METODO DE LAS ARANDELAS VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Consideremos dos funciones ) ( x fy ) ( x gcontinúas en el intervalo cerrado [ ] b a, , de tal manera que ) ( ) ( x gx f≥ para todo [ ] b a x , ∈ . Sea la región del plano limitada por las curvas con ecuaciones ) ( x fy = ; ) ( x gy = y las rectas con ecuaciones b x a x = = , . Se requiere determinar el volumen del sólido de revolución genera do al girar la región comprendida entre las dos curvas, alrededor del eje (note que en este caso no giramos la región alrededor de una de sus fronteras). El sólido generado se muestra en la siguiente figura: Sea n Puna partición del intervalo [ ] b a, determinada por el conjunto de números { } n x x x x ,...., , , 2 1 0 con 1 − − = ∆ i i i x x x para n i ...., 3 , 2 , 1 = , En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación del volumen del sólido de revolución, serán anillos circulares. 1
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Consideremos dos funciones )( x f y )( x g continúas en el intervalo cerrado [ ]ba, , de
tal manera que )()( x g x f ≥ para todo [ ]ba x ,∈ . Sea la región del plano limitada por
las curvas con ecuaciones )( x f y = ; )( x g y = y las rectas con ecuaciones b xa x == , .
Se requiere determinar el volumen del sólido de revolución generado al girar la regióncomprendida entre las dos curvas, alrededor del eje (note que en este caso no giramosla región alrededor de una de sus fronteras).
El sólido generado se muestra en la siguiente figura:
Sea n P una partición del intervalo [ ]ba, determinada por el conjunto de números
{ }n x x x x ,....,,, 210 con 1−−=∆iii x x x para ni ....,3,2,1= ,
En este caso, los sólidos elementales usados para obtener una suma de aproximación delvolumen del sólido de revolución, serán anillos circulares.
Se muestra a continuación el esimoi − rectángulo y el esimoi − anillo circular generadoal rotar aquel alrededor del eje .
Luego, el área del anillo circular es: )( )( x g bajo x f bajo Area Area −
( ) ( )22
)()( x g x f A i π π −=
por lo que el volumen del esimoi − elemento sólido será:
( ) ( ) iii x x g x f V ∆−=∆22
)()(π
Entonces, la suma de aproximación para el volumen del sólido de revolución es:
( ) ( )[ ]∑∑ ==∆−=∆=
n
i
ii
i
n
i
x x g x f V V 1
22
1
)()(π
Puede suponerse que mientras más delgados sean los anillos circulares, mayor será laaproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Por lo tanto si hacemos que ntienda al infinito el volumen del sólido generado es:
( ) ( )[ ]∑=
∞→∆−=
n
i
iin
x x g x f LimV 1
22)()(π
( ) ( )[ ]∫ −=b
ai dx x g x f V
22)()(π
Al igual que para el área entre dos curvas, es bueno recordar la expresión en la forma:
Para evaluar el sólido generado al hacer girar una región del plano comprendida entredos curvas , se recomienda.
1. Dibujar las curvas para identificar la región que se hace girar y determinar en elintervalo que curva se encuentra en la parte superior y cual en la inferior.
2. Determinar los límites de integración los cuales corresponden a las rectasb xa x == , si las curvas no se intersecan, o los puntos de intersección cuando
estas se cruzan.
3. Aplicar la expresión para determinar el volumen, es decir
( ) ( )[ ]∫
−=b
a
i dx x g x f V 22
)()(π
Ejemplos UNO.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje x , la superficie
comprendida entre las parábolas con ecuaciones2)( x x g = , x x f =)( .
Solución La representación gráfica de la región y del esimoi − rectángulo es la siguiente:
En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior es x x f =)( . Ahora los límites de integración corresponden a los puntos de corte de las
dos curvas, es decir:
( )
1
0
01
0
)()(
3
4
4
2
==
=−=−
==
=
x
x
x x
x x
x x
x x
x f x g
Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:
EJEMPLO DOS. Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al hacergirar en torno al eje de las equis la región del plano comprendida entre las curvas
2)( x x f = , 12)( += x x g .
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
g(x)=2x+1
f(x)=x2
Buscamos los puntos de intersección
012
12
)()(
2
2
=−−
+=
=
x x
x x
x g x f
Resolviendo la cuadrática encontramos
38.2
43.0
=
−=
x
x
En la grafica observamos que la función que se encuentra en la parte superior de laregión es 12)( += x x g , Luego, el volumen del sólido de revolución está dado por:
1. Determinar el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitadapor las gráficas de las ecuaciones 2 x y = , 4= y , gira alrededor de:
1. el eje y2. la recta con ecuación y=43. el eje x4. la recta con ecuación y=-15. la recta con ecuación x=2
2. Calcule EL volumen del sólido de revolución cuando se hace girar el área comprendida
entre2
)( x x g = y2
4)( x x x g −= alrededor a) del eje x b) del eje y.
3. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar alrededor del eje de las x la
región acotada por la parábola 1)(2 += x x f y la recta 3)( += x x g .
4. Calcule el volumen cuando la región acotada por las parábolas2 y y x −= y
32 −= y x se hace girar alrededor de la recta 4−= x .
5. Se tiene la región acotada por las curvas3
)( x x f = , x x g =)( . Determine el
sólido de revolución que se genera al hacer rotar la región entorno a: el eje x , eleje y , la reta x= 2 , la recta y= 4.