-
Fakultet strojarstva i brodogradnje
Sveuilita u Zagrebu
VIJCI I NAVOJNA VRETENA
poglavlje iz kolegija preddiplomskog studija strojarstva :
ELEMENTI KONSTRUKCIJA I
ELEMENTI KONSTRUKCIJA IA
ELEMENTI KONSTRUKCIJA IB
Izv. prof. dr. sc. Nenad Kranjevi
Zagreb, studeni, 2014.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
2
Ovo je radna verzija poglavlja. Po opsegu gradiva koje se
predaje u okviru kolegija nije
zavrena, meutim sadri onaj dio predavanja koji veinom nije
zastupljen u obaveznoj literaturi.
Zahvaljujem prof. dr. sc. Milenku Stegiu na pomoi i
savjetima
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
3
Sadraj:
Literatura 4
Popis oznaka i kratica 5
1. VIJCI I NAVOJNA VRETENA 7
1.1 Uvod 7
1.1.1 Sila trenja 7
1.1.2 Kosina 9
1.1.3 Glatka kosina 11
1.1.4 Kosina podizanje i sputanje 12
1.1.5 Trenje klina u klinastom utoru 14
1.1.6 Stupanj djelovanja mehanikog sustava 15
1.1.7 Stupanj djelovanja za gibanje (pokretanje, pomicanje)
bloka na kosini 17
1.2 Navoji 20
1.2.1 Zavojnica 20
1.2.1 Profil navoja 20
1.2.2 Vievojnost 23
1.3 Optereenje elemenata s navojem 24
1.3.1 Sila zabijanja klina 24
1.3.2 Moment pritezanja 25
1.3.3 Srednja vrijednost bonog tlaka navoja 28
1.4 Vijci za pritezanje 29
1.4.1 Normalno naprezanje u poprenom presjeku (uzduno
optereenog) vijka 29
1.4.2 Optereenje navojnog dijela u spoju 31
1.4.3 Razaranje spoja vijka i matice 31
1.4.4 Potrebna dubina uvijanja 32
1.4.5 Moment pritezanja vijka pribline jednadbe 33
1.4.6 Oznaavanje mehanikih svojstava elinih vijaka i matica
34
1.4.7 Elastini elementi, paralelni i serijski spoj 36
1.4.8 Krutosti vijka i podloge 38
1.4.9 Dijagram vijak podloga 40
1.5 Navojna vretena 46
1.5.1 Proraun vrstoe navojnih vretena 46
1.5.2 Kontrola visine matice 48
1.5.3 Izvijanje prizmatinih tapova 49
1.5.4 Proraun navojnih vretena na izvijanje 52
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
4
Literatura
obavezna:
[1] K. H. Decker: Elementi strojeva, Tehnika knjiga Zagreb,
2006. [2] . Cvirn: Rastavljivi spojevi, FSB, Zagreb 2000. [3] Z.
Herold: Stezni i zavareni spoj proraun, predloak za vjebe, FSB
Zagreb, 1996. [4] Z. Herold, D. eelj: Vijana prea, predloak za
vjebe, FSB Zagreb, 2000. [5] M. Opali, M. Kljajin, S.
Sebastijanovi: Tehniko crtanje, FSB Zagreb, 2003. [6] B. Kraut:
Strojarski prirunik, Tehnika knjiga Zagreb, 1963,...,1982,...
dodatna:
[7] K. H. Decker: Elementi strojeva, Tehnika knjiga Zagreb,
1987. [8] Tehnika enciklopedija, Elementi strojeva, sv. 5, str.
197-308. JLZ, Zagreb, 1976. [9] B. Krian: Osnove prorauna i
oblikovanja konstrukcijskih elemenata, Tehniki fakultet
Sveuilita u Rijeci, 1998. [10] D. Jelaska: Elementi strojeva,
Sveuilite u Splitu, .pdf [11] I. Alfirevi: Nauka o vrstoi I,
Tehnika knjiga Zagreb, 1989. [12] Roloff/Matek Maschinenelemente,
Viewegs Fachbucher der Technik, Wiesbaden, 2007. [13] Decker,
Maschinenelemente, Funktion, Gestaltung und Berechnung, Carl
Hanser
Verlag Mnchen, 2009. [14] I. Alfirevi: Nauka o vrstoi II, Golden
marketing Zagreb, 1999. [15] DIN 15018, Krane, Grundstze fr
Stahltragwerke, Berechnung, Teil 1,1984
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
5
Popis oznaka i kratica
Poglavlje 1 VIJCI I NAVOJNA VRETENA
Latinine oznake:
A mm2 povrina
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
6
Grke oznake:
rad, kut uspona
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
7
1. VIJCI I NAVOJNA VRETENA
1.1 Uvod
U analizi sila i momenata pritezanja vijanih spojeva, jednako
kao i u analizi optereenja i stupnja djelovanja vijanih vretena,
gibanje matice, po boku navoja vijka, se u potpunosti moe
zamijeniti gibanjem bloka po kosini. Zbog toga su, u uvodnom dijelu
ovog poglavlja, objanjeni osnovni pojmovi i jednadbe suhog trenja,
a potom i uvjeti statike ravnotee bloka na kosini za sluaj
mirovanja i jednolikog podizanja i sputanja. Definirani su
predznaci i tok snage mehanikih sustava i stupnjevi njihova
djelovanja.
1.1.1 Sila trenja
G
V
H
FN
F
G
FTR
F
a) b)
Slika 1.1 a) Blok teine G na horizontalnoj podlozi s faktorom
trenja optereen horizontalnom silom F i b) blok osloboen veza
Na blok teine G na horizontalnoj hrapavoj podlozi djeluje
horizontalna sila F (sl. 1.1). Uvjeti ravnotee bloka su:
TR0: 0HF F F (1.1)
i
N0: 0VF F G (1.2)
gdje su
G vlastita teina bloka, F vanjska horizontalna sila koja djeluje
na blok, FN normalna sila - komponenta reakcije podloge u smjeru
normale i FTR sila trenja - komponenta rekcije podloge u
tangencijalnom smjeru na dodirnu
povrinu,
Sila trenja je ovisna o normalnoj komponenti reakcije
TR NF F (1.3)
pri emu je faktor trenja izmeu bloka i podloge. Openito faktor
trenja ovisi o materijalima i stanju hrapavosti dodirnih povrina,
ali ne i o njihovoj veliini. Faktor trenja takoer je ovisan o tome
da li tijela u kontaktu miruju ili se relativno gibaju.
U mirovanju faktor trenja je
st , (1.4)
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
8
dok je kod relativnog pomicanja dodirnih povrina
k st . (1.5)
Sila trenja klizanja je jednaka graninoj vrijednosti
TR.k k NF F . (1.6)
Dijagram ovisnosnosti sile trenja o brzini klizanja predoen je
na slici 1.2a.
Mirovanje: st
Klizanje: k
a) b) c)
FTR
vklizanja
FTR
vklizanja
FTR
vklizanja
Slika 1.2 Modeli trenja: a) model u kojem se razlikuju statiki
st i kinetiki k faktor trenja, b) Stribeckova krivulja sila trenja
je ovisna o brzini klizanja i
c) Coulombov model pojednostavljeni model kod kojeg je st = k
=
Blok koji u poetnom trenutku miruje na podlozi, sve dok je
horizontalna sila manja ili jednaka graninoj sili trenja
mirovanja
st NF F (1.7)
nee se gibati (vidi sl. 1.3a-c). Ako je sila vea od st FN blok e
se poeti gibati, a za odravanje stanja jednolikog gibanja,
relativno malim brzinama, dovoljan je i manji iznos sile prema
jednadbi (1.6).
FTR=F
stF
N
FN
F
GG
FN
FN
G
FN
F kF
N
G
F = 0
FTR
= 0 FTR
= kF
N
a) b) c) d)
v = 0 v = 0 v = 0 v0
F
FTR=F =
stF
N
Slika 1.3 Sila trenja izmeu bloka i podloge ovisna o
horizontalnom optereenju
Na slici 1.3d predoen je sluaj u kojem jednadba ravnotee bloka u
horizontalnom smjeru 1.1 nije zadovoljena. Blok se jednoliko
ubrzano giba u smjeru djelovanja horizontalne
sile F, a jednadba gibanja je
H H H TR: 0 ma F ma F F (1.8)
gdje je
aH horizontalno ubrzanje bloka,
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
9
G
mg
(1.9)
masa bloka, a g gravitacijsko ubrzanje. Sila trenja je, kao i
uvijek, usmjerena tako da nastoji
sprijeiti relativno gibanje tijela u dodiru. Znaajnijim
poveanjem brzine klizanja dolazi i do poveanja sile trenja. To se
moe
prikazati Stribeckovom krivuljom na slici 1.2b. Meutim, zbog
jednostavnosti, ovdje e se, ako se drugaije ne istakne,
primjenjivati Coulombov model trenja st = k = (vidi sl. 8.2c).
Kut trenja je
TR.gr N
N N
atan atan atan
F F
F F (1.10)
i predstavlja kut izmeu granine reakcije podloge Rgr i normalne
sile FN na slici 1.4a.
FTR.gr
= FN
FN
R
Rgr
a) b)
granina
vrijednost
sile trenja
Slika 1.4 a) Kut trenja i b) opi poloaj reakcije podloge.
Vektor reakcije podloge R se mora nalaziti unutar konusa trenja
s vrnim kutom 2 (vidi sl. 1.4.b). To je grafiki uvjet ekvivalentan
nejednakosti (1.3).
1.1.2 Kosina
Na slici 1.5a je predoen blok teine G na kosini s poznatim
faktorom trenja .
G G
RF
NFTR
a) b)
G
V
R
c)
Slika 1.5 a) Blok koji miruje ili se jednoliko giba po pravcu
niz kosinu,
b) blok osloboen veza i reakcija podloge rastavljena na
komponente, c) blok osloboen veza s reakcijom veze.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
10
Uvjeti ravnotee bloka zapisani u koordinatnom sustavu xy (sl.
1.5.b) su:
TR0: sin 0xF G F (1.11)
N0: cos 0yF G F (1.12)
gdje su
G vlastita teina bloka, FN normalna sila i FTR sila trenja.
Iz jednadbi (1.11) i (1.12) proizlazi
TR
N
tanF
F (1.13)
to uz uvjet trenja, dan nejednabom (1.3), daje
NTR
N N
tan tanFF
F F
(1.14)
odnosno
. (1.15)
Svojstvo odravanja sustava u ravnotei (u stanju mirovanja)
iskljuivo silama trenja naziva se samokonost.
Na slici 1.5c predoen je blok osloboen veza sa silama koje na
njega djeluju: vlastitom teinom G i reakcijom podloge R. Blok je u
ravnotei ako te dvije sile djeluju na istom pravcu, istog su iznosa
i suprotno usmjerene. Dakle, nuno je da je reakcija podloge
okomita.
G
R
R
G
gr=
gr
normala na kosinu
Uvjet samokonosti:
a) b)
Slika 1.6 Kosina: a) uvjet samokonosti i b) granini kut
samokonosti.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
11
Na slici 1.6 je grafiki predoen uvjet ravnotee bloka na kosini.
Kut nagiba kosine ne smije biti vei od kuta trenja da bi se
reakcija R nalazila unutar konusa trenja s vrnim kutom 2.
1.1.3 Glatka kosina
Za ostvarivanje uvjeta ravnotee na glatkoj kosini, blok se mora
pridravati silom. Neka je pri tom sila F koja pridrava blok
horizontalna (sl. 1.7a).
a) b) c)
=0
G
F
G
F
R
FN=R
G
F
V
H
Slika 1.7 Glaka kosina: a) blok pridravan horizontalnom silom,
b) blok osloboen veza i c) plan sila
Uvjeti ravnotee bloka (sl. 1.7b) su:
0: sin 0H NF F F (1.16)
i
N0: cos 0VF G F (1.17)
gdje je
G vlastita teina bloka, F vanjska horizontalna sila koja djeluje
na blok, FN normalna sila.
Iz jednadbi (1.16) i (1.17) slijedi
tanF G (1.18)
to je oito iz pravokutnog trokuta sila na slici 1.5c, u kojem je
ukupna reakcija jednaka normalnoj sili.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
12
1.1.4 Kosina podizanje i sputanje
G
F
v=kons
t. G
F
a) b)
FT
FN
R
F
G
FT
FN
R
c)
V
H
Slika 1.8 Kosina: a) gibanje bloka uz kosinu, b) blok osloboen
veza i c) plan sila
Na slici 1.8a je predoen je blok koji se giba jednolikom brzinom
uz kosinu.
Uvjeti ravnotee bloka (sl. 1.8b) su:
0: sin cos 0H N NF F F F (1.19)
i
N N0: cos sin 0VF G F F (1.20)
gdje su
G vlastita teina bloka, F vanjska horizontalna sila koja djeluje
na blok, FN normalna sila i FTR sila trenja.
Iz jednadbi (1.19) i (1.20) proizlazi
N sin cosF F (1.21)
i
N cos sinG F (1.22)
odnosno
cos sin tanuz 1.10
cos sin 1 tan
tan tantan
1 tan tan
F
G
. (1.23)
Na taj je nain sila potrebna da bi se blok gibao konstantnom
brzinom uz kosinu
tan F G (1.24)
to je oito iz plana sila (sl. 1.8c). To je ujedno i gornja
granina sila pri kojoj blok miruje na kosini, uz pretpostavku
Coulombovog trenja st = k = .
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
13
G
F
N
F
G
FTR
F
R
FN
R
G
F
FTR
= 0
F > 0
a)
G
F
v=kon
st.G
F
FTR
FN
R
F
G
FTR
FN
R
> 0
F > 0
b)
G
F FTR
FN
R
v=konst.
-||
FTR
FN
R
-||
G
F
G
F
Samokono: ||
< 0
F > 0
c)
G
F
v=konst.
G
F
FTRFN
R
||-
G
F FTR
FN
R
||-
< 0
F < 0
< ||
d)
Slika 1.9 Gibanje bloka konstantnom brzinom: a) horizontalna
podloga,
b) podizanje, c) sputanje uz samokonost i d) sputanje bez
samokonosti
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
14
Za negativne vrijednosti kuta kosine blok se sputa niz kosinu.
Ovisno o odnosu kuta trenja i kuta nagiba mogu se razlikovati dva
sluaja:
i) 0 F (1.25)
kod kojeg je zadovoljen uvjet samokonosti. Da bi se blok gibao
konstanom brzinom niz kosinu potrebno je na njega djelovati silom u
smjeru gibanja (sl.8.9c) i
ii) 0 F (1.26)
sluaj kod kojeg je blok potrebno pridravati silom suprotnom od
smjera gibanja (sl.8.9d). Ta sila je donja granina sila mirovanja
bloka na kosini.
1.1.5 Trenje klina u klinastom utoru
G
FN
FN
Slika 1.11 Klin teine G u klinastom utoru
Neka se klin teine G u utoru (sl. 1.11) giba konstantnom brzinom
u uzdunom smjeru utora. Jednadba ravnotee klina u smjeru okomice
je
N0: 2 cos 0 VF G F (1.27)
gdje su
G vlastita teina klina, FN normalne reakcije na dodirnim
povrinama,
polovina vrnog kuta klina i
90 , (1.28)
odakle je normalna reakcija podloge
N2cos
G
F . (1.29)
Sila trenja kod uzdunog gibanja klina u utoru je
TR N2 22cos cos
GF F G (1.30)
Uz krai zapis
cos
(1.31)
jednadba (1.28) postaje
TRF G . (1.32)
Faktor se naziva korigiranim faktorom trenja.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
15
1.1.6 Stupanj djelovanja mehanikog sustava
Stupanj djelovanja mehanikog sustava, u nekom vremenu, je odreen
omjerom korisne (dobivene) energije na izlazu iz sustava Ek i
energije Eu uloene u taj sustav
k
u
E
E (1.33)
pri emu je
u kE E . (1.34)
Razlika uloene i korisne energije predstavlja energiju
gubitaka
g u k E E E . (1.35)
Na primjer, pri pokretanju iz stanja mirovanja do dosezanja
odreene brzine elemenata mehanikog sustava, u korisnoj energiji je
i kinetika energija ubrzanih masa. Ta energija je na kraju
promatranog intervala zadrana u sustavu.
MEHANIKI SUSTAV
Pu
Pi
Pg
Slika 1.12 Ulazna, izlazna i snaga gubitaka u stacionarnom
mehanikom sustavu
Za stacionarne sustave, ukupan tok energije kroz granicu sustava
u jedinici vremena jednak je
nuli. Energija koja ulazi u sustav izlazi iz njega u obliku
korisnog rada ili gubitaka. Drugim
rijeima, nema promjene energije zadrane u sustavu u obliku
kinetike i potencijalne energije elemenata sustava. Brzine
utjecanja i istjecanja energije predstavljaju snagu na ulazu
i izlazu iz sustava, te je
u i g 0 P P P (1.36)
gdje je
Pu > 0 snaga uloena u sustav, Pi < 0 snaga na izlazu
(korisna snaga), Pg < 0 snaga gubitaka.
Za takve sustave je uobiajeno stupanj djelovanja definirati
omjerom snaga
i
u
P
P (1.37)
a jednadba (1.35) postaje
g u i 0 P P P . (1.38)
Na slici 1.13 je predoen sustav ueta i nepomine koloture kojim
se podie teret konstantnom brzinom vu = konst. Podizanje se izvodi
runom silom Fr koja djeluje u smjeru brzine ueta.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
16
Podizanje tereta
Pu=Fv>0
Pg
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
17
Oito da je za sputanje potrebna manja runa sila nego za
podizanje. Pri sputanju tereta runoj sili trenje pomae, dok kod
podizanja runa sila mora savladavati i teinu tereta i sile
trenja.
1.1.7 Stupanj djelovanja za gibanje (pokretanje, pomicanje)
bloka na kosini
i) podizanje bloka
1. nain
Za podizanje bloka stalnom brzinom v=konst. uz kosinu (sl.
1.15a), izlazna snaga je po
apsolutnoj vrijednosti
i.p sinP G v Gv , (1.44)
dok je snaga koja ulazi u sustav
u.p p p cos tan cosP F v F v G v (1.43)
gdje je > 0 kut nagiba kosine. Stupanj djelovanja za
podizanje je, prema definiciji (1.37),
i.p
p
u.p
sin tg
tg cos tg
P Gv
P G v (1.45)
2. nain
Na slici 1.15b je predoen idealni sustav podizanja bloka uz
glatku kosinu. Uz jednaku
teinu bloka G, nagib kosine i brzinu bloka v, kao u sustavu s
trenjem na slici 1.15a, ulazna snaga idealnog sustava Pu.p.id
jednaka je apsolutnoj vrijednosti izlazne snage stvarnog
sustava
s trenjem Pi.p
u.p.id i.p.id i.pP P P , (1.46)
iz ega proizlazi da je stupanj djelovanja za podizanje bloka uz
kosinu jednak omjeru ulazne snage idealnog i ulazne snage stvarnog
sustava
i.p u.p.id p.id
p
u.p u.p p
tg cos tg
tg cos tg
P P F v G v
P P G vF v
. (1.47)
Pu.id
Pi.p.id
Fp.id
G
Zanemareno
trenje: = 1
v=kon
st.
Pu.p
Pi.p
Pg
FTR
Fp
G v=kon
st.
a) b)
Slika 1.15 Tok snage za podizanje bloka a) uz kosinu i b) glatku
kosinu
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
18
ii) sputanje bloka bez samokonosti
Na slici 1.16a je predoen blok koji se sputa niz kosinu stalnom
brzinom v=konst. U danom sluaju nije zadovoljen uvjet samokonosti
(1.26) i blok je potrebno pridravati
horizontalnom silom F. Kut kosine je < 0, a kut trenja .
1. nain
Izlazna snaga iz sustava je na strani sile F, koja djeluje
suprotno od smjera gibanja, a po
apsolutnoj vrijednosti je
i.s cos tan cosP F v F v G v , (1.48)
dok je snaga koja ulazi u sustav na strani vlastite teine
bloka
u.s sinP G v Gv . (1.49)
Stupanj djelovanja za sputanje bloka bez samokonosti je, prema
definiciji (1.37),
i.su.s
tg cos tg
sin tg
s
G vP
P Gv (1.50)
2. nain
Na slici 1.16b je predoen idealni sustav sputanja bloka niz
glatku kosinu. Teina bloka, kut nagiba kosine i brzina bloka su
jednaki kao u sustavu s trenjem na slici 1.16a.
Budui da ulazna snaga sputanja u oba sustava, realnom Pu.s i
idealnom Pu.s.id, potjee od vlastite teine bloka G i jednaka je
apsolutnoj vrijednosti izlazne snage idealnog sustava Pi.s.id
u.s u.s.id i.s.idP P P , (1. 51)
stupanj djelovanja proizlazi iz omjera izlaznih snaga stvarnog i
idealnog sustava
i.s i.s i.s idp
u.s i.s.id i.s.id
tg cos tg
tg cos tg
G vP P P F v
P P P G vF v
(1.52)
Pu.id
Pi.s.id
Fs.id
G
v=konst.
Zanemareno
trenje: = 1
Pu
Pi
Pg
FTR
F
G
v=konst.
a) b)
Slika 1.16 Tok snage za sputanje bloka niz kosinu a) bez
samokonosti i b) glatku kosinu
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
19
iii) sputanje bloka uz samokonost
Za gibanje bloka konstanom brzinom niz kosinu, kada je
zadovoljen uvjet samokonosti
, na blok treba djelovati silom F u smjeru gibanja (sl.8.17).
Obje sile, teina G i
horizontalna sila F, daju pozitivnu snagu, snagu koja ulazi u
sustav i troi se na gubitke trenja. Stupanj djelovanja samokonog
sustava je
i.samoko.samoko.
uF uG uF uG
00
P
P P P P. (1.53)
Samokono: = 0
PuF
Pg
F
G
PuG
FTR
v=konst.
Slika 1.17 Tok snage pri sputanju bloka niz kosinu uz
samokonost
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
20
1.2 Navoji
1.2.1 Zavojnica
Na slici 1.18 je predoena jednostruka zavojnica na valjku, u
kosoj projekciji i nacrtu, te razvijeni plat valjka.
d2 d2
P h - u
spon
kut uspona
ZAVOJNICA
Slika 1.18 Jednostruka zavojnica, kut uspona i uspon Ph na
razvijenom platu valjka
1.2.1 Profil navoja
VALJAK
TOKARSKI NOP h1 okr
A
Slika 1.19 Izrada navoja tokarenjem
Klasian nain izrade vanjskog navoja tokarenjem predoen je na
slici 1.19. Na cilindrinom obratku vrh tokarskog noa urezuje
spiralu konstantnog uspona. Posmak noa je
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
21
sinkroniziran s okretom vretena obradnog stroja na nain da jedan
okret odgovara usponu navoja Ph.
Oblik vrha tokarskog noa odreuje profil navoja koji se narezuje.
Na slici 1.20 su predoeni teorijski i stvarni profil vanjskog
metrikog navoja, s kotiranim osnovnim dimenzijama.
TEORIJSKI
PROFIL
STVARNI
PROFIL
VIJAK VIJAK
H
H/8
H/4
P
60
d
3
d
2
d r
Slika 1.20 Profil metrikog navoja
Osnova profila je jednakostranian trokut visine H. Vrh profila
snien je za 1/8 visine, a zbog smanjivanja zareznog djelovanja,
podnoje profila, na stvarnom navoju, izvodi se s polumjerom
zakrivljenosti r=H/8. Takav navoj se, prema obliku profila, ubraja
u iljaste ili otre navoje.
Oznake i veliine karakteristinih mjera sklopa matice i vijka, s
metrikim navojem, dane su prema normi u [6].
d 3
d 2
d
Slika 1.21 Vanjski, srednji i unutarnji promjer navoja
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
22
Karakteristini promjeri navoja predoeni su na slici 1.21. Pri
tom su
d nazivni promjer koji odgovara vanjskom promjeru vijka, d2
srednji promjer i d3 unutarnji promjer ili promjer jezgre
vijka.
Vanjski promjer i promjer jezgre vijka su veliine koje se mogu
mjeriti, dok se srednji promjer odreuje raunski.
d 3
d 2
d
P h
v
n
Slika 1.22 Kutevi uspona na karakteristinim promjerima
navoja
Na razliitim promjerima navoja i kutevi uspona su razliiti
(sl.1.22). Stoga se pod kutem uspona navoja podrazumijeva kut
uspona na srednjem promjeru
1 h
2
tan
P
d . (1.54)
Prema smjeru namatanja zavojnice navoji se dijele da desnovojne
i lijevovojne (sl. 1.23).
ZAKRET
POMAK
Slika 1.23 Smjer navoja
DESNOVOJNI LIJEVOVOJNI
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
23
1.2.2 Vievojnost
P h - u
spon
P -korak
P
P
d 2
d 2
Slika 1.24 Dvovojna (dvostruka) spirala
Na slici 1.24 je predoen valjak s dvije simetrino postavljene
zavojnice. Udaljenost izmeu zavojnica, u aksijalnom smjeru, naziva
se korak i oznaava s P. Uspon Ph je kod dvostruke zavojnice dva
puta vei od koraka.
Openito, odnos izmeu uspona i koraka navoja je
hP nP , (1.55)
gdje n oznaava vojnost. Na slici 1.25 predoen je trovojni,
desnovojni trapezni navoj.
d
2
d
3
Trd
P
h(PP
)
P h
P
Slika 1.25 Trovojni trapezni navoj - desnovojni
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
24
1.3 Optereenje elemenata s navojem
1.3.1 Sila zabijanja klina
Slika 1.26 Spoj poprenim klinom analogija vijanom spoju
Na slici 1.26 predoen je rastavljivi spoj ostvaren s poprenim
klinom i predstavlja analogiju s vijanim spojem. Zabijanjem klina u
utor svornjaka ostvaruje se sila pritezanja elemenata koji se
spajaju. Samokonost klinaje uvjet da spoj i nakon prestanka
djelovanja sile zabijanja ostane pritegnut.
Za ostvarivanje osne sile u svornjaku Fs, koja je ujedno i sila
pritezanja spoja, potrebno
je na klin djelovati u vodoravnom smjeru silom zabijanja
TPK
z s k s ptan
FF
F F F , (1.56)
gdje je
k kut trenja na kosini, kut nagiba klina i p faktor trenja izmeu
podloge i klina.
Prvi lan na desnoj strani jednadbe (1.56) je sila FK kojom je
potrebno djelovati na klin da bi se gibao stalnom brzinom uz kosinu
kuta nagiba i kuta trenja k, dok je drugi lan sila trenja na dodiru
klina i podloge FTP.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
25
1.3.2 Moment pritezanja
Pritezanje matice za ostvarivanje vijanog spoja na slici 1.27 se
moe zamijeniti sa zabijanjem klina na slici 1.26, s razlikom to se
matica i vijak dodiruju po zavojnici sa srednjim kutom uspona i
srednjim promjerom navoja d2, a dodir matice i podloge se ostvaruje
na krunom vijencu.
FR
FR
L
VIJAK
MATICA
KLJU ZA
PRITEZANJE
Slika 1.27 Vijani spoj
Pomou kljua za pritezanje na slici 1.27, runom silom FR, na
kraku L, ostvaruje se moment pritezanja matice
R PF L T , (1.57)
a iz uvjeta ravnotee momenata koji djeluju na maticu oko uzdune
osi vijka slijedi
P N TPT T T (1.58)
gdje je
TN moment u navoju i TTP moment trenja na podlozi.
Zamiljena koncentrirana tangencijalna sila FT matice, predoena
na slici 1.28, djeluje na polumjeru d2/2 i daje moment navoja oko
uzdune osi vijka
2N T
2
dT F , (1.59)
odnosno
2N V Ntan2
dT F , (1.60)
gdje je
N kut trenja pravokutnog (plosnatog) navoja, kut uspona i FV
osna sila u vijku.
Moment navoja je moment potreban za ostvarivanje sile u vijku i
ne ukljuuje moment trenja na podlozi.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
26
FV
VIJAK
MATICA
FT
d 2/2
FT F
V
Slika 1.28 Ravnotea matice na boku pravokutnog navoja uz izvod
momenta navoja TN
Pravokutni (plosnati) navoj predoen je na slici 1.29a. Ako
profil navoja nije pravokutni (sl. 1.29b), uobiajeno je korigirati
faktor trenja N prema jednadbi (1.31)
1 Ntancos
.
FV FV
FN
b)a)
Slika 1.29 Profil navoja a) pravokutni i b) s kutom nagiba
boka
Moment trenja na podlozi (sl. 1.30) je
TP V P PT F r , (1.61)
gdje je
FV sila u vijku, P faktor trenja izmeu matice i podloge i rP
srednji polumjer sile trenja na podlozi.
Vrijednosti faktora trenja u navojima i na podlozi teko je
procijeniti zbog nedovoljnog poznavanja stanja dodirnih povrina
(hrapavost, tvrdoa, podmazivanje, ...) te zbog toga predstavljaju
parametre koji najvie utjeu na pogreku u odreivanju momenta
pritezanja.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
27
POVRINA DODIRA Ad
FV
p
S
d u
d v
dr
d
dA=r dr
dr
pd
d p
dFTR.p
=p dA
Slika 1.30 Moment trenja na podlozi (dodiru matice i
podloge)
Za polumjere hvatita koncentriranih tangencijalnih sila
uobiajeno se uzimaju srednje vrijednosti jer pogreka, koja pri tom
nastaje, znaajno je manja od pogreke uslijed nepoznavanja stvarne
vrijednosti faktora trenja. Na taj nain je na navoju uzet srednji
polumjer d2/2 (1.59), dok je na podlozi uzeta srednja vrijednost
unutarnjeg i vanjskog
polumjera vijenca na kojem se ostvaruje dodir
u vP
4
d dr
. (1.62)
Toniji polumjer hvatita sile trenja na podlozi proizlazi iz
pretpostavke o jednolikoj raspodjeli dodirne sile. Uz prosjeni
dodirni tlak (sl. 1.30)
d 2 2v u4
Fp
d d
, (1.63)
moment trenja iznosi
v
u
N
223 3
TP d d v u
0 d2
d
2 1d d
3 8
d
dA
F
T p r r r p d d , (1.64)
a polumjer hvatita sile trenja na podlozi je
2
u u
3 3 2 2v vv u v v u u v
P 2 2uv uv u
v
1
3 33 1
d d
d dd d d d d d dr
dd dd d
d
. (1.65)
Moment pritezanja vijanog spoja je prema (1.60), (1.31) i (1.
61)
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
28
2P V V P Ptan2
dT F F r , (1.66)
Jednadba (1.66) vrijedi i u opem sluaju pokretanja vretena u
stacionarnom pogonu.
1.3.3 Srednja vrijednost bonog tlaka navoja
VIJAK
MATICA
H 1 D
1 d 2
d d
D 1
FV
FN
AUK
AN
A1
a) b) c)
Slika 1.31 Boni tlak u navoju a) uzduni presjek dodira matice i
vijka (vretena), b) boni tlak i c) projekcija dodirne povrine
Na slici 1.31a predoen je uzduni presjek spoja vijka i matice s
istaknutom zranou i i dodirom na bokovima navoja.
Srednja vrijednost bonog tlaka je, prema slici 1.31b,
N V V
sr
N UK UK
/ cos
/ cos
F F Fp p
A A A
(1.67)
gdje je
FN normalna sila na bok navoja, AN porina dodira navoja vijka i
matice, FV sila u vijku,
a ukupna projicirana povrina dodira navoja vijka i matice
UK 1A k A (1.68)
gdje je
k broj navoja u dodiru (sl. 1.31c),
2 2
11 2 1
4
d dA d H (1.69)
projicirana povrina dodira na jednom navoju, a
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
29
11
2
d d
H (1.70)
nosiva dubina navoja. Broj navoja k se moe izraziti kao omjer
visine matice m i koraka P
m
kP
(1.71)
Na taj nain jednadba 1.67 postaje
Vsr
2 1
F Pp
md H (1.72)
Za metrike navoje nosiva dubina iznosi 15
8H P , a za trapezne 1 0,5H P .
Kod navojnih vretena iznosi bonih tlakova se, prvenstveno zbog
uvjeta troenja materijala, kreu u vrlo niskim granicama. Kontrola
na boni tlak se provodi uz pretpostavku o jednolikoj raspodjeli
optereenja po boku, zbog ega visina matice ne bi trebala biti vea
od 2,5 nazivna promjera navoja.
1.4 Vijci za pritezanje
1.4.1 Normalno naprezanje u poprenom presjeku (uzduno
optereenog) vijka
Vijci za pritezanje se, u pravilu, smiju optereivati samo
uzdunim silama i momentima uvijanja kod pritezanja spoja.
Optereivanje poprenim silama i momentima savijanja nije doputeno.
Kod vijaka, kojih je stablo vijka (dio vijka bez navoja) veeg
promjera od navoja i dosjeda u provrt spajanih elemenata, doputa se
popreno (odrezno) opereenje na stablu. Uobiajeno je da se za
prijenos poprenih optereenja oblikom, uz dosjedne vijke,
upotrebljavaju strojni elementi poput ahura, pera, zatika,
nazubljenih elemenata i sl.
d 3
A s A j
d
d
a) b)
Slika 1.32 Povrina poprenog presjeka vijka: a) povrina poprenog
presjeka jezgre i b) stvarna povrina presjeka
Na slici 1.32a predoen je tehniki crte poprenog presjeka vijka
na navojnom dijelu i povrina jezgre vijka je
2
3j
4d
A , (1.73)
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
30
dok je na slici 1.32b shematski predoena stvarna povrina As na
istom presjeku vijka. Stvarna povrina As predstavlja nosivu povrinu
vijka i vea je za 6 do13% od povrine jezgre Aj (tablica 8.2).
Tablica 8.2 Odnos stvarne povrine poprenog presjeka As i povrine
presjeka jezgre Aj
Zbog toga se normalno naprezanje moe raunati na dva naina:
s obzirom na stvarnu povrinu As
s
F
A (1.74)
i s obzirom na povrinu jezgre Aj
j
F
A (1.75)
gdje je F uzduna sila u vijku.
Za statiki, uzduno optereene vijke za pritezanje, uobiajen je
prvi nain raunanja naprezanja pomou stvarne povrine As, dok se
drugi nain, pomou povrine jezgre Aj, redovito primjenjuje kod
proraunavanja navojnih vretena. Pri raunanju amplitude naprezanja
dinamiki optereenih vijaka, neki se autori priklanjaju prvom nainu
[12], dok drugi [13] raunaju s obzirom na povrinu jezgre, navodei
razlog zarezno djelovanje u korijenu navoja.
NE!DIN 6918-C45
HRN M.B2.032
FV
a) b)
UPN
toplo valjani U-profil
Slika 1.33 Vijke za pritezanje je potrebno optereivati osnim
silama
Da bi se sprijeilo savijanje vijka pri spajanju standarnih toplo
valjanih elinih profila predviena je upotreba prizmatinih podlonih
ploica prema slici 1.33b.
Metriki ISO normalni navoj Omjer povrina s
j
A
A
M 4 1,13
M 16 1,09
M 64 1,06
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
31
1.4.2 Optereenje navojnog dijela u spoju
Kod vijanih spojeva, zbog visokih iznosa deformacija, raspodjela
optereenja po visini matice (i openito dijela s unutarnjim navojem)
nije jednolika. Tipian primjer je vijani spoj s tlanom maticom
predoen na slici 1.34a. Povoljniji raspored optereenja se moe
postii primjenom matice s utorom (sl. 1.34b), vlane matice (sl.
1.34c) ili kontinuiranom (stoastom) promjenom visine navoja na
matici (sl. 1.34d). Moe se pretpostaviti da prvih 6 navoja prenosi
optereenje u spoju [1].
a) b) c) d)
Slika 1.34 Raspodjela (promjena) bonog tlaka po visini matice:
a) kruta (tlana) matica, b) matica s utorom, c) vlana matica i d)
rastereeni prvi navoji smanjivanjem nosive dubine
1.4.3 Razaranje spoja vijka i matice
Ako je visina matice premala, tj. premali je broj navoja koji
nose optereenje, za dana mehanika svojstva vijka i matice, tada
navojni dio predstavlja opasno mjesto u spoju. Na slici 1.35
predoena su dva naina razaranja. U prvom nainu (sl. 1.35a) je
vrstoa materijala matice manja od vrstoe materijala vijka, te
dolazi do otkidanja navoja matice, dok je u drugom (sl. 1.35b)
vrstoa vijka manja te se otkidaju navoji vijka. U oba sluaja je
naprezanje u vijku uzrokovano vlanim optereenjem spoja ispod vrstoe
vijka.
a) b)
Slika 1.35 Razaranje navoja a) matice i b) vijka
Poveanjem visine matice vijak postaje kritian element spoja. Na
slici 1.36 predoeni su karakteristini opasni presjeci na vijcima s
uestalou loma na tim mjestima.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
32
15%
20%
65%
a) b) c)
Slika 1.36 Lomovi vijaka prema uestalosti (opasni presjeci na
vijku) [2]: a) na prvom navoju spoja s maticom, b) na poetku
navojnog dijela i c) na prijelazu s glave vijka na tijelo
1.4.4 Potrebna dubina uvijanja
b 1
Slika 1.37 Vijani spoj, vijak u uvrtu s navojem, dubina uvijanja
b1
Na slici 1.37 je predoen vijak uvijen do dubine b1 u uvrt s
urezanim navojem. Da bi se sprijeilo razaranje navoja, preporuena
dubina uvijanja elinih vijaka nazivnog projera d u materijale
razliitih mehanikih svojstava je
1 b d u tvrde materijale poput elika ili bronce,
1 1,25b d u sivi lijev i
1 2b d u meke materijale poput bakra i aluminijskih legura.
Kod spojeva koji se esto rastavljaju, uobiajeno je poveati
dubinu uvijanja za 20%. Priblina jedbadba za visinu matice m
(dubinu uvijanja), kada se radi o istim materijalima vijka i
matice, je [1]
0,175 0,065
dm d
P. (1.76)
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
33
1.4.5 Moment pritezanja vijka pribline jednadbe
Za normom dane vrijednosti geometrijskih veliina metrikih
vijaka, iz jednabe (1.66) prozlazii priblina jednadba momenta
pritezanja [12]
PP P 2 P0,159 0,577
2
dT F P d , (1.77)
gdje je
FP sila pritezanja, faktor trenja na bokovima navoja, P faktor
trenja na podlozi, d2 srednji promjer navoja, dP srednji promjer
povrine nalijeganja glave vijka (matice) i P korak navoja, (vijci
za pritezanje su najee jednovojni te se zbog toga umjesto
uspona Ph rabi korak P (P=Ph)),
Ako se pretpostavi da su faktori trenja na boku navoja i podlozi
jednaki ( P ) jednadba
(1.78) postaje
PP P 20,159 0,577
2
dT F P d , (1.78)
dok je najjednostavniji oblik jednadbe momenta pritezanja, ako
je pretpostavljen srednji
faktor trenja 0,12, za metrike vijke s normalnim navojem,
P P0,17T F d (1.79)
gdje je d nazivni promjer vijka.
U [1] je priblina jednadba, uz srednji faktor trenja bok navoja
i podloge 0,2,
2 PP P 0,16
2
d dT F P . (1.80)
50
150
250
350
450
5 15 25 3510 20 30 40
100
200
300
400
pr, N/mm2
d, mm
Slika 1.38 Naprezanje vijka uslijed pritezanja
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
34
Prema [1], sila pritezanja se moe priblino odrediti iz dijagrama
na slici 1.38. Radi se uglavnom o vijcima koji se priteu po
osjeaju.
Sila pritezanja je tada
p pr jF A (1.81)
gdje je
pr naprezanje vijka uslijed pritezanja, a Aj povrine jezgre.
Za odgovornije konstrukcije, ili osjetljivije materijale,
pritezanje se ostvaruje
momentnim kljuevima, a vrijednosti momenata pritezanja su
uglavnom dane normama u tablinom obliku [12,13].
1.4.6 Oznaavanje mehanikih svojstava elinih vijaka i matica
Razred vrstoe vijaka se oznaava s dva broja odvojena tokom X.Y.
Prvi broj se odnosi na raunsku vrijednost vlane vrstou materijala
vijka
2
m 100 , N/mm R X , (1.82)
dok se drugi odnosi na granicu teenja
2
e m , N/mm10
Y
R R , (1.83)
U tablici 8.3 su, uz vlanu vrstou i granicu teenja, dane i
vrijednosti istezljivosti elika za
vijke.
vrstoa elika za matice se oznaava jednim brojem. Taj broj
odgovara najveoj
oznaci vrstoe vijka X koji, u spoju s maticom visine m 0,6 d,
osigurava opteretivost spoja
do vrstoe vijka. Na taj nain je osigurano da pri preoptereivanju
vijanog spoja, na primjer,
matice 6 i vijka 6.8 doe do loma vijka, a ne oteivanja navojnog
dijela na dodiru vijka i
matice.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
35
Tablica 8.3 Oznake mehanikih svojstava materijala elinih vijaka
DIN EN 20898 [12]
Razred
vrtoe Materijal i toplinska obrada
Vlana vrstoa2)
Rm
N/mm2
Granica
teenja2) ReL (Rp0,2)
N/mm2
Istezljivost
A5
% min
3.63)
niskougljini elici 300 (330) 180 (190) 25
4.63)
razliiti elici s niskim i srednjim sadrajem ugljika
400 240 22
4.83)
400 (420) 320 (340) 14
5.6 500 300 20
5.83)
500 (520) 400 (420) 10
6.83)
600 480 8
8.8 M16 niskougljini elici s legirnim dodacima (npr Bor, Mn, Cr)
ili
elici sa srednjim sadrajem ugljika
kaljeni i poputeni
800 640 12
8.8 > M16 800 (830) 640 (660) 12
9.8 M16 900 720 10
10.9
elici s niskim1) i srednjim sadrajem ugljika i legirnim
dodacima,
legirani elici ili elici sa srednjim sadrajem
ugljika kaljeni i poputeni
1000 (1040) 900 (940) 9
12.9 legirani elici kaljeni i poputeni 1200 (1220) 1080
(1100) 8
1) oznake vrstoe vijaka iz niskougljinog elika legiranog borom
moraju biti podcrtane npr. 10.9
2) u ( ) su dane minimalne vrijednosti prema normi, kada
odstupaju od raunske vrijednosti
3) doputena je uporaba elika za automate uz S 0,34 %, P 0,11 % i
Pb 0,35 %
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
36
1.4.7 Elastini elementi, paralelni i serijski spoj
Na slici 1.39 predoen je dijagram sila produljenje za linearno
elastini element.
F
F, NF
=cx
c
1
x
F
x, mm
Slika 1.39 Dijagram sila produljenje linearno elastinog
elementa
Sila u elementu je proporcionalna produljenju x
F c x (1.84)
a koeficijent proporcionalnosti c u N/m se naziva konstantom
krutosti. Graf funkcije F(x) se
naziva elastinom karakteristikom elementa. U sluaju linearno
elastinog elementa, na slici 1.39, to je pravac kroz ishodite. Ako
se drugaije ne napomene, pretpostavit e se da su elementi linearno
elastini.
SERIJSKI SPOJ OPRUGA
x1
x
F F
x=x1+x
2
c1 c2
ce
Opruga ekvivalentne krutosti
a) b)
Slika 1.40 Serijski spoj opruga
Na slici 1.40a predoen je serijski spoj dva elastina elementa
(dvije opruge) krutosti c1 i c2. Ako se spoj elastinih elemenata
zamijeni samo jednim elementom (sl. 1.40b), koji ima jednaku
karakteristiku kao i spoj, tada se on naziva ekvivalentnim, a
njegova krutost
ekvivalentnom krutou ce. Pomak hvatita sile F jednak je zbroju
produljenja opruga u spoju
1 2 x x x (1.85)
to za jedinino optereenje (F=1) i (1.84) daje
e 1 2
1 1 1
c c c. (1.86)
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
37
Na isti nain, poopenjem za r opruga u serijskom spoju,
ekvivalentna krutost je
1e
1 1
r
i ic c, (1.87)
gdje je ci krutost i-te opruge.
PARALELNI SPOJ OPRUGA
c1
c2
x
F
a)
b)
c1
c2
F1
F
F2
x
Opruga ekvivalentne krutosti
ce.p
F
x
Slika 1.41 Paralelni spoj opruga
Na slici 1.41a predoen je paralelni spoj dva elastina elementa
krutosti c1 i c2. Pomaci krajeva opruga su jednaki dok je, zbog
uvjeta ravnotee, sila F jednaka zbroju sila u elementima
1 2 F F F , (1.88)
to za jedinini pomak krajeva opruga (x=1) i (1.84) daje
e 1 2 c c c . (1.89)
Poopenjem za r opruga u paralelnom spoju ekvivalentna krutost
je
e
1
r
i
i
c c . (1.90)
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
38
1.4.8 Krutosti vijka i podloge
Na slici 1.42 predoen je tap okruglog konstantnog presjeka A,
duljine L iz materijala modula elastinosti E.
F
F
AE, l
e
AEc
l
Slika 1.42 Ekvivalentna krutost okruglog tapa konstantnog
presjeka
Normalno naprezanje u svakoj toki tapa optereenog osnom silom F
je
F
A (1.91)
Ako je l produljenje tapa uslijed djelovanja sile, onda je
l
l (1.92)
relativno produljenje ili deformacija. Hookeov zakon za jednosno
stanje naprezanja je
E , (1.93)
iz ega proizlazi
AE
F ll
. (1.94)
Ekvivalentna krutost tapa na slici 1.42 je
e AE
cl
(1.95)
dok se AE naziva aksijalnom krutou tapa.
l 1 l
2
AnE
v AjEv
Slika 1.43 Uz krutost vijka
Na slici 1.43 je predoen vijak za pritezanje s maticom.
Elastinost dijela vijka od glave do matice moe se prikazati kao
serijski spoj elastinog stabla aksijalne krutosti AnEv i duljine l1
i navojnog dijela aksijalne krutosti AjEv i duljine l2.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
39
Povrina poprenog presjeka stabla vijka je
2
n
4d
A (1.96)
gdje je d nazivni promjer, dok je Aj povrina jezgre.
Pretpostavka da navoj ne doprinosi znaajno krutosti navojnog
dijela. Iz (1.87) i (1.95) proizlazii krutost vijka
1 2
v n
1 1
j
l l
c E A A. (1.97)
Uobiajeno je da se krutosti dijela glave vijka, dijela vijka
ispod matice i elastinost matice uraunaju na slijedei nain
1 2
v v n n n
1 1 0,4 0,5 0,4
j j
l ld d d
c E A A A A A. (1.98)
Navedene elastinosti odgovaraju redom 1., 2. i 5. lanu desne
strane jednadbe.
a) b)
de
du
dv
dp
ls
d
Slika 1.44 Krutost podloge a) napregnuti, elastino defirmirani
dio podloge (Rscherov konus) i ucrtane silnice b) zamjenska
zamiljena elastina ahura
Na slici 1.35a je predoen vijani spoj kojim su pritegnute dvije
ploe koje predstavljaju podlogu u spoju. Osjenani volumen je
napregnuti i elastino deformirani dio podloge kojeg se elastino
djelovanje moe zamijeniti s ahurom ekvivalentne krutosti (sl.
1.35b)
z p
p
s
A E
cl
(1.99)
gdje je
Ep modul elastinosti podloge, ls debljina spoja, a povrina
poprenog presjeka zamjenske ahure je
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
40
22 2
v u r v r v r v
z
2 2
r u r v
1 1 ,
4 8
,
4
d d d d d d x d d
A
d d d d
(1.100)
pri emu je
d u promjer prolazne rupe za vijak, d v vanjski promjer povrine
dodira glave vijka (matice) s podlogom,
s v3
2
r
l d
xd
(1.101)
i
p p v s
v s p v s
,
,
r
d d d ld
d l d d l (1.102)
raunski promjer podloge ovisan o stvarnom promjeru podloge d
p.
1.4.9 Dijagram vijak podloga
e v
e p
e
e
FR
FR
a) b) c)
PRIJE PRITEZANJAPRITEGNUTO SILOM
FP
OPTEREENO RADNOM
SILOM FR
ls
Slika 1.45 Vijani spoj a) otputeno stanje, b) pritegnuti spoj
osnom silom FP i c) spoj optereen radnom silom FR
Na slici 1.45 predoen je vijani spoj: a) u otputenom stanju
(prije pritezanja), b) pritegnut silom pritezanja FP i c) dodatno
optereen radnom silom FR. Kada se karakteristike vijka i podloge
(sl. 1.46a i b) ucrtaju u zajedniki dijagram, predoen na slici
1.46c, takav se dijagram naziva dijagram vijak podloga.
Karakteristike vijka i podloge se sijeku u toci koja odgovara
pritegnutom spoju. Vijak se, pod djelovanjem sile pritezanja FP,
produljio za ev, u odnosu na stanje prije pritezanja, a podloga se
skratila (sabila) za ep.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
41
e v e
p
F, N
e, mm
1FP
cv cp
1FP
e, mm
F, N F, N
e v e
p e, mm
FP
Pritegnuto stanje
Radna sila: FR=0
Karakteristika vijka
a) b) c)
+ = Karakteristika podloge
VIJAK PODLOGA VIJAK - PODLOGA
Slika 1.46 Dijagram vijak-podloga pritegnutog vijanog spoja
U pritegnutom stanju (sl. 1.45b) je
v pod P F F F , (1.103)
gdje je
Fv sila u vijku, a Fpod sila u podlozi.
Za spoj optereen radnom silom na slici 1.45c, jednadba ravnotee
spoja je
v pod R F F F (1.104)
F, N
FP
e, mm
F pod
F
F R
F v
F R
FP
e v e p e, mm
F, Ne
F
F d
F d
a) b)
Fe(F
0,2)
e v
e
e v e p
Slika 1.47 a) Dijagram vijak-podloga pritegnutog vijanog spoja
optereenog radnom silom FR i b) slini trokuti uz izvod faktora
dodatne sile u vijku
Na slici 1.47a je predoen dijagram vijak podloga optereenog
spoja. Vijak je pod djelovanjem radne sile dodatno produljen za e,
dok se sabijanje podloge smanjilo za isti iznos.
Na taj nain je ukupno produljenje vijka
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
42
v v e e e , (1.105)
dok je ukupno skraenje podloge
p p e e e (1.106)
Sila u vijku je poveana u odnosu na pritegnuto stanje i
iznosi
v P d F F F (1.107)
gdje je Fd dodatna sila u vijku, dok je sila u podlozi smanjena
za F
pod P F F F (1.108)
pri emu je
R d F F F . (1.109)
S Fe (Fp0,2) je oznaena sila u vijku koja uzrokuje naprezanje na
granici teenja i ne smije se prekoraiti.
Iz slinosti trokuta na slici 1.47b proizlazi
d
P v P p
i
F e F e
F e F e, (1.110)
te je
P d v p F e F e F e , (1.11)
odnosno
vd
p
e
F Fe
, (1.112)
to uvrteno u (1.108) daje
v pvd d d
p p
R
e eeF F F F
e e. (1.113)
Iz (1.113) slijedi
p
d R o R
v p
eF F F
e e (1.114)
gdje je
p
o
v p
e
e e (1.115)
osnovni faktor poveanja sile u vijku.
Na slici 1.48 predoena su dva vijana spoja s razliitim nainom
uvoenja radne sile u spoj. U osnovnom nainu optereivanja spoja (sl.
1.48a) sile djeluju u ravninama nalijeganja glave vijka i matice. U
tom nainu optereivanja radna sila dodatno, vlano, optereuje vijak i
rastereuje, tlano, optereenu podlogu.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
43
FR
FR
ls
FR
FR
lsnl
s
p
n 0,8
a) b)
n =1
Slika 1.48 Faktor uvoenja radne sile u vijanom spoju: a) osnovni
n =1 i b) konstrukcijski primjer n 0,8
U konstrukcijskom primjeru na slici 1.48b zbog geometrije, naina
optereivanja i elastinosti elemenata u spoju, dolazi do pomaka
zamiljenih hvatita radne sile prema unutranjosti spoja. Samo dio
podloge unutar hvatita sila se rastereuje, dok se preostali dio
podloge dodatno sabija i doprinosi poveanju elastinosti vijka u
spoju (sl. 1.49). Omjer udaljenosti zamiljenih hvatita i debljine
spoja ls naziva se faktorom uvoenja sile n.
(1-n)l s
FR
nls
ls
FR
Efektivna
elastinost
podloge
Doprinos
elastinosti
vijka
FR
nls
ls
FR
a) b)
Slika 1.49 Efektivna elastinost podloge i vijka uslijed faktora
uvoenja radne sile
Korigirani dijagram vijak podloga uslijed utjecaja faktora
uvoenja sile predoen je na slici 1.50. Krutost dijela podloge izvan
hvatita sile u serijskom je spoju s krutou vijka, to rezultira
omekavanjem vijka, dok je efektivni elastini dio podloge skraen i
utjee na otvrdnjavanje podloge. Pri tome je
v.k v p1 e e n e (1.116)
korigirano produljenje vijka, a
p.k pe ne (1.117)
korigirano skraenje podloge.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
44
e v
F, N
FP
e, mme p
F pod
F
F R
F v
F R
F d
e v+(1-n)e
p ne
p
Slika 1.50 Korigirani dijagram vijak podloga, utjecaj faktora
uvoenja sile
Na taj nain dodatna sila u vijku je
d RF F (1.118)
gdje je
o n (1.119)
faktor poveanja sile u vijku.
Smanjenje sile pritezanja uzrokovano je plastinom deformacijom
na dodirnim povrinama spoja (slijeganjem, sjedanjem, poputanjem
spoja). To su povrine na mjestima meusobnih nalijeganja svih
elemenata u spoju: ispod glave vijka i matice, ispod podlonih
ploica, na razdjelnim povinama te na povrini dodira navoja matice i
vijka. Vei broj hrapavijih povrina u spoju doprinosi i veem
smanjenje sile pritezanja.
F, N
FP
e, mm
F pod
F
F R
F v F R
F d
e v e
p
FP0
e
F
P
Slika 1.51 Smanjenje sile pritezanja uslijed plastine
deformacije na mjestima dodira elemenata spoja
Gubitak dijela sile pritezanja (sl. 1.51) je
P P0 P F F F (1.120)
gdje je
FP0 sila pritezanja prije i FP nakon slijeganja spoja.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
45
Uobiajeno je za ukupni iznos slijeganja spoja
v p e e e (1.121)
uzeti zbroj iskustvenih vrijednosti slijeganja na navedenim
povrinama, koji je ovisan o ukupnoj debljini spoja [12]. Smanjenje
sile pritezanja je tada
v pP P
v p
v p
1 1
e e eF F
e e
c c
. (1.122)
Utjecaj krutosti podloge na poveanje sile u vijku je predoen na
slici 1.52. Uz jednaku krutost vijka, silu pritezanja i radnu silu
koja optereuje spoj u oba sluaja, dodatna sila u vijku e biti vea
kad je podloga mekana (sl. 1.52a). Analitiki to proizlazi iz
jednadbe (1.114) za osnovni faktor poveanja sile.
F, N
FP
e, mm
1
cv
F v1
F d1
cp1
1
1
cv
cp2
1
F v2
F d2
FP
F, N
e, mm
a) b)
Mekana podloga: cp1
Kruta podloga: cp2>c
p1
FV1>F
V2
F R
F R
Slika 1.52 Utjecaj krutosti podloge na silu u vijku a) mekana
podloga i b) kruta podloga
Na slici 1.53a predoen je dijagram vijak podloga kada radna sila
dosegne graninu vrijednost kod koje je sila u podlozi jednaka nuli.
Za svako poveanje radne sile iznad te vrijednosti dolazi do
odvajanja nalenih povrina spoja (sl. 1.53b).
e p=0
F, N
e, mm
FP
FP
F, N
e, mmzranost
F R=F
V
F R=F
V
a) b)
Slika 1.53 Rastereenje podloge (Fpod=0) a) granina sila i b)
zranost
Na slici 1.54 predoen je sluaj u kojem radna sila tlano
optereuje spoj. Podloga se dodatno sabija, dok se vijak
rastereuje.
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
46
e v
F, N
FP
e, mme p
e
e v e
p
F pod
F
F R
F v
F R
F d
Slika 1.54 Dijagram vijak podloga: tlana radna sila
1.5 Navojna vretena
1.5.1 Proraun vrstoe navojnih vretena
Navojna vretena su, u pravilu, optereena normalnim silama i
momentima uvijanja. Optereivanje vretena poprenim silama i
momentima savijanja treba izbjegavati. Proraun se provodi za
zamiljeni tap, okruglog presjeka, koji odgovara jezgri navojnog
vretena. U presjeku navojnog vretena poznata je unutarnja normalna
sila F i unutarnji moment uvijanja
T. Normalno naprezanje uslijed normalne sile F je
j
F
A (1.123)
gdje je
2
3j
4d
A (1.124)
povrina poprenog presjeka jezgre vretena. Smino naprezanje
uslijed momenta uvijanja T je
p
T
W (1.125)
gdje je
333
p 3
0,2
16 d
W d (1.126)
polarni moment otpora poprenog presjeka jezgre vretena.
Reducirano naprezanje na povrini zamiljenog valjka u tom presjeku,
prema energijskoj teoriji vrstoe, mora biti manje od doputenog
naprezanja
2 2
red dop3 (1.127)
Uvjet vrstoe prema jednadbi 1.127 mora biti zadovoljen u svim
presjecima vretena.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
47
Odreivanje doputenog naprezanja, ovisno o nainu dinamikog
optereivanja vratila:
1. nain
Iz Smithovog dijagrama za materijal vretena je potrebno odrediti
dinamike izdrljivosti za vlak/tlak, vidi npr. [6]. Doputeno
naprezanje vretena je
DN DIdop
potr potr
S S
(1.128)
gdje je
DN dinamika izdrljivost za isti naizmjenini ciklus, DI dinamika
izdrljivost za isti istosmjerni ciklus i S potr potrebna
sigurnost.
2. nain
Za materijal vratila oitati doputenu vrijednost naprezanja pri
vlano/tlanom optereenju za isti naizmjenini ciklus (npr. tablice
[6]).
dop dopIII (1.129)
3. nain
Najkonzervativniji nain odreivanja doputenih naprezanja za opu
grupu elika iz kojih se izrauju vratila [1]. Vrijednosti doputenih
naprezanja ovisna o vlanoj vrstoi materijala prema tablici 8.4.
Tablica 8.4 Doputena naprezanja navojnih vretena prema [1]
Postupak kontrole vrstoe vretena:
1. Osloboditi vreteno veza. 2. Izraunati i ucrtati optereenje.
3. Skicirati dijagrame unutarnjih normalnih sila i momenata
uvijanja. 4. Odrediti opasne (kritine) presjeke. 5. Za svaki opasan
presjek izraunati, iz poznate normalne sile i momenta uvijanja,
normalno i smino naprezanje, izraunati reducirano naprezanje i
usporediti s doputenim.
Istosmjerno optereenje Naizmjenino optereenje
Trapezni navoj dop M0,2 dop M0,13
Kosi (pilasti) navoj dop M0,25 dop M0,16
* za standardne materijale vretena kojih je vlana vrstoa: 2M 500
600 N/mm
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
48
1.5.2 Kontrola visine matice
Boni tlak, prema jednadbi (1.72), na dodiru navojnog vretena i
matice ne smije prijei doputenu vrijednost
dop
2 1
F Pp p
d H m . (1.130)
Odatle proizlazi osnovni uvjet za visinu matice
1
2 1 dop
F Pm
d H p . (1.131)
Ako se vretenu vodi iskljuivo naslanjanjem na maticu
(ukljetenje), dodatni uvjet je minimalna visina matice potrebna za
voenje vretena
2 2,5m d , (1.132)
gdje je d nazivni promjer vretena.
Potreba visina matice je
1 2max( , )m m m (1.133)
Napomena: u tom sluaju dodatni uvjet (1.132) je vrlo esto
prevladavajui. Meutim, za druge sluajeve oslanjanja vretena 2,5 d
je gornja granica visine matice, jer iznad te vrijednosti se ne moe
osigurati ravnomjerna raspodjela tlaka po visini.
Matice za elina vretena se uobiajeno izrauju iz materijala s
dobrim kliznim svojstvima, na primjer iz sivog lijeva ili bronce.
Doputeni tlakovi su
2
dop 2
2...7 N/mm SL
5...15 N/mm CuSn
p (1.134)
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
49
1.5.3 Izvijanje prizmatinih tapova
Optereivanje vitkih prizmatinih tapova tlanim silama, vodi k
opasnost od gubitka stabilnosti tapa. Na to utjee: (i) geometrija
tapa, (ii) materijal iz kojeg je izraen (modul elastinosti), (iii)
nain na koji je oslonjen i (iv) optereenje. tap je potrebno
promatrati kao gredu. Na slici 1.55 predoena su dva modela koja,
oslanjanjem, odgovaraju navojnim vretenima.
F
l=L
EI
a)
F
l/2=L
EI
b)
Slika 1.55 Mehaniki modeli izvijanja tapa, tipini za navojna
vretena a) na dva oslonca: osno-pominom i nepominom i b) s
ukljetenjem i osnom silom na slobodnom kraju
F
l
EIy F
x Nx=-F
My=Fww
(x
)
x
x
y
z
w
a) b)
Slika 1.56 Uz izvod diferencijalne jednadbe savijanja grede
Neka je s w(x) oznaen progib grede na mjestu x prema slici
1.56a. Diferencijalna jednadba savijanja grede prema (sl. 1.41b)
je
2
2
d
dy y
wM EI
x (1.135)
gdje je
E modul elastinost, Iy minimalni osni moment tromosti poprenog
presjeka grede i
yM Fw (1.136)
moment savijanja, gdje je
F osna sila.
Iz jednadbi (8.12) i (8.13) slijedi homogena diferencija
jednadba drugog reda s konstantnim koeficijentima
2
2
d0
d y
w Fw
x EI (1.137)
Pripadana karakteristina jednadba je
2 0y
F
EI , (1.138)
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
50
a rjeenja karakteristine jednadbe su
1,2
y
Fi i
EI . (1.139)
Rjeenje jednadbe (1.137) se moe zapisati
1 21 2e e x xw x C C (1.140)
ili u obliku
cos sin w x A x B x (1.141)
gdje je
1 2abs absy
F
EI . (1.142)
Iz rubnih uvjeta i jednadbe (1.141) slijedi konstanta
integracije A i uvjet za
0 0 : 0 cos 0 sin 0 0
0 : 0 sin sin 0 ,
w x A B A
w x l B l l l k k
Z (1.143)
Vrijednost k=1 daje prvu formu izvijanja (poluval sinusoide)
kr
y
F
EI l (1.144)
gdje je Fkr kritina sila izvijanja, a jednadba elastine linije
izvijenog tapa (grede)
sin
w x B xl
. (1.145)
Kritino naprezanje je
2 2 2 2
krkr 2 2 2
yEIF EAi E
A Al Al
(1.146)
gdje je
l
i (1.147)
vitkost tapa, a
yI
iA
(1.148)
polumjer inercije povrine poprenog presjeka tapa.
Jednadba (1.146) je jednadba Eulerove hiperbole predoene na
slici 1.57a. Iznad granice
proporcionalnosti p (sl. 1.57b) modul elastinosti materijala
tapa opada te zbog toga pokusima utvrene vrijednosti kritinog
naprezanja, oznaene tokama na dijagramu sl.1.57a, odstupaju od
hiperbole.
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
51
srednje
dugi
kratki
k
1
Tetmajerov pravac
kr
P
P
T
T
0
Eulerova hiperbola
P
E1
-
Vijci i navojna vretena N. Kranjevi
52
1.5.4 Proraun navojnih vretena na izvijanje
lmax
F
1
lmax
F
2
a) b)
Slika 1.58 Naini uleitenje navojnih vretena
Na dodiru vretena i matice, jednako kao i u leajevima, postoji
zranost. Time je omoguen zakret elastine linije vretena oko
poprenih osi u osloncima.
Kada se radi o dvostranom uleitenju, sve dok su zakreti uslijed
izvijanja manji od moguih kutnih pomaka u osloncima, mehaniki model
vretena odgovara modelu na slici 1.55a.
Ako je pak vreteno voeno samo maticom, radi se o sluaju
ukljetenja. Bez obzira to postoji zranost, vreteno e se, zbog
necentrinosti optereenja i nesavrenosti stvarnog sustava, nagnuti
kao kruto tijelo i uklijetiti, nakon ega elastini model izvijanja
potpuno odgovara modelu na slici 1.55b.
Budui da je za izvijanje najnepovoljnije kada su duljine
izvijanja najvee, primjereno je u proraunu uzeti maksimalne
duljnine lmax predoene na slici 1.58
Polumjer inercije za kruni popreni presjek tapa, koji odgovara
jezgri vretena, promjera d3
4 2
3 3 3
2
3
/ 64
/ 4 16 4
yI d d di
A d
(1.152)
te je za sluaj izvijanja na slici 1.58b (2) vitkost vretena
max max
3
4 l l
i d , (1.153)
a 1.58a (1)
max max
3
2 8
l l
i d (1.154)
U [12] su dane vrijednosti za proraun na izvijanje vretena iz
S235:
p
kr.Tet 0
105
310 1,14
k
(1.155)
-
N. Kranjevi Vijci i navojna vretena
53
te vretena iz E295 i E355:
p
kr.Tet 0
89
335 0,62
k
(1.156)
potrebni faktori sigurnosti za vitka vretena ( p - Euler) su
potr.Eul 3...6S (1.154)
dok su za srednje duga vretena ( p - Tetmajer)
potr.Tet 2...4S
(1.155)
Za usporedbu, prema [1] su za vretena iz E295 i E355 (.0545 i
.0645):
p
kr.Tet 0
90
350 0,6
k
(1.156)
Negativni koeficijent Tetmajerova pravca je
20,6 N/mmk , (1.157)
odsjeak Tetmajerova pravca na ordinati
2
0 350 N/mm (1.158)
i granica teenja
2
T 340 N/mm . (1.159)
Za elik je modul elastinosti
2210000 N/mmE , (1.160)
pa je odgovarajua granica proporcionalnosti
2 22
p 2 2
p
210000244 N/mm
90 E
, (1.161)
a granina vitkost za kratke tapove
0 TT p
0 p
350 34090 8,5
350 244
. (1.162)
Potrebne sigurnosti, kod kontrole na izvijanje, ako su vretena
vitka ( p - Euler)
2
krEul potr.Eul2
2,6...6
ES S
(1.163)
odnosno za srednje duga vretena ( p - Tetmajer):
0krTet potr.Tet 1,7...4
kS S
(1.164)