Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 1 LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( 29 0 0 ; M x y sao cho số đo cung AM α = . tan AP α = có nghĩa k.v.c.k 2 k π α π ≠ + cot BQ α = có nghĩa k.v.c.k k α π ≠ 3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt 2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tan α 0 3 3 1 3 cot α 3 1 3 3 0 1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG sin tan cos α α α = cos cot sin α α α = 2 2 1 1 tan cos α α + = 2 2 1 1 cot sin α α + = 2 2 sin cos 1 α α + = ( 29( 29 2 sin 1 cos 1 cos α α α = + - ( 29( 29 2 cos 1 sin 1 sin α α α = + - ( 29 2 1 sin 2 sin cos α α α ± = ± 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos α α α α + = - 6 6 2 2 sin cos 1 3sin cos α α α α + = - a. Hai góc đối nhau ( 29 cos cos α α - = ( 29 sin sin α α - =- ( 29 tan tan α α - =- ( 29 cot cot α α - =- b. Hai góc bù nhau ( 29 cos cos π α α - =- ( 29 sin sin π α α - = ( 29 tan tan π α α - =- ( cot cot π α α - =- d. Hai góc hơn kém π ( 29 cos cos π α α + =- ( 29 sin sin π α α + =- ( 29 tan tan π α α + = ( 29 cot cot π α α + = c. Hai góc phụ nhau cos sin 2 π α α - = sin cos 2 π α α - = tan cot 2 π α α - = cot tan 2 π α α - = e. Hai góc hơn kém 2 π cos sin 2 π α α + =- sin cos 2 π α α + = tan cot 2 π α α + =- cot tan 2 π α α + =- Khi đó, 0 cos x α = 0 sin y α = 0 0 tan y x α = 0 0 cot x y α = ( 29 sin 2 sin k α π α + = ( 29 cos 2 cos k α π α + = ( 29 sin , sin sin , k k k α α π α + = - ch½n lÎ ( 29 tan tan k α π α + = ( 29 cot cot k α π α + = ( 29 cos , cos cos , k k k α α π α + = - ch½n lÎ www.VNMATH.com
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
1
LƯỢNG GIÁC QUA CÁC K Ỳ THI
A. M ỘT S Ố KI ẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác
Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( )0 0;M x y sao cho
số đo cung �AM α= .
tan APα = có nghĩa k.v.c.k 2
kπα π≠ + cot BQα = có nghĩa k.v.c.k kα π≠
3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt
2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt
α 0 6
π
4
π
3
π
2
π
sinα 0 1
2 2
2
3
2
1
cosα 1 3
2
2
2
1
2
0
tanα 0 3
3
1 3 �
cotα � 3 1 3
3
0
1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG sin
tancos
ααα
= cos
cotsin
ααα
=
2
2
11 tan
cosα
α+ = 2
2
11 cot
sinα
α+ =
2 2sin cos 1α α+ = ( )( )2sin 1 cos 1 cosα α α= + −
( )( )2cos 1 sin 1 sinα α α= + −
( )21 sin 2 sin cosα α α± = ± 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosα α α α+ = − 6 6 2 2sin cos 1 3sin cosα α α α+ = −
a. Hai góc đối nhau ( )cos cosα α− =
( )sin sinα α− = −
( )tan tanα α− = −
( )cot cotα α− = −
b. Hai góc bù nhau ( )cos cosπ α α− = −
( )sin sinπ α α− =
( )tan tanπ α α− = −
( )cot cotπ α α− = −
d. Hai góc hơn kém π ( )cos cosπ α α+ = −
( )sin sinπ α α+ = −
( )tan tanπ α α+ =
( )cot cotπ α α+ =
c. Hai góc phụ nhau
cos sin2
π α α − =
sin cos2
π α α − =
tan cot2
π α α − =
cot tan2
π α α − =
e. Hai góc hơn kém 2
π
cos sin2
π α α + = −
sin cos2
π α α + =
tan cot2
π α α + = −
cot tan2
π α α + = −
Khi đó, 0cos xα = 0sin yα = 0
0
tany
xα = 0
0
cotx
yα =
( )sin 2 sinkα π α+ = ( )cos 2 coskα π α+ = ( ) sin , sin
sin ,
kk
k
αα π
α
+ = −
ch½n
lÎ
( )tan tankα π α+ = ( )cot cotkα π α+ = ( ) cos , cos
cos ,
kk
k
αα π
α
+ = −
ch½n
lÎ
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
2
11. Phép biến đổi hàm số ( )2 2asin cos 0y x b x a b= + + ≠
Cũng có thể biến đổi
Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1cos cos cos cos
21
sin sin cos cos2
1sin cos sin sin
21
cos sin sin sin2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − + − −
= + + −
= + − −
4. Công thức cộng ( )cos cos cos sin sinα β α β α β± = ∓
( )sin sin cos cos sinα β α β α β± = ±
( ) tan tantan
1 tan tan
α βα βα β±± =
∓
5. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cosα α α=
2 2cos2 cos sinα α α= −
2 22cos 1 1 2sinα α= − = −
2
2tantan 2
1 tan
ααα
=−
6. Công thức nhân ba 3sin3 3sin 4sinα α α= −
3cos3 4cos 3cosα α α= − 3
2
3tan tantan3
1 3tan
α ααα
−=−
7. Công thức hạ bậc 2 1 cos2
cos2
αα += 2 1 cos2sin
2
αα −=
2 1 cos2tan
1 cos2
ααα
−=+
3 3sin sin3sin
4
α αα −= 3 cos3 3coscos
4
α αα +=
9. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos2 2
α β α βα β + −+ =
cos cos 2sin sin2 2
α β α βα β + −− = −
sin sin 2sin cos2 2
α β α βα β + −+ =
sin sin 2cos sin2 2
α β α βα β + −− =
( )sintan tan
cos cos
α βα β
α β±
± =
8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi
Đặt tan2
tα= . Khi đó,
2
2sin
1
t
tα =
+
2
2
1cos
1
t
tα −=
+
2
2tan
1
t
tα =
−
21cot
2
t
tα −=
2 2
2 2 2 2sin cos
a by a b x x
a b a b
= + +
+ +
( )2 2 cos sin sin cosa b x xϕ ϕ= + +
( )2 2 sina b x ϕ= + + với tan .b
aϕ =
( )2 2 sin sin cos cosy a b x xα α= + +
( )2 2 cosa b x α= + − với tan .a
bϕ =
sin cos 2 sin 2 cos4 4
x x x xπ π + = + = −
sin cos 2 sin 2 cos .4 4
x x x xπ π − = − = +
sin 3cos 2sin 2cos3 6
x x x xπ π ± = ± = ±
∓
3sin cos 2sin 2cos6 3
x x x xπ π ± = ± = ±
∓
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
3
b. Phương trình cosx m= - Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho cos mα = .
Khi đó, ( )2cos cos
2
x kx k
x k
α πα
α π= +
= ⇔ ∈ = − +ℤ
Đặc biệt, cos 02
x x kπ π= ⇔ = +
cos 1 2x x k π= ⇔ = ( )k ∈ℤ
cos 1 2x x kπ π= − ⇔ = +
( )cos cos cos cosx xα π α= − ⇔ = −
*T ổng quát 2
cos cos2
k
k
α β πα β
α β π= +
= ⇔ = − +
II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản
2. 3. 4. 5. 6.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác � Phương pháp giải.
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx � Phương trình có dạng sin cosa x b x c+ = � Điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2a b c+ ≥ . � Phương pháp giải.
a. Phương trình sinx m= - Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho sin mα = .
Khi đó, ( )2sin sin
2
x kx k
x k
α πα
π α π= +
= ⇔ ∈ = − +ℤ
Đặc biệt, sin 0x x kπ= ⇔ =
sin 1 22
x x kπ π= ⇔ = + ( )k ∈ℤ
sin 1 22
x x kπ π−= − ⇔ = +
*Tổng quát 2
sin sin2
k
k
α β πα β
α π β π= +
= ⇔ = − +
c. Phương trình tanx m= Chọn góc α sao cho tan mα = . Khi đó, ( )tan tan x x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤ
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. *T ổng quát tan tan kα β α β π= ⇔ = +
d. Phương trình cotx m= Chọn góc α sao cho cot mα = . Khi đó, ( )cot cot x x k kα α π= ⇔ = + ∈ℤ
Phương trình luôn có nghiệm với mọi m. *T ổng quát cot cot kα β α β π= ⇔ = +
Phương pháp 1. Dùng tanb
aϕ = để đưa
phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
sin cos sin tan cos
sin cos
b c cx x x x
a a ac
xa
ϕ
ϕ ϕ
+ = ⇔ + =
⇔ + =
Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho 2 2a b+ để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau:
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
sin cos
cos
a b cx x
a b a b a bc
xa b
ϕ
+ =+ + +
⇔ − =+
với 2 2
sina
a bϕ =
+ và
2 2cos
b
a bϕ =
+.
Phương pháp 3. (Thường dùng khi phương trình chứa tham số)
Dùng ẩn số phụ tan2
xt = thì phương trình trở thành:
( ) ( )
2
2 2
2
2 1. .1 1
2 0
t ta b c
t t
b c t at c b
−+ =+ +
⇔ + − + − =
(Đây là phương trình bậc hai theo t ).
- Dạng 2sin sin 0a x b x c+ + = , đặt sin , 1 1.t x t= − ≤ ≤
- Dạng 2cos cos 0a x b x c+ + = , đặt cos , 1 1.t x t= − ≤ ≤
- Dạng 2tan tan 0a x b x c+ + = , đặt tant x= .
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
4
� Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng asin cosx b x c+ = về phương trình lượng giác cơ bản ( )sinX x Y c+ = hoặc ( )cosX x Y c− = . ☺☺☺☺
* Đưa về dạng ( )sinX x Y c+ =
- Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4 - Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b. - Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X. - Bấm ALPHA S D⇔ = để xem giá trị của Y. - Khi đó, ( )asin cos sinx b x c X x Y c+ = ⇔ + = .
* Đưa về dạng ( )cosX x Y c− = thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y.
Khi đó, ( )asin cos cosx b x c X x Y c+ = ⇔ − = .
Chú ý: • Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu. • Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.
���� Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 2 cos2 3x x− =
� Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 3, 1Pol − ta được 2X = và 6
Yπ= − .
Giải: 3sin 2 cos2 3 2sin 2 36
x x xπ − = ⇔ − =
3sin 2 sin
6 2 3x
π π ⇔ − = =
2 26 3
2 26 3
x k
x k
π π π
π ππ π
− = +⇔
− = − +
2 225
2 26
x k
x k
π π
π π
= +⇔
= +
45
12
x k
x k
π π
π π
= +⇔
= +
.
� Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: ( 1, 3Pol − ta được 2X = và 2
3Y
π= .
Giải: 2
3sin 2 cos2 3 2cos 2 33
x x xπ − = ⇔ − =
2 3cos 2 cos
3 2 6x
π π ⇔ − = =
22 2
3 62
2 23 6
x k
x k
π π π
π π π
− = +⇔
− = − +
52 2
6
2 22
x k
x k
π π
π π
= +⇔
= +
5
12
4
x k
x k
π π
π π
= +⇔
= +
.
���� Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 2cos 2x x− + =
� Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 2,2Pol − ta được 2 2X = và 3
4Y
π= .
Giải: 3
2sin 2cos 2 2 2 sin 24
x x xπ − + = ⇔ + =
3 1sin sin ...
4 2 6x
π π ⇔ + = = ⇔
� Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: (2, 2Pol − ta được 2 2X = và 4
Yπ= − .
Giải: 2sin 2cos 2 2 2 cos 24
x x xπ − + = ⇔ + =
1cos cos ...
4 2 3x
π π ⇔ + = = ⇔
���� Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 3cos3 1x x+ =
Giải: 1
sin3 3cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin ...3 3 2 6
x x x xπ π π + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
5
hoặc 1
sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos ...6 6 2 3
x x x xπ π π + = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔
4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx � Phương trình có dạng ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c± + + =
� Phương pháp giải.
5. Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx - Đẳng cấp bậc 2 có dạng 2 2sin cos sin cosa x b x c x x d+ + = � Phương pháp giải.
- Đẳng cấp bậc 3 có dạng 3 3 2 2sin cos sin cos sin cos esin cos 0a x b x c x x d x x x f x+ + + + + = � Phương pháp giải.
Dùng ẩn số phụ ( )sin cos 2 sin 2 .4
t x x x tπ = ± = ± ≤
22 1
1 2sin cos sin cos2
tt x x x x
−⇒ = ± ⇒ = ± .
Phương trình trở thành ( )2
21. 0 2 2 0.
2
tat b c bt at c b
−± + = ⇔ ± + + =∓
(Đây là phương trình bậc hai theo t với 2t ≤ ).
� Phương pháp 1. i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 2cos x ta được phương trình bậc hai đối
với tant x= là ( ) ( ) ( )2 2 2tan tan 1 tan tan tan 0.a x b c x d x a d x c x b d+ + = + ⇔ − + + − =
ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay 2 2sin 1 cosx x= − .
� Phương pháp 2. Dùng công thức hạ bậc 2 1 cos2sin
2
xx
−= ; 2 1 cos2cos
2
xx
+=
và sin 2
sin cos2
xx x = để đưa phương trình đã cho về dạng đã biết.
i. Nếu cos 0x = không thỏa phương trình thì chia 2 vế cho 3cos x ta được phương trình bậc ba đối
với tant x= là ( ) ( )3 2 2 2tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0a x b c x d x e x x f x+ + + + + + + =
( ) ( ) ( ) ( )3 2tan tan tan 0.a e x d f x c e x b f⇔ + + + + + + + =
ii. Nếu cos 0x = thỏa phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung rồi giải, bằng cách thay 2 2sin 1 cosx x= − .
6. i. Phương trình dạng sin ,cos , tan , tan ,cot 02
xf x x x x =
� Phương pháp giải. Đặt tan2
xt = , rồi áp dụng công thức
tang góc chia đôi biểu diễn sin ,cos , tan ,cotx x x x theo t .
ii. Phương trình dạng ( )sin 2 ,cos2 , tan , tan 2 ,cot 2 0f x x x x x =
� Phương pháp giải. Đặt tant x= , rồi áp dụng công thức tang góc chia đôi biểu diễn sin 2 ,cos2 , tan 2 ,cot 2x x x x theo t .
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
6
B. M ỘT S Ố PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GI ẢI PH ƯƠNG TRÌNH L ƯỢNG GIÁC I. Phân tích thành nhân tử Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân
tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺. Phương pháp (Toán học Tuổi tr ẻ) - Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm.
• Chuyển phương trình về dạng ( ) 0f x = .
• Nhập vào MTBT hàm số ( )f x .
• Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt 2 3 5
0; ; ; ; ; ; ; ; ;26 4 3 2 3 4 6
π π π π π π π π π với chức năng
CALC của MTBT.
- Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm 3
xπ= . Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc
biệt với nó.
• Thử với góc đối: 3
xπ= − nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho
1cos
2x = hay
phương trình có một nhân tử là 2cos 1x − .
• Thử với góc bù: 2
3x
π= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có nghiệm x sao cho
3sin
2x = hay phương trình có một nhân tử là 2sin 3x − .
• Thử với góc hơn kém π : 4
3x
π= hoặc 2
3x
π−= nếu thỏa mãn phương trình thì phương trình có
nghiệm x sao cho tan 3x = hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x− .
Trong trường hợp này, nếu phương trình có hệ số tự do a thì ta thay bởi ( )2 2sin cosa x x+ rồi tiến hành
nhóm nhân tử chung. - Bước 3: Nhóm thừa số chung theo nhân tử đã biết. - Bước 4: Giải phương trình tích. ���� Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − = (KD – 2010) Nhập vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1x x x x− + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được
một nghiệm 6
xπ= .
• Thử với giá trị đối: 6
xπ−= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù: 5
6x
π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho 1
sin2
x =
hay phương trình có một nhân tử là 2sin 1x − ☺. Giải:
Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − =
( )22sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x⇔ − − + − − =
( ) ( )2cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x⇔ − + + − =
( ) ( )( )cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x⇔ − + − + =
( )( )2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ − + + =
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
7
( )
1sin
2sin cos 2
x
x x VN
=⇔
+ = −
265
26
x k
x k
π π
π π
= +⇔
= +
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 26
x kπ π= + ;
52
6x k
π π= + .
Chú ý: Trong bài trên cos2x có 3 công thức, ở đây phương trình có nhân tử là 2sin 1x − nên ta áp dụng công thức đưa về sin, tức là 2cos2 1 2sinx x= − ☺.
���� Ví dụ 2: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012)
Nhập vào MTBT ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ − + − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta
tìm được một nghiệm 2
3x
π= .
• Thử với giá trị đối: 2
3x
π−= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
1cos
2x = − hay phương trình có một nhân tử là 2cos 1x + ☺.
Giải:
Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +
22cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0x x x x x⇔ + − + − =
( ) ( )22cos cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − − + + =
( )( ) ( )cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − + + + =
( )( )2cos 1 3sin cos 1 0x x x⇔ + + − =
2cos 1 0
3sin cos 1
x
x x
+ =⇔
+ =
1cos
21
sin6 2
x
xπ
− =⇔
+ =
22
32
x k
x k
π π
π
= ± +⇔
=
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 2
23
x kπ π= ± + ; 2x k π= .
���� Ví dụ 3: Giải phương trình ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cosx x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)
Nhập vào MTBT ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x+ + − + . Sử dụng chức năng CALC của
MTBT ta tìm được một nghiệm 2
3x
π= .
• Thử với giá trị đối: 2
3x
π−= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù: 3
xπ= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị hơn π : 5
3x
π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x+ ☺.
Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 21 sin cosx x= + .
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
8
Giải:
Ta có ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x+ + = +
( )2 2 22cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + + + − + =
( )2 2sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0x x x x x x⇔ + + − + =
( ) ( )2
sin 3 cos 3 sin 3 cos 0x x x x⇔ + − + =
( )( )sin 3 cos sin 3cos 3 0x x x x⇔ + + − =
( )sin 3cos 0
sin 3cos 3
x x
x x VN
+ =⇔
+ =
tan 33
x x kπ π−⇔ = − ⇔ = + ( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 3
x kπ π−= + .
���� Ví dụ 4: Giải phương trình ( )24cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1 0x x x x x+ + − − =
Nhập vào MTBT ( )24cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1x x x x x+ + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT
ta tìm được một nghiệm 2
3x
π= .
• Thử với giá trị đối: 2
3x
π−= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị bù: 3
xπ= không thỏa phương trình.
• Thử với giá trị hơn π : 5
3x
π= thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho
tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cosx x+ ☺.
Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cosx x+ , ta thay hệ số tự do 2 21 sin cosx x= + . Giải:
( ) ( )2 2 2 2 24sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0x x x x x x x x⇔ + + − − − + =
( ) ( ) ( )2 3 2 24sin cos 4 3 cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + − + − − =
( ) ( ) ( )( )24cos sin 3 cos 2 sin 3 cos sin 3cos sin 3cos 0x x x x x x x x x⇔ + − + − + − =
( )( )2sin 3 cos 4cos 2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − − + =
( )( )sin 3 cos 2cos2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − + =
sin 3cos 0
2cos2 sin 3 cos
x x
x x x
+ =⇔
= −
tan 3
5cos2 cos
6
x
x xπ
= −⇔ = −
35
2 265
2 26
x k
x x k
x x k
π π
π π
π π
= − +⇔ = − + = − + +
35
26
5 2
18 3
x k
x k
x k
π π
π π
π π
= − +⇔ = − + = +
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 3
x kπ π= − + ;
52
6x k
π π= − + ; 5 2
18 3x k
π π= + .
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
9
II. Biến đổi phương trình về dạng sin cosa x b x c+ =
� Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3sinkx hoặc 3coskx thì phương trình đó có thể đưa được về dạng sin cosa x b x c+ = ☺.
���� Ví dụ 1: Giải phương trình ( )
( )( ) ( )1 2sin cos3
1 2sin 1 sin
x xI
x x
−=
+ − (KA – 2009)
Giải:
Điều kiện:
22
sin 121
6sin2 7
26
x kx
x kx
x k
π π
π π
π π
≠ +≠ − ⇔ ≠ + −≠ ≠ +
.
Với điều kiện trên, ta có ( ) ( )2cos sin 2 3 1 sin 2sinI x x x x⇔ − = + −
( )cos sin 2 3 cos2 sinx x x x⇔ − = +
sin 2 3cos2 3sin cosx x x x⇔ + = − + 5
2sin 2 2sin3 6
x xπ π ⇔ + = +
5sin 2 sin
3 6x x
π π ⇔ + = +
52 2
3 65
2 23 6
x x k
x x k
π π π
π ππ π
+ = + +⇔
+ = − + +
22
2
18 3
x k
kx
π π
π π
= +⇔
− = +
( )k ∈ℤ .
Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình 2
18 3
kx
π π−= + .
���� Ví dụ 2: Giải phương trình ( )3sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + (KB – 2009)
Giải: Ta có ( )3sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = +
( )21 2sin sin cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x⇔ − + + =
sin cos2 cos sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x⇔ + + =
sin3 3cos3 2cos4x x x⇔ + =
cos 3 cos46
x xπ ⇔ − =
4 3 26
4 3 26
x x k
x x k
π π
π π
= − +⇔
= − + +
( )2
62
42 7
x kk
x k
π π
π π
− = +⇔ ∈
= +
ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 26
x kπ π−= + ;
2
42 7x k
π π= + .
���� Ví dụ 3: Giải phương trình ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (KB – 2012)
Giải:
Ta có ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − +
( )22cos 1 2 3sin cos cos 3sinx x x x x⇔ − + = −
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
10
cos2 3sin 2 cos 3sinx x x x⇔ + = −
cos 2 cos3 3
x xπ π ⇔ − = +
( )2
2 2 23 3 3
22 2
3 3 3
x x k x kk
kx x k x
π π ππ π
π π ππ
− = + + = + ⇔ ⇔ ∈
− = − − + =
ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 2
23
x kπ π= + ;
2
3
kx
π= .
III. Bi ến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác ���� Ví dụ 1: Giải phương trình sin3 cos2 sin 0x x x+ − = (KD – 2013)
Giải: Ta có sin3 cos2 sin 0x x x+ − =
3 23sin 4sin 1 2sin sin 0x x x x⇔ − + − − = 3 24sin 2sin 2sin 1 0x x x⇔ + − − =
( )( )22sin 1 2sin 1 0x x⇔ + − =
2
2sin 1 0
2sin 1 0
x
x
+ =⇔ − =
1sin
2cos2 0
x
x
− =⇔
=
26
72
6
4 2
x k
x k
kx
π π
π π
π π
− = +⇔ = + = +
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là 26
x kπ π−= + ;
72
6x k
π π= + ; 4 2
kx
π π= + .
���� Ví dụ 2: Giải phương trình cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = (KD – 2006) Giải:
Ta có cos3 cos2 cos 1 0x x x+ − − = 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x⇔ − + − − − = 3 24cos 2cos 4cos 2 0x x x⇔ + − − =
cos 1
cos 1
1cos
2
x
x
x
=
⇔ = − −=
22
3
x k
x k
ππ π
=⇔ = ± +
( )k ∈ℤ .
Vậy nghiệm của phương trình là x kπ= ; 2
23
x kπ π= ± + .
���� Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − = (KD – 2002) Giải:
C. L ƯỢNG GIÁC QUA CÁC K Ỳ THI Giải các phương trình sau
1. sin 4cos 2 sin 2x x x+ = + (KA – A1 – 2014)
2. 1 tan 2 2 sin 4
x xπ + = +
(KA – A1 – 2013)
3. 3sin 2 cos2 2cos 1 x x x+ = − (KA – A1 – 2012)
4. 2
1 sin 2 cos22 sin sin 2
1 cot
x xx x
x
+ + =+
(KA – 2011)
5. ( )1 sin cos2 sin
14 cos 1 tan 2
x x xx
x
π + + + =
+ (KA – 2010)
6. ( )
( )( )1 2sin cos
3 1 2sin 1 sin
x x
x x
−=
+ − (KA – 2009)
7. 1 1 7
4sin 3sin 4sin2
xx x
ππ
+ = − −
(KA – 2008)
8. ( ) ( )2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2 x x x x x+ + + = + (KA – 2007)
9. ( )6 62 cos sin sin cos
0 2 2sin
x x x x
x
+ −=
− (KA – 2006)
10. 2 2cos 3 cos2 cos 0 x x x− = (KA – 2005)
11. 2cos2 1cot 1 sin sin 2
1 tan 2
xx x x
x− = + −
+ (KA – 2003)
12. Tìm nghiệm thuộc khoảng ( )0;2π của phương trình cos3 sin3
5 sin cos2 3 1 2sin 2
x xx x
x
+ + = + +
(KA – 2002) 13. ( )2 sin 2cos 2 sin 2x x x− = − (KB – 2014)
14. 2sin5 2cos 1 x x+ = (KB – 2013)
15. ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012)
16. sin 2 cos sin cos cos2 sin cos x x x x x x x+ = + + (KB – 2011) 17. ( )sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0 x x x x x+ + − = (KB – 2010)
18. ( )3sin cos sin 2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x+ + = + (KB – 2009)
19. 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cos x x x x x x− = − (KB – 2008) 20. 22sin 2 sin7 1 sin x x x+ − = (KB – 2007)
21. cot sin 1 tan tan 4 2
xx x x + + =
(KB – 2006)
22. 1 sin cos sin 2 cos2 0 x x x x+ + + + = (KB – 2005) 23. ( ) 25sin 2 3 1 sin tan x x x− = − (KB – 2004)
24. 2
cot tan 4sin 2 sin 2
x x xx
− + = (KB – 2003)
25. 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6 x x x x− = − (KB – 2002) 26. sin3 cos2 sin 0 x x x+ − = (KD – 2013) 27. sin3 cos3 sin cos 2 cos2 x x x x x+ − + = (KD – 2012)
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
12
28. sin 2 2cos sin 1
0 tan 3
x x x
x
+ − − =+
(KD – 2011)
29. sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x− + − − = (KD – 2010) 30. 3cos5 2sin3 cos2 sin 0 x x x x− − = (KD – 2009) 31. ( )2sin 1 cos2 sin 2 1 2cos x x x x+ + = + (KD – 2008)
32. 2
sin cos 3cos 2 2 2
x xx + + =
(KD – 2007)
33. cos3 cos2 cos 1 0 x x x+ − − = (KD – 2006)
34. 4 4 3cos sin cos sin 3 0
4 4 2x x x x
π π + + − − − =
(KD – 2005)
35. ( )( )2cos 1 2sin cos sin 2 sin x x x x x− + = − (KD – 2004)
36. 2 2 2sin tan cos 0 2 4 2
x xx
π − − =
(KD – 2003)
37. Tìm x thuộc [ ]0;14 nghiệm đúng phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0x x x− + − =
(KD – 2002)
38. ( )5 34cos cos 2 8sin 1 cos 5
2 2
x xx x+ − = (CD - KA – 2010)
39. ( )21 2sin cos 1 sin cos x x x x+ = + + (CĐ – KA,B,D – 2009)
40. sin3 3 cos3 2sin 2 x x x− = (CĐ – KA,B,D – 2008)
48. ( ) ( )23 2cos cos 2 3 2cos sin 0x x x x+ − + − = (DB II – KA – 2009)
49. 23 cos3 4sin cos
3cos
x x x
x
− = (DB – KD – 2009)
50. ( )4 44 sin cos cos4 sin 2 0 x x x x+ + + = (DBI – KD – 2008)
51. 23sin cos2 sin 2 4sin cos 2
xx x x x+ + = (DBII – KB – 2008)
52. 1
2sin sin 2 3 6 2
x xπ π + − − =
(DBI – KB – 2008)
53. 3
sin 2 sin 4 4 2
x xπ π − = − +
(DBII – KA – 2008)
54. 2tan cot 4cos 2 x x x= + (DBI – KA – 2008)
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
13
55. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tan x x x− + = + (DBII – KD – 2007)
56. 2 2 sin cos 1 12
x xπ − =
(DBI – KD – 2007)
57. sin 2 cos2
tan cot cos sin
x xx x
x x+ = − (DBII – KB – 2007)
58. 5 3
sin cos 2 cos 2 4 2 4 2
x x xπ π − − − =
(DBI – KB – 2008)
59. ( )22cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x+ + = + (DBII – KA – 2007)
60. 1 1
sin 2 sin 2cot 2 2sin sin 2
x x xx x
+ − − = (DBI – KA – 2007)
61. 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0 x x x x+ + + = (DBII – KD – 2006) 62. 3 3 2sin cos 2sin 1 x x x+ + = (DBI – KD – 2006) 63. ( )( )cos2 1 2cos sin cos 0 x x x x+ + − = (DBII – KB – 2006)
64. ( ) ( )2 2 22sin 1 tan 2 3 2cos 1 0 x x x− + − = (DBI – KB – 2006)
65. 2sin 2 4sin 1 0 6
x xπ − + + =
(DBII – KA – 2006)
66. 3 3 2 3 2cos3 .cos sin3 .sin
8x x x x
+− = (DBI – KA – 2006)
67. 2
2
cos2 1tan 3tan
2 cos
xx x
x
π − + − =
(DBII – KD – 2005)
68. ( )2 2 3sin .cos2 cos tan 1 2sin 0 x x x x x+ − + = (DBI – KD – 2005)
69. Tìm nghiệm trên ( )0;π của phương trình 2 2 34sin 3cos2 1 2cos
2 4
xx x
π − = + −
(DBII – KB – 2005) 70. sin 2 cos2 3sin cos 2 0 x x x x+ + − − = (DBI – KB – 2005)
71. 3 sin
tan 2 2 1 cos
xx
x
π − + = + (DBII – KA – 2005)
72. 32 2 cos 3cos sin 0 4
x x xπ − − − =
(DBI – KA – 2005)
73. ( )sin sin 2 3 cos cos2 x x x x+ = + (DBII – KD – 2004)
74. 2sin cos2 sin 2 cos sin 4 cos x x x x x x+ = (DBI – KD – 2004) 75. sin 4 sin7 cos3 cos6 x x x x= (DBII – KB – 2004)
76. 1 1
2 2 cos 4 sin cos
xx x
π + + =
(DBI – KB – 2004)
77. 1 sin 1 cos 1 x x− + − = (DBII – KA – 2004)
78. ( )3 34 sin cos cos 3sin x x x x+ = + (DBI – KA – 2004)
79. 2cos 4
cot tan sin 2
xx x
x= + (DBII – KD – 2003)
80. ( ) ( )
2cos cos 12 1 sin
sin cos
x xx
x x
−= +
+ (DBI – KD – 2003)
www.VNMATH.com
Nguyễn V ăn Rin Chuyên đề l ượng giác
14
81. ( ) 22 3 cos 2sin
2 4 1 2cos 1
xx
x
π − − − =
− (DBII – KB – 2003)
82. 6 23cos4 8cos 2cos 3 0 x x x− + + = (DBI – KB – 2003) 83. ( )3 tan tan 2sin 6cos 0 x x x x− + + = (DBII – KA – 2003)
84. ( )cos2 cos 2 tan 1 2 x x x+ − = (DBI – KA – 2003)
85. Xác định m để phương trình ( )4 42 sin cos cos4 2sin 2 0x x x x m+ + + − = có ít nhất một nghiệm
thuộc 0; 2
π
. (DBII – KD – 2002)
86. 2
1sin
8cosx
x= (DBI – KD – 2002)
87. 4 4sin cos 1 1
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
x xx
x x
+ = − (DBII – KB – 2002)
88. ( )2
4
4
2 sin 2 sin3tan 1
cos
x xx
x
−+ = (DBI – KB – 2002)
89. 2tan cos cos sin 1 tan tan2
xx x x x x + − = +
. (DBII – KA – 2002)
90. Cho phương trình 2sin cos 1
.sin 2cos 3
x xa
x x
+ + =− +
(a là tham số) (DBI – KA – 2002)
a. Giải phương trình khi 1
.3
a = b. Tìm a để phương trình có nghiệm.
91. ( )2 22cos2 sin cos sin cos 2 sin cosx x x x x x x+ + = + (ĐHSP – ĐHL TPHCM)
92. ( )4 44 sin cos 3sin 4 2x x x+ + = (ĐHSP TPHCM)
93. 8 8 1sin cos cos4 0
8x x x+ + = (TT ĐTBD CBYT TPHCM)
94. ( )2 2cos3 2 cos 3 2 1 sin 2x x x+ − = + (HVNH TPHCM)
95. sin sin 2 sin3 0x x x+ + = (HVNH – ĐHKT TPHCM) 96. 1 cos cos2 cos3 0x x x+ + + = (ĐHNL TPHCM) 97. 4 44sin 2 4cos 2 cos4 3x x x+ + = (ĐHTS) 98. 3 3sin cos cos2x x x− = (ĐHDL NN – TH TPHCM) 99. 2sin 2 3tan 1x x= + (CĐSP TPHCM)
100. ( )3 sin tan
2cos 2tan sin
x xx
x x
+− =
− (ĐH CT)
101. 5
sin cos sin 22 2
x x xπ π − + = −
(ĐH AG)
102. 2sin 2 cos2 7sin 2cos 4x x x x− = + − (ĐHQG HN)
Nguyễn V ăn Rin – Cao h ọc Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.
� CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ. � Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638
☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺☺
www.VNMATH.com
Lượng giác qua các k ỳ thi Nguyễn V ăn Rin
15
ĐỀ THI TH Ử ĐẠI H ỌC NĂM 2014 103. ( )sin3 2cos2 3 4sin cos 1 sinx x x x x+ = + + + (Đại học Vinh)
104. ( )22
2
2cos sin cos 3sin 3 sin
1 tan 4 42 2
x x xx x
x
π π− + = + − + + (THPT Hồng Quang)
105. cos2 2 sin 2
4 11 sin
x x
x
π − + + =
− (THPT Quốc Oai)
106. ( )1 cos cot cos2 sin sin 2x x x x x− + + = (THPT Lương Ngọc Quyến)
107. 22sin sin 2 3sin cos 2 0x x x x+ − + − = (THPT Hồng Quang)
108. sin 1
cot 21 cos 1 cos
xx
x x+ + =
+ − (Đại học Vinh)
109. ( )11 sin sin 2 1 cot 1 tan
4 2 4x x x x
π π + − + = + + −
(THPT Hà Huy Tập)
110. ( )
( )1
1 sin cos sin 212 1 cot21 tan
4
x x xx
xπ
+ − += +
+ −
(THPT Hà Huy Tập)
111. ( )( )1 sin 2sin 2 6cos 2sin 3
22cos 1
x x x x
x
− + + +=
+ (THPT Chuyên Lê Quý Đôn)
112. ( )sin 2 sin 4 cos 2
02sin 3
x x x
x
− + −=
+ (THPT Quỳnh Lưu 1)
113. 32sin cos2 cos 0x x x− + = (THPT Lương Thế Vinh) 114. ( )1 sin 1 sin sin 2 cos2x x x x+ + + = (THPT Lương Thế Vinh)
115. 3 3 2sin cos 3sin 4sin cos 2 0x x x x x− + + − + = (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) 116. cos tan 1 tan sinx x x x+ = + (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) 117. 2cos6 2cos4 3 cos2 sin 2 3x x x x+ − = + (THPT Hùng Vương)
118. sin 2 cos2 4 2 sin 3cos
4 1cos 1
x x x x
x
π − + + − =
− (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu)
119. 1 cos2
2 cos . 1 cot4 sin
xx x
x
π + − = +
(THPT Chuyên Lương Văn Chánh)
120. ( )( )1 tan 1 sin 2 1 tanx x x− + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)
121. ( ) ( )2tan 1 sin cos2 2 3 cos sin sinx x x x x x+ + + = + (THPT Chuyên Vĩnh Phúc)