Vitesses de d´eformation - Mécanique Matériaux Structuremms2.ensmp.fr/mmc_paris/amphis/rates.pdf · Le tenseur vitesse de rotation Exemples : glissement, tourbillon 2 Bilan : vitesses

Vitesses de deformation

Plan

1 Le champ de gradient des vitessesDerivees temporellesEquation locale de conservation de la masseLe tenseur vitesse de deformationLe tenseur vitesse de rotationExemples : glissement, tourbillon

2 Bilan : vitesses de deformation du milieu continu

3 Puissance de deformationFormulation variationnelle de la dynamique des milieuxcontinusContraintes nominales, contraintes de Piola–Kirchhoff

4 Le probleme de fermeture de la physique des milieux continusDecompte des equationsFormulation des lois de comportementChangements de referentiel, changement de configuration dereference

Plan





Plan





Retour sur le champ des vitesses

• champ de vitesses

V (X , t) =∂Φ

∂t(X , t)

• descriptions materielle/spatiale (lagrangienne/eulerienne)

v (x , t) := V (Φ−1(x , t), t)

plus generalement

f (x , t) := F (X , t), avec x = Φ(X , t)

• derivee temporelle en suivant le mouvement

F (X , t) :=d

dtF (X , t) =

∂F

∂t(X , t)

=d

dtf (x , t) =

∂f

∂t(x , t) +

∂f

∂x.v (x , t) = f (x , t)

Le champ de gradient des vitesses 5/84

Le champ de gradient des vitesses

• evolution instantanee d’un vecteur materiel transporte par lemouvement

dx = F∼.dX•︷︸︸︷

dx

• le tenseur gradient des vitesses


Le champ de gradient des vitesses

• evolution instantanee d’un vecteur materiel transporte par lemouvement

dx = F∼.dX•︷︸︸︷

dx = L∼.dx , avec L∼ = F∼.F∼−1

• le tenseur gradient des vitesses

F∼ =∂2Φ

∂t∂X(X , t) =

∂2Φ

∂X ∂t(X , t)

= GradV (X , t) = (grad v (x , t)).F∼

L∼(x , t) = grad v (x , t) = F∼.F∼−1


Plan





Retour sur la conservation de la masse

• evolution instantanee d’un element de volume

dv = J dV , avec J = detF∼•︷︸︸︷

dv =J

Jdv

•︷︸︸︷dv =

•︷︸︸︷[dx 1,dx 2,dx 3]

• equation locale de la conservation de la masse


Retour sur la conservation de la masse

• evolution instantanee d’un element de volume

dv = J dV , avec J = detF∼•︷︸︸︷

dv =J

Jdv

•︷︸︸︷dv =

•︷︸︸︷[dx 1,dx 2,dx 3]

•︷︸︸︷dv

dv=

J

J= traceL∼ = div v

• equation locale de la conservation de la masse

ρ + ρdiv v = 0

∂ρ

∂t+ div (ρv ) = 0

“equation de continuite”


Plan





Tenseur vitesse de deformations

• evolution instantanee du produit scalaire de deux elements de fibresmaterielles

•︷︸︸︷dx 1.dx 2 =



• evolution instantanee du produit scalaire de deux elements de fibresmateriellesd’une part...

•︷︸︸︷dx 1.dx 2 = dx 1.L∼

T .dx 2 + dx 1.L∼.dx 2 = 2dx 1.D∼ .dx 2

... et d’autre part•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷dX 1.C∼.dX 2 = dX 1.C∼.dX 2 = 2dX 1.E∼.dX 2

d’ou ...

E∼ =1

2C∼ = F∼

T .D∼ .F∼, D∼ :=1

2(L∼ + L∼

T )

tenseur vitesse de deformation ou taux de deformation

• taux d’allongement relatif :

dx = ‖dx ‖ m , m unitaire λ =‖dx ‖‖dX ‖



• evolution instantanee du produit scalaire de deux elements de fibresmateriellesd’une part...

•︷︸︸︷dx 1.dx 2 = dx 1.L∼

T .dx 2 + dx 1.L∼.dx 2 = 2dx 1.D∼ .dx 2

... et d’autre part•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷dX 1.C∼.dX 2 = dX 1.C∼.dX 2 = 2dX 1.E∼.dX 2

d’ou ...

E∼ =1

2C∼ = F∼

T .D∼ .F∼, D∼ :=1

2(L∼ + L∼

T )

tenseur vitesse de deformation ou taux de deformation

• taux d’allongement relatif :

dx = ‖dx ‖ m , m unitaire λλ =

•︷︸︸︷‖dx ‖‖dx ‖ = m .D∼ .m


Taux de glissement angulaire

Φ

X

xdX 1 dX 2

dx 1dx 2

• angle de glissement : γ = Θ− θ

γ = −θ•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷‖dx 1‖ ‖dx 2‖ cos θ = 2dx 1.D∼ .dx 2

Si θ = π2 a l’instant t donne,

γ =


Taux de glissement angulaire

Φ

X

xdX 1 dX 2

dx 1dx 2

• angle de glissement : γ = Θ− θ

γ = −θ•︷︸︸︷

dx 1.dx 2 =

•︷︸︸︷‖dx 1‖ ‖dx 2‖ cos θ = 2dx 1.D∼ .dx 2

Si θ = π2 a l’instant t donne,

γ = 2m 1.D∼ .m 2

ou m 1 = dx 1/‖dx 1‖, m 2 = dx 2/‖dx 2‖• cas particulier, m 1 = e 1, m 2 = e 2 =⇒ γ = 2D12


Directions orthogonales dans le mouvement

• Consequence 1 : m 1,m 2 2 elements de fibres materiellescoıncidant a l’instant t avec 2 directions principalesorthogonales de D∼ restent orthogonales a l’instant t

• Consequence 2 : Les triedres de directions materielles deux adeux orthogonales et qui le restent a l’instant t sont lestriedres des directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales du tenseur D∼ des taux dedeformation. Lorsque les valeurs propres de D∼ sont distinctes,un tel triedre est unique.


Plan





Le tenseur vitesse de rotation

• evolution d’une direction de fibre materielle

dx = ‖dx ‖mm =

• cas ou m est parallele a une direction principale de D∼• Consequence :


Le tenseur vitesse de rotation

• evolution d’une direction de fibre materielle m = dx /‖dx ‖m = L∼.m − (m .D∼ .m )m

• cas ou m est parallele a une direction principale de D∼

W∼ := L∼ −D∼ =1

2(L∼ − L∼

T )

m = W∼ .m =×W ∧m

tenseur vitesse ou taux de rotation

• Consequence : Le triedre orthonorme des vecteurs unitairesportes par les directions materielles qui coıncident a l’instant tavec les directions principales de D∼ , evolue selon unmouvement de solide rigide dont le taux de rotation a l’instantt vaut W∼ .

• Attention : Le triedre des directions principales de D∼ netournent pas a la vitesse W∼ ... (voir le cas du glissementsimple)


Decomposition du gradient des vitesses

• vitesse de deformation + vitesse de rotation

L∼ = D∼ + W∼

parties symetrique et antisymetrique

• decomposition polaireF∼ = R∼ .U∼

L∼ = F∼.F∼−1 = R∼ .R∼

T + R∼ .U∼ .U∼−1.R∼

T

attention, le dernier terme n’est pas necessairementsymetrique... En general,

W∼ 6= R∼ .R∼T

• vecteur vitesse de rotation ∀y , W∼ .y =×W ∧y

×W 1 = −W23 = 1

2(∂v3∂x2− ∂v2

∂x3)

×W 2 = −W31 = 1

2(∂v1∂x3− ∂v3

∂x1)

×W 3 = −W12 = 1

2(∂v2∂x1− ∂v1

∂x2)

,×W =

1

2rot v


Decomposition du gradient des vitesses

• vitesse de deformation + vitesse de rotation

L∼ = D∼ + W∼

parties symetrique et antisymetrique

• decomposition polaireF∼ = R∼ .U∼

L∼ = F∼.F∼−1 = R∼ .R∼

T + R∼ .U∼ .U∼−1.R∼

T

attention, le dernier terme n’est pas necessairementsymetrique... En general,

W∼ 6= R∼ .R∼T

• contexte infinitesimal ‖H∼ = Gradu ‖ 1⇐⇒ F∼ = O(1∼)

F∼ = 1∼ + Gradu =⇒ ε∼ =1

2(H∼ + H∼

T ), ω∼ =1

2(H∼ −H∼

T )

D∼ '1

2(H∼ + H∼

T) = ε∼, W∼ '

1

2(H∼ − H∼

T) = ω∼


Plan





Mouvement de corps rigide

x = Q∼(t).X + c (t)

v (x , t) = W∼ (t).x + v 0(t) =×W (t) ∧ x + v 0(t)

W∼ = Q∼.Q∼

T v1

v2

v3

=

v01

v02

v03

+

0 −r qr 0 −p−q p 0

x1

x2

x3

=

v01

v02

v03

+

pqr

∧ x1

x2

x3


Le glissement simple

[L∼] =

0 γ 00 0 00 0 0

[D∼ ] =

0

γ

20

γ

20 0

0 0 0

[W∼ ] =

0

γ

20

− γ

20 0

0 0 0

Remarquer que les directions principales de D∼ ne tournent pas.Pour autant, W∼ n’est pas nul...


Le glissement simple

[W∼ ] =

0

γ

20

− γ

20 0

0 0 0

, [R∼ ] =

1√

1+(γ/2)2γ

2√

1+(γ/2)20

−γ

2√

1+(γ/2)21√

1+(γ/2)20

0 0 1

θW = − γ

2, tan θR = −γ

2, θR = − γ

2

1

1 + γ2/4


Le tourbillon ponctuel

























• cinematique

v (r , θ, z , t) =Γ

2πre θ

les lignes de courant sont des cercles de centre O

• gradient des vitesses

L∼ = − Γ

2πr2(e r ⊗ e θ + e θ ⊗ e r )

• la transformation est localement isochore

traceD∼ = div v = 0

• l’ecoulement est irrotationnel

W∼ = 0

• circulation de v autour de O∮

v .e θ rdθ = Γ


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre


Le vorticimetre (1)

• directions unitaires caracterisant le croisillon m 1 et m 2

m 1 = L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1

m 2 = L∼.m 2 − (m 2.D∼ .m 2)m 2

• Evolution de l’angle entre un axe du croisillon et une directionfixe de l’espace a

− sin ϕ1 ϕ1 = m 1.a = a .L∼.m 1 − (m 1.D∼ .m 1)m 1.a

Le choix de a n’importe pas si l’on s’interesse a ϕ seulement.Prenons

ϕ1 = (a = m 2,m 1) = −π

2=⇒ ϕ1 = m 2.L∼.m 1

ϕ2 = (a = m 1,m 2) =π

2=⇒ ϕ2 = −m 1.L∼.m 2


Le vorticimetre (2)

• Lorsque l’assemblage est rigide (m 1.m 2 = 0 a chaqueinstant), sa vitesse de rotation sera la moyenne des vitessesinstantanees precedentes :

ϕ =ϕ1 + ϕ2

2= m 2.W∼ .m 1

= m 2.(×W ∧m 1) =

×W ∧(m 1 ∧m 2) =

×W .e z

• La vitesse de rotation du croisillon rigide est exactementdonnee par le taux de rotation du fluide W∼ . Le vorticimetrepermet de mesurer ce taux de rotation.

• Dans le cas du tourbillon simple, W∼ = 0. Le vorticimetre netourne pas!


Plan





Analogie D∼ ←→ ε∼vitesse de deformation D∼ deformations infinitesimales ε∼

(cas general) (contexte infinitesimal)operateurgradient D∼ = 1

2 (grad v + (grad v )T ) ε∼ = 12 (Gradu + (Gradu )T )

symetrise Dij = 12 (vi,j + vj,i ) εij = 1

2 (ui,j + uj,i )

variation

de volume

•︷︸︸︷dv

dv= div v = traceD∼

dv − dV

dV' Div u = trace ε∼

allongement

relatifλ

λ= m .D∼ .m λ− 1 'M .ε∼.M ' λ−1

λ

Bilan : vitesses de deformation du milieu continu 55/84

Analogie D∼ ←→ ε∼vitesse de deformation D∼ deformations infinitesimales ε∼

(cas general) (contexte infinitesimal)operateurgradient D∼ = 1

2 (grad v + (grad v )T ) ε∼ = 12 (Gradu + Gradu )

symetrise Dij = 12 (vi,j + vj,i ) εij = 1

2 (ui,j + uj,i )

variation

de volume

•︷︸︸︷dv

dv= div v = traceD∼

dv − dV

dV' Div u = trace ε∼

allongement

relatifλ

λ= m .D∼ .m λ− 1 'M .ε∼.M ' λ−1

λ

compatibilite Dik,jl + Djl,ik εik,jl + εjl,ik

= =Dil,jk + Djk,il εil,jk + εjk,il


Autour des vitesses de deformation et de rotation

L∼= F∼.F∼−1 = grad v tenseur gradient des vitesses

D∼ :=1

2(L∼+ L∼

T ) tenseur taux de deformation

W∼ :=1

2(L∼− L∼

T ) tenseur taux de rotation

E∼ =1

2C∼ = F∼

T .D∼.F∼

•z|dx = L∼.dx element de fibre materielle

•z | dx 1.dx 2 = 2dx 1.D∼.dx 2 = dX 1.C∼.dX 2

•z|dv = (trace L∼) dv =

J

Jdv element de volume

λ(m )

λ(m )= m .D .m taux d’allongement relatif


Plan





Plan





Puissance de deformationSoit σ∼(x , t) un champ de contraintes verifiant les equations locales de ladynamique pour les efforts imposes (cas regulier)

• Puissance des efforts appliques sur un domaine materiel D ⊂ Ωt

Pc(v ) + Pe(v ) =

∫∂D

t .v ds +

∫D

ρf .v dv

Puissance de deformation 60/84

Puissance de deformationSoit σ∼(x , t) un champ de contraintes verifiant les equations locales de ladynamique pour les efforts imposes (cas regulier)

• Puissance des efforts appliques sur un domaine materiel D ⊂ Ωt

Pc(v ) + Pe(v ) =

∫∂D

t .v ds +

∫D

ρf .v dv

• Puissance du champ d’acceleration

Pa(v ) :=

∫D

ρa .v dv

• Puissance des efforts interieurs

P i (v ) := −∫D

σ∼ : D∼ dv , σ∼ : D∼ ∼ MPa.s−1 = Wm−3

• on aPc(v ) + Pe(v ) + P i (v ) = Pa(v )

−∫D

σ∼ : D∼ dv +

∫∂D

t .v ds +

∫D

ρf .v dv =

∫D

ρa .v dv


“Principe” des puissances virtuelles

• enonce (cas regulier) : Le champ des contraintes σ∼ etd’acceleration a dans un corps materiel soumis aux effort ρfet t , verifient les equations locales de la dynamique si etseulement si la puissance des efforts interieurs, a distance etde contact equilibre la puissance du champ d’acceleration danstout mouvement virtuel v ? et sur tout sous–domaine D ⊂ Ωt :

P i (v ?) + Pc(v ?) + Pe(v ?) = Pa(v ?)

−∫D

σ∼ : D∼? dv +

∫∂D

t .v ? ds +

∫D

ρf .v ? dv =

∫D

ρa .v ? dv

• Dans ce cours, il s’agit d’un theoreme mais on peut aussipartir d’un tel principe pour fonder la dynamique des milieuxcontinus.

• Ce theoreme est a la base des methodes energetiques deresolution, ainsi que des methodes numeriques qui s’endeduisent (Elements Finis)


Plan





Le tenseur des contraintes nominales

Φ

N

n

t TS

• Representation lagrangienne des equations de la dynamique∫D

ρa dv =

∫∂D

σ∼ .n ds +

∫D

ρf dv∫D0

ρ0A dV =

∫∂D0

S∼.N dS +

∫D0

ρ0F dV

• transport d’un element de surface n ds = J F∼−T .N dS


Le tenseur des contraintes nominales

Φ

N

n

t TS

• Representation lagrangienne des equations de la dynamique∫D

ρa dv =

∫∂D

σ∼ .n ds +

∫D

ρf dv∫D0

ρ0A dV =

∫∂D0

S∼.N dS +

∫D0

ρ0F dV

• le tenseur des contraintes nominales

t ds = T SdS = S∼.N dS , avec S∼ := Jσ∼ .F∼−T

tenseur des contraintes nominales, dit de Boussinesq.


Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• puissance des efforts interieurs∫D

σ∼ : D∼ dv =

∫D0

Π∼ : E∼ dV


Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• puissance des efforts interieurs∫D

σ∼ : D∼ dv =

∫D0

Π∼ : E∼ dV

Π∼ = J F∼−1.σ∼ .F∼

−T = F∼−1.S∼

tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• densite massique de puissance des efforts interieurs

σ∼ : D∼ρ

=Π∼ : E∼ρ0

couples de contraintes et deformations conjuguees

• transport convectif du vecteur traction

T dS := F∼−1.t ds = F∼

−1.T S dS = Π∼ .N dS


Retour sur les transports convectifs

espace tangentinitial

espace tangentactuel

F

F

T

F

1

F

T

dx = F∼.dX

ds = JF∼−T .dS

T dS = F∼−1.t ds

T M dS = F∼T .t ds

= C∼ .Π∼ .N dS

tenseur des con-traintes de Mandel


Plan





Plan





Position du probleme

• les lois universelles : lois de conservationchercher des champs (ρ,σ∼ , v ) tels que

∂ρ

∂t+ div (ρv ) = 0

div σ∼ + ρf = ρv

i.e. 1+3=4 equationsnombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (vi ) + 6 (σij) = 10

il manque 6 equations...

Le probleme de fermeture de la physique des milieux continus 71/84



∂ρ

∂t+ div (ρv ) = 0




• relations non universelles : la loi de comportement6 relations σij ←→ vi , Lij ,Fij ...




∂ρ

∂t+ div (ρv ) = 0




• relations non universelles : la loi de comportement6 relations σij ←→ vi , Lij ,Fij ...

• il faut ajouter la conservation de l’energie1 equation / 4 inconnues : le champ de temperature T (x , t)et le flux de chaleur q (x , t)loi de comportement : qi ←→ T , gradT


Plan





Les grandes classes de comportement

∆lF

Elasticite F = k∆l

∆lF

Viscosite F = η∆l

∆lF

Plasticite F = F0signe(∆l) si ∆l 6= 0


Forme de la loi de comportement

• un exemple : la viscoelasticite (modele de Maxwell)

∆lF

∆l(t) = ∆lpiston(t) + ∆lressort(t) =F (t)

η+

F (t)

k

F (t) = k

∫ t

−∞exp(−k

η(t − s))∆l ds

la reponse actuelle depend de l’histoire complete dedeformation

• extension a un corps materiel 3D : la fonctionnelle–memoire

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0

(Φ(Y , s))


Premieres simplifications

• principe du determinisme

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,Y ∈Ω0

(Φ(Y , s))

theorie non locale

• principe de l’action locale

σ∼(x , t) = F0≤s≤t,n>0

(Φ(X , s),

∂nΦ

∂X n (X , s)

)• milieu materiellement simple : theorie du premier gradient

σ∼(x , t) = F0≤s≤t

(Φ(X , s),F∼(X , s)

)


Plan





Changement de referentiel d’espace


Changement de referentiel d’espace


Changements de referentielreferentiel (E ,E ), point de l’espace x , un autre referentiel (E ′,E ′)• changement de referentiel galileen

x ′ = Q∼ 0

.x + v 0 t, t ′ = t − t0

• changement de referentiel euclidien

x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0

commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X )



x ′ = Q∼ 0

.x + v 0 t, t ′ = t − t0


x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0

commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X )

• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel?

? une fibre materielle? le gradient de la transformation? les tenseurs de Cauchy–Green? le gradient des vitesses



x ′ = Q∼ 0

.x + v 0 t, t ′ = t − t0


x ′ = Q∼(t).x + c (t), t ′ = t − t0

commodite : Q∼(t0) = 1∼ (X ′ = X )

• Comment se transforment les grandeurs mecaniques lorsqu’onchange de referentiel?

? une fibre materielle dx ′ = Q∼

.dx? le gradient de la transformation F∼

′ = Q∼

.F∼? les tenseurs de Cauchy–Green

C∼′ = C∼, B∼

′ = Q∼

.B∼ .Q∼

T

? le gradient des vitesses

L∼′ = Q

∼.L∼.Q

∼

T+Q∼

.Q∼

T , D∼′ = Q

∼.D∼ .Q

∼

T , W∼′ = Q

∼.W∼ .Q

∼

T+Q∼

.Q∼

T


Changement de configuration de reference

Ω0

Ω0

Ω0

P

Ω0

P

P

Ωt

F

F

F

F

P∼ est une applicationlineaire quelconque(inversible mais non

necessairement orthogo-

nale, on peut restreindre a

detP∼ > 0)

F∼ = F∼.P∼−1

G = Grad XT (X , t)

= G .P∼−1

= P∼−T .G


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