8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
1/32
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
2/32
"
Wärmeleitfähigkeit (#bersicht)
$eiträge zur Wärmeleitfähigkeit%
Phononen (&ch'ingungen !es ristallgitters) schlechteWärmeleitfähigleit
Elektronen (mit !er elektrischen eitfähigkeit verbun!en) gute
Wärmeleitfähigkeit
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
3/32
*
&pezifische Wärme(Wärmekapazität)
Einstein un! eb+e o!ell - .uantenmechanische$eschreibung !erTransportphänomene
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
4/32
/
efinition !er ph+sikalischen0r2en
QW E +=∆ 3 4n!erung !er Energie eines thermo!+namischen&+stems (W ist !ie 5rbeit, Q !ie Wärme)
Es 'ir! angenommen, !assW 6 7
∆E 6 8
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
5/32
9
Wärmekapazität
p
V
V
T V
V
TV C C
pV U H T
H C
T
E C
pV
p p
V V
∂∂
−=
∂∂=
−′=′
+=
∂∂=′
∂∂
=′
1
1
;
2
κ
α
κ
α
3 Wärmekapazität beim konstanten Volumen
3 Wärmekapazität beim konstanten ruck (H ist !ie Enthalpie)
α 3 Volumenaus!ehnungskoeffizient
T 3 (absolute) Temperatur
V 3 Volumen !es aterials
κ 3 ompressibilität
Energie (Wärme), !ie zum 5ufheizen !es Werkstoffs um 1 (1:;)not'en!ig ist
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
6/32
<
&pezifische Wärme
T mcQ E
T
E
mc
mC c
V
V V
∆==∆
∂∂
=
′=
1
M cC V V ⋅=3 pro asseneinheit% 3 pro ol%
Temperaturabhängig
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
7/32
=
Temperaturabhängigkeit !erspezifischen Wärme
E>perimentelle Ergebnisse%
1? &pezifische Wärme !erWerkstoffe mit einem 5tom in!er Elementarzelle liegt bei
!er @aumtemperatur bei "9 AmolB1 B1?
"? $ei nie!rigen Temperaturennimmt !ie spezifische Wärmeab? ;v ≈ T in etallen, ;v ≈ T* in Csolatoren?
*? Cn magnetischen Werkstoffensteigt !ie spezifische Wärme,'enn sich !er Werkstoffmagnetisch or!net?
;V 6 "9 A molB1 B1 6 9?D cal molB1 B1
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
8/32
&pezifische Wärme beiPhasenFbergängen
&pezifischeWärmekapazität vonG"PH/, !as bei 1"7
einen PhasenFbergangerster Hr!nung besitzt?
er Werkstoff bentigtzusätzliche Energie
(Wärme) fFr !iePhasenum'an!lung
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
9/32
D
&trukturFbergang in G"PH/%
paraelektrisch ferroelektrisch
o
a
b
c
3
3 P
3 H
3 G
o
a
b
c
Paraelektrisch
@0% C B/"! (tetragonal)
a 6 =?///I, c 6
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
10/32
17
agnetischer PhasenFbergang in;ePt&n
* < D 1" 19 1 "1/?
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
11/32
11
C!eales 0as
nRT T k nN T Nk pV Ba B ===La 6
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
12/32
1"
lassische Theorie !erWärmekapazität (i!eales 0as)
T k N E
T k E
E E
E E E
T k E
Bamol
B
kin pot
kin pot
Bkin
3
3
23
==
=
+=
=
Emol 3 EnergieKol
Rk N T
E C Ba
V V 33 ==
∂∂
=
;V 6 "9 A molB1 B1 6 9?D cal molB1 B1
0ute #bereinstimmung mit!em E>periment bei hohenTemperaturen
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
13/32
1*
8uantentheorie
1D7*% Einstein postulierte !as 8uantenverhalten !er 0ittersch'ingungenanalog zum 8uantenverhalten !er Elektronen?
ie 8uanten !er 0ittersch'ingungen 'er!en als Phononen bezeichnet?
λ
= p 3 !er Cmpuls (!e $roglie)
ongitu!inale &ch'ingungen Transversale &ch'ingungen
ω n E n =
3 !ie Energie
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
14/32
1/
ispersionsz'eige
5nalogie zum Energiebän!er($än!erschema) bei !en PhotonenHptische Phononen
5kustischePhononen
Hptische Phononen 3 hhere Energie(Jre.uenz)
5kustische Phononen 3 nie!rigereEnergie (Jre.uenz)
J r e . u e n z
Wellenvektor
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
15/32
19
B e
i s p
i e l e
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
16/32
1<
5kustischer un! optischerispersionsz'eig fFr eine lineare
5tomkette
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
17/32
1=
Energie eines (.uantenmechanischen)Hszillators
( )
+
−=
−
=
=
1exp
1
1exp
1
T k
E E E F
T k
N
n E
B
F
B
phonons
n
ω
ω
3 Energie.uanten
3 $oseBEinstein
Verteilung
3 JermiBJunktion(Verteilung) fFrElektronen
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
18/32
1
Wärmekapazität - as Einstein o!ell
ω
ω
ω
ω
T k n
nT k E
T k
n
n E
B K
K B K
B
QM
n
=
==−
=
=
3
1exp
1E 6 7?71 eV
P
8
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
19/32
1D
Wärmekapazität - as Einstein o!ell
2
2
1exp
exp
3
1exp
3
1exp
−
=
=
∂∂=
−
=
−
=
T k
T k
T k k N
T E C
T k
N E
T k
E
B
B
B Ba
V V
B
a
B
osc
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
lassische 5nnäherung
;V 6 *@
( ) T k x
!
! xk N C
B x
x
BaV
ω =
−⋅= ;
1
32
2
x Ba
x BaV
BaV
!k N ! xk N C xT
Rk N C xT
−− ⋅∝⋅=⇒∞→⇒→
==⇒→⇒>>
330
3300
2
E>tremfälle%
;V ≈ e>p(BωKk$T)
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
20/32
"7
Vergleich !er theoretischen Ergebnissemit E>periment
E>perimentelle Ergebnisse%
1? &pezifische Wärme !er Werkstoffemit einem 5tom in !erElementarzelle liegt bei !er@aumtemperatur bei "9 A molB1 B1?
"? $ei nie!rigen Temperaturen nimmt!ie spezifische Wärme ab? ;v ≈ T inetallen, ;v ≈ T* in Csolatoren?
Theorie (EinsteinBo!ell)%
1? &pezifische Wärme liegt bei hohenTemperaturen bei "9 A molB1 B1?
"? $ei nie!rigen Temperaturen nimmt!ie spezifische Wärme alse>p(BωKk$T) ab?
Cm EinsteinBo!ell 'er!en nur Phononenmit einer bestimmten Jre.uenzberFcksichtigt?
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
21/32
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
22/32
""
Wärmekapazität - !as eb+e o!ell
( )
( )[ ]
( )
( )[ ]∫
∫
∫
−⋅
=
=⇒
⋅
=
−⋅=
==⇒=
−
⋅=
T
" BaV
"
a
sa
s
"
T
B
s
V
B " B
B
B
B
B s
V
"
"
"
dx x
x xT k N C
N
v
V
N V
v
dx x
x xT k
v
V C
k dxT k d
T k x
d
T k
T k
T k v
V C
θ
θ
ω
θ
ω π
π
ω
π
ω θ ω ω
ω
ω
ω ω
π
02
43
332
323
02
4
3
34
32
02
4
2
2
32
1exp
exp9
9
2
3
3
23
3
1exp
exp
2
3
;
1exp
exp
2
3
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
23/32
"*
eb+eBTemperaturen
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
24/32
"/
Wärmekapazität bei hohen un! nie!rigenTemperaturen (nach !em eb+eBo!ell)
( )
[ ]
( )
[ ]
( )( )[ ]
3
02
43
3
31
3
4
41
3
31
0
3
0
2
02
4
02
43
1exp
exp9:0
39
11
1
11
19:00
T dx x
x xT k N C T T
RT
T k N C
T T
dx xdx xdx
x
x x
dx x
x xT k N C T T
" BaV "
"
" BaV
" "
T T T
T
" BaV "
" " "
"
∝−
⋅
=∞→⇒→
=
⋅
≈
+
=+=
−−
+
−−
+⋅
=→⇒>>
∫
∫ ∫ ∫
∫
∞
θ θ
θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ θ
θ
;v ≈ T*% $essere #bereinstimmung mit E>periment bei tiefen Temperaturen
QQQ JFr Csolatoren QQQ
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
25/32
"9
0esamte Wärmekapazität
Phononen (eb+e o!ell)
T R Θ
Elektronen
3T C V β = T T
E
k N C
F
BaV γ
π ==
22
2
2
3
T T
C
T T C C C
tot V
phV
!l V
tot V
β γ
β γ
+=
+=+=
γ 3 Elektronenbeitrag
β 3 Phononenbeitrag
;VKT
T"
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
26/32
"<
E>perimentelle etho!en
fFr Sntersuchung von Temperatursch'ingungen
Röntgenbeugung
4n!erung !er Jorm !erElektronen!ichte (TemperaturB
sch'ingungen !er Elektronen)
Einfluss auf !ie Cntensitäten !er$eugungslinien
Neutronenbeugung
Wechsel'irkung !ernie!erenergetischen (langsamen)
Leutronen mit Phononen
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
27/32
"=
WärmeleitungWärmeleitfähigkeit%
( )T K t
T
# t
T
T K #
graddiv
div
grad
=∂
∂
−=∂∂
−=
∂
∂
∂
∂
=∂
∂∂∂
−=∂∂
∂∂−=
x
T
K xt
T
x
#
t
T
x
T K #
Temperaturän!erung - ähnlich 'ie !ie onzentrationsän!erung bei iffusionsprozessen
T 6 konst? T 6 konst? A 6 7 A 6 7
Partielle Differentialgleichung:
Lösung bei bestimmten Anfang-
und Randbedingungen
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
28/32
"
Wärmeleitfähigkeit
Bv
Q
Bv
Q
Bv
Bv
B
k vn
K x
T K #
xT k vn E E #
x
T T k
vn E
x
T T k
vn
x
T
T k z E
⋅=∂∂
−=
∂∂⋅−=−=
∂∂
+⋅=
∂∂
−⋅=
=
∂
∂
−+⋅=
2;
2
6
6
21
023
2
023
02
3
1
n 3 5nzahl !er Elektronen
l 3 freier Weg z'ischen z'ei ollisionen(ElektronB0ittersch'ingung)
v 3 0esch'in!igkeit !er Elektronen
vC K vk n
K
k ndT
dE C
T k n E
!l V
Bv
BvV
!l V
Bv
31
23
23
2
=⇒
=
⋅=
=
⋅=
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
29/32
"D
Wärmeleitfähigkeitetalle
ielektrika
Temperatur,
W ä r m e l e i t f ä h i g k e i t ,
W K c m K
Wiedemann-Fran !eset:Werkstoffe mit guter elektrischer eitfähigkeitbesitzen auch eine gute Temperaturleitfähigkeit
s K
#
!
k $
T
K B2
8
2
22
10443,23
Ω×=== −
π
σ
aterial NWKcmK&iH" 7,1* - 7,97 (bei "=* bz'? 7)La;l 7,7= - 7,"= (bei "=* bz'? 7) 5l"H* "77 bei *7;u 97 bei "70a /9 bei 1,
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
30/32
*7
Wärmeaus!ehnung 5tomare $in!ungskräfte
( ) 432 %x &xcx xU W −−==
( )
( )
( )
( ) ( ) 2325
54
4
32
2
−∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
−
∞
∞−
−
∞
∞−
−
=++≅
=≅
=
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
β π
β β
β
π
β β
β β
β
β
c
& dx %x &x x!dx x!
c
dx!dx!
dx!
dx x!
x
cx xU
cx xU
xU
xU
T k
c
& x
x
dx! %xdx x!
B
cxcx
2
5
4
3
0
0;022
=
=
=⋅= ∫ ∫ ∞
∞−
−∞
∞−
− β β β
Garmonische &ch'ingungen%
5nharmonische &ch'ingungen% Wärmeaus!ehnung
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
31/32
*1
Wärmeaus!ehnung
4n!erung !es mittleren 5tomabstan!esmit !er Temperatur% T k c & x
dT da B2
43=∝
Temperaturabhängigkeit !es 0itterparameters% 2
02
4
3T T d T k
c
& a
T
B ∝′′∝ ∫
Temperatur N
0 i t t e r p a r a m e t e r N I P 5rgon (kfz)
i c h t e N g K c m P
0itterparameter 'ächst ungefähr.ua!ratisch mit !er Temperatur
$ei T 6 7 ist !ieWärmeaus!ehnung gleich Lull
8/18/2019 Vorlesung Werkstoffe
32/32
*"
Wärmeaus!ehnung in 0!Li5l