Vorlesung 10 Unüberwachtes Lernen I - Universität Ulm · M. Giese: Lernmethoden in Computer Grafik und Multimedia 10. Januar 2004 Vorlesung 10 Unüberwachtes Lernen I Martin Giese

M. Giese: Lernmethoden in Computer Grafik und Multimedia10. Januar 2004

Vorlesung 10

Unüberwachtes Lernen I

Martin Giese

[email protected]


Übersicht

EinführungClusteranalyseHauptkomponentenanalyse (PCA)Hauptkurven


I. Einführung


Unüberwachtes LernenBisher: Überwachtes LernenDaten: Paare (x, y)

Statistik: p(x, y)

Gesucht: Funktion y = f(x)

Heute: Unüberwachtes LernenDaten: Vektoren x

Statistik: p(x)

Gesucht: Modellierung spezifischer

Eigenschaften von p(x)

x y“Lerner”

x“Lerner”


Unüberwachtes Lernen

Kein “Lehrersignal”

Validität von statistischen Inferenzschlüssen oft

wesentlich schwieriger zu evaluieren als bei

überwachtem Lernen


Unüberwachtes LernenPrinzipelle Methoden

Dichteschätzung von p(x)(Schwierig für höhere Dimensionen;

Curse of Dimensionality !)

Modellierung von p(x):

– Mehrere konvexe Regionen: Clusteranalyse

– Mischung von Verteilungen (z.B. gaussian

mixture)

– Mannigfaltigkeiten: PCA, ICA, LLE

(Daten als Funktion latenter Variablen)


II. Clusteranalyse


Ziel der ClusteranalyseGegeben: l Datenpunkte xi mit 1 ≤ i ≤ l

Ziel: Modellierung mit Mischverteilung:

Beispiel: Gauss-Mischverteilung:

Problem: Schätzen der Cluster-Zentren: µk

Direkte Methode: Maximum-Likelihood-Schätzung ⇒

unangenehmes nichtlineares Optimierungsproblem !

∑=

− −−−K

kkk

Tkkcp

1

1 ))()(21exp(~)( µµ xKxx x1

x2

µ1

µ2

)()|()(1

kk

K

k

YpYpp ∑=

= xx Diskrete ZV


K-means-Cluster-AlgorithmusEinfach, funktioniert sehr gut in der Praxis

Vorgabe der Zahl der Cluster: K

Euklidisches Abstandsmass

Algorithmus:1. Initialisierung: Wahl von K Datenpunkten als Cluster-Zentren µi

2. Zuweisung aller l Datenpunkte zum nächsten Cluster-Zentrum

3. Ersetzen von µi durch Mittelwert aller zugewiesenen

Datenpunkte

4. Iteration ab 2. bis sich die Werte von µi nicht mehr ändern


K-means-Cluster-AlgorithmusBeispiel

Zuordnung der Daten-punkte zu Zentren Neue ZentrenStartkonfiguration

Iteration 1

Moore (2001)

Letzte iteration


K-means-Cluster-AlgorithmusAlgorithmische Komplexität: O(lnK) (n: Dimensionalität

von xi)

Man kann beweisen, dass der Algorithmus terminiert.

Lokale Minima; daher verschiedene Startkonfigurationen

ausprobieren.

Moore (2001)

Suboptimale Lösungen


K-means-Cluster-Algorithmus

Auswahl der optimalen Zahl der Cluster schwierig

Möglich durch Vergleich der Varianzen innerhalb /

zwischen Clustern

Komplexitätskriterien (z.B. Schwartz-Kriterium)


Anwendung:BildsegmentierungK= 5

Basierend auf Farbe (RGB)Originalbild Basierend auf Intensität

Forsyth & Ponce (2003)


VektorquantisierungMethode zur DatenkompressionDatenpunkte xi mit 1 ≤ i ≤ l ersetzt durch jeweils nächstes Cluster-Zentrum µk mit 1 ≤ k ≤ KNur Clusterindex k übertragen (Datenkompression!)Typischerweise K << lClusterzentren definieren ein “Codebuch”

Encodierung Kanal Decodierer

)(ˆ

xfµx

== k

Kod

e-Sy

mbo

le

Kod

e-Sy

mbo

le

Rek

onst

ruie

rtes

Sign

al

Sign

al

xk k


Vektorquantisierung: Theorie

Daten: xi ∈ IRn ; endliches Codebuch: C = {µ1,…, µK},

µk ∈ IRn

Jedem Element µk ist Region Rk ⊂ IRn zugeordnet.

Regionen Rk , 1 ≤ k ≤ K, sind disjunkt und überdecken

ganzen Eingangsraum.

Vektorquantisierer entspricht der Funktion:

∑=

∈=K

kkk RIf

1

)()( xµx

Indikatorfunktion

I x(

∉∈

=∈k

kk R

RR

xx falls 0

falls 1)



Folgende Kostenfunktion misst die “Störung” des

rekonstruierten Signals:

Minimierung dieser Risikofunktion liefert notwendige

Bedingungen für optimalen Vektorquantifizierer

(Loyd-Max-Bedingungen)

V ∫ −= xxxx dpf )(|)(| 2



Lloyd-Max-Bedingungen IFeste Regionen Rk, Optimierung der µk

Minimierung von

liefert (ableiten nach µk )

Optimaler Decoder:

∈−= ∑=

2

11 )(),...,(

K

kkkK RIEV xµxµµ

≤≤=

∈−∈ ∑=

KlRIRIEK

kkkl 10)()(

1

xµxx

{ } KlRIE ll ≤≤∈= 1mit )(|* xxµ

⇒



Lloyd-Max-Bedingungen II

Feste Eingangssignale xi, Optimierung der Regionen Rk

Annahme: beliebiges x ∈ IRn, Regionen Rk gegeben

Sei x ∈ Rk, aber |x– µk| > |x– µl|.

Beitrag zur Kostenfunktion V: |x– µk|2

Dann kann die Kostenfunktion

verringert werden indem x zu Rl hinzugenommen wird.

∈−= ∑=

2

11 )(),...,(

K

kkkK RIEV xµxµµ



Lloyd-Max-Bedingungen II (Forts.) Voronoi-Partitionierung

Optimale Regionen ordnen jedem

x ∈ IRn das nächste µk zu

Nächster-Nachbar- oder Voronoi-

Partitionierung

D. h. Optimaler Encoder erfüllt:

{ }klR lkn

k ≠−<−∈= falls |||||IR µxµxx µkRk


Vektorquantisierung: AnwendungOriginalbild: 1024 x 1024 Pixel, 8 Bit,

Grauwertinformation

Aufteilen in Pixelblöcke der Grösse 2 x 2

Grauwerte der Blöcke aufgefasst als Vektor in IR4

K-Means-Methode angewendet auf diesen 4D-Raum

Kompression von 8 Bit / Pixel auf 1.9 bzw. 0.5 Bit / Pixel

Nur geringe Zahl von verschiedenen Viererblocks treten

in natürlichen Bildern auf.


Vektorquantisierung: AnwendungOriginal 200 Kodevektoren 4 Kodevektoren

Hastie et al. (2001)

8 Bit / Pixel

1.9 Bit / Pixel

0.5 Bit / Pixel


III. Hauptkomponentenanalyse (PCA)


DimensionalitätsreduktionAnnahme: Datenpunkte xi bedecken nur einen Teil des

hochdimensionalen Raumes IRn

Ziel: Modellieren des “erzeugenden Prozesses” ,

wobei für z geeignete Verteilungs-

annahmen gemacht werden

Typischerweise z ∈ IRm mit m << n

: Schätzer für z

Gute Lösung sollte Risiko der Form minimieren:

)(zfx =

∫= xxxzfx d)()))(ˆ(,( pVR

)(ˆ xz

z xf(z)

( )zxz ≈)(ˆ d.h.


Hauptkomponentenanalyse (Principal Components Analysis, PCA)

Annahme: Datenpunkte xi , mit 1 ≤ i ≤ l, liegen in linearem

Unterraum

Modellierung der Daten durch Linearkombination von

festen Basisvektoren zk, mit Offset z0.

Annahme: Basisvektoren orthonormal, d.h. o

oo

o

x1

x2∑

=

+==K

kk

iki w

10)(ˆ zzzfx

Krkkr

k

rTk

≤≤=≠=

,11|| falls 0

zzz

Gewichte der BV zur Approximation von xi



L2-Kostenfunktion mit Z = [z1, …, zK], :

Minimierung nach z0:

Minimierung nach wi: mit der

Zusatzbedingung

Mit und folgt:

∑∑ ∑== =

−−=−−=l

i

ii

l

i

K

kk

iki l

wl

R1

2

01

2

100emp

11),( ZwzxzzxZz

∑=

=l

iil 1

01ˆ xz

( ) ˆˆ 0zxZw −= iTi

( )0ˆ~ zxx −= ii ]~,...,~[ 1 lxxX =

∑=

−=l

ii

Til

R1

2

0emp~~1),ˆ( xZZxZz

TiK

ii ww ],...,[ 1=w

.ˆ1

0w =∑=

l

ii

(Mittelwert der Daten)



Die Matrix P = ZZT ist eine Projektionsmatrix auf einen

Unterraum mit der Dimensionalität ≤ K

Die ideale Wahl für diesen Projektor selektiert die

Dimensionen im Raum IRn, die am meisten Varianz von X

erklären. (In diesem Falle minimal für

gegebenes K.)

),ˆ( 0emp ZzR


Singulärwertzerlegung(Singular value decomposition, SVD)

Sei A eine n x m Matrix mit Rang r.

Dann kann A immer zerlegt werden in der Form

A = UΣVT mit

U = UT: n x n Orthogonalmatrix

V = VT: m x m Orthogonalmatrix

Σ: n x m Matrix mit

≤=≥

=Σsonst 0

und falls 0 rijiiij

σ

Singulärwerte


Singulärwertzerlegung (Forts.)(Singular value decomposition, SVD)

Beachte:

– Spalten von U sind Eigenvektoren von AAT

– Spalten von V sind Eigenvektoren von ATA

– Die σi2 sind die Eigenwerte von AAT und ATA

Wenn die Singulärwerte geordnet sind, so dass

σi ≥ σi+1 ≥ 0, gilt mit den Spaltenvektoren ui und vj

∑=

==r

k

Tkkk

T

1

vuVUΣA σRang von A



Def.: Die Matrixnorm ||.||2 ist definiert als

Satz (Approximationseigenschaft):

ist die Matrix vom Rang s, die Matrix A am besten im

Sinne der Matrixnorm ||.||2 approximiert, d.h.

rss

k

Tkkks ≤=∑

=

mit 1

vuA σ

||||sup|||| 2 x

AxA0x≠

=

Die Matrix

12s)rang(2 ||||min|||| +≤=−=− ss σQAAA

Q



Beachte: mit

d.h. nur die ersten s Singulärwerte werden berücksichtigt;

oder mit

Tss VUΣA =

≤=≥

=Σsonst 0

und falls 0,

sijiiijs

σ

Tss VΣUA = ],...,,,...,[ 1 00uuU ss =


Hauptkomponenten

Wenn n mit |n|=1 ein Normalenvektor ist, dann definiert

y = nTx ein skalares Merkmal.

y = XT n ist die Projektion der Daten auf dieses Merkmal.

Die Richtung n mit maximaler Varianz ergibt sich aus:

22

2

1||

1||1||

||||1-

1||1-

1max

)(Varmax)(Varmax

XnX

nXy

n

nn

llT

T

=

==

=

==


Hauptkomponenten

Die Matrixnorm von X bestimmt also die Varianz entlang

der Merkmalsrichtung mit maximaler Varianz.

Wird X mit einer Q Matrix mit Rang s approximiert, so ist

yu = (X-Q)Tn der Teil der Variation entlang der Merkmals-

dimension, die nicht durch die Approximation erklärt wird.

Der nichterklärte Anteil der Variation ist somit:

221||u1||

||||1-

1))((Varmax)(Varmax QXnQXynn

−=−=== l

T


Hauptkomponenten

Wegen der Approximationseigenschaft ist somit Xs die

Matrix mit Rang s, die die maximale Varianz der Daten X

erklärt.

Wegen impliziert dies mit Vorhersage

⇒ Z = Us (Spalten orthonormal !)

Tss VΣUX =

[ ] [ ]llss

s

k

Tkkk

s

k

Tkkk

Tss

ZwZwwUwU

vuvuVΣUX

,...,,...,

)()(

1111

==

=== ∑∑==

σσ

ii Zwx =~̂


Hauptkomponenten

Die Korrelationsmatrix von X ist Cx = XXT = UΣ2UT

Σ2 ist die diagonalisierte Kovarianzmatrix

Es gilt X = UΣVT und Xs = UsΣVT

Die Spalten von UΣ heissen Hauptkomponenten.

Die Spalten von V bestimmen die Gewichte, mit denen

die Hauptkomponenten zum i-ten Datenpunkt beitragen.


Eigengesichter (eigen faces)

(Sirovitch & Kirby, 1987; Turk & Pentland, 1991)

Heute Standardmethode; sehr populär

In Signalverabeitung auch bekannt als Karhunen-Loewe-

Transformation

Grauwertvektoren von Bildern als Daten xi

Bei meisten Bildern starker Abfall der Singulärwerte für grosse s;

daher relativ niedrigdimensionale Approximation möglich

Für (normalisierte !) Gesichter s ≈ 40 erforderlich für gute

Approximation.




Anwendungsbeispiel

TestbildTrainingsgesichter

KLT, PCA

Hauptkomponenten“Eigengesichter”

k=0 k=1 k=2 k=3

Projektion aufEigengesichter




AnwendungsbeispielOriginalbild Rekonstruktion

Approximationsgüte stark abhängig von Zahl der

Hauptkomponenten



Anwendung für Klassifikation (Turk & Pentland, 1991):

– Klassifikation (nearest neighbour)

im Gewichtsraum der Eigengesichter

– Gesicht vs. Nicht-Gesicht bei zu

grossem Abstand von linearem

Gesichtsraum

– Gesichteridentifikation durch Vergleich mit

Mittelwertsgewichtsvektoren von Personen

aus Trainingsdatensatz.



Resultate:

– Ideale Orientierung der Gesichter: 96 % korrekt

– Variation der Orientierung: 85 % korrekt

– Skalieren der Bilder: 64 % korrekt

Echtzeitfähigkeit


Hauptkurven (Principal Curves)

Verallgemeinerung der PCA für gekrümmte

Mannigfaltigkeiten

Kurve parametrisiert als Funktion eines

Kurvenparameters z: f(z): IR → IRn

Für jeden Datenpunkt x parametrisiere

zf(x) den nächsten Kurvenpukt.

Def.: f(z) heisst Hauptkurve falls für die Verteilung p(x)

gilt:

(Hastie, 1984; Hastie & Stützle, 1989)

})(|{)( zzEz == xxf f

zf(x)

z = 1

z = 0

x f(z)

z

f(z)


Hauptkurven (Principal Curves)

Algorithmus ähnlich k-means

Zwei Schritte alternieren:

– Schätzen der nächsten Punkte auf Kurve zf(xi)

– Schätzen der Funktion f(z) unter Nutzung von

(Hastie, 1984; Hastie & Stützle, 1989)

})(|{)( zzEz == xxf f

o o

oo

x2(x)o o

x1(x)


Hauptgraphen (Principal Graphs) (Kegl & Krzyzak, 2002)

Form charakterisiert durch Skelettkurve

Ziel: Robustere Erkennung, kompaktere Repräsentation

Algorithmus: Principal Curves, mit Graphen statt Kurven:

– Binäre Ausgangsbilder

– Stückweise lineare Approximation

– Partitionierung des x-Raumes in Regionen, für die Graphenknoten vi oder Punkte sj auf Zweigen nächste Punkte sind

Anwendungsbeispiel: Skelettberechnung (Skeletonization, medial axis transform, thinning)


Hauptgraphen (Principal Graphs)

(Kegl & Krzyzak, 2002)

Algorithmus (Forts.):

– Minimiertes Fehlermass: E = Distanz[Datenpunkte / Graph] +

Regularisierungsterm[Glattheit des Graphen]

– Spezielle Behandlung von Graphen-verzweigungen in Glattheitsfunktion

– Initialisierung mit einfachem Skelettie-rungsalgorithmus (Suzuki & Abe)

– Zusätzlich heuristische Nach-optimierung (Löschen kurzer Zweige, usw.)

Initialer Graph:


Hauptgraphen (Principal Graphs)

(Kegl & Krzyzak, 2002)

Ergebnisse:

– Geschätzten Graphen Glatter und einfacher als Initialisierung

– Hohe Datenkompressionsrate

Initialisierung / Ergebnis

Original Rekonstruktion mit Graph JPEG

887 bits 3472 bits


Wichtige Punkte

Definition / Probleme: Unüberwachtes LernenK-means-ClusteringVektorquantisierungPCA / EigengesichterSVDHauptpkurven


Literatur

Cherkassky, V., Mulier, F. (1998). Learning From Data. John-Wiley & Sons Inc, New York.

Duda, R.O., Hart, P.E., Stork, D.G. (2001). Pattern Classification. John-Wiley & Sons Inc, New York.

Forsyth, D.A. & Ponce, J. (2003). Computer Vision: A Modern Approach. Prentice-Hall. Upper Saddle River, NJ.

Hastie, T., Tibshirani, R., Friedman, J. (2001). The Elements of Statistical Learning Theory. Springer, Berlin.

Kégl, B. Krzyzak, A. (2002). Piecewise linear skeletonization using principal curves. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence 24 (1), 59-74.

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