MINISTERIO DE INDUSTRIAY ENERGIA COMISARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES RECOPILACION , ANALISIS CRITICO Y SIMPLIFICACION FUNCIONAL DE LOS METODOS EMPLEADOS EN EN DISEÑO DE EXCAVACIONES A CIELO ABIERTO VOLUMEN I DE ESPAÑA cjEOLOGICO Y MINERO �?d 63 Sr
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MINISTERIO DE INDUSTRIAY ENERGIACOMISARIA DE LA ENERGIA Y RECURSOS MINERALES
RECOPILACION , ANALISIS CRITICO Y SIMPLIFICACIONFUNCIONAL DE LOS METODOS EMPLEADOS EN ENDISEÑO DE EXCAVACIONES A CIELO ABIERTO
ANEJO N° 1 .- TENSIONES TANGENCIALES EN LAS DISCONTINUIDA-
DES ROCOSAS ................................... 60:3
ANEJO N° 2.- TECNICA Y APLI.CACION DE. LOS METODOS REDUCIDOS
EN EL ANALIS IS DE ESTABILIDAD DE 'I'AJ.I;DJ:;, ...... 633
ANEJO N° 3.- ANCLAJE DE UN BLOQUE ROCOSO ................... 646
ANEJO N° 4.- DESPRENDIMIENTOS DE FRAGMENTOS 650
RLFLRENCIAS BIBL IOGRÁFICAS.
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P R O L O G O
En el capitulo octavo del Plan Nacional de Abastecimiento de Mate-
rias Primas Minerales - "Programa de Acción horizontal" se plantea la ne
cesidad de acometer una serie de acciones complementarias de caracter ge
neral y horizontal que tengan como objetivos la mejora de las actividades
mineras.
Para cumplir en sus competencias estos objetivos , el IGMh dentro -
de sus programas de actuacion está realizando una serie de proyectos de
investigacion básica sobre sistemas de explotacion minera que permitirán
contar con las armas teóricas y prácticas mas avanzadas para modernizar
los métodos de laboreo minero. Dentro de los temas que están siendo más -
estudiados , los estudios sobre diseño y control de Taludes ocupan un des-
tacado lugar.
La transformación a cielo abierto de muchas labores mineras se ha -
revelado como el camino más apropiado para desarrollar una mineria moder-
na y de mayores rentabilidades . Pero esta transformación exige una tecní-
fícaci án elevada en todos los niveles de explotación que permita compen-
sar por los rendimientos globales los descensos en mineral contenido por
volumenes de rocas removidas.
Las labores mineras a cielo abierto cada día resultan más importan-
tes, afrentándose cortas de impresionantes alturas en muy diversos tipos
de materiales.
La optimización de las cortas mineras a cielo abierto , al igual que
en la minería subterránea, necesita lograr la meta de combinar los límites
de seguridad con la máxima rentabilidad de las masas removidas , enfrentán-
dose en este caso con el problema esencial del diseño optimo de taludes.
Para afrontar con criterios modernos el diseño de grandes taludes -
i
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ya no resultan suficientes las experiencias empíricas de los técnicos mi-
neros, sino que, ante las magnitudes de las cortas que hay que ejecutar -
y las exigencias de seguridad, éstas tienen que valerse además de todas -
las armas teóricas y prácticas que las ciencias les pueden ofrecer.
El proyecto que aquí se presenta consideramos que puede cubrir un -
amplio espectro dentro del tema de taludes, poniendo a disposi.cidn de los
interesados en un solo documento muchos de los Gltimos avances en los mé-
todos de cálculo de taludes que se encuentran dispersos, mal explicados ó
poco desarrollados en la bibliografia geotécnica. Con ello se ha pretendi
do dotar de un arma básica a los técnicos mineros para que puedan diseñar
los taludes de las cortas utilizando los métodos de cálculo más modernos,
teniendo criterios para aplicar el más apropiado en cada caso y para ana-
lizar los resultados que estos aportan.
El presente trabajo ha sido realizado por la empresa GEOPRIN S.A. -
por encargo y bajo la supervísión del I.G.M.E.
Deseamos agradecer la colaboración muy especial de: D. Enrique Cha-
tón (E.T.S.Ing. de Minas), D. Miguel Fernández Bollo (Sociedad de Recono-
cimientos Geofísícos, S.R.G.) y D. Angel Díaz Martínez y J.M. Hacar Rodrí
guez. As¡ mismo, queremos destacar la colaboración prestada por el Centro
de Cálculo de la E.T.S.Ing. de Minas y la Universidad de Berkeley, en la
persona del profesor James Míchael Duncan.
C A P I T U L O
G E N E R A L I D A D E S
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1.1.- INTRODUCCION.
La minería a cielo abierto , cada dfa más , acomete la excavación de
grandes cortas con alturas y longitudes espectaculares, que necesitan ser
diseñadas con estrictas condiciones de seguridad y dentro de los márgenes
impuestos por los criterios de rentabilidad.
Para poder atacar la construcción de estos grandes taludes ya no es
suficiente la pura experiencia minera , al enfrentarse con problemas que -
pueden comprometer grandes masas rocosas, muchas veces imposibles de suje
tar si por desgracia no se acierta con el diseño apropiado 6 no se contro
lan adecuadamente.
En el diseño y control de grandes taludes se deben utilizar todos -
los conocimientos y medios técnicos disponibles que permitan proveer, el i
minar 6 corregir en lo posible muchos de los riesgos mayores que en toda
excavación se plantean.
A lo largo de estos últimos años se viene acumulando un volumen con
síderable de estudios teóricos y experiencias prácticas que aportan algu-
nas armas para afrontar el diseño de taludes con ciertas bases científi-
cas.Esto no significa que todo problema puede ser resuelto, ni mucho me-
nos, quedando aún grandes temas sin solucionar . Pero, la ignorancia 6 la
no utilización de los conocimientos alcanzados hasta el momento signifi-
can el seguir afrontando la excavación de taludes de una forma empírica,
admitiendo muchísimos más riesgos que los estrictamente necesarios.
Los estudios sobre taludes se muestran necesarios en todas las eta-
pas de un proyecto minero.Una incorrecta estimación de los taludes admisi
bles en una gran corta minera puede afectar enormemente a los parámetros
de rentabilidad del yacimiento , tanto si es por defecto como por exceso,en
cuanto a los volúmenes de excavación . Un desplazamiento de masas durante la
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explotación puede provocar riesgos de vidas humanas y graves transtornos
en los programas de explotación. La rectificación de taludes puede signi
ficar pérdidas no previstas en los presupuestos de las explotaciones. A
medida que los taludes se hacen mayores, conviene tener en cuenta, que -
la dimensión de los problemas puede crecer de forma exponencial, entran
do en juego cada vez factores más incontrolables y corriendose riesgos -
cada vez mayores.
Por otro lado, en una corta minera tan importante como diseñar ta-
ludes estables puede ser el preveer y admitir determinados riesg,os, sien
pre y cuando estos sean estimables y debidamente controlados.
En definitiva, la excavación de grandes taludes suponen un reto al
inestable equilibrio de la naturaleza, teniendo que afrontarse con toda -
prudencia y provistos de todas las armas que las ciencias nos puedan pres
tar si no queremos fracasar en el empeño.
Los estudios necesarios para los trabajos de taludes pueden proce-
der de muy diversos campos de las ciencias teóricas 6 aplicadas. Todos -
ellos tratarán de averiguar la naturaleza, estado y comportamiento del -
medio fisico-natural donde se pretenden ejecutar las obras. La profundi-
dad de los estudios necesarios dependerá de los problemas que en cada caso
se planteen y de los medios disponibles.
Los estudios de caracter geológico y geotienico s.l. son los que -
fundamentalmente se realizan en estos casos. Ambos tipos tratan de expli
car la naturaleza de los distintos materiales, su disposición, sus carac-
terísticas geomecánícas y su comportamiento ante las perturbaciones de -
los materiales de la lit6sfera, aplicando metedologias contempladas desde
distintos puntos de vista pero resultando absolutamente necesaria su com-
plementaríedad para lograr el máximo nivel de conocimiento de la realidad,
permitiendonos actuar sobre ella con mayor seguridad.
(i
La diversidad de estudios y técnicas que se emplean exige la cola-
boración estrecha de técnicos especializados en los distintos temas (In-
genieros, geólogos, geofísicos, matemáticos, etc) auxiliados con equipos
adecuados (sondeos, laboratorios, computadoras, etc) que actuen diseñan-
do y controlando las distintas fases de ejecución de las excavaciones.
Como se ha dicho anteriormente los principales tipos de estudios -
que se suelen realizar para taludes son de tipo geológico v geotécnico.
Todos los conocimientos de este género que se puedan acumular sobre la -
zona donde se van a realizar los trabajos no deben desestimarse, dado --
que el grado más elevado de conocimiento sobre la naturaleza nos permíti
rá comprender en mayor grado sus accidentes y comportamiento.
En el presente trabajo no se pretenden repasar todos los aspectos
que existen sobre el tema de taludes, disponíendose de una amplia biblio
grafía a distintos niveles de especialización, donde se pueden encontrar
mejor explicados muchos temas que aquí sólo se reseñan a titulo informa-
tivo.
En este primer capítulo sólo se intenta resumir los distintos tipos
de estudios que se realizan para taludes, explicando su finalidad y limi
taciones y planteando la mejor manera de utilizar las informaciones que
aportan.
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1.2.- ESTUDIOS NECESARIOS PARA EL DISEÑO DE TALUDES.
Para ejecutar un proyecto minero a cielo abierto que necesite la ex
cavaci6n de grandes taludes, con criterios de rentabilidad y seguridad mo
dernos, resulta necesario tecníficar las empresas mineras con especialís-
tas y medios suficientes para que puedan diseñar, controlar y vigilar las
cortas de manera adecuada.
La excavación de grandes taludes necesita un seguimiento continuo -
desde su diseño general hasta su fijación final, por medio de estudios y
mediciones de carácter geológíco-geotécnícos, a mayor o menor escala, con
más o menos detalle, en función de los problemas o seguridades que en ca-
da caso se puedan plantear.
Según progresan las fases de ejecución de una explotación minera a
cíelo abierto, se podrá contar con experiencias e informaciones directas
que permitirán tomar decisiones cada vez más ajustadas a las necesidades
reales que se plantean. Pero en cambio, a medida que progresan las labo-
resen extensión y profundidad el tener que corregir los taludes o tomar
medidas de protección no previstas, puede causar transtornos importantes.
Por ello consideramos que las labores de investigación y control de talu-
des deben acometerse desde las primeras etapas de una corta minera, insis
tiendo especialmente desde los primeros momentos antes de contar con los
escaparates que representan los taludes abiertos. Luego, el seguimiento -
de los taludes a lo largo de toda su ejecución permitirá el ir ajustando
los cálculos y estimaciones según los accidentes especiales que se vayan
descubriendo localmente. Si desde un primer momento se cuenta con estu- -
dios lo más profundos posibles, el margen de sorpresas desagradables por
accidentes o comportamientos inesperados será disminuido notablemente.
A lo largo de todo el Mundo se han realizado muchos trabajos y exile
riencias teórico-prácticas sobre casos que, con toda seguridad, serán muy
semejantes al problema concreto que se presenta en una nueva corta, pudíen
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do encontrarse referencias de ello en la bibliografía especializada. El -
intercambio de información y el análisis de situaciones parecidas en cor-
tas ya existentes, serán fundamentales para actuar con criterios más fir-
mes.
DISEÑO GENERAL DE LOS TALUDES DE UNA CORTA .
La primera etapa de un proyecto minero a cielo abierto exige la de-
finición de los taludes generales de las cortas, para con ellos entrar en
los cálculos de rendimiento de la mena respecto al todo uno <le la masa re
movilizable.
La definición general de los taludes admisibles debe hacerse con --
criterios lo más fundados posibles para poder aprovechar al. Máximo los re
cursos minerales disponibles.
Las informaciones necesarias para el diseño de los taludes en esta
primera fase, tendrán que entresacarse de los estudios de prosnccción del
yacimiento, aprovechando toda la información posible y los sondeas y ca-
lícatas para tornar muestras para los ensayos geotécnicos necesarios. Como
para el mismo yacimiento, cuanto más exhaustiva sea esta ínform<rcíón m<`is
datos podrá aportar para el diseño de taludes.
Desde los primeros estudios geológicos generales ya se pueden empe-
zar a entresacar muchas características que definirán el mctodo de calcu-
lo y análisis a seguir para definir los taludes:
La posición geográfica del yacimiento ya marca unos primeros condí-
cionantes al diseño que merecen ser analizados con cuidado, para de
limitar hasta que punto se deben tomar precauciones, precisando los
ángulos de talud, los sistemas de sostenimiento, el drenaje, etc.
Una corta en montaña no es lo mismo que en un fondo de valle (Fig.
1.1. y 1.2.). Las masas implicadas en caso de rectificación de los
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taludes pueden ser muy variables. Tampoco es lo mismo que por enci-
ma de la corta queden masas que puedan ser afectadas por desprendí-
mientos importantes (Fig. 1.3.).
T¢Luc( LnicraL
t t\` t Talud rttÍifitttdo
Fig. 1.1.- Corta en cima montañosa.
rata¿ rec t¿f¿r-a¿ó\ / Tn[ud fnic�aL �
\ '� 1I{
Fig. 1.2.- Corta en fondo de valle.
LO
1.3.- Corta a media ladera.
Los niveles freátícos , las zonas descomprimida s;, las tensiones -
debidas al relíeveóinducidas por la corta , serán :;uy en
uno u otro caso.
El tipo de yacimiento y su situación a niveles rraeroestroe�uralcs -
también aportará una serie de aspectos a tener en cuenta d esde un -
principío.
nivelde grandes unidades , por ejemplo : Yaci.r:ic_ntos sedírrenta-
ríos en zonas no plegadas y poco consolidadas ( Terciarios v Cuater-
narios ) se estudiarán con los métodos de cálculo mara los materia-
les que In Geotécnia denomina como SUELOS. En zonas plegadas, pero
en niveles estructurales muy superiores dentro de una cadena monta-
ñosa (Fig. 1.4. ), las anisotropías geomecánícas serán marcadas por
las diferencias litológicas ( calizas, arcillas , arenas , etc) y las
lítoclasas fundamentales serán La estratífícación, l.as fallas v di a
clasas dehídas al plegamiento. En zonas más profund as este ra toral.--
mente, las diferencias geomecánicas de los distintos rnaterír.ales se
hacen menos patentes por el efecto homogeneizante del meta o rfismo,
desapareciendo progresivamente las estratificaciones como planos de
discontinuidad , mientras se acentuan las esquistosidades como planos
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de debilidad geomecánica. Al aflorar estas zonas por la erosión de
las cadenas montañosas , los fenómenos de descomprensi6n serán muy -
acusados , formandose díaclasas paralelas a la superficie que suelen
aflorar muy mal o muy pocas veces pero que luego pueden provocar --
grandes problemas en los taludes.
N � estructural t/.- t �•� �' �. ',rpurinr p Y rr �1 � i /�
Nivel estructural �� \ - j
¡I
/ � l �` - � la
1 rCr-:gronnr dni ��. - �\� i
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Límite '. Ite ior dela tr Ilación } "✓ S �% d ./
comio• u de la 1ió.
(granito iic anatc�ia ) + > r ! _
Fig. 1.4.- Corte teórico de una parte de la corteza mostran
do la superposición de los diferentes niveles estructura-
les y la forma de las estructuras correspondientes.
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- A niveles más limitados al yacimiento, de los estudios geológicos -
se pueden sacar datos más concretos sobre puntos que merecen espe-
cial atención por sus previsibles mayores problemas (Fig. 1.5.).
Ta(vdes menos r4tvdes masP«, rasos yc/c9rosas
Fíg. 1.5.- Diferencias entre taludes por sus diferentes
posiciones respecto a las estructuras locales.
- El descubrir los principales accidentes tectónicos que afectan al -
yacimiento (pliegues, fallas, etc) y deducir al máximo nivel geoló-
gico los mecanismos que los produjeron, tambidn puede inducir a es-
timar en los diseños de taludes algunos factores importantes que --
pueden no ponerse de manifiesto en la superficie (Fig. 1.6 y 1.7).
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2
Fig. 1.6.- Esquema ilustrando los diferentes mecanismos de la deformación1) Cizallamíento; 2) Flexión; 3) Aplanamiento; 4) Flujo.Obsérvese que el acortamiento varia segím los mecanismos: es máximo conel aplanamiento y nulo con el flujo.
Dos aspectos de la deformación de una parte de terrenos. Arrí.ba: por falías (fallas en dirección). Abajo: por el plegamiento ísopaco.
Fig. 1.7.- Disposición posible de los sistemas de díaclasas asociadosa las fallas normales (1), inversas (2), y a las fallas en direc--cíón (3) y sistema sin significación neta.
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En definitiva, los estudios geológicos deben emplearse con todas --
sus posibilidades de información, siendo la base más orientativa para di-
rigir coherentemente los estudios geotécnicos posteriores.
Para taludes concretos los estudios geológicos generales serán arn-
pliados con estudios geológicos algo más específicos, por ejemplo: estu- -
dios sistemáticos de lítoclasas aflorantes en la zona del talud v sus pro
ximidades; observaciones geomorfológicas de desprendimientos o inestabili
dades locales; etc.
Para el diseño general de los taludes de una corta también es nece-
sario emprender una campaña de estudios de caracter geotécnico que aporte
datos específicos sobre las características geomecánicas de los distintos
tipos de rocas y de los macizos. Esta campaña puede realizarse en gran me
dida coordinandose con las prospecciones del yacimiento, tomando las miles
tras necesarias de los mismos sondeos de explorací6n o de las calicatas y
rozas que se hagan para la valoración del mismo. Los sondeos eíu:tut.rdos y
las trincheras abiertas también podran servir para controlar, niveles de
agua a lo largo de distintos períodos y como pequeños taludes experimenta
les, por ejemplo. Con las muestras recogidas se harán todos los ensayos -
geotácnícos posibles para definir las características geomecánícas funda-
mentales de los diferentes tipos de rocas marcadas por la geología.
Con toda esta documentación geológico-geotécnica se podrá pasar a -
los cálculos de taludes con cierta base experimental y con mediciones de
los parámetros geotécnicos necesarios para los distintos métodos.
Para calcular los taludes posibles de una corta se aplicarán, por -
zonas de características homogeneas, el modelo teórico de cálculo cuyas -
hipótesis de partida más se aproximen a las condiciones reales que pueden
presentarse.
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La estabilidad de los taludes se tanteará para diferentes alturas,
condiciones de agua, hipótesis de rotura ...., con el fin de tener un vo-
lumen de datos sobre coeficientes de seguridad o probabilidades de rotura
que nos permita elegir el talud más apropiado. Los taludes generales de -
una gran corta (Fig. 1.8), tienen que diseñarse con las máximas garantías
de seguridad y por ello todos los sistemas de cálculo deben ser aplicados,
utilizando hasta los procedimientos más sofisticados que necesitan el em-
pleo de computadoras para sucesivos tanteos.
Los taludes parciales de los bancos o de trabajo podran admitir ma-
yor imprecisión e inseguridad, dependiendo de las etapas de laboreo y de
la sítuaci6n respecto al movimiento de personal, instalaciones, movimien-
to de máquinas, etc...
Ta.Bud ytat �a�..x--�
Tafudt.t de \ � � �bancoy--
Fig. 1.8.- Talud general y taludes parciales de una
corta.
16
SEGUIMIENTO Y CONTROL DE TALUDES .
Desde el, inicio de las cortas los taludes deben ser vigilados con -
suma atención, con el fin de detectar a tiempo accidentes que no se hayan
puesto de manifiesto en los estudios preliminares o para controlar que --
los diseños adoptados responden adecuadamente.
Para el seguimiento y control de los taludes lo más importante es -
la observación minuciosa, por técnicos que sepan interpretar los pequeños
indicios de inestabilidad (grietas, asientos, salidas de agua, fluencia -
de materiales, etc.). La observación no debe limitarse al frente del ta-
lud sino que debe ampliarse a una amplia zona de sus alrededoresjpuesto -
que muchas veces aparecen grietas o se producen pequeños asientos o des-
plazamientos por desequilibrios muy profundos y de gran extensión, que -
incluso en el mismo talud no son patentes (Fig. 1.9).
";
Fíg. 1.9.- Deslizamientos profundos.
Como sistemas auxiliares de control se pueden colocar sondeos de vi
gilancia, con extensómetros,inclinómetros o piezómetros para controlar --
los movimientos del agua.
1.7
Como la realízación de estos sondeos es costosa, creemos que lo me-
jor que se puede hacer es el cuidar lo más posible todos los sondeos de -
prospecci6n del yacimiento para que puedan servir a su vez como de control
de las cortas.
Según avanzan las explotaciones se pueden ir tomando muestras de tu
dos los niveles expuestos para realizarles análisis geomecánicos que con-
firmen o ajusten las estimaciones de los cálculos preliminares.
La vigilancia sistemática permitirá tomar las medidas correctas - -
(drenajes, anclajes , rectificación de taludes , etc.) a su debido tiempo,
sin dejar que lleguen a provocar problemas que pongan en peligro grave. --
a las explotaciones.
Al ir abriendo los taludes se pueden plantear algunos problemas es-
pecíficos que requieran la ejecución de estudios locales muy detallados,
por ejemplo : cartografía de todos los paquetes de rocas, conteo (le díacla
sas, colocación de extens6metros, medidas de bloques, etc.
Fig. 1.10.- Estudio detallado de un talud para
colocací6n de anclajes.
C A P I T U L 0 II
M E T 0 D 0 S
D E
C A L C U L 0
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2.1.- CONSIDERACIONES GENERALES
Entre los problemas que se le presentan al ingeniero proyectista -
de cualquier obra que implique movimiento de tierras, especialmente en -
la ejecución de cortas mineras, destaca, por su influencia en los costes
económicos y sociales de la misma, el control de la estabilidad de las -
pendientes o taludes artificiales generados.
Dicho control requiere una serie de estudios que han sido ya comen-
tados globalmente en la primera parte de este proyecto, iniciando su desa
rrollo en este segundo capitulo y siguientes.
Intencionadamente se ha introducido el termino "iniciación" puesto
que la estabilidad de taludes de por si constituye una disciplina dentro
del campo de la Geotecnia que ha merecido la atencion de numerosos y reco
nocídos autores, cuya exclusiva dedicación a este tema permite aumentar -
día a día los conocimientos y experiencias de que se puede disponer para
abordar cualquier problema de este tipo.
Por ello el estudio de los metodos de calculo de estabilidad de talu
des que se desarrolla en este capítulo persigue principalmente una recopi-
lación de los mismos que, si no puede ser absoluta por la extrr,ordinaria -
extensión del tema, pretende ser, al menos, clarificadora en cuanto a la -
aplicabilidad de los mismos para cada caso concreto.
La secuencia adoptada en la presentación de los métodos de cálculo -
responde a su ordenación, de menor a mayor, en cuanto a la dificultad de -
su resolución.
Hay que hacer notar , sin embargo, que este criterio de clasificación
se ha intentado conjugar con una subdivisión de los mismos en cuanto a su
aplicación en Suelos y Rocas respectivamente. Debido a que, en muchos ca-
sos, es dificil delimitar estrictamente estos dos conceptos y a la confi-
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guraci6n intrinseca de los métodos, que, en ocasiones, participan de -
ambos tipos de terreno, la clasificací6n resultante que, por supuesto,
responde a valoraciones subjetivas , ha de ser aceptada como meramente -
orientativa.
La elección de un método u otro para su aplicación a un caso con-
creto es otro punto que, por su trascendencia , merece ciertas considera
ciones.
En principio, pecando incluso de cierto conservadurismo, ningun -
método de cálculo, por si sólo, debe aceptarse como solución integra del
problema planteado.
Por el contrario, resulta conveniente estudiar el caso bajo distin-
tas hipótesis de rotura, analizando con detalle los diversos resultados -
obtenidos y optando por un margen de seguridad u otro, en función de los
criterios que se deseen adoptar al efecto.
En cuanto a la ejecución de los métodos de cálculo que aqui se pre-
sentan, a lo largo de su tratamiento se podrá observar como se enfocan, -
indistintamente, para su explotacíón manual o mediante ordenador.
Indudablemente , la utilización de ordenadores simplifica notablemen
te la fase de cálculo de cualquier análisis de estabilidad de taludes sin
embargo , la reducción de estos problemas a la simple consideración de unos
valores numéricos representativos del coeficiente de seguridad, exige como
contrapartida el tratamiento de un suficiente número de casos que barran -
todo el entorno de posibilidades.
Por otra parte, la disponibilidad de estos sofisticados instrumentos
es en muchos casos problemática , sobre todo en trabajos a pié de obra don-
de tan importante como la eficacia es la rapidez para obtener una respues-
ta al problema planteado.
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Todo ello ha ratificado la conveniencia de desarrollar, siempre -
que ha sido posible, el proceso de cálculo manual que, por otra parte,
no presenta mas dificultad que la derivada del aparato matemático que -
conlleva cada método.
Este inconveniente presenta, no obstante, la ventaja de poder se-
guir paso a paso las distintas fases del proceso y facilitar la detección
de posibles errores tanto de cálculo como conceptuales.
La versatilidad del procedimiento manual permite, así mismo, tan-
tear distintas hipotesis de partida é incluso distintos métodos de cálcu-
lo para obtener unos previos resultados de aproximación que, a priori, -
informen del comportamiento a esperar del talud o de la viabilidad de apli
cación de los distintos métodos.
Obviamente la solución ideal englobaría ambos procedimientos permi-
tiendo un tanteo inicial por cálculo manual y un posterior estudio exhaus
tivo utilizando los métodos programados en ordenador.
22
2.2.- IMPORTANCIA DE LOS ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES.
Cada día van adquiriendo mas vigor los estudios de estabilidad -
de taludes por motivos y factores muy variados, según el fin que se -
persiga con la construcción de ese talud. Por citar algunos ejemplos -
clásicos mencionaremos el caso de un talud de una vía de comunicación,
el talud de una presa de materiales sueltos, el de una ladera del vaso
de un embalse, el de una mina a cielo abierto. .......
Cada uno de los ejemplos citados corresponde a una filosofía de
su diseño particular, con algunos factores relativamente bien díferen
cíados.
Con la idea de comenzar destacando un caso típico de deslizamien
to citemos el deslizamiento de Vaiont. El 9 de Octubre de 1963 se pro-
dujo este deslizamiento en caliza muy diaclasada, con un volumen de -
250.106 ❑13 , que al caer en el embalse produjo una ola de gran altu-
ra que pasó por encima de la Presa y destruyó el pueblo de Longarone -
con un balance de 3.000 víctimas.
Dese luego que el caso catastrófico de Vaiont es excepcional. Sin
embargo los deslizamientos, a mucha menor escala, no son nada raros. -
Actualmente se han diseñado y puesto a punto sistemas que permiten de-
tectar y valorar el comportamiento de los taludes estudiados, pudiendo
reaccionar con rapidez y aminorar los daños que pudieran producirse.
En las paginas siguientes veremos varios métodos de cálculo y en
traremos en su posible campo de aplicación , según tipo de terreno y -
condiciones a que se encuentre sometido. Veremos como cada método par
te de unas hipótesis determinadas , debiendo de aplicar aquél que mas
se adapte al caso concreto de estudio. Como ya hemos dicho, esta elec-
ción no es nada sencilla y no muy patente , debiendo de aplicar sí fuera
posible varios métodos que nos permitan ver el efecto de las diferentes
hipótesis de partida.
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2.3.- DIFERENTES METODOS DE CALCULO
Desde los ensayos de Charles Augustin Coulomb (ver KERISEL (1973))
hasta la fecha, los estudios sobre estabilidad de taludes han ocupado -
una parte notable de la geotécnia, e incluso algunas de las teorias gene
rales se han desarrollado inicialmente aplicadas al campo de la estabi-
lidad de taludes.
En el desarrollo teorico que presentamos seguidamente, se ha procu
rado seguir un orden de exposición de los diferentes métodos basado en -
comenzar por los métodos clásicos 1 ir avanzando en métodos mas sofisti-
cados y exactos pues consideran hipótesis simplíficatívas mas refinadas
que los primeros métodos, y por lo tanto son modelos que más se ajustan
a la realidad.
Actualmente se encuentran en pleno desarrollo los métodos de plas-
ticidad generalizada, que serán los que en un futuro breve se aplicarán
a las obras de ingeníeria. Por el momento se encuentran en fase de apii
caci6n práctica. En la Tesis de CAÑIZO (1971, 1973) se trata ampliamen-
te el estudio plástico, adjuntandose incluso un listado (no completo) -
del programa de elementos finitos desarrollado por dicho autor.
Para terminar queremos indicar que hemos tratado los métodos de -
utílizaci6n mas frecuente , 6 aquellos que creimos de mayor interés, to-
do encuadrado dentro de las limitaciones que conlleva un estudio tan -
amplio como lo es el tema titulo del proyecto. Por este motivo no hemos
tratado los métodos de minimizací6n energética, ni los métodos de per-
turbaciones, etc. Tambien queremos advertir que en este estudio no se -
han considerado modelos tridimensionales, pues, por ahora, carecen de -
aplicací6n práctica.
2.3.1.- Método del talud indefinido
ESTUDIO TEORICO
Aspectos generales.
Esfuerzos en un punto de un semiespacio.
Equilibrio plástico en un semiespacio.
Estados de Rankíne en una masa sin cohesión.
Estados de Rankíne en una masa con cohesión.
Sentido físico del método de Rankine.
APLICACION DE ESTE METODO
Hipótesis limitativas del método.
Campo de aplicación.
Metodología de aplicación y discusión de resultados.
Altura crítica en taludes verticales. Inestabilidad
por grietas de tracción.
Estudio teSrico
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ASPECTOS GENERALES
Según la clasificación general de estudio de métodos para el -
análisis de estabilidad de taludes, considerabamos aquellos en los -
que se supone conocida la linea de rotura y aquellos otros en que se
calcula. Seguidamente vamos a estudiar un procedimiento sencillo que
se engloba dentro de estos últimos.
Entenderemos por talud indefinido una pendiente constante de -
longítud ilimitada y homogenea en profundidad, de manera que dos pon
tos situados a igual profundidad esten sometidos a los mismos esfuer
zos de forma que podemos tomar como representativa de toda la masa -
una columna vertical situada en cualquier punto. (Figura 2.1.)'
ESFUERZOS EN UN PUNTO DE UN SEMIESPACIO
Por la mecánica sabemos que si P es un punto del interior de un
sólido y OA, OB los planos principales correspondientes a ese punto P
(Figura 2.2 .), los esfuerzos en el plano AB, deducidos del equilibrio
del elemento son:
O-= Cr, +(0-, - C',)cos ,<
(� - C3) SLr7 0( cos
Para cualquier posícíón del plano AB pueden obtenerse los esfue r
zos 6 y E según las expresiones anteriores en función de c ,0- , (J3-
El diagrama de Mohr permite también obtener gráficamente esas -
tensiones . En efecto , el lugar geométrico de las expresiones de O- y
para los diferentes planos es una circunferencia de centro en
( 6++i 'O ), diametro G-Q , representando en el eje de abcí2 -
sas los valores de 0- y en el de ordenadas los de P ( Figura 2.3.)
27
1
Z
Fíg. 2.1.- Elemento considerado vara el nn a lísís con el r^ét,)dc) del
talud indefinido.
7R
a
dz
(3•dz
A P
dx
dx
M
(d-+Z) Z2d
0
Q i +63
2
Fig. 2.2.- Esfuerzos en un punto v diagrama de Mohr corresnondi.ente.
29
63 P
A 6�
cl
K (polo)
z a2
W R
Fig. 2. 3.- Determinación del Dolo para obtener los esfuerzos en un
punto.
30
Del diagrama de Mohr se deduce de forma inmediata (tambíen puede
deducirse analiticamente con facilidad) que el máximo esfuerzo cortante
se produce en planos que formen 45', valiendo (77-23-22
De los ensayos de corte directo puede admitirse que el comporta-
miento de los suelos en la rotura obedece a la expresión de Coulomb:
(en este estudio no analizaremos la validez 6 aproximación de esta expre
si6n, Considerandola simplemente como valida).
En la figura 2.4. dibujamos estas rectas, conocidas como envolven-
tes de Mohr. Si el circulo correspondiente a los esfuerzos en un punto -
es el 1, cualquier plano considerado tendrá un esfuerzo cortante menor -
que la resistencia al corte. Si los esfuerzos vienen representados por -
el círculo 2 habrá un plano con un esfuerzo cortante igual a la ordenada
de M y precisamente igual a la resistencia del suelo a ese esfuerzo cor-
tante. Si fuera el círculo 3 el de esfuerzos, sucedería que para los pla
nos situados en los puntos a trazos se superaría la resistencia del te-
rreno, y estaríamos en el caso limite en aquellos puntos donde la recta
de Coulomb es secante al círculo.
Así pues podemos conocer las tensiones O y P en un punto cual-
quiera que pase por un punto con solo conocer las tensiones principales,
para ello nos haremos un angulo 2o', en el círculo de Mohr (Figura 2.2.).
Tambien puede obtenerse a' y ' sin necesidad de transportar ese an-
gulo 2oC. En efecto (Figura 2.3.), sí por R trazamos una paralela al pla
no principal PB, (plano principal mayor) esta cortará al círculo en K; -
la paralela por K al plano que deseamos calcular los esfuerzos corta al
círculo en un punto M, cuya ordenada y abcisa son los esfuerzos �' y
respectivamente . Las rectas RK y MK se cortan según un angulo oC, que -
es la mitad del ángulo MWR. El punto K se denomina polo del diagrama.
31
En el círculo de la figura 2.4., y según lo que acabamos de decir,el equilibrio plástico se produciría por una combinación de esfuerzos -iguales a las coordenadas de M y de M' (la orientación de ambos planosse obtiene del círculo como ya dijimos ) resultando ser:
C3 �92(G5°t> t 2cof9rás Í2
correspondiendo a un plano de orientación igual a 45° + O2
En el caso de material no cohesivo se demuestra que la dirección
de los esfuerzos sobre los planos M y M' son , cada uno de ellos, para-
lelos al otro plano , es decir, las secciones son conjugadas.
EQUILIBRIO PLASTICO EN UN SEMIESPACIO
Supongamos una masa de terreno definida por un plano horizontal,
homogeneo y de peso especifico r . Considerando un elemento prismático
de esta masa ( Figura 2.5.), de anchura normal al plano del dibujo igual
a la unidad . Admitiendo un estado de deformación plana, por simetría los
esfuerzos tangencíales en planos verticales serán nulos , por lo que el -
elemento estará sometido unicamente a los esfuerzos en la figura indica-
dos.
En este semiespacio puede alcanzarse el equilibrio plástico de dos
modos diferentes. En el primero la masa del terreno se deforma en senti-
do horizontal , de forma que la presión sobre las caras verticales del -
elemento disminuyen hasta alcanzar un punto en que el circulo de Mohr es
tangente a la recta de Coulomb , es decir, hasta alcanzar el equilibrio -
plástico , todo esto sin haber variado el esfuerzo sobre base del elemen-
to. Desde esta posición de equilibrio cualquier nuevo alargamiento se -
produce sin variación de las tensiones sucediendo la rotura de la masa.
Puesto que el peso del suelo colabora a su expresión lateral, este tipo
de rotura se denomina rotura activa.
32
Z=c+�.tg �
M
C
c1
3M
Fig. 2.4.- Recta de Coulomb y estados de tensiones (-en tin ountt�
z
HYW
6y=,•Z
Fig. 2.5.- Esfuerzos en un elemento nrismático de un semiesnacio.
33
La segunda forma de alcanzarse el equilibrio plástico es causadapor una compresión del suelo en dirección horizontal, aumentando la pre
si6n sobre las caras verticales del elemento y permaneciendo invariable
la presión sobre la base. En este caso el peso del suelo se opone a esta
deformación, por lo que se llama rotura pasiva.
Así pues en las siguientes notas vamos a obtener las tensiones que
corresponden a los estados límites de equilibrio plástico en un semies-
pacio, problema que fue tratado por primera vez por Rankíne en 1857, y
por extensión cuando toda la masa se encuentra en el equilibrio se dice
que está en el estado activo 6 en el estado pasivo de Rankine. Si solo
sucede en una parte se dice que es una zona de Rankine.
Muchos autores han realizado amplios trabajos sobre las teorías de
Rankine, entre los que caben destacar las publicaciones de ENTRECANALES
(1941), TERZAGHI (1956), KEZDI (1962, 1974), así como las que más ade-
lante citaremos.
ESTADOS DE RANKINE EN UNA MASA SIN COHESION
En un semiespacio en un terreno sin cohesión y con superficie ho-
rizontal, los círculos de Mohr correspondientes a los estados activos y
pasivos de Rankine está dibujados en la Figura 2.6. Sí el peso especifi
co es Y la tensión vertical sobre un elemento a la profundidad 2 es:
=zz.Ó'
En el estado activo el círculo es tangente a la recta de Coulomb
en los puntos Ma y Ma'. Para obtener el polo en un estado activo traza-
remos por S una paralela al plano principal mayor, siendo el polo Ka, el
punto de intersección de esta recta con el circulo correspondiente a -
ese estado. Los planos de rotura son paralelos a las rectas KaMa y KaMa'
(Figura 2.6.), ambos planos forman con la horizontal un ángulo de (45°+
0/2). La tensión normal en un plano vertical a una profundidad Z es:
Q=6•tg
Estado activo Mp -Estado pasivo
Mo
K 45° 0/2 45*- 2 Kb
459 2 Wp 450 - 2
Má
Mp
6ti Z•
E- Estado activo -* Estado pasivo
ie la
rH*,
4/Ensiónrioi
C',=Z-1 (h=Z'6.tg2(45° -0/2) 6v=Z ó �h_Z ó tg2(as°��/2)
Fig. 2.6.- Estados activo y nasivo de Rankine en un semíesnacio definido Por una superficie plana
horizontal y en un terreno sin cohesión.
35
Así pues, las tensiones vertical, y horizontal son directamente propor-
cionales a la profundidad.
En el estado pasivo el circulo es tangente en los puntos M y miP P
(Figura 2.6.), y los planos de rotura formarán un ángulo de 45 - 0/2 -
con la horizontal. La tensión normal en un plano vertical. a una profun-
didad 7 es:
a-h = z • a-. 192(45v 0 )1
2
En el caso de que la superficie del terreno no sea horizontal sino
que tenga una ínclinaci6n de i con la horizontal, pueden estudiarse los
estados de Rankine sin dificultad a partir del círculo de Mohr.
En la figura 2.7. hemos considerado un elemento definido por los -
planos verticales y uno horizontal paralelo al talud y a una profundidad
i•T . Es inmediato comprobar que por condiciones de simetría las fuerzas
actuales en los planos verticales ad y cb deben de ser de igual módulo,
de igual dírecci6n y de sentido contrario. Por la condición de equilibrio
vertical lo mismo sucede con el peso del elemento y la reacción vertical
en ab, siendo N=W= ó•z (hemos supuesto que el elemento tiene de ancho la
unidad). De aquí se deduce que el esfuerzo resultante sobre un plano ver-
tical es paralelo a la superficie del terreno, y el esfuerzo resultante -
sobre una cara paralela al terreno es vertical. Del, equilibrio del elemen
to se tiene:
0 coS,
y los esfuerzos normal y tangencial en ab son:
(��=z� • Ó • cos2t
L = • (r• cos L•Sfn.L
z
-i -.4
1d F '. z.c:si
_____ 'Ka ys
MoP :Z.
d ci' d a ión etaen ón incip oyor tens' n p ot mayor
Fi g. 2 . 7. - Estados ac L ivo flan \'O de Rank inc en un semi espac e definido ocr tina s unen fi cje 1 ana hori 70fl tfly un terreno sin uohesin.
37
Con lo que acabamos de ver es posible dibujar el estado de tensio-
nes en un punto a una profundidad z. En la figura 2.7. el punto U es de
coordenadas a- y S' (expresiones anteriores) y en la situación límite -
de equilibrio plástico la circunstancia que se representa ese estado de-
berá además de pasar por U, ser tangente a la recta de Coulomb. Además -
como el plano de tensiones J- y V es paralelo a la superficie del talud
la recta OU formará con el eje de abcisas un ángulo i. Segun la construc-
ción que más atras explicabamos el polo en el estado activo es Ka.
Los planos de rotura, que son paralelos a KaMa y KaMa', formarán -
un angulo de 45°- 0/2 con la dirección de la tensión principal mayor cuyo
módulo es OS, y dirección normal a SKa.
En el estado pasivo con un razonamiento similar se deduce que los
planos de rotura, paralelos a KpMa y KpMa', formarán un ángulo de 45°-
0/2 con la dirección de la tensión principal mayor, cuyo módulo es OV y
dirección normal a VKp.
ESTADOS DE RANKINE EN UNA MASA CON COHESION
Acabamos de ver con detalle las superficies de rotura correspon-
dientes a los estados activos y pasivos de Rankine para un semiespacio
sin cohesión y definidos primero por un plano horizontal y segundo por
un plano inclinado i° con la horizontal. En estos casos suponiamos váli
da la relación de Coulomb que expresakamos como:
Vamos ahora a estudiar el caso más complejo de un suelo con cohe-
sión, y suponiendo que tambíen se cumple la condición de rotura de Coulomb,
que en este caso es:
38
En la figura 2.8. dibujamos las rectas de Coulomb así como los -
círculos de Mohr correspondientes a los estados activo y pasivo en un
semíespacio definido por un plano horizontal. A la profundidad Z la -
presi6n vertical sobre un plano horizontal es:
Q-„=2• 2r
En la superficie Z=0 y Cr=O siendo el círculo correspondien-
te al estado activo de Rankine el 1 de la Figura 2.8., el cual al. ser -
tangente a la recta de Coulomb y corta al eje de abcisas en el punto de
tensión negativa, tracción, de valor 2c:tag. (45°- 0 /2).
Según aumenta la profundidad la tensión principal mayor tambien -
aumenta así como la menor que se va aproximando a cero . (circulo 2). Lle
gado a una profundidad Z _ Zc la tensión principal menor se hace igual
a cero (circulo 3) y la principal mayor vale:
Zc tY = 2co/q (45°t >
obteniendo que la profundidad a la cual ya no existen tracciones es:
Para profundidades mayores que Z los circulos correspondientes
son del tipo 4 indicado en la figura 2.8.
Las tensiones correspondientes a ambos estados activo y pasivo son:
0-v = Z -• -
Oh z7•ó' Íg2�lr5°t��2cof(G5°t�)
correspondiendo el signo - al caso activo y el + al pasivo.
39
Las superficies de deslizamiento son análogas al caso de material
sin cohesión y también están representadas en la Figura 2.8.
El análisis para el caso general de superficie no horizontal y -
terreno cohesivo en esencia es igual que los anteriores , pero las ecua
ciones resultantes son más complejas.
Para obtener las superficies de rotura se determinan las tensio-
nes sobre un plano cualquiera que vendrán expresadas en función de las
tensiones actuantes sobre los planos verticales y sobre planos parale-
los a la superficie del talud ( es decir, el equilibrio se establecería
sobre un elemento definido por un plano vertical , otro paralelo al ta-
lud y otro formando un ángulo oC con la superficie del terreno).
Para unos ejes oblicuos como los indicados en la figura 2.9., -
Frontard ha obtenido (integrando la expresión de Resal ) la ecuación -
diferencial de estas curvas de expresión:
Z- C COS >.� cos(2o<-.0)
Cy cos G sen ¿ - sen 0 cos (2cC - L t 0�)
de ella se obtiene:
X = 2 c cos pí �y cos �!t ps t cos(2�c - f �J dKd' Wo 3e, -se/-7 � cos(7oC-crf1�J
Para su integración Frontard hizo:
_ sei7 G t sen p5 C - íd )Í9?2 sen t - sen
f9�� - 2 J
Con esta sustitución queda:
X=C.cos� •Íg
r
¿(xc/osLtcos� serio -/�cosL -cos�scni(>
(1 Ser? i -f ) Set7(!-OJ ser7(!fQi)
40
Z
C- cotg
4
c b 3
c
2 etg (45°- 1/2)
Z2c•t9(45°+#/2)
- 2c.tg (45°- 0/2 )
(45°+0/2)-Estado activo Estado osivo
tq (45°+0/2) /tracciones 2c•t
fNnOatónr ció lo ensión diróprinc1 m or
pri11 al yor
AF` -6 =Z. -7H 41., {E-V 6h °
v 1Z•>í • tg2(45°-0/2)- 2'c• tg(45°-�/2) 2- d tg�(450/2)+2c•tg(45 +�/2)
Fig. 2.B.- Estados activo y nasívo de I': ti í.t;c c;. un ,er.íes>acío definido
nor una suner. ficie plana horizent 1 , +t terreno cohesivo
41
30°i = 40° 450+-
290°'
Í>�
a
M 1
�+ 1
N yO Nu 1
o 1V
u lb
V v
Fig. 2.9 Curvas de deslizamiento en el estado activo,
para un terreno definido por un semíc-;pac:io
con superficie plana , formando un áns2,ulo de
40 ° con la horizontal, en un terreno con iin
ángulo de rozamiento interno de 30°. También
se indican las curvas que resultarían para -
otros casos.
42
i = O
i -0
30060°
45°+
Fig. 2.9 ( continuación )
43
L7_ C. cos 1q C ser. sen�"-S6) sen(�'f�?l) ser;, * cos C cos�7/��sen(1-O)sen(irO) fgc J
donde es el valor de para x = y = 0, que corresponde a un án-
gulo
La curva de rotura en el estado activo de Rankine cuya ecuación -se ha dado más arriba es de la familia de las cicloides (es una cicloi-de pura en el caso de 4 = o).
En la figura 2.9. reproducimos las correspondientes a 0 = 30°,
i = 40°. Hasta una profundidad de:
Z _ z. = ?` ./9(5°t 01lY,
es una zona de tracciones.
Según Frontard la curva de rotura se compone de dos ramas de ci-
cloide, con la tangente común paralela al talud y a una profundidad:
Z c cos qS(Y cos l sen(e'-O)
Así pues, el espesor critico en talud en el que se producirán deslizamientos viene dado por la expresión:
C cos tóZT sen (/-�}
44
SENTIDO FISICO DEL METODO DE RANKINE
El método y conclusiones de Resal más arriba estudiados adquieren
especial interés al analizar espesores críticos según vimos antes. En co
rrimientos de tierras que afectan a un espesor más 6 menos profundo y -
paralelos al talud ( un caso típico es el deslizamiento de arcillas sobre
otras superficies más duras ). Para un talud en estas condiciones con i
el deslizamiento no se producirá ( suponemos el talud natural es el de -
equilibrio estable , hipótesis que no sería válida si existieran presio-
nes neutras o sobrecargas aplicadas en la superficie del talud).
Para i > 0 y según sean i, c, 0 y CY habrá que calcular tanto -
la altura Zc
sometida a tracciones , como el espesor critico para que se
produzcan deslizamientos
4, (G5°t q5)
c c COSOCC•iá semi 0)
Más adelante trataremos de los casos en que puede emplearse este -
método , de la interpretación y confianza de los resultados , y en fin de
todos los conocimientos que precisamos tener para la correcta explota-
ción de este procedimiento.
Aplicación de este método
46
HIPOTESIS LIMITATIVAS DEL METODO
Ya en la introducción del estudio teórico de este método del talud
indefinido, se han indicado sus características fundamentales derivadas
de sus condiciones de homogeneidad en profundidad así como la exigencia
del paralelismo de los distintos estratos del suelo, supuesto este cons-
tituido por una serie de capas, tal y como más adelante tratamos. Sin -
embargo, para clarificar el campo de aplicación de este método de cálcu-
lo, es necesario analizar los distintos casos reales donde podría utili-
zarse, investigando en cada uno de ellos su adaptación al modelo teórico
del método, así como las limitaciones de las hipótesis simplificadoras -
introducidas.
En primer lugar destaca el caracter indefinido del talud que, obviamente, no se corresponde, de forma estricta, con la realidad. En casi ningún caso puede aceptarse la existencia de una pendiente indefinida cuyos
parámetros característicos se extienden en profundidad sin cambio alguno.
Pero en muchos casos una columna litológica compuesta por diferen-
tes estratos de características similares puede sustituirse, a efectos -
geotécnicos, por un único estrato ideal cuyos parámetros característicos
correspondan a un valor promedio debidamente ponderado a partir de los -
valores reales de cada estrato.
En este caso pueden extrapolarse las condiciones reales y someter -el caso a un estudio teórico admitiendo la hipótesis de talud ilimitado.
La segunda hipótesis impuesta en el desarrollo teórico del método
es el paralelismo entre el frente del talud y las superficies de discon-
tinuidad que definen los distintos estratos. En el estudio teórico se ha
deducido la existencia de una línea asint6tica a la curva de rotura, pa-
ralela al frente del talud que define el espesor critico del estrato (ideal
6 real) en funcí6n del cual pueden establecerse posteriormente los crite-
rios de estabilidad.
47
Como es lógico, la viabilidad de aplicación del método, que desa-
rrolla el estudio de estabilidad en función de la situación de dicha li-
nea asintótíca con respecto a la del estrato duro base de la estructura
rocosa, exige el paralelismo entre ambos, puesto que, en caso contrario,
se entrarla en otros métodos de cálculo que corresponden a otras hipóte-
sis de partida, con otras variables y condiciones, que se estudian en -
otros puntos del presente proyecto.
Estas son, en esencia, las particularidades más significativas de
este método de cálculo que, a pesar de imponer ciertas condiciones res-
trictivas, no suponen un gran obstáculo para su aplícación práctica.
CAMPO DE APLICACION
La aplicación del modelo de talud indefinido a cualquier caso prác
tico que se plantee, exige, logícamente, la previa aceptación de las hi-
pótesis antes consideradas.
Sin embargo, como cualquier otra especialidad de la Geotecnía, el
estudio de estabilidad de taludes, no se ajusta, en la mayor parte de los
casos, a límites rígidos y claramente definidos que permitan asignar a -
cada estructura rocosa considerada, un solo modelo matemático de cálculo.
Esto obliga a adoptar soluciones de compromiso, en función del de-
talle que se pretenda obtener en el estudio, que se concretan en adaptar,
en la medida de lo posible, las condiciones reales que se presentan, a -
las características teóricas de los distintos métodos de cálculo que pue
dan tener ciertas similitudes con el caso que se estudia.
La adopción posterior de un adecuado criterio de estabilidad permi
tiró definir la geometría del talud, asumiendo responsablemente los po-
sibles riesgos calculados que la decisión lleva consigo.
En este sentido, el método del talud indefinido, que no permite -
48
asegurar categoricamente la estabilidad de una pendiente, puede resul-
tar muy útil en determinados casos prácticos como los que se comentan
a continuacíón.
Una de las configuraciones geométricas que corresponden fielmente
al modelo teórico de este método es la representada en la Figura 2.10
que consiste en la existencia de un liso 6 superficie dura sobre la que
descansa un determinado espesor de tierras sueltas. Si este supera el -
espesor crítico definido en el estudio teórico puede haber deslizamiento.
Naturalmente, tando la descarga de la pendiente con labores de
desmonte, al crear zonas de debilidad, como su carga con labores de te-
rraplenado, por sobrecargar zonas, pueden facilitar el desequilibrio --
del conjunto.
Se ha supuesto la presencia de un liso resistente que constituye -
la discontinuidad estructural necesaria para que se produzca el desliza
miento.
Conviene aclarar que dicha discontinuidad puede aparecer claramen
te definida (rellenos incoherentes sobre formaciones rocosas consolida-
das) 6 puede corresponder a otros horizontes estructurales menos claros
que sin embargo, a los efectos que se consideran, pueden ser igualmente
nefastos.
Esto podría explicar otro tipo de rotura en taludes que correspon
den a corrimientos de tierras más 6 menos lentos que se agrupan bajo el
nombre genérico de reptaciones.
La forma de rotura, así como el proceso de la misma, parece tener
muchos puntos en común con el modelo geométrico adoptado en este método
de cálculo, lo que aconseja la aplícacíón del mismo en aquellos casos -
en que se presuman deslizamientos de este tipo.
49
TER RAPLEN
SUPERFICIEDE
ROTURA
DESMONTE
ESTRATO BLANDO ESTRATO DURO
Fig. 2.10 Esquema de deslizamiento según el método de talud
indefinido favorecido por la sobre carga debida a-
un terraplen y la zona de debilidad originada por
un desmonte.
50
Finalmente existe otro campo de aplicación que, sin corresponder
estrictamente a la determinación de las condiciones de estabilidad de -un talud, aporta sin duda datos muy valiosos para la correcta aplicaciónde otros métodos: el estudio de las alturas de las grietas de tracción.
En el estudio teórico que precede a estos epígrafes se indica laexistencia, en la curva de rotura, de una zona sometida a tracciones enla que el terreno, sí los esfuerzos aumentan suficientemente, puede romper a tracción abriéndose, por tanto, la correspondiente grieta cuya -presencia, segun se puede comprobar en otros métodos de cálculo, es al-tamente comprometedora para la estabilidad del talud, especialmente cuando se da en ella presencia de agua.
La presencia de la grieta de tracción es facílmente detectable por
una simple inspección visual, existiendo, por otra parte, procedimientos
matemáticos más 6 menos empíricos que permiten su localización; sin embar
go, el conocimiento de la altura de la misma , absolutamente necesario pa-
ra determinar las presiones de agua que se generan así como la inclina-
ción de los planos de rotura en los métodos de deslizamiento plano, es -
más dificil de determinar por lo que el cálculo de la altura de terreno
sometida a tracción, simplifica notablemente el problema.
Estos son, fundamentalmente, los campos de aplicación más frecuen-
tes del método del talud indefinido, pero, insistiendo nuevamente en los
principios expresados en las primeras lineas de este epígrafe, los limi-
tes de aplicación deben considerarse extremadamente flexibles; por tanto
cada caso requiere un estudio particular que puede concluir en la conve-
níencía de su tratamiento por este método.
METODOLOGIA DE APLICACION Y DISCUSION DE RESULTADOS
En este punto se pretende explicar razonadamente el proceso de apli
caci6n del método para el caso de un estrato duro paralelo al frente del-
talud, recubierto por otro estrato blando , de manera que exista una super
51
ficie de discontinuidad , así como la interpretación de los resultados -que se obtienen.
El método del talud indefinido no obtiene una expresión matemáticaque permita deducir un coeficiente de seguridad , sino que concluye en unanálisis de la estabilidad del talud en función del ángulo de inclinacióndel mismo y el angulo de rozamiento interno del terreno.
Los distintos casos que se pueden dar, representados en la figura -
2.11 son los siguientes:
a) < . 0 (Figura 2.11-a)
Si la inclinación del talud es menor que el ángulo de rozamien-
to interno del terreno , en principio el talud es siempre estable.
Conviene hace notar , sin embargo, que la existencia de una zona
sometida a tracciones puede favorecer la apertura de grietas cu-
yo efecto, fundamentalmente si se llenan de agua, puede provocar
la ruina de la estructura ya que, en la grieta, desaparecería -
la componente resistente del terreno.
Este problema, que se advierte aquí , puede presentarse tambíén -
en cualquier otro caso , por lo que hay que tenerlo siempre en -
cuenta.
b� O C C < !5°t (Figura 2.11-b)
Si la ínclinacíón del talud se mueve en este entorno , la estabi-
lidad del mismo requiere que el espesor del estrato blando sea -
menor que el espesor crítico deducido en el estudio teórico del
método , cuya expresión es:
C-osCr sen �i'-�)
52
45° + P/2
Zcb
E C coaEc c 1 &en(i-
r 1 - -2ccf9(45+0/2
ESTRATO DURO
Ct9 (45 +0/2)
2
ESTRATOEc tg ( aS+QS/2)coai
1�2
Zc
DURO
LJ.-
Fig, 2.11 Distintos casos de tierras recubriéndo un liso en i`unciórt
de la inclinación del talud.
53
En definitiva , teniendo en cuenta el sentido matemático de dicho
espesor crítico , la superficie de discontinuidad entre estratos
debe cortar a la linea de rotura.
c) l.15°f ¿ 90° (Figura 2.11-c)
En este caso el espesor a considerar es el de la zona sometida -
a tracciones.
Esta altura se expresa, en dirección vertical, por:
Si se considera el espesor en dirección normal al frente del ta-
lud, bastará proyectar la expresión anterior sobre dicha direc-
ción:
�_ .2c f9�Gs°f)cosé
Sí el espesor real del estrato blando es superior a este valor,
el terreno puede verse sometido a tracciones superiores a su ca-
pacidad resistente y, por tanto, romper.
Sin embargo , en este caso, no se puede asegurar la estabilidad -
del talud de forma absoluta aunque el espesor real. sea inferior
al valor antes calculado.
Estos análisis de estabilidad en función de la inclinación del talud
podrían completarse con la consideración de las alturas críticas de los -
mismos ; sin embargo algunas discrepancias en los resultados obtenidos por
distintos investigadores parecen indicar cierto confusionismo en el tema
por lo que su considerací6n, probablemente , no permitiría llegar a resul-
tados suficientemente coherentes.
54
ALTURA CRITICA EN TALUDES VERTICALES. INESTABILIDAD POR GRIETAS DE -
TRACCION .
Acabamos de estudiar el método del talud indefinido. Para este es-
tudio partiríamos de una masa semi-infinita sobre la que aplícabamos las
ecuaciones.
Vamos ahora a realizar un paso importante y es el de suponer un -
talud en esa masa. Realmente las condiciones del terreno en el caso de -
un plano vertical y un talud vertical no son las mismas . En un talud ver
tícal con una superficie de deslizamiento, la parte de terreno situada -
.por encima de esa superficie de deslizamiento se encuentra en estado de
equilibrio elástico, motivo por el que la superficie de deslizamiento no
suele ser plana sino algo curvada.
Para obtener la altura crítica de un talud vertical podemos emplear
los resultados de Rankine. En efecto, sí admitimos que el terreno situado
en la proximidad del frente del talud se encuentra en el estado activo de
Rankine, sabemos que (Figura 2.8) la fuerza horizontal total sobre una -
sección vertical a una profundidad Z , medida desde la superficie hacia
La distribución de presiones en la cara vertical ya la vimos en la
figura 2.8.
La fuerza Fh se hace cero para:
55
Así pues, para un talud de altura superior al valor de
antes calculado, el empuje total sobre una sección vertical es mayor que
cero, siendo por tanto inestable, produciendose el deslizamiento según -
un plano que forma un ángulo de 45°+ 0/2 con la horizontal pasa por el -
pié del talud.
Sabemos que si el suelo se encuentra en el estado activo de Ranki-
ne la parte superior está sometida a tracciones, alcanzando esa zona des
de la superficie hasta una profundidad 2c
Estas tracciones crean en la parte superior del talud unas grietas
de tracción, colaborando a su desarrollo la presencia de agua, así como
las posibles heladas.
Estableciendo el equilibrio de la cuña deslizante ABCD de la figu-
ra 2.12. para un talud de altura H obtenemos:
Esta ecuación determina la altura crítica de un talud con una grie
ta de tracción de profundidad h, suponiendo que la falla sucede según un
plano que forma 45°+ 0/2 con la horizontal. Bajo condiciones normales la
profundidad de la grieta no sobrepasa la mitad de la altura del talud -
(TERZAGUI (1956 )). Si hacemos
2
y sustituimos en la ecuación anterior obtenemos la altura máxima
que puede tener un talud debilitado por una zona traccionada:
56
D c
HCri B
45°t ♦6/2
A
Fig. 2.12 Altura crítica en función de la profundidad
de la grieta de tracción.
57
3 N,� = 2, 667. . �ofy (US
De esto deducimos que si la altura de un talud no excede a
el talud será estable indefinidamente, siempre y cuando no se varien sus
condiciones de estabilidad.
Partiendo de los resultados de Rankine, puede demostrarse que la -
falla del terreno por falta de capacidad portante en la base del talud -
se produce cuando la altura sea superior a , y cuando esto su-
ceda el talud ya habría fallado por deslizamiento del propio talud.
2.3.2.- Metodo del deslizamiento plano .
ESTUDIO TEORICO
Origen é hipotesís fundamental.
Método de Culmann.
Método de Taylor.
Estudio del deslizamiento plano con grieta de tracción.
Análisis de la estabilidad con grieta de tracción.
Abacos de Hock y Bray para el deslizamiento plano con -
grieta de tracción.
Determinación de la grieta de tracción.
Estudio de taludes con corte en el pié.
PROGRAMA DE ORDENADOR
Descripción general del programa.
Datos de entrada.
Resultado.
LISTADO DEL PROGRAMA
EJEMPLO DE CALCULO
Datos de entrada.
Cálculos realizados manualmente.
Cálculos realizados con ordenador.
Interpretación de los resultados obtenidos con el pro-
grama de ordenador . Coeficiente de seguridad del talud.
APLICACION PRACTICA DEL METODO
Validez del método del deslizamiento plano.
Definición del talud para aplicar este método.
Validez del método para taludes muy escarpados.
Estudio teórico
60
ORIGEN E HIPOTESIS FUNDAMENTAL
Dentro de los métodos clásicos, este es sin ninguna duda el que másse ha empleado. Su aparato matemático es muy simple y los resultados quede él se obtienen en determinados casos son muy buenos.
Ideado por Culmann (KERISEL (1973)) y publicado en 1866, es tra-
tado con bastante detalle por CASTIÑEIRAS (1924), ENTRECANALES (1941),
DAVIDIAN (1955) y TAYLOR (1960), así como por otros muchos autores en -
trabajos que iremos citando en estas lineas.
La hipótesis fundamental de éste procedimiento es suponer que la -
rotura se produce según un plano que pasa por el píé del talud (Figura -
2.13.).
Actualmente este es un procedimiento poco 6 nada empleado pues su
campo de validez es muy reducido, y aún dentro de este campo los resul-
tados deben ser analizados con gran detalle y así lo haremos cuando en-
tremos en la discusión de métodos. Pero aún así es un método que nos in
teresa , ya que encaja perfectamente en el proposito de este estudio, -
pues se pretende definir la exactitud que daría la aplicación de estos
métodos sencillos comparados con otros más complejos.
Realmente el suponer la rotura como un proceso en dos dimensiones y
además el admitir que esa superficie de deslizamiento sea un plano son -
dos importantes hipotesis. En efecto, la rotura plana de un talud está -
limitada en longitud como se indica en la figura 2.14. Al considerar la
sección transversal (Figura 2.13.) suponemos que su longitud es la uni-
dad. Realmente los bordes del deslizamiento introducen notables modifi-
caciones, de manera que al analizar secciones proximas a las mismas, la
pertubaci6n puede ser notable, pero en este estudio supondremos una lon
gitud igual a la unidad, sin prestar atencí6n a estas condiciones de -
contorno.
61
A �' � �i .'fue
piono de deslizomiento
Fig. 2.13 Método de Culmann
�� III)�,\I I
Fig. 2.14 - Representación esquemática de los efectos de borde considerados
62
METODO DE CULMANN
Supongamos que el talud de la figura 2.15 tenga como línea de ro-
tura la recta AB. Admitiendo en una primera aproximación la inexisten-
cia de presiones neutras, las fuerzas actuantes sobre la masa deslizan-
te son:
W = Peso total.
W=2 -P� •QB
donde tenemos:
P� = PB s 'i ( - �� = H cosGG scn �t- y)
sustituyendo el valor de PPl en la expresión de W queda.
W= Ó' N cosc i • sen
N ' = Resultante de las presiones efectivas 6 intergranulares que
actuan en AB.
T = Resultante de las fuerzas tangenciales que actuan en AB,
suma de las de cohesión y rozamiento , Tc y T�. Si admití
mos el criterio de rotura de Coulomb es:
Si c y 0 son constantes podemos poner:
R�=c.LIB R�=/V
De R solo sabemos que es normal a N' y que esta aplicada en el mismo -
punto que ésta.
63
(N'+TO)P A
W
4e
CI
Ires, j
Fig. 2 . 15 Construcciones gráficas del método de Culmann . Análisis de las
fuerzas que afectan al equilibrio.
64
Conocidas todas éstas fuerzas podemos establecer las condiciones
de equilibrio. En efecto, proyectando según la dirección del plano de -
deslizamiento (Figura 2.15.) es:
W5e,75 - c. AS N'tLy7
siendo:
,fió = A/ • cose Y'
/"/'w W/. cos
El coeficiente de seguridad F, es el cociente entre las fuerzas -
resistentes capaz de desarrollar el terreno y las fuerzas que tienden -
a producir el deslizamiento:
f z c.,43 f //•W Se/7 y9
Al variar en esta expresión el valor de Y , obtenemos los corres-
pondientes valores de F, siendo el mínimo de ellos el coeficiente de se-
guridad buscado.
Más adelante trataremos este método como un caso particular del -
de deslizamiento plano con grieta de tracción, y daremos un programa de
ordenador para obtener el coeficiente de seguridad.
METODO DE TAYLOR
TAYLOR (1960) se plantea el método de Culmann con ídenticas hipo-
tesis, obteniendo unas expresiones que lo hacen muy útil para trabajar
manualmente utilizando una simple calculadora. No vamos a entrar en de-
talles, solo expondremos los resultados obtenidos por éste autor (pueden
verse tambien en la casi totalidad de los textos que traten el tema de -
65
estabilidad de taludes).
El método resuelve el problema por tanteos . Consideramos un valor
cualquiera del coeficiente sea F�. Esto nos permite obtener 0' según:
tq O'_ ty
Hemos visto que para un angulo de deslizamiento , se obtiene -
un valor del coeficiente de seguridad. Se demuestra fatalmente que el
ángulo crítico �jl i corresponde a la expresión:
l, _ % t o/2
y la cohesión correspondiente a este estado crítico es:
C'a Y. /y cos (2 -09Lc • sea G • c05 95 '
Con el valor así obtenido de C' puede deducirse Fc
pues:
Así pues , para cada valor tomado de F, obtenemos otro de Fc que
nos permite dibujar la curva Fp Fc de la figura 2.16, siendo el coefi
ciente de seguridad aquel valor tal que:
En la figura 2.17 dibujamos un ábaco que permite obtener
para valores de 0' desde 0 a 50 ° y con valores de i entre 10 y 90°
66
F¢
F" Fc` F�
Fe
Fió. 2.16 Construcción gráfica para la obtención del coeí:ic:.iente de
seguridad
RBR(t! DEL MEraDO DE TRYLOR PRRR IPLUDES CCw SUPERFICIE DE DESLIZAMIENTO PLANA
/AUTORES FERNANDO Y .JDSE MARIA HACAR, MIGUEL rERNRNoEz-aLLn 7.
/fçIçI(Iç.
,ír,,í(((7/
í( (í( / 7 / r / /í'íir' íí('/7
í
4
/ (( í///f77///
t tí / 1t ¡ / Ii2 ±
77ç/ çfí ,t/(// ¡/EJEM P10
PH!' 20°
¡Pi-,' c'ig •0,01
_ççr -- ,- Ç "
' ç / - 1 / Fig. 2.17 Abaco para Li obtencín del-1" - - 1,
.eø � 1- i- t- - i- t- h 1- 1- - i- i- i- s--- i- i- ,- - - i- F F i- 1- - - - i- fr - - 1- i- F F F i- r numero do os hiJidiJ scGn-9 1
Tavior.
68
ESTUDIO DEL DESLIZAMIENTO PLANO CON GRIETA DE TRACCION
Acabamos de estudiar la rotura de un talud segán una superficie
de deslizamiento plana. Veíamos que esa superficie quedaba definida por
el ángulo y por la condición de pasar por el pié del talud (ver Fi-
gura 2.13).
Vamos a introducir una complicación adicional ; consideremos que -
se produce una grieta de tracción en el talud. Como más tarde veremos -
este procedimiento es un caso más general que el anterior, de forma que
aquel queda incluido dentro de este.
Al producirse deformaciones en un talud, comienza una rotura pro-
gresiva pudiendo alcanzarse la resistencia a tracción del material del
talud y producirse la rotura . E l analizar la resistencia a tracción en
el análisis de taludes en suelos como factor favorable a su estabilidad
no suele hacerse , prescindiendo de considerar su efecto. Esto nos deja
del lado de la seguridad , y además suele carecer de importancia, pues -
los valores son normalmente muy bajos.
La rotura de un talud por esfuerzo cortante comienza en el pié del
talud y va ascendiendo hacia arriba . En la figura 2.18 (tomados del tra-
bajo de DUNCAN , DUNLOP ( 1969)) reproducimos las curvas 7---- �•N
para varios taludes, suponiendo un solido de comportamiento lineal elás-
tico. Se observa en estas figuras como los esfuerzos son máximos en el -
píé del talud , de manera que en esta zona se producirá un aumento de la
deformación sin aumento de los esfuerzos cortantes , pasando del valor de
resistencia de pico al residual , no siendo entonces válidos los gráficos
antes dados. Este fenómeno de la rotura comenzado por el pié del talud -
ha sido estudiado con modelos reducidos ( centrífugos ) por Ter - Stepanían
(ver JIMENEZ, JUSTO, SERRANO (1976)).
Así pues, la rotura se va transmitiendo desde el pié del talud ha-
Superficie original0 0.05
Superficie original 005e
\ o 0 0.05 0
0.10
0.15 020
0.300.20 60 " .
OSH 070 04\0.50
025 0600.30
ISN
040
so0.7
M 20--05H O 0511 H 1. 5H 20.
015 1 0 ..
0.20 o Distancia desde el pie0.25 0.30
0Superficie 905original 010
214 0.15-05H 0 O.SH H
.. �...�.._«._--.__._
Distancia desde el pie 020 015O.SN
02S 010
0 30
040050
005 00
M C
S 2f,oe Q10 ooriginal
01s07
0.20 °
O.SH c L5N0.2 5
a.030
0.40 2N050OSx 0 O.SN x
,70 Distancia desde el pie
H0 05H H
Distancia desde el pie
oCasos correspondientes a arcillas 0.05
Superficie 0.10normalmente consolidadas. original
0.15
0.20
0.15 0.100.5H a
0.25 ó
Casos correspondientes a 0.30 0
arcillas fuertemente so- 0.40
bre consolidadas 0600.so1.30
0 0.5 H H
Distancio desde el pie
Fig. 2.18 Corte vertical de un talud en un terreno de comportamiento línial,elástico , is6tropo , con expresión de los contornos de Yay��-�/
70
cía arriba hasta alcanzar un punto M, que por suponer su resistencia a
tracción dará como resultado la aparición de la grieta de tracción. Esta
grieta se propagará hacia abajo hasta encontrar en A a la linea de rotu-
ra (Figura 2.19).
El estudio con grietas de tracción es tratado con detalle por va-rios autores, entre ellos por HOEK (1970) y HOEK, BRAY (1977).
Seguidamente vamos a exponer el estudio teórico con detalle para -poder abordar con facilidad el cálculo de un talud con este método y pro
ceder a elaborar un programa para ordenador.
En un análisis inicial comenzaremos por distinguir la situación de
un talud y la grieta de tracción. Pueden suceder los siguientes casos:
- el talud no tiene grieta de tracción.
- la grieta de tracción se encuentra en el vértice superior del talud.
la grieta de tracción está en el talud.
la grieta de tracción está sobre la superficie del talud.
En el caso concreto del talud que estemos estudiando sucederá una -
de estas cuatro situaciones, y para cualquier análisis será preciso cono-
cer previamente de cual se trata. Más adelante veremos como se puede pro-
ceder para el caso de no conocer la situación de la grieta de tracción.
De momento solo nos ocuparemos de los últimos casos, y veremos como
los dos primeros son casos particulares de éstos. En la figura 2.20 se in-
dican ambas posiciones, así como la notación empleada:
* H = altura del talud.
* i = angulo de inclinación del talud.
* Ó = peso especifico de las tierras.
* = angulo de rozamiento interno de las tierras.
* c = cohesión de las tierras.
* b = distancia del vértice superior del talud a la grieta de tracción.
71
M/
grieta de Irocción
H
superficie de deslizamiento
Fig. 2.19 Esquema de formación de l.a grieta de trae i n .
ñMrietodetroi6nJ,
Caso A) Grieta de tracci6ii en la superficie del talud
b grieto de tracc,6n grieto de tracción________Mr (____- jç. I(
Casu i) Grieta de traccior sobre la superticie del talud
Fig. 2.20 Posibles posiciones del an1isis con netas de rracci6n.
73
h = profundidad de la grieta de tracción ( observese que en ambos
casos se mide referida a la parte superior del talud).
h1= altura de la grieta de tracción.
* Óo = peso especifico del agua.
hw altura alcanzada por el agua en la grieta de tracción.
V y U = fuerza resultante de las presiones ejercidas por el agua en
la grieta de tracción y plano de deslizamiento respectiva-
mente.
Los datos de entrada para resolver el problema serán los señalados
con un asterisco (*), es decir, H, i, (Y , 01, c, b, (o
ANALISIS DE LA ESTABILIDAD CON GRIETA DE TRACCION
La forma de trabajo para el análisis con grieta de tracción y des-
lizamiento plano consiste en un procedimiento similar al empleado por -
Culmann. Tomamos arbitrariamente un plano de deslizamiento Y) y averigua
mos el coeficiente de seguridad del talud suponiendo que la rotura se -
produzca por ese plano . Esta operación se repite para otro Y, , obtenien
do su correspondiente coeficiente de seguridad . El mínimo valor de estos
coeficientes es el coeficiente de seguridad del talud.
Así pues , vamos a estudiar como obtener el coeficiente de seguridad
correspondiente a un plano Y .
Para un•b-dado supondremos que la grieta de tracción tiene una altu-
ra hl tal que siempre corte el plano P que se ensaye . Esta hipotesís da-
rá resultados que habrá que analizar con cuidado , pues aunque la grieta -
de tracción sea causada por la rotura a tracción , su profundidad no puede
considerarse ilimitada y por lo tanto no siempre tendrá que cortar al -
plano Y" ensayado. Mas tarde veremos algunas características de la pro-
fundidad y situación de esta grieta de rotura.
Para una determinada grieta de tracción (definida por b, puesto que
74
h viene determinada en función de b y YJ por la hipótesis hecha en el
párrafo anterior ), pueden hacerse los siguientes análisis:
- suponer que el agua entra tanto en la grieta de tracción como -
en el plano de deslizamiento , alcanzándose en la grieta diferen
tes alturas hW
- suponer que el agua entra solo en la grieta de tracción (no en
el plano de deslizamiento), alcanzando diferentes alturas hW -
(Figura 2.23).
- suponer un talud seco.
Otro análisis que se deberá realizar es el del caso de un talud sin
grieta de tracción , tal y como lo hace Culmann.
Para un mismo talud deberán considerarse todos estos casos y anal¡
zar e interpretar los resultados con detenimiento , para dar en cada uno
el sentido físico que corresponde.
ABACOS DE HOEK Y BRAY PARA EL DESLIZAMIENTO PLANO CON GRIETA DE TRACCION
HOEK, BRAY (1977) han elaborado unos interesantes ábacos que permi-
ten obtener de forma rápida el coeficiente de seguridad para un 50 deter
minado.
Hemos creído conveniente reproducirlos ya que proporcionar un arma
muy comoda para obtener una solución rápida con suficiente aproximación.
Vamos a describir detalladamente la base teóríca para su realización y -
empleo , pues ésto además, nos permitirá pasar sin mas detalle a la des-
cripción del programa de ordenador que hemos elaborado para el estudio -
de taludes según este procedimiento de deslizamiento plano.
1° caso general
En la figura 2.21. se dibuja un talud tanto con grieta de tracción en
M
/ - -'
h
r
iN/ _h,,
hIV
__-.
H
/Ç' 1/
A' Z ,
o w 1tIP 4NX
JfNY
B ''B
Caso A) Caso li)
Fiz. 2.21 Fuerzas actuantes en las masas deslizantes para las dos posibles situaciones de la grieto de tracci5n.
76
el mismo como con grieta de tracción sobre la superficie , casos que he-
mos llamado A y B. En ambos suponemos que el agua entra en la grieta de
tracción , alcanzando una altura hW; as¡ mismo admitimos que tambíen pene
tra por la superficie de deslizamiento drenando perfectamente en el pié
del talud ( punto B).
Con estas hipótesis puede dibujarse el diagrama de presiones, obte
niendo U y V:
V- . ,�
Las fuerzas resistentes que actuan en la superficie de deslizamíen
lo son -T y TO
T = c. 4B
W. -U-Vse,7iv)•L9O7-
siendo
43
En el caso de grieta en el talud ( caso A) es;
�- 2 .�.W�. �1- ���t9� •(cofy fgc- f>
si la grieta está sobre la superficie del talud ( caso B) es;
2
77
El coeficiente de seguridad F se define como la razón entre las -
fuerzas resistentes al deslizamiento y aquell s que tienden a provocarlo,
esto es:
W5en S`> + Wcos y,
Hock y Bray sustituyen los términos Te y T� antes calculados obte
niendo F en funci6n de los parámetros adímensionales P, Q, R y S, de la
siguiente forma:
F (2 %NJP + (Q.ctg�-R(Pts))tgo
Q # Q • s • c<,757
donde
(1-h//..,i)•cosecYI
Cuando la grieta de tracción está en el talud:
cuando la grieta se encuentra sobre la superficie del talud:
irí- -1h/H)�. co79 - c4 .C�. s rlr
c� h N
A N
Estos parámetros se encuentran representados en los gráficos de -
las figuras 2.2.2a y 2.Z2 b.
78
6.0
a)
5.0
4.0
P3.0
2.0 h/H
0
0.2
--75
0 10 .20 30 0 50 60 70 80 90W
t.0
0.9
0.8nw
h H
S 0.6
.0.750.5
0.4 0.5
0.3-10 -1
-- .250.2
0.10 --
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Fig. 2.22 Parámetros adimensionales a emplear en las fórmulas de
Fi,,,. 2.23 Diferentes alturas de agua hW que se han considerado
81
2°Caso de talud seco
En este caso hW = 0, por lo que U = V = 0 quedando la expresión:
YH
3°Caso de agua solo en la grieta de tracción
Este se obtendrá haciendo U = 0 en el caso general, resultando:
f4 S•�ot9�
DETERMINACION DE LA GRIETA DE TRACCION
En el estudio que acabamos de exponer suponiamos que la grieta de
tracción estaba dada, es decir, con la distancia b, obtendríamos-h-en -
función de b, � , i.
Cuando la grieta de tracción sea desconocida es necesario deter-
minar la posición más probable en que aparecerá.
Para obtener la superficie de deslizamiento crítica, es decir, -
aquella cuyo F sea mínimo , calcularemos c7F/� , que igualado a cero
dá Para un talud seco es:
donde
De igual modo la situación de la grieta se obtendrá haciendo
y c�F�C1 iguales a cero. En el caso de talud seco es:
82
drae�y = (eofq C eof9 > /- en�9
En la figura 2.24 se representan los gráficos obtenidos con éstas
expresiones.
Cuando tratemos de la comparación de métodos volveremos a insis-
tir en este importante aspecto de determinación de la grieta de tracción.
Veremos también como tratar el método del talud indefinido con el fin -
de obtener esa grieta, la cual nos permitirá entrar en los cálculos con
un valor prefijado. Por el momento, solo deseamos indicar que la profun
didad de la grieta rara vez supera a la mitad de la altura del talud.
ESTUDIO DE TALUDES CON CORTE EN EL PIE
En lo que hemos visto anteriormente considerabamos un talud con -
geometría sencilla (ver Figura 2.20), homogenéo é ísótropo, y además su
poniamos válida la relación de Coulomb como expresión de la tensión tan
gencial máxima capaz de desarrollar el terreno.
En muchas ocasiones encontramos que el pié del talud esta corta-do, quedando con una geometría como la indicada en la figura 2.25. Estasituación se presenta con cierta frecuencia en taludes en terreno muy -meteorizado , o puede ser provocado artificialmente.
El análisis de éste caso es muy parecido al que hemos desarrolla-
do antes ( análisis con grieta de tracción) obteniendo que el coeficientede seguridad puede ser expresado empleando las mismas relaciones, esto -es:
bcri / H
830 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
o
loh h
20
10I
's )1 " �. _
30'20 H
440
60 \50
70 --60 -
80 70
90..-
1.0 90
0.9
0.8 89
0.7
0.6 85hCfl/Fl
0.5 80
0.470
0,3 60 --50
0.2 40
10 2030
01 -10 20 30 40 50 60 70 8o 90
y
Fig. 2.24 Distancia b y profundidad h de la grieta de tracción crítica para
talud seco.
84
grieta de tracción
71
h"
h= h1
H
H
plano de deslizamiento
/I
I'i WA
Fig. 2 .25 Estudios de taludes c�,ou Hl 1 ert el. pié.
i
857� 7o
Wsen 5D -f l-Vcos
pero modificando la expresión de W, siendo:
tv,/_ /7,j2 ). ca7y%J-(-�- �•cc�t t /rr F.�rj �
Respecto a la grieta de tracción , haciendo un análisis análogo -
al hecho anteriormente , obtendríamos que para un talud seco la profun-
didad crítica de la grieta ( es decir , aquella que hace que el coeficien
te de seguridad del talud sea mínimo) es:
C . co s¢
O - C"09 w SC'f7 �... --(f
donde la superficie crítica viene definida por:
siendo:
Programa de ordenador
87
DESCRIPCION GENERAL DEL PROGRAMA
Hemos desarrollado un programa de ordenador para el cálculo del -
coeficiente de seguridad , en el caso de un talud en que exista grieta -
de tracción y la rotura se produzca según una superficie plana. El lis-
tado se adjunta al final de este apartado ; esta escrito en lenguaje BASIC
y adaptado a un ordenador de masa Hewlett Packard.
Para la elaboración del mismo se han seguido las bases teóricas -
expuestas en la teoría general , por lo que haremos una expresión muy -
breve.
En las figuras 2.26 a y 2 . 26 b se dibuja un talud con las dos po-
siciones posibles de la grieta de traccíón, indicando en ambos casos la
geometría y fuerzas que interesan para el estudio de la masa deslizante.
Respecto a la geometría es importante destacar que-b -irá afectado de un
signo + 6 - según la grieta de tracción se encuentre sobre ( Figura "-.26h)
6 en la superficie del talud ( Figura 2.26 a). Respecto a las fuerzas -
actuantes ya se obtuvieron sus expresiones ; digamos además que en este -
estudio se ha supuesto el peso especifico del agua X,= 1,00 li,/m3
En el caso general , el coeficiente de seguridad viene expresado -
por:
70W set $ -t Veas iu
Con este programa se pueden estudiar los siguientes casos:
A) Talud con grieta de tracción en la superficie del talud 6 sobre
la superficie del mismo . Estos dos casos se indican en las figu-
ras 2 . 2.6 . Además cada uno de estos casos puede analizarse con:
1 hH- (H cotg ¡ +b).tg
r h + b. tg ¡
,r /
________
4:.i/
4 /Tc
í ,/'
-
ti
/
- -
Caso A) Crieta de ra 'c i n en la super tic le ci e.l t a tuci
Fig. 2.2 Anal isis de 1 ertahil idad de un talud con .rieta de tracciin
��Lt`•�r1'- �w. � :,r�� í`'` ter,
ti
h°H (H.cotgi+b!''9tG
whw_h5.h l /5
V
H
ao-hw
Tc
(H-n ; Cos�c t
x
Cas ;) Grieta de traccicn sobre la superficie del talud.
Fig. ?.?6 (COntlntlaci n)
90
A.a) Talud seco.
A.b) Talud en el que el agua penetre en la grieta de tracción a -diversas alturas.
A.c) Talud con agua (a diversas alturas) solo en la grieta de trac-
ción, no en el plano de deslizamiento.
B) Talud sin grieta de tracción. Este caso puede analizarse bien -
con éste programa 6 bien con la sencilla expresión de Taylor, y
utilizando el ábaco que elaboramos para su empleo.
DATOS DE ENTRADA
A la vista del listado adjunto, el empleo del programa no tiene -
complicaci6n alguna. Los datos de entrada tal y como aparecen en el lis
tado son (ver Figura 2 .26a y 2.26b);
- COHESION, C, Ton/M2 ......................... c
- ANGULO DE ROZAMIENTO, PHI ................... 0
- ANGULO DEL TALUD, 1 ......................... i (Llamado buzamiento
en los datos de salida)
- ALTURA DEL TALUD, H ......................... 11
- DISTANCIA DE LA GRIETA DE TRACCION, +/-B .... +, - h
- El signo + 6 - se tomará según la grieta este sobre 6 en la
superficie del talud, como ya se ha dicho.
- Cuando la grieta coíncída justamente con el vértice superior
del talud se hará b = 0.
- Si se desea hacer un análisis sin grieta de tracción dar ab un valor positivo lo más alto posible, por ejemplo 9,9.1099m.
- DENSIDAD, GAMMA (Ton/M3) .................... Ó
- INCREMENTO DE PSI ...........................ASU
91
- En el programa se calcula el coeficiente de seguridad -para diferentes planos de deslizamiento, ensayandose des
de 0° a Yti ¿ tomados en progresión arítmé
tica de razón d y)
- Sí unicamente deseamos investigar un plano de deslizamien
to particular haremos d �/ = 0 , y entonces pasamos di-
rectamente al estudio del plano en cuestión.
0 = AGUA SOLO EN GRIETA DE TRACCION.
- En este dato se decide si queremos análisis con agua soloen la grieta de tracción (se pulsará el 0) ó agua con -grieta y en plano de deslizamiento (se pulsará el 1).
VALOR SINGULAR PSI ..........................Sv
- Este caso aparecerá si hemos hecho d 0 , es decir,
sí solo deseamos investigar un plano de deslizamiento -
particular.
RESULTADO
En cualquier caso el resultado se expresa en 6 columnas correspon-
dientes a las 6 condiciones de agua (desde n=O a n=5, es decir, desde -
talud seco a talud con la grieta de tracción totalmente llena de agua),
para cada valor de
El análisis del listado de salida del ordenador, hemos considerado
que seria mas interesante comentarlo al final del ejemplo que veremos -
mas adelante. En ese análisis daremos la interpretación fisica de este -
programa y la forma de definir el resultado único.
Listado del programa
l ,.!{ f ���;i• iiri ! L. C; LI;_ I 11f l_'.,,I,, .il..; i!tl.l i .1 ,,'� tE..t'I t..I�liPI.E..lil'a 1 ;. .E. cl,-ai�fli'A Ilii Ilii ��. i ;:� ,j .'I C•,� , 'I ,ill
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455 tIE:7r F54' I_i !F74741 =Ir
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t,511 TiI1ri_I_1 í T•.r.r:ti FE t1�{ .t.1
-i.� f9¡'.. ,.-!� i,'-.E1. I - 9F670 r•l.I .:. ,...H,.,_E' r; l;t.> .-_..il• ¡:� ;:.IJIS¡.I ,. 1.I680 FI=uF'tifiT690 E- 1 I Y : t ' 1 ¡ - :. F,- 1^ ... 0 ; 51` 1:_..71113 HE;;T t1''
11) tI I Tr_ i::.. ... F I C I. FL? i Fr.. ;, E E =E 1 El f 1
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751i :11 F' ' I I I. lJ E: I t l1. L t I ; Ii M PU: V u
7913 i ÍIT[.800 RFE'l E-FIí;Fr M M 1'IRF•IA FFE'HFIUI Íi W1C',F' t'1 ''E:.:I.. `111. ¡l
Ejemplo de cálculo
95
DATOS DE ENTRADA
En el siguiente ejemplo vamos a obtener el coeficiente de seguri-
dad de un talud empleando las expresiones teorícas anteriores , utilizan
do los ábacos de Hoek y Bray , y por último utilizando el programa de -
ordenador que vimos antes.
Sea el talud de la figura 2.27 en el que la grieta de tracción se
encuentra sobre la superficie del talud (caso B) y sea:
Cohesión, c = 2,50 T/m2
Angulo rozamiento inte rno , 0 = 32,00°
Angulo del talud, i = 75°
Altura , H = 50,00 m.
Distancia de la grieta de tracción , b = 25,00 m.
Densidad , ÓO = 2,80 T/m3
En el caso de que la grieta de tracción esté sobre la superficie -
del talud sabemos que h = h1 (ver la Figura 2.20). Por la geometria del
talud es inmediato demostrar que:
Sustituyendo para nuestro caso es:
1i=fi, = 25,O6 f ru7.
Estudiaremos el talud suponiendo que el agua alcanza las alturas -
15 0 í 10.1;) (60.7) '12117) (11. 11:)l ( 1) (.I7) 1 .519) (0-(111, i
r ll,n�n1.1;! -'t II -{75 0—^,-,(1.222)
10(1-1) (:31,).1.4 34 0.(11 1.11.1;2.)
"Podo; lo,' ) 0 t;G.X (I.1 lValot'cs- .1
.Los ntin�n,. entro parí•ntesi , son los valores para 1- circulo. nsis 1..'lo'''
a Ir•rv� a L: l.u , i u.tndu exi,ta w, circulo toas peligroso. m t' pa>r drbaju dc{ pis:
Un vaor cntico ,r profundidad infinita.
Fig. 2.40 Notación empleada y definición del círculo crítico.
1.30
tando n negativo ( no situándose su centro en la vertical del pun-
to medio del talud).
Si el plano de estrato duro está a la altura del pié del talud -
resultará que D = 1, viniendo representado este caso por la li-
nea a trazos cortos de la figura 2.37 correspondientes a 0 = 0°,
D = 1.
Existe una limitacidh de n pero no de la profundidad (n limita-
do, D ¡limitado).
Taylor limitó su estudio al caso en que n = 0, por lo que todos -
los círculos serán de pié (ver figura 2.39). Al no haber limitación de
D estamos en los casos a y b antes vistos , esto es , el número de esta-
bilidad vendrá dado por el ábaco de Taylor por la línea continua 0 = 0
en las zonas A y B de la figura 2.37.
Existe una limitación tanto de n como de la profundidad (n y D
limitados).
Igual que en el anterior, Taylor sólo estudió el caso de n = 0,
esto es , los círculos serían de pié profundos tangentes al estrato du-
ro y su número de estabilidad vendrá dado por las lineas a trazos de la
figura 2.38.
CIRCULO CRITICO Y ABACO EN UN TERREO CON 0 # 0
Acabamos de ver las ecuaciones y la utilización de los ábacos para
investigar la estabilídad de un talud en un terreno puramente cohesivo,
es decir , con ángulo de rozamiento interno igual a cero.
El caso más general de un terreno que resista tanto por cohesión
como por rozamiento, se plantea y resuelve de forma similar al caso que
acabamos de ver. En efecto, en el caso de 0 = 0 obtuvimos que la cohesión
131
necesaria ccrí para asegurar la estabilidad del talud de altura H y -
densidad de las tierras ó , venia dada en función de i, , y 6 (ver
la notación en la figura 2.35); si 0 # 0 trabajando de igual modo lle-
garíamos a obtener ccri
como una función de las variables anteriores y
además de 0, es decir, sería:
y de igual modo a como hacíamos en el caso de Ql = 0, si í, ó- y e son
datos, la altura crítica del talud viene dada por:
Felleníus demostró el teorema que lleva su nombre. Dice este teo-
rema que un talud en un terreno con 0 = 0 y c = constante, definido por
dos planos horizontales, tendrá como círculo crítico profundo aquél que
tenga su centro en la vertical del punto medio del talud y radio máxi-
mo, o si el talud es irregular, su centro estará en la vertical de su
abcisa media. La demostración de este teorema se obtiene después de -
simples consideraciones geométricas, pudiendo encontrarse en JIMENEZ,
MOLINA, CASTILLO (1974).
El teorema de Fellenius antes citado nos ha permitido afirmar, -
que en el caso de 0 = 0 los centros de los círculos profundos se encuen
tran en la vertical del punto medio del talud.
Como ampliación del teorema de Fellenius para el caso de ser 0 � 0,
puede demostrarse que los centros de los círculos críticos de desliza-
miento estarán en el lado del deslizamiento del talud de una linea, lugar
geométrico de los centros de los círculos de rozamiento de radio R sen 01
que son tangentes a la vertical del punto medio del talud, esto es, los
centros de los círculos críticos estarán en la zona rayada de la figu-
ra 2.41. Sí los círculos son profundos los centros estarán en ese lugar
132
H/2
Fig. 2 .41 Lugar geométrico de los centros ele 1.o:;
círculos críticos.
133
geométrico, es decir, los círculos de rozamiento serán tangentes a la -
vertical en el punto medio del talud.
Para el caso que ahora nos ocupa de 0 � 0 analizaremos el ábacode la figura 2.37.
A) Para valores de i y 0 situados en la zona A del gráfico, los
circulos serán superficiales de pié, los números de estabilidad en ca-
da caso se obtienen sin problemas. Observamos que para 0 mayor de 24°
el círculo es siempre superficial de pié.
B) En la gráfica de 0 = 5° y en la de 0 = 10° vemos que tienen un
tramo continuo y otro a trazos largos (correspondiendo el limite a i =
33° e i = 16° respectívamente ), así como la de 0 = 15° y 0 = 20°la -
tienen continua. Los valores correspondientes a los tramos continuos,
los círculos críticos serán profundos de pié (por lo que se deduce que
para 0 mayor de 15° los círculos son profundos de pié).
C) En la gráfica correspondiente a 0 = 5°vemos como debajo de la
linea a trazos largos existe un tramo continuo. El tramo continuo re-
presenta los círculos peores profundos de pié, que no son críticos, -
siendo los críticos los profundos representados en la gráfica a trazos
largos.
Como puede apreciarse la diferencia en el número de estabilidadentre considerar el peor profundo de pié (linea continua) 6 el críti-co (que es profundo y representado por la linea a trazos largos) es -pequeña, y además el considerar el crítico nos deja del lado de la se-guridad, motivo por el que para 0 = 5° seguiremos empleando la linea -continua.
En todos estos casos, el considerar que no hay limitación de n -está del lado de la seguridad , y ademas el número de estabilidad difie
re poco.
134
D) Si hay limitación de n, ya hemos visto que si no consideramos
esta limitación estaremos del lado de la seguridad.
Si hay limitación de la profundidad por un estrato duro podemos
decir que es favorable , quedando del lado de la seguridad si no lo con
sideramos , es decir , si suponemos que D es ilimitado . De todos modos,
en el caso de i = 15°y 0 = 5° y 10°con D=1 puede considerarse. Sí D > 1
el caso se aproxima mucho al de D =00
Es muy importante señalar que el considerar limitaciones de n y
D cuando no se sepa con certeza que así es , nos deja del lado de la -
inseguridad , por lo que si se tuvieran dudas a este respecto se consi-
deraría n y D ilimitadas.
Abacos de Hoek y Bray
136
INTRODUCCION
En el libro de HOEK, BRAY (1.977), figuran unos interesantes ábacos
para el cálculo de un talud caso de producirse el deslizamiento según un
círculo, y suponiendo una distribución de tensiones normales en la super
fície de deslizamiento que dá el menor valor del coeficiente (le seguri-
dad. Como sabemos esa distribución corresponde a suponer que la fuerza
normal resultante está aplicada en un punto.
fiemos considerado de gran interés hacer una breve referencia del
trabajo de estos autores, pues a diferencia del trabajo ya citado de -
Taylor, Hoek y Bray han obtenido unos ábacos, de utilización muy sencí
lla, y que suministran un interesante caudal de información,
CONDICIONES HID RÁULICAS DEL TALUD
Para el estudio del talud se supone el nivelfmz.ático conocido, -
admitiendo que ese nivel coincide con la superficie del talud a una -
distancia X medida como se indica en la figura 2.42, y expresada en -
múltiplos de la altura H del talud. La geometria del. nivelfrer"itico se
obtiene según la ecuación de Casagrande.
En este trabajo se supone que el círculo de deslizamiento pasa por
el pié del talud, y que existe una grieta de tracción, que es aquella que
hace mínimo el coeficiente de seguridad del talud.
Para obtener el coeficiente de seguridad del talud, lo primero que
tenemos que hacer es comparar la situación real de nuestro talud con -
una de las 5 que se indican en la figura 2.43. Estos casos abarcan desde
el caso de un talud sin presiones neutras hasta el de un talud totalmen-
te inundado, con un régimen definido de filtraciones.
137
a) nivel íreático
h Lineas equiporencíales
lineas de corriente
circulo de deslizamiento
angulo del talud
Superficie de recarga debido alluvias persistentes
grieta ele tracción
circulo de deslizamiento
Fig. 2. 42 Definición de la red de flujo en el terreno.
a) Caso general de talud con una determina -
da red de flujo
b) Caso del talud saturado sometido a una red
de filtrací6n como consecuencia de la ac--
ción de lluvias persistentes.
CONDICIONES HIDRAULICAS DEL TALUD CASO NUMERO
2
3
4
0 0 . v o
Fig. 2.43 Diferentes situaciones hidráulica:; del talud
estuclíado.
Caso 1) Talud compl etariente d rc±ui(1c,
Caso 2) Dístacía x igual a 8 vc(•(:; la al¿ura del. talud
Caso 3) Dístancía x igual a 4 veces la altura del talud
Caso 4) Distancia x igual a 2 veces la al Cura del talud
Caso 5) Talud saturado supuestas .1.1uvias persistentes
139
ABACOS PARA LA OBTENCION DEL COEFICIENTE DE SEGURIDAD
Una vez definido el caso que nos ocupa según 1 . a figura2 .4 3 entra-
mos en el correspondiente ábaco de la figura 2.44. Como (-, c y
son datos calculamos
c
Entrando con este valor en el correspondiente gráfico de la figu-
ra 2.44 (habrá que buscarlo en la linea circular exterior de dicho ába-
co) y trazando la línea radial desde el origen del ábaco al punto antes
obtenido , donde esa línea corta a la curva correspondiente al ángulo del
talud nos dará t9 ojF ó % NF según nos interese.
ABACOS PARA LA OBTENCION DE LA GRIETA DE TRACCION Y DEL CIRCULO CRITICO
Para la ubtenci6n de la grieta y círculo de deslir:nniento crí�ícus,
es decir, aquellos que hacen el coeficiente de seguridad igual a 1, Hoek
y Bray han elaborado unos interesantes ábacos de fácil utilización.
En caso de talud perfectamente drenado los resultados se indican
en la figura 2.45. Si el talud está sometido a un régimen de filtracio-
nes, la posicí5n del círculo y grieta de tracción varía poco con las -
variaciones del régimen hidráulico , motivo por el que sólo se tia repre
sentado un gráfico , correspondiente al caso 3° , que se indica en la fi
tivos por los que prescindimos de su demostración.
165
Ecuación paramétrica de la cicloide ( Figura 2.54):
X= r(�) -sen YJ) y_ r (!-cos 9)
Radio de curvatura R en un punto:
R_ 2(Zry)'z
El angulo formado por la normal en un punto con la vertical. traza-
da por ese punto es ( Figura 2.55):
�y�t = cofac� 2
APLICACION AL ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE TALUDES
Supongamos que en una sección transversal de un talud la linea de -
rotura pueda asimilarse a una cicloide ( Figura 2.56 ), cuya ecuación en -
parametricas se vi6 en el epigrafe anterior . Las razones que permiten su-
poner este tipo de rotura son idénticas a las que se indican al tratar de
la espiral logarítmica.
Para simplificar los cálculos y para llegar a expresiones sencillas
vamos a suponer un talud vertical , en un terreno homogéneo e is6tropo, así
como también admitiremos la condición de rotura de Coulomb . Por la exposi-
ción que veremos a continuación podrían admitirse hipótesis más generales,
pero no es propósito del estudio de este método pues como veremos los re-
sultados son muy parecidos a los obtenidos suponiendo la linea de rotura -
circular.
Siendo la ecuación de la cicloide:
X=r(�-sen5d,y r
166
Y
I I
P
Fig. 2.54. Curva cic1oid .
cicloidek =r ( W-sen y)
Y =r(1-c0s y)
tg,u=cot
normal
vertical
Fig. 2.55.- Determinación de la normal y tangencial a la rirlo icde.
167
dKo x
y
curva cicloide "a''
Y
Fig. 2.56.- Rebanada elemental de un talud vertical con rac. l iarci�ntc
segun una cicloide.
16 8
Y,,/-C el angulo formado por la normal con la vertical:
�)¿g/ - co{y2
Considerando un elemento vertical de anchura dx (Figura 3), su -
peso es:
dW_�-y �lX . cY r2 �1cosSv)2 lSv
Si suponemos que las fuerzas actuantes sobre la rebanada son exclu
sivamente las debidas a su propio peso , es decir, ni existen presiones -
neutras ni fuerzas de ningún tipo sobre las caras laterales verticales -
de la rebanada (cuando tratemos de la discusión de este método veremos -
con mayor detalle el significado y efectos que conllevan las hipótesis -
citadas), los esfuerzos normal y tangencial 6- y , en la superficie
de deslizamiento son:
Q _ dlX/ cos /Lc�L
= 1W se/1
siendo:
Z5�IA . colcJ „ sen�! = c ?s c05 c[ = s�i� �!�
dl . � x dy2) iz _ 2 r / / _205 Y ) �-�o
169
resulta después de sustituir estas expresiones en las de más arriba:
2 CY r .sen 4Y)
CJ= 2 �. / sen3_ñ ccs2
Por otro lado sabemos que la máxima tensión tangencíal capaz de -
movilizar el terreno viene dada al haber admitido el criterio de rotura
de Coulomb por:
c -Y- O' • Ly c t 2. d" r -scn'2 . f9 O
Estaremos en la situación limite cuando la tensión tangencial que -
se desarrolle sea igual a la máxima capaz de movilizar el terreno y que -
viene dada por la expresión anterior, esto es, cuando:
2 tYr.se�2 cos2 = ct?.r.r. se,49'.Í9�
despejado r tenemos:
2 Ó•[ se�73SV co.5`f sea �w.�r�y/2 2
Por otro lado, de la ecuación de la cicloide se tiene:
/- cos 5)
Igualando estas dos ecuaciones obtenemos la altura del talud nece-
saria para que los esfuerzos tangencíales desarrollados y máximos capaz
de mobilizar el terreno sean iguales, as¡ es:
y= c 1
seny cos2 - sel712 �9�
170
Esta altura es mínima para valores de Y iguales a:
=97 -0
valor que introducido en la anterior nos dá la altura critica del talud:
2 c
de manera que para taludes verticales con mayor altura se produciría la -
rotura puesto que ha sido obtenida igualando las tensiones tangenciales -
a la dada por la expresión de Coulomb.
Con esta altura y el angulo crítico es inmediato obtener el radio -
de giro de la circunferencia que genera la cicloide critica:
y también pueden obtenerse las tensiones tangenciales desarrolladas y la
máxima capaz de movilizar según:
2 Ó" �;t sen32 �rn ns2
L' . C s �..C sPnb�.í9� _ �•�1� l• ser'f°n�rÍ
2
Así pues hemos obtenido en función del ángulo girado por la cicloide,
en función del ángulo de rozamiento 0, de la cohesión c y del peso -
especifico , dos expresiones que nos permiten obtener ' y Por
171
otro lado hemos demostrado que la altura y el ángulo de giro critico Al_¿y Y«t pueden ser obtenidos en función exclusivamente de 0, y con estoveíamos que en esa cicloide crítica se obtenía Y y P .
Si estamos estudiando un talud de altura H inferior o igual al -valor de Hcri puede obtenerse el angulo de la cicloide a partirde su ecuación:
y=rI/ cose /{..�cccn_s/1- '�
sustituyendo el valor antes obtenido de
a�c. cos 1 - l1 se�� ��
Entrando con este valor de 7�{ en los dos últimos expresiones dey podremos obtener el coeficiente de seguridad , pues por defi-
nición:
��_
cos o . (1- sen S) r9 . yf 1,
Y l1'(/f sEn�J sP.n3 7J{ - ccs <�{2 2
En la tabla de la figura 2.57 damos algunos valores de esta función.
Anteriormente se ha indicado que, para talud vertical, una alturasuperior a la crítica ( Hcrí ) , lo haría inestable.
Si se pretende mantener la altura del talud, será necesario inclinar-lo un determinado ángulo crítico icri que se obtiene , en función de la al-tura que se pretende, mediante la expresión:
172
Angule de rozamien t o interno0° 10° 13` 20` 75° 30 35` 40 45
Fin?. 2.58.- Distintos casos de estabi l i.dad de un talud rl >;c:
rotura por una superficie cicloide.
[ata queda definida mediante r en funci�,u c!clTalud vertical T: su altura coincide con l:, I! unl uier
talud de altura inferior a la suya es eStfl;i
Talud vertical T : su altura es H L H L 2r Inc'>.tni tcSi se quiere mantener la altura es nece ario t( nci rl„ fas-ta un ángulo i cri, pasando su frente de AB a AC.
Talud vertical T?: su altura es 1 > 2r lncsC:i�i No esc r �.posible estabilizarlo manteniendo 11 yuc ��ar<tcualquier inclinación su frente cortaría a la uicloído P.
Por tanto el talud será estable con ,y = /Om. inclinación
de 78°.
3) Caso 3°
a) Datos de partida:
Los mismos que en el caso 1°, pero con altura H = 5 0 m.
b) Altura crítica del talud:
La misma que en el caso anterior
Hcri = 6,72343
c) Dado que N > y«t el talud es inestable. Para poder
estabilizarlo, manteniendo la altura , debe de cumplirse:
Sin embargo Z _97,631 `_SD
Por tanto , si se mantiene la altura , el talud es siempre
INESTABLE.
180
2.3.6. Métodos de análisis por equilibrio de rebanadas
ESTUDIO TEORICO
Aspectos generales.
METODOS APROXIMADOS
Método de Fellenius
Híp6tesis fundamental de Fellenius. Métodos aproxima-
dos y exactos.
Método de Bishop modificado.
Programa de ordenador del método de Bishop
Validez del método de Fellenius y Bishop
Cálculo sin ordenador de un talud por el método de -
Felleníus y por el método de Bishop
Método de Janbú
METODOS EXACTOS
Aspectos generales de los métodos exactos.
Método en el que la línea de deslizamiento se confun-
de con la línea de acción de las fuerzas entre reba-
nadas.
Método de Morgenstern-Price
Método de Spencer para deslizamientos circulares.
Resultados de Spencer para fuerzas R. paralelas.
Generalización del método de Spencer para desliza-
mientos no circulares. Programa de cálculo.
Ejemplo de aplicación del método de Spencer.
LISTADO DEL PROGRAMA DE SPENCER
COMPARACION DE LOS METODOS EXACTOS
ABACOS NOTABLES BASADOS EN LOS METODOS DE REBANADAS
Aspectos generales.
Abacos de Bishop.
Abacos para el estudio de rellenos a media ladera.
Abacos de Pilot y Moreau.
Otros casos estudiados.
Estudio teórico
183
ASPECTOS GENERALES
Hemos visto al principio de nuestro estudio un esquema geneneral'y muy
simplificado de los diferentes métodos de cálculo de estabilidad de ta-
ludes. Observando esa clasificación, vemos que los métodos de la fajas
6 rebanadas ocupan un importante lugar.
La historia de estos procedimientos data de 1.912 en Suecit.Ante -
los frecuentes problemas que ofrecían los taludes de los ferrocrnrríl.es-
suecos, se decidió nombrar una Comisión que se encargaría de investigar
los métodos de cálculo que permitieran una correcta construcción de esos
taludes, así como definirían el coeficiente de seguridad de los mimos.
Fruto de los trabajos de esa Comisión serían los estudios de PELLENF
US,PETTERSON y otros, que más tarde veremos.
Dentro de lo que se entiende por método de las fajas, existen varios
tipos, con hipótesis diferentes, como luego veremos, pero la caracterís -
tica común es que el análisis de la estabilidad que se realiza no es de
toda la masa deslizante sino de una serie de rebandas en que se divide----
esa masa, sí bién se cumple el equilibrio de toda ella,Lste aspecto gene-
ral a todos éstos métodos, que citamos sin más detalle, lo veremos con --
precísién en la descripción particular de cada procedimiento, en cuya --
descripción supondremos algunos conocimientos básicos de los mismo;;.
Otro aspecto notable de éstos métodos es que permiten fácilmente el -
análisis de taludes de materiales no homogénos, cuestión ésta de gran in-
terés y que además se incluye en el cálculo con gran facilidad, como po--
drá verse.
Métodos aproximados
185
METODO DE FELLENIUS
Por las razones mencionadas en la introducción,éste método también.
se conoce como el Método Sueco.
Ateniéndonos al planteamiento original de FELLENIUS (1.936 ), si -
suponemos que el arco circular AB, de radio R,es el de rotura del talud
(figura 2.60), esto es, suponemos que la masa deslizante es APBA , si
dividimos en fajas verticales ésta masa, podemos estudiar el equilibrio
de talud analizando el de éstas fajas.
En efecto,sobre una rebanada de las 9 en que hemos dividido el talud
que por simplificar supondremos en principio de igual anchura,actuará el
siguiente sistema de fuerzas (figura 2.61.a).
WW= Peso de la rebanada, que será el volumen por -
la densidad seca 6 saturada según las condi.cio
nes del talud.
U14= Resultante de la presión neutra en la base de -
la rebanada, que puede calcularse a partir de la
red de corriente ( queremos señalar que el méto-
do original de Fellenius , no considera presiones
neutras ).
U,; ,U, ,1= Resultante de la presión neutra en las caras ver-
ticales derecha é izquierda respectivamente ( de-
cimos lo mismo que en el caso anterior. ).
r
B
0
superficie de rcluro circulcrR
A
¡lb
Píg:. 2.60 División de la in sn deesl.izante en 9 rebanada:;.
187Q) 0 1
�\ 1
Ti,v
Ni,v
wi /Uv;
N.
i
Ui,v_1
Ti,bTi,y -1
A¡
Ui, b
\
\ \Ni,b
\ \\ \
iib
ui,v_1N¡
Ui,v
Ni,b wj
Fig. 2.61 Estudio de las fuerzas que afectan al equilibrio deuna rebanada.
L88
N6= Resultante de las presiones efectivas normales
en la base de la rebanada.
11,/ Resultante de las presiones efectivas normales
en las caras verticales, derecha é izquierda -
respectivamente.
7,_6 = Resultante de las tensiones tangenciales desa-
rrolladas en la base de la rebanada.
7- Tes, = Resultante de las tensiones tangencíales en las
caras verticales, derecha c izquierda respecti-
vamente.
Presentadas todas las fuerzas que afectan al equilibrio de la rebanada-
analicemos las que podemos determinar.
Para una filtración continua, con una red de flujo establecido, todas -
las fuerzas resultantes de las presiones neutras son perfectamente (onoci--
das,síendo normales a la superficie sobre la que actúan por ésto las fuer-
zas 1J¿,á U¡', y L/'; '_, son conocidas.
Para entender con mayor claridad los razonamientos relativos a las o-
tras fuerzas, vamos a introducir el sistema gráfico ideado por TAYLOR-----
(1.960 ) y que estudiamos en la figura 2.61.h. La rebanada en cuestí6n --
sometida a todas las fuerzas anteriormente señaladas , deberá estar en equi-
librio. Dibujando el polígono , comenzamos por trazar W vertical,
normal al círculo, normales a las caras verticales de La rebana-
da.
189
De las fuerzas en la base de la rebanada N 5 y 7 6 sabemos que
será normal al círculo y T b paralela a 41; D, (ver figura 2.61 a es decir
N�6 es perpendicular a 77,6 y el módulo de ésta es , admitifndo la sítua
cí6n límite de equilibrio de Coulomb:
76 =N1"6'f9�
siendo 0 y c el ángulo de rozamiento y la cohesión desarrollados, y que-
de momento no insistiremos en ello. Las resultantes de las fuerzas inter
granulares en las caras verticales de la rebanada dependerán del terreno
en cuestión, de su pasado geológico que habrá afectado las condiciones de
éstas fuerzas, es decir son indeterminadas, y sobre las mismas vamos a te
ner que realizar algunas hípútesís que son las que, como hemos dicho, --
van a caracterizar cada método . Si en la figura 2.61b suponemos que la -
resultante de /V,.'1
A , y T,,, 7. v_: es conocida ( tomada por ahora arbitra-
riamente , luego veremos específicamente estas fuerzas ), podremos termí-•-
nar de cerrar el polígono , pues desde el extremo de ( N;. T ) trazamos -
una recta paralela a , y por el erigen de vv,- una paralela a Ái Bj
( o normal a /V;5), obteniendo t/ y T,
Considerando el equilibrio de toda la masa deslizante , las fuerzas
[/,,,., son fuerzas interiores al sistema , por lo que su resul-
tante será cero y además darán momento nulo.
La fuerza Nbpasará por el centro 0 del círculo de deslizamiento que
estamos ensayando, por lo que sí tomamos momentos respecto al centro, el -
de ésta fuerza será cero.Así pues únicamente dan momento las fuerzas am i y
las fuerzas ?.,y viniendo expresadas por
Momento de las fuerzas \w'
n
sea o(� . W.� r . t R •21
190
siendo n el número de rebanadas y c el á ngulo formado por la tang., ent.e
en la base de la rebanada con la horizontal ( figura 2.60 ).
- Momento de la fuerza Ti ¿
n
ZI¿S31
9,0
El coeficiente de seguridad , expresado como el cociente entre los
momentos estabilizadores y aquellos que tienden a provocar el vuelcci,e.s:
s 17
sen o(, . W
y si 0 y c son constantes en la superficie de rotura es:
C. c1B t t`9 ¢ N<'
set o(, W,
191
Espresiones sobradámente conocidas y que figuran en todos los tex
tos, pero que hemos expuesto razonadamente porque nos van a permitir --
entrar con el máximo criterio en las diferentes hipótesis, que como re-
petidamente hemos dicho, son las que caracterizan a los diferentes m�-
todos de cálculo y que exponemos a continuación.
DIPOTESIS FUNDAMENTAL DE FELLENI US. METODOS APROXIMADOS Y EXAC'1`OS.-
Realmente el estudio del método de las rebanadas implica un análisis
más profundo de las fuerzas que actúan , con el propósito de investigar-
las incógnitas necesarias para establecer las tres ecuaciones de la -
estática de la rebanada . Así hemos trabajado y resumido el resultado -
como puede verse seguidamente:
a) Incógnitas para establecer el equilibrio de fuerzas ( figura 2.61a
-n incógnitas resultantes de los valores de N,6 en la base de Las -
rebanadas.
-1 íncógníta debida al desconocimiento del coeficiente de seguridad,
el cual nos permitiría determinar Tiben función de N'ib ,
lo que supone admitir un único coeficiente de seguridad en la su-
perficie de deslizamiento.
- (n-1) incógnitas de las fuerzas V, ,'v en los laterales de
las rebanadas ( observar que en la primera rebanada no existe /! _t)
- (n-1) ángulos formados por la resultante de N + T y de
b) Incógnitas para establecer el equilibrio de momentos
-n incógnitas que permitirían conocer el brazo de las fuerzas N;6
-(n-i) incógnitas que permitirían conocer el brazo de las fuer -
zas ^/";v
192
Podemos suprimir algunas incógnitas sí dividimos el talud en un
número suficiente de rebanadas verticales, así podremos suponer que-
el- brazo de las fuerzas N 5 en la base de la rebanada sea igual -
a dern , de éste modo lograremos suprimir ( n-1 ) incógnitas.
El númer., total de íncógnitas antes planteadas es de (5n-3), pero
con la consideracípn hecha en el párrafo anterior, pueden suprimirse -
(n-1), quedando por lo tanto un número de incógnitas de ( 4n-2).
Como existen 3 n ecuacior..3es de equilibrio, resulta que hay un exceso
de incógnitas igual (n-2) y para resolver el equilibrio del talud s.rí -
necesarío hacer ( n-2 ) hipótesis
Normalmente, las hipótesis para la resolución del problema cstíLteo
del equilibrio del talud dividido en rebanadas se hace sobre las fuerzas
laterales actuando en las caras verticales de la rebanada.
Los métodos exactos son los que hacen precisamente (n-2) hi.pótessi.s -
relativas a éstas fuerzas. Los métodos aproximados son los que hacen más
hipótesis de las necesarias, normalmente (n-1), motivo por el que al. ha-
ber más ecuaciones que incógnitas el equilíbrio no se satisface, no cum-
pliéndose alguna -de las ecuaciones de la estática, normalmente es la -
que expresa el equilibrio horizontal y en algunos casos tampoco se verí
fica la condición de momentos.
En este estudio no vamos a abordar la forma en eque deben hacerse --
esas hipótesis, pero queremos destacar que tienen ciertas limitaciones.
Así por ejemplo las fuerzas tangencíales a los lados de las rebanadas --
no pueden superar la resistencia al corte del terreno, las fuerzas 'fec-
tivas normales en los lados de las rebanadas deberan quedar a una distan
19
cia del círculo de deslizamiento de 1/3 a 1/2 de la altura de la rebanada
(MORGENSTERN, PRICE (1.965 ) ).
E1. método de Fellenius es uno de los métodos aproximados. ,u hipóte-
sis fundamental radica en admitir que para cualquier rebanda de aquellas
en que se ha dividido el talud, la resultante de las fuerzas en las caras
laterales son paralelas a la base de la rebanada, de manera que la compo-
nente en la díreccidn de la normal, a la superficie de deslizamiento de -
esa rebanada es nula.
Con esto, la expresión antes obtenida del coeficiente de seguridad, -
considerando ahora que:
N;6 =poscN' .W_ u<.¿
se transforma en ( admitiendo c y O constantes ):
n
Sen<_f
Los métodos de rebanadas , del que hemos visto el primero de ellos
el de Fellenius , además de distinguirse por el número de hipótesis que-
inicialmente se contemplan, podemos distinguirlos en aquellos cuya Solu-
ci6n es posible hacerla manualmente y aquellos que precisan de ordenado--
res más o menos potentes. Los métodos exactos son tediosos, precisan de—
ordenadores con gran capacidad pues son métodos reiterativos con expre-
194
siones poco convergentes , aunque ésta últíma conclusión debe tratarse
con más detalle, como lo haremos en la descripción de cada método.
Uno de los propósitos que nos habíamos planteado cuando íniciam(>s--
el presente trabajo, era poner a disposícíón de los que pudiéran tener-
interés una forma de cálculo de la estabilidad de taludes, que abarque -
desde los programas para grandes ordenadores, para medianos y por Ii.ltímo
ofrecer la posibilidad de que todos los métodos ( o por lo menos los; fun-
damentales ) pudieran ser aplicados manualmente , utilizando úni,.amerce -
calculadoras de bolsillo.
Con esta idea vamos a exponer las bases para proceder al cál-:ulo de un
--alud según éste método. No entraremos en un ejemplo numérico, pues -
éstos vienen desarrollados en los textos más frecuentes. Por su clara expo-
sición , recomendamos ver la obra de LAMBE, WHITMAN ( 1.976 ), en el que--
figura el cálculo de un talud con mucho detalle por diferentes métodos, y
que sin duda será entendido sin problemas.
Comenzaremos para la aplicación del método , por dibujar el talud a
una escala suficientemente grande para que las medidas que tomemos sobre
el mismo no tengan gran error. Con los ábacos de Taylor o con los. de Hoek
y Bray para deslizamiento circular ( ábacos y métodos que ya fueron co-
mentados en páginas anteriores ) podemos obtener el centro y rádío del -
primer círculo de deslizamiento, con el que comenzar los tanteos(esto es,
los círculos siguientes se ensayarán con centro y rádio cercanos a éste -
primero tanteado, y según sean los diferentes coeficientes de se};uri,.iaid -
los iremos modificando .para dar mayor convergencia al método.)
Las condiciones hidráulicas a que está sometido el talud nos van a -
permitir trazar la red de corriente, así como las líneas equihonten(i.al.es-
y con éstas líneas podemos obtener todas las fuerzas hidrodínámi_cas, como-
195
luego veremos ( para trazar estas redes pueden consultarse trabajos como
los de FORCHHEIMER ( 1.935 ), TAYLOR (1.960 ), HUGHES (1.970 ),I.ANDAU
LIFCHITZ (1.971 ) y muy especialmente JIMENEZ, JUSTO , SERRANO (1.976 )).
Así pues , en un primer gráfico dibujaremos el talud con el círculo de
deslizamiento inicial a tantear y la red de corriente ( figura 2.62
El paso siguiente consiste en dividir la masa deslizante ( cief.iuida -
por el círculo • y la superficie del talud ) en una serie de rebanadas vertí
cales (figura 2.63 ), que a ser posible y por comodidad , tomaremos d e i--
gual anchura ( aunque podemos tomarlos de cualquier ancho ). El número de
rebanadas a considerar no debe de ser muy pequeño, pues la exactitud del-
método podría ser discutible , como ya comentaremos en la descripción de -
métodos.
Para cada rebanada vamos a calcular su peso. Observemos que 1,t linea
de saturación ( esto es la línea de corriente superior ) divide a7 terreno en
dos partes; la situada bajo esa línea y la situada por encima Si Ja poros¡
dad del suelo es n y el grado de saturación es Sr ( para el terreno situado
bajo la línea de saturación será Sr= 10')%, y para el situado por eu,.:ima po-
drá estimarse Sr = 50 % 6 menor ) el peso específico del suelo serc`i:
= (i- n) • 5 -1- 7 • r7 dW
siendo �'s el peso específico de los sólidos y oww, el del agua . Así pues-
obtendremos un valor para el peso específico del terreno situado bajo la -
línea de saturación y otro para el situado sobre la misma.
Por lo tanto, de cada rebanda vamos a tener que obtener la altura media del
terreno bajo la línea de saturación y la altura media del situado s/ la mis-
ma, valores que multiplicados por el ancho de cada rebanada y por el corres
pondiente peso específico nos darán, para cada rebanada, los diferentes -
pesos, cuya suma es el de la rebanada.
1 `3(>
0
R
Circulo de deslizamiento ensayado
�� i � , I I t 1 i �
t I1 1 1 1 � I � ¡ I1 1
tLineas de corriente 1 1 j�r i
equipotenciales
Fig. 2.62 Red (le corriente y círculo de clesli.zamícnto en un t71 uc!.
137
o
1 2 lineo de corriente superior
34
4 5
hp(6 7 9diagrama de presiones
I � � ti I
hp
Fig. 2 .63 Determinación de presiones neutras y desconiposícií�n
del talud en rebanadas.
198
El diagrama de presiones de la figura 2.63, ha sido dibujado consideran-
do que la línea de corriente superior es la diferencia de altura de carga -
entre el punto considerado y el punto en que la equipotencial correspondien
te corta a ésta línea superior.Así pues, dibujado este diagrama ya podemos-
calcular las .'presiones neutras en la base de cada rebanada ; las -fuerzas -
que hemos llamado �<<6 serán iguales a la longitud del arco de la base de
la rebanada por la presión medía en dicho arco ( y que puede obtenerse mi --
diendo directamente en el diagrama).
Así pues, hasta ahora hemos obtenido para cada rebanada su peso y la re-
sultante de la presión neutra en la base, fuerzas que hemos llamado W y
en la expresión de F.
Para cada rebanada de las que hemos dividido el talud obtenemos el án-
gulooC¿( ver figura 2.60 ) por medida directa en el :dibujo de la figura 2.-
63. Si suponemos una cohesión variable en el arco de deslizamiento, pero-
constante en la base de cada rebanada, es inmediato obtener c.G<a
Así pues, para el caso general de terreno con cualquier tipo de estra -
tificaci6n y con cualquier red de corriente, podemos calcular el coeficiente
de seguridad para un círculo de deslizamiento previamente fijado.
Con el mismo centro pero con otro radio repetimos la misma operación. -
Así podremos llegar a obtener el coeficiente de seguridad mínimo para dicho
centro. Seguidamente repetimos los cálculos con otro centro y'diferentes ra-
dios, hasta obtener el mínimo correspondiente a éste nuevo centro.
De éste modo , podemos determinar el coeficiente de seguridad del talud
como el mínimo coeficiente de los obtenidos para los centros ensayados.
1 99
bi
0
Linea de acción de la resultante delas fuerzas laterales
Iwí
b
:1JUí,b
N1,b
Fig. 2.64 Estudio de las Euerzas que afectan al equilibrio
de una rebanada en la hipótesis desarrollada en-
el método de Bishop modificado.
200
METODO DE BISHOP MODIFICADO
De los métodos que hemos llamado aproximádos, el método de Bís-
hop ocupa un importante papel.
La idea original de éste método está desarrollada en el, traba-
jo de BISHOP (1.955 ), diferenciándose del método de Felleniuss an-
tes descrito, en las hipótesis de que la resultante de las fuerzas
que actuan en los laterales de cada rebanada, para Bíshop son ho-
rizontales.
Al igual que en el método de Fellenius la superficie de desliza
miento se supone circular.
Como vimos antes , la expresión general del coeficiente de segu
rídad para un talud dividido en rebanadas verticales es;
Cn
t.1
expresión también válida para el método de Bishop,desconocíendo -
únicamente N6
Según la hipótesis de Bishop, podemos establecer sin dificultad
el equilibrio de una rebanada, tal y como la indicada en la figura -
2.64. En efecto,para obtener Ní6 podemos establecer el equilibrio de
las fuerzas verticales
cos c< l
pero como:
201
ui b = ui b . Ali
pero de la definición de coeficiente de seguridad podemos poner:
Entrando con éste valor en la expresión de y posterior- -
mente en la F obtenemos:
sena; . lX/,'
donde:
¿yes . fg�t /, �.r.� _ pos �r,• . (� f
En la figura 2.65 aparece un ábaco para obtener facilmente cl va-
lor de
Vemos que para obtener el valor de ésta expresión necesitamos
conocer el de F. Así pues habrá que hacer varios tanteos prefijando
un valor de F , para obtener N> (o¿,) , valor que introducido en -
la exprésión del coeficiente de seguridad deberemos de obtener igual
al inicialmente prefijado, para lo cual tendremos que reiterar los -
cálculos modíficándo ese valor prefijado de F.
X02
ESTUDIO DE TALUDES EN CONDICIONES DE DRENAJE
Is
;,01,4 - -- - --
0,8
1,2ts 0,6
19(t,041,0 F
0
> 0,20,2
0,8
0tgo,
I0,6II , F
0,60,8
Ij1,0
0,4-40° -30° -20° -10° 0° 10° 20° 30° 40° 50° 60°
Valores de e(¡
Fig. 2 .65 Abaco para obtener ,?i(dj ) (le la C(srnu.ila c,e bi:,liop.
203
PROGRAMA DE ORDENADOR DEL METODO DE BISHOP------------------------------------------
Debido a la extensión del programa de ordenador y de las
salidas de resultados, este programa no se incluyo en el -
presente volumen, figurando en un anejo complementario.
Los interesados en su utilización podrán sol.ícitar un; -
copia del mismo en los archivos del Instituto Geol0},ico y -
Minero de España.
Junto con el programa figuran los resultados de varios ejon-
plos ensayados, ilustrativos de su aplicación y funcionariien
to.
204
VALIDEZ DEL METODO DE FELLENIUS Y BISHOP.
Los dos métodos aproximádos de uso más frecuente hasta I.a fle-
cha han sido el de Fellenius y el de Bíshop.
En el método de Fellenius se admite que para cualquier- reba-
nada , la resultante de las fuerzas en los casos laterales ron pr:-•
ralelas a la base de la rebanada . Para Bishop esa resultante es -
horizontal.
El número de híp6tesis que así se hacen sobredimensíorran el-
problema, motivo por el que el método no es exacto, no cumplir"n-
dose algunas de las ecuaciones de equilibrio.
De forma general el método de Bishop dá mejores resultados -
que el de Fellenius,resultados que ya había alcanzado BISHOP en
su trabajo de 1.955 .
En efecto , sirva como ejemplo los resultados de WHITMA\,BAYLHY
( 1.967 ) en cuatro ejemplos por ellos estudiados, comentarlos tam-
bién en TURNBULL ", HVORSLEV ( 1.967 ).cuyos resultados resurni?sos en
la figura 2.66, siendo en todos la profundidad de la grieta de Crac
ci6n de 1,6m . Los resultados obtenidos , comparados con el del mé-
todo exacto ( de Morgenstern-Price ), en el caso de Bíshop ; ué del-
6%. Algunos otros ejemplos desarrollados por el M.I.T . permiten a--
firmar que frecuentemente el error es menor del 7%, y usualmente -
del 2%.
La exactitud del método de Bishop es muy discutible en rase de-
ser '>¿< < O , lo que sucede en círculos profundos y en las -
proximidades al pié . Sucederá que el valor de M; ( -->� ¿ ) será negad
tívo para valores elevados de {g o'/,a- , o incluso será.
muy pequeño o cero para valores más altos de !g %-- . La -
2f)`i
Ejemplo 1. 3
Superficie de deslizamientoMTM
H6,10m0'= 32°C'= 0,44 T/m2Y = 2,00 T/m3
30 - -- -- 35°ñ = 2,05 T/m3
lo 33-Ejemplo 2. n 0 2,00T/m3
�'=20°-10 - C' =0,73 T/rn2
1í =1,76T/m20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
pies
30 350
?0 - --:r
10330
Ejemplo 3 .
0o°
10 400-2 0 Y , uM•Z = 1,46 T/m2
30 40 50 60 70 80 90 100110 120
pies
Fig. 2.66 Ejemlplos estudiados por Wl1 UA?J, 1BAi1,EY (1.9()7
200
indeterminación en este caso viene a la hora de ci>tener el valor
de /v.6 para éstas rebanadas situadas cerca del pi -
del talud, pues según sea el sentido de ésta fuerza así ser! el
de la resistencia tangencial en la bese (le la rebanada.
En la figura 2.67 se estudia el. ejemplo 3 de la figura: 2.66
Vemos la gran influencia que tiene en el coeficiente de .<:es �rid d
el considerar uno u otro sentido.
Por éste motivo suele aconsejarse un valor de
menor a 0,2. Cuando no suceda así deberemos de analizar los �enul-
tados con detenimiento, y aplicar otro mc-�todo que nos resuc:va -
cualquíer duda a éste respecto.
En el trabajo de BISHOP (1.955 ) se. ilustra , con un e jerni lco-
la ecactitud del método de Fellenius respecto al nátodo exe..te 1c-
Morgenstern- Príce, resultado que hemos tomado en la figura 2.08
Puede observarse como en cualquier creo el error en el. er.:p1 u �0 , ,!-
método de ili_shop es del 40 5 .litil izand, el. ejemplo 1 de la H;-,,ira
2.66 vemos como el. error disminuye al aumentar el ángulo r ntra1
--del arco ele deslizamiento, representando ésta disminución para -
talud seco en la figura 2.69, pudio•ndo deducirse que lui cauua -
error se encuentra en una infravaloración de para las pr:r
tes menos %nclínadas del arco de deslizamiento.
Respecto al error que puede inducir las diferentes condiciones
hidráulicas en el método de Fellenius, encontramos la explicación
en la ecuación de éste método, pues en caso de ser '! superior a ---
cos U saldría V, ,6 negativo, y el. error se incrementa al. aumeen
tar el número ele rebanadas sujetas a éste problema.
Con todo lo dicho se deduce que , en general., el método de -
Bishop dá resultados que mejor se adaptan a la realidad, siendo
no válido en algunos casos fácilmente determinables a priori.
201
301. W
0= 33
0
0-10
_;'; ¡:4d:.. •;'i. =i:
;I::::'." ru = u/ó Z = 1,46 T/m2-20°.ir•
F=O, 03 ! - jo
0
É á 0
có m
LF=0,B24
30 40 50 60 70 80 90 100 HO 120
pies
Fíg 2.67 1',studio de la exactitud del mt.odo de Bishoh.
1,0
0,9
0¡81 1 --0 20 40 60 80 100 100 120
Angula centro¡ del arco
t`i;,.. 2 . ( S L'je,mplo en e l que sa., c nnp:ir: e r.:üto<;u d I'. 1 ie iu:;
on el (!c Morgenstern - I'ri(•e�.
'09
c' = 1,71 T/rn2O'= 37,50
ó ? ó = 2,32 T/m3N •�dcr
a) banqueta de -drenaje de0,91 m. de espesor
Estrato duro 79,25rn >1
1,00
0,90
\OqF0,80
wCm 0,70
:valor e eW0,60
- _� -= 0,50
0,40 -IL0,8
0, 300 20 40 60 80 100 120
Angula central del orco
Fig. 2.69 Comparación entre el método de. Bishop y e] de
Atorgenstern - Price al variar c]. Angu10 Cc-11 -
tral del arco de deslizaníento para talud se-
210
CALCULO SIN ORDENADOR DE UN TALUD POR EL METODO DE FELLENIU S Y l'0R
EL METODO DE BISHOP
Para ilustrar de forma práctica el cálculo del coeficiente de -
segurídad de un talud por el método de Fellenius y por e] du Bishop,
nos liemos permitido transcribir un ejemplo desarrollado por Lambo y -
Whitman en la obra • antes citada.
En la figura 2.70 aparece el talud ejemplo con su red de corrien
te como puede observarse se trata de un talud con una capa para drena-
je en las proxímídades del pié del talud, y se ha procedido a calcular
el coeficiente de seguridad correspondiente al centro indicado ,- con -
un radio de 9 m.
La masa de terreno se ha dividido en 9 rebanadas de anchura de-
sigual para ilustrar con mayor claridad la aplicación del método.
Los cálculos en cualquiera de los dos métodos se comienzan obte-
niendo el peso del terreno de cada rebanada , para lo cual hemos supue s
to un peso específico del terreno único á igual a 2,0 T / m3. Los resul-
tados se expresan en la tabla de la figura 2.71.
Seguidamente se calcula , como ya hemos dicho, la presión debida
al agua en las diferentes rebanadas , resultados que tambien son expre
sadas en la figura 2.71.
El método de Felleníus dá el coeficiente de seguridad según -
la expresión:
dB ¿z,�\ 1
SCn oca . L�/•�=r
21.1
Centro del circulo dedeslizamiento ensayado
= 2,0 T/m
C' = 0,44 T/m
= 32°
(81 9
7 III � i
2 ( 6\\
�, f
5 \ � \\ \\ \ ( ` 1
`1 H 6,0m
3
4 I\ \ \\ i \�
��
1�
II� \ � � 11 11 ► �
2
777777I� \ 1 1 1� I ( I I
I7T7 /�TI1/?TTT
7T�i 77
Copo drenonte Estrato duro
Fig. 2.70 - Talud ejemplo desarrollado por los métodos de }'ellLoaiu5 y de 13isliop
212
Rebanada bi Altura media Peso Uib
m m (Tm) (Tni)
1 1,35 0,48 1,30 0
2 0,96 1,26 2,42 0
3 0,54 1,74 1,88 0,08
4 1,50 2,22 6,66 1,63
5 1,50 2,70 8,10 2,32
6 1,50 2,79 8,37 2,23
7 1,32 2,52 6,65 1,13
8 0,18 2,01 0,72 0
9 0,96 1,14 2,19 0
Fig. 2.71.- Obtención del peso y presión ínterstícíal en las diferentes re-
banadas.
213
Todos los elementos que intervienen en esa expresión aparecen
en la figura 2.72., obteniendo al sustituir:
F = 1,19
Análogamente el método de Bishop modificado responde a la expre
sión:
scnoC.. W
siendo:
/N 'o ) = cos o(¡l� � f9� ' �9 ��
como ya vinos , esta última expresí6n se encuentra en forma de ábaco -
en la figura 2.65.
Para obtener el valor de F debemos de realizar varias iteraciones,
y así se ha hecho, primero suponiendo F = 1,25 obteniendo 1,29, segun-
do haciendo F = 1,35 obteniendo 1,32 y por último con F = 1,3 obtenieii
do 1,3, y por lo tanto el coeficiente de seguridad del talud es:
F = 1,3
En la figura 2.73 aparecen todas las etapas del cálculo.
METODO DE JANBU
JANBU ( 1954 ) ha desarrollado un método de los que hemos convenido
en llamar aproximados , de gran interés en cuanto permite el análisis -
de superficies de deslizamiento no circulares sin empleo de ordenador
alguno. Mas adelante nos ocuparemos de los métodos exactos , veremos -
214
W. W1senc W1 1.coso<¿ 1. U i ,bRebanada Tm sen c<, cose ,b
(ton) (ton ) ( m) Tm Tm
1 1,30 -0,03 -0,04 1,00 1,30 1,32 0 1,30
2 2,42 0,05 +0,12 1,00 2,42 0,96 0 2,42
3 1,88 0,14 +0,26 0,99 1,86 0,57 0,08 1,78
4 6,66 0,25 +1 ,67 0,97 6,46 1,59 1,63 4,83
5 8,10 0,42 +3,40 0,91 7,36 1,68 2,32 5,04
6 8,37 0,58 +4,85 0,81 6,76 1,86 2,23 4,53
7 6,65 0,74 +4,92 0,67 4,45 2,01 1,13 3,32
8 0,72 0,82 +0,54 0,57 0,41 0,36 0 0,41
9 2,19 0,87 +1,90 0,49 1,07 2,19 0 1,07
Fig. 2. 72 - Resultados para aplicación del método de Fellenius.
215
i i iF = 1,25 F = 1,35
F2C
c bji,b
b rti
0,60 0 0,97 0,97
0,42 0 1,02 1,02
3 0,54 0,24 0,08 1,06 1,05
4 1,50 0,66 1,55 1,09 1,08
5 1,50 0,66 2,08 1,12 1,10
6 1,50 0,66 1,80 1,10 1,08
7 1,32 0,58 0,74 1,05 1,02
8 0,18 0,08 0 0,98 0,95
9 0,96 0,42 0 0,93 0,92
Fig. 2.73 - Resultados de la aplicación del método de Bíshop modificado.
216
como este método de Janbú adquiere mas vigor ante los problemas de -
cálculo que ofrecen esos métodos exactos , pues ademas de ser normal-
mente poco convergentes debemos de prestar atención a los difetentes
pasos de las diversas iteraciones para eliminar aquellas soluciones -
que den valores sin sentido físico.
Para abordar el método de Janbú veamos la figura 2.74 en la que
se representa una rebanada de ancho dx y las fuerzas que intervienen
en dicho equilibrio . Admitiendo que las fuerzas en la base de la reba
nada están aplicadas en el centro de la misma , tomando momentos res-
pecto al punto medio de la base de la rebanada es:
La hipotesis de Janbú consiste en admitir:
C¿X
resultando que la expresí6n anterior pasa a ser:
Ttd'.N=Odx
Con esta hipótesis , la expresión del coeficiente de seguridad -
escríbiendola en la misma forma que en el método de Bishop , esto es -
en función de resulta (ver figura 2.61) :
sen oC; (4Y/ _ 7 f T �_�,, cos oC;
y
superficie del talud
y = f1(x) dx
superficie de .-.-
deslizamiento - T +dT
Y = f2 (x)
T+dT
N2
h
idwzf. dx <IN - -N 2
2•d Sdt
2
6•dS 2
t
X 2 x X+2 x
Fi};. 2.74 - Caso I;eneral de un Lalud referido a Los ejes O`- Q y
218
donde M��) tiene el mismo significado que en el método de -
Bíshop.
La hipótesis que establece Janbú hemos visto que consiste en -
hacer:
pudiendo suceder que (� -{�x)) = O o que dN = OEn el primer caso resultaría que el lugar geométrico de los puntos -
de aplicación de las fuerzas (N + T) en los laterales de las rebana-
das coincide con la superficie de deslizamiento. En el segundo caso -
resultaría que estamos en el método de Fellenius pues seria N(x) = cons
tante , y como NA= NB = 0,esa constante sería cero y como:
T,4 L.N=Oclx
resultaría T(x) = 0
En el . trabajo de RAULIN, ROUQUES, TOUBOL (1974) aparecen otros -
varios métodos derivados del de Janbú, así se considera el nétodo de
la linea de paso fija y el de la línea de paso variable.
Cuando tratemos de los métodos exactos veremos otro método que -
es una consecuencia del de Janbu (es el caso ¿ 72 'T) = O ); hare
mos un estudio detallado de este método por ser de facil aplicación -
y de gran interés teórico al deducirse conclusiones interesantes en co-
mún con otros métodos ya tratados.
Métodos exactos
220
ASPECTOS GENERALES DE LOS METODOS EXACTOS
Al principio de éstas notas ya comentamos la diferencia entre
los métodos de rebanadas aproximados y exactos . Vimos como para-
resolver, por medio de las 3n ecuaciones de la estática ( siendo-
n el número de rebanadas consideradas) había n-1 más incognitas -
que ecuaciones, de ahí que al considerar n-2 hipótesis resulte -
un problema sobredimensíonado y no se cumplan estrictamente esas
3n ecuaciones de la estática. Esto es lo que sucede con los méto-
dos de Fellenius y Bíshop modificado.
Seguidamente nos vamos a ocupar de los métodos exactos, es -.
decir, aquellos que consideran justamente n-1 hipótesis.
La forma de hacer esas hipótesis no es tán fácil como parece-
a primera vista y requiere de un estudio detenido , que es el --
que seguidamente haremos.
METODo El E L QUE LA LINEA DE DESLIZAMIENTO SE I.. 1,111¡'011 DE
AC( ION N DE LAS FUERZAS ENTRE REBANADAS
El método de Janbú que vimos antes y el de Morgenstern - Price
que veremos más tarde, confirman que el punto de aplicación de las -
fuerzas entre rebanadas puede situarse más bajo que el tercio central
de la sección en cuestión. En la figura 2.75 representamos la distrí-
bucíón de los esfuerzos normales en una sección del talud. Si la re-
sultante de esos esfuerzos normales es N, es admisible suponer que -
la distribución sea como la indicada, alcanzándose un máximo en el -
punto de aplicación de N y un valor algo menor en la superficie de -
deslizamiento. El terreno justo en la superficie de deslizamiento es-
tará en equilibrio límite.
Vamos a estudiar un simple método (del que más tarde nos ocupare
mos de analizar su exactitud), resultado de suponer que la linea de -
acción de la fuerza ( N+T) en los laterales de las rebanadas coincide -
distribución de esfuerzos normales
'superficie de deslizamientoN
--^��
Fig. 2.75 - Hipótesis sobre la distribución de .rs1 ftrz s norina1es
en una sección.
2- 22
con la línea de deslizamiento.
En la figura 2.74 ya indicamos la notación empleada , que utili-
zaremos en todo lo que sigue, mientras no digamos lo contrario. El -
perfil del terreno vendrá definido por y =i( ) , la superfi-
cie de deslizamiento por y = f (x) , cortando esta al talud en
los puntos A (Xa Y.) y 8 (Xe, )á) . Con esta not a cíón re-
presentamos en esa figura una rebanada de anchura dx.
Tomando momentos respecto al centro de la rebanada e integrando
(siendo l (XB) Y figura 2.74) resulta:
rx�
N(x)
Estableciendo el equilibrio para una rebanada según los ejes -
Ox y Oy obtenemos:
c¿ x
10- dx dXJ
Con estas tres ecuaciones y con la relación de Coulomb podremos
poner:
A(4. dr_ S(x). d/Va�x dx F. cosz<
B(x)= �-fjo(.fg�,
223
de la expresión de 1(x ) antes obtenida , considerando además que:
. { <xJ¿/(><)
resulta:7--
Con estas consideraciones y haciendo las sustituciones:
fy oC = i (x)
cz�X - cos oC clS
P . ,ddo �P «,�dt�.d
podemos escribir esa ecuación diferencial en la forma:
c/s f F
Nl problema consiste en halla r la solución de esta ecuación di-
ferencial que verifique las condiciones límites:
Para hallar la solución de esa ecuación vamos a recurrir al plan
teamíento de partida de este método , esto es, suponer que la línea de
acción de la fuerza ( N + T) coincide con la línea de deslizamiento. -
224
Con esto , si llamamos R al módulo de (N + T):
R. ,v? f T1
siendo:
A/= '? coy oC
T= R. sef? o<
y la ecuación diferencial anterior podrá escribirse como:
ds f ' ,�
La solución de esta ecuación , tal que R (hs)= O (! s:
l «fF d�C Sa_ d<í9 4.a:h.cos?�>.e
El coeficiente de seguridad se obtendrá para aquel valor de F
que verifique R (s) = 0 , esto es:
S« f9 dot
/�-u f9� ,�4•cYh.cos2df.�l°�° c 5=D
resolviendo estas integrales podrá deducirse el valor de F, que es el
coeficiente de seguridad buscado.
225
Una vez determinado ese valor de F, la función R queda compl etamente definida y con ello los valores de A/(S)y7-(S).Tambíen obtenemas con facilidad ; en efecto , estableciendo el equilibrio de fue rzas según el eje Ox (figura 2.74) es:
G_ C> 5 D/ = 0
como d5 . dx�coso( y, por Coulomb , f= ��U) f9��
podemos poner
9 o =ofin/ Q.Q t - z¿
dx
Igualando esta ecuación a la ecuación diferencial obtenida más
atrás se deduce:
4`= ó• fi. cos to( 4 /te(s) = CO h . cos ?o< • R(s)
F. coso(
METODO DE MORGENSTERN-PRICE
El método desarrollado por MORGENSTERN,PRICE (1965 ) en cierto -
modo responde a las hipótesis de Coulomb de linealidad entre esfuer-
zos normales y tangenciales . En efecto , los citados autores proponen
una relación lineal entre las fuerzas normales N y tangenciales T ac-
tuando en las caras laterales de las rebanadas , expresión del tipo:
T = A • N
siendo 7(x) una función dada y A un parámetro a obtener.
226
Esta expresión , junto con las de G- y Y obtenidas al principio
pueden introducirse en la que relaciona 0 y r , llegando a obtener
una ecuación diferencial , de la que tendremos que encontrar la solu-
ción , esto es, un par de valores de í` y /C- que verifiquen dicha --
ecuación con las condiciones limites:
/'v _ /VB = o
74 7,9 O
El desarrollo matemático de este método es laborioso y su des-
cripción en estas notas carece de interés en cuanto a que se encuentra
perfectamente descrito en muchos trabajos como en el de RAULIN, ROU-
QUES , TOUBOL (1974 ) y muy especialmente , para los interesados en los -
detalles de su programación , en el trabajo de MORGENSTERN, PRICE (1967).
En lineas generales podemos decir que el método de cálculo comienza -
por transformar el problema a uno de diferencias finitas. Para ello se
divide el talud en rebanadas verticales , de manera que en cada faja -
las funciones que interesan pueden suponerse lineales , resultando que
el problema se transforma en resolver dos ecuaciones implicitas en
y , optando para su solución el método iterativo análogo al de -
Newton-Raphson.
Para la realización de estas iteraciones es necesario ir contro-
landolas para hacer el proceso convergente as¡ como para eliminar va-
lores imposibles de \ y F .
Morgenstern y Price concluyen que con los tres controles de í�
y /c en un 80 % de veces los resultados convergen con menos de 10 -
iteraciones, obteniendo valores de % y IC- correctos hasta la ter
cera cifra decimal.
227
Así pues el método desarrollado por Morgenstern, Price comienzapor suponer una función F(x) , fijada a priori. Con esta función
logramos que la relación T/N para las diferentes rebanadas no sea cons
tante, acercandonos más a la realidad. Sin embargo la elección de di-
cha función no es nada simple y requiere de mucho juicio del problema
estudiado. En la mayor parte de los casos convendrá calcular con va~
ríos valores de esa función y elegir la solución más conveniente. Pa-
ra Bisliop los resultados al aplicar una ú otra función deben de ser -
muy parecidos, y así resulta para el talud indicado en la figura 2.76.
METODO DE SPENCER PARA DESLIZAMIB NTi)S CIRCULARES
Para terminar con la descripción de los métodos exactos, --
nos vamos a ocupar del de SPENCER (1.967 ), interesantísimo Método
del que publicamos un programa de ordenador como mas tarde comenta;
remos.
En el método original de Spencer se supone una superficie de -
deslizamiento cilíndrica, de sección circular. En la figura 2.77
indicamos la notación empleada; H es la altura del. talud, de incli
nación í o l:a. En esa misma figura se dibuja un potencial círculo
de deslizamiento ?B, así como una rebanada de altura AC y incho
6� Esa misma rebanada es la considerada en la 2.78 , sobre la
228
Y
5m
I(-)
3
2
-�--�xo xl x
Fig. 2.76 - Resultados de la aplicaci6Ll del. mc"todo de Mor cnstern-1'rice
para un talud con 3 función í (x) díf.erentes.
RAULI.N, ROUQUES, TOUBOI. (1974)
o
229
H,•o
h¡
C(i
b¡
Fig. 2.77 - Notación del método de Spencer.
0
F
Wial
8¡_1
Fi- 1
�' - - Ti,bRi
« cii
Ni b
Fig. 2.78 - Rebanada considerada.
230
que hemos dibujado las fuerzas actuantes, que como sabimos son
- Peso de la rebanada, W.i
- Fuerza total normal en la base de la rebanada,
N,6, que ..puede descomponerse en la suma de la
efectiva tv' y la neutra LL = u.bíseco
- La fuerza tangencial desarrollada en la base de
la rebanada 77,6 que puede expresarse en función de
la cohesión y ángulo de rozamiento interno efecti-
vo según:
- Las fuerzas totales actuando en los laterales de la
rebanada 'y y que se podrán descompo
ner en la normal y tangencial. Así mismo las normales
serán sumas de las efectivas y neutras, pero por co
modidad no lo haremos asf, haciéndo por lo tanto un
análisis en totales.
Admitíéndo un terreno homogéneo de. peso específico ó ,
el peso en la base de una rebanada de altura h es ó•b.h, y si como-
propone Bíshop admitimos una distribución homogénea de la presión -
íntersticial, significa que la presión ínterstícial en la base de -
esa rebanada es
Siéndo r el coeficiente de presión intersticíal.u
Si en la figura 2.78 establecemos las dos ecuaciones de e-
quilibrio de fuerzas para esa rebanada , podemos obtener el valor
231
de la fuerza Rí , resultante de F. y Fi-r
c_'6 1 . seco', ''tg�Á
��'•cosdc X1 .6, .src Y,) 1v s<•nn'c
cosa%'-5�:�. ,* � f9<� -�`•Jr-.Utilizando la expresión antes vista de U podernos poner Ri de for-
ma adimensional seb'in:
tcos 2olc J - �c'.s ,� 2c�•F é'N F 2 /v'111 / 2f/
La expresión anterior expresa, de forma general, el equ ílíbri-
brio de la rebandada sin simplificaciones de ningún tipo.
Si se han hecho un total de n rebanadas , del equilibrio de to-
do el talud se deduce que la resultante de todas las fuerzas Ri
debe ser nula , de dónde:
senG�� = O
232
Y además, el momento de todas las fuerzas respecto al centro del
circulo debe ser también cero:
Así pues , hemos ::llegado a obtener las tres ecuacionr..:s del
equilibrio y podemos obtener valores de F y W, que satísia9an
a las tres ecuaciones. Esos valores de C' para una misma rebana-
da deberán de ser idénticos para las tres ecuaciones, no t:enién-
do porque ser iguales para rebanadas diferentes, es decir , las -
fuerzas Ri no tienen porqué ser paralelas.
RESULTADOS DE SPENCER PARA FUERZAS R• PARALELAS
En el caso de suponer que las fuerzas Ri-son paralelas, es de>-.
cir iv constante, el problema se simplifica mucho.Las dos prime-
ras ecuaciones del equilibrio son idénticas.
SPENCER (1.967 ) suponíándo que la rotura se produce según un
círculo, en un talud ( de los tres por él estudiados ) indicado en
la figura 2. 79 , llegó a las conclusiones que hemos sintetizado
en la figura 2. 80. Para la realización de esa figura se ha co--
menzado por obtener gráficamente , para cada rebánada, su altura -
hi y el ángulo o<i Se han considerado varios valores de %/ , des
de 9 hasta un valor igual al ángulo de talud y para cada uno de e-
llos el correspondiente coeficiente de seguridad ; Ff es e] obteni-
do de la ecuación de equilibrio de fuerzas y Fm el obtenido con
231
6,53 mr„ 0 0,5
OJ ' 400/ CY1H:4o2
25,5°i
LUGAR GEOMETRICO DE LOS PUNTOS
DE APLICACION DE LAS FUERZASinENTRE REBANADAS
60,96
Fig. 2.79 Ejemplo de un talud estudiado por SI,encer.
F1,10 -- ----- --------
F :1,070
1,05 -I
Fm I
fm(0=0 ) 1,0391
1,00 t--
F¡
0,95 --(--
0,90O 5 10 15 20 25
Fig. 2.80 Resultados suponíando que ras fuelrn:; re
sultantes,para cada rebanada, de 1a;, -
acciones en los laterales de las mísmati-•
son paralelas, entre sí.
234
la ecuación de momentos .También se indica el valor de Fm en el, caso
Y = 0 ( que corresponderá al método de Bishop). La intersección de-
Ff y Fm da un valor del coeficíente de seguridad F que satisface-
las ecuaciones de la estática, obteníéndo el correspondíénte valor-
de W . Con éste valor de F y el correspondiénte de í', poi':emos ob-
tener los valores de Ri así como los de Fi y F1_1 para cada re-
banada
Por ultimo , tomando momentos respecto al centro de la base de-
la rebanada , puede obtenerse el punto de aplicación de la:; fuerzas
en los laterales de las mismas , síéndo representado esos puntos en
la figura 2.79. por la línea a trazos.
De éste trabajo se observan los siguientes aspectos:
- El ángulo le es menor que el ángulo del talud.
- Las variaciones del ángulo Y afectan más a los valores de Ff
que a los de Fm
, los cuales varían poco, motivo por el que
Fm ,p = 0 no dista mucho de F.
- El punto de aplicación de las fuerzas actuantes en los latera
les de las rebanadas se :encuentra aproximadamente a 1/3 de-
la altura de esa rebanada medida desde la base de la misma.
GENERALIZACION DEL METODO DE SPENCER PARA DESLI ZAMI ENTOS NO CIRCULA
RES. PROGRAMA DE CALCULO .
El método de Spencer ha sido generalizado a superficies de desli
zamiento, no circulares por S.G. Wright , habiándo sido programado-
por G . Lef ebvre .
El listado del programa se adjunta en hojas posreriores, rasando
a describirse en las siguientes notas.
El programa original nos ha sido facilitado por el profesor -
235
James Míchael Duncan de la Universidad de Berkeley Dícho progra-
ma escrito en FORTRAN IV , consta del programa propiamente dicho -
SLOPE 8R y de siete subrrutinas , EFLAG, MESAGE , CGXY, BRISRIG, E-
FORCE , THRUST Y READER.
El citado programa ha sido adaptado para un ordenador 1.B.M 370-
125 , siendo éste el programa que adjuntamos al final de este esto--
dio.
La entrada de datos del programa comienza por definir la geome -
tría de la sección a ensayar y de la superficie de deslizamiento
trabajando en pies y libras.
El contorno del talud puede defínirse hasta por un má::imo de 10-
puntos , definidos por sus dos coordenadas ( X,Y ) , y paras ello se-
emplearán tantas fichas como hagan falta Aunque el perfil del te--
rreno se admite irregular, el programa ha sido realizado onsíde.rin
do que el perfil descícnde según lo hace el valor de X,_y X debe-
aumentar de izquierda a derecha del dibujo.
De igual forma se define la superficie de deslizamiento a ensa-
yar, empleando para ello tantas fichas como hagan falta.
El método de Spencer vimos :que era un método iterativo. Por tal
motivo se debe definir la aproxímaci6n requerida , haciéndola en fun
ci6n del valor de la fuerza horizontal y del momento permisible no
compensado . Este punto queda a juicio del encargado del estudio. E. ,
Z/o y de N�/p4recomendable tomar esos límites igual a .P*2
en uno y otro caso.
El siguiente dato a suministrar es el . número de rebanadas que-
deben ser consideradas , siéndo el máximo de 98.
Con todo lo anterior ya tenemos definido tanto el talud como--
la superficie de deslizamiento a ensayar.
En el método programado es preciso suministrar como datos las -
características de las diferentes rebanadas , motivo por el que será
236
necesario dibujar el talud a una escala que pueda medírsc.:con sufí~
cíente exactitud.Se hará una ficha en los puntos dende cada plano -
vertical de los que definen las rebanadas corte a la superficie de
deslizamiento. Para cada uno de éstos puntos, los datos a suministrar
serán:
- coordenadas X e Y del punto de la superficie de deslizamiento
- presión intersticial en la rebanada anterior
- cohesión en la rebanada anterior
- ángulo de rozamiento interno
- densidad del estrato superior
- altura del estrato superior en el plano vertical que pasa por
el '.punto en cuestión ( caso de haber un sólo estrato será -
cero ).
- densidad del estrato inferior ( caso de haber un sólo estra -
to será cero )
Todos éstos puntos se han definido en orden dec:recieei:te de X
El programa está realizado de manera que puede estudiar varias -
superficies de deslizamiento, introduciendo tantos diferentes paquetes
de fichas como superficies ensayadas.
Además pueden analizarse otros taludes repitiendo tantos paquetes -
de fichas como casos quieran estudiarse.
EJEMPLO DE APLICACION DEL METODO DE SPENCER
En la figura 2 . 81 se indica el talud ejemplo del método de Spencer
antes descrito.
Las unidades están en pies y libras ( 1 pié = 0,3048 m, 1 libra
= 0, 4536 kg.)
EJEMPLO MOSTRANDO LA ENTRADA DE DATOS DEL METODO DE SPENCER
4 1 Talud definido por 4 puntos; se calcula solo una línea de deslizamiento.
37,5 155 62.5 155 400 0 500 0 Valores (.n,y) de los 4 puntos que definen el talud (máximo de 10 puntos)
320 50000 :áxima fuerza horizontal y máximo momento no compensado.
11 -- Número de rebanadas consideradas (máximo de 98 rebanadas)
47,5 155 0 0 0 0 0 0
52.5 145 0 0 38 133 0 0 Definición de los 12 puntos de intersección con la superficie de deslizamiento.
285 0 0 1000 11 133 0 0 Altura del estrato superior en el punto considerado ( 0 si es homogéneo )
315 0 0 0 38 133 0 0 Densidad del estrato inferior ( 0 si es homogéneo ).
350 0 0 0 38 133 0 0j pies
400 0 0 0 38 133 0 0 J IL200
MANTOJ=133 libras/pie3
Fi;. 2.81 Ejemplo desarrolla C=0 100
do por el método--38
NUCLEOde Spencer. b = 133 libros/pie3
c = I.000 libros/piel11°
400 300 200 100 O
238
In el ejemplo se ha supuesto un talud sin presiones neutras en un
terreno homogéneo.Unícamente se ha ensayado una línea de deslizamien
to, indicada en la citada figura.
El coeficiente de seguridad de éste talud con ésta línea de desli-
zamiento, es 1,3600.
L istado del programa
LAJA •SuPERFICIk OL •CUHESIUN .FRICO I CN. PUES ICN ••FUERLA NURNAL aafUER1AS EN18E RELANAUAS •.1INCA u( Utn U�f•Y,SL(LAHILNIU • -Lit; PURU •4 •• IN,LI7:AC1Uh.4• A Y • (PSFI •tGRADUS1• IP5F1 ••IU IAI-EFEiC II VA -C ILALLAOvRA •4;iUK MAL-C1I ALL AO UtiA (URAGLS1 •. Y1
Cti.1.0•fAN (ALGhA(J)-FLxlJ)• 1HEíA1 • TAN(PHEEIJ►)/FCIJ)=(C1/F-C21/tC3+C�lk1•x1 .u1J)•CL51F( XIJ1•THE¡Aok2=k¿+.1J1+4YLi,1J1+LLi1FGX 1 J1• ThL YA )•ALG( JJ + SIN ( F CXIJ ) + IME 1 A))R3-A340 J k- SI-',¡ FLX( J)• (hl ]AlPCJPT•+FuX (J1•S1h1ALPHAIJI -FCXIJ1•1HE(Al
NVKn
EdCUIC LAS¡ Ab FECHA 19-12- 80 HURA 10.11 PÁGINA
SU ShCU1 U.t RIAt: Eh lMl,M2 ,Kh)1MYLICIT ,LAt*2 1A-HI,ocAL•8 10-2)01M,NSILN Ltcl;1,dleU ), b14U),NFt401 .),PI40t,SIC N(401,Jt(40 ),R2(401REAL4 hutVL,HCALSDATA ULAM.C.vNC L(.$ IR ES. 5£ 15, Si El E, 9C11C.NUE VE, RENO
(XILRNAL 5I1I.LCS,A IAN.TAN.ABSn f CCM MC /aLUPFdJ14 lITS,IILA,Al1JI,Ol1J),C(10)
COMMLK/Cti CRJS/A11ou1,Yt1L1YS(1jí:1,AC�I10CI,YLG100YT(1001CUN MC f1/STd,iNu/.(1L.J,Lttt%1,Hctl1CC 1CCMMUN/5LIC tS/UA5tt1JJ1. e 1(t U 0), AL PH A t 100),FOx 110 U)C CM MLN1NLl11 t RNP1 11th L.L 1M 1 T 47 L1 M11M, f S, 1 Ht 1 A Y f 1 d 1. E R0CGfIMGN/f0RCt5/ t 1 1 u 0 1 , 1 1 1 J 01.4110 0), ENN t1001DINtJSIUN illltlol,�l�(lOCI,I:UPl10C1rGYl10J1RAUCGN=2.*J.1,4l592o535d979/360 .
Fig. 2.91 - Tablas para el análisis de rellenos a media ladera (continuací6n).
274
El trabajo de Huang consiste en estudiar un talud con lri geometríaanáloga a la representada en el figura 2.90, y con tres condiciones de -
los parámetros del suelo. El caso 1 consiste en suponer 0 = 0, en el 2 -
se hace 0 = 30° y cl Y» H = 0,025, y en el 3 se toma c =0 (vemos que -
el 2 es intermedio entre el 1 y el 3), siendo en ambos casos los dos te-
rrenos idénticos.
Para estos tres casos se dan las tablas de la figura 2.91.
Las inclinaciones i1 y í2 aparecen agrupadas, abarcando, para la -primera un entorno de 0 a 30 grados en intervalos de 10 6 5 grados, y -para la segunda, un entorno comprendido entre o< 5 y 40 grados conintervalos de 5 grados.
Cuando el caso real sometido a estudio presente valores intermediosse resuelve interpolando entre los valores dados
En dirección horizontal las tablas aparecen divididas en tres columnas que corresponden a los tres casos antes citados:
a) Caso 1 suelo puramente cohesivo (0 = 0)
b) Caso 2 suelo con 0 = 30° y factor de cohesión cIr /-J = O, 025
c) Caso 3 suelo granular C = 0.
En función de las características del caso real que se pretende es-tudiar, habrá que adoptar uno de los tres casos precedentes. En caso de -duda siempre se pueden ensayar los tres y optar por el mínimo coeficiente
de seguridad.
Una vez fijado el caso elegido, así como las inclinaciones il y í2,para entrar en las tablas es necesario fijar el índice de profundidad D,
variable de 0 a 1, cuyo valor máximo está en función de la profundidad -del estrato rocoso (ver figura 2.90).
275
En otros casos hay que tantear distintos valores de D y buscar -aquel que dé menor coeficiente de seguridad.
Ya se ha indicado anteriormente que para aquellos valores de il y
i2 no contemplados directamente en las tablas, es necesario recurrir auna interpolación.
Para terminar, reproducimos en la tabla de la figura 2.92 los re-
sultados comparativos para 24 casos comprobados por Huang.
ABACOS DE PILOT Y MOREAU
PILOT, MOREAU (1970) han realizado unos interesantes ábacos para -
el calculo del coeficiente de seguridad de terraplenes descansando sobre
terreno arcilloso con diferentes condiciones, como luego veremos.
Los ábacos permiten determinar facílmente el coeficiente de segu-
ridad de un terraplén homogeneo que descanse sobre un suelo de espesor -limitado, homogeneo y puramente cohesivo.
En los estudios de estabilidad a corto plazo puede suponerse, en -
algunos casos, que se trata de un fenómeno no drenado, pudiendo estudiar
se las caracteristicas del terreno mediante, por ejemplo, un ensayo triaxico no drenado. En este tipo de ensayo, para tres probetas diferentes,
se obtienen tres círculos de Morh (en totales) con el mismo diámetro, -por lo que la envolvente es una recta horizontal definida por la cohesión
no drenada Cu y el angulo de rozamiento interno no drenado 0u = 0.
Con esto pasamos ya a la figura 2 . 93 donde se resume todo el estudio
anterior, empleando una notación que ya nos es familiar por haberla emplea
do repetidas veces.
276
Suelo 1 Suelo 2 1 Coeficiente de SeguridadCaso Talud Talud del Indice de Factor de Angulode Factor de Angulode Indice de
número natural relleno profun - cohesión roza- ohes . ( b) roza - presión in- Por computadorCY(grados (grados ) didad (b) (b)clhl-I miento(b) c /yH miento(N ticial(b) Por lasBishop Normal(t) (2) (3) D (5) 01
( a) El factor de profundidad para el círculo más crítico es menor que el valor indicado.(b) Los espacios en blanco indican el mismo valor que el de arriba.
Fig. 2.92 - Resultados de los 24 casos tratados por Huang.
Rellenos de material no cohesivo.
N _ _Cu
L__ór. H
Crí CU = 0
Fig. 2.93. Abacos de Pilot y Moreu.
Rellenos de material con debíl cohesión.
pr : L .
N Cu
Cr/Cu = 0.5
Fíg. 2.93. (Continuací6n)
283
Como podemos ver en la citada figura, solo nos hemos ocupado del -
caso clásico de terraplen sencillo. Para los casos de terraplen con ban
cardas laterales, Pílot y Moreau, dan unos ábacos semejantes a los que -
damos para el caso de talud sencillo y que pueden consultarse en la obra
de los citados autores.
La forma de emplear estos ábacos es de gran sencillez y se deduce -
con facilidad de la observación de los mismos. En dicha figura se han con
siderado dos casos bien diferenciados, el primero corresponde al de un -
terraplen con cohesión nula, Cr = 0; el segundo corresponde a un terraplen
debilmente coherente. Para ambos casos se tienen los siguientes ábacos:
- cuatro valores de la pendiente del terraplén: 2/3 1/2 2/5 1/3
- cada uno de los casos anteriores ha sido analizado con cinco va-
lores de N iguales a 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5.
- para cada relación D/H entramos en el ábaco correspondiente y en
la curva 0r obteniendo directamente el valor del coeficiente de
seguridad F del talud.
OTROS CASOS ESTUDIADOS
Como conclusión de todos estos métodos de cálculo tratados se acom
pañan una serie de cuadros-resumen (ver figura 2.94) en los que se agru-
pan distintas disposiciones geométricas posibles junto a las referencias
de aquellos autores que han estudiado el caso,elaborando una serie de -
ábacos de los que pueden obtenerse los coeficientes de seguridad.
La utilización de ábacos para la resolución de los problemas de -
estabilidad de taludes, en primera aproximación, es una práctica notable
mente ventajosa , fundamentalmente por la brevedad del proceso que permi-
te sustituir engorrosos cálculos matemáticos por sencillas determinacio-
nes gráficas.
Sin embargo debe tenerse presente que esto es solo una solución -
TERRAPLENES EN LADERAS
Esquema tratado Descripción somera Referencias
Celo A t21 1
2� --i Rotura plana paralela al terreno natural . PILOT, G. y KACMAZ, S.yo Cálculo a corto y a largo plazo . Abaques de stabilité d'ensemble des rem-
blais sur sois inclinés.Terraplén de forma " trapezoidal" o trian- Bull. Liaison Labo. Routiers P. et Ch.
A gular.1(N 1-,
2 B H n2 32, ( junio-julio 1968 ) p. 35-52.Parámetro : Ti 7F ' Z , B , m,
�F
11NCu
c'= yF
zCO
�F. Z1 i
'DESMONTES Y PRESAS
Esquema tratado Descripción somera Referencias
Rotura circular por el método de Fellenius . TERZAGHI y PECK.
c„ Cálculo a corto plazo. Mácanique des Sols Appliquée.J. Wiley and Sons ( 1948).
Parámetros : Dunod, París (1961).Cu
nd. J3 N = óH
Rotura circular por el método de Taylor. TAYLORFundamentals in Soil Mechanics.
M 1 Cálculo a corto o largo plazo.C
Parámetros:
nd, 13 , N = 7 H
N
Fig. 2.94 - Catalogo de ábacos para el cálculo de estabilidad. PICOT (1971)
TERRAPLENES SOBRE SUELOS BLANDOS
Esquema tratado Descripción somera Referencias
Rotura circular por el método de Bishop . PILOT, G.
Cálculo a corto plazo . Abaques pour le calcul de la stabilité destalus de remblais sur sois mous.
t,} N P Terraplen construido con suelo no cohesivoMatériau pulvérulent.
Parámetros:c. H1 Bull. Liaison Labo . Routiers P. et Ch.
Cu HBCotg N
n2 25 (mayo-julio 1967 ), p. 4-1 á 4-10.J3 , = H 7H
Rotura circular por el método de Bishop . PILOT, G. y KACMAZ, S.Abaques pour le calcul de la stabilité desy c..} H P Cálculo a corto plazo . talus de remblais sur sois rnous.
Material del terraplén cohesivo y con ro- Matériau de remblai cohérent et frottant.C. Me zamiento.
Bull. Liaison Labo. Routiers P. et Ch.Parámetros: n9 29 ( enero - febrero, 1968) p. 7-1 á 7-6.
Cu HBCotg , N = 'PH H
C.#* P�2/t Rotura circular por el método de Bishop . MOREAU, M. y PILOT, G.Abaques de calcul de stabilité des remblaisCálculo a corto plazo. sur sois mous équipés de banquettes laté-
T } H �� P Material del terraplén con rozamiento. rales.
Rotura circular por el método de Bishop . BISHOP y MORGENSTERNStability Coefficients for earth slope.Cálculo a largo plazo. Géotechnique 1960 . Vol. 10 (diciembre)
El régimen hidráulico se caracteriza me- p. 129-150.diante un parámetro nu = valor medio de
c' AM u/-,f. wh en la capa freática.t
Parámetros :.l,Cotg , H =é HH
, nu, t;
Rotura circular por el método de Bishop . MORGENSTERN
Estabilidad del parámetro aguas-abajo deStability charts for earth slopes duringrapid drawdown.
una presa de tierra durante un desembalse131. 1963. Vol. 13 (julio)rápido; cálculo a corto plazo en tensiones p
121-131.p. 121c,� w totales.
Parámetros:
H' ClH , Cotg , N = H , Nu , P'.
Rotura circular por el método de Caquot . KERISEL
Cálculo a largo plazo para una filtraciónGlissements de Terrains . Dunod, París
rectilínea y uniforme. (1966).
Parámetros : m, Cotg X = 2BHc'y'mH� Da también la posición del circulo más
desfavorable.
N
Fig. 2.94 - Continuación.
DESMONTES Y PRESAS
Esquema tratado Descripción somera Referencias
Cálculo a rotura circular por el método de BLONDEAU, F., CHIRIE y PILOT, G.Bishop . Abaques de calcul de stabilité des talus
t M c°i p Cálculo a corto plazo (bicapa cohesiva) de déblais en sol bicouche. Primera parte.
C-2 Informe interno L.C.P.C. (1969). InformeParámetros: de trabajo personal E. N. P. C.
H' Cu CulH , Cotg , N
= H 2' -e u2
Cálculo a rotura circular por el método de BLONDEAU F. y BERCHE, J.C.C., Bishop . Abaques de calcul de stabilité des talus de
Cálculo a corto plazo (bicapa cohesiva). déblais en sol bicouche. Segunda parte.w p
-
r
c��Informe interno. L. C. P. C. (diciembre
N■ Parámetros : 1970).H? , Cotg N =Cu' Cu . HBH H Cu= H
Cálculo a rotura circular por el método de SMIRES, LAYACHI y PILOT, G.N Bishop. Abaques de calcul de stabilité des talus
partiellement immergés._ Y[ Cálculo a corto plazo Informe L. C.P.C. (julio 1970). (InformeHe Parámetros : de trabajo personal E. N. P.C.).
HBH + H , N = 6 H
- Cotg
qCálculo a rotura circular. JANBU
Distintas combinaciones de sobrecarga enStability analysis of slopes with dimen-si
Y H 0 e cabeza y al pie, con o sin capa freática hoonless parameters.
Harvard Soil Mechanic Series (enero 1954)orizontal.
N
Fig. 2.94 - Contínuaci6n. v
288
aproximativa y cualquier cálculo definitivo debe afrontarse, a ser posible,
mediante todo el desarrollo matemático necesario, ya sea manualmente ó por