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04/11/2019

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Università degli studi “Roma Tre” - Corso di Laurea in Fisica

Esperimentazioni di Fisica IProf. Giuseppe SCHIRRIPA SPAGNOLO

Legge di Boyle-Mariotte

Il presente materiale riprende in parte informazioni, idee, trasparenze tratte davarie fonti pubbliche e rielaborate ai fini del corso.Si ringraziano tutti coloro che a loro insaputa hanno consentito la stesura delpresente materia. Il materiale è distribuito, in forma gratuita e protetto dapassword, agli studenti del corso.

https://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/boyle.html

La legge di Boyle-Mariotte ( pV = costante) esprime il fatto che i valori di pressione e volume sono inversamente proporzionali.

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L’esperienza ha lo scopo di verificare la Legge di Boyle-Mariotte.

La legge afferma che, per un gas la cui massa non cambia (sistemachiuso), in una trasformazione quasi-statica a temperatura costante(isoterma) la pressione di un gas è inversamente proporzionale al suovolume. In altri termini, se si cambia il valore del volume occupato dalgas facendo in modo che il gas non fuoriesca dal suo contenitore eche non cambi la temperatura del gas stesso (basta per questo che siain buon contatto termico con l’aria dell’ambiente esterno), si osservache anche la sua pressione cambia.La relazione che lega pressione e volume è:

ppV

V

pressione del gascostante

volume occupata dal gas

il valore della costante dipende, oltre che dalla temperatura, dallanatura e dalla massa del gas.

La legge di Boyle-Mariotte ( pV = costante) esprime il fatto che i valoridi pressione e volume sono inversamente proporzionali.

La legge è rigorosamente valida per un gas le cui condizioni sianoassimilabili a quelle di un gas perfetto e quindi può essere verificatasperimentalmente solo per temperature molto maggiori di quellacritica del gas utilizzato (temperature lontane dal punto diliquefazione del gas) e per gas rarefatti.

ppV

V

pressione del gascostante

volume occupata dal gas

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Il volume di una quantità di gas dipende dalla pressione a cui si trova il gas e dallasua temperatura.

Consideriamo una certa quantità di aria atemperatura ambiente e pressione atmosfericaposta in un recipiente dotato di un pistone.

Agendo sul pistone comprimiamo l’aria e mediante un manometro e una scalagraduata incisa sul cilindro in cui scorre il pistone determiniamo della pressione e ilvolume d'aria.

Se il diametro del cilindro ( d ) è costante, il volume ( V ) d'aria presente nel cilindro,per ogni posizione ( x ) del cilindro è:

0

22corrV x Vd

V0 è il volume d'aria presente nella posizione "zero" del pistone; tiene contodell'aria presente nel manometro e nel raccordo dove è posizionata la valvola sfiato.

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Agendo sul pistone comprimiamo l’aria e, per ogni posizione del pistone,determiniamo il valore della pressione e del volume corrispondente volume.Inizialmente, consideriamo trascurabile il volume V0 .

Con la valvola di sfiato aperta, posizionare il pistone, approssimativamente,nel punto della scala graduata contrassegnato con 16 cm. Successivamente,chiudendo la valvola di sfiato, ricavare una tabella con la posizione delcilindro.

Raccogliamo i dati in una tabella e trasferiamoli su un foglio elettronico(Excel).

Nota:Si consiglia di muovere il pistone in modo da variare la pressione a "step" di0.1 bar.

Pressione (bar)

Posizione pistone (mm)

Posizione pistone (mm)

0.70 ± 0.01 236 ± 1 238 ± 10.80 ± 0.01 207 ± 1 208 ± 10.90 ± 0.01 183 ± 1 185 ± 11.00 ± 0.01 161 ± 1 160 ± 11,10 ± 0.01 147 ± 1 148 ± 11.20 ± 0.01 135 ± 1 136 ± 11.30 ± 0.01 124 ± 1 125 ± 11.40 ± 0.01 117 ± 1 117 ± 11.50 ± 0.01 108 ± 1 108 ± 11.60± 0.01 102 ± 1 102 ± 11.70 ± 0.01 96 ± 1 93 ± 11.80 ± 0.01 90 ± 1 90 ± 11.90 ± 0.01 85 ± 1 86 ± 12.00 ± 0.01 81 ± 1 82 ± 12.10 ± 0.01 78 ± 1 78 ± 12.20 ± 0.01 73 ± 1 75 ± 12.30 ± 0.01 70 ± 1 70 ± 12.40 ± 0.01 67 ± 1 67 ± 12.50 ± 0.01 64 ± 1 66 ± 12.60 ± 0.01 61 ± 1 60 ± 12.70 ± 0.01 59 ± 1 59 ± 12.80 ± 0.01 57 ± 1 57 ± 12.90 ± 0.01 54 ± 1 54 ± 13.00 ± 0.01 52 ± 1 52 ± 13.10 ± 0.01 51 ± 1 51 ± 13.20 ± 0.01 50 ± 1 49 ± 13.30 ± 0.01 48 ± 1 47 ± 13.40 ± 0.01 46 ± 1 45 ± 13.50 ± 0.01 44 ± 1 44 ± 13.60 ± 0.01 43 ± 1 42 ± 13.70 ± 0.01 41 ± 1 42 ± 1

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Riportiamo in un grafico ivalori della pressione (espressiin Pascal) in funzione delvolume (espresso in cm3).

Qualche considerazione Come varia la pressione? Il grafico ha l’andamento

che ci si aspettava? Siamo in grado di

individuare il tipo ditrasformazione subita dalgas (aria)?

Adiabatica? Isoterma?

y = 27,834x-0,965

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

450000

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 0,00035

Pre

ssio

ne [

Pa]

Volume [m3]

p.V = costante

Ipotesi 1 : trasformazione adiabatica(PV ) = costante con =7/5=1.4

Ipotesi 2 : trasformazione isoterma(PV) = costante

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y = 28,489x-0,962

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 0,00035

pres

sion

e [b

ar]

Volume[m3]

pV = costanteCerchiamo una linea ditendenza del tipo “legge dipotenza” :

y = A x k

Che significato hanno le diverse variabili dell’equazione? y = 27,834x-0,965

Possiamo riscrivere l’equazione come: y x0.965 = 27,834che con la corrispondenza

y Pressione x Volume

diventap V0.965 = 27,834

Il valore dell’esponente di V suggerisce che la trasformazione subitadall’aria è isoterma (pV = costante)

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Tramite la misurazione di diverse coppie di valori ( pi , Vi ), corrispondenti adifferenti condizioni del gas nel cilindro, si trova la relazione funzionale tra p e V.Le caratteristiche costruttive dell’apparato creano tuttavia un problema per quantoriguarda i valori di Vi del volume del gas. La scala graduata all’interno del cilindroindica infatti la distanza x della posizione del pistone rispetto a quella di “battuta”nel cilindro. Poiché la sezione trasversale del pistone è costante [S = (d/2)2], ilvolume V dell’aria racchiusa “apparentemente” è facilmente calcolabile dalla corsadi spostamento x del pistone. In realtà, tramite la corsa del pistone si puòdeterminare solo una parte del volume del gas; non si considera il volume che il gasoccupa nella connessione con il manometro e la non perfetta planarità dellasuperficie del pistone. Per tener conto di tale contributo e non incorrere in unerrore sistematico è necessario scrivere la legge di Boyle-Mariotte nella forma:

dove V0 è un volume incognito, aggiuntivo rispetto a quello determinato dalla misurazione di x.

2

02corrV x d V

La complicazione dovuta alla presenza del termine incognito V0 implica chel’elaborazione dei dati dovrà essere condotta in due passi: il primo passo mirato allamigliore determinazione di V0 incognito e il secondo mirato ad una più precisaverifica della legge di Boyle-Mariotte.

Inizialmente utilizzando un foglio Excel, dei nostri dati sperimentali, si tracciano i seguenti grafici:

p·V = costanteV = costante/p

I grafici sono tracciati esprimendo la pressione in pascal e il volume in metri cubi.

2

02corrV x d V

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Come possiamolinearizzare il problema?Cioè, come possiamotrasformare le variabilicoinvolte nel problema inmodo da trovare unarelazione lineare?

Riportiamo in un grafico ladipendenza del volume da(1/p) e cerchiamo unacurva di tendenza lineare.

V = costante/p

y = 20,954x - 4E-06

0,00000000

0,00005000

0,00010000

0,00015000

0,00020000

0,00025000

0,00030000

0,00035000

0 0,000002 0,000004 0,000006 0,000008 0,00001 0,000012 0,000014 0,000016

Vol

ume

[m3]

1/ P (inverso della pressione) [ Pa -1 ]

V = costante/p + V0

• Che significato hanno y e x in questo caso?

• Che legame ci aspettiamotra il coefficiente angolare diquesta retta e la costantemoltiplicativa dell’equazioneprecedente?

• E per il valore dell’ordinata all’origine?

Il fatto che la retta non passiper l'origine, suggerisce chebisogna considerare il volumeV0 che inizialmente abbiamotrascurato.

y = 20,954x - 4E-06

0,00000000

0,00005000

0,00010000

0,00015000

0,00020000

0,00025000

0,00030000

0,00035000

0 0,0000020,0000040,0000060,000008 0,00001 0,0000120,0000140,000016

Vol

ume

[m3]

1/ P (inverso della pressione) [ Pa -1 ]

V = costante/p + V0

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Utilizzando il corretto valore diV le due equazione, così comedeve essere, "praticamente" ilcoefficiente dell'inverso dellapressione (la x nel grafico)diventa "1" .

y = 21,364x-0,998

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

0,00000 0,00005 0,00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 0,00035

Pre

ssio

ne [

Pa]

Volume [m3]

pVcorr = costante