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Quantenmechanik I
Jens Kortus [email protected]
TU Bergakademie Freiberg
Literatur: Fließbach, Quantenmechanik, Spektrum Akademischer
Verlag Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Quantenmechanik Teil
1 und 2 Feynman, Vorlesungen über Physik Greiner, Theoretische
Physik, Quantenmechanik (Band 4) ....
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2
Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei.Es
wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständigzu
überprüfen.
Hinweise und Anregungen bitte an:
[email protected]
Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist,
stammen dieBilder von http://de.wikipedia.org/ oder wurden selbst
erstellt.
mailto:[email protected]?subject=Vorlesung%20QM-Ihttp://de.wikipedia.org/
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3
Notwendigkeit der Quantentheorie: Stabilität der Atome (positive
und negative Ladungen) Aufbau der Elemente ( -> Periodensystem)
chemische Bindung, Moleküle Festkörper Spektroskopie (Farben ->
Emission + Absorption, Laser)
Anwendungen Messtechnik (NMR, ESR, Squids) Medizin
(Kernspintomographie, Laser-Skalpell) Genetik (Faltungen von
Proteinen, Erkennung von Basen) Chemie (theoretisches Verständnis
von Bindungen und Reaktionen)
Zukunftsträume (aber schon theoretisch möglich) atomares
Konstruieren (STM -> Atome bewegen) Vorhersage der Eigenschaften
von Materialien Moleküldesign am Computer (Pharmazie,
Farbstoffe)
Motivation
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4
Xenon auf Nickel (110)
http://www.almaden.ibm.com/vis/stm/atomo.html
Carbon Monoxide on Platinum (111) Iron on Copper (111)
Kanji characters for atom
IBM Almaden STM Image Gallery
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5
1. Grundlegende Experimente1.1 Das Plancksche Strahlungsgesetz
(Hohlraumstrahlung)
Wärmestrahlung (z.B. Eisen mit wachsender Temperatur strahlt) IR
(Wärme) -> Rot -> Gelb -Weiß
Messungen der Strahlung zeigen, dass die Strahlung unabhängig
vom Material ist.
T
Ofen
Strahlung eines 'Schwarzen Körpers'(Schwarz, da das Loch im Ofen
bei T=0 nicht strahlt.)
Welche Frequenzen treten mit welcher Intensität auf?
Rayleigh-Jeans Gesetz klassische Elektrodynamik (Dipolstrahlung)
und Statistik (Gleichverteilungssatz)
Im thermischen Gleichgewicht entfallen auf jeden Freiheitsgrad
der Bewegung die Energie kT/2.
Berechnung der Energie des elektromagnetischen Feldes in einem
Hohlraum Zerlegung der Strahlung in stehende Wellenjede Welle hat
Energie kT (kT/2 elektrisch, kT/2 magnetisch) , k=Boltzmann
Konstante abzählen der Anzahl der ebenen Wellen [v + dv]
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6
Würfel mit Kantenlänge a stehende elektrischen Wellen haben
Knoten an den Wänden stehende magnetische Wellen haben Bäuche an
den Wänden
α
y
x
x cos=n1/2y cos =n2 /2z cos=n3/2
Stehende Wellen bilden sich, wenn die Kantenlänge a ein
ganzzahliges Vielfaches von x, y, z ist.
λ/2
n1=2a cos n2=
2a cos n3=
2a cos
wegen cos2cos2cos2=1n1
2n22n3
2=2 a 2=2a c
2 =c= c2a n12n22n32
Alle Frequenzen zwischen 0 und v liegen innerhalb einer Kugel
mit Radius 2av/c.Da es nur positive n gibt, erhalten wir (für
a>>λ), das die Anzahl der Frequenzen 1/8 eines Kugelvolumen
entspricht.
N =18
43
2ac3
d N =4 a32
c3d
spektrale Energiedichted =2kT d N ~T 2 d
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7
T
2T
nur korrekt für kleine Frequenzen oder große Wellenlängen
(ν=c/λ)-> UV Katastrophe: Intensität bei kleinen λ ->
∞Klassische Physik liefert ein falsches Ergebnis!
Rayleigh-Jeans Gesetz ω ~ T ν2
Radio IR Licht UV Röntgen
Wiensches Strahlungsgesetz
~3 e−
T =h/k
nur korrekt für große Frequenzen oder kleine Wellenlängen
korrekt wäre ein Mix aus beiden Gesetzen
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8
Plancksches Strahlungsgesetz (1900)
Interpolation zwischen diesen beiden GesetzenInterpretation:
Atome verhalten sich wie harmonische Oszillatoren, die nur
diskreteEnergien annehmen können.
E=hv (n+ ½) = ћω (n+½)Die Oszillatoren können nur Energien
aufnehmen oder abgeben, die einem ganzzahligenVielfachen eines
elementaren Energiequantums sind.h=Plancksches Wirkungsquant =
6.626 10-34 Js ћ=h/2π
~3
ehkT−1
großeh /kT≫1:~3e−hkT
klein e x=1x...:~2kT
Max Karl Ernst Ludwig Planck* 23. April 1858 in Kiel † 4.
Oktober 1947 in GöttingenNobelpreis 1918
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9
Sichtbares Licht hat Wellenlängen zwischen 400-700nm.Dies
entspricht einer Energie von hv=2 ... 4 eV ~ 3 104 K.Die
Oberflächentemperatur der Sonne beträgt 5800K.
http://www.webgeo.de/beispiele/rahmen.php?string=1;k_304;1
http://www.webgeo.de/beispiele/rahmen.php?string=1;k_304;1
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10
1.2 Stabilität von AtomenErnest Rutherford 1st Baron Rutherford
of NelsonAugust 30, 1871 – October 19, 1937Nobelpreis Chemie
1908
Streuung von α-Teilchen (He2+) an Atomen in einer Goldfolie
+
Einige der α-Teilchen wurden rückwärtsgestreut. Daraus kann man
schließen, dass schwere positiv geladene Zentren in der Goldfolie
existieren.
Nach klassischen Vorstellung umkreisen die Elektronen auf
Planetenbahnen den Kern.Bewegung auf Kreisbahnen ist eine
beschleunigte Bewegung. Nach der klassischen Elektrodynamik: jede
beschleunigte Ladung strahlt. Energieverlust würde zu einem Zerfall
der Kerne nach ca. 10-8 – 10-10 s führen.
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11
1.3 Photoelektrischer Effekt
Metallplatte im Vakuum mit UV-Licht bestrahlt Es existiert für
jedes Metall eine Mindestfrequenz, unterhalb derer keine Elektronen
beobachtet werden. keine zeitliche Verzögerung (v
min
proportional zur Frequenz v des Lichtes. Zahl der Elektronen
proportional zur Intensität
Erklärung durch Einstein 1905
Licht = Teilchen der Energie E=hv (Photonen) Jedes Photon
schlägt ein Elektron aus dem Metal. hv
min entspricht der Bindungsenergie des Elektrons im Metall
(Austrittsarbeit). Zahl der Elektronen ist proportional zur
Anzahl der Photonen (Intensität). Kinetische Energie ist
proportional h(v-v
min)
Albert Einstein* 14.3. 1879 Ulm † 18. 4. 1955
PrincetonNobelpreis Physik 1921
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12
1.4 Welle-Teilchen Dualismus
a) Wellencharakter von LichtInterferenz und Beugung von Licht
(Huygens 1678)
Christiaan Huygens
* 14. April 1629 in Den Haag † 8. Juli 1695
Beugung am Einfachspalt Beugung und Interferenz am
Doppelspalt
Lichtwellen sind elektromagnetische Felder, Felder lassen sich
addieren (überlagern).Er= E1 E 2
Die Intensität entspricht der Energiestromdichte ~ |E|2.
Intensitäten lassen sichnicht überlagern. (Bild ist nicht Summe der
Einzelbilder.)
I= E r⋅E r=∣ E r∣2=∣ E 1 E 2∣
2≠∣ E1∣2∣ E 2∣
2
b) Teilchencharakter von Licht -> siehe photoelektrischer
Effekt
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13
Materiewellen: de Broglie 1924 (Dissertation)
Anwendungen: Elektronenmikroskop, Strukturuntersuchungen durch
NeutronenbeugungQuantenoptik, Quantenkommunikation,
Quantencomputer, Quantenteleportation ...
Anwendung des Welle-Teilchen-Dualismus, der zu dieser Zeit nur
für Photonen bekannt war, auf jegliche feste Materie. Allen
Teilchen, Atomen, Molekülen, Materie können Welleneigenschaften
zugeordnet werden.
Die Wellenlänge (de-Broglie-Wellenlänge) beweglicher Teilchen
mit Impuls p ist gegeben durch
= hp
Wellen: Amplitude und Phase, Ausbreitungsrichtung,
Schwingungsrichtung (Polarisation), Wellenlänge leicht
messbarMateriewellen: Ausbreitungsrichtung in Bewegungsrichtung,
de-Broglie Wellenlänge Phasengeschwindigkeit nicht messbar
Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie * 15. August 1892 in
Dieppe, Normandie† 19. März 1987 in LouveciennesNobelpreis Physik
1929
Unteilbarkeit von Teilchen: es werden immer ganze Elektronen
beobachtet, im Gegensatz zu Licht (reflektierter und gebrochener
Strahl).
z.B. Elektronen mit 10 keV kinetischer Energie haben λ=0.12Å
(harte Röntgenstrahlung).
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14http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.html
Doppelspaltexperiment mit klassischen Teilchen
nur 1 offen nur 2 offen beide offen
Doppelspaltexperiment mit Wellen
Wie sieht das Bild für Elektronen aus?
Bilder von David M. Harrison, Dept. of Physics, Univ. of Toronto
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/DoubleSlit.html
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.htmlhttp://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/DoubleSlit/Flash/Histogram.html
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15
Wellencharakter von Teilchen (Elektronen)
1927 Elektronenbeugung an einem Ni-Kristall (Davisson &
Germer)1961 Doppelspaltexperiments mit Elektronen Claus Jönsson,
Tübingen, Zeitschrift für Physik 161, 454 (1961)
Das von Jönsson durchgeführte Experiment wurde im September 2002
in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft in der
Zeitschrift "Physics World" zum schönsten physikalischen Experiment
aller Zeiten gewählt.
http://physicsweb.org/articles/world/15/9/2
Elektronen zeigen Teilchen- oder Welleneigenschaften genau wie
Licht.
http://physicsweb.org/articles/world/15/9/2
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16"Wave-particle duality of C60" Markus Arndt et al., Nature
401, 680-682, 14.October 1999
Welle-Teilchen Dualismus von C60
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17
Auf Grund des Wellencharakters der Materie können wir den
Zustand eines physikalischen Systemes durch eine Wellenfunktion
ψ(r,t) beschreiben. Das Betragsquadrat |ψ(r,t)|2=ψ*ψ ist die
Wahrscheinlichkeitsdichte für denNachweis von Teilchen am Ort r zur
Zeit t.
2. Materiewellen und Wellengleichung für freie Teilchen2.1
Begriff Wellenfunktion
Die Wellenfunktion ψ(r,t) ist eine komplexe skalare Größe, da
keine Polarisationwie bei elektromagnetischen Wellen beobachtet
wurde.
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zur Zeit t am Ort r im
Volumenelement d3r zu finden:
w(r,t) d3r =|ψ(r,t)|2d3r=ψ*ψ d3r.
Wahrscheinlichkeitsdichte w(r,t) =|ψ(r,t)|2=ψ*ψ
Für ein einzelnes Teilchen muss gelten: ∫w(r,t) d3r
=∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1Normierung: Erfüllt ψ(r,t) nicht diese
Bedingung, kann es immer normiert werden.
r ,t = ∣ r , t ∣2
∫∣ r ,t ∣2 d3r
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18
Wellenfunktion ψ(r,t)
Wahrscheinlichkeiten sind positiv definite Größen. Nur das
Betragsquadrat besitzt einedirekte physikalische Bedeutung. Die
Wahrscheinlichkeitsamplitude (Wellenfunktion) selbst ψ(r,t)
nicht.Für viele gleichartige Teilchen (Photonen) ergibt sich eine
Intensitätsverteilung durch Superposition der Wellenfunktionen und
Berechnung des Betrages der resultierenden Wellenfunktion.
|ψ(r,t)|2 = groß -> viele Teilchen |ψ(r,t)|2=0 kein Teilchen
Materiewellen sind keine spezifischen physikalischen
Eigenschaften, sondern können alsstatistisches Verhalten
interpretiert werden. Der Nachweis durch einen Einzelprozeß zeigt
immer nur den Teilchencharakter.
Materiewellen können als Wahrscheinlichkeitswellen interpretiert
werden.-> statistische Interpretation der QM
In der QM kommt es zu Interferenz wenn Alternativen existieren,
die zum gleichenMessergebnis führen. Wird durch die
Versuchsdurchführung eine der Alternativenausgeschlossen
verschwindet die Interferenz.
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19
Wir suchen eine Gleichung, aus der die Wellenfunktionen für
Teilchen bestimmt werden können.
Die Schrödingergleichung kann nicht streng aus ersten Prinzipien
abgeleitet werden.Wir versuchen die Schrödingergleichung in
Analogie zu Lichtwellen auf Grund des Welle-Teilchen Dualismus
plausibel zu machen.
Welle-Teilchen Dualismus ist experimentell sehr gut gesichert
alle Teilchen mit festem Impuls haben eine Wellenlänge (de Broglie
1924) QM als allgemeine Theorie sollte die makroskopisch korrekte
klassische Mechanik als Grenzfall enthalten. (Hamilton-Jacobi
Theorie: Wirkungswellenkonzept)
Motivation zur Schrödingergleichung
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20
2.2 Lichtwellen (Wiederholung aus der ED)
Wellengleichung aus Maxwellschen Gleichungen der ED für
elektrische Feld
E r , t = 1c2
∂2
∂ t 2E r , t = ∂
2
∂ x 2∂2
∂ y2∂2
∂ z2
Lösung durch Ansatz für ebene WellenE r , t = E0e
i k⋅r− t
ist eine Lösung falls ω=c k allg. Lösung:Wellenvektor k zeigt
die Ausbreitungsrichtung der Welle (Coulomb F=e Re E)
E r , t =∭d3 k E 0 k ei k⋅r− t
z.B. k || x-Achse E(x, t)=E0 cos(k x -ωt)
Periode τ : E(x,t+τ)=E(x,t) -> ωτ = 2π ω = 2π/τ = 2π v
Wellenlänge λ: E(x+λ,t)=E(x,t) -> kλ = 2π k = 2π/λ aus ω=c k
-> 2π v = c 2π/λ -> v λ = cInterferenz: E werden addiert
(Superpositionsprinzip), da die Maxwellschen GL. lineare DGL
sindIntensität: ~ Energiestromdichte (Poyntingvector) ~ |Re E|2
∣Re E1Re E2∣2=∣Re E1∣
2∣Re E2∣22 Re E1⋅Re E2
Intensitäten (Bilder) addieren sich nicht!
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21
Einschub aus der Relativitätstheorie
ED ist eine relativistische Theorie (c=Lichtgeschwindigkeit)
eine analogerelativistische Wellengleichung führt zur
Quantenelektrodynamik. E=mc2
E2 = m2c4 = p2 c2 + m0
2c4 Energie und Masse wachsen mit dem Impuls
(Geschwindigkeit).Übergang zur klassischen Mechanik ergibt sich für
kleine p (c>>|v|)
E=m02c4p2c2=m0c21 p2c2m02c 4~m0c2112 p2c2m02c4 =m0c212 p2m0 1x
~112 x ...Licht m
0=0 Photonen haben keine Ruhemasse, aber einen Impuls
-> E2 = p2 c2 E = |p|c p=|p|
E = hv = ћω = ћ c k = p c -> p= ћk ( p = ћk )
E = ћω Energie eines Photonsp = ћk Impuls eines Photons
Damit lassen sich auch jedem Teilchen mit festem Impuls
eineWellenlänge zuordnen.
da k=|k|=2π/λ p= ћk = ћ 2π/λ = h / λ de Broglie 1924
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22
2.3 Relativistische Gleichung für Materiewellen (Klein-Gordon
Gleichung)
In Analogie zur ED und ebenen Wellen als Lösungsansatz suchen
wir eine Gleichungfür Materiewellen (Teilchen), für die ψ(r,t) eine
Lösung ist.
r ,t =0ei k⋅r− t
Auf Grund der experimentellen Befunde zum Welle-Teilchen
Dualismus fordern wiraußerdem, das die Energie und Impuls
Beziehungen für Licht gelten sollen.
E = ћω Energiep = ћk Impuls
Wir starten von der relativistischen Gleichung mit m0≠0: E2 =
m2c4 = p2 c2 + m
02c4.
Einsetzen der Energie und Impuls Beziehungen und Multiplikation
mit ψ(r,t) gibt: ℏ22=ℏ2c2 k2m0
2c4
−ℏ2∂2∂ t 2
=−ℏ2c2m02c4
Klein-Gordon Gleichung 1926 (für m0=0 bekannte Gleichung für
Licht)
− 1c2∂2∂ t 2
=m0
2c2
ℏ2
∂∂ t =−i
∂∂ x j
=i k j
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23
2.4 Nicht relativistische Gleichung für Materiewellen
(Schrödinger Gleichung 1926)
Wir starten von der klassischen Mechanik, fordern aber die
Gültigkeit des Energie und Impuls Beziehungen für Licht auf Grund
des Welle-Teilchen Dualismus.
r ,t =0ei k⋅r− t
Es gilt also E = p2/2m, E = ћω , p = ћk
ℏ=ℏ2k 2
2m
i ℏ∂∂ t=−ℏ2
2m
∂∂t =−i
∂∂ x j
=i k j
Für ein Teilchen in einem externen Potential U(r) erhält man
eine Verallgemeinerung durch die klassische Hamiltonfunktion H =
p2/2m + U(r), die die klassische Gesamtenergie desSystemes
beschreibt.
i ℏ∂ r ,t ∂ t
=−ℏ2
2mr ,t U r r , t
Schrödingergleichung: Axiom, nicht streng herleitbar
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger * 12. August 1887 in
Wien-Erdberg† 4. Januar 1961 in WienNobelpreis Physik 1933
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24
Kohärenzlänge = Länge des Wellenzuges
In Wirklichkeit hat man es nicht mit unendlich ausgedehnten
Wellen (ebene Wellen),sondern immer mit Wellenpaketen zu tun. Damit
es zu Interferenz kommen kann,muss die Kohärenzlänge l
c groß gegenüber der Messapparatur sein.
z.B. realistische Zeiten für die Abstrahlung eines Photons von
einem Atom betragenτ~10-8s. Damit ergibt sich eine Kohärenzlänge
l
c=c*τ ~ 3m des Wellenpaketes.
2.5 Wellenpakete und Kohärenzlänge
Ein Gaußsches Wellenpaket ist eine Welle, die mit einer
Gaußfunktion moduliert ist (Multiplikation der Wellenfunktion mit
einer Gaußfunktion). Eine Besonderheit liegt darin, dass die
Fouriertransformation einer Gaußfunktion (und damit die
Frequenzverteilung) wieder eine Gaußfunktion ergibt.
ψ ψ*ψ
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25
3. Wellenfunktion, Schrödingergleichung und Operatoren
Der Zustand eines QM Systemes wird durch eine Wellenfunktion
beschrieben.ψ(r,t)=Wellenfunktion=Zustandsfunktion
Die Wahrscheinlichkeitsdichte ein Elektron am Ort r zur Zeit t
zu finden istdurch das Betragsquadrat der Wellenfunktion gegen.
r , t =∣ r , t ∣2
∫∣ r , t ∣2 d3r=
*r ,t r ,t
∫*r ,t r , t d3r
Für eine große Anzahl von gleichartigen Teilchen entspricht
w(r,t) einerIntensitätsverteilung -> statistische Interpretation
der QM.
Die Wellenfunktion kann durch Lösung der Schrödingergleichung
erhalten werden.
i ℏ∂ r , t ∂ t
=H =−ℏ2
2m r , t U r r ,t
H = Hamiltonoperator (Operator: Funktion -> Funktion)ergibt
sich aus der Hamiltonfunktion der klassischen Mechanik.
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Beispiel freies Teilchen in einem großen Volumen V
frei = es wirken keine Kräfte -> potentielle Energie
U(r)=0Schrödingergleichung
i ℏ∂ r , t ∂ t
=H =−ℏ2
2m r , t
Lösungen sind ebene Wellen:
r ,t =0ei k⋅r− t mit Nebenbedingung ℏ=ℏ
k 2
2mi ℏ−i=
−ℏ2
2m −k 2 ℏ=
ℏ2 k 2
2m
Normierung der Wellenfunktion
∫ *d3 r=∫0*e−i k⋅r− t 0e i k⋅r− t d3 r=∫ 0* 0 d3 r=0*0∫d3 r= 0*
0V=1∣0∣=
1V
Lösung ist also eine ebene Welle mit fester Energie E = ћω und
Impuls p = ћk mit Ausbreitungsrichtung k || p und
Gruppengeschwindigkeit (Teilchengeschwindigkeit)
v g k =ddk
=ℏ km=v
An welchem Ort finden wir das Teilchen? |ψ(r,t)|2 = 1/VDie
Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist für alle Raumpunkte gleich.
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27
3.1 Operatoren und Messwerte
Impulsoperator: der klassische Impuls p wird durch den QM
Impulsoperator pop
ersetzt
pop=ℏi ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z =ℏi grad=ℏi ∇
pop2 = pop⋅ pop= ℏi ∇ ⋅ ℏi ∇ =−ℏ2∇⋅∇=−ℏ2=−ℏ2 ∂
2
∂ x2 ∂
2
∂ y2 ∂
2
∂ z2 Ortsoperator: der klassische Ort r wird durch den QM
Ortsoperator r
op ersetzt
r -> rop
= Multiplikation mit rFunktionen U(r) -> U
op(r) Multiplikation mit Funktion
Index op wird in Zukunft weggelassen !
Die Reihenfolge der Operatoren ist im allgemeinen nicht
vertauschbar!
x p x r , t =x p x r , t =x ℏi ∂ r , t ∂ x p x x r , t = p x x r
, t = ℏi ∂∂ x x r , t =ℏi r , t x ∂ r , t ∂ x
x p x− p x x r , t =−ℏir , t
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28
Eigenwerte von Operatoren entsprechen physikalischen
Messwerten
A) Meßwerte des Impulsoperators für eine ebene Welle
Eigenwertgleichung aus der Algebra
a11 a12a21 a22 x1x2= x1x2 A x= x
pop=ℏi
grad=p p=ℏk nach de Broglie
r , t =0ei k⋅r− t
QM: Operator Funktion = Zahl Funktion
B) Messwerte des Hamiltonoperators für freies Teilchen
H op=−ℏ2
2m=
pop2
2m
H op=pop
2
2m=
ℏ2 k 2
2m=E
Eigenwerte des Hamiltonoperators sind die möglichen Messwerte
der EnergieC) allgemein: beliebiger Operator A einer physikalischen
Messgröße
Eigenwertgleichung A=aEigenwerta=möglicher Messwert
-
29
In der klassischen Hamiltonfunktion H=p2/2m+U(r) werden
klassische Größen wie Ort und Impuls werden durch Operatoren
ersetzt.
3.2 Formale Quantisierung eines physikalischen Systems
pℏi ∂∂ x , ∂∂ y , ∂∂ z =ℏi grad=ℏi ∇
E i ℏ ∂∂ t
Durch diese Ersetzung erhalten wir eine lineare partielle DGL
für die Wellenfunktion ψ(r,t).
i ℏ∂ r ,t ∂ t
=H
Linerare GL: wenn ψ(r,t) eine Lösung ist, dann ist auch a ψ(r,t)
LösungNormierung der Wellenfunktion ∫|ψ(r,t)|2d3r=∫ψ*ψ d3r=1
Anmerkung: Die Wahl der klassischen generalisierten Koordinaten
für ein gegebenes System ist im allgemeinen nicht eindeutig. Die
Reihenfolge von q und p ist in der klassischen Mechanik
willkürlich. Der Hamiltonoperator ist damit nicht eindeutig.Die
Mehrdeutigkeit verschwindet, wenn die Ersetzungsregeln nur auf
kartesische Koordinaten angewandt werden. Zusatzregel pq ->
(qp+pq)/2
Schrödingergleichung
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30
3.3 Stationäre (zeitunabhängige) Zustände
Wenn der Hamiltonoperator nicht explizit von der Zeit abhängt,
kann man von derzeitabhängigen Schrödingergleichung zu einer
zeitunabhängigen übergehen.
i ℏ∂ r ,t ∂ t
=H =−ℏ2
2m r , t U r r , t
Lösungsansatz: Separation der Variablen r , t =e−i t r
Einsetzen in die Schrödingergleichung gibt
ℏe−i t r =E e−i t r =H e−i t r
Übrig bleibt der zeitunabhängige Teil der Schrödingergleichung H
ψ(r) = E ψ(r) deren Lösung ψ(r) gibt. Die Lösungen ψ(r) heißen
stationäre Zustände, da
Die vollständige zeitabhängige Lösung der Schrödingergleichung
ist ψ(r,t) = e-iωt ψ(r)und damit zeitabhängig.
w r , t =*r ,t r ,t =ei t*r e−i tr =*r r =w r
zeitunabhängig ist. Stationäre Zustände haben eine feste
Energie.
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31
3.4 Wahrscheinlichkeitsstromdichte
∂∂ t
* =∂*
∂ t*
∂∂ t
i ℏ∂ r ,t ∂ t
=−ℏ2
2mr ,t −i ℏ
∂ r , t *
∂ t=−ℏ2
2m r ,t *
Schrödingergleichung und deren komplex kongugiertes
∂∂ t
* = ℏi 2m [
*−* ]
Definition der Wahrscheinlichkeitsstromdichte (Achtung )
j r ,t =ℏ
i 2m [*r , t ∇ r , t − r , t ∇ *r , t ]
damit kann man eine Kontinuitätsgleichung formulieren∂∂ t
w r ,t divj r , t =0
die zeitliche Änderung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit in
einem bestimmten Volumenist gleich dem Wahrscheinlichkeitsstrom
durch die Oberfläche des Volumens.(Teilchenerhaltung analog zur
Ladungsstromdichte der ED)
∇=grad
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32
4. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ergebnis eines einzelnen Experiment ist im allgemeinen nicht im
voraus berechenbar,jedoch lassen sich statistische Aussagen über
viele Experimente treffen.Definitionen:Physikalische Größe: A
(Energie, Impuls ...)Messwert dieser Größe: a (alle möglichen Werte
für Messung von A)Wahrscheinlichkeit w(a), dass das Messergebnis a
auftritt
w a= limN∞
N aN
N=Anzahl der MessungenN a =Anzahl der Messungen mit Ergebnis
a0≤w a≤1 ∑
aw a=1
Messwerte in der Physik sind häufig kontinuierlich (z.B. Ort)
und nicht diskret.w(a) ist dann eine
Wahrscheinlichkeitsdichtew(a)da= Wahrscheinlichkeit, dass der
Messwert im Intervall [a-da/2,a+da/2] liegt
∑∫ ∑ w a∫w ada
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33
Mittelwert einer Größe A heißt auch Erwartungswert
〈 A〉=A=∑aa w a
4.1 Mittelwerte (Erwartungswerte)
Mittelwert einer Funktion f(A)
〈 f A〉=∑a
f a w a 〈 f A 〉=∫af a w a da
Welches Experiment ist genauer?
0 2 4 6 8 10 120
0.5
1
1.5
2
2.5
Messungen0 2 4 6 8 10 12
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
Messungen
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34
4.2 Mittlere quadratische Abweichung = Schwankungsquadrat =
Unschärfe
Mittelwert der Abweichung vom Mittelwert ist ungeeignet〈A−〈 A
〉〉=〈 A 〉−〈 A 〉=0
A=〈 A−〈 A〉 2〉
A 2=〈 A2−2 A 〈 A 〉〈 A 〉2〉=〈 A2〉−2〈 A 〉 〈 A〉〈 A 〉2=〈 A2〉−〈 A
〉2
A=〈 A2〉−〈 A〉2
Viele physikalische Größen haben im allgemeinen ∆A≠0.->
Messungen liefern jedesmal ein anderes Ergebnis(Heisenbergsche
Unschärfe ∆x∆p≥ћ/2)
In wichtigen Sonderfällen wie z.B. stationären Fällen kann die
Unschärfe Null (∆A=0) werden.
Die Aufgabe der QM besteht oft in der Berechnung der möglichen
Eigenwerte (Messwerte) a einer physikalischen Größe A und derer
Wahrscheinlichkeiten w(a).
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35
5. Einfache Beispiele
5.1 Teilchen in einem Kasten mit unendlich hohen Wänden
(zunächst nur 1D)
0 L
UU = 0 für 0 ≤ x ≤ L = ∞ außerhalb
i ℏ∂ x , t ∂ t
=H x , t =−ℏ2
2m∂2 x , t ∂ x 2
U x x , t 1D Schrödingergleichung
gesucht werden die stationären Zuständen (Lösungen mit fester
Energie) Hψ=Eψ.
−ℏ2
2m∂2 x ∂ x2
U x x =E x
Endliche Energien nur möglich, wenn ψ(x)=0 außerhalb des
Kastens. Randbedingung für die Lösung der obigen
Schrödingergleichung im Intervall zwischen 0 ≤ x ≤ L ist also
ψ(0)=ψ(L)=0.Die Gleichung besitzt viele Lösungen ψ
n mit verschiedenen Energien E
n.
−ℏ2
2m∂2n x ∂ x2
=En x n x =ansin k n x n x =bncos k n x
-
36
Die Randbedingungen schränken diese allgemeinen Lösungen ein.aus
ψ(0)=0 -> alle b
n=0, da cos(0)=1
aus ψ(L)=0 -> knL= nπ, da sin(nπ)=0 -> k
n= nπ/L
n x =an sin nL x n=1,2,3, 4, ...a
n aus Normierung der Wellenfunktion
1=∫0
L
n*ndx=∫
0
L
an2 sin2
nL
x dx=an2∫
0
L 121−cos
2n L
x dx=an2 12 [ x− L2n sin 2n L x ]0
L
=an2 L2
cos2=cos2−sin2=1−2sin2
sin2=121−cos2
an=2L
x/L x/L
ψ ψ*ψ
-
37
Abstand zweier Energieniveaus
En1−E n=ℏ2
2m2
L2n12−n2=ℏ
2
2m2
L22n1
für L groß: sehr kleine Energieabstände, praktisch alle Energien
kontinuierlich erlaubtfür L klein: nur diskrete Energiedifferenzen
erlaubt (-> scharfe Spektrallinien)
En x =−ℏ2
2m∂2n x ∂ x2
=ℏ2
2m nL 2
ansin nL x En=
ℏ2
2m nL 2
=ℏ2k n
2
2m
Zur Berechnung der Energien setzen wir die Lösung für ψn(x) in
die Schrödingergl. ein.
Auf Grund der Randbedingungen sind nicht alle Energien oder
Impulse erlaubt. Die diskreten Energieniveaus sind die messbaren
Energieeigenwerte. Sie sind ein qualitativ neues Ergebnis der
QM.
Die Unschärfe der Energie im Zustand ψn beträgt ∆E
n=0.
An=annA2n=A An=A an=an
2n
-
38
En1−E n=ℏ2
2m2
L2n12−n2=ℏ
2
2m2
L22n1
E = hv = ћω = ћ c k = h c /λ
Absorptionsspektren von aromatischenRingmolekülen zeigen mit
zunehmenderMolekülgröße eine Verschiebung zu größerenWellenlängen
(kleineren Energien).
Elektronen in π-Bindungen sind schwachgebunden und können
näherungsweise alsTeilchen in einem Kasten der Länge des Moleküles
betrachtet werden.
Absorptionsspektren von aromatischen Ringmolekülen
Haken&Wolf, Molekülphysik und Quantenchemie, S.259
-
39
5.2 Teilchen in einem 3D-Kasten mit unendlich hohen Wänden
L1
L2
L3
−ℏ2
2m ∂2
∂ x2 ∂
2
∂ y2 ∂
2
∂ z2 x , y , z =E x , y , z Randbedingungen, dass die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Kasten 0 ist.
0, y , z = L1, y , z =0 x ,0 , z = x , L2, z =0 x , y ,0= x , y
, L3=0
Lösungsansatz: Separation der Variablen ψ(x,y,z)= ψ(x) ψ(y)
ψ(z)
n1n2n3 x , y , z =2L1 sin n1L1 x 2L2 sin n2L2 y2L3 sin n3L3 z E
n1n2n3=
ℏ2
2m2n12L12n2
2
L22
n32
L32
Sommerfeld-Modell der Metalle: Erklärung der elektrischen
Leitfähigkeit mit QM
-
40
5.3 Tunneleffekt
U0
U0
kinetische Energie kleiner U0
kinetische Energie größer U0
klassische MechanikReflexion, Streuung
Quantenmechanik: gesucht seien Zustände mit fester Energie
I II III
0 L
I: − ℏ2
2md 2
dx 21 x =E1 x 1 x =A1e
i k 1 xB1e−i k 1 x E=
ℏ2
2mk 1
2
II: − ℏ2
2md 2
dx 2 2x U 02 x =E2 x 2 x =A2e
i k 2 xB2e−i k 2x E= ℏ
2
2mk 2
2U 0
III: − ℏ2
2md2
dx23 x =E 3 x 3 x =A3 e
i k 3 xB3e−i k 3 x E=
ℏ2
2mk 3
2
(Allgemeiner Lsgsansatz für DGL 2.Ordnung-> siehe
Mathematik)
Da die Energie gegeben ist und konstant in allen Bereichen
(Energieerhaltung)
k 1=k 3=1ℏ2m E k 2=
1ℏ 2m E−U 0
k2 für E
-
41
Randbedingungen: Wellenfunktion soll stetig sein
1 0= 2 0dd x 1 0 =
dd x 2 0
2 L = 3 L dd x 2 L =
dd x 3 L
I II III
0 L
4 Gleichungen für 6 Unbekannte, weitere Bedingung aus Normierung
der Wellenfunktion-> eine der Konstanten ist völlig frei ->
durch Experiment beschriebenz.B. Teilchen kommen nur aus Bereich I
(von links) aber nicht aus III (von rechts) B
3=0
I II III
0 L
A3 entspricht einem Anteil, der klassisch verboten ist.
Bestimmen der Unbekannten aus den Randbedingungen und den allg.
Lösungen
A1B1=A2B2 A1k 1−B1k 1= A2k 2−B2k 2A2e
i k 2 LB2e−i k 2 L=A3e
i k 1 L A2k 2ei k 2 L−B2k 2e
−i k 2 L=A3 k 1ei k 1 L
-
42
b) E
-
43
k 1=k 3=1ℏ2m E = 1
ℏ 2m U 0−E
sinh L=12e L−e− L ≈ 1
2eL falls L≫1 sinh2 L≈ 1
4e2 L
D=∣A3A1∣2
=4 k 1
22
k 1222 sinh2 L4k 1
22≈
16k 122
k 1222
e−2 L
Für Festkörper typisch U0-E~5eV,
für ein Elektron ergibt sich dann:L=1Å : e-2κL ~ 0.1L=2Å : e-2κL
~ 0.01L=10Å : e-2κL ~ 10-10
Je größer die Masse, desto kleinerist D.
-
44
Beispiele für den Tunneleffekt
qualitatives Verständnis der chemischen BindungBeim
Tunnelprozess wird die Gesamtenergie abgesenkt ->
Bindungsenergie
Benzolring: Kollektives Tunneln aller Doppelbindungen -> alle
C-C Bindungen gleich lang
Radioaktiver α-Zerfall
α-Teilchen können aus dem Potentialtopf auf Grund der Kernkräfte
hinaustunneln.
1/r
-
45
6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen
QM)
6.1 Hilbertraum
Raum = mathematisches Konstrukt: Vektorraum
a) Der lineare komplexe Raum ist die Menge von mathematischen
Objekten mit folgenden Eigenschaften:
1. ψ und φ seien Elemente der Menge, dann ist ψ±φ auch ein
Element.2. Es existiert ein Element 0 (Nullelement) mit ψ+0=ψ,
ψ-ψ=0.3. Wenn ψ Element der Menge ist, dann ist auch λψ (λ=
komplexe Zahl) Element.
David Hilbert * 23. Januar 1862 Königsberg† 14. Februar 1943
Göttingen
-
46
Beispiele für Realisierungen
I. Menge der komplexen 3D Vektoren a=(ax,a
y,a
z) mit a
x=Re a
x + i Im a
x
a, b seien Vektoren, dann ist a±b=(ax±b
x,a
y±b
y,a
z±b
z) ebenfalls ein Vektor
a + (0,0,0)=a Nullvektor (0,0,0) λa=(λa
x,λa
y,λa
z) ist ebenfalls ein Vektor λa
x = Multiplikation zweier komplexer Zahlen
II. Menge der Wellenfunktionen (Zustandsfunktionen) aus der
Lösung der Schrödingergl. ψ(r,t) und φ(r,t) seien Lösungen der
Schrödingergleichung, dann ist auch ψ±φ Lsg. Funktion identisch
Null ist Lsg. der Schrödingergleichung λψ(r,t) ist auch eine
Lösung
III. weitere mathematische Mengen (z.B. Matrizen)
-
47
Der Hilbertraum ist ein linearer komplexer Raum, für den
zusätzlich ein Skalarprodukt mit folgenden Eigenschaften definiert
ist: (ψ,φ) = a = komplexe Zahl (Mathematik: a ist endlich) (ψ, λφ)
= λ(ψ,φ) λ = komplexe Zahl (φ,ψ) = (ψ,φ)* = a*
=> (λψ,φ) = (φ,λψ)* = [λ(φ,ψ)]* = λ*(φ,ψ)* = λ*(ψ,φ)
(ψ,φ1±φ
2) = (ψ,φ
1) ± (ψ,φ
2)
=> (ψ1±ψ
2,φ) = (ψ
1,φ) ± (ψ
2,φ)
(ψ,ψ) ≥ 0 und reell, endlich (ψ,ψ) = 0 falls ψ = 0
Def. der Norm („Länge“):
ψ, φ sind orthonormal, falls
b) der Hilbertraum der Physiker
,=∥∥
,= 0 ≠1 =
-
48
c) der Hilbertraum (der Mathematiker)
zusätzliche Forderung nach Vollständigkeit für Mathematik sehr
wichtige Forderung, aber jeder komplexe Vektorraum kann
vervollständigt werden
z.B., Vervollständigung der rationalen Zahlen durch irrationale
Zahlen Grenzwerte müssen im Raum enthalten sein
z.B. Menge der reellen Polynome vom Grad N,bilden einen linearen
Raum, Skalarprodukt
Es ist
sin = Grenzwert eines reellen Polynoms für N -> ∞
Mathematisch strenge Definition eines Hilbertraum:Ein linearer
komplexer Raum, der vollständig bezüglich der durch das
Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge
konvergiert, heißt Hilbertraum.
f N x =∑n=0
N
an xn
f N , f M ≝∫0
2
f n⋅ f m dx
sin x=x− x3
3 ! x
5
5 ! ⋯ =∑
n=0
∞
an xn
-
49
Basis im Hilbertraum
Es gibt Sätze von Elementen des Hilbertraumes, i=1, 2,..., die
orthonormiert
und vollständig sind. Die Vollständigkeit bedeutet, dass jedes
Element alsLinearkombination der Basis ausgedrückt werden kann.
i , j=ij
=∑iaii
Alle weiteren Eigenschaften lassen sich aus den Definitionen des
Skalarproduktesherleiten.z.B. erhält man die
Entwicklungskoeffizienten a
i aus:
i ,= i ,∑ja j j =∑
ji , a j j =∑
ja j i , j =∑
ja j ij=ai
-
50
Beispiele für Realisierungen:
komplexe Vektoren mit
reelle Vektoren mit Skalarprodukt
a ,b=a x* bxa y
* b yaz* bz ∥a∥=∣a x∣2∣a y∣2∣az∣2
,=〈∣〉=∫*r ,t r , t d 3r
Die Lösungen der Schrödingergleichung (Wellenfunktionen)sind
Elemente eines Hilbertraumes mit dem Skalarprodukt (Metrik)
,=∫* d3r=∫**d 3r= ,* ,=∫*d 3r=∫*d 3r ,=∫ *d 3r=∫**d 3r=*∫*d 3r
,1±2=∫*1±2d 3r=∫*1d 3r±∫*2 d 3r= ,1± ,2
Dirac Schreibweise für das Skalarprodukt bra = engl. bracket=
Klammer
Paul Adrien Maurice Dirac * 8. August 1902 Bristol † 20. Oktober
1984 TallahasseeNobelpreis Physik 1933
-
51
Vergleich N-dimensionaler Vektorraum mit Hilbertraum
Vektorraum Hilbertraum a Vektor ψ {e
n} Basis {φ
n}
ei·e
j=δ
ij Orthonormierung = δ
ij
a = ∑ ai e
i Entwicklung ψ=∑ a
i φ
i
a
i = e
i·a a
i =
a·b = b·a Symmetrie Skalarprodukt = <
ψ | φ>*
Die Elemente des Hilbertraumes für die Quantenmechanik sind
normierbare Funktionen, die Dimension des Hilbertraumes ist
unendlich. Die Basis im Hilbertraum ist durch ein geeignetes
vollständiges orthonormales System von Funktionen gegeben.
-
52
1. Schwarz'sche Ungleichung
Beweis: siehe Übung(reelle Vektoren = Länge des Vektors a)
2. Dreiecksungleichung
Beweis: siehe Übungreelle Vektoren = Länge a
∣ ,∣∥∥∥∥= , ,
∥a∥=ax2a y2a z2∣a⋅b∣=∣a⋅b⋅cos∣a⋅b ∣cos∣≤1
∥∥∥∥∥∥
∥a∥ab
a
b
6.2. Mathematische Eigenschaften
b
a
-
53
6.3. Lineare Operatoren im Hilbertraum
Def: Ein Operator bildet ein Element des Hilbertraumes auf ein
anderes ab.
Matrix im Raum der 3D Vektoren
Translationsoperator
Operator muss nicht explizit bekannt sein, nur seine
Wirkung.
Inversionsoperator
Einstein: Summation über doppelten Index
(EinsteinscheSummenkonvention)
A=
a xx a xy a xza yx a yy a yza zx a zy a zz bxb yb z =
c xc ycz aijb j=ci
x1, y2, z3
∑j=1
3
aijb j=ci
∂∂ x=
T x , y , z = xa , yb , zc
P r = −r
-
54
Def: ein Operator A heißt linear, falls gilt:
Gegenbeispiel: Multiplikation mit
im Allgemeinen ist z.B. A = px, B = x
Def: Die Verknüpfung der Operatoren A und B in folgender Form:
AB – BA =[A,B] = C (anderer Operator) heißt Kommutator.
A 1122=1 A 12 A2
A= ,A = ,
∥∥2
AB≠B A
[ x , p x]=i ℏ[ x , p y ]=0
[ x , x ]=0 [ p x , p x]=0
-
55
Def: Inverser Operator („rückgängig machen“)B ist zu A invers,
falls AB = BA = 1 gilt.B = A-1 (Schreibweise nicht 1/A
, p
x-1 -> Integration)
AA-1 = 1
z.B. = Integration
Def: Adjungierter OperatorB heißt adjungierter Operator zu A,
falls gilt
∂∂ x
∂∂ x −1
, A=B ,=A* ,
1 A12 A2*=1
* A1*2
* A2*
AB*=B* A*
B=A*
, A B=A* , B=B* A* , , AB=AB * ,AB*=B* A*
A**=AHausaufgabe
-
56
Def: selbstadjungierter (hermitescher) Operator Operator A heißt
selbstadjungiert, falls A* = A. Alle physikalisch sinnvollen
Operatoren sind selbstadjungiert.
Def: Unitäre OperatorenDef: Operatur U heißt unitär, falls gilt
U* = U-1 UU* = U*U = 1
Das Skalarprodukt ist bei einer unitären Transformation
invariant. (ändert sich nicht, wenn auf Elemente des Hilbertraumes
angewandt)(Uψ,Uφ) = (ψ,φ) (U*Uψ,φ) = (ψ,φ) BeweisBeispiel:
Translationsoperator Tψ(x) = ψ(x+a) der Ort x wird um a
verschoben
,=∫−∞
∞
dx*x x
T ,T =∫−∞
∞
dx*xa xa
=∫−∞
∞
dy* y y
y=xady=dx
-
57
Fourier-Transformation F[ψ(x)] = ψ(k)(Fφ,Fψ) = (φ,ψ) Norm bleibt
erhalten Beispiele für selbstadjungierter Operatoren:
1)
Ortsoperator ist ein selbstadjungierter Operator (y, z
ebenfalls)-> r ist ein selbstadjungierter Operator
2)
, x=∫ d3r *r xr =∫ d 3r xr *r = x ,
〈∣p x〉= ,ℏi∂∂ x=∫ d 3r*r ℏi
∂∂ xr =
partielle Integration
∫dx f x ddx g x =
= f x g x∣ −∫dx ddx f x g x
0, falls ψ* und/oder φ im ∞ verschwindet.
=∫d 3r ℏi ∂∂ x r *
r = ℏi ∂∂ x ,=〈 p x∣〉
=∫dy dz* x , y , z x , y , z ∣x=−∞x=∞ −∫d 3r ℏi ∂∂ x * r r
-
58
px=ℏi∂∂ x
ist ein selbstadjungierter Operator (py,p
z ebenfalls)
p=ℏigrad ist ein selbst adjungierter Operator
Bemerkungψ, φ seien ebene Wellen, z. B. r =ei
k 1⋅r r =eik 2⋅r
≠0 für r∞
, ℏi ∂∂ x =∫ d 3r e−i k1⋅r ℏi ∂∂ x ei k 2⋅r=∫d 3r e−i k 1⋅r ℏi i
k 2
x e ik 2⋅r
=ℏ k 2x ∫ d 3r e−i k 1− k 2⋅r
=ℏ k 2x 23 3 k 1−k 2
-
59
ℏi ∂∂ x ,=∫ d 3r ℏi ∂∂ x e i k1⋅r *
e ik 2⋅r
=∫ d 3r ℏ k 1x ei k 1⋅r *eik 2⋅r
=ℏ k 1x∫ d 3r e−i k 1⋅r e i k 2⋅r=ℏ k 1x∫ d 3r e−i k 1−k 2⋅r
=ℏ k 2x 233 k 1−k 2
0 für ≠0 für
3k−k ' =k 1≠ k 2k 1= k 2
, px = p x , px ist selbstadjungiert
-> ist selbstadjungiertp
Völlig analog lässt sich dies für py und p
z zeigen, so dass die Komponenten
des Impulsoperators selbstadjungiert sind.
-
60
Messgrößen werden durch selbstadjungierte Operatoren
dargestellt.
A n=ann
6.4 Eigenwerte und Erwartungswerte von hermiteschen
Operatoren
http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/PictDisplay/Hermite.html
Charles Hermite * 24. Dezember 1822 Dieuze (Lothringen)† 14.
Januar 1901 Paris
Die Lösung der Eigenwertgleichung für einen Operator A liefert
die Eigenwerte an
und Eigenvektoren φn.
Wenn A ein hermitescher Operator (ψ,Aψ)=(Aψ,ψ) ist gilt:
〈n∣An 〉=〈n∣ann 〉=an 〈n∣n 〉〈 An∣n 〉=〈ann∣n 〉=an
*〈n∣n 〉
an=an*
Die Eigenwerte hermitescher Operatoren sind immer reelle
Zahlen.
-
61
Die Eigenvektoren hermitescher Operatoren bilden eine Basis im
Hilbertraum.
〈m∣An〉=〈m∣ann 〉=an 〈m∣n〉〈 Am∣n〉=〈amm∣n〉=am
* 〈m∣n 〉=am 〈m∣n〉
Aus der Differenz dieser beiden Gleichungen ergibt sich für
hermitesche Operatoren:
0=an−am 〈m∣n〉
Daraus folgt für verschiedene Eigenwerte an≠a
m, das die Eigenfunktionen zu
verschiedenen Eigenwerte zueinander orthogonal sind
(Skalarprodukt ist Null).
Falls zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen existieren
(Entartung), lassen sichimmer Linearkombinationen dieser
Eigenfunktionen bilden, die orthogonal sind(Gram-Schmidtsches
Orthogonalisierungsverfahren).
Durch Normierung der Eigenfunktionen erhalten wir eine
orthonormierte Basis im Hilbertraum, mit der sich alle Zustände
ausdrücken lassen.
-
62
b , Ab=b ,c =∑ibi
*∑kaik bk=∑
i∑kbi
*aik bk
Ab ,b=c ,b=∑i∑
ka ikbk
*bi=∑
i∑kaik
* bk*bi
=∑i∑kaki
* bi*bk aik=aki
*
Spezialfall: reelle Matrix muss symmetrisch sein, damit alle
Eigenwerte reell sind.
Im Hilbertraum der komplexen Vektoren ist die Matrix A
hermitesch, fallsfür alle Elemente gilt a
ik=a
ki*. In diesem Fall besitzt A nur reelle Eigenwerte.
Für komplex konjugiert und transponiert wird statt * oft †
geschrieben. A*=A†
b=b1,b2,... , bn
A b=c ∑ka ik bk=ci
b ,b =b⋅b=∑ bi*bi b ,c =∑ bi*ci
-
63
6.5 Erwartungswerte hermitescher Operatoren
An=ann
Ein hermitescher Operator A habe bekannte Eigenwerte und
Eigenfunktionen.
Ein beliebiger Zustand eines physikalischen Systemes kann als
Linearkombination in derBasis der Eigenfunktionen von A dargestellt
werden.
=∑ici i=∑
ici ∣i 〉
Der Erwartungswert für die Messung der physikalischen Größe A in
diesem Zustand ist:
〈 A〉= , A =〈∣A 〉=〈∣A∑icii 〉=∑
ic i 〈∣Ai 〉=∑
ic i 〈∣ai i 〉=∑
ic iai 〈∣ i 〉=
=∑iaic i 〈∑
jc j j∣i 〉=∑
i∑jc j
*aic i 〈 j∣ i 〉=∑i∑jc j
*ai c i ij=∑iai c i
*c i=∑iai∣c i∣
2
Es ergibt sich der Messwert ai mit der Wahrscheinlichkeiten
|c
i|2.
-
64
Jede physikalische Messgröße kann durch einen hermiteschen
(selbstadjungierten)Operator dargestellt werden.
Die Eigenwerte dieses Operators sind immer reelle Zahlen und
entsprechen den möglichen Messwerten der physikalischen Größe.
Die Eigenfunktionen jedes hermiteschen Operators bilden eine
Basis im Hilbertraum,so dass jeder beliebige Zustand als
Linearkombination der Basiszustände ausgedrücktwerden kann.
Die Messung einer physikalischen Größe im Zustand ψ liefert
immer einen Eigenwert, der mit der Wahrscheinlichkeit |c
i|2 auftritt. Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus
dem Anteil von ψ für den entsprechenden Eigenzustand
(Basiszustand).
Ist das System in einem Eigenzustand wird der entsprechende
Eigenwert als Messwert ohne Schwankung (Unschärfe = 0)
gemessen.
6.6 Hermitesche Operatoren und Messung
-
65
7. Die Heisenbergsche UnschärferelationA*=A, B*=B seien 2
hermitesche lineare Operatoren (= physikalische Größen)
1)
da für beliebige komplexe Zahl z gilt:
2) Schwarzsche Ungleichung
quadrieren dieser Gleichung
da ψ, φ völlig beliebige Vektoren sind, können wir diese
ersetzen
da es selbstadjungierte Operatoren sind und wegen 1)
∣A , B∣ ≥ 12∣A , B−A , B*∣ = 1
2∣A , B−B , A∣
= 12∣ ,[A , B ] ∣
= 12∣ , AB− , B A∣
∣z∣=Re z 2Im z2 ≥ 12∣z−z*∣ = 1
2∣2 i Im z∣ = ∣Im z∣
∥∥ ∥∥ ≥ ∣ ,∣ ∥∥ = ,
, , ≥ ∣ ,∣2
A , BA , AB , B ≥ ∣A , B∣2
, A2 , B2 ≥ 14∣ ,[A , B ] ∣2
-
66
A, B sind hier beliebige Operatoren, die wir ebenfalls ersetzen
können durch andereA A−〈 A〉 , B B−〈B〉
A2 = ,A−〈 A〉2
,
, A2 ⋅ , B2 ≥ 14∣ , [A , B ] ∣2
[A−Zahl , B−Zahl ] = [A , B ] − [A , Zahl ] − [Zahl , B ] [Zahl
, Zahl ]
A2 B 2 ≥ 14∣ ,[A , B ] , ∣
2
≥ 14∣〈[A , B ]〉∣2
A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣
HeisenbergscheUnschärferelation
da
, A−〈 A〉2 ,B−〈B〉2 ≥ 14∣ ,[A−〈A〉 , B−〈B〉] ∣2
Unschärfe der Messgröße A im Zustand ψ, falls derZustand ψ nicht
normiert ist. Wenn ψ normiert ist,dann ist (ψ, ψ)=1.
-
67
A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣
Heisenbergsche Unschärferelation
Die Unschärfe ist ein Maß für die Abweichung von Messwerten von
ihrem Mittelwert.
Die Heisenbergsche Unschärferelation bestimmt die untere Grenze
für das Produkt der Unschärfe zweier Messgrößen. Diese untere
Grenze wird durch den Kommutatorder entsprechenden Operatoren für
die Messgröße bestimmt.
Die Unschärferelation gibt die quantenmechanische Unbestimmtheit
in der Messungvon physikalischen Größen an. Falls die Operatoren
kommutieren [A,B]=0, dann sindbeide Messgrößen simultan
messbar.
-
68
z.B.
Alle Operatoren A, B, die miteinander vertauschen [A, B] = 0 ,
liefern reproduzierbare Messung
≥ wieviel größer (oder auch ob =), hängt vom speziellen Zustand
(ψ) abz.B. Ebene Welle: besitzt einen scharfen Impuls: Δp
x = 0
-> Δx = ∞Der Ort ist völlig unbestimmt. Spalty Δy endlich
-> Δp
y endlich
Δy Δp
y = 0
Δy = ∞
Sind exakt bestimmte Orte mit Δx = 0 möglich?-> Δp
x = ∞ unmöglich
[ x , p x] = i ℏ
x⋅ p x ≥ℏ2
y⋅ p y ≥ℏ2
z⋅ pz ≥ℏ2
A B ≥ 12∣〈[A , B ]〉∣
-
69
Nullpunktsschwingungen der AtomeBemerkung: ΔE.Δt ≥ ћ/2 kann
nicht bewiesen werden, da t kein Operator ist.Relativitätstheorie
-> (p
x,p
y,p
z,E/c) (x,y,z,ct) -> ΔE.Δt ≥ ћ/2
Δt = τ Lebensdauer eines Zustandes. I Unschärfe von
Spektrallinie entspricht Verbreiterung
Harmonischer Oszillator:
In klassischer Mechanik ist jede elliptischeBahn möglich.
Koordinatenursprung x = p
x = 0
bedeutet Ruhelage.
U = 0 und px = 0 ist in der Quantenmechanik unmöglich, da dann
Δx = Δp
x = 0 sein
müsste. Es gibt also eine minimale Energie, die
Nullpunktsbewegungen entspricht.
x
px
xU = k
2x2
E =px
2
2m U
x
px
Emin =12ℏ = km
+E
-
70
x
E
8. Der lineare harmonische Oszillator (1D)
klass.:
gilt näherungsweise für alle Schwingungen, falls die
Auslenkungen klein genug sind(ähnliches Potential ≈ ähnliche Kraft)
U H z.B. H kann in x-, y-, z-Richtung schwingen
Alle 12 Atome: 3*12 Freiheitsgrade 3 Translationen + 3
Rotationen -> 36 – 6 = 30 mögliche Schwingungen (30 gekoppelte
lineare näherungsweise harmonische Oszillatoren)
= km = 2 f (Frequenz)k = 2m
m größer -> ω kleiner (deuterierte Moleküle)U = k2x2 =
2m2
x2
-
71
Quantenmechanik:Wir suchen stationäre Zustände (also mögliche
Energien) der stationären Schrödingergl., ist zu lösen H n x = E
nn
H n= −ℏ2
2md 2
dx 2n
m2
2x 2n=Enn
= m/ℏ x n x = n
0 = a0 e−2
2
1 = a1 e−2
2
⋅⋅⋅
n = e−2
2 [a0a1a22...an
n]
a j2 =2 j−n
j1 j2a j
n x ~ e−m
2ℏx2
H n x⋅mℏ Energieeigenwerte E n = n12 ℏ
eingeführt:
Hermitesche Polynome Hn(y)
H n = −1n e y
2 d n
dy ne−y
2
-
72
Statt Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung wählen
wir eine geschickteLösungsmethode, bei der nur algebraische
Gleichungen gelöst werden müssen.
Wir definieren zwei neue Operatoren A und A+, um den
Hamiltonoperator auf eine möglichst einfache mathematische Form zu
bringen. Aus Gründen, die (hoffentlich)später klar werden:
Vernichtungsoperator
Erzeugungsoperator
A ist keine Messgröße, da A ≠ A+ (nicht selbstadjungiert)wir
kennen [x, p
x] = i ħ , [x, x] = [p
x, p
x] = 0
A = m2ℏ x ip x2ℏmA*=A= m2ℏ x − ipx2ℏm
[A , A+ ] = [m2ℏ x , m2ℏ x ][ i p x2 ℏm ,−i px2ℏm ][m2ℏ x ,−i p
x2ℏm ][i p x2ℏm ,m2ℏ x ]=−i
2ℏ[ x , p x ]
i2ℏ[ p x , x ]=
−iℏ[ x , p x]=
−iℏ
i ℏ=1
-
73
x=2ℏm 12 AA+p x=2ℏm −i2 A−A
+
x 2=ℏ
2m A2AA+A+ AA+ 2
p x2=−ℏm1
2A2−AA+−A+ AA+ 2
Wir drücken jetzt den Hamiltonoperator mit Hilfe der Operatoren
A und A+ aus.
H =p x
2
2m
m2
2x 2 A = m2ℏ x ip x2ℏm
A = m2 ℏ x − ip x2ℏm
Einsetzen in den Hamiltonoperator ergibt zusammen mit
H = −ℏ4 A2−AA+−A+ AA+ 2
ℏ4A2AA+A+ AA+ 2=
ℏ42 AA+A+ A
=ℏ22 A+ A1=ℏ A+ A1
2
[A , A+ ]=A A+−A+ A=1
-
74
Durch die Umformungen haben wir das Problem der Lösung der
zeitunabhängigen Schrödingergleichung für den harmonischen
Oszillator auf die Lösung eines Eigenwertproblemes für einen neuen
Operator zurück geführt.
N=A+ A Besetzungszahloperator
N ist hermitesch N+ = (A+A)+ = A+ (A+)+ = A+A = N -> reelle
Eigenwerte
N ∣n 〉 = n∣n 〉
∣n 〉 = n sei ein normierter Eigenzustand
N = A+ A A+∣n 〉=A+1A+ A ∣n 〉=A+ 1N ∣n 〉=n1 A+∣n 〉=n1
also ist A+|n> = ζ ein Eigenzustand von N mit Eigenwert
(n+1)
= A+∣n 〉
_ = A ∣n 〉
N _=A+ A A∣n 〉=AA+−1 A∣n 〉=AA+ A−A ∣n 〉= AN−A ∣n 〉==A N−1∣n
〉=n−1 A ∣n 〉=n−1 _
AA+−A+ A = 1
-
75
Genauso lässt sich zeigen, dass ein Eigenzustand von N mit
Eigenwert n-1 ist.Mit A+ klettert man von n um 1 zum Eigenwert n+1,
mit A steigt man um 1 hinab.Hochklettern ist kein Problem, wohl
aber das Absteigen, da
kein Eigenwert von N darf negativ werden!Der Ausweg: Es gibt
einen Zustand
, der von Aφ
0 = 0 vernichtet wird.
φ0muss von Null verschieden sein (||φ
0|| = 1).
Im Zustand φ0 hat N den kleinstmöglichsten Eigenwert n = 0.
〈n∣N∣n〉 = 〈n∣A+ A∣n〉 = 〈An∣An〉
n , N n = n , A+ An = An , An ≥ 0
A∣n 〉
∣0 〉 = 0
Die Schwingung des harmonischen Oszillators im Zustand |n>
besteht aus n Schwingungs-quanten (Vibronen), die alle die Energie
ћω besitzen. Der Hamiltonoperator H beschreibt damit ein System
solcher Schwingungsquanten gleicher Energie (ћω), bei dem sich n
ändern kann. Der Operator N fragt die Anzahl der Vibronen im
Zustand |n> ab(Besetzung). Die Anwendung von A+ (A) auf den
Zustand |n> erzeugt (vernichtet) ein Schwingungsquant.
H=ℏ A+ A12=ℏN1
2
-
76
Die Grundzustandswellenfunktion φ0(x) (Wellenfunktion des
Vakuumzustandes |0> )
A0 x = A ∣0 〉 = 0
m2ℏ x ℏ2m ddx 0 x = 00 x = c0 e
−m2ℏ
x 2
ddx0 x = c0−mℏ x e
−m2ℏ
x2
= −mℏ x 0 ℏ2m mℏ = m2ℏNormierung
1 = ∫−∞
∞
dx 0* x 0 x = c0
2 ∫−∞
∞
dx e−mℏ
x2
q = mℏ x dq = mℏ dx= ∣c0∣
2 ℏm ∫−∞∞ dq e−q2
c0 =4mℏ
-
77
Die übrigen Eigenfunktionen durch wiederholtes Anwenden von
A+
1 =12 − dd 0 = mℏ
14 12 − dd e
−2
2
⋅⋅⋅
n =1
n ! 2n − dd n
0
Hermitesche Polynome
H n = e x
2
2 x− ddx n
e− x
2
2 = −1n ex2 d n
dx ne−x
2
n =1
n ! 2n mℏ 14 e
−2
2 H n n = 0, 1, 2, . . .
-
78
Damit kennen wir die Eigenwerte, die Eigenvektoren von N = A+A
können wir konstruieren durch
diskret, nicht entartet mit äquidistantem Abstand ћω (da wir von
n = 0 starten und immer +1 dazugeben n = positive ganze Zahl)
1 = A+0
⋅⋅⋅
n =1n !
A+n0
E n = ℏn12
A+∣n 〉 = n1 ∣n1 〉
A∣n 〉 = n ∣n−1 〉
E0 =12ℏ
Nullpunktsenergie
unmöglich
E0 =12ℏ x p x =
ℏ2
-
79
Die berechneten Eigenfunktionen φn haben genau n
Nullstellen.
IR-Absorption zwischen Zuständen verschiedener Parität
(Dipolauswahlregeln)
~ 〈n∣x∣m 〉 = ∫n* xmdx
n=0 -> n=1 starker Übergangn=0 -> n=2 verboten (gleiche
Parität) n=0 -> n=3 möglich, aber schwächer als Übergang nach
n=1
Integral mit symmetrischen Grenzen von einer ungeraden Funktion
ergibt Null.
-
80
Jedes schwingungsfähige System (Moleküle, Festkörper) ist
näherungsweise ein Systemgekoppelter harmonischer Oszillatoren.
Durch Transformation in „Normalkoordinaten“ kann man immer ein
System ungekoppelter harmonischer Oszillatoren erhalten.
Nullpunktsenergien sind immer vorhanden und können die
Stabilität beeinflussen (Verringerung der Bindungsenergie), sie
tragen zur Gesamtenergie und damit auch zurBindungsentalphie
bei.technische Nutzung z.B. in Isotopenfraktionierung13C reichert
sich in anorganischen Verbindungen weniger an, als in Verbindungen
biogenen Ursprunges.
Bestätigung der Planckschen Erklärung der Hohlraumstrahlung.
Die Quantisierung von Feldern in der Quantenelektrodynamik
beruht auf Erzeugungs-und Vernichtungsoperatoren, und damit auf den
Eigenschaften des harmonischen Oszillators.
Bedeutung des harmonischen Oszillators für die Physik
-
81
9.Systeme mit zwei Zuständen
9.1 Ammoniak (NH3)
Die H-Atome bilden ein gleichseitiges Dreieck. Die energetisch
günstigste Lage des N ist nicht in der Ebene der H-Atome, sondern
es existieren zwei Lagen über und unter derH-Ebene mit gleicher
Energie. Ammoniak hat natürlich viele Zustände, wir betrachten als
Modell nur zwei Zustände, die den Lagen des Stickstoffatomes
entsprechen.
Dipolmoment d∣1 〉∣2 〉
-
82
Wir bezeichnen mit |1> den normierten Zustand mit N über der
Ebene der H-Atome und |2> den gespiegelten Zustand. Die Energie
in diesen beiden Zuständen ist gleich.
〈1∣H∣1〉=〈2∣H∣2〉=E 0
Die Wahrscheinlichkeit, dass NH3 spontan den Zustand von |1>
nach |2> wechselt sei:
〈1∣H∣2〉=〈2∣H∣1〉=V
Ein beliebiger Zustand ist eine Linearkombination der beiden
Basiszustände.
∣ 〉=c1∣1 〉c2∣2 〉
Was ist die Energie in diesem Zustand? Lösung der stationären
Schrödingergleichung!H ∣ 〉=E ∣ 〉
Um diese Gleichung zu lösen, multiplizieren wir von links mit
den Basiszuständen.
Diese beiden Zustände sind verschieden, so dass =0. Somit bilden
sie eine Basis.
〈1∣H∣ 〉=〈1∣H c1∣1〉〈1∣H c2∣2〉=c1 〈1∣H∣1〉c2 〈1∣H∣2〉=c1E 0c2V〈2∣H ∣
〉=〈2∣H c1∣1〉〈2∣H c2∣2〉=c1 〈2∣H ∣1〉c2 〈2∣H∣2〉=c1V c2E 0
-
83
Das Ganze natürlich auch für die rechte Seite:
〈1∣E∣ 〉=〈1∣E c1∣1〉〈1∣E c2∣2〉=E c1 〈1∣1〉E c2 〈1∣2〉=E c1〈2∣E∣
〉=〈2∣E c1∣1 〉〈2∣E c2∣2〉=E c1 〈2∣1〉E c2 〈2∣2〉=E c2
Damit erhalten wir folgendes Gleichungssystem für die
Koeffizienten c1 und c
2.
c1E 0c2V=E c1c1Vc2E 0=E c2
Eine mathematisch völlig äquivalente Form in
Matrizenschreibweise ist:
E0 VV E 0c1c2=E c1c2Die Lösung der Eigenwertgleichung liefert
die Energie und die Koeffizienten c
1 und c
2.
Es gibt nur nicht verschwindende Lösungen, wenn die Determinante
Null ist.
E0−E VV E 0−E c1c2=0
det E 0−E VV E0−E =E 0−E 2−V 2=0
-
84
Die entsprechenden Eigenfunktionen lauten
∣+ 〉=∣1 〉∣2 〉2
∣- 〉=∣1 〉−∣2 〉2
Wenn V positiv ist, dann ist der Zustand mit „-“ der
Grundzustand, da dessen Energieam kleinsten ist. Die
Energiedifferenz zwischen den beiden Zuständen beträgt 2V.
E +=E 0VE-=E 0−V
Damit erhalten wir zwei Lösungen für die Energie
2V=ℏ=h f
Elektromagnetische Wellen dieser Frequenz können Übergänge
zwischen diesen beiden Zuständen bewirken. Für NH
3 beträgt diese Frequenz f=23.87012 GHz (λ=1.2559 cm) und
definiert den
Frequenzstandard für die Mikrowellentechnik. Gasförmiges NH3
absorbiert
Mikrowellen dieser Frequenz sehr stark.
-
85
Der Zustand |1> entspricht: Dipolmoment d in Richtung des
elektrischen Feldes F.Der Zustand |2> entspricht: Dipolmoment
gegen die Richtung des elektr. Feldes.Damit ändert sich die Energie
des Zustandes |1> um -F*d und |2> um +F*d
9.2 Stark Effekt: Ammoniak (NH3) im elektrischen Feld
E 0−F d VV E0F d c1c2=E c1c2
det E0−F d−E VV E 0F d−E =E0−F d−E E 0F d−E −V 2=E 0−E 2−F d 2−V
2=0Die Energien ergeben sich wieder aus der Determinante gleich
Null.
E + F =E 0V 2F 2d2 E- F =E 0−V 2F 2d 2
-
86
Für kleine Felder ändern sich die Energien quadratisch, für
große Felder linear. Dieses Phänomen ist als linearer und
quadratischer Stark-Effekt bekannt. Selbst für elektrische Felder
von 10 kV/cm bleibt man im Bereich des quadratischenStark-Effekts.
Atomar gesehen sind dies also schwache Felder.
E +F =E 0V 2F 2d 2 E-F =E 0−V 2F 2d 2
-
87
9.3 Qualitatives Verständnis chemischer Bindungen
E +=E 0−V , ∣ + 〉=∣1 〉∣2 〉2
E-=E 0V , ∣ - 〉=∣1 〉−∣2 〉2
E0, ∣1 〉 E0, ∣2 〉
Wir betrachten zwei Protonen und ein Elektron (H2
+). Die Basiszustände entsprechen Elektron beim ersten Proton
bzw. zweiten. Bringen wir die Protonen zusammen, existierteine
kleine Wahrscheinlichkeit, dass unser Elektron von einem Proton zum
anderen hüpft (tunnelt). Allerdings ändert sich V -> -V
(Vorzeichen Coulombpotential), so dass der symmetrische Zustand dem
Grundzustand entspricht.Dadurch erniedrigt sich die Energie des
Elektrons. Das Elektron wird alsozwischen den beiden Protonen hin
und her springen.
bindend
antibindend
-
88
Wieso hat dieser Zustand eigentlich eine niedrigere Energie?
Die Gesamtenergie des Elektrons setzt sich wie in der
klassischen Mechanik auskinetischer und potentieller Energie
zusammen. Das Elektron möchte ein kleines Coulombpotenzial haben,
da dies negativ ist. Allerdings wird es es dadurchauf einen kleinen
Raumbereich eingeengt. Wegen der Unschärferelation führt dies
zueinem Anwachsen des Impulses und damit der kinetischen Energie
(positiv).Wenn zwei Protonen da sind, existiert einfach mehr Platz
zum ausbreiten für das Elektron. Es kann sich ausbreiten und dabei
seine kinetische Energie verringern und gleichzeitig die Vorteile
einer niedrigen potentiellen Energie genießen.
rE
0
-
89
10. Drehimpulsoperatoren
klassische Mechanik: L = r×p
Lx = ypz − zp yL y = zp x − xpzLz = xp y − yp x
Quantenmechanik: L = r× ℏi ∇ p ℏi gradLx =
ℏi y ∂∂ z − z ∂∂ y
L y =ℏi z ∂∂ x − x ∂∂ z
Lz =ℏi x ∂∂ y − y ∂∂ x
-
90
Bei Drehungen ändert sich nicht der Abstand r vom Ursprung-->
günstige Kugelkoordinaten (r, φ, )
x = r sin cosy = r sin sinz = r cos
z
x
y
r
φ
Wir müssen also die Ableitungen nach x, y, z durch entsprechende
Winkelableitungenausdrücken. (Mechanik, Elektrodynamik, Umschreiben
des Laplaceoperators)
∂∂
= ∂ x∂
∂∂ x
∂ y∂
∂∂ y
∂ z∂
∂∂ z
= −r sin sin ∂∂ x r sin cos
∂∂ y 0
= − y∂∂ x
x ∂∂ y
= x ∂∂ y
− y∂∂ x
Lz =ℏi∂∂
-
91
Wir wollen die Eigenwerte von Lz bestimmen:
Lzr , , =ℏi∂∂
=
Ansatz: r , , = 0r ,⋅eiℏ
ℏi∂∂
= 0r ,ℏii ℏ
eiℏ=
Eine Drehung um 2π sollte nichts am Messresultat ändern, d.h. φ
und φ + 2π sollten das gleiche Ergebnis geben
eiℏ= e
iℏ2
= eiℏ⋅e
iℏ
2
1
iℏ
2 = i 2m = m ℏ m = 0, ±1, ±2, ...
L zm = ℏm m
ћm: Eigenwerte von Lz
Ψm = Ψ
0(r, ) eimφ : Eigenfunktionen von L
z
-
92
Ist im Eigenzustand Ψm auch L
x, L
y scharf messbar?
[Lx, L
y] ausrechnen. Nur wenn diese Kommutatoren Null sind, lassen
sich
gleichzeitig Lx bzw. L
y scharf messen.
[ Lx , L y ] = [ y p z − z p y , z p x − x pz ]= y pz − z p y z
px − x p z − z px − x p z y pz − z p y
= y p z z px − y z p z p x x z p z p y − x p z z p y= y pz z − z
p z p x x z p z− p z z p y= y [ p z , z ] p x x [ z , p z ] p y= −
y [ z , p z ] p x x [ z , pz ] p y
i ℏi ℏ
= iℏ x p y − y p x = i ℏ L z
[ Lx , L y ] = iℏ L z[ Ly , L z ] = i ℏ Lx[ Lz , Lx ] = i ℏ L
y
Die Drehimpulskomponenten sind nicht gleichzeitigscharf
messbar!(Vektor L keine feste Richtung.)
= y p z z px − y p z x p z − z p y z p x z p y x p z − z p x y p
z − z px z p y− x pz y p z x pz z p y
-
93
Eigenfunktionen von Lx und L
y sind nicht die von L
z. Falls L
z in einem Zustand einen festen
Wert besitzt, werden Messungen von Lx oder L
y von Messung zu Messung verschieden sein.
L2 = Lx2 L y
2 Lz2
[ L2 , L z ] = [Lx2 , Lz ] [L y2 , Lz ] [ Lz2 , Lz ]
0= Lx
2 Lz− Lz Lx2 Ly
2 Lz− Lz L y2
= Lx [ Lx , Lz ] [ L x , L z] Lx L y [ L y , Lz ] [ L y , Lz ] L
y= − i ℏ L x L y − i ℏ L y Lx i ℏ L y Lx i ℏ L x L y = 0
L2 und Lz sind gleichzeitig scharf messbar (haben gemeinsame
Eigenfunktionen)
Lx Lz Lx− Lx Lz Lx L y Lz L y− L y Lz L y
Wenn A Ψ = a Ψ und B Ψ = b Ψ gilt: A B Ψ = A (b Ψ) = b A Ψ = b a
Ψ B A Ψ = B (a Ψ) = a B Ψ = a b Ψ (A B – B A) Ψ = (b a – a b) Ψ =
(a b – b a) Ψ = 0
Zahlen
[A , B] = 0(Umkehrung gilt ebenfalls)
-
94
Eigenwerte von L2 sind gesucht:L2 = ≥ 0
da , L2 = , Lx2 , L y2 , Lz2 = Lx , Lx L y , L y Lz , Lz
http://www.physik.tu-freiberg.de/~wwwth/lehre/Quanten1.html(Längere
sture Rechnung)
L2 = −ℏ2 [ 1sin ∂∂ sin ∂∂ 1sin2 ∂2
∂2 ]L2 enthält Ableitungen nach und φ -> λ und m sind nicht
völlig unabhängig,da L2 nur von , φ abhängt -> Produktansatz
r , , = f r Y lm ,
Differenzialgleichung mit diesem Ansatz lösen (Nolting:
Quantentheorie 2)L2Y lm , = ℏ
2 l l1 Y lm ,
L z Y lm , = ℏ m Y lm ,
mit l = 0 , 1 , 2 , 3 , . . .m = −l ,−l1 , . . . , 0 , . . . , l
∣m∣ ≤ l
http://www.physik.tu-freiberg.de/~wwwth/lehre/Quanten1.html
-
95
Y lm , = Kugelfunktionen (sphärische Harmonische)
Y lm , = 2 l14 l−m !lm ! P lm cos ei mL
z
Legendre-Polynome (zugeordnete) l+m
P lm x = −1
m
2l l !1−x2
m2 d lm
d x lm x2−1l siehe Messiah, Nolting
s-Zustandl = 0 Y 00 , =14
l = 1 Y 10 , = 34 cos Y 1±1 , = ∓ 38 sin e±il = 2 Y 20 =
12 54 3cos2−1 Y 2±1 = ∓ 158 sin cos e±i
Y 2±2 =14 152 sin2 e±2i
Alle sphärischen Harmonischen für m≠0 sind komplex!
10.1 Sphärische Harmonische (Kugelwellenfunktionen)
-
96
historische Namen für Spektren
l = 0 s-Zustand sharp m = 0l = 1 p-Zustand prinzipal m = -1, 0,
1l = 2 d-Zustand diffuse m = -2, -1, 0, 1, 2l = 3 f-Zustand
fundamental m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3l = 4 g-Zustand
l = 0 ψ(r, ,φ) = ψ(r) kein Drehmoment, völlig
rotationssymmetrisch
halbklassisches Bild für L2 und Lz
L liegt auf einer Kugel
mit Radius
ℏ l l1L2ℏ2 l l1 ∣L∣ℏ l l1
Lz
Lz = 0
Lz = ℏ
Lz = −ℏ
l = 1, Radius ℏ 2
Lz fester Wert, aber kleiner als die Projektion des Radius´ auf
L
z
Lx, L
y haben keine festen Werte
-
97
Warum haben wir soviel Zeit mit L2 verbracht?
= ∂2
∂ x 2 ∂
2
∂ y2 ∂
2
∂ z2= ∂
2
∂ r2 2
r∂∂ r− 1
r2 ℏ2L2
11. Das Wasserstoffatom
H = p2
2U r
U r = − e2
40 r
μ = Masse (statt m, da m später als Quantenzahl verwendet
wird)
p2
2= −ℏ
2
2 = −ℏ
2
2 ∂2∂ r2 2r ∂∂ r − 1r2ℏ2 L2Wir suchen wieder die stationären
Lösungen H ψ = E ψ
[H , L2]=[H , Lz ]=[L2, L z ]=0
Der Hamiltonoperator kommutiert mit Lz und L2, aus diesem Grund
muss die Lösung
die uns schon bekannten Winkelfunktionen enthalten.
-
98
nlmr , , = f nl r Y lm ,
= [−ℏ22 ∂2 f nl r ∂ r 2 2r ∂∂ r f nl r U r f nl r ] Y lm ℏ22 1r2
ℏ2 ℏ2 l l1 f nl r Y lmEnlm f nl r Y lm ,
Ansatz:
Die Differenzialgleichung für fnl(r) hängt von l ab, aber von
keinem Winkel.
Enlm f nl r = −ℏ2
2 ∂2 f nl r ∂ r2
2r∂∂ r
f nl r U r f nl r ℏ2 l l12 r2 f nl r keine Abhängigkeit mehr von
m -> E
nl
Wir suchen eine Lösung für ein gebundenes Elektron, fnl(r ->
∞) = 0
fnl(r) = Potenzreihenansatz
Einsetzen in Differenzialgleichung -> a, b, ... bestimmbar
-> Lösung
= e−anl r [bnl cnl r dnl r2 . . . ]
Für eine normierbare Lösung muss die Reihe endlich sein, was
eine Bedingung fürdie erlaubten Energien darstellt (siehe
Mathematica H-Atom.nb).
-
99
Speziell für U r = − e2
40 r
Enl = E n = −1n2
E 0 von l unabhängig
E0 =e2
401
2a0= 13,6 eV = 1 Ry
a0 =ℏ2
40e2
= 0,529177⋅10−10 m Bohrscher Radius
Hauptquantenzahl n = 1, 2, 3, . . .Nebenquantenzahl
(Orbitalquantenzahl) l = 0, 1, 2, . . . , n-1Magnetquantenzahl m =
-l, . . . , 0, . . . l(diese Betrachtung gilt auch für 1 Elektron
in He+, Li++, . . .in U(r) ändert sich e2 -> Z e2
Im Allgemeinen hat man für die Energie eine n- und
l-Abhängigkeit, für das Coulombpotenzial erhält man zufällig nur
eine n-Abhängigkeit der Energie.
En = −Z 2
n2E0
-
100
n = 1 l = 0 s - Zustand m = 0 1 Zustand
n = 2 l = 0 s - Zustand m = 0 4 Zustände l = 1 p - Zustand m =
-1, 0, 1
n = 3 l = 0 s - Zustand m = 0
l = 1 p - Zustand m = -1, 0, 1 9 Zustände l = 2 d - Zustand m =
-2, -1, 0, 1, 2
Jeder Zustand kann mit 2 Elektronen besetzt werden! Die Ursache
dafür ist der Spin.
n = 1 K – Schale 2 Elektronen
n = 2 L – Schale 8 Elektronen
n = 3 M – Schale 18 Elektronen
-
101
11.1 Radialwellenanteil wasserstoffartiger Atome
n=1l=0
n=2l=0 l=1
n=3l=0 l=1 l=2
fnl(r) f
nl(r)
fnl(r)
r2fnl(r)2r2f
nl(r)2r2f
nl(r)2
x-Achse ist bei allen Bildern r in Einheiten des Bohrschen
Radius a0.
Die radialen Anteile haben n-l-1 Nullstellen und können auch
negativ werden.
-
102
l = 1 Y 10 , = 34 cos Y 1±1 , = ∓ 38 sin e±i
11.2 Konstruktion reeller Winkelfunktionen
Alle sphärischen Harmonischen für m≠0 sind komplex!Durch
Linearkombinationen der Kugelwellenfunktionen, lassen sich die
entsprechendenrein reellen Orbitale konstruieren.
p x=12Y 1−1−Y 11=
12 38 sin e−i ei = 34 sin cos= 34 xr
p y=i2Y 11Y 1−1=
i2 38 sin−ei e−i= 34 sin sin= 34 yr
p z=Y 10= 38 cos
l = 0 Y 00 , =14
s-Wellenfunktion ist kugelsymmetrisch (keine
Winkelabhängigkeit)
p-Wellenfunktion
-
103
p-Orbitale l=1
s-Orbital l=0
Alonso/Finn: Quantenphysik
-
104
l = 2 Y 20 =12 54 3cos2−1 Y 2±1 = ∓ 158 sin cos e±i
Y 2±2 =14 152 sin2 e±2i
entsprechend werden d-Orbitale konstruiert
m=0 d z 2−r 2= 516 3 cos2−1 = 516 3z2−r2r 2m=1 d xz = 154 sin
cos cos = 154 xzr 2m=1 d yz = 154 sin cos sin = 154 yzr2m=2 d x 2−
y2= 154 sin2 cos 2 = 154 x 2− y2r2m=2 d xy = 154 sin2 sin 2 = 154
xyr2
d-Wellenfunktion
-
105
d-Orbitale l=2
Alonso/Finn: Quantenphysik
-
106
f-Orbitale l=3
m=0
m=±1 m=±2 m=±3
Noch mehr Plots und Animationen von Orbitalen und Dichten für
Atome:
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/https://www.ptable.com/#Orbital
http://winter.group.shef.ac.uk/orbitron/https://www.ptable.com/#Orbital
-
107
Zusammenfassung
keine Planetenbahnen es existieren gebunden Zustände mit
negativer Energie
En = −Z 2
n2E0 E 0=13.605 eV
nlmr = Z 3a03 2n2 n−l−1!nl ! 2Z rna0 l
Ln−l−12l1 2Z rna0 exp−2Z rna0 Y lm ,
Die vollständige Lösung der Wellenfunktion hängt von 3
Quantenzahlen n, l und m ab.
Die Wellenfunktion ist orthonormiert: ∫d 3 rn ' l ' m '* r nlm r
= n ' n l ' l m' m
Für jedes l existieren 2l+1 Zustände. Der Entartungsgrad eines
Zustandes n beträgt
M n=∑l=0
n−1
2 l1=n2
Der Grundzustand n=1 ist nicht entartet, der erste angeregte
Zustand n=2 ist vierfachentartet (2s und 3 2p Zustände gleicher
Energie).
Lösungen zu positiver Energie entsprechen Streuung
(Wirkungsquerschnitte)
-
108
für optische Übergänge gelten Dipolauswahlregeln mit
l = ±1 m = 0, ±1
0 1 2
n = 1
l
En/E
0
n = 2
n = 3
s p d
Spektrallinien
Bei einem Elektronenübergang, z.B. 2p-> 1s wird ein Photon
emitiert bzw. absorbiert.Die Energie dieses Photons entspricht der
Energiedifferenz der beteiligten Niveausmit n
2 > n
1 zwischen denen der Übergang stattfindet..
E=ℏ=2ℏ=2ℏ c /1= E2 ℏ c
= Z2 e2
4 a0ℏ c 1n12 − 1n22 =RH 1n12 − 1n22 Es werden Serien von
Spektrallinien beobachtet (n
1=1 Lyman, n
1=2 Balmer).
RH=Rydberg Konstante
-
109
11.3 weitere Näherungen
Statt der Elektronenmasse, müsste man eigentlich die reduzierte
Masse nehmen.
1= 1me
1M Kern
≈ 1me
Aus diesem Grund findet man einen Isotopeneffekt für optische
Spektren. Nachweisvon Deuterium 1932 aus Messung der
Rydbergkonstanten R
H/R
D=0.99973.
Feinstruktur: relativistische Korrekturen (Spin-Bahn Kopplung,
Dirac-Gleichung) Aufspaltung von p, d und f-Zuständen.
Hyperfeinstruktur: Wechselwirkung des Kernspin mit Elektronenspin
Lamb-shift: Wechselwirkung mit dem Vakuum (Quantenelektrodynamik)
führt zur Aufspaltung (5μeV) von 2s
1/2 und 2p
1/2 ,die auch relativistisch noch entartet sind.
Feinstrukturkonstante
=40 ℏ2
me2≈ 1/137
Fließbach:Quantenmechanik
-
110
12. Teilchen in einem Magnetfeld
v
r
M
Klassische Theorie: Ladung Q auf einer Kreisbahn entspricht
einem Strom in einer Leiterschleife -> magnetisches
Dipolfeld
Die klassische Wechselwirkungsenergie eines magnetischen Moments
M mit einem Magnetfeld B
Magnetisches Moment M= Strom x Fläche
Q v2 r r2=Qm v2m r= Q2m r pM= Q
2mr×p= Q
2mL
E=−M⋅B
-
111
Entsprechung in der QM
Ersetzen der klassischen Größen durch entsprechende
Operatoren:
Für ein Elektron mit der Ladung Q=-e und Masse me
Bohrsches Magneton B=eħ/2me=9,27 10-24 J/T
Zusätzlicher Term: Hamiltonoperator, der die Wechselwirkung
eines Elektrons mit einem Magnetfeld beschreibt:
M=−e2me
L=−e ℏ2me
Lℏ=− B
Lℏ
H=−M⋅B=BℏL⋅B
-
112
12.1 Der normale Zeeman-Effekt
[ohne Einschränkung der Allgemeinheit B=(0,0,Bz)]
Eigenfunktionen von Lz sind auch Eigenfunktionen von H ohne
Magnetfeld, da [H0,Lz]=[H0,L2]=[L2,Lz]=0 (siehe
Wasserstoffatom)
Lz=m ħ mit m=-l, -l+1, ...,0, ...,l
Energieniveaus ergeben sich dann als:
Enlm=Enl + m B Bz
(Wasserstoffartiges Atom im Magnetfeld mit U(r)=U(r))
H=H 0BℏL⋅B=H 0
B Bzℏ
Lz
-
113
Der normale Zeeman-Effekt
(2l+1) entartete Zustände mit m = -l,…+l
(2l+1) Zustände mit unterschiedlicher Energie
m = 0
m = -1
m = +1
E3d
B=0 B0
m = -2
m = +2B Bz
Enlm=Enl + m B Bz
Aufspaltung in 2l+1 Niveaus durch Magnetfeld
Daher kommt der Name Magnetquantenzahl für m.
z.B Atom mit d-Elektronen (d -> l=2)
-
114
Anzahl der Spektrallinien
m = 0
m = -1
m = +1
E3d
B=0B0
m = -2
m = +2
m = 0
m = -1
m = +1
E2pl=1
l=2
ΔE
ΔEΔE+μBB ΔE-μ
BB
Auswahlregeln: Δl=1, Δm=-1, 0, 115 mögliche Kombinationen, 9
Übergänge wegen Dipolauswahlregeln3 messbare Spektrallinien, da die
Niveaus gleiche Energieabstände haben
-
115
13. Der Spin
Experimentelle Fakten:
Normaler Zeeman-Effekt ist die Ausnahme: Meist sieht man den
anormalen Zeeman-Effekt (Aufspaltung beobachtet, für die es keine
„normale“ Erklärung gab – wegen Spin).
Feinstruktur von Alkalispektren: Die gelbe D-Linie des Na ist
ein Dublett, sollte aber nur eine Linie sein.
Stern-Gerlach Versuch
Bilder und Informationen zum Stern-Gerlach Versuch entnommen aus
Physics Today Dezember 2003: Friedrich und Herschbach, "Stern and
Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics"
http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html
http://www.physicstoday.org/vol-56/iss-12/p53.html
-
116
13.1 Stern-Gerlach Versuch (1921/1922)
In einem inhomogenen Magnetfeld wirkt eine Kraft auf ein
magnetisches Moment, da F = - grad E
Auf Teilchen mit verschiedenem m wirken unterschiedliche Kräfte,
so dass man eine Aufspaltung des Teilchenstrahles erwartet.
F=∇ M⋅B=∇ − Bℏ Lz Bz =−m Bd B zdz
-
117
Stern-Gerlach-Versuch
Aufspaltung in genau 2 Strahlen bei Ag, keine Aufspaltung bei
Ag+.Das ermittelte Moment für Ag beträgt 1 B.
Otto Stern17.2.1888 Sohrau
†17.8.1969 Berkeley
Physik-Nobelpreis 1943
W. Gerlach 1.8.1889 Biebrich am Rhein
†10.8.1979 München
Postkarte 8 February 1922 an Niels Bohr
-
118
Phipps and Taylor, Phys. Rev. 29, 309-320 (1927) The
Magnetic Moment of the Hydrogen Atom
Problem: Aufspaltung in zwei Strahlen
l=0 -> 1 Strahl
l=1 -> 3 Strahlen
l=2 -> 5 Strahlen
Beobachtet wurde Aufspaltung bei Alkali-Atomen, Ag, Cu,H
Stern-Gerlach-Versuch für Wasserstoff
Erwartung:
Aufspaltung des Teilchenstrahles in 2l+1 Strahlen
keine Aufspaltung für Atome im s-Zustand, z.B. Wasserstoff
(n=1,l=0, m=0)
-
119
13.2 Erklärung des Stern-Gerlach-Versuchs
Erklärung 1925 durch Uhlenbeck und Goudsmit nach einer Idee von
Pauli:
Elektronen besitzen ein permanentes magnetisches Moment =
Spin
Goudsmit Uhlenbeck Pauli
In Analogie zum Drehimpuls definieren wir Spinoperatoren mit
Spinquantenzahlen s und ms.
Identische Kommutatoren zu L:
Lz Y lm ,=m ℏY lm ,L2Y lm ,=l l1ℏ
2Y lm ,
s=12, −s≤ms≤s ms±
12
S=S x , S y , S z
S z s ,ms=msℏ s ,m s=±12ℏ s ,m s
S 2 s ,ms=s s1ℏ2 s ,ms=
34ℏ2 s ,ms
[S x , S y ]=i ℏS z [ Lx , L y]=i ℏ Lz
http://images.google.co.uk/imgres?imgurl=w3.hep.uiuc.edu/~leigh/class/spin/mugs/Uhlenbeck.jpeg&imgrefurl=http://w3.hep.uiuc.edu/~leigh/class/spin/mugs/mugs.html&h=232&w=190&prev=/images%3Fq%3Duhlenbeck%26svnum%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8http://images.google.co.uk/imgres?imgurl=www.childrenofthemanhattanproject.org/HF/Photos%2520-%2520Men/goudsmit.jpg&imgrefurl=http://www.childrenofthemanhattanproject.org/HISTORY/H-06f.htm&h=851&w=540&prev=/images%3Fq%3Dgoudsmit%26svnum%3D10%26hl%3Den%26lr%3D%26ie%3DUTF-8%26oe%3DUTF-8%26sa%3DN
-
120
13.2 Pauli-Matrizen
Mögliche Darstellung von S mit Hilfe von Pauli-Matrizen σ = (x,y
,z):
Diese Matrizen erfüllen die entsprechenden Kommutationsregeln
(Hausaufgabe :-).
Die Wellenfunktion lässt sich dann durch einen Vektor mit zwei
Komponenten (Spinor) ausdrücken.
z=1 00 −1 x=0 11 0 y=0 −ii 0 S=ℏ2
=1r ,t 102r ,t 01 = 1r , t +2r ,t -
-
121
Quantitative Analyse der Experimente
Der Gesamtdrehimpuls ergibt sich durch Vektoraddition des
orbitalen Moments und des Spins J=L+S. Das Gesamtmoment ist
allerdings nicht proportional zu J, sondern ergibt sich als:
Für ein Elektron ist der Landé-Faktor g =2 (Dirac-Theorie), die
Quantenelektrodynamik liefert g=2.00231930437... 2 (1+/2 +
...).
M=− e2me
L− emeS = − e
2meLg S
Mit dieser Darstellung wird auch der Hamiltonoperator zu einer
Matrix
H=H 0 00 H 0 eB2m Lz 00 Lz em ℏ2 B 1 00 −1
-
122
Anormaler Zeeman-Effekt: Spin-Bahn + Zeeman
Quantenzahlen mj (j-j Kopplung) wichtig für Elemente mit großer
Ordnungszahl.
j = 3/2
j = 1/2
j = 1/2
mj = 1/2mj = 3/2
mj = –1/2
l = 1mj = –3/2
mj = 1/2mj = –1/2
mj = 1/2
mj = –1/2
Spin-Bahn Zeeman
s = 1/2
l = 0 s = 1/2
H SO=S⋅L
-
123
13.4 Vollständiger Satz von Quantenzahlen für das H-Atom
Um einen Zustand des H-Atoms zu beschreiben, benötigen wir die
Hauptquantenzahl n, Nebenquantenzahl l, Magnetquantenzahl m und die
Spinquantenzahl ms.
Die Spinfunktionen sind unabhängig von Ort und Zeit. Sie
repräsentieren einen inneren Freiheitsgrad, der keine klassische
Entsprechung besitzt.
Hamiltonoperator für ein H-Atom im Magnetfeld:
H = H 0BℏB⋅Lg S
n l mm sr = Rnl r Y lm ,ms
1/2 = 10 −1/2 = 01
-
124
13.5 Elementarteilchen
Nicht nur Elektronen haben einen Spin, sondern auch Neutronen,
Protonen, Positronen usw.Teilchen mit halbzahligem Spin nennt man
Fermionen, die mit ganzzahligem Spin Bosonen.
Fermionen: e, n, p, e+ (s=1/2), - (s=3/2)
(alle Materie besteht aus Fermionen)
Bosonen: Photon (s=1), Graviton (s=2)
(alle Wechselwirkungen vermittelt durch Bosonen)
Auch Spin aus vektorieller Addition einzelner Teilchen
möglich
(z.B. Atomkerne: s=3/2 Zustand von 57Fe)
-
125
13.6 Spin und Statistik: Pauli Prinzip
Bosonen können einen Einteilchenzustand mehrfach besetzen und
werden durch symmetrische Wellenfunktionen beschrieben.
Fermionen werden durch antisymmetrische Wellenfunktionen
beschrieben, sie können einen Einteilchenzustand nicht doppelt
besetzen.
Pauli-Prinzip: Teilchen können nicht in allen Quantenzahlen
gleich sein.
Wichtige Folgerungen daraus: Verständnis des Periodensystems
-
126
14 Aufbau des Periodensystemes14.1 Atome mit mehreren
Elektronen
0 1 2
n = 1
l
En/E
0
n = 2
n = 3GrundzustandH (1s)1
He (1s)2
Li (1s)2 (2s)1
oder (1s)2 (2p)1
Be (1s)2 (2s)2
(1s)1 (2s)1 (2p)1
(1s)2 (2p)2
Irgendwas stimmt noch nicht!
Bessere NäherungJedes Elektron spürt die Coulombanziehung des
positiven Kerns mit Kernladungszahl Z und den Einfluss von Z-1
anderen Elektronen, die sich um den Kern bewegen Potenzial U(r) ist
nicht mehr das Coulombpotenzial
En=−1n2
Ry
-
127
Rechnungen nur noch näherungsweise möglich E
nl statt E
n , E
nl wächst (im allgemeinen) mit l an.
0 1 2
n = 1
l
En/E
0
n = 2
n = 3
Entartung für l wird aufgegeben. (Entartung für m bleibt.)
Li (1s)2 (2s)1 eindeutige Konfiguration
Bis Ar ( Z = 18) ist das Periodensystem normal.Aber: E
3d ≈ E
4s
3d – Zustände können energetisch über und unter den 4s –
Zuständen liegen.ebenso 4d über/unter 5s, 5d über/unter 6sanomale
Besetzung bei Nebengruppenelementen (Wertigkeit kann wechseln)4f
(Lanthanide) bzw. 5f (Aktinide) zeigen anomales Verhalten.
Vielteilcheneffekte und relativistische Korrekturen geben das
korrekte Resultat.
-
128
Aus Orginalarbeit 1869 von Mendelejew zum Periodensystem
Clemens Winkler, Prof. der
Chemie an der Bergakademie Freiberg, entdeckt 1886 das Element
Germanium aus dem Mineral Argyrodit aus der Grube Himmelsfürst bei
Freiberg.
-
129
l=0 (s) l=1 (p)l=2 (d)
l=3 (f)
see e.g. Ptable.com
https://www.ptable.com/
-
130
15. Vielteilchensysteme (Bosonen und Fermionen)
bisher: 1 Teilchen sei im Zustand ψ
um den Ort des Teilchens zu messen, Detektor bei r
wenn Detektor das Volumen dV besitzt
Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen den Detektor aktiviert: dW =
|ψ(r)|2 dV
15.1 unterscheidbare Teilchen
zwei verschiedene Teilchen A, B (z. B. Elektron + Neutron)
zum Nachweis benötigen wir zwei Detektoren, die bei rA und rB
stehen sollen.
Wahrscheinlichkeit, dass beide Zähler gleichzeitig
ansprechen
dW = |ψ(rA, rB)|2 dVA dVB
Wahrscheinlichkeit, ein A-Teilchen bei rA zu finden
dWA = dVA ∫|ψ(rA, rB)|d3 rB
-
131
Summation über alle möglichen Orte rB für Teilchen B, da
Teilchen B irgendwo sein kann
Analog: Wahrscheinlichkeit, nur ein B-Teilchen im Volumen VB zu
detektieren:
dWB = dVB ∫|ψ(rA, rB)| d3 rA
mit Spin sehr ähnlich
ψ(rA, rB) -> ψ(rA,sA, rB,sB)
Soweit begrifflich einfach = unsere klassische Vorstellung
2T : , , ,
dW A = dV A ∑sA∑sB∫∣ r A , sA , rB , sB∣ d 3 rB
-
132
15.2 Zwei identische Teilchen (Elektronen)
statt A, B nummeriere ich die Elektronen mit 1 und 2
bei r1 steht Detektor 1 mit dV1
bei r2 steht Detektor 2 mit dV2
Wenn beide Detektoren ansprechen, wurde sowohl bei r1 und bei r2
ein Elektron nachgewiesen.
Hat nun das erste Elektron den Zähler bei r1 und das zweite bei
r2 ausgelöst oder umgekehrt?
Diese Frage kann man prinzipiell nicht beantworten, da
Elektronen wirklich identisch sind.
Das Problem besteht darin, dass die Werte ψ(r1, r2) und �