Voting in economic growth models

Голосование в моделяхэкономического роста

Леонтьевские чтения, 18 февраля 2011 г .

Европейский университет в Санкт-ПетербургеСанкт-Петербургский экономико-математическийинститут РАН

Александр Сурков

2

План• Модель эндогенного роста сголосованием по поводу ставокналогообложения– Влияние пропорционального иаккордного налогообложения на темпэкономического роста

• Модели экономического роста сприродными ресурсами– Влияние формы собственности наприродные ресурсы на темп ростаэкономики

3

Голосование

• Механизм голосования отражаетстремление правительствареагировать на пожеланиябольшинства населения

• Теорема о медианномизбирателе

• Электорально-устойчивоеравновесие

4

Модель эндогенного ростас голосованием по поводуставок налогообложения

5

Предположения модели

• Задача потребителя

• Бюджетные ограничения

( )( )

,,

0max

ln

,i t

ti i t ct

u c c

u cβ∞

=

⋅ →

=

∑

( ) ( )( )

, , , 1

, , , 1

1 1 ,

1i t i t t i t t

i t i t t i t

t

tt

s r s wc

c s r s w

θ

τ−

−

⎡ ⎤+ ≤ ⋅ + ⋅ +⎣+ ≤ + ⋅ + −

⎦−

6

Производство• Производственная функция

• Аккордный налог1 tt tg yθ+ = ⋅

1t tg τ+ =

1tt tgy kα α−= ⋅

• Пропорциональный налог

7

Равновесная траектория

• Потребители решают задачупотребителя

• Производитель максимизируетприбыль

• Капитал финансируется за счетсбережений

• Государственные расходыфинансируются за счет налогов

8

Равновесиесбалансированного роста

• Ставка % постоянна• Сбережения, потребление, капитал, заработная плата, государственные расходы растутс темпом γ–возможно при–или

tθ θ=*

t tyτ µ= ⋅

9

Темп роста• Пропорциональный налог

• Аккордный налог

( )m1

a*

x1 1α αγ θ θβα −⎡ ⎤⎣ ⎦+ = ⋅ ⋅ − ⋅

ma* 1

x1 αγ β µα −+ = ⋅ ⋅

10

Голосование

• Потребитель i поддерживает увеличениеналогов в момент t, если

( ),0

,ti i t

ti cV uβ

∞

=

= ⋅∑

( )0 0/ /i t tiV Vθ τ∂ ∂ ∂ ∂> >

• Потребитель i поддерживает снижениеналогов в момент t, если

( )0 0/ /i t tiV Vθ τ∂ ∂ ∂ ∂< <

11

Электорально-устойчиваяравновесная траектория• Такая, что в каждый моментвремени менее половиныдомохозяйств желаютувеличения ставки налога, именее половины – желают ееуменьшения

• Электорально-устойчивоеравновесие сбалансированногороста

12

Пропорциональный налог

( ) ( )( )

( )( )

1

*

m* ax 11 ,

1 1

11

1 1

m

m

m

m

ααα αγ

α

α

ββ

θα β

α

β

β

−⎡ ⎤⋅ − ⋅⎣ ⎦+ =

+ − ⋅

− ⋅= < −

+ − ⋅

13

Аккордный налог

( ) ( )

( )

max

max

max

1*

*

1 1 ,

1

,,

m

m

m mm

m mm

ααγ α α

µ

β

β

β β

β

ββ

β

α

ξβ β

−⎡ ⎤+ = ⋅ − ⋅⎣ ⎦

= − ⋅

<⎧= ⎨ ⋅ =⎩

14

Сопоставление темпов роста• Пропорциональный налог даетболее высокий темп роста при

( )1

1

,

1 1 1 ,1 1

1 1 1 ,1

m

m L

m Lm

α

α

β βα α

β

β βα ξ

β β

−

−

⎧ ⎡ ⎤⎪ − <⎢ ⎥−⎪ −⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨

⎪ ⎡ ⎤−⎪ ⎢ ⎥⎦

=− ⎣⎩

<

15

Интерпретация

• Недостаточно «терпеливое»медианное домохозяйствооказывается настолько бедным, чтоаккордный налог для него болееобременителен, чемобеспечивающий тот же темп ростапропорциональный налог, так какпропорциональный налог возлагаетбремя государственных расходов наболее богатые домохозяйства

16

Модели экономическогороста с неоднородными

потребителями иприродными ресурсами

17

Предположения модели

• Производственная функция

• Извлечение природных ресурсов

( ) 1 2 1 211 tt t tY K L Eα α α αλ − −= +

tt tE Rρ= ⋅

18

Модель 1: частные ресурсы• Потребители

( )( )

,,

0

, , 1

max

1i t

ti ti ct

i t i t t t tC

u C

S r S W

β∞

=

−

⋅ →

+ ≤ + ⋅ +

∑

• Исчерпываемый ресурс

( )1 1tt t t tER R Rρ+ = − = −

19

Равновесная траектория (1)

• Потребители максимизируютполезность

• Цены капитала и труда равныпредельному продукту капиталаи труда соответственно

• Цена ресурса равнапредельному продукту ресурса

20

Равновесная траектория (2)

• Сбережения равны инвестициям

* * *1t t tR R E+ = −

* * * *, 1 1

1

L

i t t t ti

S P R K+ +=

= ⋅ +∑• Выполняется натуральный баланс

• Выполняется правило Хотелинга

( )* * *1 11t t tP r P+ += +

21

Равновесиесбалансированного роста• Ставка % постоянна• Сбережения, потребление, капитал, заработная платарастут с темпом γ

• Объем извлечения и запасыубывают с постояннымтемпом извлечения ρ

22

В равновесии• Равновесный темп извлечения

• Равновесный темп роста

x*

ma1ρ β= −

( ) 21 1

11

x* 1

ma1 1 α α αγ βλ −− −⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

23

Модель 2: коллективнаясобственность

• Бюджетное ограничение

( ), , , 11i t i t t t ti tC S r S W−+ ≤ + +Ω+

24

Равновесная траектория (1)• Потребители максимизируютполезность

• Цена капитала равна предельномупродукту капитала

• Доход потребителей состоит изпредельного продукта труда и ренты

* ** t tt

P EL

Ω =

• Цена ресурса равна предельномупродукту ресурса

25

Равновесная траектория (2)

• Общие сбережения равнызапасу капитала

( )* * * *1 1t t t t tR R E Rρ+ = − = −

* *, 1

1

L

i t ti

S K +=

=∑• Выполняется натуральныйбаланс

26

Равновесиесбалансированного роста• Ставка % и темп инфляциипостоянны

• Сбережения, потребление, капитал, заработная плата, доходы отпродажи ресурсов растут с темпом γ

• Объем извлечения и запасыубывают с постоянным темпомизвлечения– возможно при постоянном ρ

27

В равновесии

• Правило Хотелинга можетнарушаться

• Равновесный темп роста

max*

*

11 1r

βρ

π+=

−+

( )( ) 1 12

11* 11 1 1 α α αργ λ − −−⎡ ⎤+ = + −⎣ ⎦

28

Голосование

• Потребитель i поддерживаетувеличение ρt, если

( ),0

ti i t

ti uV Cβ

∞

=

= ⋅∑

0/ tiV ρ∂ ∂ >• Потребитель i поддерживаетснижение ρt, если

0/ tiV ρ∂ ∂ <

29

Электорально-устойчиваяравновесная траектория• Такая, что в каждый момент временименее половины домохозяйствжелают увеличения темпаизвлечения природных ресурсов, именее половины – желают егоуменьшения

• Электорально-устойчивоеравновесие сбалансированногороста

30

Теорема о медианномизбирателе

• Равновесный темп роста

( ) 1 2 1

11* 11 1 mα α αγ λ β −− −⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦

• В равновесии* 1 mρ β= −

31

Частное и коллективное

• «Общественные» ресурсы

( ) 1 2 1

11* * 11 , 1 1m mα α αρ γ λβ β − − −⎡ ⎤= − + = +⎣ ⎦

• Частные ресурсы

( ) 1 12max m

11* * 1

ax1 , 1 1 α α αρ γ λβ β − − −⎡ ⎤= − + = +⎣ ⎦

Частная собственность может бытьблагоприятной для роста

32

Что дальше?• Частная собственность наприродные ресурсы увеличиваетнеравенство

• Чрезмерное неравенство можетприводить к политическойнестабильности

• Нестабильность может уменьшать«терпеливость» наиболеетерпеливого потребителя, владеющего ресурсами, что ведет куменьшению темпа экономическогороста

33

Эндогенные межвременныепредпочтения• Потребители

( ) ( ),

,0

1 maxi t

t

ti i t c

up Cβ∞

=

⋅ →⎡ ⎤−⎣ ⎦∑

• Пусть наиболее терпеливыепотребители (их доля σ) делают одинаковыесбережения

34

Неравенство

( ) ( ) 1 3

1

, 1p ψ σα α

η ηα⎡

= = − ×+

⎢⎣

0

1

1

ψ

η

35

Неравенство и рост• Частная собственность

( ) ( )( ) 2 11

1 3

11 1*

max11 1 1α α α

γ λ ψ α α σ β−− −

⎡ ⎤+ −⎡ ⎤⎣ ⎦−⎣ ⎦+ = +

• Коллективная собственность

( ) ( ) 1 12

11 1*

1 111 1 m

α α αψ α σλ βγ

− −−⎡ ⎤−⎣ ⎦⎡ ⎤−⎣ ⎦+ = +

• Существует область параметров, когдаобщественная собственность на ресурсыведет к большему темпу роста

36

Заключение• Модели экономического роста снеоднородными потребителями иголосованием позволяют– Анализировать влияние налоговойсистемы на темп роста экономики вдемократической стране

– Обсуждать влияние правсобственности на природные ресурсына темп экономического роста