-
DIMENSIONAMENTO DE LAJES FUNGIFORMES COM IRREGULARIDADES
LIMITADAS EM PLANTA
VITOR HUGO MOREIRA PINTO DA SILVA
Dissertao submetida para satisfao parcial dos requisitos do grau
de
MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL ESPECIALIZAO EM ESTRUTURAS
Orientador: Professor Doutor Antnio Abel Ribeiro Henriques
JUNHO DE 2013
-
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2012/2013 DEPARTAMENTO DE
ENGENHARIA CIVIL
Tel. +351-22-508 1901
Fax +351-22-508 1446
[email protected]
Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO
Rua Dr. Roberto Frias
4200-465 PORTO
Portugal
Tel. +351-22-508 1400
Fax +351-22-508 1440
[email protected]
http://www.fe.up.pt
Reprodues parciais deste documento sero autorizadas na condio
que seja mencionado o Autor e feita referncia a Mestrado Integrado
em Engenharia Civil - 2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil,
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal,
2013.
As opinies e informaes includas neste documento representam
unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, no podendo o Editor
aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relao a erros
ou omisses que possam existir.
Este documento foi produzido a partir de verso eletrnica
fornecida pelo respetivo Autor.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
i
AGRADECIMENTOS Ao Professor Antnio Abel R. Henriques, meu
orientador, com elevado respeito e considerao que agradeo toda a
disponibilidade e apoio prestado. Aos meus Pais, Joaquim e Rosria,
por tudo o que fizeram por mim, ajudando-me a cumprir os meus
objetivos. minha irm, Madalena, e seu marido, Manuel, por estarem
sempre presentes. Aos meus amigos e amigas mais chegados, que, de
alguma forma, sempre me incentivaram para a realizao deste
trabalho.
-
!
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
iii
RESUMO
A vasta utilizao das lajes fungiformes e as exigncias
arquitectnicas em constante evoluo levam ao aparecimento de lajes
com geometrias pouco regulares.
O presente trabalho, tem como objetivo o estudo do comportamento
das lajes fungiformes apoiadas em grelhas de pilares com geometria
irregular. Esse estudo feito com recurso ao mtodo dos elementos
finitos (MEF), atravs do uso do software de clculo SAP2000. Tambm
se pretende estudar as mesmas lajes, com recurso ao procedimento
simplificado baseado no mtodo dos prticos equivalentes (MPE),
procurando estabelecer um termo de comparao entre mtodos e
verificar se plausvel a sua aplicao a lajes com irregularidades na
distribuio dos pilares em planta.
Inicialmente foi estabelecido um termo de comparao entre os
mtodos, calculando esforos para a mesma laje com geometria regular.
A foram desenvolvidas as estratgias e metodologias que foram
utilizadas para o resto do trabalho.
Finalmente foram introduzidas as irregularidades nos
alinhamentos dos pilares e determinados os esforos pelo MEF.
Analisando o comportamento e os resultados obtidos em paralelo com
os resultados obtidos pelo MPE permitiram estabelecer as
possibilidades da aplicao do MPE em lajes irregulares num ambiente
de projeto.
PALAVRAS-CHAVE: lajes fungiformes, mtodo dos elementos finitos,
mtodo dos prticos equivalentes, irregularidades
-
!
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
v
ABSTRACT The extensive use of flat slabs and the evolving
architectural requirements lead to the appearance of slabs
supported by irregular grids of columns.
The present work has the objective to study the behaviour of
flat slabs supported by irregular column grids. The study is made
using the finite element method (FEM) through use of commercial
available software such as SAP2000. It also aims to study the same
slabs, using a simplified method, the equivalent frame method
(EFM), seeking to establish a basis for comparison between the two
methods and check if the EFM can be applied to slabs with irregular
column grids.
Initially we established a point of comparison between the
methods, estimating efforts for the same slab with regular
geometry. There have been developed strategies and methodologies
that were used for the rest of the essay.
Finally irregularities were introduced in the alignments of the
columns and the efforts obtained by the finite element method
through SAP2000. Analysing the behaviour and the results obtained
in parallel with the results obtained by the equivalent frame
method allowed to establish the scope of application in irregular
slabs in a professional context.
KEYWORDS: flat slabs, finite element method, equivalent frame
method, irregularities.
-
!
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
vii
NDICE GERAL
AGRADECIMENTOS
.................................................................................................................................
i
RESUMO.......................................................................................................................................
iii ABSTRACT
.............................................................................................................................................
v NDICE GERAL
......................................................................................................................................vii
NDICE DE FIGURAS
..............................................................................................................................
ix NDICE DE QUADROS
...........................................................................................................................
xiii
1. INTRODUO
..................................................................................................................
1 1.1. OBJECTIVOS
..................................................................................................................................
1 1.2. ORGANIZAO
...............................................................................................................................
1
2. ANLISE DE LAJES FUNGIFORMES
...................................................... 3 2.1.
GENERALIDADES
...........................................................................................................................
3 2.2. COMPORTAMENTOS E PARTICULARIDADES DAS LAJES FUNGIFORMES
...................................... 5 2.2.1. PUNOAMENTO
..............................................................................................................................
5
2.2.2. LIGAO LAJE-PILAR
.......................................................................................................................
6
2.2.3. AES HORIZONTAIS
......................................................................................................................
8
2.3. MTODOS DE
ANLISE...................................................................................................................
9 2.3.1. MTODO DAS GRELHAS
...................................................................................................................
9
2.3.2. MTODO DIRETO DE ANLISE (ACI)
...............................................................................................
10
2.3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES
........................................................................................
12
2.2.3. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
................................................................................................
13
3. ESTUDO DE LAJE FUNGIFORME
............................................................. 17
3.1. LAJE FUNGIFORME MACIA DE ESPESSURA CONSTANTE
.......................................................... 17 3.2.
MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS -
APLICAO.......................................................................
18 3.2.1. MODELAO
.................................................................................................................................
18
3.2.2. OBTENO DE RESULTADOS
..........................................................................................................
21
3.2.2.1. Procedimento
..........................................................................................................................
21
3.2.2.2. Resultados
..............................................................................................................................
24
3.3. MTODOS DOS PRTICOS EQUIVALENTES - APLICAO
........................................................... 31
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
viii
3.3.1. OBTENO DE RESULTADOS
..........................................................................................................
31
3.3.1.1. Procedimento
..........................................................................................................................
31
3.3.1.2.
Resultados...............................................................................................................................
32
3.4. DISCUSSO DE RESULTADOS
......................................................................................................
34 3.4.1. PRTICO 1
...................................................................................................................................
34
3.4.2. PRTICO 2 E 3
..............................................................................................................................
38
4. DISPOSIO IRREGULAR DOS PILARES EM PLANTA .... 41 4.1.
INTRODUO
................................................................................................................................
41 4.2. INTRODUO DAS IRREGULARIDADES
........................................................................................
41 4.3. PRTICO 1
....................................................................................................................................
43 4.3.1. PILAR 1
........................................................................................................................................
43
4.3.2. PILAR 2
........................................................................................................................................
44
4.3.3. PILAR 3
........................................................................................................................................
46
4.3.4. PILAR 1 E 2
..................................................................................................................................
47
4.3.5. PILAR 2 E 3
..................................................................................................................................
49
4.4. PRTICO 2
....................................................................................................................................
50 4.4.1. PILAR 1
........................................................................................................................................
50
4.4.2. PILAR 2
........................................................................................................................................
52
4.4.3. PILAR 3
........................................................................................................................................
53
4.4.4. PILAR 1 E 2
..................................................................................................................................
55
4.4.5. PILAR 2 E 3
..................................................................................................................................
56
4.5. PRTICO 3
....................................................................................................................................
58 4.5.1. PILAR 1
........................................................................................................................................
58
4.5.2. PILAR 2
........................................................................................................................................
60
4.5.3. PILAR 3
........................................................................................................................................
61
4.5.4. PILAR 1 E 2
..................................................................................................................................
63
4.5.5. PILAR 2 E 3
..................................................................................................................................
64
5. CONCLUSES
...............................................................................................................
67 5.1. CONCLUSES GERAIS
.................................................................................................................
67 5.2. SUGESTES PARA DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
....................................................................
69 BIBLIOGRAFIA
......................................................................................................................................
71
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
ix
NDICE DE FIGURAS Figura 2.1 - Estado de tenso na face superior
de um painel de laje fungiforme [1] ..............................
5
Figura 2.2 - Esquema da rotura ao punoamento [3]
.......................................................................
6
Figura 2.3 - Ligao laje-pilar: a) apoio contnuo (parede); b)
apoio pontual (pilar) [1] .......................... 7
Figura 2.4 - Largura efetiva eb recomendada pelo EC2[4]
.....................................................................
8 Figura 2.5 - Diviso da uma laje em faixas e respectivos elementos
barra [5] ...................................... 9
Figura 2.6 - Laje dividida em elementos de barra [5]
........................................................................
9
Figura 2.7 - Distribuio de momentos fletores pelo mtodo direto
[1] ............................................. 11
Figura 2.8 - Esquema dos prticos equivalentes a ser usados
(adaptado) [1] ..................................... 12
Figura 2.9 - Representao dos dois tipos de ligao estudados
....................................................... 14
Figura 2.10 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 1
.................................................................
15
Figura 2.11 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 2
.................................................................
15
Figura 2.12 - Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 3
.................................................................
16
Figura 3.1 - Planta estrutural da laje
fungiforme...................................................................................
17
Figura 3.2 - Modelo 3D da laje fungiforme
...........................................................................................
18
Figura 3.3 - Malha de elementos finitos (plano x-y)
..............................................................................
19
Figura 3.4 - Pormenor da ligao laje-pilar
..........................................................................................
20
Figura 3.5 - Modelo estrutural
..............................................................................................................
20
Figura 3.6 - Alinhamento dos prticos
..................................................................................................
21
Figura 3.7 - Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]
...................................................................................
22
Figura 3.8 - Exemplo de diagrama de momentos fletores sobre um
alinhamento de pilares ............... 22
Figura 3.9 Distribuio de momentos fletores negativos recomendada
pelo Eurocdigo 2 (EC2) para o MPE [4]
.............................................................................................................................................
23
Figura 3.10 Diagrama de momentos fletores negativos calculado
pelo MEF .................................... 24
Figura 3.11 Representao tri-dimensional do Prtico 1
...................................................................
24
Figura 3.12 Momentos fletores Mxxs do prtico 1
............................................................................
25
Figura 3.13 Pormenor da deformada da laje
.....................................................................................
25
Figura 3.14 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos .............. 26
Figura 3.15 Representao tri-dimensional do Prtico 2
...................................................................
27
Figura 3.16 Momentos fletores Mxxs do prtico 2
............................................................................
27
Figura 3.17 Deformada da laje no painel intermdio e o painel de
bordo ......................................... 28
Figura 3.18 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos .............. 29
Figura 3.19 Representao tri-dimensional do Prtico
.....................................................................
29
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
x
Figura 3.20 Momentos fletores Mxxs do prtico 3
............................................................................
30
Figura 3.21 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos .............. 30
Figura 3.22 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados
(adaptado Figueiras) [1] ................... 31
Figura 3.23 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 1
...............................................................
32
Figura 3.24 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 2 e 3
......................................................... 32
Figura 3.25 Representao tridimensional do prtico 1
....................................................................
33
Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 1
................................................. 33
Figura 3.27 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 2
e 3 ........................................... 34
Figura 3.28 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1
(comparao) ....................... 35
Figura 3.29 Largura efetiva eb (Eurocdigo 2 - EC2) [4]
...................................................................
36 Figura 3.30 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1
aps a redistribuio ............. 38
Figura 3.31 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2
e 3 ......................................... 39
Figura 3.32 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2
e 3 ......................................... 40
Figura 4.1 Desvio de 1,60m (20% do vo) do pilar 1]
.......................................................................
42
Figura 4.2 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
1.................................................. 43
Figura 4.3 Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 1 Pilar 1 .......... 44
Figura 4.4 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
1.................................................. 45
Figura 4.5 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 1 Pilar 2 ........... 45
Figura 4.6 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
1.................................................. 46
Figura 4.7 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 1 Pilar 3 ........... 47
Figura 4.8 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
1.................................................. 48
Figura 4.9 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 1 Pilar 1 e 2 ..... 48
Figura 4.10 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
1................................................ 49
Figura 4.11 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 1 Pilar 2 e 3 ... 50
Figura 4.12 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
2................................................ 51
Figura 4.13 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 2 Pilar 1 ......... 51
Figura 4.14 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
2................................................ 52
Figura 4.15 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 2 Pilar 2 ......... 53
Figura 4.16 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
2................................................ 54
Figura 4.17 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 2 Pilar 3 ......... 54
Figura 4.18 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
2................................................ 55
Figura 4.19 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 2 Pilares 1 e 2 56
Figura 4.20 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
2................................................ 57
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
xi
Figura 4.21 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 2 Pilares 2 e 3 57
Figura 4.22 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
3 ............................................... 59
Figura 4.23 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 3 Pilar 1 ......... 59
Figura 4.24 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
3 ............................................... 60
Figura 4.25 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 3 Pilar 2 ......... 61
Figura 4.26 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
3 ............................................... 62
Figura 4.27 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 3 Pilar 2 ......... 62
Figura 4.28 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
3 ............................................... 63
Figura 4.29 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 3 Pilares 1 e 2 64
Figura 4.30 - Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico
3 ............................................... 65
Figura 4.31 - Disparidade correspondente s irregularidades
geomtricas Prtico 3 Pilares 2 e 3 65
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
xiii
NDICE DE QUADROS Quadro 2.1 Distribuio simplificada dos momentos
fletores por faixas (adaptado) [4] ................... 12
Quadro 2.2 Momentos fletores Mxx Caso 1
...................................................................................
14
Quadro 2.3 Momentos fletores Mxx Caso 2
...................................................................................
15
Quadro 2.4 Momentos fletores Mxx Caso 1
...................................................................................
15
Quadro 3.1 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]
................................................................................
23
Quadro 3.2 Resultante dos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MEF
[kN.m] .................................. 25
Quadro 3.3 Resultante dos Mxxs do Prtico 2 calculados pelo MEF
[kN.m] .................................. 28
Quadro 3.4 Resultante dos Mxxs do Prtico 3 calculados pelo MEF
[kN.m] .................................. 30
Quadro 3.5 Esforos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MPE [kN.m]
............................................ 33
Quadro 3.6 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 calculados pelo MPE
[kN.m] ...................................... 34
Quadro 3.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE) [kN.m]
............................................ 35
Quadro 3.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE com
momento resistente mximo) [kN.m]
..................................................................................................................................................
37
Quadro 3.9 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 analisados pelo MEF-MEF
[kN.m] .............................. 38
Quadro 3.10 Esforos Mxxs do Prtico 2 (MEF-MPE) [kN.m]
......................................................... 38
Quadro 3.11 Esforos Mxxs do Prtico 3 (MEF-MPE) [kN.m]
........................................................ 39
Quadro 3.12 Esforos Mxxs dos Prticos 2 e 3 (MEF-MPE com momento
resistente mximo) [kN.m]
..................................................................................................................................................
40
Quadro 4.1 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do
pilar 1 [kN.m] ............................. 43
Quadro 4.2 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do
pilar 2 [kN.m] ............................. 44
Quadro 4.3 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do
pilar 3 [kN.m] ............................. 46
Quadro 4.4 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio dos
pilares 1e 2 [kN.m] .................. 47
Quadro 4.5 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do
pilar 3 [kN.m] ............................. 49
Quadro 4.6 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do
pilar 1 [kN.m] ............................. 50
Quadro 4.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do
pilar 2 [kN.m] ............................. 52
Quadro 4.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio do
pilar 3 [kN.m] ............................. 53
Quadro 4.9 Momentos fletores Mxxs do Prtico 2 com desvio dos
pilares 1 e 2 [kN.m] ................. 55
Quadro 4.10 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 com desvio do
pilar 3 [kN.m] ........................... 56
Quadro 4.11 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do
pilar 1 [kN.m] ........................... 58
Quadro 4.12 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do
pilar 2 [kN.m] ........................... 60
Quadro 4.13 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do
pilar 3 [kN.m] ........................... 61
Quadro 4.14 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio dos
pilares 1 e 2 [kN.m] ............... 63
Quadro 4.15 Momentos fletores Mxxs do Prtico 3 com desvio do
pilar 2 e 3 [kN.m] ..................... 64
-
!
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
1
1 INTRODUO
1.1. OBJECTIVOS Com a proliferao do uso das lajes fungiformes e
das suas aplicaes cada vez mais amplas, necessrio que sejam
atendidas as necessidades de uma anlise e dimensionamento
expeditos. Com as exigncias arquitectnicas sempre em constante
mudana surgem lajes fungiformes com geometrias bastante
irregulares. Normalmente, o principal obstculo com que o projetista
se depara, a dificuldade de aplicao de mtodos simplificados de
clculo a estas situaes. O rumo natural seria o uso de um software
de clculo comercial, que atualmente esto bastante divulgados, que
permite a utilizao do mtodo de elementos finitos de uma forma
verstil e simples. Apesar disso, ainda h alguma dificuldade em
perceber facilmente o comportamento de uma laje que no suportada
por uma grelha de pilares regulares.
Neste trabalho, procura-se dar um contributo relativamente ao
estudo destas irregularidades aplicadas nas lajes, recorrendo ao
mtodo dos elementos finitos. Vai tambm ser analisada a
possibilidade da aplicao de mtodos simplificados e a sua
adequabilidade ao estudo desta particularidade.
1.2. ORGANIZAO Este trabalho composto por 5 captulos, sendo um
deles, introdutrio ao estudo das lajes fungiformes, e diferentes
mtodos de clculo entre outras particularidades (Captulo 2).
Seguidamente no Captulo 3 vai-se introduzir todas as
caractersticas geomtricas e mecnicas, da laje macia, que serviu de
base de estudo para todo este trabalho, incluindo as aes a que est
sujeita. Pretende-se ainda apresentar algumas particularidades da
modelao da laje no programa de clculo SAP2000. Faz-se referncia
tambm aos procedimentos que tem de ser seguidos para a obteno de
resultados que iro permitir fazer a comparao entre os dois mtodos
de clculo. Ainda neste captulo vai-se determinar os esforos
resultados para os dois mtodos, fazer uma breve discusso e
estabelecer o termo de comparao que servir de base para o captulo
seguinte.
No captulo 4 faz-se uma introduo s irregularidades que sero
introduzidas na laje e como vo ser realizadas. So determinados os
resultados e estabelecidas as anlises comparativas entre os dois
mtodos. Ao longo deste captulo medida que os resultados vo sendo
apresentados procede-se a uma possvel explicao do comportamento da
laje.
Finalmente, no captulo conclusivo so feitas as concluses gerais
do que foi estudado e apresenta-se possveis desenvolvimentos
futuros.
-
!
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
3
2 ANLISE DE LAJES FUNGIFORMES
2.1. GENERALIDADES
As lajes fungiformes so um tipo de lajes de beto armado que
geralmente funcionam em duas direes, cuja particularidade serem
apoiadas diretamente numa malha de pilares. Isto , a transferncia
das aes d-se diretamente da laje para o pilar (ou parede
estrutural) sem a interveno de vigas. So lajes que podem ser macias
ou aligeiradas onde recorrente proceder ao maciamento e/ou aumento
da espessura da laje na zona de ligao desta com o pilar. possvel
realizar tambm aumento da cabea do pilar formando um capitel. Estes
cuidados com a ligao da laje e pilar tm como funo atribuir uma
maior resistncia laje, para resistir ao punoamento permitindo
manter a espessura mnima possvel a meio vo que seria necessria para
vencer a flexo.
De uma forma geral podemos considerar que existem ento, lajes
fungiformes macias e lajes fungiformes aligeiradas. Esse
aligeiramento pode ser realizado de vrias formas, seja pela
introduo de moldes recuperveis, blocos de beto leve ou blocos de
poliestireno. Mesmo com a introduo dos capitis, este tipo de lajes
so extremamente vantajosas porque permitem manter uma superfcie
inferior regular facilitando a acomodao de paredes divisrias,
equipamentos de iluminao, AVAC entre outros equipamentos.
Sendo lajes com uma ampla gama de vos que podem ser usados, que
vo desde os 4 metros para as lajes macias de espessura constante at
cerca dos 12 metros para as lajes aligeiradas, estas tm vindo a ser
bastante utilizadas em espaos comerciais e parques de
estacionamento subterrneos onde o espao livre, p direito alto e
possibilidade de adaptao dos vrios pisos a tipos de utilizao
diferentes fazem das lajes aligeiradas a escolha natural.
Contudo, as caractersticas que distinguem as lajes fungiformes
das outras lajes e lhes conferem vantagens preciosas, tambm lhes
conferem algumas desvantagens que so bastante prprias deste tipo de
laje. A laje apoiando diretamente numa grelha de pilares vai fazer
com que ocorra uma grande concentrao de esforos de flexo e
punoamento, sendo necessrio que haja especial ateno no
dimensionamento dessas ligaes. A ausncia de vigas resulta numa
rigidez reduzida a aes horizontais, sendo necessrio introduo de
estruturas de contraventamento como caixas de escadas e elevadores
ou paredes estruturais.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
4
O estudo destas lajes j remonta para o incio do sc. XX, contudo
no se pode dizer que exista um mtodo de anlise de esforos que seja
simples de usar mas ao mesmo tempo preciso. Atualmente no h um
mtodo que permita preciso, rapidez e simplicidade de clculo.
A avaliao dos esforos pode ser realizada tendo em conta uma
anlise elstica ou anlise plstica, com recurso a um dos vrios mtodos
de clculo dos quais se apresentam os mais comuns:
- Mtodo das grelhas (anlise elstica ou plstica)
- Mtodo Direto de anlise (ACI) (anlise elstica)
- Mtodo dos prticos equivalentes (anlise elstica)
- Mtodo dos Elementos Finitos (anlise elstica ou plstica)
- Mtodo das linhas de rotura ou mtodo das charneiras plsticas
(anlise plstica)
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
5
2.2. COMPORTAMENTO E PARTICULARIDADES DAS LAJES FUNGIFORMES
Apesar da grande concentrao de esforos nos pilares e de o
punoamento condicionar frequentemente a espessura da laje a ser
usada, as lajes fungiformes funcionam predominantemente flexo.
facilmente perceptvel que, sobre os pilares de uma laje fungiforme
vai ocorrer trao nos dois sentidos na fibra superior da laje
enquanto que no interior do painel vai haver compresso na fibra
superior da laje. Da mesma forma, aplicando o mesmo raciocnio para
os alinhamentos dos pilares, na fibra superior, ir ocorrer
compresso e no sentido perpendicular ocorrer trao na fibra superior
(Figura 2.1).
Figura 2.1 Estado de tenso na face superior de um painel de laje
fungiforme [1]
Quando a laje carregada vai ocorrer uma fendilhao inicialmente
sobre os pilares (dois sentidos trao), resultando numa redistribuio
dos picos de momento fletor negativo. medida que vai ocorrendo essa
redistribuio de esforos, vai aparecendo fendilhao na parte inferior
da laje segundo os alinhamentos dos pilares [1].
Quando por alguma razo o carregamento se aproxima da carga de
rotura, a fendilhao que se observava no servio agravada havendo a
possibilidade de plastificao da armadura superior nas zonas de
momento negativo levando a uma rotura dctil. Eventualmente se a
fendilhao se concentrar junto ao pilar poder facilitar a ocorrncia
de mecanismos de rotura frgeis como o caso do punoamento. 2.2.1.
PUNOAMENTO
Atendendo inerente ductilidade das lajes fungiformes, estas
apresentam uma capacidade considervel de redistribuio dos momentos.
Essa capacidade de efeito membrana, que normalmente desprezada no
dimensionamento, tem a vantagem de fazer com que a laje encontre
diferentes caminhos para os esforos a que est sujeita.
Esta reserva de resistncia mostra-se bastante aprecivel sendo
que os valores experimentais obtidos para a rotura de lajes
fungiformes indica que pode as cargas adicionais ao peso prprio
podem atingir valores 10 vezes superiores aos determinados
inicialmente para a rotura da laje [2].
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
6
A carga mxima que uma laje fungiforme est sujeita vai depender
essencialmente da resistncia rotura por punoamento. Tendo em conta
que normalmente uma laje no tem armadura capaz de resistir a
esforos de corte, este tipo de rotura tem de ser analisado com
critrio apertado.
Figura 2.2 Esquema da rotura ao punoamento [3]
Na Figura 2.2 apresenta uma representao esquemtica de uma rotura
ao punoamento da ligao laje-pilar. Outro fator importante para este
tipo de rotura o fato de a laje transmitir diretamente os esforos
para o pilar resultando numa concentrao de esforos elevada nesta
zona face a outro tipo de laje. De notar que este tipo de rotura
pode ocorrer em stios de foras concentradas (como por exemplo
maquinaria pesada) e no s nos pilares.
2.2.2. LIGAO LAJE-PILAR
Numa laje vigada a transmisso dos esforos feita atravs do apoio
contnuo conferido pelas vigas ao contrrio do que acontece nas lajes
fungiformes em que esse apoio se efetua numa regio localizada.
Assumindo duas ligaes com uma rigidez equivalente, uma contnua e a
outra pontual (Figura 2.3). Na ligao contnua, a rotao da laje
mantm-se constante ao longo de todo o apoio contnuo, enquanto na
ligao pontual, a rotao na laje vai diminuindo medida que nos
afastamos do apoio. Podemos ento assumir que a rigidez da ligao
diminui quando se passa de apoio contnuo para apoio pontual
No caso dos pilares, s uma largura reduzida ( eb ) de laje,
mobilizada quando ocorre uma rotao na laje, seja derivada de aes
horizontais ou aes verticais. A largura efetiva que mobilizada
varia com as dimenses do pilar e com a localizao do pilar na laje,
em funo se for um pilar de canto, bordo ou interior. Se for um
pilar de bordo ou de canto a transmisso dos momentos fletores de
continuidade est completamente assegurada pelo pilar, resultando
numa deformao/rotao crescente medida que se afasta do pilar e,
consequentemente, numa fendilhao exagerada. De notar que as
armaduras resultantes do dimensionamento destes pilares devem ser
distribudas tambm por esta largura efetiva.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
7
a)
b)
Figura 2.3 Ligao laje-pilar: a) apoio contnuo (parede); b) apoio
pontual (pilar) [1]
O Eurocdigo 2 (EC2) [4] estabelece regras para a limitao dessa
largura efetiva assim como para o momento resistente mximo que os
pilares de bordo e de canto podem aceitar. O EC2 tambm indica que
se numa laje fungiforme existirem vigas de bordo devidamente
dimensionadas toro no necessrio efetuar esta limitao. Caso contrrio
o momento resistente mximo deve corresponder ao momento resistente
de uma seco rectangular igual:
ckeRd fdbM =217,0 (2.1)
Sendo,
d - altura til da laje
ckf - valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso
aos 28 dias de idade
eb - largura efetiva
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
8
Figura 2.4 Largura efetiva eb recomendada pelo EC2[4]
A Figura 2.4 apresenta as indicaes regulamentares (EC2) para o
clculo da largura efetiva para pilares de bordo e pilares de
canto.
Resultando da limitao do momento fletor, se for necessrio
reduzir os momentos fletores actuantes nos pilares, ter que se
proceder a uma adequada redistribuio de esforos. Em situao de
projeto, esta redistribuio no dever exigir mais de 50% para uma
anlise feita pelo mtodo dos prticos equivalentes, ou de mais de 30%
quando a anlise for realizada pelo mtodo dos elementos finitos.
Nesse caso deve-se assumir metodologias que aumentem a
capacidade resistente do pilar de bordo ou pilar de canto,
nomeadamente, a introduo de uma viga de bordadura [4], alterao da
posio do pilar ou espessura da laje ou, em ltimo recurso, alterar a
classe de resistncia do beto [1].
2.2.3. AES HORIZONTAIS
Nas lajes fungiformes, a falta de vigas e do mecanismo
viga-pilar faz com que esta soluo no seja a ideal para resistir a
aes horizontais. Esta diminuio de rigidez j foi mencionada no
subcaptulo anterior, tendo como principal fator dessa diminuio, a
ligao da laje com o pilar numa regio extremamente limitada e a
falta de um elemento com alguma rigidez de forma a compatibilizar
as deformaes junto do pilar.
Essas aes horizontais devem ser contabilizadas, e se possvel,
devem ser introduzidos elementos de contraventamento de grande
rigidez, como paredes estruturais, caixas de escadas e de
elevadores para absorver essas aes. Esses elementos de
contraventamento tm como objectivo limitar os deslocamentos
horizontais nas lajes fungiformes, para que no existam grandes
deformaes que so to prejudiciais a este tipo de lajes.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
9
2.3. MTODOS DE ANLISE
2.3.1. MTODO DAS GRELHAS
O mtodo das grelhas (ou mtodo dos prticos tridimensionais), um
mtodo mais adaptado ao clculo computacional, consistindo na diviso,
nas duas direes, de uma laje em vrias faixas substituindo essas
faixas por elementos barra centrados com a rigidez equivalente da
faixa.
Figura 2.5 Diviso da uma laje em faixas e respectivos elementos
barra [5]
Na Figura 2.5 possvel verificar a diviso de uma laje em faixas
nos dois sentidos (tracejado) e a substituio por elementos de barra
com a rigidez respectiva a cada faixa. Este mtodo bastante
utilizado em lajes fungiformes aligeiradas sendo mais prtico a
substituio das nervuras por uma elemento barra com a rigidez
respectiva. A Figura 2.6 apresenta a grelha final aps a diviso por
faixas.
Figura 2.6 Laje dividida em elementos de barra [5]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
10
Geralmente neste tipo de modelao existe uma dificuldade em
calcular a rigidez de toro adequada para estes elementos de barra,
sendo que se opta por atribuir uma rigidez de toro nula passando a
obter um equilbrio da laje simplesmente por momentos fletores. Em
consequncia da atribuio de uma rigidez de toro nula tornando o
modelo mais flexvel, iro obter-se deslocamentos mais acentuados do
que se verificam na realidade.
Por fim, este um mtodo mais complicado, que deve ser usado
sempre que os mtodos mais simples como o mtodo direto e o mtodo dos
prticos equivalentes no sejam suficientemente precisos e/ou no
possam ser aplicados.
2.3.2. MTODO DIRETO DE ANLISE (ACI)
O mtodo direto um mtodo semelhante ao mtodo dos prticos
equivalentes, no que diz respeito aplicao s a malhas de pilares com
geometria regular. Consiste na atribuio de coeficientes para a
obteno de esforos e rege-se por condies especficas enumeradas por
Figueiras [1]:
! deve haver um mnimo de 3 vos contnuos em cada direo. Se houver
s dois vos, os momentos negativos no apoio interior dados pelo
mtodo direto so menores que os mais provveis;
! os painis devem ser rectangulares com uma relao de vos
limitada por 0.5 lx / ly 2.0 ;
! Vos adjacentes em cada direo no devem diferir mais que 1/3 do
vo maior (
21 33.1 ll , sendo 2l o menor vo). Este limite tem em vista
manter vlidas as regras simplificadas de dispensa de vares;
! Os pilares podem estar desviados no mximo 10% do vo em relao a
qualquer dos alinhamentos;
! As aes devem ser apenas verticais. A estrutura da laje
fungiforme deve estar contraventada;
! A sobrecarga no deve ultrapassar duas vezes as aes
permanentes. Apenas considerado um caso de carga com a carga total
de estados limites ltimos em todos os vos;
! No deve ser aplicada redistribuio de momentos aos valores
dados pelo mtodo direto.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
11
Os valores dos momentos fletores totais a considerar para a
largura do prtico equivalente so dados por:
Figura 2.7 Distribuio de momentos fletores pelo mtodo direto
[1]
O momento 0M o considerado momento isosttico de clculo em cada
um dos vos e dado pela seguinte expresso:
8
22
0ned llpM = (2.2)
Onde,
kkED qgp += 5.135.1
2l - largura do prtico equivalente
nl - vo de clculo, correspondente ao vo livre entre as faces dos
pilares. Sendo 1l o vo terico entre eixos dos apoios deve-se
certificar que 165.0 lln .
Depois da determinao dos momentos totais, a distribuio dos
momentos por faixa dos pilares e faixa central efectuado da mesma
forma como efetuado para a distribuio dos prticos equivalentes (ver
subcaptulo 2.3.3).
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
12
2.3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES
O mtodo dos prticos equivalentes um mtodo simplificado bastante
usado como forma de validao de mtodos mais precisos, como o caso do
mtodo dos elementos finitos e/ou pr-dimensionamento. Como mtodo
simplificado s pode ser aplicado quando um conjunto de fatores so
cumpridos.
S deve ser usado quando a geometria da grelha de pilares
regular, e sujeitos predominantemente a cargas verticais
distribudas.
um mtodo que consiste na diviso da laje em prticos equivalentes,
geralmente divididos pela linha mdia do painel (Figura 2.8) sendo
possvel, efetuar o clculo com recurso a um simples programa de
clculo de prtico como por exemplo o Ftool. A rigidez a ser
considerada a equivalente correspondente faixa da laje.
Figura 2.8 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados
(adaptado) [1]
Sendo 4111 Lba == e
4222 Lba == , o prtico equivalente pode separado em faixa sobre
os
pilares ( 21 aa + ) e em faixa central (b1+b2). Aps a determinao
dos momentos totais o Eurocdigo 2 estabelece a gama de valores que
estes podem ser divididos pelas duas faixas (Quadro 2.1). razovel
atualmente, usar os valores de distribuio que eram recomendados
pela antiga regulamentao (REBAP). Estes valores esto apresentados
no Quadro 2.1 entre parnteses.
Quadro 2.1 Distribuio simplificada dos momentos fletores por
faixas (adaptado) [4]
Momentos negativos Momentos positivos
Faixa sobre pilares 60% - 80% (75%) 50% - 70% (55%)
Faixa central 40% - 20% (25%) 50% - 30% (45%)
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
13
De notar que existe uma concentrao de esforos na faixa sobre os
pilares devido natureza elstica da anlise que realizada para o
clculo dos esforos. O que diz respeito ligao laje-pilar o
mencionado no subcaptulo 2.2.2 tambm se aplica ao mtodo dos prticos
equivalentes, principalmente a limitao do momento resistente nos
pilares de bordo e de canto.
2.3.4. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
O mtodo dos elementos finitos (MEF) uma ferramenta de clculo
bastante poderosa que permite determinar o estado de tenso e de
deformao de um slido sujeito a carregamentos exteriores.
principalmente til na obteno de soluo para estruturas como lajes,
paredes, cascas ou slidos. No entanto, com a evoluo da capacidade
de processamento dos atuais computadores pessoais e respetivamente
dos softwares comerciais disponveis, possvel estender as anlises
determinadas pelo MEF a estruturas mais complexas. possvel ento
fazer uma anlise global da estrutura, ou simplesmente analisar
casos particulares de uma estrutura que tenham o comportamento no
to simples.
No caso deste trabalho, e na anlise da generalidade das lajes, a
utilizao do MEF usando programas de clculo comerciais leva ao
encontro de alguns problemas na utilizao e modelao da estrutura e
na utilizao do programa de clculo.
O primeiro problema encontra-se na escolha do programa de
clculo. Existem dois principais softwares que se destacam pela sua
utilizao intuitiva, o SAP2000 e o Robot Structural Analysis. Apesar
de no ser do mbito deste trabalho, foram feitas anlises prvias
comparativas entre os dois programas de clculo. Para o caso de
estudo no foram visualizadas diferenas significativas entre os dois
programas de clculo, no entanto, j foi objeto de estudo de vrios
autores sendo de consenso geral que o SAP2000 para lajes
fungiformes apresenta resultados muito prximos da soluo terica [6].
Alm dessa preciso de resultados, o SAP2000, no geral um software
mais completo possuindo ferramentas que possibilitam a modelao de
cabos de pr-esforo, sem ser necessrio a introduo de cargas
equivalentes. Sendo assim, todos os clculos que envolvam a
determinao de esforos pelo mtodo de elementos finitos foram obtidos
com recurso ao SAP2000, com elementos finitos de 4 ns com 6 graus
de liberdade por n, ou seja, elementos de casca.
Para lajes fungiformes a malha recomendada pelo programa de
clculo era bastante dispersa. Analisando vrias lajes com diferentes
nveis de refinamento pode-se concluir que a variao de esforo na
zona dos pilares (momentos fletores negativos) necessitava de um
refinamento mais elevado do que nos painis, onde os valores dos
momentos positivos variam de uma forma no tanto acentuada. Optou-se
por refinar a malha at ao ponto em que a alterao de esforos entre
os vrios nveis de refinamento era inferiores unidade.
Finalmente, o principal problema encontrado na modelao da laje
foi precisamente da ligao laje-pilar. A modelao inicialmente foi
realizada por elementos barra com uma rigidez equivalente s
caractersticas dos pilares, sendo que esta ligao era realizada num
s n da malha (Caso 1). Este mtodo obriga logo a um refinamento da
zona de pilar pelo menos em dois elementos em cada direo (total de
4 elementos). Para ligaes deste tipo os momentos fletores negativos
sobre os pilares atingiam valores de pico elevadssimos que no
correspondem realidade. Os valores necessrios para o estudo desta
tese resultam da integrao do diagrama de momentos fletores
correspondente largura do prtico equivalente. Sendo assim, visto
que este pico de momento ocorria pontualmente era pouco provvel que
afectasse as resultantes dos diagramas. Contudo, esta modelao
completamente irrealista, visto que na realidade a reao que o pilar
introduz na laje se efetua na largura do pilar e no
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
14
num ponto. Procurou-se resolver esta particularidade da modelao
laje-pilar, de vrias formas. A soluo passava por tentar simular a
distribuio da rigidez pela superfcie de contato entre o pilar e a
laje. Foram estudadas e avaliadas vrias formas de distribuir esta
rigidez, como por exemplo, distribuindo vrios elementos barra pelo
elemento finito e atribuindo uma rigidez superior aos elementos
internos e uma rigidez mais baixa aos elementos que estivessem
posicionados no bordo do pilar. A dificuldade de estimar as
diferentes rigidezes a atribuir aos diferentes elementos, torna
este mtodo invivel num caso prtico. Foram colocadas ainda mais duas
hipteses de modelao dos pilares, sendo elas:
! Diviso do pilar por vrios elementos barra atribuindo a cada
elemento as caractersticas geomtricas que no todo formam o pilar
inicial (Caso 2)
! Modelao do pilar por elementos finitos slidos (Caso 3)
a) Elementos finitos slidos (Caso 2) b) Elementos Barra (Caso
3)
Figura 2.9 Representao dos dois tipos de ligao estudados
Na Figura 2.9 esto representados os dois modos de ligao
laje-pilar estudados e com a anlise dos resultados obtidos foi
possvel escolher o tipo de ligao que mais se adequam. Os diagramas
de momentos fletores que sero apresentados seguidamente representam
um corte (laje em estudo Captulo 3) no mapa de momentos fletores
segundo a direo xxs sobre os alinhamentos dos pilares. Na Figura
2.10 est apresentado o diagrama de momentos fletores para o caso
(Caso 1) que j foi referido anteriormente, onde o pilar modelado
com um s elemento de barra que contm as caractersticas do pilar.
Respectivamente no Quadro 2.2 esto apresentados os valores de
momentos fletores esquerda, direito e no centro de cada pilar.
Quadro 2.2 Momentos fletores Mxx Caso 1
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%
Esq.% Centro% Dir.%
Mxx%[kN.m/m]% 212% 8198% 8275% 8320% 8552% 8262% 8249% 8481%
8249%
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
15
Figura 2.10 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 1
Comparando este diagrama com o da Figura 2.11, que corresponde
modelao onde a rigidez do pilar foi repartida por quatro elementos
barra, pode-se observar que os momentos fletores nos pilares no
geral diminuram e a sua transio tornou-se mais suave no se
verificando os picos pontuais de momentos fletores como no caso 1.
Apesar da diminuio desses picos no centro os valores nas
extremidades dos pilares interiores assumem valores aproximados
entre os dois casos.
Quadro 2.3 Momentos fletores Mxx Caso 2
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%
Esq.% Centro% Dir.%
Mxx%[kN.m/m]% 13% 895% 8163% 8319% 8349% 8287% 8250% 8290%
8250%
Figura 2.11 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 2
Por fim, a modelao do pilar com elementos slidos (caso 3), que
teoricamente se aproxima mais da realidade apresenta uma distribuio
de momentos algo anmala para uma estrutura continua deste gnero.
Existe uma concentrao de momentos fletores negativos nos pilares de
bordo superior ao obtido pelos dois casos anteriores, assim como
tambm se pode verificar que h uma quebra de momentos fletores em
cima dos pilares.
Quadro 2.4 Momentos fletores Mxx Caso 3
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 Esq.% Centro% Dir.% Esq.% Centro% Dir.%
Esq.% Centro% Dir.%
Mxx%[kN.m/m]% 47% 8105% 8254% 8334% 8257% 8285% 8267% 8223%
8267%
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
16
Figura 2.12 Diagrama Momentos fletores Mxxs Caso 3
Efetuado o estudo mais pormenorizado destas 3 hipteses pode-se
verificar algumas das suas vantagens e desvantagens na sua modelao.
Sendo que o caso 1 foi uma opo descartada desde o incio resta saber
qual das duas ligaes a mais adequada para o caso em estudo. O caso
3 sendo o que se aproxima mais da realidade seria a melhor opo, no
entanto, a considerao de uma rigidez exagerada para os pilares de
bordo torna esta opo invivel. Sendo assim recorrendo a elementos de
barra e distribuindo a rigidez do pilar por vrios elementos
adequa-se melhor ao objetivo do estudo que vai ser feito ao longo
desta dissertao.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
17
3 ESTUDO DE UMA LAJE
FUNGIFORME
3.1. LAJE FUNGIFORME MACIA DE ESPESSURA CONSTANTE Definindo uma
laje fungiforme padro e avaliando os esforos pelo MEF e pelo MPE
poderemos ento fazer um estudo comparativo entre os dois mtodos
determinando as suas diferenas a nvel de momentos flectores.
Tanto a laje fungiforme como os pilares tero como materiais
considerados o beto de classe C25/30 e o ao de classe S500. uma
fungiforme macia de espessura constante com 0,28m apoiada em
pilares quadrangulares de 0,40x0,40m2, pilares esses que formam uma
malha quadrangular com 8m de lado
Figura 3.1 Planta estrutural da laje fungiforme
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
18
A laje estar sujeita a cargas distribuidas verticais com sentido
descendente (gravidade) que assumem os seguintes valores:
x 2/10 mkNgk (incluindo o peso prprio)
x 2/5 mkNqk Devido natureza do caso em estudo foi considerada
apenas a combinao fundamental (ELU) sem alternncia de sobrecarga
nos painis da laje.
kkED qgp uu 5.135.1 (3.1) 2/21 mkNpED
Figura 3.2 Modelo 3D da laje fungiforme
3.2. MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS - APLICAO 3.2.1. MODELAO
Como referido anteriormente, para o mtodo dos elementos finitos
foi usado o software de clculo SAP2000 verso 15, recorrendo a
elementos de casca (shell) quadrados com 0,40m de lado. O SAP2000
tem um motor de gerao malhas de elementos finitos que confere ao
projetista algum controlo, como por exemplo, definir o tamanho
mximo do elemento finito ou definir em quantos elementos (em cada
direco) pretendemos dividir uma determina rea. Contudo ainda
possvel desenhar a malha com ajuda de um software de desenho
assistido (CAD) e importar para o SAP2000. A dimenso dos elementos
finitos gerados para a malha tem de ser escolhida dependendo do
caso que se tiver a estudar e/ou da preciso necessria que se quiser
obter. Naturalmente, as zonas a meio vo no necessitam de um
refinamento to grande como a zona junto ao alinhamentos dos
pilares, onde a variao de esforos muito maior. Nos alinhamentos que
passam sobre os pilares, os elementos foram refinados de tal modo
que a geraram uma malha, em cada pilar, de elementos quadrados
com
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
19
0,1m. Este refinamento deve-se no tanto necessidade de obteno
resultados mais precisos nesta zona, mas principalmente forma como
foram modelados os pilares.
Figura 3.3 Malha de elementos finitos (plano x-y)
Isto , a modelao foi realizada por elementos de barra, contudo a
sua rigidez foi distribuida por vrios ns e no concentrada num nico
n como comum neste tipo de modelao em edifcios. A utilizao de
elementos de barra e elementos finitos no mesmo modelo podem, como
j foi visto anteriormente, produzir picos de momentos fletores
negativos no realistas. Em certas situaes (o caso das lajes), se os
resultados obtidos por uma modelao no adequada no forem
fundamentados por outros mtodos de anlise mais simples, poder
conduzir a desvios significativos e, consequentemente, a um
dimensionamento desajustado. Para tal a utilizao desses elementos
deve ser estudada e tida em conta aquando a anlise dos esforos e
respectivo dimensionamento.
Sendo assim, a forma adoptada para a modelao da ligao
laje-pilar, dividir o elemento barra com dimenses 0,40x0,40m2 em 4
elementos barra com dimenses 0,20x0,20m2 mantendo a mesma
geometria. Tendo em conta que o SAP2000 associa pontos a todos os
cruzamentos de alinhamentos, deu-se a necessidade da diviso dos
elementos finitos sobre os alinhamentos dos pilares em cada uma das
direes de forma a que na zona de ligao da laje-pilar resultem
elementos finitos quadrados com
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
20
0,1 metros de lado. Usando este mtodo consegue-se reduzir o pico
de momentos fletores negativos que se obteria s com um elemento e
aproximando da realidade o comportamento da ligao laje-pilar.
Figura 3.4 Pormenor da ligao laje pilar
Notando que esta ligao apesar de mais prxima da realidade no
contempla as micro-fendilhaes que so naturais em estruturas de beto
armado e pr-esforado visto que se trata de uma anlise
linear-elstica. Contudo sem fundamentar estes resultados com
resultados experimentais e sem fazer um estudo mais pormenorizado
destas ligaes pode-se concluir que, a modelao considerada
aproximada o suficiente do comportamento real para o caso em
estudo. Para as respectivas extremidades desses elementos de barra
no ligadas laje foram considerados encastramentos como condies de
apoio. Na figura 3.5 esta apresentada o modelo estrutural
tridimensional que foi utilizado no software de clculo para a
anlise de esforos.
Figura 3.5 Modelo estrutural
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
21
3.2.2. OBTENO DE RESULTADOS
3.2.2.1. Procedimento
A estrutura vai ser analisada em trs prticos equivalentes
(determinados segundo o mtodo dos prticos equivalentes) apenas
segundo o eixo xxs, atendendo simetria da estrutura a anlise
segundo o eixo yys tornaria-se redundante. Os trs prticos
equivalentes analisados sero os correspondentes aos alinhamentos 1,
2 e 3 (Figura 3.6).
Figura 3.6 Alinhamentos dos prticos
Escolhendo este conjunto de prticos equivalentes, merecem
especial ateno os prticos 2 e 3 (para este mtodo de anlise) porque
tendo a mesma largura (8m) e o mesmo carregamento espectvel obter a
mesma distribuio de esforos que fundamentado pelo MPE, enquanto o
MEF com certeza ir apresentar algumas distines. De uma perspectiva
inicial comea-se a contextualizar algumas das limitaes e
problematicas tpicas de um mtodo simplificado como o MPE. De notar
que estas limitaes do MPE no invalidam de modo algum a viabilidade
do mtodo para o projetista, para lajes com geometrias regulares
como a deste caso.
sabido que o MPE faz uma anlise bastante simplista
comparativamente com o MEF, sendo insuficiente em casos
particulares, como o caso de prticos situados nos bordos da laje. A
pode haver uma distribuio de esforos diferentes da adoptada para os
prticos interiores, portanto a anlise do prtico 1 vai permitir
verificar se o fato de ser um prtico junto ao bordo vai influenciar
a adequabilidade da aplicao do MPE para este caso especfico.
Aps o clculo da estrutura, apresenta-se na Figura 3.7, o mapa de
cores correspondentes aos momentos fletores Mxxs, que originam
armadura na direo XXs. Com uma breve anlise desse mesmo mapa
podemos verificar que existe dupla simetria dos Mxxs relativamente
ao centro da laje (dando uma primeira indicao de uma modelao e
clculo correctos). Tal como previsto, tambm se pode verificar que h
uma distino entre o espalhamento dos momentos fletores positivos
dentro das faixas dos prticos equivalentes 2 e 3 assim como os
valores pontuais correspondentes aos alinhamentos 2 e 3 assumem
valores distintos.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
22
Os momentos fletores variam numa gama de valores de
aproximadamente 110 at -465, apesar de este ltimo valor referir-se
a um dos picos de momento fletor e no representar a realidade, como
j foi referido anteriormente.
Para os momentos fletores Mxxs verifica-se que, ao longo dos
alinhamentos dos pilares interiores na direo do eixo yys existem
predominantemente momentos fletores negativos (cor verde).
Nos pilares de bordo, devido menor rigidez daquela zona e
consequentemente maior rotao da laje e do pilar os momentos
fletores negativos esto reduzidos a uma largura menor, no havendo
de certa forma uma continuidade de momentos negativos como se
verifica nos pilares interiores.
Figura 3.7 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]
O quadro 3.1 apresenta os valores de momentos fletores em vrios
pontos de leitura (ver Figura 3.8) e a respectiva diferena
percentual entre os alinhamentos 2 e 3.
Figura 3.8 Exemplo de diagrama de momentos fletores sobre um
alinhamento de pilares
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
23
Quadro 3.1 Momentos fletores Mxxs [kN.m/m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3
1 2 3 4 5 6 Alinhamento 2 -217.94 108.63 -451.57 -394.91 69.42
-373.90 Alinhamento 3 -199.53 103.04 -401.81 -369.37 62.89 -321.97
Diferena (%) 8.4% 5.15% 11.02% 6.47% 9.41% 13.89%
Contudo, uma anlise qualitativa no de todo suficiente para uma
correcta avaliao dos esforos instalados sendo necessrio fazer uma
anlise quantitativa para determinar exactamente o nvel de flutuao
de momentos fletores entre os prticos equivalentes respectivos.
Movendo os alinhamentos dentro da faixa correspondente a um prtico
equivalente, os valores obtidos sero com certeza diferentes do
conjunto de valores inicial. Esta no era de todo a metodologia mais
adequada para uma anlise comparativa entre os dois prticos,
principalmente quando esta comparao tambm envolver o MPE.
Teria de ser adoptada uma metodologia que fosse de rpida e fcil
execuo e sendo ao mesmo tempo suficientemente precisa. Do MPE
sabemos que os esforos obtidos so derivados de todo o carregamento
que vem da largura do prtico equivalente, ento, esses esforos na
realidade so o resultado de uma integrao de um diagrama qualquer
(com distribuio real desconhecida) com direo perpendicular ao
prtico.
Figura 3.9 Distribuio de momentos fletores negativos recomendada
pelo Eurocdigo 2 (EC2) para o MPE [4]
O procedimento natural seria proceder integrao do diagrama de
momentos fletores obtido pelo MEF entre os limites da faixa do
prtico equivalente tendo assim uma base de estudo e comparao slida.
A figura seguinte apresenta um diagrama de momentos fletores
negativos (perpendicular ao prtico direco do eixo YYs)
correspondente largura do prtico equivalente calculado pelo MEF.
Integrando este diagrama numa situao ideal o resultado seria
aproximadamente igual ao valor de M- apresentado na Figura 3.9.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
24
Figura 3.10 Diagrama de momentos fletores negativos calculado
pelo MEF
Como sabido, o MEF alm de ser uma ferramenta poderosa e til gera
uma quantidade enorme de resultados que aumentam ou diminuem
conforme o refinamento da malha. Como se pode ver na Figura 3.3, a
malha utilizada bastante refinada conduzindo a uma necessidade de
processamento elevada e consequentemente resulta numa quantidade
substancial de resultados. Foi assim criada a necessidade de
desenvolver uma aplicao para processar essa quantidade de dados. A
aplicao permite exportar folhas de clculo de Excel onde so
apresentados cortes na laje, paralelos a xxs ou a yys, contendo
todos os valores de momentos fletores para cada elemento finito
possibilitando a apresentao grfica exata - Figura 3.9.
3.2.2.2. Resultados
Neste sub-captulo pretende-se apresentar e discutir os
resultados obtidos aps a integrao dos diagramas de momentos
fletores (Figura 3.10) para os prticos 1,2 e 3 (Figura 3.6). S vai
ser efectuada a integrao dos pontos 1 a 6 (Figura 3.8) atendendo
simetria da laje e consequentemente do prtico relativamente ao
ponto 6.
- Prtico 1
Figura 3.11 Representao tri-dimensional do Prtico 1
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
25
O prtico 1 apresenta uma largura de 4,2 metros de largura total
correspondentes a 2 metros da faixa central e 2,4 metros da faixa
sobre os pilares.
Figura 3.12 Momentos fletores Mxxs do prtico 1 [kN.m/m]
Especificamente analisando a poro do mapa de momentos fletores
Mxxs correspondente ao prtico equivalente 1, na direo xxs pode
observar-se que h um alargamento da influncia dos momentos fletores
positivos, estando de acordo com maiores deslocamentos e rotaes da
laje, medida que nos afastamos do pilar. Consequentemente nos
pilares intermdios, tambm na direco xxs a largura afetada pelos
momentos negativos tambm vai diminuir. Na Figura 3.13 possvel
observar a deformao que ocorre na laje e nos pilares na zona em
questo. Na direo yys nos pilares extremos os momentos fletores
negativos vo diminuindo passando a positivos medida que se caminha
para o interior da laje enquanto nos pilares intermdios apesar de a
diminuio ocorrer no mesmo sentido estes mantm-se negativos. Uma
situao anloga acontece para os momentos fletores positivos
ocorrento o momento mximo a meio vo no bordo da laje.
Figura 3.13 Pormenor da deformada da laje
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
26
Finalmente, so apresentados no Quadro 3.2 os valores integrados
do diagrama de momentos fletores correspondente ao Prtico 1.
Quadro 3.2 Resultante dos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MEF
[kN.m]
MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 1 -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65
Este mesmos valores apresentam uma ordem de grandeza dentro do
espectvel, mantendo uma proporo entre os momentos fletores adequada
a uma estrutura com este tipo de solicitao e ligaes ao exterior. Na
Figura 3.14 apresenta-se a representao grfica do diagrama
resultante que comparando com o diagrama exemplo (Figura 3.8)
apresenta uma semelhana muito grande.
Figura 3.14 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos [kN.m]
-95.36
356.17
-389.95 -376.3
229.22
-310.65
229.22
-376.3 -389.95
356.17
-95.36
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
27
- Prtico 2
Figura 3.15 Representao tri-dimensional do Prtico 2
Como se pode confirmar pela Figura 3.15 o prtico 2 apresenta uma
largura de 8 metros sendo 4 metros correspondentes faixa dos
pilares e 2 metros em cada lado correspondendo ambos faixa
central.
Figura 3.16 Momentos fletores Mxxs do prtico 2 [kN.m/m]
Naturalmente, dos trs prticos estudados, o prtico 2 apresenta
uma maior concentrao de esforos, correspondendo distribuio adequada
para uma laje contnua de vo iguais. A grande variao de deformaes
que existe esquerda e direita do alinhamento dos pilares a
principal responsvel por esta concentrao de esforos. Como se pode
verificar na anlise ao prtico 1, a grande deformao ocorre nos
painis de bordo, da o alongamento da mancha azul na direo desse
mesmo painel (parte de baixo) correspondente aos momentos fletores
positivos. Na Figura 3.17 possvel verificar esta
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
28
grande diferena de deformadas e consequentemente um substancial
aumento da curvatura da laje sobre os pilares do alinhamento 2.
Figura 3.17 Deformada da laje no painel intermdio e o painel de
bordo
No Quadro 3.3, novamente so apresentados os valores das
resultantes dos diagramas transversais ao prtico equivalente.
Pode-se verificar que comparativamente com o prtico 1 este
apresenta sem dvida um aumento significativo a nvel de momentos
fletores, devendo-se no s ao que foi mencionado anteriormente mas
tambm pelo facto de o prtico equivalente ter uma largura inferior
(cerca de metade).
Quadro 3.3 Resultante dos Mxxs do Prtico 2 calculados pelo MEF
[kN.m]
MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 2 -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49
De notar que este aumento no se verifica em to grande escala nos
pilares de bordo como nos pilares interiores. Antecipa-se que por a
ligao laje-pilar se efectuar numa regio localizada provoque uma
reduo de rigidez e consecutivamente o valor do integral do diagrama
neste pilar no tenha variaes muito significativas. Mais frente este
assunto ser tratado mais em pormenor. A Figura 3.18 apresenta a
representao grfica resultante desta integrao.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
29
Figura 3.18 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos [kN.m]
- Prtico 3
Figura 3.19 Representao tri-dimensional do Prtico 2
Como se pode confirmar pela Figura 3.19, assim como no prtico 2,
o prtico 3 apresenta uma largura de 8 metros sendo 4 metros
correspondentes faixa dos pilares e outros 4 metros correspondendo
faixa central repartidos pelas laterais do prtico.
-154.68
715.18
-1057.6 -1039.19
419.44
-843.49
419.44
-1039.19 -1057.6
715.18
-154.68
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
30
Figura 3.20 Momentos fletores Mxxs do prtico 3 [kN.m/m]
Sabendo que o prtico 3 apenas difere do prtico 2 pela sua
localizao na laje, natural que o mapa de momentos fletores seja
semelhante. Pela anlise da Figura 3.20 pode constatar-se realmente
que os mapas apenas diferem na zona inferior do prtico, onde no
prtico 2 esta zona correspondia a um painel de bordo da laje e
neste prtico o painel de continuidade. Por essa razo e pelo
explicado anteriormente relativamente ao prtico 2, no existe tanta
concentrao de esforos neste prtico.
Quadro 3.4 Resultante dos Mxxs do Prtico 3 calculados pelo MEF
[kN.m]
MEF Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 3 -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99
Nota-se que alm da semelhana dos mapas de momentos fletores as
resultantes dos diagramas transversais tambm assumem valores
semelhantes, sendo esta diferena provavelemente compatvel com os
resultados obtidos pelo MPE. Este estudo ser discutido em maior
detalhe no Captulo 3.4.
Figura 3.21 Diagrama de momentos fletores Mxxs resultantes da
integrao de esforos [kN.m]
-135.61
690.08
-957.31 -938.44
382.04
-731.99
382.04
-938.44 -957.31
690.08
-135.61
-970
-770
-570
-370
-170
30
230
430
630
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
31
3.3. MTODO DOS PRTICOS EQUIVALENTES - APLICAO O mtodo dos
prticos equivalentes (MPE), como tem vindo a ser explicado, um
mtodo de clculo simplificado que permite a obteno de esforos de uma
laje fungiforme partindo do principio da sua diviso em faixas que,
juntamente com os pilares funcionam como um prtico.
predominantemente utilizado em casos de lajes em que os pilares se
distribuem de uma forma regular e predominantemente sujeitos a
cargas distribudas.
3.3.1. OBTENO DE RESULTADOS
3.3.1.1. Procedimento
semelhana do que foi realizado na anlise pelo mtodo dos
elementos finitos, vo ser analisados trs prticos, correspondentes
aos alinhamentos 1,2 e 3 (Figura 3.6). O prtico 2 e 3 tendo a mesma
geometria e o mesmo carregamento, no que diz respeito ao MPE, so
prticos iguais.
Figura 3.22 Esquema dos prticos equivalentes a ser usados
(adaptado Figueiras) [1]
Sendo 4111 Lba e
4222 Lba e, tendo em conta que mLL 821 pode-se concluir que
o
prtico 2 e 3 (prticos intermdios) tm ambos 8 metros de largura.
Esses 8 metros so divididos por 4 metros de faixa dos pilares ( 21
aa ) e 4 metros de faixa central (b1+b2). Relativamente ao prtico 1
a largura de 4,2 metros corresponde a 2 metros da largura b2 de
faixa central e a 2,2 metros da largura a2 de faixa dos
pilares.
Toda a laje est sujeita mesma carga distribuda de 2/21 mkN , no
entanto, a carga linearmente distribuda depender da largura do
prtico em questo.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
32
Sendo assim, para o prtico 1 temos,
mkNpED /2.882.421 u
Figura 3.23 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 1
e para os restantes prticos 2 e 3
mkNpED /168821 u
Figura 3.24 - Esquema estrutural usado no MPE Prtico 2 e 3
3.3.1.2. Resultados
Os prticos foram calculados no software de clculo SAP2000,
usando o esquema estrutural apresentado nas Figuras 3.23 e 3.24.
Logicamente, dependendo do prtico em estudo, as caractersiticas
geomtricas atribuidas viga larga so diferentes. De notar que os
prticos foram modelados por elementos barra e que estes no
consideram a posio exacta onde os elementos se encontram.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
33
a) Situao real b) Modelao por elementos barra
Figura 3.25 Representao tridimensional do prtico 1
Seguidamente so apresentados, no Quadro 3.5 e Quadro 3.6 os
esforos dos pontos notveis para os prticos em estudo enquanto nas
Figuras 3.26 e 3.27 so apresentados esses mesmos esforos
graficamente.
Quadro 3.5 Esforos Mxxs do Prtico 1 calculados pelo MPE
[kN.m]
MPE Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 1 -256.98 310.36 -544.07 -506.84 225.94 -452.48
Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico
1
-256.98
310.36
-544.07 -506.84
225.94
-452.48
225.94
-506.84 -544.07
310.36
-256.98
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 5 10 15 20 25 30 35Mxx
[kN
.m]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
34
Quadro 3.6 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 calculados pelo MPE
[kN.m]
MPE Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 2/3 -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8
Figura 3.27 - Diagrama de momentos fletores Mxxs para o Prtico 2
e 3
3.4. DISCUSSO DE RESULTADOS Antes da introduo das
irregularidades dos pilares em planta, necessrio estabelecer um
ponto de partida ou base de comparao entre os dois mtodos
utilizados. Sendo assim, partindo do princpio que so conhecidos os
resultados de um mtodo face ao resultado de outro mtodo mais fcil
fazer um estudo aquando a introduo das irregularidades.
Neste sub-captulo sero cruzados os resultados obtidos entre o
MEF e o MPE para os trs prticos estudados tendo em conta as
imposies e sugestes regulamentares presentes no EC2 [4] para a
utilizao do MPE.
3.4.1. PRTICO 1
Analisando o Quadro 3.7 e a Figura 3.28 podemos concluir que o
MPE fornece valores de momentos negativos muito superiores ao MEF,
querendo dizer que o MPE considera uma rigidez muito maior na ligao
laje-pilar. Comparativamente com os momentos fletores negativos, os
momentos fletores positivos aproximam-se bastante entre os dois
mtodos, contudo o MEF apresenta em todos os vos valores
superiores.
-356.4
653.1
-1073.1 -1006.9
420.9
-841.8
420.9
-1006.9 -1073.1
653.1
-356.4
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
35
Quadro 3.7 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE)
[kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 1 - MEF -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65
Prtico 1 - MPE -256.98 310.36 -544.07 -506.84 225.94 -452.48
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.69 0.87 1.40 1.35 0.99 1.46
A veracidade desta afirmao pode ser confirmada principalmente no
tramo extremo, onde a relao entre os valores assume um racio de
0,87. No segundo vo (entre pilar 2 e 3) o racio de valores
aproxima-se da unidade mostrando uma boa aproximao do MPE.
Ainda relativamente aos momentos fletores negativos sobre os
pilares, no se pode deixar de notar que no pilar de bordo que
existe uma maior discrepncia de resultados. Esta variao pode advir
da modelao por barras, como mencionado no subcaptulo 3.3.1.2
(Figura 3.25) e da atribuio de uma largura de laje exagerada
(largura do prtico equivalente), comparada com o mtodo de elementos
finitos onde o posicionamento do pilar e a largura mobilizada
influenciam claramente o resultado [7].
Para este caso o eurocdigo 2 informa que se deve estabelecer um
limite mximo para o momento negativo sempre que no haja vigas de
bordadura que sejam adequadamente dimensionadas toro, ajudando na
uniformizao da laje e consecutivamente na mobilizao de uma largura
de laje prxima.
Figura 3.28 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1
(comparao)
Esta limitao ao momento resistente deve ser feita aos pilares de
bordo e de canto assumindo um mximo dado pela equao 3.2.
-95.36
356.17
-389.95 -376.3
229.22
-310.65
229.22
-376.3 -389.95
356.17
-95.36
-256.98
310.36
-544.07 -506.84
225.94
-452.48
225.94
-506.84 -544.07
310.36
-256.98
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
Prtico 1 - MEF Prtico 1 - MPE
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
36
ckeRd fdbM uuu 217,0 (3.2)
Figura 3.29 Largura efetiva eb (Eurocdigo 2 - EC2) [4] O
eurocdigo informa que alm da limitao de momento resistente a
armadura tem de ser disposta na largura efetiva eb (Figura 3.29) de
forma a assegurar a correta transmisso de momentos fletores da laje
para o pilar.
Sendo,
d - altura til da laje (0,24m)
ckf - valor caracterstico da tenso de rotura do beto compresso
aos 28 dias de idade Tendo altura til md 24,0 e eb , para um pilar
de canto, assume um valor de 0,60m possvel calcular o momento
resistente.
2500024,060,017,0 2 uuu RdM
mkNM Rd .88.146
Naturalmente, em condies de projeto, se esta reduo de momento
for bastante acentuada tem que ser tido em conta outro tipo de
solues para a resoluo deste problema. No caso em estudo este
claramente um desses casos visto que seria necessrio uma reduo de
mais de 50% do momento fletor inicial.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
37
Aplicando este valor mximo de momento resistente e calculando
adequadamente o momento positivo no tramo de extremidade, por uma
simples regra de tringulos.
Quadro 3.8 Momentos fletores Mxxs do Prtico 1 (MEF-MPE com
momento resistente mximo) [kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 1 - MEF -95.36 356.17 -389.95 -376.30 229.22 -310.65
Prtico 1 - MPE -146.88 372.29 -544.07 -506.84 225.94 -452.48
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.54 1.05 1.40 1.35 0.99 1.46
MPE
MEFMPE
(%) 35.08 4.33 28.33 25.76 1.45 31.35
Sem esta limitao de momento resistente podia-se verificar que os
valores que mais sobressaiam eram, o momento do pilar 1 e o momento
no vo correspondente. Aps esta limitao e respectiva compatibilizao
de esforos, o momento negativo no pilar 1 apresenta um rcio que se
aproxima dos racios nos restantes pilares. De forma semelhante o
momento positivo no vo extremo aproximou-se do obtido pelo MEF
resultando num rcio prximo de 1 como j acontecia nos outros
momentos fletores.
Estes valores obtidos pelo MPE, aps a correo do momento fletor
nos pilares de bordo, serviro de base de comparao para quando as
irregularidades geomtricas forem introduzidas. Apesar de esta
redistribuio ser exagerada e no recomendada para situaes de
projeto, a forma de colocar no mesmo patamar e equiparar da melhor
forma os dois mtodos de clculo. De outra forma no faria sentido
visto que a legislao estabelece claramente esta imposio de
dimensionamento.
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
38
Figura 3.30 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 1
aps a redistribuio
3.4.2. PRTICO 2 E 3
Sendo estes dois prticos iguais, no que diz respeito anlise pelo
mtodo dos prticos equivalentes, sero analisados em conjunto
discutindo as diferenas entre si de acordo com os resultados
obtidos pelo MEF e tambm analisadas as diferenas com o MPE.
Quadro 3.9 Esforos Mxxs do Prtico 2 e 3 analisados pelo MEF-MEF
[kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49
Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99
Prtico 2/Prtico 3 (kN.m/kN.m) 0.88 0.96 0.91 0.90 0.91 0.87
Como j foi discutido anteriormente o prtico 3 apresenta uma
maior concentrao de esforos comparativamente ao prtico 2. Essa
diferena no substancial quando comparados entre si, no entanto, o
prtico 2 aproxima-se mais da soluo obtida pelo MPE.
Quadro 3.10 Esforos Mxxs do Prtico 2 (MEF-MPE) [kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44 -843.49
Prtico 2/3 - MPE -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.30 0.91 1.01 0.97 1.00 0.99
-95.36
356.17
-389.95 -376.3
229.22
-310.65
229.22
-376.3 -389.95
356.17
-95.36
-146.88
372.29
-544.07 -506.84
225.94
-452.48
225.94
-506.84 -544.07
372.29
-146.88
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
Prtico 1 - MEF Prtico 1 - MPE
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
39
Quadro 3.11 Esforos Mxxs do Prtico 3 (MEF-MPE) [kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3 1 2 3 4 5 6
Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99
Prtico 2/3 - MPE -356.4 653.1 -1073.1 -1006.9 420.9 -841.8
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 2.63 0.95 1.12 1.07 1.10 1.15
Analisando a Figura 3.31 (representao grfica dos Quadros 3.10 e
3.11) conclu-se que o prtico 2 o que se aproxima mais da soluo
obtida pelo MPE. Novamente, semelhana do que a aconteceu no prtico
1 o momento fletor no pilar 1 e o momento fletor no vo do tramo
extremo assumem uma maior diferena relativamente ao MPE.
No prtico 3 esta diferena notria apenas no momento fletor
associado ao pilar 1, enquanto os restantes valores se encontram
dentro da mesma gama de valores.
Figura 3.31 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2
e 3
Contudo no se pode esquecer da limitao de momento resistente que
deve ser imposta aos pilares de bordo e de canto. Para o caso em
questo, sendo um pilar de bordo (ver Figura 3.29) e atendendo
geometria da ligao laje-pilar podemos dizer que mbe 80.0 . Sendo
que ckf e 2d no variam,
mkNM Rd .84.195 Aps a introduo desta correo no momento do pilar
1 e respectiva redistribuio de esforos, para o prtico 2, houve uma
ainda maior aproximao entre o MPE e o MEF. O momento fletor
positivo aumentou significativamente passando agora a apresentar um
valor superior ao obtido com o MEF. No prtico 3 as concluses so
semelhantes.
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
Prtico 2 - MEF Prtico 3 - MEF Prtico 2/3 - MPE
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
40
O prtico 2 de todos os estudados o que tem a relao mais prxima
entre os dois mtodos, dando a entender que a aplicao do mtodo dos
prticos equivalentes se adequa aproximada para um prtico
equivalente intermdio e uma soluo pior para prticos equivalentes de
bordo.
Quadro 3.12 Esforos Mxxs dos Prticos 2 e 3 (MEF-MPE com momento
resistente mximo) [kN.m]
Pilar 1 Pilar 2 Pilar 3
1 2 3 4 5 6 Prtico 2/3 - MPE -195.84 743.415 -1073.1 -1006.9
420.9 -841.8
Prtico 2 - MEF -154.68 715.18 -1057.60 -1039.19 419.44
-843.49
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.27 1.04 1.01 0.97 1.00 0.99
MPE
MEFMPE
(%) 21.02 3.80 1.44 3.21 0.35 0.20
Prtico 3 - MEF -135.61 690.08 -957.31 -938.44 382.04 -731.99
MPE/MEF (kN.m/kN.m) 1.44 1.08 1.12 1.07 1.10 1.15
MPE
MEFMPE
(%) 30.75 7.17 10.79 6.80 9.23 13.04
Na Figura 3.32 possvel observar a quase coincidncia de diagramas
do prtico 2 calculado pelo MEF e pelo prtico 2 calculado MPE.
Este ser o prtico onde ser mais fcil recolher concluses acerca
das imperfeies geomtricas quando elas forem introduzidas e
analisadas no captulo 4.
Figura 3.32 Diagramas de momentos fletores Mxxs para o prtico 2
e 3
-1100
-900
-700
-500
-300
-100
100
300
500
700
0 5 10 15 20 25 30 35
Mxx
[kN
.m]
Prtico 2 - MEF Prtico 3 - MEF Prtico 2/3 - MPE
-
Dimensionamento de lajes fungiformes com irregularidades
limitadas em planta
41
4 DISPOSIO IRREGULAR DOS
PILARES EM PLANTA
4.1. INTRODUO
O objetivo principal desta dissertao o estudo da adequabilidade
dos resultados obtidos pelo mtodo dos prticos equivalentes (MPE)
quando h uma certa irregularidade geomtrica dos pilares em planta.
Na aplicao deste mtodo simplificado, o MPE parte do pressuposto que
existe regularidade na distribuio dos pilares, contudo a
necessidade de adaptao deste tipo de lajes a condies especiais que
requerem uma disposio no regular dos pilares. Para estes casos
ditos especiais que cada vez mais se tornam recorrentes, no existe
um mtodo simples que permita determinar os esforos e,
consequentemente, fazer o dimensionamento da laje. necessrio
recorrer a outros mtodos mais precisos e no to simples para a
determinao de esforos, sendo um deles o mtodo dos elementos finitos
(MEF).
Para testar a razoabilidade dos resultados do MPE foi necessrio
inicialmente estabelecer um ponto de comparao (Captulo 3) que
possibilitasse determinar exatamente a preciso obtida com o MPE.
Sabendo as divergncias entre os dois mtodos mais fcil determinar
realmente a influncia que uma irregularidade introduz nos
resultados obtidos e se esse resultado aceitvel ou no.
4.2. INTRODUO DAS IRREGULARIDADES
semelhana do que foi realizado no Captulo 3 as
irregularidades