Vrste metala i neka njihova svojstva ⊲ Metali se mogu podjeliti po svojim svojstvima u nekoliko skupina: alkalijski metali, plemeniti metali, prijelazni metali prve grupe, itd. ⊲ Uglavnom, podjela je definirana njihovim položajem u periodnom sustavu elementa. ⊲ Tipična stvojstva metala su: dobri vodiči struje, dobro provode toplinu, sjajna površina koja reflektira svjetlost, lako se deformiraju. ⊲ Glavni razlog svim tim svojstvima je da se elektroni iz vanjskih ljuski atoma mogu slobodno gibati po cijelom kristalu.
25
Embed
Vrste metala i neka njihova svojstvagrdelin.pmf.unizg.hr/~ivo/Nastava/CvrstoStanje/predavanja/08_pred.pdf · Plemeniti metali ⊲ Plemeniti metali su također jednovalentni, ali valentni
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Vrste metala i neka njihova svojstva
⊲ Metali se mogu podjeliti po svojim svojstvima u nekoliko skupina:alkalijski metali, plemeniti metali, prijelazni metali prve grupe, itd.
⊲ Uglavnom, podjela je definirana njihovim položajem u periodnomsustavu elementa.
⊲ Tipična stvojstva metala su: dobri vodiči struje, dobro provode toplinu,sjajna površina koja reflektira svjetlost, lako se deformiraju.
⊲ Glavni razlog svim tim svojstvima je da se elektroni iz vanjskih ljuskiatoma mogu slobodno gibati po cijelom kristalu.
Alkalijski metali
⊲ Jedan elektron u vanjskoj ljusci (valentni elektron).
⊲ Tipično kristalna rešetka je prostorno centrirana kubna.
⊲ Porastom rednog broja, međuatomske udaljenosti se povećavaju, aopada energija kohezije i temperatura tališta.
Metal Li Na K Rb Cs
redni broj 3 11 19 37 55glavni kvantni broj 2 3 4 5 6a - elem. ćelija (Å) 3,50 4,28 5,56 5,62 6,05energija kohezije (eV) 1,56 1,13 1,00 0,82 0,78talište (K) 452 371 337 312 299
Plemeniti metali
⊲ Plemeniti metali su također jednovalentni, ali valentni elektron iunutrašnji elektroni nisu izrazito odvojeni.
⊲ Kristalna rešetka plemenitih metala je plošno centrirana kubna.
⊲ Jače se prekrivaju i elektronske orbitale unutrašnjih ljuski, što doprinosivećoj energiji kohezije. Energije kohezije plemenitih metala su tipičnoveće od energija kohezije alkalijskih metala.
Metal Cu Ag Au
redni broj 29 47 79glavni kvantni broj 4 5 6a - elem. ćelija (Å) 3,61 4,08 4,07energija kohezije (eV) 3,51 2,95 3,77talište (K) 1356 1234 1336
Prijelazni metali prve grupe
⊲ Unutrašnja 3d ljuska prijelaznih metala 1. grupe nije sasvim popun-jena, pa atomi imaju magnjetski moment.
⊲ Kristalna rešetka može biti rešetka prostorno centrirana kubna, plošnocentrirana kubna ili haksagonska gusto slagana, što često ovisi otemperaturi.
⊲ Postoji veliki utjecaj d-elektrona na energiju kohezije. Energije kohezijesu velike (i tališta).
Da bi objasnio svojstva metala Sommerfeld je predložio pojednostavljenimodel u kojem se:
⊲ Uzimaju u obzir samo elektroni iz vanjskih (valentnih) ljuski.
⊲ Pretpostavlja se da se elektroni mogu slobodno gibati unutar metalakao slobodne čestice zatvorene kutiju koju čini površina metala.
⊲ Periodični potencijal iona se sasvim zanemaruje.
Plava linija - potencijalna en-ergija elektrona.Crvena linija - približna poten-cijalna energija u Sommerfel-dovom modelu.
Ideju o metalu koji je kutija s elektronskim plinom predložio je već 1900.godine P.K.L. Drude da bi objasnio električnu i toplinsku vodljivost.
On je pretpostavio da se elektroni gibaju termičkim brzinama uskladu s Maxwellovom respodjelom. Uspio je objasniti Ohmov zakon,Wiedemann-Franzov zakon i neka optička svojstva.
Ipak model je davao niz pogrešnih rezultata:
⊲ elektronski doprinos toplinskom kapacitetu
⊲ paramagnetsku susceptibilnost
⊲ srednji slobodni put elektrona
⊲ ovisnost otpora o temperaturi.
Sommerfeldov model se razlikuje od Drudeovog po tome što uzima uobzir da su elektroni fermioni koji podliježu Fermi-Dirakovoj raspodjeli!
Ako su elektroni kvantne čestice koje se gibaju u zatvorenoj kutiji ondasu njihove valne funkcije kao stojni valovi. Valna duljina stojnih valovaima točno odreženi iznos koji ovisi o dužini kutije.
L
Umjesto stojnih valova, obično se koriste ravni valovi za koje sepretpostavlja periodičnost točno jednaka dužini kutije u kojoj se elektronigibaju,
ϕ(x+ L) = ϕ(x)
gdje je:
ϕ(x) =1√L
ei k x, gdje je k je valni broj.
Uvjet periodičnosti zahtijeva da valni brojevi imaju točno određenevrijednosti (kao i kod stojnih valova) koje odgovaraju dužini kutije:
k =2π
Ln, gdje je n = 0, ±1, ±2, . . .
Rješavanjem Schrödingerove jednadžbe dobiva veza između energije čes-tice i valnog broja (impulsa):
E(k) =p2
2 m=
~2k2
2 m
Za trodimenzionalni sustav imamo sasvim analogni rezultat:
E(~k) =~p2
2 m=
~2~k2
2 m,
gdje je:
kx =2π
Lxnx, ky =
2π
Lyny, kz =
2π
Lznz,
gdje su nx, ny, nz = 0, ±1, ±2, . . .
Recept za sumaciju po kvantnim stanjima
Kod zbrajanja po kvantnim stanjima, osim valnih brojeva, treba uzeti uobzir i spin elektrona, koji je jednak 1/2:
∑
s,ni
. . . ≡∑
s,~ki
. . . =1
∆kx∆ky∆kz
∑
s,~ki
d3k . . .
= 2 ·V
(2π)3
∫
d3k . . .
budući da je:
∆kx =2π
Lx∆ky =
2π
Ly∆kz =
2π
Lz
⇒1
∆kx∆ky∆kz=
V
(2π)3
Faktor 2 dolazi od ukupnog broja spinskih stanja.(Pod uvjetom da podintegralna funkcija ne ovisi od spinu!)
Gustoća kvantnih stanja
Ako podintegralna funkcija u integraciji po kvantnim stanjima ovisi samoo energiji, integracija se može zamjeniti integracijom po energiji:
2V
(2π)3
∫
d3k f(E) =
∫
dE g(E) f(E),
g(E) je tz. funkcija gustoće stanja.
Neka je N(E) broj kvantnih stanja koja imaju energiju manju od E:
N(E) =∑
E~k<E
1 = 2V
(2π)3
∫
d3k 1 =
∫ E
0
dE g(E)
Broj kvantnih stanja u infinitezimalno malom intervalu energije ∆E
proporcionalan je gustoći stanja:
N(E +∆E)−N(E) ≈ g(E) ∆E.
Gustoća stanja u Sommerfeldovom modelu
2V
(2π)3
∫
d3k = 2V
(2π)3
∫
dk k2∫
dΩ = 2V
(2π)34π
∫
dk k2
Uvrštavanjem:
E =~2k2
2m, k =
1
~
√2m E, dk =
1
~
√m
2Edobiva se:
2V
(2π)3
∫
d3k = V
∫
dEm
√2m E
π2 ~3⇒
g(E) = Vm
π2 ~3
√2m E
(često se pretpostavlja V = 1 m3)
g(E)
E
g(E) ∼√E
Elektronski plin na T=0
⊲ Elektronska raspodjela po kvantnim stanjima je Fermi-Dirakova:
ρ(E) =1
eβ(E−µ) + 1
⊲ Kemijski potencijal na apsolutnoj nuli, µ(T = 0), nazivamo Fermi-jevom energijom i označavamo je s EF .
⊲ Na apsolutnoj nuli, T = 0, kvantna stanja energije manje od EF supopnunjena, a kvantna stanja veće energije od EF su prazna.
ρ(E) =
1 za E < EF
0 za E > EF EF
T=0 situacija
popunjena kvantna stanja
prazna kvantna stanja
Fermijeva energija
⊲ Fermijeva energija, EF , određena je brojem čestica u sustavu. Brojčestica je točno jednak broju kvantnih stanja s energijom E < EF :
ZN = koncentracija =
∫ EF
0
dE g(E)
=m
√2m
π2 ~3
∫ EF
0
dE√E =
(2m EF )3/2
3π2 ~3
⊲ Invertiranjem dobivene relacije dobivamo:
EF =~2
2 m(3π2ZN)2/3 =
~2k2F2 m
kF je Fermijev tz. valni broj. Iz gornje relacije slijedi:
kF = (3π2ZN)1/3
Tipično ZN ≈ 1029 m−3, pa je kF ≈ 1010 m−1 .
kx
ky
kz
~kF
Fermijev valni vektor, kF , je radijusvektor sfere u prostoru valnih brojevakoja razgraničava popunjena kvantnastanja od praznih.
Fermijevu valnom broju odgovara Fer-mijev impuls pF = ~kF .
Također, Fermijevom valnom broju (ili impulsu) možemo pridružiti Fer-mijevu brzinu:
vF =pF
m=
~kF
m=
~
m(3π2ZN)1/3
A Fermijevoj energiji možemo pridružiti Fermijevu temperaturu:
TF =EF
kB
Vrijednosti nekih fizikalnih veličina za tipične metale:
Metal ZN (1028 m−3) kF (1010 m−1) vF (106 m s−1) EF (eV) TF (K)
Prosječna energija se može izračunati prema poznatom receptu iz statis-tičke fizike:
E =
∫dE E g(E) ρ(E)∫dE g(E) ρ(E)
=
∫
E<EFdE E g(E)
∫
E<EFdE g(E)
=
∫ EF
0dE E3/2
∫ EF
0dE E1/2
=3
5EF
Kako je:m v2
2=
3
5
m v2F2
⇒ v2 =3
5v2F
Čak i na apsolutnoj nuli čestice u fermionskom plinu imaju ogromneprosječne energije i velike brzine.
Toplinski kapacitet
⊲ Prema klasičnoj statističkoj fizici svaki translacijski stupanj slobodeima u prosjeku energiju:
3
2kBT
⊲ Prema Drudeovom klasičnom modelu, elektronski plin u metalu imaunutrašnju energiju:
U(kl)el = ZN
3
2kBT
⊲ Doprinos elektronskog plina ukupnom toplinskom kapacitetu bit će:
C(el)V =
3 ZN kB
2
⊲ Toplinski kapacitet kakav predviđa klasična terija nije opažen.
⊲ Razlog tome je da su elektroni kvantne čestice (fermioni) koje seravnaju po Fermi-Dirakovoj raspodjeli.
ρ
EEF
T ≡ 0
ρ
EEF
kBT
T > 0
⊲ Na konačnoj su temperaturi pobuđene samo čestice u području en-ergija oko Fermijeve energije. Širina područja je ∼ kBT .
⊲ Broj pobuđenih čestica je puno manji od ukupnog broja čestica usustavu (ZN ), pa je stoga njihov doprinos toplinskom kapacitetupuno manji od očekivanog klasičnog rezultata.
ρ(E) · g(E)
EEF
2kBT
Raspodjela čestica po energijama.
ρ(E) · g(E)
EEF
2kBT
Približna raspodjela čestica poenergijama.
⊲ Točan proračun unutrašnje energije zahtijeva složeni račun poznat kaoSommerfeldov razvoj.
⊲ Poslužit ćemo se približnim izvodom u kojem je točna raspodjelačestica po energijama (slika lijevo) zamjenjena izlomljenom linijomilustriranoj na slici desno.
⊲ Unutrašnja energija na konačnoj temperaturi se može napisati kao:
U(T )−U(T = 0) =
∫ ∞
0
dE g(E)·E ·(ρ(E,T )−ρ(E,T = 0))
⊲ U našoj aproksimaciji:
∆U(T ) ≈ g(EF ) ·∫ 0
EF−kBT
dEE
2(1−
E −EF
kBT− 2) +
g(EF ) ·∫ EF+kBT
0
dEE
2(1−
E − EF
kBT)
= g(EF ) ·(kBT )
2
6
⊲ Sommerfeldov razvoj daje točni rezultat:
∆U(T ) ≈π2
6g(EF )(kBT )
2
Toplinski kapacitet elektronskog plina:
CV =π2
3g(EF ) k
2BT
Kako je:
g(EF ) =m
π2~3
√
2m EF
EF =~2
2m(3π2ZN)2/3 => g(EF ) =
3ZN
2EF
Toplinski kapacitet možemo zapisati i u ovom obliku:
C(el)V =
π2
2ZN kB︸ ︷︷ ︸
kl. rezultat
·
kv. faktor︷︸︸︷kBT
EF≡ γ T
gdje je
γ =π2 ZN k2B
2 EF=
k2BkFm
3~2
⊲ Toplinski kapacitet elektronskog plina u metalu umanjen je za tz.
kvantni faktor, odnos temperature i Fermijeve energije.
⊲ Kvantni faktor dolazi zbog toga što je na konačnoj temperaturi samodio čestica pobudjen. Broj pobuđenih čestica probližno je:
Neff = ZN ·kBT
EF
⊲ Koeficijent γ može se eksperimentalno izmjeriti. Ukupni toplinskikapacitet sadrži i doprinos fononskih titranja:
C(Tot)V = C
(ph)V + C
(el)V =
3NkB + γT za T ≫ θ
βT 3 + γT za T ≪ θ
Da bi se koeficjet γ odredio potrebno je odračunati fononski doprinos.
C(Tot)V
T
T 2
γIz izmjerenih vrijednosti koeficjenta γ
može se odrediti termička efek-
tivna masa elektrona,
γexp =k2Bm
∗kF
3~2
jer je koeficjent γ proporcionalan elek-tronskoj masi.
Usporedba termičke efektivne mase i mase elektrona za neke metale: