Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Concursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpici.ro Problema 3. Fie A ¸ si B dou˘ a puncte fixate ˆ ın planul p. Aflat ¸i locul geometric al punctelor C din planul p cu proprietatea c˘aˆ ın˘ alt ¸imea din B a triunghiului ABC are aceea¸ si lungime ca ¸ si latura [AC ]. Viktor Prasolov - Problems in Plane and Solid Geometry, problema 7.24 Solut ¸ie: Fie B 1 ¸ si B 2 pe perpendiculara ˆ ın A pe AB astfel ca AB 1 = AB 2 = AB, C 1 cercul de diametru [AB 1 ]¸ si C 2 cercul de diametru [AB 2 ]. Vom demonstra c˘ a locul geo- metric c˘autat este (C 1 ∪ C 2 ) \{A}. S˘ aar˘at˘ am mai ˆ ıntˆ ai c˘ a orice punct al locului geometric apart ¸ine reuninii celor dou˘ a cercuri. Dac˘ a C este un punct al locului geometric situat ˆ ın acela¸ si semiplan determinat de AB ca ¸ si B 1 , vom demonstra c˘ a C ∈ C 1 . Fie B 0 piciorul ˆ ın˘ alt ¸imii din B a tri- unghiului ABC . Triunghiurile ABB 0 ¸ si B 1 AC sunt congruente (LUL): BB 0 = AC din ipotez˘ a, ∠B 0 BA ≡ ∠B 1 AC (complementare cu ∠B 0 AB)¸ si AB = AB 1 din construct ¸ie. Deducem c˘ a m(∠B 1 CA)= m(∠AB 0 B) = 90 ◦ , deci C ∈ C 1 . Evident, C 6= A, deci C ∈ (C 1 ∪ C 2 ) \{A}. Ar˘ at˘am acum c˘a orice punct din mult ¸imea (C 1 ∪ C 2 ) \{A} apart ¸ine locului geo- metric. Fie C ∈ C 1 \{A}. Fie B 0 piciorul perpendicularei din B pe AC . Triunghiurile dreptunghice ABB 0 ¸ si B 1 AC sunt congruente (IU): ∠B 0 BA ≡ ∠B 1 AC (comple- mentare cu ∠B 0 AB)¸ si AB = AB 1 din construct ¸ie. Deducem c˘ a BB 0 = AC , deci C apart ¸ine locului geometric.