13.11.2010 1 Zeitreihenanalyse H.P. Nachtnebel Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 2 Definitionen und Anwendung ¾ Definition Zeitreihe • zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt ¾ Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese • Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt ¾ Art der Messwerte • Kontinuierlich z Schreiber • Diskret z Terminwerte z Mittelwerte einer Zeitsp ) (t X ) ( i i t X
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Zeitreihenanalyse
H.P. Nachtnebel
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 2
Definitionen und AnwendungDefinition Zeitreihe
• zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt
Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese • Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen
und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt
Art der Messwerte• Kontinuierlich
Schreiber• Diskret
TerminwerteMittelwerte einer Zeitsp
)(tX
)( ii tX
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 3
Darstellung: Ganglinien
kontinuierlich
diskret
Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 4
Methodik
ZeitreihenanalyseZerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung
Trend …Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms
Periode ...Beispiel: in Ö die Frühjahrshochwässer
Stochastischer Anteil …
)(tXT
)(tX P
)(tX R
)()()()( tXTXtXtX RPT ++=
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Methodik
Zweck der ZeitreihenanalyseErmittlung der einzelnen AnteileParametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe
Simulation (Generierung)• Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen
Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 6
Homogenität / Stationärität
Homogenität• Unterteilung einer Reihe in Teilreihen• Bestimmen der Parameter
MittelwertVarianzSchiefe
• Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant voneinander ab dieselbe Grundgesamtheit Homogen
Stationärität• Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant
voneinander ab Stationärität 1. Ordnung• Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht
signifikant voneinander ab Stationärität 2. Ordnung
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Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien
Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1961 - 2001
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2001
Jahr
Tage
(Rudel, ZAMG 2002)
Ja !!!!
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Beispiel für Trendanalyse:Extreme Niederschlagsereignisse in Wien
Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1903 - 2001
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1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997
1999
2001
Jahr
Tage
(Rudel, ZAMG 2002)
Nein !!!!
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Trends in Niederschlag und Abfluss
Moser et al., 2003
Annual precipitation
Abfluss
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Schätzung Trendanteil XT(t) 1
Annahme• Linearer Trend
Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung
)(tXT
tBAtXT *)( +=
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Trendanteil XT(t) 2
Annahme• Nichtlineares Verhalten
Beispiel: Nachfragefunktion – zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung
• Sprungstellen
X(t)
tIx IIx
2**)( tCtBAtXT ++=
Ix
IIx
T
T
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Trends in der Streuung
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Trendeliminierung
X‘(t) = X(t)-XT(t) = XP(t)+XR(t)Oder nicht parametrisch durch numerisches DifferenzierenX‘(t) = (X(t+1)-X(t))/1 bei linearem Trend
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Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 14
Periodische Komponente
Hintergrund der Periodizität• Meist klimatische Faktoren
Tagesschwankungen von Abflussmengen jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen
zuvor wichtig ist Elimination des TrendanteilsBestimmung des Periodenanteils
• bei bekannter PeriodenlängeFourieranalyse Mittelungsmethode
• bei unbekannten PeriodenlängeAutokorrelation
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Fourieranalyse
Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen
Amplitude bzw. AjFrequenzPhasenwinkelXt Messwerte
Tf j /1=
( )jjP tjAAtX ϕω +Σ+= sin2
)( 0
jϕ
( ) ( )( ))sincos(
**2sin**2cos)(
tjDtjC
tfDtfCtX
jj
jjjjP
ωω
ππ
+
=+=
∑∑
Cj, Dj
Tπω 2
=
tjxn
Ct
tj ωcos20∑=
⋅⋅= ∑=
⋅=0
sin2t
tj tjxn
D ω
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Autokorrelation
Definition• Vergleich der Reihe mit sich selbst• Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe
AnwendungFeststellung eines periodischen VerhaltenszB Jahresgang
Simulation für BemessungszweckeSimulation zur Prüfung der Funktionsweise von BauwerkenSimulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete ReiheEs können daher Nassjahre, Trockenjahre, Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten
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Zusammenfassung Zeitreihenanalyse
Definitionen• Zeitreihe und ihre Anwendung in der Hydrologie• Art der Messwerte• Grafische Darstellung der Zeitreihe = Ganglinie