Vladuca Carte Vol 1

ELEMENTEDEFIZICANUCLEARAG.VLADUCABUCURESTI,1988Cuprins1 PROPRIETATIFUNDAMENTALEALENUCLEELOR 51.1 Nucleulatomic-not iuniintroductive,structuranucleului. . . 51.2 Stabilitateanucleului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Energiadelegatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Energiadeseparareauneiparticule . . . . . . . . . . 191.2.3 Energiade mperechere . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3 Dimensiunilenucleului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4 Formulasemiempirica pentru energia de legatura si masa nu-cleului. Modelulpicatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.5 Spinulnucleului sistatisticaparticuleloridentice . . . . . . . 541.6 Paritateafunct iei deundaanucleuluisi inversiatemporala.Legeaconservariiparitat ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601.7 Momentulmagneticdipolaralnucleului . . . . . . . . . . . . 721.7.1 Metode experimentale de determinare a spinului simomentuluimagneticdipolaralnucleelor . . . . . . . 761.7.2 Rezultatelemasurarii spinilor si momentelor magneti-ce. ModeluluniparticulaalluiSchmidt . . . . . . . . 911.8 Momenteleelectricealenucleului . . . . . . . . . . . . . . . . 991.8.1 Determinareaexperimentalaamomentuluicvadrupolar1111.9 Radioactivitateanaturala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1221.9.1 Legeadezintegrariiradioactive . . . . . . . . . . . . . 1231.9.2 Caracterulstatisticallegiidezintegrariiradioactive. . 1261.9.3 Familii(serii)radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . 1361.9.4 Largimeastarilorcaresedezintegreaza. . . . . . . . . 1492 FORTELENUCLEARE 1542.1 Proprietat ilefort elornucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1542.2 Operatorul energiei potent ialeVpentruinteract ianucleon-nucleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612.3 Teoriamezonicaafort elornucleare . . . . . . . . . . . . . . . 1822.4 Particuleleelementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1922.4.1 Introducere nzicaparticulelorelementare . . . . . . 1922.4.2 Legideconservare nzicaparticulelorelementare . . 2002.4.3 Clasicareaparticulelorelementare. . . . . . . . . . . 2162.5 Cromodinamicacuanticasifort elenucleare . . . . . . . . . . 2252.5.1 Modeluldecuarc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2252.5.2 Cromodinamicacuantica. Construireahadronilordincuarci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2292.5.3 Not iuni introductive privind unicarea fort elor din natura2393 MODELENUCLEAREDESTRUCTURA 2433.1 Clasicareamodelelornucleare . . . . . . . . . . . . . . . . . 2433.2 Modelulpaturilornucleare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463.2.1 Numerelemagice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2463.2.2 Construireamodelului npaturi. . . . . . . . . . . . . 2513.2.3 Variantauniparticulaamodelului npaturi,(MPS) . . 2733.2.4 Variantauniparticulapentrunucleelepermanentde-formate(MPD). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2913.3 Modelecolective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3033.3.1 Modelulcolectivpentrunucleesferice(MCS) . . . . . 3053.3.2 Modelul colectivpentrunucleepermanentdeformate(MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3153.4 Modelulunicat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3213.4.1 Aproximat iacuplajuluislab(MUCS) . . . . . . . . . . 3223.4.2 Aproximat iacuplajuluitare(MUCT) . . . . . . . . . 3243.5 Concluzii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512CUVANT INAINTELucrareareprezintaexpunereaprelucrataalect iilor t inutestudent ilortehnologidinanulVlacursulgeneraldeFizicaNucleara.Desi lucrarea urmaresten esent a programa analitica a cursului, urmatoareleprecizariseimpun: In lucrare nu au fost incluse capitolele referitoare la Interact ia Radiat iilorNucleare cu Substant a si Detect ia Radiat iilor Nucleare pentru mo-tivulcastudent iifacultat iiauladispozit iematerialecorespunzatoaren lucrarile: Introduceren Utilizarea Izotopilor Radioactivi de N.Ghior-danescu si, respectiv, Spectroscopie Nucleara de R.Ion Mihai si G.Vladuca. Problematica studiata, indvorbade uncurs general, introductiv,esteprezentata, pecatposibil,calitativsidescriptivfara ncarcaturacuanto-mecanicaspecicadomeniului. Uneledemonstrat ii, precizarisi observat ii menitesaclariceopartedinproblemeleabordatesunttotusiprezentate nlucraresubformaunorcompletarilatextulgene-ral, lucrareaindastfel conceputa ncatlaoprimacitireacesteasapoataevitate. Problemele abordate sunt prezentatenluminacercetarilor actualedinzicanucleara. Astfel, nparalelcuformulaclasic ademasaaluiWeizsacker esteprezentatasi formulalui Myers-Sviatecki folositanprezent nmodcurent ncalculul maselornucleare. Inmodsimilar,pelangateoriaclasica, mezonica, afort elornucleareesteprezentata,calitativ,siteoriacromodinamiciicuantice,etc. Inlucrareuneleparagrafesi capitole depasesc, printematicaabor-data, programaanaliticaacursului. Unexempluedicatornacestsens lconstituiecapitolul3 ntitulatModeleNuclearede Structuracareareoextinderemai mare. Aceastaobt iuneafost aleasapen-trumotivulca nliteraturadespecialitateacestdomeniu,deosebitdeimportant nzicanucleara, estetratatestrictcalitativ,ncatevapagini de informareasupraexistent ei modelelor nucleare, e foartematematicizat, ncart ivoluminoasedespecialitate,practicinaborda-biledecititorul careseinit iaza nzicanucleara. Inconsecint aamncercat umplerea acestui golprintr-o prezentare relativ ampla si cuun aparat matematicsimplu. Sper ca aceasta ncercare va utila atat3celorcarese init iaza nzicanuclearacat sicelorcare dejaau labazaunastfeldecursgeneral.Pentru comoditateautilzarii,lucrarea a fost conceputa n doua part i. Inprimapartesuntprezentateproprietat ilefundamentalealenucleului, pro-prietat ilesi teoriaelementaraafort elor nuclearesi modelele nucleare destructura. Parteaadouaprezintateoriaelementaraadezintegrarii,si,react iilenucleare,siunea sifuziuneanuclearacatsicatevaaplicat iialeziciinucleare.Lucrarea se adreseaza n primul rand student ilor. Lucrarea poate utilasi profesorilor de zica dinnvat amantul mediu ca si tuturor celor care dorescsaseinit ieze nzicanucleara.Mult umesc prof. dr. CalinBesliu, prof. dr. GrecuVoicusi lectordr. R.Ion-Mihai pentrudiscut iile si sugestiile de care m-ambucuratnelaborareaacesteilucrari.Lucrareaeste, reste, susceptibilaperfect ionarii si caurmareoricenoiobservat ii sisugestiivorprimitecurecunostint a.Autorul4Capitolul1PROPRIETATIFUNDAMENTALEALENUCLEELOR1.1 Nucleul atomic- not iuni introductive, struc-turanucleului.Not iunea de nucleu a fost introdusa de Rutherford n urma experient elordedifuzieaparticulelor pefoit emetalicesubt iri. Acesteexperient e, efec-tuate nanii 1906-1912, auimpusipotezacaatomul areunnucleucudimensiunimultmai mici dectaleatomului ncareseconcentreazapeste99%dinmasaatomului.Acesteconcluziiau rezultatprin comparareasect iunii diferent iale teore-tice de mprastiere a particulelor cu datele experimentale corespunzatoare.ExpresiateoreticadedusadeRutherford sicolaboratoriiGeigersiMarsdenpentrusect iuneadiferent ialaeste:_dd_R=1(40)24m2Q2(ze)2(2p sin2)4(1.1)ncare m,p size reprezinta masa,impulsul si,respectiv,sarcina particuleiproiectil , Qeste sarcinanucleulumprastietor iar este unghiul demprastiere. Precizamca nperioadacands-auefectuatacesteexperient esestiacasarcinaparticuleieste2eiarmasaacesteiaestedeaproximativ7000orimaimaredecatmasaelectronului.Relat ia(1.1), dedusadinconsiderente clasice, dinpunct devederealmecaniciicuanticeesteadevarata nurmatoareleipoteze:5a) Interact iantreparticulasi nucleulmprastietor (nucleul t inta) estestrictcoulombiana.b) Esteadevarataaproximat iaBorn, adicaundeleasociateparticulelorincidentesiemergentesuntundeplane.c) MasanucleuluiMestemultmaimaredecatmasaproiectiluluim(M>> m)sicaatareseneglijeazaenergiacineticadereculanucle-ului.d) Particulaproiectilcasinucleult intasuntfaraspin.e) Particulaproiectilsinucleult intasuntfarastructura,adicaconsiderateparticulepunctiforme.S-aconstatatcadateleexperimentalesunt nacordcurelat iateoretica(1.1) dacaseconsideraQ=Ze ncareZestenumarul atomical nucleuluimprastietor. S-astabilit astfel canumarul sarcinilor pozitiveelementarealenucleuluiesteegal cunumaruldeelectroni ai atomuluirespectiv, atomneutrudinpunctdevedereelectric. Inparticularpentrunucleul atomuluidehidrogenZ=1;acestnucleu,primuldinsistemulperiodicsirestecelmai simplunucleu, afost numit de Rutherfordprotonde lacuvantulgrecescpretes(primul). RezultacanucleelecuZ>1au ncompozit ialor protoni adica microparticule cu sarcina pozitiva numeric egala cu sarcinaelementarae.Relat ia (1.1), n poda ipotezei e) a permis estimarea limitei superioare adimensiunilor nucleului. Aceasta estimare se bazeaza pe faptul ca apropiereaminima(rmin)aparticulelordenucleul desarcinaZesecalculeazadincondit iacaenergiacineticaEse transfera integral nenergie potent ialaderespingere:E=2Ze240rminrmin=2Ze240E(1.2)Inparticular,pentruparticuleledeenergiecineticaE 5MeV(cucare s-au efectuat init ial experient ele) si foit e de aur (ZAu=79) se obt ine va-loarea rmin aproximativ 2.1014m. Deoarece pentru aceste energii sect iuneadiferent iala denita de relat ia (1.1) este n concordant a cu datele experimen-tale,se poate spune ca pentru distant e r rmininteract ia dintre particulelesi nucleeledeaurestepurcoulombiana. Dinacestrat ionamentrezultacasumarazelor particulelor si nucleelor de Aueste cel mult egalacurmin = 2.1014m. DinacesteconsiderenteRutherfordaajunslaconcluziacarazanucleului, considerat sferic, este mai micasaucel mult egalacu2.1014m.6Informat ii suplimentare asupra structurii nucleului s-au obt inut din ma-suratorilemaseloratomilor, carepracticcoincidcumaselenucleelorcores-punzatoare. MasuratorileauaratatcamasaunuinucleucuZ>1nuestedeterminatadesarcinanucleului respectiv. Mai mult, s-aconstatat cae-xistanucleecuacelasi numaratomicZdarcareaumasediferite. Acestenucleeaufostnumiteizotopi(isos-acelasi, teps-loc). Experient aaaratatcamasaoricaruiizotopraportatalamasaprotonuluiestefoarteapropiatade un numar ntreg A care a primit denumirea de numar de masa. Fireste,aceastaconstatareexperimentalaasugeratipotezacaoriceizotoparputeacompusdinAprotoni. DeoarecenumereleAsi Znusuntegalepentruizotopii cuZ,=1, rezultacannuclee trebuiesaexiste si alte par-ticulepentruanconcordant aatat cumasuratoriledemasacat si cusarcina Ze a nucleului. O solut ie acceptabila init ial a fost considerata ipotezaprotono-electronica, conformcareianucleulestecompusdinAprotonisiA-Z electroni. Existent a nucleelor radioactive,care emit spontan electroni-fenomencunoscutla nceputulsecoluluitrecut-aconstituitunargumentconvingator nfavoareaacesteiipoteze.Dezvoltarea ulterioara acercetarilor de zica nuclearaacondus laoseriederezultate careinrmaaceastaipoteza; printreacesteasemnalamurmatoarele:a) Masuratorile experimentale au aratat ca momentele magnetice ale nucle-elorsuntdeaproximativ103ori mai mici decatmomentul magneticalelectronului.b) Energia electronilor localizat i n interiorul nucleului de raza R 1014m,asacumrezuladinrelat iadeincertitudinealuiHeisenberg:r.p h (1.3)estedeordinulsutelordeMeV.Intr-adevarpentrur R sip p =1c_E(E + 2mec2) Ec; E 2mec2(1.4)dinrelat ia(1.3)rezulta:E=hcR 1012R(m)(MeV ) (1.5)Pentru R 1014se obt ine E 100 MeV. Aceastaenergie este foartemare comparativcuenergiaradiat iilor emise de nucleele - ra-dioactive. Inaltaordinedeidei,electroniicuenergiiasademarin-ar7putealocalizat i nnucleudeoareceenergiadeatract iecoulombianamaximapecareopoateexercitanucleul asupraelectronului denitaderelat ia:ECoul.=140Ze2R 1.44ZR(F)(MeV ) (1.6)este mult mai mica de 100 MeV, pentru orice valoare a lui Z (1 Z 82).Inexpresia(1.6) energia coulombiana se obt inenMeVdaca razanucleuluiseexprima nfermi(F),caresedenesteastfel:1F= 1015m (1.7)Reamintim1MeV= 1.61013J (1.8)c) Un alt argument menit sa inrme ipoteza protono - electronica este legatdefaptul caelectronii si protonii suntfermioni (sesupunstatisticiiFermi - Dirac). Conformteoremei Ehrenfest- Oppenheimer(1931),unsistemformatdintr-unnumarpar,respectivimpar,defermionisesupunestatisticii Bose- Einstein, respectivstatisticii Fermi - Dirac.Un sistem format din A protoni si A-Z electroni cont ine 2A-Z fermionisisevasupuneuneiadinceledouastatistici dupacum2A-Zesteunnumar par sau impar. In particular nucleul147Nare 2A-Z=21 fermionisi ar trebui sa se supuna statisticii Fermi - Dirac. Datele experimentaleinrma nsaaceastaipotezapledandfaraposibilitatedegresealacaizotopul147Nse supune statisticiiBose - Einstein. La timpul respectivaceastasituat ieafostnumitacatastrofaazotului.Acesteargumente, casi altele, auinrmatipotezastructurii protono-electroniceanucleului. Problemastructurii nucleului apututrezolvataabiananul 1932cand, dupaoseriedeexperient eefectuatedeBothesiBeckersi sot ii Ir`enesi JoliotCurie, JamesChadwichdescoperaneutronul(neuter-neutru n limba latina), o particula de masa apropiata de a protonu-luidardesarcinanula.Inacelasian,zicianulsovieticD.D.Ivanenkosi,independent,zicianulgerman W.Heisenberg au emis ipoteza protono-neutronica a nucleului con-form careia nucleul cont ine Z protoni si A-Z neutroni. Desi aceasta ipoteza aavutla nceputdicultat i naexplicafenomenuldeemisiespontanaaelec-tronilor din nucleu (radioactivitatea ), ipoteza eran concordant a cu toate8celelaltedateexperimentaleasa ncatafostacceptatafararezerve. Con-form acesteiipoteze,protonii si neutronii formeaza nuclee stabile si ca atarentre ei trebuie sa se exercitefort e de atract ie,numite fort e nuclearecare,evidentsuntmai puternicedecatfort eleelectromagnetice. Dupacumvomconstatadinpunctdevederenuclearprotonii si neutronii interact ioneazaidentic,ceeacesereectasi nmasalorfoarteapropiata. Dinacestmotiv,atatpentruprotoncatsi pentruneutronsefolosesteterminologiadenu-cleon,semnicandfaptulcaprotonulsineutronulsuntdouastariposibilealeparticuleinumitanucleon.Inacordcuceleprecizate,sededuceca nipotezaprotono-neutronicaanucleuluinumereleAsiZcapatanoisemnicat ii: ZreprezintanumaruldeprotoniiarAreprezintanumaruldenucleoniainucleului.InzicanuclearapentruostructurastabilaformatadinAnucleoni,dincareZsuntprotoni,semaifolosesteterminologiadenuclid. Notat iaobisnuitapentruunnuclid(nucleu)esteurmatoarea:AZX (1.9)ncareXestesimbolulchimicalelementului.Nuclizii cuacelasi numardemasaAdarcunumarZdeprotonidiferitsenumescizobari(isos-aceeasi, bares-greutate, masa); nuclizii cuacelasinumaratomicZdarcunumeredemasadiferitesenumesc, dupacumammaiprecizat, izotopiiarnuclizii cuacelasi numardeneutronisenumescizotoni. Dinpunct devederenuclear izotopii pot foartediferit i desiatomii diferit ilor izotopi auproprietat i chimice identice (de fapt de aiciprovinesi denumirea)si proprietat i zicesimilare. Acestearmat ii seex-plicaprinaceeacaasuprastructuriipaturilorelectronicealeatomului, nu-cleulact ioneaza,practic,numaiprinsarcinaZe.Except iefacizotopii hidrogenului11H,21Hsi31Hcaresede-osebescmultcamas asi caatarepropriet at ilelorzicesi chiarchimice sunt diferite. Tocmai dinaceast acauz aacesti izotopiauprimit denumiri distincte. Astfel atomul izotopului21H(nu-mitsi izotopul greu)s-anumitdeuteriusi aresimbolul D;nucleul respectivsenumestedeuteronsiaresimbolul d. Si-milar atomul izotopului31H(numit si hidrogenul supergreu) senumeste tritiu cu simbolulT iarnucleul respectivpoart ade-numireadetritoncusimbolul t. Deosebirile dintre acestiizotopipotexemplicate ncazulmoleculelordeap a H2Osi deap agreaD2O. Apagreaaredensitateade1108kg/m3,erbela101.42C si ngheat a la 3.82C; sunt propriet at i destul de diferite9Figura1.1Diagramaprotono-neutronicaaizotopilorstabilisiradioactivincomparat iecuapaobisnuit a(numit asi ap ausoar a), pro-priet at icesuntfolosite nobt inereaindustrial adeap agrea.O analiza a tuturor nucleelorcunoscute astazi - n jur de 300 stabile si peste2000createarticial-nepermitesafacemurmatoareleconstatari:a) SuntcunoscutenucleecuZ 107. Dintreacestea, nucleelecuZ>83sunt radioactive. De remarcat faptul ca pentru Z< 83 nu exista nucleestabilecuZ=0(neutronul esteradioactiv), Z=43(technetium)siZ=61(promethium).b) Ansamblul nucleelorcunoscuteaunumarul demasaA 1si A263.NuexistanucleestabilecuA=5,8 siA 210.c) Majoritatea elementelorchimice au mai mult i izotopi. Recordul l det ine50Sn care are 10 izotopi stabili cu A=112, 114, 115, 116, 117, 118, 119,120,122si124.d) Incazul nucleelorstabilesi chiarinstabile, numaruldeprotoni Zsi deneutroniN=A-Zrespectaoanumitaproport iereectatadediagramaprotono-neutronicadingura1.1Zonahasurataintensdingura1.1corespundenucleelorstabileexis-tente nnatura. Acestenucleeformeazaasanumitacurbadestabi-litate. Zonahasuratamaiput inintensdelimiteazanucleelecreate10articial panaastazi; acesteasunt radioactive cat si radioac-tive pentruA>140. Liniilentrerupte precizate prinSp=0siSn=0reprezintalimitateoretica amaselor nucleelor nucleono-stabileadicaanucleelorcare ncanuemitspontanprotoni (Sp=0)sauneutroni(Sn= 0).e) Cele mai stabile si ca atare cele mai raspandite sunt nucleele pentru careZ si N sunt numere pare ( nuclee par-pare) si cele mai put in stabile suntnucleele cu Z si N numere impare (nuclee impar-impare). De fapt suntcunoscutenumai patrunucleeimpar-imparestabilesi anume21H(d),63Li,105Bsi147N.Incontinuarevomnotacum(A, Z)masanucleului cecont ineAnucleonidin care Z sunt protoni iar masa atomului corespunzator prin M(A, Z). Intreacestemarimiexistaurmatoarearelat ie:m(A, Z) = M(A, Z) Zme +Welegc2(1.10)ncare Weleg, energiatotala de legaturaaelectronilornatom, se poateestimacuajutorulrelat iei:WEleg 15.73Z73(eV ) (1.11)In calculele curente adesea se neglijeaza termenul Weleg/c2n (1.10) asa ncatrelat iadevine:m(A, Z) M(A, Z) Zme(1.12)Inzicanuclearamasanucleelor, casi aatomilor, semasoaranunitat iatomice de masa u. Unitatea atomica de masa reprezinta a 12-a parte dinmasaatomuluide12C.1u =MC1212 1.66.1027kg (1.13)Determinareaexactaamaselornucleelorsefaceprinspectroscopiede masa( n care se determina de fapt masa atomului iar masa nucleului respectiv sedeterminan acord cu relat iile de mai sus) cat si prin analiza bilant ului ener-getical react iilornuclearesaual dezintegrarilorsau. Acestemetodepermit determinarea masei nucleare ca si a protonului si neutronului cu mareprecizie.Deexemplumasaprotonuluieste:mp= (1.007276470 0.000000011)u (1.14)11Echivalentul nenergieal unitat ii atomicedemasa, nacordcurelat ialuiEinstein,este:1uc2= 931.48MeV 931.5MeV (1.15)Inzicanuclearadar nspecial nzicaparticulelorelementaremasaesteexprimatanunitat i deenergie- MeV-. Astfelnlocul relat iei (1.14) sespunedeseoricamasaprotonuluiestede 938.26MeV .Insfarsitment ionamfaptulcapentruestimarilerapide,masanucleuluisepoateexprimaprinnumaruldemasaconformrelat iei:m(A, Z) A.u (1.16)cuudenit n(1.13). Astfelcandprecizianuestenecesara,sepoatearmacamasaprotonului casi aneutronului esteegaacuounitateatomicademasa.1.2 Stabilitateanucleului1.2.1 EnergiadelegaturaNucleul atomic,ca oricesistem cuantic,are stari energeticediscrete. Stareadeenergieminimasenumestestarefundamentalaiarstariledeenergiesuperioarasenumescstariexcitate. Incondit iinormalenucleulseaa nstareafundamentala.Masuratorilede masa au aratatca masa nucleului m(A,Z) n stareafun-damentalaestemaimicadecatsumamaselornucleonilorconstituent iaat instarelibera:m(A, Z) < Zmp + (AZ)mn(1.17)Asadar,laformareanucleului arelocun efectdemicsorareamaseitotaleasistemului,numitefectdecondensare,cumarimea:m(A, Z) = Zmp + (A Z)mnm(A, Z) (1.18)Aceastapierderedemasasepoateexplicapebazarelat iei lui Einsteindeproport ionalitate ntremasam sienergiatotalaE(E= mc2)aunui sistemizolat astfel: la formarea nucleului, ca urmare a lucrului mecanic efectuat defort ele nucleare atractive,se elibereaza energie, numita si energie de formareanucleului. Aceeasi energieestenecesarapentrua nvingefort elenuclearela descompunerea nucleului n constituent ii sai aat i n stare libera. Aceastaenergie(nacordcurelat ialuiEinstein)estedenitadeexpresia:W(A, Z) = c2m(A, Z) = (Zmp + (A Z)mnm(A, Z))c2(1.19)12Figura1.2Suprafat aenergeticaB(A,Z) nfunct iedeAsi Zpentruansamblul nucleelordingura1.1si este cunoscuta sub denumirea de energie de legatura a nucleului relativa latot inucleoniicomponent isau,maisimplu,energiadelegaturaanucleului.Deoarecentabelele de masasunt date masele atomice si numaselenucleare, rezulta,nacordcuexpresia(1.12)ncareseneglijeazaenergiade legaturaaelectronilor,caW(A,Z)se poateexprima nfunct iedemaseleatomicecorespunzatoare:W(A, Z) = (ZMH+ (A Z)mnM(A, Z))c2(1.20)Energia de legatura raportata la numarul de nucleoni A se numeste energiemediepenucleon(sauenergiespecicaanucleonului nnucleu):B(A, Z) =W(A, Z)A(1.21)Daca valoarea B(A,Z) se calculeaza pentrutoate nucleele cunoscute dingura 1.1,atunci nspat iul B,A,Z, energiaB(A,Z)reprezintao suprafat aenergetica(gura1.2)care, ntr-oprimaaproximat ie,areformaunei seiacarei coamacorespundenucleelorstabileiarpantelecorespundnucleelor+siactivedingura1.1.Oimagine mai precisa despre structura suprafet ei B(A,Z) se obt ineanalizanddiferitesect iuni ale acesteia. Sect iuneasuprafet ei B(A,Z) prinplaneleA=constant(gura1.3a)determinavaloarealuiB(A,Z)pentrunu-cleeleizobarecuAdat. Sect iuneaareformaunei parabolepentruAi(Aimpar)sauadouaparabolepentruAp(Apar). InprimulcazpeparabolesuntdispusevalorileB(A,Z)pentrunucleepar-impare(Z-par, N-impar)si13impar-pare(Z-impar, N-par). Incel deal doileacazpeparaboladedea-suprasuntdispusevalorileB(A,Z)pentrunucleelep-p(Z-par, N-par)iarpecealaltasunt dispusenucleelei-i (impar-impare). Sect iuneasuprafet eiB(A,Z)cuplaneleZ=constant(gura 1.3b),caredetermina familiaizotopi-lor, areformaadouaparabole. Peunadinele(Zp=Zpar)suntdispusevalorileB(A,Z) pentrunucleelecuZpar (p-p,p-i) iar pecealalta(Zi=Zimpar) nucleele cuZimpar (i-p, i-i). PentrunucleelecuZpar parabolacuAparestesituatadeasupraceleicorespunzatoarenucleelorcuAimpar;PentrunucleelecuZimparsituat iaseinverseaza.La fel arata si sect iunea suprafet ei B(A,Z) cu planele N=constant (gura1.3c) care determina familia izotonilor. In toate cazurile, varfurile parabolelorreprezintavalorileB(A,Z)corespunzatoarecelormai stabilenucleepentrufamilia data iar ramurile parabolei corespund nucleelor active. In particu-larseconstatacamaximulparaboleipentruA=constant(Ap)serealizeazapentruZ0=A/2pentrunucleeleusoaresi pentruZ0 0b)particula(x,y)poateemisaspontan,Sm< 0,decatrenucleul(A,Z)DacaenergiamediedelegaturaB(A,Z)esteprivitacaofunct iecontinua siderivabila nraportcuvariabileleAsiZ,ceeaceesteoaproximat iedestuldecorectapentrunucleelecuA 50,Smdinrelat ia(1.23)sepoatescrie siastfel:Sm(x,y)(A, Z) = xB(A, Z) W(x, y) + (A x)_xBA+yBZ_(1.24)In particular, aceastarelat ie pentru separarea unui neutron si a unui protondevine:Sn(1,0)(A, Z) = B(A, Z) + (A 1)B(A, Z)ASp(1,0)(A, Z) = B(A, Z) + (A 1)_B(A, Z)A+B(A, Z)Z_(1.25)Dinacesterelat ii rezultacaenergiade separare aunui nucleondifera deenergiamedie pe nucleon. Inparticular,energiade separareaunui neutronesteaproximativegalacuenergiamedie B(A,Z)pentru nucleemedii pentrucareB/A 0. PentrunucleeleusoareB/A > 0 sicaatareSn> BiarpentrunucleelegreleB/Avaloarea:< r2>=R0_0r4drR0_0r2dr=35R20(1.35)si caurmare si razazica a nucleului< r2> se exprima n funct ie de A26printr-orelat iesimilaracu(1.33):< r2> =_35r0A1/3= r0A1/3(1.36)Incazulmaigeneral,metodelededeterminarearazei sipropunsasta-bileascaexperimentalfunct ia realade distribut ie (r) si apoi, nacordcurelat ia(1.34), sedeterminarazanucleului< r2>careseparametrizeazasubformaexpresiei(1.33)sau(1.36). Subliniem nmoddeosebitfaptulcadeterminareafunct iei dedistribut ie(r)pelangafaptul capermitedeter-minarea razei nucleului are ea nsasi important a furnizand informat ii asuprastructuriinucleului(distribut iasarcinilorsianucleonilor,formasfericasaudeformataanucleului,etc.). Acestemetodevorprezentate ncontinuaresuccint.Determinarea experimentalaa funct iei (r) se realizeaza n experient edemprastiereadiferitelor particulepenucleul t inta(nparticular, dacasesondeazastructuranucleonilor, nucleul t intaestechiar nucleonul) acarui funct ie(r)urmeazaadeterminata. Acesteexperient esebazeazapefaptul calungimeadeundadeBroglie asociataproiectilului este maimicadecatdimensiuneanucleului, atunci dinimagineadedifract iecareapare nprocesul de mprastiereelasticase poate stabilidistribut ia spat iala(r)anucleonilorsi chiarformanucleului. Finet eadetaliilor estecuatatmai marecucatlungimeadeundaasociataparticulelorproiectil estemaimica; deaici rezultacaaceste experient esefaccuparticuleproiectil deenergiemare, cumvomvedeacantitativ nceleceurmeaza. AceastaideeafostconrmatapentruprimadatadeDavissonsiGermer nexperient elede difuzie aelectronilor pe monocristale. Inexperient alor imaginea dedifract ie se obt inea ori de cate ori lungimea de unda asociata electronilor eracomparabila (sau mai mica) cu constanta ret elei cristaline a monocristaluluimprastietor.Interpretareateoreticaaexperient elordedifuzieadiferitelorparticulepenuclee nscopul determinarii funct iei (r)estemultusuratadacasuntndeplinitecondit iileurmatoare:a) particulaproiectilestefarastructurab) interact ia dinte particula proiectil si nucleonii nucleului analizat este binecunoscutadinpunctdevedereteoreticSaobservamcaacestecondit ii nuerau ndeplinite ncazul experient eide mprastiere a particulelor . Intr-adevar, n afara faptului ca energia par-ticulelor folositenexperient aRutherforderafoartemica, acesteasunt27particule cu structura iar interact iunea lor cu nucleonii este de natura nu-cleara(ceaelectricaestemultmaislaba) sicaatarenuestepreciscunos-cuta. Aceastasituat ie este de fapt tipica tuturor experient elor n care dreptproiectil se folosesc hadroni, adicaparticule care interact ioneaza nuclear(tare) cu nucleonii nucleului. Desi dicil de interpretat teoretic, experient eledemprastiereahadronilor demareenergie(nparticular protonii) suntnecesare nscopul determinariidistribut iei spat ialeanucleonilor. Inastfeldeexperient eseobt inefunct iaN(r)caredenestedistribut iadensitat iimateriei nucleare. Cuaceastafunct ieN(r), nacordcurelat ia(1.34)sedetermina< r2N>,adicarazapatraticamedieamaterieinucleare,saumaiexact,raza patratica medie a fort elor nucleare, care, desi de scurta distant a,sepotextindepart ialsidincolodedistribut ianucleonilor.Dinaceastadiscut ie rezulta ca nexperient ele cu hadroni, desi necesare,condit iiledemaisusnusunt ndeplinite.Electronii sunt singurele particule care ndeplinesc n totalitate condit iileprecizate mai sus. Intr-adevar electronii sunt particule fara structura (punc-tiforme) care interact ioneaza electromagnetic ( interact ie bine cunoscuta) cunucleoniinucleului. Dacaneglijaminteract iarelativslabadintremomentulmegneticalelectronuluisimomentulmagneticalnucleonilor, nparticularcucelalneutronului1rezultacaexperient elede mprastiereelasticaaelec-tronilordemareenergiepenucleevorsensibileladistribut iaspat ialaaprotonilor n interiorul nucleului. Asa dar n acesteexperient e, printr-o pre-lucrareadecvata, seobt ine nnalfunct iaE(r)caredenestedistribut iadensitat iide sarcina siacurent ilor nnucleu. Aceastafunct ieintrodusa nrelat ia(1.34)denesterazapatraticamedieasarciniielectriceanucleului,pecareovomnotacu< r2E>.Este cazul saprecizamca dinexperient ele demprastiere, indiferentdenaturaproiectilului, sepoatedeterminadirectnufunct ia(r) ( EsauN)cimarimeazicaF(q2)numitafactordeforma, carereprezintatransformata Fourier a funct iei (r). In acord cu cele de mai sus se denesteun factor de forma nuclear FN(q2) corespunzator funct iei N(r) si, respectiv,unfactordeformaelectricFE(q2)corespunzatorfunct ieiE(r).Sa demonstram ca sect iunea diferent ialaddcorespunzatoare distribut ieiE(r)seexprima nfunct iedesect iuneadiferent iala(dd)pcorespunzatoareuneidistribut iipunctualeprinrelat ia:dd=_dd_p[ FE(q2) [2(1.37)1Desi aparent surprinzator vom constata nparagraful 1.7 ca neutronul are un momentmagneticdiferitdezerodesiesteneutrudinpunctdevedereelectric28Figura1.11ncarefactoruldeformaelectricsedenesteastfel:FE(q2) =1Z2e_E(r)ei qrdr (1.38)ncare hqreprezintatransferuldeimpuls(gura1.11)egalcu:hq= pi pf; hq= 2p sin 2(1.39) pi sipfreprezinta impulsul electronilor init ial si, respectiv, mprastiat elastic([ pi [=[pf [)iaresteunghiulde mprastiere.Dacadistribut iadesarcinaanucleuluiestepunctuala:E(r) = Z2e(r) (1.40)rezultaF(q2)=1 sisect iuneadiferent ialad/dcoincide,cumeraresc,cusect iuneadiferent ialacorespunzatoaredistribut ieipunctuale.Vomdemonstrarelat ia(1.37)pentrucazul particular ncare(d/d)pcoincide cu sect iunea diferent ial a Rutherford din relat ia(1.1). Sect iunea diferent ial ase deducedin punct de vederecuan-ticdinamplitudineade mpr astieref()conformexpresiei:dd=[ f() [2(1.41)cu:f() = m2h2_fV (r)id= m2h2Mif(1.42)29Figura1.12Inaproximat ia Born, funct iile de und a asociate particulelorinit ialesinalesuntundeplane:i= ei pir h; f= ei pfr h; if= ei qr(1.43)ncarehqestetransferul deimpuls.In continuarevomconsiderac a masaparticuleiproiectilmestecumultmaimic adec atmasanucleuluit int aM. Inacestfel nprocesul de mpr astieresetransfer aimpulsul hqdarnusienergiaderecul. Aceast aarmat ieestetipic asistemului cen-trului demas asi estereasc ancazul analizat, deoarece princondit iaM>>msistemul centrului demas acoincidepracticcusistemul laboratorului.Dac aneglij amecranarea introdus a de electroni, rezult a c aenergiadeinteract iecoulombian aV(r) ntreproiectil sinucleu,aateladistant ar,areexpresia:V (r) =140(Z1e)(Z2e)r=140Z1Z2e2r(1.44)ncareZ1eestesarcinaproiectiluluiiarZ2eestesarcinanucle-uluit int a.Insistemul decoordonate dingura1.12si t in andcont deexpresiile(1.43)si(1.44), elementul dematriceMifdin(1.42)devine:Mpif=Z1Z2e240_ei qrrr2sin drdd =30Figura1.13=2Z1Z2e240_0rdr1_1eiqr cos d(cos ) ==1404Z1Z2e2q_osinqrdr =1404Z1Z2e2q2(1.45)Sect iuneadddin(1.41)este:dd=1(40)24m2(Z1Z2e2)2( hq)4(1.46)careesteidentic acurelat ia(1.1)deoarecehq= 2p sin /2.Incontinuare calcul amsect iuneadiferent ial anipotezac asarcinanucleuluiZ2eestedistribuit adup afunct iaE(r)(gura1.13) ntotvolumulnucleului. Inacestcazenergiadeinteract iedin(1.44)devine:V (r) =Z1e40_E(

r)[ r

r [d

r(1.47)Seconstat aimediatc apentrucazul distribut ieipunctiforme:E(

r) = Z2e(

r) (1.48)31energia V(r) devine egal a cu energia denit a de (1.44). Curelat ia(1.47)elementul dematriceMifdin(1.42)devine:Mif=Z1e40_ei qr_(

r)[ r

r [d

rdr (1.49)Dac a efectu amintegrarea pe variabilar pentru

rconstant sifacemsubstitut ia r =

R+ rcudr = d

R,Mifdin(1.49)devine:Mif=Z1e40_ei q

RZ2eRd

R1Z2e_(

r)ei q

rd

r= MpifFE(q2)(1.50)Substituind Mifdinexpresiademai nainte nrelat ia(1.42)seobt inepentrusect iuneaecacediferent ial a, pentruosarcin aextins a, relat ia(1.37) ncare (d/d)pestesect iuneaRuther-fordpentruosarcin apunctual aRelat ia (1.37)permite determinarea factorului de forma FE(q2). Se pro-cedeaza astfel: se determinasect iunea diferent iala experimentala d/dpentru diferite unghiuri. Apoi pentru aceleasi unghiuri se calculeaza sect iuneadiferent ialateoretica(d/d)ppentruodistribut iepunctuala. Facandra-portul valorilor experimentale si teoretice se determin a FE(q2) pentru unghiulrespectivsi deci pentruvalorileqcorespunzatoare. Apoi dinrelat ia(1.30)printr-otransformareinversasepoatedetermina nprincipiudistribut iadesarcinaconformrelat iei:E(r)Z2e(2)3_FE(q2) ei qrdq (1.51)Referitorlaaceastaprocedurafacemurmatoareleprecizari:a) Sect iunea diferent ial a (d/d)ptrebuie sa descrienmodadecvatprocesul de mprastierestudiat. Inparticular ncazulexperient elor cuelectroni rapizi, init iate deHofstadter (1953)laacceleratorul liniardelaStanford,sect iunea(d/d)pcores-pundesect iunii Rutherfordgeneralizatapentrucazul electroni-lorrelativisti si princonsiderareaspinului; aceastageneralizarea fost facuta de Motte. Asa dar pentru experient ele cu electroni,de fapt cele mai precise, prin (d/d)pse nt elegesect iunea teo-reticaaluiMotte.32b) Relat ia (1.51) este denita daca factorul de forma este cunos-cutpentrutoatevalorileq. Inrealitatevalorileimpulsului tran-sferat hq sunt limitate de valorile impulsului init ial. Inpluspentruvalori detransfer hqmari sect iuneadiferent ialaexperi-mentala, dupacumsepoateestimadinrelat ia(1.1), arevalo-ri foarte mici (erori mari) ceea ce complica determinarea ex-perimentala a factorului de forma FE(q2). De aceea, n re-alitate, relat ia(1.51) nupoatefolositapentrudeterminareafunct iei dedistribut ieE(r). Aceastafunct ieseobt inepracticdinrelat ia(1.38) postulandu-sepentrueadiferitedependent e(parametrizari), alegandu-se nnal aceadependent a(parame-trizare) care verica relat ia (1.38) pentru factorul de forma FE(q2)determinatexperimental.Firesteparametrizareaceamaisimpla-sidecidesfolosita-postuleazacafunct iadedistribut ie(r)areosimetriesferica:E(r) = (r, , ) = E(r) (1.52)InacestcazFE(q2)devine:FE(q2) =1Z2e_0(r)r2dr2_0d1_1eiqr cos d(cos ) =4Z2eq_0r(r) sin qrdr(1.53)Aceastaexpresie, obt inutanipoteza(1.52), permitenprincipiude-terminarearazei patraticemedii independentdealteconsiderentereferitoarelafunct iaE(r)dacaeste ndeplinitacondit ia:rq = r2phsin 2 1 (1.54)Intr-adevarprindezvoltare nserieafunct ieisin(qr):sin qr qr 13!(qr)3+. . . (1.55)factoruldeformadin(1.53)devine:FE(q2) =4Z2e_(r)r2(1 16q2r2)dr=1Z2e_(r)dr q26Z2e_r2(r)dr= 1 q26< r2E>(1.56)Inobt inereaacesteiexpresiis-at inutcontde relat ia(1.34),defaptul cadr = 4r2drcatsidecondit iadenormareafunct ieidensitat iidesarcina:_E(r)dr = Z2e (1.57)33Relat ia (1.56),dupa cum s-a anticipat, permite determinarea razei patraticemedii pentruvalori mari ale transferului de impuls hq, dacasecunosc valorile experimentale ale factorului de formaFE(q2). Inschimbpentruvalori mici hq, determinarealui dinrelat ia(1.56) devineimprecisasauchiarimposibila. Valorilemici alelui q, nacordcurelat ia(1.54),seobt inepentruunghiuride mprastieremiciepentruimpulsuriincidente(energii)mici. Inacestecondit ii expresia(1.54), pentrudistant aregalacurazaREanucleuluidevine:Rq= R2phsin 2 Rph R

1 (1.58)condit iecarepoatescrisanfunct iedeenergiacineticaincidentaEcaelectronilorastfel:

=hp=hc_Ec(Ec + 2mec2)hcEc1.2 1012(m)Ec(MeV )R (1.59)relat ie obt inuta cu condit ia Ec 2mc2. Asa dar, daca energia Ec(nMeV)estemica, este ndeplinitacondit ia

R, condit ieceimplicavalori micipentru parametrul q si ca atare determinarea marimii < r2E> din(1.56) estediscutabila.Inconsecint a nacestecondit ii(

R), ncel maifericitcazsepoatedetermina < r2E> adica,matematic,momentul de ordinul doi al funct iei dedistribut ie; obt inerea funct iei de distribut ie E(r), care constituie un scopnsinealacestorexperient e,saucelput inaunormomentedeordinsuperior,esteimposibila nacestecondit ii. Inconcluziepentrudeterminareafunct ieiE(r) sideci siamarimii< r2E>cuprecizieestenecesaracondit ia:

R (1.60)condit ie care xeazaenergia minimanecesara efectuarii experient elor demprastiere. Dacacondit ia(1.60)estesatisfacuta, dezvoltarea nseriedin(1.55)numaiesteposibila sicaatarefunct iadedistribut ieE(r)sedeter-minadinrelat ia(1.53)postulandpentrufunct iaE(r),cusimetriesferica,diferite forme (parametrizari)posibile,urmand caulteriorsa sestabileascacare din acesteforme concrete este n concordant a cu valorileexperimentalealefactoruluideformaFE(q2).Astfel dacapostulamca(r)estedenitaderelat ia(1.32), pentrufac-toruldeformadin(1.53)seobt ineexpresia:FE(q2) =40Z2eqR0_0rsin qr dr =40Z2eq_R0qcos qR0 +1q2sinqR0_(1.61)34Dincondit iadenormare(1.59)rezultarelat ia:Z2e = 40R0_0r2dr =430R30(1.62)careintrodusa n(1.61),denestevaloareanalaaluiFE(q2):FE(q2) =3R30qsin qR0R0q cos qR0q2(1.63)Aceastarelat iepermite determinarea razeiR0pentru ecarevaloareex-perimentala a factorului de forma corespunzatoare unui q xat. Daca pentruecareset de valori(q, FE(q2)) seobt ine aceeasivaloareR0(rste n limite-lestatisticeacceptabile)atuncisepoateconsideracadistribut iadesarcinadenitaderelat ia(1.32)estecorectasi razapatraticamedieestedenitadeexpresia(1.35).In mod similar, daca se postuleaza pentru funct ia E(r) parametrizarea:(r) = 0erb(1.64)seconstatacaFE(q2)din(1.53)estedeforma:FE(q2) =1(q2b2+ 1)(1.65)Procedandcamaisus,dinaceastarelat iesedeterminabcaredeneste< r2E>nacordcuexpresia(1.34)astfel:< r2E>= 12b2(1.66)Demonstr amrelat iile (1.65) si (1.66). Factorul de form aFE(q2)din(1.53)cu(r)din(1.64)areexpresia:FE(q2) =40Z2eq_0rerbsin qrdr =40Z2eqI (1.67)F ac andsubstitut ia=1/b,integralaIdevine:I =dd___0ersin qrdr__=dd__m_0er(iq)dr__=dd_m1 iq_= dd_q2+q2_=2q(2+q2)2=2qb3(1 +q2b2)2(1.68)35Calcul amncontinuareparametrul 0dincondit iadenormare(1.57):Z2e = 40_0r2erbdr = 40(br22b2r2b3)erb [0= 80b3(1.69)dincarerezult a:0=Z2e8b3(1.70)Cu0din(1.70) si I din(1.68) se obt ine pentrufactorul deform adin(1.67)expresia(1.65)Raza p atratic a medie < r2E>, n acord cu denit ia din (1.34),va:< r2E>=1Z2e_(r)r2dr =40Z2e_0r4erbdr =40Z2e24b5= 12b2(1.71)Dinexempleledemaisusrezultacapentrudiferitedistribut ii sepoatecalculaFE(q2)sisidecisisect iuneadiferent ialad/ddinrelat ia(1.37)dacasect iuneaMotte(d/d)pestecunoscutateoretic. Rezultatulacestorcalculepentrufunct iile(r)precizatemai suslacareseadaugasicalcululpentrufunct iabiparametricaaluiFermi:(r) =E01 +erREaE(1.72)suntprezentatecalitativ ngura1.14Din gura rezulta can cazul distribut iei cu scaderea exponent iala (gura1.14a)sect iuneadiferent ialascadeuniformcuunghiulde mprastierecasisect iunea(d/d)pcorespunz atoaresarcinii punctiforme; sect iunead/destepentru oriceunghi mai micadeoareceFE(q2) din (1.65)estesubunitar.In cazul distribut iei din (1.72) sect iunea d/d prezinta un aspect difract ional(gura1.14b, curbaB)careseaccentueaza ncazul distribut iei dinrelat ia(1.32)(gura 1.14 b, curba A) care, zic, implica o suprafat a bine denita anucleului. In general cucat(r) scademai brusc la suprafat a nucleuluicuatatcaracteruldifract ionalestemaiputernic.22Aceastacomportareasect iunilordiferent ialeeradeasteptatdacafacemoanalogiecuexperient eledereexieaundelordinoptica. Sestiecadacatrecereadelaunmediuoptic la altul are loc printr-un salt al indicelui de refract ie auloc fenomene de interferent acareconduclaoimaginedifract ionalaaundelor reectate. Dacatrecereasefacelent,caracteruldedifract iesediminueazasilalimitasestinge36Figura1.14Dependent acalitativaasect iuniidiferent ialed/dnfunct iedeunghiulpentrudiferiteleparametrizarialefunct iei(r)Asadar, dincolode calculele concrete,o simpl aprivire asupradependent ei sect iunii diferent iale cu unghiul de mpr astiere genereaz asuciente informat ii asupra distribut iei densit at ii de sarcin a E(r).In particularexperient ele de mpr astierea electronilorcu energiideordinul GeVpe protoni si peneutroni auar atat c ad/dscade lent cu unghiul de mpr astiere ceea ce a sugerat clar c a pro-tonul sineutronul auodistribut iedesarcin adenit aderelat ia(1.64)cuurm atoriiparametri:0 7.5 1017kg/m3b 0.23F (1.73)_< r2E> =12 b2 0.8 FDinacesteexperient earezultatdeci c anucleonii suntparticulecuextensiespat ial aasarciniidarf ar asuprafat adenit a.Ment ion amcuacest prilej c anexperient e dempr astiereinelastic a a electronilor de energii de ordinul GeV pe protoni s-a evident iat existent a unor centrii mpr astietori punctiformi ninteriorul protonului. Inacestfel s-ageneratideeac anucleoniisuntformat idinparticuleelementarenumitecuarci.Astfeldeexperient es-auefectuatdeexemplucufasciculeledeelectroni37Figura1.15Dependent aradialaafunct ieiE(r)pentrudiferitenuclee,cucondit iadenormare_(r)dr = 1de20GeVobt inutelaacceleratorul delaStanford. Saobservamcapen-truacesteenergii, e 5.1017m nacordcurelat ia(1.59). Inacestfelstructuraprotonilorsianeutronilorapututsondat apanalavalorilede5.1017m.In mod similar experient ele de mprastiere a electronilorrapizi pe nucleeaugeneratpentruE(r)dependent adingura1.15. Cuexcept ianucleelorusoare(A 30) pentrucare(r)scadeexponent ial dupaolegesimilaracuceadin relat ia(1.64),pentru majoritateanucleelorfunct iade distribut iepoatebineaproximatacurelat ia(1.72)cuurmatoriiparametri:Ee 2.8 1017kg/m3aE 0.55 1015mRE 1.07 A1/3.1015m (1.74)_< r2E> 0.94 A1/3.1015mSaobservamcadistribut iadinrelat ia(1.74) introducepelangaraza_< r2E>si razaREdenitacadistant adelacentrul nucleului panalalocul ncaredensitateadesarcinascadelajumatate.Estecazul saremarcamsi faptul ca ncazul mprastierii hadronilordemareenergie(deexempluprotonide energii 1GeV)cutoatedicultat ile38Figura1.16Funct iadedistribut ieFermisemnalatemai sus, s-auobt inut pentrufunct iadistribut iei densitat ii ma-teriei nucleareN(r)odependent asimilaracuE(r)darcuurmatorii pa-rametri:N0 E0= 2.8.1017kg/m3aN 0.65 FRN 1.25 A1/3F (1.75)_< r2N> 1.1 A1/3Frezultatecarearataca ngeneralneutronii siprotoniiauodistribut iesimi-lara.Asadar, ansamblul experient elor demprastiereauconduslaideeacapentru majoritatea nucleelor cu A 30 o imagine satisfacatoare a distribut ieidensitat iidesarcinasauamaterieinucleare nnucleuestecea ncareden-sitateaesteaproapeconstant adelacentrul nucleului panalaoanumitadistant a dincolo de care densitatea scade lent spre valoarea zero (gura1.16).Forma analitica este data de relat ia (1.72) n care R deneste distant a dela centrul nucleului pana la locul n care densitatea (de sarcina sau a materieinucleare)scadelajumatateiaraesteunparametrunumitdifuzivitatecare determinavitezade micsorare adensitat ii respective lasuprafat anucleuluisi estedenit nfunct iedegrosimeasuprafet ei nuclearetprinexpresia:t = 4 a ln3 4.4 a (1.76)39Parametrul t stabileste grosimeapentrucare densitatearespectivasemicsoreazadelavaloarea0.90lavaloarea0.10(gura1.16).Deasemeni experient eleauconduslaconcluziacapentrumajoritateanucleelor razanucleului- indiferent de denit iafolositasaude naturaelectricasaunuclearaaacesteia-sepoateparametrizaprinexpresia:r0A1/3(1.77)Aceastaparametrizare estedefapt oconsecint areascaaconstatariiexperimentaleconformcareiadensitateadesarcinasauamaterieinucleareesteaproape constanta ninteriorulnucleului (consideratsferic). Subliniemnsa faptul caexistanuclee pentru careparametrizareadin relat ia (1.77)nuesteadevarataiar funct iadedistribut ie(r) nuprezintasimetriesferica;rezultacaacestenucleenusunt sferice. Asadar, acesteexperient e(casialtedoveziexperimentaledespre carevom amintiulterior) aratacaexistaoclasa importanta de nuclee care se abat de la forma sferica si care se numescnucleedeformate.Pentrunucleele sferice parametrul de proport ionalitate r0dinrelat ia(1.77)arevalori diferite nfunct iededenit iafolositapentruraza(R0, R,< r2>) sidenaturaelectricasaunuclearaaacesteia. Deaicisifaptulcan literatura de specialitate apar diferite valori pentru r0(cuprinse de regulan intervalul (0.91.5)1015m) adesea fara a se preciza denit ia si naturarazei folosite ceea ce duce la unele amibiguitat i la xarea valorii r0n diferiteaplicat ii. Laoraactualavalorileacceptatepentrur0, nlimitaunorerorirelativede 10%, nfunct iededenit iasinaturarazeisunturmatoarele:R0= r0A1/3R = r A1/3< r2> = r0A1/3r0E= 1.21 F rE= 1.07 F r0E= 0.94 F (1.78)r0N= 1.42 F rN= 1.25 F r0N= 1.10 Fncarerazelereduser0suntexprimate nF(Fermi).Inetapaactualaazicii nucleares-aajunslaconcluziac afunct iadedistribut ie(r)dinrelat ia(1.72),normatala0,denitadeexpresia:f(r) =(r)0=11 +erRa(1.79)si numita adeseasi factorul de forma Woods-Saxon, exprima efectulglobalprincarenucleulact ioneazaasupraunuiproiectiloarecare.Deoarece mareamajoritate aproprietat ilor nucleelor se pot relevanprimul randnprocesul de interact ie proiectil - nucleu(react ii nucleare)40rezultacarazaR, care denestempreunacuparametrul difuzivitate a,forma efectiva a interact iei nucleare exprimata prinfactorul de formaWoods-Saxon,sedetaseazacaimportant a.Deaceeadecelemaimulteori nliteraturadespecialitatemairecentaprinrazanucleuluise nt elegerazaRdinrelat ia(1.79). Aceastadenit iepentrurazanucleului vafolositasi naceasta lucrare, dacanuse facprecizarispeciale.Inconcluzieputemarmacaexperient elededeterminarearazei si adistribut iei (r) au furnizat primele informat ii despre dimensiunea, forma sistructuranucleului sianucleonilor.Subliniem ncaodataideeacadinexperient elede mprastiereaelec-tronilorrapizi (saumai general aleptonilor3penucleesaupenucleoni seobt ininformat iiprivinddistribut iasarcinilor(si curent ilor)electrici nnu-cleu sau n nucleoni iar din experient ele de mprastiere a hadronilor se obt ininformat iidespredistribut iamaterieinucleare.Precizamde asemenea ca experient ele demprastiere - prelucratenacordcuproceduradescrisa nacestsubcapitol,ncarefactorul deformaF(q2)areprincipalulrol-suntfolositeaproape nexclusivitatepentruson-dareastructuriiparticulelorelementare4.1.4 Formula semiempirica pentru energia de legaturasimasanucleului. Modelulpicatura.Rezultateleprezentate nparagrafeleprecedentepotrezumateastfel:1. Razanucleului,presupus sferic,estedenitaderelat iaR = r0A1/32. EnergiamediepenucleonB(A,Z) pentrunucleeusoare cuA30sepoatespunecaenergiamedieB(A,Z)estepracticconstantasi egalacuaproximativ8MeV.3Inclasicareaparticulelorelementare,careva abordata ncapitolul2,electroniifacpartedinleptoni.4Not iuneadeelementaritatevaabordata nparagraful2.4.1413. Energia medie pe nucleon B(A,Z) este sistematic mai mare pentru nu-cleelepar-pare decat pentru nucleele par-impare, impar-pare si impar-imparevecine. Stabilitateamareanucleelor par-pare,ntrecaresedetaseazanucleeleceaunumarul deprotonisi/saunum arul deneu-troni egal cunumerelemagice2, 8, 20, 28,50, 82, 126, etc. aratacafort elenuclearefavorizeazaformareadeperechidenucleoniidentici.4. Pentruun nucleupar-par cunumarul de nucleoni Axat, izobarulcelmai stabil corespundedinpunctdevederenuclear numarului Z0=A/2. Aceastaconstatarearatacafort elenuclearefavorizeazanucleelepar-parepentrucarenumarul deprotoni Zesteegal cunumarul deneutroniN(Z=N).Acesterezultateaufostcorelateinit ialdeBethe siWeizsacker(1935) nformulasemiempiricapentrudeterminareaenergiei delegaturaanucle-onuluisi decisi pentrudeterminareamasei nucleului. Inobt inereaacesteiformule autorii s-au bazat si pe analogia dintre nucleu si o picatura de lichid,analogiesugeratadeprimeledouarezultatement ionatemaisus.Intr-adevar razanucleului estedeformaR=r0A1/3caoconsecint aafaptului cadensitateamateriei nucleareestepracticconstantaadicaareaceeasi valoareindependentdedimensiunilenucleului dupacumsi densi-tateauneipicaturi delichidnudepindededimensiunilepicaturii. Rezultadeaiciincompresibilitateamaterieinucleareca sialichidului.DinconstatareacaenergiamedieB(A,Z)estepracticconstantaarezul-tat proprietatea de saturat ie a fort elor nucleare, proprietate ce o au si fort elechimiceceleagamoleculeleunuilichid. Inplusatatpic aturadelichidcatsi nucleul prezintafenomenul detensiunesuperciala, nsensul caasupramoleculelor(nucleonilor)atelasuprafat apicaturii (nucleului)act ioneazanumaifort eledeatract iealemoleculelor(nucleonilor)dininterior.Asemanarile semnalate mai sus au condus la elaborarea modelului pica-tura al nucleului, n care nucleul este asimilat cu o pic atura sferica de lichidnuclearincompresibil si ncarcatelectric. Pornind de la modelul picaturii sepoatededuceoformulapentruevaluareaenergiei delegaturaanucleului.Conceptul de baza al acestei evaluari constan ipoteza can materia nuclearainnita(unnucleugigant, faragranit e), formatadinnucleoni ntrecareseexercita numai fort e nucleare,energia medie pe nucleon este o constanta. Innucleulreal,cudimensiuni nite,energiamediesemicsoreazapana lavalo-rile B(A,Z) constatate experimental, datorita energiei de suprafat a, generatade dimensiunile nite ale nucleului si datorita energiei coulombiene generatade faptul cantre nucleonii nucleului real sunt si protoni ntre care se exercitafort ecoulombienederespingere.42Daca a1este energia medie pe nucleonnmateria nucleara innit a,rezulta ca energia de legatura W(A,Z), n acord cu relat ia (1.21), este denitadeexpresia:W(A, Z) = a1A (1.80)Deoarece W(A,Z) este proport ionala cu numarul de nucleoni si deci si cuvolumul nucleului (R = r0A1/3),aceastaenergie se mai numeste si energiedevolum. Incazulnucleuluireal,nit,nucleoniidelasuprafat anucleuluisunt mai slab legat i. Deoarece numarul acestor nucleoni este proport ional cusuprafat a nucleului (4R2 A2/3), rezulta ca energia de legatura a nucleuluivamaimicadecata1Acuomarimeproport ionalacuA2/3sideci:W(A, Z) = a1A a2A2/3(1.81)n care coecientul de proport ionalitate a2, avand n vedere analogia nucleu-lui cu picatura, este denit n esent a de coecientul nuclear de tensiune su-perciala. Termenul de energie a2A2/3senumeste energiede suprafat a.Energia de legatura data de expresia (1.81) corespunde unui nucleu nit for-mat nsadinnucleoni ntrecareseexercitanumaifort eatractivenucleare.In nucleul real si nit trebuie sa t inem seama si de respingerea coulombianaaprotonilor. Dacapresupunemcaprotoniisuntomogendistribuit i ninte-riorul nucleului sfericderazaR0, seconstatacaenergiacoulombianaestedatadeexpresia:WCoul(A, Z) =1403Z(Z 1)e25R0 a3Z2A1/3(1.82)cua3=1403e25R00.864r0(F)(MeV ) (1.83)ncaredacarazaelectricaredusaseexprima nFrezultatul seobt inenMeV. EnergiaWCoul(A, Z) micsoreaza de asemeni energiade legatura anucleuluicaredevine:W(A, Z) = a1Aa2A2/3a3Z2A1/3(1.84)Vomdemonstrarelat ia(1.82). Inacest scopdenimdensi-tatea de sarcin avolumic a considerat aconstant a,prin expresia: =ZeV=3Ze4R3(1.85)43ncareVestevolumul nucleuluideraz aR. P aturaelectric aderaz a si de grosime d (gura 1.17) va avea volumul dV =42d si sarcinadq =dV si vacreanpunctul r (r R)potent ialul:dU(r) =140dqr= k42dr(1.86)cuk =140= 9.109Nm2/c2(1.87)Reamintimfaptul c ap aturaconcentric aderaz a> rcreaz a ninteriorul eiunpotent ial constantsiegal cupotent ialul creatdep aturaderaz a;rezult ac apentru> ravemr = Cuaceast aobservat iepotent ialul U(r)din(1.86)devine:U(r) = 4k__r_01r2d +R_rd__== 2k(R2r2/3) = kZe2R_3 ( rR)2_(r R) (1.88)Deoarece osfer aomogennc arcat a cusarcina Qse comport apentrur>Rcaosarcin apunctiform a, concentrat ancentrusferei, rezult ac apotent ialul coulombianestedenitdeexpresiaurm atoare:U(r) =___kZe2R_3 ( rR)2_pentru r RkZerpentru r R(1.89)Incontinuarecalcul amenergiacoulombian a(electrostatic a)derespingeredintredoi protoni uniformdistribuit insferaderaz aR.Energiaprimuluiproton nc ampul potent ialU2(r)creatdecel alaltprotonva:W12=R_0U2(r)dq1=R_0U2(r)1dV=3e4R3R_0U2(r)4r2dr == k 3e22R4R_0(3 r2R2)r2dr =1406e25R(1.90)Inobt inerea relat iei (1.90) pentru 1si U2(r) s-aufolositrelat iile (1.85) si (1.89) pentruZ=1. Energiacelor 2protoni44Figura1.17NucleulatomicesteasimilatcuosferaderazaR ncaresarcinaZeesteomogendistribuitaomogendistribuit i nsfera de raz a Rva dat a de Z(Z-1)/2perechideprotonisideci:WCoul(A, Z) =z(Z 1)2W12=1403Z(Z 1)e25R(1.90)carereprezint aenergiadinexpresia(1.82)Relat iaW(A,Z)din(1.84)denesteenergiadelegaturaanucleului ncadrul modelului picatura. Masanucleului, ncadrul aceluiasi model, nacordcurelat ia(1.19)seexprimaastfel:m(A, Z)c2= (Zmp + (A Z)mn)c2a1A+a2A2/3+a3Z2A1/3(1.91)Considerandmasadinaceeasirelat iecaofunct iecontinuadeZ,rezultacaizobarulcelmaistabilseobt inedincondit ia:Z_m(A, Z)c2_A=ct= 0 (1.92)deunderezulta:Z0=(mnmp)c22a3A1/3(1.93)45Deoarece:(mnmp)c2 0.782MeV (1.94)si a3din(1.83)pentrurazaredusaelectrica, r0din(1.78)este0.714MeV,Z0dinrelat ia(1.93)devine:Z0 0.55A1/3(1.95)Aceasta relat ie arata ca izobarii cei mai stabili ar format i cu precaderedin neutroni. Astfel nucleul cu A=27 ar format din 2 protoni si 25 neutroniiarunnucleugreucuA=240aravea3 4protonisi 236 237neutroni.Acesterezultatesunt ntotaldezacordcurezultateleexperimentaleceeacearatacaesteimposibil saseelaborezeoformulaconvenabilapentruener-giadelegaturasaupentrumasanucleului pornindexclusivdelamodelulpicatura. Pentru a obt ine o formula corecta este necesar sa se t ina seama derezultateleenunt atelapunctele3)si 4)dela nceputulacestui subcapitol.Astfel s-aajunslaconcluziacanucleelecuZ0=a/2suntcelemai stabiledin punct de vedere nuclear; abaterile de la Z=N (Z0= A/2) duc la aparit iaunornucleemai put instabilesauchiar instabile. Dependent aparabolicaaenergiei B(A,Z)deZpentruA=constant(gura1.4)sugereazaideeacaenergiamediedelegaturadeterminatadefort elenucleare, carefavorizeazasimetrianeutronilor siprotonilor,trebuiesaeofunct ieparadeZ Z0.Pentruat inecont dedependent adeA, sepoate intui caenergiamedietrebuiesaeofunct ieparade((Z Z0)/A)2. Aceastaenergiemediedesimetriecontribuie nenergiadelegaturacutermenul:Wsim(A, Z) = a4(Z Z0)2A= a4(Z A/2)2A=a44A(Z N)2= a4(Z N)2A(1.96)numitenergiedesimetrie. DeoarecenucleelecuZdiferitdeNsuntmaiput instabilerezultacaenergiadesimetriemicsoreazaenergiadelegaturaanucleuluicaredevine:W(A, Z) = a1A a2A2/3a3Z2A1/3 a4(Z N)2A(1.97)Insfarsitpentruat ineseamadestabilitateadeosebit aanucleelorpar-parecompartivcucelelaltenuclee, trebuiesaset inacontdeenergiademperechere. SeconsideracapentrunucleelecuAimparenergiade mpe-rechereesteinclusa nenergiadevoluma1Adin(1.80). Set ineseamadefaptul ca nucleele p-p sunt mai stabile decat cele cu A impar iar cele i-i sunt46maiput instabiledecatcelecuAimpar,printermenul:Wp(A, Z) =___ pentrunucleelep-p0 pentrunucleelecuAimpar pentrunucleelei-i(1.98)Energiadelegaturadevine:W(A, Z) = a1Aa2A2/3a3Z2A1/3 a4(Z N)2A++___ pentrunucleep-p0 pentrunucleecuAimpar pentrunucleei-i(1.99)Comparandrelat iile(1.99)si(1.30)seconstatacapentrunucleefoartegrele,cuobunaaproximat ie,serealizeazaegalitatea: Pn2(1.100)n care energia demperechere a neutronului depinde de numarul de nucleoni.Ca urmare, este de presupus ca parametrul este o funct ie de A si se poatescrieastfel: = a5f(A) (1.101)In fazele init iale s-a considerat ca f(A) = A3/4. Mai recent se consideracaf(A) = A1/2asa ncatparametrulenergeticestedenitderelat ia: = a5A1/2(1.102)Masanucleului, avand nvedererelat iile(1.19)si (1.99)cudin(1.102)este:m(A, Z)c2= (Zmp + (A Z)mn)c2a1A +a2A2/3+a3Z2A1/3++a4(Z N)2A___a5A1/2(p p)0 (Aimpar)a5A1/2(i i)(1.103)Folosindexpresia(1.92) se obt ine cadintre toate nucleele cuAdat,nucleele (izobarii) cele mai stabile sunt cele pentru care Z0 este dat de relat ia:Z0=(4a4 + (mnmp)c2)A2(4a4 +a3A2/3)(1.104)47Parametria1,a2,a3,a4sia5sedetermina dincomparareamaselor(sauaenergiilordelegatura)experimentalecuexpresia(1.103)sau(1.99)astfelncatsaesatisfacutasirelat ia(1.104).Desigur nfunct iedepreciziadeterminariiexperimentaleamaselornu-cleelorcatsi aprocedurii dedeterminareaacestorparametri, de-alungultimpului s-auobt inutdiferitevalori. Valoriledate nWapstra(1958)con-siderateprintrecelemaiexactesunturmatoarele:a1= 15.853 MeVa2= 18.33 MeVa3= 0.714 MeV (1.105)a4= 23.2 MeVa5= 11.2 MeVCuacestevalori,Z0dinrelat ia(1.104)estedenitastfel:Z0=A1.983 + 0.0153A2/3(1.106)Comparareaacesteiformulecuexperient aaratacafurnizeazaovaloaredestul de exactaa lui Z0care se deosebeste de cea reala prin cel mult Z=1.Saremarcamfaptul cadacacoecientul a3din(1.105) estededusdincondit iaunei concordant ebune ntreteoriesi experiment, atunci, folosindrelat ia(1.83)sepoatededucer0sidecirazanucleului nacordcuexpresiaR = r0A1/3.Expresia (1.103) cu parametri din(1.105) permite calcularea masei oricaruinucleu stabil cu o precizie de ordinul 104sau chiar mai bunua. O precizieasemanatoarerezulta si pentru energia W(A,Z).5Discordant a cea mai marentrerelat iateoreticasi ceaexperimentalaapare ncazul nucleelormagicesaudublumagicesi nspecial ncazulnucleelorusoare.Ingura1.18 este prezentata calitatea corespondent ei dintre valorileexperimentale B(A,Z) pentrunucleele usoaresi expresiateoreticapentruenergiamedieB(A,Z), care nacordcurelat iadedenit ie(1.21)si relat ia(1.99)cucoecient iidin(1.105)estedatade:B(A, Z) = 15.853 18.33A1/30.714Z2A1/3 23.2(Z N)2A2+5Firestecuacesteformulesepoatecalculasienergiade separare side mperecherede-nite nsubcapitolul1.2. Deoareceacesteenergiiimplicadiferent aenergiilordelegatura,careauvalorifoartemari,rezultacadeterminarealorsefacecuoeroaremultmaimare.Totusi formulele obt inute permit estimarea cu destula exactitate a cazurilorn care nucleelepotemitespontandiferiteparticule,cadeexempluparticula.48Figura1.18EnergiamediepenucleonB(A,Z)calculata(cercuriuniteprinlinii)comparatacudateleexperimentale(+)pentrunucleeleusoare49Figura1.19Contribut iaenergiilormediipenucleon(devolum,desuprafat a,coulombiana, desimetriesi de mperechere)pentruobt inereaenergieimediiB(A,Z)+___11.2A1/2pt. p p0 pt.A imp.11.2A1/2pt. i i(1.107)Seconstatacanchiar cazul nucleelor usoare, pentrucareparametri(1.105)dauceamai slabaconcordant a, formulateoreticareproducedestuldebinedateleexperimentalemaialescaracteruloscilant(maximelesimin-imele)alenergieimediiB(A,Z).Contribut ia termenilordin(1.107)la energia medie B(A,Z) este ilustratangura1.19. Seconstatacaenergiamedieaunui nucleondinmateriainnita (egala cu 15.8 MeV) se micsoreaza datorita energiilor de suprafat a,coulombiana, de simetrie si demperechere pana la valorile B(A,Z) reprodusedegura1.6.Referitor la formula semiempirica de masa facem urmatoarele observat ii:a) Coecient ii din (1.105)sunt obt inut i cu condit ia sa se realizezeo concor-dant abuna ntremasateoreticasi masanucleelorstabile. Estedeci evident caformulasemiempiricadin(1.103) nuesteadevaratapentrudeterminareateoreticaamaselor nucleelor instabile(departedecurbadestabilitate).b) Formulasemiempiricaesteastfeldedusa ncatsareproduca nmedievaloareamaselornucleelorstabile. Eanut ineseamadestabilitatea50deosebitaanucleelor cunumarul deprotoni sau/si deneutroni egalsauapropiatdenumerelemagice.c) Formulasemiempiricaesteobt inutanipotezacanucleeleauoformasferica. Insubcapitolul 1.3s-afacutobservat iacaoseriedenucleesuntdeformate. Evident, formulaobt inutanudescriecorect maselenucleelordeformate.Acesteobservat ii aratadefapt direct iilededezvoltarealeacestei for-mule. Existent anumerelormagiceconduce, dupacumvomvedea ncapi-tolultrei,laexistent apaturilor nnulceu. ConsiderareaefectelordepaturidecatreCameron(1957), Mozer (1959), K ummel (1964), etc. nformulasemiempirica(1.99)duce laoconcordant amaibuna aacesteiasicumaselenucleelormagicesaudublu magice. Considerareaatataefectelorde paturi,adeformabilitat iinucleelor(nucleelecuZ=88 112si N>136)catsiamaselornucleelormaiput instabileacondus laformulaluiMyers siSviate-cki (1966-1967)careeste nbunaconcordant acumaseleexperimentalesi,reste,cuenergiadelegatura nspecialpentrunucleelecuA > 50.In formula Myers-Sviatecki n calcularea energiei de suprafat asi a energiei coulombiene se t ine cont si de deformarea posi-bil aanucleului. Pentrudeform ari elipsoidalemici, denitedeparametri si (acestedeform ari voranalizatencapitolultrei ncadrul modelului colectivc atsi ncazul procesului de-siune) energia de suprafat a si cea coulombian ase exprim aastfel:Energiadesuprafat a=C2A2/3(1 +25241053cos 3)(1.108)Energiacoulombian a=C3Z2A1/3(1 15241053cos 3) C4Z2An care termenul C4Z2/A t ine cont de difuzivitatea distribut ieidesarcin apentruoform aoarecareanucleului.Masa nucleului n acordcu relat ia (1.103), n care energia desuprafat asiceacoulombian asuntdenitedeexpresiile(1.108),lacareseadaug acorect iadep aturiS(Z,N),estedeforma:m(A, Z)c2= m0(A, Z)c2+E2F3cos 3+S(Z, N)e2(122)(1.109)51ncare:m0(A, Z)c2= (Zmp + (A Z)mn)c2C1A+C2A2/3+C3Z2A1/3 C4Z2A___11A1/2(p p)0 (Aimpar)11A1/2(i i)E=_25C2A2/315C3Z2A1/3_20=25C2A2/3(1 x)20F=4105_C2A2/3+C3Z2A1/3_30=4105C2A2/3(1 + 2x)30(1.110)S(Z,N)=Cs(Z,N)cus(Z, N) =F(N)+F(Z)(12A)2/3cA1/3Inacesteformule:C1= a1_1 k(N ZA)2_C2= a2_1 k(N ZA)2_C3=1403e25r00.864r0(F)(MeV )x =_C3Z2A1/3_/(2C2A2/3) =C32C2Z2A(1.111)iarF(N)siF(Z)sedetermin aconformexpresiilor:F(n) = gi(n ni1) 35(n5/3n5/3i1) (1.112)cu:gi=35n5/3in5/3i1nini1unden=NsauZsini1< n < nicu ni= 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126... (1.113)Parametrul xdenit nrelat ia(1.111)areoimportant ade-osebit a nteoriasiuniisisenumesteparametrudesiune.52In expresia (1.109) m0(A, Z)c2din (1.110) corespune n esent acuformulademas adin(1.103)iarceilalt i termeni t incontdedeformarea nucleului si de corect iade p aturi. Coecientul dedeformareeste nlocuitcuparametrul denitastfel: = /0; 0= 5_ ar0_2A2/3(1.114)ncare r0este razaredus aiar aeste semiaxamare aelip-soidului cucareesteasimilat nucleul. Practic, parametrul sedetermin adinrelat iile: = 0 +34FE(1.115)cu:0=_lnSScrit_1/2; Scrit= 2C2_ar0_2(1 x)Determinareamaseim(A, Z)c2implic adeterminareacoeci-ent ilora1, a2, C3, C4, , k, , C, csi a/r0. Compar andrelat ia(1.109)cu maseleexperimentalea aproximativ1200nuclee (sta-bile si instabile) s-u obt inut urm atoarele valori pentru acesti parametri:a1= 15.4941 MeV k = 1.7826a2= 17.9439 MeV C= 5.8 MeVC3= 0.7053 MeV c = 0.325C4= 1.1915 MeV a/r0= 0.444r0= 1.2049F(1.116)Estecazul safacemobservat iacaadeseasearmacaformulasemiem-piricade masa,indiferent de variantaadoptata,esteobt inuta ncadrul mo-delului picatura. Inrealitatemodelul(asevedearelat iile1.84,1.91 si1.95)nupermiteodescrierecorectaamaselorsauaenergiilordelegaturasi cuatatmai put in a raportului neutronilor si protonilordin nucleelereale. For-mula semiempirica de masan concordant a cu datele experimentale se obt ineprin adaugarea energiei de simetrie, de mperechere si de paturi, termeni en-ergeticicarenucorespundmodeluluipicatura.Acestitermeni t in cont de individualitateanucleonilor (protoni sau neu-troni) si de numarul lor par sau impar. Prin acesti termeni formula semiem-piricat ineseamadecaracterul individual al interact iei dintrenucleoni pelangacaracterulcolectivexprimatdemodelulpicatura.53Figura1.20Miscareaderotat ieaunuititirez ncarcatcusarcinanegativaegenereazadinpunctdevedereclasicmomentuldespinSsimomentuldipolarmagneticpentruelectron1.5 Spinulnucleului sistatisticaparticuleloriden-ticeUhlenbeck siGoudsmidt, pentruaexplicaexperient eleluiStern siGerlach,auadmis n1925caelectronul unui atomarepelangaomiscareorbitalasi omiscarederotat ie njurul propriei axe. Aceastanouamiscareafostnumitamiscaredespin(derotat ie)iarmomentulcinetic(unghiular)in-tern (propriu) asociatacesteimiscari a primit denumirea de spin. Aceiasiautori, nacordcuelectrodinamicaclasica,auasociatspinului

Salelec-tronului si un moment magnetics(gura 1.20). S-au putut astfel explica sialteexperient erealizate naceaperioadacaexperient aEinstein sideHaas,efectulZeemananomal,etc.Valorile spinului si momentului magnetic ale electronului, propuse init ialde Uhlenbeck siGoudsmidt,aurezultatulterior nmod naturaldinecuat iarelativistaaluiDiracpentruelectroni. Maitarzius-astabilitexperimental6camareamajoritateaparticulelorelementaresi anucleelor atomiceaumomentul cineticintern(spinul)diferitdezero. Caurmareconceptul despinanceput saaibeunrol deosebit deimportantnzicaparticulelor6Spinul se poate determina din experient e directe despre care vom vorbi n paragrafulurmatorsaudinstudiidespectroscopienuclearasireact iinucleare54elementaresi nzicanucleara. Important aacestuiconceptpoateexem-plicata prin faptul ca n funct ie de valoareaspinului particuleleelementaresunt mpart ite n doua mari clase: fermioni si bozoni, cu consecint e multiplenzicasubatomica.Spinul-aceastaimportant aproprietateintrinseca-afostdeciinterpre-tataintuitivcadenindstareaderotat ie aparticulei respectivenjurulpropriei axe. Particulaesteasimilatacuuntitirezcareseroteste. Esteadevarat,ooarecareanalogieamiscariidespin cuceaatitirezuluiclasicsepoateface ncazul nucleelorgrele, dupacumvomvedealamodelul colec-tival nucleului. Ingeneralnsaaceastaanalogienuesteposibiladincelput inurmatoarelemotive: miscareaderotat ieaunuititirezclasicpoateaccelerata, ncetinitasauchiaroprita; nschimbspinuluneiparticulenu-sipoate modica valoarea absoluta ci numai orientarea san spat iu dar ntr-unmodcuanticat. Inparticular, miscareadespinaparticulelorelementaresauanucleelorusoareestepermanenta, nupoateoprita, acceleratasauncetinita. Deasemeni existent a spinului la fotoni sau neutrini, particule demasazero(sau noricecazfoartemica)aratacaspinul

Sesteunconceptstrictcuantic,faraanalogclasic.Inmecanicacunticasearatacavaloareaabsoluta [

S [ aspinului seexprimaprinnumarulcuanticdespinSprinrelat ia:[

S [= h_S(S + 1) (1.117)ncareSpoateluaoricevalori ntregisausemintregi:S= 0, 12, 1, 32, 2, . . . (1.118)Proiect ia sa Szpoate lua (2S+1) valori de la Sh la -Sh si este denita deunaltnumarcuanticmS(numarcuanticmagnetic)carepoateluavalorile:mS= S, (S 1), . . . , S (1.119)Pentrunucleoni numarulcuanticdespineste1/2, dincarecauzasespunecaspinul nucleonului este1/2. Observamdeci ca nterminologiacurentaprin spinul unei particule se nt elege de fapt numarul cuantic de spin S; prinaceastatrebuieavut nvederecavaloareaabsolutaaspinului estedefaptdataderelat ia(1.117). Inmodsimilar, atunci candsearmacaproiect iaspinului este mSavemn vedere ca Sz= hmS. Referitor la terminologie sub-liniem si faptul ca termenul de spin este folosit n literatura de specialitateatat pentru a desemna momentul cinetic propriu al unei particule sau al unuinucleoncatsipentruadeni momentulcinetictotalalnucleului. Folosirea55acestei terminologii ncazul nucleului nuestepreafericitadatindfaptulcamomentul cinetical nucleului estedeterminat nunumai demomentulpropriudespinal nucleonilorci si demomenteleorbitalecorespunzatoaremiscariinucleonilor nnucleu.Valoareaabsoluta [

l [amomentuluicinetic(orbital)alunuinucleonsedenestecasi ncazulspinuluiprinexpresia:[

l [= h_l(l + 1) (1.120)ncarelestenumarulcuanticorbitalcareare nsanumaivalori ntregi:l = 0, 1, 2, 3, . . . (1.121)si nmodsimilar:ml= l, (l 1), . . . , l (1.122)Inceeaceneprivestevomnotacu

j momentul despinal particulelorelementaresaual nucleonuluisiprin

Imomentul despintotal al unuinu-cleu,rezultatdincompunereamomentelordespin

Ssiacelororbitale lalenucleonilorconstituent iainucleului.Modul n care valorile

S si

l ale nucleonilor individuali se cupleazapentruaobt inemomentul cinetictotal

I (spinul)al nucleului depindedeinteract iuneadintre

Ssi

l. Dacainteract iuneamomentului despincucelorbital esteslaba(sauinexistenta) serealizeazacuplajul L-S, cunoscutsisubnumeledecuplajRussel-Saunders, ncare

I,pentrunucleulformatdinAnucleoni,estedenitastfel:

S=A

i=1

Si;

L =A

i=1

li;

I=

L +

S (1.123)Incazul ncare interact iuneantre momentele

Ssi

l este puternica(interact iunespin-orbita)ecarenucleonvacaracterizat deunmomentcinetictotaldenitderelat ia:

ji=

li + Si(1.124)iarmomentulcinetictotal

Ivadenitastfel:

I=A

i=1

ji(1.125)Acest cuplaj este cunoscut sub denumirea de cuplaj J-J si majoritateadatelorexperimentalepledeazapentrurealizareaacestuicuplaj nnucleu.56Indiferent decuplajul careserealizeaza, momentul I areproprietat ilecuanticedenitederelat iile:[

I [= h_I(I + 1) ; mI= I, (I 1), . . . , I ; Iz= hmI(1.126)ncareI estenumarul cuanticdespin(sauspinul nucleului nterminolo-giacurenta)iarmIestenumarulcuanticmagneticcarecuanticaproiect iamomentului Ipeaxasadecuanticare. Saobservamca ntrucatnumarulcuanticde spin al nucleoniloreste1/2iarnumarul cuanticorbital poateluanumaivalori ntregi (relat iile1.118si, respectiv, 1.121)rezultacaspinulI iavalorintregi pentruunnucleucunumar par denucleoni (Apar)sivalorisemintregipentruunnucleucunumarimpardenucleoni(Aimpar).Dateleexperimentaleconrmaintegral aceastareguladelacarenuexistanicioexcept ie. Dinpunct devedere istoric aceastaregulaaavut unroldecisivnrenunt arealaipotezaprotono-electronicaanucleului. De ase-meni,experimentals-aconstatatcaspinulnucleelorstabilecuAimparnudepasestenstareafundamentalavaloareaI=9/2iar nucleelepar-pareaufaraexcept ieI=0 nstareafundamentala. Nucleeleimpar-imparepotaveaI ,= 0 dar valori mici comparativ cu valorile maxime ce pot rezulta din reguladecuplajexprimataderelat ia(1.123)sau(1.125).Acesteconstatari experimentalesugereazaideeacamomentelecineticealenucleonilor-nereferimlacuplajulJ-J-secompenseazareciproc; nparticularefectuldecompensareestetotalpentrunucleelepar-pare. Acestlucruduce laideeacamomentulI alunui nucleucuAimparestedenit demomentulcineticalnucleonuluinemperecheat.Dinanalizade mai sus, conrmatade datele experimentale, arezul-tatcaspinul nucleelor, I, casi al particulelorelementaresi al nucleonilor,poateaveavalori ntregi sausemintregi. Esteoare ntamplatoareaceastadiferent ierentrespinii particulelorsi nucleelor sauesteoconsecint amaiprofundaaunorproprietat icarediferent iaza nsasiparticulele? Raspunsullaaceastantrebareafostarmativ, constatandu-sec aceledouaclasedeparticule(cuspinsemintreg sirespectivcuspin ntreg)secomportadiferitnsituat iizicesimilare. Aceastadeosebiresemanifestapregnantcandnereferimlafunct iadeundaasistemului format dinparticuleidentice. Inprimul rand subliniem ideea ca n zica subatomica se poate arma ca doua(saumai multe) particuledeacelasi fel sunt absolut identice. Aceastaarmat ie, consecint aaprincipiului indiscernabilit at ii, estevalabilanumaipentruparticulecuantice(microparticule). Douamacroparticule(deexem-plu doua bile mecanice) nu vor absolut identice,oricat de bine ar execu-tateasa ncatceledouamacroparticulesapoataoricandidenticate. Ca57urmaresepoatearmacabila1sevagasi nstarea(macroscopica)aiarbila2 nstareabsauinvers. Dinpunctdevederecuanticparticu-lelesuntidenticeasa ncatarmat iademaisusestelipsitadesens. Existanumai stareacuanticaasistemului ncareoparticua(f araaprecizacare,deci oricareparticula) segasestenstareaaiar cealaltanstareab.Rezultadeaici ca nlumeacuanticasistemul formatdindoua(saumaimulte daca generalizam)particule nu se modica prin permutarea reciprocaaparticulelor. Dinpunct devederecuanticaceastaarmat iesemnicafap-tulcafunct iasistemului ncares-arealizatpermutarearamaneidenticacufunct iasistemului init ial panalaunfactordeproport ionalitateP12. Dacavomnotacu(r(1), s(1)z, r(2), s2z) =(x1, x2) funct iadeundaasistemu-lui init ial, ncarexreprezintaansamblul coordonatelorspat ialesi despin(defapt proiect iaspinului deoarecespinul

Sesteacelasi pentruparticuleidentice),armat iademaisussetraducematematicastfel:(x2, x1) = P12(x1, x2) (1.127)Factorul P12esteoperatorul depermutare. Dacaefectuamncaodataoperat iade permutare(cuanticnseamnacaact ionamcuoperatorul P12asuprafunct iei(P12(x1, x2))rezulta:P212= 1 ; P12= 1 (1.128)Rezulta ca prinpermutarea a doua particule identice funct ia sistemuluieramaneneschimbata, adicasimetricalaoperat iadepermutare, esischimbasemnul,adicaesteantisimetricalapermutare(aceastaproprietateafunct ieide unda aparticulelorlapermutarea lorsenumestestatistica).Sepoatearata, caoconsecint aapostulatului simetriz arii7dincuantica,faptulcapentruunsistemformatdinparticuleidentice,prinpermutareseobt innumai funct ii simetricesauantisimetrice; careanumedintreacestedouaprescript ii desimetrizaretrebuieaplicatadepindedenaturaparticu-leloridetice.Particulelealecarorstarisuntsimetricesenumesc bozoni sisesupunstatisticii Bose-Einstein(BE)iar celealecaror stari suntantisimetricesenumesc fermioni si se supun statisticii Fermi-Dirac (FD). Experient a aratacaparticuleleelementarede spinsemintregsunt fermioniiarparticuleleel-ementare de spin ntreg sunt bozoni. Pentru particulele care se supun statis-ticiiFDact ioneazaprincipiulPaulicarearmaca ntr-ostareuniparticula7Postulatul simetrizarii armacadacaunsistemcont ineNparticuleidentice, starilesaledinamicesunt nmodnecesaretoatesimetriceetoateantisimetrice, nraportcupermutareaacestorNparticule58(cutoatenumerelecuanticeprecizatepentruoparticula)sepoategasi celmultoparticula.Principiul Pauli este deosebit de important nu numai la nivelulzicii subatomice darsi lanivelul macrostructurilor. Datorit aacestuiprincipiuatomiisinucleeleaustructur a np aturi. F ar aacest principiu nu ar existat legit at ile constatate n sistemul pe-riodicalelementelor si structuraatomilor si nucleelor n cristalearfostcutotul alta.Pentruarelevasiaconsolidamaibinediferent a ntrestatisticilepre-cizate, safacemocomparat ie ntreelesi ntreelesi ostatisticaclasicapentru cazul ncareavemunsistem formatdindoua particule sidoua stariuniparticuladistincte. Numarul starilor sistemului format dincele douaparticuleestediferit nfunct iedestatisticafolosit a:a) Incazulclasicsuntposibilepatrustari:-ambeleparticule nprimastareuniparticula-ambeleparticule nadouastareuniparticula- primaparticula nprimastaresi adouaparticula nadouastareuniparticula- primaparticula nadouastaresi adouaparticula nprimastareuniparticulab) Dacaceledouaparticulesesupunstatisticii BE, sistemul implicatreistariposibile-ambeleparticule nprimastareuniparticula-ambeleparticule nadouastareuniparticula-unadinparticule nprimastaresi cealalta nadouastareunipar-ticulac) Dacaparticulelesuntfermioni,sistemului icorespundeosingurastare:- oparticula ntr-ostareuniparticulasi cealaltaparticula nadouastareuniparticulaIn acestultim caz variantelecu ambele particule n aceeasistare unipar-ticulasuntexclusedeprincipiulluiPauli.In continuare - marginindu-ne la rat ionamente simple - vom stabili sta-tisticapentrunucleeleatomiceformatedinnucleoni.Fieunsistemformatdindouanucleeidenticecarecont inecareZpro-toni si (A-Z)neutroni. Deoarecenucleonii sesupunstatisticii FD, rezultacaprinpermutareaadoi protoni, dintrecareunul apart inenucleului 159sial doileanucleului2, funct iadeundaasistemului sischimbasemnul.Prinpermutareacelei deadouaperechi deprotoni sevaproduceonouaschimbare de semn al funct iei de unda. Rezulta ca prin permutari succesive,princaretot iprotonii nucleului1 sischimbaloculcuprotonii nucleului2, nfat afunct ieide unda apare factorul(1)Z. In mod similarprin per-mutareaneutronilor nfat afunct iei deundaaparefactorul(1)AZ. Prinpermutareatuturornucleonilorvaapareadeci factorul (1)A. Pedealtaparte permutarea tuturor protonilor si neutronilor nseamna ca nucleele 1si 2 si-auschimbatlocurile ntreele. In consecint a,prin permutarea celordouanuclee,funct iadeundanu-sischimbasemnul(estesimetrica)dacaAestepar,adicaspinulnucleuluieste ntreg. Inmodsimilar,funct iadeundaesteantisimetricadacaAesteunnumarimpar,adicaspinulnucleuluiestesemintreg.Rezulta deci ca nucleele cu A par si, deci, de spin ntreg, se supun statis-ticii Bose-Einstein pe cand nucleele cu A impar (cu spin semintreg) se supunstatisticiiFermi-Dirac.In ncheiereprecizamfaptulca nteoriacuanticarelativistaacampuluisedemonstreazariguroscastatisticaestedenita nmodunivocdespinulparticulelor.Particulele(nucleele)cuspin ntreg(inclusivspinzero)sesupunstatis-ticii Bose-Einstein iar particulele (nucleele) cuspinsemintreg se supunstatisticiiFermi-Dirac.Toatedateleexperimentaleconrmaacestearmat ii.1.6 Paritateafunct iei de unda a nucleului si inver-siatemporala. Legeaconservarii paritat ii.Inmecanicaclasicaotransformarecareconsta nschimbareasemnuluitu-turorcoordonatelornuschimbafunct iaHamiltonaunui sistemizolatsauaunui sistemcareseaantr-uncampdefort ecusimetriecentrala. Inmecanicacuanticasepastreazaaceeasisituat iepentruoperatorulHamiltonalunuisistemdeparticulefaraspin:H(r) = H(r) (1.129)Aceastarelat ie arenmecanicacuanticaconsecint e care nuexistanmecanicaclasicasicaatareparitateaesteunconceptstrictcuantic.Ecuat ia Schr odinger pentru un sistem cuantic descris de operatorul H(r)estedeforma:H(r)(r) = E(r) (1.130)60Prin schimbarea semnului tuturor coordonatelor, aceasta ecuat ie devine:H(r)(r) = E(r) (1.131)sau, nvirtutearelat iei(1.129):H(r)(r) = E(r) (1.132)Relat iile(1.130)si (1.132)aratacafunct iile(r)si (r)vericaaceeasiecuat ieSchr odinger,ceeacesepoate ntampla nurmatoareledouacazuri:a) stareadeenergieEestedegenerata8sicaatarefunct iile(r) si(r)descriudouastarizicedistinctecareau nsaaceeasienergie.b) starea de energie E este nedegenerata; n acest caz funct iile (r) si (r)descriuunasi aceeasi staresi caatareceledouafunct ii sunt liniardependente.Caurmare, existaoperatorulPcareaplicatfunct iei (r)schimbasemnultuturorcoordonatelorcarteziene:P(r) = (r) (1.133)valorilepropriialeoperatoruluiPsedeterminadinecuat ia:P(r) = (r) (1.134)ncarevalorilelui denescparitateafunct iei (r). Valorile posibilepentru sedetermina prin aplicareaoperatoruluiPasupra funct iei(r):P(r) = (r) =P( P(r)) =P(r) = 2(r) (1.135)dincarerezulta:= 1 ; (r) = (r) (1.136)Dacaprininversareacoordonatelor(inversiespat iala), funct iadeundanu-si schimbasemnul (=+1)sespunecaesteofunct iepara;ncazcontrar (= 1) funct ia este impara. Deci valorile denesc paritateafunct iei deundasi descriumodul ncaresecomportafunct iadeundalaoperat iadeinversarespat ialarealizatadeoperatorulP.8Reamintimcadacastarii deenergieE i corespundfunct iileproprii 1, 2, . . . , Nliniar independente, se spune ca starea respectiva este o stare degenerata, iar N este graduldedegenerarealstariirespective61Daca aplicam ecuat iei Schr odinger (1.130) operatorulPiar relat iei (1.134)operatorulHrezulta:PH= HP (1.137)sau:H= PHP1= P1HP (1.138)deoareceoperatorulPesteunitar.Dinpunctdevederecuanticrelat ia(1.138) exprimalegeadeconser-vareaparitat iintimppentrusistemelepentrucarerelat ia(1.129) esteadevarata, adicaoperatorulHesteunoperatorpar. Inmoddirect,con-servarea paritat ii se poate deduce astfel: presupunem c a funct ia (r, t) carereprezintasolut iaecuat iei Schr odingerlamomentul testeofunct iepara.Paritateaacesteifunct iilamomentult+sepoatededuceprindezvoltareanserieafunct iei(r, t +)dupaputerilelui:(r, t +) = (r, t) +(r, t)t+12!2(r, t)t22+. . . (1.139)ncare (r, t) ste ofunct ie paraprinipotezaiar /t vericaecuat iaSchr odingertemporala:H(r, t) = ih(r, t)t(1.140)Prinoperat iadeinversiespat iala(r r)seobt ine:(r, t)t=1ihH(r)(r, t) =1ihH(r)(r, t) (1.141)expresiecarearataca/testedeasemeniofunct iepara.Inmodsimilar:2(r, t)t2=t_t_=t_1ihH_(1.142)ncareH(r, t)nusemodicaprinoperat iadeinversiespat iala,estetotofunct iepara. Rat ionamentulsepoatecontinuasipentrutermeniisuperiorisi caurmarerezultacadacafunct ia(r, t)afostparalamomentul tearamanetotpara silamomentult+. Inconsecint arezultacaparitateafunct iei se conserva, deci este o integrala amiscarii. Rezulta (deoareceparitateaseconserva)canuexistainteract iecaresaamestece(samixeze)starileparesi imparealesistemului. Aceastaarmat ieesteechivalentacuceacaoperatorulHestepar nacordcurelat ia(1.129).62Inleg atur acudiscut iademaisus,st arilenedegeneratesepotclasica si dup a paritate. Aceste st arisunt funct ii propriialehamiltonianului H:Hn = E0nn(1.143)Cese nt ampl a ns adac aad aug amsistemuluiomic ainteract ieH ? Inacest caz, nacord cuteoria perturbat iilor, interact iarezidual aH vaamestecast arile nasanc at st arile sistemu-luiperturbatnvor:n= n +

m=nm_mHnE0nE0mdV (1.144)S a presupunem c a funct iile m si n sunt pare. Dac a interact iarezidual a H este tot par a, atunci integrala din (1.144) este diferit adezerosin ,= n.Dac a msi nau parit at i diferite, integrala din(1.144)devine nul a; dac a H este o funct ie impar a atunci integrala devinezerodac afunct iilemsi nauaceeasi paritatesi estenenul apentrufunct iicuparit at idiferite.Asadar interact ia par a selecteaz a numai funct iile de aceeasiparitatepec andinteract iaimpar aamestec afunct iiledeparit at idiferite.Inmodsimilarsepuneproblemasi ncazulst arilordegener-atedeenergiidatecaresuntdescrisedefunct iideund acesuntcombinat ii liniare de funct ii proprii pare si impare. Inacestesituat ii operatorulpar selecteaz a funct iile pare si respectiv imparesi conservareaparit at ii const a nconservareaparit at ii pentrufunct iile pare prespectiv impare i, selectate de operatorulde interact ie, funct ii care mpreun a formeaz a funct ia total a a sis-temului: = p + iP = pi(1.145)dincarerezult a:p=12( +P)i=12(P) (1.146)63Figura1.21Inversiaspat ialaseobt ineprinreexiefat adeplanulxOyurmatadeorotat iecu njurulaxeizExpresiile (1.145) s (1.146) arat ac a sistemul cuantic rezultatprinamestecul funct iilor de parit at i diferite poate privit cadou asisteme,ecarecuparitatebinedenit a.Conservareaparitat iinseamnainvariant alaschimbareasemnului tu-turorcoordonatelor (x,y,z) alesistemului decoordonate, ceeacesepoaterealizaprintr-oreexiefat ade unplan(planulxOy din gura 1.21)urmatade o rotat ie cu n jurul axei perpendiculare pe planul fat a de care s-a f acutreexia(axaOzdingura1.21)Dupa cum se constata si din gura operat ia de inversie spat ialaschimbasemnulvectorilorpolari:rPr ;

kP

k (1.147)Dingura1.21casi dinsuccesiuneaoperat iilor indicaterezultacancoordonatepolarevectorul restedenitprincomponentele:r = rr, , = r, , + (1.148)Prinoperat iade inversieP unvector axial ramane nemodicat. Caunexemplupoatedatmomentul orbital

L= r p, acarui reprezentaresimbolicabidimensionalaesteredata ngura1.22.Asadar:

LP

L ;

IP

I (1.149)64Figura1.22Operatorulparitatemodicarsip n rsi pdarlasaneschimbatmomentulorbital

L = r preprezentatsimbolicprintr-unvectorcareintra nplanul(r,p)Produsul scalar dintre unvector polar si unvector axial se numestepseudoscalar. Caexempludam: p

I,p

L, etc. (cup= h

k). Avandnvedere relat iile (1.147) si (1.149)se constataimediat ca operat iaPmodicasemnulunuipseudoscalar:p

IP p

I (1.150)In continuare consideram ca exista invariant a la rotat ia sistemului xyzdingura1.21 fat ade operat iade rotat ie lanjurul axei y; rezultasistemulxyzdingura1.23,caresepoateobt inedinsistemulinit ialx,y,zprintr-oreexie noglindaO(decireexiefat adeplanulxOz).Sensul zic al operat iei de rotat ie a sistemului de coordonate n jurul axeiOypoatededus dingura1.24 ncareprin kisi kfs-aunotatvectoriideundapentruunproceszic, lamomentul init ial si respectivlamomentulnal. Se constata cansistemul de coordonate rotit, sistemul zic estedescrislamomentulinit ialdevectorul kfiarlamomentulnaldevectorul

ki. Deci n sistemul xyz procesul zic se desfasoara inversat n timp fat adesistemulx,y,z.Asadarrotat iala njurulaxei Oyexprimaoperat iadeschimbareasensului decurgereatimpuluisi dacaprocesul zicstudiat ramanene-modicatprinaceastaoperat iesespunecaarelocinvariant alainversietemporaladenitadeoperatorulTcorespunzator.65Figura1.23Reexia noglindaasistemului(x,y,z)esteechivalentacuoperat iadingura1.24deinversiespat iala nsot itaderotat iela njurulaxeiyFigura1.2466Act iuneaoperatorului Tasupradiferit ilor vectori polari, axiali, pseu-dovectori, etc.,sestabilesteimediatdinconsiderentulcaTmodicaobser-vabilelecarecont intimpullaputeriimparecaviteza, impulsul,momentulcinetic, etc. si lasanemodicateobservabilelecarecont intimpul laputeripare,precumvectoruldepozit ie,energia,etc. Deci:

kT

k ;

IT

I ; rTr (1.151)Invariant a la inversia temporala a hamiltonianului unui sistemnseamna:H(t) = H(t) (1.152)adica nlimbajcuantic:H= THT1(1.153)Asadardacahamiltonianulsistemuluiesteinvariantfat adesuccesiuneaoperat iilor redate gracngurile 1.21si 1.23(deci invariant lainversiaspat ialasitemporala)rezultacasistemulx,y,zdingura1.23(sistemdex-trogir)esteechivalentcusistemul(x,y,z)= (x,-y,z)(sistemlevogir)rezul-tatprinoglindireasistemului init ial fat adeplanul xOz. Deaceea nmoduzual sespunecalegeaconservarii paritat ii exprimafaptulcaimaginea noglindaaoricaruifenomenzicrealreprezintadeasemeniunfenomenzicreal. Inmodintuitivaceastaarmat iearatacadacaunzicianurmaresteunexperiment zic noglinda,faraa nsaconstientdeacestlucru, atuncinuexistaniciunmijloccapebazarezultatelor experimentaleobt inutesapoatastabili ulteriorcael aobservatexperimentul noglinda. Cualtecuvintedescriereamatematicaatuturorfenomenelorzicepentrucarearelocconservareaparitat iinudepindedealegereaunuisistemdecoordonatedextrogirsaulevogir.Numai experient elencarenuarelocconservareaparit at iidepindde caracterul dextrogir saulevogir al sistemului de co-ordonate. Acesteexperient eapart ininteract iei slabecarenusemanifest a ns alanivelul macroscopical experient ei noastrezil-nice. Laacestnivel semanifest acel mai adeseainteract iaelec-tromagnetic acareconserv aparitatea. Probabil tocmai deaceeauniicopiiaudicult at i na nv at acareestem anast ang a si careeste cea dreapt a. Copilul trebuie nv at at s a scrie cu m ana dreapt asi vaderutat c andva nt alni unalt copil carescriecum anast ang a-ostarezic aperfectposibil a-sic andreprezentarealuidespreparteast ang asiparteadreapt asesimetrizeaz a. Din67punct devedereal conserv arii parit at ii nuexist aniciorat iunec afoarte put ini oameni sunt st angaci; aceast asituat ie trebuieprivit amai cur andcaunaccident biologic dec at caosituat ienormal a (nEuropa era considerat caundefect corectat prineducat ie;nAfricaproport iadest angaci si dreptaci esteapro-ximativ egal a). Lafel trebuie interpretat si faptul c aaminoa-ciziimacromoleculelororganismelorviiaustructur alevogir a ntimp ce prin sintez a chimic a se reproduccu pondereegal a ambelestructuriIn continuare vom analiza cateva consecint e ale legii conservarii paritat ii.Consecint ealelegiiconservarii paritat iiIn procesele guvernate de interact ia tare si electromagneticaare loc con-servarea paritat ii care implica invariant a acestora fat a de operat ia de reexieatuturorcoordonatelor. Aceastainvariant aimpuneanumitecondit ii pen-truoperatorul (hamiltonianul)deinteract iesi anumitelimitari (reguli deselect ie)referitoareladesfasurareaacestorprocese.Intr-adevar, sapresupunemcadorimsaconstruimhamiltonianul uneiparticuledeimpuls p, spin

Ssi momentorbital

l caresacont inatermeniliniari n p,

S,

l. Acesthamiltoniantrebuieastfel construit ncatsaeinvariantlarotat ie. Termeniiposibili,invariant ilarotat ievor: p

l ; p

S ;

S l ; p (

S

l) ;

S( p

l) ;

l ( p

S) (1.154)Invariantelainversiatemporala, nacordcurelat ia(1.51),vornumaicombinat iile: p

l ;p

S ;

S l (1.155)Invariant alainversiaspat iala, exprimataderelat iile(1.147)si (1.149),ret ine,casinguracombinat ieposibila,termenul:

S l (1.156)cunoscut nliteraturasubdenumireadespin-orbita. Deci hamiltonianulparticulei respective, pentruainvariantlarotat ie, lainversiaspat ialasitemporala, trebuie sa cont ina numai combinat ia

S l. In caz contrar cel put inuna din invariant ele ment ionate este nerespectata. De exemplu introducereapseudoscalaruluip

l arimplica,nacordcurelat ia(1.150), neconservareaparitat ii nprocesuldescrisdehamiltonianul ndiscut ie.Saanalizamsi consecint ele ce decurgndesfasurareaproceselor dacahamiltonianulesteconstruitastfel ncatsaconserveparitatea,adicaHeste68ofunct ie para. Inacest scopsastabilimpentrunceput paritateastariiunei particuleacaresemiscantr-unpotent ial central, par lareexie.Deoarecepotent ialulestecentralarelocconservareamomentuluiorbitalL:L2Ylm= l (l + 1) h2YlmLzYlm= m h Ylm(1.157)ncarefunct iileYlm-funct iipropriialemomentuluiorbital -suntdeniteastfel:Ylm(, ) =2l + 14(l m)!(l +m)!Pml(cos ) eim(1.158)unde:Pml(cos ) =(sin )m2ll!d(l+m)d(cos )l+m(cos2 1)l(1.159)Ca urmare aconservarii momentului orbital,funct iace descriemiscareaparticuleiademomentorbitallsiproiect iem,fat acentruldeinteract ieeste:lm= Rl(r)Ylm(, ) (1.160)iarfunct iatotala(pentrupaticulaa):at= alm(r) (1.161)Inacesterelat iiRl(r)esteofunct iecedepindedemodululvectoruluiriaraestefunct iacedescriestareainterna(miscareareferitoarelacentruldeinert ieal particulei)aparticulei a. Deoarecesupunerealaparitatesereducelainversareacoordonatelor, esteevident caefectuareasuccesivaaacesteioperat ii n raport cu a si lmconduce la urmatoarea regula pentruparitateafunct ieiat:at= al(1.162)ncareaesteparitateafat adesistemul propriudecoordonate, fat adecareparticulaeste nrepaus,iarlesteparitateafunct iei demiscarelm.Relat ia(1.162)aratacaparitateaesteunnumarmultiplicativ. Deoarece,prindenit ie, valoareaproprieaoperatorului deparitatefat adesistemulncareparticulaeste nrepaussenumesteparitateintrinsecarezultacaaesteparitateaintrinsecaaparticulei a. Valoareaproprielseobt ineimediatavand nvedererelat iile(1.148)si(1.158)-(1.159):P(Rl(r) Ylm(, )) = Rl(r) Ylm( , +) = (1)lRl(r) Ylm(, )(1.163)69sideci:l= (1)l(1.164)Inconcluzie:at= (1)la(1.165)Aceastaexpresie afost dedusanipotezacapotent ialul este central.Cese ntampladacapotent ialul nuestecentral dar,ncontinuare, parlareexie? Esteechivalent cuaspunecalapotent ialul central seadaugaopartenecentralacarearputeatratataperturbativ. Inacestcaz, nacordcuceleprecizatemaisus,acestpotent ial-par-amestecastariledeaceeasiparitate, adicastarileeculnumerepareeculnumereimpare. Asadar,desimomentulorbitallnuseconserva,seamestecastarileculbinedenit(parsauimpar) asa ncatrelat ia(1.165)ramanevalabila si ncazulgeneralalunuipotent ialnecentral.Inmodsimilar, ncazulsistemuluiformatdindouaparticulea sibcaresemisca ntr-unpotent ialdeinteract iepar(centralsaunu)avem:abt= blbala(1.166)si:abt= (1)la(1)lbab= (1)la+lbab(1.167)relat iecarearatacaparitateasistemului (a+b)estecomplet determinatadacase cunosc paritat ileintrinseci aleparticulelora sib. In particularpen-tru nucleul format din A particule (nucleoni),generalizand expresia (1.167),paritateava:A= (1)

Ai=1liA

i=1i(1.168)ncareisuntparitat ileintrinsecialenucleonilorconstituent iainucleului.Incazul nucleonilor-fermioni -paritateaintrinsecanusepoatedenideoarece funct ia de stare a nucleonilor nu este funct ie proprie a operatoruluideinversiespat iala. Sepoatedeni numai paritateaspinorului (nucleoniiauspin1/2) nraportcuodublainversiespat iala. Caatarepentruspinorinusepoatedenidecatoparitaterelativa ntreparticulasi antiparticula.Deoarecenproceselenuclearelaenergii mici (farageneraredeparticule)numarul nucleonilor se conserva, rezulta ca paritatea intrinseca poate aleasa, princonvent ie, oricarefaraaafectadesfasurareaproceselornucle-are. Ca urmare se poate considera paritatea intrinseca +1 pentru nucleoni siatunciparitateaintrinsecaaantinucleonilorva-1. Inmodsimilarsecon-sidera, prin convent ie, ca paritatea intrinseca este +1 pentru hiperonii , ,70Figura1.25Simbolizareaspinului Isi aparitat ii pentruostarenuclearadeenergieE,si-1pentruantiparticulelerespective. Odatastabiliteacestecondit ii,paritatea pentru restul particulelor se stabileste experimental. Astfel se con-statacaparitateasistemului(np) estenegativaceeaceimpune condit iacaparitateaintrinsecaamezonului sae-1. Paritateaparticulelor, cade exemplu , se stabileste de regulan procesul de interact ie care, n cazulgeneral, poate sintetizat prin interact ia dintre particula a si particula A. Inacestcaz,funct iatotalaasistemului(a+A)estesimilaracuceadin(1.166)cudeosebireacaparticulaasemisca ncampuldeinteract iecreatdeA(n(1.166)ambelesemiscau ntr-unpotent ialexistent)sideci:aA= aAlaA(1.169)ncarelaAdescriemiscarealorrelativa. Valoareaproprieaparit at iiva:aA= (1)laAaA(1.170)ncareparitat ileparticulelor asi Asedeterminaca n(1.168) dacasuntnucleesaupebazademodelenucleare.Dacaprocesuldeinteract ie:a+A b +B (1.171)sedesfasoaracuconservareaparitat ii, nseamnacaarelocrelat ia:(1)laAaA= (1)lbBbB(1.172)Dinceledemaisusarezultatcaparitateafunct iei deund aesteopro-prietatefoarteimportanta sicaatareecarestareenergeticaanucleuluivacaracterizatapelangaenergie, spin(si altema