VinceMatematikai kepessegek es intelligencia MP1032

MAGYAR PEDAGGIA 103. vf. 2. szm 229261. (2003)

A MATEMATIKAI KPESSG SSZETEVINEK VIZSGLATA S KAPCSOLATA AZ INTELLIGENCIVAL

Vincze Szilvia Debreceni Egyetem, Gazdasgelemzsi s Statisztika Tanszk

A matematikrl ltalnossgban

Els pillantsra hihetetlennek tnik, hogy egy olyan tiszta s rzelmektl mentes tudomny, mint a matemati-ka, brmi hasznlhatt tudna mondani arrl a zrzavaros, szervezetlen s kiszmthatatlan vilgrl, amelyben lnk. Szerencsre azt tapasztaljuk, hogy amikor megrtnk valamit, ami korbban titokzatosnak tnt, a dol-gok mgtt rend, formk s jzan sz hzdnak meg.

B. H. Rivett, idzi Sydster s Hammond (2000. 323. o.)

Tbb mint ktezer ve minden mvelt ember szellemi fegyvertrhoz tartozik nmi jr-tassg a matematikban. A diszciplnval kapcsolatban mindenki riz magban valami-lyen emlket; a kialaktott vlemnyek igen nagy eltrst mutathatnak. Szinte senki sem viszonyul semleges mdon a matematikhoz. Mindenki foglalkozik vele bizonyos ideig, mert iskolarendszernkben az egyik leghangslyosabb tantrgy. Tanulmnyaink befejez-tvel is sokszor kerlhetnk kapcsolatba vele kzvetetten a technikai segdeszkzktl kezdve a korszellem nha csak finoman rzkelhet, nha szembetl rnyalatig (Ku-ps, 1997). A tudomnnyal kapcsolatos egyik legltalnosabban elfogadott nzet szerint ez olyan szigor szablyokra pl trgy, amelyet az emberek tbbsge az oktatsban szerepl trgyak rendszerben a legnehezebben elsajtthat kategriba sorol. Sokan egy kln vilgknt kezelik, amely az emberek tbbsge szmra rthetetlen s megk-zelthetetlen, csak nhny ember remlheti, hogy valaha is megrti ezt a nagyon abszt-rakt tantrgyat. Sokak szmra szemlletmdja idegen, a problmi rdektelenek, ugyanakkor msok rdekesnek s lnyegesnek ltjk mindezeket.

A matematika a maga elvontsgval, egzaktsgval, szilrd, axonometrikus formj-val az sszefggsek s szablyok kimerthetetlen trhza, amely kevs ismeret birtok-ban is kivl terepe lehet a szellemi tevkenysgnek (Gyarmathy, 2001). Tves kvet-keztetsekhez jutnnk azonban, ha azt gondolnnk, hogy az ember ksz matematikai k-pessggel szletik. Az rkls br meghatrozza a megismer folyamatok bizonyos saj-tossgait, de az adott potencialitsokbl csak a trgyakkal, az eszkzkkel, a technik-

229

Vincze Szilvia

val, a kultrval val aktv kapcsolat rvn alakul ki az analizl s szintetizl, az elvo-natkoztat s ltalnost stb. tevkenysg kpessge, melyek alapjt adjk azon kpes-sg kialakulsnak, hogy a vltoz viszonylatban az lland megragadsra legynk kpesek. Ha ezek a felttelek adottak, akkor a matematikval val aktv kapcsolat rvn megindulhat a matematikai kpessg struktrjnak kialakulsa (Rosca s Zrg, 1973). Ha ismerjk a struktra sszettelt s fejldsnek dinamikjt, akkor lehetsgnk nylik arra, hogy a matematikai kpessg alakulst megfelelen befolysolhassuk s hozzjrulhassunk tkletesebb strukturldshoz.

Hogyan lehetne azonostani a matematikbl tehetsges gyermekeket? Egyltaln ki tekinthet matematikai tehetsgnek? Vannak-e olyan sszetevk (kpessg-komponen-sek), amelyek kifejezetten a matematikai kpessg sszetevinek nevezhetk? Hogyan lehetne feltrkpezni a matematikai kpessg struktrjt, sszettelt? Az utbbi kr-dsre a vlasz taln kzenfekvnek tnik: matematikai feladatokon s problmkon ke-resztl. Aki a matematika titkt a problmk tjn keresi valsznleg nem nagyot fog tvedni. A matematika brmely ghoz tartoz feladat elemzse hozzjrul a feladatok megoldshoz szksges matematikai gondolkods termszetnek megismershez.

Elmleti ttekints

bmulatos s mly titok, mirt rendelkezik az emberi rtelem kivteles matematikai kpessgekkel

P. Davies (1995. 165. o.)

A matematikai gondolkods klnbz megkzeltsei

Ha tvolrl kzeltnk a matematikhoz, akkor azt a tevkenysget, amely ltala s benne teljesedik ki hasonlthatjuk olyan agytornhoz, szellemi erfesztshez vagy jtk-hoz, amelyben lemrhetjk kpessgeinket, kiprblhatjuk sajt tallkonysgunkat. A jtkra ltalban mindenki szvesen vllalkozik. A jtk tbbnyire mindenki szmra va-lamifle sajtos bvkrrel br, amelynek taln legfontosabb oka, hogy benne el tudjuk fe-lejteni korltainkat, lvezzk, hogy ms szablyok uralkodnak, mint amelyek knyszer-t ervel vannak jelen mindennapjainkban. A jtkban a szablyok emberi mrtkek, rnk szabottak. Szabadon mozoghatunk benne, tlnk fgg, hogy a hatrokat hol hzzuk meg, akrmikor kilphetnk belle minden kockzat s felelssg nlkl. Br a matema-tika klns terepe a jtknak hiszen nagyfok szabadsggal rendelkeznk: szabadon tehetnk fel jabb s jabb krdseket, flretehetjk, akrmikor elvehetjk, sajtos stra-tgikat alkalmazhatunk, vlemnyezhetjk, hogy valami tetszik-e szmunkra vagy sem , m gyakran rezhetjk, hogy amivel jtszunk az nem felttlenl csak tlnk fgg. Hordozza annak a vilgnak a vonsait, amit taln ppen felejteni szeretnnk. Egy felad-vny megoldst csak addig tekintjk jtknak, amg a vlasz mindenki szmra kzen-fekv, ameddig knyszert erk nem lpnek fel. Ha komolyabbra fordul a dolog, ha mr valamirt erlkdnnk kell, vagy ha megsejtjk, hogy brmi ms mdon kze van a va-lsghoz, akkor az mr ms, sokan kiszllnak a jtkbl, ha nem felttlenl szksges, 230

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

akkor nem akarnak vele klnskppen foglalkozni. Gyakran tagadjk, hogy rtelmes dolog lenne a matematikai lnyeget ltni a vilgban, s klnsnek, rthetetlennek, erlte-tettnek rzik ezt a nzetet (Kups, 1997).

Az egynek nagyon klnbznek egymstl a matematikai megrts kpessgben, amely kpessg az vek mlsval jelentsen vltozhat. Nhny gyermeknek mr a kez-deteknl is nagy nehzsgei lehetnek, mg msok eljutnak egy bizonyos szintre, majd le-romlanak. Termszetesen vannak olyanok is, akik nagyon tehetsgesek, s gy tnik, hogy a kpessgk vgtelen annak kibontakoztatsa szempontjbl. Mi okozhatja eze-ket a klnbsgeket? Genetikai okokkal magyarzhatk ezek a klnbsgek, vagy ms okai vannak? Mirt van az, hogy nmelyek egy bizonyos pont utn mr nem kpesek matematikai mdon gondolkodni? Melyek azok a kpessgek, kszsgek, amelyek a ma-tematikai gondolkods alapjt kpezhetik, vagyis a matematikai kpessg sszetevinek nevezhetk? Sternberg (1998) szerint, ha valakinek az a clja, hogy a matematikai gon-dolkods megrtse cljbl egy felttelrendszert lltson ssze amelyben az sszete-vk szksges s elegendek a konstrukci megrtshez , csaldott lesz. A matemati-ka ugyanis nem egy klasszikusan definilt elmlet, amelyben a szksges s elegend felttelek jl meghatrozottak; nincs elfogadott nevezktan arra vonatkozan, hogy me-lyek azok a kpessgek, amelyeket matematikainak nevezhetnk (Cskos s Dobi, 2001).

A matematikai gondolkodsnak szmos megkzeltse ismert. Az egyik s taln leg-kidolgozottabb modell, az gynevezett prototpus modell szerint a matematikai gondol-kodsnak nincsenek jellegzetes sszetevi, inkbb csak karakterisztikus vonsai vannak, amelyek a szerkezetre nzve jellegzetesek. Ezt a modellt Rosch (1973, 1978) adta meg, s a ksbbiekben Medin s Smith (1984) dolgozta ki. Az mg nem egyrtelm, hogy a matematikai gondolkodsnak egy prototpusa van-e, valsznstheten nemcsak egy ilyen prototpus ltezik, hiszen a matematikai gondolkods eltrst mutathat a matemati-ka klnbz terletein, vagyis felttelezheten ms kpessgek szksgesek pldul az analzis, ms az algebra s megint ms a statisztika terletn. Az sszetett prototpus lte ltszik a legvalsznbbnek (Sternberg s Horvth, 1995), ennek magyarzata lehet az, hogy akik kivl statisztikusok, nem felttlenl a legkivlbbak az algebra terletn, s persze mindez megfordtva is igaz.

A karakterisztikus vonsok jellemzit nagymrtkben befolysolja az, hogy a prob-lmt milyen oldalrl kzeltjk meg. Mieltt rtrnnk a szmunkra legfontosabb kt megkzeltsi mdra, a matematikai s pszicholgiai (pszichometriai) megkzeltsekre, kt msik, az antropolgiai s a pedaggiai megkzelts jellemzt vizsgljuk meg. A kultr-kognitv pszicholgusok azt akarjk meghatrozni, hogy a gondolkods egyes elemei a kultra mely komponenseivel vannak kapcsolatban. Az, hogy milyen matema-tikt alkotunk meg, bizonyossggal fgg a kulturlis tnyezktl is, ugyanakkor a ma-tematikai gondolkodst brminek legyen is az tekinthet , semmikppen nem tekint-hetjk kulturlis eredmnynek. Az egyes nemzetek kztt lnyeges stlusbeli klnbs-gek vannak, ms elveket rszestenek elnyben a francik, mint az angolok; nhny afri-kai npnl pldul a minktl jelents mrtkben eltr szmfogalom van, s a sor to-vbb folytathat. A vilgkp azonban brmelyik kultrrl is legyen sz, mgis kerek s egsz. A knai kultrban pldul, ahol a matematika tanulsa s a problmamegolds sorn az abakuszt hasznljk, a tanulk ms kpessgei fejldnek ki, mint azokban a kul-

231

Vincze Szilvia

trkban, amelyekben a szmolshoz a papr-ceruza mdszert hasznljk. Ms kpess-geket sajtthatnak el azok a dikok, akik olyan kultrban lnek, ahol az emltett terle-teken a szmol- s szmtgpekre hagyatkoznak elssorban (Sternberg, 1998). A kul-trk kztti eltrsek vlheten a nyelv logikjban rejl klnbsgnek is ksznhetk. Ez a fajta megkzelts megmutatja, hogyan vltozhat egy konstrukci termszete trben s idben. A kognitv oktatspszicholgus az oktats olyan alapelveit kvnja meghat-rozni, amelyek a matematika oktatsa s tanulsa szmra relevancival brnak. A men-tlis folyamatok megismersnek egyik mdja lehet fejlesztsk, majd a megfelel k-vetkeztetsek levonsa mit volt knnyebb s mit volt nehezebb megtantani (Brown, 1974, 1975; Brown s Barsclay, 1976). A pedaggiai megkzelts kitgtja a matemati-kai gondolkods prototpusait, belertve azokat a vltozsait, amelyek tlmutatnak a tisz-tn kognitv vltozsokon. A prototpust ha egszknt tekintjk, annak rszv vlik a hozzlls, a kapcsolatok s a szocilis ktttsg. Bransford s munkatrsainak kutatsai (1988) megmutattk, hogy a matematikai gondolkods s a tanuls ersen fgg a kontex-tustl. Azok a gyerekek messze jobban tanuljk a matematikt, akik szmra a problma valdi problmt tkrz, vagyis jelentssel s valdi tartalommal br. Bransford s kol-lgi akkor rtk el a legnagyobb sikereket a matematika oktatsban, amikor a dikok-kal kontextusba gyazott problmkat oldattak meg. Ezek a problmk mr alig hasonl-tottak az oktatsban alkalmazott matematikai tananyagra.

A matematikai megkzelts

A legtbb ember szmra a matematika az iskolai tananyagban szerepl anyagr-szekrl kialaktott impresszikbl s a tanrral val interakcibl ll ssze (Dreyfus s Eisenberg, 1998). Az iskolban tantott matematika szempontjbl nem relevns az a ki-jelents, hogy a matematikt felfedezik vagy feltalljk, illetve az a kijelents sem, hogy logikjt tekintve arisztotelszi vagy valamilyen ms logikra pl. A tananyag egysze-ren sszefoglal, mikzben fogalmak s klnbz problmk elsajttst kveteli meg. Tg rtelmezs szerint a matematika nem ms, mint valamifle problma megoldsa. A matematika klnbz gait figyelembe vve (geometria, topolgia, analzis, kom-binatorika, logika, szmelmlet stb.) rgtn szembetallkozunk annak soksznsgvel, a feladatok klnbzsgvel. Mindez a soksznsg az adott problma nehzsgre s struktrjra vonatkozik. Mindenki tapasztalhatta tanulmnyai sorn, hogy a feladatok kzl azok bizonyultak nehezebbeknek, amelyeknl a feladat megoldsi menete nem magtl rtetdik. Vannak olyan problmk amelyek rutinszerek, a megoldja felisme-ri, hogy milyen eljrs alkalmas a problma megoldshoz s kpes azt helyesen alkal-mazni. Pldaknt emlthet a kvetkez feladat: ( ) ( ) ?5/206040 =+ . A legtbb iskol-zott felntt szmra a feladat megoldsa nem jelent problmt, a megoldst knnyen ki tudjk szmtani. A megold kpes a problma reprezentlsra s vgrehajtsra: tud sszeadni s osztani, majd az eredmnyeket ki tudja vonni egymsbl. Az ilyen jelleg problmk nem tekinthetk valdi problmknak abban az rtelemben, hogy a megold-nak a megoldson nem kell hosszasan eltprengenie. Maher s Martino (1998) br meg-hatroznak tartjk az alapvet matematikai kszsgek (pldul szmolsi kszsg) ta-nulmnyozst is, m a jobb matematikai teljestmny kulcsnak a matematikai probl-232

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

mk megrtst tekintik. Problmrl akkor lehet beszlni (ltalnos rtelemben), ami-kor adott a cl, de nem ismerjk a clhoz vezet utat. Az albbi feladat egy olyan prob-lmt reprezentl ami nem rutinszer, a megolds nem trivilis, vagyis a megold nem tudja azonnal megtallni a megoldst: 6 milli forintrt vsroltunk egy lakst, amelyet ksbb 7 milli forintrt eladtunk. Ksbb visszavsroltuk 8,5 millirt s ismt eladtuk 9 milli forintrt. Mennyi hasznunk szrmazott?

A matematikai problmamegolds atyjnak Plya Gyrgyt tekinthetjk, akit mate-matikusi plyafutsa kzben folyamatosan foglalkoztatta az, hogyan gondolkodnak a matematikusok, hogyan fedeznek fel dolgokat s hogyan oldjk meg a problmkat. A gondolkods iskolja (Plya, 1957) cm mvben Plya elutastja azt a nzetet, amely szerint a problmamegoldsnak ltezne szisztematikus elmlete, vlemnye szerint a problmamegolds mvszet. A problmamegolds tovbbi tanulmnyozsa sorn egyetrts mutatkozik abban, hogy a tanulk gyakran kidolgozott pldkon keresztl in-duktvan tanulnak (Anderson, 1993; Simon s Zhu, 1998). Az induktv gondolkods mel-lett, az analgis gondolkods is kitntetett szerepet kapott a matematikai gondolkods vizsglatnak folyamatban. Egy j problma analgin keresztl trtn megoldsa so-rn a tanul egy hasonl problmt hv el, majd ezek utn a megolds rdekben a kt problma kztti lekpezst prblja megvalstani (Holyoak s Thagard, 1989). A problmamegold gondolkods tovbbi vizsglatai a smk hasznlatt nevezik meg a teljestmny egyik fontos sszetevjeknt (Schoenfeld, 1988).

Arra a krsre teht, hogy mi a matematika nehz vlaszolni. Olyan dologrl van sz benne, amit maga az ember gyrtott, vagy csak felfedi egy magasabb istensg munkjt? A logika vagy az intuci dominl benne? Az absztrakcit magban rejti, vagy ez csak kommunikcijnak kzvett eszkzeknt szolgl? Szmos krds fogalmazhat meg, amely alapjn gy tnik nincs minderre megnyugtat s egysges vlasz, a szemllet-mdok s a klnbz megkzeltsek ms s ms aspektusbl lttatjk s vilgtjk meg a krds problematikjt. De a problma taln knnyebben kzelthet meg, ha azt krdezzk, hogy mi jellemzi a matematikai gondolkodst.

A matematikban kt gondolkodsi iskola klnthet el. Az egyik szerint a matema-tikai rvels sokkal tbb mindennel foglalkozik, mint az egyedi problmk megolds-hoz szksges gondolatsmkkal. Egy olyan gondolkodsmdot foglal magba, amely az eszttika szubjektv mrcjvel mrhet. Sokan (pl. Hardy, 1940; Halmos, 1968; Ku-ps, 1997) hangslyozzk az eszttikai tnyezk matematikban betlttt szerept. A matematikban tehetnk nhny lpst mechanikusan, de a megrts elengedhetetlenl szksges ahhoz, hogy a lnyegi rszhez eljuthassunk. A megrts rzse bels gazdag-sggal br, sznes lmny. Az eszttikum ltal gyakran megrtnk valamit, mg akkor is, ha sokszor nem is tudjuk pontosan kifejezni, hogy valjban mi is az (Kups, 1997). Amikor azonban az eszttikt is figyelembe vesszk, a matematikai gondolkods rtke-lse bonyolultt vlik. Ezen nzpont szerint egy matematikai struktrhoz vagy megol-dshoz nem elg megoldani a problmt, kiszmtani a feladat megoldst, hanem mind-ezt elegnsan is kell tenni. A matematikai gondolkods sokkal tbbnek tekinthet, mint matematikai problmkat kezel s megold kpessgnek, szoros sszefggst jelez az eszttikummal (Courant s Robbins, 1966; Halmos, 1968). Az eszttikumot felfoghatjuk gy is, mint amin keresztl feltrulnak a rejtett mlysgek, ami tbb, mint a megszokott

233

Vincze Szilvia

rszletek megnyilvnulsa (Kups, 1997). A msik iskola nzpontja szerint a tanterv s a tants nem alkalmas arra, hogy az emberek tbbsge fogkony legyen a matematikai gondolkodsra. lltsuk szerint a dikok nagy rsznek az alacsony kpessgszintjk kvetkeztben a legegyszerbb problmk is nehzsgeket jelentenek. Ezrt el kell fe-lejteni az elegancit, mindaddig, amg a gyerekek egyszer mdszerekkel sem kpesek problmkat megoldani. Az ilyen problmk szma azonban vgtelennek tnik (Mason, Burton s Stacey, 1982; Orton, 1992; Gillman, 1994; Selden, Selden s Mason, 1994).

A kt nzponton bell szmos kapcsoldsi pont tallhat. A matematikai gondol-kods kritikus elemei az analgival, a struktrval, a reprezentcival, a vizualizcival s a gondolkods reverzibilitsval adhatk meg. Felttelezhet azonban, hogy a mate-matikai gondolkods tbb, mint ezen klnbz oldalak sszessge.

a) Analgis gondolkods

A matematikai gondolkodsi kpessg fejlesztsnek egyik nagyon fontos kulcsa, hogy az ember megtanuljon analgikat keresni. Csap Ben s Korom Erzsbet (1998) szerint az analgis gondolkods klnsen fontos szerepet jtszik a megrtsben s a tuds j helyzetekben val alkalmazsban, felhasznlsban. Az analgik keresse s megtallsa ppgy tanulhat, mint az, hogy az ember egy problmval tallkozva kr-dseket tegyen fel nmagnak. Plya Gyrgy mestere volt a gondolatok analgikkal va-l szemlltetsnek. gy vlte, ha a problma megadsa szigoran kttt, akkor azon la-ztani kell: elszr meg kell oldani az egyszerbb problmt, aztn intuitv mdon hasz-nlni kell azt a komplexebb esetre. A hromdimenzis problmknak nagyon gyakran van ktdimenzis megfelelje, a skbeli problmk pedig legtbbszr visszavezethetk az egyenesre. Elszr mindig az egyszerbb eseteket kell megoldani, s ennek segtsg-vel lehet ttrni az egyik problmrl a msikra, amellyel meg lehet tanulni az analgia-keress heurisztikjt.

b) Struktra

A struktra a matematika egyik f alkoteleme. A struktra vlasztja el a matemati-kt a tbbi termszettudomnytl. A matematikban a tnyeknek kevsb van jelents-ge, sokkal fontosabbak a tnyek kztti kapcsolatok, a kapcsolatok kztti kapcsolatok s ezltal a struktra. A matematikban igazolhat tnynek felel meg a struktra s az sszefggs (Courant s Robbins, 1966). A struktra meghatrozsnak kpessge a ma-tematikai gondolkods kzponti rszt kpezi. A struktra elrulja, mit lehet s mit nem lehet tenni, ezltal fejleszti az egyn tlkpessgt. Felismerse egy adott problm-ban, alkalmazsa egy szitucira nveli a problmamegolds hatkonysgt s rugal-massgt. Klnbz problmk esetn ugyanazon struktra felismerse, a problma analgis megoldst jelenti. A struktra segtheti az emlkezst, a rendszerezett tudst ugyanis knnyebb felidzni, mint a rendezetlen, strukturlatlan tudst (Dreyfus s Eisenberg, 1998).

234

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

c) Reprezentci

Brmilyen matematikai llts, fogalom vagy problma kifejezshez szksges an-nak reprezentlsa. A reprezentci trtnhet formlisan vagy informlisan, vizulisan vagy verblisan, explicit vagy implicit mdon. Minden reprezentci kifejezi az infor-mci egy rszt, de sohasem kpes az egsz megragadsra: bizonyos aspektusokat hangslyoz, mg msokat a httrbe szort. Ennek ellenre a matematikai gondolkods szempontjbl relevancija tagadhatatlan, fleg ha egynl tbb reprezentcit haszn-lunk prhuzamosan s azokat ssze is kapcsoljuk. A matematika ereje a struktra mel-lett a reprezentcitl fggetlen tulajdonsgokban s a reprezentcik kztti kapcso-latokban is megmutatkozik.

d) Vizulis gondolkods

A vizulis-tri kpessg kifejezs alatt a kt- s hromdimenzis alakzatok szlels-nek s az szlelt informciknak a trgyak s a viszonylatok megrtsre, valamint a problmk megoldsra val felhasznlsnak kpessgt rtjk. Ez a meghatrozs ma-gba foglalja a tri ingerek kdolst, felidzst, sszehasonltst s talaktst lehe-tv tev, egymssal sszefgg kpessgek sort (Salat s Sra, 2002). A matematik-ban gyakran s egyre nagyobb rtkkel felruhzva hasznljk a vizualizcit. Nemcsak a matematikusok szmra lehet jelents a kpi szemlltets, hanem a htkznapi matema-tikai gondolkodsban is sokoldal eszkzknt szolglhat. Kutatsok bizonytjk (pl. Bondesan s Ferrari, 1991), hogy a gyengbb kpessg tanulknl j segdeszkz le-het a kpi szemlltets egy problma megoldsra. A matematikai gondolkodsban a vi-zualizci a flexibilis gondolkodsmd eszkzeknt szolgl.

e) A gondolkods megfordthatsga (reverzibilits)

Ez egy olyan kpessg, amely csak gyakorlssal alakthat s fejleszthet. A gondol-kods megfordthatsga velejrja a j matematikai gondolkodsnak, amely elssorban a flexibilitson keresztl rezteti jelentkeny hatst.

Pszicholgiai s pszichometriai megkzelts

A matematikai kpessgek problmja a pszicholgusokat mr az vszzad eleje ta foglalkoztatja. A legalaposabb s legsokoldalbb elemzst Krutetki (1968) vgezte. Fel-trta azokat a sajtossgokat, amelyekkel a matematikban j teljestmnyt nyjt tanu-lk gondolkodsa jellemezhet: (a) ltalnosts kpessge (adatokra s relcikra vo-natkozan); (b) a matematikai kvetkeztetsek s az adatokkal kapcsolatos cselekvs-mozzanatok sszevonsnak, rvidtsnek kpessge; (c) a gondolkodsi folyamatok flexibilitsa; (d) rthet kifejezsre, egyszerstsre s gazdasgossgra val trekvs; (e) a matematikai kvetkeztetsek megfordtsnak kpessge (inverzi); (f) nkontroll.

Krutetki szerint a j matematikusokra az jellemz, hogy nemcsak a matematikai problmkat, de ms problmkat is matematikus mdjra ltnak s kezelnek. Monogr-

235

Vincze Szilvia

fijban a matematikai kpessg nhny egyni, tpusos s letkorra jellemz sajtoss-gairl fogalmaz meg megllaptsokat. Az egynnel kapcsolatban a Krutetki ltal vzolt struktra ngy f komponenshez kapcsoldva a kvetkez krdseket lehet feltenni: Milyen fejlett az absztrahl kpessge? Milyen fejlettsgi fok az ltalnosts, a rever-zibilits s a lervidts kpessge? Ezek a folyamatok ltalban hrom szinten valsul-nak meg: a verblis-logikus gondolkods, a kzvetett szemllet s a kzvetlen szemllet szintjn.

Ennek alapjn Gullasch (1971) egy hatszint smt konstrult, melynek minden egyes szintje egy-egy fejldsi szintet kpvisel. Ez a hatszint sma a kvetkezkppen pl fel: (1) a megismer tevkenysg verblis-logikus szintjn megnyilvnul tkletes absztrahls; (2) fknt az absztrakt-verblis szinten, rszben pedig a kzvetlen szeml-letessg fokn megvalsul tkletes absztrahls; (3) a kzvetett szemlletessg szint-jn megvalsul tkletes absztrahls; (4) tlnyoman a kzvetett s rszben a kzvet-len szemlletessg fokn megvalsul tkletes absztrahls; (5) tkletes absztrahls a tlnyoman kzvetlen szemlletessg szintjn; (6) egyetlen szinten sem lp fel teljes absztrahls. Ezt a sklt nemcsak az absztrahlsra, de a msik hrom kpessgre is le-het alkalmazni: az ltalnostsra, az inverzira, valamint a srtsre. Specilis prbk segtsgvel meg lehet llaptani, hogy a vizsglt szemly teljestmnye a fenti skla me-lyik szintjnek felel meg, s az gy kapott eredmnyekbl kvetkeztetni lehet az egyn matematikai kpessg-struktrjnak vonsaira.

A matematikai kpessggel kapcsolatban Skemp (1971) egy igen rdekes dologra hvta fel a figyelmet, mely szerint a matematikai kpessg strukturlsban az gyneve-zett reflektv intelligencia is jelents szerepet jtszik. Az rtelmessg ezen formja lehe-tv teszi, hogy sajt fogalmainkat s mentlis mveleteinket szleljk, illetve hatst gyakoroljunk rjuk. Ez a rendszer lehetsget ad arra, hogy felfogjuk a fogalmaink s mveleteink kztti relcikat, valamint ezeket a relcikat s az emlkezetbl felid-zett, vagy a klvilgbl kapott informcikat szmon tartva cselekedjnk.

A fentiekben ismertetett kutatsok mellett a matematikai kpessget faktoranalitikus mdszer segtsgvel is vizsgltk. A pszicholgiai kpessgek elmletben dominns szerepet jtszik a gondolkodsi kpessgek lersra precz terminolgit megad fak-toranalitikus modell. Carroll (1993) nevhez fzhet a matematikai gondolkods proto-tpusos vonsainak pszichometriai rtelmezse. Szintetizlta a kzel flvszzados a kognitv kpessgek rendszernek feltrst cloz faktoranalitikus kutatsokat. Sok ezer kognitvnek minstett feladat faktoranalitikus elemzst vgeztk el, amely ered-mnyeknt az sszetartoz feladatokat faktorok al csoportostottk. Ezeket a faktorokat faktoranalitikus elemzsnek vetettk al, amely a faktorok hierarchikus rendszert ered-mnyezte (Nagy, 2000). Carroll ezen kutatsok szintzisknt egy hierarchikus hrom-szint modellt lltott fel, amelyben a kognitv kpessgeket ltalnos, tfog s szk ha-tkr faktorokba sorolta. A hierarchia cscsn, a legfels szinten, az ltalnos g fak-tor van. Ezt az ltalnos faktort intelligencival kapcsolatos kutatsai sorn mr Spearman is felttelezte (1904, 1927), s nevezte ezt el g-nek. gy gondolta, hogy ez az ltalnos faktor olyan kognitv mveletekben van jelen, ahol meg kell rteni vala-mit; klnbz ingerek kztti kapcsolatot illetve dolgok kztti sszefggseket kell megtallni; illetve ki kell kvetkeztetni. ltalnosan elmondhat, hogy mindenfle kog-

236

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

nitv aktivits felttele, alapja ez a komponens. A matematikai tuds szintmr tesztek eredmnyei szoros sszefggst mutatnak a g-vel. Az alacsony IQ-j (alacsony g-j) embereknek mr az egyszer matematikai mveletek is nehzsget jelentenek (Geary, 1993, 1994). A msodik szinten tallhatak az tfog kpessgek (Carroll, 1993): (1) fo-lykony (fluid) intelligencia, (2) kristlyos intelligencia, (3) tanuls s memria ltalnos faktora, (4) vizulis szlels, (5) auditv szlels, (6) a visszaidzs kpessge, (7) tgabb rtelemben vett kognitv sebessg, (8) az informcifeldolgozs sebessge. Az els szin-ten tallhatk a szk hatkr faktorok (kb. 65 db), amelyek mr meglehetsen specilis kpessgeket reprezentlnak. A kognitv kpessgek ezen rendszerbe beilleszthet a matematikai kpessgek struktrja (Carroll, 1998). Carroll szerint szmos elemi szint kpessg sszefggsbe hozhat a magas szint matematikai teljestmnnyel, ezrt a ma-tematikai kpessg sszetevinek tekinthetk. Carroll modellje alapjn a matematikai gondolkods egyik faktora a fluid intelligencia. Ez olyan ltalnos kpessget fejez ki, ami komoly szerepet jtszik a kvetkeztetses feladatok megoldsban, egy szmsorozat szablynak felismersben, egy sorozat kiegsztsben amelyek megoldsa induktv vagy deduktv gondolkodst ignyel , illetve mennyisgekkel kapcsolatos problmk megoldsban. Msik lnyeges faktor a kristlyos intelligencia, ami al besorolt faktorok fknt a nyelvi kpessgekkel fggnek ssze: szvegrts, nyelvi fejlds, olvassi se-bessg stb. tartozik ide. Harmadik kulcssszetevnek tekinti a tanuls s memria ltal-nos faktort, ami a memria terjedelmt (rvid idre mennyi dolgot tud megjegyezni), s az rtelmes memria faktort (hosszabb idre kell megtanulni rtelmes dolgokat) leli t. Az utols, negyedik sszetev, ami a matematikai gondolkodsban dnt szerepet jtszhat az ltalnos vizulis szlels. Ezt pldul olyan feladatok hatrozzk meg, mint egy test s kitertett hlja kztti sszetartoz oldalak megtallsa. A tbbi msodik szinten lv kognitv kpessgekrl nem mondhat el az, hogy klnsebben meghat-roz szerepet jtszannak a matematikai gondolkodsban.

A szzadunk msodik felben kibontakoz kognitv pszicholgia laboratriumi ksr-leteinek eredmnyei a kognitv kpessgekkel kapcsolatos faktoranalitikus szemllet-mdtl eltr rtelmezsre adnak lehetsget (Nagy, 2000). Amg a kpessgek faktor-analitikus kutatsa makroszint megkzeltsnek tekinthet, addig a gondolkodsi k-pessgek komponenseinek (kognitv rutinok, kpessgek, ismeretek) vizsglata mikro-szintnek mondhat (Nagy, 1998). Nagy Jzsef ms szemszgbl vilgtja meg a kogni-tv kpessgeket. Nagy (1998) szerint a kognitv kompetencia rkltt s tanult inform-cikezel komponensek komplex rendszere. A rendszer komponensei kz sorolja a ru-tinokat, kszsgeket, kpessgeket, motvumokat s ismereteket. Nagy modelljben a kognitv rutinok olyan pszicholgiai komponenseknek tekintendk, amelyek funkcija az informcifeldolgozs. A kognitv rutinok prhuzamosan megosztott hlzatba szer-vezdnek, mkdsk tudatosan nem befolysolhat. Ezekbl a kognitv rutinokbl bon-takoznak ki az egyre komplexebb s egyre bonyolultabb funkcikat szolgl kognitv kpessgek, amelyek feladata az, hogy elsegtsk az egyed aktivitsnak eredmnyes-sgt. Mkdsk megvalsulsnak felttele, a rutinok egymst kvet aktivizldsa. Nagy modelljben a kszsgeket ngy csoportba osztja: (1) merev kognitv kszsg (pl. sz szerint betanult szvegek); (2) ciklikus kognitv kszsg (pl. szortrozs, sorkpzs, szmlls); (3) rugalmas kognitv kszsg (pl. besorols, szelektls); (4) komplex kog-nitv kszsg (pl. kvetkeztetses gondolkods, mrtkvlts). Modelljben ezek a kog-

237

Vincze Szilvia

nitv kszsgek meghatrozott rendszert alkotnak. A kognitv rutinok egyszer kszs-gekk, az egyszer kszsgek komplex kszsgekk szervezdnek. A legtfogbb rend-szer a kognitv kompetencia, amely hierarchikus komponensrendszerknt kpzelhet el. A jelenleg krvonalazd j elmletek alapjn a matematikai gondolkodsban (is) szere-pet jtsz kpessgek tbbszint, hierarchikus komponensrendszereknek tekintendk (Nagy, 1999).

A matematikai tehetsg

A matematikus letnek rtke, brmifle gyakorlati norma szerint tljk is meg, a nullval egyenl; s min-denkppen jelentktelen a matematikn kvl. Egyetlen eslyem van csupn arra, hogy megmenekljek attl, hogy tkletesen jelentktelennek tljenek meg, spedig az, ha gy fogjk tlni, hogy olyan valamit alkottam meg, amely rdemes a megalkotsra.

G. H. Hardy (1940. 25. o.) Kzismert dolog, hogy a matematika a korn jelentkez kpessgek kz tartozik

(Czeizel, 1997), megmutatkozsnak tlagos ideje a zenei tehetsg jelentkezshez k-pest valamivel korbbra tehet (Gyarmathy, 2001). Deduktv termszetvel, nagyfok fggetlensgvel a matematika knlja a legmeredekebb svnyt a magasba: taln gyor-sabbat, mint a zene. A legtbb matematikai tehetsg mr hszves kora eltt komoly tu-domnyos eredmnyeket r el (Pascal, aki ttelt tizenhat ves korban kzlte nem az egyetlen plda); majd 40 ves kor felett mr nem jellemz kiemelked matematikai alko-tsok ltrehozsa (Gyarmathy, 2001).

A kivl matematikai gondolkods gyermekek mr igen korn nagy rdekldst mutatnak a szmok irnt. lvezettel szmolnak, kivl szmolsi kpessgkkel kitn-nek trsaik kzl. A szmlls ciklikus kognitv kpessgnek tekinthet, melyben a cik-likussg alatt azt rtjk, hogy a kszsget felpt elemek automatizldnak, gynevezett kognitv rutinokk szervezdnek s bizonyos komponensei ismtldnek (Jzsa, 2000). A j szmolsi kpessggel rendelkez gyerekek rengeteg idt tltenek szmolssal, na-gyon sok mvelet eredmnyt rzik emlkezetkben s ezeket a klnbz feladatoknak megfelelen kpesek mozgstani. A kivl szmolsi kpessg azonban mg nem jelen-ti azt, hogy valakibl valban igazi matematikai tehetsg vlik.

Poincar (1952) a matematikai tehetsg szempontjbl kt tpust klnbztetett meg: a logikus s az intuitv tpust. Az els logikai oldalrl kzelti meg a problmt, mg a msodik inkbb a megrzseire tmaszkodik. Hasonl kvetkeztetsre jutott Reichel (1997) is, aki br ms megnevezssel, de ugyanezt a kt tpust vzolta fel. Az elsnek az elmlet-alkot nevet adta, a msodiknak pedig a problmamegold-t. Az els, ha ta-llkozik egy problmval elmleteket alkot, megragadja a jelensget, a problmhoz kapcsoldva lerja a szksges fogalmakat; logikai hierarchit kialaktva a racionlis gondolkods jellemzi. A msik tpus a problmval szembeslve egyszeren rrez va-lamire, egy meglep dolgot felfedezve jut el a megoldshoz. A kt tpusnak egzakt m-don val elklntse azonban nem lehetsges, mert nagyon ritka az a matematikus, aki csak az egyik tpusba tartozna, a hatrok elmosdnak (Gyarmathy, 2001).

238

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

A matematikai tehetsgnek igen sok sszetevjt trtk fel a kutatsok (pl. Heller, Mnks s Passow, 1993; Reichel, 1997). Br a matematikai tehetsg ltalnos meghat-rozsban nincs konszenzus, de vannak olyan tulajdonsgok, amelyek a kiemelked k-pessgek jelzsl szolglhatnak (Gyarmathy, 2001):

A matematikval kapcsolatban fradhatatlan, keresi a problmkat. A problmt gyorsan formalizlja s ltalnostja. Hasonl problmk esetn a kzbls logikai lpsek kihagysval reagl. Kitarts s feladatelktelezettsg jellemzi. Csodlatba ejtik a tnyek, a formulk. Kivl emlkezete van a szmokkal, formulkkal, viszonyokkal, megoldsi md-

szerekkel stb. kapcsolatban. Gondolkodsmdja flexibilis; gondolkodsn knnyen fordt. J vizulis kpzelet jellemzi. A rszletekben nem merl el, az sszetettet egyszerbb teszi. Egyszer, egyenes s elegns megoldsokat keres. Verblis problmkat is tud egyenletben megfogalmazni s kezelni.

Az intelligencia

Jl ismert tny, hogy az intelligencia meghatrozsban mg a pszicholgusok kztt sincs egyetrts. Jelen tanulmnyban a ltez szmos definci kzl kiemelem Vernon (1969) defincijt, mely szerint: B intelligencinak hvjuk az egynnek s a krnyezetnek olyan mrtk klcsnhatsa sorn kialakult szkmk szellemi tervek sszessgt, amennyire ezt szervi berendezsei lehetv teszik (Vernon, 1969; idzi Skemp, 1971. 16. o.). (Az ltalnos pszicholgiban a szellemi struktrkat nevezzk szkmknak. A matematikban nemcsak a komplex fogalmi struktrkra hasznljuk, ha-nem azokra a viszonylag egyszer struktrkra is, amelyek a szenzomotoros tevkeny-sget koordinljk. A szkmknak kt f funkcija van: egyrszt integrljk a meglev tudst, msrszt szellemi eszkzknt szolglnak az j tuds elsajttsban.)

A B intelligencia fogalmt Hebb vezette be 1949-ben. Az intelligencin bell megk-lnbztette az A s a B intelligencit. Mg az elbbi az rtelmi kpessgek kifejlds-nek lehetsgre, addig a B intelligencia ennek a fejldsnek egy ksbbi idpontban meglv szintjre utal. A B intelligencia teht nem ms, mint megvalsult intelligen-cia. Az A intelligencival szemben ami nem mrhet, csak megfigyelhet , a B intel-ligencia az IQ mrcje. Az A s a B intelligencia kztt lv kapcsolatot fontos hangs-lyozni, hiszen az A intelligencia B intelligencinak alapvet sszetev eleme (Hebb, 1995).

A matematika s az intelligencia

Skemp (1971) szerint a matematika a B intelligencia egyik pldjaknt szolglhat. Ennek magyarzata a kvetkezkben foglalhat ssze:

239

Vincze Szilvia

1) A matematika tanulsa sorn a szkmk fejldsnek igen sok pldjval tall-kozhatunk, Vernon (1969) szerint pedig ppen ezeknek a szkmknak az sszes-sge adja a B intelligencit.

2) A matematiknak a termszettudomnyokban, az ipar s a kereskedelem probl-minl trtn alkalmazsa olyan jelents mrtk, hogy emiatt a matematika az egyik legfontosabb ha nem a legfontosabb eszkzt jelenti fizikai krnyeze-tnk megismerse s formlsa vonatkozsban. Amikor fizikai krnyezetnket meg akarjuk rteni, ellenrizni s a benne zajl trtnseket elrevetteni, akkor ez a fentiek tkrben nem ms, mint a B intelligencia megnyilvnulsa. Ezek alapjn a matematika ktsgtelenl a B intelligencia egyik legfontosabb fejldst pldzza.

Az egyn intellektulis, pszichikai mkdsbl egy sajtos konfigurci alakulhat ki, amely megfelel a matematikai struktrnak, betltve a kls modelll tnyez sze-rept. E strukturldsi folyamat keretben az A-tpus intelligencia alapjn alakul ki a B-tpus intelligencia.

Gondolatok, hipotzisek

Az Amerikai Matematikatanrok Orszgos Tancsa szerint a matematika tbb mint fo-galmak, algoritmusok alkalmazsnak megtanulsa. Megkzeltskben a matematika egy hatkony helyzet-felismersi mdszer. Ebben a paradigmban a matematikai kpes-sg pozitv gondolkodsra s cselekvsre val hajlamot jelent, ami elssorban a matema-tikai tanulsi-feladatok megkzeltsben nyilvnul meg, majd ltalnossgban a gon-dolkodsukra lesz jellemz (National Council of Teachers of Mathematics, 1989). A ma-tematikai kpessg a valsg magyarzatra s lersra egyetemesen alkalmazott mate-matikai gondolkodsmdot foglalja magba. Ahhoz, hogy az egyn megfelel matema-tikai kpessggel rendelkezzen, s ezen kpessgt matematikn kvl s bell, valamint a kett hatrterletn lv kontextusokban is alkalmazni tudja, rendelkeznie kell egy sor olyan kszsggel, amit sszefoglalan matematikai kszsgnek neveznk. Niss (1999) a kszsgeket nyolc osztlyba sorolta: (1) matematikai gondolkods s kvetkeztets; (2) matematikai rvels; (3) matematikai kommunikci; (4) modellezs; (5) a feladat meg-fogalmazsa s megoldsa; (6) brzols, megjelentsek rtelmezse; (7) szimbolikus, formlis, technikai nyelv- s mvelethasznlat; (8) eszkzhasznlat. A matematikai gondolkodsmdot that s abban meghatroz szerepet jtsz kognitv kpessgek s kszsgek olyan sszetevknek vagy rszkpessgeknek tekinthetk, amelyek a ma-tematikai kpessg szempontjbl dominancival brnak s a matematikai teljestmny-ben rhetek tetten. A matematikai teljestmny tesztekkel trtn vizsglata a terlet objektv jellege miatt megbzhat, ugyanakkor az alkot matematikusok azonostsa mgsem megoldott (Gyarmathy, 2001). A matematikai teljestmny htterben ezltal a matematikai kpessg htterben is nagyon sok sszetev ll: (1) kognitv kpessgek (ltalnos rtelmi kpessgek, specifikus mentlis kpessgek); (2) kreativits; (3) sze-

240

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

mlyisgjellemzk (ltalnos szemlyisg-vonsok s motivcis faktor); (4) kls fel-ttelek (pl. nem, szociokulturlis httr, letkor stb.).

A matematikai gondolkods szempontjbl relevancival br kognitv kpessgek felosztst s a matematikai kpessg manifesztcijban rszt vllal sszetevket az 1. bra mutatja be.

Kognitv kpessgek

Specilis mentliskpessgek

Fejlett trrzkels,Vizualizci,Transzformcis kpessg,Fejlett absztrahl kpessg,Kimagasl szmolsi kpessg,Algoritmikus gondolkods,Numerikus szimblumok kezelse,Mennyisgi gondolkods (matematikaifogalmak, relcik, tulajdonsgok ismerete)

ltalnos memria,Olvassmegrts,Tgabb rtelemben vett kognitv sebessg,Megfigyelkpessg,Nyelvi megrts, nyelvi fejlds,Analgis gondolkods,Analitikus gondolkods,Induktv s deduktv gondolkods,Koncentrlkpessg,Lnyegkiemel kpessg,J emlkez kpessg,Informcifeldolgozs sebessge,Asszocicis kpessg,Problmareprezentls kpessge,Lnc konklzik megfogalmazsnak kpessge

ltalnos rtelmikpessgek

1. bra A kognitv kpessg sszetevi a matematikai kpessgre vonatkoztatva

A megnevezett sszetevk egy rsze centrlis, ms rsze inkbb perifrin tall-

hat (2. bra). A perifrin a matematikai kpessgnek olyan ltalnos sszetevi van-nak, mint pldul az ltalnos memria, az informcifeldolgozs, a numerikus szimb-lumok kezelse, az analgis gondolkods, az ltalnos vizulis szlels stb. Pldul a szmoltehetsgek brmilyen ngyjegy szorzs eredmnyt pillanatok alatt kpesek fejben kiszmolni, szmolsi kpessgk tlagon felli, mgsem nevezzk ket matema-tikai tehetsgeknek. Kond s Cziegler (2001) vizsglatukban kimutattk, hogy a kogni-tv struktrn bell a matematikai feladatok megoldsra valsznstheten nagy befo-lysa van a munkamemrinak, de ez csak az egyik szksges felttel, ami nmagban mg nem elegend.

241

Vincze Szilvia

Kreatv gondolkods,Kvetkeztetses gondolkods,

Mennyisgi gondolkods

ltalnos memriakszsg

Lnyegkiemel kpessg

Olvassmegrts

Tgabb rtelemben vett kognitv sebessg

Megfigyelkpessg

Nyelvi megrts, nyelvi fejlds

Koncentrlkpessg

J emlkezkpessg

Informcifeldolgozs sebessge

Asszocicis kpessg

Problmareprezentls kpessgeLnc konklzik megfogalmazsnak

kpessge

Fejlett trrzkels,vizualizci

Transzformcis kpessg

KimagaslszmolsikpessgAlgoritmikus gondolkods

Numerikus szimblumok kezelse

Problmarzkenysg

Szimbolizls kpessge

Perifrilis sszetevk

Centrlis sszetevk

2. bra

A kognitv kpessgek centrlis s perifrilis sszetevinek rendszere Az ltalnos kpessg-sszetevk hol szorosabb, hol kevsb szorosabb kapcsolatban

llnak egymssal. Egy olyan kpessg, mint pl. a trbeli vizualits kpessge jelentsen befolysolja a geometriai s topolgiai problmk megoldsi sikeressgt, s kisebb sze-repet jtszik pldul a statisztikai problmk megoldsban. A trszemllet hinya hinyossga a matematika tananyag elsajttsnak csak egy rszt befolysolja. Val-sznsthet, hogy a tri kpessgek hatsa szelektvnek tekinthet az ltalnos rtelem-ben vett matematikai teljestmnyre (Salat s Sra, 2002), amelyben a problmk meg-oldsnak tbbsghez nincs szksg tri stratgik alkalmazsra. A vizulis formkkal val tevkenysg kpessge kevsb szksges az olyan feladatok megoldsnl, ahol szmsorozatok tagjai kztt kell kapcsolatot felfedezni vagy egyszer szmtsi felada-tokat kell elvgezni alapmveletek segtsgvel stb.

A perifrin lv kpessg-sszetevk szksgesek ahhoz, hogy valaki j legyen matematikbl, de ahhoz nem elegendek, hogy matematikai tehetsgg is vljon. Ehhez a centrlis helyen lv kreatv gondolkods, kvetkeztetses gondolkods s a meny-nyisgi gondolkods magas szint alkalmazsra van szksg.

A vizsglatunk egyik clja az volt, hogy megprbljuk azonostani azokat a faktoro-kat, amelyek a matematikai teljestmny szempontjbl relevnsak lehetnek. Felttelez-snk szerint a matematikai teljestmny htterben a kreatv gondolkods, a mennyisgi

242

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

gondolkods s a kvetkeztetses gondolkods faktorai llnak (1. tblzat), amelyek ma-gas szint alkalmazsa szksges felttele a j matematikai teljestmny elrsnek.

1. tblzat. A centrlis kpessg-sszetevk

Kreatv gondolkods Kvetkeztetses gondolkods Mennyisgi gondolkods

Az originalits foka (olyan megoldsok szma, amik msnak nem jutnak eszbe)

A fluencia (hny megoldst tall egy problmra)

A flexibilits (a gondolko-ds rugalmassga)

Induktv gondolkods (k-vetkeztets az egyedi ese-tekrl az ltalnosra)

Deduktv gondolkods (le-vezets, kvetkeztets az egszbl az egyes rszekre)

Matematikai

tulajdonsgok,

fogalmak,

relcik ismerete

A matematikai teljestmny s a kreativitsmutatk kztt ers kapcsolat felttelez-

het. A matematikbl j teljestmnyt mutat dikok kreativits- s a divergens gon-dolkods teszten elrt eredmnyei sokkal jobbak, mint a begyakorlott s algoritmizlt megoldsokat ignyl rutinszer feladatokat tartalmaz teszteken.

A matematikai teljestmny szignifikns kapcsolatot mutat a kvetkeztetses gondol-kodssal. Az induktv gondolkodsnak klnsen fontos szerepet lehet tulajdontani, mi-vel az indukci olyan kvetkeztetsek lncolata, amely az egyedi esetekrl az ltalnosra kvetkeztets folyamatt foglalja magba; szablyok felismerst s modellek megalko-tst jelenti (Csap, 1994), ami a matematikai gondolkods alapeleme. A deduktv gon-dolkods az ltalnostsokbl a konkrtumokra val kvetkeztets. Az elmleti igazsg alapjn megerstjk vagy cfoljuk, jvhagyjuk vagy mdostjuk a tapasztalatok igaz-sgait.

A mennyisgi gondolkods a matematikai tulajdonsgok s relcik ismerett igny-li. Ez a kpessg mennyisgekkel kapcsolatos s matematikai fogalmak ismerett kvn tesztekkel mrhet. A matematikai tehetsg sszetevjeknt egsz bizonyos meghatro-zottsga.

Az intelligencia s a matematikai kpessg kztti kapcsolat feltrkpezsre szol-glt pldul a Stanley (1974) nevhez kapcsolhat Study of Mathematically Precocious Youth (SMPY) felmrs. Ennek eredmnyei kiemelik, a g faktor matematikban be-tlttt szerepnek jelentsgt. A felmrst 7. s 8. osztlyos tanulkkal vgeztk. A fel-vett teszt egyfajta g tesztnek volt tekinthet. Azon tanulk, akik magas pontszmot r-tek el klnsen a matematikai rszben lhettek azzal a lehetsggel, hogy magasabb fok matematikai kpzsben vegyenek rszt. A program szerint kivlogatott s kpzett tanulk egyetemi veik alatt gyakran vgeztek matematikai vagy termszettudomnyos tanulmnyokat, majd olyan plyn helyezkedtek el (Lubinski s Benbow, 1994), ami ma-gas szint gondolkodst ignyelt. Ebbl arra kvetkeztethetnk, hogy a program szerint kivlogatott, matematikbl j kpessggel rendelkez tanulkra jellemz a g magas szintje. Msik oldalrl az alacsony intelligencival rendelkez tanulk mg az elemi

243

Vincze Szilvia

szmolsi feladatokat is csak komoly erfesztsek rn tudtk megtanulni. Ha meg is tanultk, az tlagosakhoz kpest nagyon sok idre volt ehhez szksgk (Geary, 1994). Carroll (1998) ezek alapjn arra a kvetkeztetsre jutott, hogy a g fejlettsgi szintje valsznleg befolysolhatja az embernek azon kpessgt, amely segtsgvel megtanul matematikai feladatokat megoldani. Az ltalnos g faktor fejlettsgi szintje az emberi fejlds minden szakaszban szoros kapcsolatot mutat a matematikai tudsszint-mr tesztek eredmnyeivel. A matematikai tehetsg identifikcijnak egyik f irnyelve sze-rint az intelligenciateszteken elrt eredmnyek sszefggst mutatnak a matematikai te-hetsggel; fleg a nem-verblis tri gondolkodst kvn feladatokat tartalmaz tesztek mint a Raven-fle intelligenciateszt lehetnek jelzsrtkek (Gyarmathy, 2001).

A Raven-fle intelligenciateszt elssorban azt mutatja meg, hogy a vizsglt szemly-nek milyen fejlett az j (nem verblis) kpzeteket alkot kpessge. A Raven-teszt meg-oldjnak geometriai jelekbl ll, tbb elem sorozat hinyz elemt kell kivlasztani tbb lehetsges megolds kzl. A Raven-feladatok megoldsa elssorban olyan gon-dolkodsi mechanizmust mozgst, ami a dolgok tulajdonsgainak s kapcsolatnak sz-szehasonltsn alapszik azltal, hogy hasonlsgok s klnbsgek megllaptst k-vnja meg. Ez azonban a matematikai gondolkodsmdnak csak egyik igaz, igen l-nyeges sszetevje. Guilford (1950) szerint az intelligencia-tesztek csak a konvergens gondolkodst mrik. Elssorban olyan feladatokat tartalmaznak, amelyekre egyetlen, elre meghatrozott vlasz az elfogadott. Ilyen tekintetben az nll, gazdag fantzij embereknek akik egy problmahelyzetben sokfle vlaszt kpesek adni nem kedvez az intelligencia-teszt. Ha kivlasztjuk az intelligencia-tesztek alapjn legjobban teljest emberek 20%-t, akkor a kreatv gondolkods emberek 70%-a kiesik ebbl a vloga-tsbl (Szab, 1997).

Kreatv teljestmny ltrehozsa az intelligencia megnyilvnulsnak bizonyos fok-hoz kapcsolhat, m a magas intelligencia csak lehetv teszi a kreatv teljestmny lt-rejttt, nmagban mg nem elegend. A Raven-fle intelligenciateszten s a kreativi-ts fokt megmutatni kvn matematikai tesztlapokon mutatott teljestmnyek kztti kapcsolat nem szignifikns. Mivel a matematikai kpessg legfontosabb faktora a kreati-vitsban realizlhat, a Raven-tesztet nmagban nem szerencss a matematikai tehetsg azonostshoz hasznlni. Szignifikns kapcsolatot csak az olyan matematikai kpess-get mr tesztekkel mutat, amelyek egy specilis matematikai kpessg faktort, az in-duktv gondolkods faktort lelik t.

A felmrs mdszerei s eszkzei

A minta

A felmrsben 51 ltalnos iskola hetedik osztlyos tanul, s 61 kzpiskola harma-dik osztlyos tanul vett rszt. A ksrleti szemlyek ltalnos tanterv szerint tanultk a matematikt.

244

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

A vizsglati eszkzk bemutatsa

A j matematikai tevkenysg htternek vizsglatn keresztl megprbltuk feltr-kpezni a matematikai kpessg struktrjt. Ennek egyik vizsglati mdszer lehet, ha klnbz tpus matematikai feladatokat s azok megoldst elemezzk. Ennek megfe-lelen a vizsglat sorn az albbiakban ismertetsre kerl teszteket alkalmaztam. A k-sbbiek sorn a tmrebb fogalmazs rdekben a zrjelben feltntetett rvidtseket hasznlom:

Raven-fle Standard Progressive Matrices s a Raven-fle Advanced Progressive Matrices teszt (RAVEN),

Ruth-fle figyelemvizsglat (RUTH), Szveges feladatok (SZVEGES), Szmsor teszt (SZMSOR), sszefoglal-versenyfeladatok (VERSENY), Fejtr feladatok (KREATV), Sk- s trgeometria feladatokat tartalmaz feladatlap (GEOMETRIA). A kapott eredmnyek sszehasonlthatsga rdekben mind a hetedikes, mind a ti-

zenegyedikes dikok ltal megoldand feladatsorok ugyanolyan tpus feladatokat tar-talmaztak. Ahol lehetett ugyanazzal a feladatsorral mrtk a kt vfolyamot (RUTH, SZVEGES, KREATV). Ezen feladatsorok megoldshoz nem volt szksg mly ma-tematikai tudsra (ezek a feladatsorok nem voltak konkrt trgyi tudshoz ktve), els-sorban az tlet volt mrvad; a szmszer vlasz megadsa csak az elemi mveletek el-vgzst ignyelte. A tbbi feladatsor esetn (SZMSOR, VERSENY, GEO) a szerke-zet s a tartalom megegyezett, m a nehzsgi szint a korosztlyos elvrsoknak megfe-lelen klnbztt. A tesztek sszelltsnl fontos cl volt az is, hogy a tanulk sz-mra a feladatok lehetsg szerint ismeretlenek legyenek (jszersg rdekben a fel-adatsorok sszelltshoz nemcsak a hazai irodalom, de Erdlyben hasznlatos tan-knyvek is segtsgl szolgltak).

Az egyes feladatsorok item-szmt s reliabilitst a 2. tblzat tartalmazza (a geo-metria feladatsornl a sk- s trgeometriai feladatsorok reliabilitst kln adtuk meg). Azoknl a teszteknl, ahol az item-szm kicsi volt (VERSENY, SKGEOMETRIA, TRGEOMETRIA) a teszt megbzhatsgnak rdekben a teszthosszabbts (teszt megkettzse) sorn kapott rtkeket kzljk (Horvth, 1993). A mreszkzk prediktv, elrejelz volta felttelezhet, ha elfogadjuk azt, hogy a trelkpzels s a h-romdimenzis trgyanalzis fejlettsgi fokrl elssorban trgeometriai feladatok meg-oldsa sorn gyzdhetnk meg, illetve az induktv gondolkods szmsor rszteszten el-rt eredmnyekbl is kvetkeztethetnk arra.

245

Vincze Szilvia

2. tblzat. A matematikai tesztek item-szma s reliabilitsa vfolyamonknt

vfolyam Feladattpus Itemek szma Cronbach- Szveges 20 0,83 Szmsor 20 0,94 Verseny 5 0,76 Kreatv 8 0,76 Skgeometria 5 0,72

hetedik

Trgeometria 5 0,84

Szveges 20 0,83 Szmsor 20 0,71 Verseny 5 0.80 Kreatv 8 0,76 Skgeometria 5 0,89

tizenegyedik

Trgeometria 5 0,79

Raven-fle intelligenciateszt (RAVEN)

A ksrleti szemlyek a vizsglat els lpseknt intelligenciatesztet tltttek ki. Az ltalnos iskols korosztly esetben a Standard Raven-teszt (1960), a kzpiskols min-tban pedig a Neheztett Progresszv Mtrixok (Advanced Progressive Matrices, 1962) teszt szolglt mreszkzknt. Ezek a teszt a nem verblis intelligencia mrsre szol-gltak, azt mutatjk meg, hogy a szemly milyen mrtkben kpes j kpzetek alkots-ra, mennyire alkalmas a gyors, pontos tlethozatalra, a trvnyszersgek felismersre, az absztrakcira, a nonverblis kszsgek mozgstsra. A Raven-tesztben a megolds-hoz meg kell figyelni a mtrixban lv figurkat, meg kell tallni a kzttk lv logikai kapcsolatot, krnyezet figyelembe vtelvel el kell kpzelni, hogy milyen lehet a hiny-z rsz, majd ki kell vlasztani azt a 6-8 megadott lehetsg kzl. Carpenter s munka-trsai (1990. 429. o.) rmutattak arra, hogy a Raven-tesztben megoldand feladatok a problmk kisebb, kezelhetbb rszekre bontsnak, majd a kisebb rszek tovbbi szt-bontsnak kpessgt mrik, s azt, hogy a sztbonts ltal a problmamegolds sorn keletkez clok s rszclok hierarchijt kpes-e az egyn kezelni. A matematikai problmk egy rsze ppen ilyen kpessgeket ignyel.

Ruth-fle figyelmvizsglat teszt (RUTH)

A vizsglt szemlyek figyelmnek stabilitst s megoszt kpessgt is felmrtk, tovbb a Ruth-fle teszt az egyszer szmolsi kszsg mrsre is szolglt. A teszt egy-rszt informatvnak tekinthet az egyszer, viszonylag monoton, numerikus mentlis m-veletek kzben trtn figyelem-koncentrci stabilitsnak s a figyelem megoszthat-sgnak tekintetben, msrszt informcit ad az egyszer szmolsi mveletek elvgz-snek gyorsasgrl s hibtlansgnak mrtkrl, valamint a mentlis-mveletek vg-zsnek terhels-tolerancijrl is. A kirtkels az utbbi eredmnyekeit tartalmazza.

246

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

Szveges feladatok teszt (SZVEGES)

A szveges feladatokon nyjtott teljestmny a matematikai eredmnyessg fontos indiktornak szmt; a matematikai ismeretek alkalmazsban jelents szerepet jtszik. A szveges feladatok matematikai termszetket tekintve egyszerek s megoldsukhoz az alapmveleteken, nhny matematikai alapfogalom (pl. arnyossg) s az alapvet egyenletrendezsi kszsgen tlmutat matematikai tudsra nincsen szksg (Grgyn, 2002). A matematikatuds maradand s szinte mindenki szmra szksges sszetev-jt mrik, olyan kszsget, hogy kpesek vagyunk-e a kznapi problmkat matematikai-lag helyesen reprezentlni, majd a szksges s megfelel matematikai mveleteket el-vgezni. A szveges feladatok relis dolgokrl szlnak, amelyek akr magukkal a tanu-lkkal is megtrtnhetnek. A megolds sikeressgt a fentieken kvl tbb egyb t-nyez is befolysolja: (1) a szveges informcik kdolsa s rtelmezse, (2) az adatok szksg szerinti talaktsa, (3) a megoldshoz szksges mveletek kivlasztsa s (4) a szmtsok helyes elvgzse (Vidkovich, 2003). Az egyik feladat:

Egy tvzet elksztshez 2 rsz ezstt s 3 rsz lmot hasznlunk. Hny gramm ezst szksges 15 gramm ilyen tvzet elksztshez?

A feladatok sszelltsakor lnyeges szempont a pontos s vilgos fogalmazs s az adand vlaszok egyrtelmsge. Ez volt az egyik olyan feladatsor, amely mindkt vfo-lyamon ugyanazokat az itemeket tartalmazta; felptst tekintve a nagyon egyszer problmtl indulva a nehezebbek irnyba.

Szmsor teszt (SZMSOR)

Az induktv gondolkods mrsre hasznlhat az gynevezett szmsor teszt, amely-nek egy itemjt a kvetkezkppen kell elkpzelni:

2 5 11 _ 47 _ 191

A feladat megoldshoz a ksrleti szemlynek fel kellet fedeznie, hogy milyen sza-

bly szerint pl fel a sorozat. A hetedikes s a kzpiskols korosztlynl is 20 szm-sort tartalmazott a teszt, felptst tekintve egyre nehezed formban. A feladatsor a lo-gikai kvetkeztet kpessg tipikus jellemzit: a fejlett absztrahl kpessget, a funkci-onlis jelleg gondolkodst, klnbz lnc-konklzik megfogalmazsnak a kpess-gt s az elg magas koncentrl kpessget mozgatja meg.

sszefoglal-verseny teszt (VERSENY)

Az sszefoglal-verseny feladatsor az ltalnos/kzpiskolai matematikai tmakr-kre pl, a tantervekhez igazod feladatokat tartalmazott. A feladatsor feladatait tbb tmakrt tlelve klnbz tehetsgkutat versenyek feladatsoraibl vlogattuk ki. Ezen versenyfeladatok megoldsra Lakatos (1998. 224. o.) szerint nincs bejratott, biztos t, a primitv sejts, a bizonyts s az ellenpldk heurisztikus rend szerint ve-

247

Vincze Szilvia

zetnek. A megfogalmazott hipotzist elbb ellenrizni kell, majd ha rvnyessge bebi-zonyosodott, akkor vlik alkalmazhatv.

Fejtr feladatok teszt (KREATV)

A fejtr feladatok teszt a kreativits vizsglatt clozta meg. A matematikai kpes-sgek vizsglatnl felttelezheten nagy jelentsggel br a kreativits, ami a nem rutin-szer problmk megoldshoz szksges. A feladatlapot kt rszre osztottuk. Az egyik rszben az sszellts f szempontja az volt, hogy a megolds megadsnak valszn-sge nhny perc elteltvel ne vltozzon. A feladatok tbbsgre a vlaszt egy percen bell meg lehetett tallni, vagy legalbbis a megoldsi tlethez el lehetett jutni. Egy fel-adat errl a rsztesztrl:

A szegny ember sszetallkozik az rdggel, aki zletet ajnl neki: ahnyszor kezet fognak, annyiszor duplzza meg a zsebben lv garasokat, azonban cserbe az r-dg minden alkalommal 24 garast kap. Megegyeznek. Hromszori kzfogs utn azonban elfogy a szegny ember pnze. Hny garasa volt eredetileg?

A matematikai feladatok egyik nagyon fontos jellegzetessge, hogy a megoldsok

szmt tekintve klnbzkppen vgzdhetnek. Vannak olyan feladatok, amelyeknek nincs, vagy egy megoldsa van, vannak olyanok amelyeknek vgtelen sok megoldsa van s vannak olyanok is, amelyeknek egynl tbb, de vges szm megoldsa ltezik. Ez a megklnbztets azrt fontos, mert mindegyik tpushoz ms-ms gondolkodsmd rendelhet.

A teszt msik felben olyan feladatok kerltek kivlogatsra, amelyeknek a megolds szempontjbl tbb, de vges sok megoldsa ltezik. Az ehhez rendelhet szemlletmd egyik legjellemzbb vonsa a divergens gondolkodsmd. A kivl matematikai gon-dolkodsmd jellemzi kz tartozik az, hogy az egyn nem ll meg egyetlen megolds megadsnl, hanem jabb s jabb megoldsokat prbl keresni. Az albbi feladatnl:

Egy gyufa helynek megvltoztatsval igazz kellett tenni az egyenlsget s a he-lyes megoldst le kellett jegyezni.

XVIVIIIX =+ A feladatsorok kitltsben jelents szerepet jtszott az id, mint teljestmnyfaktor.

Ennek kt oka van. Az egyik, hogy a fluid intelligencinak rsze az a faktor, amelyet a gondolkodsi sebessg faktornak neveznk. A tesztekkel a kpessg szintjnek fejlett-sge mellett a gondolkodsi problmk megoldsnak a sebessgt is vizsglhatjuk. A kpessgszint s a sebessg kztt kapcsolat van: a magas szint gondolkodsi kpes-sggel rendelkez emberek ltalban gyorsabban oldanak meg matematikai problmkat, mint a gyengbb gondolkodsi kpessgek, m ez az sszefggs nem ilyen szigor (Carroll, 1998). A msik oka az id korltozsnak az volt, hogy egy-egy osztly esetn a tesztek felvtelre t tantsi rra volt szksg.

248

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

Geometriai feladatok teszt (GEOMETRIA)

A geometria feladatlapon sk s trbeli feladatok szerepeltek. A skgeometriai felada-toknl a cl a kpzeler fejlettsgnek vizsglata volt. A feladat jellege annyiban k-lnbztt a divergens gondolkodst ignyl feladatoktl, hogy a transzformcis kpes-sget, mint az alkalmazkod szemlletmd egyik dimenzijt mrte (Vlgyesi, 1982). A transzformcis kpessget az adott feladatokban ktdimenzis trben val gyakorlatias feladatokon keresztl vizsgltuk. A hetedikes feladatlapbl kiragadott pldban az als sorban a tglalapokban lv darabokat sszeillesztve, meg kellett adni, hogy mely figu-rkat lehet megkapni a fels sorban lv 5 kzl (3. bra).

3. bra A hetedikes korosztly egyik skgeometriai feladata

A geometriai feladatok msik csoportja (GEO2) a trelkpzels s a hromdimenzis

trgyanalzis fejlettsgi fokra vonatkozan adott informcit. A feladatok clja a vizu-lis formkkal val tevkenysg s ezen produkcik kpessgnek mrse volt. Ezekben a feladatokban nemcsak a kzvetlen szlels, hanem az szlelsek emlkezeti felidzse is lnyeges elem volt, hiszen e kt funkci helyes egyttmkdse eredmnyezhette a sk-ban adott formk ltrehozsnak s tovbbi alaktsnak felttelt. A tr-geometriai fel-adatok kzl egy plda: egy templom krvonalai vannak megrajzolva ellrl, htulrl s jobb oldalrl. A ksrleti szemlyeknek meg kellett keresni, hogy az t rajz kzl melyik hrom helyes s a helyes rajzok melyik nzetbl brzoljk a templomot (4. bra).

4. bra A trgeometriai feladatsor egy feladata a hetedikes feladatlapbl

249

Vincze Szilvia

Eredmnyek

A ler statisztika eredmnyei

Az egyes matematika tesztekben kapott szzalkos teljestmnyket az 5. bra mutat-ja.

5. bra

A kt rszminta szzalkos teljestmnye az egyes vltozk fggvnyben

A szzalkos teljestmny alapjn mindkt korosztly esetn elmondhat, hogy a leg-jobb eredmnyt a szmsor teszt megoldsban rtk el a dikok. A hetedikeseknl a ver-seny-feladatsorban, mg a tizenegyedikes mintban a Ruth-fle szmolsi prbban (s figyelemvizsglat) teljestettek leggyengbben a dikok. A 3. tblzat tartalmazza mind-kt korosztlyra vonatkoztatva az egyes teszteken nyjtott szzalkos tlagteljestm-nyeket.

3. tblzat. Az egyes tesztekben elrt szzalkos tlagteljestmnyek s szrsok (vfo-lyamonknt)

Hetedik vfolyam Tizenegyedik vfolyam Tesztek

N tlag Szrs N tlag Szrs

RUTH 47 31,09 17,57 54 34,7 19,47 SZVEGES 51 30,69 12,81 62 37,9 33,55 SZMSOR 51 52,01 17,67 60 73,67 22,81 VERSENY 51 13,24 20,71 61 39,02 21,55 KREATV 51 21,21 17,36 62 51,84 16,31 GEOMETRIA 51 23,92 31,54 57 54,04 24,53

250

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

Kt feladatsor kivtelvel (RUTH s SZVEGES) a kapott eredmnyek alapjn el-mondhat, hogy mindazok a kszsgek s kpessgek, amelyek az egyes feladatsorok-ban elrt j teljestmny elrshez szksgesek, jelents mrtkben fejleszthetk. gy tnik, hogy a ngy vnyi tanuls az induktv gondolkods tekintetben (SZMSOR), a kreativitst kzppontba llt (KREATV) feladatok esetn, a sk- s trszemlletet t-fog (GEOMETRIA) tesztsorozat, valamint az sszefoglal-verseny (VERSENY) teszt-sorozat esetn tnik igen hatkonynak. A szmolsi kszsg (RUTH) s a mennyisgi gondolkodst megtestest (a mindennapi let problmit leginkbb reprezentl) SZVEGES feladatsor eredmnyei az elvizsglat adatai alapjn nem vltoztak jelents mrtkben.

A matematikai teljestmny vizsglata variancia-analzissel s faktoranalzissel

A vizsglat szempontjbl elsdleges cl volt, hogy megprbljuk meghatrozni azo-kat a faktorsszetevket, amelyek az ltalnos matematikai teljestmny szempontjbl meghatrozak lehetnek. Ezrt a kirtkels ezen szakaszban elksztettnk egy olyan mutatt (MATTELJ), amellyel az ltalnos matematikai teljestmny jellemezhet. Ez a mutat a RUTH, a KREATV, a VERSENY, a SZMSOR, a SZVEGES s a GEO-METRIA feladatsoron elrt eredmnyekbl llt ssze. E mgtt a hat vltoz mgtt ke-restk a ltens struktrt.

Elsknt megvizsgltuk a matematikai sszteljestmny (MATTELJ) korrelcijt a tbbi teszten elrt eredmnyekkel. A korrelcis egytthatkat a 4. tblzat mutatja be. A *-al jellt korrelcis egytthatk p

Vincze Szilvia

vltozk ltal megtestestett informcitmeg lehet legnagyobb rszt megrzik. A krds megvlaszolshoz a faktoranalzis eszkzeit hasznltuk. Az itt kzlt eredm-nyek mr csak annak a futtatsnak az eredmnyeit tartalmazzk, amelyeket a klnbz prblgatsok utn kaptunk (a legkisebb kommunalits vltoz kihagysa utn). A he-tedikes mintban a RUTH-fle feladatsor elhagysa mutatkozott szksgesnek, mg a ti-zenegyedikes mintban minden vltoz benne maradt a vizsglatban. A Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) mutat rtke a hetedikes mintban 662,0KMO = , mg a tizenegyedik vfolyamnl KMO=0,691, a Bartlett-teszt eredmnye mindkt mintban (p

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

7. tblzat. A kt faktorhoz tartoz faktorslyok a hetedikes mintban

Faktor 1 2 SZMSOR GEOMETRIA SZVEGES VERSENY KREATV

0,812 0,681 0,609 0,429

0,116

0,041 0,274 0,013 0,582 0,255

Alkalmazott eljrs: Maximum Likelihood A tizenegyedikes mintban az els faktor a GEOMETRIA, a KREATV s a SZ-

VEGES feladatsorok, mg a msodik faktor a SZMSOR, a VERSENY s a RUTH fel-adatsorokat foglalja magba.

8. tblzat. A kt faktorhoz tartoz faktorslyok a tizenegyedikes mintban

Faktor 1 2 GEOMETRIA KREATV SZVEGES SZMSOR VERSENY RUTH

0,999 0,456 0,415 0,284 0,283

0,096

0,003 0,235 0,819 0,492 0,383 0,321

Alkalmazott eljrs: Maximum Likelihood

A Raven-fle intelligencia s a matematikai teljestmny kapcsolata

Annak a krdsnek a megvlaszolshoz, hogy melyek azok a vltozk (a fentebb emltett matematikai vltozk kzl), amelyek befolysolhatjk a Raven-fle intelligen-cit a variancia-analzist hasznltuk. A meglv adatbzison egy olyan modellt lltot-tunk fel, amelyben arra kerestk a vlaszt, hogy mennyire fgg a vizsglt szemlyek Raven-fle intelligenciateszten nyjtott teljestmnye az ltalnos matematikai teljest-mnyktl (MATTELJ), az egyes rszteszteken nyjtott teljestmnyktl s a nemtl (mint ismert httrvltoztl). Ennek megfelelen az albbi hrom krdskrt jrtuk krbe: (1) igaz-e, hogy az ltalnos matematikai teljestmny kapcsolatban ll a Raven-fle intelligencival; (2) milyen kapcsolatban llnak az egyes feladatsorok teljestmnyei a Raven-fle intelligencival; (3) a fik jobbak-e a Raven-fle intelligencia feladatsoron elrt teljestmnyben, mint a lnyok?

A vizsglatok eredmnyei alapjn egyik vfolyam esetn sem kaptunk szignifikns kapcsolatot a MATTELJ s a Raven-fle intelligencia kztt. Ezek utn megnztk,

253

Vincze Szilvia

hogy az egyes feladatsorok s a Raven-fle intelligenciateszt eredmnyei kztt milyen kapcsolat van. A hetedikes mintban (6. bra) a Raven-teszt eredmnyeivel a SZVE-GES, a SZMSOR, a RUTH s a KREATV feladatsorokon elrt teljestmny mutatott szignifikns kapcsolatot. A ngy fggetlen vltoz ltal megmagyarzott variancia tor-ztatlan rtkei: R

2SZVEGES = 22,9%, R

2SZMSOR = 34%, R

2RUTH = 47,7%, s R

2KREATV

= 30,7%.

R aven-fleintelligencia

Nem

(f/l)

p>0,0

5

M atematikai teljestmnyp>0 ,05Szve ges

p< 0,05Szm sorp< 0,05

Kreatvp< 0,05

R uthp< 0,05

G eometriap>0,05

34%

47,7% 30,7%22,9%

Versenyp> 0,05

6. bra

A fgg (RAVEN) s a fggetlen vltozk szignifikancija s a magyarzott hnyad %-os torztatlan rtkei a hetedikes mintban

A tizenegyedikes mintban (7. bra) a hat mrt vltoz kzl csak a SZVEGES fel-

adatsor befolysolta szignifiknsan a Raven-fle feladatsor eredmnyt, itt a megmagyarzott hnyad torztatlan rtke R

2SZVEGES = 22,5%.

Amikor arra vagyunk kvncsiak, hogy a fik jobban teljestenek-e az intelligencia-teszten, nem csupn a fik tlagteljestmnyeit hasonltjuk ssze a lnyok tlagteljest-mnyvel, hanem arra keressk a vlaszt, hogy a kt tlagteljestmny kztti klnbsg elg nagy-e ahhoz, hogy a teljes populciban is lteznek tekinthessk. A lnyok s a fik intelligencia teszten elrt eredmnye kztt a t-prbt elvgezve , a hetedikes mintban nem, mg a tizenegyedik vfolyamon szignifikns eltrs addott (t=2,38; p

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

Raven-fleintelligencia

Nem

(f/l)

p0,05Szveges

p0,05

Kreatvp>0,05

Ruthp>0,05

Geometriap>0,05

Versenyp>0,05

29,5%

8,2 %

7. bra

A fgg (RAVEN) s a fggetlen vltozk szignifikancija s a magyarzott hnyad %-os torztatlan rtkei a tizenegyedikes mintban

sszefoglals, konklzi

A matematika rendszerez, axiomatizl, levezet, bizonyt, j fogalmakat vezet be. Egy flexibilis gondolkods, kivl felfogs ember mr minimlis elismerettel is hozz-foghat tanulmnyozshoz, elmerlhet a problmk megoldsban. Azonban az j fo-galmak megrtshez szellemi erfesztsre is szksge van. A matematika igyekszik a lnyegre csupasztani a htkznapi fogalmakat, amellyel egy olyan nyelvezetet hoz ltre, ami tisztbb s egyrtelmbb beszd, mint az anyanyelvnk. Ennek ellenre azonban a mai matematika sem teljesen nmagrt beszl valami; egyesek szmra ez egsz le-ten keresztl ismeretlen s megismerhetetlen terlet marad, mg msok szmra kivl produktumok ltrehozsnak szntere. Szmos ellentmondst hordoz magban, ame-lyeknek feltrsa a terlet objektv jellege ellenre is igen nagy nehzsget jelent. Az bi-zonyos, hogy a j matematikai teljestmnynek szmos sszetevje van, amelyek megha-trozottsga klnbz mrtk. Vannak olyan sszetevk (perifrin lv sszete-vk), amelyek elengedhetetlenl szksgesek a kivl matematikai produktum ltreho-zshoz, ugyanakkor megltk mgsem elegend. Szksges a centrlis helyzetben l-

255

Vincze Szilvia

v kreatv, kvetkeztetses s mennyisgi gondolkods magas szint alkalmazsa. Hipo-tzisnk szerint ahhoz, hogy valaki kivl matematikai produktumot hozzon ltre, vagyis matematikai teljestmnye j legyen, az egyik legfontosabb sszetev a kreatv gondol-kods: a matematikbl j kpessgnek mondhat dikoknl elssorban a divergens gondolkodst megclz tesztek eredmnyei vrhatk jobbnak, mint a begyakorlott s al-goritmizlt megoldsokat ignyl rutinszer feladatokat tartalmaz tesztek eredmnyei. Ilyen vonatkozsban, a matematikai teljestmny szempontjbl a kreatv feladatokat tar-talmaz feladatsort meghatrozbbnak tartottuk, mint a monoton s egyhang mvele-teket ignyl rutinszer prbkat (pl. szmolsi prba). Nagy jelentsgnek tltk meg a kvetkeztetses gondolkodst tfog szmsor (induktv gondolkods), valamint a verseny-feladatokat tartalmaz feladatsorokat; tovbb a mennyisgi gondolkodst rep-rezentl szveges feladatsort. A minta rzkenysge miatt az albbiakban megfo-galmazsra kerl megllaptsok megbzhatsga a nagymints vizsglat elvgzse utn jelenthet ki nagyobb biztonsggal.

A kreativits meghatrozottsga a matematikai teljestmny vonatkozsban csak a tizenegyedikes mintban mutatkozott meg, (r=0,749; p

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

RUTH feladatsorok tartoztak. Itt az els faktor fogta t mindazokat az sszetevket, amelyek a nem mechanikus, lpsrl-lpsre elsajtthat s tanulhat gondolkodsmd-dal azonosthatak, mg a msodik faktort inkbb a mechanikusabb, gyakorls ltal fej-leszthet kpessg-komponensek dominancija jellemzi.

Hipotzisnkben a geometriai szemlletmdot nem tartottuk a matematikai teljest-mny fontos sszetevjnek, mivel a trszemllet hinya ltalban csak a matematikai anyagnak egy meglehetsen szk rsznl a trgeometriban tmaszt nehzsget. gy a matematikai kpessg szempontjbl relevancija nem rtelemszer, m szignifikns megjelense mindkt korosztlynl szembetl. A szakirodalom alapjn a matematikai tehetsg identifikcijban egyik irnyelv az, hogy szmos, a matematikai kpessget mr eljrs geometriai rejtvnybl ll (Gyarmathy, 2001).

A kapott eredmnyeket sszevetve (a ler statisztikban kapott eredmnyekkel is sszhangban) az ltszik, hogy a matematikai gondolkodsmd fejleszthet; az letkor determinisztikusan meghatrozza a matematikai teljestmnyt. A vizsglatban felvett fel-adatsorok terletei kzl a kreativits az, ahol legmarknsabban mutatkozik meg a fejl-ds; a hetedikes mintban a szzalkos tlagteljestmny 21,21%, mg a tizenegyedikes mintban 51,84% volt. A korrelci s a faktoranalzis vizsglatainak eredmnyei is al-tmasztjk a kreativits fejleszthetsgt. A matematika oktatsnak br a szaktudo-mny szempontjbl fontos ismereteknek hangslyt kell kapnia , hajtereje az intuci s az alkotkedv. Nem szabad megragadni azon a szinten, hogy a matematikt gy te-kintsk, mint defincikbl s posztultumokbl levezetett ttelek rendszere. Ha ez ugyanis igaz lenne, s a matematika-oktatsban erre helyeznnk a hangslyt, akkor a ma-tematika defincikkal, szablyokkal s szillogizmusokkal val jtk lenne, minden cl s rtelem nlkl. A matematika azonban az emberi gondolkods egy olyan jellegzetes termke, amelyben a legtisztbban fejezdik ki a megfigyel rtelme, a vllalkoz kedve s az eszttikai rzke (Courant s Robbins, 1966). A matematika minden ms tudo-mnynl lnkebb kpzelert ttelez fel azoknl, akik j felfedezsekkel hivatottak gyaraptani ezt a tudomnyt. A gondolatok tisztasga egymagban sohasem vezetett j felfedezsekhez. A matematikus legjobb mve emelkedett mvszet, ami tkletes, vak-mer, mint a kpzelet legrejtettebb lma, vilgos s egyszer, mint az elvont gondolat.

A vizsglat msodik rszben arra voltunk kvncsiak, hogy milyen kapcsolat van a matematikai teljestmny s a Raven-teszt ltal mrt intelligencia kztt. Az adatok kir-tkelse sorn sem a hetedikes rszmintban, sem a tizenegyedikes rszmintban nem addott szignifikns kapcsolat a matematikai sszteljestmny s a Raven-teszt eredm-nyei kztt. Ezek utn megvizsgltuk, hogy az egyes matematikai tesztek milyen kap-csolatot mutatnak a Raven-teszttel. A hetedikes mintban a SZVEGES, a SZMSOR, a RUTH s a KREATV feladatsoron, mg a tizenegyedik vfolyamon csak a SZVE-GES feladatsoron elrt eredmny magyarzott szignifikns darabot a fgg vltoz hete-rogenitsbl. A SZVEGES feladatsor meghatrozottsga meglep, ugyanis a SZVE-GES feladatsor a mennyisgi gondolkodst reprezentlva, a matematikai tulajdonsgok s relcik ismeretre pl, azaz konkrt matematikai anyaghoz kthet. A SZMSOR feladatsorral val szoros kapcsolat csak a hetedikes mintban mutatkozott meg, pedig ez a teszt a logikai kvetkeztet-kpessg tipikus jellemzit, a fejlett absztrahl kpess-get, a funkcionlis jelleg gondolkodst, klnbz lnc-konklzik megfogalmazs-

257

Vincze Szilvia

nak kpessgt s az elg magas koncentrl kpessg-sszetevket mozgatja meg. A Raven-teszt megoldshoz is a fent emltett logikai kvetkeztet-kpessgre van szk-sg. A hetedikes mintban a KREATV feladatsorral is szignifikns kapcsolat mutatko-zott. Mg az intelligenciateszt a konvergens gondolkodst mozgstja, addig a kreativits a divergens gondolkodssal hozhat kapcsolatba, vagyis a kreativits s az intelligencia egymstl eltr fogalomnak tekinthet. A kreativits s a Raven-fle intelligencia k-ztt megmutatkoz kapcsolatnak az lehet a magyarzata, hogy a legtbb kreatv gondol-kod egyben igen rtelmes is.

Irodalom

Anderson, J. R. (1993): Rules of the mind. NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Hillsdale. Bondesan, M. G. s Ferrari, P. L. (1991): The active comparison of strategies in problem-solving: An

exploratory study. In: Furinghetti, F. (szerk.): Proceedings on the 15th International Conference on the Psychology of Mathematics Education. Italy: U-Press, Genova. 168175.

Bransford, J. D. s mtsai (1988): Uses of macro-contexts to facilitate mathematical thinking. In: Charles, R. I. s Silver, E. A. (szerk.): The teaching and assessing of mathematical problem solving. NJ: Lawrence Erlbaum Associates s National Council of Teachers of Mathematics, Hillsdale. 125147.

Brown, A. L. (1974): The role of strategic behavior in retardate memory. In: Ellis, N. R. (szerk.): International review of research in mental retardation. Academic Press, New York. 55111.

Brown, A. L. (1975): The development of memory: Knowing, knowing about knowing, and knowing how to know. In: Reese, H. W. (szerk.): Advances in child development and behavior. Academic Press, New York. 103152.

Brown, A. L. s Barscaly, C. R. (1976): The effects of training specific mnemonics on the metamnemonic efficiency of retarded children. Child development, 47. 7180.

Carpenter, T. P. s mtsai (1990): What one intelligence test measures: A theoretical account of the processing in the Raven Matrices Test. Psychological Review, 97. 404431.

Carroll, J. B. (1993): Human Cognitive Abilities: A survey of faktoranalitic studies. Cambridge University Press, New York. Idzi: Sternberg, R. J. s Ben-Zeev, T. (1998, szerk.): A matematikai gondolkods ter-mszete. Vince Kiad, Budapest. 1537.

Carroll, J. B. (1998): Matematikai kpessgek: A faktoranalitikus mdszer nhny eredmnye. In: Sternberg, R. J. s Ben-Zeev, T. (szerk.): A matematikai gondolkods termszete. Vince Kiad, Budapest. 1537.

Courant, R. s Robbins, H. (1966): Mi a matematika? Gondolat Knyvkiad, Budapest. Czeizel Endre (1997): Sors s tehetsg. FITT IMAGE s a Minerva Kiad, Budapest. Csap Ben (1994): Az induktv gondolkods fejldse. Magyar Pedaggia, 12. sz. 5380. Csap Ben s Korom Erzsbet (1998): Az iskolai tuds s az oktats minsgi fejlesztse. In: Csap Ben

(szerk.): Az iskolai tuds. Osiris Kiad, Budapest. 295302. Cskos Csaba s Dobi Jnos (2001): Matematikai nevels. In: Bthory, Z. s Falus, I. (szerk.): Tanulmnyok a

nevelstudomny krbl. Osiris Kiad, Budapest. 354372. Davies, P. (1995): Isten gondolatai. Egy racionlis vilg tudomnyos magyarzata. Kulturtrade Kiad, Buda-

pest. Dreyfus, T. s Eisenberg, T. (1998): A matematikai gondolkods klnbz oldalairl. In: Sternberg, R. J. s

Ben-Zeev, T. (szerk.): A matematikai gondolkods termszete. Vince Kiad, Budapest. 249278.

258

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

Grgyn, M. . (2002): Nhny gondolkodsi kpessg fejldsnek longitudinlis vizsglata. Szakdolgozat, Szeged.

Geary, D. C. (1993): Mathematical disabilities: Cognitive, neuropsychological, and genetic components. Psychological Bulletin, 114. sz. 345362.

Geary, D. C. (1994): Childrens mathematical development: Research and practical applications. DC: American Psychological Association, Washington.

Gillman, L. (1994): Can students solve math problems? Focus, the Newsletter of the MAA, 3. 14. sz. 1213. Guilford, J. P. (1950): Creativity. American Psychologist, 5. 444454. Idzi: Szab, Cs. (1997): Gondolkods.

Kossuth Egyetemi Kiad, Debrecen. 187191. Gullasch, R. (1971): Denkpsychologische Analysen mathematischer Fhigkeiten. Verlag, Berlin. Gyarmathy va (2001): A tehetsgrl. Arany Jnos Tehetsggondoz Program Intzmnyeinek Egyeslete,

Miskolc. Halmos, P. (1968): Mathematics as a creative art. American Scientist, 56. 375389. Hardy, G. H. (1940): A mathematicians apology. UK: Cambridge University Press, Cambridge. Idzi: Tall, D.

(1991, szerk.): Advanced mathematical thinking. The Netherlands: Kluwer, Dordrecht. 8249. Hebb, D. O. (1995): A pszicholgia alapkrdsei. Gondolat trivium, Budapest. Heller, K. A., Mnks, F. J. s Passow, A. H. (1993): International Handbook of Research and Development of

Giftedness and Talent. Pergamon Press Ltd., Oxford. Holyoak, K. J. s Thagard, P. R. (1989): Analogical mapping by constraint satisfaction. Cognitive Science, 13.

29355. Horvth Gyrgy (1993): Bevezets a tesztelmletbe. Keraban Knyvkiad, Budapest. Jzsa Krisztin (2000): A szmllsi kszsg kritriumorientlt fejlesztse. j Pedaggiai Szemle, 78. sz.

270278. Kond, Z. s Cziegler, I. (2001): Kzponti vgrehajt mkds, figyelmi szelekci s matematikai tehetsg.

Alkalmazott Pszicholgia, 3. 2. sz. 525. Krutetki, V. A. (1968): Pshihologhiia matematiceskih sposobnostei skolnikov. Moskova, Iz-tvo Prosvescenie.

In: Rosca, A. s Zrg, B. (1973): A kpessgek. Tudomnyos Knyvkiad, Budapest. 73150. Kups, P. (1997): A matematikai lmnyekrl s az eszttikumrl. Szakdolgozat, Etvs Lrnd Tudomny-

egyetem, Budapest. Lakatos Imre (1998): Bizonytsok s cfolatok. A matematikai felfeds logikja. Typotex, Budapest. Lubinski, D. s Benbow, C. P. (1994): The Study of Mathematicaly Precocious Youth: The first three decades

of a planned 50-year study of intellectual talent. In: Subotnik, R. F. s Arnold, K. D. (szerk.): Beyond Terman: Contemporary longitudinal studies of giftedness and talent. NJ: Ablex, Norwood. 255281.

Maher, C. A. s Martino, A. M. (1998): The development of the idea of mathematical proof: A 5-year case study. Journal for Research in Mathematics Education, 27. 194214.

Mason, J., Burton, L. s Stacey, K. (1982): Thinking mathematically. Addison-Wesley, London. Medin, D. L. s Smith, E. E. (1984): Concepts and concepts formation. In: Rosenzweig, M. R. s Porter, L. W.

(szerk.): Annual Review of Psychology, 35. 113138. Nagy Jzsef (1998): Kognitivizmus s az rtelem kimvelse. Iskolakultra, 5. sz. 319. Nagy Jzsef (1999): A kognitv kszsgek s kpessgek fejlesztse. Iskolakultra, 1. 1426. Nagy Jzsef (2000): XXI. szzad s nevels. Osiris Kiad, Budapest. National Council of Teachers of Mathematics (1989): Curriculum and cultivation standards for school

mathematics. VA: Author, Reston. Niss, M. (1999): Competencies and subject description. Uddanneise, 9. 2119.

259

Vincze Szilvia

Orton, A. (1992): Learning mathematics: Issues, theory and classroom practice. Cassell, London. Poincar, H. (1952): Science and Method. Dover, New York. Idzi: Gyarmathy va (2001): A tehetsgrl.

Arany Jnos Tehetsggondoz Program Intzmnyeinek Egyeslete, Miskolc. 79112. Plya Gyrgy (1957): A gondolkods iskolja, Bibliotheca. Budapest. Reichel, H. C. (1997): Identifying and promoting mathematiccaly gifted pupils and students (12-20 years).

High Ability Studies, 8. 2. sz. 223232. Rosca, A. s Zrg, B. (1973): A kpessgek. Tudomnyos Knyvkiad, Budapest. Rosch, E. (1973): On the internal structure of perceptual and semantic categories. In: Moore, T. E. (szerk.):

Cognitive development and the acquisition of languange. Academic Press, New York. 111144. Rosch, E. (1978): Principles of categorization. In: Rosch, E. s Lloyd, B. (szerk.): Cognition and

categorization. NJ: Lawrance Erlbaum Associates, Hillsdale. 2748. Salat, A-E. s Sra, L. (2002): A tri vizualizci fejlesztse transzformcis geometriai feladatokkal. Magyar

Pedaggia, 4. sz. 459471. Schoenfeld, A. H. (1988): When good teaching leads to bad results: the disasters of well-taught mathematics

courses. Educational Psychologist, 23. 145166. Selden, A., Selden, J. s Mason, A. (1994): Even good calculus students cant solve nonroutine problems. In:

Kaput, J. s Dubinsky, E. (szerk.): Research issues in undergraduate mathematics learning. DC: Mathematical Association of America, Washington. 1926.

Simon, H. A. s Zhu, X. (1998): Learning mathematics from examples and by doing. Cognition and Instruction, 4. 137166.

Skemp, R. R. (1971): The psychology of Learning Mathematics. Penguin Books, Toronto. Spaerman, C. (1904): General intelligence, objectively determined and measured. American Journal of

Psycholgy, 15, 201293. Idzi: Sternberg, R. J. s Ben-Zeev, T. (1998, szerk.): A matematikai gondolko-ds termszete. Vince Kiad, Budapest. 1537.

Spaerman, C. (1927): The abilities of man: Their nature and measurement. MacMillan, New York. Idzi: Czeizel E. (1997): Sors s tehetsg. FITT IMAGE s a Minerva Kiad, Budapest. 1339.

Stanley, J. C. (1974): Intellectual presociety. In: Stanley, J. C., Keating, D. P. s Fox, L. H. (szerk.): Mathematical talent: Discovery, description, and development. Johns Hopkins University Press, Baltimore. 122.

Sternberg, R. J. (1998): Mi a matematikai gondolkods? In: Sternberg, R. J. s Ben-Zeev, T. (szerk.): A mate-matikai gondolkods termszete. Vince Kiad, Budapest. 295309.

Sternberg, R. J. s Horvth, J. (1995): A prototype view of expert teaching. Educational Researcher, 24. 6. sz. 917.

Sydster, P. s Hammond, K. (2000): Matematika Kzgazdszoknak. Aula Kiad Kft, Budapest. Szab, Cs. (1997): Gondolkods. Kossuth Egyetemi Kiad, Debrecen. Vernon, P. E. (1969): Intelligence and Cultural Environment. Methuen, London. Idzi: Skemp, R. R. (1971):

The psychology of Learning Mathematics. Penguin Books, Toronto. 16. o. Vidkovich Tibor (2003): A szvegesfeladat-megolds fejldse: az olvassmegrts s a mrtkegysg-vl-

ts szerepe. III. Orszgos Nevelstudomnyi Konferencia, Elads, Budapest. Vlgyesi Pl (1982): A Rudolf Amthauer-fle Intelligenz-Struktur-Test (IST) alkalmazhatsga a plyavlasz-

tsi tancsadsban. Mdszertani fzetek. Orszgos Pedaggiai Intzet, Budapest.

260

A matematikai kpessg sszetevinek vizsglata s kapcsolata az intelligencival

ABSTRACT

SZILVIA VINCZE: RESEARCH INTO THE COMPONENTS OF MATHEMATICAL ABILITY AND ITS CONNECTION WITH INTELLIGENCE

Mathematics systematises, creates axioms, obtains formulae, demonstrates theses, and introduces new concepts. A sharp and flexible-minded person with minimal preliminary knowledge on the topic can get down to its exploration and can be absorbed in problem solving. However, mathematics remains an unknown and unfathomable area for some people during their whole lifetime, while it becomes the arena of creating excellent products for others. It is obvious that mathematical talent has several components of differing degrees of importance. These basic abilities are indispensable for anyone to be good at mathematics, but are not sufficient for anyone to become a mathematical talent. This requires the high-level application of creative, deductive and quantitative thinking. The aim of this study is to examine the components of mathematical ability and the analysis of the relation between mathematics and intelligence in the context of particular mathematical sub-skills. The results of a preliminary investigation of this field are presented. The sample consisted 112 subjects, into two age groups (13- and 17-year-olds). The results of the preliminary investigation proved that the qualities relevant regarding mathematical ability are creativity, deductive reasoning and quantitative thinking. The correlation between the Raven intelligence test and mathematical ability proved to be strong, which cannot be considered a tendency-like relationship. As regards sub-skills, the Raven test had a strong correlation with the number series tasks, which assess inductive thinking. Magyar Pedaggia, 103. Number 2. 229261. (2003) Levelezsi cm / Address for correspondence: Vincze Szilvia, H4032 Debrecen, Grgey u. 16., VII/56.

261