
njihova konana veliina odreena je ispitivanjem konvergencije
rezultata, vidi sliku 1.
Sl. 1. Diskretizirani modeli zupanika u zahvatu s rubnim
uvjetima
Gonjeni zupanik optereen je okretnim momentom T = 250 Nm
posredno preko
referentne toke O2, dok je kut zakreta pogonskog zupanika 1
zadan takoer posredno, ali preko referentne toke O1, vidi sliku 1.
Referentna toka O2 povezana je
220
-
kinematskom vezom s vorovima na unutarnjem rubu gonjenog
zupanika, a referentna toka O1 s vorovima na unutarnjem rubu
pogonskog zupanika. U konanici, objema referentnim tokama
onemogueni su translacijski pomaci. Prijenos optereenja s jednog na
drugi zupanik ostvaren je modeliranjem kontakta izmeu aktivnih
bokova zubi u zahvatu uz zanemarivanje trenja. Kontakt je simuliran
pomou metode Lagrangeovih multiplikatora, a u programskom paketu
ABAQUS je obuhvaen kroz odabir opcije hard contact. Prolazak zuba
kroz zahvat simuliran je pak inkrementiranjem kuta zakreta
pogonskog zupanika 1 do konane vrijednosti od 27. Pretpostavljeno
je da su oba zupanika izraena od elika 18CrNiMo7-6 te da je on
homogen, izotropan i linearno elastian. Podaci o materijalu dani su
tablici 2. Tablica 2. Podaci o materijalu
elik 18CrNiMo7-6 Modul elastinosti E 206 000 MPa Poissonov
faktor 0,3 Trajna dinamika vrstoa za R = 0, [6] 0 = FE 1 000 MPa
Trajna dinamika vrstoa za R = -1, [6] -1 0,7FE 700 MPa Granica
razvlaenja, [5] Re 850 MPa Granica teenja za savojno optereenje,
[8] ts 1,4Re 1 190 MPa
3 ODREIVANJE TRAJNE DINAMIKE VRSTOE Iz rezultata numerike
analize pomou MKE dobivena je promjena normalnog naprezanja u
smjeru tangente na prijelaznu krivulju korijena zuba u ovisnosti o
kutu zakreta gonjenog zupanika 2 koji je s kutom 1 povezan preko
prijenosnog omjera i. Pretpostavi li se da dobivena ovisnost ujedno
predstavlja i ciklus naprezanja te da on odgovara jednom okretaju
zupanika tada se prema Smithovom dijagramu trajna dinamika vrstoa
FEkor bilo kojeg vora na prijelaznoj krivulji korijena zuba
gonjenog zupanika moe odrediti iz izraza
1FEkor,min ,max 0 1
,max 11
VV V V V VV V
, (1)
gdje su -1 i 0 trajne dinamike vrstoe za ciklus naprezanja sa
znaajkom R = -1 odnosno R = 0, a ,max i ,min maksimalno odnosno
minimalno naprezanje u ciklusu. S tim da u sluaju kada je FEkor
> ts, vrijedi da je FEkor = ts, gdje je ts granica teenja pri
savojnom optereenju. Sigurnost S u pojedinom voru na prijelaznoj
krivulji korijena zuba izraunana je prema izrazu
FEkor,max
S VV , (2)
gdje je FEkor trajna dinamika vrstoa, a ,max maksimalno
naprezanje pripadajueg ciklusa.
U konanici, trajna dinamika vrstoa vora na prijelaznoj krivulji
korijena zuba s najmanjim faktorom sigurnosti poistovjeena je s
trajnom dinamikom vrstoom korijena zuba, a poloaj tog vora s
poloajem kritinog mjesta.
221
-
4 PRIKAZ I ANALIZA REZULTATA
Promjena normalnog naprezanja u ovisnosti o kutu zakreta 2
odreena je za sve vorove na prijelaznoj krivulji promatranog
korijena zuba gonjenog zupanika, a na slici 2. dana je za 4
karakteristina vora. Utvreno je da se najvee naprezanje ,max u svim
vorovima prijelazne krivulje javlja uvijek pri istom kutu zakreta 2
koji odgovara poetku jednostrukog zahvata promatranog zuba.
Navedeno ne vrijedi za minimalno naprezanje ,min budui se ono,
ovisno o promatranom voru, javlja pri razliitim iznosima kuta
zakreta 2. Kod veine vorova taj kut odgovara poetku jednostrukog
zahvata zuba koji u zahvatu slijedi promatranog. U onim sluajevima
kada to ne vrijedi, razlike u odnosu na stvarna minimalna
naprezanja su zanemarive.
Sl. 2. Promjena normalnog naprezanja u karakteristinim vorovima
na
prijelaznoj krivulji u ovisnosti o kutu zakreta pogonskog
zupanika 2
Promjena maksimalnog naprezanja u ciklusu ,max, minimalnog ,min,
srednjeg ,sr te amplitude ,a u ovisnosti o kutu tangente na
prijelaznu krivulju korijena zuba prikazana je na slici 3. Moe se
uoiti da je u gotovo svim vorovima na prijelaznoj krivulji korijena
zuba ciklus naprezanja naizmjenian. Jednako tako moe se uoiti da
kut tangente u voru s najveim naprezanjem u korijenu zuba iznosi
38, te se shodno tome ne nalazi na kritinom presjeku odreenom kutom
= 30 kako to sugerira konvencionalni proraun opisan u normi ISO
6336 [6].
Promjena faktora sigurnosti S u ovisnosti o kutu tangente na
prijelaznu krivulju korijena zuba prikazana je na slici 4. Vidljivo
je da se poloaj vora s najmanjim faktorom sigurnosti ne podudara s
vorom na kritinom presjeku prema normi ISO 6336 [6]. Takoer ne
podudara se ni s vorom u kojem je naprezanje u korijenu zuba
najvee, ali ni s vorom u kojem je amplituda naprezanja najvea.
Navedeno je posljedica neproporcionalne raspodjele naprezanja ,max
i naprezanja ,min na prijelaznoj krivulji korijena zuba te utjecaja
srednjeg naprezanja ,sr.
222
-
Sl. 3. Promjena normalnog naprezanja u ovisnosti o kutu
tangente na prijelaznu krivulju
Sl. 4. Faktor sigurnosti S u ovisnosti o kutu tangente na
prijelaznu krivulju
Tablica 3. Usporedba rezultata u karakteristinim vorovima na
prijelaznoj krivulji vor , ,max, MPa FEkor, MPa S S najmanjim
faktorom sigurnosti 42,6 272,4 956,6 3,51 S najveim naprezanjem 38
274,6 971,2 3,54 S najveom amplitudom naprezanja 59 239,9 884,4
3,69 Na kritinom presjeku prema ISO 6336 [6] 30 269,3 990,0
3,68
223
-
Usporedba rezultata u karakteristinim vorovima na prijelaznoj
krivulji korijena zuba dana je u tablici 3 Moe se uoiti da su
razlike izmeu faktora sigurnosti u pojedinim vorovima relativno
male.
Najvee naprezanje u korijenu zuba izraunano konvencionalnim
proraunom iznosi F0 = 284,5 MPa. Kako je trajna dinamika vrstoa
korijena prema konvencionalnom proraunu FE = 1000 MPa to faktor
sigurnost korijena zuba iznosi S = 3,52, to je gotovo identino
najmanjem faktoru sigurnosti S = 3,51 iz tablice 3. Posljednje se
moe objasniti injenicom da konvencionalni proraun precjenjuje ne
samo trajnu dinamiku vrstou, ve i najvee naprezanje u korijenu zuba
zbog ega faktor sigurnosti korijena zuba izraunan pomou njega ne
odstupa bitno od onog odreenog postupkom opisanim u ovom radu.
5 ZAKLJUAK
U radu je predstavljen postupak za odreivanje trajne dinamike
vrstoe korijena zuba zupanika koji za razliku od konvencionalnog
prorauna uzima u obzir i tlani dio ciklusa naprezanja. Usporedbom
dobivenih vrijednosti s odgovarajuima izraunanim konvencionalnim
proraunom utvreno je da konvencionalni proraun pogreno
pretpostavlja poloaj kritinog mjesta. Pored navedenog, precjenjuje
kako trajnu dinamiku vrstou tako i najvee naprezanje u korijena
zuba zupanika to je i osnovni razlog zbog kojeg ne dolazi do bitne
promjene faktor sigurnosti korijena zuba u odnosu na onog dobivenog
ovdje opisanim postupkom.
Literatura:
[5] ABAQUS 6.12, Dassault Systemes, Simulia, 2012. [6] ISO 6336,
Calculation of Load Capacity of Spur and Helical Gears, ISO, 2006.
[7] Linke H, Brner J., The influence of neighbouring teeth on the
tooth root capacity, International Gearing Conference. Newcastle,
UK, 1994. [8] Ognjanovi, M., Mainski elementi, Mainski fakultet,
Beograd, 2011. [9] Opali, M., Vukovi, K., eelj, D., Bending fatigue
crack initiation life prediction in spur gear tooth root,
Proceedings of 2nd International Conference of Engineering Against
Fracture (ICEAF II) Mikonos, Grka, 2011. [10] Opali, M., Vukovi,
K., eelj, D., Risovi, S., Prediction of thin-rim gears bending
fatigue crack initiation life, The 7th International Scientific
Conference - Research and Development of Mechanical Elements and
Systems, Zlatibor, Srbija, 2011, str. 487-492. [11] Podrug, S.,
Jelaska, D., Glode, S., Influence of different load models on gear
crack path shapes and fatigue lives, Fatigue & Fracture of
Engineering Materials Structures, Vol. 31, No. 5., 2008, str.
327-339.
Autori: Kreimir Vukovi, Sveuilite u Zagrebu, Fakultet
strojarstva i brodogradnje, Zavod za konstruiranje, Ivana Luia 5,
tel. +385 1 6168 165, fax +385 1 6168 284 , e-mail:
[email protected], web stranica: www.fsb.unizg.hr/elemstroj
Ivica Gali, Sveuilite u Zagrebu, Fakultet strojarstva i
brodogradnje, Zavod za konstruiranje, Ivana Luia 5, tel. +385 1
6168 230, fax +385 1 6168 284 , e-mail: [email protected], web
stranica: www.fsb.unizg.hr/elemstroj Nikola egec, Sveuilite u
Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje, Ivana Luia 5, e-mail:
[email protected]
224