Várterész Magda, Kádek Tamás - unideb.hu · 2014. 4. 3. · 8 1. Bevezetés Egy áltozótv a formula arpaméterének nevezünk, ha anv a formulában sza-bad el®fordulása. Egy

Várterész Magda, Kádek Tamás

Automatikus tételbizonyítás

el®adások

Tartalomjegyzék

El®szó . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. Bevezetés 5

1.1. Az els®rend¶ nyelv szintaxisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Az els®rend¶ nyelv klasszikus szemantikája . . . . . . . . . . . 81.3. Logikai kalkulusok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Helyettesítések 12

2.1. Változók helyettesítése termekkel . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Illeszt® helyettesítés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3. Normálformák 22

3.1. Konjunktív és diszjunktív normálformák . . . . . . . . . . . . 223.2. Prenex alakú formulák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3. Skolem-normálforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4. Els®rend¶ klózok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Frege stílusú kalkulus 31

4.1. A predikátumkalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. Gentzen kalkulusai 35

5.1. A természetes levezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2. A szekventkalkulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6. A rezolúciós kalkulus 50

6.1. A Herbrand-univerzum és az els®rend¶klózhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2. Az alaprezolúció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2

Tartalomjegyzék 3

6.3. Az els®rend¶ rezolúció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4. Rezolúciós levezetési stratégiák . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.5. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Irodalomjegyzék 67

El®szó

Informatikus hallgatók számára megkerülhetetlen a matematikai logika ta-nulmányozása. A fels®oktatási intézmények tantervei tartalmazzák is a logikainformatikában fontos fejezeteinek oktatását. A Debreceni Egyetem Informa-tikai Karán már az alapképzés során tanítjuk (a logika nyelvészeti tárgyalás-módja keretei között) a logikai nyelvek szintaxisát, klasszikus szemantikáját.Mesterképzésben pedig sort kerítünk a logikai kalkulusok és a logikai progra-mozás alapjainak megtanítására.

Logika könyvek és tankönyvek sora segíti a tanulást, mégsincs könny¶dolga a hallgatónak. A tanulási folyamat során (tapasztalataink szerint)zavarja a hallgatót a különböz® könyvek szóhasználatában és jelölésrend-szerében való lényeges eltérés és a példák hiánya.

Jelen munkában a logikai kalkulusokról a mesterképzésben elsajátítandóismereteket foglaltuk össze. A tananyag a DE IK programtervez® informati-kus hallgatóinak képzése során szerzett tapasztalatokat felhasználva alakultki. A gyökerek Dragálin Albert professzor (1941-1998) matematikai logikábólés mesterséges intelligenciából az 1990-es években tartott debreceni el®adá-saiból indulnak. Felhasználtuk Pásztorné Varga Katalin (ELTE, egyetemidocens) 1998 és 2010 között Debrecenben tartott el®adásait és a 2003-bana jelen tankönyvírók egyikével írt monográ�áját. A példák és feladatok egyrésze a szerz®knek Robu Judittal (Babes-Bolyai Egyetem, egyetemi docens)2010-ben írt feladatgy¶jteményéb®l való. Természetesen felhasználtunk más,az irodalomban felsorolt forrást is.

Az olvasótól elvárjuk az alapképzés során elsajátított logikai tananyagismeretét, a logikai nyelvek szintaxisával és klasszikus szemantikájával kap-csolatos fontos fogalmak és tételek tudását. Témánkat tanulmányozhatjakizárólag ebb®l az anyagból, ugyanakkor er®sen ajánljuk el®adások látogatá-sát, vagy az irodalomban felsorolt könyvek forgatását.

Észrevételeiket szívesen vesszük a [email protected] címen.Debrecen, 2013. november 15.

A tananyag összeállítói

4

1. fejezet

Bevezetés

Jelen tananyag olvasójáról feltesszük, hogy az els®rend¶ logikai nyelv szin-taxisával és klasszikus szemantikájával kapcsolatos alapvet® fogalmakat ésfontos tételeket ismeri. A könyvben használt fogalom-megnevezések és jelö-lések tisztázására röviden mégis sort kerítünk. A bevezet® fejezet elolvasásaegyúttal segíti a korábban tanult és jelen tankönyvben szükséges logikai is-meretek felidézését is. Logikai alapozó kurzusokon gyakran a többfajtájúels®rend¶ logikai nyelv kerül bevezetésre. A logikai kalkulusokat ugyanakkormost egyfajtájú nyelv segítségével tárgyaljuk, így a bevezetésben sem esikszó a többfajtájú nyelvekr®l.

1.1. Az els®rend¶ nyelv szintaxisa

Egy (egyfajtájú) els®rend¶ logikai nyelv ábécéje el®ször is tartalmaz ún. lo-gikán kívüli bet¶ket: ezeket a

⟨Cnst, Fn, Pr⟩

három halmazból álló rendszerrel adjuk meg.

• Cnst a nyelv konstansszimbólumainak halmaza.

• Az Fn halmaz elemei függvényszimbólumok. Minden f ∈ Fn-hez tar-tozik egy k ≥ 1 természetes szám, az f függvényszimbólum aritása.

• A Pr = ∅ halmaz elemei predikátumszimbólumok. Minden P ∈ Pr-hezrendelünk egy k ≥ 0 természetes számot, a P predikátumszimbólumaritását. A 0 aritású predikátumszimbólumot propozicionális szimbó-lumnak (állítás szimbólumnak) is szoktuk nevezni.

Egy els®rend¶ logikai nyelvben megszámlálhatóan végtelen sok (individuum)-változó áll rendelkezésünkre: v1, v2, . . . (ezekre gyakran az x, y, . . . bet¶kkelhivatkozunk).

5

6 1. Bevezetés

Az ábécé tartalmaz még logikai jeleket: a ¬ negáció, ∧ konjunkció, ∨ disz-junkció, ⊃ implikáció összeköt® jeleket és az ∀ univerzális és ∃ egzisztenciáliskvantorokat. (A továbbiakban jelölje ◦ mindig a ∧,∨ és a ⊃ logikai összeköt®jelek valamelyikét, ∇ pedig valamelyik kvantort.) Használhatjuk még a ( )zárójeleket és a vessz®t.

A ⟨Cnst, Fn, Pr⟩ ábécé feletti els®rend¶ logikai nyelv termek és formulák(logikai kifejezések) halmaza. A nyelv termjeinek halmaza az a legsz¶kebbLt halmaz, melynek

• minden konstansszimbólum (Cnst elemei) és változó eleme, és

• ha f ∈ Fn egy k aritású függvényszimbólum és t1, t2, . . . , tk elemei Lt-nek (azaz termek), akkor az f(t1, t2, . . . , tk) szó is eleme Lt-nek (term).

A nyelv formuláinak halmaza az a legsz¶kebb Lf halmaz, melynek

• minden P (t1, t2, . . . , tk) alakú szó eleme (azaz formula, ún. atomi for-mula), ha P egy k aritású predikátumszimbólum és t1, t2, . . . , tk rendretermek (elemei Lt-nek), továbbá

• ha A és B elemei Lf -nek (formulák) és x változó, akkor az (A◦B),¬A,∇xA alakú szavak szintén elemei Lf -nek (formulák).

Egy els®rend¶ logikai nyelvben egyetlen konstansnak és változónak sincsközvetlen résztermje, az f(t1, t2, . . . , tk) term közvetlen résztermjei pedig at1, t2, . . . , tk termek. Egy atomi formulának nincs közvetlen részformulája, ¬Aegyetlen közvetlen részformulája A, (A◦B) bal oldali közvetlen részformulájaA, jobb oldali közvetlen részformulája B, ∇xA közvetlen részformulája A.

Egy t term résztermjeinek halmaza a legsz¶kebb olyan halmaz, melynekt eleme és ha egy term eleme, akkor eleme a term összes közvetlen résztermjeis. Egy A formula részformuláinak halmaza az a legsz¶kebb halmaz, mely-nek A eleme és ha egy formula eleme, akkor eleme a formula összes közvetlenrészformulája is.

Konstansszimbólum és változó szerkezeti fája egyetlen, a szimbólumottartalmazó csúcsból áll. Ez a csúcs a fa gyökere. f(t1, t2, . . . , tk) szerkezeti fá-jának gyökere f(t1, t2, . . . , tk), a gyökér k darab gyermeke rendre t1, t2, . . . , tkszerkezeti fáinak gyökerei. Atomi formula szerkezeti fája egyetlen ezt a formu-lát tartalmazó csúcsból áll, ami a fa gyökere. ¬A szerkezeti fájának gyökere¬A, a gyökér egyetlen gyermeke az A szerkezeti fájának gyökere. (A◦B) szer-kezeti fájának gyökere (A◦B), a gyökér bal oldali gyermeke az A, jobb oldaligyermeke a B szerkezeti fájának gyökere. ∇xA szerkezeti fájának gyökere∇xA, a gyökér egyetlen gyermeke az A szerkezeti fájának gyökere.

1.1. Az els®rend¶ nyelv szintaxisa 7

Legyenek az ℓ : Lt → N0 és az ℓ : Lf → N0 függvények a következ®k:

ℓ(t) {

0 ha t ∈ Cnst vagy változó,ℓ (t1) + . . .+ ℓ (tk) + 1 ha t = f(t1, . . . , tk).

ℓ(A)

0 ha A atomi formula,ℓ (B) + 1 ha A = ¬B,ℓ (B) + ℓ (C) + 1 ha A = B ◦ C,ℓ (B) + 1 ha A = ∇xB.

ℓ (t) t funkcionális összetettsége, ℓ (A) A logikai összetettsége.Egy formulában egy logikai jel hatásköre a formulának azon részformulái

közül a legkisebb logikai összetettség¶, amelyekben az adott logikai jel isel®fordul. Egy formula f® logikai jele az a logikai jel, melynek hatásköremaga a formula.

A formulák leírásakor rövidítéseket használhatunk. Formula-kombinációkhelyett speciális jelöléseket vezethetünk be. A küls® zárójeleket elhagyhatjuk.A logikai összeköt® jelekhez, a kvantorokhoz és a bevezetett jelekhez er®sor-rendet rendelhetünk. Ennek megfelel®en, a jelek értelmezését a formulábanaz alábbi � az er®sebbt®l a gyengébb felé haladó � sorrendnek megfelel®envégezzük el: 1. kvantorok (∀, ∃), 2. negáció (¬), 3. konjunkció (∧) ésdiszjunkció (∨), 4. implikáció (⊃), 5. bevezetett jelek.

Egy formulában egy változónak kétféle el®fordulását különböztetjük meg.Az x változó egy adott el®fordulása az A formulában kötött, ha egy az x-etmegnevez® kvantor hatáskörében van. Az x változó el®fordulása szabad, hanem kötött. Egy kvantor a kvantoros el®tagban megnevezett és a hatásköreközvetlen részformulájában ennek a változónak a még szabad el®fordulásaittesz kötötté (köti). Egy változó-el®fordulás kötöttségének meghatározása:

• Egy atomi formulában minden változó-el®fordulás szabad.

• Az A◦B formulában egy változó-el®fordulás pontosan akkor kötött, haez az el®fordulás vagy A-ban van és már A-ban kötött, vagy B-ben vanés már B-ben kötött.

• A ¬A formulában egy változó-el®fordulás pontosan akkor kötött, ha ezaz el®fordulás már A-ban kötött.

• A∇xA formulában xminden el®fordulása kötött. Ha x egy el®fordulásaA-ban még szabad volt, akkor ezt az el®fordulást a ∇xA formulában a∇ kvantor köti. Egy az x-t®l különböz® változó valamely el®fordulása∇xA-ban pontosan akkor kötött, ha már A-ban is kötött volt.

8 1. Bevezetés

Egy változót a formula paraméterének nevezünk, ha van a formulában sza-bad el®fordulása. Egy A formula paramétereinek a halmazára Par(A)-valhivatkozunk.

A ∇xA formulában a ∇ kvantor által kötött x változó átnevezésér®l be-szélünk, amikor a ∇x kvantoros el®tagban x helyett egy másik, mondjuk yváltozót nevezünk meg, majd A-ban az x változó minden szabad el®fordu-lását y-ra cseréljük ki (a kapott formulát jelöljük Ax

y-nal), és így a ∇yAxy

formulát kapjuk. A ∇xA formulából szabályosan végrehajtott kötött változóátnevezéssel kapjuk a ∇yAx

y formulát, ha xA az y nem paraméter, és az xváltozó egyetlen ∇ által kötött el®fordulása sem tartozik egyetlen y-t köt®kvantor hatáskörébe sem.

Az A′ formula az A formula variánsa (vagy A és A′ egymással kongru-ens formulák) ha egymástól csak kötött változók szabályosan végrehajtottátnevezésében különböznek. Jelölése: A ≈ A′. Annak eldöntése, hogy kétformula egymás variánsa-e:

• Egy atomi formula csak önmagával kongruens.

• A ◦B ≈ A′ ◦B′ pontosan akkor, ha A ≈ A′ és B ≈ B′.

• ¬A ≈ ¬A′ pontosan akkor, ha A ≈ A′.

• ∇xA ≈ ∇yB pontosan akkor, ha minden z-re, mely különbözik ∇xAés ∇yB összes (kötött és szabad) változójától, Ax

z ≈ Byz .

1.2. Az els®rend¶ nyelv klasszikus szemantikája

Egy ⟨Cnst, Fn, Pr ⟩ ábécé feletti els®rend¶ logikai nyelv I interpretációját(modelljét vagy algebrai struktúráját) olyan⟨

U, Cnst, Fn, P r⟩

négyes határozza meg, melyben

• az U = ∅ individuumok (objektumok) nemüres halmaza (univerzuma),

• a Cnst : c 7→ c függvény minden a c ∈ Cnst konstansszimbólumhozegy c ∈ U individuumot rendel,

• az F n : f 7→ f függvény minden f ∈ Fn k aritású függvényszimbó-lumhoz olyan f függvényt rendel, melynek értelmezési tartománya Uk,és értékeit U -ból veszi fel, azaz f : Uk → U,

1.2. Az els®rend¶ nyelv klasszikus szemantikája 9

• a P r : P 7→ P függvény pedig olyan, hogy ha a P ∈ Pr predikátum-szimbólum aritása k és (k ≥ 1), akkor P : Uk → {i, h} predikátum, haP propozicionális szimbólum, akkor P vagy i, vagy h.

Legyen az els®rend¶ nyelv univerzuma U . B®vítsük ki a nyelvet az uni-verzum objektumait jelöl® új konstansszimbólumokkal:

⟨Cnst(U), Fn, Pr⟩ ,

ahol Cnst(U)-t a Cnst halmazból úgy kapjuk, hogy minden a ∈ U objek-tumhoz rendelünk egy új � általunk a-val jelölt � konstansszimbólumot.

Egy olyanθ = (x1, x2, . . . , xk ∥ a1, a2, . . . , ak)

függvényt, amely az els®rend¶ nyelv véges sok változójához Cnst(U)-beli újszimbólumot rendel, U-értékel® helyettesítésnek nevezünk. θ a K logikai ki-fejezés értékelése, ha Par(K) ⊆ {x1, x2, . . . , xk}. Ha θ a K logikai kifejezésértékelése, akkor a Kθ kifejezést úgy nyerjük, hogy K-ban a paraméterekminden szabad el®fordulását a θ által hozzájuk rendelt új konstansszimbó-lumokkal helyettesítjük. A kib®vített nyelv paramétermentes (zárt) logikaikifejezéseit értékelt kifejezéseknek nevezzük.

Legyen I a nyelv egy interpretációja. Egy értékelt term értéke I-benaz alábbi � rekurzív de�nícióval megadott � U -beli objektum. (Egy t termI-beli értékét |t|I-mel fogjuk jelölni.)

• Ha c ∈ Cnst és Cnst(c) = c, akkor |c|I c.

• Ha a ∈ Cnst(U) az a ∈ U -hoz rendelt új a szimbólum, akkor |a|I a.

• Ha f(t1, t2, . . . , tk) egy értékelt term, ahol a t1, t2, . . . , tk termek értékeiI-ben rendre |t1|I , |t2|I , . . . , |tk|I , és f = Fn(f), akkor

|f(t1, t2, . . . , tk)|I f(|t1|I , |t2|I , . . . , |tk|I).

Egy C értékelt formula értéke I-ben (jelölése: |C|I) a következ®, rekurzívde�nícióval megadott érték:

• Ha P (t1, t2, . . . , tk) egy értékelt atomi formula, ahol a t1, t2, . . . , tk ter-mek értékei I-ben rendre |t1|I , |t2|I , . . . , |tk|I , és P = P r(P ), akkor

|P (t1, t2, . . . , tk)|I P (|t1|I , |t2|I , . . . , |tk|I).

• Ha A és B értékei rendre |A|I és |B|I , akkor |A ∧ B|I = i pontosanakkor, ha |A|I = i és |B|I = i; |A ∨ B|I = i pontosan akkor, ha|A|I = i vagy |B|I = i; |A ⊃ B|I = i pontosan akkor, ha |A|I = h vagy|B|I = i. Egyébként |A ◦B|I = h.

10 1. Bevezetés

• Ha A értéke |A|I , akkor |¬A|I = i pontosan akkor, ha |A|I = h,egyébként |¬A|I = h.

• |∀xA|I {

i ha minden a ∈ U esetén |A(x ∥ a)|I = i,h egyébként.

• |∃xA|I {

i ha van olyan a ∈ U hogy |A(x ∥ a)|I = i,h egyébként.

A C értékelt formula igaz az I interpretációban, ha |C|I = i, egyébként a Cformula hamis I-ben.

Egy els®rend¶ nyelv egy A formulája kielégíthet®, ha van a nyelvnek olyaninterpretációja és A-nak olyan θ értékelése, amely mellett Aθ igaz, egyébkéntA kielégíthetetlen (vagy logikai ellentmondás). Egy els®rend¶ nyelv egy Aformulája logikai törvény, ha a nyelv bármely interpretációjában és A bár-mely θ értékelése mellett Aθ igaz. Jelölése: |= A.

Az A és B els®rend¶ formulák logikailag ekvivalensek, ha a nyelv mindenI interpretációjában és a formulák minden közös θ értékelése mellett Aθ ésBθ azonos igazságérték¶. Jelölése: A ∼ B.

Legyen Γ els®rend¶ formulák (premisszák) egy halmaza és B egy els®-rend¶ formula (konklúzió). Azt mondjuk, hogy B következménye a Γ-beliformuláknak, ha a nyelv minden olyan interpretációjában és a Γ-beli és a Bformulák tetsz®leges olyan közös θ értékelése esetén, mely mellett a Γ-beliformulák mind igazak, ott Bθ is igaz. Jelölése: Γ |= B.

1.3. Logikai kalkulusok

A logika f® feladata a következtetések helyességének vizsgálata és helyes kö-vetkeztetési szabályok megalkotása. Az el®z® szakaszban fel is idéztük akövetkezményrelációnak a klasszikus els®rend¶ logika szemantikai alapfogal-maira támaszkodó de�nícióját. Ugyanakkor ez a de�níció nem ad gyakorlatiútmutatást arra vonatkozóan, hogyan ellen®rizhetjük egy következtetés he-lyességét. Jelen tananyagban több olyan mechanikus, csak a logikai nyelvszintaxisát használó szabályrendszerrel ismerkedünk meg, melyek gépiesenalkalmazhatók a következményreláció vizsgálatára.

Leibniz már a XVIII. század elején remélte, hogy a tudósok hosszas vitákhelyett hamarosan ki fogják tudni számolni, kinek van igaza. Az elképzelésmegvalósítása felé az els® lépések mégis csak a XIX. század végén indultak.Frege ekkor dolgozott ki egy tisztán szintaktikai felépítés¶ logikai rendszert,egy logikai kalkulust.

1.3. Logikai kalkulusok 11

Egy logikai kalkulus a logikai nyelv megadása mellett a �szintaktikai követ-kezményreláció�, a levezethet®ség de�nícióját tartalmazza. Ehhez els® lépés-ben megadjuk a kalkulus alapformuláit és levezetési szabályait. A másodiklépés a levezethet®ség fogalmának kialakítása. Egy Γ formulahalmazból leve-zethet® a B formula (jelölése: Γ ⊢ B)

• ha B alapformula, vagy B ∈ Γ,

• illetve ha van olyan levezetési szabály, mely B-t el®állítja, és az(ok) aformula(ák), amely(ek)b®l ez a levezetési szabály B-t el®állítja, az(ok)Γ-ból levezethet®(ek).

A levezethet®ségi relációt tehát az alapformulák és a levezetési szabályoksegítségével de�niáljuk. Tehát ha változtatunk az alapformulákon vagy alevezetési szabályokon, más lesz a levezethet®ségi reláció is. Sokféle logikaikalkulust felépíthetünk. Két kalkulust akkor tekintünk ekvivalensnek, haazonos logikai nyelvhez köt®dnek, és pontosan akkor lesz Γ ⊢ B az egyikben,amikor a másikban is.

Egy els®rend¶ logikai nyelv klasszikus szemantikájában de�niált követ-kezményreláció és a nyelvre épül® valamely logikai kalkulus levezethet®ségirelációja között szoros kapcsolatot várunk el. Azt mondjuk, hogy a logikaikalkulus helyes, ha Γ ⊢ B esetén mindig Γ |= B. A logikai kalkulus pedigteljes, ha Γ |= B esetén mindig Γ ⊢ B. Egy kalkulus adekvát, ha helyes is,teljes is.

Egy logikai rendszer megalkotásakor gyakran el®ször egy szemantikai rend-szert de�niálunk, majd megkísérlünk ehhez legalább helyes, de ha lehet, adek-vát logikai kalkulust szerkeszteni.

2. fejezet

Helyettesítések

2.1. Változók helyettesítése termekkel

2.1. definíció.

Egy olyan függvényt, amely az els®rend¶ nyelv véges sok változóján vanértelmezve, és minden változóhoz termet rendel, termhelyettesítésnek neve-zünk. Üres a termhelyettesítés, ha az értelmezési tartománya üres (jele: ϵ).

Ha a θ termhelyettesítés értelmezési tartománya Dom(θ) = {x1, x2, . . . ,xk} és θ(xi) = ti minden i = 1, 2, . . . , k-ra (k ≥ 1), θ-t megadhatjuk a

θ =

(x1 x2 . . . xk

t1 t2 . . . tk

)táblázattal vagy a θ = (x1, x2, . . . , xk ∥ t1, t2, . . . , tk) felsorolással. θ−x jelöljeazt a termhelyettesítést, melyre Dom(θ−x) = Dom(θ) \ {x} és minden z ∈Dom(θ−x) esetén θ−x(z) = θ(z). Vezessük be továbbá a (Kθ) jelölést a Kkifejezés szerkezetét®l és a θ termhelyettesítést®l függ® logikai kifejezésre:

1. ha c ∈ Cnst, akkor (cθ) c,

2. ha x változó, akkor (xθ) {

x, ha x /∈ Dom(θ),θ(x), ha x ∈ Dom(θ)

,

3. (f(t1, t2, . . . , tk)θ) f((t1θ), (t2θ), . . . , (tkθ)),

4. (P (t1, t2, . . . , tk)θ) P ((t1θ), (t2θ), . . . , (tkθ)),

5. (¬Aθ) ¬(Aθ),

6. ((A ◦B)θ) ((Aθ) ◦ (Bθ)),

7. (∇xAθ) ∇x(Aθ−x).

12

2.1. Változók helyettesítése termekkel 13

Vegyük észre, hogy az értékel® helyettesítések is termhelyettesítések, és haθ a K kifejezés értékelése, a (Kθ) kifejezés éppen a K-beli paraméterek sza-bad el®fordulásainak a θ-val hozzájuk rendelt konstansszimbólumokkal valóhelyettesítésnek eredményeképpen kapott értékelt kifejezés. Ugyanakkor nemminden K kifejezés és θ termhelyettesítés esetén lesz alkalmas (Kθ) a logikacéljai számára.A θ termhelyettesítés megengedett a K kifejezés számára, ha mindenx ∈ Dom(θ) esetén x minden K-beli szabad el®fordulása kívül esik a θ(x)term valamennyi változóját megnevez® kvantor hatáskörén.

2.2. definíció. θ megengedettsége K számára K szerkezete szerint:

1. Termek és atomi formulák számára minden termhelyettesítés megenge-dett.

2. ¬A számára egy termhelyettesítés megengedett, ha megengedett A szá-mára.

3. (A◦B) számára egy termhelyettesítés megengedett, ha megengedett Aés B számára is.

4. ∇xA számára egy θ termhelyettesítés megengedett, ha

(a) egyetlen z ∈ Par(∇xA)∩Dom(θ) változó esetén sem fordul el® xa θ(z) termben,

(b) θ−x pedig megengedett A számára.

2.3. példa. A ∀zR(z, f(x, z)) ⊃ ∃xQ(x, f(x, z)) formula számára az(x zy f(y, z)

)termhelyettesítés megengedett, az(

x zy f(x, z)

)termhelyettesítés pedig nem megengedett, mert a helyettesítend® szabad el®-fordulású z az x-et köt® ∃ hatáskörében van, és a helyére beírandó f(x, z)termben is el®fordul az x változó.

Legyen K egy kifejezés és θ egy termhelyettesítés. Konstruáljunk meg egyK-val kongruens olyan K ′ formulát, amely számára θ megengedett. Ekkora (K ′θ) kifejezés a θ termhelyettesítés K-ban való szabályos végrehajtásánakeredménye. Jelölése: [Kθ].

14 2. Helyettesítések

2.4. definíció. [Kθ] meghatározása K szerkezete szerint:

1. Ha K term vagy atomi formula, akkor [Kθ] (Kθ).

2. [¬Aθ] ¬[Aθ]

3. [(A ◦B)θ] ([Aθ] ◦ [Bθ])

4. (a) Ha egyetlen z ∈ Par(∇xA) ∩ Dom(θ) változó esetén sem fordulel® a θ(z) termben x, akkor [∇xAθ] ∇x[Aθ−x].

(b) Ha van olyan z ∈ Par(∇xA)∩Dom(θ) változó, hogy x paraméterθ(z)-ben, akkor válasszunk egy új változót � például u-t �, melynem fordul el® sem ∇xA-ban, sem Rng(θ) termjeiben, és

[∇xAθ] ∇u[(A(x ∥ u))θ−x].

2.5. példa. A ∀zR(z, f(x, z)) ⊃ ∃xQ(x, f(x, z)) formulában az(x zy f(x, z)

)termhelyettesítés szabályos végrehajtásának eredménye a

∀zR(z, f(y, z)) ⊃ ∃vQ(v, f(v, f(x, z)))

formula.

2.6. definíció. Legyenek

θ =

(x1 x2 . . . xk

t1 t2 . . . tk

)és η =

(y1 y2 . . . yℓs1 s2 . . . sℓ

)egy nyelv termhelyettesítései. θ és η kompozícióján a

(θη) =

(x1 x2 . . . xk yi1 yi2 . . . yij

(t1η) (t2η) . . . (tkη) si1 si2 . . . sij

)termhelyettesítést értjük, ahol

{yi1 , yi2 , . . . , yij} = Dom(η) \Dom(θ).

2.7. példa. Legyenek

θ =

(x y zy x f(x, u)

)és η =

(x y z u vc w u z f(x, z)

)

2.1. Változók helyettesítése termekkel 15

termhelyettesítések. Ekkor

(θη) =

(x y z u vw c f(c, z) z f(x, z)

)és

(ηθ) =

(x y z u vc w u f(x, u) f(y, f(x, u))

).

A példa mutatja, hogy a kompozíció m¶velete egy nyelv termhelyettesítései-nek halmazán nem kommutatív.

2.8. tétel. Egy els®rend¶ logikai nyelv tetsz®leges θ, η és ζ termhelyette-sítései esetén

(1) ((θη)ζ) = (θ(ηζ)) (a kompozíció asszociatív)

(2) θε = εθ = θ (ε neutrális elem)

Azaz a kompozíció m¶veletével a termhelyettesítések halmaza neutrális elem-mel rendelkez® félcsoport.

2.9. lemma. Legyenek θ és η egy nyelv termhelyettesítései. Ekkor tetsz®-leges K logikai kifejezés esetén

[K(θη)] ≈ [[Kθ]η].

2.10. definíció. Legyenek θ és η termhelyettesítések. Az η helyettesítésáltalánosabb a θ-nál, ha van olyan λ termhelyettesítés, hogy θ = ηλ.

2.11. példa. Az

θ =

(x y z

f(g(a, h(z))) g(h(x), b) h(x)

)és η =

(x y

f(g(x, y)) g(z, b)

)helyettesítések esetén η általánosabb a θ helyettesítésnél, mertθ = ηλ, ahol

λ =

(x y za h(z) h(x)

)


2.2. Illeszt® helyettesítés

2.12. definíció. Legyen A és B két azonos predikátumszimbólummal kez-d®d® atomi formula. Az olyan θ termhelyettesítést, amelyre

Aθ = B θ,

A-t és B-t egymáshoz illeszt® helyettesítésnek nevezzük. θ az A és B atomoklegáltalánosabb illeszt® helyettesítése, ha A és B minden illeszt® helyettesítéq-sénél általánosabb.

2.13. példa. A P (x, f(a, y)) és a P (b, z) atomoknak egy illeszt® helyettesí-tése: (

x y zb c f(a, c)

)legáltalánosabb illeszt® helyettesítése:(

x zb f(a, y)

)Az illeszt® helyettesítés fogalmát kiterjeszthetjük: W legyen az azonos

predikátumszimbólummal kezd®d® A1, A2, . . . , Ak (k ≥ 2) atomi formulákhalmaza. W illeszt® helyettesítése W minden atompárját illeszti egymáshoz.

2.14. definíció. Vizsgáljuk W elemeit párhuzamosan, szimbólumonkéntbalról jobbra haladva. Álljunk meg annál az els® szimbólumnál, amelyiknem minden atomban egyezik meg. Az ezen a pozíción kezd®d® résztermekD halmazát W különbségi halmazának nevezzük.

2.15. példa. Legyen

W = {P (x, f(y, z)), P (x, a), P (x, g(h(k(x))))}.

W különbségi halmaza

D = {f(y, z), a, g(h(k(x)))}

Robinson algoritmusavéges sok lépésben meghatározza W legáltalánosabb illeszt® helyettesítését,ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthet®k egymáshoz W atomjai.

1. k := 0, Wk := W , σk := ε.

2.2. Illeszt® helyettesítés 17

2. Ha Wk egyetlen atomot tartalmaz, akkor sikeresen vége: σk a W legál-talánosabb illeszt® helyettesítése.Egyébként határozzuk meg Wk különbségi halmazát: Dk-t.

3. Ha van Dk-ban olyan xk változó és tk term, hogy xk nem fordul el®tk-ban, akkor a 4. lépéssel folytatjuk.Egyébként W atomjai nem illeszthet®k egymáshoz. Vége.

4. σk+1 := σk(xk ∥ tk), Wk+1 := {A(xk ∥ tk) |A ∈ Wk}.(Megjegyezzük, hogy Wk+1 = {Aσk+1 |A ∈ W}.)

5. k := k + 1, és a 2. lépéssel folytatjuk.

2.16. példa. Döntsük el az illeszt® algoritmussal, hogy illeszthet®k-e a

W ={P (a, x, f(g(y))), P (z, f(z), f(u))

}halmaz atomi formulái egymáshoz.

1. W0 := W , σ0 := ε.

2. D0 = {a, z}.

3. z egy változó, a egy a z-t nem tartalmazó term.

4. σ1 := σ0(z ∥ a) = ε(z ∥ a) = (z ∥ a).

W1 :={P (a, x, f(g(y)))(z ∥ a), P (z, f(z), f(u))(z ∥ a)

}=

={P (a, x, f(g(y))), P (a, f(a), f(u))

}.

5. D1 ={x, f(a)

}6. x egy változó, f(a) egy az x-et nem tartalmazó term.

7. σ2 := σ1(x ∥ f(a)) = (z ∥ a)(x ∥ f(a)) = (z, x ∥ a, f(a)).

W2 :={P (a, x, f(g(y)))(x ∥ f(a)), P (a, f(a), f(u))(x ∥ f(a))

}=

={P (a, f(a), f(g(y))), P (a, f(a), f(u))

}.

8. D2 = {g(y), u}.

9. u egy változó, g(y) egy az u-t nem tartalmazó term.


10. σ3 := σ2(u ∥ g(y)) = (z, x ∥ a, f(a))(u ∥ g(y)) =(z, x, u ∥ a, f(a), g(y)).

W3 :={P (a, f(a), f(g(y)))(u ∥ g(y)), P (a, f(a), f(u))(u ∥ g(y))

}=

={P (a, f(a), f(g(y))), P (a, f(a), f(g(y)))

}=

={P (a, f(a), f(g(y)))

}.

11. W3-ban egyetlen atom van, így σ3 a legáltalánosabb illeszt® helyettesí-tés W -re.

2.17. példa. Vizsgáljuk meg, hogy illeszthet®k-e egymáshoz a

W ={Q(f(a), g(x)), Q(y, y)

}halmaz atomi formulái.

1. W0 := W , σ0 := ε.

2. D0 = {f(a), y}.

3. y egy változó, f(a) egy az y-t nem tartalmazó term.

4. σ1 := σ0(y ∥ f(a)) = ε(y ∥ f(a)) = (y ∥ f(a)).

W1 :={Q(f(a), g(x))(y ∥ f(a)), Q(y, y)(y ∥ f(a))

}=

={Q(f(a), g(x)), Q(f(a), f(a))

}.

5. D1 = {g(x), f(a)}.

6. A D1-ben nincs változó, ezért az algoritmus azzal az eredménnyel feje-z®dik be, hogy W atomjai nem illeszthet®k.

Az illeszt® helyettesítés fogalmát másképp is általánosíthatjuk: W legyenaz

(A1, B1), (A2, B2), . . . , (Ak, Bk)

páronként azonos predikátumszimbólummal kezd®d® atomi formulák hal-maza. Keressük a minden pár atomjait egymáshoz illeszt® helyettesítést.Képezzük a W -beli párok atomjaiból a

W ′ {A1=B1, A2=B2, . . . , Ak=Bk }

formális egyenl®séghalmazt. Egy változó - term párokból álló

{x1=t1, x2=t2, . . . , xl=tl }

2.2. Illeszt® helyettesítés 19

formális egyenl®séghalmaz kiszámított alakú, ha xi = xj, amikor i = j, ésxi /∈ Par{t1, . . . , tl} (i, j = 1, 2, . . . , l). Az el®bbi kiszámított alakú formálisegyenl®séghalmaz által meghatározott termhelyettesítés

(x1, x2, . . . , xl ∥ t1, t2, . . . , tl).

Herbrand algoritmusavéges sok lépésben meghatározza W legáltalánosabb illeszt® helyettesítését,ha van ilyen, illetve jelzi, ha nem illeszthet®k egymáshoz W párjainak atom-jai.

1. k := 0, W ′k := W ′.

2. Ha W ′k kiszámított alakú, akkor sikeresen vége: az általa meghatáro-

zott helyettesítés W legáltalánosabb illeszt® helyettesítése. Egyébkéntválasszunk ki egy K1=K2 formális egyenl®séget W ′

k-ból.

3. W ′k+1 := W ′

k \ {K1=K2}.

4. Ha K1=K2 alakja

• x=x, ahol x változó, vagy c=c, ahol c konstansszimbólum, akkortovább az 5. lépésre.

• t=x, ahol x változó, t összetett term, W ′k+1 := W ′

k+1 ∪ {x=t}.• c=d, ahol c = d konstansszimbólumok, akkor W atomjai nemilleszt®k egymáshoz. Vége.

• f(t1, . . . , tk)=g(s1, . . . , sl), ahol f = g függvényszimbólumok, ak-kor W atomjai nem illeszt®k egymáshoz. Vége.

• f(t1, . . . , tk)=f(s1, . . . , sk), ahol f függvényszimbólum, vagyP (t1, . . . , tk)=P (s1, . . . , sk), ahol P predikátumszimbólum, akkorW ′

k+1 := W ′k+1 ∪ {t1=s1, . . . , tk=sk}.

• x=t, ahol x ∈ Par(t), akkor W atomjai nem illeszt®k egymáshoz.Vége.

• x=t, ahol x /∈ Par(t), akkor W ′k+1 formális egyenl®ségeiben elvé-

gezzük az (x||t) helyettesítést, majd W ′k+1 := W ′

k+1 ∪ {x=t}.

5. k := k + 1, és a 2. lépéssel folytatjuk.

2.18. példa. Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthet®k-e a

W ={P (a, x, h(g(z))), P (z, h(y), h(y))

}


halmaz atomi formulái egymáshoz.

P (a, x,h(g(z))=P (z, h(y), h(y)) →

a=z

x=h(y)

h(g(z))=h(y)

→

z=a

x=h(y)

h(g(z))=h(y)

→

z=a

x=h(y)

g(z)=y

→

z=a

x=h(y)

y=g(z)

{z/a}−−−→

z=a

x=h(y)

y=g(a)

{y/g(a)}−−−−−→

z=a

x=h(g(a))

y=g(a)

Kiszámított alakú formális egyenl®séghalmazt kaptunk, így a legáltalánosabbilleszt® helyettesítés W -re: θ = (z, x, u ∥ a, h(g(a)), g(a)).

2.19. példa. Döntsük el Herbrand algoritmusával, hogy illeszthet®k-e a

W ={P (x, x)), P (y, f(y))

}halmaz atomi formulái egymáshoz.

P (x, x)=P (y, f(y)) →

{x=y

x=f(y)

{x/y}−−−→

{x=y

y=f(y)

→ Nincs illeszt® helyettesítés, mert y ∈ Par(f(y)).

2.3. Feladatok

1. Határozzuk meg, hogy mely helyettesítések megengedettek a következ®formula számára, majd végezzük el a szabályos helyettesítést.

∀x(∃yQ(x, y, z) ⊃ ∀zP (x, z)) ∨ ¬P (x, z)

(a)

(x y

f(x) x

)(b)

(x zy g(y, c)

)(c)

(y z

f(x) g(x, y)

)2. Bizonyítsuk be, hogy

(a) ha a K kifejezésben nincs t1, t2, . . . , tk-beli változókat megnevez®kvantor, akkor θ megengedett K számára.

2.3. Feladatok 21

(b) ha a t1, t2, . . . , tk helyettesít® termekben nincs változó, akkor θmegengedett minden kifejezés számára.

3. Határozzuk meg az alábbi termhelyettesítések kompozícióját.

(a)

(x y

f(y) z

)és

(x y za b y

)(b)

(x y zz x y

)és

(x y z vz x f(z) f(x)

)4. Döntsük el Robinson és Herbrand algoritmusaival, hogy illeszthet®k-e

a következ® halmazok atomi formulái egymáshoz.

(a){R(x, y), R(u, f(z))

}(b)

{R(g(x), y), R(y, y), R(u, f(v))

}(c)

{R(h(x, y), w), R(h(g(v), a), f(v)), R(h(g(v), a), f(b))

}(d)

{R(h(x), w), R(w,w), R(y, f(a))

}(e)

{R(x, x), R(y, f(y))

}(f)

{R(g(x), f(y, z)), R(g(a), w), R(y, f(g(x), x)))

}5. Határozzuk meg, hogy amikor a Robinson-algoritmus véget ér, milyen

összetettség¶ek lesznek a{Q(x1, x2, . . . , xn), Q(f(x0, x0), f(x1, x1), . . . , f(xn−1, xn−1)

}halmaz egymáshoz illesztett atomjaiban a termek.

6. Írjunk programot, amely Herbrand vagy Robinson algoritmusát alkal-mazva megkeresi egy atomhalmaz legáltalánosabb illeszt® helyettesí-tését.

3. fejezet

Normálformák

3.1. Konjunktív és diszjunktív normálformák

3.1. definíció.

Az atomi formulákat és a negáltjaikat literáloknak nevezzük.Elemi konjunkciónak tekintünk minden literált, továbbá egy elemi konjunkcióés egy literál konjunkcióját. Elemi diszjunkciók szintén a literálok, továbbáegy elemi diszjunkció és egy literál diszjunkciója.A konjunktív normálformájú formula egy elemi diszjunkció, vagy egy kon-junktív normálforma és egy elemi diszjunkció konjunkciója, a diszjunktív nor-málformájú formula egy elemi konjunkció, vagy egy diszjunktív normálformaés egy elemi konjunkció diszjunkciója.

3.2. tétel. Az els®rend¶ logikai nyelv minden kvantormentes formulájáhozkonstruálható vele logikailag ekvivalens konjunktív és diszjunktív normálfor-májú formula.

3.3. definíció. Egy formulával ekvivalens konjunktív normálformájú for-mulát a formula konjunktív normálformájának, a vele ekvivalens diszjunktívnormálformájú formulát a formula diszjunktív normálformájának nevezzzük.

A normálformára hozás lépései:

1. A logikai jelek közötti összefüggések alapján a formulába minden imp-likációs részformula helyett vele ekvivalens diszjunkciót írunk.

2. De Morgan törvényeivel elérjük, hogy negáció csak atomi formulákravonatkozzon.

3. A disztributivitást felhasználva addig alakítjuk a formulát, hogy a kon-junkciók és diszjunkciók megfelel® sorrendben kövessék egymást.

4. Végül esetleg egyszer¶sítünk.

22

3.1. Konjunktív és diszjunktív normálformák 23

Felhasználható ekvivalenciák:

asszociativitás

A ∧ (B ∧ C) ∼ (A ∧B) ∧ C A ∨ (B ∨ C) ∼ (A ∨B) ∨ C

kommutativitás

A ∧B ∼ B ∧ A A ∨B ∼ B ∨ A

disztributivitás

A ∧ (B ∨ C) ∼ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ∼ (A ∨B) ∧ (A ∨ C)

idempotencia

A ∧ A ∼ A A ∨ A ∼ A

elimináció (elnyelés)

A ∧ (B ∨ A) ∼ A A ∨ (B ∧ A) ∼ A

De Morgan törvényei

¬(A ∧B) ∼ ¬A ∨ ¬B ¬(A ∨B) ∼ ¬A ∧ ¬B

kiszámítási törvények (⊤ A ∨ ¬A,⊥ A ∧ ¬A)A ∧ ⊤ ∼ A A ∧ ⊥ ∼ ⊥A ∨ ⊤ ∼ ⊤ A ∨ ⊥ ∼ A

A ⊃ ⊤ ∼ ⊤ A ⊃ ⊥ ∼ ¬A⊤ ⊃ A ∼ A ⊥ ⊃ A ∼ ⊤

logikai jelek közötti összefüggések

A ∧B ∼ ¬(¬A ∨ ¬B) A ∧B ∼ ¬(A ⊃ ¬B)

A ∨B ∼ ¬(¬A ∧ ¬B) A ∨B ∼ ¬A ⊃ B

A ⊃ B ∼ ¬(A ∧ ¬B) A ⊃ B ∼ ¬A ∨B

kétszeres tagadás ¬¬A ∼ A

negáció az implikációban

A ⊃ ¬A ∼ ¬A ¬A ⊃ A ∼ A

24 3. Normálformák

3.4. példa. Hozzuk a

(P ⊃ Q) ∨ ¬(¬Q ⊃ P ∨ ¬R)

formulát normálformára.

1. Eltávolítjuk az implikációkat:

(¬P ∨Q) ∨ (¬Q ∧ ¬(P ∨ ¬R)).

2. Elérjük, hogy negáció csak atomokra vonatkozzon:

(¬P ∨Q) ∨ (¬Q ∧ ¬P ∧R).

3. Felhasználjuk a disztributivitást; az eredmény konjunktív normálforma:

(¬P ∨Q ∨ ¬Q) ∧ (¬P ∨Q ∨ ¬P ) ∧ (¬P ∨Q ∨R).

4. Egyszer¶sítünk:(¬P ∨Q) ∧ (¬P ∨Q ∨R).

5. Tovább egyszer¶sítünk; az eredmény egyszerre konjunktív és diszjunk-tív normálforma:

¬P ∨Q.

3.2. Prenex alakú formulák

3.5. definíció. Egy Q1x1Q2x2 . . . QnxnA (n ≥ 0) alakú formulát, ahol aA kvantormentes formula, prenex alakú formulának nevezünk. A a prenexalakú formula magja.

3.6. példa. A ∀x∀y(P (x, y) ⊃ ¬Q(x)), a ∃x∀y(P (x, y)∨R(x, z)) és a ¬P (x, x)formulák prenexformulák, viszont a ∀x∀yP (x, y) ⊃ ¬Q(x) formula nem pre-nexformula.

3.7. tétel. Egy els®rend¶ logikai nyelv tetsz®leges formulájához konstru-álható vele logikailag ekvivalens prenex alakú formula.

3.8. definíció. Egy formulával ekvivalens prenex alakú formula a formulaprenex alakja.

3.2. Prenex alakú formulák 25

A prenex alakra hozás lépései:

1. A formulában a kötött változók szabályos átnevezésével elérjük, hogy akötött változók nevei különbözzenek a formula paramétereit®l, és bár-mely két különböz® kvantor más-más változót nevezzen meg a kvanto-ros el®tagban. Az így nyert, az eredeteivel kongruens, így az eredetivelekvivalens formulát az eredeti változóiban tiszta alakjának nevezzük.

2. Alkalmazzuk De Morgan kvantoros törvényeit és a kvantorkiemelésrevonatkozó logikai törvényeket, amíg a formulánk prenex alakú nem lesz.

Felhasználható ekvivalenciák:

kvantoros De Morgan-törvények

¬∃xA ∼ ∀x¬A ¬∀xA ∼ ∃x¬A

kvantorok egyoldali kiemelése, x /∈ Par(A)

A ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧B) A ∧ ∃xB ∼ ∃x(A ∧B)

A ∨ ∀xB ∼ ∀x(A ∨B) A ∨ ∃xB ∼ ∃x(A ∨B)

A ⊃ ∀xB ∼ ∀x(A ⊃ B) A ⊃ ∃xB ∼ ∃x(A ⊃ B)

∀xB ⊃ A ∼ ∃x(B ⊃ A) ∃xB ⊃ A ∼ ∀x(B ⊃ A)

kvantorok kétoldali kiemelése

∀xA ∧ ∀xB ∼ ∀x(A ∧B) ∃xA ∨ ∃xB ∼ ∃x(A ∨B)

kvantor-hatáskör átjelölés, x /∈ Par(A)

∀yA ∼ ∀x[A(y ∥ x)] ∃yA ∼ ∃x[A(y ∥ x)]

3.9. példa. Hozzuk a

∀x(∀yP (x, y) ∧ ∃y¬(Q(y) ⊃ P (x, a))) ⊃ ¬∀x∃y(P (y, x) ⊃ R(x, y))

formulát prenexalakra.

1. Változóiban tiszta alakra hozás:

∀x(∀yP (x, y) ∧ ∃y1¬(Q(y1) ⊃ P (x, a))) ⊃⊃ ¬∀x1∃y2(P (y2, x1) ⊃ R(x1, y2)).


2. De Morgan törvényeinek alkalmazása:

∀x(∀yP (x, y) ∧ ∃y1¬(Q(y1) ⊃ P (x, a))) ⊃⊃ ∃x1∀y2¬(P (y2, x1) ⊃ R(x1, y2)).

3. Kvantorkiemelés:

∀x∀y∃y1(P (x, y)∧¬(Q(y1)) ⊃ P (x, a))) ⊃⊃ ∃x1∀y2¬(P (y2, x1) ⊃ R(x1, y2)).

4. Kvantorkiemelés:

∃x∃y∀y1∃x1∀y2((P (x, y)∧¬(Q(y1)) ⊃ P (x, a))) ⊃⊃ ¬(P (y2, x1) ⊃ R(x1, y2))).

Ha a magot normálformára akarjuk hozni, akkor célszer¶ el®bb eltüntetni azimplikációkat, és a negációkat az atomi formulák elé vinni. Ekkor (újabb)lehet®ségek adódhatnak a kvantorok kétoldali liemelésére vonatkozóan.

1. Az implikációk átírása:

¬(∀x(∀yP (x, y) ∧ ∃y(Q(y) ∧ ¬P (x, a)))) ∨ ¬∀x∃y(¬P (y, x) ∨R(x, y)).

2. A kétszeres tagadás és De Morgan törvényeinek alkalmazása:

∃x(∃y¬P (x, y) ∨ ∀y(¬Q(y) ∨ P (x, a))) ∨ ∃x∀y(P (y, x) ∧ ¬R(x, y)).

3. Az egzisztenciális kvantor kétoldali kiemelésére vonatkozó ekvivalenciaalkalmazása:

∃x(∃y¬P (x, y) ∨ ∀y(¬Q(y) ∨ P (x, a)) ∨ ∀y(P (y, x) ∧ ¬R(x, y))).

4. Változóiban tiszta alakra hozás:

∃x(∃y¬P (x, y) ∨ ∀y1(¬Q(y1) ∨ P (x, a)) ∨ ∀y2(P (y2, x) ∧ ¬R(x, y2))).

5. Ezután már mindegyik kvantor kiemelhet®:

∃x∃y∀y1∀y2(¬P (x, y) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (x, a) ∨ (P (y2, x) ∧ ¬R(x, y2))).

6. A formula magja diszjunktív normálforma, de átírható konjunktív nor-málformába, ha az a további feldolgozás szempontjából úgy célszer¶:

∃x∃y∀y1∀y2((¬P (x, y) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (x, a) ∨ P (y2, x)) ∧∧ (¬P (x, y) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (x, a) ∨ ¬R(x, y2))).

3.3. Skolem-normálforma 27

3.3. Skolem-normálforma

A ∀x∀y(P (x, y) ⊃ ¬Q(x)) prenexformulában csak univerzális kvantorok van-nak. Az ilyen ∀x1∀x2 . . . ∀xnA alakú formulák fontosak lesznek kés®bb.

3.10. definíció. Univerzális Skolem-formulának nevezzük az olyan pre-nexformulát, amelynek a pre�xumában csak univerzális kvantor szerepel. Haa Skolem-formula magja konjunktív normálforma, akkor a formulát Skolem-normálformának nevezzük.

3.11. tétel. Tetsz®legesA formulához konstruálható olyan univerzális Sko-lem-formula, mely pontosan akkor kielégíthetetlen, ha A kielégíthetetlen.

Prenexformula �átírása� univerzális Skolem-formába:

1. Új Skolem-szimbólumok bevezetése: A

∀x1∀x2 . . . ∀xj−1∃xjQj+1xj+1 . . . QnxnA

prenexformula pre�xumában legyen az els® egzisztenciális kvantor aj-edik kvantor.

− Ha j = 1, akkor minden olyan interpretációban és θ értékelésesetén, amely mellett a formula igaz, az interpretáció U univerzu-mában van legalább egy u ∈ U , hogy a Q2x2 . . . QnxnAθ(x1 ∥ u)formula igaz lesz. Ezt az elemet Skolem-konstansnak nevezzük.B®vítsük ki az els®rend¶ nyelvünket egy új s konstansszimbólum-mal, mely az egyes interpretációk univerzumaiban rendre egy-egySkolem-konstanst � ha egyáltalán van ilyen � nevez meg.

− Legyen most j > 1. Egy I interpretációban valamely θ értékelésmellett a

∀x1∀x2 . . . ∀xj−1∃xjQj+1xj+1 . . . QnxnA

formula pontosan akkor igaz, ha az x1, x2, . . . , xj−1 változókat bár-milyen � az interpretáció univerzumából vett � elemekkel értékelvemindig van legalább egy elem U -ban, amellyel pedig az xj válto-zót értékelve a Qj+1xj+1 . . . QnxnAθ formula igaz. Azaz minden(u1, u2, . . . , uj−1) ∈ U j−1 elem j−1-eshez tartozik legalább egyu ∈ U , hogy θ azon θ′ kiterjesztése mellett, melyre

θ′(x) =

ui ha x = xi, i ∈ {1, 2, . . . , j − 1},u ha x = xj,θ(x) ha x ∈ Dom(θ)


Qj+1xj+1 . . . QnxnA igaz lesz. Legyen

fI : U j−1 → U

egy függvény, amely minden (u1, u2, . . . , uj−1)-hez egy ilyen u ér-téket rendel. Ezt a függvényt Skolem-függvénynek nevezzük. B®-vítsük ki az els®rend¶ nyelvünket egy új j− 1 aritású f függvény-szimbólummal. A kib®vített nyelv interpretálása során f -et, havan egyáltalán, Skolem-függvénnyel interpretáljuk.

2. Az egzisztenciális kvantor elhagyása:

Ezután a pre�xumból elhagyjuk a ∃xj-t, és a formula magjában elvégez-zük az (xj ∥ s), illetve az (xj ∥ f(x1, x2, . . . , xj−1)) termhelyettesítést.A kapott

Q2x2 . . . QnxnA(x1 ∥ s),

illetve

∀x1∀x2 . . . ∀xj−1Qj+1xj+1 . . . QnxnA(xj ∥ f(x1, x2, . . . , xj−1))

formula az eredeti formulában szerepl® els® egzisztenciális kvantort márnem tartalmazza.

Megmutatjuk, hogy ezzel a lépéssel az eredeti formulával a kielégít-het®ség szempontjából egyenérték¶ formulát kaptunk.

(a) Egyrészt minden olyan interpretációban, amelyben az eredeti for-mula valamely értékelés mellett igaz volt, az új függvényszimbó-lumot (konstansszimbólumot) interpretálhatjuk egy Skolem-függ-vénnyel (Skolem-konstanssal) úgy, hogy az értékelés mellett igazlesz az átalakított formula is.

(b) Ha pedig az eredeti formula minden interpretációban, minden érté-kelés mellett hamis volt, azaz kielégíthetetlen, akkor az átalakítottformula is az lesz, mivel ekkor nincs Skolem-függvény (konstans)egyetlen interpretáló struktúrában sem.

3. Az új Skolem-szimbólumok bevezetésének és a kvantoreliminálásnak alépéseit végrehajtjuk a soron következ® egzisztenciális kvantorra, amígminden egzisztenciális kvantort el nem hagytunk.

3.12. példa. Írjuk át Skolem-normálformába a

∃x∃y∀y1∀y2((¬P (x, y) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (x, a) ∨ P (y2, x)) ∧∧ (¬P (x, y) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (x, a) ∨ ¬R(x, y2)))

3.4. Els®rend¶ klózok 29

prenex-konjunktív formulát. A két egzisztenciális kvantor a pre�xum els® kétkvantora, ezért két Skolem-konstansszimbólumot kell bevezetnünk. Jelöljükaz a-tól különböz® két új konstansszimbólumot s1 és s2-vel.

∀y1∀y2((¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ P (y2, s1)) ∧∧ (¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ ¬R(s1, y2))).

3.4. Els®rend¶ klózok

3.13. definíció. Az els®rend¶ klóz pedig egy olyan zárt univerzális Sko-lem-formula, amelynek a magja elemi diszjunkció.

Egy Skolem-normálforma magja konjunktív normálforma. Ha egy zártK Skolem-normálformára �visszafelé� alkalmazzuk a konjunkcióra vonatkozókétoldali kvantorkiemelési szabályt, akkor els®rend¶ klózok konjunkciójátkapjuk. S legyen ezen klózok halmaza. Világos, hogy K pontosan akkorkielégíthetetlen, ha S kielégíthetetlen.

3.14. példa. Az el®z® példában kapott Skolem-normálformában alkalmaz-zuk a kvantorkiemelésre vonatkozó ekvivalenciát �visszafelé�:

∀y1∀y2(¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ P (y2, s1)) ∧∧ ∀y1∀y2(¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ ¬R(s1, y2)).

Hozzuk a formulát változóiban tiszta alakra:

∀y1∀y2(¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ P (y2, s1)) ∧∧ ∀x1∀x2(¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(x1) ∨ P (s1, a) ∨ ¬R(s1, x2)).

Mivel egy els®rend¶ klóz minden változója univerzálisan kvantált, az els®-rend¶ klózhalmazokban a klózok pre�xumait nem tüntetjük fel. Tehát afenti els®rend¶ klózhalmazt így adjuk meg:{

¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(y1) ∨ P (s1, a) ∨ P (y2, s1),

¬P (s1, s2) ∨ ¬Q(x1) ∨ P (s1, a) ∨ ¬R(s1, x2)}.

3.15. példa. Írjuk át Skolem-normálformába a

∀x∃y∃z((¬P (x, y) ∧Q(x, z)) ∨R(x, y, z))

prenexformulát.El®ször írjuk át a formula magját konjunktív normálformába:

∀x∃y∃z((¬P (x, y) ∨R(x, y, z)) ∧ (Q(x, z) ∨R(x, y, z))).


A Skolem-függvények egyváltozósak, vezessünk be az els®rend¶ nyelvbe jelö-lésükre két új függvényszimbólumot: f -et és g-t. A Skolem-normálforma:

∀x((¬P (x, f(x)) ∨R(x, f(x), g(x))) ∧ (Q(x, g(x)) ∨R(x, f(x), g(x)))).

Els®rend¶ klózok konjunkciójaként felírva a formulát:

∀x(¬P (x, f(x)) ∨R(x, f(x), g(x))) ∧ ∀x(Q(x, g(x)) ∨R(x, f(x), g(x))).

A változóiban tiszta els®rend¶ klózhalmaz pedig:{¬P (x, f(x)) ∨R(x, f(x), g(x)), Q(y, g(y)) ∨R(y, f(y), g(y))

}.

3.5. Feladatok

1. Hozzuk konjunktív és diszjunktív normálformára a következ® formulá-kat.

(a) ¬((P ⊃ ¬Q ∧R) ⊃ (¬P ∧ ¬R ⊃ Q))

(b) (¬R ⊃ (P ⊃ Q)) ⊃ (¬R ⊃ ¬P )

(c) ((P ⊃ Q) ⊃ (R ⊃ ¬P )) ⊃ (¬Q ⊃ ¬R)

(d) ((((P ⊃ Q) ⊃ ¬P ) ⊃ ¬Q) ⊃ ¬R) ⊃ R

2. Határozzuk meg az alábbi formulák prenex alakját.

(a) ¬(∃x∀y¬P (x, y) ⊃ ∀y∃yQ(x, y))

(b) ∃x(∀yP (x, y) ∨ ∃zR(z)) ⊃ ∃xR(x)

(c) ∀x(∃yP (x, y) ⊃ ∀xQ(x)) ⊃ ∀x∃yP (x, y)

(d) ∀x(∃y(P (x, y) ∧R(y) ⊃ ∃y(S(y) ∧Q(x, y))))

3. Írjunk olyan programot, amelyik el®állítja egy els®rend¶ formula prenexalakját.

4. Határozzuk meg az alábbi formulák univerzális Skolem-normálformáját.

(a) ∀xP (x, a) ∨ ∃y¬(Q(y) ⊃ P (b, c)) ⊃ ∀xP (x, y)

(b) ∀x(∃y∀zP (x, y, z) ⊃ ∃yQ(y, z))

(c) ¬∀x(∃y∀zP (x, y, z) ⊃ ∃yQ(y, z))

(d) ¬∃x∃y∀z(R(x, y) ⊃ R(y, z) ∧R(z, z))

4. fejezet

Frege stílusú kalkulus

A modern logika egyik els® nagy eredménye Gottlob Frege (1848-1925) németmatematikus logikai rendszere. Bár Frege a rendszere felépítése során min-den lépést szemantikai okokkal indokolt, nem hozott létre olyan szemantikaifelépítést logikájához, mint amit a Bevezetésben megadtunk. Frege logikairendszere szintaktikai felépítés¶ rendszer, kalkulus volt. A fejezetben egy aFrege rendszeréhez stílusában hasonló predikátumkalkulust mutatunk be.

4.1. A predikátumkalkulus

4.1. definíció. Az A,B,C, x és t szimbólumok.

• A predikátumkalkulus alapsémái :

1. A ⊃ (B ⊃ A)

2. (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))

3. A ⊃ (B ⊃ A ∧B)

4. A ∧B ⊃ A

5. A ∧B ⊃ B

6. (A ⊃ C) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ (A ∨B ⊃ C))

7. A ⊃ A ∨B

8. B ⊃ A ∨B

9. (A ⊃ B) ⊃ ((A ⊃ ¬B) ⊃ ¬A)10. ¬¬A ⊃ A

11. ∀xA(x) ⊃ A(x)xt

12. ∀x(C ⊃ A(x)) ⊃ (C ⊃ ∀xA(x)), x ∈ Par(C)

13. A(x)xt ⊃ ∃xA(x)14. ∀x(A(x) ⊃ C) ⊃ (∃xA(x) ⊃ C), x ∈ Par(C)

31

32 4. Frege stílusú kalkulus

• A predikátumkalkulus levezetési szabályai :

A A ⊃ B

Bmodus ponens

A

∀xAáltalánosítási szabály

Ha az A,B és C szimbólumokat egy els®rend¶ logikai nyelv formuláival he-lyettesítjük, x a nyelv változója, t pedig term, akkor az alapsémákból alap-formulákat kapunk, a levezetési szabályok segítségével pedig egy vagy két(vonal feletti) formulából levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat.

4.2. tétel.

(a) A predikátumkalkulus alapformulái logikai törvények.

(b) A,A ⊃ B |= B.

(c) Ha Γ |= A(x) és x ∈ Par(Γ), akkor Γ |= ∀xA(x).

4.3. definíció. A fomulafa és magasságának induktív de�níciója:

1. Minden A formula 1 magasságú formulafa, melyben A alsó formula, ésnincs nála feljebb lev® formula.

2. Ha F1 m1 és F2 m2 magasságú olyan formulafák, melyben az alsóformulák A és A ⊃ B alakúak, akkor az

F1 F2

B

alakzat is formulafa. A nyert formulafában B az alsó formula, melynélF1 és F2 minden formulája feljebb van. A formulafa magassága pedigmax {m1,m2}+ 1.

3. Ha F mmagasságú olyan formulafa, amelyben az alsó formula A, akkoraz

F∀xA

alakzat is formulafa. ∀xA alsó formula, melynél F minden formulájafeljebb van, és a formulafa magassága m+ 1.

4. Minden formulafa az 1�3. szabályok véges sokszori alkalmazásával állel®.

4.1. A predikátumkalkulus 33

A formulafában azok a formulák, melyeknél nincs feljebb lev®, vagy alapfor-mulák, vagy ún. hipotézisek.

4.4. definíció. A levezetésfa egy formulafa, melyben ha A-ból az általá-nosítás szabályával akarjuk a ∀xA-t nyerni, akkor x nem paraméter egyetlen,a ∀xA-nál feljebb lev® hipotézisben sem.

4.5. példa. Jellemezzük az alábbi formulafát:

Q(x) ⊃ P∀x(Q(x) ⊃ P ) ∀x(Q(x) ⊃ P ) ⊃ (∃xQ(x) ⊃ P )

∃xQ(x) ⊃ P

3 magasságú formulafaalsó formula: ∃xQ(x) ⊃ Palapformula: ∀x(Q(x) ⊃ P ) ⊃ (∃xQ(x) ⊃ P )hipotézis: Q(x) ⊃ P

4.6. definíció. A Γ véges formulahalmazból az A formula levezethet®, havan olyan levezetésfa, melyben A alsó formula, és a hipotésisek mind elemeiΓ-nak. (Jelölése Γ ⊢ A, az alakzat neve szekvencia.) Ha Γ üres, akkor Ahipotézismentesen vezethet® le a kalkulusban (jelölése ⊢ A).

4.7. példa. Bizonyítsuk be, hogy P,¬P ⊢ Q.

P ; P ⊃ (¬Q ⊃ P )¬Q ⊃ P (¬Q ⊃ P ) ⊃ ((¬Q ⊃ ¬P ) ⊃ Q ¬P ;¬P ⊃ (¬Q ⊃ ¬P )

(¬Q ⊃ ¬P ) ⊃ Q ¬Q ⊃ ¬PQ

4.8. tétel. (A predikátumkalkulus helyessége.)

Ha Γ ⊢ B, akkor Γ |= B.

Bizonyítás. A Γ ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága sze-rinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága k.

(a) k = 1 esetén

� vagy alapformula B, ekkor |= B, így nyilván Γ |= B is.

� vagy B ∈ Γ, azaz hipotézis, ekkor minden olyan interpretációbanés értékelés mellett, amikor minden hipotézis igaz, nyilván B isigaz, tehát Γ |= B.

34 4. Frege stílusú kalkulus

(b) Az indukciós feltevésünk szerint legyen igaz az állítás minden n-nél nemmagasabb levezetésfa esetén.

(c) Legyen most k = n + 1. Ha a Γ |= B szekvenciát megalapozó leveze-tésfát

� a modus ponens levezetési szabállyal nyertük:a Γ ⊢ A és Γ ⊢ A ⊃ B szekvenciákat megalapozó, legfeljebb nmagasságú levezetésfákból. Az indukciós feltevés miatt ekkor igazaz állítás, tehát Γ |= A és Γ |= A ⊃ B. De minden olyan interp-retációban és értékelés mellett, amikor a Γ-beli hipotézisek mindigazak, ezek szerint igazak ezen interpretációkban és értékelésekmellett az A és az A ⊃ B formula is, így a B formula is. TehátΓ |= B is.

� az általánosítás szabályával nyertük, B tehát ∀xA(x) alakú:az n magasságú levezetésfa, amib®l nyertük, a Γ ⊢ A szekvenciátalapozza meg, ahol x ∈ Par(Γ). Az indukciós feltevés miatt ekkorigaz az állítás, tehát Γ |= A(x). De minden olyan interpretációbanés értékelés mellett, amikor a Γ-beli hipotézisek mind igazak, ezekszerint igaz ezen interpretációkban és értékelések mellett az A(x)is. Mivel x ∈ Par(Γ), a Γ-beli formulákat igazzá tev® értékelé-sekben x-et bárhogy lehet értékelni, így az A(x) is x bármilyenértékelése esetén igaz, tehát a ∀xA(x) is. Ezért Γ |= ∀xA(x).

Ezzel a tételt bebizonyítottuk. ♢

4.9. tétel. (A predikátumkalkulus teljessége.)

Ha Γ |= A, akkor Γ ⊢ A.

A tétel legismertebb bizonyítását Leon Henkin (1921-2006) amerikai mate-matikus adta meg (ez például [9]-ben is megtalálható).

4.2. Feladatok

(a) Bizonyítsuk be, hogy ⊢ P ⊃ P .

(b) Bizonyítsuk be, hogy ∀xP (x) ⊢ ∀yP (y).

5. fejezet

Gentzen kalkulusai

A predikátumkalkulusban egy levezetés megkonstruálása gyakran nagyon ké-nyelmetlen. Egyszer¶ formulák levezetése is lehet hosszadalmas, ráadásul alevezetések nem nagyon hasonlítanak a szokásos érvelésekre. 1934-ben Ger-hart Gentzen (1909-1945) német logikus olyan levezetési rendszert dolgo-zott ki, mely szabályai a Frege stílusú kalkulusokénál jóval közelebb állnaka gyakorlatban használt érvelés lépéseihez. Gentzen saját rendszerét a Fregestílusú rendszerekkel szembeállítva a természetes levezetés kalkulusának ne-vezte.

Tágabb értelemben természetes levezetési rendszereknek szokták neveznia Gentzen eredeti kalkulusához közel álló, de azzal nem tökéletesen meg-egyez® levezetési rendszereket is. Ezek közös jellemz®je, hogy bár használ-hatnak alapformulákat is, alapvet®en mégis levezetési szabályokra épülnek.

Most megadjuk a klasszikus els®rend¶ logika egy olyan természetes le-vezetési rendszerét, mely nagyon közel áll Gentzen eredeti kalkulusához. Apredikátumkalkulushoz hasonlóan ez a rendszer is helyes és teljes, tehát bi-zonyos értelemben sem nem több, sem nem kevesebb annál. Az alapvet®különbség a hipotézisekt®l a levezetend® formuláig való eljutás módjában áll.

Hogy megkönnyítsük a levezethet®ségi reláció fennállásának igazolását,levezetési sémákra vonatkozó segédszabályok egy egész rendszerére támasz-kodunk. A segédszabályok állításokat jelölnek: ha adva van(nak) a vonal fe-letti szekvenciá(ka)t megalapozó predikátumkalkulusbeli levezetésfa(ák), ak-kor megkonstruálható a vonal alatti szekvenciát megalapozó levezetésfa is.Segítségükkel a predikátumkalkulusbeli levezethet®ség igazolható a levezetéstényleges megkonstruálása nélkül. Továbbá a természetes levezetés techniká-jának szabályai szoros analógiát mutatnak a matematikai érvelés gyakorlatá-val, ami megkönnyíti a szekvenciák igazolását.

A természetes levezetés technikája mellett Gentzen kidolgozott egy másik- ún. szekventekkel dolgozó kalkulust is. A szekventkalkulus is igen kényel-mesen használható, mivel a levezetési szabályok egyszer¶en és a levezetend®szekventben szerepl® formulák szerkezete által meghatározott sorrendben al-kalmazhatók.

35

36 5. Gentzen kalkulusai

5.1. A természetes levezetés

5.1. definíció. Az Γ,∆, A,B,C, x és t szimbólumok.

• Az azonosság törvénye

Γ, A ⊢ A

• Strukturális szabályok

b®vítés sz¶kítés

Γ ⊢ A

Γ, B ⊢ A

Γ, B,B,∆ ⊢ A

Γ, B,∆ ⊢ A

felcserélés vágás

Γ, B, C,∆ ⊢ A

Γ, C,B,∆ ⊢ A

Γ ⊢ A ∆, A ⊢ B

Γ,∆ ⊢ B

• Logikai szabályok

Bevezetés Eltávolítás

implikáció

Γ, A ⊢ B

Γ ⊢ A ⊃ B

Γ ⊢ A Γ ⊢ A ⊃ B

Γ ⊢ B

konjunkció

Γ ⊢ A Γ ⊢ B

Γ ⊢ A ∧B

Γ, A,B ⊢ C

Γ, A ∧B ⊢ C

diszjunkció

Γ ⊢ A

Γ ⊢ A ∨B

Γ ⊢ B

Γ ⊢ A ∨B

Γ, A ⊢ C Γ, B ⊢ C

Γ, A ∨B ⊢ C

negáció

Γ, A ⊢ B Γ, A ⊢ ¬BΓ ⊢ ¬A

Γ ⊢ ¬¬AΓ ⊢ A

5.1. A természetes levezetés 37

Bevezetés Eltávolítás

univerzális kvantor

Γ ⊢ A(x)

Γ ⊢ ∀xA(x)(x ∈ Par(Γ))

Γ ⊢ ∀xA(x)Γ ⊢ A(x)xt

egzisztenciális kvantor

Γ ⊢ A(x)xtΓ ⊢ ∃xA(x)

Γ, A(x) ⊢ B

Γ, ∃xA(x) ⊢ B(x ∈ Par(Γ))

Ha az A,B és a C szimbólumokat els®rend¶ formulákkal, a Γ és ∆ szim-bólumokat formulák multihalmazaival helyettesítjük, x a nyelv változója ést term, akkor predikátumkalkulusbeli levezethet®ségre vonatkozó állításokatnyerünk.

Az azonosság törvénye � egyedül itt nincs vonal � például azt állítja, hogybármely Γ formulahalmazból és az A formulából mint hipotézisekb®l levezet-het® a predikátumkalkulusban A. Az állítás bizonyítása egyszer¶: egyetlenformulából, az A-ból álló levezetésfa bizonyítja. A strukturális szabályokigazolása is nagyon egyszer¶. A b®vítés, a sz¶kítés és a felcserélés szabályaesetén a vonal feletti szekvenciát megalapozó levezetés egyúttal a vonal alattiszekvenciát megalapozó levezetés is. A vágás szabályát a dedukció-tétel rész-letes bizonyítása után vizsgáljuk meg.

5.2. tétel. (Dedukció-tétel.)

Ha Γ, A ⊢ B, akkor Γ ⊢ A ⊃ B.

Bizonyítás. A Γ, A ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága sze-rinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága k.

(a) k = 1 esetén

� vagy alapformula B, vagy B ∈ Γ, ekkor

B ; B ⊃ (A ⊃ B)A ⊃ B

így Γ ⊢ A ⊃ B.

� vagy B = A. De ekkor ⊢ A ⊃ A.



(c) Legyen most k = n + 1. Ha a Γ, A ⊢ B szekvenciát megalapozó leve-zetésfát

� a modus ponenssel nyertük Γ, A ⊢ C és Γ, A ⊢ C ⊃ B szekven-ciákat megalapozó, legfeljebb n magasságú levezetésfákból. Azindukciós feltevés miatt ekkor igaz az állítás, tehát Γ ⊢ A ⊃ C ésΓ ⊢ A ⊃ (C ⊃ B).

Γ

Γ...

... A ⊃ (C ⊃ B); (A ⊃ (C ⊃ B)) ⊃ ((A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B))A ⊃ C ; (A ⊃ C) ⊃ (A ⊃ B)

A ⊃ B

Tehát Γ ⊢ A ⊃ B.

� az általánosítás szabályával nyertük, B tehát ∀xC(x) alakú. Az nmagasságú levezetésfa, amib®l nyertük, a Γ, A ⊢ C(x) szekvenciátalapozza meg, ahol x ∈ Par(Γ, A). Az indukciós feltevés miattekkor igaz az állítás, tehát Γ ⊢ A ⊃ C(x).

Γ...

A ⊃ C(x)∀x(A ⊃ C(x)) ⊃ (A ⊃ ∀xC(x)) ∀x(A ⊃ C(x))

A ⊃ ∀xC(x)

Tehát Γ ⊢ A ⊃ ∀xC(x).


A vágás szabályára visszatérve: a dedukciós tétel szerint ha ∆, A ⊢ B,akkor ∆ ⊢ A ⊃ B. Ekkor viszont a Γ ⊢ A-t és a ∆, A ⊢ B-t igazolólevezetések konkatenációja megalapozza Γ,∆ ⊢ B-t.

A logikai szabályok igazolása sem nehéz. Néhány szabály bizonyításánakötletét vázoljuk.

1. Az implikáció bevezetésének szabálya épp a dedukciós tétel.


2. Az implikáció eltávolításának a szabály: Ha adottak a Γ ⊢ A és aΓ ⊢ A ⊃ B állításokat megalapozó levezetések, a kett® konkatenációjaután alkalmazható a modus ponens, és így épp B-nek egy, a Γ-ból valólevezetését állítottuk el®.

3. A diszjunkció bevezetése: Ha adott Γ-ból A-nak a levezetése, akkor azA ⊃ A ∨ B alapformulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modusponenst, és máris megkaptuk a Γ-ból az A ∨B egy levezetését.

4. A diszjunkció eltávolítása: Ha adottak a Γ, A ⊢ C és a Γ, B ⊢ C állí-tásokat megalapozó levezetések, akkor a dedukciós tétel miatt elkészít-het® a Γ ⊢ A ⊃ C és a Γ ⊢ B ⊃ C állításokat megalapozó levezetésekis. Ezt a két levezetést konkatenáljuk, és írjuk le az

(A ⊃ C) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ (A ∨B ⊃ C))

alapformulát. Kétszer alkalmazva a modus ponenst megalapoztuk,hogy Γ ⊢ A ∨ B ⊃ C. Írjuk be a levezetésbe a vonal alatti szek-venciából az A ∨ B hipotézist, és ha most újból alkalmazzuk a modusponenst, megkapjuk a Γ, A ∨B ⊢ C-t megalapozó levezetést.

5. Az univerzális kvantor bevezetésének szabálya éppen az általánosításszabálya.

6. Az univerzális kvantor eltávolításának szabálya: Ha adott a Γ ⊢ ∀xAszekvenciát megalapozó levezetés, akkor a ∀xA ⊃ [A(x ∥ t)] alapfor-mulát beírva a levezetésbe alkalmazhatjuk a modus ponenst, és márismegkaptuk [A(x ∥ t)] egy levezetését Γ-ból.

7. Az egzisztenciális kvantort bevezet® szabály: Ha adott a Γ ⊢ [A(x ∥ t)]szekvenciát megalapozó levezetés, akkor írjuk be az [A(x ∥ t)] ⊃ ∃xAalapformulát a levezetésbe, és alkalmazzuk a modus ponenst. Így Γ-bóllevezettük ∃xA-t.

8. Az egzisztenciális kvantor eltávolításásának szabálya: A Γ, A ⊢ B szek-venciát megalapozó levezetésb®l a dedukciós tétel miatt elkészíthet® aΓ ⊢ A ⊃ B szekvenciát megalapozó levezetés is. Ebb®l az általánosí-tás szabálya miatt � mivel x /∈ Par(Γ) � Γ ⊢ ∀x(A ⊃ B) adódik. Hamost a levezetésbe beírjuk a ∀x(A ⊃ B) ⊃ (∃xA ⊃ B) alapformulát(lényeges, hogy x /∈ Par(B)), alkalmazhatjuk a modus ponenst. Ezzelmegkapjuk a ∃xA ⊃ B egy levezetését Γ-ból. A dedukciós tétel újbólialkalmazásával pedig igazoltuk, hogy Γ, ∃xA ⊢ B.


A gyakorlatban a természetes technikai szabályokat inkább �alulról felfelé�szoktuk alkalmazni: amikor igazolni kell egy vonal alatti állítást, elegend®bebizonyítani, hogy a vonal feletti állítások igazak. Ekkor világosan látható,hogy a felsorolt szabályok elég jól tükrözik a matematikusok által széles kör-ben használt bizonyítási módszereket.

− Például a diszjunkció eltávolítása megfelel az esetelemzés módszerének.Ha le kell vezetni A∨B-b®l C-t, akkor az esetelemzés a következ®képpentörténik: ha A∨B igaz, akkor vagy A, vagy B igaz, ezért elegend® kétesetet megvizsgálni. Külön-külön le kell vezetni A-ból C-t és B-b®lC-t.

− A negáció bevezetése a matematikai gyakorlatban az indirekt bizonyí-tás, azaz az ellentmondáshoz való visszavezetés módszere. Hogy bebi-zonyítsuk ¬A-t, elegend® � feltéve, hogy A teljesül � ellentmondáshozjutni, vagyis egy B-t kiválasztva A-ból levezetni B-t és ¬B-t is.

5.3. példa. Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy

⊢ ¬((¬P ⊃ ¬Q) ∧ ¬(Q ⊃ P )).

⊢ ¬((¬P ⊃ ¬Q) ∧ ¬(Q ⊃ P ))

(¬P ⊃ ¬Q) ∧ ¬(Q ⊃ P ) ⊢ Q ⊃ P

¬P ⊃ ¬Q,¬(Q ⊃ P ) ⊢ Q ⊃ P

¬P ⊃ ¬Q ⊢ Q ⊃ P

¬P ⊃ ¬Q,Q ⊢ P

¬P ⊃ ¬Q,Q ⊢ ¬¬P

¬P ⊃ ¬Q,Q,¬P ⊢ Q ¬P ⊃ ¬Q,Q,¬P ⊢ ¬Q

¬P ⊃ ¬Q,Q,¬P ⊢ ¬P ⊃ ¬Q ¬P ⊃ ¬Q,Q,¬P ⊢ ¬P

(¬P ⊃ ¬Q) ∧ ¬(Q ⊃ P ) ⊢ ¬(Q ⊃ P )

¬P ⊃ ¬Q,¬(Q ⊃ P ) ⊢ ¬(Q ⊃ P )

Felvet®dhet az a kérdés is, hogy ha egy formulahalmazból a predikátum-kalkulusban levezethet® egy formula, akkor ezt be tudjuk-e mindig bizonyí-tani csupán a természetes levezetés technikájával.

5.4. tétel. Ha Γ ⊢ B, akkor ez belátható a természetes technikával.

Bizonyítás. A Γ ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága sze-rinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága k.

(a) k = 1 esetén B

� vagy alapformula, ekkor ⊢ B belátható a természetes techniká-val (ezeket a bizonyításokat az olvasóra bízzuk), így � a b®vítésszabálya alapján � Γ ⊢ B is bizonyítható természetes technikával.


� vagy hipotézis, azaz eleme a Γ formulahalmaznak, akkor a Γ ⊢ Baz azonosság törvénye.


(c) Legyen most k = n+1. Ha a Γ ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfát

� a modus ponens levezetési szabállyal nyertük Γ ⊢ C és Γ ⊢ C ⊃ Bszekvenciákat megalapozó, legfeljebb n magasságú levezetésfák-ból. Az indukciós feltevés miatt ekkor ezek a szekvenciák megala-pozhatók természetes technikával. Az implikáció eltávolításánaka szabályával pedig a Γ ⊢ B-t is bizonyítottuk.

� az általánosítás szabályával nyertük a Γ ⊢ C(x) (x /∈ Par(Γ))szekvenciát megalapozó n magasságú levezetésfából. Az indukciósfeltevés miatt ez a szekvencia megalapozható természetes techni-kával. Ekkor az univerzális kvantor bevezetésének szabályával aΓ ⊢ B-t is bizonyítottuk.


Ezzel beláttuk azt is, hogy a természetes levezetés kalkulusa ekvivalens apredikátumkalkulussal, így bebizonyítottuk adekvátságát a klasszikus els®-rend¶ szemantikával.

5.5. tétel. (A természetes levezetés helyes és teljes.)

Γ ⊢ B pontosan akkor látható be természetes levezetéssel, ha Γ |= B.

5.6. példa. Bizonyítsuk be a természetes levezetés segítségével, hogy a

∀xP (x) ∨ ∃x¬Q(x) ⊃ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

formula logikai törvény.

⊢ ∀xP (x) ∨ ∃x¬Q(x) ⊃ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

∀xP (x) ∨ ∃x¬Q(x) ⊢ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

∀xP (x) ⊢ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

∀xP (x) ⊢ Q(x) ⊃ P (x)

∀xP (x), Q(x) ⊢ P (x)

∀xP (x), Q(x) ⊢ ∀xP (x)

∃x¬Q(x) ⊢ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

¬Q(x) ⊢ ∃x(Q(x) ⊃ P (x))

¬Q(x) ⊢ Q(x) ⊃ P (x)

¬Q(x), Q(x) ⊢ P (x)

¬Q(x), Q(x) ⊢ ¬¬P (x)

¬Q(x), Q(x),¬P (x) ⊢ Q(x) ¬Q(x), Q(x),¬P (x) ⊢ ¬Q(x)


5.2. A szekventkalkulus

5.7. definíció. Legyenek A1, A2, . . . , An, B1, B2, . . . , Bm (n,m ≥ 0) els®-rend¶ formulák. Ekkor a

⊤ ∧ A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An ⊃ B1 ∨B2 ∨ . . . ∨Bm ∨ ⊥

formulát szekventnek nevezzük. Jelölése

A1, A2, . . . , An → B1, B2, . . . , Bm

vagy rövidebben Γ → ∆, ahol Γ az A1, A2, . . . , An és ∆ a B1, B2, . . . , Bm

formulák multihalmazai.

A Γ → ∆ szekvent tehát egy speciális alakú formula: implikáció, melybenaz implikáció bal oldalán a Γ formuláinak konjunkciós, a jobb oldalán a ∆formuláinak diszjunkciós láncformulája áll. Ha a szekventben Γ üres, azimplikáció bal oldalán a ⊤ törvényt, ha ∆ üres, az implikáció jobb oldalána ⊥ kielégíthetetlen formulát kell elképzelni. Ha A és B formulák, akkoraz A,Γ → ∆, B jelölés az A,A1, A2, . . . , An → B1, B2, . . . , Bm, B szekventethivatkozza.

5.8. példa.

Határozzuk meg, hogy az alábbi szekventek mint formulák hogyan adhatókmeg:

(a) → (üres) szekvent a ⊤ ⊃ ⊥ ∼ ⊥ formulát, azaz logikai ellentmondástír le.

(b) → B szekvent a ⊤ ⊃ B, azaz a B formulát jelöli.

(c) Az A → szekvent jelentése az A ⊃ ⊥, azaz a ¬A formula.

(d) A → B jelentése A ⊃ B.

(e) A1, A2 → B1, B2 jelentése pedig A1 ∧ A2 ⊃ B1 ∨B2.

Világos, hogy ha egy A formulát szekventté szeretnénk alakítani, azaz el®akarjuk állítani azt a szekventet, ami épp az A formulát írja le, csak egy →jelet kell elé írni: → A.

5.2. A szekventkalkulus 43

5.9. definíció. A, B, Γ, ∆, x és t szimbólumok.

• A szekventkalkulus alapsémája:

A,Γ → ∆, A

• A szekventkalkulus levezetési szabályai:

(∧ →)A,B,Γ → ∆

(A ∧B),Γ → ∆(→ ∧) Γ → ∆, A; Γ → ∆, B

Γ → ∆, (A ∧B)

(∨ →)A,Γ → ∆; B,Γ → ∆

(A ∨B),Γ → ∆(→ ∨) Γ → ∆, A,B

Γ → ∆, (A ∨B)

(⊃→)Γ → ∆, A; B,Γ → ∆

(A ⊃ B),Γ → ∆(→⊃)

A,Γ → ∆, B

Γ → ∆, (A ⊃ B)

(¬ →)Γ → ∆, A

¬A,Γ → ∆(→ ¬) A,Γ → ∆

Γ → ∆,¬A

(∀ →)[A(x ∥ t)],∀xA,Γ → ∆

∀xA,Γ → ∆

(→ ∀) Γ → ∆, A

Γ → ∆, ∀xA(x /∈ Par(Γ,∆))

(∃ →)A,Γ → ∆

∃xA,Γ → ∆(x /∈ Par(Γ,∆))

(→ ∃) Γ → ∆, [A(x ∥ t)],∃xAΓ → ∆, ∃xA

Ha az A és B szimbólumokat egy ítéletlogikai nyelv formuláival, a Γ és ∆szimbólumokat pedig formulák multihalmazaival helyettesítjük, az alapsémá-ból alapszekventeket kapunk, a levezetési szabály segítségével pedig egy vagykét (vonal feletti) szekventb®l levezetünk egy (vonal alatti) harmadikat. x anyelv változója és t term.


5.10. tétel.

(a) Minden alapszekvent által leírt formula logikai törvény.

(b) A szekventkalkulus egy levezetési szabályában a vonal alatti alakú szek-vent pontosan akkor logikai törvény, ha a vonal feletti szekvent vagyszekventek is logikai törvények. (Tehát a szekventkalkulus levezetésiszabályai megfordíthatóak.)

A tétel bizonyítása gyakorló feladat.

5.11. definíció. A szekventkalkulusbeli levezetésfa és a levezetésfa ma-gassága a következ®:

1. A kalkulus minden alapszekventje egy (egyetlen szekventb®l álló) leve-zetésfa, ez a szekvent lesz a levezetésfa gyökere. A levezetésfa magas-sága 1.

2. Ha F m magasságú olyan levezetésfa, amelynek gyökere a szekvent-kalkulusbeli levezetési szabályban épp vonal feletti szekvent, akkor alevezetési szabállyal a vonal alatti S szekventet el®állítva

FS

is levezetésfa, ahol az S szekvent a kapott levezetésfa gyökere, és alevezetésfa magassága m+ 1.

3. Ha F1 és F2 rendre m1 és m2 magasságú olyan szekventkalkulusbelilevezetésfák, melyek gyökerei valamely levezetési szabályban épp vonalfeletti szekventek, akkor el®állítva a levezetési szabállyal a vonal alattiS szekventet,

F1 F2

Sis levezetésfa a kalkulusban, amelyben az S szekvent lesz a levezetésfagyökere, és a levezetésfa magassága max(m1,m2) + 1.

4. Minden levezetésfa az 1�3. szabályok véges sokszori alkalmazásával állel®.

5.12. példa. A szekventkalkulusban az alábbi fa 3 magasságú levezetésfa,melynek gyökere a → A ⊃ (B ⊃ A) szekvent:

A,B → A

A → B ⊃ A

→ A ⊃ (B ⊃ A)

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]


A szekventek mellett zárójelek között megadtuk azt a levezetési szabályt,melyet alkalmazva a szekvent el®állt.

5.13. definíció. Azt mondjuk, hogy az S szekvent a szekventkalkulus-ban bizonyítható, ha van olyan szekventkalkulusbeli levezetésfa, melynek S agyökere. Jelölése: ⊢G S.

Az alábbi tétel bizonyítását az olvasóra bízzzuk.

5.14. tétel. (A szekventkalkulus helyessége.)

Ha az A1, A2, . . . , An → B1, B2, . . . , Bm szekvent bizonyítható a szekvent-kalkulusban, akkor a ⊤∧A1∧A2∧ . . .∧An ⊃ B1∨B2∨ . . .∨Bm∨⊥ formulalogikai törvény.

5.15. példa.

A → (A ∧ B ⊃ C) ⊃ (A ⊃ (B ⊃ C)) szekvent a szekventkalkulusban akövetkez® � 6 magasságú � levezetésfával bizonyítható:

A,B → A,C A,B → B,C

A,B → A ∧B,C C,A,B → C

A ∧B ⊃ C,A,B → C

A ∧B ⊃ C,A → B ⊃ C

A ∧B ⊃ C → A ⊃ (B ⊃ C)

→ (A ∧B ⊃ C) ⊃ (A ⊃ (B ⊃ C))

[ (→ ∧) ]

[ (⊃ →) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]

5.16. példa. A¬∃xP (x) ∨R → ∀x(P (x) ⊃ R)

szekvent (ahol x ∈ Par(R)) a szekventkalkulusban a következ® levezetésfávalbizonyítható:

P (x) → R,P (x), ∃xP (x)

P (x) → R,∃xP (x)

¬∃xP (x), P (x) → R R,P (x) → R

¬∃xP (x) ∨R,P (x) → R

¬∃xP (x) ∨R → P (x) ⊃ R

¬∃xP (x) ∨R → ∀x(P (x) ⊃ R)

[ (→ ∃) ]

[ (¬ →) ]

[ (∨ →) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ∀) ]


A gyakorlatban a szekventkalkulus levezetési szabályait is �alulról fel-felé� szoktuk alkalmazni: amikor bizonyítani szeretnénk egy S szekventet,megpróbáljuk a bizonyító levezetésfát a gyökeréb®l (S-b®l) kiindulva �alulrólfelfelé� haladva felépíteni. Ehhez keresni kell az épül® levezetésfa mindennem alapszekvent leveléhez olyan levezetési szabályt a kalkulusban, melysegítségével a levél el®állhat, és a levezetési szabálynak megfelel® vonal fe-letti szekvent(ek)et be kell írni a készül® levezetésfába ezen levél szül®jeként(szüleiként). A szekventkalkulus levezetési szabályainak megfordíthatóságamiatt lényegtelen, hogy az alkalmazható levezetési szabályok közül melyiketválasztjuk.

Most foglalkozzunk azzal a kérdéssel, hogy vajon a szekventkalkulus ekvi-valens-e a predikátumkalkulussal, azaz igaz-e, hogy egy → A szekvent ponto-san akkor bizonyítható a szekventkalkulusban, amikor A hipotézismentesenlevezethet® a predikátumkalkulusban. Ha ugyanis a két kalkulus ekvivalens,akkor a szekventkalkulus teljes kalkulus is.

5.17. lemma. Ha A a predikátumkalkulus alapformulája, akkor → A bi-zonyítható a szekventkalkulusban.

Bizonyítás. A bizonyítást konstruktív módon végezzük el, a predikátum-kalkulus alapsémáiból el®állított formulák esetén rendre megkonstruáljuk amegfelel® szekvent levezetését.

1. Az 1. sémából el®állított alapformula esetén a levezetés

A,B → A

A → B ⊃ A

→ A ⊃ (B ⊃ A)

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]

2. A 2. sémából el®állított alapformula esetén a levezetés:

A → C,B,A A,B → C,B

(A ⊃ B), A → C,B C, (A ⊃ B), A → C

(B ⊃ C), (A ⊃ B), A → C (A ⊃ B), A → A,C

A ⊃ (B ⊃ C), (A ⊃ B), A → C

A ⊃ (B ⊃ C), (A ⊃ B) → A ⊃ C

A ⊃ (B ⊃ C) → (A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)

→ (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))

[ (⊃ →) ]

[ (⊃ →) ]

[ (⊃ →) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]



[A(x ∥ t)], ∀xA → [A(x ∥ t)]

∀xA → [A(x ∥ t)]

→ ∀xA ⊃ [A(x ∥ t)]

[ (∀ →) ]

[ (→ ⊃) ]


A,∀x(B ⊃ A), B → A ∀x(B ⊃ A), B → A,B

B ⊃ A,∀x(B ⊃ A), B → A

∀x(B ⊃ A), B → A

∀x(B ⊃ A), B → ∀xA x /∈ Par(B)

∀x(B ⊃ A) → B ⊃ ∀xA

→ ∀x(B ⊃ A) ⊃ (B ⊃ ∀xA)

[ (⊃ →) ]

[ (∀ →) ]

[ (→ ∀) ]

[ (→ ⊃) ]

[ (→ ⊃) ]

A többi alapformula esetén a levezetés megadását az olvasóra hagyjuk, alemmát így bizonyítottnak tekinthetjük. ♢

5.18. lemma. A predikátumkalkulus levezetési szabályai elérhet®k a szek-ventkalkulusból.

Bizonyítás.

Azaz ha → A és → A ⊃ B bizonyíthatóak a szekventkalkulusban, akkor→ B is az, továbbá ha → A bizonyítható, akkor → ∀xA is,

(a) Az olvasóra bízzuk annak bizonyítását, ha ⊢G → A, akkor ⊢G → A,Bis. Ha ⊢G → A ⊃ B, a (→ ⊃) levezetési szabály megfordíthatósága mi-att ⊢G A → B is. Ekkor alkalmazva a szekventkalkulus vágás szabályátkapjuk, hogy ⊢G → B.

(b) Ha → A bizonyítható, így alkalmazva a (→ ∀) szabályt → ∀xA isbizonyítható.

Ezzel az állítást beláttuk. ♢

5.19. tétel. Ha B hipotézismentesen levezethet® az predikátumkalkulus-ban, akkor → B bizonyítható a szekventkalkulusban, azaz ha ⊢ B, akkor⊢G→ B.


Bizonyítás. A ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfa magassága sze-rinti indukcióval bizonyítunk. Legyen a levezetésfa magassága k.

(a) k = 1 esetén B a predikátumkalkulus alapformulája, ekkor ⊢G→ B.


(c) Legyen most k = n+1. Ha a ⊢ B szekvenciát megalapozó levezetésfát

� a modus ponens levezetési szabállyal nyertük ⊢ C és ⊢ C ⊃ Bszekvenciákat megalapozó, legfeljebb n magasságú levezetésfák-ból, az indukciós feltevés miatt → C és → C ⊃ B bizonyíthatóka szekventkalkulusban. De a modus ponens elérhet® a szekvent-kalkulusból.

� az általánosítás szabályával nyertük a ⊢ C(x) (x /∈ Par(Γ)) szek-venciát megalapozó n magasságú levezetésfából, az indukciós fel-tevés miatt → C(x) bizonyítható. De az általánosítás szabályaelérhet® a szekventkalkulusból.


5.3. Feladatok

1. Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy az alábbi szekvenciákmegalapozhatók.

(a) ⊢ ∃xP (x) ⊃ ¬∀x¬P (x)

(b) ⊢ ¬∀x¬P (x) ⊃ ∃xP (x)

(c) ⊢ ¬∃xP (x) ⊃ ∀x¬P (x)

(d) ⊢ ∀x¬P (x) ⊃ ¬∃xP (x)

2. Bizonyítsuk be természetes technikával, hogy az alábbi következmény-relációk fennállnak.

(a) ∀x∀yQ(x, y) |= ∀xQ(x, x)

(b) ∃xQ(x, x) |= ∃x∃yQ(x, y)

(c) ∃y∀xQ(x, y) |= ∀x∃yQ(x, y)

(d) ∀x(P (x) ⊃ R(x)), P (c) |= R(c)

5.3. Feladatok 49

3. Készítsük el a természetes technika ekvivalenciajelre vonatkozó leve-zetési szabályait. (A ≡ B (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A))

4. Készítsük el a szekventkalkulus ekvivalenciajelre vonatkozó levezetésiszabályait.

5. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi szekventek bizonyíthatók a szekvent-kalkulusban. Mit bizonyítottunk ezzel a szekvent által meghatározottformulákról?

(a) → ∃xP (x) ⊃ ¬∀x¬P (x)

(b) → ¬∀x¬P (x) ⊃ ∃xP (x)

(c) → ∃x(R(x) ∧ P (x)) ⊃ ∃xR(x) ∧ ∃xP (x)

(d) → ∃x(R(x) ∨ P (x)) ⊃ ¬(¬∃xR(x) ∧ ∀x¬P (x))

(e) → ∀x(R(x) ∧ ¬P (x)) ⊃ ¬(∀xR(x) ⊃ ∃xP (x))

6. Bizonyítsuk be, hogy A pontosan akkor kielégíthetetlen, ha az A →szekvent bizonyítható.

7. Bizonyítsuk be, hogy A1, A2, . . . , An |= B pontosan akkor, ha az

A1, A2, . . . , An → B

szekvent bizonyítható.

8. Bizonyítsuk be a szekventkalkulus segítségével a következményrelációfennállását.

(a) ¬∃x(P (x) ∧Q(x)), ∃x(R(x) ∧ P (x)) |= ∃x(R(x) ∧ ¬Q(x))

(b) ∃x(P (x) ∧ ¬Q(x)), ∀x(P (x) ⊃ R(x)) |= ¬∀x(R(x) ⊃ Q(x))

(c) ∃x(P (x) ∧Q(x)), ∀x(P (x) ⊃ R(x)) |= ∃x(R(x) ∧Q(x))

6. fejezet

A rezolúciós kalkulus

6.1. A Herbrand-univerzum és az els®rend¶

klózhalmazok

6.1. definíció. Legyen Γ els®rend¶ klózhalmaz, továbbá a Γ-ban szerepl®függvényszimbólumok halmaza Fn, konstansszimbólumok halmaza Cnst. AΓ klózhalmaz Herbrand-univerzumán az alábbiakban de�niált H halmaztértjük:

1. Legyen

H0 {

Cnst, ha Cnst = ∅,{a} (a tetsz®leges szimbólum) egyébként.

2. Legyenek továbbá, ha i = 1, 2, . . . rendreHi Hi−1 ∪ Ti, aholTi { f(t1, t2, . . . , tk) ∈ Hi−1, | f ∈ Fn, t1, t2, . . . , tk ∈ Hi−1}.

3. Végül legyen H ∪∞

i=0Hi.

Γ Herbrand-bázisa a H-beli termekb®l épített zárt atomok halmaza.

6.2. példa.

Legyen Γ = {∀x∀y(P (x) ∨ Q(x, y)), ∀z¬Q(z, z)}. Mivel Γ-ban nincs kons-tansszimbólum, ezért legyen a egy tetsz®leges szimbólum. H0 = {a}. Γ-banfüggvényszimbólum sincs, ezért

H0 = H1 = . . . = H = {a}.

A klózhalmaz Herbrand-bázisa pedig

{P (a), Q(a, a)}.

6.3. példa. Legyen Γ = {P (s(0)), ∀x(¬P (x) ∨ P (s(s(x))))}. Ekkor

50

6.1. A Herbrand-univerzum és az els®rend¶ klózhalmazok 51

H0 = {0},H1 = {0, s(0)},H2 = {0, s(0), s(s(0))},

...H = {0, s(0), s(s(0)), s(s(s(0))), . . .}.

Γ Herbrand-bázisa

{P (0), P (s(0)), P (s(s(0))), . . .}

6.4. példa. Legyen Γ = {∀x(P (x) ∨ ¬Q(f(x, a), b))}. Ekkor

H0 = {a, b}H1 = {a, b, f(a, a), f(a, b), f(b, a), f(b, b)}H2 = {a, b, f(a, a), f(a, b), f(b, a), f(b, b),

f(a, f(a, a)), f(a, f(a, b)), f(a, f(b, a)), f(a, f(b, b)),

f(b, f(a, a)), f(b, f(a, b)), f(b, f(b, a)), f(b, f(b, b)),...

. . . , f(f(b, b), f(b, a)), f(f(b, b), f(b, b))}...

6.5. definíció. Egy Γ klózhalmaz ⟨Cnst, Fn, Pr⟩ leíró nyelve Herbrand-interpretációinak nevezzük és IH-vel jelöljük a nyelv olyan interpretációit,melyek univerzuma éppen H,

− minden c ∈ Cnst konstansszimbólumhoz IH a c ∈ H univerzumelemet(önmagát) rendeli, és

− minden k aritású f ∈ Fn függvényszimbólumhoz IH hozzárendeli aztaz fIH : Hk → H m¶veletet, amelyikre mindenh1, h2, . . . , hk ∈ H esetén

fIH(h1, h2, . . . , hk) = f(h1, h2, . . . , hk).

Egy Γ els®rend¶ klózhalmaz Herbrand-interpretációi tehát csak a Γ-ban el®-forduló predikátumszimbólumok interpretálásában különböznek. Ezért vilá-gos, hogy Γ egy IH Herbrand-interpretációját a következ® módon is leírhat-juk: legyen {A1, A2, . . .} Γ Herbrand-bázisa és legyen

Li {

Ai, ha Ai igaz IH-ban,¬Ai, ha Ai hamis IH-ban.

Ekkor a IH Herbrand-interpretációt az {L1, L2, . . . } literál-halmaz egyértel-m¶en megadja.

52 6. A rezolúciós kalkulus

6.6. példa. A Γ = {∀x(P (x) ∨ Q(x)),∀yR(f(y))} klózhalmaz Herbrand-univerzuma:

H = {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), . . .}.

Γ Herbrand-bázisa:

{P (a), Q(a), R(a), P (f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), . . .}.

Néhány Herbrand-interpretáció:

I1 = {P (a), Q(a), R(a), P (f(a)), Q(f(a)), R(f(a)), . . . }I2 = {P (a), Q(a),¬R(a),¬P (f(a)), Q(f(a)),¬R(f(a)), . . . }I3 = {¬P (a),¬Q(a),¬R(a),¬P (f(a)),¬Q(f(a)),¬R(f(a)), . . . }

Az alábbi ábrán bejelöltük az I1, I2, I3 Herbrand-interpretációkat.

P (a) ¬P (a)

Q(a) ¬Q(a) Q(a) ¬Q(a)

R(a) ¬R(a) ¬R(a)

P (f(a)) ¬P (f(a)) ¬P (f(a))

6.7. definíció. A Γ klózhalmaz ⟨Cnst, Fn, Pr⟩ leíró nyelvének legyen Ivalamely U univerzum feletti interpretációja. Az I-nek megfelel® Herbrand-interpretáció Γ-nak egy olyan IH Herbrand-interpretációja, amelyre teljesül,hogy van olyan

φ : H → U

függvény, hogy a P (h1, h2, . . . , hn) zárt atom pontosan akkor igaz IH-ban,amikor a (�neki megfelel®�) P (x1, x2, . . . , xn) atom az

(x1, x2, . . . , xn ∥ φ(h1), φ(h2), . . . , φ(hn))

értékelés mellett igaz I-ben .


Könnyen belátható, hogy egy els®rend¶ klózhalmaz nyelvének tetsz®legesinterpretációjához van megfelel® Herbrand-interpretáció.Legyen I = ⟨U , ICnst, IFn, IPr⟩. Legyen a φ : H → U a következ®képpende�niálva:

− ha Cnst = ∅, akkor a H-ban szerepl® extra konstanshoz φ rendeljentetsz®leges U -beli elemet,

− minden c ∈ Cnst (egyúttal c ∈ H) konstansszimbólum esetén φ(c)legyen az ICnst(c) U -beli elem,

− az f(h1, h2, . . . , hk) alakú H-beli elemek esetén φ(f(h1, h2, . . . , hk)) le-gyen a fI(φ(h1), φ(h2), . . . , φ(hk)) U -beli elem.

6.8. példa. Legyen Γ = {∀xP (x), ∀yQ(y, f(y, a))}. Legyen I a következ®:U = {1,2}, az a interpretációja 2, a predikátum- és függvényszimbólumok-hoz pedig az alábbi reláció- és m¶velettáblákkal de�niált relációkat és m¶ve-leteket rendeli I.

P I 1 2

i h

QI 1 2

1 h h

2 i i

fI 1 2

1 1 2

2 2 1

Γ Herbrand-univerzuma:

H = {a, f(a, a), f(a, f(a, a)), f(f(a, a), a), f(f(a, a), f(a, a)), . . . }.

Γ Herbrand-bázisa:

{P (a), Q(a, a), P (f(a, a)), Q(a, f(a, a)), Q(f(a, a), a), . . .}.

Ekkor a φ : H → U megfeleltetés:

a 7→ 2 (kötelez®), f(a, a) 7→ 1, f(a, f(a, a)) 7→ 2, f(f(a, a), a) 7→ 2, . . . .

Az I-nek megfelel® Herbrand-interpretáció:

IH = {¬P (a), Q(a, a), P (f(a, a)),¬Q(a, f(a, a)), Q(f(a, a), a), . . .}.

6.9. példa. Legyen Γ = {∀xP (x),∀y∀zQ(y, f(y, z))}. Vegyük észre, hogyΓ leíró nyelve az el®z® példabeli leíró nyelvt®l csak abban különbözik, hogyebben nincs konstansszimbólum. Interpretáljuk Γ nyelvét az I ′ interpretáció-val, ami csak annyiban különbözik I-t®l, hogy konstansszimbólumot nyilvánnem kell interpretálnia.

Most a φ : H → U megfeleltetés során a-hoz bármely univerzumelemhozzárendelhet®. Tartsuk meg a többi Herbrand-univerzumbeli elemre azel®z® példabeli megfeleltetést.


− Ha a 7→ 2, akkor az I ′-nek megfelel® Herbrand-interpretáció a fenti IH.

− Ha a 7→ 1, az I ′-nek megfelel® Herbrand-interpretáció

I ′H = {P (a),¬Q(a, a), P (f(a, a)),¬Q(a, f(a, a)),¬Q(f(a, a), a), . . .}.

6.10. tétel. Ha egy I interpretáció kielégít egy Γ els®rend¶ klózhalmazt,akkor az I-nek megfelel® Herbrand-interpretáció is kielégíti Γ-t.

Bizonyítás.

A de�níció szerint ha IH az I-nek megfelel® Herbrand-interpretáció, akkorvan olyan φ : H → U függvény, hogy minden h1, h2, . . . , hn ∈ H esetén azIH a P (h1, h2, . . . , hn)-hez ugyanazt az igazságértéket rendeli, mint az I aP (x1, x2, . . . , xn) atomhoz az

(x1, x2, . . . , xn ∥ φ(h1), φ(h2), . . . , φ(hn))

értékelés mellett. ♢

6.11. tétel. Egy Γ els®rend¶ klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetet-len, ha Γ-t nem elégíti ki a Herbrand-univerzuma feletti egyetlen Herbrand-interpretáció sem.

Bizonyítás.

1. Tegyük fel, hogy S kielégíthetetlen. Ekkor Γ-t nem elégítheti ki (sem-milyen univerzum felett) egyetlen interpretáció sem, így egyetlen Her-brand-interpretáció sem.

2. Tegyük fel, hogy S ugyan kielégíthetetlen az általa meghatározott Her-brand-univerzumon, de Γ nem kielégíthetetlen, azaz van olyan U uni-verzum és I interpretáció, amely Γ-t kielégíti. Legyen IH a I-nekmegfelel® Herbrand-interpretáció. Az el®z® tétel miatt IH kielégíti Γ-t,pedig IH a Herbrand-univerzum feletti interpretáció. Ellentmondásrajutottunk, tehát ha Γ kielégíthetetlen a Herbrand-univerzumán, akkorΓ kielégíthetetlen.

♢

Egyik tétel sem áll fenn, ha Γ nem els®rend¶ klózhalmaz. Vagyis, haΓ zárt formulák tetsz®leges halmaza, akkor általában nem igaz, hogy Γkielégíthetetlenségének vizsgálata esetén elég lenne Γ-át csak a Herbrand-struktúrákkal interpretálni.


6.12. példa. Legyen Γ = {P (a),∃x¬P (x)}. A Γ második formulája nemels®rend¶ klóz. Γ Herbrand-univerzuma: H = {a}, S Herbrand-bázisa:{P (a)}. A Γ formulahalmazt egyik Herbrand-interpretáció sem elégíti ki.Azonban Γ kielégíthet®, hiszen az az U = {0,1} feletti I interpretáció, mely-ben P I(0) = i, P I(1) = h és a 7→ 0, kielégíti Γ-át.

6.13. definíció. Legyen ∀x1∀x2 . . . ∀xnC(x1, x2, . . . , xn) ∈ Γ egy klóz, Hpedig Γ Herbrand-univerzuma. Legyen az

θ =

(x1 x2 . . . xk

t1 t2 . . . tk

)termhelyettesitésben t1, t2, . . . , tn ∈ H. Ez a helyettesítés C(x1, x2, . . . , xn)egy a Herbrand-univerzum feletti értékelése. A C(t1, t2, . . . , tn) formulát a∀x1∀x2 . . . ∀xnC(x1, x2, . . . , xn) klóz egy H feletti alappéldányának nevezzük.

6.14. példa. A Γ = {∀x(¬P (x)∨Q(f(x), x)), P (g(a)), ∀y∀z¬Q(y, z)} klóz-halmaz klózainak Herbrand-univerzum feletti alappéldányai:

{¬P (a) ∨Q(f(a), a),¬P (f(a)) ∨Q(f(f(a)), f(a)),

¬P (g(a)) ∨Q(f(g(a)), g(a)), . . . , P (g(a)),

¬Q(a, a),¬Q(f(a), a), . . . ,¬Q(f(g(a)), g(a)), . . .}

6.15. tétel. (Herbrand tétele)

Egy Γ els®rend¶ klózhalmaz akkor és csak akkor kielégíthetetlen, ha a Γ klózaiHerbrand-univerzum feletti alappéldányainak van véges, itt kielégíthetetlenrészhalmaza.

6.16. példa.

(a) Legyen Γ = {∀xP (x),¬P (f(a))}. Az S els®rend¶ klózhalmaz kielégít-hetetlen, mert Γ Herbrand-univerzum feletti alappéldányainak

{P (f(a)),¬P (f(a))}

egy véges kielégíthetetlen részhalmaza.

(b) Az Γ = {∀x(¬P (x)∨Q(f(x), x)), P (g(a)),∀y∀z¬Q(y, z)} kielégíthetet-len, mert Γ Herbrand-univerzum feletti alappéldányainak

{¬P (g(a)) ∨Q(f(g(a)), g(a)), P (g(a)),¬Q(f(g(a)), g(a))}

egy véges kielégíthetetlen részhalmaza. Ezek az alappéldányok az

(x, y, z ∥ g(a), f(g(a)), g(a))

értékelés mellett álltak el®.


6.2. Az alaprezolúció

Ha Herbrand tételét szeretnénk felhasználni egy klózhalmaz kielégíthetetlen-ségének vizsgálatára, a klózhalmaz Herbrand-univerzum feletti alappéldányaihalmazában kell keresnünk kielégíthetetlen véges részhalmazt. Egy els®rend¶klóz alappéldányai zárt literálok elemi diszjunkciói, tehát maguk is klózok.Ebben a szakaszban most csak ilyen klózokkal dolgozunk: zárt atomok ésnegáltjaik elemi diszjunkcióival. Nevezzük ®ket alapklózoknak. Egy atomotés negáltját komplemens literálpárnak fogjuk nevezni.

6.17. definíció. Legyen a C1 = C ′1 ∨ L1 és C2 = C ′

2 ∨ L2 alapklózokbanaz egyetlen komplemens literálpár L1 és L2. A C ′

1 ∨ C ′2 klózt a (C1, C2)

klózpár rezolvensének, az L1 és L2 literálokat pedig a kirezolvált literáloknaknevezzük. Ha C1 = L1 és C2 = L2, rezolvensük az üres klóz (�).

6.18. példa. Vizsgáljunk most meg néhány klózpárt, van-e rezolvensük.

klózpár rezolvens

(a) (P (a) ∨Q(a, b), ¬Q(a, b) ∨R(b, b)) P (a) ∨R(b, b)

(b) (P (a) ∨ ¬Q(a, b), ¬Q(a, b) ∨R(b, b)) nincs komplemens literálpár

(c) (P (a) ∨ ¬Q(a, b), R(b, b) ∨ ¬P (f(a))) nincs komplemens literálpár

(d) (¬P (a) ∨ ¬Q(a, b), P (a) ∨Q(a, b)) két komplemens literálpár van

(e) (P (a), ¬P (a)) �

6.19. tétel. Legyenek C1 = C ′1 ∨ L1 és C2 = C ′

2 ∨ L2, ahol L1 és L2 azegyetlen komplemens literálpár. {C1, C2} |= C ′

1 ∨ C ′2.

Bizonyítás. Ha C1 = L1 és C2 = L2, akkor nincs a {C1, C2} klózhalmazt ki-elégít® interpretáció, tehát igaz az állítás. Egyébként a {C1, C2} klózhalmaztkielégít® tetsz®leges interpretáció

− vagy olyan, hogy L1 igaz benne, de L2 hamis (IL1),

− vagy olyan, hogy L2 igaz benne, de L1 hamis (IL2).

Mivel az IL1 interpretáció kielégíti a {C1, C2} klózhalmazt, azaz itt a C1

és a C2 klózok igazak, de L2 hamis, ezért C ′2 igaz, tehát igaz C ′

1 ∨ C ′2 is.

Hasonlóképpen láthatjuk be, hogy a IL2 interpretációkban pedig C ′1 igaz.

Tehát mind IL1 , mind IL2 kielégíti a C ′1 ∨ C ′

2 klózt. ♢

6.2. Az alaprezolúció 57

6.20. definíció.

Egy Γ alapklózhalmazból a C klóz rezolúciós levezetése egy olyan végesk1, k2, . . . , km (m ≥ 1) klózsorozat, ahol minden j = 1, 2, . . . ,m-re

1. vagy kj ∈ Γ,

2. vagy van olyan 1 ≤ s, t < j, hogy kj a (ks, kt) klózpár rezolvense,

és klózsorozat utolsó tagja, km, éppen a C klóz.

6.21. példa. Próbáljuk meg az üres klózt levezetni a

Γ ={¬P (a) ∨Q(a, a), ¬Q(a, a) ∨R(a, b), P (a) ∨ P (b),

¬P (b) ∨Q(a, a) ∨R(a, b), ¬R(a, b)}

klózhalmazból. A levezetés bármelyik Γ-beli klózzal indítható.

1. ¬P (b) ∨Q(a, a) ∨R(a, b) [ ∈ Γ ]

2. ¬R(a, b) [ ∈ Γ ]

3. ¬P (b) ∨Q(a, a) [ 1, 2 rezolvense ]

4. ¬Q(a, a) ∨R(a, b) [ ∈ Γ ]

5. ¬Q(a, a) [ 2, 4 rezolvense ]

6. ¬P (b) [ 3, 5 rezolvense ]

7. P (a) ∨ P (b) [ ∈ Γ ]

8. P (a) [ 6, 7 rezolvense ]

9. ¬P (a) ∨Q(a, a) [ ∈ Γ ]

10. Q(a, a) [ 8, 9 rezolvense ]

11. � [ 5, 10 rezolvense ]

6.22. lemma. Legyen Γ tetsz®leges alapklózhalmaz és a k1, k2, . . . , km klóz-sorozat rezolúciós levezetés Γ-ból. Ekkor kj minden j = 1, 2, . . . ,m-re követ-kezménye az Γ klózhalmaznak, azaz Γ |= kj.

Bizonyítás.

1. A levezetés els® klóza, k1, biztosan eleme S-nek, tehát S |= k1.


2. Tegyük most fel, hogy minden j ≤ n-re igazoltuk már, hogy S |= kj.

3. Belátjuk, hogy kn+1-re is igaz az állítás. Ha kn+1 ∈ Γ, akkor S |= kn+1.Ha kn+1 valamely ks, kt klózok rezolvense, akkor az els® tétel miatt{ks, kt} |= kn+1. Az indukciós feltevés miatt S |= ks és S |= kt. Ebb®lS |= kn+1.

♢

6.23. tétel. (A rezolúciós kalkulus helyessége.)

Legyen Γ tetsz®leges alapklózhalmaz. Ha Γ-ból levezethet® az üres klóz,akkor Γ kielégíthetetlen.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van olyan I interpretáció, ami kielégíti Γ-t.Az el®bbi lemma szerint egy Γ-ból való rezolúciós levezetésbeli bármely kjklózra S |= kj, tehát I kielégíti a rezolúciós levezetés minden klózát is. Deaz üres klóz kielégíthetetlen, tehát nem lehet eleme a levezetésnek. Így tehátha Γ-ból levezethet® az üres klóz, akkor Γ kielégíthetetlen. ♢

6.24. tétel. (A rezolúciós kalkulus teljessége.)

Ha az Γ véges alapklózhalmaz kielégíthetetlen, akkor Γ-ból levezethet® azüres klóz.

6.3. Az els®rend¶ rezolúció

6.25. példa. Legyen két els®rend¶ klóz a

C1 = ∀x(P (f(x)) ∨Q(x)) és a C2 = ∀x∀y(¬P (f(x)) ∨R(x, y)).

C1 és C2 pontosan egy komplemens literálpárt tartalmaz. Ha a magjaikat azalapklózokhoz hasonlóan rezolválnánk, a

C = ∀x∀y(Q(x) ∨R(x, y))

klózhoz jutnánk. Lássuk be, hogy{∀x(P (f(x)) ∨Q(x)), ∀x∀y(¬P (f(x)) ∨R(x, y))

}|= ∀x∀y(Q(x) ∨R(x, y)).

Ha I kielégíti a C1 és C2 klózokat, a P (f(x)) ∨ Q(x) és ¬P (f(x)) ∨ R(x, y)formulák I-ben minden értékelés mellett igazak. Tehát ha egy értékelés mel-lett I-ben P (f(x)) hamis, akkor ott Q(x) igaz, és ha ¬P (f(x)) hamis, ak-kor R(x, y) igaz. Mivel minden értékelés mellett P (f(x)) igazsága esetén¬P (f(x)) hamis és fordítva, így minden értékelés mellett vagy a Q(x), vagyaz R(x, y) igaz, és így ∀x∀y(Q(x) ∨R(x, y))|I = i.

6.3. Az els®rend¶ rezolúció 59

Ha ilyen módon képezve els®rend¶ klózok rezolvensét szeretnénk ezt rezo-lúciós levezetési szabályként alkalmazni, akkor igazolni kell általánosan is apéldabeli állítást.

6.26. tétel. Legyenek most C1 és C2 olyan els®rend¶ klózok, melyek pon-tosan egy komplemens literálpárt tartalmaznak, azaz C1 és C2 magjai

CM1 = CM

1′ ∨ L1 és CM

2 = CM2

′ ∨ L2

alakúak, ahol L1 és L2 a komplemens literálpár. Legyen a C klóz magjaCM

1′ ∨ CM

2′. Ekkor {C1, C2} |= C.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy az I interpretáció kielégíti a {C1, C2} els®-rend¶ klózhalmazt. Kövessük az el®z® gondolatmenetet. Az I interpretáció-ban tetsz®leges értékelés mellett vagy L1 és CM

2′, vagy L2 és CM

1′ igaz. Azaz

I-ben C igaz. ♢

Észrevehetjük, hogy komplemens párt ugyan nem tartalmazó két els®rend¶klóz Herbrand-univerzum feletti alappéldányaiban mégis lehet komplemenspár.

6.27. példa.{∀x∀y(P (x) ∨ ¬Q(x, f(y))), ∀z∀v(¬P (g(z)) ∨ ¬P (v)), ∀uQ(g(u), u)

}.

Egyik klózpárban sincs komplemens literálpár. Alaprezolúcióval vizsgáljukmeg, hogy a klózhalmaz kielégíthetetlen-e. A Herbrand-univerzum:{

a, g(a), f(a), g(f(a)), g(g(a)), f(f(a)), f(g(a)), . . .}.

Egy alaprezolúciós levezetés:

1. Q(g(f(a)), f(a)) [ u 7→ f(a) ]

2. P (g(f(a))) ∨ ¬Q(g(f(a)), f(a)) [ x 7→ g(f(a)), y 7→ a ]

3. P (g(f(a)))

4. ¬P (g(f(a))) [ z 7→ f(a), v 7→ g(f(a)) ]

5. �Tegyünk egy új változót a kiválasztott alapklózokban az a helyébe.

1. Q(g(f(w)), f(w)) [ (u ∥ f(w)) ]

2. P (g(f(w))) ∨ ¬Q(g(f(w)), f(w)) [ (x, y ∥ g(f(w)), w) ]

3. P (g(f(w)))

4. ¬P (g(f(w))) [ (z, v ∥ f(w), g(f(w))) ]

5. �


Ez a levezetés a{∀w(P (g(f(w))) ∨ ¬Q(g(f(w)), f(w))),

∀w¬P (g(f(w))), ∀wQ(g(f(w)), f(w))}

klózhalmazból való egy els®rend¶ rezolúciós levezetés. Ezt a klózhalmazt úgykaptuk az eredetib®l, hogy az els®rend¶ klózok magjaiban az atomi formu-lákban a változók helyébe olyan termeket helyettesítettünk, amelyek azonosalapú literálokat eredményeztek. Ezzel a � logikában egyébként nem megen-gedett � helyettesítéssel (illeszt® helyettesítés)

• kapott els®rend¶ klózhalmaz alappéldányai között az eredeti klózhal-maz egymással komplemens litárokat tartalmazó alappéldányai meg-jelennek, de ilyen literálokat nem tartalmazó alappéldányok közül sokkisz¶r®dik,

• miközben a klózhalmaz kielégíthet®sége meg®rz®dik.

6.28. tétel. Legyen CM a C els®rend¶ klóz magja. Tegyük fel, hogy

Par(CM) = {x1, x2, . . . , xn}.

Legyen θ = (x1, x2, . . . , xn || t1, t2, . . . , tn) tetsz®leges termhelyettesítés Cleíró nyelvében, és

Par(CMθ) = {y1, y2, . . . , yk}.

Ekkor tetsz®leges olyan IH Herbrand-interpretációban, amelyben C igaz, a∀y1∀y2 . . . ∀yk(CMθ) klóz is igaz.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a IH Herbrand-interpretációban a C klóz,azaz ∀x1∀x2 . . . ∀xnC

M igaz. Ekkor CM a Herbrand-interpretációbeli mindenértékelés mellett igaz, azaz CM Herbrand-univerzum feletti alapklózai IH-banigazak. Nyilván CMθ-nak a H feletti alappéldányai mind CM H feletti alap-példányai is, hisz a t1, t2, . . . , tn termek jelennek meg az x1, x2, . . . , xn változókhelyett CM -ben. Ezek a termek viszont, ha a változóik helyére Herbrand-univerzumbeli elemeket helyettesítünk, szintén Herbrand-univerzumbeli ele-mek lesznek, és így CM alappéldányaiban is el®fordulnak. ♢

6.29. definíció. Legyen W egy C els®rend¶ klózban el®forduló legalábbkét azonos alapú egyformán negált literál alapjainak halmaza. HaW atomjaiilleszthet®k egymáshoz és σ aW legáltalánosabb illeszt® helyettesítése, akkora CMσ magú klózt a C klóz faktorának nevezzük. Ha a faktor egységklóz,akkor C egységfaktorának hívjuk.


6.30. példa. Legyen C = ∀x∀y(P (x) ∨ P (f(y)) ∨ ¬Q(x)).A két P -vel kezd®d® atom legáltalánosabb illeszt® helyettesítése a

σ = (x ∥ f(y)).

Ennek megfelel®en a∀y(P (f(y)) ∨ ¬Q(f(y)))

klóz a C klóz faktora.

6.31. definíció. Legyenek C1 és C2 változóikban tiszta klózok. LegyenekC1 és C2 magjai rendre CM

1 = CM1

′ ∨ L1 és CM2 = CM

2′ ∨ L2 alakúak, ahol

L1 és L2 ellentétesen negált literálok. Ha az L1 és az L2 literálok alapjaiilleszthet®k egymáshoz, legyen σ a legáltalánosabb illeszt® helyettesítésük.Ekkor a C1 és C2 klózok bináris rezolvense a CM

1′σ ∨ CM

2′σ magú klóz.

6.32. definíció. A C1 és a C2 klózok els®rend¶ rezolvense a következ®bináris rezolvensek valamelyike:

1. a C1 és a C2 klózok bináris rezolvense,

2. a C1 klóz és a C2 klóz egy faktorának a bináris rezolvense,

3. a C1 klóz egy faktorának és a C2 klóznak a bináris rezolvense,

4. a C1 klóz egy faktorának és a C2 klóz egy faktorának a bináris rezol-vense.


CM1 = P (x) ∨Q(x) és CM

2 = ¬P (a) ∨R(x).

Mivel x mind CM1 -ben, mind CM

2 -ben el®fordul, a CM2 -ben átnevezzük. Ezu-

tán CM2 = ¬P (a) ∨R(y). A rezolváláshoz válasszuk az

L1 = P (x) és az L2 = ¬P (a)

literálokat. Alapjaik legáltalánosabb illeszt® helyettesítése: (x ∥ a). Ígytehát a C1 és a C2 klózok bináris rezolvense

Q(x)(x ∥ a) ∨R(y)(x ∥ a) = Q(x) ∨R(y),

ahol a P (x) és a ¬P (a) literálok szerint rezolváltunk.



CM1 = P (x) ∨ P (f(y)) ∨R(g(y)) és CM

2 = ¬P (f(g(a))) ∨Q(b).

A C1 faktorának magja P (f(y)) ∨R(g(y)). C1 faktorának és C2-nek binárisrezolvense a R(g(g(a))) ∨ Q(b) klóz. Ennélfogva a C1 és a C2 klózok egyikels®rend¶ rezolvense R(g(g(a))) ∨Q(b).

6.35. tétel. Legyen C a C1 és C2 els®rend¶ klózok els®rend¶ rezolvense.Ekkor {C1, C2} |= C.

Bizonyítás. C1 és C2 változóikban tiszta klózok. Jelöljük C1 és C2 els®-rend¶ rezolvensét � utalva a rezolvensképzés módjára � a következ®képpen:

((C1λ1)σ − L1σ) ∨ ((C2λ2)σ − L2σ).

Az el®bb bizonyított tétel miatt, ha az IH Herbrand-interpretáció kielégíti{C1, C2}-t, akkor IH kielégíti a {C1λ1σ,C2λ2σ} klózhalmazt is. Az a kétliterál, amely szerint rezolváltunk, a C1λ1σ és C2λ2σ klózokban komplemensliterálpár, így {

C1λ1σ, C2λ2σ}|= C.

Ez viszont azt jelenti, hogy {C1, C2} |= C. ♢

6.36. definíció. Egy S klózhalmazból való els®rend¶ rezolúciós leveze-tés els®rend¶ klózok egy olyan véges k1, k2, . . . , km (m ≥ 1) sorozata, aholminden j = 1, 2, . . . ,m-re

1. vagy kj ∈ S,

2. vagy van olyan 1 ≤ s, t < j, hogy kj a ks és kt klózok els®rend¶rezolvense.

6.37. tétel. (Els®rend¶ rezolúciós kalkulus helyessége.)

Ha egy S klózhalmazból van az üres klóznak els®rend¶ rezolúciós levezetése,akkor S kielégíthetetlen.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy van az üres klóznak els®rend¶ rezolúciós le-vezetése S-b®l: k1, k2, . . . , km−1, km = � (m ≥ 1).Tegyük fel ugyanakkor, hogy van olyan I interpretáció, mely kielégíti az Sklózhalmazt. Ezért ha a rezolúciós levezetésben kj ∈ S, I kielégíti kj-t.Ha pedig a rezolúciós levezetésben kj a ks és kt klózok els®rend¶ rezolvense(1 ≤ s, t < j) és I kielégíti a ks és kt klózokat, akkor I kielégíti a kj re-zolvensüket is. Ezért indukcióval könnyen látható, hogy I-nek ki kelleneelégítenie a {k1, k2, . . . , km−1, km} klózhalmazt is. De km = �, az üres klózpedig kielégíthetetlen, tehát S-nek is kielégíthetetlennek kell lennie. ♢


6.38. példa. A{∀x∀y(P (x) ∨ ¬Q(x, f(y))), ∀z∀v(¬P (g(z)) ∨ ¬P (v)), ∀uQ(g(u), u)

}klózhalmazból szerkesszünk meg egy els®rend¶ rezolúciós levezetést:

1. Q(g(u), u)

2. P (x) ∨ ¬Q(x, f(y)) [ (x, u ∥ g(f(y)), f(y)) ]

3. P (g(f(y)))

4. ¬P (g(z)) ∨ ¬P (v) [ (v ∥ g(z)) faktorizáció, (z ∥ f(y)) ]

5. �

A faktorizáció az els®rend¶ rezolúciós elv lényeges eleme, alkalmazásanélkül az els®rend¶ rezolúciós eljárás nem lenne teljes.

6.39. példa. Adott a következ® formulahalmaz:{∀x∀y(P (x) ⊃ Q(y, y)∨Q(x, y)), ∀x∀y¬(P (x)∧Q(y, y)∧Q(x, y)),∀xP (x)

}.

A formulák alapján kapott klózhalmaz:

S ={¬P (x) ∨Q(y, y) ∨Q(x, y), ¬P (x) ∨ ¬Q(y, y) ∨ ¬Q(x, y), P (x)

}.

1. A Herbrand-univerzum: H = {a}. A Herbrand-bázis: {P (a), Q(a, a)}.A H feletti alapklózhalmaz: {¬P (a)∨Q(a, a),¬P (a)∨¬Q(a, a), P (a)}.Alaprezolúciós levezetés:

1. P (a)

2. ¬P (a) ∨Q(a, a)

3. Q(a, a) [ 1, 2 rezolvense ]

4. ¬P (a) ∨ ¬Q(a, a)

5. ¬Q(a, a) [ 1, 4 rezolvense ]

6. � [ 3, 5 rezolvense ]

2. Els®rend¶ rezolúciós levezetés S-b®l, faktorizáció nélkül:

1. P (x)

2. ¬P (x) ∨Q(y, y) ∨Q(x, y)

3. Q(y, y) ∨Q(x, y) [ 1, 2 rezolvense ]

4. ¬P (x) ∨ ¬Q(y, y) ∨ ¬Q(x, y)

5. ¬Q(y, y) ∨ ¬Q(x, y) [ 1, 4 rezolvense ]


A levezetés nem folytatható, mivel nincs olyan klózpár, amely egyetlenkomplemens literálpárt tartalmazna. Így az üres klózt nem kapjuk meg.

3. Rezolúciós levezetés S-b®l, faktorizációval:

(a) Alkalmazzuk S klózaira a σ = (x ∥ y) legáltalánosabb illeszt®helyettesítést.

Sσ ={¬P (y) ∨Q(y, y), ¬P (y) ∨ ¬Q(y, y), P (y)

}.

(b) A levezetés Sσ-ból:

1. P (y)

2. ¬P (y) ∨Q(y, y)

3. Q(y, y) [ 1, 2 rezolvense ]

4. ¬P (y) ∨ ¬Q(y, y)

5. ¬Q(y, y) [ 1, 4 rezolvense ]

6. � [ 3, 5 rezolvense ]

6.40. tétel. (Els®rend¶ rezolúciós kalkulus teljessége.)

Ha egy S els®rend¶ klózhalmaz kielégíthetetlen, akkor S-b®l van az üresklóznak rezolúciós levezetése.

6.4. Rezolúciós levezetési stratégiák

1. A teljes szintek módszere

Legyen S tetsz®leges klózhalmaz. A teljes szintek módszere a következ®kép-pen állítja el® a levezetéshez a rezolvenseket:

1. R0 :={C | C a (C1, C2) pár rezolvense, C1, C2 ∈ S

},

S1 := S ∪R0, i := 1.

2. Ha � ∈ Si, sikeresen vége. Egyébként

Ri :={C | C a (C1, C2) pár rezolvense, C1 ∈ Si, C2 ∈ Ri−1

},

Si+1 := Si ∪Ri, i := i+ 1 és folytassuk a 2. lépéssel.

Ezzel a módszerrel sok egyforma klóz jelenik meg a rezolvensek között, s®tolyan rezolvens klózok is a klózhalmazba kerülhetnek, amelyekre a tovább-lépésben biztosan nincs szükség. E problémák megoldására született meg atörlési stratégia.

6.4. Rezolúciós levezetési stratégiák 65

2. A törlési stratégia

Minden i = 1, 2, . . . esetén az Ri klózhalmazból el kell hagyni a fölöslegesklózokat: a tautológiákat és azokat, amelyeket más klózok �tartalmaznak�.

6.41. definíció. Jelölje C l és Dl rendre a C és a D klózok literáljainakhalmazát. Egy C klóz befoglalja a D klózt, ha van olyan σ termhelyettesítés,hogy C lσ ⊆ Dl. D a befoglalt klóz.

6.42. példa. Legyen C = P (x) és D = P (a)∨Q(a). Ekkor C l = {P (x)} ésDl = {P (a), Q(a)}. Ha σ = (x ∥ a), akkor C lσ = {P (a)}. C lσ ⊆ Dl, tehátC befoglalja D-t.

A tautológiákat és a befoglalt klózokat meg kell találni. A tautológiákat afaktorizáció segítségével fedhetjük fel. A befoglalási teszt azonban nem olyanegyszer¶.

Befoglalási algoritmus

Legyenek C és D klózok. Legyen θ = (x1, x2, . . . , xn ∥ a1, a2, . . . , an), aholx1, x2, . . . , xn a D-ben el®forduló változók és a1, a2, . . . , an sem C-ben, semD-ben el® nem forduló különböz® konstansszimbólumok. Tegyük fel, hogyD = L1 ∨ L2 ∨ . . . ∨ Lm.

1. W :={¬L1θ, ¬L2θ, . . . , ¬Lmθ

}, U0 :=

{C}, i := 0,

2. Ha � ∈ Ui, akkor vége: C befoglalja D-t. Egyébként

Ui+1 ={C | C a C1, C2 rezolvense, C1 ∈ Ui, C2 ∈ W

},

3. Ha Ui+1 üres, akkor vége: C nem foglalja be D-t. Egyébként i := i+1,és folytatás a 2. lépéssel.

6.43. példa. Befoglalja-e C a D-t?

D = ¬P (h(y)) ∨Q(f(h(y)), a) ∨ ¬P (z) és C = ¬P (x) ∨Q(f(x), a).

D változói az y és a z. Legyen θ = (y, z ∥ b, c). Ekkor

Dθ = ¬P (h(b)) ∨Q(f(h(b)), a) ∨ ¬P (c).

1. W ={P (h(b)), ¬Q(f(h(b)), a), P (c)

}, U0 =

{¬P (x) ∨Q(f(x), a)

}.

2. Mivel � ∈ U0, azt kapjuk, hogy

U1 ={Q(f(h(b)), a), ¬P (h(b)), Q(f(c), a)

}.

3. Mivel U1 = ∅ és az� ∈ U1, az eljárást folytatva kapjuk, hogy U2 = {�}.

4. Mivel � ∈ U2, az eljárásnak vége: C befoglalja D-t.


6.5. Feladatok

1. Határozzuk meg az alábbi klózhalmazok valamely rezolúciós cáfolatát.

(a) {¬P (x), P (x) ∨ ¬Q(x), P (x) ∨ ¬R(x), Q(x) ∨R(x)}(b) {¬P (x, y), P (x, y) ∨ ¬Q(x, z) ∨ ¬P (z, y), ¬Q(x, y) ∨ P (x, y),

Q(a, b), Q(b, c)}

2. Igazoljuk, hogy a{∀x∀y(P (x) ⊃ Q(y, y)∨Q(x, y)), ∀x∀y¬(P (x)∧Q(y, y)∧Q(x, y)), ∀xP (x)

}formulahalmaz nem elégíthet® ki.

3. Els®rend¶ rezolúciós kalkulussal igazoljuk, hogy az alábbi formuláklogikai törvények.

(a) (∃xP (x) ⊃ ∀xQ(x)) ⊃ ∀x(P (x) ⊃ Q(x))

(b) ∃x∀yR(x, y) ⊃ ∀y∃xR(x, y)

(c) ∃x∀yR(x, y) ∧ ∀x∀y(¬R(x, y) ∨Q(x, y)) ⊃ ∃x∀yQ(x, y)

(d) ∀x∀y((R(x, y) ⊃ ¬Q(y, x)) ∧ ∃zQ(z, x)) ⊃ ∃x∃y¬R(x, y)

(e) (∀xP (x) ∨ ∀xQ(x)) ∧ ∃xQ(x) ∧ ∀x(Q(x) ⊃ ¬P (x)) ⊃ ∀xQ(x)

Irodalomjegyzék

[1] Chang, Chin-Liang � Lee, Richard Char-Tung, Symbolic Logic and Me-chanical Theorem Proving, Academic Press, NewYork and London, 1973.

[2] Dragálin Albert � Búzási Szvetlána, Bevezetés a matematikai logikába,Egyetemi jegyzet, Debrecen, 1986.

[3] Ferenczi Miklós, Matematikai logika, M¶szaki Könyvkiadó, Budapest,2002.

[4] Fitting, Melvin, First-Order Logic and Automated Theorem Proving,Springer-Verlag, 1990.

[5] Gallier, Jean, Logic for Computer Science: Foundations of AutomaticTheorem Proving, Wiley, 1986.(http://www.cis.upenn.edu/ jean/gbooks/logic.html)

[6] Kádek Tamás, Robu Judit, Várterész Magda, Matematikai logika példa-tár, Kolozsvári Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 2010.

[7] Pásztorné Varga Katalin � Várterész Magda, A matematikai logika al-kalmazásszemlélelt¶ tárgyalása, Panem, Budapest, 2003.

[8] Ruzsa Imre � Máté András: Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó,Budapest, 1997.

[9] Smullyan, Raymond, First Order Logic, Springer-Verlag, 1968.

67

Várterész Magda, Kádek Tamás - unideb.hu · 2014. 4. 3. · 8 1. Bevezetés Egy áltozótv a formula arpaméterének nevezünk, ha anv a formulában sza-bad el®fordulása. Egy

Documents