VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA · 2018-10-25 · 4 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS. ISBN 978-84-945722-3-4 trabajo trataremos

VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE

EDUCACIÓN MATEMÁTICA

LIBRO DE ACTAS

Editado por:

Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas

C/ H. Carvajal, 5. 23740 Andújar (Jaén) España

www.fespm.es

ISBN: 978-84-945722-3-4

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http://www.fespm.es/

COMUNICACIONES BREVES 601-700

3 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS.

ISBN 978-84-945722-3-4

CB-602

PROBLEMAS CON LOS PROBLEMAS PISA, ¿QUÉ Y CÓMO EVALÚAN?

Moya, J. A. – Ferrando, I.

[email protected] – [email protected]

Universidad Internacional de la Rioja – España

Universitat de València - España

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas Modalidad: CB

Nivel educativo: Educación Secundaria

Palabras clave: PISA, Matemáticas, Resolución de problemas, Estado de la cuestión.

Resumen Los resultados de las pruebas PISA organizadas por la OCDE tienen un fuerte impacto

mediático, tanto que, a menudo, son tomados como medida para establecer la necesidad de

realizar cambios sustanciales en las políticas educativas de los países afectados por

resultados mejorables. En esta comunicación trataremos de mostrar de forma clara, a través

de los resultados de un estudio minucioso de los problemas que componen las pruebas,

cuáles son los aspectos evaluados por PISA y cuáles son exactamente los criterios de

evaluación. Este estudio preliminar pretende abrir el debate alrededor de la efectividad del

programa PISA como herramienta para la medida objetiva de la calidad de la enseñanza de

las matemáticas.

Introducción y objetivos del trabajo

Las pruebas de evaluación de la competencia matemática del programa internacional de

evaluación de alumnos, conocido como PISA por el acrónimo en inglés (Programme for

International Student Assessment) en el marco de la Organización para la Cooperación y el

Desarrollo Económico (OCDE), han conseguido, debido a su fuerte impacto mediático, poner

la enseñanza de las matemáticas en el centro del debate educativo. Este debate suele centrarse

en el ranquin de puntos establecido a partir de los resultados de las pruebas, sacando, a

menudo, conclusiones generales sobre la calidad del sistema educativo.

Independientemente de los resultados de las pruebas de matemáticas, los documentos

ofrecidos por diferentes entidades oficiales (OCDE, MECD, etc) o los trabajos académicos,

todavía son ajenos a la mayoría de profesores de educación secundaria y, por tanto, los

problemas utilizados en las pruebas PISA son escasamente tratados en las aulas. En este

mailto:[email protected]


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trabajo trataremos de presentar de forma clara cuáles son los aspectos evaluados por PISA y

bajo qué criterios se evalúan. De esta forma pretendemos abrir la discusión sobre si la OCDE

a través del programa PISA, ofrece una medida objetiva de la calidad de la enseñanza de las

matemáticas. Una revisión de diferentes fuentes nos permitirá, en primer lugar, mostrar un

perfil del marco teórico en que se diseñan las pruebas del programa e identificar algunas

razones que justifiquen la necesidad de estas pruebas. A continuación, nos centraremos en el

diseño de las pruebas, en su estructura y los criterios de evaluación utilizados. Intentaremos

ser particularmente cuidadosos en estos apartados, aportando ejemplos claros para ilustrar

las bases teóricas del diseño y de la evaluación. A partir de estos dos grandes apartados

pretendemos aportar argumentos para generar una discusión alrededor de la validez del

programa PISA para medir objetivamente la calidad de la enseñanza de las matemáticas.

¿Quiénes elaboran el marco teórico de las pruebas PISA?

En el año 2012, el marco teórico fue redactado bajo la dirección del Grupo de Expertos en

Matemáticas (MEG) de ese año, un órgano designado por los principales contratistas de PISA

con la aprobación del Consejo de Gobierno de PISA. Entre los diez miembros de este grupo

podemos encontrar a matemáticos, profesores de matemáticas y expertos en evaluación,

tecnología, e investigación educativa de distintos países, los detalles pueden consultarse en

el Anexo B de la web de las pruebas en el sitio de la OCDE1. Además, buscando asegurar

una participación y revisión más extensa, se distribuyó un borrador a más de 170 expertos de

matemáticas de más de 40 países para que realizasen las observaciones pertinentes. Achieve

y el Consejo Australiano de Investigación Educativa (ACER), los dos organismos

contratados por la OCDE para gestionar el desarrollo del marco, también realizaron varios

esfuerzos de investigación para documentar y apoyar dicho desarrollo (se puede encontrar

documentación al respecto en la web oficial de ACER2). En el trabajo de Caraballo, Rico y

Lupiáñez (2013) se sintetizan y comparan de forma detalla los supuestos teóricos que

enmarcaron las pruebas entre 2003 y 2012. El marco en el que se encuadraron las pruebas

PISA 2015 es una actualización del Marco de 2012 bajo la dirección del MEG de 2015.

1 http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/PISA%202012%20framework%20e-book_final.pdf 2 https://www.acer.org/ozpisa/publications-and-data

http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/PISA%202012%20framework%20e-book_final.pdf


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¿Por qué la necesidad de estas pruebas?

Las matemáticas son una herramienta esencial para los jóvenes a la hora de afrontar

cuestiones y desafíos relativos a aspectos personales, profesionales, sociales y científicos de

su vida. Es, por tanto, importante saber hasta qué punto éstos, una vez finalizada su

escolarización, están adecuadamente preparados para aplicar las matemáticas en la

comprensión de aspectos importantes y en la resolución de problemas significativos. Una

evaluación a la edad de 15 años proporciona una indicación temprana del modo en que las

personas pueden responder en el futuro a la gran variedad de situaciones con las que se van

a encontrar y en las que están implicadas las matemáticas. PISA evalúa la competencia

matemática partiendo de los criterios establecidos, entre otros, por Niss (1999), es decir, las

capacidades de los individuos para razonar matemáticamente y utilizar conceptos,

procedimientos, datos y herramientas matemáticas para describir, explicar y predecir

fenómenos. El objetivo de la prueba es medir hasta qué punto los alumnos de 15 años son

capaces de manejar con destreza las matemáticas cuando se enfrentan a situaciones y

problemas, la mayoría de los cuales están presentes en contextos del mundo real. En el

siguiente apartado detallaremos e ilustraremos con ejemplos qué aspectos relativos a la

competencia matemáticas son evaluados, y cómo el marco competencial estructura la prueba.

Aspectos evaluados por PISA y que marcan la estructura de la prueba

Para evaluar la competencia matemática, las pruebas PISA distinguen tres aspectos,

interrelacionados, que marcan la estructura de la prueba: los procesos matemáticos y las

capacidades; el contenido matemático y los contextos. A continuación, pasamos a describir

con más detalle cada uno de estos tres aspectos.

La competencia matemática evaluada en las pruebas PISA se refiere a la capacidad de un

individuo para formular, emplear e interpretar las matemáticas. Así, el programa PISA

distingue tres procesos matemáticos: formular situaciones matemáticamente; emplear

conceptos, hechos, procedimientos y razonamiento matemáticos; interpretar, aplicar y

evaluar los resultados matemáticos. El proceso de formular se relaciona con la conexión e

indica el grado de eficacia con que el alumnado puede reconocer e identificar oportunidades

para utilizar las matemáticas en las situaciones de los problemas (ver Anexos, ejemplo 1). El

proceso de empleo o reproducción indica el grado de corrección con que los alumnos pueden


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reproducir cálculos y manipulaciones matemáticas conocidas, aplicando los conceptos y los

datos que conocen para llegar a una solución matemática (ver Anexos, ejemplos 2 y 3). El

proceso de interpretar indica el grado de eficacia con que los alumnos pueden reflexionar

sobre las soluciones o conclusiones matemáticas, interpretarlas en el contexto de un problema

del mundo real y establecer si los resultados o conclusiones son razonables (ver anexos,

ejemplo 1).

Es evidente que la facilidad con que el alumno pueda aplicar las matemáticas a problemas

reales va a depender de sus destrezas inherentes a estos tres procesos (Niss (2002) realiza un

estudio en profundidad sobre las distintas dimensiones que engloba la competencia

matemática). El diseño de la prueba busca lograr un equilibrio que dé aproximadamente el

mismo peso a los dos procesos que requieren establecer una conexión entre el mundo real y

el matemático (formular e interpretar) y al proceso que exige al alumnado que sea capaz de

trabajar en un problema formulado matemáticamente (emplear).

Cada uno de estos procesos se sustenta en un conjunto de capacidades matemáticas

fundamentales. A medida que aumenta el nivel de competencia matemática de un individuo,

este puede progresar hacia un nivel cada vez mayor de capacidades matemáticas

fundamentales (Turner y Adams, 2012). Así, el diseño de las pruebas se basa en evaluar siete

capacidades matemáticas fundamentales: comunicación, corresponde a la capacidad para

descodificar la información del problema y presentar los resultados; matematización,

capacidad para interpretar matemáticamente un problema real; representación de objetos y

situaciones matemáticas; razonamiento y argumentación: diseño de estrategias de resolución:

selección o diseño de un plan o estrategia para utilizar las matemáticas para resolver los

problemas derivados de una tarea o contexto; utilización de operaciones y lenguaje

simbólico, formal y técnico; utilización de herramientas matemáticas: conocimiento del

manejo de herramientas físicas e informáticas, así como sus limitaciones. Conviene

puntualizar, en primer lugar, que estas capacidades no van a aparecer por separado, sino de

una forma conjunta en los distintos enunciados, solapándose en muchos casos. Por otro lado,

vemos que, pese a no existir una conexión directa entre los procesos y las capacidades

matemáticas, cada una de éstas encaja más con uno de los tres.


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En los centros escolares, el currículo de matemáticas se organiza normalmente en torno a

áreas de contenido, pero fuera del aula, los desafíos o las situaciones que se presentan no

suelen ir acompañadas de un conjunto de normas y prescripciones que indiquen cómo se han

de afrontar. Esto, como consecuencia, implica la necesidad de un cierto pensamiento creativo

para ver las posibilidades de que las matemáticas sean relevantes para la situación y para

formularla matemáticamente. La siguiente lista de categorías de contenido se utiliza en PISA

para satisfacer las demandas del desarrollo histórico, la cobertura del área de conocimiento

de las matemáticas, los fenómenos subyacentes que motivan su evolución, y la reflexión

sobre las principales áreas de los currículos escolares. Así, en el programa PISA se distinguen

cuatro categorías que caracterizan el conjunto de contenidos matemáticos básicos para la

disciplina: cambio y relaciones (ejemplo 1 de los Anexos); espacio y forma (ejemplo 2 de los

Anexos); cantidad (ejemplo 3 de los Anexos); incertidumbre y datos. Las preguntas

seleccionadas para PISA 2015 se distribuyen entre las cuatro categorías de contenido por

igual. El objetivo es equilibrar la distribución de las preguntas con respecto a la categoría de

contenido, dado que todas estas áreas de conocimiento son igualmente importantes.

La elección de las estrategias y representaciones matemáticas adecuadas depende

normalmente del contexto en el que se presenta el problema. Para el estudio PISA es

importante la utilización de una amplia variedad de contextos, así, el estudio define cuatro

categorías de contexto que se emplean para clasificar las preguntas: contexto personal (los 3

ejemplos planteados en Anexos), centrado en las actividades del propio individuo; contexto

profesional (ejemplos 2 y 3 de los Anexos), centrado en el mundo laboral; contexto social,

centrados en la propia comunidad; contexto científico, referido a la aplicación de las

matemáticas a la comprensión y el desarrollo científico. La utilización de estas categorías

permite seleccionar distintos contextos de preguntas y garantiza que la evaluación refleje una

amplia variedad de usos de las matemáticas. Dado que la principal finalidad de estas

categorías es retar a los alumnos en una gran variedad de contextos, cada una de ellas debe

contribuir de forma sustancial a la medición de la competencia matemática, lo que implica

que el nivel de dificultad de las preguntas de la evaluación que representan una categoría de

contexto no debe ser sistemáticamente ni mayor ni menor que el de las de otra categoría.


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En 2012, cuando la competencia matemática era el área de conocimiento principal, las

preguntas, en formato impreso, se organizaban en nueve grupos, donde cada grupo

representaba 30 minutos del tiempo de la prueba. En 2015, la competencia matemática pasa

a ser secundaria y se pide al alumnado que complete un menor número de preguntas, pero

elaboradas y rotadas de manera similar. En esta última edición, se han utilizado tres tipos de

formato de respuesta: abierta, cerrada (ejemplos 1 y 2 de los Anexos) y de selección (ejemplo

3 de los Anexos) (opción múltiple simple y compleja). La distribución de estos tres formatos

es equilibrada en el diseño de la prueba.

Criterios de evaluación de PISA

La mayoría de las preguntas se puntúan de forma dicotómica (es decir, con o sin puntuación)

pero en ocasiones las de respuesta abierta pueden incluir una puntuación parcial, lo que

permite asignar a las respuestas una puntuación en función de los distintos grados de

“exactitud”. Con el fin de garantizar que la codificación de las preguntas se realice de forma

consistente y fiable, se facilita al personal formado una guía detallada para codificar las

respuestas de los alumnos (podemos encontrar ejemplos de esta codificación en las

resoluciones de las preguntas liberadas de PISA3).

¿Ofrece el programa PISA una medida objetiva de la calidad de la enseñanza

matemática?

El programa PISA se centra en evaluar la competencia matemática del alumnado, es decir,

en evaluar el aprendizaje matemático mediante tareas en contextos prácticos, preferiblemente

realistas. La comprensión de la eficacia del alumnado en cada una de las 3 categorías en que

se divide la competencia matemática en las pruebas PISA puede contribuir a fundamentar

tanto los debates a nivel de las políticas como las decisiones tomadas más a nivel de aula.

3 http://educalab.es/documents/10180/425912/chatear2.pdf/68fbb91b-4084-437d-a987-be1ae916cf2f


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En lo referente a los contenidos propiamente matemáticos, los resultados obtenidos se ven

como una prueba, no sólo de lo que se enseña en las clases de matemáticas en los países

intervinientes en PISA, sino también como un indicador de los conocimientos y destrezas

que los países consideran importantes en la preparación de los alumnos de esta edad para

convertirse en ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos.

Los contextos para las preguntas de la evaluación se seleccionan en función de su relevancia

para los intereses y la vida de los alumnos, y las exigencias a las que se verán sometidas

cuando se incorporen a la sociedad

No obstante, el diseño de estas pruebas y sus correspondientes resultados plantean ciertas

dudas. Los problemas planteados buscan comprobar el grado de desempeño de los

estudiantes y las habilidades adquiridas para solucionar problemas que puedan presentarse

en la vida real. Esto provoca que, al tratarse de unos enunciados debidamente

contextualizados y embebidos en situaciones de la vida cotidiana, éstos tiendan a ser

excesivamente largos en comparación con otras pruebas de evaluación internacional, como

TIMSS, más centradas en el aprendizaje matemático en sí mismo. Como consecuencia y dada

la dificultad que conllevan estas pruebas al alumnado, como se deduce de los resultados

obtenidos en las mismas, algunos autores (Eivers, 2010) sostienen que este hecho puede

llevar a no saber discernir si los resultados obtenidos son debidos a dificultades matemáticas

o dificultades con la lectura de los propios enunciados.

Finalmente, habría que analizar el contexto en que se realizaron estos problemas, qué

explicaciones previas se aportaron al alumnado sobre los mismos y cómo se le motivó para

que pusiera el nivel de interés y la actitud necesarias para poder otorgar a los resultados de

estas pruebas la fiabilidad requerida, punto ya abordado, entre otros, por Baird et al (2011).

Referencias bibliográficas


ISBN 978-84-945722-3-4

Baird, J., Isaacs, T., Johnson, S., Stobart, G., Yu, G., Sprague, T., & Daugherty, R. (2011).

Policy effects of PISA. UK: Pearson

Caraballo, R. Rico, L. y Lupiáñez, J. L. (2013). Cambios conceptuales en el marco teórico

competencial de PISA: el caso de las matemáticas. PROFESORADO, 17(2), 225-241.

Cunningham, R., Close, S., Shiel, G. (2016) Assessment of project maths at junior certificate

level: an exploratory study using the PISA and TIMSS assessment frameworks. The Irish

Journal of Education, xli, pp. 78-116.

Eivers, E. (2010) PISA: Issues in implementation and interpretation. Irish journal of

Education, 38. 94-118

Marco teórico pruebas PISA 2015 en español. Recuperado de

http://www.mecd.gob.es/inee/estudios/pisa-2015.html

Niss, M. (1999). Aspects of the nature and state of research in mathematics education.

Educational Studies in Mathematics, 40(1), 1-24.

Niss, M. (2002). Mathematical competencies and the learning of mathematics: The danish

kom project (Proyecto KOM. The national academies: The national academies).

Http://www7.nationalacademies.org/mseb/mathematical_competencies_and_the_learn

ing_of_mathematics.pdf

Preguntas liberadas de PISA como recursos didácticos de Matemáticas. Recuperado de

http://educalab.es/inee/evaluaciones-internacionales/preguntas-liberadas-pisa-

piaac/preguntas-pisa-matematicas

ANEXO: EJEMPLOS PREGUNTAS PISA

http://www.mecd.gob.es/inee/estudios/pisa-2015.html

http://educalab.es/inee/evaluaciones-internacionales/preguntas-liberadas-pisa-piaac/preguntas-pisa-matematicas

http://educalab.es/inee/evaluaciones-internacionales/preguntas-liberadas-pisa-piaac/preguntas-pisa-matematicas


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A continuación, analizamos brevemente una serie de ejemplos extraídos de las pruebas PISA

en sus distintas ediciones4, en función de los criterios detallados en el marco teórico, que

sirven para establecer una clasificación de los distintos problemas.

EJEMPLO 1

El problema nos pide una respuesta concreta (respuesta cerrada), una hora determinada,

obtenida a partir de un cálculo aritmético sencillo (cambios y relaciones), partiendo de la

información gráfica proporcionada por los distintos relojes que marcan 3 husos horarios,

donde se debe saber cómo conectar lo que queremos resolver con nuestros conocimientos

matemáticos (se trabaja el proceso de formular o de conexión dentro de la competencia

matemática). Por último, el contexto en el que se enmarca el problema es personal.

La única solución posible y correcta es las 10 de la mañana, considerándose cualquier otro

tipo de respuesta como errónea

4 http://educalab.es/inee/evaluaciones-internacionales/preguntas-liberadas-pisa-piaac/preguntas-pisa-

matematicas


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El problema se complica con respecto al anterior, ya que, aunque nuevamente se nos pide

una respuesta concreta (respuesta cerrada), obtenida a partir de un cálculo aritmético

(cambios y relaciones), tenemos en este caso distintas posibilidades y no una hora en

concreto. Nuevamente el alumno se apoyará en la información gráfica proporcionada, pero

también en el problema resuelto anteriormente, para, partiendo del mismo, intentar

generalizar el proceso realizado, aplicándolo a cualquier posible variante del problema y

comprobando que los resultados obtenidos son razonables (se trabaja el proceso de

interpretar o de reflexion dentro de la competencia matemática). Por último, el contexto en

el que se enmarca el problema es, nuevamente, personal.

Cualquier hora o intervalo de tiempo que satisfaga las condiciones marcadas en el enunciado

se considera como válido, según se indica en los criterios de corrección. Por ejemplo, de

16:30 a 18h en Sidney y de 7:30 a 9h en Berlín.


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EJEMPLO 2

El

problema nos pide una respuesta concreta (respuesta cerrada), obtenida a partir de un

proceso de observación de las figuras (los dados) proporcionadas (espacio y forma), donde

nos debemos limitar a aplicar nuestros conocimientos matemáticos siguiendo las directrices

proporcionadas por el enunciado y sin tener en ningún momento que reformular o interpretar


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qué se nos pide (se trabaja el proceso de empleo o de reproducción dentro de la competencia

matemática). Por último, el contexto en el que se enmarca el problema puede ser tanto el

personal como laboral.

Teniendo en cuenta el dato proporcionado (las caras opuestas suman 7) y la configuración de

caras de la imagen, es fácil deducir que el resultado buscado es

1 5 4

2 6 5

EJEMPLO 3

El problema nos pide elegir entre unas de las opciones propuestas (respuesta múltiple),

obtenida a partir de la detección del error en una suma (cantidades), donde nos debemos


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limitar a aplicar nuestros conocimientos matemáticos siguiendo las directrices

proporcionadas por el enunciado y sin tener en ningún momento que reformular o interpretar

qué se nos pide (se trabaja el proceso de emplear o de reproducción dentro de la

competencia matemática). Por último, el contexto en el que se enmarca el problema puede

ser tanto el personal como laboral.

Aplicando a la suma de los precios de los 3 productos cada una de las opciones propuestas,

rápidamente se pueden descartar las opciones a y d, llegando finalmente a la conclusión de

que la suma realizada ha sido 248 = 155+86+7, luego la opción correcta es la c.


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CB-603

LAS SUCESIONES LOOK AND SAY

J. M. Gairín1 – V. Manero1 – J. M. Muñoz1 – A. M. Oller1

[email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected] 1Universidad de Zaragoza – 2Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza

Núcleo temático: V. Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Enseñanza secundaria y Bachillerato

Palabras clave: Sucesión, look and say

Resumen Las sucesiones numéricas son un contenido clásico de la matemática escolar. Actualmente,

en España, aparecen en el currículo en el curso de 3º ESO (13-14 años). Una revisión de

varias propuestas editoriales parece indicar que la enseñanza de las sucesiones presta

especial atención a los procedimientos de cálculo (término n-ésimo, suma o interpolación de

términos, etc.) y se centra en el caso de las progresiones aritméticas y geométricas. En esta

comunicación breve presentamos una experiencia de aula con estudiantes de 4º de ESO y

otra llevada a cabo con estudiantes de 1º y 2º de Bachillerato. Estas actividades se centran

en la exploración y el análisis de un tipo de sucesiones no tan habituales en la escuela: las

denominadas sucesiones look and say (Conway,1986; Bronstein y Fraenkel, 1994). Éstas

sirven como recurso a la hora de abordar contenidos relacionados con la búsqueda de

patrones, así como para plantear pequeñas investigaciones en el aula.

Introducción. Las sucesiones look and say y su versión ordenada

John Horton Conway es un matemático británico (nació en Liverpool en 1937) bastante

conocido, entre otras razones, por sus diversas contribuciones a la matemática recreativa. En

un interesante video disponible en YouTube

(https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA), el propio Conway relata como un

alumno le propuso un acertijo consistente en descubrir el próximo número de la sucesión

siguiente:

1, 11, 21, 1211,…

Puesto que el entonces profesor de Cambridge no supo continuar inmediatamente, el alumno

escribió el siguiente elemento de la sucesión: 111221. El profesor seguía sin adivinar cómo

continuaba la sucesión, así que el alumno le proporcionó el siguiente término: 312211. Como

https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA


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relata el propio Conway: “I knew for the way he was saying it that, somehow, I was supposed

to be able to guess. I still didn’t […] in the end he had to tell me”.

El acertijo planteado por este alumno lo que actualmente se denomina sucesión look and say

con raíz (primer término) el número 1. Veamos otro ejemplo similar usando otra raíz.

Consideremos una cadena de números naturales, por ejemplo:

2 4

Esta cadena se puede describir verbalmente como: “un dos y un cuatro”; es decir:

1 2 1 4

que, a su vez, se puede describir verbalmente como “un uno, un dos, un uno y un cuatro”; es

decir:

1 1 1 2 1 1 1 4

Una vez descubierta la regularidad podemos pensar que nos encontramos, citando de nuevo

a Conway ante “the stupidest problem you could conceivably imagine, that led to the most

complicated answer that you could conceivably imagine”. De hecho, en 1986 se publicó el

trabajo The weird and wonderful chemistry of audioactive decay (Conway, 1986) en el que

el autor realiza un estudio de las sucesiones look and say.

Las sucesiones look and say admiten una modificación muy sencilla que da lugar a las que

denominaremos versión modificada de las sucesiones look and say o sucesiones look and say

ordenadas. En este caso, cada elemento de la sucesión es el número obtenido como

descripción verbal del anterior, pero contando primero el número total de unos, luego el total

de doses, luego el número de treses y así sucesivamente.

Por ejemplo, consideremos nuevamente como primer término el 24. La descripción verbal

de esta cadena es: “un dos y un cuatro”. Por tanto el segundo término de la sucesión vuelve

a ser, como antes, 1214. Ahora, a diferencia de la sucesión look and say original, la

descripción verbal es “dos unos, un dos y un cuatro” por lo que el término siguiente es

justamente 211214.

A pesar de las claras similitudes existentes, las sucesiones look and say ordenadas difieren

en muchos aspectos de las sucesiones look and say originales. La principal diferencia es que

las sucesiones ordenadas se “estabilizan” siempre (Bronstein y Fraenkel, 1994), esto es,

después de un número finito de términos, toda sucesión look and say ordenada presenta ciclos

periódicos de longitud finita.


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Potencialidades de las sucesiones look and say en el aula.

Inicialmente, puede parecer que las sucesiones que acabamos de presentar tienen un carácter

principalmente lúdico y que su valor no va más allá del de un mero pasatiempo matemático.

Sin embargo, Barton et al. (2004) destacan, en una experiencia universitaria, las buenas

propiedades de estas sucesiones de cara a plantear primeras experiencias de investigación.

Como los anteriores autores, pensamos que estas sucesiones tienen propiedades que las

convierten en objetos muy útiles e interesantes para su uso en el aula, incluso en cursos de

Educación Secundaria por diferentes motivos.

En primer lugar, son fáciles de presentar y se pueden plantear desde un punto de vista lúdico.

Esto contribuye a captar la atención de los alumnos.

Por otra parte, desde el punto de vista puramente matemático, una revisión de varias

propuestas editoriales parece indicar que la enseñanza de las sucesiones presta especial

atención a los procedimientos de cálculo (término n-ésimo, suma o interpolación de términos,

etc.) y que se centra principalmente en el caso de las progresiones aritméticas y geométricas.

El trabajo con las sucesiones look and say puede aportar una visión totalmente distinta al no

tratarse de progresiones aritméticas ni geométricas ni tener un término general expresable

algebraicamente.

Finalmente, pese a que la comprensión de estas sucesiones no requiere de conocimientos

matemáticos previos, el planteamiento de actividades relacionadas con ellas puede fomentar

la adquisición de contenidos que aparecen recogidos en el Bloque 1 (Procesos, métodos y

actitudes en matemáticas) en los nuevos currículos de E.S.O. y Bachillerato. En especial:

Búsqueda y reconocimiento de patrones y regularidades. En el currículo se insiste

repetidamente de forma explícita sobre este aspecto proponiendo que se aborden

estrategias como empezar por casos particulares sencillos, buscar regularidades y

leyes, etc. y que se planteen investigaciones escolares en contextos matemáticos.

Aplicación de razonamientos de tipo inductivo y deductivo. Aunque implícitamente,

estos aspectos son necesarios para abordar puntos mencionados en el currículo como

la utilización de procesos de razonamiento o la realización de demostraciones.

Uso de TIC. Nuevamente el currículo hace referencia explícita a este aspecto al

indicar la necesidad de que los alumnos empleen herramientas tecnológicas

adecuadas de forma autónoma y de modo habitual en el proceso de aprendizaje.


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Tipología de actividades

A partir de las consideraciones anteriores, nos planteamos el diseño de 3 tipos de actividades

que se introducirán secuencialmente: actividades de exploración, actividades de análisis y

actividades de “vuelta atrás”. Todas las actividades que plantearemos de aquí en adelante se

corresponden a las sucesiones look and say ordenadas.

Actividades de exploración

El objetivo de este tipo de cuestiones es la compresión y familiarización de los alumnos con

la sucesión: comprensión de la definición, cálculo de secuencias a mano, obtención y

enunciado de conjeturas acerca del término general.

Algunos ejemplos de cuestiones de este tipo pueden ser:

Calcula el sexto término de la sucesión look and say ordenada cuyo primer término

es 3.

Calcula hasta los once primeros términos de la sucesión de la sucesión look and say

ordenada cuyo primer término es 14.

Calcula todos los términos que puedas de la sucesión look and say ordenada cuyo

primer término es 2 ¿Qué sucede?

Calcula cuál es el término n-esimo de la sucesión look and say ordenada cuyo primer

término es 6.

Llegados a este punto, y tras haber explorado manualmente el comportamiento de estas

sucesiones se puede introducir una herramienta TIC que facilite la obtención de los términos

de ambas sucesiones. Nos podemos valer de una hoja de cálculo o de un pequeño programa

diseñado específicamente para este fin.

Actividades de análisis

Este tipo de actividades están orientadas al análisis de los términos de la sucesión y a la

obtención de propiedades de los mismos. Fijando una condición sobre el tamaño del primer

término, es interesante plantear preguntas que lleven a los alumnos a deducir propiedades

que deben cumplir los términos sucesivos. Por ejemplo, que el número de cifras de cualquier

término es par o que los términos de la sucesión cumplen una cierta restricción en cuanto al

orden de las cifras que están en posición par.



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¿Puede ser el 113 un término de la sucesión?

¿Cuántas cifras debe tener un número de la sucesión?

¿Puede ser el 1231 un término de la sucesión?

¿Puede ser el 2457 un término de la sucesión? ¿y el 1154?

Actividades de “vuelta atrás”

La búsqueda de respuestas a este tipo de cuestiones pretende fomentar el aumento del nivel

de abstracción, la capacidad para formular conjeturas, así como el inicio de intentos de

demostración. Como se puede observar, algunas de las cuestiones planteadas en las

actividades anteriores llevan, de forma natural, a plantearse el cálculo del término anterior a

uno dado. Esto es, a “volver hacia atrás” en la sucesión. En el caso de las sucesiones look

and say ordenadas, el término anterior a uno dado puede no existir (bajo ciertas condiciones

adicionales) o puede no ser único. En este último caso, el cálculo de todos los posibles

términos anteriores a uno dado puede convertirse en un problema de combinatoria.


¿Cuál es el término anterior al 11?

¿Cuál es el término anterior al 23? ¿y el anterior? ¿y el anterior? ¿y el anterior?

¿Cuál es el término anterior al 3214? ¿es único?

En la Figura 1 se presenta un esquema en el que se indica la relación entre los tres tipos de

actividades planteadas y las distintas capacidades planteadas anteriormente.

Actividades de

exploración

Actividades de

análisis

Actividades de

“vuelta atrás”

Uso de TIC Razonamiento

inductivo

Reconocimiento

de patrones y

regularidades

Razonamiento

deductivo

Figura 1. Tipos de actividades y contenidos trabajados en ellas.


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Las sucesiones look and say ordenada con alumnos de Bachillerato

Una primera experimentación con algunas de las actividades descritas anteriormente se llevó

a cabo durante la sesión “Sucesiones look and say” desarrollada el 4 de noviembre de 2016

dentro del Taller de Talento Matemático para 4º de la ESO (De la Cueva, 2016). Esta sesión

de unos 90 minutos fue bastante exitosa desde el punto de vista de la aceptación de los

alumnos y de los resultados que obtuvieron, pero no permitió la recogida datos para un

posterior análisis.

Durante este curso se ha realizado una adaptación para llevar a cabo una serie de actividades

con alumnos de Bachillerato en una sesión de clase de unos 50 minutos dentro del Programa

Conexión Matemática del Gobierno de Aragón organizado por la Sociedad Aragonesa de

Profesores de Matemáticas “Pedro Sánchez Ciruelo” (http://conexionmatematica.catedu.es/).

Se trabajó con unos 30 alumnos (en 10 grupos de 2, 3 o 4 personas) de 1º y 2º de Bachillerato,

tanto de Ciencias como de Ciencias Sociales en el IES Matarraña (Valderrobres, Teruel).

Debido a las restricciones temporales, se decidió incluir únicamente actividades de

exploración y de “vuelta atrás”. Además, el uso de una hoja Excel se limitó a las

intervenciones y puestas en común por parte del profesor. Algunos de los resultados que se

pretenden obtener con las actividades de análisis aparecieron implícitamente durante las

actividades de exploración y se pusieron en juego durante las actividades de “vuelta atrás”.

Así pues, se organizó la sesión en partes:

Presentación: Se introduce y motiva brevemente la actividad por parte del profesor,

presentando una definición informal de sucesión como lista (infinita) de números y

se indica el interés de obtener la regla que determina el comportamiento de la sucesión

a partir de unos cuantos términos iniciales.

Actividades de exploración: Se plantean tres problemas.

Problema 1: Se proporcionan a los alumnos los 5 primeros términos de la

sucesión look and say ordenada comenzando en 1. Se les pregunta

sucesivamente cuál son el 6º, el 13º y el 35º términos de la sucesión.

Con este problema se pretende que los alumnos descubran por sí mismos la

mecánica de construcción de los términos de la sucesión y que observen que

se estabiliza a partir de un cierto momento.

http://conexionmatematica.catedu.es/


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Problema 2: Se pide a los alumnos que calculen el 2º, 13º y 100º términos de

la sucesión look and say ordenada proporcionándoles un primer término

adecuado para que la sucesión no se estabilice en un solo término sino en un

ciclo de longitud 2.

Problema 3: Se pide a los alumnos que calculen el 2º, 13º y 100º términos de

la sucesión look and say ordenada proporcionándoles un primer término

adecuado para que la sucesión no se estabilice en un solo término sino en un

ciclo de longitud 3.

Actividades de “vuelta atrás”: Se plantean dos problemas.

Problema 4: Se pide a los alumnos que calculen el término anterior a 3 valores

distintos. En uno de ellos existe un único anterior, en otro existen varios y en

otro no hay ninguno (bajo ciertas restricciones).

Problema 5: Se pide a los alumnos que calculen el término anterior del anterior

a 2 valores distintos. En uno de ellos existe el término pedido (único o no) y

en otro no hay ninguno (bajo ciertas restricciones).

A continuación vamos a presentar brevemente algunos resultados obtenidos que nos parecen

especialmente reseñables.

En primer lugar es interesante indicar que, pese a la aparente dificultad que indica Conway

en su relato, un buen número de grupos fueron capaces de descubrir el patrón de construcción

de la sucesión en el problema 1. El resto de grupos, a partir de explicaciones de sus propios

compañeros, comprendieron rápidamente el proceso y pudieron progresar sin problema hacia

los siguientes problemas. En particular, una vez comprendido el modo en que se construye

la sucesión, todos los grupos fueron capaces de observar la estabilización en este primer

problema y calcular el término 35º sin necesidad de calcular todos los términos anteriores.

En los problemas 2 y 3, la parte algorítmica transcurrió sin problemas y muchos alumnos

observaron y conjeturaron la estabilización en ciclos de longitud 2 ó 3 (según casos). Un

poco más difícil les resultó el cálculo del término 100º. En el caso de estabilización en ciclos

de longitud 2, se obtuvieron pocas respuestas satisfactorias como la de la Figura 2.


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Figura 2.

En el caso de estabilización en ciclos de longitud 3, la situación es algo más compleja (debe

trabajarse módulo 3) y ningún grupo llegó a plantear la solución completa.

Por último, las actividades de “vuelta atrás” no pudieron llevarse a cabo de forma completa

por falta de tiempo. Sólo el problema 4 fue abordado por un número significativo de grupos.

Como cabe esperar, en el caso en el que existe término anterior, los alumnos se limitan a

indicarlo. En la puesta en común se produjo una breve discusión sobre la unicidad. En los

casos en los que no existe término anterior, algunos grupos apuntaron algunas razones que

indican que dichos grupos han inducido algunas de las propiedades de los términos de la

sucesión.

Figura 3.

La Figura 3, por ejemplo, muestra que los alumnos han observado que los términos de la

sucesión tienen una cantidad par de términos, aunque la segunda parte de su respuesta va en

la línea de que debe incluirse algún tipo de restricción inicial.

Figura 4.


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Por último, en la Figura 4, los alumnos han observado que las cifras que ocupan posición par

(comenzando desde la izquierda) deben ir en orden estrictamente creciente).

Conclusiones

El diseño de las actividades y las experimentaciones llevadas a cabo sugieren que las

sucesiones look and say son un recurso educativo útil y atractivo. Permite trabajar con

estudiantes de Educación Secundaria ciertos contenidos referidos a las sucesiones desde un

punto de vista distinto del habitual, y además pueden ayudar a potenciar el razonamiento

matemático mediante la búsqueda de patrones y el uso las TICs.

Bibliografía

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Math. Monthly, 101(6), 560-563.

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De la Cueva, F. (2016). Taller de Talento Matemático. Entorno Abierto, 12, 5-7.


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CB-604

DESENHO TÉCNICO: UMA ANÁLISE ERGOLÓGICA NA FORMAÇÃO DO

TÉCNICO BRASILEIRO

Elmha Coelho M. Moura – Arlete de Jesus Brito


UNILA/Brasil – UNESP/Brasil

Núcleo temático: Tópico VIII. História social da educação matemática na América Latina

Modalidade: CB

Nível educativo: Médio ou Secundário (12 a 15 anos)

Palavras chave: Ensino de Desenho. Ensino Técnico. História da Educação

Resumo A expansão da indústria, no século XIX, demandou a formação de trabalhadores que

elaborassem desenhos industriais. Em países como Alemanha e França já havia a inserção

escolar da disciplina de desenho para as artes aplicadas. No Brasil, uma proposta nesse

sentido é perceptível no Parecer da Reforma do Ensino Primário e Várias Instituições

Complementares da Instrução Pública (1883), de Rui Barbosa (1849-1923). Que descreveu

tal inserção, como um caminho para a modernização do país. Entretanto, essa ideia só se

efetivou com a Lei Orgânica do Ensino Industrial (1942), ao criar as escolas técnicas

federais. Nelas, as disciplinas Desenho colaboravam na formação de um trabalhador

normatizado, o técnico. Nesta pesquisa, detectamos e analisamos as tomadas decisões e as

escolhas efetuadas no trabalho do futuro técnico, repleto de normas, códigos, símbolos e

linguagem. Discorremos sobre um histórico das propostas de inserção da disciplina de

desenho, entre finais do século XIX e início do XX e discutimos o uso escolar do desenho na

formação de subjetividades do trabalhador com formação técnica. Para tal, analisamos

documentos encontrados na antiga Escola Técnica Nacional (ETN): desenhos técnicos dos

alunos, currículos, boletins informativos e textos da pedagogia TWI. Em nossas análises

utilizamos os conceitos provenientes da ergologia.

O processo de industrialização e o Desenho Técnico

Nas primeiras décadas do século XIX, o processo de industrialização de países da Europa,

tais como Inglaterra, França e Alemanha, ganhou novo ímpeto devido às novas formas de

organização econômica e social que demandavam, cada vez mais, aplicações da ciência à

tecnologia. Nessa conjuntura ocorreram transformações na economia de consumo, com

elementos como: o aumento do número de operários disponíveis para a indústria que se

mecanizava, tendo como um dos fatores o êxodo rural; melhora no transporte de pessoas e

mercadorias, com a aplicação da tração a vapor aos meios de transporte; o controle do tempo


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na racionalização do trabalho possibilitando uma produção, cada vez maior, de objetos cujo

valor de uso ficou em segundo plano, devido à moda que criava a necessidade do consumo;

e a classe burguesa se estabeleceu não apenas como poder econômico, mas também político.

É nesse contexto que o homem burguês passou a valorizar artigos de marcenaria, vidraçaria,

cerâmica, tecelagem e outros considerados de “bom gosto”. A propaganda colaborou para

que tais artigos passassem a fazer parte do desejo popular e as Exposições Universais

serviram bem a esse propósito.

A primeira Exposição Universal ocorreu na Inglaterra, em 1851. Nela, como nas

demais, países como Alemanha, França, e a própria Inglaterra expunham suas respectivas

produções industriais. Benjamin (2007) observou que tais exposições construíram o universo

da mercadoria.

Na exposição de 1855, realizada em Paris, também o mobiliário escolar, além de

obras e materiais de ensino passaram ser expostos nesses eventos, segundo Ferdinand

Buisson, responsável por realizar o relato da delegação francesa, na exposição de Viena, de

1873. Tais materiais exibidos conjuntamente com os demais produtos industrializados,

trouxeram à baila discussões sobre o ensino de desenho. Em seu relatório, Buisson (1873)

indica a situação do ensino de desenho nos diferentes países que participaram da exposição

de 1873. Ele ressaltou que na Itália, Alemanha e França começava-se a ensinar o desenho

não mais a partir do capricho individual, mas a partir de regras “do gosto e das leis da estética,

das inúmeras aplicações industriais: desenhos sobre estofados, decoração de porcelana,

construção de mosaicos, ornamentação e incrustação de móveis, de vasos, de objetos

preciosos em madeira, em metal, etc” (BOISSON, 1873, p. 258). Por fim conclui que no

tocante ao ensino de desenho o mundo moderno ainda deixava a desejar em relação ao

realizado no mundo antigo.

No entanto, não havia consenso sobre como deveria ser esse ensino e várias

discussões envolviam o assunto na Europa do século XIX. Os artistas ligados à corrente do

romantismo se opunham a um ensino de desenho que seguisse regras e, uma vez que se

opunham ao processo de industrialização (cf. LÖWY e SAYRE, 2001), se colocavam contra

também ao uso do desenho na produção industrial. D’Enfert (2016) relata que na França,

dentre os defensores do ensino de desenho havia uma disputa sobre quem deveria ministrar

as aulas de desenho, se os desenhistas ou os matemáticos. Além disso, não havia consenso


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se tal ensino deveria contemplar o desenho de imitação ou o geométrico, sendo esse último

considerado a linguagem privilegiada da indústria que permitiria a comunicação entre quem

comanda e quem executa.

No Brasil, Rui Barbosa (1849-1923), então deputado e relator da comissão que

analisou a Reforma do Ensino Primário, estava atento às discussões que ocorriam na Europa

acerca desse ensino. Defendia em seu parecer, publicado em 1883 que o desenho deveria ser

ensinado tanto na escola elementar, quanto na formação do operário fabril. Citando o

superintendente escolar de Massachussetts, afirmava que o desenho se constituiria em:

Uma coisa útil em todas as partes do trabalho e em todas as condições da

vida; que é o melhor meio de desenvolver a faculdade de observação, e

produzir o gosto do bello nos objetos da natureza e de arte; que é

indispensável ao architecto, ao gravador, ao desenhador, ao esculptor, ao

mecânico; que, em summa, dá á mão e ao olho uma educação, de que todos

têm necessidade. (BARBOSA, p. 136, grifos do autor)

Para o intelectual baiano (cf. BARBOSA, 1882), o ensino do desenho, na formação,

poderia incutir hábitos de observação, de disciplina mental, de aplicação racional das

faculdades práticas. Baseado em Pestalozzi e Fröbel, Barbosa propunha que tal ensino na

escola elementar, fosse de observação e imitação e de invenção, enquanto para aqueles que

trabalhariam nas indústrias deveria se ensinar também as regras do desenho geométrico.

Outros intelectuais, além de Rui Barbosa se preocupavam com o ensino de desenho

no Brasil. Guimarães e Valente (2016) apontam que vários artigos publicados em diferentes

números de revistas – tais como, da Revista Pedagógica (de 1891 a 1895), da A Eschola

Publica (de 1893 a 1896) e da Revista de Ensino (de 1903 a 1912) – traziam discussões sobre

esse tema. Segundo a análise desses autores, tais artigos iam ao encontro do proposto por Rui

Barbosa, ou seja, um ensino de desenho ao natural, na escola elementar e do geométrico, na

profissionalizante. Mas, o ideal de um ensino de desenho que educasse o “olho e a mão” se

materializou, plenamente, na Escola Técnica Nacional, como veremos a seguir.

A Escola Técnica Nacional (ETN)


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Em 1942, pelo Decreto-Lei n 4.073 de 30/01/1942, mais conhecido como Lei

Orgânica do Ensino Industrial, foram criadas em todas as capitais brasileiras escolas técnicas

e/ou escolas industriais federais. Fundada nesse mesmo ano, a Escola Técnica Nacional

(ETN) foi oficialmente inaugurada em 1944 e tinha como incumbência formar técnicos para

o campo industrial, produzir modelos de ensino para as demais escolas técnicas das capitais

brasileiras, e de preparar professores e pessoal administrativo para atuar nesse ramo de

ensino. A Escola Técnica Nacional recebia esse nome por estar situada na cidade do Rio de

Janeiro, capital do Brasil (1763 - 1960), Distrito Federal, centro de decisões e segundo polo

industrial do país. Atualmente a ETN é conhecida como Centro Federal de Educação

Tecnológica Celso Suckow da Fonseca.

As escolas técnicas federais foram criadas com o objetivo de formar e qualificar

trabalhadores para atuarem no campo industrial e comercial. Esse vínculo da escola com a

indústria desenvolveu um tipo de ensino próprio para o trabalho, com as disciplinas escolares

classificadas em disciplinas de cultura geral e disciplinas de cultura técnica. As disciplinas

de cultura geral, comum a todos os cursos, eram: Matemática, Física, Português, Química,

Biologia, História e Francês ou Inglês. E as disciplinas de cultura técnica eram: Desenho

Técnico, Higiene Industrial, Organização do Trabalho, Prática de Oficina e Tecnologia.

A Lei Orgânica do Ensino Industrial considerava no art.5º que “Os ofícios e técnicas

deverão ser ensinados, nos cursos de formação profissional, com os processos de sua exata

execução prática, e também, com os conhecimentos teóricos que lhes sejam relativos. Ensino

prático e ensino teórico apoiar-se-ão sempre um no outro”. A aplicabilidade da teoria na

prática era a característica fundamental de uma escola de ensino técnico.

A aplicação dos conteúdos para um ensino de ofício e da técnica na formação

profissional, relacionava-se a um determinado campo de trabalho do técnico na indústria.

Sendo assim, após uma análise dos programas e dos currículos da ETN, verificamos que os

conteúdos que contribuíam para a formação técnica dos alunos pertenciam às disciplinas de

Desenho, de Matemática e de Tecnologia do Ofício (prática de oficina). Elas eram as

responsáveis por estabelecer essa relação dos conteúdos teóricos com a prática.

Desenhar e ler projetos de desenhos eram funções imprescindíveis do estudante da

ETN, do futuro técnico, que deveria saber representar, com o uso do Desenho Técnico,

qualquer obra corrente de sua especialidade profissional. Para alcançar tais finalidades era


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necessário o estudo de manejo de instrumentos de desenhos; das normas técnicas da

profissão; do erro; como também dos desenhos de construções geométricas; de perspectivas,

vistas e secções; da geometria descritiva e suas projeções e rebatimentos de figuras planas e

sólidos geométricos; de diedros; de desenho a vista; de leitura de planta; de projetos; da

medição e cotagem.

Esse estudo de Desenho, sob normativas e conhecimentos matemáticos, não se

restringia ao uso das técnicas e dos conceitos. Tal ação desenvolvia o raciocínio lógico-

dedutivo, a percepção visual, a precisão das medidas e a representação das formas, em um

processo analítico que fluía nas mãos do técnico, que desenhava e obtinha como produto a

representação gráfica do objeto estudado.

Uma análise ergológica na formação do técnico brasileiro

Para descrever aspectos do contributo do Desenho na constituição da subjetividade

do futuro técnico, utilizamos os seguintes documentos do Arquivo da antiga ETN: desenhos

técnicos dos alunos, currículos, boletins informativos e textos da pedagogia TWI. Dentre

esses documentos, dois são referentes as atividades de desenho: a Série Metódica de

Aprendizagem e a pasta de Desenho técnico de 1964, de um aluno da 1ª série do curso técnico

de Máquinas e Motores.

O Primeiro documento tratava-se de um método pronto e sistematizado de atividades

oficinais de desenhos a serem realizadas pelos alunos com orientação do professor. Segundo

Steffen (1954), a nova Série Metódica de Aprendizagem, publicada pelo Departamento de

Ensino Industrial (DEI), substituía a antiga série, tradução fiel de uma obra alemã, mas que

apresentava deficiências ao ser aplicada no Brasil.

O segundo documento, a pasta de Desenho Técnico de um aluno do curso de

Máquinas e Motores, consistia em atividades de desenhos desenvolvidas em folha A4. Os

conteúdos se iniciavam com os primeiros traçados de retas perpendiculares, paralelas e

concorrentes do Desenho geométrico e, progrediam gradualmente, para os traçados de

ângulos de polígonos e concordâncias, atividades de aplicações, perspectivas-projeções, três

vistas e cortes.

Para que os alunos da ETN desenvolvessem habilidades que os tornassem capazes de

realizar tais atividades de desenho, o professor deveria promover ações construtivas de


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procedimentos, tais como: a educação dos olhos e das mãos; a disciplina do espírito; a ordem;

a postura corporal; a precisão; o gosto pelo belo e a percepção em uma ação conjunta. Essas

ações tinham por finalidade ensinar a visualizar e representar de modo racional, na expressão

gráfica, os objetos e suas propriedades, objetos esses utilizados nos mais diversos campos da

indústria. A Matemática aplicada ao Desenho contribuía na precisão dos valores utilizados,

no processo de escolha das normas e na percepção e precisão da representação gráfica dos

objetos.

Durante o processo de escolha das normas necessárias à representação gráfica, os

futuros técnicos deveriam calcular, pensar com rapidez e eficácia, estabelecer críticas às

margens de erros. Por exemplo, normas no tipo de perspectiva, de corte, de cota, de vistas e

de escalas. Esses procedimentos de escolhas exigiam reflexão para uma tomada de decisão

adequada. Nesse sentido, executar uma atividade não significava reproduzir e repetir os

métodos, regras e técnicas tais quais lhe foram impostas. O trabalho normatizado imposto ao

futuro técnico passava pelo seu crivo de conhecimento e experiências escolares, adquiridos

nas aulas teóricas e práticas, bem como por sua experiência pessoal extraescolar.

Esse processo de reflexão, escolhas e posturas dos estudantes da ETN, com o uso de

suas experiências para realizar o trabalho normatizado, nos remete aos conceitos de Ergologia

de Yves Schwartz, utilizados em Rosa (2004), a respeito do corpo -si e do uso de si em

situação de trabalho, ou seja, no uso de si por si e o uso de si pelos outros.

O conceito na Ergologia do corpo-si, mencionado em Rosa (2004), refere-se como

sendo o árbitro que atua no intrínseco da atividade do trabalho; corpo-si não é sujeito

delimitado, definido, mas uma entidade “enigmática” que resiste às tentativas de ser

objetivado, das quais, ele sempre escapa, a seu jeito.

Na atividade do trabalho ocorre o envolvimento da pessoa no uso de si; isso quer

dizer que não há execução, mas uso, pois é o indivíduo no seu ser que é convocado. O

trabalhador (técnico) sempre reorganiza o trabalho que lhe é imposto (normatizado),

realizando escolhas e fazendo-o de outra maneira, mas não foge às normas técnicas. Essa

ação está ligada as suas singularidades, histórias e experiências que interferem na realização

do trabalho, no uso de si por si e no uso de si pelos outros.


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O uso de si por si trata da postura que cada trabalhador (técnico) adota perante as

normas com as quais se depara, renormalizando-as, (re) criando-as fazendo o uso de si por

si, de acordo com a sua formação profissional e pessoal.

O uso de si pelos outros trata do uso que outros fazem do trabalhador (técnico). O

outro pode ser: os avaliadores do trabalho, os que pagam pelo trabalho, os que fazem a

prescrição, as instituições reguladoras das normas científicas, técnicas e organizacionais e o

Ministério da Educação e seus setores, como o Departamento de Ensino Industrial (DEI).

Os conceitos de corpo-si, uso de si por si e uso de si pelos outros, podem também ser

percebidos nos trabalhos prescritos e normatizados pelo Ministério de Educação do Brasil,

via DEI, para a disciplina Desenho da ETN.

O Ministério de Educação normatiza o trabalho, o uso de si pelos outros, ao

prescreverem a seus professores da educação industrial, as atividades de desenho a serem

desempenhadas: material elaborado com suas normas técnicas e regras a serem cumpridas.

Os professores, de posse desses materiais, renormatizam as regras, ou seja, fazem uso de si

por si, ao ensinar a seus alunos as atividades do material de desenho recebido.

Professores e alunos no uso de si por si, renormalizam o trabalho prescrito

transformando-o em trabalho realizado.

Contudo, a presença do conceito corpo-si na postura dos futuros técnicos da ETN, não se manifestava

apenas nas atividades que lhes eram prescritas, como calcular e desenhar (MOURA, 2016). As características

do ensino de Desenho não somente conduziam a ações disciplinadoras que eliminavam tudo o que era

supérfluo, buscando precisão, eficácia e rapidez no trabalho, mas também envolviam posturas de tomada de

decisão e escolhas. O corpo-si, com base nessas ações, levava os alunos à reflexão e não à alienação. O corpo-

si nesses estudantes extrapolava os moldes curriculares e atuava também, na luta por justiça, por seus direitos

e na aquisição de novos direitos. Por exemplo: na Escola Técnica Nacional, no ano de 1965, os alunos do 1º

ano dos cursos técnicos, reivindicaram por justiça, quando o autoritarismo do professor da disciplina de Física,

culminou com a reprovação em massa de 200 alunos dessa disciplina5.

Em resposta, a ETN demitiu o professor, mas não apresentou nenhuma solução para

a reprovação em massa. Os alunos, não encontrando o apoio que desejavam na direção da

Escola, realizaram uma série de manifestações em frente ao Ministério de Educação e

Cultura. Recorreram à mídia, os jornais e rádios, apresentando seus manifestos e solicitando

5 Documentos do Arquivo Geral, Fundo ETN, CX. 62.4.3, ETN 2-06.023.


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a ação do Ministério da Educação, por uma solução mais justa. Para os alunos, a simples

demissão do professor não resolvia o caso das reprovações, assim exigiam uma revisão das

avaliações. Essas manifestações ocorreram já em época da Ditadura Militar no Brasil (1964-

1985).

Considerações finais

O futuro técnico deveria ser dotado do saber-fazer de sua profissão, um conjunto de

conhecimentos e habilidades que o tornava apto para o seu ofício, de maneira a desempenhá-

lo com disciplina, rapidez e eficácia. A habilidade de um técnico, não consistia em

procedimentos de tentativas e erros, com a análise de dados na intenção de alcançar certa

maturidade. Porém, em intenso pensar e agir, para alcançar resultados rápidos e eficazes

próprios do campo industrial. Sob uma análise ergológica, as normativas do Desenho

contribuíam para o desenvolvimento da capacidade de tomar decisões adequadas no processo

de escolhas, que consiste na relação entre a experiência humana e o conhecimento que

emerge da formação do técnico.

Referencias bibliograficas

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instrução pública: parecer e projeto da comissão de instrução pública. Rio de Janeiro:

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Guimarães, M. D., Valente, W. R. (2016). Entre o parecer de Rui Barbosa e as revistas

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HISTEMAT Revista de história da educação matemática. Ano 2 (2).106-121

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Moura, E. C. M. (2016). O Ensino de Matemática em duas escolas profissionalizantes: Brasil

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Rosa, M. I. (2004). Usos de si e testemunhos de trabalhadores. São Paulo: Letras e Letras.

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CBAI. Rio de Janeiro/DF. vol. VIII, nº5/6, 1243-1246, mai/jun.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-605

UMA ANÁLISE DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS TRABALHADA POR

FUTUROS PROFESSORES DE MATEMÁTICA EM UM GRUPO DE ESTUDOS

Andresa Maria Justulin – Lourdes de la Rosa Onuchic


Universidade Tecnológica Federal do Paraná/UTFPR – Universidade Estadual Paulista

“Julio de Mesquita Filho”/UNESP - Brasil

Núcleo temático: A resolução de problemas em matemática.

Modalidade: CB.

Nivel educativo: Formação e atualização de ensino.

Palavras-chave: Resolução de Problemas; Formação de Professores; Matemática;

Metodologia de Ensino-aprendizagem-Avaliação.

Resumo Este trabalho, que aborda uma tarefa desenvolvida no âmbito da formação inicial de

professores de Matemática, teve como objetivo investigar como futuros professores

implementaram a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através

da Resolução de Problemas em um grupo de estudo sobre a temática. A pesquisa

desenvolveu-se com alunos de uma universidade pública do interior do estado de São Paulo

– Brasil. Após os participantes discutirem teórica e metodologicamente a Resolução de

Problemas, eles foram convidados a selecionar um problema e trabalhá-lo como gerador de

novo conteúdo matemático no grupo de estudo que integravam. A análise dos dados seguiu

uma abordagem qualitativa, investigando as interlocuções e as estratégias apresentadas

pelos futuros professores. Os resultados indicaram que os participantes tendem a apresentar

problemas de livro-didático, de natureza fechada, e que as discussões desencadeadas

apoiam-se no uso da técnica operatória em detrimento do incentivo a novas estratégias para

a resolução de problemas. Tal resultado é um indício de que essa Metodologia precisa ser

explorada desde a formação inicial, o que possibilita a reflexão sobre o ensino de

Matemática atual e incentiva o uso de metodologias ativas e diferenciadas.

Introdução

A atividade de resolver problemas sempre fez parte do dia a dia do ser humano. Entretanto, no ensino de

Matemática nem sempre parece natural, aos professores, utilizar problemas como gerador ou desencadeador de

novo conteúdo. Essa é a proposta quando se aborda a Resolução de Problemas6 como metodologia de Ensino

6 Neste texto será utilizado resolução de problemas com “rp” minúsculos ao se referir à

atividade de resolver problemas e com “RP” maiúsculos ao tratá-la como metodologia de

ensino de Matemática.



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de Matemática. Os trabalhos de Onuchic (1999), Onuchic e Allevato (2004) e Allevato e Onuchic (2014)

fundamentam a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de

Problemas.

A definição de problema adotada neste texto é a de “(...) tudo aquilo que não sabemos fazer,

mas que estamos interessados em resolver” (Onuchic, 1999, p. 15). Desse modo, considera-

se que o que é problema para um aluno, pode ser exercício para outro; cabendo ao professor

selecionar uma gama de problemas para o trabalho em sala de aula.

Na proposta da Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da

Resolução de Problemas, os processos de ensino, aprendizagem e avaliação, considerados

como distintos, principalmente no início do século XX, são expressos como palavra

composta, expressando que ensino e aprendizagem devem ocorrer simultaneamente e a

avaliação deve estar integrada ao ensino para promover a aprendizagem.

Tal metodologia propõe algumas atividades ou ações a serem desenvolvidas pelo professor,

em sala de aula, ao trabalhar problemas com seus alunos em direção à construção de novos

conceitos e conteúdos matemáticos. O problema torna-se o ponto de partida e o meio para

ensinar Matemática. A utilização de trabalho em grupos e discussões, em sala de aula, para

a construção do conhecimento ativa e coletivamente são destaques na Metodologia de

Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas. Nesse contexto, o

professor faz o papel de mediador e condutor, enquanto os alunos assumem o papel de

coconstrutores de seu conhecimento.

Este trabalho apresenta resultados da tese de doutorado da primeira autora sob orientação da

segunda. Por meio de uma tarefa desenvolvida no âmbito da formação inicial de professores

de Matemática pretende-se analisar como futuros professores implementaram a Metodologia

de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas em

um grupo de estudo sobre a temática.

A Resolução de Problemas na formação inicial de professores de Matemática

O trabalho com resolução de problemas, ao longo do tempo e das pesquisas, revelou variados

enfoques. O primeiro deles, de Fernandes et al (1997), apresenta um conjunto de trabalhos

de Portugal e de outros países sobre a Resolução de Problemas na Formação Inicial de


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professores de Matemática. Nele, Vale (1997) trabalhou com professores do 4º ano do curso

de Matemática e Ciências da Natureza de uma Escola Superior de Educação, por cinco meses.

A pesquisa teve por objetivo investigar o desempenho e as concepções de futuros professores

em relação à resolução de problemas. Os futuros professores deram pouca importância às

fases do modelo de Polya e julgaram que as tarefas propostas foram interessantes e

apropriadas para apresentar aos seus alunos.

Para Vale (1997)

A formação inicial pode contribuir favoravelmente, entre outros aspectos, para

aprofundar os conhecimentos e as competências dos futuros professores sobre a

resolução de problemas, pois estes estão em melhores condições que os professores

em serviço, uma vez que poderão estar mais receptivos para a aprendizagem e para

a alteração de suas concepções. (p. 8).

Leitão e Fernandes (1997) estudaram processos usados pelos futuros professores de

Matemática ao resolverem problemas em grupo. Os participantes foram quatro alunos que

resolveram, em grupo, seis problemas. O grupo foi acompanhado por um professor que

realizou uma observação direta participativa e gravou em áudio suas discussões. Os

resultados indicaram que os alunos tiveram sucesso na resolução dos problemas e que o grupo

mostrou-se comunicativo e reflexivo, buscando sempre um consenso e procurando outras

formas de resolução do problema.

No Brasil, em relação aos trabalhos envolvendo a Resolução de Problemas e o

contexto da formação inicial de professores destacam-se os de Costa (2012) e de Azevedo

(2014). No primeiro, o autor investigou como (futuros) professores de Matemática exploram

o conceito de proporcionalidade através da resolução de problemas. A pesquisa investigou

também algumas crenças dos (futuros) professores antes, durante e depois de vivenciarem a

Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de

Problemas. Os resultados indicaram que a Metodologia ajudou os (futuros) professores a

saírem do estado de ouvintes e a se tornarem questionadores, investigativos e participativos,

sendo co-construtores de seus próprios conhecimentos. Além disso, mobilizaram diversas

estratégias de resolução para os problemas propostos e puderam refletir sobre “quando” e

“como” ensinar proporcionalidade aos seus futuros alunos. No segundo, a autora fez uso de

duas disciplinas da graduação para tratar aspectos teóricos e práticos da Resolução de

Problemas com seus alunos, futuros professores. As análises evidenciaram que a Resolução


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de Problemas se mostrou um importante caminho para preparar o futuro professor de

Matemática.

Procedimentos metodológicos

O grupo de estudo cujo um dos encontros será tratado neste trabalho, era formado por seis alunos do Curso de

Licenciatura em Matemática (Felipe, Juliana, Fernanda, Aline, Camila e Vítor7), de uma universidade estadual

do interior do estado de São Paulo/ Brasil e pela pesquisadora. Ao todo foram realizados 15 encontros, que

abarcaram conteúdos matemáticos indicados pelos próprios participantes como difíceis de ensinar ou de

aprender enquanto alunos da Educação Básica. No último deles, os participantes foram convidados, em duplas,

a implementarem a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através da Resolução de Problemas no

próprio grupo de estudo. Assim, os participantes, no último encontro, propuseram três problemas, mas por

limitação de espaço será analisado apenas um deles, o problema de Aline e Fernanda.

Neste trabalho, a abordagem qualitativa mostrou-se apropriada para analisar como futuros

professores implementaram a Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de

Matemática através da Resolução de Problemas em um grupo de estudo, visto que “busca

interpretar o caso como um todo orgânico, uma unidade em ação própria, mas que guarda

forte relação com seu entorno ou contexto sociocultural” (Fiorentini & Lorenzato, 2012, p.

111). Neste contexto, também se analisou como os futuros professores exploraram o

problema proposto, e a abordagem qualitativa “fornece informações mais descritivas que

primam pelo significado dado às ações” (Borba & Araújo, 2012, p. 24).

Resultados e Análise

O Problema de Aline e Juliana

Quais são as raízes da equação 𝑥2 − 14𝑥 + 48 = 0? Esboce o gráfico da função relacionada,

considerando o que significam os coeficientes 𝑎 = 1, 𝑏 = −14 𝑒 𝑐 = 48.”

O problema foi escolhido pelas participantes e selecionado a partir da internet. Ele, em

especial e diferentemente dos demais apresentados, mostrou-se fechado, mas com

possibilidade de ser explorado graficamente. Esperava-se que os participantes utilizassem de

7 Nomes fictícios.


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conhecimentos adquiridos na graduação para encaminhar discussões finais com o grupo de

estudo.

Neste encontro estavam presentes quatro licenciandos e a pesquisadora; e formou-se, para o

trabalho em grupo, um trio (Andresa, Fernanda e Vítor) e a dupla Aline e Juliana.

A primeira estratégia para a solução do problema foi o uso da Fórmula de Bháskara8 para resolver a equação e

a determinação do vértice da parábola, por meio da fórmula 𝑉 = (−𝑏

2𝑎;

−Δ

4𝑎), conforme figura 1:

Figura 1 – Parte da resolução do problema de Aline e Juliana.

Fonte: Dados da pesquisa.

Fernanda e Vítor, que estavam sentados um ao lado do outro, pensaram na ideia da

derivada para obter −𝑏

2𝑎 , que indicaria o ponto de máximo ou de mínimo de uma função. Após

essa discussão, eles determinaram as raízes da equação, obtendo os valores 6 e 8. Em seguida,

apresentaram o esboço do gráfico da função:

8 Como é conhecida no Brasil.


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Figura 2 - Esboço do gráfico solicitado no problema de Aline e Juliana, por Fernanda.

Fonte: Dados da pesquisa.

Pode-se notar que Fernanda não se preocupou, durante a construção do esboço, com a escala

do gráfico. É necessário, mesmo durante o esboço de um gráfico, o cuidado com as unidades

de medida. Nesse caso, pode-se observar que Fernanda marcou de 0 a 6 um ponto e utilizou

a mesma medida para marcar de 6 a 7 e de 7 a 8, o que não seria correto.

Durante a plenária, Aline e Juliana foram questionando o grupo e destacando alguns pontos

importantes:

Juliana: O que é importante no esboço? Onde vai cortar o y?; Quais são as raízes?; e onde está o

vértice?...

(...)

Fernanda: Eu só sei que se o 𝑎 é positivo, a concavidade do gráfico é para cima. Do 𝑏 e o 𝑐, eu não

lembro de nada...

Aline: Existe algum jeito de resolver essa equação sem usar Bháskara?

Andresa: Sim... por soma e produto! Sim... o que queremos?

Procurando todos os divisores de 48 teríamos:

{ 𝑥 + 𝑦 = 14

𝑥. 𝑦 = 48

Assim,

E, portanto, 𝑆 = {6; 8}.

1

48 2 2

24 2 4

12 2 8

6 2 16

3 3 3 - 6 - 12 – 24 – 48

1

48 = 1 × 48 → 1 + 48 = 49 48 = 2 × 24 → 2 + 24 = 26 48 = 4 × 12 → 4 + 12 = 16 48 = 8 × 6 → 8 + 6 = 14 48 = 16 × 3 → 16 + 3 = 19


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Continuando a trabalhar com o problema, Juliana conduz a aula questionando o que os

coeficientes da equação significam no gráfico:

Juliana: [...] se (o coeficiente) b for zero, o que acontece?

Fernanda: Ele não corta o eixo x?

Juliana: Ele intercepta o eixo x e o gráfico é simétrico (em relação ao eixo y).

[...]

Aline: Aqui... por exemplo, a parábola corta no ponto 48 o eixo y... daí você vai ver... do lado direito

desse ponto... o que acontece com a parábola? Ela desce! (decresce). Isso aqui é quando 𝑏 < 0 e 𝑏 =−14 [...] igual à parábola que vocês desenharam...

[...]

Juliana: E o que o c determina?

Vítor: Onde a parábola corta o eixo y! É o ponto 𝑦 = 48.

A dupla afirmou que esse é um conteúdo recomendado para ser trabalhado no 9º ano do

Ensino Fundamental. Fernanda considerou que esse não deveria ser um problema inicial, mas

seria adequado para o aluno investigar o que significa, graficamente, ser raiz e o que os

coeficientes significam no gráfico. Para isso, no entanto, o aluno já deveria saber como

calcular as raízes de uma equação e como esboçar uma parábola.

Para finalizar a abordagem do problema, a pesquisadora questionou o grupo sobre como se

relacionariam essas conclusões com os conceitos do cálculo. Desse modo, o grupo concluiu,

no momento da formalização do problema, que na função 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐:

O coeficiente a indica o comportamento da concavidade da parábola que, neste

problema, seria voltada para cima, pois 𝑎 > 0. Esse resultado se relaciona com o

teste da derivada segunda que, nesse caso, depende do sinal do coeficiente 𝑎.

O coeficiente b indica se a parábola cruza o eixo y em seu ramo crescente ou

decrescente. (se 𝑏 > 0, a parábola cruza o eixo y no ramo crescente; se 𝑏 < 0, a

parábola cruza o eixo y no ramo decrescente ou, se 𝑏 = 0, a parábola cruza o eixo y

no vértice). Essa conclusão pode ser obtida a partir do teste da derivada primeira que

indica os pontos críticos. Como para 𝑥 > 7, 𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 14 > 0 e para 𝑥 < 7,

𝑓´(𝑥) = 2𝑥 − 14 < 0 , então tem-se um ponto de mínimo. No problema trabalhado,

𝑏 = −14 e a parábola intercepta o eixo y em seu ramo decrescente.

O coeficiente c indica onde o gráfico intercepta o eixo y, quando se faz 𝑥 = 0 na

equação 𝑥2 − 14𝑥 + 48 = 0 e, portanto, 𝑐 = 48.


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As raízes 𝑥1 e 𝑥2 indicam onde o gráfico intercepta o eixo x. Nesse caso, como ∆ =

4 > 0, ele intercepta o eixo x em dois pontos distintos. Se ∆< 0, o gráfico não

intercepta o eixo x e as raízes seriam complexas. Se ∆= 0, o gráfico intercepta o

eixo x em um único ponto, uma raiz dupla.


Na formação de professores esse problema permitiu resgatar conceitos do cálculo durante

sua formalização. Faz-se necessário que os futuros professores compreendam essa relação ao

invés de somente apoiar-se nas “fórmulas ou regras matemáticas”, sem atribuir-lhes

significado.

Durante a condução da atividade final pelos futuros professores foi possível perceber que

eles buscaram, inicialmente, que o grupo pensasse sobre o problema. Em seguida,

provocaram uma discussão em direção à construção do conceito. Ao final, após cada

integrante do grupo apresentar como havia pensado, o futuro professor, que estava propondo

o problema, fez a formalização dos conceitos matemáticos envolvidos. Desse modo, foi

possível perceber que o grupo compreendeu e aplicou a Metodologia de Ensino-

Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas, evidência de

uma aprendizagem profissional docente.

Referências bibliográficas

Allevato, N. S. G. & Onuchic, L. R. (2014) Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática: por que

Através da Resolução de Problemas?. In Onuchic, L. R. et al. (Eds.) Resolução de Problemas: Teoria

e Prática. (pp. 35-52). Jundiaí: Paco Editorial.

Azevedo, E.Q. (2014). O processo de ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da

Resolução de Problemas no contexto da formação inicial do professor de Matemática. Tese de

doutorado, Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”, Rio Claro, SP, Brasil.

Borba, M. & Araújo, J. L. (2012) Pesquisa qualitativa em Educação Matemática: notas introdutórias.

In Borba, M.& Araújo, J. L. (Eds). Pesquisa qualitativa em Educação Matemática. (pp. 23-30). Belo

Horizonte: Autêntica.

Costa, M. S. (2012). Ensino-Aprendizagem-Avaliação de proporcionalidade através da resolução de

problemas: uma experiência na formação inicial de (futuros) professores de Matemática. Tese de

doutorado, Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, SP, Brasil.


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Fernandes, D. et al. (1997). Resolução de problemas na formação inicial de professores de

Matemática: múltiplos contextos e perspectivas. Aveiro: GIRP.

Fiorentini, D. & Lorenzato, S. (2012). Investigação em Educação Matemática. (3.ed., Coleção

Formação de Professores). Campinas: Autores Associados.

Leitão, A. & Fernandes, H. (1997). Trabalho de grupo e aprendizagem cooperativa na resolução de

problemas por futuros professores de matemática. In D. Fernandes et al. (Eds), Resolução de

problemas na formação inicial de professores de matemática: múltiplos contextos e perspectivas.

(pp. 1-38). Aveiro: GIRP.

Onuchic, L.R. (1999). Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas. In

Bicudo, M.A.V (Ed), Pesquisa em Educação Matemática: concepções e perspectivas (pp. 199-218).

Rio Claro: Editora da UNESP.

Onuchic, L.R. & Allevato, N.S.G. (2004). Novas reflexões sobre o ensino-aprendizagem de

Matemática através da Resolução de Problemas. In BICUDO, M.A.V. & BORBA, M.C. (Ed),

Educação Matemática – pesquisa em movimento (pp.213-231). Rio Claro: Editora da UNESP.

Vale, I. (1997). Desempenhos e concepções de futuros professores de Matemática na resolução de

problemas. In D. Fernandes et al. (Eds), Resolução de problemas na formação inicial de professores

de matemática: múltiplos contextos e perspectivas. (pp. 1-38). Aveiro: GIRP.


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CB-606

DIFERENCIA EN EL APRENDIZAJE DEL TEMA DERIVADAS CON EL

MÉTODO TRADICIONAL Y EL APRENDIZAJE BASADO EN PROBLEMAS

(ABP) EN ALUMNOS DE CÁLCULO DE DOS UNIVERSIDADES DIFERENTES

DE ARGENTINA Padró, Silvia Inés

[email protected]

Universidad Nacional de Entre Ríos - Argentina

Núcleo temático: Comunicación y Divulgación matemática. Nivel Profesorado

Modalidad: Comunicación Breve (CB)

Nivel educativo: Formación y Actualización docente

Palabras clave: Derivadas, ABP, Desarrollo integral, Autonomía

Resumen El mundo actual en permanente cambio, requiere la formación de profesionales preparados

para hacerle frente, poseedores de características tales como iniciativa, capacidad

comunicativa y argumentativa, un espíritu investigativo, entre otras.

Para poder afrontar las demandas de la sociedad es importante utilizar estrategias

educativas que promuevan la curiosidad por medio del autoaprendizaje. El aprendizaje

basado en problemas (ABP) ha demostrado efectos positivos partiendo de la premisa que

establece que a partir del conflicto cognitivo se aprende.

El objetivo de la investigación fue determinar si esta técnica (ABP) influye positivamente en

el aprendizaje del tema derivadas en estudiantes de la carrera de Contador Público. Se

utilizó la metodología cuasiexperimental, con dos grupos constituidos por los alumnos de

cada universidad. Uno de los grupos funcionó como grupo de control con la metodología

tradicional y el otro grupo, considerado experimental, con la metodología del ABP. Ambos

grupos fueron evaluados con el test de estilos de pensamiento de Sterberng que junto con la

descripción demográfica de las muestras determinaron sólo una diferencia entre ambos,

además de la metodología, la cual fue el factor social. El rendimiento del grupo experimental

resultó notablemente superior al grupo de control.

Introducción

Prieto (2006, p. 174) señala que “el aprendizaje basado en problemas representa una

estrategia eficaz y flexible que, a partir de lo que hacen los estudiantes, puede mejorar la

calidad de su aprendizaje universitario en aspectos muy diversos”. El ABP es una

metodología centrada en el aprendizaje, en la investigación y reflexión que siguen los

alumnos para llegar a una solución ante un problema planteado por el profesor. Por esta razón

este método ayuda al alumno a desarrollar diversas competencias entre las que podemos

mencionar la resolución de problemas, toma de decisiones, trabajo en equipo, habilidad de


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comunicación, desarrollo de actitudes y valores, identificación de problemas relevantes del

contexto profesional, la conciencia del propio aprendizaje, la planificación de estrategias a

seguir, el pensamiento crítico, el aprendizaje auto dirigido y permanente, entre otras.

Considerando las ideas de Sonmez & Lee (2003) y Benito et al. (2005), el ABP es una

estrategia metodológica activa que desafía en forma permanente a los alumnos a generar un

conocimiento a partir de la búsqueda de soluciones de problemas que deben ser planteados

cuidadosamente por el docente. De aquí se desprende la conexión del tema con los

conocimientos didácticos que poseen los docentes de matemática en las Facultades de

Ciencias Económicas. Pero no termina aquí, sino que, la aplicación de esta metodología exige

al docente de matemática poseer un conocimiento del estudiante en particular y el grupo en

general, además de conocer los temas matemáticos y su vinculación al área económica.

Debemos destacar además que el docente debe estar dispuesto a abandonar su protagonismo

y tener en claro cuándo y cómo intervenir para que el alumno continúe en su actitud

participativa y sobre todo reflexiva que permitirá llegar a la construcción autónoma del

conocimiento impartido. Este esfuerzo por cambiar el método tradicional de enseñanza es

motivado por la diferencia que dicho cambio produce en el aprendizaje de los temas en

general y el de derivadas en particular.

El propósito fundamental de introducir el ABP en la enseñanza de la matemática en

estudiantes universitarios es el de establecer los programas educativos de estas asignaturas

en términos de competencia. Situar la educación universitaria en este nuevo modelo supone

privilegiar a la persona que aprende por sobre los contenidos, orientarse a la demanda laboral

estableciendo programas flexibles, actividades reflexivas, trabajo en equipos, creatividad en

la búsqueda de estrategias, etc.

En este nuevo enfoque los contenidos, metodologías, materiales didácticos, etc., pasan a ser

instrumentos para el desarrollo de competencias en los estudiantes que los fortalezcan a

través de la adquisición de destrezas, capacidades y valores los cuales les serán de utilidad

en su vida tanto personal como laboral.

Población y muestras

La investigación realizada fue diseñada para comparar dos poblaciones. Una de ellas eran los

estudiantes de Cálculo Aplicado a las Ciencias Económicas de la Facultad de Ciencias

Económicas de Universidad Nacional de Entre Ríos (UNER) y la otra estuvo conformada


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por los estudiantes de Análisis Matemático II de la Facultad de Ciencias Económicas y de la

Administración de la Universidad Adventista del Plata (UAP).

En ambos casos los estudiantes estaban cursando el segundo año de la carrera de Contador

Público, y ya habían cursado previamente la asignatura Álgebra y Microeconomía.

El número de alumnos que cursa Cálculo en UNER es de aproximadamente 300 estudiantes,

en tanto que los que cursan Análisis II en UAP es de 32. Debido a la gran diferencia de

número entre ambos grupos, y con el propósito de que dicha diferencia no afecte los

resultados, de los estudiantes de UNER se tomó una muestra aleatoria de un número igual de

elementos que la que se tomó en UAP y allí se trabajó con la totalidad.

La descripción de esta población en lo que hace a sexo, lugar de residencia, edad, y otros

aspectos que resulten de interés fue realizado a través de la muestra que se tomó de ellas.

Hipótesis en estudio

La hipótesis que se puso a prueba es la siguiente: “El aprendizaje del tema Derivadas en

Cálculo se optimiza cuando para su enseñanza se utiliza la técnica del Aprendizaje Basado

en Problemas, logrando una mayor comprensión de su vínculo con otra ciencia como la

Economía y pudiendo realizar un nivel de abstracción necesario para comprender el tema

desde el punto de vista matemático puro.”

Recolección de la información

La recolección de datos descriptivos de la población y la muestra (sexo, lugar de procedencia

y edad) se efectuó a partir de las solicitudes de inscripción de los alumnos a la Facultad

correspondiente. Por lo tanto este trabajo se realizó, con el permiso de las autoridades de

ambas unidades académicas, en el sector de alumnado donde constan las fichas que los

alumnos completan.

Una vez establecido el primer contacto con ambos grupos de alumnos al comenzar el segundo

cuatrimestre de clases, se procedió a tomar el inventario de pensamientos de Sternberg, en la

adaptación y validación para la Provincia de Entre Ríos llevada a cabo por Gutiérrez, M. y

Krumm, G. (2012). Los alumnos fueron previamente dispuestos, explicándoles los alcances

del test y el motivo por el cual son sometidos al mismo. Este test tiene como propósito en

esta investigación el detectar si existen diferencias en los estilos de pensamiento y por lo

tanto de aprendizaje en ambos grupos, y en caso que así fuera tenerlos en cuenta a la hora de

realizar la comparación objeto del trabajo. Se eligió este test por recomendación del gabinete


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psicopedagógico de ambas unidades académicas, ya que se encuentra adaptado para nuestra

idiosincrasia y permite detectar diferencias fundamentales para el estudio que se realizó que

tienen que ver con los aspectos creativo, conservador y social o individual.

Posteriormente, en la Facultad de Ciencias Económicas y de la Administración de la UAP,

el desarrollo de las clases en cuanto al tema de Derivadas se realiza utilizando la metodología

tradicional para su enseñanza. En cambio, en la Facultad de Ciencias Económicas de la

UNER, llegado el momento del desarrollo del tema Derivadas, el mismo se realizó utilizando

el ABP. Se procedió como se indica en el apartado “Situación problemática”.

Luego ambos grupos fueron evaluados con la misma prueba, con el objeto de comparar los

resultados con las diferentes metodologías utilizadas.

Resultados

En cuanto a la variable “Género” ambas muestras resultaron similares como muestran los

siguientes gráficos:

Figura 1. Distribución por sexo UNER Figura 2. Distribución por sexo UAP

En lo que respecta a la variable “Edad”, en ambas universidades la mediana de los grupos

coincidió en 20 años. Se tomó ésta medida de tendencia central y no el promedio ya que en

la muestra considerada en UNER había dos alumnos de 32 y 35 años que producirían un

desplazamiento de la media, no siendo ésta la medida representativa. Por lo tanto la edad

tampoco es un factor que diferencie las muestras.

Con la variable “Lugar de Procedencia” se obtuvo los siguientes porcentajes:


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Figura 3. País de procedencia UNER Figura 4. País de procedencia UAP

Se tuvo en cuenta únicamente el país de procedencia de los alumnos ya que, dentro del país,

los programas de matemática son consensuados con los mismos contenidos. Tampoco es

destacable como diferencia la nacionalidad de los estudiantes.

En la variable “Estilos de pensamiento de Sternberg” se pudo apreciar una diferencia.

Observe la comparación:

Figura 5. Comparación de estilos de pensamiento UNER - UAP

Al analizar el cuadro de comparación de los estilos de pensamiento en las dos universidades,

se logra apreciar que estos pueden considerarse iguales en los casos del estilo creativo,

conservador y la faceta individual del estilo social-individual. No pasa lo mismo en la faceta

social del estilo social-individual. Allí hay una clara diferenciación a favor de la UAP, donde

los valores promedios de esta faceta nos dan evidentemente mayores que en la UNER. Los

datos fueron comparados mediante prueba T con el programa PASW 18 y se verificó la

igualdad en todos, excepto el estilo social en el cual claramente rechazamos la igualdad con

una significancia del 5%. Las salidas estadísticas se encuentran en el Anexo 2.

Situación problemática

Los alumnos del grupo considerado como experimental, fueron distribuidos en ocho grupos

de cuatro integrantes cada uno. El problema que se les presentó se encuentra en el Anexo 1.


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El primer encuentro con los estudiantes se realizó un día en el cual se contaba con tres horas

de clases. Para comenzar se les explicó en qué consiste la metodología del ABP y cómo se

lleva a cabo. Posteriormente, se les pidió que formaran grupos de cuatro alumnos con los

cuales iban a trabajar en las tres horas de clases previstas para ese día pero con los cuales

también iban a tener que reunirse en horas extra-áulicas para continuar con su trabajo y

finalmente poder concretar una presentación de la resolución que encontraran al problema.

Una vez conformados los ocho grupos de trabajo se les distribuyó el problema.

En las horas de clases de ese día ellos debían entender el problema y analizar diferentes

maneras de abordaje, las cuales podían consultar con la docente que asume en ese momento

el rol de guía para aclarar sus dudas. El primer problema que surgió fue el de modelar a través

de una función los datos que tenían respecto a los costos de producción de un artículo en

particular. No se les dio indicios acerca de qué tipo de función era. Como los estudiantes

están acostumbrados a problemas o ejercicios que siguen ciertos parámetros, no encontraban

la forma de determinar a qué tipo de función respondían los datos. Entendieron que la

realidad de una empresa es esa, y que ellos deben estar capacitados para hallar la función que

mejor responda a esa realidad. Eligieron diferentes caminos pero el más repetido (en seis de

los ocho grupos) fue el de representar gráficamente los datos que tenían. De esta forma

descubrieron que se trataba de una curva, y optaron por modelar la función de costos con una

función cuadrática. Terminado este encuentro, los alumnos se organizaron para continuar con

el desarrollo en otro momento y en forma grupal. Disponían de un e-mail para consultas al

docente-guía sobre lo que surgiera y no haya quedado en claro luego del primer encuentro.

En este tiempo de trabajo grupal, el cual fue de una semana, cuatro grupos necesitaron

realizar nuevas consultas, el resto siguió su trabajo en forma independiente.

Terminado el plazo se realizó un nuevo encuentro en el salón de clases durante el cual los

ocho grupos debían realizar su exposición en cuanto a los resultados hallados.

La totalidad de los grupos, una vez hallada la función de costos, empleó el concepto de costo

medio para determinar el costo unitario actual en promedio. Luego, siguiendo las

indicaciones del caso, y suponiendo que no varían los costos fijos y variables, sino sólo la

producción, encontraron el costo total con el incremento planificado. Finalmente calcularon

el costo promedio de las unidades extras añadidas a la producción y el costo marginal a partir


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de la producción actual para determinar el incremento que sufrirá el costo por cada unidad

extra producida. En base a estos datos realizaron su conclusión.

Cuando intentaron expresar de alguna manera simbólica los cálculos realizados, sólo la mitad

de los grupos llegó a la expresión matemática correcta del costo marginal como la derivada

del costo total, o sea

x 0

CCosto Marginal lím

x

De los cuatro grupos restantes, dos llegaron a la expresión cometiendo un error en cuanto al

valor del incremento de la producción, ya que expresaron el límite pero para x tendiendo

a 1 (uno) en lugar de hacerla tender a 0 (cero). Los otros dos grupos sólo hicieron los cálculos

de los costos medios para la producción actual y para el incremento previsto en la misma,

considerando que el costo marginal es justamente este último costo medio.

Luego de que finalizara la exposición de los ocho grupos (contó con 15 minutos cada grupo),

se realizó una formalización del concepto de derivada por parte de la docente-guía y en clases

posteriores se completó el desarrollo del tema.

Los resultados obtenidos dan una clara evidencia del compromiso de los alumnos ante la

tarea encomendada, ya que ninguno de los grupos dejó de presentar el trabajo y, aunque no

todos llegaran a la solución esperada, mostraron esfuerzo y dedicación. No olvidemos que

para poder responder las diferentes instancias de solución debieron repasar conceptos

económicos y matemáticos con los cuales contaban pero no eran propios de esta materia.

Además es menester mencionar que la actitud del estudiante había cambiado. La actitud del

estudiantado en la clase pasó de ser pasiva a ser activa, no limitaron su participación y

entusiasmo a este tema únicamente, sino que los acompañó el resto de la asignatura.

Evaluación del tema Derivadas

Luego de que ambos grupos habían formalizado el concepto de derivadas, desarrollado las

reglas de derivación y realizado el trabajo práctico del tema se los evaluó con la misma

prueba. Los datos fueron ingresados al software PASW 18, y se determinaron los estadísticos

descriptivos de ambas muestras, obteniendo para el caso de UAP una media de 43,56 con

desvío estándar de 27,161. En tanto en UNER la media fue de 67,88 con un desvío de 19,024.

A continuación se realizó una prueba T para muestras independientes y se rechazó la


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hipótesis de igualdad de medias con una significación de 41,04x10 . Se interpretó que la

media de UNER es evidentemente mayor a la de UAP.

Conclusiones

Ambos grupos contienen alumnos con estilos creativo y conservador de pensamiento que se

corresponden a los estilos activo y teórico de aprendizaje. Se notó una diferencia en el tercer

estilo de pensamiento, denominado Social-Individual, pero sólo en la faceta social. Los

alumnos de UNER tienen menos desarrollado la faceta social en su estilo de pensamiento, lo

cual influye en el aprendizaje cuando éste se realiza en forma grupal. Atendiendo a que el

grupo de UAP tiene más desarrollado el aspecto social consideramos que sería ideal

programar la enseñanza de éste y otros temas en el futuro con la metodología del ABP.

En lo que respecta a los logros desde el punto de vista cuantitativo, es notable la superioridad

de la media de las notas obtenidas en el tema derivadas en el grupo experimental con respecto

al de control. Debido a que se consideró que ambos grupos son homogéneos en los factores

que se tuvieron en cuenta para realizar la comparación, estimamos que esta diferencia reside

en la metodología aplicada para su enseñanza.

La metodología del ABP fue exitosa en su aspecto motivacional, ya que los alumnos se vieron

impelidos a resolver un problema con sus propios conocimientos, sabiendo que tenían todos

los elementos para hacerlo y éste pasó a ser un desafío que llevaron adelante con éxito. Esto

redundó en motivación para seguir adelante con los temas subsiguientes con la misma actitud

de reflexión y participación. Claramente se detectó una diferencia en el aprendizaje del tema

derivadas utilizando las dos metodologías diferentes, las cuales son el ABP y la tradicional.

Nuestro mundo se encamina hacia una cultura del trabajo basada en la información, la

tecnología y la interdependencia. La educación debe preparar a los estudiantes para esta

realidad que les espera, o sea que además de los conocimientos intrínsecos de cada carrera,

debe promover la adquisición de habilidades intelectuales, de comunicación, personales y

sociales tales como la sensibilidad ante las necesidades, problemas y aspiraciones de los

demás, el ajuste de nuestra manera de ser y actuar con las del equipo del cual formamos parte,

la resolución grupal de problemas, la comprensión del otro y la capacidad de respetar las

diferencias, convivir con la heterogeneidad, manifestar tolerancia, flexibilidad,

responsabilidad, iniciativa, entre otras. Allí reside uno de los principales desafíos para los

docentes que hoy ocupamos las aulas en los diferentes niveles.


ISBN 978-84-945722-3-4


Benito, A., Bonson, M e Icarán, E. (2005). Metodologías Activas. Nuevas claves para la

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http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/367/1101%20Consultado%207/11/14

http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/index.php/xiii_ciaem/xiii_ciaem/paper/viewFile/367/1101%20Consultado%207/11/14

http://www.creativity.javitsonline.com/files/pblScience.pdf


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-607

PERSPECTIVAS DE UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE GRUPOS COLABORATIVOS: UM

ESTUDO DE CASO

Zionice Garbelini Martos Rodrigues Nelson Antônio Pirola - [email protected]

[email protected]

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo- UNESP - Brasil

Universidade Estadual Paulista- Campus Bauru

Brasil

Núcleo temático: Investigação em Educação Matemática.

Modalidad: CB

Nivel educativo: 5. Formação de professores e de reciclagem

Palabras clave: Investigação, trabalho colaborativo, grupos de professores

Resumo Este artigo apresenta um recorte de um trabalho de pesquisa realizado em nível de pós-

doutoramento desenvolvido no ano de 2016. O texto objetiva apresentar uma amostra de

algumas teses que foram produzidas a partir do ano de 2004 até 2012 no que se refere ao

tema trabalho na perspectiva da colaboração em Portugal. A perspectiva do trabalho

colaborativo tem se mostrado como um meio de desenvolvimento profissional com nuances

favoráveis para uma formação continuada de professores que ensinam Matemática. Como

conclusão do estudo pode se aferir que os projetos na perspectiva da colaboração em

Portugal têm início, desenvolvimento e término, enquanto os projetos de grupos em contexto

colaborativo pesquisados no Brasil apresentam características de continuidade ao longo dos

anos.

Introdução

Na ocasião da recolha de dados em Portugal, elaboramos um quadro teórico que

integra os estudos acerca da colaboração na visão de diferentes autores, e o objeto de estudo

são três modalidades centrais de investigação que foram desenvolvidas em Portugal

nomeadas neste paper: modalidade de teses de doutoramento; projetos de

investigação/pesquisa e um grupo de trabalho. A metodologia usada foi a análise documental

em consonância com coleta de depoimentos orais de sujeitos que produziram as teses, os

artigos e projetos na perspectiva da colaboração, com o objetivo de validar as inferências

realizadas a partir do início da investigação.

A análise que apresentamos em seguida organiza-se a partir das três modalidades. Na

modalidade “tese de doutoramento” foram analisados os seguintes trabalhos:




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1. A tese de doutoramento, objeto de estudo de investigação de António Manuel da

Conceição Guerreiro, em 2011, intitulada “Comunicação no Ensino-Aprendizagem da

Matemática: Práticas no Primeiro Ciclo do Ensino Básico”; 2. O trabalho de Ana Maria

Roque Boavida, em 2005, “A argumentação em Matemática. Investigando o trabalho de duas

professoras em contexto de colaboração”; 3. Maria de Fátima Pista Calado Mendes, no ano

de 2012, em sua tese “A Aprendizagem da Multiplicação numa Perspectiva de

Desenvolvimento do Sentido de Número: um Estudo com Alunos do 1º Ciclo”; 4. José Luís

Correia Menezes, em 2004, escreveu a tese “Investigar para ensinar Matemática: Contributos

de um projecto de investigação colaborativa para o desenvolvimento profissional de

professores”.

Na modalidade de “projetos de investigação” apresentamos dois grandes projetos

desenvolvidos na perspectiva da colaboração, que são: a) “O Sentido do Número” e b)

“Desenvolver a Literacia Estatística: Aprendizagem do aluno e formação do professor”. E na

modalidade de grupo de investigação apresentamos o Grupo de Trabalho e Investigação,

conhecido por GTI, como já mencionado.

Assim, foram analisadas quatro teses de doutoramento, cujo contexto de recolha de

dados assentou num trabalho colaborativo entre os investigadores/autores da tese de

doutoramento e professores do ensino básico. Todos os quatro trabalhos de tese foram

desenvolvidos por professores de Escola Superior de Educação (ESE) que tiveram a

iniciativa de projeto de desenvolvimento do trabalho colaborativo.

Guerreiro (2011, p.20) menciona que, [...] a segunda parte corresponde à análise da

metodologia do trabalho de natureza colaborativa com vista ao reconhecimento das mais-

valias que as professoras encontraram nesta modalidade de trabalho”.

Ressaltando tais afirmações Mendes nos informa:

Tomada esta decisão, o passo seguinte foi procurar um professor que satisfizesse os

seguintes critérios: (i) lecionar no ano letivo de 2008/2009 uma turma do 3.º ano,

(ii) ter pelo menos dez anos de prática de ensino, (iii) ter interesse e disponibilidade

para se envolver num projeto curricular na área da Matemática (iv) e ter frequentado

uma oficina de formação no âmbito do Programa de Formação Contínua em

Matemática para professores dos 1.º e 2.º ciclos do Ensino Básico (PFCM).

(MENDES, 2012, p.156)


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Vejamos como se deu a recolha de dados para cada trabalho/autor estudado. A média

de duração da recolha de dados nas quatro teses estudadas teve a variação de, no mínimo,

dois anos de duração. Na tese de doutoramento de Boavida (2005), encontramos uma tabela

com todos os pormenores sobre as fases do projeto em colaboração e podemos afirmar que a

primeira fase do projeto foi realizada a partir de 2001, seguindo no ano de 2002 e a segunda

fase do projeto englobou os anos de 2002 a 2003.

A recolha de dados para os quatro autores investigados ocorreu de forma

diversificada. Para Guerreiro (2011, p. 122), “a duração da fase de recolha de dados ou coleta

de dados, de cada uma das professoras, ocorreu entre janeiro de 2007 e dezembro de 2008”.

Já para Mendes (2012, p.173), ocorreu (recolha) a partir do momento em que a

professora colaboradora inicia processo de experimentação em sala de aula, as reuniões eram

semanais, com uma duração média entre uma hora e meia a duas horas, tiveram um propósito

duplo: refletir sobre a aula anterior e planejar as aulas seguintes.

Entretanto, Mendes (2012, p.163) salienta que:

De facto, decorrente dos objetivos da investigação, foi fundamental a organização

do trabalho em que cada uma de nós teve papéis diferenciados mas

complementares, que conduziram a contributos, também distintos, no trabalho

colaborativo, nomeadamente, no que se refere à planificação e reflexão sobre as

aulas, mas que se traduziram em benefícios para ambas.

Em apenas um dos trabalhos analisados não havia qualquer relação anteriormente

entre o investigador e o professor colaborador. Menezes (2004, p.154) salienta:

Antes de se iniciar o projecto não se conheciam entre si, nem eu tinha qualquer

relação pessoal ou profissional significativa com nenhum deles. Este aspecto foi

intencional, de modo a que se pudesse aproximar dos contextos reais do dia-a-dia,

em situações de formação de professores.

Há em Boavida (2005, p.268), uma preocupação em relatar uma tarefa árdua sobre a

construção de uma “representação que traduzisse o conjunto de todas estas acções, que desse

conta, adequadamente, da complexidade das múltiplas interacções que entre elas existiram e,

ao mesmo tempo, suficientemente simples para não comprometer a clareza ou dificultar a

leitura”.

Em Mendes (2012) encontramos que as relações anteriores entre o investigador e a

professora se deram pelo fato da investigadora ter desenvolvido um programa de formação,


ISBN 978-84-945722-3-4

denominado “Programa de Formação Contínua em Matemática (PFCM)” e a professora da

Educação Básica ter participado do referido Programa.

Em síntese, nos quatro trabalhos analisados a existência de relações anteriores não é

determinante. De fato, no caso de Boavida (2005) e Guerreiro (2011) foi dada maior

importância a outro aspecto como o interesse em trabalhar no tema do grupo argumentação,

(no caso de Boavida) e Comunicação (no caso de Guerreiro).

Em todos os trabalhos identificamos a liderança do investigador na equipe

colaborativa. Todavia, de um modo geral, era o investigador que propunha os textos e tarefas

para serem analisadas em grupo ou tinha papel central na condução das reuniões de trabalho.

Houve um período em que os investigadores se reuniam para planejar as ações e assim

se constituíam, em alguns casos, os trabalhos em colaboração. A duração dos projetos e o

período em que o professor formador e o professor do ensino básico estiveram conjuntamente

trabalhando, se faz relevante a medida que nos oferece subsídios para entender com se dava

a dinâmica do funcionamento do grupo.

Na recolha de dados da tese de Mendes (2012), a duração pode ser marcada de

setembro do ano de 2009 a junho do ano seguinte. O período de recolha de dados foi realizado

por um período extenso, aproximadamente um ano. Começou por uma fase com professores

para discutir as ideias e só depois de um período de trabalho é que se iniciou a recolha de

dados.

Em Menezes (2004), tem-se que a duração da proposta de projeto foi de um ano. Ele

estudou três casos, sendo que a contribuição do projeto de investigação colaborativa teve o

sentido de busca pela continuidade de qualidade de suas aulas, conforme constatamos a

seguir:

Este projecto permite que o meu interesse pela qualidade e eficácia do ensino-aprendizagem

em Matemática, continue. Sinto que há sempre algo que não sei ou não conheço e que posso

aprender em proveito dos meus alunos ou dos que me rodeiam. O projecto tem, obviamente,

uma influência positiva (MENEZES, 2004, p. 230).

Corroborando com as ideias de Mendes percebemos na fala da professora

colaboradora Ana Miguel a existência de preocupação com o seu alunado. Para ela: “É mais

uma forma de reflectir, que, de alguma maneira, vai influenciar o futuro dos meus alunos

através da melhoria das nossas práticas” (MENEZES, 2004, p.230).


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O estudo das relações anteriores entre o investigador e os professores, nos levou a

perceber que os participantes no estudo de Menezes (2004) são professores do 1.º Ciclo.

Em Boavida (2005) encontramos que, nas características do projeto de colaboração

em forma de tese, um dos critérios adotados foi a escolha de professores colaboradores que

lecionassem em turmas do Terceiro (3º) Ciclo do Ensino Básico. Esta reforça a argumentação

de que sua tese foi desenvolvida na perspectiva da colaboração. Salientamos que a autora

percebe a necessidade desta justificativa. Em suas palavras:

Porque considero que a investigação que desenvolvi foi informada por elementos

do paradigma colaborativo? Eu e duas professoras, a partir de uma iniciativa que

tomei, desenvolvemos um projecto centrado no envolvimento dos alunos em

actividades de argumentação matemática em que a acção se entrelaçou com a

reflexão e em que procurámos que entre nós existisse um diálogo autêntico e

aberto. (BOAVIDA, 2005, p. 201).

Boavida (2005), como investigadora/pesquisadora, na ocasião do desenvolvimento da

tese, relata o procedimento de como se deu o contato inicial com suas professoras

colaboradoras.

Foi a conversa que uns dias mais tarde tive com Rebeca que me conduziu até essa

colega, Anita, que eu também não conhecia. Por esta via constituímos um grupo

para o desenvolvimento do projecto que, com o passar do tempo e o conhecimento

recíproco, se veio a transformar num grupo de pesquisa colaborativa. Anita e

Rebeca foram os pseudônimos que as professoras escolheram para si próprias perto

do final do nosso trabalho conjunto (BOAVIDA, 2005, p. 210).

O grupo na perspectiva da colaboração foi constituído por Guerreiro (2011)

juntamente com três professoras de uma Escola Básica de 1º Ciclo do ensino público da

cidade de Portimão, distrito de Faro, zona de influência geográfica do seu local de trabalho,

a Escola Superior de Educação e Comunicação da Universidade do Algarve.

E para Mendes (2012, p.162) as reuniões de trabalho com a professora colaboradora

eram semanais. Nessa ocasião, elas selecionavam e preparavam as tarefas a serem exploradas

na aula de Matemática e após a aplicação em sala de aula nas reuniões haviam momentos de

reflexões sobre a tarefa desenvolvida. O trabalho colaborativo que desenvolveram não

constitui um dos objetivos do estuda autora , ela afirma que foi objetivos deste estudo, mas

foi essencial para os alcançar os objetivos da pesquisa.

Dos textos analisados foram possíveis as seguintes percepções:


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No estudo de Menezes (2004, p.154) o pesquisador e o professor colaborador antes

de se iniciar o projeto não se conheciam entre si, nem eu tinha qualquer relação pessoal ou

profissional significativa com nenhum deles. Segundo Menezes esse aspecto foi intencional,

de modo a que se pudesse aproximar dos contextos reais do dia-a-dia, em situações de

formação de professores.

Já Guerreiro (2011, p.119) descreve como seria a estrutura de participação junto às

professoras colaboradoras:

Na observação das aulas das docentes, idealizei que a minha postura de investigador

deveria pautar-se inicialmente pela observação descritiva das aulas, de modo a

interagir o mínimo possível com as dinâmicas de sala de aula e a familiarizar as

professoras e os alunos com a minha presença, e, numa segunda etapa, a de

observação participada assumindo o papel de colaborador com as docentes no

ensino da matemática.

E, ainda, Guerreiro convida uma ex-aluna de um curso de formação continuada para

participar da tese dele e, consequentemente, esta mesma professora estendeu o convite para

integrar o grupo de trabalho de natureza colaborativa.

Em Mendes (2012, p. 163) vamos encontrar que ele considera que o desenvolvimento

do trabalho de colaboração, é essencial o nosso conhecimento mútuo, antes de iniciar a

observação das aulas associadas à experiência de ensino. ele também considera o fator

tempo como um dos fatores favoráveis à concretização de um trabalho de colaboração.

Assim, ele desenvolveu r um trabalho de colaboração, continuado ao longo do ano letivo, em

que o tempo propiciou a qualidade do projeto segundo ele.

E por fim todos os estudos analisados enfatizam as potencialidades do trabalho

colaborativo quer para os investigadores quer para os professores.

No que refere à aprendizagem dos alunos, nos estudos de Mendes (2012), percebemos

que as professoras colaboradoras que participam no projeto contaram que houve uma

melhora na comunicação com os alunos.

Potencialidades do trabalho na perspectiva da colaboração

Guerreiro (2011) comenta o valor dado pelas professoras colaboradoras sobre a

mudança de atitude. Para Alexandra: “– Fundamentalmente é a nossa mudança de atitude”.

Para Laura: “– É a mudança de atitude, é a aceitação”. Aqui há a percepção de que há

reflexões no sentido de mudança, tanto para Alexandra quanto para Laura.


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Mendes (2012, p. 518), no que se refere à potencialidade do projeto colaborativo –

visão do investigador e dos professores colaboradores afirma:

A nossa experiência de colaboração fez-me pensar sobre a importância do

desenvolvimento de relações colaborativas entre professores e investigadores no

âmbito do desenvolvimento curricular, tendo no horizonte a melhoria das

aprendizagens dos alunos.

E para a professora-colaboradora que esteve na relação de colaboração, Mendes

(2012, p. 517), afirma:

Isabel teve oportunidade de conhecer abordagens com que estava pouco

familiarizada, participar na construção de tarefas e planear as suas aulas

considerando horizontes de aprendizagem e tendo em conta o que os alunos fazem

e dizem e, finalmente, de debater tudo isso com outra pessoa que também conhece

os alunos e os seus modos de agir na aula.

No trabalho de Mendes (2012) pode-se perceber que os alunos que participaram no

projeto melhoram a comunicação em sala de aula, e isso é um contributo de que o projeto na

perspectiva de colaboração conseguiu trazer benefícios aos alunos envolvidos na ação de

colaboração.

Considerações Finais

A diferença substancial entre os modos em que se tem o trabalho na perspectiva de

colaboração tem nuances variadas, quer seja na perspectiva da formação continuada via

projetos de pesquisa, ou em teses de doutoramento. Vamos perceber que o currículo em

Portugal e no Brasil possui peculiaridades inerentes aos dois países.

Concordamos com Boavida (2005, p. 15) quando afirma:

Aceitar que a investigação colaborativa constitui uma abordagem à investigação

educativa que tem subjacente a ideia de que é fundamental fazer investigação com

os participantes e não sobre os participantes, conduz a considerar os professores

parceiros de pesquisa em questões relacionadas com a sua prática, e não objectos

de investigação relativamente aos quais importa manter as distâncias e cujas

interpretações são desvalorizadas, ou nem sequer consideradas, no processo de

produção de conhecimento sobre o ensino. Percebemos nesta fala que há também um ponto de confluência entre os trabalhos

desenvolvidos no Brasil, como uma preocupação registrada na tese de Boavida (2005). E

deste modo evidencia-se que há uma justificativa para a importância da colaboração entre o

professor da Educação Básica/Ensino Básico e dos Institutos de Educação e ou Universidades

e que existem ganhos para ambas as partes.


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Também sabemos e concordamos com Cristóvão e Castro (2013) que trazem a

complexidade da prática docente, no bojo das ações de políticas públicas, em especial no

caso de políticas públicas brasileiras. Embora haja muitos percalços no caminho, acreditamos

que a perspectiva da colaboração é um caminho a trilhar pelo professor (a) - colaborador (a)

e os (as) investigadores que para a autora deste paper representa uma “luz ao final do túnel”.

Já os projetos na perspectiva da colaboração em Portugal possuem data para início e

término, o que difere substancialmente do modo como são pensados pelo menos três grupos

pesquisados no Brasil.

A parceria realizada com professores colaboradores requer ações para que sejam

revistos os critérios de anonimato em pesquisas que envolvam a perspectiva do professor que

ensina Matemática e os acadêmicos.

Pudemos perceber os desafios da constituição de grupos de investigação em contextos

colaborativos, devido às demandas de trabalho que tanto o professor formador quanto o

professor colaborador encontram no exercício de sua profissão. Isso nos leva a considerar

que a parceria na pesquisa, enquanto perspectiva da colaboração poderá garantir a construção

da identidade do grupo. O que justifica que os participantes da pesquisa também são

coautores na produção de significados para a prática docente.


Boavida, A M., & Ponte, J. P. (2012). Investigação colaborativa: Potencialidades e

problemas. In. GTI (Org). Reflectir e investigar sobre a prática profissional pp. 43-55.

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Educação (Didáctica da Matemática). Faculdade de Ciências. Universidade de Lisboa.

Lisboa.

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Matemática: Práticas no primeiro Ciclo do Ensino Básico. Tese de doutoramento, Educação

(Didática da Matemática), Universidade de Lisboa, Instituto de Educação.

Mendes Maria de Fátima Pista Calado, (2012) A Aprendizagem da Multiplicação numa

Perspectiva de Desenvolvimento do sentido de Número: um Estudo com Alunos do 1⁰ Ciclo.

Tese de doutoramento, Educação (Didática da Matemática), Universidade de Lisboa,

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projecto de investigação colaborativa para o desenvolvimento profissional de professores.

(Colecção TESES - doutoramento). Lisboa: APM.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-608

FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA PARA O

USO DE SOFTWARES EM SALA DE AULA

Ailton Durigon - Marcelo Maraschin de Souza - Bruna Branco- Andrey de Aguiar Salvi

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Santa Catarina - Brasil

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Fundamental e Médio

Palavras chave: Softwares, Docentes, Formação Continuada.

Resumo Os resultados do processo de ensino e aprendizagem de matemática não têm sido muito

animadores, conforme pode ser constatado em testes de avaliação realizados por instituições

formais, tal fato demanda ações diferenciadas e efetivas. Neste contexto, encontram-se

muitos trabalhos descrevendo e propondo novas metodologias de abordagem dos conteúdos,

buscando a construção significativa do conhecimento matemático. Este trabalho teve como

objetivo a capacitação dos professores de matemática das escolas públicas sobre novas

ferramentas computacionais para auxiliar o ensino desta disciplina. Foram realizadas

oficinas envolvendo diferentes softwares matemáticos, para o ensino e aprendizagem.

Participaram 68 docentes de Escolas Públicas que atuam nas séries finais do Ensino

Fundamental e/ou no Ensino Médio da área de abrangência do IFSC-Lages, divididos em

duas turmas. As atividades propostas sobre o uso de softwares específicos despertaram

grande interesse dos participantes, que paralelamente ao período de execução das oficinas,

fizeram a implantação destas junto aos estudantes das Escolas onde atuam, com resultados

muito animadores. Ao final do trabalho, os docentes participantes avaliaram positivamente

as atividades desenvolvidas, demonstrando que as ações apresentadas terão reflexo positivo

no fazer docente em sala de aula.

Introdução

Os desempenhos apresentados pelos estudantes brasileiros na disciplina de Matemática, em

testes de avaliação internacionais como PISA e nacionais, como SAEB e ENEM tem

suscitado preocupação por parte dos professores e das autoridades educacionais diante dos

baixos desempenhos evidenciados pelos estudantes (Druck, 2004).

De acordo com Groenwald e Nunes (2007) essas preocupações são justificadas pelas

exigências do mundo moderno, onde o avanço da tecnologia e as rápidas mudanças impedem






ISBN 978-84-945722-3-4

a previsão exata de que conhecimentos e habilidades são necessários no futuro dos

estudantes. Assim, a escola e os professores diante desta realidade passam a necessitar de um

planejamento curricular em matemática que esteja em sintonia com o progresso científico e

tecnológico da sociedade atual.

As tecnologias têm sido apontadas, nas últimas décadas, como um ingrediente central no

processo de mudança do ensino da matemática, assumidas quer como uma certa

inevitabilidade decorrente da informatização da sociedade, quer como parte integrante de

novas perspectivas sobre a natureza da matemática escolar e da aprendizagem na disciplina

(Oliveira e Domingos, 2008).

A formação docente continuada visa facilitar a superação de possíveis deficiências na

formação inicial, bem como oportuniza aos docentes em atividade atualizarem-se diante de

novas metodologias e recursos tecnológicos disponíveis. Ademais, acreditamos que esta

formação pode ajudar na melhoria dos processos de ensino e de aprendizagem, com reflexos

nos índices de aproveitamento desta disciplina e nos resultados de exames de avaliação da

qualidade da educação.

A tecnologia está muito presente no cotidiano de alunos, dessa forma aliar o conhecimento

com a tecnologia em sala de aula torna-se um processo natural e que deve ser aproveitado

pelo docente (Soffa e Alcântara, 2008).

Neste contexto, faz-se necessária a existência de materiais de apoio sobre a utilização de

softwares específicos e outros recursos computacionais, que venham proporcionar aos

docentes o aperfeiçoamento e atualização da sua formação teórico-metodológica

proporcionando uma melhor apreensão do objeto matemático trabalhado, gerando

consequentemente uma melhoria no nível de ensino.

No Brasil, ações no sentido de estimular e promover a implementação do uso de tecnologia

informática nas escolas ocorrem desde 1981 com a realização do I Seminário Nacional de

Informática Educativa, e foi a partir daí que surgiram programas como: Educom, Formar e

Proninfe, todos com objetivo de integrar educação e tecnologia. Todos estes projetos foram

base para o Programa Nacional de Tecnologia Educacional (ProInfo) do Ministério da


ISBN 978-84-945722-3-4

Educação (MEC) que tem o objetivo de promover o uso pedagógico da informática na rede

pública de educação básica e está ativo até os dias de hoje (Silva, 2011).

Especificamente, o ensino de matemática, associado ao uso de recursos tecnológicos

permitem aos professores e alunos alcançarem novos olhares sobre o objeto de estudo,

explorando e consolidando conceitos rumo à construção de um conhecimento sólido e de

maneira mais leve e diversificada (Maltempi, 2012).

Quando a tecnologia é usada para desenvolver a parte complexa dos cálculos, abrem-se novas

possibilidades de trabalho com situações-problema onde a manipulação das variáveis

envolvidas, facilita o desenvolvimento de novas competências necessárias ao aprendizado.

Para Borba e Penteado (2016), a informática se constitui atualmente como uma das principais

tendências da Educação Matemática.

Por ser a matemática a disciplina que, em geral, mais desperta a antipatia dos estudantes

devido à necessidade de abstração e de seu aparente distanciamento da realidade, o uso do

computador no seu ensino pode ser o estímulo de que o estudante precisa, ou seja, o fato de

o computador estar presente em algumas atividades de matemática pode aumentar

consideravelmente o interesse do aluno pelo estudo da disciplina. (Piccoli,2006).

Ao descreverem as fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, Borba, Silva e

Gadanidis (2014), destacam que estamos na quarta fase, onde a utilização de tecnologias

móveis como laptop, telefones celulares ou tablets tem se popularizado nos últimos anos

devido ao advento da internet rápida. Muitos estudantes utilizam a internet em sala de aula a

partir de seus telefones para acessar plataformas como Google. Outros ainda utilizam as

câmeras para registrar momentos dessa aula com fotos e vídeos, para lhe ajudar mais tarde.

Este trabalho buscou oportunizar, aos professores de matemática, oficinas didático-

pedagógicas para reflexão sobre suas práticas e também para conhecer e aprender novas

metodologias de trabalho que explorem as diferentes perspectivas do estudo da matemática,

especialmente no que compete ao uso de tecnologias e softwares no fazer pedagógico

cotidiano.

Metodologia


ISBN 978-84-945722-3-4

Este trabalho teve seu início após contato com a Secretaria Municipal de Educação de Lages

e 7ª Gerência Regional de Educação do Estado de Santa Catarina para dialogar sobre as reais

necessidades dos docentes de matemática a cerca do uso de tecnologias no ensino.

A segunda etapa do trabalho foi dedicada para formação da equipe, com o intuito de levantar

dados, adquirir e aprofundar o conhecimento do tema, bem como a exploração dos softwares

livres disponíveis na internet que pudessem ser utilizados na Educação Básica.

Após as etapas iniciais, ofertamos oficinas de capacitação aos docentes de matemática de

escolas públicas em duas turmas, uma para os docentes da rede municipal que possui somente

escolas de Ensino Fundamental e outra da rede estadual que possuem Ensino Fundamental e

Médio, onde foram apresentados de forma sistemática os estudos realizados, os softwares

estudados e as sequências didáticas desenvolvidas. O trabalho foi realizado a partir de uma

apostila previamente preparada.

As oficinas foram apresentadas de forma a permitir que todos pudessem refletir sobre as

metodologias de uso dos softwares e recursos tecnológicos, compreendendo os conteúdos

conceituais de matemática da Educação Básica (álgebra, geometria, medidas, números e

tratamento da informação) como forma de orientar e discutir os processos de ensino e

aprendizagem. Durante as oficinas diversos softwares e temas foram discutidos, dentre eles:

internet, Geogebra, Planilha eletrônica, PolyPro, Winarc, Winplot, Wingeom e outros.

Entendemos que apresentar aos professores ferramentas disponíveis na internet é

extremamente importante no processo de ensino, pois pode tornar as aulas mais atraentes e

diferenciadas. Na construção de um blog pudemos demonstrar que este facilita a interação

professor-aluno, seja disponibilizando materiais que complementam o que foi estudado em

aula ou na discussão de diferentes temas. Foi apresentada a ferramenta educacional

“Kahoot”, que possibilita ao professor criar jogos no estilo “quiz”, que conforme Santos,

Guimarães e Carvalho (2014), geralmente estimulam os alunos e tem mostrado sucesso nas

aplicações.

Além disso, a internet é um grande meio de pesquisa, e pode ser explorado para a preparação

de aulas, sendo assim apresentamos algumas ferramentas de pesquisa disponíveis na internet,

e como melhor explorá-las, especialmente no tratamento de informações e de imagens.


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Sobre a planilha eletrônica, abordamos alguns temas de matemática básica que podem ser

trabalhados com o seu auxílio, dentre os quais: funções de 1º grau e 2º graus, expressões

numéricas, geometria e sistemas de equações. Segundo Carneiro e Passos (2010), trata-se de

uma ferramenta disponível na maioria dos computadores, especialmente dos laboratórios das

escolas, mas que geralmente nem é explorada pedagogicamente. Também aproveitamos para

discutir a importância da planilha no processo avaliativo do docente.

Com os softwares Geogebra, Winarc, Winplot, Wingeom, e outros, abordamos assuntos de

matemática relativos a cada um deles, como e quando podem ser utilizados em sala de aula.

Em especial, o Geogebra que é um software que está fortemente consolidado e tem auxiliado

no ensino de matemática ao redor do mundo (Hohenwarter e Fuchs, 2004).

Na figura 1, apresentamos a interface de alguns dos softwares utilizados durante as oficinas

com os docentes de matemática.

Figura 1 – Algumas atividades realizadas durante o curso

Foram desenvolvidas quatro oficinas para cada um dos dois grupos de professores,

totalizando 68 docentes das redes municipal e estadual da área de abrangência do IFSC-

Lages. No interstício entre as oficinas os docentes aplicaram as atividades em suas escolas e

no início da oficina seguinte puderam relatar a aplicação das mesmas, sendo possível a troca


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de informações entre os participantes, bem como uma avaliação parcial e positiva da

evolução da capacitação oferecida.

Todo o material organizado pela equipe de execução foi disponibilizado aos cursistas de

forma digital em um blog, onde foram inseridos materiais adicionais sobre as atividades

desenvolvidas e discutidas durante as oficinas. Foi entregue aos docentes um pendrive

contendo uma coleção de softwares freeware encontrados e disponíveis na rede mundial de

computadores, bem como sugestões de atividades que podem ser utilizados com estes, em

suas atividades pedagógicas.

Resultados e discussão

O uso dos laboratórios de informática das escolas possibilita condições para reflexões e

discussões entre os integrantes do processo ensino e aprendizagem, além da realização de

atividades diferenciadas, viabilizando a construção eficiente de conceitos matemáticos.

Foram desenvolvidas e apresentadas uma diversidade de atividades com o uso de softwares,

que dependendo dos objetivos dos docentes poderão contribuir fortemente para o ensino e

aprendizagem de matemática da Educação Básica.

A execução deste trabalho possibilitou aos docentes participantes a compreensão ampliada

das diferentes formas de apresentação dos conteúdos aos seus alunos, contribuindo dessa

forma para a qualidade de suas atividades, desencadeando melhor aproveitamento das

atividades escolares.

O desenvolvimento das oficinas deu início a um processo que permitiu a criação de situações

que oportunizaram a construção, integração, ressignificação e consequente ampliação do

conhecimento matemático.

Com intuito de alcançar os objetivos, desenvolvemos cada etapa tendo como foco a qualidade

das atividades apresentadas nas oficinas, o que possibilitou um amplo levantamento de

softwares disponíveis, bem como a organização de sequências didáticas sobre seu uso no

ensino de conteúdos matemáticos.

A realização das oficinas ocorreu integralmente em um laboratório de informática do

Instituto, devidamente preparado, o que possibilitou o seu desenvolvimento com qualidade.

Dentre os softwares utilizados durante as oficinas, destacamos: planilha eletrônica;


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Geogebra; Kahoot; Winplot; Wingeom e mais 30 softwares que podem ser usados na

abordagem de todos os eixos de Ensino de Matemática.

A avaliação do curso pelos participantes foi excelente. Dentre os resultados da avaliação

destacamos: 100% responderam que os softwares apresentados otimizam o processo de

ensino-aprendizagem; 96% aprovaram a apostila usada nas atividades e 100% fariam outro

curso similar no IFSC-Lages e recomendariam o curso a outros colegas. Estes resultados

evidenciam que o curso ofertado atingiu os objetivos propostos e sinaliza para a reedição do

mesmo.

Conclusões

O desenvolvimento do curso proporcionou alternativas para o uso dos laboratórios de

informática das escolas onde os docentes participantes atuam. Ademais, tivemos uma

integração entre os docentes de matemática do IFSC-Lages e das escolas de Educação Básica

de Lages e região, com reflexos positivos na formação dos alunos destas escolas e abrindo

novas oportunidades de futuras parcerias.

A execução do trabalho ocorreu de forma equilibrada, conforme estabelecido no cronograma,

culminando com a apresentação das oficinas sobre o uso de softwares e seu potencial no

processo de ensino e de aprendizagem de matemática.

Entendemos que este trabalho oportunizou a integração do IFSC-Lages com os órgãos

Públicos responsáveis pelo processo educativo da região de abrangência deste, por meio da

formação docente continuada, além de que oportunizou o desenvolvimento de uma relação

de cooperação entre os diferentes níveis institucionais com objetivo de melhoria da qualidade

da educação.

Agradecimentos

Ao Instituto Federal de Santa Catarina que através do Programa Institucional de Apoio a

Projetos de Extensão – Edital Proex 10/2015 disponibilizou os recursos para a execução do

mesmo na forma de bolsas de estudo.


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Borba, M. C., & Penteado, M. G. (2016). Informática e educação matemática. Autêntica.

Borba, M. C., Silva, R. S. R., & Gadanidis, G. (2014). Fases das Tecnologias Digitais em

Educação Matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte:

Autêntica.

Carneiro, R. F., & Passos, C. L. B. (2010). As concepções de professores de matemática em

início de carreira sobre as contribuições da formação inicial para a utilização das

tecnologias de informação e comunicação. Revista Bolema, (36).

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(EDUCERE) (Vol. 8).


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CB-609

RESOLUÇÃO DE PROBLEMA - UMA METODOLOGIA PARA APLICAÇÃO DE

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS COM ANÁLISE DE MODELOS DE

FENÔMENOS

João Bosco Laudares

[email protected]

PUC Minas - Brasil

Núcleo temático: A resolução de problemas em matemática.

Modalidade: CB

Nível educativo: Formação e atualização de ensino

Palavras chave: Resolução de problemas, Fenômenos; Modelos; Equação diferencial

Resumo

O estudo de equações diferenciais ordinárias na graduação tem sido feito com prioridade

com a resolução das equações, privilegiando processos de cálculo com procedimentos e uso

de algoritmos. A resolução de problemas com a análise de fenômenos pela interpretação dos

modelos das equações diferenciais e de sua solução, matematizando a lei física, com a

representação algébrica e gráfica, proporciona a compreensão conceitual do estudante dos

modelos presentes na situação-problema. Assim, procedimentos operacionais e trabalho

com os conceitos nos problemas enriquecem o estudo das equações diferenciais,

diversificando a didática. Polya (1994) sinaliza a resolução de problemas com quatro fases:

interpretação do enunciado, estabelecimento de um plano, execução do mesmo e retrospecto

da resolução para verificar a compatibilidade da solução com os dados. Stewart (2013)

define quatro abordagens privilegiando a diversidade de representação: algébrica/equação,

gráfica, numérica e verbal. Foi baseado nestes referenciais que construímos (LAUDARES E

OUTROS, 2017) um design para resolução de problemas com a seguinte estrutura: (1) tomar

o enunciado do problema e identificar os dados (lei física, as condições iniciais e/ou de

contorno) e as questões a serem resolvidas; (2) determinar os modelos de equações e de

gráfico com sua interpretação e fazer uma descrição verbal do procedimento do fenômeno.

INTRODUÇÃO

Neste artigo, é apresentada uma metodologia para resolução de problemas com

equações diferenciais ordinárias com análise de modelos representados por equações ou por

gráficos. Em LAUDARES e OUTROS (2017) foi construído um design para resolução de

problemas com a seguinte estrutura: (1) tomar o enunciado do problema e identificar os dados

(lei física, as condições iniciais e/ou de contorno) e as questões a serem resolvidas; (2)


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determinar os modelos de equações e de gráfico com sua interpretação e fazer uma descrição

verbal do procedimento do fenômeno.

O embasamento teórico se fez com a resolução de problemas e diversidade de

representações. O estudo de equações diferenciais ordinárias na graduação tem sido feito com

prioridade com a resolução das equações, privilegiando processos de cálculo com

procedimentos e uso de algoritmos. A proposta apresentada, procedimentos operacionais e

trabalho com os conceitos nos problemas enriquecem o estudo das equações diferenciais,

diversificando a didática.

Inicialmente é realizada uma apresentação teórica para dar embasamento à

proposta metodológica e, em seguida, um problema resolvido de acordo com parâmetros

desta metodologia.

Matematizarão de fenômenos com Equações Diferenciais

O conceito de fenômeno, como um acontecimento, um processo em ação, em

transformação, com mudanças perceptíveis por observação, pode ser entendido como uma

experimentação pelo “movimento” e pela “variação”.

Ao observar um fenômeno, em seu processo de variação procedemos uma medição

que requer uma analítica com instrumentação para aferir e tratar as informações com

variáveis, com parâmetros, com sistema de unidades e escalas.

Traduzir este processo inerente ao fenômeno em uma linguagem simbólica específica,

numa tentativa de sintetizar características de sua dimensão, constitui o ato de matematizar

o fenômeno, ou seja, a ação de matematização.

Matematizar é, então, a ação que resulta numa manifestação sintética dos elementos

observados, de suas relações e leis inerentes a um fenômeno processado, expressos em

linguagem simbólica de uma das áreas específicas da Matemática. Essa manifestação se

apresenta como um modelo matemático do fenômeno, segundo Bassanezi (2006).

A Matemática tem instrumental simbólico adequado para modelar um fenômeno,

além da sua descrição, ou expressá-lo em linguagem natural, que pode ser oral ou escrita.

Como linguagem simbólica escrita, apresenta-se, como possibilidade analítica e

instrumental, o Cálculo Infinitesimal da Matemática. Em sua base estrutural estão as

grandezas ou variáveis simbolizadas por x e y, tal que y depende de x, isto é, y=f(x), e suas


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respectivas variações infinitesimais diferenciais dxedy. A relação, dy/dx, entre esses

infinitésimos diferenciais, permite conhecer propriedades locais (pontuais) de y=f(x), como

variação ou mudança de crescimento/decrescimento, dy/dx, pontos de máximo/mínimo e

concavidade, objeto de estudo do Cálculo Diferencial. Por outro lado, o acúmulo ou soma do

produto de partes infinitesimais, f(x)dx, permite conhecer propriedades globais de y=f(x),

em dado intervalo da variável x, como área e volume ou pressão e trabalho, objeto de estudo

do Cálculo Integral.

Entretanto, no estudo de fenômenos usaremos varáveis que expressam as grandezas

dependentes e independentes inerentes ao fenômeno:

Variável independente t (tempo) na maioria dos fenômenos.

Variáveis dependentes podendo ser: T (temperatura), m (massa), i (intensidade de

corrente no circuito), P(população).

Deste modo y e x são mais usados em Matemática. Assim, o Cálculo Infinitesimal

engloba o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. Atualmente, a denominação de Cálculo

Diferencial e Integral é a mais usada.

Assim o fenômeno, um acontecimento com plena ativação e em contínuo processo de

variação com movimento, se manifesta por uma configuração dimensional (que pode ser

medida, modelada por uma observação caracterizada pelo uso de unidades de medida).

Desta forma, todo fenômeno se oferece para ser medido, dimensionado a partir de

uma observação, expressa por processos quantitativos ou qualitativos, por modelos definidos

por parâmetros medidores, tal como a variação do tempo.

Na matematização no ensino superior, a instrumentação criada para medir pode se

configurar pelos conceitos de limite, derivada, diferencial, integral, a partir do cálculo

infinitesimal.

Para modelagem matemática, as Equações Diferenciais se apresentam como

instrumento adequado para a representação e configuração de muitos fenômenos.

Apresentação metodológica na resolução de um problema com Equação

Diferencial

Vários são os passos a serem percorridos até a solução completa de um problema

(suas equações) que envolve uma Equação Diferencial. Ressaltamos dois deles:


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(a) Lei física – É expressa, matematicamente, pela análise da correlação das variáveis

envolvidas e dos parâmetros. São estudados problemas que envolvem as Equações

Diferenciais. O que queremos considerar são as etapas típicas da modelagem, isto é,

os passos que vão da situação física à sua formulação matemática.

(b) Condições iniciais ou de contorno - com as quais poderemos partir de uma solução

genérica e chegar a uma solução particular.

Condições iniciais: entendemos uma situação em determinado instante. Esta

conotação de “inicial” é sugerida visto que a variável independente, geralmente é o tempo.

A solução do problema mostra o ocorrido após aquela situação dada (t = 0);

Condições de contorno: entendemos as situações em mais de um valor da variável

independente. Normalmente após um instante inicial (t >0).

Temos assim um Problema de Valores Iniciais - PVI ou um Problema de Valores de

Contorno - PVC.

Duas importantes propriedades devem ser levadas em consideração:

1) O número de condições iniciais ou de contorno é equivalente a soma dos

parâmetros a serem determinados mais as constantes de integração.

2) O número de constantes de integração na solução geral da Equação Diferencial

ordinária é o mesmo da ordem da Equação Diferencial.

A metodologia de resolução de problemas é acompanhada de determinação de passos

com esquema próprio e num quadro que traz a análise do problema, como a seguir.

Enunciado

Dados

Questões

Interpretação do enunciado

‘1o Passo: Matematização da lei física

2o Passo: Constantes dadas – Substituição na equação do fenômeno

3o Passo: Condições iniciais ou de contorno

4o Passo: Resolução da equação diferencial do modelo

5o Passo: Cálculos solicitados nos problemas: explicitar o que se pede


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6o Passo: Modelo das equações do fenômeno

7o Passo: Modelo dos gráficos do fenômeno

8o Passo: Descrição sintética do fenômeno num pequeno texto

Esta estrutura pode ser considerada um padrão a ser seguido, ocorrendo alterações de

acordo com a natureza do fenômeno estudado.

Nesta abordagem, o enunciado é apresentado analiticamente sendo separados os

dados e questões em itens, que são convertidos em PASSOS para resolução: cada item

corresponde num PASSO.

O problema, a seguir, é analisado por três representações de modelos: das equações,

dos gráficos e de descrição na verbal do procedimento do fenômeno.

Problema de variação populacional – Lei de Malthus

Problema de Valor de Contorno – PVC e Problema de Valor Inicial - PVI

ENUNCIADO

DADOS

(I) Uma população se desenvolve proporcionalmente a população atual, segundo a Lei de

Malthus.

(II) Sabe-se que a população inicial é de 5000 habitantes e 10 anos depois é 8000

QUESTÕES

(III) Determine a população em qualquer tempo

(IV) Determine os modelos de equações da população

(V) Analise a variação da população

(VI) Esboce os gráficos do modelo

(VII) Descreva num pequeno texto o fenômeno comparando os gráficos e as equações

INTERPRETAÇÃO DO ENUNCIADO E RESOLUÇÃO DO PROLBLEMA


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1º Passo: MATEMATIZAÇÃO DA LEI DE MALTHUS

Identificação das variáveis

P - Variação da população - Variável dependente

t - Variação do tempo - Variável independente

k - Constante de proporcionalidade

A variação da população, segundo a Lei de Malthus pode ser expressa matematicamente

0dt

d kP

PkP

dt

dP

2º Passo: Condição inicial e de contorno

t = 0 anos → P = 5000 habitantes

t = 10 anos → P = 8000 habitantes

3º Passo: Determinação da população em qualquer tempo

s.v. → dP

dt = k P →

𝑑𝑃

𝑃 = k dt → P = C ek t

Aplicando as condições inicial e de contorno:

t = 0 ano → P = 5000 virá P = 5000 ek t

t= 5 anos → P = 8000 virá P = 5000 e0,094 t

4º Passo: Modelos de equações da população

(1) Velocidade da variação da população em função do tempo

Levando o valor de “k” na equação de crescimento, teremos

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 0,094 P (1)


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(2) Velocidade de crescimento da população em função do tempo.

Derivar a equação de “P” em função de “t”:

𝑑𝑃

𝑑𝑡 = 470 e0,094 t (2)

(3) Variação da população em função do tempo.

P = 5000 e0,094 t (3)

5º Passo: Análise do desenvolvimento da população

Verifique no graficamente (6º passo) que a população (P) se desenvolve exponencialmente

crescente de acordo com a Lei de Malthus. Isto significa que num desenvolvimento do tempo

a população irá crescer indefinidamente, tratando-se de um Modelo Ideal. Entretanto, na

realidade a população tende a se estabilizar o que será analisado por um outro modelo, o de

Verhulst.

6º Passo: Esboço dos gráficos do desenvolvimento da população


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7º Passo: (a)

As respostas das seguintes questões dão suporte à compreensão do comportamento do

fenômeno estudado.

1) Por que o gráfico dt

dP(Eq 1) é uma reta?

2) Por que o gráfico (Eq.1) é crescente?

3) Por que o gráfico (Eq. 1) é positivo?

4) Analise o gráfico (Eq. 2) quanto a natureza da derivada.

5) Verifique que a equação do gráfico (Eq. 2) é crescente exponencialmente.


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6) Verifique que para um tempo crescente a população será sempre crescente. Não há limite.

(b) A partir do seu entendimento do comportamento do fenômeno, escreva um texto no

quadro seguinte comparando os gráficos e as equações.


Trata-se de uma proposta inovativa que resulta de pesquisas da matemática superior,

especificamente do cálculo diferencial e integral, com resolução de problemas pela aplicação

de equações diferenciais. Parte-se da premissa não só da operacionalização da resolução das

equações diferenciais com seus processos de cálculo e uso de algoritmos, na construção da

habilidade de procedimentos pelo estudante, mas na busca de desenvolvimento de outras

habilidades de análise dos conceitos e propriedades de um fenômeno.

Os resultados das investigações realizadas com o ensino de equações diferenciais e a

metodologia usada nas obras editoriais, para uso como livro-texto na disciplina de EDO ou

de Cálculo com EDO, deram suporte à edificação da sequência didática proposta. Sua

efetividade pode resultar num desempenho eficaz para o processo ensino-aprendizagem

constituído da tríade: aluno - mídias - professor.


BASSANEZI, Rodney Carlos.(1988). Equações diferenciais com aplicações. São Paulo:

Harbra,

LAUDARES e outros(2017). Equações diferenciais ordinárias e transformadas de Laplace.

Belo Horizonte: Artesã, 2017

POLYA, George.(1994). A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciências

STEWART, James.(2013). Cálculo. São Paulo: Cengage Learning: 2013


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CB-611

DIBUJANDO MATEMÁTICAS

Joana Villalonga Pons – Elisabet Quintana i Casas

[email protected]

– [email protected]

Universitat Autònoma de Barcelona, Catalunya – Escola Pia Igualada, Catalunya

Núcleo temático: V. Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Educación Infantil i Primaria

Palabras clave: Competencia matemática, competencia artística, dibujo.

Resumen Con el deseo de potenciar el desarrollo de la competencia matemática de los alumnos más

jóvenes, a la vez que fomentar su creatividad matemática y el gusto por ella, hace 5 años que

un grupo de docentes vinculados a ABEAM (http://abeam.feemcat.org/) organiza un

concurso de dibujos matemáticos dirigido a los alumnos de entre 3 y 11 años de edad

(Educación Infantil 3 años - 5o Educación Primaria). Mediante la realización de un dibujo

(utilizando las técnicas plásticas que se deseen) y con un título sugerente, se pretende que

los alumnos, de manera individual, transmitan algún aspecto distintivo de las matemáticas.

A lo largo de estos 5 años, observamos cómo esta actividad puede generar recursos y

dinámicas de aula ricas e interesantes para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas

en las aulas de Infantil y Primaria. Con la exposición de algunos ejemplos concretos

extraídos de las obras recibidas en el concurso a lo largo de estos 5 años, más que dar a

conocer en qué consiste y cómo se desarrolla el concurso en sí mismo, pretendemos

compartir experiencias de la actividad matemática que, motivados por el concurso,

observamos que se pueden generar.

Introducción

El Concurso de Dibujos Matemáticos de ABEAM es una actividad que, desde el curso

académico 2012-2013, se organiza desde la Asociación de Barcelona para el Estudio y el

Aprendizaje de las Matemáticas (ABEAM) con el objetivo de promover la creatividad

matemática y el gusto para ella, así como potenciar el desarrollo de las competencias

matemáticas en los más pequeños de los centros educativos. Atendiendo que el dibujo es un

medio de expresión donde el niño desarrolla su capacidad introspectiva y exterioriza ideas y

sentimientos (Hoyuelos, 2002), y con el que entendemos que los maestros están

familiarizados, se propuso este recurso como el pretexto para trabajar, experimentar, sentir,

disfrutar, analizar, pero sobre todo transmitir y comunicar la labor desempeñada a lo largo


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del proceso de enseñamiento y aprendizaje de las matemáticas. Entendemos así por dibujo

cualquier obra plástica que los niños pueden plasmar de manera plana en un papel, utilizando

las técnicas plásticas que deseen. Por ello nos referimos también por obras a los dibujos.

El concurso va dirigido a los alumnos de 3, 4 y 5 años de Educación Infantil y los cursos de

1º, 2º, 3º, 4º y 5º de Educación Primaria. Así, según las edades de los alumnos, se distinguen

tres categorías de participación: categoría A, para los alumnos de Infantil P3, P4 y P5;

categoría B, que engloba los alumnos de 1º, 2º y 3º de Educación Primaria, y finalmente, la

categoría C, para los alumnos de 4º y 5º de Educación Primaria. Además, en cada una de

estas categorías, se reserva una mención especial para aquellos alumnos que presenten

dificultades de aprendizaje relacionadas con las matemáticas o la expresión artística.

El tema principal a tratar en los dibujos son las matemáticas, desde cualquier perspectiva y

sin ningún tipo de restricción. Los dibujos, u obras plásticas, deben de ser trabajadas desde

una vertiente artística, por lo que se puede aplicar cualquier técnica plástica de dibujo y deben

de caracterizarse con un título que haga alusión directa al contenido matemático que en ellas

se presentan.

De las obras es tan importante el contenido matemático que se puede ver directamente en

ellas, como el juego matemático que, en algún sentido, puedan promover. Se trata, pues, de

la competencia del artista en determinar, entender y explicar la matemática que quiere

transmitir a través de su obra. Por ello, en las obras que hagan nuestros pequeños artistas,

esta intención matemática debe quedar claramente reflejada, tanto en la representación como

en el título de la obra que, como se ha comentado, se pide que, de alguna manera, haga alusión

a la matemática que en la obra se expone.

La actividad se inicia a nivel de aula y va a cargo de los docentes responsables en cada uno

de los centros inscritos. En cada uno de los centros, los alumnos participantes deben elaborar

y titular a nivel individual sus obras matemáticas usando las técnicas artísticas que deseen.

El profesorado puede ayudarles a encarrilar su trabajo, fijando o no ciertas directrices sobre

el aspecto matemático a trabajar, así como proporcionarles aquellas técnicas artísticas y

materiales que necesiten. Así mismo, el juego o la explicación matemática final que se

observa en su dibujo deben ser inéditos del alumno. Más allá de esta premisa, cada centro es

libre de desarrollar la actividad como desee.


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A lo largo de estos 5 años, el volumen de dibujos, u obras plásticas, matemáticos recibidos,

así como las posibilidades que ofrecen es de gran valor. Gracias a la participación de distintos

centros de Cataluña se ha ido generando un conjunto de recursos, creados por los propios

alumnos, creemos potenciales para trabajar las matemáticas en las aulas de infantil i primaria.

Con esta comunicación nos gustará compartir algunos de los trabajos recibidos a lo largo de

estos 5 años y acompañarlos de alguna propuesta concreta de la que nos han informado las

maestras o bien de nuestras lecturas y propuestas de trabajo atendiendo el dibujo recibido.

Con ello ratificamos como los dibujos matemáticos creados por los propios alumnos no

pueden quedar en un simple dibujo, sino que se convierten en un material potencial, tanto en

su proceso de creación como de aplicación y de reutilización, en el proceso de enseñanza-

aprendizaje-evaluación de las matemáticas de los alumnos.

Las imágenes de las obras participantes en el concurso a las que nos referiremos se presentan

como Figuras en el Anexo del trabajo. Por las condiciones de participación, vienen

acompañadas de la información relativa a sus autores de manera explícita. Para evitar

problemas de género, nos referiremos al conjunto de alumnos y alumnas como alumnos, y

de niños y niñas, como niños. Con el término maestras nos referiremos a los docentes

independientemente de su formación inicial.

Dibujar y el dibujo como recurso

Con las obras recibidas, y por el contacto directo con algunas maestras implicadas,

observamos como el dibujo se convierte en un recurso tanto para introducir, desarrollar,

precisar, generalizar e, incluso, evaluar distintos aspectos matemáticos, des de diversas

perspectivas y con distintas finalidades, contextualizados en la misma matemática, como

fuera de ella (partes del cuerpo, aspectos sociales o de la naturaleza, etc.). Si bien observamos

como los dibujos recibidos recogen fundamentalmente aspectos relacionados con los cuatro

primeros bloques de contenidos del currículum (Numeración y Cálculo, Relación y Cambio,

Espacio y Forma y Medida) el último bloque, dedicado a la Estadística y el Azar, parece aún

ausente en los trabajos recibidos. Por motivos de espacio, nos decantamos por comentar obras

relacionadas con el bloque de la medida y que, de alguna forma, van más allá de un juego de

palabras, o una ilustración directa de un concepto relacionado con la medida.

Ejemplo 1.


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Atendiendo el contacto con una de las maestras responsables de la actividad en su centro,

explicamos aquí un caso de creación de un dibujo tal y como lo gestionó la maestra

responsable, atendiendo el interés que nos pareció que puede tener como propuesta para la

introducción de instrumentos de medida o casos en que los alumnos presenten una dificultad

similar.

Nos encontramos en 2º de E.P, donde se está tratando la longitud. La maestra pretende

introducir el metro, pero se da cuenta de que sus alumnos perciben el metro como un objeto

físico y estático, como concretamente una barra, de longitud 1 metro. Es decir, identificaban

la barra de 1 metro de longitud como el instrumento de medida. Interesada por desvincular

esta idea prefijada, gestionó una actividad de aula que finalizó con la realización de un dibujo

matemático. Veamos como lo gestionó. Habiendo empapelado la pared del aula, con la ayuda

de una cintra métrica (flexible) marcaron conjuntamente la altura de 1 metro. Posteriormente,

los alumnos marcaron sus alturas en el papel de la clase. Con ello, se dieron cuenta que todos

medían algo más de 1 metro de longitud. Para confirmar este hecho, la maestra propuso que

cada niño cortara una tira de papel de un 1 metro de longitud de color verde y que el resto

entre la longitud de 1 metro y la longitud del alumno fuera representado por una tira de papel

de color amarillo. El proceso de medirse fue enriquecedor al mismo tiempo que laborioso.

La maestra observó cómo algunos alumnos no sabían de modo alguno como medirse y otros

muchos que hacían sus mediciones de manera incorrecta. A lo largo del proceso fueron los

mismos alumnos quienes se dieron cuenta de sus errores de medición, especialmente por

reflexionar, entre ellos, que no podía haber un error de medición tan grande como observaron

entre unos y otros alumnos, lo que hizo de la experiencia, una GRAN experiencia. La maestra

destaca que cada alumno, recurriendo al ensayo y error, se vio obligado a medirse un mínimo

de dos veces hasta quedar convencido de su medida. Llegados a este punto, los alumnos se

dieron cuenta que, a pesar de que algunos de ellos tenían una misma altura, sus partes del

cuerpo no se encontraban en una misma altura, lo que les llevó a hablar que,

proporcionalmente, sus partes del cuerpo no eran iguales, a pesar de tener una misma altura.

Para comprobar esta suposición, decidieron buscar algunos puntos concretos en sus cuerpos

y midieron a qué altura, estos puntos del cuerpo, se encontraban del suelo. Estos puntos

fueron las rodillas, la cintura, la barbilla y los ojos. Marcaron estas alturas en sus tiras de

papel. Finalmente, con la introducción del dibujo se recopiló todo el trabajo desarrollado. En


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una hoja de papel, por un lado, cada alumno se dibujó y, por otro, pegaron las dos tiras

correspondientes a su altura. Al no caber las tiras de una pieza, las incorporaron cortándolas

a fragmentos de manera que cupieran en el documento. En el dibujo marcaron las partes

medidas y que habían señalado en la tira de papel que utilizaron para medirse. Con la

introducción de esta leyenda, que surgió de ellos mismos, a su vez, trabajaron la

representación a escala.

Para terminar, faltaba darle un título, decisión nada fácil después de todo lo trabajado y al

mismo tiempo muy revelador del aprendizaje logrado a lo largo de la actividad. En este

quehacer la maestra decidió que cada alumno pusiera el que creyera más conveniente. El

título del dibujo que aquí presentamos (ver Anexo 1), traducido al español es “Yo dentro de

una hoja”. La maestra valora muy positivamente esta experiencia porque con ella realmente

notó un proceso de maduración, así como un progreso muy positivo en todos sus alumnos

sin excepción.

Ejemplo 2.

En la obra que se observa en el Anexo 2, titulada en español como “Cien-Inma-tres”, el autor,

un alumno de 2º curos de E.P., presenta el dibujo de una niña a quien le asigna ciertas

cantidades a determinadas partes de su cuerpo. Este dibujo nos invita a reflexionar sobre qué

pueden indicar exactamente estas cantidades y valorar si pueden o no ser correctas. Al estar

acompañadas por unas unidades concretas: cm, surge el debate sobre qué son los cm y por

qué se ha utilizado esta unidad y no otra.

Por otro lado, intentamos dar significado al título de la obra, que traducido al español es

“Cien-Inma-tres”. Seguramente el autor nos dará una respuesta automática pero, antes de

ello, es interesante plantearnos qué puede significar. Podemos entender que el título se refiere

al total de la altura de la niña representada, quedando por descifrar el valor de las decenas

que vienen codificadas por el nombre de la niña. Para poder determinar su altura, es necesario

determinar qué medidas considerar. Parecen necesarias las alturas relativas a la cabeza, el

tronco y las piernas, pero no encontramos la medida del tronco… Con ellos surgen nuevas

preguntas ¿podemos determinar el valor que no falta conociendo las otras medidas?

¿Podemos estimar el valor de esta medida?

Este trabajo es un ejemplo de cómo el dibujo es un medio con el cual el alumno puede

compartir sus ideas, conocimientos, y conexiones, al mismo tiempo que permite al docente


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u otros compañeros reflexionar sobre lo que se ha representado, cuestionarse sobre ello y

desarrollar así un espíritu crítico sobre lo que uno observa. En concreto, más allá de trabajar

la medida y de la necesidad de ser precisos a la hora de indiciar medidas, permite reflexionar

sobre la estimación y la funcionalidad del cálculo.

Ejemplo 3.

Este tercer ejemplo, además de enseñarnos como a veces las rutas de aprendizaje que

pretendemos llevar a cabo conllevan otros de no esperados, es un ejemplo de cómo un dibujo

de nuestros alumnos puede ser la motivación para otros.

El título de la obra que promovió un ejemplo de esta situación, y que se adjunta en el Anexo

3, se traduce como “Un tren largo y otro de corto”. Con la intención de introducir el concepto

largo/corto en alumnos de P3, la maestra tomó el dibujo (ver Anexo 3) y al presentarlo, la

reflexión que se desarrolló con uno de los alumnos llevó del trabajo de la medida y

comparación al de la numeración y cantidad.

Para introducir la comparación que se pretendía, se mostró que en el dibujo había 2 trenes,

incitando a que éstos fueran comprados. Al preguntar cómo era el tren de arriba el niño

contestó, como esperábamos, que largo, pero al preguntarle cómo era el de abajo, diferencia

de lo que esperábamos, respondió: Pequeño, cómo mis años. Al preguntarle por qué era como

sus años, respondió: Porqué hay 3 botones.

A partir de esta respuesta, la reflexión se desvió a determinar cuántos adhesivos formaban,

exactamente, el cuerpo del tren grande si el pequeño era de 3 adhesivos. El niño resiguió

todas las pegatinas que consideró qué formaban el cuerpo del tren más largo y, con la ayuda

de la maestra que iba contando, llegaron a la conclusión de que, si el tren pequeño era de 3

adhesivos, el grande era de 19. Una vez contados los trenes el niño aportó una nueva

observación. Mirando el tren de abajo dijo que si había botones (que es como él se refería a

las redondas) también tenía que haber cuadrados. A partir de aquí abrió un nuevo camino, al

mostrar cierta inquietud en que las ruedas del tren no mantuvieran cierta proporción.

Analizado el dibujo, a partir de la idea que había salido le pedimos que él hiciera un nuevo

dibujo que se titulara “Como mis años”. Se le dio un papel, colores y adhesivos. El resultado

fue el que se observa en la Figura 1.


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Figura 1. Dibujo realizado por un alumno de P3 inspirado en la obra de la Figura 3 del

Anexo 2.

Al iniciar el dibujo, el niño empezó poniendo los adhesivos unos al lado de los otros más

bien en los bordes de la hoja. Al final, fue cuando hizo las configuraciones centrales. Como

podemos ver, los adhesivos están agrupados de tres en tres, incluso el rectángulo lila o los

dos círculos azules que, de manera más precisa que con los tres círculos de la parte inferior

izquierda, los pegó uno encima del otro. Al pedir por qué lo hacía así, argumentó que, aunque

estuvieran así, (dispuestas una sobre de la otra) había como sus años. Con ello observamos

como un trabajo inicialmente pensado para trabajar la medida y la comparación, sirvió para

trabajar la cantidad y la numeración, así como que el dibujo elaborado por otro niño fue el

medio para que otro pudiera aprender y reforzar otras ideas no necesariamente contempladas

inicialmente.

Con este ejemplo observamos cómo, para trabajar las matemáticas con dibujos no siempre

es necesario elaborar una obra con un motivo inicial concreto, sino que un dibujo elaborado,

como cualquier otro motivo, puede ser el motivo que promueve la reflexión y el trabajo sobre

matemático y, tomando ese nuevo rumbo, puede surgir la necesidad o propuestas de elaborar

de otros. Otra observación que surge de esta experiencia es que al mirar un dibujo con ojos

matemáticos no encontramos solamente lo que describe el título, sino que podemos detectar

otros aspectos, tanto o más relevantes. En este sentido, como hemos observado con este caso,

nuestros alumnos casi siempre nos enseñan caminos muy interesantes en los que nosotros no

habíamos pensado y en los que vale la pena indagar.


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Ejemplo 4.

Acabamos con una pincelada a un cuarto ejemplo, obra de una alumna de 3 años, en la que,

bajo el título, en español, “Granizo, lluvia, llovizna”, se manifiesta una bonita relación entre

la medida y la descubierta de patrones y comprensión de cambios. Con la composición de

tres puntilleos de distinta gordura, a imagen de cuando llovizna, llueve o graniza, se pueden

introducir conceptos como fino y grueso, relaciones de comparación, como más fino y más

grueso, al tanto que se trata de una forma de modelar un hecho natural que, a su vez, conlleva

el descubrimiento de patrones y poder entender el paso de una a otra forma. Con ello

observamos como ciertas técnicas de dibujo, como el collage, permiten relacionar,

experimentar y comunicar distintas ideas matemáticas.

Reflexiones finales

Con la pequeña muestra de las obras matemático-artísticas que aquí hemos comentado y de

las dinámicas asociadas, desarrolladas o propuestas, observamos como el dibujo puede

convertirse en un medio con el que los alumnos, más allá de ilustrar las matemáticas de su

entorno, puedan expresar y conectar sus conocimientos matemáticos y de nuevos, descubrir

o familiarizarse con instrumentos para trabajar matemáticas, así como canalizar su

aprendizaje y sus sentimientos en relación a ello. En particular hemos visto como a través del

dibujo los alumnos son capaces de ilustrar las matemáticas que tienen a su alcance, así como

jugar con ellas para descubrir y promover nuevas cuestiones u conocimientos. Hemos

observado cómo tanto el propio dibujo como el de otros pueden estimular el razonamiento

de los alumnos dando pie a nuevos conocimientos y relaciones matemáticas. También hemos

evidenciado como a través de las técnicas de dibujo se pueden poner en práctica

conocimientos y estrategias matemáticas, así como hacer visibles ciertas estructuras o

relaciones matemáticas que, de otra manera, pueden resultar más complicadas. Finalmente,

destacar que la propia dinámica que genera el trabajo entorno al dibujo o bien ciertas técnicas

de dibujo permiten el descubrimiento de nuevos instrumentos y estrategias para trabajar y

aprender matemáticas. Por ello, la reflexión y mirada posterior del profesor hacia el dibujo y

su contenido es imprescindible (Cabanellas, 1999), pero también lo es la previa para ofrecer

oportunidades de comprensión y aprendizaje mediante el dibujo a los alumnos. Del mismo

modo, promover la mirada de los propios alumnos sobre sus dibujos matemáticos les puede

ayudar a reforzar su competencia matemática. Confirmamos como los dibujos pueden ser un


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recurso especialmente útil en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

incluyendo su evaluación.

Destacamos, finalmente, que las obras a las que nos hemos referido pertenecen a las

categorías A y B, las más pequeñas del concurso. Sin pretenderlo, esto ilustra nuestra

sospecha que la imaginación y la libertad de expresión de cualquier aspecto matemático es

más presente en los alumnos de los cursos inferiores que en los superiores.


Concurs de Dibuixos Matemàtics ABEAM (2012-2017)

http://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=25

Grup Dibuixos Matemàtics ABEAM. (2015, Noviembre 7). Em dibuixes matemàtiques?

XVIII Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM, Barcelona, Catalunya. Recuperado de

http://abeam.feemcat.org/mod/resource/view.php?id=1053

Grup Dibuixos Matemàtics ABEAM. (2015, Noviembre 7). Descobrir matemàtiques amb

un dibuix. XVIII Jornada Didàctica Matemàtica d'ABEAM, Barcelona, Catalunya.

Recuperado de http://abeam.feemcat.org/mod/resource/view.php?id=1052

Hoyuelos, A. (2002). Els plaers, Malaguzzi i el dibuix infantil. Guix D’Infantil, 8, 12-13.

Recuperado de http://dialnet.unirioja.es

Cabanellas, I. (1999). El gesto gráfico infantil: un dialogo entre materia y acción. Aula de

Innovación Educativa, 81, Recuperado de http://www.grao.com/revistes/aula

TRABAJO DIBUJANDO MATEMÁTICAS

ANEXOS

En los Anexos que se presentan a continuación se presentan las imágenes de los dibujos

participantes al Concurso de Dibujos Matemáticos de ABEAM a los que se hacen referencia

a lo largo del trabajo presentado.

Anexo 1. .................................................................................................................................. 87

Anexo 2. .................................................................................................................................. 88

Anexo 3. .................................................................................................................................. 89

Anexo 4. .................................................................................................................................. 89

http://abeam.feemcat.org/course/view.php?id=25



http://dialnet.unirioja.es/

http://www.grao.com/revistes/aula


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Anexo 1.

Figura 2. Jo dins un full. Arnau Cortijo Panadés (2º E.P. – Pia Igualada)

Obra Finalista Categoría B Concurs Dibuixos Matemàtics ABEAM curso 2015–2016


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Anexo 2.

Figura 3. Cent-imma-tres. Guillem Soler Vilademunt (2º E.P. – Segimon Comas)

Obra Finalista Categoría B Concurs Dibuixos Matemàtics ABEAM.2014–2015


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Anexo 3.

Figura 4. Un tren llarg i un de curt! Júlia Ollé Coll. (P4 – Sant Ramon de Penyafort) Obra

Finalista Categoría A Concurs Dibuixos Matemàtics ABEAM curso 2014–2015.

Anexo 4.


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Figura 5. Pedra, pluja, plugim! Ona Mosella Caros. (P3 – Immaculada Concepció) Obra

Finalista Categoría A Concurs Dibuixos Matemàtics ABEAM curso 2015–2016.


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CB-613

REFLETINDO A PARTIR DA PRÁTICA: CONTRIBUIÇÕES DA FORMULAÇÃO

E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NO ESTÁGIO

SUPERVISIONADO

Mirian Raquel Alves da Silva - Kátia Maria de Medeiros


Universidad Estadual da Paraíba (UEPB) - Brasil

Núcleo temático: Formação de Profesores en Matemáticas. Modalidad: Comunicación Breve- CB

Nivel educativo: Medio ou Secundario ( 12 a 15 años)

Palabras clave: Reflexão sobre a Prática, Formulação e Resolução de Problemas

Matemáticos, Frações, Estágio Supervisionado.

Resumo Esta pesquisa foi desenvolvida no âmbito do Projeto Investigando a Formulação e a

Resolução de Problemas Matemáticos na Sala de Aula: Explorando Conexões entre Escola

e Universidade, do Programa Observatório da Educação, CAPES. O objetivo geral foi

analisar como a formulação e resolução de problemas matemáticos sobre frações, a partir

de materiais manipuláveis no 6° Ano do Ensino Fundamental, podem contribuir para uma

prática reflexiva do futuro professor de Matemática em Estágio Supervisionado. Trata-se de

uma pesquisa qualitativa, na qual foram realizadas observações participantes nas aulas de

Matemática do 6° Ano do Ensino Fundamental com as professoras titulares. Foram

realizadas entrevistas semiestruturadas com as referidas professoras e com os dois futuros

professores de Matemática da UEPB: Campus VI, Monteiro-PB e Campus de Campina

Grande-PB, que constituíram os dois estudos de caso. Nesta Comunicação Breve focaremos

sobre algunas fomulações e resoluções. Durante as aulas observadas, os alunos formularam

e resolveram problemas matemáticos a partir de materiais manipuláveis referentes ao

conteúdo fração (adição e subtração). Os resultados sugerem que tanto as professoras como

os futuros professores, no Estágio Supervisionado, conhecem há pouco tempo a metodologia

formulação e resolução de problemas matemáticos, porém mostram-se interessados em

conhecê-la e utilizá-la em sua prática letiva.

Introdução

A nossa motivação para a realização deste estudo surgiu a partir do Estágio Supervisionado

I durante a graduação, quando no primeiro momento da observação do Estágio identificamos

as dificuldades que os alunos apresentavam em entender a Matemática. Ainda inquieta, no

Estágio Supervisionado II, retornamos para sala de aula com outro olhar e intervindo como

futura professora de Matemática trabalhamos com a metodologia de resolução de problemas,

mailto:%[email protected]



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mas percebemos que o caminho era longo, porém o ponta pé tinha sido iniciado,

compreendemos que necessitava de algo mais. Naquela época não entendia o que, entretanto,

depois de muitas leituras e da participação direta na sala de aula, resolvemos pesquisar mais.

Neste estudo temos algumas estratégias que podem contribuir para uma formação adequada

do futuro professor de Matemática, trabalhando a formulação e resolução de problemas

matemáticos voltados para o Ensino Fundamental.

Portanto, o desenvolvimento desta pesquisa permitiu a busca de estratégias que levou os dois

futuros professores de matemática, os quais foram alvo do nosso estudo de caso, a ministrar

aulas que despertassem o interesse dos alunos, a partir do conhecimento da formulação e

resolução de problemas, procurando-se articular a teoria e a prática. As duas professoras

titulares tiveram apenas o papel de ceder a sala de aula para realização da pesquisa, ficando

apenas como observadoras.

A questão norteadora da pesquisa: Como a formulação e resolução de problemas

matemáticos sobre frações, a partir de materiais manipuláveis, podem contribuir para uma

prática reflexiva no Estágio Supervisionado?

Sendo assim, temos como objetivo geral analisar como a formulação e resolução de

problemas matemáticos sobre frações, a partir de materiais manipuláveis no 6°Ano do Ensino

Fundamental, podem contribuir para uma prática reflexiva no Estágio Supervisionado.

Temos consciência de que a Matemática é vista por muitas pessoas como uma disciplina de

difícil compreensão, uma vez que trata conceitos abstratos. E estes conceitos lhe são

característicos, servem para lhe conferir significados, muitas vezes, diferentes daqueles que

as pessoas têm no dia a dia. A natureza do conhecimento matemático, por si só, contribui

para se ter uma visão da Matemática na área de conhecimento inacessível e de difícil

compreensão.

A Resolução de problemas matemáticos no currículo

A resolução de problemas é um tema muito discutido na comunidade de educadores

matemáticos, tanto no âmbito da pesquisa como na prática de sala de aula. No que se refere

à prática do professor, pouco tem chegado à sala de aula da educação básica, talvez por não

haver domínio e entendimento por parte dos professores que atuam neste nível que, na

maioria das vezes, trabalham com situações problemas e acreditam que estão utilizando a


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metodologia da resolução de problemas. Quase sempre, apresentam aos alunos apenas os

problemas e não os levam a questionar as estratégias de resolução. Os alunos desmotivados

não sentem prazer em resolver e raciocinar suas ideias, o que causa um impacto muito grande

na aprendizagem, já que a maioria ver a matemática como algo muito difícil.

D’ Ambrósio (2008), discute a interpretação limitada do trabalho de Pólya (1995) que

resultou em estudos e práticas de sala de aula dos anos 60 a 90, e enfatizava a visão de

resolução de problemas como sendo apenas um procedimento seguido de passos. As

propostas envolviam a resolução de problemas em quatro subatividades: Compreender o

problema; desenvolver um plano; implementar o plano; e avaliar a solução. Nesse processo

de aprendizagem os alunos conseguiam resolver os problemas demonstrando cada passo, à

medida que aprendiam desenvolviam estratégias de resolução.

Formulação e resolução de problemas: novas possibilidades didáticas na aula de

matemática

A natureza da Formulação e da Resolução de Problemas de Matemática é algo que vem sendo

muito apresentado no ensino de Matemática, principalmente no Ensino Fundamental,

podemos verificar que, na própria resolução de problemas, o aluno tem prioridades. Uma

delas é desenvolver seu raciocínio a partir de caminhos construídos por ele mesmo e a outra

é a criatividade na resolução, o que surge como uma forma de despertar uma aprendizagem

de qualidade.

Conforme Dante (2010), enfatiza que a Formulação e a Resolução de Problemas tem por

objetivo conseguir fazer o aluno pensar produtivamente, que é, exatamente, produzir novas

e diferentes soluções, idealizando, buscando e usando novos métodos.

O Uso de materiais manipuláveis em atividades de formulação e resolução de problemas

matemáticos referentes às frações no estágio supervisionado

Para Lorenzato (2009) em termos de sala de aula, durante a ação pedagógica, é importante

que o professor de Matemática conheça bem o material manipulável que vai utilizar como

apoio durante suas aulas. Porém, é fundamental o papel que este material pode desempenhar

na aprendizagem dos alunos.


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Os materiais manipuláveis podem ser um forte aliado para que os alunos possam

compreender os conceitos e as relações que representam as frações. Contudo, podemos listar

alguns materiais sugeridos para o ensino-aprendizagem de frações: o ábaco de frações, a

régua de frações, o disco de frações, dentre outros.

Há também o Kit de Frações, da Experimentoteca da USP. Este material da Experimentoteca

pode contribuir com o aprendizado dos alunos proporcionando várias possibilidades de

compreender a adição e subtração. Com o manuseio desse material os alunos podem tocar,

sentir e buscar novas estratégias para representar as frações de forma mais dinâmica, pois na

prática, manuseando, observamos as devidas relações com as peças, conseguimos fazer a

ponte que liga o concreto com o abstrato, dessa maneira os alunos conseguem ter mais

entendimento a partir da utilização das peças. Portanto, a contribuição do estojo de peças é

relevante, pois além de ser um material rico, colorido e diferente, harmoniza a formação de

grupos que podem trocar ideias e experiências a partir do que já conhecem e vivenciam em

seu cotidiano.

Figura 1: Transparência para encaixar as peças da Experimentoteca

Figura 2: Peças das frações Experimentoteca


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Oliveira (2011) ressalta que as práticas de ensino como componente curricular e o Estágio

Supervisionado precisam estar relacionadas na formação dos futuros professores de

Matemática, pois além de proporcionar um primeiro momento em sala de aula, oferece o

ambiente como campo de pesquisa que pode contribuir para a interligação entre a teoria e a

prática escolar.

Além disso, outro fator que pode contribuir para esta interligação é a “quebra da polaridade”,

como afirma Oliveira (2011), entre as disciplinas específicas e as pedagógicas.

Acrescentando a esses tipos de disciplina as da Educação Matemática, que é a “terceira área”,

muitas vezes confundida ou incluída entre as pedagógicas, mas que tal confusão ou inclusão

não contribuem para esta visão dialógica da estrutura curricular da Licenciatura em

Matemática.

A reflexão e o professor como investigador

Oliveira e Serrazina (2002) enfatizam que o professor pesquisador tem de ser um professor

reflexivo, mas trata-se de uma condição necessária e não de uma condição suficiente, isto é,

na pesquisa a reflexão é necessária, mas isso por si só não basta.

Para complementar o raciocínio de Oliveira e Serrazina (2002), recorremos a Schön (1991),

que traz argumentos relevantes sobre a reflexão, que hoje é vista como uma importante aliada

para uma aprendizagem do professor e do aluno e que possibilita melhorias no ensino e na

qualidade das aulas. Nesse sentido, o autor destaca três modos de reflexão: a reflexão na

ação; a reflexão sobre a ação; e a reflexão sobre a reflexão na ação.

Schön (1991) mostra que uma das maneiras de compreender uma situação é a partir da

reflexão sobre a prática, na qual o autor destaca um dos seus termos “conversação reflexiva


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com a situação”. Neste momento, ele afirma, ocorrem as trocas de experiências, tomadas de

decisões, busca de conhecimento e de compreensões sobre determinada situação. Nessa

ocasião, a reflexão sobre a prática tem um papel de nortear e levar a um significado coerente

dentro da situação existente.

Opções metodológicas

Optamos por uma pesquisa de natureza qualitativa, pois, como apontam Bogdan e Biklen

(1994), as características desse tipo de pesquisa, vão ao encontro com o que almejávamos

proceder, enquanto pesquisadores. Tais características são:

1. Na pesquisa qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural. O

pesquisador torna-se o instrumento principal;

2. A pesquisa qualitativa é descritiva;

3. Os pesquisadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que pelos

resultados ou produtos;

4. Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma

indutiva;

5. Significado é de importância vital na abordagem qualitativa. (p.41-51).

No nosso caso, o ambiente natural foi a sala de aula de Matemática. Nesse ambiente,

interessava-nos os processos referentes à Reflexão sobre a Prática dos futuros Professores

de Matemática, tendo em vista compreender os significados que esses futuros professores de

Matemática atribuíam às atividades de formulação e resolução de Problemas envolvendo

frações, desenvolvidas a partir de materiais manipuláveis usados pelos alunos. O foco foi

observar como os futuros professores percebiam o processo desencadeado através de sua

prática. A nossa pesquisa também é interpretativa, pois procuramos compreender o modo

como a formulação e resolução de problemas matemáticos sobre conteúdo frações, bem como

o Estágio Supervisionado e a Reflexão sobre a Prática, são percebidos pelas professoras

titulares e pelos futuros professores de Matemática.

A nossa pesquisa tem o intuito de analisar como a formulação e resolução de problemas

matemáticos sobre frações a partir de materiais manipuláveis pode contribuir para uma


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prática reflexiva no Estágio Supervisionado. Pensando neste propósito, Ponte (2006)

considera que:

Uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça

deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única ou especial,

pelo menos em certos aspectos, procura descobrir o que há nela de mais essencial

e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global de um certo

fenômeno de interesse (p. 2).

O estudo de caso foi o método utilizado em nossa pesquisa.

Instrumentos de coleta dos dados

Os instrumentos que utilizamos na coleta dos dados de nossa pesquisa. Inicialmente,

utilizamos entrevistas semiestruturadas com as professoras titulares e os futuros profesores

de Matemática., Diário de Bordo, e as formulações e resoluções .dos problemas matemáticos

produzidos pelos alunos,

Categoria de analise dos dados e análise

Bogdan e Biklen (1994) enfatizam que a análise de dados é o processo de busca e de

organização sistemática de transcrições de entrevistas, de notas de campo e de outros

materiais que foram sendo acumulados, com o objetivo de facilitar a sua própria compreensão

acerca desses mesmos materiais e de lhe permitir apresentar a outras pessoas aquilo que

encontrou. Na nossa pesquisa, percebemos que os Dados podiam ser divididos de acordo

com sua natureza: 1 Escolha da profissão e o Estágio Supervisionado a partir das transcrições

das entrevistas; 2 A Relação dos Futuros Professores com o Conteúdo Fraçõe; 3 As

Produções dos alunos nas atividades de formulação e resolução de problemas matemáticos e

nas respostas aos instrumentos; e 4 As reflexões dos futuros professores de Matemática no

Diário de Bordo. Portanto, os dados foram agrupados segundo essas quatro categorias.

No que tange às Produções dos alunos nas atividades de formulação e resolução de

problemas matemáticos, as professoras ana e Luiza, se mostraram muito positivas e


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interessadas. A primeira afirma que o aluno só se aprende resolvendo problemas. A segunda,

por sua vez, afirmou que trabalha a metodologia de resolução de problemas, as resoluções

que já vem no livro didático.

Uma das colocações do futuro professor de Matemática Rodrigo foi que pretende seguir com

esta metodologia, pois anseia continuar trabalhando a formulação e resolução de problemas

matemáticos sempre refletindo sobre sua prática, buscando melhores formas para se trabalhar

em sala de aula e oferecer boas aprendizagens aos alunos. Por sua vez, futuro professor de

Matemática Carlos na apresentação das formulações e resoluções de cada grupo, as

qualidades das formulações deixaram um pouco a desejar, apesar de

termos que levar em consideração que os alunos não trabalharam com a formulação, e não

resolveram tantos problemas.

Figura 3: O Grupo 2 utilizando o estojo de frações, formulando e resolvendo problemas

matemáticos


Os resultados sugerem que tanto as professoras como os futuros professores, no Estágio

Supervisionado, conhecem há pouco tempo a metodologia formulação e resolução de

problemas matemáticos (Dante, 2010), no entanto, estão interessados em conhecê-la e

utilizá-la em sua prática letiva. Os alunos, a princípio, adoraram, pegaram, mexeram e

sentiram, pareciam que estavam flutuando por ser algo novo e manipulável (Lorenzato,

2009), chamou muito atenção. As formulações e resoluções dos problemas (D’ Ambrósio,

2008; Dante, 2010) a partir os materiais manipuláveis propostos despertaram a atenção dos


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alunos e foram produzidas com mais de uma resolução, o que é muito positivo, tendo em

vista as dificuldades, muitas vezes identificadas, para os alunos criarem estratégias distintas

na resolução dos problemas. Algunas formulações revelaram o lado criativo dos alunos. O

conteúdo fração também foi bem explorado pelos alunos em suas formulações e resoluções,

no que tange à ideia e as operações de adição e subtração.


Bogdan, R.; Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em Educação. Portugal: Porto.

Bertoni, N. E. (2009). Pedagogia. Educação e Linguagem Matemática. Frações e Números

Fracionários. Módulo VI. Brasília: UNB.

D’ Ambrósio, B. (2008). A Evolução da Resolução de Problemas no Currículo Matemático.

En Anais do I Seminário em Resolução de Problemas, São Paulo: UNESP.

Dante, L.R. (2010). Formulação e resolução de problemas de matemática: teoria e prática.

São Paulo: Ática.

Oliveira, R.G. (2011).O Estágio Curricular Supervisionado- horas de parceria escola-

universidade. Jundiaí, Paco Editorial.

Oliveira, I; L. Serrazina. (2002). A reflexão e o professor como investigador. In GTI

(Eds.), Reflectir e investigar sobre a prática profissional (pp. 30-42). Lisboa: APM..

Polya, G. (1995). A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência.

Schön, D. (1991). The reflective practitioner: How professionals think in action (1.ª

ed.). London: Asgate & Arena.

Figura 1: O Grupo 1 utilizando o material de EVA (emborrachados) para formular e

resolver problemas matemáticos sobre o conteúdo de frações


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Figura 2: Problema resolvido de duas maneiras diferentes


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Figura 3: O Grupo 2 utilizando o estojo de frações, formulando e resolvendo

problemas matemáticos


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CB-614

CONHECIMENTO PRODUZIDO POR PROFESSORAS DOS ANOS INICIAIS

COM TAREFAS SOBRE O PENSAMENTO ALGÉBRICO

Adair Mendes Nacarato

[email protected]

Universidade São Francisco, São Paulo – Brasil

Núcleo temático: IV – Formación del profesorado en Matemáticas

Modalidade: Comunicação breve (CB)

Nível educativo: Formação e atualização docente

Palavras chave: Conhecimento do professor, pensamento algébrico, discursos matemáticos,

Obeduc.

Resumo

O presente trabalho é resultado de uma pesquisa (financiada pela Capes/Programa

Observatório da Educação), realizada com professoras dos anos iniciais (escola primária),

participantes de um grupo de trabalho colaborativo. Durante o ano de 2016 o grupo se

dedicou aos estudos da álgebra, bem como à seleção e ao desenvolvimento de tarefas visando

ao desenvolvimento do pensamento algébrico de alunos em ciclo de alfabetização (6 a 9

anos). As professoras registravam o desenvolvimento das tarefas em sala de aula e

sistematizavam suas práticas em narrativas. Esse material era compartilhado mensalmente

no grupo de trabalho, com gravação dos encontros. O material de análise consiste de

narrativas das professoras e transcrições dos encontros do grupo. O referencial teórico

adotado apoia-se em: estudos sobre o conhecimento do professor (principalmente os

trabalhos de J. Carrillo e colaboradores), aprendizagem docente e trabalho colaborativo (B.

Jaworski) e pensamento algébrico (Kaput, Mason, Radford, dentre outros). Os resultados

apontam que as professoras, ao proporem tarefas investigativas a seus alunos e analisarem

os discursos que circularam em sala de aula, com indícios de pensamento algébrico,

apropriaram-se de conhecimentos sobre como selecionar e desenvolver tarefas sobre

álgebra nessa faixa etária. O papel do grupo foi fundamental para essa apropriação.

Introdução

Este trabalho é resultado de uma investigação que se desenvolveu num grupo de trabalho

colaborativo, dentro do Programa Observatório da Educação (Obeduc), com financiamento

da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes), fundação do

Ministério da Educação (MEC). O projeto foi desenvolvido durante quatro anos (2013 a

2016), numa parceria do Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação da



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Universidade São Francisco (USF) com escolas públicas da região de Itatiba, SP. O grupo

era constituído de: quatro professoras da USF, cinco professoras da escola pública do ciclo

de alfabetização (alunos de 6 a 9 anos de idade) e quatro estudantes de pós-graduação (3

mestrandas e 1 doutoranda). O foco da pesquisa eram as práticas de letramento matemático

escolar e a formação docente.

O grupo se reunia quinzenalmente para estudos ou compartilhamentos das práticas das

professoras. A partir dos estudos realizados, as professoras selecionavam tarefas para a sala

de aula e sistematizavam suas práticas por meio de narrativas de aulas. Essas narrativas eram

compartilhadas no grupo, cujos encontros eram audiogravados. A cada início de ano as

professoras decidiam qual seria o foco de estudo. Para 2016 o foco foi no desenvolvimento

do pensamento algébrico no início da escolarização.

Vale ressaltar que esse campo do conhecimento matemático não fazia parte dos currículos

brasileiros dos anos iniciais (1º ao 5º ano – estudantes de 6 a 11 anos) até recentemente. Em

2012, o Ministério da Educação publica um documento (Brasil, 2012) que subsidiaria o

material a ser produzido para o ciclo de alfabetização. Nele, a área de matemática está

organizada em eixos estruturantes, sendo um deles, o pensamento algébrico. Mais

recentemente foi publicado, em 20179, um novo documento curricular, Base Nacional

Curricular Comum, que também insere o pensamento algébrico desde os anos iniciais, no

eixo “Álgebra e Funções”.

Esse cenário nos mobilizou para o estudo desse campo matemático, considerando ser

desconhecido das professoras que ensinam matemática nesse ciclo de alfabetização,

principalmente pelo fato de não terem formação especializada. Acrescente-se a isso a quase

ausência de material que possa dar suporte pedagógico às professoras.

Assim, o recorte para este trabalho centra-se no movimento vivenciado pelo grupo ao estudar

e elaborar tarefas visando ao desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, com a

posterior discussão e avaliação dos alcances das tarefas propostas. Nesse movimento pode-

se dizer que todos os envolvidos adquiriram conhecimento sobre álgebra e seu ensino nos

anos iniciais de escolarização.

9 Esse documento está em sua terceira versão e ainda não foi homologado pelo Conselho

Nacional de Educação para ser sancionado e publicado, com implantação a partir de 2018.


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O material de análise consistiu de narrativas produzidas pelas professoras e transcrição das

audiogravações do grupo Obeduc.

Conhecimento do professor: algumas reflexões iniciais

Desde a década de 1980, muito se tem discutido sobre o conhecimento profissional do

professor. Trabalhos como o de Lee Shulman, Maurice Tardif, Claude Lessard, António

Nóvoa, Kenneth Zeichner, Clermont Gauthier, Marilyn Cochran-Smith, Susan L. Lytle,

dentre outros, foram referências para muitas investigações desenvolvidas nessa temática. No

campo da Educação Matemática, outros pesquisadores se constituíram como referência: João

Pedro da Ponte, Salvador Llinares, Dario Fiorentini, Merrilyn Goos, Barbara Jaworski,

Deborah Ball, Jose Carrillo dentre outros. Diferentes perspectivas têm sido apontadas para

se analisar o conhecimento do professor.

Ball, Thames e Phelps (2008) trouxeram grandes contribuições para o debate, ao criarem o

modelo MKT (Mathematical Knowledge for Teaching). Eles ampliaram a categoria de

conhecimento pedagógico do conteúdo, construída por Lee Shulman, acrescentando dois

subdomínios: conhecimento do conteúdo e do aluno e conhecimento do conteúdo e o ensino.

No primeiro deles, há uma combinação do conhecimento do conteúdo matemático com o

conhecimento dos alunos, o que permite ao professor antecipar o que os alunos serão capazes

de fazer com uma determinada tarefa, que pensamentos emergirão e que compreensões

matemáticas serão possíveis. O conhecimento do conteúdo e ensino combina aquilo que o

professor precisa conhecer do conteúdo matemático e como ele vai abordá-lo com os alunos,

que tarefas propor, como sequenciar o conteúdo, como organizar os procedimentos, quais

questões poderão afetar a aprendizagem dos alunos, etc.

Carrillo et al. (2013) optam por considerar a especialização como uma característica geral do

conhecimento do professor de matemática e designam o modelo desenvolvido por MTSK:

Mathematics Teachers’ Specialized Knowledge (modelo Conhecimento Especializado do

Professor de Matemática). Nesse modelo os autores criaram seis subdomínios para esse

conhecimento: conhecimento dos temas (não apenas a matemática como disciplina, mas

também a matemática escolar, seus fundamentos, procedimentos, padrões e alternativas);

conhecimento da estrutura da matemática (conhecimento da matemática da perspectiva de

sua integração e relação em estruturas mais amplas, relacionando conceitos mais amplos com


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elementares e vice-versa, permitindo a compreensão da matemática escolar de um ponto de

vista superior); conhecimento da prática matemática (formas de fazer e proceder em

matemática, as diferentes formas de demonstrar, generalizar, validar conjecturas, o

conhecimento sintático da matemática); conhecimento do ensino de matemática (refere-se ao

conhecimento do professor para ensinar matemática, imbricado com a natureza dos conceitos

matemáticos, materiais e recursos a ser utilizados); conhecimento das características da

aprendizagem matemática (conhecimento de como se aprende e se pensa sobre os conteúdos

matemáticos, como os alunos interagem com os conteúdos, quais ideias intuitivas os alunos

apresentam relacionadas com as atitudes em relação à matemática); e conhecimento dos

padrões de aprendizagem de matemática (visão mais amplo do conhecimento curricular,

discutido por Lee Shulman, por exemplo. Refere-se ao conhecimento de como os conteúdos

a ser ensinados evoluem nos currículos oficiais).

Considero que o maior desafio para um pesquisador seja identificar em qual subdomínio

encontra-se o conhecimento do professor. Esses múltiplos subdomínios nos ajudam a

compreender a complexidade do conhecimento do professor que ensina matemática, o qual

precisa ir além do conhecimento da matemática escolar, mas todos esses subdomínios são

tecidos, de forma plural na prática docente. O modelo proposto por Carrillo et al. (2013) é

potencializador para essa compreensão pelo fato de inserir com ênfase as dimensões da

prática; não basta o professor ter domínio do conhecimento e dos seus alunos; é necessário

que ele consiga articular todos os saberes que envolvem a prática docente ao trabalhar com

determinado conteúdo.

Na presente pesquisa essa constatação ficou evidente. As professoras que atuam nos anos

iniciais – sem formação específica em matemática – se viram diante do desafio de ensinar

um novo conteúdo com o qual não tinham familiaridade, nem teórica, nem prática. No

entanto, elas eram detentoras de um saber sobre seus alunos, seus modos de aprender, os

recursos disponíveis e, principalmente, como conduzir uma aula problematizadora. Nesse

sentido, alguns encontros para estudo do pensamento algébrico foram suficientes para que

elas se sentissem com uma margem de segurança para trabalhar com seus alunos, com a

certeza de que, se dúvidas surgissem, elas poderiam contar com os pares no grupo

colaborativo do Obeduc.


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Daí a importância de modelos de formação continuada pautados em grupos de trabalho

colaborativo, nos quais os professores passam a compor uma comunidade de aprendizagem

(Jaworski, 2008) e as experiências são compartilhadas. Outro processo formativo

potencializador de aprendizagens docentes é a sistematização da prática por meio de

produção de narrativas. As narrativas são potencializadoras da reflexão da prática, pois no

ato de escrever o professor reflete sobre sua prática, as respostas dadas pelos alunos, as

mediações que realizou e, com isso, pode ressignificar sua própria prática. Além disso,

quando essas narrativas são compartilhadas num grupo de natureza colaborativa, há

discussões, reflexões coletivas e trocas entre os participantes, o que amplia a possibilidade

de ressignificações dos modos de ensinar, de analisar as aprendizagens dos alunos, seus

raciocínios e ideias intuitivas, as possibilidades de interações e mediações, como formular

boas perguntas – enfim, esse é o conhecimento do professor que ensina matemática.

Aprendizagens compartilhadas sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico

Não tínhamos a pretensão de, com poucos encontros, possibilitar avanços na amplitude do

conhecimento no campo da educação algébrica. Nos limitamos a estudar textos que nos

dessem subsídios para elaboração de tarefas que fossem significativas para os alunos do ciclo

de alfabetização. Como afirmam Hiebert et al. (1997), as tarefas precisam contribuir para os

avanços de aprendizagem dos alunos. Nosso ponto de apoio é a perspectiva histórico-cultural,

que nos orienta para a intencionalidade da prática, a qual precisa ser planejada, com objetivos

bem definidos e o professor tendo o papel central, como aquele que prepara a tarefa, organiza

a turma de alunos para o trabalho, registra os discursos que circulam na sala de aula e

sistematiza o movimento vivido – esse é um conhecimento que as professoras já detinham.

No campo da educação algébrica, nos detivemos a estudar autores que defendem que o ensino

de álgebra deve estar no currículo desde o início da escolarização (Kaput, 2007; Mason,

2007; Van de Walle, 2009; Vale e Pimentel, 2011; Radford, 2013, dentre outros) e, que,

dentre as diferentes funções da álgebra, a percepção de regularidades e o pensamento

relacional (relações de equivalência) podem ser desenvolvidos desde os anos iniciais.

Considerando a amplitude de dados, seleciono para esta seção apenas alguns, em forma de

episódio, que evidenciam: ideias intuitivas das crianças, modos de problematização da

professora, análise que a colega realiza da prática da professora.


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Episódio 1: o cordão de contas

A tarefa do cordão de contas foi desenvolvida pela maioria das professoras do grupo. Ela

consiste em distribuir contas coloridas e um pedaço de fio (barbante, por exemplo) e os

alunos construirão uma sequência com motivo de repetição. As professoras Daniela e Eliana,

trabalharam numa mesma escola e planejaram realizar juntas a tarefa: os alunos de Daniela,

do 2º ano, construiriam o cordão de contas e, os alunos de Eliana, 3º ano analisariam as

sequências construídas, dando as devidas devolutivas. Daniela assim encaminhou a proposta

com seus alunos:

Realizei com as duas turmas a explicação da proposta, estabeleci a elaboração de um cordão

de contas com 28 miçangas [contas], os alunos poderiam escolher de três a quatro cores, mas

alguns alunos também usaram duas cores. Antes fiz alguns questionamentos referentes ao

porque iríamos confeccionar um cordão e não um colar, já que um dos alunos no momento

da explicação citou que seria como um colar; ressaltei que não, iríamos elaborar um cordão

e perguntei o porquê de ser um cordão. Depois de um breve silêncio, o aluno Ruan olhou

para meu colar e disse:

Ruan: O seu colar é finito, você que fez prô? [a expressão prô é um modo carinhoso pelo

qual os alunos se reportam à professora].

Profa: Sim, então por que você acha que não podemos fechar as pontas do nosso cordão?

Ruan: Porque é que nem o seu colar, ele parece uma sequência das bolinhas coloridas mas aí

você fechou para ficar no pescoço, então ele teve fim, nosso cordão é infinito se um dos

alunos do 3º ano quiser continuar ele pode, é uma sequência que não tem fim.

Essa consideração foi partilhada no grupo de alunos, pois nenhum deles tinha conseguido

entender o porquê elaborar um cordão e não um colar de contas; a maioria concluiu que tinha

apenas que fechar as pontas para as bolinhas não caírem. (Narrativa da professora Daniela,

abril/2016).

Nesse episódio podemos identificar o modo como a professora inicia a tarefa com os alunos:

com questionamentos, colocando-os no movimento de pensar matematicamente –

conhecimento da prática matemática e do ensino. A intervenção de Ruan, com certeza, foi

algo não previsto pela professora. No entanto, ela soube aproveitar seu comentário para que

ele explicitasse o que estava pensando (outro conhecimento da professora: solicitar que o

próprio aluno encaminhe seu raciocínio, para que outros possam não apenas compreendê-lo

– conhecimento dos modos como os alunos aprendem –, mas também se apropriarem dele),

revelando que já havia tido a compreensão de que a sequência seria infinita, pois poderiam

colocar quantas contas (ou miçangas) quisessem e que, ao fechar o cordão, a sequência se

torna finita e o motivo de repetição também pode ser qualquer.


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Os cordões produzidos pelos alunos da professora Daniela foram analisados pela turma da

professora Eliana. O primeiro cordão analisado era uma sequência composta por três cores:

vermelho, azul e preto. A seguir, o diálogo entre professora e alunos:

Profa: Os alunos do 2º ano usaram as mesmas peças que vocês usaram no 1ºano e fizeram o

quê?

Taynnara: Uma pulseira!

Profa: Isso é uma pulseira? Pensem na conversa que tivemos no início da aula.

Taynnara: Uma fila!

Profa: Uma fila?

Isadora: Uma sequência!

Heloa: É uma sequência! Olhe vermelho, azul e preto...

Profa: Qual é o segredo, o motivo daqui então?

Alunos: Vermelho, azul e preto, vermelho, azul e preto... vermelho.

Profa: E agora como continuar essa sequência?

Alunos: Azul e preto.

Profa: O motivo tem quantas cores?

Alunos: Três!

Profa: Isso tem fim?

Alunos: Não.

Profa: Por quê?

Heloa: Porque pode continuar até quando você quiser, é só continuar colocando.

Isadora: Vai continuar se repetindo. (Narrativa da professora Eliana, abril/2016).

Fica evidente o quanto a professora é problematizadora e sempre coloca questões para os

alunos pensarem, e estes, vão entrando no movimento de pensar na sequência, já trazendo

indícios da apropriação de regularidade na sequência, identificação do motivo de repetição e

a noção de infinito. Importante destacar que nesse período as professoras estavam iniciando

as tarefas com sequências e regularidades e os alunos já apresentam indícios de apropriação

de ideias algébricas.

Esse episódio gerou boas reflexões no grupo Obeduc. Além disso, as demais colegas

quiseram saber como o cordão foi transportado de uma sala para outra, ou seja, no grupo

sempre havia o compartilhamento de práticas.

Daniela: é, eles escreveram o nome num saquinho. Figura 1: cordão de contas

Eliana: aí depois eu grampeei. Fui grampeando.

A Daniela colocou duas fitas.

Daniela: coloquei duas fitas brancas, uma em cada ponta.

Selene: ah, você não deu nó?

Daniela: não, porque o Samuel falou que se desse nó, ficava finito. Então não podia dar nó.

(Transcrição do grupo Obeduc, maio/2016)


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Há um constante interesse das professoras por conhecer os procedimentos que as colegas

utilizam para ter sucesso nas suas tarefas – conhecimento da prática matemática.

Episódio 2: professora analisando a prática de outra professora

Este episódio refere-se ao encontro do grupo, em agosto de 2016, quando na socialização das

narrativas, a professora Kátia havia trabalhado com as barras cuisenaire com o objetivo de

estabelecer relações de equivalência. A professora Cidinéia assim se manifestou quanto à

prática narrada por Kátia:

Primeiro que é muito interessante no momento da socialização você utilizar o datashow e

levar a discussão adiante e acontecer novamente. Isso eu gosto muito, que é um movimento

que você se identifica bastante com essa prática das mídias, eu acho muito rico [a profa. Kátia

fotografa ou filma as sequências produzidas pelos alunos e projeta para o momento coletivo

de discussão]. Segundo, a possibilidade das crianças utilizarem o cuisenaire desde cedo, nós

exploramos muito pouco esse material, embora já tenhamos confirmação de toda a sua

riqueza. Na palestra do EEMAI, quando o professor Arthur Powell trouxe, e aqui no grupo

também, eu desconhecia o material, nunca tinha usado. As falas das crianças foram muito

legais também, e eu marquei a sua reflexão: "No momento da discussão na classe, essa fala

de Miguel passou e eu não dei voz a ele e fui percebê-la apenas quando fui ouvir a gravação

e ao escrever a narrativa”. De certa forma, é uma leitura que você está tendo diante de sua

prática e o quanto esse movimento de gravar, rever, escutar novamente, escrever possibilita

essa reflexão tão rica do professor e que agora sim, eu me convenço, realmente, o quanto a

escrita é importante para o professor e realmente a gente vê a cada dia mais o quanto essas

nossas formações em rede muitas vezes não dão certo por isso, pois elas não nos tocam, o

quanto o professor quando ele vai buscar os grupos ou dentro de faculdades, universidades

ou então na própria escola, o quanto vai fazendo sentido algumas coisas, porque vamos nos

formando em um movimento até mesmo solitário (ao escrever e ler), mas depois

compartilhado, mas eu acredito que é só nesse movimento e que não é em um movimento de

grupos grandes, em uma rede que se paga alguém para vir dar formação para você, pode até

aprender alguma coisa, mais não é o mesmo movimento, porque na verdade é essa escrita

que é tão transformadora para sua prática.

Essa fala foi selecionada pela sua riqueza e por trazer uma síntese daquilo que tenho

defendido como formação: o compartilhamento de práticas em grupos de trabalho

colaborativo. Em apenas um ano de estudo, as professoras conseguiram se arriscar, propor

tarefas instigantes a seus alunos e aproveitar os momentos de discussão e compartilhamento

das narrativas como processos formativos. Como afirmou Cidinéia, a formação precisa se

pautar no movimento do estudo, da escrita, discussão e compartilhamento de práticas de sala

de aula em grupos colaborativos.

No que diz respeito ao pensamento algébrico, as professoras se apropriaram de algumas

ideias iniciais, mas tal apropriação foi decorrente do movimento que aconteceu no grupo


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Obeduc: estudar, elaborar tarefas, desenvolvê-las com os alunos, registrar e discutir os

resultados no grupo, ampliando compreensões e reavaliando a potencialidade da tarefa.


Brasil. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. (2012). Elementos

conceituais e metodológicos para definição dos direitos de aprendizagem e

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CB-616

LÚDICA Y DIDÁCTICA EN LAS AULAS UNIVERSITARIAS

Ing. MSc. Myriam del Carmen Ángel Poma

[email protected]

Universidad Central del Ecuador - Quito - Ecuador

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la matemática en las diferentes modalidades y

niveles educativos. / Formación del profesorado en matemática.

Modalidad: Comunicación breve (CB)

Nivel educativo: Educación de adultos

Palabras clave: lúdica, didáctica, motivación

Resumen

Este trabajo corresponde a una investigación referente a la incidencia las actividades

lúdicas y didácticas que ha realizado la autora, durante un semestre, en las aulas de la

Universidad Central del Ecuador, en la carrera “Turismo Histórico Cultural”, en el

desarrollo de la asignatura “Estadística Descriptiva Básica”, en la que se han incluido

actividades lúdicas y una actitud positiva por parte de la docente, para permitir que los

estudiantes aprehendan los conocimientos y resuelvan problemas de manera efectiva,

utilizando su creatividad. Esta experiencia enfatiza en la búsqueda de nuevas estrategias

para que el proceso de interaprendizaje sea más cálido y amigable para todos sus actores.

1. Antecedentes

En la experiencia profesional de la autora, de alrededor de 16 años, ha tenido la oportunidad

de trabajar en colegios, institutos tecnológicos y universidades y de aplicar técnicas y

estrategias lúdicas para generar aprendizajes, en Matemática básica.

La motivación y la didáctica utilizadas en las aulas, especialmente del nivel de educación

secundaria, le han generado grandes satisfacciones.

Al llegar a la universidad, a ejercer la docencia de Estadística Descriptiva en la carrera

“Turismo Histórico Cultural”, encontró: Gran heterogeneidad en las edades de los

estudiantes, diversos niveles de conocimientos previos y desinterés por la asignatura10 Ante

la necesidad de realizar un tratamiento riguroso de los contenidos, buscó estrategias para

evitar la repitencia de semestre y/o la deserción escolar de los estudiantes. Consideró los

aportes de pedagogos de las edades moderna y contemporánea que hacen referencia a que el

ser humano aprende mejor de acuerdo a las estrategias metodológicas que se apliquen en la

clase y consideró la experiencia obtenida como docente de educación general básica y

bachillerato, para lograr que la Matemática sea amigable, en este nuevo escenario.

10 Un alto porcentaje de estudiantes han optado por esta carrera por evadir a la Matemática y todas sus áreas

afines



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En su mayoría, los estudiantes de la Carrera de Turismo Histórico Cultural cursan por primera

vez Estadística Descriptiva Básica; esta asignatura trata los siguientes temas: Elementos

Básicos de la Estadística; Datos simples y agrupados organizados en tablas; Gráficas

estadísticas; Medidas de tendencia central, dispersión, posición y apuntamiento y Teoría de

probabilidades, en 64 horas de clase.

2. Objetivo General

Comprobar la efectividad de las estrategias lúdicas para generar aprendizajes significativos

en la asignatura “Estadística Descriptiva Básica”, en los estudiantes de primer semestre de la

Carrera de Turismo Histórico Cultural de la Universidad Central del Ecuador.

3. Objetivos Específicos

Proponer estrategias de aprendizaje para obtener un clima de aula favorable para el

estudio de la Estadística Descriptiva Básica.

Aplicar la teoría de Moritz Lazarus y de Miguel de Guzmán en la fase motivacional a

fin de que los estudiantes se interesen por la asignatura.

Superar las diferencias de edades y conocimientos de los estudiantes de la carrera de

Turismo Histórico Cultural en el aprendizaje de la Estadística Descriptiva Básica.

4. Referencias Teóricas

Huizinga afirma: “Juego es una orientación peculiar de la conducta que constituye una forma

de asimilar e interpretar simbólicamente la realidad” (Peñalba y García, 2009, p 10).

Para Gardner el juego es una forma de desarrollar la creatividad y la imaginación (Gadner,

1995, p 40).

Para Díaz y Hernández (2002, p. 234), las estrategias de aprendizaje son procedimientos o

secuencias de acciones conscientes y voluntarias que pueden incluir varias técnicas,

operaciones o actividades específicas que persigue un determinado propósito: aprender y

solucionar problemas. (Mora, 2008, p 5).

Ramsden (2003) expresa que el ser humano aprende de mejor manera en función de las

estrategias y los métodos utilizados; así el proceso de interaprendizaje es un proceso

cooperativo entre maestro y estudiantes (Mora, 2008, p 5).

Hofer, Yu, Pintrich (1998) y Justicia (2000) indican que en la edad adulta los seres

humanos poseen una mayor experiencia metacognitiva y eso los convierte en “expertos en

aprender”. Entre las estrategias propuestas por estos autores están: clase magistral, lección

interactiva, enseñanza centrada en el alumno, exposición de los estudiantes, enseñanza

basada en trabajo en grupo, tutorización, dinámica de grupo, trabajo personal y

dramatizaciones. (Ocaña, 2010, p 25).

Biggs (2001) también manifiesta que la motivación intrínseca y extrínseca marca la

diferencia entre una educación cálida versus una educación tradicionalista, así como el uso

efectivo de diferentes estrategias. (Montico, 2014, p109).

Sander y Sanders (2003) proponen la confianza académica como un factor preponderante

en las aulas; a partir de esta propuesta, se pretende que el estudiante elimine sus temores a


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preguntar y disminuyan los posibles errores que puede cometer en la solución de problemas.

(Mora, 2008, p 35).

Una mayor motivación se traduce en más esfuerzo y mejor desempeño, y este incrementa la

motivación debido a la sensación de logro que produce (Bueno y Castanedo, 1998).

(Homoludens, 2015).

Moritz Lazarus filósofo y psicólogo (1824 – 1903) manifiesta que el juego es una actividad

que la puede realizar el individuo sin importar su edad; que a través de ella éste puede

restaurar su energía, descansar, distraerse, liberarse del stress en general; que el juego es un

mecanismo de compensación de la fatiga.

El juego rompe con el trabajo y las actividades cotidianas, permitiendo el descanso; es una

compensación de la fatiga producida por otras actividades menos atractivas. (Mora, 2008,

p16).

Miguel de Guzmán.- Manifiesta que para evitar el fracaso universitario debe haber dos

momentos el teórico y el práctico. También indica: es importante conocer el medio donde se

desenvuelve el alumno. Los docentes además de estar altamente capacitados deben conocer

otro tipo de conocimientos que permitan al estudiante y al maestro estar en un entorno amable

y agradable; el maestro se involucrará en el proceso de adaptación de los cambios de la

educación secundaria a la universitaria, los cambio vertiginosos que ha dado la educación en

los diferentes niveles, los cambios que la universidad exige, las habilidades matemáticas de

ingreso y salida; en general el docente es el elemento principal para la adaptación y éxito del

estudiante (Guzman, 2000)

Andragogía.- Es el arte de enseñar a estudiantes adultos, considerando que estos aprenden

de manera distinta que los niños y adolescentes; para que exista un involucramiento en el

proceso de interaprendizaje el docente debe poseer un cúmulo de estrategias que le permita

alcanzar las metas educativas; considerando que los adultos aprenden para transformar su

situación personal y social. La andragogía le ayudará a aprender, a conocer, aprender a ser,

aprender a hacer, aprender a emprender y aprender a convivir. (Pérez y Martínez, 2009, p

20).

Lúdica.- Es la acción que produce diversión, placer, alegría y toda acción que identifique

recreación; esta puede ser activa o pasiva, lúdica o juego es el conjunto de estrategias

diseñadas para crear ambientes escolares armónicos donde los estudiantes se apropien de los

conocimientos en forma dinámica utilizando la imaginación y creatividad. (Cohen, 2001, p

40).

5. Metodología

En este estudio se utilizó la siguiente metodología: Se consideraron dos paralelos que toman

la misma asignatura, en uno de los ellos se aplicaron actividades lúdicas y en otro no, para

establecer diferencias.

5.1.Paralelo en el que se utilizaron actividades lúdicas

Para contextualizar, la docente empezó el curso demostrando que la Estadística es una

ciencia que todo individuo debe conocer. Luego resalta su utilidad con ejercicios


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relacionados con la vida diaria, utilizando documentos de la vida cotidiana como

planillas de servicios básicos, facturas e información de medios de comunicación a fin

de que los estudiantes puedan verificar los conceptos analizados previamente y predecir

cuál será el consumo promedio de energía eléctrica de una familia; el crecimiento o

decrecimiento poblacional de una región del país; el ingreso o egreso más frecuente y

otros indicadores que permiten interesar a los estudiantes en el manejo de las cifras.

Posteriormente los ejercicios lúdicos se enfocaron en la labor del profesional de la

carrera de Turismo Histórico Cultural y en las cifras relacionadas con el turismo, en el

cómo sistematizarlas en cuadros y gráficos.

En la dinámica de aprendizaje los estudiantes utilizaron materiales de fácil acceso para

diferenciar las etapas de investigación estadística: planificación, toma de datos,

organización de los datos, representación e informe, comprobaron cómo se sistematiza

la información en documentos que se encuentran en su entorno; también se analizó

conceptos básicos de estadística como son población, muestra, tipos de variables,

estadística, estadístico, observación, dato.

A fin de manejar un mismo criterio los estudiantes trabajaron con la planilla de un mismo

servicio básico; los procesos lúdicos se desarrollaron así:

o La participación activa para plantear el problema.

o Asignación de la variable de estudio y el tipo al cual pertenece.

o Construcción de la tabla utilizando palelógrafos.

o Trabajo por filas con los estudiantes para que identifiquen la frecuencia y la

analicen.

o El resto de estudiantes se preparaban para participar en el caso de que hubiera

error.

o Paralelamente se preparó un taller con situaciones cotidianas aplicadas al

turismo. El objetivo fue que los estudiantes reproduzcan lo aprendido en el aula

para ser socializado en la clase próxima, aquí se aplicó la teoría de Miguel de

Guzmán “El valor didáctico de la repetición”

En la unidad de representaciones gráficas, la dinámica de trabajo fue que cada estudiante

en el papelografo ubique los datos ya sea en el diagrama circular, diagrama de barras,

nube de puntos o polígono de frecuencias, la docente también utilizó una gama de

colores, para reflejar calidez y dinamismo en el trabajo así la maestra a más de

facilitadora era la guía del trabajo.

En la aplicación de estadígrafos previamente se revisó el uso de calculadora, los

estudiantes interactuaron en la exposición del informe gráfico y teórico de los resultados

obtenidos.

Al culminar el análisis de los contenidos, luego de un trabajo independiente y autónomo,

la docente organizó un trabajo grupal aplicando la técnica de #trabajo colaborativo y

cooperativo” como lo señala Miguel de Guzmán. (Guzmán, 1995)


ISBN 978-84-945722-3-4

o Se organizaron equipos de trabajo

o Se les solicitó reunir los documentos e información necesaria para la solución del

taller planteado.

o El secretario designado tomó nota de las indicaciones generales y las socializó en el

equipo.

o Cada equipo analizó la estrategia para la solución de los problemas, trabajaron el

taller y culminaron con un informe.

Para el capítulo de Probabilidades la docente planteó situaciones - problema orientadas

al turismo, tales como: análisis de ofertas, satisfacción de los servicios recibidos, entre

otras. El proceso lúdico se desarrolló en la construcción del diagrama de árbol para 3, 4,

5 y 6 participantes, la lectura de los resultados obtenidos generó expectativas ya que

cada estudiante seguía la lectura con cuidado y varios obtuvieron la ayuda de sus

compañeros, la actividad creó un espacio de integración y compañerismo.

En todo el proceso se desarrollaron informes ejecutivos con el propósito de que los

estudiantes no consideren que el objetivo es conseguir un número, sino saber explicar lo

que significa cada estadígrafo y porqué el último nivel de la Estadística Descriptiva

Básica es inferir soluciones a problemas planteados.

5.2.Paralelo en el que no se utilizaron actividades lúdicas

El paralelo que no utilizó el modelo lúdico trabajo bajo las siguientes características:

Planteo de la teoría con ejemplos generales.

Solución de problemas en pizarra con la participación única del docente.

Manejo de los conceptos en forma generalizada, sin interpretación de resultados.

Escasa participación de los estudiantes.

Escasa retroalimentación y correlación con actividades orientadas al turismo.

Escasa motivación, distanciamiento entre el docente y los estudiantes.

6. Resultados obtenidos

6.1.Notas obtenidas por los estudiantes del paralelo en el que NO se utilizaron

actividades lúdicas

Tabla Nº 1

NOTAS PARALELO 1

PRIMER HEMISEMESTRE 2016 - 2016

88 ESTUDIANTES

INDICADOR ESTUDIANTES ANALISIS

Mayor a 14 puntos 35 Promedio = 13,02

De 10 a 14 puntos 38 Dispersión = 4,91

Menor a 10 puntos 15 Mínimo = 8,10

TOTAL 88 Máximo = 17,94

Fuente: UCE - Facso - Carrera Turismo Histórico Cultural, Repositorio de notas de

la asignatura de estadística período 2016 - 2017.


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6.2.Notas obtenidas por los estudiantes del paralelo en el que se utilizaron

actividades lúdicas

Tabla Nº 2

NOTAS PARALELO 2

PRIMER HEMISEMESTRE 2016 - 2017

MUESTRA: 84 ESTUDIANTES

INDICADOR ESTUDIANTES ANALISIS

Mayor a 14 puntos 43 Promedio = 14,21

De 10 a 14 puntos 32 Dispersión = 4,51

Menor a 10 puntos 9 Mínimo = 9,70

TOTAL 84 Máximo = 18,72

Fuente: UCE - Facso - Carrera Turismo Histórico Cultural, Repositorio de notas de

la asignatura de estadística período 2016 - 2017.


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Estudiantes que perdieron el semestre

En el grupo donde no se aplicaron actividades lúdicas perdieron el semestre 15

estudiantes, es decir el 17%

En el grupo donde se aplicaron actividades lúdicas perdieron el semestre 8

estudiantes, es decir el 10%

6.3.Estudiantes que desertaron durante el semestre

En el grupo donde no se aplicaron actividades lúdicas desertaron 5 estudiantes, es

decir el 6%

En el grupo donde se aplicaron actividades lúdicas desertó una estudiante por un

embarazo que implicó reposo, es decir el 1%

6.4. Encuesta aplicada a los dos paralelos

Al final del semestre se aplicó una encuesta con preguntas abiertas:

a. 1.¿Qué aprendieron?,

b. 2. ¿Las clases fueron dinámicas?,

c. 3. ¿Qué aspectos del proceso les llamó la atención?,

d. 4. ¿Utilizarán la Estadística Descriptiva Básica en el futuro?

6.4.1. Resultados de la encuesta al paralelo en el que se utilizaron actividades lúdicas

a. ¿Qué aprendieron?,

Analizar información que puede hallarse en diferentes medios

Emitir un informe utilizando criterios estadísticos

b. ¿Las clases fueron dinámicas?

Si, fue agradable utilizar materiales, aprender a utilizar la calculadora, esforzarnos

por emitir un informe bien estructurado, expectativa por la construcción de informes

gráficos.

Existía claridad en el desarrollo de los temas

Diferenciaban los conceptos al utilizar diferentes colores

c. ¿Qué aspectos del proceso les llamó la atención?

Soltura para comprender un texto de cualquier medio

d. ¿Utilizarán la Estadística Descriptiva Básica en el futuro?

Si, en espera de ocupar cargos administrativos o realizar asesorías.

6.4.2. Resultados de la encuesta al paralelo en el que NO se utilizaron actividades

lúdicas

a. ¿Qué aprendieron?,

Proceso estadístico para datos agrupados

b. ¿Las clases fueron dinámicas?

No, el docente utilizaba la pizarra, no preguntaba si los contenidos estaban claros.

c. ¿Qué aspectos del proceso les llamo la atención?

El docente realizaba varios ejemplos

d. ¿Utilizarán la Estadística Descriptiva Básica en el futuro?


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Si, si se presenta el caso pero se espera que sean situaciones similares a las tratadas

en el aula

7. Conclusiones

Al comparar los dos grupos, si se considera que para que el estudiante apruebe el curso

necesita una nota mayor o igual a 14 puntos, se puede apreciar que el grupo en el cual se

aplicó procesos tradicionales tiene el 60% de estudiantes con promedio menor a 14 puntos

(43%) y menor a 10 puntos (17%); el otro grupo, en el que se utilizaron actividades y espacios

lúdicos y didácticos tiene el 49% de estudiantes con promedio menor a 14 puntos (38%) y

menor a 10 puntos (11%). En cuanto a los datos se aprecia que en el promedio existe un punto

de diferencia, la dispersión es similar y en cuanto a la nota mínima y máxima obtenida la

diferencia es de alrededor de un punto.

Se aprecia un 11% de diferencia, entre el grupo que aplicó el modelo lúdico con respecto

al otro grupo.

Se comprueba que las estrategias lúdicas utilizadas permitieron a los estudiantes

entender de mejor manera los temas planteados.

La motivación jugó su papel fundamental como lo manifiesta Miguel de Guzmán “La

motivación predispone al estudiante para comprender y hacer estadística” (Guzmán,

2000)

8. Recomendaciones

Que los docentes de Matemática

Se actualicen permanentemente en tendencias pedagógicas contemporáneas, visiten

blogs de universidades reconocidas y especializadas en Pedagogía.

Investiguen sobre nuevas tendencias de la educación y popularización de la Matemática.

Se suscriban en redes de docentes y organizaciones que manejan temas referentes a

motivación académica, solución de conflictos en el aula en forma asertiva,

neurolingüística, entre otros temas que les permitan alcanzar la calidez de la enseñanza

de la Matemática.


ISBN 978-84-945722-3-4

9. Referencias bibliográficas

Bueno y Castanedo. http://www.revistacdyt.uner.edu.ar/pdfs/Cdt29_Montico.pdf/

Consultado 2016/12/26

1 Cofer, N., Appley, M. (2007). Psicología de la motivación. México: Trillas.

2 Díaz y Hernández. https://edutecnologia.wordpress.com/2008/06/06/estrategias-

didacticas-del-docente-universitario-y-su-importancia-en-el-proceso-ensenanza-

aprendizaje/ Consultado 2016/12/26

3 Gluck, M., Mercado, E., Myers, C. (2000). Aprendizaje y memoria; del cerebro al

comportamiento. México: McGraw-Hill.

4 Harrington, J., Hoffherr, G., Reid, R. (2008). Herramientas para la creatividad. México:

McGraw-Hill.

5 Jiménez, C. (2007). Ludoterapias. Colombia: Cooperativa Editorial Magisterio.

La praxis lúdica en el aula universitaria. http://homoludensblog.blogspot.com/2015/01/la-

praxis-ludica-en-el-aula.html/ Consultado 2016/12/26

López Noguero, F. (2007). Metodología participativa en la enseñanza universitaria

(segunda edición). Madrid: Editorial Narcea S. A.

Montico, S. La motivación en el aula universitaria: La motivación en el aula universitaria:

¿una necesidad pedagógica? http://www.revistacdyt.uner.edu.ar/pdfs/Cdt29_Montico.pdf/


Mora Peña, L. E. Estrategias didácticas del docente universitario y su importancia en el

proceso enseñanza-aprendizaje.

https://edutecnologia.wordpress.com/2008/06/06/estrategias-didacticas-del-docente-

universitario-y-su-importancia-en-el-proceso-ensenanza-aprendizaje/ Consultado

2016/12/26

Ocaña, F. Actividades lúdicas para desarrollar la motivación en la educación superior.

https://actualidadendocenciasuperior.jimdo.com/actividades-l%C3%BAdicas-para-motivar-

la-clase/ Consultado: 2016/12/26

6 20 principios psicológicos para mejorar el aprendizaje de los estudiantes.

http://noticias.universia.es/portada/noticia/2016/01/22/1135662/20-principios-

psicologicos-mejorar-aprendizaje-estudiantes.html/ Consultado 2016/12/26

http://www.revistacdyt.uner.edu.ar/pdfs/Cdt29_Montico.pdf/

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http://homoludensblog.blogspot.com/2015/01/la-praxis-ludica-en-el-aula.html

http://homoludensblog.blogspot.com/2015/01/la-praxis-ludica-en-el-aula.html

http://www.revistacdyt.uner.edu.ar/pdfs/Cdt29_Montico.pdf



https://actualidadendocenciasuperior.jimdo.com/actividades-l%C3%BAdicas-para-motivar-la-clase/

https://actualidadendocenciasuperior.jimdo.com/actividades-l%C3%BAdicas-para-motivar-la-clase/

http://noticias.universia.es/portada/noticia/2016/01/22/1135662/20-principios-psicologicos-mejorar-aprendizaje-estudiantes.html

http://noticias.universia.es/portada/noticia/2016/01/22/1135662/20-principios-psicologicos-mejorar-aprendizaje-estudiantes.html


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-617

APRENDIENDO A ESTRUCTURAR UN PROBLEMA EN EDUCACIÓN

INFANTIL

Pérez, Rocío1– Rodríguez, Alejandro2 – Martín, Juan P.2 - Molina, Noemí2 – Díez, Alice3 –

Jiménez, Inmaculada3 - Gómez, Ana4 – Carrillo, José2– Climent, Nuria2

[email protected] – [email protected] – [email protected] –


[email protected] –[email protected] – [email protected] 1CEIP Aurora Moreno (Gibraleón-Huelva, España), 2 Universidad de Huelva (España)

3Junta de Andalucía (España), 4CEIP Las Gaviotas (La Antilla-Huelva, España)

Núcleo temático: La resolución de problemas en matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Inicial (3 a 5 años)

Palabras clave: resolución de problemas, educación infantil, estructura de un problema,

trabajo colaborativo

Resumen En este trabajo presentamos una experiencia llevada a cabo por una maestra en el seno de

un grupo de investigación colaborativa en el que participan profesoras de diversos niveles

educativos, investigadores universitarios y estudiantes que acaban de terminar sus estudios

del Grado de Educación Primaria. Dicha experiencia forma parte de una investigación que

consiste en el diseño, puesta en práctica y análisis de tareas ricas para el aprendizaje

matemático en Resolución de Problemas. En la experiencia que aquí se presenta se describe

el proceso de aprendizaje de la estructura de los problemas matemáticos en un aula de 5

años de Educación Infantil. La formulación de preguntas como adaptación de las fases de

resolución de problemas, el uso de murales y la construcción conjunta de un relato sobre la

resolución del problema se han mostrado recursos útiles para favorecer dicho aprendizaje.

Introducción

Resolver problemas es una actividad familiar para el ser humano, bien en formato de retos

externos, bien procedente de cuestionamientos personales. En cualquier caso, el ser humano,

desde pequeño, ha de enfrentarse a situaciones para las que no dispone de una solución o una

forma inmediata de afrontarlas. La matemática, por su parte, posee en la resolución de

problemas su actividad más genuina. El compendio de definiciones, propiedades, conceptos,

procedimientos y algoritmos, y teoremas no es más que una respuesta organizada y

comprensiva a los objetos problemáticos que la actividad matemática plantea.











ISBN 978-84-945722-3-4

Las administraciones educativas de diferentes países han tomado conciencia de la

importancia de la resolución de problemas incluyendo su tratamiento en los currículos, bien

de un modo transversal a los distintos bloques temáticos, bien como bloque temático propio.

Aunque no existe consenso sobre lo que se entiende por problema, una mirada a los currículos

y a la literatura de investigación en Educación Matemática permite extraer algunas

características comunes, las cuales se reflejan en la caracterización de problema matemático

de Carrillo (1998), quien entiende por problema matemático cualquier situación que

involucre cierto grado de incertidumbre y deliberación y cuya clarificación conlleva la

aplicación no mecánica del conocimiento matemático de la persona que se enfrenta a dicha

situación.

Como la investigación ha puesto de manifiesto, y se propone en los diseños curriculares, la

resolución de problemas es un marco ideal para fomentar la construcción de aprendizaje

significativo y promover el gusto por la matemática, así como el desarrollo de una actitud

abierta y crítica, todos ellos objetivos de gran valor educativo.

Dentro de la resolución de problemas, pondremos especial atención a las fases (comprensión,

planificación, ejecución, verificación) propuestas por Pólya (1985). En relación con los tipos

de problemas, existen diversas clasificaciones, por ejemplo la de Borasi (1986): ejercicios

(que realmente no serían problemas bajo nuestra caracterización), problemas verbales,

enigmas, prueba de conjetura, problemas de la vida real y situaciones problemáticas. En la

situación que aquí nos ocupa se tratan problemas verbales, donde la maestra enuncia

oralmente los problemas.

La resolución de problemas puede enfocarse como un medio para el aprendizaje de las

matemáticas, como un fin en sí misma o como objeto de conocimiento (Carrillo, 1998). En

cualquiera de estos enfoques, el aprendizaje de las fases del proceso de resolución de

problemas adquiere relevancia.

Ahora bien, aprender estas fases debe interpretarse adecuadamente. No entendemos que

dicho aprendizaje sea mecánico, haciendo transitar a los niños de un modo automático por

ellas, sino fruto de la construcción reflexiva de un proceso que permite afrontar los problemas

con más garantías de éxito. Asimismo, los niños deben llegar a tomar conciencia de la


ISBN 978-84-945722-3-4

necesidad de considerar esas fases para favorecer la reflexión sobre su propio proceso de

resolución, constituyendo la estructura de fases una orientación para acometer el problema

cuando realmente es un problema, es decir, cuando no se posee una solución inmediata, así

como una herramienta de revisión de dicho proceso. Por otra parte, comprender a fondo la

estructura de fases es una herramienta metacognitiva que permite profundizar en la estructura

del problema (elementos del enunciado, en particular, como los datos y la incógnita),

favoreciendo la reflexión sobre el papel de los distintos elementos que intervienen en la

resolución de un problema. Esto, a su vez, posibilita la formulación de cuestiones y

problemas por parte de los niños, lo que constituye una actividad muy rica y compleja

(Carrillo y Cruz, 2016).

Sin embargo, el aprendizaje de las fases, visto desde la contribución de estas a la

estructuración de un problema (de su resolución, realmente), debe acomodarse a la edad de

los niños. Es por ello que en el aula no siempre se habla de fases directamente, sino de una

estructura basada en las siguientes preguntas: qué teníamos (datos, condiciones, incógnita),

qué hemos hecho, cuál es el resultado, en clara relación con las fases mencionadas.

En esta comunicación se presenta el caso de un aula de Educación Infantil en la que la maestra

promueve un proceso de aprendizaje de la estructura de un problema a partir de la

formulación de las preguntas mencionadas anteriormente.

Metodología

Los autores de esta comunicación, miembros de un proyecto de investigación educativa (PIV-

031/15: “Investigar para aprender en el aula de Matemáticas”), concedido por la Consejería

de Educación de la Junta de Andalucía (España), han diseñado varias sesiones de clase para

el tratamiento de la noción de reparto en un aula de 5 años (Educación Infantil). Lo que aquí

se presenta corresponde a dos de estas sesiones; no obstante, el foco aquí no estará puesto en

el aprendizaje de dicha noción, sino en cómo la maestra (que a su vez es una de los autores

de esta comunicación) utiliza el contexto de estas sesiones para promover el aprendizaje de

la estructura de un problema.

Las sesiones han sido grabadas en vídeo y el análisis se ha realizado de manera conjunta por

los autores, teniendo como herramienta teórica de análisis la adaptación de las fases de


ISBN 978-84-945722-3-4

resolución de problemas al contexto de Educación Infantil (antes mencionada). La

observación ha sido no participante.

Abordamos el caso (Stake, 2005) sin pretensión de generalizarlo. La particularidad de la

maestra y del alumnado ha hecho posible llevar a la práctica esta experiencia. Se trata de una

maestra experta, no solo por sus 15 años de experiencia docente, sino por su frecuente y

activa participación en grupos de trabajo colaborativos. El grupo de alumnos es, a pesar de

su corta edad, muy disciplinado, respetando los momentos de trabajo y las intervenciones de

los compañeros.

A continuación, se describe brevemente el fragmento de la primera sesión, precursor del

contenido de aprendizaje de la estructura de un problema, que es el objeto de trabajo de la

segunda sesión.

Sentando las bases para estructurar un problema: primera sesión de la unidad

Su objetivo es resolver varios problemas (que la maestra formula oralmente) utilizando una

metodología de resolución de problemas. A lo largo de la sesión se trabaja en gran grupo,

por parejas y de forma individual.

Se inicia la sesión con la presentación de la actividad por parte de la maestra: situados por

parejas, han de repartir 12 fichas en dos vasos; los alumnos deben resolverlo de forma

manipulativa para facilitar su resolución.

Pasado un tiempo y una vez que la maestra observa que ya han obtenido una solución,

dialogan en gran grupo sobre ella; se plantean si a todos les ha salido lo mismo, cómo lo han

hecho, las incidencias particulares,… y les propone que dibujen individualmente en un papel

lo sucedido. Posteriormente, cada uno explica lo que ha dibujado a sus compañeros en una

puesta en común y ella va clasificando todas las representaciones pegándolas en la pared,

según hayan representado el planteamiento del problema, la estrategia de resolución, el

resultado o un resumen de todo (figura 1). La maestra verbaliza la razón de la situación de

cada dibujo e invita a algunos alumnos a que busquen ellos mismos dónde situar el suyo.

La dinámica de la sesión es coherente con la idea de enfatizar el significado por encima del

aprendizaje mecánico del algoritmo. Como se ha descrito, se inicia la unidad con un problema


ISBN 978-84-945722-3-4

que los alumnos deben resolver manipulativamente con recursos accesibles y adaptando el

mismo a la realidad del aula; la maestra hace hincapié en la comprensión del problema y

considera la búsqueda de diferentes estrategias de resolución; asimismo, gestiona la

participación de los alumnos en las tareas matemáticas a partir de normas claras, y

promoviendo la responsabilización del alumnado en su propio aprendizaje.

Las representaciones que realizan los alumnos son originales, variadas y bastante

interesantes; en unas se aprecian las estrategias usadas para la resolución del problema, o los

conflictos surgidos, otras recogen el uso de símbolos (números, flechas, signos), y en otras,

simplemente se ve el resultado final del problema. La maestra las organiza para iniciar el

trabajo de obtener una estructura para los problemas que sea accesible a sus alumnos y

permita una mejor caracterización y comprensión de estos.

Planteamiento Estrategia Resultado Resumen

Figura 1: Ejemplo de las representaciones de los alumnos y del orden que estableció la maestra.

Aprendiendo a estructurar un problema: segunda sesión de la unidad

El objetivo de esta sesión es llegar al aprendizaje de la estructura de un problema, es decir,

de las partes fundamentales que lo componen: datos, condiciones, incógnita, estrategias de

resolución y resultado. Como se mencionó antes, se considera una adaptación flexible de las

fases de resolución de problemas a la edad de los alumnos. Esta adaptación se fundamenta

en unas preguntas (que se despliegan seguidamente) fáciles de entender por el alumnado.


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La maestra usa la clasificación de las representaciones que sus alumnos realizaron en la

sesión anterior para originar una estructura simple que recoja las partes imprescindibles que

constituyen los problemas:

- ¿Qué teníamos? Incluye los datos, condiciones e incógnita.

- ¿Qué hemos hecho? Incluye las estrategias de resolución.

- ¿Cuál es el resultado? Incluye la solución del problema

Se inicia la sesión en gran grupo (se sigue una estructura de asamblea con los niños y la

maestra situados en forma de U). La maestra hace un resumen del proceso de resolución del

problema del día anterior (el problema de reparto de 12 fichas en dos vasitos). Para ello, ha

ideado relatar de forma resumida lo que ocurrió resaltando los momentos más importantes

(presentación, estrategias de resolución empleadas y solución) y se ayuda de papel continuo

a modo de mural donde va colocando dibujos, palabras (incluyendo las tres preguntas

anteriores), signos y símbolos, con el objetivo de servir de modelo en problemas posteriores.

El relato y el mural (figura 2) se van construyendo con las intervenciones de la maestra y de

los alumnos. La maestra inicia el mural pegando la imagen de 12 fichas, dos vasos y escribe

el signo igual bajo el epígrafe “¿qué teníamos?”; siguiendo el relato, los niños representan en

la segunda cuestión (“¿qué hemos hecho?”), con ayuda de imágenes facilitadas por la

maestra, diferentes estrategias de resolución (de uno en uno, de dos en dos, 5 y 5 más 1, y

1). Por último, en la pregunta “¿cuál es el resultado?”, como todos coinciden en dicho

resultado, se pega la imagen de un vaso con 6 fichas.


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Figura 2: Mural con representaciones asociadas a las 3 preguntas formuladas por la maestra.

La maestra da por terminada la actividad haciendo un último resumen, les insiste en nombrar

lo realizado como “hacer un problema”, destacando las tres preguntas y lo que corresponde

a cada una.

A continuación, se formula otro problema (repartir 26 cubitos entre 3 equipos) y, una vez

resuelto, se representa en un mural semejante al anterior conteniendo las mismas preguntas

que marcan la estructura de un problema con el objetivo de reforzar e interiorizar su

aprendizaje. En este problema, la maestra también facilita materiales para resolverlo en gran

grupo y, una vez resuelto, se pasa a su representación. Los alumnos participan escribiendo y

dibujando sus conclusiones en el mural bajo las preguntas contempladas en la estructura.

Para finalizar, se hace un resumen con ayuda de la maestra; los alumnos participan y se

comprueba que entienden perfectamente la representación que se va construyendo en el

mural (figura 3), identificando y distinguiendo sin dudar los datos, la resolución y el

resultado.

Figura 3: Mural representativo del problema de los 26 cubitos.

Reflexiones finales

En sesiones posteriores se siguió utilizando estas preguntas para resolver problemas en el

aula y la maestra comprobó que los alumnos habían asimilado satisfactoriamente dicha

estructura.


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La estrategia de relatar a modo de historieta lo sucedido en la resolución del problema y el

recurso del mural han sido muy efectivos para captar la atención de todos los alumnos. El

hecho de haberlo vivenciado los motiva más y se sienten protagonistas del relato

consiguiendo un mayor interés y participación en la actividad.

En la figura 4 se esquematiza el proceso que se ha seguido en esta experiencia.

Figura 4: Esquema del proceso de enseñanza de la estructura de un problema.

El contenido de la división (entendida como reparto equitativo) ha sido secundario en lo

expuesto en esta comunicación. Lo que se ha presentado focaliza la atención en el proceso

de enseñanza de la estructura de un problema (o de su resolución). La maestra, sobre la base

de los problemas (de reparto) planteados, conduce a los niños a reflexionar acerca de

preguntas (que son las que conforman la estructura) que trascienden los problemas a los que

se han enfrentado.

A su vez, este ejercicio de reflexión va más allá del propósito de este estudio, favoreciendo

un hábito de gran utilidad en cualquier actividad humana. Como se decía al comienzo, la

resolución de problemas es una actividad familiar para el ser human

Referencias

Borasi, R. (1986). On the nature of problems. Educational Studies in Mathematics, 17(2),

125-141.

Carrillo, J. (1998). Modos de resolver problemas y concepciones sobre la matemática y su

enseñanza: metodología de la investigación y relaciones. Huelva: Universidad de Huelva

Publicaciones.

Carrillo, J., & Cruz, J. (2016). Problem-Posing and Questioning: Two Tools to Help Solve

Problems. En P. Felmer, E. Pehkonen, J. Kilpatrick (Eds.), Posing and Solving Mathematical

Problems. Advances and New Perspectives (pp. 23-36). New York: Springer.

Pólya, G. (1985). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas. (Versión original en

inglés: How to solve it. Princeton: Princeton University Press, 1945).

Formulación

problema

Resolución y

representación

Clasificación de

representaciones de

resolución

Aprender estructura

de un problema


ISBN 978-84-945722-3-4

Stake, R. E. (2005). Qualitative case studies.En N. K. Denzin & Y. S. Lincoln (Eds.), The

Sage handbook of qualitative research (3rd ed.) (pp. 433-466). Thousand Oaks, CA: Sage

Publications.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-620

EL DESARROLLO DEL RAZONAMIENTO LÓGICO MEDIANTE EL ESTUDIO

DE LA GEOMETRÍA EN BACHILLERATO

Alina Rada

[email protected]

Unidad Educativa de Aviación Civil “COTAC” - Ecuador

Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y

niveles educativos

Modalidad: CB

Nivel educativo: Bachillerato

Palabras clave: Estudiar Geometría en Bachillerato

Resumen Un tema que necesita de un estudio especial es analizar por qué la Geometría se debe

estudiar en el Colegio. Estoy examinando el tema y los resultados a través de mi propia

experiencia. En la Institución en donde laboro, Unidad Educativa de Aviación Civil de Quito,

estoy trabajando en el Área de Matemática dictando clases de Geometría Plana y Espacial,

con una carga de dos horas semanales en Bachillerato. Es un trato especial porque

Geometría se imparte a los estudiantes de 8vo, 9no y 10mo solamente como fórmulas para

calcular áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas. En Bachillerato, en el Bloque

Geométrico y de Medida, se utiliza en el cálculo vectorial y luego un poco de Geometría

Analítica. En el Currículo de Matemática remarco la tendencia de reemplazar la Geometría

con Álgebra, insistiendo en el aprendizaje de fórmulas y conceptos de memoria.

La Geometría ayuda a desarrollar el razonamiento lógico. No se aprende a razonar

aprendiendo de memoria un libro de lógica así como no se aprende nadar sin entrar al agua.

En la Unidad Educativa de Aviación Civil de Quito, el Área de Matemática dicta

clases de Geometría Plana y Espacial, con una carga de dos horas semanales en el

Bachillerato General Unificado. Es un trato especial porque Geometría no está contemplada

como hora pedagógica dentro de la malla curricular del Ministerio de Educación. El Bloque

Geométrico y de Medida de la Básica Superior se centra en las fórmulas para calcular áreas

y volúmenes de diferentes figuras geométricas y en Bachillerato se emplea en el cálculo

vectorial para luego desarrollar lo básico de la Geometría Analítica en Matemática Superior.

En la Institución se implementó la Geometría como asignatura en Bachillerato desde

el año 1997. Este trabajo se mantuvo tres años consecutivos, tiempo en el cual participamos

en varios Concursos de Matemática organizados por diferentes Instituciones educativas de la

ciudad de Quito y sus alrededores y empezamos a obtener excelentes resultados, sin embargo

en el año 2000 la Geometría regresó como una Unidad dentro de la Matemática. Los docentes


ISBN 978-84-945722-3-4

que trabajamos en esta Área sabemos que casi no se llegaba a desarrollar la última Unidad

(Geometría), porque se priorizaban otros temas. Este cambio evidenció que los resultados

obtenidos en los concursos de Matemática, Física y Geometría no fueron los mismos del

período 1997 -2000. Además, los estudiantes que se graduaban del Colegio manifestaban que

tienen dificultad en la Universidad por carecer de las bases necesarias en esta materia. La

conclusión a la que llegó el Área de Matemática fue que el razonamiento lógico que

desarrolla esta disciplina no era el mismo a partir del año 2000 por lo que le sugiere a la

autoridad de turno que se vuelva a impartir la Geometría como asignatura aparte.

Durante los últimos años, debido a los cambios que se han dado en la educación en

Ecuador y en especial en la malla curricular, a la Geometría le asignan dos horas pedagógicas

en diferentes períodos. En el año escolar 2015 – 2016 la Unidad Educativa de Aviación Civil

en su PEI aprobado por el Distrito de Educación No.5 hace constar dentro de la malla

curricular la asignatura de Geometría para los estudiantes de Bachillerato General Unificado

con una carga de dos horas semanales.

¿Porque la Geometría? Es preciso analizar el tema para determinar por qué se debe

estudiar en Bachillerato y como esta disciplina ayuda a desarrollar el razonamiento lógico en

los estudiantes.

Etimológicamente del griego “geo” – tierra, “metrein” – medir, la Geometría Plana y

del Espacio estudia las figuras en el plano y los sólidos en el espacio, describe sus formas,

sus propiedades y enuncia propiedades sobre ellas como: Postulados, Teoremas y Corolarios.

Es una de las ciencias más antiguas. La necesidad de medir las tierras dio origen a esta parte

de la Matemática.

En la actualidad, en Bachillerato, la Geometría se emplea en el Cálculo Vectorial y

en Geometría Analítica. En el Currículo de Matemática se observa la tendencia de reemplazar

la Geometría con Álgebra, insistiendo en el aprendizaje de fórmulas y conceptos de memoria.

Nos preocupamos por enseñar las figuras geométricas y cómo calcular áreas y volúmenes sin

explicar sus propiedades y mucho menos llegar a demostrar Teoremas para la resolución de

problemas.

Al demostrar los Teoremas y resolviendo problemas de Geometría se crean diversas

esquemas de razonamiento porque en su presentación hay la Hipótesis (los datos que se

conocen), la Tesis (lo que se debe demostrar o calcular) y se busca un razonamiento lógico


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de cómo poder relacionarlas para llegar a la demostración. Desarrollar este proceso no solo

busca la resolución de un problema sino que de manera implícita se establecen objetivos, se

eligen y se prueban diferentes métodos de demostración, se interpreta el enunciado según el

gráfico presentado o viceversa. El mencionado procedimiento se aplica en la vida diaria y no

está relacionado únicamente con la Matemática. Uno de ellos es en la toma de decisiones

lógicas analizando los datos que se conocen y saber a lo que se quiere llegar poniendo en

balanza diferentes alternativas de solución.

La Geometría nos ayuda también a formar un espíritu crítico y creativo al momento

de decidirnos por un método de resolución u otro, al analizar el gráfico y al explicar a través

de que Proposiciones se llega a la respuesta final y no en el último lugar analizando los

resultados obtenidos.

Constantemente escuchamos que para el ingreso a la Universidad a los estudiantes se

les evalúa con una prueba que se encarga de medir las aptitudes, que implica el razonamiento

verbal, abstracto y numérico. Pero no se aprende a razonar estudiando de memoria un libro

de lógica así como no se aprende a nadar sin entrar al agua. La lógica es un descubrimiento

de cada uno de nosotros y no un invento. La Geometría ayuda a desarrollar el razonamiento

lógico y a nivel Institucional lo podemos evidenciar en los resultados obtenidos en las

pruebas de ingreso y en la decisión de permanecer en la Universidad de nuestros estudiantes.

También es importante hablar sobre la metodología utilizada por los docentes del

Área de Matemática para el desarrollo de las clases. Como resultado del alto grado de

abstracción que se alcanzó en el estudio de las Matemáticas y en particular de la Geometría,

hay la tendencia de abordar las nociones abstractas con métodos concretos. Una cosa está

clara: no podemos volver a las formas anteriores de enseñanza y no se puede negar la

necesidad de las definiciones y las demostraciones rigurosas. Al mismo tiempo no se debe

eliminar la intuición del razonamiento utilizado en la demostración de los teoremas o de los

problemas presentados. La enseñanza de la Geometría se debe hacer utilizando una

metodología dinámica, en la que el estudiante debe ser el protagonista de la clase y que

construya su propio aprendizaje. La idea es que no deben ver a la Geometría como una

asignatura difícil y aburrida sino que se motiven y se interesen por los temas desarrollados

porque ven en ella aplicaciones de la vida.


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Con estos antecedentes, la Geometría como medio para el desarrollo del razonamiento

lógico de los estudiantes, se enseña utilizando los métodos de resolución de problemas y el

método de proyectos. Con los métodos mencionados el estudiante es el protagonista de su

aprendizaje y el profesor debe buscar problemas y situaciones que despierten su interés, crear

espacios de análisis y reflexión. Los problemas propuestos deben estar en un nivel

correspondiente al año en el que se trabaja para que no se obtengan resultados contrarios a

los esperados en el momento que no puedan llegar a una respuesta positiva. Para ello es

importante tener en cuenta el adecuado proceso de cada uno de los métodos mencionados.

El método de resolución de problemas les permite definir con claridad el problema,

enunciar el objetivo, determinar diferentes soluciones, ordenar las soluciones propuestas,

probar las alternativas de respuesta hasta llegar a la correcta, analizar los resultados obtenidos

con cada solución y por último poder aplicar el procedimiento para la resolución de otros

problemas.

Esta metodología se concreta en las siguientes etapas:

1. Enunciado del problema señalando cuales son los datos que se conocen (Hipótesis) y

los datos que se deben calcular o demostrar (Tesis).

2. Identificación del problema, encontrar una relación entre los datos que se conocen y

los que se deben demostrar. Interpretar los datos que se conocen en la Hipótesis en

función del gráfico o al revés a partir del gráfico determinar los datos que se conocen.

3. Formulación de alternativas de solución. ¿Este problema es parecido a algún

problema resuelto anteriormente? Con los datos que se conocen en la Hipótesis y en

el gráfico ¿Qué Teorema, Postulado o Corolario se pueden utilizar para la

demostración?

4. Resolución. Aplicar Proposiciones Básicas (Teoremas, Postulados, Corolarios) y

explicar porque y para qué se utilizan. Probar diferentes alternativas de solución.

5. Verificación de resultados. Se debe leer nuevamente el problema para confirmar que

se demostró lo que pide el problema. Analizar si el resultado obtenido es válido. ¿Se

puede comprobar la solución? ¿Existe otro método de demostración?

El modo de proyectos ayuda que el estudiante investigue y descubra situaciones en las

que se vea aplicada la Geometría. Este método tiene los siguientes procedimientos:


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1. El proyecto surge como una necesidad de saber o conocer algo sobre un problema

que existe a su alrededor y que tenga relación con la Geometría.

2. El estudiante define y formula el proyecto. Descubre que la Geometría se aplica

también en la cotidianidad. Investiga la importancia del proyecto.

3. Hace una planeación de cómo va a realizar la investigación del proyecto.

4. Recopila todos los datos que tengan que ver con el problema planteado.

5. Ejecuta. Descubre la relación de un problema cotidiano con la Geometría.

Los temas que se pueden abordar y que tienen relación con la Geometría son el baile, el

deporte, el arte. Además son temas que interesan y motivan a los estudiantes.

Cabe destacar que no solo la metodología es un elemento fundamental para la enseñanza

de esta disciplina sino también los instrumentos que se utilizan. Para que la clase sea

dinámica y se logre un aprendizaje significativo se hace necesario el uso de TIC’s y

dentro de ellas el programa GeoGebra (libre y gratuito). El programa ayuda que los

estudiantes desarrollen sus propias ideas y que puedan comprobar sus suposiciones con

facilidad. De esta manera adquieren conceptos que anteriormente se visualizaban solo

con lápiz y papel o las aprendían de memoria.

Conclusiones

1. La Geometría es una disciplina de gran importancia en el desarrollo del razonamiento

lógico. Los conceptos y los procesos aprendidos y utilizados en la resolución de

problemas y demostración de Teoremas se aplican en diferentes profesiones y

aspectos de la vida.

2. El estudio de la Geometría en Bachillerato arrojó como resultados un gran número de

estudiantes que ingresaron a las Universidades Públicas y Particulares del país

obteniendo puntajes altos en las pruebas de ingreso.

3. El uso de TIC’s y dentro de ellas el programa GeoGebra, en comparación al método

tradicional de utilizar el lápiz y el papel, motiva a los estudiantes a descubrir nuevos

métodos de resolución y diferentes aplicaciones de los temas desarrollados en clase.


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Recomendaciones

1. Incluir la Geometría dentro de la malla curricular de Bachillerato con sus horas

pedagógicas correspondientes.

2. Realizar un análisis de los resultados obtenidos por los estudiantes egresados respecto

al estudio de la Geometría y su utilidad después.

3. Impulsar el uso del programa GeoGebra para el desarrollo de las clases de Geometría

ya que es un programa libre y gratuito además de fácil utilización tanto para los

docentes como para los estudiantes.


Marcillo, S. (2014). Precisiones didácticas.Quito

Barrantes, M; Balletbo, I; Fernandez, M. (12,13,14 de Noviembre de 2014). Enseñar

Geometría en Secundaria. Obtenido de

http://www.google.com.ec/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=6&ved=0

ahUKEwie0Yn8ia7SAhWDRCYKHTNRBS4QFgg6MAU&url=http%3A%2F%2F

www.oei.es%2Fhistorico%2Fcongreso2014%2Fmemoriactei%2F54.pdf&usg=AFQ

jCNH0EJuAZAEJG7uaRjssrteCbJgGfQ&bvm=bv.148073327,d.eWE


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CB-624

PERCEPCIÓN DEL REALISMO EN LAS RESOLUCIONES DE ESTUDIANTES

PARA MAESTRO DE UNA TAREA GEOMÉTRICA REALISTA

María José Cáceres García – José María Chamoso Sánchez


Universidad de Salamanca, España

Núcleo temático: La resolución de problemas en Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formación y actualización docente

Palabras clave: tareas realistas, formación de docentes, percepción del realismo, resolución

de problemas

Resumen

Las directrices oficiales recomiendan relacionar las matemáticas con contextos reales en

la enseñanza obligatoria, lo que debe favorecerse desde la formación inicial de docentes.

Algunas investigaciones previas mostraron la baja percepción del realismo de estudiantes

para maestro cuando resolvían problemas aritméticos verbales, pero no se conocen

estudios similares realizados con tareas relacionadas con geometría. En este trabajo se

analizó la percepción de realismo de estudiantes para maestro a partir de sus resoluciones

de una tarea geométrica realista propuesta por ellos mismos. Continúa investigaciones

previas porque estos mismos estudiantes para maestro habían demostrado la capacidad de

proponer tareas matemáticas relacionadas con contextos reales con un alto grado de

realismo. Para el análisis se diseñó un sistema de categorías adaptado del de otras

investigaciones que incluía tres niveles de percepción de realismo. Los resultados

mostraron la ausencia de resoluciones donde se alcanzara el mayor nivel de realismo,

aunque un alto porcentaje de ellas incluyó aspectos realistas en diversos sentidos. Estos

resultados, además de tener implicaciones educativas, abren camino para futuras

investigaciones sobre percepción del realismo en otro tipo de tareas o la reflexión de los

estudiantes para maestro sobre la percepción de realismo en resoluciones de tareas

realistas.

Introducción

La conexión de las tareas matemáticas con la vida cotidiana ha sido objeto de interés en los

últimos años en diferentes sentidos, y, de hecho, las directrices educativas la recomiendan (por

ejemplo, en España, MECD, 2013). Los contextos de la vida real pueden ser utilizados como

herramienta para el desarrollo de la competencia matemática de los escolares (Lupiáñez, 2015;

Wijaya, Van den Heuvel-Panhuizen y Doorman, 2015).


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Una forma de conectar las matemáticas y los contextos reales es la utilización de tareas

matemáticas realistas (Vicente, Van Dooren & Verschaffel, 2008), entendidas como aquellas

que reproducen situaciones problemáticas que pueden presentarse en la vida real y para cuya

resolución es necesaria una interpretación de la información situacional (relacionada con

aspectos reales del contexto considerado), tanto en el proceso de matematización (selección

de estrategias matemáticas para dar respuesta a la situación planteada) como en la toma de

decisiones en el proceso de resolución, por ejemplo, para la aplicación de estrategias o para

dar coherencia a la respuesta (Van den Heuvel-Panhuizen, 2003; Verschaffel, Greer & De

Corte, 2000).

Las características de las tareas no aseguran un buen uso de las mismas si los docentes que las

proponen no son capaces de explotar sus potencialidades (Vicente et al., 2008). Por ello, los

futuros docentes, durante su formación inicial, deberían enfrentarse al tratamiento de diversos

tipos de tareas matemáticas entre las que podrían incluirse tareas realistas (Cáceres, Chamoso

& Azcárate, 2010).

Estudios previos muestran la capacidad de los estudiantes para maestro para proponer tareas

realistas (Cáceres & Chamoso, 2016). Sin embargo, la percepción del realismo de las tareas

ha sido un aspecto poco estudiado y casi siempre basado en la resolución de problemas

aritméticos verbales. De hecho, la mayor parte de ellos están basados en el estudio de

Verschaffel, De Corte & Lasure (1994). Los resultados mostraron que los futuros maestros

resolvieron las tareas sin considerar la información situacional. Por ejemplo, en el estudio de

Verschaffel, De Corte & Borghart (1997), solo el 48% de 332 futuros maestros realizaron

consideraciones realistas, casi todas ellas basadas en la interpretación del redondeo.

Este trabajo pretende avanzar en el conocimiento sobre la percepción del realismo en tareas

matemáticas de los futuros docentes durante su formación inicial. En concreto, el objetivo es

caracterizar la percepción del realismo de estudiantes para maestro al resolver una tarea

realista de geometría, y propuesta por otros estudiantes para maestro.

Metodología

Durante el curso 2015-16, en la Facultad de Educación de la Universidad de Salamanca,

España, 44 estudiantes del Grado de Maestro en Primaria (en adelante estudiantes)

resolvieron, poniendo especial énfasis en la comunicación del proceso de resolución, una tarea


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realista propuesta por compañeros (Cáceres et al., 2015; Cáceres & Chamoso, 2016). Se eligió

esta tarea porque se podría presentar en la vida real y para su resolución era necesario

considerar la información situacional para el proceso de matematización (p.ej. la distribución

de círculos en el plano) y para tomar decisiones en el proceso de resolución (p.ej. considerar

la posibilidad o no de apilar los vasos en columnas, o que la respuesta debe ser un número

entero, Figura 1):

Figura 1: Tarea geométrica realista propuesta a los estudiantes

Las resoluciones de los estudiantes se organizaron en función de la consideración de la

información situacional que podía hacerse, por un lado, para el proceso de matematización

y, por otro, para la justificación en la toma de decisiones en el proceso de resolución

(Verschaffel et al., 1994). En esencia, se consideró Resolución Realista (RR) cuando la

información situacional se utilizó en el proceso de matematización y Resolución no realista

(MR) cuando no se hizo. Además, en los casos en que la información situacional se utilizó

para tomar decisiones en el proceso de resolución, se añadió un “+” a la codificación

anterior y un “-“ cuando no se hizo (Tabla 1).

Tabla 1. Categorización de las resoluciones en función de la utilización de la información

situacional de la tarea

Categorías Consideración de la información situacional

RR++ En el proceso de matematización y en la toma de decisiones en el proceso de resolución en varias resoluciones diferentes.

RR+ En el proceso de matematización y en la toma de decisiones en el proceso de resolución.

RR- Únicamente en el proceso de matematización

MR+ Únicamente en la toma de decisiones en el proceso de resolución


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MR- No se considera.

Otros casos, como incongruencias matemáticas, no se consideraron en el estudio.

Un ejemplo de categoría RR+ se muestra en la Figura 2 (considera la información

situacional tanto para la distribución de círculos en el plano en filas y columnas paralelas

como para explicar por qué la respuesta debe ser un número entero):

Figura 2. Ejemplo de resolución categorizada como RR+

Un ejemplo de categoría MR+ se muestra en la Figura 3 (se aplican directamente las

herramientas matemáticas para el cálculo de áreas sin tener en cuenta que la división de las

mismas no se corresponde con la información situacional planteada, pero, sin embargo, se

considera esta información al explicar por qué la respuesta debe ser un número entero).


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Figura 3. Ejemplo de resolución categorizada como MR+

Esta categorización permitió establecer tres niveles de percepción del realismo de los

estudiantes, en función de la utilización de la información situacional en sus resoluciones

(Tabla 2).

Tabla 2: Niveles de percepción del realismo en función la utilización de la información situacional

por el estudiante en sus resoluciones

Niveles de percepción de realismo de la tarea Máxima categoría

alcanzada en las

resoluciones

Nivel 3: Percepción alta (en las resoluciones se

valoran las posibilidades reales de la situación). RR++

Nivel 2: Percepción media (en las resoluciones, se

considera una posibilidad real de la situación). RR+

Nivel 1: Percepción baja del realismo de la tarea (en

las resoluciones, se consideran algunas características

reales de la situación de forma aislada).

RR- y MR+

Nivel 0: Percepción nula (en las resoluciones, no se

considera ninguna característica real de la situación). MR-

Resultados

En cuanto a los niveles de percepción de realismo alcanzados por los estudiantes, una vez


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eliminadas 4 resoluciones, aunque 32 de los 40 participantes (81%) percibió el realismo en

algún sentido en sus resoluciones, ninguno mostró alta percepción del realismo (Tabla 3).

Tabla 3. Percepción de realismo en las resoluciones de los estudiantes.

Niveles de

percepción de

realismo

Categorías

% de

estudiantes en

cada categoría

% de

estudiantes en

cada nivel

Nivel 3 RR++ 0% 0%

Nivel 2 RR+ 38% 38%

Nivel 1 RR- 18%

43% MR+ 25%

Nivel 0 MR- 19% 19%

Cabe destacar que más de la mitad de los estudiantes (38% en RR+ y 18% en RR-) utilizó

la información situacional para el proceso de matematización y solo el 25% percibió

únicamente características realistas aisladas de la tarea que mostró en decisiones tomadas

durante el proceso de una resolución no realista.

Las resoluciones que realizaron los estudiantes fueron muy variadas, tanto por los diversos

procesos de matematización, como por las decisiones tomadas en el proceso de resolución.

Referido a ello, se identificaron 5 tipos de resoluciones de los estudiantes, 3 en la categoría

RR y 2 en MR (Tabla 4).

Tabla 4. Caracterización de las resoluciones en función del proceso de matematización

Categoría Matematización % de estudiante

s

RR R

1. Distribución de círculos en una superficie plana mediante división de longitudes

1.1. En filas y columnas paralelas

39%

1.2. En filas paralelas y columnas no paralelas

2%

2. Distribución de cuerpos con base circular en el espacio 9%


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MR

3. Reparto de superficies mediante división, sin consideraciones geométricas propias de los elementos implicados

3.1. División del área de una superficie rectangular entre un área circular

36%

3.2. División del área de una superficie rectangular entre el área de un cuadrado

5%

Por otra parte, las consideraciones que mostraban el uso de la de la información situacional

en algún sentido en la toma de decisiones en el proceso de resolución, realizadas por el

62% de los estudiantes, fueron fundamentalmente relacionadas con la necesidad del

redondeo para que el resultado fuera un número entero. Además, en los casos en que se

consideró la información situacional en el proceso de matematización, cuando se trabajó en

el plano, se realizaron consideraciones relativas a la distribución de los vasos y, cuando se

trabajó en el espacio, a la posibilidad de apilar vasos o la falta de datos.

Discusión y Conclusiones

En este trabajo se han establecido niveles de percepción del realismo, a partir de las

resoluciones de estudiantes para maestro a una tarea geométrica, que podrían ser

usados para el análisis de la percepción del realismo de otras tareas realistas con

futuros docentes de diversos niveles de enseñanza y que avanza el trabajo comenzado

por Verschaffel et al. (1994).

Los resultados mostraron que el 81% de los estudiantes percibieron el realismo de

alguna manera, un resultado superior que el obtenido por Verschaffel et al. (1997). Al

igual que en dicho estudio, predomina un nivel bajo de percepción de realismo, donde

destacó la aplicación de la información situacional en la interpretación del redondeo a un

número entero.


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Más de la mitad de los estudiantes percibieron el realismo y lo aplicaron en el proceso

de matematización. No todos ellos dieron explicaciones de las decisiones que tomaban,

a pesar de que se pedía explícitamente que se pusiera especial énfasis en la comunicación

del proceso de resolución.

Ningún estudiante valoró más de una posibilidad real para la situación, quizás debido a la

influencia de lo que suele ocurrir en el aula, donde las tareas matemáticas suelen tener

solución única, a pesar de que esta tarea dio lugar a un amplio abanico de resoluciones

diferentes.

Atendiendo a estos resultados y los obtenidos por Verschaffel et al. (1997), parece que la

percepción del realismo de tareas realistas puede depender de las características de las

mismas, tanto relativas al contexto que se simule como a los contenidos matemáticos

que involucre, o los procesos de matematización que sugiera. Esto puede ser objeto de

futura investigación.

Este trabajo supone un primer paso en el estudio de la percepción de tareas realistas

geométricas. Una limitación del mismo es que se analizaron las resoluciones a una

única tarea y sería conveniente ampliar el estudio a un mayor número de estudiantes y

resoluciones otras tareas realistas. Tiene implicaciones educativas ya que, si se acepta la

importancia de resolver tareas realistas como posibilidad de conectar las matemáticas

de la escuela con el mundo real, los resultados obtenidos aconsejan la formación de los

futuros profesores en este sentido ya que de poco servirá la inclusión de tareas realistas

en la formación matemática de los niños si los profesores no consideran y aprovechan

todas sus potencialidades. Una opción de formación sería dar la posibilidad a los

futuros docentes que, después de resolver la tarea, valoraran algunas resoluciones de la

misma y, posteriormente, mejoraran la resolución inicial. El estudio de las

modificaciones que los estudiantes realicen después de este proceso puede dar más

información sobre la percepción del realismo. El análisis de la adecuación de las

respuestas de los estudiantes a la pregunta formulada, así como de los errores

cometidos en el proceso de resolución y su posible influencia en la percepción del

realismo también podrían ser objeto de investigaciones futuras.

Referencias Bibliográficas


ISBN 978-84-945722-3-4

Cáceres, M.J., & Chamoso, J.M. (2016). Caracterización de tareas matemáticas creadas por

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F. J. Ruiz, T. Fernández y A. Berciano (Eds.), Investigación en Educación Matemática XX

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Cáceres, M.J., Chamoso, J.M., & Azcárate, P. (2010). Analysis of the revisions that pre-

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Lupiáñez, J.L. (2015): Lo ordinario y lo extraordinario en el aula de matemáticas. XIV

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MECD (2013). Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad

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Van Den Heuvel-Panhuizen, M. (2003). The didactical use of models in Realistic

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Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994) Realistic considerations in mathematical

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Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2000). Making sense of word problems. Swets y

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Vicente, S., Van Dooren, W., & Verschaffel, L. (2008). Utilizar las matemáticas para resolver

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Wijaya, A., Van den Heuvel-Panhuizen, M., & Doorman, M. (2015). Opportunity-to-learn

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http://xiv.ciaem-iacme.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/viewFile/1491/696

http://xiv.ciaem-iacme.org/index.php/xiv_ciaem/xiv_ciaem/paper/viewFile/1491/696


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CB-625

EL USO DE APLICACIONES ANDROID PARA LA ENSEÑANZA DE LA

ESTADÍSTICA

María Teresa González Astudillo1 – Yuliet Mercedes Coello Villanueva2 – Mª José Cáceres

García1 – José María Chamoso Sánchez1 – Ernesto Martín Hernández3

[email protected] – [email protected] – [email protected] – [email protected] -

[email protected] 1Universidad de Salamanca, España – 2Universidad Autónoma de Yucatán, México –

3Centro de Educación de Personas Adultas Giner de los Ríos, España

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

Modalidad: CB


Palabras clave: Estadística, Aplicaciones Android, Simulación, Formación de Maestros

Resumen Las posibilidades que brindan los dispositivos móviles (DM) son innumerables desde el

punto de vista de la motivación, la innovación y la modelación y simulación de situaciones

con las matemáticas. Para que los DM cumplan su función en el ámbito educativo se requiere

el proceso de génesis instrumental (Rabardel, 1995 citado por Artigue, 2015), es decir, el

diseño de una planeación en la que se estipule su función para que pase de ser un artefacto

a ser un instrumento dentro del aula.

En este sentido hemos diseñado dos aplicaciones Android para la enseñanza de la

probabilidad y la estadística en las que partiendo de la simulación los alumnos puedan

experimentar y obtener datos. Con estas dos aplicaciones y otras dos comerciales, los

alumnos se enfrentan a conceptos como: aleatoriedad, gráficos estadísticos, frecuencias,

medidas de centralización, muestreo, población, hipótesis… Para utilizarlas en el aula se

combinaron con hojas de trabajo que implicaban un trabajo colaborativo. Al terminar el

proceso de enseñanza se pasó un cuestionario a los alumnos que habían utilizados las Apps

y a un grupo de control sobre los contenidos estadísticos implicados. Los resultados

muestran las ventajas del uso de los DM y su combinación con el trabajo colaborativo.

Introducción

La estadística está presente en diversos aspectos de la vida cotidiana, en realidad, algunos

términos relativos a ella son utilizados en las conversaciones cotidianas de las personas para

referirse a fenómenos o acontecimientos, así que es importante potenciar su enseñanza en el

salón de clase.

Actualmente, la enseñanza suele apoyarse en el uso de dispositivos móviles (DM) como

herramientas de enseñanza – aprendizaje y los estudiantes otorgan gran importancia a su uso






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dentro del aula para fines formativos, como se expone en la investigación realizada con

docentes y estudiantes de la Universidad de Cantabria (González y Salcines, 2015). La

importancia otorgada por los estudiantes puede deberse al hecho de que emplean los DM

para muchas de las actividades de la vida cotidiana, lo cual facilita su inserción en el aula

porque ya están familiarizados con su funcionamiento.

El presente estudio consistió en la experimentación del uso de apps Android como recursos

didácticos para la enseñanza de contenidos estadísticos, a través de talleres implementados

mediante la estrategia de trabajo en equipo.

Aplicaciones Android como instrumentos

Una app es una aplicación informática diseñada especialmente para DM que cumple una

función específica. Existen apps gratuitas y de pago y para una gran variedad de propósitos:

entretenimiento, educación, comunicación, entre otros. Para obtenerlas es necesario

descargarlas en el DM a través de las plataformas de distribución como App Store, del sistema

operativo iOs, y Google Play, de Android (Santiago, Trabaldo, Kamijo y Fernández, 2015).

La mayoría de las apps no han sido diseñadas para su uso dentro del aula, incluyendo las que

son de índole educativa, por lo que es necesario realizar el proceso de génesis instrumental.

Éste consiste en convertirlas en instrumentos para la enseñanza – aprendizaje mediante la

determinación del uso que se les dará y del rol que deben cumplir en el aula (Rabardel, 1995,

citado por Artigue, 2015).

La instrumentalización de las apps, y por ende los de DM, significa que existe una planeación

previa y que su uso está dirigido hacia fines académicos. La importancia de ello radica en

que una implementación arbitraria de dicho software podría traer desventajas, como no saber

usarlas, que no se produzca aprendizaje o la distracción hacia otras apps que ofrecen los DM.

Martínez, Díaz, Barroso, González y Antón, investigadores de la Universidad de Valladolid,

España, desarrollaron en 2013 una app que consistía en un juego de realidad aumentada para

niños. Del pilotaje obtuvieron que la app era atractiva para los niños y, al implementar una

evaluación días después, encontraron que los usuarios fueron capaces de recordar las

preguntas y respuestas de la app, demostrando que el uso de estas herramientas permite un

aprendizaje a largo plazo.


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Trabajo en equipo para la enseñanza

En la investigación realizada por Loureiro, Moreira y Pombo (2010) se demostró que el

trabajo en equipo favorece el aprendizaje gracias a la negociación, discusión y realización de

críticas constructivas entre los individuos involucrados en la solución de problemas.

Trabajar en equipo implica tolerancia por las ideas de los demás, respeto, aprender a escuchar

y a convencer, aprender a cambiar de opinión, humildad, conciencia de la relatividad de los

demás, compartir y capacidad de organización. Gracias a este intercambio se logra la

valoración de las aportaciones de los demás y la reflexión sobre las propias, dando como

resultado una fuente inagotable de aprendizaje significativo (Delgado, Mas y Mesquida,

2014).

Tomando en cuenta las numerosas ventajas que brinda el trabajo en equipo, mencionadas

previamente, se decidió emplear tal estrategia como una herramienta más para favorecer el

aprendizaje de los contenidos estadísticos, pues se cree que el intercambio de ideas y la

construcción conjunta de conocimiento pueden potenciar los resultados del uso de las apps

Android..

Metodología

La experimentación en esta investigación se llevó al cabo con un grupo compuesto por 49

estudiantes del cuarto curso del grado de Maestro en Educación Primaria de la Facultad de

Educación de la Universidad de Salamanca.

Primeramente, se diseñaron las sesiones para desarrollar contenidos estadísticos con apps

Android como herramientas de enseñanza – aprendizaje, organizándolas como se muestra a

continuación en la tabla 1.

Tabla 1.

Organización de las sesiones para la experimentación

Sesiones Contenido Taller App Android

Sesión 1 Aleatoriedad “Colores” Colores

Sesión 2 Sucesos no equiprobables “Dados” Dice

Sesión 2 Frecuencias de un experimento aleatorio “Moneda” Coin flip


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Sesión 3 Estimación del tamaño de una población

a partir de muestras

“Pingüinos” Pingüinos

Es preciso comentar que tanto los talleres como las apps “Colores” y “Pingüinos” incluidos

en la tabla 1 fueron diseñados por Martín y González (2015), éstas últimas con la intención

de satisfacer la necesidad de un software para simular situaciones de aleatoriedad y

estimación del tamaño de una población a partir de muestras. Los talleres fueron diseñados

para lograr un aprendizaje por descubrimiento e incluyen una hoja de trabajo cuyas

situaciones problemáticas guían, mediante el uso de las apps, hacia la construcción del

conocimiento de los contenidos estadísticos.

Después de establecer la estructura y el contenido de las sesiones se seleccionó la aplicación

de una prueba escrita como técnica para evaluar los resultados de aprendizaje y verificar la

existencia de mejoras en el aprendizaje. La prueba escrita se elaboró con la premisa de

mantener la misma estructura de las hojas de trabajo, es decir, situaciones problemáticas que

derivan en preguntas y fue de diseño propio, a excepción de un reactivo tomado de De la

Cruz, González y Llorente (1993, pp. 76).

Como se indica en la tabla 1, la experimentación se realizó en tres sesiones, cada una con

duración de dos horas y de frecuencia semanal. En la primera sesión se trabajó el taller

“Colores” en equipos de cuatro a cinco integrantes en un aula regular. La segunda sesión, en

la que se trabajaron los talleres “Moneda” y “Dados”, se desarrolló en un aula de informática,

con ayuda de un ordenador y con los estudiantes agrupados en parejas. En la tercera sesión

se llevó al cabo el taller “Pingüinos” y se trabajó con los mismos equipos y en el mismo

espacio que en la primera.

Aproximadamente tres semanas después de la última sesión, se aplicó de manera individual

la prueba escrita a los estudiantes del grupo experimental. Para tener un punto de referencia

para la mejora del aprendizaje también se aplicó la prueba escrita a un grupo de control que

trabajó los mismos contenidos estadísticos pero bajo una metodología de enseñanza

diferente, sin apps Android, hojas de trabajo ni trabajo en equipo.

Resultados

Después de aplicar el test al grupo experimental (25 estudiantes) y al grupo de control (52


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estudiantes) y procesar los datos obtenidos en el software SPSS, versión 21, se calculó la

media de los aciertos en cada caso. El grupo experimental obtuvo una media de 10,84 puntos,

mientras que el grupo de control logró 9,04 puntos. Es preciso recordar que el resultado

máximo posible en el test es 17, considerando un punto por cada acierto, lo que significa que

la media del test corresponde a 8,5 puntos y que ambos grupos evaluados han obtenido

resultados por encima de esta estimación, aunque los resultados están a favor del grupo

experimental probablemente por representar la muestra que ha participado en las sesiones de

este proyecto.

A continuación se presenta el porcentaje de estudiantes con resultados por encima de la media

del test en el grupo experimental (tabla 2) y en el grupo de control (tabla 3).


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Tabla 2.

Porcentaje de frecuencia de aciertos en el grupo experimental.

Total de aciertos Frecuencia Porcentaje Porcentaje acumulado

6 1 4,0 4,0

7 1 4,0 8,0

8 1 4,0 12,0

9 6 24,0 36,0

10 3 12,0 48,0

11 4 16,0 64,0

12 2 8,0 72,0

13 4 16,0 88,0

14 1 4,0 92,0

16 2 8,0 100,0

Total 25 100,0

Tabla 3.

Porcentaje de frecuencia de aciertos en el grupo de control.

Total de aciertos Frecuencia Porcentaje Porcentaje acumulado

4 3 5,8 5,8

5 5 9,6 15,4

6 1 1,9 17,3

7 5 9,6 26,9

8 6 11,5 38,5

9 7 13,5 51,9

10 10 19,2 71,2

11 7 13,5 84,6

12 2 3,8 88,5


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13 4 7,7 96,2

14 2 3,8 100,0

Total 52 100,0

La tabla 2 permite observar que el 88% de los estudiantes del grupo experimental han

obtenido resultados por encima de la media del test, es decir, han acertado nueve o más

reactivos; en contraste, únicamente el 48,1% de los estudiantes del grupo de control han

obtenido tales aciertos (tabla 3). Aunque la diferencia entre la media del grupo experimental

y la media del grupo de control no es significativa, la diferencia en el porcentaje de

estudiantes con nueve o más aciertos es amplia, lo cual puede traducirse en que el grupo

experimental ha demostrado mayor dominio de los conceptos estadísticos.

De igual forma, se determinaron los valores máximos y mínimos obtenidos por cada grupo

testado, así como los cuartiles como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Diagrama de cajas del total de aciertos del grupo experimental y del grupo de

control.

Tal como expone la figura 1, las cantidades mínima y máxima de aciertos en el grupo

experimental han sido 6 y 16, según corresponde; en el grupo de control éstas han sido 4 y


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14. A pesar de que el rango en ambos grupos es de la misma amplitud, 10 aciertos, los

resultados del grupo experimental tienen mayor proximidad al valor máximo en comparación

con el grupo de control. Comparando desde otra perspectiva también es posible percibir que

el grupo experimental ha demostrado mayor dominio de los contenidos estadísticos que el

grupo de control, probablemente a raíz de los talleres a los que han sido expuestos.

Conclusiones

El empleo de apps Android para la enseñanza de contenidos estadísticos es una opción viable

para obtener buenos resultados de aprendizaje; además, favorecen el aprendizaje

significativo que es permanente y duradero. Lo anterior no significa que se desestiman otras

metodologías de enseñanza; por el contrario, se considera que las metodologías tradicionales

pueden complementarse con la inclusión de las apps y así potenciar sus resultados.

La correcta génesis instrumental de los artefactos que se pretendan utilizar en el aula, en este

caso las apps de los DM, permite obtener provecho del recurso aumentando las posibilidades

de una práctica docente orientada hacia la construcción de aprendizajes y disminuyendo la

probabilidad de distracciones o usos indebidos.

Los resultados de aprendizaje obtenidos en esta investigación conducen a la idea de que las

apps pueden ser funcionales para desarrollar otros contenidos estadísticos o contenidos de

otras asignaturas, siempre y cuando se empleen como instrumentos de aprendizaje y bajo una

adecuada planeación.

En un trabajo futuro sería interesante experimentar el uso de apps Android con equipos más

pequeños o con la estrategia de trabajo individual para comparar con los resultados actuales

y determinar cuál estrategia de organización del grupo es la más adecuada para el uso de DM

en el aula.

Referencias bibliográficas Artigue, M. (2015). Tecnologías de la información y de la comunicación y aprendizaje

basado en la investigación: ¿Qué sinergias? En Consejería de Educación de la Junta

de Castilla y León. (Ed.), Congreso “Las nuevas metodologías en la enseñanza y el

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Martínez, M., Díaz, F., Barroso, L., González, G. y Antón, M. (2013). Mobile serious game

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Computer Science, (25), pp. 375 – 381.

Santiago, R., Trabaldo, S., Kamijo, M. y Fernández, A. (2015). Mobile learning: nuevas

realidades en el aula. Recuperado de https://www.researchgate.net/

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https://www.researchgate.net/%20publication/299584978_%20Mobile_

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CB-630

MATEMÁTICAS Y PUBLICIDAD ¿SE PUEDE AHORRAR COMPRANDO?

Rita Jiménez Igea

[email protected]

IES de Alcalá de Henares. España

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas

Modalidad: Comunicación breve CB

Nivel educativo: Secundaria

Palabras clave: Publicidad, descuentos, recargos, letra pequeña.

Resumen Es habitual que, en el aula, los alumnos pregunten para qué sirve lo que se hace en clase de

Matemáticas porque perciben los contenidos como algo abstracto, alejado de la vida real y

sin ninguna relación con ella. Es importante tratar de vincular ambos mundos. Por otra

parte, es importante establecer la diferencia entre los problemas de los libros y los

problemas reales en los que se debe, en muchas ocasiones, manejar la letra pequeña.

Se presenta una experiencia que se lleva a cabo con alumnos de 2º y 3º ESO cuyo objetivo

último es fomentar el espíritu crítico del alumnado frente a las confusiones que provocan la

letra pequeña y el lenguaje engañoso de las campañas publicitarias. Se trabaja con folletos

publicitarios reales y con fotografías de ofertas de los supermercados o centros comerciales

de su entorno más próximo.



ISBN 978-84-945722-3-4

La experiencia se realiza como un proyecto del tema Proporcionalidad que se imparte en 2º

y 3º ESO. Se explican y/o repasan en clase los conceptos de porcentajes, descuentos,

recargos, porcentajes encadenados etc y casi paralelamente se realiza la actividad.

En primer lugar se muestra a los alumnos una

colección de fotos de tiendas, supermercados y

folletos publicitarios de comercios de su entorno en

los que se presentan todo tipo de ofertas, chollos etc.

En todos ellos hay una trampa, un engaño que

descubrimos y comentamos. Esta sesión suele

impactar y “abren los ojos” ante la letra pequeña y

los trucos publicitarios. Se muestran sorprendidos y

también indignados.

Se les organiza por equipos de entre 4 y 6 personas dependiendo del nº de alumnos y de sus

características.

En la segunda fase deben ser ellos los que descubran engaños y

los comenten. Deben presentar un trabajo de equipo en Word o

PowerPoint. Ese trabajo es corregido y comentado en rojo por la

profesora.


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En la tercera fase la profesora entrega a cada equipo dos anuncios de publicidad que ocupan

toda una página o casi toda la página de un

periódico nacional (uno es común para todos

y el segundo es diferente para cada equipo)

Estos anuncios vienen acompañados de unas

preguntas. Se busca que descubran que los

precios que se ven a primera vista no son los

precios reales. Se obliga al alumno a leer todo

el anuncio, incluida la letra pequeña, hacer

bien las cuentas y observan las diferencias entre los problemas del libro y los de la vida real.

En la 4º fase deben buscar un anuncio con trampa y redactar preguntas con el mismo fin que

en la fase anterior.

Finalmente se hace una puesta en común, se muestra al resto de la clase lo que han

descubierto los compañeros y se elabora una lista de tretas publicitarias ( tipo de lenguaje,

tamaño de letras y números,.esconder datos importantes etc…) Hay que indicar que

sorprenden porque no se limitan a buscar engaños que ya han aparecido, encuentran engaños

diferentes, otras ven trampas

donde no las hay y, en ocasiones,

ven sólo una parte de la trampa.

En cualquier caso, siempre se

plantean y llegan a la conclusión

de que estas actuaciones deberían

estar prohibidas y penalizadas. El

hecho de que se trate de

supermercados, de centros

comerciales conocidos les

impacta todavía más, no es algo que suceda lejos y que no les afecte, ellos mismos son

víctimas de esas trampas y se sienten traicionados.

Para finalizar les indicamos que debemos leer la letra pequeña porque, en caso contrario,

podemos encontrarnos con el siguiente problema:


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Información extraída de una página web

http://noticias.es.msn.com/blog/insolito/noticia.aspx?cp-documentid-153470458

/consultado 22/09/2010

http://noticias.es.msn.com/blog/insolito/noticia.aspx?cp-documentid-153470458


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CB-633

LA EXTRAPOLACIÓN ALGEBRAICA COMO FUENTE DE ERRORES EN LAS

PRODUCCIONES DE ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS

José García Suárez – Gerardo Nuñez González


Centro Universitario de la Costa Sur, Universidad de Guadalajara, México

Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades

y niveles educativos

Modalidad: CB

Nivel educativo: Universitario

Palabras clave: Errores algebraicos, estudiantes universitarios, extrapolación algebraica

Resumen

De acuerdo con Matz (1982), los estudiantes construyen nuevas reglas algebraicas,

comúnmente, a partir del conocimiento que le es familiar, o más específicamente tratan de

adaptar las reglas conocidas, para enfrentar una gama más amplia de nuevos problemas

matemáticos. Además, sostiene que los errores son el resultado de razonable, a pesar de los

intentos fallidos, para adaptar su conocimiento previamente adquirido a un nuevo contexto.

A partir de estos razonamientos, nuestra investigación toma como referencia los ítems

descritos en ese trabajo por el citado autor y los aplicamos en una prueba suministrada a

150 estudiantes universitarios de carreras de ingeniería. Partimos del supuesto de que sus

conocimientos previos adquiridos en su formación escolar anterior, pudiera ser una fuente

de errores al querer adaptarlos a los nuevos contextos matemáticos que se les presentan en

la Universidad.

Los resultados obtenidos nos muestran claras coincidencias con el trabajo de Matz, con

relación a que, la extrapolación algebraica es una de las principales fuente de los errores

que presentan los estudiantes al resolver algunas tareas algebraicas. En una etapa posterior

de este trabajo se propondrán estrategias didácticas para intentar paliar esta problemática.

I. Introducción

El comportamiento de un estudiante, cuando este resuelve un problema algebraico, según

Matz (1982), está conformado principalmente por dos componentes: El primer componente,

está relacionado con el conocimiento previo que se supone tiene el estudiante acerca de un

nuevo problema y que, por lo general, toma en forma de reglas que ha extraído de un curso

recibido o extraído directamente de un libro de texto, a estos conocimientos los denomina:


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reglas básicas. La mayoría de las veces, estas son las reglas elementales (como la ley

distributiva, la regla de cancelación de términos semejantes, el procedimiento para la

resolución de polinomios factorizable según el principio del producto cero, etc.) que forman

el núcleo del contenido básico de los libros de texto convencionales de álgebra. El segundo

componente, consiste en un conjunto de técnicas de extrapolación que especifican la forma

de reducir la brecha entre las normas conocidas y los problemas poco familiares. Mediante

la aplicación de estas técnicas de extrapolación el estudiante, intenta encontrar una forma de

ver un problema o trata de evocar una regla conocida que sea aplicable en la nueva situación.

Así mismo, Matz remarca que muchos de los errores más comunes que se presentan en las

producciones de los estudiantes, tienen como fuente el no hacer una elección correcta de una

técnica de extrapolación.

En este mismo orden de ideas, Matz afirma, que en la resolución de un problema nuevo, los

estudiantes pueden tener dos maneras posibles de afrontarlos. Primeramente, si el estudiante

ya tiene una regla aplicable, la respuesta puede ser construida por la ejecución directa de esa

regla. Pero si ninguna de las reglas que posee el estudiante son válidas para resolverlo, se

verá obligado a construir un procedimiento más creativo para la resolución del problema, es

decir, para encontrar alguna manera de adaptar sus conocimientos de reglas conocidas de los

problemas que le son familiares al nuevo contexto que se le presenta. Esta es una ruta más

indirecta a la obtención de una respuesta, ya que el alumno tiene que crear una regla o un

plan antes de usarla. Por ejemplo, un problema desconocido puede ser parecido a uno que le

es usual, excepto por que tiene un término adicional (un 7 en lugar de un 0, o una raíz

cuadrada en lugar de un cuadrado, etc.) Es por eso que, con el uso de las técnicas de

extrapolación tratan de librar estas diferencias mediante la alteración de una regla para

adaptarse a la nueva situación, o mediante la modificación de la situación para ajustarse a la

regla.

Matz, describe dos técnicas de extrapolación de gran alcance, la generalización y la

linealidad.

I.1 Generalización algebraica

La extrapolación por generalización se basa en que, se puede construir la formación de una

regla general de un problema específico, basado en suposiciones sobre sus características


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particulares, las cuales pueden originarse en una secuencia fortuita de ejemplos de enseñanza

o por restricciones legitimas impuestas por la semántica del álgebra.

Ejemplos de esto pueden ser los casos en que la generalización puede remplazar a un

operador específico (por ejemplo, "más") con otro operador. Otro ejemplo, "menos" puede

ser sustituido por el "mas" en la ley distributiva. De esta manera, la generalización puede dar

cabida a los operadores particulares y números que aparecen en una situación nueva.

I.2 Principio de linealidad

Además de cambiar la regla en sí, hay otra manera de extender la aplicabilidad de la

generalización. Se puede modificar la forma en que se utiliza, es decir, su estructura de

control, un ejemplo de esto es, la linealidad que se describe como una forma de separar un

objeto o estructura y operar con cada una de sus partes de forma independiente. Es decir, un

operador se comporta de forma lineal cuando el resultado final puede ser obtenido mediante

la aplicación del operador de cada subparte y luego simplemente la combinación de los

resultados parciales. Ejemplos de lo anterior:

Por ejemplo, un novato aplica la regla de cancelación de:

𝐴𝑋

𝑋= 𝐴

Aplicándola a cada literal en una expresión como la siguiente:

𝐴𝑋 + 𝐵𝑌

𝑋 + 𝑌= 𝐴 + 𝐵

Según los estudiantes, las reglas pueden aplicarse selectivamente o de manera uniforme a las

partes de un objeto.

Como ya se mencionó, la linealidad describe una forma de trabajar con un objeto susceptible

a ser descompuesto por el tratamiento de cada una de sus partes de forma independiente. El

operador se emplea linealmente cuando el resultado final de su aplicación a un objeto se

consigue aplicando el operador a cada subparte y luego simplemente combinando los

resultados parciales. Y se “justifica” porque en la aritmética, los estudiantes utilizan la ley

distributiva en muchas ocasiones y muy probablemente esta refuerza su aceptación de la

linealidad. Esta tendencia continúa con los primeros problemas de álgebra ya que en esencia,

estos los conciben como solo procedimientos de aritmética aplicados a los valores simbólicos

en lugar de números. Un ejemplo de esto sería:


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(𝐴𝑋 + 𝐵)(𝐶𝑋 + 𝐷) = 𝐴𝐶𝑋2 + 𝐵𝐷

Donde se ignora la multiplicación de todos los factores y se simplifica multiplicando los

términos semejantes.

Así pues, partimos del supuesto que los estudiantes universitarios poseen conocimientos que

han adquirido durante su formación académica previa a su ingreso a la universidad.

Siguiendo la línea de influencia de los conocimientos previos como causa de los principales

errores algebraicos, coincidimos con Chi y Roscoe (2002) quienes están en contra de la idea

que indica que los estudiantes entran a situaciones de aprendizaje como si llegaran a un

pizarrón en blanco; consideran que los estudiantes tienen algún conocimiento previo acerca

de un dominio de estudio, y que este conocimiento, al compararse con el conocimiento formal

tiene una tendencia a ser incorrecto, ya que, probablemente, tiene bases empíricas no

fundamentadas adecuadamente, lo que dificulta el aprendizaje de conocimientos formales

con un sentido más profundo y correcto; este conocimiento previo puede ser visto como una

base de la que parte el nuevo conocimiento, en la que ellos fundamentan los nuevos conceptos

para ser integrados y de ahí que traen los errores que pueden producirse.

Por su parte, Brown, Findley y Montfort (2007) mencionan los 'misconceptions', como

elementos que son difíciles de abordar en las investigaciones; ellos consideran que sin un

conocimiento específico de los conocimientos erróneos de los estudiantes, es poco probable

modificar el pensamiento de ellos a través de la enseñanza tradicional; esto lo explican

partiendo de que se pueden dar cambios sólo después de que ciertos hechos hayan sido

corregidos de la mente y no se pueden corregir si se desconocen.

Se argumenta también que los errores existen debido también a discordancias y conflictos

entre los muchos conceptos de matemática avanzada y matemática básica (Stafylidou y

Vosniadou, 2004), fundamentando lo anterior con trabajos como el de Fischbein (1987),

quien puso de manifiesto que las creencias intuitivas pueden ser las causas de los errores

sistemáticos de los estudiantes, observado también por Stavy y Tirosh (2000), quienes

establecieron una teoría respecto a las reglas intuitivas. Todos estos autores relacionan los

errores que se dan en el álgebra con respecto a diferencias de conocimiento, ya que si se fija

en las matemáticas avanzadas, a veces su relación con las básicas es muy distante; tómese

como ejemplo las integrales de orden superior si se comparan con al álgebra de secundaria.

En definitiva la incompatibilidad entre los conocimientos previos y los nuevos conocimientos


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lo que ocasiona problemas de comprensión y constituye una de las razones por las que los

estudiantes cometen errores en tareas algebraicas, fracciones, números racionales, etc.

(Kieran, 1992).

En trabajos previos documentados en García (2015) hemos analizado el trabajo de

estudiantes universitarios y documentamos errores, que pudieron ser originados por el

conflicto que presentan algunos de estos estudiantes para lograr un cambio conceptual

derivado del aprendizaje previo; hecho que origina un desequilibrio que lo obliga a encontrar

soluciones o alternativas sobre las tareas algebraicas a las que están enfrentando.

II. Metodología

La investigación es de enfoque cuantitativo, clasificable como descriptiva, cuya población

de interés estuvo compuesta por estudiantes universitarios de primer curso.

II.1 Instrumento de evaluación

El instrumento de evaluación que se empleó para recabar la información fue un cuestionario

compuesto de 14 ítems presentados como igualdades resueltas (Anexo 1), dichos ítems

fueron tomados del trabajo de Matz (1982).

II.2 Participantes

Los participantes de este trabajo fueron 150 estudiantes universitarios de primer curso del

Centro Universitario de la Costa Sur de la Universidad de Guadalajara, México,

pertenecientes a las carreras de Ingeniería en Mecatrónica, Ingeniero Agrónomo, Ingeniería

en Teleinformática, Ingeniero en Obras, Ingeniero en Recursos Naturales y Agropecuarios e

Ingeniero en Procesos y Comercio Internacional. A pesar de que se aplicó el instrumento a

todos los grupos, el muestreo fue de tipo intencional ya que se tomaron en cuenta solamente

los estudiantes que se encontraban en el aula al momento aplicar el instrumento.

Resultados

En este apartado analizaremos los resultados obtenidos en esta investigación. Reseñamos, los

3 ítems con mayor número de respuestas erróneas y discutiremos sus probables fuentes de

errores.

Inicialmente presentamos un concentrado con las respuestas que cada uno de los ítems que

componen el cuestionario aplicado, en la figura 1 se presentan los resultados.


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Figura 1. Número de aciertos y errores por ítems.

En la figura 1, se destacan los ítems con mayor frecuencia de errores, los cuales fueron: ítem

3 (87 errores), ítem 2 (81 errores) e ítem 4 (81 errores). El ítem que más errores presentó en

este trabajo fue el ítem 3: el cual se presentó de la siguiente forma: √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏,

según Matz (1982), los estudiantes que responden mal a este ítem, generalmente cometen un

error de distribución generalizada ya que el operador es interno, pues el estudiante recuerda

que: √𝑎𝑏 = √𝑎√𝑏 e infieren que √𝑎 + 𝑏 = √𝑎 + √𝑏 . Esta fue la respuesta errónea que más

se presentó en toda la prueba aplicada (58% de errores), lo que nos lleva deducir que algunos

estudiantes utilizaron la ley distributiva de un operador haciendo referencia al otro operador

involucrado en la acción. Así mismo, consideramos que los conocimientos previos que los

estudiantes universitarios poseen, en este caso les originan dificultades al intentar resolver

esta tarea, a tal grado que intentan aplicar esos conocimientos que les son familiares sin

importar su validez en el nuevo contexto. Algo similar sucede con el ítem 4 (54% de errores),

los estudiantes aceptan que la igualdad (A+B)2= A2+B2, es verdadera, en estas respuestas es

evidente que los estudiantes linealizan, es decir, trabajan la expresión, como un objeto

susceptible a ser descompuesto por el tratamiento de cada una de sus partes de forma

independiente. Así pues, logran comprender que la expresión implica elevar al cuadrado una

expresión algebraica, pero son incapaces de desarrollarla como un producto algebraico o

binomio al cuadrado, limitándose a responder que la solución consiste en elevar al cuadrado

cada uno de los términos de la expresión y sumar el resultado de esa operación. De nueva

57

8187

81 78

57

6963

81

66

54

78

48

63

93

6963

69 72

93

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69

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0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14Nú

me

ro d

e e

stu

dia

nte

s

Número de ítem

Errores Aciertos


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cuenta, nos damos cuenta que los conceptos algebraicos mal comprendidos en los niveles

educativos previos a la universidad, pueden constituir una fuente de errores difícil de superar,

pues esos conocimientos están fuertemente arraigados en el pensamiento algebraico de los

estudiantes.

El tercer ítem con mayor frecuencia de errores fue el ítem 2, el cual se presentaba como la

siguiente igualdad: (AX + B)(CX + D) = ACX2 + BD. Este ítem presentó una frecuencia del

53% de errores. En este caso, aparentemente los estudiantes utilizan la ley distributiva de la

aritmética en muchas ocasiones y muy probablemente esta refuerza su aceptación de la

linealidad. Esta tendencia continúa con los primeros problemas de álgebra ya que en esencia,

estos los conciben como solo procedimientos de aritmética aplicados a los valores simbólicos

en lugar de números. En el caso del ítem 4, se observa como ignoran la multiplicación de

todos los factores y simplifican multiplicando los términos semejantes.

Consideramos importante mencionar, el caso particular del ítem 11,el ítem con menor

frecuencia de errores, el cual se presenta como: 𝐴 (1

𝐴) = 0. Hipotéticamente los estudiantes

de nivel universitario deberían poseer conocimientos suficientes para comprender que

cualquier cantidad multiplicada por su reciproco da como resultado la unidad, pero en nuestro

estudio, más de la tercera parte de los participantes (36%) aceptaron la igualdad que se les

presentó, sin ser capaces, de al menos, recordar esa propiedad. Aparentemente, en estas

respuestas aplican las nociones que recuerdan de la cancelación de unidades o en este caso

letras iguales y las eliminan.

De acuerdo a los ejemplos descritos comprobamos que en los estudiantes persisten en

emplear reglas o las recuerdan y las modifican para aplicarlas a cualquier ejercicio parecido

que se les presente, sin darse cuenta del tipo de error que cometen. En la continuación de este

trabajo de investigación, profundizaremos en las respuestas obtenidas hasta el momento.

III. Conclusiones

La extrapolación algebraica es una fuente de errores en estudiantes universitarios, los cuales

manifiestan errores producidos por las dificultades que exteriorizan al trabajar con diversas

expresiones algebraicas.

Con respecto a, los conocimientos previos que tienen los estudiantes universitarios,

coincidimos con Wagner y Parker (1999) quienes mencionan que algunas de las principales


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causas por las que se cometen errores al resolver distintas tareas algebraicas, son debidas a

que los estudiantes, en sus esfuerzos por darle sentido a las letras o variables, recurren a

conocimientos previos de la aritmética, los cuales en ocasiones, no se les enseñan para

facilitarles el aprendizaje del álgebra, por lo que, cuando los estudiantes hacen sus primeros

acercamientos al álgebra, generalmente es cuando inician su educación secundaria en

México, o después de seis años de estudio de la aritmética (posiblemente la primaria), los

profesores no tienen la costumbre de enseñarles detalles específicos sobre el significado de

los símbolos literales, dedicando más tiempo en instruirles técnicas para resolver ecuaciones,

para practicar reglas de manipulación de expresiones algebraicas y para plantear algunos

problemas en los que se espera que sus alumnos empleen los procedimientos que han

aprendido mecánicamente para encontrar la solución a las tareas (Ursini y Trigueros, 1998).

Ante estas dificultades, consideramos importante resaltar la importancia que tiene el valorar

los conocimientos algebraicos que poseen los estudiantes universitarios cuando ingresan a

este nivel educativo, para tratar de esclarecer los conceptos algebraicos erróneos que

conservan de su paso por los niveles anteriores a la universidad y con base en esa valoración,

diseñar una estrategia didáctica que les permita desprenderse de esos obstáculos y les facilite

aceptar las nuevas reglas que les permitan, a su vez, comprender los nuevos conceptos que

enfrentaran en su formación educativa de nivel superior.

Por todo lo anteriormente expuesto, consideramos pertinente seguir indagando en los

resultados obtenidos hasta este momento, ahora de manera cualitativa, para profundizar en el

pensamiento de los estudiantes e intentar documentar las diversas fuentes que originan los

errores algebraicos, que se observan en sus producciones, con el fin de colaborar en la

disminución de los errores de extrapolación algebraica en los estudiantes de todos los niveles


Brown, S., Findley, K., & Montfort, D. (2007). Student Understanding of States of Stress in

Mechanics of Materials. Stress The International Journal on the Biology of Stress, (August),

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ANEXO 1. INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN


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CB-634

TRANSPONDO MUROS: O MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA DA UFOP E A FORMAÇÃO INICIAL/CONTINUADA DE

PROFESSORES DE OURO PRETO

Edmilson Minoru Torisu

[email protected]

Universidade Federal de Ouro Preto - Brasil

IX. Comunicación y divulgación matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Nivel educativo medio o secundario (12 a 15 años)

Palavras-chave: Mestrado Profissional, Educação Matemática, Formação de profesores.

Resumo Os Mestrados Profissionais são uma realidade cada vez mais presente nas universidades

brasileiras. Nesta modalidade de pós-graduação stricto sensu a pesquisa volta-se para que,

ao final, além da dissertação, o estudante apresente uma proposta de ação que tenha impacto

no sistema ao qual se dirige. A esta proposta temos dado o nome de produto. No caso dos

mestrados profissionais em Educação esses produtos, muitas vezes, constituem-se como

novas propostas para o ensino de algum conteúdo. Este trabalho apresenta o relato de uma

experiência vivenciada ao longo do segundo semestre de 2016, como parte das ações de um

projeto extensionista, cujo propósito foi apresentar à comunidade de professores de escolas

públicas da cidade de Ouro Preto, Brasil, produtos oriundos do mestrado profissional em

Educação Matemática da Universidade Federal de Ouro Preto. Um grupo composto por um

professor coordenador, um bolsista e dois professores utilizou alguns produtos em turmas

de sexto e nono anos, relativos ao estudo de frações e funções, respectivamente. Pôde-se

concluir que este uso possibilitou, aos professores, acesso a novas opções de exploração de

conteúdos matemáticos em sala de aula, constituindo-se como rotas alternativas

interessantes na escolha por caminhos que despertem a curiosidade dos alunos para a

aprendizagem matemática.

Introdução

Os cursos de Mestrado Profissional (MP) têm se tornado uma realidade cada vez

mais presente nas universidades brasileiras. Os primeiros cursos de MP datam de meados da

década de 1990 e surgiram como uma necessidade e rota alternativa à formação stricto sensu

para o ensino e pesquisa. Dessa forma, passaram a se constituir como uma tentativa de

orientar o ensino para a aplicação do mercado, que almejava por profissionais mais

capacitados em diversas áreas (FISCHER, 2005).


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Inicialmente, a Educação ainda era muito reticente em relação aos mestrados

profissionais, dada a sua tradição na pós-graduação de cunho acadêmico (RIBEIRO, 2005).

De acordo com Moreira (2004), embora a academia tenha produzido um considerável corpo

de conhecimento como resultado das pesquisas nos mestrados e doutorados acadêmicos, em

que pese o esforço dessas comunidades, tais conhecimentos não impactaram

significativamente no sistema escolar, na sala de aula. De acordo com este mesmo autor, isso

apontava para a necessidade de ações em nível de pós-graduação stricto sensu que

contribuíssem de forma significativa para a reversão desse quadro, em algumas áreas. Uma

delas, que poderia ser beneficiada por essas ações e que aqui nos interessa, em particular, é

a

formação de professores dos ensinos fundamental e médio que

possam, tanto no âmbito de seus locais de trabalho quanto no

horizonte de suas regiões, atuar como iniciadores e líderes nos

processos de formação de grupos de trabalho e estudo,

compostos por professores [...]. (MOREIRA, 2004, p. 131 –

132)

A ideia subjacente nesta citação é a do ‘professor multiplicador’, que ao ter acesso a

novos conhecimentos em um programa de pós-graduação stricto sensu na área de ensino,

torna-se apto a disseminar tais conhecimentos entre aqueles do seu meio de atuação. Dessa

forma, o alcance daquilo que foi ensinado/aprendido torna-se muito maior e a universidade,

em certa medida, democratiza os resultados de suas pesquisas, o que é desejável,

principalmente quando pensamos em um país cuja educação clama por melhorias. Mas qual

seria um espaço adequado para a formação desse professor multiplicador?

De acordo com Moreira (2004), o MP é uma boa opção, se levarmos em consideração

o caráter do trabalho final do curso. No Mestrado Acadêmico (MA), cujo objetivo é formar

um pesquisador, o trabalho final é um relatório de pesquisa, que denominamos dissertação.

No MP é necessário que, no trabalho final, encontremos “uma proposta de ação profissional

que possa ter, de modo mais ou menos imediato, impacto no sistema a que ele se dirige”. A

esta proposta de ação damos o nome de ‘produto’ que, de acordo com Ribeiro (2005), é a

principal diferença entre as duas modalidades de mestrado: acadêmico e profissional. O

produto é algo mais pragmático e que poderá auxiliar, no caso do ensino, professores em suas

práticas docentes. Contudo, esse lado pragmático não é dado ao acaso. Ele é iluminado por


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teorias adequadas com as quais se teve contato durante o mestrado. Nesse sentido, além do

produto, em muitos mestrados profissionais exige-se, também, uma dissertação, nos moldes

dos mestrados acadêmicos. Aliás, um equívoco que pode surgir é julgar que o MP exige

menos do aluno, se comparado ao MA. Sendo parte do sistema de avaliação da Capes, o MP

“deve seguir o mesmo padrão de qualidade dos mestrados acadêmicos e doutorados”

(MOREIRA, 2004, p. 132). Não há modalidade melhor ou pior. Há modalidades diferentes.

A proposta do MP em ensino data de 2001 e os primeiros programas surgiram em

2002 com o objetivo central de formar professores mais gabaritados que possam fazer

respingar em outros professores os conhecimentos adquiridos. Os produtos gerados nos MP

em Educação podem ser um ótimo veículo de mudanças nas práticas pedagógicas dos

professores e futuros professores.

No entanto, como esses produtos transpõem os muros das universidades? E quando

transpõem, a quem contemplam?

Em um primeiro momento, os próprios alunos/professores do MP divulgam seus

produtos em suas comunidades e, em outro, a universidade possibilita divulgação mais ampla

por meio de eventos abertos à comunidade. O programa da UFOP, por exemplo, que teve

início em 2008, realiza, a cada ano, o Encontro de Ensino e Pesquisa em Educação

Matemática (EEPEM) no qual os alunos do MP que defenderam suas dissertações no ano

anterior comunicam seus trabalhos em apresentações orais e ofertam minicursos, além da

versão impressa.

Esses eventos de divulgação oportunizam aos interessados contato inicial com várias

propostas que são viáveis em sala de aula. No entanto, será que os produtos, ou parte deles,

são utilizados pelos professores de Ouro Preto e região, no caso da UFOP? Se sim, como?

Como eles impactam o trabalho dos professores em sala de aula? Se não, como eles poderiam

ser introduzidos? Há professores desejosos por novas práticas as quais os produtos poderiam

auxiliar?

Na tentativa de responder a algumas dessas perguntas, esse projeto teve como

objetivos:

- Entrevistar professores de Ouro Preto e região e alunos da graduação, preferencialmente

aqueles que estejam em período de estágio, para localizar aqueles que se interessam em

conhecer produtos do Mestrado em Educação Matemática da UFOP, com vistas a formar um


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grupo, inicialmente de estudos para, posteriormente, implementar os produtos em salas de

aula.

- Realizar reuniões periódicas para uma familiarização com os produtos e realizar possíveis

adaptações, de acordo com a demanda.

- Acompanhar professores, com o auxílio dos estagiários, na implementação dos produtos

em sala de aula.

- Entrevistar professores que tenham participado do projeto para saber suas opiniões acerca

dos produtos educacionais.

Método

Afim de atingirmos nossos objetivos, algumas ações foram implementadas. Antes

que sejam expostas, queremos ressaltar que várias dificuldades surgiram durante o processo,

nos impedindo de realizar o projeto da maneira como o havíamos proposto. Algumas dessas

dificuldades serão apresentadas ao longo do texto, mas terão destaque em uma seção mais à

frente. Dessa forma, as ações que a partir de agora elencarei, a meu ver, constituiram a rota

adequada para atingirmos parte de nossos objetivos.

Primeiramente criamos uma equipe, constituída por mim, professor orientador e pelo

bolsista. Como o projeto deveria contemplar escolas de Ouro Preto e região, o segundo passo

foi entrarmos em contato com professores de Matemática dessas escolas que pudessem se

interessar pelo uso dos produtos educacionais do mestrado em Educação Matemática em suas

aulas. Esse primeiro contato foi feito por mim.

Originalmente, constituiríamos um grupo formado pela equipe da universidade e os

professores interessados para que, juntos, pudéssemos escolher produtos viáveis à utilização

em sala de aula. Contudo, as demandas pessoais de cada professor dificultaram encontros

conjuntos e decidimos conversar com cada um individualmente. Depois de contactado, ao

professor interessado apresentamos o projeto e procuramos saber do conteúdo que estava

sendo ensinado naquele momento para, então, propormos um produto que pudesse auxiliá-

lo. Essa proposta só foi feita após o professor orientador e o bolsista verificarem, na página

do programa de pós-graduação em Educação Matemática da UFOP, produtos que pudessem

se adequar ao momento letivo do professor. Dessa forma, por exemplo, se o professor estava


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trabalhando com equações de primeiro grau, buscamos encontrar um produto que pudesse

auxiliá-lo nesse assunto.

Após essas pesquisa, o produto foi enviado ao professor para que ele pudesse ler e

verificar possibilidades de uso. A partir daí, o professor elaborou um cronograma de

áplicação`das atividades oriundas do produto para que o bolsista pudesse auxiliá-lo. Sendo

assim, o bolsista assistiu a algumas aulas antes das atividades para se familiarizar com a

turma. Em seguida, após uma preparação realizada com o professor orientador e ideias do

professor, o bolsista passou a atuar em sala como um auxiliar na aplicação das atividades.

Eram suas funções: ajudar nas atividades, interferindo em alguns momentos por solicitação

do professor; recolher materiais para arquivamento; informar ao professor orientador como

estava se dando o processo. Uma saida que encontramos para o registro de cada visita do

bolsista à sala de aula foi a gravação em áudio enviada pelo whatsapp ao professor orientador.

Ao final de cada visita o bolsista enviava um áudio que continha as principais informações

do encontro.

Para sabermos a opinião dos professores em relação ao projeto, ao final um

questionário foi enviado por email a cada um. As perguntas estavam relacionadas às

percepções do professor em relação aos ganhos para sua formação continuada e para a

aprendizagem dos alunos.

Os materiais recolhidos em sala, as respostas dos professores e a opinião do bolsista

que vivenciou todo o processo, constituíram nosso material para chegarmos a algumas

conclusões sobre o nosso trabalho.

No que segue, apresentaremos momentos importantes do projetos e as dificuldades

enfrentadas.

Alguns momentos e as dificuldades

Montagem da equipe – foram solicitados à Pró-reitoria de extensão dois bolsistas para

auxiliarem no projeto. Contudo, dada a condição econômica que por hora passa o Brasil, o

repasse de verbas para as universidades tem sido pequeno e, por isso, o projeto só pôde contar

com um bolsista, o que comprometeu o alcance do projeto.


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Contato com professores – O mês de agosto de 2016 foi dedicado ao contato com os professores interessados

em participar. O que parecia simples tornou-se complicado. Na primeira tentativa, bem sucedida no momento

inicial, uma professora do sexto ano de uma escola municipal de Ouro Preto entusiasmou-se com o projeto e

logo marcamos uma reunião para que pudéssemos apresentar-lhe a nossa proposta. A reunião aconteceu, o

produto foi apresentado e a professora aceitou participar. Algun dias depois, porém, ela justificou-se e declinou

do convite. Inicialmente, pensamos em contactar todos os professores para, em seguida, marcarmos uma única

reunião. Contudo, havia incompatibilidade de horários e achamos conveniente realizarmos conversas separadas.

Após a desistência da primeira professora, saimos à procura de outros professores interessados. Dado o pequeno

número de pessoas na equipe, preferimos atender a dois professores: Dalila e Pedro11, ambos de escolas

estaduais de Ouro Preto.

Dalila dá aulas para os sextos anos e estava trabalhando com frações. Dessa forma,

pudemos utilizar o produto intitulado Uma proposta o ensino de frações no sexto ano do

Ensino Fundamental, de autoria de Rosângela M. Patrono. O bolsista auxiliou essa professora

em duas turmas, de agosto a novembro de 2016, adaptando as atividades. Combinamos que

ele seria um parceiro da professora e que as ideias, antes de serem implementadas, deveriam

ser aprovadas por ela. Várias das atividades do produto educacional foram realizadas pelos

alunos. Além do estudo de frações utilizando o produto de autoria de Rosângela Patrono,

recorremos ao outro produto envolvendo geometria. Sentimos essa necessidade porque, em

determinado momento, a professora introduziria o assunto sobre polígonos. Embora fosse

uma introdução, encontramos um produto interessante intitulado Desenvolvendo o

pensamento geométrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental: uma proposta de ensino

para professores e formadores de professores, de autoria de Cirléia Pereira Barbosa.

Observemos que o produto é voltado para professores, o que nos obrigou a adaptá-lo para os

alunos.

Com o professor Pedro nosso trabalho foi prejudicado por causa das ocupações das

escolas públicas, o que não ocorreu na escola da professora Dalila. Logo após acertarmos um

cronograma de aplicações das atividades ocorreram as ocupações e o cenário, naquele

momento, não era propício. Passado o tumulto inicial, o professor vislumbrou a possibilidade

de realizar as atividades em meio às ocupações já que, em teoria, os alunos deveriam estar

nas escolas, ainda que não houvesse aula. Dessa forma, conseguimos desenvolver uma

11 Nomes fictícios


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atividade no laboratório de informática, envolvendo alunos do nono do EF e alunos o

primeiro ano do EM. O produto do qual a atividade foi retirada tem o título Pensando

reflexivamente na resolução de problemas: uma abordagem metodológica para o ensino e a

aprendizagem de noções básicas inerentes ao conceito de função, de autoria de Alessandra

Roberta Dias.

Alguns momentos de reflexão previstos inicialmente e que deveriam ocorrer durante

o processo, após a aplicação das atividades, não ocorreram, por razões já explicitadas.

Metas alcançadas

Era nosso desejo oportunizar aos professores de Matemática das escolas públicas de

Ouro Preto e região, o contato e uso de produtos educacionais do Mestrado Profissional em

Educação Matemática pensando em sua formação continuada. Gostaríamos que esse projeto

atingisse mais professores, mas dada a falta de voluntários e o número reduzido de bolsistas,

pudemos contemplar somente dois professores. Isso sem mencionar o período turbulento,

com greves e ocupações, no qual o projeto foi desenvolvido. Ainda assim, acredito que tenha

sido uma experiência muito importante, no sentido de levar produções da academia à

comunidade, que muitas vezes sequer sabem de sua existência. Algumas reflexões dos

professores, em relação à experiência com o projeto, em certa medida nos faz crer que valeu

a pena o nosso esforço. Para ilustrar como foi o projeto para os professores apresentamos, a

seguir, as perguntas do questionários (enviado por email após ao final do projeto) seguidas

das respostas:

1) O (A) senhor (a) acha viável um projeto como o nosso? Por quê?

Dalila: Sim. Pois possibilita outras formas de aprendizagem.

Pedro: Acho sim, pois é uma atividade prática e simples que pode ser integrada a outras

áreas, como física, química, entre outras.

2) Para a sua formação e sua prática docente, embora tenha sido uma experiência curta,

que potencial o (a) senhor (a) vislumbra nesse projeto?

Dalila: Despertar para novas metodologias no ensino e aprendizagem da matemática.

Pedro: Atividades assim nos mostram o conceito intuitivo de funções que os alunos

carregam, bem como ajudam a desenvolver esse conceito. É uma atividade pratica e


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orientada, fugindo das tradicionais aulas quadro-giz. Além da possibilidade de se

trabalhar outras áreas do conhecimento.

3) Que dificuldades o (a) senhor (a) enfrentou ao tentar implementar as atividades em

suas turmas?

Dalila: A maior dificuldade da implementação do projeto na turma de 6º ano, foi a

indisciplina na sala de aula, pois são alunos com baixo desempenho e pouco interesse.

Pedro: Não percebi nenhuma dificuldade, talvez na questão em que tinham que criar

uma expressão que representasse a situação problema.

4) Que benefícios para os estudantes o (a) senhor (a) percebeu, quando da implementação

das atividades (comente, inclusive, do conteúdo trabalhado)? Se não foi possível perceber

tais benefícios (dado o curto tempo), que benefícios (para os estudantes) o senhor

consegue vislumbrar, caso o projeto tivesse sido de maior duração?

Dalila: Mesmo com o tempo limitado, os benefícios são vários. Para os poucos alunos

que demonstraram interesse, no caso do conteúdo de frações, as diversas maneiras de

representar uma fração, seja por meio do pensamento algébrico ou geométrico, o

trabalho prático faz com que o aluno desenvolve novas posturas de aprendizagem, como

a curiosidade, capacidade de generalizar, raciocínio lógico.

Pedro: Pelo curto tempo, não pude perceber muitos benefícios. Mas é uma atividade em

que pode se trabalhar com diferentes turmas, no dia foram turmas de 1º ano do ensino

médio e 9º ano do ensino fundamental.


Este projeto teve como objetivo levar aos professores de Matemática de Ouro Preto

e região, alguns produtos educacionais do Mestrado Profissional em Educação Matemática

da UFOP. A ideia central era criar novas possibilidades para sua prática pedagógica,

oferecendo-lhes materiais de qualidade, de fácil uso e que, na maioria das vezes, é por eles

desconhecido. Esperava-se que isso tivesse impaco em sua formação continuada. Embora

tenhamos tido várias dificuldades, como número reduzido de pessoas na equipe, professores

que não puderam participar, greve e ocupações, acreditamos que o projeto tenha cumprido


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boa parte do que objetivava. Destacamos, também, a sua importância como um caminho de

acesso da comunidade às produções acadêmicas. A UFOP é uma grande universidade e

muitas de suas produções parcecem impactar pouco a comunidade, quando esta deveria ser

uma de suas principais metas.


Fischer, T. (2005). Mestrado profissional como prática acadêmica. Revista Brasileira de

Pós-Graduação, v. 2, n. 4, p. 24-29.

Moreira, M. A. (2004). O mestrado (profissional) em ensino. Revista Brasileira de Pós-

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Ribeiro, R. J. (2005). O mestrado profissional na política atual da Capes. Revista Brasileira

de Pós-Graduação, n. 4, p. 8-15.

Patrono, R. M. (2011). Uma proposta para o ensino de frações no 6o ano do Ensino

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Barbosa, C. P. (2011). O pensamento geométrico em movimento: um estudo com professores

que lecionam Matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental de uma escola pública de

Ouro Preto (MG). Produto Educacional. Universidade Federal de Ouro Preto, Brasil.

http://www.ppgedmat.ufop.br/arquivos/dissertacoes_2011/Diss_Cirleia_Barbosa.pdf




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CB-642

Un estudio de las propiedades del gráfico de funciones reales de variable real por

medio de registros de representación semiótica

Nancy Saravia Molina – Katia Vigo Ingar

[email protected] – [email protected] Pontificia Universidad Católica del Perú

Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: Terciario o Bachillerato (16 a 18 años)

Palabras clave: función real de variable real, límite de funciones, registros de representación

semiótica.

Resumen El objetivo de nuestro artículo es analizar cómo los estudiantes de ingeniería del primer año

de estudios de nivel universitario movilizan los Registros de Representación Semiótica:

algebraico-gráfico al reconocer las propiedades fundamentales del gráfico de funciones

reales de variable real. Nuestra investigación es de tipo cualitativa, puesto que los estudios

cualitativos están más interesados por el proceso, que simplemente por los resultados o

productos. Hemos analizado dos secuencias de actividades propuestas en clase, las cuales

se aplicaron después de haber brindado las propiedades de las funciones así como la noción

de límite. Afirmamos que los estudiantes tienen dificultad cuando se enfrentan con funciones

seccionadas o por tramos, les cuesta entender que el límite se aplica a puntos que no

necesariamente pertenecen al dominio, no comprenden que significa la imagen de un punto

cuando se trata de aplicar la noción de límite y dado el gráfico de una función con asíntotas

verticales y horizontales les resulta fácil pasar del registro gráfico al algebraico, mostrando

dificultad para pasar del registro algebraico al gráfico.

Palabras clave: Función real de variable real, Límite de funciones, Registros de

Representación Semiótica.

Introducción

En el trabajo realizado por Silvia Aquere titulado ̈ Una propuesta didáctica para la enseñanza

del límite¨ se menciona que el aprendizaje de la matemática implica aprender y utilizar el

“lenguaje matemático”. Coincidimos con ella que es esencial para realizar actividades que

los alumnos puedan movilizarse entre varios registros en el curso de una misma acción, o

bien elegir un registro en vez de otro. Según Duval (2016) existe la necesidad de cambiar de

sistema de representación ya que la formación de conceptos implica una coordinación de

sistemas de representaciones, esta se logra articulando entre diferentes registros. Entendemos


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por representaciones, diferentes notaciones, ya sean gráficas, simbólicas, así como

expresiones verbales. Estas representaciones se agrupan en registros. Por ejemplo, el registro

gráfico o el registro numérico.

En el concepto de dominio y límite, el registro numérico se ve mediante tablas de valores,

para ver la imagen de la función en algunos puntos y la posibilidad de acercarse a un

determinado valor utilizando aproximaciones mayores por un lado y menores por el otro. El

registro gráfico mediante utilización de los ejes cartesianos. El registro simbólico cuando es

posible definir el límite de una función utilizando la simbología adecuada. Y el registro verbal

cuando es posible definir el concepto utilizando palabras de nuestro vocabulario.

Como profesoras observamos que una de las mayores dificultades o errores que cometen los

estudiantes es la mala interpretación de límite dicho error es consecuencia de no saber

determinar el dominio de dicha función, lo cual les lleva a una mala aproximación de los

puntos que pueden o no pertenecer al dominio. Para entender los que significa error, citemos

a los siguientes autores: Godino, Batanero y Font (2003) citados por Abrate et al, (2006, p.14)

“hablamos de error cuando el alumno realiza una práctica (acción, argumentación, etc.) que

no es válida desde el punto de vista de la institución matemática escolar”. Además, señalan

que “si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser

considerado como la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no

solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos”. Para Rico (1995),

el error se produce cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión

matemática, esta respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en relación a la

cuestión planteada.

Es por esto que el objetivo de nuestra investigación es analizar cómo los estudiantes de

ingeniería del primer año de estudios de nivel universitario movilizan los Registros de

Representación Semiótica: algebraico-gráfico al reconocer las propiedades fundamentales

del gráfico de funciones reales de variable real.

Marco Teórico

Según Duval (2016), el papel de las representaciones semióticas no se reduce a designar

objetos o a ser consideradas como objetos sino, cualesquiera que sean las representaciones

semióticas utilizadas, estas se pueden cambiar por otras representaciones semióticas sin el


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apoyo de datos nuevos u observaciones empíricas. Pero eso depende del sistema semiótico

dentro del cual se producen las representaciones semióticas.

Además, debemos tener en cuenta las diferencias entre los sistemas de representación

semiótica usados para analizar los procesos de pensamiento complejos y específicos que

están por debajo de la actividad matemática. “Lo que interesa para comprender los procesos

de pensamiento involucrados en cualquier actividad matemática es enfocarse en el nivel de

los sistemas de representación semiótica y no en la representación particular producida”

(Duval, 2016, p. 72).

Para el investigador, existen cuatro tipos muy diferentes de sistemas semióticos, los que

denomina de registros de representación: Lengua materna, registro algebraico, registro

gráfico y registro numérico. Un sistema semiótico es un registro solo si permite tres

actividades cognitivas, fundamentales.

La formación de una representación semiótica es basada en la aplicación de reglas de

conformidad y en la selección de algunas características del contenido involucrado. Por

ejemplo, describir el dominio de una función.

El tratamiento de una representación es la transformación de representaciones que ocurren

dentro del mismo registro. El tratamiento es, entonces, una transformación interna en un

registro; por ejemplo, la definición de límite de una función real representada en el registro

algebraico ∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 휀 por medio de

tratamientos es equivalente a ∀휀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 ⇒ 𝐿 − 휀 <

𝑓(𝑥) < 𝐿 + 휀.

Duval (2016) resalta el hecho de que los tratamientos que se realizan dependen especialmente

de las posibilidades de transformación semiótica que son específicos para el registro

utilizado.

La conversión de una representación es una transformación de esta representación en una

representación de otro registro; por ejemplo, pasar la representación de función par del

registro algebraico para el registro gráfico, conforme muestra la Figura 4.


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𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ → ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐷.

Fuente: Stewart J., Redlin L. y Watson S.(2012, p.185)

Figura 4. Conversión entre representaciones

Según Duval (2016), la conversión es más compleja que el tratamiento dado que cualquier

cambio de registro requiere que se reconozca al mismo objeto representado cuando entre dos

representaciones, sus contenidos generalmente no tienen nada en común. “La conversión

requiere implícitamente siempre que se deban usar juntos, de manera interactiva, dos

registros o incluso tres” (Duval, 2016, p. 75). Asimismo, para el investigador disponer de

varios registros de representación no es suficiente para garantizar la comprensión. Una

segunda condición se hace necesario y es la coordinación de representaciones formuladas en

diferentes registros.

En el aprendizaje de límite, por ejemplo, es evidente que una práctica muy específica, en el

aula, es de usar simultáneamente dos registros. Hablamos en lenguaje natural mientras que

se escriben expresiones simbólicas como si “las explicaciones verbales pudieran volver

transparente cualquier tratamiento simbólico” (Duval, 2016, p.76). Por ejemplo, al definir el

límite de una función utilizamos el siguiente discurso escrito: para todo 휀 > 0, podemos

encontrar un 𝛿 > 0 tal que si 𝑥 está dentro del intervalo abierto (𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿) y 𝑥 ≠ 𝑎,

entonces 𝑓(𝑥) está dentro del intervalo (𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀) .

Por medio de los varios tipos de conversiones, más que por medio de tratamientos, tocamos

la complejidad cognitiva de la comprensión en el aprendizaje de las matemáticas, en

particular, en el aprendizaje del límite, y en los procesos de pensamiento específicos

requeridos por la actividad matemática.

Metodología de Investigación y Sujetos de Investigación

La investigación cualitativa según Creswell (2010), es una investigación interpretativa, con

el investigador típicamente envuelto en una experiencia sustentada e intensiva con los


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participantes. Asimismo, en este tipo de investigación, los investigadores se interesan más

por el proceso de que simplemente por los resultados o productos, los investigadores tienden

a analizar sus datos de forma inductiva, es decir, no se recolectan los datos o pruebas con el

objetivo de confirmar o informar hipótesis construidas previamente. El significado es de

importancia vital en el abordaje cualitativo. “los investigadores cualitativos en educación

están continuamente cuestionando a los sujetos de investigación, con el objetivo de percibir

aquello que ellos experimentan, la manera como ellos interpretan sus experiencias y el modo

como ellos mismos estructuran el mundo social en que viven” (Psathas, 1973, citado en

Bogdan y Biklen, p. 51, 1994). Consideramos la observación como procedimiento para la

recolección de los datos donde definimos los objetivos de estudio; decidimos sobre el grupo

de sujetos a observar; registramos las observaciones y analizamos los datos.

Las actividades se desarrollaron con un grupo de 64 alumnos de ingeniería del segundo ciclo

de estudios, dichos alumnos resolvieron las actividades en grupos en el salón de clases luego

de haberles dado la idea intuitiva de límite y conociendo la definición de dominio, funciones

pares e impares, funciones crecientes y decrecientes, dichas actividades fueron desarrolladas

a lápiz y papel por un tiempo de 1 hora. Para este artículo hemos considerado dos trabajos de

los estudiantes.

Aplicamos dos actividades, la actividad 1 tiene como objetivo, a partir del gráfico de una

función, determinar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento e indicar si la

función es par o impar y hallar las imágenes de determinados puntos, analizar la existencia

de límites en estos puntos y límites en el infinito.

Actividad 1: A partir del gráfico de una función 𝑓, responda:

Figura 2. Gráfico de una Función

a) ¿Cuál es el dominio de la función?

b) ¿En qué intervalos la función crece o decrece? Justifique

c) ¿La función es par o impar? Justifique


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d) Halle 𝑓(−6), 𝑓(−4), 𝑓(−2) y 𝑓(0)

e) Analice la existencia de los siguientes límites y justifique sus respuestas.

lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) lim𝑥→−6

𝑓(𝑥) lim𝑥→−4

𝑓(𝑥)

lim𝑥→−2

𝑓(𝑥) lim𝑥→0

𝑓(𝑥) lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

Esperamos que, en esta actividad, el estudiante reconozca el dominio de la función

diferenciando si los puntos que aparecen en la gráfica tienen o no una pre imagen, indicando

de esta manera si el punto está definido o no. El conocimiento que moviliza el estudiante

respecto a la noción de función par es que su gráfica es simétrica respecto del eje 𝑦 , y si es

impar su gráfica es simétrica respecto del origen, con dicho conocimiento movilizado

esperamos que el estudiante pueda realizar la conversión de la representación de la función

par o impar del registro gráfico para el registro algebraico y coordinar dichos registros. Al

reconocer el dominio de la función esperamos que el estudiante no presente dificultad al

momento de analizar los límites ya sea por derecha del punto (para valores mayores) o por

izquierda de punto (para valores menores).

Análisis de la Actividad 1

Observamos que los estudiantes no presentan problemas con las nociones de función

creciente, decreciente y función impar y par es decir coordinan ambos registros puesto que

reconocen la representación de un mismo objeto, en dos registros diferentes, conforme se

muestra en la figura 3.

Figura 3. Producción de los estudiantes

Respecto a estas últimas nociones el estudiante las relaciona con el concepto de simetría

respecto al origen y al eje Y, respectivamente. Lo que significa que los estudiantes movilizan

sus conocimientos previos sobre algunas propiedades del gráfico de una función y logra

convertir dichas nociones del registro gráfico al algebraico, es decir coordina los dos

diferentes registros de representación. Sin embargo, comete error la describir el dominio de


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la función, es decir, esta noción no es movilizada por el estudiante permaneciendo en un nivel

técnico (Robert, 1998).

Asimismo, los estudiantes movilizan la noción de pre imagen e imagen de una función dado

que, como se muestra en la figura 3, realiza trazos con lápiz indicando los puntos,

representación gráfica del par ordenado, esto significa que coordina ambos registros, el

gráfico y el algebraico, al realizar la conversión de un punto para su respectivo par ordenado

a pesar de que dicha representación está dada de la forma f(a)=b.

Respecto al concepto de límite de una función, observamos que los estudiantes presentan

dificultades, como se muestra en la figura 4.


Los estudiantes no movilizan el concepto de límite al momento de identificarlo en el registro

gráfico, es decir, el saber no está bien identificado y bien utilizado por el estudiante (Robert,

1998). Este hecho no permite realizar, por parte del estudiante, la conversión de la

representación del límite del registro gráfico al algebraico. No coordina dichos registros

puesto que, conforme muestra la figura 4, observamos que al comparar las tendencias (marcas

con lápiz) hacia un valor, los estudiantes no establecen qué se deduce de la no existencia de

imagen. Es decir, no relaciona aproximaciones al límite desde el rango con las del punto en

el dominio.

Actividad 2 tiene como objetivo esbozar el gráfico de una función que cumpla con todas las

siguientes características.

𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐼𝑅 𝑓 impar en 𝐼𝑅 − {−4,4}

lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 5 lim

𝑥→−4+𝑓(𝑥) = +∞

𝑓(2) = 6 lim𝑥→0

𝑓(𝑥) = 0 = 𝑓(0) lim𝑥→−4−

𝑓(𝑥) = −∞


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Esperamos que al haber percibido las características o propiedades del gráfico de una función

en la actividad 1, los estudiantes puedan, partir de ciertas propiedades y diseñar el gráfico de

una función.

Análisis de la Actividad 2

Dado el discurso matemático, observamos que el estudiante en el registro gráfico no moviliza

la noción de dominio de una función y de función impar como muestra la figura 5. Sin

embargo, respecto a la representación de pre imagen e imagen de una función en el registro

gráfico como par ordenado (2,6) y como imagen del intervalo [4, +∞[, en este momento, sí

moviliza su conocimiento de función y de función impar, dado que grafica el par ordenado

(-2,-6) y la imagen del intervalo ]−∞, −4], conforme se muestra en la figura 5. Lo que

significa, también, que reconoce la representación de función y función par en dos registros

distintos: algebraico y gráfico, pero comete errores respecto al concepto de función al

representarla en el registro gráfico en todo su dominio, por ejemplo, en los intervalos

]−∞, −4] 𝑦 [4, +∞[ ver figura 5.

Respecto al límite de una función, nuevamente, observamos que los estudiantes no movilizan

dicho conocimiento quedando este conocimiento el nivel técnico. Presentan dificultades en

el proceso de construcción del significado del concepto del límite de una función.


Consideraciones Finales

El dominio de la función no siempre está bien identificado ni bien utilizado por el estudiante,

asimismo la concepción de f(x) se aproxima a L cuando x se aproxima al número a, sus

imágenes de f(x) se aproxima a L no tiene significado para el estudiante dado que, por


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ejemplo, les cuesta analizar los límites laterales y límites infinitos. En este sentido afirmamos

que la coordinación entre el registro gráfico y simbólico y viceversa no es realizada por el

estudiante. Además, presentan mayor dificultad cuando el punto no pertenece al dominio y

analizan la existencia del límite en dicho punto. Finalmente, al esbozar el gráfico de la

función no tienen en cuenta que lo que grafican no es una función.


Abrate, R; Pochulu, M. y Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en matemática. Análisis

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-643

INTRODUCCIÓN DEL METODO CONJUNTISTA CANTORIANO EN

COLOMBIA

Mónica Andrea Aponte Marín

[email protected]

Universidad del Valle - Colombia

Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matemática.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formación y actualización docente.

Palabras clave: Topología Conjuntista, Métodos Cantorianos, Historia de la Matemática,

Formación de Docentes.

Resumen En este escrito hace parte de los adelantos del proyecto de tesis doctoral titulado “La

introducción en Colombia del Método conjuntista cantoriano a través de la topología

conjuntista”, en el cual se espera dar cuenta dentro de un estudio histórico del surgimiento

de la topología de Conjuntos en Colombia; caracterizando los principales resultados

históricos que indujeron a la formalización de esta disciplina dentro de la matemática. Para

justificar la problemática de investigación se trabaja bajo tres dimensiones a saber: la

dimensión matemática, la histórica epistemológica en particular el caso colombiano con el

profesor Francisco Vera y la dimensión escolar por medio del análisis de la obra de Vera.

En el trabajo se propone responder a la pregunta ¿cómo ha sido la introducción de los

métodos conjuntistas cantorianos?, En este sentido se trata de un estudio donde nos

proponemos describir, explicar e identificar factores condicionantes en el proceso de

institucionalización de la Topología conjuntista en Colombia, en la presentación de este

trabajo se abordan algunos aspectos del desarrollo histórico de los métodos conjuntistas

desde la década de 1870, haciendo énfasis en el caso colombiano que inicia en la década de

1940 con el matemático Español Francisco Vera.

Primera parte. Dimensión matemática: la génesis y el desarrollo histórico de la

Topología de Conjuntos

Trataremos de mostrar brevemente algunos aspectos sobre la génesis de la teoría de conjuntos

cantoriana. Cantor no era el único ni el primero en trabajar aspectos relacionados a los

conjuntos. Se observa que en la década de 1870 y 1880 ya se tenían varios trabajos sobre

álgebra, teoría de números y análisis, en los cuales se destacaron cuestiones conjuntistas,

principalmente los trabajos de R. Dedekind, H. Weber, G. Peano, Bois-Reymond, U. Din y


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J. Harnack; sin embargo los trabajos de Cantor tenían un sello particular, pues el matemático

buscaba aclaraciones del infinito en acto, en aspectos filosóficos y matemáticos; en este

sentido se cuestiona sobre la manera en que se constituye el universo de los conjuntos

infinitos, evidenciándose así que el desarrollo histórico de la teoría de conjuntos estuvo

fuertemente influenciada por el carácter y los intereses de quien más contribuyó a su

desarrollo.

El nombre de "topología" conocido anteriormente con el nombre de análisis situs, que

literalmente significa un análisis de posiciones. Desde un punto de vista etimológico,

proviene de dos raíces que significan, respectivamente, el habla y el lugar. Los orígenes de

esta área están relacionados con la idea de trabajar con un tipo de geometría en la que uno no

usa el concepto de distancia. Es Leibniz quien introdujo el término en el siglo XVII, por

medio del programa de cálculo de posiciones en una dirección ligeramente diferente de lo

que luego sería la topología; y es hasta el siglo XIX que la topología se divide en dos ramas,

que se convertirá en la topología general (también conocida como la configuración de

topología), por una parte, y la topología combinatoria (topología algebraica más adelante).

La topología general parece emerger de las ganas de trabajar sin necesidad de utilizar el

concepto de distancia. Sin embargo, nos encontramos con frecuencia que se reconoce la

topología general, para designar el estudio de las propiedades que son invariantes bajo

homeomorfismos.

Gran parte del trabajo del siglo XIX se asocia con la idea de fundar el análisis sobre bases

sólidas, definiendo estrictamente los conceptos claves del campo matemático, desde el

principio del siglo XIX los matemáticos tienen preguntas sobre la estructura topológica de

subconjuntos de R. En su demostración del teorema del valor intermedio, Bolzano (1817)

utiliza un proceso de anidación de intervalos que se aproxima al método para demostrar el

teorema de Bolzano-Weierstrass. En el lenguaje corriente, este teorema establece que todo

subconjunto compacto Rn tiene un punto de acumulación. La demostración de Bolzano se

basa realmente en intervalos repetidos de subdivisión.


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En el curso de análisis, Cauchy (1821) establece el siguiente resultado si una serie de

funciones continuas converge la vecindad de un punto x0, entonces el límite es una función

continua en el mismo. La idea de lugar en un entorno del punto, muestra los tipos de

conjuntos de trabajo que se tienen en cuenta. La teoría de las series de Fourier es otro ejemplo

proporcionando preguntas similares. En 1829 Dirichlet proporciona la primera prueba

rigurosa de la convergencia de una serie de Fourier. Pero también plantea la cuestión sobre

cómo la convergencia de una serie está relacionada con el número de puntos de

discontinuidad y el número de extremos que tiene la función. Por lo tanto, se busca conocer

qué tipos de puntos, establece garantizar la convergencia de la serie. La pregunta para

especificar la estructura topológica de estos conjuntos vuelve a estar presente. Estos tres

ejemplos ilustran el concepto de convergencia, integrado con la teoría de funciones, que

aparece como una fuente de cuestionar la naturaleza topológica del conjunto y de sus

subconjuntos.

Por otra parte, Weierstrass se considera un icono del movimiento de austeridad en desarrollo

desde principios del siglo XIX. Él utiliza en sus conferencias sobre la teoría de funciones,

manifestaciones en las que lo que se considera hoy en día como teoremas de la topología

elemental. Por ejemplo, la prueba de la existencia de un límite superior e inferior para un

subconjunto acotado de R coincide con el teorema de intervalos anidados y la existencia de

un punto de acumulación. También define, en su estudio de series de potencias, conceptos de

la topología de Rn como conjunto acotado, punto externo, un conjunto frontera. Estos

conceptos se introducen para permitir la demostración de resultados en serie, y para

establecer el teorema de que se convertirá en el teorema de Bolzano-Weierstrass. Podemos

puntualizar esta primera dimensión matemática afirmando que los conceptos de la topología

son, por tanto, una herramienta para pruebas rigurosas de resultados de Weierstrass.

Segunda parte. Dimensión histórico- epistemológica: Francisco Vera y su exilio en

Colombia

De acuerdo con los planteamientos de Sánchez y Alvis (2009), en la década de 1940 se

encuentran los primeros intentos por dar a conocer la teoría de conjuntos y la lógica

matemática en Colombia. Estos intentos se encuentran en el libro de Francisco Vera titulado


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Introducción a la teoría de conjuntos, recopilación de las notas de un curso dictado en

Bogotá entre septiembre y octubre de 1942, de acuerdo con Arboleda (2015) Vera informa

que elaboró este libro a partir de las notas del curso que dictó sobre estas materias en Bogotá

por encargo de la Sociedad Colombiana de Ingenieros. Él recuerda que alcanzó a publicar

las dos primeras lecciones durante su estadía en Colombia, pero que tuvo que suspenderlas

por “las dificultades tipográficas con que tropecé, unidas a mi desplazamiento a la

Argentina”; es importante resaltar que no solo con este libro quiso dar a conocer la teoría de

conjuntos en Colombia, Vera también oriento conferencias divulgativas con referencia al

estado del arte de la matemática conjuntista, y fue el promotor de la instauración y

profesionalización de las matemáticas con la creación de la universidad de los Andes en

1949. El otro intento por dar a conocer la teoría de conjuntos esta en dos artículos de

divulgación de la teoría de conjuntos publicados por Waldemar Bellon en la revista

Universidad Nacional de Colombia. Revista Trimestral de Cultura Moderna en 1945.

Tercera parte. Dimensión escolar: La presentación de la Teoría de conjuntos de

Francisco Vera en comparación con los inicios de la topología conjuntista

En la presentación del capítulo 1, del texto de Introducción a la teoría de conjuntos de Vera,

se observa un acercamiento intuitivo a las nociones conjuntistas cantorianas, él establece la

definición de conjunto a partir de la definición cantoriana quien la implanta como “conexión

determinada de diversos objetos de nuestra intuición (…), de nuestra mente llamados

elementos del conjunto, en una totalidad”, Vera hace un llamado especial al peligro de la

palabra totalidad que está presente en la definición, por ser inconstituible, y a partir de este

llamado de atención de las limitaciones de la misma para presentar el conjunto como una

“(…) pluralidad definida o determinada, y diremos que un conjunto está determinado

cuando, cualesquiera que sean los elementos pertenecer o no pertenecer al conjunto, y para

cada par de elementos no exista más que el dilema de estar formado o no estar formado por

los elementos distintos” (Vera, p. 11) en este sentido se observa una presentación intuitiva

de la definición conjuntista.


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Posterior a esta definición define los conceptos de correspondencia, orden, número ordinal,

número cardinal, correspondencia entre ordinales y cardinales, principio de Schröder,

conjuntos finitos y conjuntos infinitos, función, exponenciación, etc. Podemos ver que todas

estas definiciones presentadas por Vera, carecen en muchas ocasiones de un formalismo

matemático, se realizan algunas re-contextualizaciones históricas en lo concerniente a su

fundamentación pero la presentación de las mismas sigue siendo netamente intuitiva, como

podemos ilustrar a continuación en la construcción de la aritmética realizada por Vera (P.26-

27): “en posesión del número natural, con dos de ellos se construye el racional, con infinitos

números racionales se crea el real, con dos números reales se forma el complejo, y con todos

ellos la Aritmética”.

En este sentido, se puede pensar que con este tipo de cursos los estudiantes quizás se

acercaron a las nociones de conjunto, funciones, en especial la función biyectiva, que

comprenden los principales aspectos desde un enfoque histórico-epistemológico que se

presentan en la consolidación de la teoría de conjuntos cantoriana, con todos los problemas y

entramados paradójicos que se envuelven en la teoría, además que quizás se pretendía buscar

habilidades para conocer la construcción conjuntista de los números naturales y enteros y ver

ahí su cardinalidad, también lograr manejar de algún modo la noción matemática de igual,

menor o mayor entre cardinalidades de conjuntos infinitos. Y especialmente lograr darse

cuenta de nociones tan claves como la relación parte-todo, conjunto universal, la noción de

infinito, que siempre se revelan de una forma paradójica o que bien nuestra razón o intuición

yerran en algo esencial para comprenderlas.

En el capítulo 2 expone la caracterización del continuo matemático, parte de un concepto

fundamental de la teoría de conjuntos que es el de numerabilidad, para la caracterización del

continuo deja un poco de lado los elementos intuitivos que viene manejando en capítulo 1 e

inicia un lenguaje más formal, hace uso de la prueba de la diagonal empleada por Cantor, este

procedimiento le permite a Vera acercarse al problema presentado por Cantor de la existencia

de conjuntos con distintas potencias y dar paso a la presentación del continuo físico y el

continuo matemático (Vera, p.15).


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Su presentación de la teoría de conjuntos es más orientada a las necesidades de fundamentar

el análisis infinitesimal en el continuo real que a relacionar los conjuntos con las estructuras

algebraicas. Este enfoque de enseñanza empleado por Vera concuerda con los desarrollos de

la topología conjuntista, al menos a lo referente con el problema del continuo, en los inicios

de la topología conjuntista se evidencia que la motivación de Cantor para los estudios de la

topología conjuntista estaba directamente relacionada con la teoría de cardinales, y en último

término con la hipótesis del continuo: “Antes de abordar el problema de la numerabilidad del

conjunto de los números reales, demostraremos este hecho sorprendente: el conjunto de todos

los números reales tiene la misma potencia que el de los comprendidos entre 0 y 1.” (Vera,

p. 44), en este capítulo 2, Francisco Vera intenta ilustrar uno de los conceptos y problemáticas

fundamentales para la génesis de la topología conjuntista como lo es el problema del

continuo.

En concordancia al desarrollo histórico de la topología conjuntista, Vera en el 4 capítulo,

presenta los conjuntos ordenados y conjuntos bien ordenados, estableciendo la definición de

orden a través de la representación por puntos en un eje de abscisas los términos en la

sucesión de los números racionales escribiendo debajo de ellos sus correspondientes números

ordinales, resultando que una sucesión ordenada de números racionales no tiene el mismo

orden que una sucesión de ordinales naturales (p. 98). A partir de esta definición, introduce

la noción de conjunto bien ordenado al estilo cantoriano, y establece el orden relativo de los

puntos de un conjunto lineal, dando paso a la presentación del teorema de Bolzano-

Weierstrass, para la presentación del teorema considera el conjunto de todos los números

reales divididos en dos clases A y B, formada la A por todos los números a tales que a su

izquierda no hay ningún punto o, a lo más un numero finito de puntos, y la B, por los números

b a cuya izquierda hay infinitos puntos del conjunto; se ve que esta clasificación es una

cortadura en el sentido de Dedekind, mostrando así que todo conjunto infinito acotado tiene

al menos un punto de acumulación (p.99), presentación que concuerda con la noción de punto

límite de un conjunto de Weierstrass – Cantor. Es así como en siguiente capítulo expone que:

“para comprender el alcance la da teoría de conjuntos tal como la formo Cantor hay que

distinguir entre matemática libre y matemática pura” (p. 114) así que los resultados no deben


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admitirse directamente en el análisis sino re-demostrarlos por métodos aritméticos cuando

hay la necesidad para aplicarlos, esta presentación del capítulo nos ilustra la manera en que

Vera abordara ciertos conceptos claves y fundamentales de la topología de los abiertos.

En el último capítulo Vera presenta los problemas de las antinomias de la teoría de conjuntos

cantoriana y la salida a estas a través de la axiomatización de Zermelo. Por otra parte se

observa que los conceptos de conjunto cerrado y conjunto abierto, no son expuestos de forma

explícita por medio de definiciones su obra, y reconocemos de acuerdo al análisis histórico

que estos dos conceptos son claves para el desarrollo de la topología conjuntista. Retomando

un poco elementos de la génesis de la topología conjuntista podemos inferir que el autor toma

métodos cantorianos, para fundamentar el problema del continuo real, para él comprender el

continuo real, se trata no solo de percibir sus propiedades mediante técnicas empíricas, sino

de caracterizar teóricamente a los reales como campo numérico. En este sentido define las

cortaduras de Dedekind sobre R, y pasa luego a estudiar las propiedades algebraicas de las

operaciones sobre el campo. También emplea los infinitésimos para introducir a los alumnos

en representaciones intuitivas de conceptos básicos del cálculo diferencial.

Se puede inferir entonces que el tipo de cultura sobre los métodos conjuntistas que promovió

Vera en Colombia, es una cultura que hace énfasis en los aspectos lógicos y filosóficos de

los métodos de Cantor. Según se ilustra en la presentación de sus conceptos en la obra de

Introducción a la teoría de conjuntos, pues se evidencia una falta por resolver problemas

concretos de las operaciones, favoreciéndose más el pensamiento operacional y técnico.

Sustentado en algunos antecedentes históricos para establecer las nociones conjuntistas,

iniciando con un acercamiento intuitivo, para dar pasó algunas definiciones más abstractas

en capítulos siguientes con la carencia de ejemplificaciones concretas.

Consideraciones finales

Partiendo que en el reconocimiento de las exigencias académicas que demanda la

conceptualización de un área de conocimiento matemático, los estudios sobre el desarrollo

histórico de un concepto permiten comprender y desglosar las dificultades intrínsecas que se

esconden tras la apariencia formalizada del concepto en la matemática actual. En este sentido


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es que empiezan a tomar fuerza e interés las investigaciones sobre el desarrollo de las

matemáticas desde distintas épocas. Con este análisis observamos que desde el inicio la

introducción de los métodos cantorianos en Colombia, se ofreció desde el enfoque de

Francisco Vera, una génesis de conceptos con una serie de cambios significativos en relación

con su papel en la realidad histórica del desarrollo de topología conjuntista, en este sentido

se considera que la transposición didáctica realizada dentro de esta enseñanza es "enorme"

en comparación con el surgimiento de los conceptos en los textos de los conocimientos y lo

que se puede haber aprendido.

Podemos inferir que las diferencias sugieren que producimos artificialmente aspectos de

formalización, amplificación y generalización de conceptos a enseñar. De hecho, la

naturaleza de las nociones que se formalizan demuestra en particular el amplio uso que

hacemos del registro simbólico. Esto se utiliza deliberadamente para caracterizar las nociones

mientras que el registro de lenguaje natural es más que suficiente para introducir los mismos

conceptos, en este sentido se ve como en el texto de Vera se busca unificar y generalizar los

conceptos el marco de la recta real, mientras que este aspecto es prácticamente transparente

en la producción de conocimientos descritos desde la dimensión matemática e histórica que

en ese libro de texto.

En esta etapa de trabajo, nuestra comprensión de lo que está en el corazón de las nociones de

topología conjuntista se amplió en al menos dos direcciones. Por un lado, ahora tenemos una

visión mucho más amplia, externa a nuestro contexto institucional de las especificidades de

los conceptos. Su génesis histórica, su función en los marcos de topología básica y general,

su presentación en la obra de Vera, que nos han permitido introducir elementos para los

procesos de formalización e institucionalización de los métodos cantorianos en Colombia.

También el análisis anterior mostró que los conceptos se definen entre sí deben ser integrados

en una redes de mayor conocimiento. Una reflexión que se puede llevar a cabo en la

integración en nuestra enseñanza.

Finalmente, la importancia de este tipo de estudios en historia de la matemática contribuye

en la práctica educativa, en la medida que proporciona reflexiones hacia la exploración de un

desarrollo adecuado del pensamiento matemático, dentro de cursos de educación superior,


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buscado favorecer en cierta medida la adquisición de conceptos matemáticos abstractos de la

topología conjuntista que suele generalmente ser en muchas ocasiones, mal interpretados y

trabajados en el aula de clase.


Albis, V. y Sánchez, C. (2009). La introducción de la teoría de conjuntos y la matemática

moderna en Colombia. Primera parte: El aporte de los extranjeros. Mathesis III 42, 265 -

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CB-644

REFLETINDO A PARTIR DA PRÁTICA UTILIZANDO CONTRIBUIÇÕES DA

FORMULAÇÃO E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NO

ESTÁGIO SUPERVISIONADO: O ESTUDO DE CASO RODRIGO

Kátia Maria de Medeiros - Mirian Raquel Alves da Silva


Universidade Estadual da Paraíba (UEPB) - Brasil

Núcleo temático: Formação de Profesores de Matemática.

Modalidad: Comunicación Breve- CB

Nivel educativo: Medio ou Secundario ( 12 a 15 años)

Palabras clave: Reflexão sobre a Prática, Formulação e Resolução de Problemas

Matemáticos, Estudo de Caso, Estágio Supervisionado.

Resumo Esta pesquisa foi desenvolvida no âmbito do Projeto Investigando a Formulação e a

Resolução de Problemas Matemáticos na Sala de Aula: Explorando Conexões entre Escola

e Universidade, do Programa Observatório da Educação, da CAPES, entre 2013 e 2015. A

referida pesquisa teve como objetivo geral analisar como a formulação e resolução de

problemas matemáticos sobre frações, a partir de materiais manipuláveis no 6° Ano do

Ensino Fundamental, podem contribuir para uma prática reflexiva do futuro professor de

Matemática em Estágio Supervisionado. Trata-se de uma pesquisa qualitativa, estudo de

caso, com o futuro professor de Matemática da UEPB, Campus de Campina Grande-PB.

Nesta Comunicação Breve focaremos sobre o Estudo de Caso Rodrigo. Durante as aulas

observadas, os alunos formularam e resolveram problemas matemáticos a partir de

materiais manipuláveis referentes ao conteúdo fração (adição e subtração). Os resultados

sugerem que as reflexões emergentes na prática letiva de Rodrigo foram a Escrita

Descritiva, a Reflexão Descritiva e a Reflexão Dialógica. Nas primeiras o futuro professor

reflete sobre o trabalho dos alunos nos grupos, a utilização de materiais manipuláveis e a

comparação de fração e classe de equilavência. Na última, a Reflexão Dialógica, reflete

sobre os problemas didáticos surgidos no decorrer da aula.

Introdução

Esta pesquisa teve como objetivo geral analisar como a formulação e resolução de problemas

matemáticos sobre frações, a partir de materiais manipuláveis no 6° Ano do Ensino

Fundamental, podem contribuir para uma prática reflexiva do futuro professor de Matemática

em Estágio Supervisionado. Trata-se de uma pesquisa qualitativa, estudo de caso, com o




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futuro professor de Matemática da UEPB, Campus de Campina Grande-PB. Nesta

Comunicação Breve apresentamos o Estudo de Caso Rodrigo.

Rodrigo é um futuro professor de Matemática com 22 anos, tem aproximadamente. Enfatiza

que sempre pensou cursar uma Licenciatura, menos a Licenciatura em Matemática, mas

como tinha facilidade com a disciplina, desde o Ensino Médio, e era um dos cursos com mais

ofertas de vagas, resolveu cursá-lo. O futuro professor de Matemática considera que o Estágio

Supervisionado é o momento que proporciona o contato com o ambiente escolar, a sala de

aula e com os alunos, e que esse momento oportuniza a sua atuação como um profissional.

No estudo de Frações partindo de sua vivência cotidiana, apenas passam o conceito e as

definições prontas, os alunos decoram mesmo sem compreendem e terminam sem aprender.

“A fração é vista como um ensino que aborda de maneira superficial o assunto, pois a maioria

dos alunos sai do Ensino Fundamental e Médio com um horror a Frações”. [FPRE, 06/ 07/

2013]

Formulação e resolução de problemas: novas possibilidades didáticas na aula de

matemática

A resolução de problemas é um tema muito discutido na comunidade de educadores

matemáticos, tanto no âmbito da pesquisa como na prática de sala de aula. No que se refere

à prática do professor, no Brasil, pouco tem chegado à sala de aula da educação básica. A

tarefa predominante ainda é o exercício.

No entanto, D’Ambrósio (2008) afirma que o ensino da Matemática através da resolução de

problemas veio ganhando espaço desde os anos 90, quando se tornou uma parte mais

integrante da sala de aula. Polya (1995), em seu livro How to solve it, em uma citação: “Uma

grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta

na resolução de qualquer problema” (p.v). No ano de 1949, Pólya, mais uma vez, escreveu

que “resolver problemas é a realização específica da inteligência e que, se a educação não

contribui para o desenvolvimento da inteligência, ela está obviamente incompleta” (Pólya,

1949, p. 2).

Medeiros e Santos (2007) apresentam em sua pesquisa, referente à formulação de problemas

matemáticos a partir de diferentes tipos de textos no sentido backlitiniano, diversas sugestões

que proporcionam diferentes caminhos pelos quais os professores podem trabalhar a

formulação de problemas.


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É possível formular e resolver problemas a partir de diferentes objetos e situações, como

afirmam Brown e Walter (2005).

O uso de materiais manipuláveis em atividades de formulação e resolução de problemas

matemáticos referentes às frações

Para Lorenzato (2009) em termos de sala de aula, durante a ação pedagógica, é importante

que o professor de Matemática conheça bem o material manipulável que vai utilizar como

apoio durante suas aulas. Porém, é fundamental o papel que este material pode desempenhar

na aprendizagem dos alunos.

O autor afirma que o material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de

ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro,

um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. Porém, os

MD podem desempenhar várias funções, conforme o objetivo a que se prestam e, por isso, o

professor deve se perguntar para que ele deseja utilizar o MD: para apresentar um assunto,

para motivar os alunos, para auxiliar a memorização de resultados, para facilitar a

redescoberta pelos alunos? São as respostas a essas perguntas que facilitaram a escolha do

MD mais conveniente para a aula.

Os materiais manipuláveis podem ser um forte aliado para que os alunos possam

compreender os conceitos e as relações que representam as frações. Contudo, podemos listar

alguns materiais sugeridos para o ensino-aprendizagem de frações: o ábaco de frações; a

régua de frações; o disco de frações; dentre outros.

Figura 1: Algumas das peças das frações Experimentoteca da USP Utilizadas pelos alunos nas

formulações e resoluções dos problemas

Bertoni (2009) apresenta fração como um termo que tem sido usado para designar parte de

um todo ou de uma unidade, ou mesmo para representar numericamente essa parte.

Entretanto, a autora apresenta adição e subtração de fração concentradas em famílias de


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frações, pois em cada uma das famílias, as operações evidenciam as relações entre as frações

correspondentes, como as suas diferenças, sendo assim, possibilita aos alunos consolidar a

ideia de frações, facilitando as suas aplicações em situações significativas. Para essa

estudiosa, a proposta que é relativa ao ensino e aprendizagem de frações, centra-se nas

seguintes características: desenvolver problemas e processos aos quais os alunos possam

atribuir significados; interpretando problemas e processos, explorando problemas com

múltiplas soluções ou sem soluções.

A reflexão sobre a prática no estágio supervisionado

Hatton e Smith (1995) apresentam uma revisão da literatura sobre a reflexão na formação de

professores, em especial, focando em estudos que induzam a investigar o desenvolvimento

dos alunos. Porém, os pesquisadores descobriram que este material fornecia apenas

orientações gerais, para especificar mais os critérios que foram utilizados, evidências de que

a reflexão pode ser definida como avaliada. Os autores afirmam que na base de leitura e

relendo os relatórios escritos, surgiu um quadro operacional, através de um processo que

ilustra a relação entre os dados da dinâmica essencial e teoria. Relação essa, que é

característica da pesquisa que lida com fenômenos como a reflexão. Desta forma, os autores

mostram que o resultado desse processo foi a identificação de quatro tipos de escrita, das

quais três foram caracterizados como diferentes tipos de reflexão: Reflexão Descritiva;

Reflexão Dialógica e Reflexão Crítica.

Particularmente, o primeiro tipo de escrita não é refletor no todo, mas apenas relata eventos

ou literatura. O segundo, descritiva que tentam fornecer razões baseadas, muitas vezes, em

julgamento pessoal ou na leitura da literatura dos alunos. O terceiro tipo, dialógica, é uma

forma de discurso consigo mesmo, uma exploração das possíveis razões. O quarto, crítica, é

definido como envolvendo razão para dar decisões ou eventos que tem em conta contextos

históricos, sociais e/ou políticas mais amplas.

O futuro professor de Matemática, no Estágio Supervisionado, tem a oportunidade de

vivenciar, na sala de aula, momentos de trocas de experiência. Esse é o momento de observar

as dificuldades que os alunos têm de resolver problemas matemáticos, oportunizar aos alunos

de participarem da aula tirando suas dúvidas e mostrando outros caminhos de resolução.


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Neste sentido, s identificações dos tipos de reflexão, por parte do professor, podem facilitar

o planejamento das aulas do futuro professor de Matemática.

Opções metodológicas

Optamos por uma pesquisa de abordagem qualitativa, como apontam Bogdan e Biklen

(1994), as características deste tipo de pesquisa, vão de encontro com o que almejávamos

proceder, enquanto pesquisadores. Tais características são:

Na pesquisa qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural. O pesquisador

torna-se o instrumento principal; A pesquisa qualitativa é descritiva; Os

pesquisadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que pelos resultados

ou produtos; Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de

forma indutiva; O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. (p.

41-51)

O ambiente natural foi à sala de aula de Matemática. Neste ambiente, interessava-nos pelos

processos referentes à Reflexão sobre a Prática dos futuros profesores de Matemática, tendo

em vista compreender os significados que os participantes atribuíam aos alunos, como eles

compreendiam e realizavam suas formulações e resoluções de problemas matemáticos.

Nossa pesquisa se deu como Estudo de Caso numa Escola da Rede Pública de Monteiro-PB,

com alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental. Como afirma Ponte ( 2006, p.2):

Um estudo de caso pode ser caracterizado como um estudo de uma entidade bem

definida como um programa, uma instituição, um sistema educativo, uma pessoa ou

uma unidade social. Visa conhecer em profundidade o seu “como” e os seus “

porquês” evidenciando a sua unidade e identidade próprias.

Análise dos dados

Bogdan e Biklen (1994) enfatizam que a análise de dados é o processo de busca e de

organização sistemática de transcrições de entrevistas, de notas de campo e de outros

materiais que foram sendo acumulados, com o objetivo de aumentar a sua própria


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compreensão desses mesmos materiais e de lhe permitir apresentar aos outros aquilo que

encontrou. Procurei, para cada caso, com base nos dados coletados, elaborar um relato

descritivo que seguiu os seguintes pontos: (i) apresentação dos futuros professores de

Matemática (percurso profissional, relação com a formulação e resolução de problemas

matemáticos, relação dos futuros professores com o conteúdo Frações, Reflexão sobre a

Prática). Na análise procurei estabelecer relações entre os dados pertencentes às diferentes

categorias como a formulação e resolução de problemas, Estágio Supervisionado, frações,

estratégias e a reflexão sobre a prática.

Instrumentos e categorias de análise

No presente estudo, as técnicas de coleta de dados foram a observação, a entrevista e a

reflexão sobre a prática a partir da formulação e resolução de problemas matemáticos no

estudo de frações relacionadas a situações do cotidiano utilizando materiais manipuláveis.

A observação proporciona ao observador uma aproximação das expectativas e interesses dos

envolvidos na pesquisa, pois é uma oportunidade de vivenciarmos de perto as experiências

que os futuros professores de Matemática atuam em sala de aula.

Nesta pesquisa, temos como objeto de investigação o estudo de caso dos dois futuros

professores de Matemática. Nesta Comunicação Breve focamos apenas no Caso Rodrigo.

Procuramos observar como o futuro professor de Matemática trabalhava a formulação e

resolução de problemas matemáticos na sala de aula, as etapas que as formulações e

resoluções de problemas matemáticos foram cumpridas pelos alunos nas quatro aulas

ministradas pelo futuro professor de Matemática e como refletia sobre a prática.

Os momentos de observação foram calendarizados com os dois futuros professores de

Matemática. Na observação das aulas utilizamos gravações de áudio, fotografias e notas de

campo referentes a cada aula observada, que também foram fontes de evidencia para a escrita

do caso.

Quanto às categorias de análise, Bogdan e Bliken (1994) sugerem que seja iniciado a partir

da categorização dos dados. Essa categorização constitui-se na organização de todos os dados

coletados. Nesse momento o pesquisador passa a analisar as semelhanças e padrões nos

dados, de forma a agrupá-los em categorias.


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Na nossa pesquisa, percebemos que os Dados podiam ser divididos de acordo com sua

natureza: 1. Escolha da profissão e o Estágio Supervisionado a partir das transcrições das

entrevistas; 2. A Relação dos Futuros Professores com o Conteúdo Frações; 3. As Produções

dos alunos nas atividades de formulação e resolução de problemas matemáticos e nas

respostas aos instrumentos; e 4. As reflexões dos futuros professores de Matemática no

Diário de Bordo. Portanto, os dados foram agrupados segundo essas quatro categorias, desde

a Escolha da Profissão e ao Estágio Supervisionado até as anotações realizadas sobre a

reflexão dos futuros professores de Matemática no Diário de Bordo.

Registramos como os futuros professores de Matemática refletem sobre a prática no Estágio

Supervisionado. Nestas reflexões enfatizamos: A Escrita Descritiva; A Reflexão Descritiva;

A Reflexão Dialógica; e A Reflexão Crítica.

Nesta Comunicação Breve focaremos em algumas das reflexões sobre a prática

desenvolvidas pelo futuro profesor de Matemática Rodrigo.

O estudo de caso Rodrigo

A reflexão sobre a prática do futuro professor

Rodrigo como um futuro professor de Matemática, tem observado que é importante os

alunos aprenderem de verdade conteúdos matemáticos e que saibam relacionar ao seu

cotidiano. Ele afirma que a reflexão sobre a prática: ‘É uma etapa fundamental, pois é a partir

da reflexão que podemos fazer uma avaliação de como estamos realizando nosso trabalho e

se realmente os alunos estão sendo beneficiado na sua aprendizagem.” [EFPR, 06 07 13]

Para Rodrigo a reflexão sobre a prática aponta outros olhares sobre o que realmente é

importante ensinar em Matemática para os alunos, e que possa contribuir para um ensino e

aprendizagem de qualidade.

O futuro professor de Matemática utilizou como estratégia uma atividade, a cada encontro,

que pudesse levar os alunos a responderem o que conheciam sobre o conteúdo de frações

para, assim, acionar estratégias que levassem à compreensão e, consequentemente, relacionar

com o conteúdo de Frações, inicialmente ocorreu da seguinte maneira: “Na primeira


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atividade os alunos rapidamente responderam a partir dos questionamentos visto nas aulas

anteriores, eles já conheciam o primeiro momento dos encontros. [RA1 Rodrigo, 11 11 13]

Rodrigo identificou que os alunos já estavam aptos a responderem, no início de cada aula,

aos questionamentos a respeito de quais situações encontramos as frações no nosso cotidiano.

Contudo, a Escrita Descritiva do futuro professor de Matemática nos leva a refletir sobre a

importância do conhecimento prévio na realização do questionamento no início de cada aula.

Os alunos visualizaram e responderam ao que o professor questionava. O futuro professor de

Matemática observou em sua Reflexão Descritiva, que os grupos, em geral, apenas

conseguiram visualizar as melancias inteiras, quando se tratou das metades surgiam

confusões, alguns não conseguiam se expressar matematicamente, apenas falavam

casualmente, que não dava para entender bem.

Desse modo, o futuro professor de Matemática em sua Reflexão Dialógica aponta que os

alunos sentem muita dificuldade em formular os problemas, e quando conseguem não querem

compartilhar com os demais, Rodrigo assume um papel de mediador levando os grupos a

serem desafiados e a perceber que são capazes de formular e resolver os problemas

matemáticos de duas maneiras diferentes.


Rodrigo enfatiza que na reflexão sobre a sua prática, após o termino de cada aula de

Matemática, realizava uma reflexão sobre tudo que ocorria durante a aula em seu Diário de

Bordo. Nesta investigação realizada observou que, quando propôs, em cada inicio de aula,

uma atividade para saber o nível dos alunos e o que sabiam sobre Frações, identificou que

poucos tinham o conhecimento prévio e que as dificuldades surgidas foram inúmeras, pois

não se tratava de alunos com deficiência em aprender Frações (Bertoni, 2009) apenas, mas

alunos com outros problemas de aprendizagem, também dificuldade na escrita, que foi um

dos motivos que mais prejudicou as formulações e resoluções de problemas matemáticos

(Medeiros & Santos, 2007).

Nestas reflexões, Rodrigo pode rever sua prática e utilizar como estratégia a formulação e

resolução de problemas matemáticos, que atendessem todos aqueles alunos que se diziam

incapazes de aprender Matemática.


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As reflexões emergentes na prática letiva de Rodrigo foram a Escrita Descritiva, a Reflexão

Descritiva e a Reflexão Dialógica, e isto sugere uma evolução de sua capacidade relexiva

sobre sua prática letiva (Hatton & Smith, 1995).


Bertoni, N. E. (2009). Pedagogia. Educação e Linguagem Matemática. Frações e Números

Fracionários. Módulo VI. Brasília: UNB.

Bogdan, R.; Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em Educação. Portugal: Porto.

Brown, S., Walter. M. (2005). The art of problem posing. (3ª ed). New York: Routledge.

D’ Ambrósio, B. (2008). A Evolução da Resolução de Problemas no Currículo Matemático.

In Anais do I Seminário em Resolução de Problemas, São Paulo: UNESP.

Hatton, N.; Smith, D. (1995). Reflection in teacher education: towards definition and

implementation. Teaching & Teacher Education, 11, 33-49.

Lorenzato, S. (2009). Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos

manipuláveis. En S. Lorenzato. (Eds) O laboratório de ensino de matemática na formação

de professores, Capítulo 1, pp. 3-37. 2ª ed. Campinas: Autores Associados.

Medeiros, K. M.; Santos, A.J.B. (2007). Uma experiência didática com a formulação de

problemas matemáticos. Zetetiké, 15, 87-118.

Polya, G. (1995). A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência.


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CB-647

ANÁLISIS DE UNA PROPUESTA DIDÁCTICA CENTRADA EN EL PERIODO

PRENUMÉRICO Y LOS CUANTIFICADORES EN EDUCACIÓN INFANTIL

Sara Valero Mejías, María Sotos Serrano

[email protected], [email protected]

UCLM, Facultad de Educación de Albacete (España)

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Modalidad: Comunicación Breve.

Nivel educativo: Inicial (3 a 5 años)

Palabras clave: cuantificadores, periodo prenumérico, Educación Infantil, número.

Resumen

En esta comunicación se analiza una propuesta didáctica basada en recursos lúdico-

manipulativos, desarrollada a través de varias sesiones con niños de tres años, sobre el

trabajo a partir de los cuantificadores, así como una entrevista inicial sobre la adquisición

del número, realizada a diez maestras de Educación Infantil, y varios cuestionarios llevados

a cabo con los participantes antes, durante y tras el desarrollo de la propuesta.

Los resultados obtenidos permitieron comprobar qué conceptos eran asimilados con mayor

facilidad y cuales no, y su análisis confirmó que el trabajo a través de materiales

manipulativos para los alumnos y la indagación en el aula fomentan el aprendizaje eficaz,

duradero y constructivista, así como un alto grado de rendimiento y motivación.

Introducción

Para la adquisición de determinadas nociones lógico-matemáticas será necesario iniciar

acciones didácticas que se ajusten adecuadamente al pensamiento específico del niño, a fin

de consolidar ese proceso constructivo. En este sentido, el concepto de número será uno de

los primeros en adquirirse y por ello el periodo prenumérico será una etapa fundamental para

su formación (Chamorro, 2008). Así se refleja en las competencias contenidas en el

currículum establecido para Educación Infantil (Decreto 67/2007, 2007), entre los que

figuran identificar y utilizar los cuantificadores básicos de cantidad.



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Además, .también se señala que el aprendizaje en Educación Infantil se debe producir a través

de la manipulación, la experimentación, la observación, la comunicación y el lenguaje

(Decreto 88/2009, 2009).

Siguiendo estos criterios, se diseña, implementa y evalúa esta propuesta didáctica para poder

valorar su eficacia.

Contextualización

Para el desarrollo de esta propuesta de intervención en el aula se seleccionaron 20 alumnos

de la primera etapa de Educación Infantil, con edades comprendidas entre los 3 y 4 años,

pertenecientes al Colegio Público "Luis de Mateo" (Casasimarro, Cuenca).

Descripción de la propuesta didáctica

La propuesta está centrada en “El Circo” y permite implementarse durante cualquier fecha

del curso escolar, siempre teniendo en cuenta que se realice antes de empezar a trabajar los

números. Está formada por seis sesiones desarrolladas con una misma estructura que se

abordaron a lo largo de una semana (14 horas lectivas) a través de una serie de actividades

concretas con unos objetivos propios y en las que se utilizaron recursos lúdico-manipulativos

originales (Anexo 1). En cada una de ellas se trabajan diferentes cuantificadores.

Concretamente se centra en la adquisición de los conceptos uno-muchos, nada-todo

(ninguno-todos), más que-menos que, y tantos como.

Objetivos y Metodología

Las preguntas que guiaron esta investigación fueron:

1. ¿En qué medida la propuesta didáctica, diseñada y orientada a la adquisición de los

cuantificadores, es efectiva para promover una mejora en el aprendizaje de los alumnos

de la etapa prenumérica?

2. ¿Es motivador el material didáctico elaborado para trabajar los cuantificadores?

3. ¿Favorece la comprensión de los cuantificadores el material didáctico elaborado?

Para esta investigación se optó por un diseño metodológico que incluye varias técnicas:

- 10 entrevistas abiertas a maestras de Educación Infantil (Anexo 2) antes de la intervención

en el aula.


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- Cuestionario para el alumnado (Anexo 3), realizado en forma de entrevista oral, primero de

manera individual y, posteriormente, comentado de manera grupal.

- Observación participante durante la intervención en el aula.

- Cuestionario (Anexo 4), una vez terminadas las sesiones, realizado oralmente con cada uno

de los alumnos.

- Entrevista final (Anexo 5) a cada uno de los veinte alumnos de forma individual y

oralmente.

Análisis de los resultados

A partir de la realización de las actividades desarrolladas en la propuesta didáctica se fueron

analizando las evidencias que mostraban la resolución de cada una de estas.

Resultados atendiendo a las entrevistas a las maestras

A través de las entrevistas a las maestras de Educación Infantil (Anexo 2) se quisieron

comprobar diversas cuestiones acerca del trabajo con los cuantificadores en el aula. En

cuanto a las respuestas casi todas ellas contestaron de forma similar:

Pregunta Respuesta

Primera Todas coincidieron en que era fundamental introducir el número de forma

progresiva, desde que llegan a Educación Infantil.

Segunda Todas piensan que la etapa prenumérica es importante para la posterior

adquisición del concepto de número.

Tercera Los cuantificadores que suelen trabajar de forma habitual dentro del aula son:

muchos - pocos, más que - menos que, todo - nada y todos – ninguno.

Cuarta

Cinco de ellas coincidieron en que los conceptos que trabajaban primero eran

"más que" y "menos que"; otras dos indicaron que empezaban a trabajar los

cuantificadores "pocos" y "muchos"; dos más dijeron que solían trabajar todos los

cuantificadores en conjunto, por lo que no empezaban con ninguno en concreto;

y la última señaló que los conceptos que trabajaba primero eran "todo" y "nada".

Quinta

Ocho de las diez maestras señalaron que no dedicaban demasiado tiempo al

estudio de los cuantificadores, por lo que no solían realizar muchas actividades en

relación a estos conceptos, y cuando las hacían era a través de fichas. Las dos


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restantes, que coincidían con las más jóvenes, indicaron que solían realizar

actividades en las que se involucrara a los alumnos, pero no empleaban material

para trabajar los cuantificadores.

Resultados atendiendo a la primera pregunta de investigación

Para dar respuesta a la primera pregunta de investigación y con el objetivo de conocer las

ideas previas de los alumnos acerca de los cuantificadores, se facilitó un cuestionario inicial

(Anexo 3) que respondieron de manera individual. Los resultados fueron los siguientes:

Pregunta Cuantificador

trabajado Resultado

Primera Uno

Los alumnos contestaron correctamente, y la mayoría de ellos,

a excepción de dos alumnos, respondieron sin la necesidad de

sacar un dedo para indicar la cantidad.

Segunda Muchos No hubo ningún inconveniente. Todos los alumnos contestaron

diciendo que "había muchas pelotas dentro del recipiente".

Tercera Nada-todo

Diez de los niños tuvieron dificultades para verbalizar la acción,

aunque cinco de ellos consiguieron hacerlo con algo de ayuda.

Los otros cinco no fueron capaces de definir la acción.

Cuarta Todos-

ninguno

Quince de los niños pudieron definir la acción de forma

apropiada. Los cinco restantes fueron capaces de verbalizarla

con algo de ayuda.

Quinta Más que-

menos que

Todos los niños, a excepción de uno, fueron capaces de indicar

en qué montón había más o menos pelotas que en el otro y

verbalizar la acción correctamente.

Sexta Más que-

menos que

Todos los alumnos respondieron correctamente. Dos de ellos

incluso consiguieron contar el número de pelotas que aparecía

en cada viñeta.

Séptima Tantos como Doce de los veinte alumnos tuvieron dificultades para utilizar el

término correctamente, pero con algo de ayuda consiguieron


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definir la acción correctamente. En su lugar empleaban términos

como "igual que aquí" o "la misma cantidad".

Como se puede observar, y a pesar de que los alumnos ya habían trabajado en alguna ocasión

los cuantificadores, presentaron dificultades a la hora de distinguir ciertos conceptos,

especialmente "nada", "todo" y "tantos como".

Por otro lado, durante el trascurso de la propuesta didáctica y a medida que los alumnos iban

avanzando en la resolución de las actividades, la comprensión de los conceptos y la

asimilación de contenidos nuevos era notable en cada uno de ellos. En el cuestionario inicial

se pudieron visualizar las ideas erróneas de los alumnos, de manera que durante la realización

de las actividades se retomaron estas cuestiones para profundizar en los conceptos más

problemáticos. Así, al comenzar a resolver las actividades se pudo observar en cuáles de ellas

se presentaban mayores inconvenientes a la hora de adquirir los objetivos pertinentes.

Presentaron más problemas en las siguientes:

Actividad Concepto Problema

Dos de la

tercera sesión:

¿Tienen

hambre los

animales?

Todo-

nada

Surgieron inconvenientes en cuanto a la verbalización de las

acciones. Había que indicar si el animal se había comido

"todo" o no había dejado "nada". Algunos de los niños

simplemente señalaban que el animal se lo había comido pero

no utilizaban los conceptos.

Tres de la

tercera sesión:

Los personajes

del circo

tienen que

descansar.

Todos-

ninguno

Los niños tuvieron ciertos problemas al realizar la ficha. En

ésta aparecían tres sofás, cada uno de ellos con o sin

personajes del circo, y los niños tenían que colorear "todos"

los personajes del circo y tachar el sillón donde no hubiera

"ninguno". Seis de los veinte niños tuvieron problemas al

realizar la actividad, coloreando o tachando lo que no

correspondía.

Dos de la

cuarta sesión:

Ordena las

viñetas.

Más que-

menos

que

Se trataba de trabajar los conceptos "más que" y "menos que"

ordenando una serie de imágenes en las que aparecían varios

personajes, pero algunos no verbalizaban los conceptos de

forma correcta e intercambiaban las acciones. Una vez que se


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les preguntaba individualmente, con algo de ayuda realizaban

correctamente la actividad.

Tres de la

cuarta sesión:

Uno más y uno

menos.

Más que-

menos

que

Se trataba de realizar una ficha en la que aparecían tres

columnas. En la del medio había distintas viñetas con un

número de objetos determinados, en la de la derecha tenían

que dibujar un objeto menos que en la del medio, y en la de la

izquierda tenían que dibujar un objeto más que en la del

medio. Los alumnos no dibujaron el número de objetos

correctamente, probablemente porque no diferenciaban los

términos "izquierda" y "derecha", porque al indicarles

individualmente dónde tenían que dibujar uno más y uno

menos lo hacían correctamente.

Dos de la

quinta sesión:

El circo.

Tantos

como

Se trataba de colocar tantos alumnos en un lado de la cuerda

como en el otro, sin embargo los niños acababan liándose con

el número de alumnos, seguramente debido a que eran

demasiados. Tras realizar la actividad varias veces

consiguieron entender el concepto.

Tres de la

quinta sesión:

Quiero que...

Tantos

como

Muchos de los niños tuvieron problemas para colocar tantos

personajes en un lado de la pizarra como en el otro, pero tras

repetir las acciones varias veces fueron capaces de realizarlo

sin ningún problema.

Para finalizar se facilitó un cuestionario individual final (Anexo 4) a los alumnos, con el

objetivo de visualizar qué ideas previas (erróneas) se habían modificado tras la realización

de actividades, qué contenido se había comprendido y qué conceptos habían sido asimilados.

Tras su realización se pudo observar un gran cambio positivo en cuanto a la comprensión de

los cuantificadores trabajados durante la propuesta didáctica. Ninguno de los veinte alumnos

tuvo ningún problema a la hora de resolver las cuestiones. Todos conocían los cuantificadores

y los utilizaban correctamente.

Resultados atendiendo a la segunda pregunta de investigación


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Tras el desarrollo de las actividades surgió la idea de comprobar si el material elaborado fue

efectivo a la hora de abordar el aprendizaje de los cuantificadores. Para ello se desarrolló una

entrevista individual (Anexo 5) con cada uno de los veinte alumnos. Los resultados fueron

los siguientes:

Pregunta Respuesta

Primera

Dieciocho de los veinte niños coincidieron en que preferían realizar actividades

más activas, en las que pudieran participar e interaccionar con el resto de sus

compañeros. Los otros dos niños respondieron que sí les gustaba trabajar y

aprender a través de fichas.

Segunda Todos coincidían en que les había gustado trabajar junto al resto de compañeros,

ya que les resultaba más divertido.

Tercera Todos los alumnos dijeron que les resultaba mucho más divertido trabajar a

través de materiales.

Cuarta

Diecisiete de los veinte alumnos pudieron retransmitir todos los conceptos que

se habían trabajado en clase explicando las actividades que habíamos realizado.

Fueron enumerándolas según las recordaban e indicando qué habían aprendido

en cada una. Los tres alumnos restantes recordaban algunas de las actividades

que más les habían llamado la atención, sin embargo había algunas que no sabían

explicar con total claridad.

Quinta La mayoría de los alumnos coincidieron en que las actividades que más les

habían gustado eran aquellas que habían realizado de forma grupal.

Resultados atendiendo a la tercera pregunta de investigación

La última pregunta a la que se quiso dar respuesta iba de la mano de las dos cuestiones

anteriores: ¿Favorece la comprensión de los cuantificadores el material didáctico elaborado?

Para responderla se tuvieron en cuenta dos puntos: Por un lado, el cuestionario final (Anexo

4), a partir del cual se pudo comprobar que los niños habían adquirido los conceptos que se

querían trabajar; y, por otro, la entrevista final (Anexo 5), a través de la cual se pudo ver el

grado de satisfacción de los alumnos en cuanto al aprendizaje de los cuantificadores a partir

de material didáctico.


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Tras ver los resultados se pudo comprobar que el material didáctico había ayudado a la

comprensión de los términos. El resultado fue altamente satisfactorio, ya que, en primer

lugar, el interés, la motivación y la iniciativa de todos y cada uno de los alumnos fue notable

en todo momento, y, en segundo lugar, los alumnos pudieron interactuar con el material y

manipularlo, de modo que participaban de forma activa en el desarrollo de las actividades.


Chamorro, M. (2008). Didáctica de las Matemáticas para Educación Infantil. Madrid:

Pearson Educación.

Decreto 67/2007, de 29-05-2007, por el que se establece y ordena el currículo del segundo

ciclo de la Educación Infantil en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha. Diario

Oficial de Castilla-La Mancha, Santiago, Toledo, 1 de junio de 2007.

Decreto 88/2009, de 07/07/2009, por el que se determinan los contenidos educativos del

primer ciclo de la Educación Infantil y se establecen los requisitos básicos que deben cumplir

los centros que lo impartan en la Comunidad Autónoma de Castilla-La Mancha. Diario

Oficial de Castilla-La Mancha, Santiago, Toledo, 10 de julio de 2009.

Anexo 1


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Anexo 2

Maestra

Años de

docencia

Centro en el que trabaja actualmente

Universidad en la

que estudió

Número 1 3 C.E.I.P. Luis de Mateo (Casasimarro, Cuenca) Cuenca

Número 2 4 C.E.I.P. Paula Soler (Quintanar del Rey,

Cuenca)

Albacete

Número 3 14 C.E.I.P. Luis de Mateo (Casasimarro, Cuenca) Albacete

Número 4 15 C.E.I.P. Luis de Mateo (Casasimarro, Cuenca) Albacete


Cuenca)

Albacete


Cuenca)

Madrid


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Número 7 20 C.E.I.P. Valdemembra (Quintanar del Rey,

Cuenca)

Albacete


Cuenca)

Madrid


Cuenca)

Albacete

Número

10

31 C.E.I.P. Valdemembra (Quintanar del Rey,

Cuenca)

Albacete

Anexo 3

CUESTIONARIO INICIAL

1. ¿Cuántas pelotas tengo en la mano? (Sólo una)

2. ¿Cuántas pelotas hay dentro del recipiente? (Muchas)

3. Enseñamos al alumno un plato lleno de comida y un muñeco y le preguntamos:

- ¿Cuánto ha comido el muñeco? (A lo que tendrá que responder "nada" o "todo"

dependiendo de lo que éste haya hecho).

4. Enseñamos un recipiente lleno de caramelos y el mismo muñeco y le preguntamos:

- ¿Cuánto ha comido el muñeco? (A lo que responderá "todos los caramelos" o "ninguno"

dependiendo de la acción desarrollada).

5. Mostramos al alumno dos montones de pelotas, cada uno con más o menos que el otro,

y le preguntamos:

- ¿Dónde hay más pelotas?

- ¿Dónde hay menos pelotas?

Preguntas formuladas a las maestras

1. ¿Cuándo consideras que es el momento de introducir el concepto de número?

2. ¿Consideras importante el periodo prenumérico para la posterior adquisición del concepto de

número?

3. ¿Qué cuantificadores sueles trabajar habitualmente dentro del aula con tus alumnos?

4. ¿Cuáles son los cuantificadores que introduces primero?

5. ¿Qué tipo de actividades llevas a cabo en el aula para trabajar los cuantificadores?


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6. Enseñamos al niño una secuencia de viñetas cada una de las cuales tendrá un número

determinado de pelotas y le pedimos que las ordene de mayor cantidad a menor y

viceversa (será necesario que verbalice las acciones que vaya realizando).

- Ordena las viñetas de mayor cantidad de pelotas a menor cantidad (A lo que responderá:

"en esta viñeta hay más pelotas que en esta otra" o "en esta viñeta hay menos pelotas que

en esta otra".

7. Enseñaremos al niño dos montones con la misma cantidad de caramelos y les

preguntaremos:

- ¿Dónde hay más caramelos? / ¿Dónde hay menos caramelos?

Los niños tendrán que averiguar que hay tantos caramelos en un montón como en el otro y

verbalizar la acción.

Anexo 4

CUESTIONARIO FINAL

1. Enseñamos al niño una secuencia de viñetas cada una de las cuales tendrá un número

determinado de payasos y le pedimos que las ordene de mayor cantidad a menor y

viceversa (será necesario que verbalice las acciones que vaya realizando).

- Ordena las viñetas de mayor cantidad de payasos a menor cantidad (A lo que

responderá: "en esta viñeta hay más payasos que en esta otra" o "en esta viñeta hay menos

payasos que en esta otra".

2. Enseñaremos al niño dos montones con la misma cantidad de monos y les

preguntaremos:

- ¿Dónde hay más monos? / ¿Dónde hay menos monos?

Los niños tendrán que averiguar que hay tantos monos en un montón como en el otro y

verbalizar la acción.

3. Enseñamos al alumno un plato lleno de comida y un mago y le preguntamos:

- ¿Cuánto ha comido el mago? (A lo que tendrá que responder "nada" o "todo"

dependiendo de lo que éste haya hecho).

4. Enseñamos un recipiente lleno de caramelos y un león y le preguntamos:

- ¿Cuántos caramelos ha comido el león? (A lo que responderá "todos los caramelos" o

"ninguno" dependiendo de la acción desarrollada).


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5. Mostramos al alumno dos montones de elefantes, cada uno con más o menos que el

otro, y le preguntamos:

- ¿Dónde hay más elefantes?

- ¿Dónde hay menos elefantes?

6. ¿Cuántos payasos tengo en la mano? (Sólo uno)

7. ¿Cuántos personajes del circo hay dentro del recipiente? (Muchos)

Anexo 5

ENTREVISTA

¿Te gusta realizar fichas para aprender nuevos conceptos?

¿Te lo has pasado bien realizando actividades grupales?

¿Te resulta más divertido trabajar con material (personajes del circo y de más materiales)

o a través de fichas?

¿Te acuerdas de los conceptos que hemos trabajado en la clase?

¿Cuáles son las actividades que más te han gustado?


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CB-648

PROBLEMAS DESCRIPTIVOS CLÁSICOS DE FRACCIONES: EL CASO DE

VACIAR Y REPONER12.

Maria T. Sanz - Bernardo Gómez


Universidad de Valencia

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas.

Modalidad: CB.

Nivel educativo: Educación Primaria.

Palabras clave: métodos aritméticos, libro de texto, métodos algebraicos, historia de las

matemáticas.

Resumen En el marco del estudio histórico-epistemológico sobre los problemas clásicos descriptivos

de fracciones se muestran en este trabajo los métodos de resolución presentes en los libros

de texto históricos para el caso de los problemas con todo desconocido y en los que se realiza

una acción y tras esta su opuesta. El recorrido de este problema a través de los libros de

texto históricos ha hecho emerge métodos de resolución propios de cada época y que en la

actualidad han caído en el olvido.

Introducción.

La resolución de problemas ha cobrado especial interés en los últimos tiempos, tanto es así

que se ve reflejado explícitamente en el currículo básico de la Educación Primaria española

(Real Decreto 126/2014, p. 19386) el cual establece la resolución de problemas como uno de

los ejes principales de la actividad matemática.

El método de resolución por excelencia en el sistema escolar actual es el método algebraico

cuya descripción realiza Descartes (1701) (Regulæ ad directionem ingenii (Reglas para la

dirección del espíritu)) y dónde se explica qué hacer para traducir un problema del lenguaje

literal al lenguaje simbólico. Esta prevalencia ha provocado que métodos aritméticos hayan

ido desapareciendo y que los discentes carezcan del conocimiento de los métodos

tradicionales, como por ejemplo el método inverso o el método de falsa posición, e incluso

la confusión por parte de muchos de creer resolver por método algebraico un problema

12

Este trabajo ha contado con apoyo del Ministerio de Educación de España a través del proyecto EDU2015-

69731-R (MINECO / FEDER) y por la Conselleria d'Educació, Investigació, Cultura i Esport a través del

proyecto GVPROMETEO2016-143




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cuando en realidad lo que realizan es una resolución aritmética con uso de lenguaje

algebraico.

El proceso de resolución de problemas no debe estar basado únicamente en esquemas,

algoritmos o rutinas, sino que el resolutor debe ver en cada problema algo más que un

ejercicio de aplicación y práctica, es decir que la resolución le debe permitir aumentar su

conocimiento matemático (Puig, 2003).

El objetivo general de nuestra investigación es recuperar y poner en conocimiento los

diferentes métodos de resolución utilizados a lo largo de la historia a través de un estudio

histórico-epistemológico sobre los problemas clásicos descriptivos de fracciones (Gómez,

Sanz y Huerta, 2016). Para ello consideramos necesario estudiar las diferentes lecturas

analíticas de los mismos, es decir, observar qué relaciones y cómo se establecen estas

relaciones entre las cantidades de un problema.

Debido a las limitaciones de tiempo y espacio propias de los congresos, en este documento

limitamos el estudio a los métodos de resolución utilizados a lo largo de la historia de un tipo

de problema descriptivo de fracciones que nosotros lo hemos bautizado con el nombre de

problemas de Acciones Opuestas, el siguiente ejemplo sirve para ilustrar sus características

superficiales:

La botella. Cuando durante la primavera fui de excursión me llevé una botella de

vino. Al llegar a una taberna dupliqué el contenido de la botella y me bebí 1 9⁄10

dou en la taberna. Tras visitar cuatro tabernas mi botella quedó vacía. Permíteme

que te pregunte: ¿cuánto vino tenía al principio de la excursión? (Swetz, 2014,

p.95).

Características de los problemas de Acciones Opuestas

En relación con los aspectos superficiales (de superficie) de este tipo de problema se observa

un contexto en el que están presentes una acción y su opuesta, las cuales, en el caso del

ejemplo, viene dadas por los verbos, llenar y beber. Otros ejemplos encontrados en los

diferentes libros de texto estudiados las acciones opuestas se manifiestan con otros verbos,

como por ejemplo: : a) subir y bajar, b) vaciar y reponer, c) ganar y perder, d) dar y quitar,

e) pedir y pagar, f) gastar e ingresar o g) ofrecer y devolver.

En cuanto a las características estructurales, se identifica un todo o cantidad total que es

desconocido y unas partes que están relacionadas entre sí. La relación entre las partes se


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realiza a través del complemento aditivo, es decir, tras realizar una primera acción, la segunda

acción se relaciona con lo que ha quedado de la primera, a través del complemento aditivo.

Esta relación se presenta explícitamente o implícitamente con el sintagma “de lo que queda”.

Este tipo de problemas aparecen de modo recurrente en los libros de texto desde tiempo

inmemorial. Swetz (2014) cita como versión más antigua de estos problemas el problema de

La botella, quién lo enmarca dentro de los 247 problemas del Jiuzhang Suanshu de la

matemática china (Los nueve capítulos del arte matemático, 100 d. C. (Shen, Crossley y Lun,

1999)). En Occidente, aparece por primera vez en el Liber abaci de Fibonacci (1202) dónde

se introducen los métodos de la matemática islámica. Más adelante, con la introducción de

la imprenta, aparece en multitud de libros de aritmética comercial y álgebras primitivas, como

por ejemplo, en la aritmética de Silíceo (1514) o en el álgebra sincopada de Aurel (1552).

Versiones de estos problemas están presentes en los textos de la matemática recreativa, como

los de Ozanam (1692/1778) o Vinot (1860). También aparecen en los textos de matemáticos

de principios del s. XIX, como Vallejo (1841) o Peacock (1842).

Por último, también se encuentran en las colecciones de problemas escolares, como son los

textos de Álvarez (1936), Bruño (1940) o Dalmau (1943),

Métodos de Resolución a lo largo de la Historia.

Un método aritmético habitual, felizmente aplicado a este tipo de problemas, es el método

inverso, consiste en empezar por el valor o cantidad final y a partir de aquí seguir de atrás

hacia delante realizando las operaciones inversas de las que en el enunciado se da cuenta. El

siguiente ejemplo da cuenta del método:

El ladrón. Un ladrón entró en un palacio donde encontró una caja llena de

ducados; tras cogerla intentó escapar; pero fue cogido por un portero del palacio,

al que ofreció la mitad de los ducados con tal de que le dejara escapar; pero el

portero, en cierta forma compadecido, le devolvió los 80 ducados de lo que el

ladrón le había dado y le dejó ir. Poco después es sorprendido por otro portero del

palacio al cuál le ofreció también la mitad de los ducados que le quedaban; cuando

el portero recibió esta cantidad, fue también generoso y de la suma recibida

devolvió al ladrón 50 ducados. Por último, es cogido por un tercer portero del

palacio, al cual ofrece la mitad de los ducados que llevaba en el saco, cantidad de


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la que el portero a su vez, le devolvió 24; al final el ladrón sale del palacio con 200

ducados en el saco. ¿Cuántos ducados había en el saco al principio?

Solución. De los 200 ducados que hay al final se restan 24, que le devolvió el tercer

portero; el resto es 176; esto se multiplica por 2 y tenemos 352; de aquí se restan

los 50 que le devolvió el segundo portero y quedan 302; esto se multiplica por 2 y

tenemos 604; de aquí se quitan los 80 que le devolvió el primer portero y el resto es

524; esto se multiplica por 2 y tenemos 1048, que es el número de ducados iniciales

(Silíceo, 1514, p. 263)

Métodos algebraicos primitivos para resolver este tipo de problemas, se encuentran ya en el

álgebra sincopada de Aurel (1552). Este autor resuelve el problema del mercader, en los

siguientes términos:

Nota: el signo cósico utilizado por el autor se ha traducido en este trabajo por la letra x,

El mercader. Un mercader va a tres ferias, en la primera gana la mitad de los

ducados que tiene y gasta 6 ducados, en la segunda gana la tercia parte de los que

trae y gasta cuatros ducados, en la tercera gana la cuarta parte de lo que trae, y

gasta dos ducados. A la fin, halla tener 13 ducados más de los que primero sacó de

su casa. Demando ¿con cuántos entró en la primera feria?

Solución. Pongo que entró con x ducados, gana su 1

2 más que es

1

2𝑥 y tendrá 1

1

2𝑥.

Gasta 6 ducados. Entra en la segunda feria con 11

2𝑥 − 6, en la cual gana su tercia

parte que es 1

2𝑥 − 2, será cabal y ganancia 2x-8 la suma de lo que trae y gana,

de los cuales gasta cuatro ducados. Entra en la tercera feria con 2x-12, en la cual

gana su 1

4, que es

1

2𝑥 − 3, será cabal y ganancia 2

1

2𝑥 − 15, de los cuales gasta dos

ducados. Quédanle tornando a su casa 21

2𝑥 − 17, serán iguales a x+13 con los

que dice que a la postre se halló. Iguala, junta los números y quita x de x y

quedarán 30 iguales a 11

2𝑥. Parte y vendrá x a valer 20. Con tantos ducados entró

en la primera feria (Aurel, 1552, fo. 85)

Pero la aparición del álgebra no hace que los métodos aritméticos caigan en desuso, sino que

se siguen poniendo en valor. Así lo evidencia el siguiente ejemplo tomado de Ozanam

(1692/1778), donde se utiliza el método directo para obtener la solución.


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El somelier infiel. Un somelier infiel, cada vez que va a la cava roba una pinta de

un tonel particular que contiene 100 pintas, y la reemplaza por una igual de agua.

Después de un tiempo, por ejemplo, 30 días, se descubre su bribonería, y lo cazan.

Pero se pregunta cuál es la cantidad de vino que ha cogido, y qué queda en el tonel.

Solución. Como cada vez tiene el cuidado de rellenar exactamente el tonel de 100

litros, está claro que quita cada vez, al coger 1 litro, 1/100 de lo que hay de vino y

1/100 de lo que hay de agua en el tonel; queda pues cada vez en el tonel los 99/100

del vino que contenía antes de que el somelier cogiera su litro. Por consecuencia,

quedaron la 1ª vez los 99/100, de 100 litros, la 2ª vez los 99/100 de 99/100 de 100

litros o los 992/1002 de 100 litros, la 3ª vez los …, y en fin la 30ª vez quedaron los

9930/10030 de 100 litros o 9930/10019 de litro=73 litros 97 centil. En consecuencia,

el agua introducida fue 26 lit. 03 centil. En vez de calcular la fracción 9930/10019

por logaritmos o directamente, lo que sería muy largo, se puede buscar

sucesivamente cuanto quedará de agua cada día después de hacha la mezcla.

(Ozanam, 1692/1778, p. 212).

Con la aparición del álgebra simbólica, el método algebraico se consolida en su forma

canónica actual. La aplicación de este método al problema que nos ocupa, adquiere el aspecto

que queda reflejado en el siguiente ejemplo tomado de Peacock (1842).

El jugador. Un jugador pierde la mitad de su dinero, y luego gana 6 ch.: después

pierde un tercio de lo que le queda, y luego gana 12 ch.; finalmente pierde un cuarto

de lo que le queda, y halla que le quedan dos guineas: ¿qué suma tenía al principio?

Solución. Las unidades, con que el jugador gana y pierde están en chelines, de las

que le quedaron 42. Expresemos con x el número de chelines que tenía al principio,

y simbolizamos las condiciones que se presentan en el problema. Su primera

pérdida es 𝑥

2 , le quedan 𝑥 −

𝑥

2 , o

𝑥

2, tras lo cual gana 6 ch., que suma a

𝑥

2, lo que

da 𝑥

2+ 6, que es el dinero que posee al final de su primera aventura; a continuación

pierde un tercio de 𝑥

2+ 6, que es

𝑥

6+ 2 , y que restado de

𝑥

2+ 6, deja

𝑥

2+ 6 −

𝑥

6− 2

, o 𝑥

3+ 4, después de esto gana 12 ch. que suma a

𝑥

3+ 4 , hacen

𝑥

3+ 4 + 12 , o

𝑥

3+

16, que es el dinero que posee al final de su segunda aventura, ahora pierde un


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cuarto de 𝑥

3+ 16, o

𝑥

12+ 4, que resta de

𝑥

3+ 16, deja

𝑥

3+ 16 −

𝑥

12− 4, o

𝑥

4+ 12 lo

que por las condiciones del problema es igual a 42, consecuentemente: 𝑥

4+ 12 =

42,𝑥

4= 30, 𝑥 = 120 , que es la cantidad que tenía al principio (Peacock, 1842, p.

252).

No obstante, en la aritmética escolar se siguen utilizando los métodos aritméticos, este es el

caso, por ejemplo, de los textos de Dalmau (1943), quien aplica el método directo en el

problema de La vasija.

La vasija. Se tiene una vasija llena de agua de mar, se derraman los 2/9 del

contenido, y se hecha agua potable hasta llenarla de nuevo; se decanta la vasija

derramando los 4/7 del contenido; vuelve a llenarse de agua potable, y se

derraman, de nuevo los 5/6 del líquido contenido. ¿Qué cantidad de agua de mar

queda en la vasija?

Solución. Al derramarse los 2/9 quedan en la vasija 7/9 del agua de mar. Al

derramarse los 4/7, salen de la vasija los 4/7 de 7/9 del agua de mar, esto es

4/7x7/9=28/63; luego quedan en la vasija 7/9-28/63=1/3 de la cantidad primera de

agua de mar. Al derramarse los 5/6, salen de la vasija los 5/6 de 1/3, esto es 5/18,

y quedando en ella, 1/3-5/18=1/18 (Dalmau, 1943, p. 176).

En cambio, en Álvarez (1936), en su problema El bebedor, hace uso del lenguaje algebraico,

pero la resolución que plantea no es a través del método algebraico ya que no existe la

igualación de dos expresiones de la misma cantidad,

El bebedor. Una persona llena un vaso de vino puro y bebe ¼. Vuelve a llenarlo de

agua y bebe 1/3. Lo llena por segunda vez de agua y bebe ½. ¿Qué vino puro le

queda por beber?

Solución. Cantidad inicial de vino puro = x, equivale a todo el recipiente

Al agua la llamaremos y

Primera extracción = 1/4 de x = x/4

Queda = ¾ de x = 3x/4 es vino

Añadimos agua = ¼ de x = x/4 es agua

Segunda extracción = 1/3 de (¾ de x+¼ de x) = 1/4 de x + 1/12 de x = x/4+x/12,

son sustancias diferentes x/4 corresponde al vino bebido, x/12 al agua bebida


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Queda de vino = 2/4 de x = 2x/4 es vino

Queda de agua = 1/6 de x = x/6 es agua

Por tanto en el vaso tenemos una cantidad de líquido, 2/3 de x

Añadimos agua = 1/3 de x = x/3

Así tenemos de vino 2/4 de x, tenemos de agua x/2,

Tercera extracción = 1/2 de (2/4 de x + ½ de x) = ¼ de x + ¼ de x = x/4 + x/4,

nuevamente son sustancias diferentes x/4 corresponde al vino bebido, x/4 al agua

bebida

Queda = 1/4 de x = x/4 de vino

Queda = ¼ de x = x/4 de agua (Álvarez, 1936, p. 60).

Conclusiones y Líneas Futuras

En este trabajo se ha dado cuenta de los métodos de resolución utilizados a lo largo de la

historia para resolver un tipo de problema descriptivo de fracciones con todo conocido y

partes relacionadas entre sí a través del complemento aditivo, cuyo enunciado emana una

característica común, la de realizar una acción y tras esta su opuesta.

Se observa que a pesar de la introducción del álgebra sincopada (s. XVI) y del álgebra

simbólica (s. XIX), los métodos de resolución aritméticos (método inverso o directo) están

muy presentes en los libros de textos históricos e incluso en la matemática escolar de primera

mitad del s. XX.

Actualmente, el método de resolución por antonomasia es el algebraico y parece haber caído

en el olvido todo método aritmético. Esta investigación tiene como reto el potenciar la

resolución de problemas como una competencia básica, tal y como propone el currículo

actual. Así como mantener viva la riqueza de conocimientos a través de los diferentes

métodos de resolución que la historia nos muestra.

Finalmente, como línea futura, mostrar, a través de un proceso de enseñanza y el

correspondiente análisis de la evolución de aprendizaje, como los problemas descriptivos de

fracciones, son fuente de conocimiento por sí mismos y no como ejercicios de aplicación y

práctica.

Bibliografía.


ISBN 978-84-945722-3-4

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Vallejo, José M. (1841). Tratado Elemental de Matemáticas, escrito de orden de S. M. para

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1813)

Vinot, J. (1860) Récréations mathématiques. Paris: Larousse et Boyer.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-649

AÇÕES DE INSUBORDINAÇÃO CRIATIVA NARRADAS POR PROFESSORES

AO ENSINAR PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

Celi Espasandin Lopes

[email protected]

Universidade Cruzeiro do Sul e Universidade Cidade de São Paulo – Brasil

Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas

Modalidade: Comunicação Breve

Nível educativo: Formação do Professorado em particular

Palavras-chave: Pesquisa Narrativa, Insubordinação Criativa, Educação Estatística,

Desenvolvimento profissional do professor.

Resumo Esta comunicação tem o objetivo de socializar análises de narrativas, identificando ações

insubordinadas reveladas por professores que ensinam matemática e discutir como essas

atitudes, incorporadas à prática docente, contribuíram para a efetivação do ensino de

probabilidade e estatística em suas aulas de matemática no Ensino Fundamental. O termo

“insubordinação criativa” refere-se às quebras de regras que profissionais assumem, ao

buscar proteger aqueles a quem prestam serviços e possibilitar a eles melhores condições.

Concebe-se a experiência como pessoal e social, e discutem-se as ações de insubordinação

criativa a partir das imagens que o professor cria e narra sobre suas práticas. Trata-se de

uma pesquisa (auto)biográfica que toma as narrativas de si como práticas de formação e

autoformação, visando investigar a reflexividade autobiográfica e suas repercussões nos

processos de constituição da subjetividade e da inserção social do sujeito. Realizou-se uma

análise holística que evidenciou aspectos da prática docente essenciais para uma efetiva

Educação Estatística. Os resultados evidenciam que os professores foram subversivamente

responsáveis, ao se contrapor ao currículo prescrito, à organização do espaço escolar e ao

processo avaliativo centrado em provas e testes. Eles criaram atividades que promoveram a

aprendizagem de conceitos e procedimentos probabilísticos e estatísticos por meio de

projetos investigativos.

Introdução

Neste artigo discutimos narrativas de professores que ensinam Matemática para crianças com

idades entre 7 e 14 anos. Buscamos identificar ações insubordinadas reconhecidas e narradas

por esses professores, ao socializarem suas práticas relacionadas ao ensino e à aprendizagem

de probabilidade e estatística.


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Esses professores atuam em escolas públicas e privadas do interior de São Paulo e são

participantes do Grupo de Investigação e Formação Estatística – GIFEM – coordenado pela

autora do texto. A participação neste grupo consiste em um investimento pessoal de cada

membro em seu desenvolvimento profissional, pois o grupo vem desenvolvendo trabalho

voluntário e colaborativo desde 2012.

Insubordinação Criativa

O conceito de insubordinação criativa surgiu nas pesquisas em educação no final da década

de 1970. Crowson (1989) considera que suas observações sobre a arte da insubordinação

criativa resultaram do trabalho de campo nas escolas públicas de Chicago nessa época. A

investigação etnográfica que ele realizou sobre a vida profissional de diretores dessas escolas

evidenciou quebra de regras generalizadas e violações de diretrizes que ele e sua equipe

rotularam “insubordinação criativa”. O autor considera que o comportamento desobediente

observado parecia, em geral, ser benigno, ao adaptar uma diretriz geral às condições locais.

Os diretores tinham atos de insubordinação para diluir os efeitos desumanizantes de ordens

autoritárias e impessoais. Um exercício autônomo da profissão requer não causar problemas

aos seus subordinados e ter percepção sobre a não familiaridade das instâncias superiores

com a realidade da escolar (Crowson e Morris, 1985).

Nessa mesma perspectiva, Keedy (1992) utilizou a insubordinação criativa, ao investigar a

gestão de quatro diretores de escola secundária que, para criar melhores oportunidades para

suas comunidades escolares, assumiram atitudes de contraposição a ordens superiores.

Essas pesquisas impulsionaram uma nova visão do papel do diretor, que passou de um

gerente de instrução para um gerente ativo, que se move para fora da burocracia para obter

assistência e recursos. A situação é caracterizada por uma combinação complexa de escola e

comunidade, e a nova autonomia escolar aumentou as demandas para uma gestão mais

produtiva da escola (McPherson & Crowson, 1993)

A insubordinação criativa é um componente da tomada de decisão discricionária. Esse

comportamento geralmente envolve curvar-se ou desobedecer as diretrizes de ordens

superiores, se elas puderem prejudicar os professores e/ou os alunos. São ações que podem

ajudar os gestores a resolver conflitos ocorridos quando políticas, regras e regulamentos não


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fazem sentido para a realidade de cada unidade escolar. Trata-se de uma resposta moral

genuína (Haynes & Licata, 1995).

Na Educação Matemática, segundo D’Ambrosio e Lopes (2014), o conceito de

insubordinação criativa foi discutido inicialmente por Gutiérrez (2013) como um processo

em que os professores encontram lacunas nas políticas ou interpretam regras e/ou

procedimentos, de forma a permitir que defendam estudantes historicamente desatendidos

e/ou marginalizados.

D’Ambrosio e Lopes (2014), baseadas nos estudos de Enfermagem realizados por

Hutchinson (1990), consideraram as ideias de insubordinação criativa como sinônimo de

subversão responsável. Para as autoras, ser subversivamente responsável requer do

profissional assumir-se como ser inconcluso e ter consciência de quando, como e porque agir

em desacordo com procedimentos ou diretrizes estabelecidas. Assim, a insubordinação

criativa se constitui por ações em oposição e de desafio à autoridade estabelecida.

Além de discutir as possibilidades das ações criativamente insubordinadas dos gestores e

professores, D’Ambrosio e Lopes (2015) lançam foco sobre o fazer do pesquisador,

ponderando sobre perspectivas de questionamentos diante de sua produção científica, que

visa à ética e ao comprometimento com a qualidade de vida humana.

Pesquisa (auto)biográfica

Neste estudo os professores participantes da pesquisa narraram suas experiências, atribuindo

sentidos e significados para suas escolhas, como apontam Frison e Veiga Simão (2011). A

narração na forma escrita realizada pelos professores revela saberes práticos construídos a

partir de um trabalho colaborativo em um grupo de estudos e pesquisas.

Bertaux (2010) considera que esse tipo de narrativa pode ser denominado “relato de práticas

profissionais”, por se constituir no fortalecimento das vivências pessoais e dos contextos nos

quais elas se inscrevem. Essa ponderação é complementada por Souza, Passeggi e Vicentini

(2013), ao tomar as narrativas de si como práticas de formação e de autoformação.

Utilizamos tais pressupostos para desvelar indícios de ações de insubordinação criativa por

parte dos professores, ao inserirem probabilidade e estatística em suas aulas. Ao se debruçar

na produção de narrativas orais e escritas, os professores imergem em um processo de

investimento em seu desenvolvimento pessoal e profissional, de maneira que ampliam seus


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conhecimentos, sua capacidade de criação e desenvolvem uma perspectiva crítica sobre seu

trabalho e o de seus pares.

Neste artigo destacamos as narrativas escritas, mas lembramos que as questões apresentadas

pelos professores emergiram primeiro na narrativa oral e depois migraram para a narrativa

escrita. No processo de análise textual discursivo foram considerados como categorias:

contraposição ao currículo prescrito, regras avaliativas e espaço escolar.

Os professores e suas narrativas

Apresentamos a seguir as narrativas dos professores que trazem processos de educação

estatística centrados na formulação de resolução de problemas.

Adriana é mestre em Educação, exerce o magistério há 14 anos, é licenciada em matemática

e cursou três especializações. Ela atua como professora e coordenadora de Matemática.

Leciona em uma escola de zona rural e considera que suas ações de insubordinação se devem

muito a esse fato, pois ela sempre deseja que seus alunos discutam ideias para além do

contexto em que vivem. Por isso, ao pensar o trabalho com investigação estatística, ela

escolheu um tema em destaque nas mídias na época. Tratava-se das Olímpiadas que seriam

realizadas no Brasil. Em sua narrativa ela conta:

Entre os objetivos do projeto estavam: estudar medidas de tendência central; elaborar e

interpretar tabelas e gráficos de barras e setores; realizar uma pesquisa bibliográfica ou uma

pesquisa com coleta de dados; elaborar um questionário e tabular as respostas; interpretar os

resultados e apresentá-los aos colegas; elaborar um cartaz; fazer uma apresentação oral; e

ainda trabalhar algumas funções do Excel, pois vários alunos não têm acesso à informática

fora da escola. ...Com esse projeto, eu e meus alunos nos tornamos ainda mais próximos, pois

nossas aulas se tornaram mais “abertas”, mais “leves”, havia espaço para o diálogo, não

estava tudo padronizado, fomos construindo juntos, e isso mudou nossa relação [destaques

no original]. (Narrativa escrita de Adriana, 2016)

Adriana considera que os alunos “puderam aprender não somente estatística e matemática,

mas aprenderam sobre modalidades de esportes que não conheciam e puderam vivenciar a

realização de jogos que lhes permitiram um diálogo com o mundo esportivo”. Além da

contraposição ao currículo estabelecido, a professora gerou outras possibilidades de

avaliação, ao propor aos alunos a socialização, por meio de apresentação oral e escrita, da

análise que realizaram dos dados por eles construídos. As atividades propostas propiciaram

também que ocupassem o espaço escolar de forma diferenciada: tiveram que adaptar

estruturas físicas para a realização dos jogos, cujos dados seriam analisados.


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Assim como Adriana, Nathália é licenciada em matemática e mestre em Educação. Atua

como professora e coordenadora de matemática. Para ela, o que provoca as ações de

insubordinação criativa é seu “cuidado para que os alunos com dificuldades não se sintam

desestimulados no estudo da matemática”. Como exemplo, ela descreve uma atividade que

rompe com um currículo prescrito, requer a circulação pelo espaço escolar para a realização

de entrevistas e também provoca uma avaliação que rompe com a tradição de provas escritas,

pois o centro é o desenvolvimento do projeto, que permite aos alunos uma autoavaliação

sobre suas aprendizagens. Ela nos conta:

a atividade seria realizada na forma de uma pesquisa de opinião sobre preferência musical e

que os estudantes iriam a campo para coletar os dados. ... A partir das ideias levantadas pelos

estudantes, trabalharíamos alguns conceitos e procedimentos matemáticos e estatísticos

(proporcionalidade, porcentagens, regra de três, média, moda, mediana, gráficos de setores e

de colunas, histograma). ...Os próprios alunos, ao analisarem os gráficos e as conclusões

escritas, perceberam os equívocos cometidos ao lidarem com as respostas de algumas das

perguntas do questionário e entenderam claramente a diferença entre grandezas contínuas e

discretas e entre gráficos de colunas e histogramas. (Narrativa escrita de Nathália, 2016)

Rogério trabalha na mesma escola que Nathália, é licenciado em Matemática e exerce a

profissão há 15 anos. Fez especialização em ensino de matemática e atualmente faz mestrado

na mesma área. Ele percebe sua insubordinação criativa, ao buscar criar as atividades que

desenvolverá com os alunos independentemente do livro didático e do currículo prescrito E

exemplifica essa sua busca com uma atividade elaborada por ele envolvendo o pênalti no

jogo de futebol: a tarefa exigiu o uso do espaço escolar para além da sala de aula, o que é

uma contraposição às regras estabelecidas pela escola onde atua e teve sua avaliação

centralizada no desenvolvimento das atividades, e não em provas e testes sobre o conteúdo

estudado.

Em geral, ouvimos dizer que pênalti é loteria, e quem chuta é aquele que tem o controle da

situação, e o goleiro pouco pode fazer, além de usar os seus reflexos e tentar adivinhar o lado

onde o cobrador irá chutar. 13Robben, jogador do Bayern de Munique, correu e chutou rasteiro

no canto esquerdo, o mesmo que o goleiro Petr Cech escolheu para tentar a defesa, colocando

ainda mais “fogo” naquele fantástico jogo de futebol. Será que o goleiro Petr Cech teve a

sorte de adivinhar onde o jogador Robben decidiu cobrar aquele pênalti?...Perguntei aos

alunos o que poderíamos fazer para desenvolver uma atividade similar ao trabalho feito pelo

goleiro Petr Cech. Eles disseram: “Vamos para a quadra da escola jogar!”. Disse que seria

ótimo, e era isso mesmo que esperava deles. Sugeri que todos fossem para a quadra e

observássemos o comportamento de jogadores de futebol nas cobranças de pênaltis. Assim,

13 Rogério iniciou as atividades com a exposição do vídeo da cobrança de pênaltis no jogo

entre Bayern de Munique e Chelsea, da Inglaterra, em maio de 2012.


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propus que alguns alunos (jogadores) cobrassem os pênaltis, outros defendessem e os demais

observassem onde cada cobrador colocaria a bola em suas cobranças de pênaltis. Anotamos

os nomes daqueles alunos que gostariam de participar das cobranças de pênaltis, dos que

gostariam de ir ao gol e daqueles que apenas registrariam tudo o que foi observado.

...Desenvolver esta atividade na escola permitiu concluir, mais uma vez, que aulas

diferenciadas promovem uma motivação maior tanto no aluno quanto no professor. E revelou

também que, quando o aluno se vê como personagem de sua própria aprendizagem, o

interesse pessoal e o comprometimento na participação das aulas aumentam. Fazer uso de

outros ambientes da escola e de estratégias diferentes das tradicionais estimula maior

interação entre os alunos e entre eles e o professor, e motiva o trabalho em equipe e a

cooperação entre todos. (Narrativa escrita de Rogério, 2016)

Sandra, como Adriana e Nathalia, é mestre em Educação, licenciada em Matemática e

também especialista em ensino de matemática. Como professora nos últimos 14 anos,

considera que sua participação no GIFEM permitiu ousar práticas diferenciadas.

os colegas medem a circunferência da cabeça deles e registram a informação. A professora

faz questionamentos para que analisem a variação presente nos dados, de acordo com as

diferentes medidas, devido à imprecisão no uso do instrumento e ao posicionamento da fita

métrica, ao medir um mesmo “objeto”. Outra proposta foi que cada um registrasse a medida

de sua própria cabeça e também observasse a variação dessas medidas, porém percebendo

que os “objetos” em estudo têm medidas diferentes. O ensino de Estatística com o uso de

dados construídos a partir de informações relativas ao próprio aluno faz com que haja um

maior envolvimento na realização da tarefa. As atividades investigativas relatadas neste texto

evidenciam a necessidade de o professor provocar os alunos, para que eles, além de resolver

problemas, também sejam capazes de problematizar. Desse modo, eles se inserem em um

processo reflexivo sobre o assunto em estudo [destaques no original]. (Narrativa escrita de

Sandra, 2016).

A professora Sandra revela que “o ensino de estatística por meio da investigação permitiu

aos seus alunos maior envolvimento com o processo de aprendizagem”, o que exigiu dela um

rompimento com as diretrizes curriculares. O processo participativo nas aulas alterou a

avaliação, e a interação entre os estudantes para a realização da pesquisa gerou diferenças na

ocupação do espaço escolar.

Sezilia, que também faz parte do GIFEM, trabalha há 11 anos com crianças com idades entre

6 a 10 anos. É formada em Pedagogia, especialista em Psicopedagogia e atualmente cursa o

mestrado em ensino de Matemática. Ela revela:

desenvolvemos este projeto, o qual teve início com a construção de uma lista coletiva das

brincadeiras preferidas pelos alunos. Escrevi todas as brincadeiras na lousa até que uma

criança mencionou futebol e outra, basquete. ...tivemos as três preferidas do 5º ano A:

Paredão, Chute ao Gol e Rouba Bandeira. ...O que julgo mais importante na execução de um

projeto é a flexibilidade. A liberdade para alterar suas etapas durante a execução, respeitando

o processo de ensino e aprendizagem. (Narrativa escrita de Sezilia, 2016)


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Para Sezilia, insubordinar-se criativamente requer “elaborar propostas que desafiem as

crianças a pensar diferente e a criar seus próprios procedimentos”. Ela ousou provocar as

crianças para a realização de um projeto de investigação estatística, ao desconsiderar

qualquer requisito de conhecimento linguístico, matemático e/ou estatístico. Ela rompeu com

as determinações curriculares, permitiu às crianças transitarem e interagirem no espaço

escolar, além de possibilitar que analisassem suas aprendizagens por meio das discussões

sobre as representações e as conclusões dos dados.

Solange exerce a profissão há 31 anos e sempre atuou na docência com crianças com idades

entre 6 e 8 em uma escola da rede privada. Ela sempre investiu em sua formação continuada

e fez especialização em Psicopedagogia e em ensino de Matemática. Atualmente é mestranda

na mesma área. Ela tem o hábito de trabalhar com projetos e atua subversivamente diante do

currículo, sempre em favor do desenvolvimento das crianças. Em sua narrativa ela conta

sobre sua ousadia:

evidencio o uso da Estatística como encorajamento de reflexões que podem levar a mudanças

concretas na realidade dos alunos e das alunas envolvidos, por intermédio da coleta de dados,

das análises e das conclusões realizadas. … Ouvir o que os alunos têm a dizer a respeito do

que sentem e lidar com dados reais, a partir de uma situação-problema, é fundamental para

que o trabalho seja motivador e tenha sentido para eles. Os envolvidos na investigação se

sentem respeitados e valorizados assim que seus “problemas” são analisados e socializados

[destaque no original]. (Narrativa de aula de Solange, 2016)

Apesar de trabalhar com projetos regularmente, a professora se insubordinou diante das

diretrizes curriculares, ao permitir que crianças em fase de alfabetização, lidassem com

diferentes formas de registro para organizar e analisar dados. Ela também alterou o processo

avaliativo, valorizando as argumentações, com criativas representações, apresentadas pelas

crianças no registro das conclusões do projeto. Para lidar com dados reais, os alunos também

tiveram que ocupar o espaço escolar de forma diferenciada.

As narrativas escritas revelam muitos aspectos importantes para o exercício da profissão

docente e, particularmente, trazem múltiplos indícios sobre o objeto de estudo desta pesquisa.


Percebemos que os professores, ao lançarem mão da reflexão sobre suas próprias

experiências, se empoderam para realizar suas próprias buscas e ousar na efetivação de


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práticas pedagógicas diferenciadas. Eles se assumiram como produtores de conhecimento,

ao socializarem suas práticas e foram subversivamente responsáveis, ao se contrapor ao

currículo prescrito, à organização do espaço escolar e ao processo avaliativo centrado em

provas e testes.

A insubordinação criativa dos professores foi legitimada por centrar-se em práticas

profissionais alicerçadas em bases éticas. Ela resultou de um cuidadoso trabalho com análise

de dados e probabilidade, que considerou os contextos interdisciplinares e o uso das

tecnologias. Os professores provocaram seus estudantes a se insubordinarem criativamente,

já que tiveram que lidar com problematizações desafiadoras e interagir amplamente com a

comunidade e o espaço escolar.

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CB-651

REFLEXIONES SOBRE LA VIRTUALIDAD EN LA FORMACIÓN DEL

PROFESORADO EN MATEMÁTICA

María de las Mercedes Moya – Mario Ubaldo Avila


Consejo de Investigaciones de la Universidad Nacional de Salta - Argentina

Núcleo temático: IV. Formación del Profesorado en Matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: 5. Formación y actualización docente

Palabras clave: Matemática, Correo Electrónico, Foros, Facebook,

Resumen Se esbozan reflexiones basadas en experiencias llevadas a cabo con alumnos del

Profesorado en Matemática, en cuanto a las diferentes maneras de comunicarse. Este

análisis es punto de partida para la virtualización de las cátedras de primer y segundo año

de la carrera, objetivo planteado en un Proyecto de Investigación.

Creemos que para “aprender y enseñar” matemática con tecnología, no solo se deben tener

en cuenta los “medios” sino también el Diseño Instruccional (DI) que los acompañen, a fin

de potenciar las posibilidades de un aprendizaje ubicuo.

Se consideran las experiencias realizadas durante diez años, creadas para favorecer la

construcción del conocimiento matemático en forma colaborativa y social, utilizando las

herramientas de comunicación asincrónicas: Correo Electrónico, Foros y Facebook.

Nos atrevemos a decir que al estudiante, a pesar de ser un nativo digital, no le gusta la

virtualidad para aprender matemática. En principio utiliza estos recursos como un medio

social de comunicación, no siendo aprovechados en su potencial para su formación

académica.

A pesar de las debilidades comunicativas que se exponen, consideramos que los resultados

de las experiencias son esperanzadores. Esto nos alienta como docentes-investigadores a

seguir por el camino emprendido, aportando a la formación docente.

Introducción

Las herramientas que nos brinda la Web (y que fueron surgiendo a lo largo de sus distintas

generaciones) modificaron sustancialmente los canales y los hábitos de comunicación. La

Escuela y la formación docente en particular, no quedaron ajenas a esta realidad. Si bien las

políticas públicas educativas en Argentina, con muy buen criterio, dotaron a docentes y

estudiantes de Niveles Primario, Medio y Superior no universitario de una computadora

(modelo 1:1), tal programa (ya extinto) no resultó exitoso a nuestro humilde entender.




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El Proyecto de Investigación N° 2349 denominado “Tecnomatemática: Profesor

Universitario en Matemática”, dependiente del Consejo de Investigaciones de la Universidad

Nacional de Salta (CIUNSa), tiene como uno de sus principales objetivos, la virtualización

de las asignaturas de primer y segundo año de la carrera del Profesorado en Matemática que

se dicta en dicha universidad.

Partiendo de un análisis crítico, se pretende esbozar algunas conclusiones basadas en

experiencias llevadas a cabo con alumnos del Profesorado en Matemática, en cuanto a las

diferentes maneras de comunicarse, atendiendo a los “Medios Tecnológicos” como así

también al lenguaje. Dichas experiencias se llevaron a cabo en la materia Tecnología para la

Educación Matemática (TEM) cátedra de formación docente del Segundo Año de la carrera.

Esto nos lleva a reflexionar que para “aprender y enseñar matemática” con Medios

Tecnológicos, no solo se debe tener en cuenta la existencia “de los medios”, sino también la

de un Diseño Instrucccional (DI) que los acompañen, a fin de potenciar las posibilidades de

un aprendizaje ubicuo con tecnología.

Fundamentación

Para situarnos en el contexto de la formación del Profesor en Matemática, consideramos

conveniente describir brevemente la currícula del Plan de Estudios vigente, teniendo en

cuenta los objetivos del Proyecto de Investigación. En Primer Año, se cursan cuatro materias

de formación matemática y dos de formación pedagógica. En Segundo, cinco materias de

formación matemática, una de formación docente (matemática, pedagogía y tecnología) y

una de formación netamente pedagógica.

Consideramos que no es necesario mencionar los contenidos curriculares mínimos de cada

materia. En base al análisis de los reglamentos de las cátedras, destacamos que se hace

hincapié en la visita a Aulas Virtuales como un criterio de evaluación continua.

Al respecto podemos decir que incorporan un Aula Virtual (Moodle en todos los casos), el

100% de las Cátedras de matemática de Primer Año y el 33,3% de las Cátedras de Segundo

Año. Sorprende el hecho que en las materias pedagógicas no se incorporen herramientas de

extensión del aula, a los fines de nuestra investigación.

Para iniciar, tomamos de referencia el “Efecto Google”, donde se menciona el accionar del

hombre como usuario de la Web, en la cual tiene a mano la información que desea. En tal


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sentido, es importante fomentar en el estudiante (futuro docente) el virtuosismo de asumir

una identidad virtual en la cual, frente a la multiplicidad de información, el usuario es el

soberano. (Manes, 2014)

La idea de virtualizar un aula, no es sólo una cuestión de incorporar computadoras en la clase

para la mediación de contenidos matemáticos, sino más bien implica romper los límites

temporales-espaciales de lo que es el aula, también del dónde, cuándo y con quién los

estudiantes realizan sus aprendizajes. (Burbules, 2008)

Para no caer en una contradicción entre las potencialidades que nos brindan las tecnologías

ubicuas, y los efectos que devengan de su incorporación al aula de matemática, es importante

considerar que tal acción debe realizarse en el marco de un proyecto educativo viable. Se

pueden identificar variables que garantizan el éxito de las acciones formativas en la Red:

contenidos, estrategias didácticas, herramientas de comunicación, modelos de evaluación,

aspectos organizativos, e-actividad, rol del alumno, rol del profesor. (Cabero, 2008)

Entre los diálogos que podemos reconocer en la Red, nos centraremos en: los “Diálogos

Sociales”, caracterizados por la informalidad y la necesidad de compartir asuntos

gratificantes para el usuario; “Diálogos Argumentativos” nacidos desde las lógicas

individuales y caracterizados por la defensa de puntos de vista personales, no necesariamente

confrontados con los de los demás; “Diálogos Pragmáticos” donde se pone en juego el

conocimiento de todos para construir desde distintas miradas, significados de un mismo

hecho. (Moya, 2008)

Experiencias y análisis en distintos espacios virtuales

Se han creado Modelos Instruccionales con el fin de favorecer la construcción de

conocimiento matemático en forma colaborativa y social, utilizando como herramientas de

comunicación asincrónica: Correo Electrónico, Foros (dentro de un Aula Virtual) y Redes

Sociales.

Las actividades para el Correo Electrónico, como para la red social Facebook consistían en:

interactuar con un software matemático; elaborar un informe digital con justificaciones

técnicas, tecnológicas y matemáticas, mostrando aplicaciones del tema matemático en la

cultura y la sociedad; crear un material tangible como corolario de la modelización realizada.


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Dentro del Aula Virtual se utiliza el foro académico. En él, los estudiantes, asumiendo

diferentes roles, discuten temas de interés, centrados principalmente en tópicos referentes a

la enseñanza-aprendizaje de algún tema matemático. El “juego de roles” se piensa en el

marco de un cuadro de situación en el cual se ponen en juego posturas epistemológicas,

pedagógicas y tecnológicas; con una transversalidad histórica que traspasa los límites

temporales y espaciales.

El uso de la red social para el aprendizaje de temas matemáticos, surge como combinación

de las actividades pensadas para el Correo Electrónico con las del foro académico.

A continuación realizaremos un breve análisis de las experiencias llevadas a cabo, con

diferentes medios virtuales.

1. Correo Electrónico.

Desde 2007 a 2012 se utilizó el Correo Electrónico con una metodología denominada

“Cadena de e-mail” con diferentes temas matemáticos. (Moya, 2013). Los objetivos que se

plantearon inicialmente fueron: incentivar el uso de Correo Electrónico en la comunicación

educativa; motivar la búsqueda de recursos para enseñar matemática; lograr la máxima

participación propiciando la colaboración y responsabilidad.

Un Correo Electrónico “es una carta” dirigida a otra persona o grupo de personas. Este

concepto que se explica en el aula, no es entendido por los estudiantes - docentes en muchas

oportunidades. Consideramos importante el buen uso del “Correo Electrónico” que llega a

ser “una carta de presentación profesional”. Este sigue presente en nuestro quehacer docente,

tanto en el envío como en respuesta a notificaciones importantes (concursos, citas a

congresos, turno de exámenes, reuniones de colegas, etc.).

Consideramos que las experiencias fueron exitosas, especialmente en lo que refiere a

conocimiento matemático. Mencionaremos algunos inconvenientes que la propuesta dejó

entrever: a) ausencia de asunto, saludos inicial y final, cuerpo de mensaje, firma (digital o

informal); b) en el documento adjunto, falencias de lenguaje desde el punto de vista

ortográfico, gramatical, como así también en lo que respecta al lenguaje propio de la

matemática; c) dificultad para redactar mensajes teniendo en cuenta los remitentes (1 → 1, 1 →

𝑁, 𝑁 → 1).

Si bien en estos momentos con la tecnología ubicua, la comunicación se desarrolla a través

de mensajes de textos, whatsapp, redes sociales, es importante que el estudiante – docente se


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habitúe a comunicarse de acuerdo a las necesidades y circunstancias, utilizando el medio

adecuado para cada una de ellas.

Puede parecer una trivialidad exponer este tipo de análisis. Sin embargo, consideramos que

es útil teniendo en cuenta que recibimos correos electrónicos de profesionales docentes, en

los cuales los errores que mencionamos se repiten naturalmente. Por ejemplo, el cuerpo del

mensaje contiene un simple “VA” (las Netiquette son desconocidas por los docentes); la

dirección del mail es tan informal que no representa a la identidad profesional del emisor (el

lector ¿reconocería a [email protected] como una profesional?)

El estado del arte actual, considera atemporal el uso educativo del Correo Electrónico, frente

a la multiplicidad de medios y recursos que existen, sin embargo, el mismo posee

características que les son propias y que bien aplicadas pueden ser aprovechadas para brindar

a docentes y estudiantes una correcta alfabetización digital.

2. Foros Académicos

Desde 2007 se trabaja con un Aula Virtual. Al comienzo la plataforma fue Claroline, y luego

se mutó a Moodle, en sus diferentes versiones.

Como se dijo, la mediación en esta actividad virtual, se realiza en un cuadro de situación, con

consignas que dirigen el accionar del alumno (Moya, 2013). Analizar un foro con todas las

intervenciones, resulta imposible en pocas páginas, ya que se obtienen alrededor de 100

mensajes con un promedio de 20 alumnos en debate, en las experiencias desarrolladas.

A lo largo de los años, hemos evidenciado cambios en las formas de comunicación de los

estudiantes en la experiencia de foros académicos. Podemos nombrar características de

debate que a nuestro entender resultan significativas y que algunas fueron migrando de una

generación a otra: a) el diálogo pragmático y argumentativo fue sustituido por el social; b)

monólogo de muchos, entendido como el diálogo aislado del estudiante sin lectura de las

intervenciones anteriores de sus pares; c) sobre el rol que les toca asumir, los estudiantes

pusieron de manifiesto que es una tarea difícil para ellos justificando sus limitaciones en la

participación; d) la consigna no siempre es respondida con argumentos que conlleven a un

aprendizaje matemático y conclusiones (a veces dejada de lado); e) alimentan el debate

adjuntando recursos (producciones propias y/o extraídas de la Web, link de interés,

bibliografía, etc.); f) no se entiende el carácter atemporal de la reunión que se establece en el

cuadro de situación.


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En todos los años, se colocó un alumno virtual como mediador y ayudante del Coordinador

(estudiante o docente). Interviene cuando hay monólogo de muchos, cuando no se sigue la

consigna, cuando el debate se escapa por sendas que no conducen a una conclusión, entre

otras.

Intuimos que esta transformación se debe a la utilización de otras herramientas virtuales, y

la falta de preparación de los estudiantes en el buen uso de las mismas. No menos importante

es la falta de estudio y lectura, que afecta a la comunicación escrita y oral (lecto – escritura).

Las dificultades comunicacionales, también se observan en la actividad presencial del foro

académico, en la cual el estudiante que asumió una identidad virtual, debe ponerla de

manifiesto frente a sus pares “cara a cara”, con una postura docente acorde a las

circunstancias.

En la estructura de un foro académico no solo es necesario el diálogo social, sino también el

que permita mediación de contenidos. En este sentido cuando se lo planifica, la temática

elegida debe brindar una cantidad de soluciones diferentes que supere el número de

estudiantes, a modo de garantizar un debate significativo de ideas.

3. Facebook

En el año 2013, se incorporó la Red Social Facebook a la metodología de la cátedra.

Las actividades pensadas en las experiencias se desarrollaron dentro de un grupo cerrado, a

fin de mantener la privacidad de las conversaciones, evaluar el tipo de diálogo, la cantidad y

calidad de las intervenciones.

La elección de Facebook, como medio para llevar a cabo esta experiencia, se tomó en función

de: la no existencia de límites en cantidad de caracteres para un mensaje y la posibilidad de

adjuntar archivos en distintas extensiones (.docx; .ppt; .pdf; .ggb; etc.) desde lo técnico -

tecnológico. Se tuvieron en cuenta, para fomentar el trabajo colaborativo, las limitaciones en

los Diseños Instruccionales de las experiencias anteriores. Por ejemplo, en la Cadena de Mail

planteada no se brindó a los alumnos la posibilidad de interactuar con sus pares en la

virtualidad, algo que si se logró en el foro académico. Además, en el marco de la

investigación, se quiso analizar la posibilidad de llevar las metodologías que desarrollamos

en el Aula Virtual, a otro medio no institucionalizado como lo es Moodlexa (Plataforma

virtual de la Facultad de Ciencias Exactas).


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Analizando la primera experiencia se reconocieron diálogos sociales, argumentativos y

pragmáticos en las intervenciones de los estudiantes. Los alumnos generaron un espíritu

crítico para valorar el trabajo de sus pares, añadiendo otros comentarios que enriquecían el

contenido de los mensajes, el documento matemático elaborado para tal fin (en distintos

formatos) y la construcción con software. Tales críticas fueron sobre el aspecto matemático,

técnico – tecnológico y pedagógico-didáctico.

Como es natural, prevalece el “me gusta” previo al comentario de la entrada de un

compañero. Dentro de esta primera experiencia con Facebook, se observó el enriquecimiento

del lenguaje matemático y social, la disponibilidad de los estudiantes tal vez ante la novedad

del uso de Facebook como medio de enseñanza - aprendizaje.

Posturas docentes, lenguaje matemático apropiado, construcciones con software

correctamente realizadas, colaboración entre pares, fueron el marco que acompañó a la

instancia presencial de la primera experiencia, superando las expectativas de los docentes.

Las siguientes experiencias tuvieron características diferentes. Se puede decir que al paso de

los años los estudiantes mostraron menor predisposición en el debate crítico de ideas y a la

elaboración de construcciones matemáticas.

El diálogo entre ellos fue decreciendo tanto en el Aula Virtual como en Facebook, incluso en

el diálogo social. Esta situación conlleva al mal uso del lenguaje afectando no solo la

comunicación, sino también el aprendizaje de la matemática.

Algunas reflexiones

Durante diez años se utilizaron diferentes medios virtuales de comunicación asincrónica para

la enseñanza – aprendizaje de la matemática, con diseños instruccionales que consideramos

adecuados para cada medio tecnológico en particular.

Como corolario de estos años de investigación – acción, nos atrevemos a decir que al

estudiante, a pesar de ser un nativo digital, no le gusta la virtualidad para aprender

matemática. En principio utiliza estos recursos como un medio social de comunicación, que

no es aprovechado en su potencial para su formación académica. Le cuesta mucho ser

autodidacta, espera una “orden” del docente. Por ejemplo: cuando la actividad virtual no

forma parte de la evaluación propuesta por el docente, el alumno no hace uso de estos medios


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para aprender; sin una pista cognitiva que le permita desarrollar una actividad virtual para

aprender matemática, se estanca, se anula, se deprime, se estresa.

Estas características actitudinales de nuestros alumnos del profesorado en matemática, con

respecto a la virtualización en matemática, se acentúan y se ponen de manifiesto cada vez

más con paso de los años, esto parece contradictorio frente a los paradigmas que teorizan

acerca del uso de la tecnología. ¿Será que las tecnologías digitales para aprender matemática

no emocionan al estudiante actual?

Conclusiones

Plantear la virtualización de las cátedras de primer y segundo año del Profesorado en

Matemática, es un desafío. Esto nos compromete a buscar estrategias viables que nos

permitan lograr el objetivo propuesto, dentro del Proyecto de Investigación.

Para pensar estas estrategias, será importante identificar necesidades, evaluar prioridades,

fijar objetivos, analizar los recursos con los que se cuentan, etc. Las experiencias descritas,

junto con sus DI son un punto de partida para seguir profundizando hasta llegar a plantear

una propuesta superadora.

Al parecer más medios implican menos comunicación. Sin embargo, es posible lograr

acompañar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática con medios virtuales, y

establecerlo como parte de un todo cotidiano.

Hemos realizado variadas experiencias con distintos temas matemáticos y en distintos

entornos de comunicación, con la intencionalidad de despertar el interés de los estudiantes,

para que se impacte, emocione, sienta curiosidad por aprender, se apasione por los desafíos

intelectuales. De esta manera, creemos que sería posible potenciar las posibilidades de un

aprendizaje ubicuo en matemática.

A pesar de las debilidades comunicativas señaladas, consideramos que los resultados de las

experiencias son esperanzadores. Esto nos alienta como docentes-investigadores a seguir por

el camino emprendido, aportando a la formación docente.



ISBN 978-84-945722-3-4

Burbules, N (2008) Riesgos y promesas de las TIC en la educación.¿Qué hemos aprendido

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Cabero, J.; Román P. (2008) E-Actividades. Un referente básico para la formación en

Internet. Sevilla. MAD S.L.

Manes, F (2014) Usar el cerebro. 4ta ed. Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Planeta.

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Moya, M; Avila, M. (2013) Aula Extendida en la Formación del Profesor en Matemática:

Hacia el Docente 2.0. VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática. Montevideo.

En: http://cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/834.pdf

http://postgrado.info.unlp.edu.ar/Carreras/Especializaciones/Tecnologia_Informatica_Aplicada_en_Educacion/Trabajos_Finales/Moya.pdf

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http://cibem7.semur.edu.uy/7/actas/pdfs/834.pdf


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-652

FORMAÇÃO DO PROFESSOR PESQUISADOR NA PERSPECTIVA

DO TRABALHO DE PESQUISA COLABORATIVO NO PROJETO OBEDUC Abigail Fregni Lins

[email protected]

Universidade Estadual da Paraíba - Brasil


Modalidade: CB


Palavras-chave: Educação Matemática, Professor Pesquisador, Formação Docente,

OBEDUC.

Resumo O ato de pesquisar pode ser um dos recursos para o desenvolvimento profissional do

professor e na formação inicial. Por haver visões do que significa formar um professor

pesquisador, nosso artigo discute alguns resultados obtidos em projeto de pesquisa

vinculado ao Programa Observatório da Educação, pela agência de fomento brasileira

CAPES, com meta de fomentar estudos e pesquisas em educação e objetiva proporcionar a

articulação entre pós-graduação, licenciaturas e escolas de educação básica, assim como

estimular a produção acadêmica. Da aplicação de questionários, relatamos impactos do

trabalho de pesquisa colaborativo na formação do professor pesquisador de dois dos oito

graduandos e no desenvolvimento profissional de dois dos oito professores de Matemática

inseridos em nosso projeto por três anos. Foi de experiência única aos professores a

oportunidade de inserção ativa em um projeto de pesquisa em educação matemática. Os

resultados comprovam a importância de apoio financeiro governamental para atividades no

desenvolvimento pré-profissional e profissional de professores e na pesquisa. A implantação

do Programa OBEDUC problematiza novos rumos nas políticas educacionais de formação

de professores pesquisadores brasileiros ao proporcionar interação e trabalho de forma

conjunta, ao integrar alunos de graduação, pós-graduação e professores em exercício em

um mesmo projeto, processo e objetivo.

Um Projeto Observatório da Educação OBEDUC em rede

Nosso projeto de pesquisa colaborativo em rede, Trabalho colaborativo com professores que

ensinam Matemática na Educação Básica em escolas públicas das regiões Nordeste e

Centro-Oeste, foi aprovado pelo Programa Observatório da Educação OBEDUC/CAPES

Edital 2012, período de três anos, entre março 2013 e março 2016, com orçamento de R$

1.600.000,00 (um milhão e seiscentos mil reais) entre bolsas de estudo, material de custeio e

capital, tem como universidades parceiras a Universidade Federal do Mato Grosso do Sul

(UFMS) núcleo geral e local; a Universidade Estadual da Paraíba (UEPB) núcleo local; e


ISBN 978-84-945722-3-4

Universidade Federal de Alagoas (UFAL) núcleo local. Objetivamos em nosso projeto

estudar, pesquisar e desenvolver, de forma colaborativa, alternativas didáticas e

metodológicas a serem trabalhadas em salas de aula de Matemática do Ensino Fundamental

I ao Ensino Médio em escolas públicas nas regiões Nordeste e Centro-Oeste. As alternativas

didáticas e metodológicas envolvem uso de aparatos como tablets (Fundamental I), materiais

manipuláveis, calculadoras, robótica (Fundamental II) e GeoGebra (Ensino Médio). Nosso

projeto visou colaboração entre três as pesquisadoras educadoras matemáticas,

doutorandos e mestrandos em Educação Matemática, professores polivalentes e de

Matemática da educação básica (Fundamental I e II, Ensino Médio) e graduandos de Cursos

de Pedagogia e Licenciatura Plena em Matemática (Formação de Professores) dos Estados

de MS, PB e AL. As três pesquisadoras educadoras matemáticas, estudantes de doutorado e

mestrado em Educação Matemática, professores de Matemática e de Pedagogia em exercício

e em formação formam os 46 membros de nosso projeto de pesquisa colaborativo em rede:

Tabela 1 – Distribuição dos Membros do Projeto OBEDUC em rede UFMS/UEPB/UFAL

Na Universidade Federal UFMS, coordenação geral e de núcleo, o grupo é formado por 16

membros, estudantes de mestrado e doutorado em Educação Matemática, professores de

Matemática em formação e em exercício, que pesquisam/trabalham sobre formação inicial

de professores (roda de conversa) e formação continuada de professores (roda de conversa).

Na Universidade Estadual UEPB, coordenação de núcleo, o grupo é formado por 20

Universidades UFMS UEPB UFAL TOTAL

Coordenadores 01 01 01 03

Estudantes de Mestrado 04 04 01 09

Estudantes de Doutorado ---- ---- 01 01

Professores em exercício 07 08 03 18

Professores em formação 04 08 03 15

TOTAL 16 21 09 46


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membros, divididos em 4 equipes, cada delas composta de um estudante de mestrado em

Educação Matemática, dois professores de Matemática em formação e dois professores de

Matemática em exercício. Cada equipe com sua própria pesquisa/trabalho: Calculadoras e

Argumentação Matemática; Robótica e Educação Matemática; Prova e Demonstração

Matemática e GeoGebra; e Deficiência Visual e Materiais Manipuláveis na Educação

Matemática. Na Universidade Federal UFAL, coordenação de núcleo, o grupo é formado por

9 membros, estudantes de mestrado e doutorado em Educação Matemática, professores de

Pedagogia e Matemática em formação e em exercício, diretora e coordenadora pedagógica,

com pesquisa/trabalho sobre o uso de tablets para a Matemática nos anos iniciais e gestão

escolar – Ensino Fundamental I e II (interação entre Pedagogos e professores de Matemática).

Organizamos os três anos de nosso projeto de pesquisa colaborativo em três etapas:

Ano 2013: estudos, leituras, debates sobre trabalhos científicos (teses e dissertações), teorias e

autores; ano 2014: criação e elaboração de propostas didáticas; ano 2015: aplicação das propostas

didáticas e análise. Reuniões gerais e de equipe semanais (2 a 4 horas) ao longo dos anos de 2013,

2014 e 2015. Sendo o ano de 2016 dedicados às defesas, fechamentos e publicações.

Formação e desenvolvimento profissional do professor e pesquisador

Para Lüdke (2006), a prática da pesquisa dá mais recurso ao professor para questionar sua

prática, levando-o a uma profissionalidade autônoma e responsável. A conceber pesquisa

como forma de entendimento sobre o que faz, por que faz e a descobrir novas maneiras de

produzir conhecimento.

Infelizmente, é sabido que o isolamento de nossos professores se dá, em primeira instância,

pela arquitetura e organização escolar, pela distribuição de tempo e espaço, e pelo

distanciamento, isto é, pela falta de interação entre os professores. O isolamento profissional

como norma e cultura pode ser vantajoso ou não para os professores. Bird e Little (1986)

ressaltam que embora o isolamento profissional facilite a criatividade individual dos

professores, e os libere de dificuldades associadas com o trabalho compartilhado,

colaborativo, os limita de progredir ao longo da carreira. Além do isolamento profissional,

é sabido sobre a falta de autonomia profissional, provavelmente devido à forma como nossos

professores são formados. Adquirir autonomia profissional faz com que o professor se torne

menos alienado e mais crítico em relação a si e a outros, buscando novas formas de se

desenvolver profissionalmente.


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Entendemos que o fazer pesquisa e o trabalhar de forma colaborativa podem ser modos de

combate ao isolamento profissional e a falta de autonomia profissional de nossos

professores. Como destaca Imbernón (2006, p. 20), "uma maneira de revitalizar

profissionalmente o professor é a geração de processos de aprimoramento profissional

coletivo, adotando inovações e dinâmicas de mudança nas instituições educativas” (grifo

nosso). Afirma ainda Imbernón ser o professor um:

agente dinâmico cultural, social e curricular, capaz de tomar decisões educativas, éticas e morais, de

desenvolver o currículo em um contexto determinado e de elaborar projetos e materiais curriculares

com a colaboração dos colegas, situando o processo em um contexto específico controlado pelo

próprio coletivo (IMBERNÓN, 2006, p. 21, grifo nosso).

Já Wagner (1997, p. 16) cunhou o termo coaprendizagem em relação ao trabalho entre

pesquisadores e professores:

Em um acordo de coaprendizagem, pesquisadores e professores são ambos participantes no

processo de educação e sistemas escolares. Ambos estão engajados em ação e reflexão. Por

trabalharem juntos, cada um aprende algo sobre o mundo do outro. De igual importância, porém,

cada um talvez aprenda algo mais sobre seu próprio mundo e suas conexões com as instituições e

escolas (grifo nosso).

E Cochran-Smith e Lytle (1999) chamam de conhecimento da prática o desenvolvimento de

pesquisa de forma colaborativa, em grupo ou em redes de trabalho. Acrescentam que o

conhecimento se constrói coletivamente, formado por professores trabalhando em projetos

de desenvolvimento na escola, de formação ou de pesquisa colaborativa.

Trabalho colaborativo e de pesquisa em nosso projeto OBEDUC em rede

Peixoto e Carvalho (2007) afirmam que a principal diferença entre trabalho cooperativo e

colaborativo está no nível da autonomia de cada participante e no controle sobre ações dele

ou dela no grupo. Porém, a diferença é que a colaboração dá maior liberdade para os

participantes. Já, de acordo com Ibiapina (2008), em um trabalho de pesquisa colaborativo

os professores trabalham interagindo com os pesquisadores, desenvolvendo teorias sobre

suas práticas. Isto é, em um trabalho de pesquisa colaborativo os participantes são

considerados copesquisadores e, neste processo, a colaboração ocorre no estabelecimento de

interações entre as múltiplas competências de cada participante: os professores com sua

potencial análise de práticas pedagógicas e os pesquisadores com o potencial organizacional

dos passos de pesquisa. A interação entre estes potenciais representa a qualidade da

colaboração, com pouca opressão e relação forte engrandece o potencial de colaboração.

Neste sentido, o trabalho de pesquisa colaborativo, de acordo com Ibiapina, provê condições


ISBN 978-84-945722-3-4

para os professores refletirem sobre suas práticas e sobre seus valores e crenças, fazendo

que questionem os aspectos do seu trabalho profissional. Desta forma, para pesquisar de

modo colaborativo é investigar um assunto de pesquisa proposto pelo pesquisador, mas que

motiva o professor a repensar sua prática, se for o caso, mudá-la. Seguimos o pensamento de

Ibiapina em nosso projeto de pesquisa, pois nossa ideia principal era o de alcançar, a partir

de uma abordagem colaborativa, coprodução de conhecimento, pesquisa interativa, formação

de professores, reflexão e desenvolvimento profissional dos 46 membros do projeto. Nós

entendemos que o trabalho de pesquisa colaborativo envolve movimentos complexos; leva

tempo a entender por sua realização envolver opções de ações formativas a auxiliar os

membros do projeto a valorizar o pensamento e a construção de um ambiente discursivo, de

autonomia, e de mútuo respeito. Além de Ibiapina, seguimos as linhas de pensamento de

Jaworski (2008) e de Fullan e Hargreaves (2000). Jaworski enfatiza o desgarro que

necessitamos enfrentar com relação ao aspecto hierárquico quando se desenvolve pesquisa

ou trabalhos de pesquisa com professores de Matemática. Enfatiza que para podermos

estabelecer um diálogo frutífero e construtivo entre acadêmicos educadores matemáticos,

formadores de professores de Matemática e professores de Matemática em exercício, é

necessário dar-se voz a todos, de forma igualitária, e que a todos seja provida a noção de

igual pertença ao longo do processo. Fullan e Hargreaves também enfatizam estes aspectos,

de forma geral, a todos os profissionais da educação, em especial a possibilidade e

necessidade de se estabelecer ambientes colaborativos nas escolas.

Impacto do trabalho colaborativo e da pesquisa em nosso Projeto OBEDUC

Neste artigo focamos no impacto de nosso Projeto OBEDUC Núcleo UEPB sobre isolamento

pré-profissional e profissional e a falta de autonomia pré-profissional e profissional de

nossos professores de Matemática em formação e em exercício. Centramos nas respostas dos

questionários aplicados em forma de relato de 2 dos 8 graduandos licenciandos em

Matemática e de 2 dos 8 professores de Matemática da educação básica entre as 4 Equipes

do Núcleo UEPB, sendo os graduandos licenciandos bolsistas Valbene da Equipe Deficiência

Visual e Materiais Manipuláveis na Educação Matemática e Helder da Equipe Prova e

Demonstração Matemática e GeoGebra, e os professores de Matemática da educação básica

bolsistas Alane da Equipe Calculadoras e Argumentação Matemática e Genailson da Equipe

Robótica e Educação Matemática.


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Professores de Matemática em formação

O questionário foi estruturado em quatro partes, denominadas Fase I – Estudos; Fase II –

Elaboração da Proposta Didática; Fase III – Aplicação da Proposta Didática; e, Fase IV –

Resultados. Neste artigo nos centramos apenas na Fase IV. Sobre Fase IV – Resultados,

solicitamos:

A quarta fase de nosso Projeto Colaborativo OBEDUC será de reuniões, leituras, discussões, análises

e escritas do trabalho realizado e dos resultados alcançados. Descreva as dificuldades que acredita

poder encontrar nesta fase do trabalho e da pesquisa em equipe. Descreva suas possíveis descobertas,

aprendizados. Descreva, da melhor forma possível, o que foi para você ter feito parte deste Projeto

Colaborativo OBEDUC.

A graduanda licencianda em Matemática Valbene dissertou:

Acredito que não vamos encontrar muitas dificuldades nessa etapa. Vamos analisar os dados e

encontrar referências para que possamos nos basear e que adequem com a nossa pesquisa. Foi uma

experiência enriquecedora para mim, pois mostrou um mundo ao qual ainda não tinha conhecimento

e me fez perceber o quanto é importante ter uma formação em que possamos lidar em qualquer

situação que encontramos na sala de aula, assim como procurar meios que auxiliem na

aprendizagem dos alunos. Me fez perceber como é importante a questão da leitura e de ter

compromisso com o que fazemos (grifo nosso).

O graduando licenciando em Matemática Helder dissertou:

Acredito que irei enfrentar problemas que já aconteceram antes, que será em organizar nossas

escritas de tal forma a torna-se apenas uma, mas como já passamos por situações parecidas, iremos

com certeza vencer mais esta etapa, com dedicação e trabalho em equipe. Ter feito parte do projeto

OBEDUC para mim foi um marco ímpar. Além de poder contribuir para minha formação como

licenciando em Matemática, pude botar em prática o que eu tanto desejava quando entrei no Curso

de Matemática, que era contribuir de alguma forma para melhorar o ensino e a aprendizagem da

Matemática em nosso país. Participar do OBEDUC foi, além de tudo, uma experiência de vida (grifo

nosso).

Sobre descobertas e aprendizados, o relato de Valbene deixa claro o quanto relevante e

crucial foi a ela estar inserida por três anos em estudos e pesquisa no Projeto OBEDUC, o

quanto a fez crescer como pesquisadora e professora (Bird e Little, 1986). Uma professora

ainda em formação, de que ao participar do Projeto OBEDUC a fez perceber a importância

de leitura, inicialmente, na Fase I, de seu receio. Em especial o compromisso com o que

fazemos, como relata Valbene, nos mostra a consciência profissional alcançada por Valbene

(Ludke, 2006) em participar de um projeto de natureza como do OBEDUC. Helder relata a

volta de seu receio na Fase IV ao enfrentar o processo de escrita, mas logo relata que o mesmo

será rapidamente superado por conta do trabalho colaborativo, por estarem trabalhando em

conjunto (Fullan e Hargreaves, 2000; Ibiapina, 2008). Além destes, por muitas vezes, não

nos damos conta, como formadores de professores, em termos em nossas mãos alunos no


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curso de Licenciatura com o propósito, meta e desejo de verdadeiramente contribuir com o

ensino e aprendizagem de nosso país, como relata Helder.

Professores de Matemática em exercício

Sobre a Fase IV, a professora de Matemática Alane dissertou:

Acredito que uma das maiores dificuldades a serem encontradas nessa fase será a de organização e

análise dos dados para a escrita do trabalho individual, mas com a ajuda mútua dos demais

integrantes da equipe essa dificuldade poderá ser superada. Conseguimos chegar ao resultado

esperado com a proposta, e verifiquei de forma concreta que a calculadora pode contribuir com a

aprendizagem dos alunos, junto com a argumentação (grifo nosso). Foi muito proveitoso participar

do projeto colaborativo OBEDUC, houve um crescimento tanto acadêmico como profissional e

social. Conhecer pessoas novas, assim como seus objetivos de estudo é sempre bom. Aprendi que

trabalhar de forma colaborativa não é uma tarefa fácil, mas que é possível acontecer, desde que

todos do grupo tenham um objetivo comum. Adquiri mais habilidade na escrita de trabalhos

acadêmicos. Agradeço imensamente aos que me deram essa oportunidade, em especial à Dra.

Abigail F. Lins (grifo nosso).

O professor de Matemática Genailson dissertou:

Apesar de ter melhorado, acredito que a escrita ainda será um desafio a ser vencido. Acredito que

aprenderei como analisar e apresentar dados de uma pesquisa de forma relevante. Para mim o maior

ganho se deu no que diz respeito ao novo olhar para escola e seus agentes. As aprendizagens que

obtive no projeto me proporcionaram um novo pensar e agir em práticas que adotava há anos (grifo

nosso).

No relato de Genailson sobre descobertas e aprendizados para a Fase IV deixa cristalina a

contribuição que foi a ele ter sido inserido no Projeto OBEDUC ao longo de três anos, em

especial sua mudança de crenças e concepções durante seus longos anos de seu exercício na

profissão (Ludke, 2006; Imbernón, 2006; Wagner, 2007). Além de Genailson ter evoluído

em termos de leituras, debates e pesquisa, para ele o maior ganho em ter feito parte do

Projeto OBEDUC foi o seu repensar, refletir e mudar sua própria prática. Ambos, Genailson

e Alane, puderam verificar o quanto as propostas didáticas, frutos de suas pesquisas ao longo

dos três anos do Projeto OBEDUC, foram frutíferas aos alunos, de como contribuíram para

a compreensão e aprendizagem matemática dos alunos no entrelace da teoria e prática

alcançadas por eles ao longo do Projeto OBEDUC (Cochran-Smith e Lytle, 1999). Tanto

Alane quanto Genailson apontam a ainda incerteza e dificuldade em suas escritas

acadêmicas, mas certificando que o trabalho colaborativo, o ambiente gerado entre eles com

base na colaboração, estaria os auxiliando e superando suas, ainda, dificuldades (Jaworski,

2008; Ibiapina, 2008).

Comentários finais


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Foi de experiência única e enriquecedora aos dois graduandos, professores em formação,

membros bolsistas do Projeto OBEDUC, Valbene e Helder, terem tido a oportunidade de

inserção ativa em um projeto envolvendo pesquisa na educação. Seus relatos representam e

resultam suas participações no Projeto, confirmando o retorno benéfico do recurso financeiro

proporcionado a eles a nível governamental. Os relatos de Valbene e Helder também nos

permite afirmar que não estamos formando bem nossos professores, tão pouco nossos

pesquisadores, em nossos cursos de graduação, as Licenciaturas. Necessitamos de urgentes

mudanças em nossos cursos de formação de professores, assim como repensarmos nossas

práticas enquanto formadores de professores e de pesquisadores. Já os relatos de Alane e

Genailson, professores de Matemática em exercício, inseridos ativamente e bolsistas em

nosso Projeto OBEDUC, mostraram que reuniões regulares e sistemáticas ao longo dos três

anos do Projeto OBEDUC, e dos três Seminários Anuais que organizamos, foram

fundamentais e centrais para seus crescimentos e desenvolvimentos profissionais, gerando

um tempo precioso de interação e aprendizado entre os professores em formação e em

exercício, além do repensar suas próprias práticas, crenças e concepções. Podemos afirmar

fortemente que a implantação do Programa OBEDUC na CAPES provoca e problematiza

novos rumos nas políticas educacionais de formação de professores e pesquisadores de nosso

país ao proporcionar interação e trabalho de forma conjunta, ao integrar alunos de graduação,

de pós-graduação e professores em exercício em um mesmo projeto, em um mesmo processo,

com um mesmo objetivo. Além desses, o Programa OBEDUC da CAPES, em especial a

modalidade em rede, proporciona interação entre pesquisadores profissionais, coordenadores

dos projetos, sendo algo que sabemos não ocorrer de forma frequente. São muitos os

pesquisadores profissionais que passam por toda sua vida acadêmica e de pesquisa de forma

solo, jamais interagindo com outros colegas pesquisadores, a trocar ideias e experiências, a

passar por um processo de pesquisa de forma conjunta, coletiva e colaborativa. Somos

também solitários na maior parte de nossa vida acadêmica. Há muito a discutirmos,

refletirmos e mudarmos nesta vertente.

Agradecimentos

Agradecemos a CAPES pelo financiamento pleno de nosso Projeto OBEDUC.



ISBN 978-84-945722-3-4

Bird, T. e Little, J. W. (1986). How schools organize the teaching occupation. The Elementary School Journal.

V. 86, n. 4, pp. 493-512.

Cochran-Smith e M.; Lytle, S. (1999). Relationships of Knowledge and Practice: Teacher Learning in

Communities. Review of Research in Education. Publicado por American Educational Research Association.

V. 24, pp. 249-305.

Fullan, M. e Hargreaves, A. (2000). A Escola como Organização Aprendente: buscando uma educação de

qualidade. 2ª ed. Porto Alegre: Artes Médicas.

Ibiapina, I. M. L. M. (2008). Pesquisa Colaborativa: Investigação, Formação e Produção de Conhecimentos.

Brasília: Líber Livro Editora.

Imbernón, F. (2006). Formação docente e profissional: formar-se para a mudança e a incerteza. 6ª ed. São

Paulo: Editora Cortez.

Jaworski, B. (2006). Building and sustaining inquiry communities in mathematics teaching development:

teachers and didacticians in collaboration. In: KRAINER, K. and Lüdke, M. (2006). A complexa relação entre

o professor e a pesquisa. In: André, M. (Org.). O papel da pesquisa na formação e na prática dos professores.

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Peixoto, J. e Carvalho, R. M. A. (2007). Os desafios de um trabalho colaborativo. Revista Educativa,

PUC/Goiânia. V. 10, n. 2, pp. 191-210.

Wagner, J. (1997). The unavoidable intervention of educational research: A framework for reconsidering

research-practitioner cooperation. Educational Researcher. V. 26, n. 7, pp. 13–22.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-654

ASPECTOS METODOLÓGICOS DE UM PROJETO COLABORATIVO DE

PESQUISA COM PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA NA

EDUCAÇÃO BÁSICA EM ESCOLAS NAS REGIÕES BRASILEIRAS DO

NORDESTE E CENTRO OESTE

Patricia Sandalo Pereira – Abigail Fregni Lins - Mercedes Carvalho

[email protected] - [email protected] - [email protected]

Universidade Federal do Mato Grosso do Sul – Brasil - Universidade Estadual da Paraíba –

Brasil - Universidade Federal do Alagoas - Brasil

Núcleo temático: Investigação em Educação Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Sem especificar

Palavras-chave: Educação Matemática; Observatório da Educação; Pesquisa;

Desenvolvimento Profissional.

Resumo Neste artigo discutimos a metodologia aplicada em nosso projeto colaborativo de pesquisa,

financiado pelo Programa Observatório da Educação OBEDUC/CAPES, objetivando

prover, por práticas colaborativas, reflexões dos 46 professores envolvidos sobre o trabalho

didático e pedagógico e provocar ações educacionais na direção da sala de aula de

Matemática. Entendemos que pesquisa colaborativa envolve movimentos complexos; leva

tempo a ser entendida, pois sua execução envolve opções de ações formativas que possam

auxiliar o professor a avaliar o pensamento do outro e construir um ambiente de discussão,

autonomia e respeito mútuo. Como educadoras matemáticas e pesquisadoras coordenadoras

deste projeto colaborativo de pesquisa em rede, podemos afirmar que foi o processo de

pesquisa mais interessante, motivador e significativo que já estivemos envolvidas.

Aprendemos muito com todos os membros, e pudemos alcançar, ao longo dos três anos de

projeto, um processo verdadeiro de cotrabalho por estabelecer interações entre as múltiplas

competências dos membros, nas quais cada um pode ter o mesmo tempo e oportunidade de

fala. Também notamos, a olhos nus, os benefícios para as escolas e para o desenvolvimento

profissional dos professores de Matemática em formação e em exercício envolvidos no

projeto. Mudou, por certo, nossa concepção do fazer pesquisa, ensinar e aprender.

Programa Brasileiro Observatório da Educação – OBEDUC/CAPES

Pensando na importância da formação do professor como educação e desenvolvimento

profissional do professor de escolas públicas em termos de política governamental, iniciou-

se o Programa Brasileiro Observatório da Educação – OBEDUC. Este Programa foi

constituído pelo Decreto Presidencial nº 5.803, em 08 de junho de 2006, como resultado de


ISBN 978-84-945722-3-4

parceria entre a Coordenadoria de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – CAPES

e o Instituto Nacional de Estudos Educacionais e Pesquisa Anísio Teixeira – INEP. O

Programa OBEDUC objetiva dar suporte ao trabalho acadêmico e prover recursos para

alunos de mestrado e doutorado via específico apoio financeiro, como por exemplo, bolsa de

estudos, entre outros. Outro aspecto do Programa OBEDUC a salientar é o de unir

acadêmicos de graduação e pós-graduação com professores da educação básica, para juntos

realizarem um trabalho de pesquisa.

Durante o Quarto Seminário do Programa OBEDUC, 2013, a Diretora da CAPES em

Formação de Professores à época, Carmem Moreira de Castro Neves, afirmou:

Nós objetivamos em ter na CAPES uma sólida política governamental de

formação de professores, a qual envolve formação inicial e continuada de

professores com pesquisa educacional e divulgação científica.

Um projeto brasileiro Observatório da Educação em rede – OBEDUC

Nosso projeto colaborativo de pesquisa em rede foi financiado pelo Programa Observatório

da Educação OBEDUC/CAPES e teve como objetivo prover, por práticas colaborativas,

reflexão dos professores sobre trabalhos didáticos e pedagógicos e provocar ações

educacionais voltadas à sala de aula de Matemática.

Centrando no desenvolvimento profissional do professor que ensina Matemática na educação

básica, nosso projeto colaborativo de pesquisa em rede teve três Universidades públicas

envolvidas, Universidade Federal do Mato Grosso do Sul (UFMS), Universidade Estadual

da Paraíba (UEPB) e Universidade Federal de Alagoas (UFAL). Pesquisadoras educadoras

matemáticas, alunos de mestrado e doutorado em Educação Matemática, professores de

Matemática e Pedagogia da educação básica em formação e em exercício foram os 46

membros de nosso projeto colaborativo de pesquisa em rede, de acordo com a Tabela 1:

Universidades UEPB UFMS UFAL TOTAL

Coordenadoras das Universidades 01 01 01 03

Alunos de Mestrado 04 04 01 09

Alunos de Doutorado ---- ---- 01 01

Professores em Exercício 08 07 03 18


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Tabela 1 – distribuição dos membros Projeto OBEDUC em rede

Na Universidade Federal do Mato Grosso do Sul, UFMS, o grupo foi formado por alunos de

mestrado e doutorado e professores de Matemática em formação e em exercício, trabalhando

em Matemática do Ensino Fundamental I e II.

Na Universidade Estadual da Paraíba, UEPB, os 20 membros foram divididos em 4 equipes,

compostas de um aluno de mestrado, dois professores de Matemática formados e dois

professores de Matemática em formação. Cada equipe teve seu próprio tema de trabalho:

Calculadoras e Argumentação, Robótica na Educação Matemática, Provas e

Demonstrações Matemáticas e Deficiência Visual na Educação Matemática.

Na Universidade Federal de Alagoas, UFAL, o grupo foi formado por professores de

Matemática e Pedagogia em formação e em exercício, diretor e coordenador escolar, alunos

de mestrado e doutorado, trabalhando em Matemática do Ensino Fundamental I.

Metodologia de nosso Projeto OBEDUC em rede

Para Fiorentini (2004) há uma diferença entre cooperação e colaboração. Segundo o autor,

um grupo colaborativo é composto por pessoas voluntárias, que participam livremente. Além

deste, a relação no grupo também é livre, por iniciar dos próprios professores e se desenvolver

a partir da própria comunidade, por não estar regulada externamente, até mesmo se financiada

ou com apoio administrativo de agências externas.

Por outro lado, Peixoto e Carvalho (2007) afirmam que a principal diferença entre trabalho

colaborativo e cooperativo é o nível de autonomia de cada participante e seu controle sobre

as ações do grupo. Isto é, escolher entre cooperação ou colaboração dependerá da maturidade

dos participantes, suas autonomias e suas competências sobre o tema no qual trabalharão ou

proporão. De acordo com Peixoto e Carvalho, se nós escolhermos por um trabalho

colaborativo sobre uma atividade específica, o desenvolvimento de autonomia e a capacidade

de se trabalhar em grupo será a mesma meta como se em uma abordagem cooperativa. Porém,

Professores em Formação 08 04 03 15

TOTAL 21 16 09 46


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a diferença é que a colaboração provê mais liberdade aos participantes. Para os autores,

colaboração como abordagem é mais adequada para relações mais desenvolvidas.

De acordo com Ibiapina (2008), em um trabalho colaborativo de pesquisa professores

trabalham interagindo com pesquisadores, desenvolvendo teorias sobre suas práticas. Isto é,

em um trabalho colaborativo de pesquisa os participantes são considerados copesquisadores

e neste processo a colaboração ocorre por se estabelecer interações entre as múltiplas

competências de cada participante: os professores com seus potenciais de análise sobre

práticas pedagógicas e os pesquisadores com o potencial organizacional sobre passos do fazer

pesquisa. A interação entre esses potenciais representa a qualidade de colaboração.

Neste sentido, a trabalho colaborativo de pesquisa, de acordo com Ibiapina, provê condições

para professores refletirem sobre suas próprias práticas e sobre seus valores e crenças, os

fazendo questionar aspectos de seus trabalhos profissionais. Para a autora, pesquisar de forma

colaborativa significa envolver pesquisadores e professores em um mesmo projeto, o qual

busca benefícios para a escola e para o desenvolvimento profissional do professor: a pesquisa

colaborativa é uma prática voltada a problemas sociais, especificamente aos que vivem na

escola, contribuindo com a disseminação de atitudes, a qual move a coprodução de

conhecimento na direção de mudança cultural escolar e do desenvolvimento profissional dos

professores. Em síntese, esta é uma prática alternativa de se questionar a realidade

educacional, na qual pesquisadores e professores trabalham juntos sobre implementação de

mudanças e solução de problemas, compartilhando responsabilidade de tomada de decisões

e o de fazer pesquisa.

Ainda, de acordo com Ibiapina, a ideia de colaboração entre pesquisadores e professores a

desenvolver conhecimento sobre prática docente vem de uma distância conhecida entre o

mundo da pesquisa e o da prática profissional. Desta forma, pesquisar de modo colaborativo

é investigar um assunto de pesquisa proposto pelo pesquisador, mas que motiva o professor

a repensar sua prática e, se for o caso, mudá-la.

Seguimos a forma de pensar de Ibiapina em nosso projeto colaborativo de pesquisa em rede

OBEDUC UFMS/UEPB/UFAL, já que nosso objetivo foi o de alcançar, em uma abordagem

colaborativa, coprodução de conhecimento, pesquisa interativa e formação de professores,

reflexão e desenvolvimento profissional entre 46 membros. Nós entendemos que pesquisa

colaborativa envolve movimentos complexos; leva tempo para ser entendida; sua execução


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envolve ações formativas que podem auxiliar o professor a valorizar a forma de pensar do

outro e construir um ambiente de discussão, de autonomia e de mútuo respeito. Com isso, “o

processo de aprendizagem construído de modo colaborativo oferece uma ajuda potencial para

o pensamento teórico e prático, fortalece o ensino, abre caminhos para o desenvolvimento

profissional e pessoal de pesquisadores e professores” (Ibiapina, 2008, p. 31).

Além de Ibiapina, seguimos as linhas de pensamento de Jaworski (2008) e de Fullan e

Hargreaves (2000). Jaworski enfatiza o desgarro que necessitamos enfrentar com relação ao

aspecto hierárquico quando se desenvolve pesquisa ou trabalhos de pesquisa com

professores de Matemática. Enfatiza que para podermos estabelecer um diálogo frutífero e

construtivo entre acadêmicos educadores matemáticos, formadores de professores de

Matemática e professores de Matemática em exercício, é necessário dar-se voz a todos, de

forma igualitária, e que a todos seja provida a noção de igual pertença ao longo do processo.

Fullan e Hargreaves também enfatizam estes aspectos, de forma geral, a todos os

profissionais da educação, em especial a possibilidade e necessidade de se estabelecer

ambientes colaborativos nas escolas.

Comentários Finais

Os três Estados brasileiros envolvidos em nosso projeto colaborativo de pesquisa em rede,

Mato Grosso do Sul, Paraíba e Alagoas, são distantes entre eles, três a quatro horas de voo.

Além das reuniões semanais de estudos e leituras em cada das Universidades ao longo dos

três anos do projeto, em nossa agenda planejamos três Seminários Anuais a agrupar todos os

46 membros para discutir o desenvolvimento e estágio de cada trabalho de pesquisa, trocar

ideias, teorias, metodologias de pesquisa e ensino, entre outros. Nosso primeiro Seminário, I

Seminário Anual Projeto OBEDUC, se deu entre 22 e 23 de novembro de 2013, na cidade de

Maceió, Alagoas, UFAL. Embora fosse final do primeiro ano de desenvolvimento de nosso

projeto, o I Seminário Anual Projeto OBEDUC objetivou discutir entre os membros

conceitos relevantes, como trabalho colaborativo, pesquisa colaborativa e práticas

colaborativas. Para tanto, todos os 46 membros leram antecipadamente o livro sobre pesquisa

colaborativa da autora Ibiapina. Além deste, o I Seminário proveu aos membros do projeto

se conhecerem e trocarem experiências.


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Em 2014, o II Seminário Anual Projeto OBEDUC se deu na cidade de Campina Grande,

Paraíba, UEPB, entre 24 e 26 de novembro. O objetivo do II Seminário foi o de cada membro

apresentar seu próprio trabalho de pesquisa em andamento no projeto em formato de pôster,

isto é, as pesquisas em desenvolvimento nas Universidades UFMS, UEPB e UFAL, como

também escrita de artigos de quatro páginas sobre cada pesquisa, publicados nos Anais do II

Seminário. Convidamos para o II Seminário Anual Projeto OBEDUC a pesquisadora

Ibiapina a proferir Palestra sobre pesquisa colaborativa e trabalho colaborativo, a qual

esclareceu nossos pensamentos sobre esta metodologia. A pesquisadora Ibiapina também

participou de todas as apresentações orais dos membros de nosso projeto. Foi de grande valia

termos a presença da pesquisadora Ibiapina no momento do final do segundo ano de nosso

projeto.

O III Seminário Anual Projeto OBEDUC se deu desta vez na cidade de Campo Grande, Mato

Grosso do Sul, UFMS, entre 28 e 31 de novembro de 2015, objetivando discutir a fase final

das pesquisas, resultados, de cada membro do projeto, os quais também foram publicados em

Anais do III Seminário Anual Projeto OBEDUC. Novamente contamos com a presença da

pesquisadora Ibiapina, a qual ouviu a todas as apresentações orais e colaborou com suas

valiosas contribuições.

Após o III Seminário Anual Projeto OBEDUC iniciamos todos juntos escrita de artigos para

periódicos e livros, além das monografias de trabalho final de curso de graduação, TTCs,

dissertações de mestrado e teses de doutorado. Entendemos ser publicações em periódicos

uma forma de compartilhar entre pesquisadores educadores matemáticos, pesquisadores em

formação e professores em formação e em exercício o conhecimento de um processo de

trabalho e de pesquisa colaborativos ao longo de três anos, além das pesquisas em si.

Nós, pesquisadoras educadoras matemáticas coordenadoras do projeto colaborativo de

pesquisa em rede, podemos afirmar que foi o processo de pesquisa mais interessante,

motivador e significativo que jamais havíamos nos envolvido! Aprendemos muito com todos

os membros do projeto, e com cada um deles, e alcançamos, ao longo dos três anos, um

verdadeiro processo de cotrabalho ao estabelecer interações entre as múltiplas competências

dos membros do projeto, onde cada um de nós teve o mesmo tempo e oportunidade de falar,

de se expressar. Também notamos, a olhos nus, os benefícios para as escolas envolvidas e o

desenvolvimento profissional ocorrido dos membros professores de Matemática em


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formação e em exercício. Mudou, por certo, a concepção do pesquisar, do ensinar e do

aprender entre todos os membros de nosso projeto, algo que discutimos em outras instâncias.

Ao longo dos três anos de projeto participamos todos e apresentamos os trabalhos de pesquisa

enquanto em andamento e finalizados em diversos congressos nacionais e internacionais, tais

como EPBEM, ENEM, EBRAPEM, CONEDU, CONAPESC, SIPEM, CIAEM, CIBEM,

SIEM, ICME, entre outros. Algo de extrema valia com relação ao desenvolvimento de escrita

acadêmica, além de contato e convívio com a comunidade científica nacional e internacional

da Educação Matemática.

Podemos afirmar fortemente, a partir da realização e resultados de nosso Projeto, que a

implantação do Programa OBEDUC na CAPES provoca e problematiza novos rumos nas

políticas educacionais de formação de professores e pesquisadores de nosso país ao

proporcionar interação e trabalho de forma conjunta, ao integrar alunos de graduação, de pós-

graduação e professores em exercício em um mesmo projeto, em um mesmo processo, com

um mesmo objetivo. E devido a natureza do Programa OBEDUC CAPES que pudemos de

fato trabalhar de forma colaborativa, algo inovador a todos nós membros do projeto realizado.

Além desses, o Programa OBEDUC da CAPES, em especial a modalidade em rede,

proporciona interação entre pesquisadores profissionais e coordenadores dos projetos. Algo

que sabemos não ocorrer de forma frequente no ambiente profissional. São muitos os

pesquisadores profissionais que passam por toda sua vida acadêmica e de pesquisa de forma

solo, jamais interagindo com outros colegas pesquisadores, a trocar ideias e experiências, a

passar por um processo de pesquisa de forma conjunta, coletiva e colaborativa. Somos

também solitários na maior parte de nossa vida acadêmica. É como se precisássemos de sorte

para nos agrupar em uma equipe de pesquisadores profissionais e trabalharmos de forma

conjunta. Apesar de não ser foco em nosso artigo discutir o processo de pesquisadores

profissionais, coordenadores ou colaboradores de Projetos OBEDUC, entende-se ser algo

necessário a ser exposto, explorado, discutido e debatido. Certamente este foi outro grande

ganho de nosso Projeto OBEDUC em rede da CAPES, o de proporcionar interação entre

pesquisadores profissionais brasileiros, um processo que nos fez refletir sobre nossas próprias

práticas como formadoras de professores, formadoras de pesquisadores e como

pesquisadoras.


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Agradecimentos

Agradecemos a agência de fomento CAPES pelo financiamento pleno de nosso Projeto

OBEDUC em rede UFMS/UEPB/UFAL, viabilizando bolsas de estudo a todos os membros,

divulgação científica de nosso Projeto em congressos nacionais, internacionais e publicações,

assim como financiamento para material permanente e de custeio.

Referência bibliográfica

Fiorentini, D. (2004). Pesquisar práticas colaborativas ou pesquisar colaborativamente? In

Borba, M. C. e Araujo, J. L. (orgs.) Pesquisa qualitativa em educação matemática. Belo

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Fullan, M. e Hargreaves, A. (2000). A Escola como Organização Aprendente: buscando

uma educação de qualidade. 2ª ed. Porto Alegre: Artes Médicas.

Jaworski, B. (2008). Building and sustaining inquiry communities in mathematics teaching

development: teachers and didacticians in collaboration. In: Krainer, K. and Wood, T. (orgs.).

The International Handbook of Mathematics Teacher Education volume 3: Participants in

Mathematics Teacher Education: Individuals, Teams, Communities and Networks.

Rotterdam: Sense Publishers.

Peixoto, J. e Carvalho, R. M. A. (2007). Os desafios de um trabalho colaborativo. Revista

Educativa, Goiânia, v. 10, n. 2, p. 191-210.

Ibiapina, I. M. L. M. (2008). Pesquisa Colaborativa: Investigação, Formação e Produção

de Conhecimentos. Brasília: Líber Livro Editora.


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CB-657

UNA PROPUESTA COLABORATIVA PARA ENRIQUECER LA FORMACIÓN

MATEMÁTICA INICIAL Y CONTINUA DE MAESTROS DE INFANTIL

Mónica Ramírez García(1) – Nuria Joglar Prieto(1) – Mª Cinta Muñoz-Catalán(2)

[email protected] – [email protected] – [email protected] (1) Universidad Complutense de Madrid y (2)Universidad de Sevilla, España

Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: 5. Formación y actualización docente

Palabras clave: Formación inicial, formación continua, conocimiento especializado del

profesor de matemáticas, conocimiento didáctico del contenido

Resumen En este trabajo presentamos los resultados de una experiencia realizada conjuntamente por

maestros en activo, estudiantes para maestro y formadores-investigadores en el área de

didáctica de las matemáticas en Educación Infantil. El primer objetivo de esta experiencia

es enriquecer la formación de los maestros implicados, conectando la formación con la

práctica profesional. Impulsados por el interés compartido de promover la flexibilidad

matemática de los alumnos a través del uso y conversiones entre distintos modos de

representación, el trabajo se desarrolla sobre una actividad en la que se tratan aspectos del

número y de la geometría en tres momentos: diseño de la tarea, puesta en práctica en el aula

por maestras en ejercicio, reflexión conjunta sobre la puesta en práctica del diseño, mediante

el visionado de los vídeos obtenidos. El interés de los formadores-investigadores es

identificar los conocimientos matemáticos movilizados por las maestras en formación en el

diseño de una tarea y por las maestras en ejercicio al analizar y llevar al aula esa tarea. Se

seguirá para tal fin el modelo de Conocimiento Especializado del Profesor de Matemáticas

(MTSK) sobre las transcripciones de las sesiones de trabajo conjunto audiograbadas. Esta

experiencia permitirá elaborar materiales para mejorar la formación.

Introducción

Desde nuestra perspectiva como formadoras-investigadoras en el área de la educación

matemática, resulta difícil pensar en una formación adecuada de nuevos profesores de

matemáticas que no esté conectada con la práctica real del aula del nivel educativo

correspondiente. Esta conexión ha vuelto a llamar la atención de formadores e investigadores

en los últimos años, y puede establecerse de diversas formas. Es claro que durante los

momentos de prácticas profesionales de los estudiantes para profesor en centros educativos,





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se produce una vinculación directa entre la formación inicial y la práctica profesional en la

cual, además del profesor del aula y el futuro profesor, participan los formadores-

investigadores que tutorizan dichas prácticas desde la universidad. Por otra parte, los

estudiantes para profesor podrían reflexionar sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de

las matemáticas a partir de los análisis de episodios de clase en formato audiovisual,

permitiendo incluso analizar la propia práctica y así favorecer el desarrollo de la competencia

docente “mirada profesional” (Sherin, Jacobs y Phillipp, 2011; Llinares, 2013; Carrillo et al.,

2016). Esta metodología también se aplica en la actualidad en el contexto de la formación

permanente. Para el adecuado desarrollo de las competencias docentes de los profesores de

matemáticas, las investigaciones de los últimos años han mostrado la importancia de la

caracterización del conocimiento matemático específico para enseñar matemáticas desde los

análisis de las actuaciones de profesores expertos en aulas reales complementados en muchas

ocasiones con entrevistas a los profesores implicados (Hill, Ball y Schilling, 2008; Carrillo

et al., 2013).

En esta comunicación nos centraremos en la formación de profesores de matemáticas en

Educación Infantil abordando la enseñanza de la comparación, descomposición y

representación de cantidades, y presentaremos los resultados preliminares de una

intervención que se está desarrollando desde febrero de 2017. Los objetivos del trabajo aquí

presentado son dos. En primer lugar se trata de diseñar experiencias que permitan enriquecer

la formación de los profesores de matemáticas de forma realista conectando investigación y

práctica. El segundo objetivo de este trabajo implica directamente a los formadores-

investigadores y consiste en identificar y caracterizar los conocimientos matemáticos

especializados movilizados por los maestros al diseñar y llevar al aula tareas matemáticas, y

también al reflexionar sobre cómo ha ido ese proceso de planificación e instrucción (“mirada

profesional”), con la intención final de enriquecer la formación de los futuros maestros. Los

dos objetivos se abordarán de forma conjunta y cíclica: en las experiencias diseñadas se

incluyen grabaciones en vídeos de sesiones de planificación de tareas por parte de maestras

noveles o expertas, lecciones de clase impartidas por estudiantes para maestro o por maestras

expertas, y sesiones de reflexión sobre la planificación y el desarrollo de la lección. En las

sesiones reflexión conjunta sobre el visionado de esos vídeos participarán todos los

implicados, tanto los estudiantes para maestro, como los maestros en activo y los formadores-


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investigadores, y serán de nuevo grabadas con el objetivo de caracterizar los conocimientos

matemáticos específicos puestos en juego en cada momento docente (planificación,

instrucción y reflexión). Será especialmente interesante comparar los conocimientos

evidenciados en la actuación de los maestros grabados por los maestros en formación y por

los maestros en activo durante las sesiones de reflexión al observar detenidamente vídeos de

maestros planificando o llevando al aula una actividad. En el Anexo I se incluye una posible

organización de una propuesta concreta en esta línea que está siendo implementada en la

actualidad desde la Universidad Complutense en colaboración con maestros expertos de dos

colegios públicos de la Comunidad de Madrid. Aunque en esta primera propuesta por cada

fase solamente pasan o estudiantes para maestro o maestros expertos, la idea es volver

cíclicamente sobre el modelo al menos una vez con cada colectivo para poder establecer

comparaciones más completas que las presentadas en esta primera aproximación.

El resto de la comunicación se organiza de la siguiente manera. En primer lugar, se incluye

una breve descripción del marco teórico desde el que se enmarca nuestro trabajo. En segundo

lugar, se describirán cuidadosamente la metodología empleada en el diseño de las fases y

tareas de la intervención completa, para finalizar con la sección de discusión de resultados

en la que se incluirán también las primeras conclusiones de este trabajo.

Marco teórico

El marco teórico de la investigación aquí descrita se sitúa en la intersección de dos dominios.

Por un lado se han considerado investigaciones sobre el tratamiento de la comparación,

descomposición y la representación de cantidades en educación infantil (Alsina y Llach,

2012), especialmente aquellas que enfatizan el uso de diferentes modos de representación en

la línea descrita por Lesh (1997). Las trayectorias de enseñanza-aprendizaje sobre el

aprendizaje del número y la descomposición numérica descritas por Clements y Sarama

(2009) proponen distintas representaciones para pasar de unos niveles de pensamiento a otro

en el desarrollo de estos conocimientos, como las configuraciones puntuales, que permiten

el uso de la subitización como complemento del conteo en la resolución de tareas numéricas.

Dado que estamos dirigiendo las actividades a alumnos de educación infantil, los modos de

representación que tendrán más peso en nuestro diseño serán el manipulativo, el verbal y el

gráfico-icónico, utilizado por ejemplo en las configuraciones puntuales. Dentro del sistema

de representación gráfico-icónico, se tratará de favorecer el desarrollo de la “flexibilidad


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matemática” en los alumnos (seguiremos la definición de flexibilidad matemática dada por

Star & Rittle-Johnson, 2009). En segundo lugar, se ha elegido el modelo de conocimiento

especializado del profesor de matemáticas MTSK (Mathematics Teacher Specialized

Knowledge), para articular los análisis de las actuaciones de los profesores, noveles y

expertos, en las diferentes fases del proceso (planificación, acción y reflexión). Este modelo

es un refinamiento del modelo propuesto por Ball et al. (2008). Este modelo de conocimiento

profesional (Carrillo et al., 2013) pretende avanzar en el análisis y la conceptualización del

conocimiento específico que el profesor posee o podría poseer para la enseñanza de las

matemáticas. Tiene como punto de partida los dominios de conocimiento de la materia y

conocimiento didáctico del contenido de Shulman (1986) y subdivide estos dominios en tres

subdominios cada uno. En lo relativo al conocimiento matemático, se consideran los

subdominios del conocimiento de los temas matemáticos, de la estructura matemática que

permite contextualizar un tópico en un constructo más amplio, y de la práctica matemática,

que concierne a saber cómo se trabaja en matemáticas. En lo relativo al conocimiento

didáctico del contenido, se aborda el conocimiento de la enseñanza de las matemáticas, de

las características del aprendizaje matemático, y de los estándares de aprendizaje en

matemática.

Desarrollo de la experiencia y metodología

La experiencia realizada consiste en una secuencia de fases de planificación, instrucción y

reflexión, que puede ser cíclica para mejorar una secuencia de enseñanza sobre un contenido

concreto (véase Anexo I). En el desarrollo de las fases de planificación y reflexión, las

formadoras-investigadoras plantean una serie de preguntas a los perfiles involucrados, ya

sean estudiantes para maestros y/o las maestras expertas, para que manifiesten sus

conocimientos especializados sobre las matemáticas y su didáctica. Estas sesiones son

grabadas en video, al igual que la sesión de instrucción, para su posterior visionado con dos

objetivos: por un lado, enriquecer la formación de los maestros, ya sean estudiantes para

maestro o maestras expertas, y por otro lado, permitir a las formadoras-investigadoras

categorizar según el modelo MTSK el conocimiento especializado de los maestros. En el

Anexo II se puede consultar las distintas preguntas que se plantean en las distintas fases

(planificación, instrucción y reflexión), indicando si es en el desarrollo de las sesiones o en

los visionados de dichas sesiones.


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La primera fase en el caso concreto de la intervención en curso, se inicia con la realización

de una actividad en la asignatura “Desarrollo de Pensamiento Matemático y su Didáctica I”

en segundo curso del Grado de Maestro de Educación Infantil en la UCM. Los estudiantes

para maestro deben adaptar un juego con contenido numérico y geométrico, en este caso el

Tetris, para el aula de 3, 4 y 5 años. Se parte de la versión propuesta por De Castro y

Hernández (2015), en la que los niños deben pavimentar figuras cuadriculadas con poliminós

que pueden estar formados por desde un solo cuadrado hasta seis. Para ello, los niños juegan

en pequeños grupos, lanzando un dado por turnos y cubriendo en el tablero tantos cuadrados

como cantidad sale en el dado con las fichas disponibles. En la Tabla 1 del Anexo II aparecen

las indicaciones que las formadoras-investigadoras dieron a los estudiantes para realizar el

trabajo. Durante el curso, los estudiantes para maestro han trabajado las variables didácticas

(aspectos modificables en una tarea que provocan cambios de estrategia en los alumnos) de

distintas tareas con contenido matemático para adaptarlas y desarrollar el conocimiento

matemático de los niños de Educación Infantil y han estudiado las trayectorias de enseñanza-

aprendizaje del número y la aritmética (Aguilar, Ciudad y otros, 2010; Chamorro, 2005;

Clements y Sarama, 2009).

Para finalizar la primera fase, las formadoras-investigadoras revisan las propuestas de los

estudiantes de Grado, valorando la adecuación a la edad de los alumnos de infantil, las

variables didácticas consideradas (como las formas y tamaños de las plantillas y las fichas,

tamaños y representaciones numéricas de los dados), la flexibilidad matemática y el lenguaje

movilizado, para elegir tres para la siguiente fase.

La segunda fase consiste en la evaluación y refinamiento de esas tres propuestas para llevar

al aula, por parte de los maestros en ejercicio de dos centros diferentes, a los que se plantean

las preguntas que aparecen en la Tabla 2 del Anexo II, en el desarrollo de la fase de

planificación. Estas sesiones se graban en vídeo [1] para su posterior visionado en primer

lugar por formadoras-investigadoras, para tratar de detectar conocimientos especializados de

los maestros en ejercicio según el modelo MTSK a la hora de planificar una actividad, y en

segundo lugar, por los estudiantes para maestro, planteando las preguntas para su reflexión

que aparecen en la Tabla 2 del mismo Anexo, grabándose esta sesión en video [2], para ser

analizado por las formadoras-investigadoras. En el Anexo I pueden encontrarse los detalles

de la segunda fase y los momentos de grabación y visionado de vídeos.


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En la tercera fase, los estudiantes para maestro en prácticas llevan al aula la actividad en los

dos centros (instrucción), con las modificaciones propuestas por los maestros expertos sobre

la propuesta inicial de los estudiantes en la sesión de planificación. Estas sesiones en el aula

se graban en vídeo [3] y su visionado permite, por una lado, a las formadoras-investigadoras

hacer unos análisis previos de los conocimientos movilizados por las futuras maestras en el

aula revisando los vídeos (ver Tabla 3 del Anexo II, cuarta columna), y por otro lado, trabajar

con maestros en formación para enriquecer sus conocimientos sobre la práctica en el aula,

especialmente fomentando el desarrollo de la competencia “mirada profesional” (ver Tabla

3 del Anexo, tercera columna). Esta última sesión se puede grabar el video [4] para analizar

los conocimientos de estos maestros según el modelo MTSK.

El visionado del video [3] puede utilizarse para realizar una reflexión sobre la mejora de la

instrucción planteando preguntas a maestros expertos como las que aparecen en la Tabla 4

del Anexo II. Al igual que las dos fases anteriores, esta sesión de reflexión se graba en vídeo

[5], con el objetivo de permitir a las formadoras-investigadoras ver despacio la sesión para

seguir describiendo el conocimiento matemático y didáctico del maestro. En el momento de

la redacción de esta comunicación, se está valorando realizar el visionado con maestros en

formación para enriquecer su mirada profesional (Anexo I).

Discusión de primeros resultados y trabajo futuro

A pesar de que el trabajo aquí descrito todavía se encuentra en progreso, adelantamos unos

primeros resultados de la intervención para cerrar esta comunicación.

Algunas evidencias que hemos identificado sobre conocimientos movilizados por las

maestras en los distintos momentos son las siguientes. Respecto conocimientos relacionados

con el contenido matemático, a pesar de que el juego planteado tiene muchas soluciones

dependiendo de la cantidad que salga en el dado y de las distintas descomposiciones que se

pueden hacer de esa cantidad, y también de la forma y tamaño de las fichas y del tablero,

muchos estudiantes para maestros entregaban los trabajos planteando una solución única para

panelar el tablero. En la práctica matemática existen problemas abiertos que tienen varias

soluciones, sin embargo, las respuestas de estos alumnos son indicios de creencias erróneas

sobre dicha práctica. Los grupos de maestras en ejercicio detectaron rápidamente el “poco

movimiento” que permitía el juego con una sola solución, en el sentido que los niños no

tenían suficientes “oportunidades para colocar fichas”, pero no supieron expresar con


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lenguaje matemático esta situación y cómo resolverla (conocimiento del tema matemático).

En general, los maestros mostraron conocimientos del tema al plantear descomposiciones

geométricas de los poliminós, pero no identificaron todas las posibles.

Respecto a los conocimientos didácticos del contenido, en concreto sobre los estándares de

aprendizaje, los contenidos matemáticos que aparecen en la experiencia, son la

identificación, comparación y descomposición de cantidades discretas, así como el

pavimentado de superficies cuadriculadas con fichas de distintas formas. En la fase de diseño,

los estudiantes para maestro identificaron como contenidos a trabajar en el aula la

identificación y comparación de cantidades, pero no todos se fijaron en las descomposiciones

numéricas, ni en el pavimentado de superficies y en la geometría de las fichas y las plantillas.

Sin embargo, las maestras en ejercicio identificaron todos los contenidos relacionados.

Respecto a las características del aprendizaje de los niños y la enseñanza de las matemáticas,

tanto maestros expertos como noveles identificaron el tamaño de las cantidades como

variable didáctica. Respecto a la enseñanza de las matemáticas, todas las maestras en

ejercicio manifestaron la necesidad de hacer un trabajo previo para trabajar las distintas

configuraciones de las fichas del Tetris.

El diseño cíclico de la intervención en el que se involucra a todos los participantes en todos

los momentos, ha permitido a los futuros maestros enriquecer su formación pues se va

desarrollando su “mirada profesional”.


Aguilar, B., Ciudad, A., Láinez, M.C. y Tobaruela, A. (2010). Construir, jugar y compartir:

Un enfoque constructivista de las matemáticas en Educación Infantil. Jaén: Enfoques

Educativos.

Alsina, A. y Llach, S. (2012). La enseñanza de los sistemas externos de representación

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Ball, D.L., Thames, M. H. y Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes

it special? Journal of Teacher Education, 59(5), 399-406.

Carrillo, J, Climent, N, Contreras, L. C., & Muñoz-catalán, M. C. (2013). Mathematics


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Teacher Specialized Knowledge. Proceedings of the CERME 8, Febrero, 2013, Antalya,

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Carrillo, J, Contreras, L. C., Climent, N, Montes, M. A., Escudero D. I. y Flores, E. (Eds.).

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Anexo I. Primera propuesta cíclica: Febrero 2017 - Julio

2017

Anexo II. Descripción de cada fase y lista de cuestiones

abiertas para fomentar la discusión Todas las sesiones descritas en las tablas a continuación están coordinadas por las

formadoras-investigadoras.

Tabla 1. Descripción de la planificación: Fase de Diseño de actividad

Fase Perfil

involucra

do

Preguntas planteadas a los estudiantes

para maestro

Preguntas que se plantean

las formadoras-

investigadoras

Planificació

n

Estudiante

s para

maestro

Diseñar y construir tres adaptaciones

para 3, 4 y 5 años del Tetris.

• Identificar los contenidos

matemáticos trabajados. • Identificar los aspectos para adecuar

a cada edad. • Describir cómo llevar la actividad a

cada aula.

¿Qué conocimientos

matemáticos especializados

ponen en juego los EPM al

hacer esos diseños?

[Evidencias solo a partir de

sus respuestas, no

entrevistas en ese

momento.]

DISEÑO DE ACTIVIDAD EN LA EVALUACIÓN

DE LOS TRABAJOS


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Tabla 2. Descripción de la Fase de planificación: refinamiento de la actividad

Tabla 3. Descripción de la Fase de Instrucción

Fase Perfil

involucrad

o

Preguntas planteadas a otros

maestros en formación

Preguntas que se plantean las

formadoras-investigadoras

Instrucción

Maestras

y/o

estudiantes

Respecto a las respuestas de los

niños:

¿Qué estrategia ha utilizado para

responder? ¿Qué puedes decir de

su aprendizaje/de su comprensión

a partir de su respuesta? ¿Cómo

ha podido afectar la consigna del

profesor en la respuesta del

alumno?

Respecto al papel del profesor:

¿Cómo ha planteado el profesor la

¿Qué conocimientos muestra el profesor en

las consignas y explicaciones a los alumnos?

¿Qué conocimientos ponen en juego para

hacer esos comentarios los maestros que

participan? ¿Qué similitudes y diferencias

existen entre los conocimientos de las

maestras expertas, los estudiantes y las

formadoras-investigadoras?

Fase Perfil

involucrad

o

Preguntas planteadas a

los maestros

sobre las actividades

presentadas

Preguntas planteadas a

otros maestros en

formación (inicial o

continua)

Preguntas que se

plantean las

formadoras-

investigadoras

Planificació

n

Maestras

expertas

¿Qué os parece el juego?

¿En qué consiste?

¿Qué contenidos

matemáticos trabajan?

¿Creéis que se puede

adaptar a 3, 4, y 5 años?

¿Qué os parecen estas

tres adaptaciones de los

estudiantes para maestro?

¿Qué contenidos

matemáticos se trabajan en

la tarea del video? ¿Cómo

pretenden conseguir el

aprendizaje de esos

contenidos en los niños?

¿Qué similitudes y qué

diferencias observáis en los

comentarios de los distintos

maestros que participan en la

discusión?

¿Qué

conocimientos

ponen en juego

para hacer esos

comentarios los

maestros que

participan? ¿Qué

similitudes y

diferencias existen

entre los

conocimientos de

las maestras

expertas, los

estudiantes y las

formadoras-

investigadoras?

REFINAMIENTO DE LA ACTIVIDAD

(GRABACIÓN EN VIDEO [1])

VISIONADO DEL

VÍDEO [1] POR

ESTUDIANTES

(GRABACIÓN EN

VIDEO [2])

VISIONADO DE

LOS VIDEOS [1]

y [2] POR LAS

FORMADORAS

INVESTIGADOR

AS


ISBN 978-84-945722-3-4

tarea? ¿En qué momentos el

profesor escucha, reflexiona

rápidamente y responde a la

respuesta del alumno? ¿Cómo

responde el profesor? ¿Por qué

piensas que ha dado esa respuesta

al alumno? ACTIVIDAD REFINADA

LLEVADA AL AULA

(Sesión grabada [3])

VISIONADO DEL VÍDEO [3]

POR ESTUDIANTES


VISIONADO DE LOS VÍDEOS [3] y[4]

POR LAS FORMADORAS

INVESTIGADORAS

Tabla 4. Descripción de la Fase de Reflexión.

Fase Perfil

involucrad

o

Preguntas planteadas a otros

maestros en formación (inicial o

continua), o incluso con el

maestro protagonista

Preguntas que se plantean las

formadoras-investigadoras

Reflexión

Maestra

expertas

Respecto a la reflexión sobre la

mejora de la instrucción

¿Qué aspectos positivos se deben

conservar para el rediseño de la

lección? ¿Qué dificultades se han

producido y cómo evitarlas para

la próxima puesta en práctica?

¿Qué conocimientos modifica el profesor

tras reflexionar sobre el visionado del video

de la lección? ¿Qué evidencias han

provocado esos cambios en sus

conocimientos?

REFLEXIÓN SOBRE LA

INSTRUCCIÓN PARA

NUEVA PLANIFICACIÓN

VISIONADO DEL VÍDEO [3]

POR MAESTROS EXPERTOS


VISIONADO DE LOS VÍDEOS [5] POR

LAS FORMADORAS

INVESTIGADORAS


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-659

UNA EXPERIENCIA DE APLICACIÓN DE HEURÍSTICOS EN LA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tomás Queralt Llopis

[email protected]

Universitat de València (España)

Núcleo temático: La resolución de problemas en matemáticas

Modalidad: CB

Nivel Educativo: Educación Secundaria Obligatoria

Palabras claves: resolución de problemas, heurísticos, actividades ricas, juegos de estrategia

Resumen:

La resolución de problemas en la clase de matemáticas fomenta la mejora de la competencia

matemática del alumnado, dado que pone en marcha procesos de pensamiento que implican

la aplicación de los conceptos que se han aprendido, la conexión con nuevos contenidos, y

el establecimiento de relaciones con aquellas estrategias que ayudan a resolver otros

problemas. Sin embargo, resolver un problema implica partir de un punto en el que muchos

estudiantes no tienen recursos inmediatos para enfrentarse a la situación planteada con la

seguridad de llegar a la solución. Queremos explicar cómo se han trabajado algunos de los

heurísticos en la clase de matemáticas con alumnos de 2º de ESO para mejorar su capacidad

de resolución de problemas, cómo los han resuelto los alumnos y cuales han sido sus

reacciones. Nos centraremos en el heurístico “empezar por el final” mediante la resolución

de juegos de estrategia, sin perder de vista su aplicación a problemas aritméticos. Hemos

usado algunas variantes del juego de estrategia NIM más sencillos, hasta llegar a resolver

el juego original, y mostraremos cual es la estrategia ganadora.

1. INTRODUCCIÓN

En este trabajo se pretende explicar la realización de una experiencia con alumnos de 2º curso

de ESO. El contexto en el que se ha llevado a cabo es un instituto de secundaria, con

estudiantes de ESO, bachillerato, y ciclos formativos de electromecánica de vehículos y de

gestión administrativa. Dentro de la oferta a estudiantes de 2º de ESO se incluye la

posibilidad de elegir la optativa que llamamos “matemáticas avanzadas”, en la cual los

contenidos giran alrededor de los procesos de resolución de problemas, en lugar de centrarse

en los contenidos curriculares.

Por otra parte, el contenido forma parte del proyecto de investigación llamado “Modelos de

enseñanza y procesos de aprendizaje de las matemáticas: análisis multidimensional” llevado

a cabo en el Departamento de Didáctica de la Matemática de la Universidad de Valencia

coordinado por los doctores Ángel Gutiérrez y Luis Puig.

2. HEURÍSTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS


ISBN 978-84-945722-3-4

El objetivo del curso consiste en dotar al alumnado de las herramientas precisas para resolver

problemas, entendiendo por herramientas aquellas actitudes que favorecen la confianza en el

enfrentamiento a lo desconocido, así como aquellos heurísticos que permiten identificar las

claves que nos ayudarán a resolver el problema planteado. Estas herramientas mencionadas,

actitudes de confianza y heurísticos, entendemos que son los procedimientos que más cuesta

aprender en el proceso de maduración de los estudiantes en esta etapa educativa, puesto que

partimos de vicios adquiridos e ideas preconcebidas que impiden a los estudiantes explorar

los problemas y enfrentarse a su resolución. Las ideas preconcebidas tienen que ver con el

pensamiento o imagen de que un problema de matemáticas se tiene que resolver de manera

rápida, siguiendo unos pasos claramente establecidos y mediante un procedimiento que

permite obtener un resultado exacto (Frank, 1988). Por esto, los procesos de exploración, de

búsqueda de pautas y de regularidades, la organización de la información disponible para

detectarlas, el dibujo de esquemas o grafos, etc. son cuestiones que no se tienen en cuenta si

no hay un trabajo previo al cual el alumnado debe estar acostumbrado, acompañado del

correspondiente razonamiento y argumentación.

Debemos partir de la base que identifica un problema de matemáticas como aquella propuesta

en la que a priori, se desconoce cuál es el camino que nos va a llevar con éxito a su resolución

(Polya, 1981). En el caso de tener dicho camino previamente, la actividad no se puede

considerar un problema sino un ejercicio. Por otro lado, un problema no puede tener un

carácter tan abierto que se pueda convertir en una investigación, donde no se dan criterios

para enfrentarse a ella y al resolutor se le plantean cuestiones que responder a partir de la

propuesta. Esta breve clasificación implica que el concepto de problema es relativo puesto

que según Schoenfeld (1985), ser un problema no es una propiedad inherente a una tarea

matemática, sino que lo que hace que una propuesta sea considerada un problema para esa

persona es la relación entre el individuo y la tarea.

Cuando hablamos de heurística nos referimos a los modos de comportamiento en la

resolución de problemas, y los medios que se utilizan en el proceso de resolverlos, que son

independientes del contenido y que no suponen una garantía de obtención de la solución

(Puig, 1996). La importancia de estos modos y estos procesos son muchas veces ignorados

por la práctica cotidiana del profesorado, y pensamos que merecen una atención primordial,

en tanto en cuanto preparan a la mente para mejorar en los procesos de aprendizaje de

cualquier contenido en cualquier etapa educativa, siendo esta una razón que permite

considerar las matemáticas como contenido instrumental.

Dentro del abanico de heurísticos que se han trabajado en las clases de resolución de

problemas, sin distinguir entre herramientas heurísticas, sugerencias heurísticas o destrezas

heurísticas según la clasificación de Puig (1996), podemos citar las siguientes: haz un dibujo;


ISBN 978-84-945722-3-4

sistematizar el trabajo: organiza los datos haciendo una tabla o una lista; considera un caso,

particulariza; generaliza; resolver un problema equivalente más simple; empieza por el final.

Todos estos heurísticos se proponen en un contexto determinado o simplemente mediante

una propuesta aislada pero bastante simple en su enunciado. Veamos algunos ejemplos.

PROPUESTA 1: ¿Cuál es la última cifra de 72017?

PROPUESTA 2: ¿Sabrías decir si el resultado de la siguiente suma es múltiplo de 5?

3444 + 4333

Por supuesto, es inútil el uso de la calculadora puesto que el valor de la potencia sobrepasa

la capacidad de la pantalla, por lo que nos vemos forzados a buscar el camino que resuelva

la situación. Algunos tienen la intuición de calcular las primeras potencias de 7 (hacen el

problema más simple) y los menos organizan los resultados (organizan los datos haciendo

una tabla) lo cual facilita encontrar pautas y regularidades. Una vez detectada la pauta, se

puede determinar cuál es dicha última cifra. La potencia de estos dos heurísticos es enorme

pues facilita llegar a una respuesta razonada. Pero nuestro interés está centrado en trabajar el

heurístico que consiste en “empezar por el final”. Un problema aritmético que se resuelve

utilizando este heurístico ponemos a continuación.

3. EL JUEGO DEL NIM Y ALGUNAS VARIANTES En nuestro trabajo nos hemos centrado en la aplicación de los heurísticos de resolución de

problemas en juegos de estrategia, y concretamente en el NIM. El NIM es un juego de origen

oriental que consiste en distribuir palillos en cuatro filas de 1, 3, 5 y 7 palillos

respectivamente. Participan dos jugadores que van retirando del tablero alternativamente

cuantos palillos quieran pero solamente de una de las filas. Sus características hacen que el

juego sea muy especial:

1) Es un juego secuencial; 2) Es un juego combinatorio; 3) Es un juego finito; 4) Es de

información perfecta; 5) Es de habilidad; 6) Es de estrategia; 7) Es cerrado.

Por todo ello resulta fascinante enfrentarse a un contrincante para jugar puesto que aunque

inicialmente se intuya que puede ganar cualquiera de los dos contrincantes, estudiar cual es

la estrategia ganadora permitirá poner en marcha mecanismos de razonamiento que son

transferibles a otras situaciones similares. Sin embargo, la dificultad que entraña su análisis

sin un entrenamiento inicial, nos llevó a pensar la posibilidad de trabajar previamente con

otros juegos cuya estructura sea semejante y más sencillos de resolver, y donde el heurístico

de resolución también sea el de "empezar por el final". Vamos a mostrar tres de dichos juegos,

aunque se trabajaron muchos más, algunos con tableros muy atractivos como los propuestos

en los talleres de las XVI JAEM de Gijón de 2011.

3.1 QUINCE PALILLOS


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Este juego consiste en disponer de 15 palillos sobre el tablero, juegan dos personas y

alternativamente quitan 1, 2 o 3 palillos. Pierde aquel jugador que quita el último palillo.

Empiezan a jugar y al poco se dan cuenta de que cuando quedan 5 palillos en la mesa, a quien

le toca jugar va a perder seguro. La pregunta que corresponde hacer es: ¿por qué sabemos

seguro que quien juegue ahora perderá? Esta pregunta debe ir encaminada a que el jugador

analice las distintas posibilidades que da el tablero en estos momentos, y que lo registre en

su libreta.

PALILLOS QUITA EL JUGADOR A QUEDAN QUITA EL JUGADOR B QUEDAN

5 1 4 3 1

5 2 3 2 1

5 3 2 1 1

Con lo cual, haga lo que haga el jugador A, el jugador B siempre ganará. Aquí es el momento

de introducir un nuevo concepto, que es el de "número perdedor", que corresponde al número

de palillos que hay en la mesa de manera que a quien en ese momento le toque jugar, ese

jugador perderá la partida. Se trata de un concepto relativo, ya que no se atribuye a un jugador

en concreto sino a quien en ese momento vaya a jugar, lo cual a algunos alumnos les cuesta

de entender. Ante la pregunta de si hay alguna estrategia ganadora, algunas opiniones van en

la línea de jugar de manera que dejemos 5 palillos al contrincante, lo cual hará que éste pierda

la partida.

- ¿Qué pasa si dejo 5 palillos?

- Que el otro perderá la partida

- Entonces, ¿cómo debo jugar para ganar?

- Vas quitando palillos hasta que dejas cinco en la mesa.

- ¿Y lo que hacemos al principio influye en algo?

- No, solamente vas con cuidado para cuando a ti te toca, dejar 5 palillos.

Esta conversación suele ser la más habitual, por no tener esa perspectiva de que lo que se

hace en cualquier momento de la partida, determina lo que va a pasar posteriormente. Ahí la

intervención del profesor puede ayudar a identificar los números que son perdedores: si

averiguamos qué números son los perdedores, nos podremos asegurar cuantos palillos nos

interesa dejar en el tablero cuando nos toque jugar a nosotros. Por ejemplo, 1 es perdedor,

igual que 5. Sin embargo, 2, 3 y 4 son números ganadores, porque a quien le toque jugar en

ese momento basta con quitar 1, 2 o 3 palillos para dejar al contrincante el último y abocarlo

a perder la partida. A partir de aquí, organizamos los valores en ganadores y perdedores, y

empezando por el final, ven que los números perdedores son 1, 5, 9 y 13. El resto de números

son ganadores. Por tanto, puesto que 15 es ganador, el que empieza a jugar gana la partida,


ISBN 978-84-945722-3-4

si sabe cuál es la estrategia ganadora, que consiste en quitar 2 palillos y dejar al contrincante

con 13 que es un numero perdedor, y seguir la secuencia sucesivamente.

Una vez que el juego ha sido resuelto, debemos ir más allá. Es decir, debemos aprovechar la

situación para cambiar alguna de las reglas del juego que hacen que la resolución nos

proporcione un resultado distinto. Aunque puede haber muchas más, un par de propuestas

podrían ser:

- Supongamos que en lugar de quitar 1, 2 o 3 palillos podemos quitar hasta 4. ¿Cuál es ahora

la estrategia ganadora?

- Supongamos que en lugar de perder el que se lleva el último palillo, resulta que en ese caso

sería el ganador. ¿Cuál es ahora la estrategia ganadora?

3.2 LLEGAR A CIEN

Es un juego para dos participantes, que consiste en que uno de ellos dice inicialmente un

número entre 1 y 10. A continuación, el segundo jugador dice otro número entre 1 y 10 y se

lo suma al que ha dicho el primer jugador. De nuevo el primer jugador dice un valor entre 1

y 10 y lo suma al resultado de la suma del segundo. Y así sucesivamente. Gana el primer

jugador que llega a 100.

Tras un par de partidas por parejas, y tras pedir públicamente que si alguien detecta alguna

cosa que ayude a ganar la diga, los alumnos proponen alguna estrategia que piensan les va a

ayudar a ganar. "Yo siempre digo un número que al sumarlo con lo que dice mi contrincante

me dé 10", por ejemplo. Pero alguien se da cuenta de que si decimos 89, entonces diga lo que

diga el contrincante nosotros vamos a ganar. Por tanto, podemos identificar este valor como

número ganador. Debemos pedir que analicen la jugada empezando por 89.

Por lo tanto, el jugador que consigue llegar a 89 va a ganar seguro, diga lo que diga el

contrincante. En este punto volvemos a preguntar qué pasa al principio de la partida, si

debemos decir algún número en concreto o dará lo mismo. Y pese a tener la experiencia del

juego anterior con palillos, muchos alumnos aún no tienen asimilada la dependencia del

resultado en función de los valores que se usan al inicio del juego. Y tampoco han hecho un

análisis de cuáles son los valores que van a permitir ganar. Solamente algún estudiante

aislado encuentra la secuencia de números ganadores, empezando por el trivial: 100, 89, 78,

67, 56, 45, 34, 23, 12, 1. Por tanto, si 1 es un número ganador, quien empieza gana, si sabe

cuál es la secuencia de números ganadores.


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Por supuesto debemos introducir aquellas modificaciones en las reglas del juego que hacen

cambiar la búsqueda de la estrategia ganadora y por tanto, resolver el juego de usando el

heurístico de "empezar por el final": "Pierde el primer jugador en llegar a 100", o bien "Se

puede decir un número entre 5 y 10".

3.3 LA ESCALADA

Este es un juego para dos personas, de manera

que una de ellas coloca su ficha en el punto de

salida y avanza una posición siempre hacia

arriba en vertical o diagonal. Gana el primero

que llega al punto señalado como meta.

La resolución del juego pasa por identificar cuáles son los puntos

que podemos identificar como ganadores y cuáles como perdedores.

Un punto es perdedor si moviendo la ficha a cualquier otra posición

el jugador a quien le toca intervenir pierde con toda seguridad,

mientras que un punto es ganador si el jugador correspondiente

mueve su ficha al punto adecuado que hará que su contrincante

pierda, y por tanto, él gane la partida. La resolución del juego pasa por identificar los puntos

ganadores y perdedores empezando por el final. Identificando cada punto vemos que el punto

de salida es ganador, por lo que podemos deducir que el que empieza el juego ganará si sabe

usar la estrategia ganadora.

La dificultad de nuevo radica en identificar que cada punto es ganador o perdedor, y que para

analizar el carácter de cada punto debemos usar el heurístico de "empezar por el final". En la

mayoría de los casos hemos visto que debemos insistir en que los alumnos realicen este

proceso, ya que no resulta espontáneo fijar la atención en el estudio del carácter de cada punto

empezando por los últimos. El profesor debe volver a recordar y orientar el trabajo en este

sentido, lo cual nos indica que este procedimiento no resulta sencillo para los estudiantes, y

nuevamente debemos conducir el proceso.

4. RESOLUCIÓN DEL NIM

Una vez realizado el trabajo previo con actividades sencillas en las que el principal heurístico

que nos permite la resolución del juego es el de "empezar por el final", iniciamos el estudio

del juego del NIM original. Como siempre, pedimos a los alumnos que jueguen y que nada

más detecten alguna situación que ellos identifiquen como "curiosa" o que facilite ganar, la

ponemos en la pizarra para compartirla con toda la clase y la analizamos. Sobre todo nos

interesan aquellas situaciones en las que ellos vean claramente que cuando uno de los


ISBN 978-84-945722-3-4

contrincantes se enfrenta a ella, haga lo que haga va a perder. Este tipo de situaciones las

estamos llamando "situaciones perdedoras" o también la podemos llamar "situación fatal".

Una de las primeras situaciones fatales identificadas es la que tiene dos palillos en dos filas

distintas. Vamos a codificar esta situación como (2,2) para identificarla claramente y tener

todos la misma notación. ¿Por qué sabemos que esta situación es fatal? Pedimos a los

alumnos que hagan el análisis correspondiente, que se puede representar de la siguiente

forma:

SITUACIÓN INICIAL JUGADOR A JUGADOR B

(2,2) (1,2) quita un palillo (1,0) quita dos palillos de la otra

fila y gana

(2,2) (0,2) quita dos palillos (0,1) quita un palillo de la otra

fila y gana

Puesto que da igual de qué fila el jugador A retira los palillos, aquí acabaría el análisis de la

situación (2,2), con lo cual se demuestra que esta situación es fatal. Otras situaciones fatales

que surgen y que pedimos su análisis como la (3,3):

SITUACIÓN INICIAL JUGADOR A JUGADOR B

(3,3) (2,3) quita un palillo

(2,2) quita un palillo de la otra

fila, dejando al contrincante la

situación fatal ya analizada.

(3,3) (1,3) quita dos palillos (1,0) quita tres palillos de la otra

fila y gana

(3,3) (0,3) quita tres palillos (0,1) quita dos palillos de la otra

fila y gana

Siguiendo este proceso, vamos identificando todas aquellas situaciones fatales que nos van

surgiendo, y por intuición los alumnos identifican las otras situaciones fatales que tienen

palillos en dos filas: (4,4) y (5,5). Otras situaciones fatales con palillos en tres filas que los

alumnos detectan fácilmente son la (1,1,1), o bien la (1,2,3). El análisis de la segunda sería

un poco más largo puesto que se debe estudiar todas las posibilidades.

Este proceso lo que viene a indicarnos es que, en primer lugar, dada una situación de palillos

en el tablero, esta situación es fatal, con lo cual aboca a perder al participante que en ese

momento le toca jugar, o bien la situación es ganadora, puesto que si se conoce la estrategia

ganadora, el participante puede dejarle al contrincante una situación fatal retirando los

palillos adecuados. Es decir, estamos en una situación binaria, en la que cada situación es

fatal o es ganadora. En segundo lugar, ante una situación que no sea fatal, el participante debe

jugar intentando dejar en el tablero una situación fatal para el contrincante, o bien un solo

palillo que le lleva a ganar directamente.


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La búsqueda de las situaciones fatales puede ser un poco larga, por lo que las vamos a poner

a continuación para que queden claramente identificadas:

(2,2) (3,3) (4,4) (5,5)

(1,1,1) (1,2,3) (1,4,5) (2,4,6) (2,5,7) (3,4,7) (3,5,6)

(1,1,2,2) (1,1,3,3) (1,1,4,4) (1,1,5,5) (1,2,4,7) (1,2,5,6) (1,3,4,6) (1,3,5,7)

Por lo tanto, vemos que la posición inicial es una situación fatal, por lo cual, en el caso de

conocer la estrategia ganadora, el que empieza la partida se ve abocado a perder. Incluimos

en un anexo la demostración de la condición necesaria y suficiente para que una situación

sea fatal.

5. CONCLUSIONES

El resultado de la experiencia ha sido satisfactorio por diferentes motivos: con el juego hemos

disfrutado; con el juego hemos aprendido muchas cosas, además de matemáticas; con el

juego hemos estimulado el aprendizaje; con el juego hemos estructurado el pensamiento; con

el juego hemos aprendido un heurístico de los más importantes en el aprendizaje de las

matemáticas.

Debemos resaltar que el interés de la propuesta está centrado en los procesos de

razonamiento, en lugar de centrarse en los algoritmos. Son los procesos que tienen que ver

con la deducción, la búsqueda de alternativas, la eliminación de los casos desfavorables, la

búsqueda de los casos favorables, el análisis de las diferentes posibilidades ante una

determinada jugada o intervención. Son procesos mentales necesarios para incorporar a la

práctica cotidiana de cualquier persona, que ayuda a tomar decisiones fundadas y a mejorar

el razonamiento.

La experiencia nos ha enseñado que estos procesos no son sencillos ni intuitivos para los

estudiantes, sino que deben ser trabajados de forma reiterada para que se incorporen como

una herramienta más al bagaje mental de cada individuo, puesto que no se trata de un

aprendizaje fácil. Usar una herramienta heurística requiere su dominio y su control para

apreciar en qué momento debe ser usada y utilizada de forma adecuada, y hemos comprobado

cómo “empezar por el final” no siempre se utiliza cuando se necesita para resolver el

problema, ya que el cambio de contexto dificulta la detección de la necesidad de su uso. Por

ello, apuntamos a continuación una cita que nos resulta muy reveladora en el sentido de lo

que hemos estado tratando:

Las investigaciones indican que, muchas veces, los errores de los estudiantes en la

resolución de problemas no se deben a la falta de conocimientos matemáticos, sino a un uso

ineficaz de lo que saben.


ISBN 978-84-945722-3-4

(Garofalo i Lester, 1985)

REFERENCIAS:

FRANK, M. (1988): La resolución de problemas y las creencias matemáticas. Arithmetic

Teacher Vol. 35, nº 5. 32-34

GAROFALO, J., LESTER, F. (1985): Metacognición, monitor cognitivo y rendimiento

matemático. Journal for Research in Mathematical Education. Vol 16, nº 3. 163-176.

POLYA, G. (1981): Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.

PUIG, L. (1996). Elementos de resolución de problemas. Granada: Mathema.

SCHOENFELD, A. (1985): Mathematical problem solving. Florida: Academic Press.

BIBLIOGRAFIA:

PUIG, L, CERDÁN, F. (1988). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Síntesis.

Colección: Matemáticas, cultura y aprendizaje.

POSAMENTIER, A., KRULIK, S. (2009). Problem Solving in Mathematics. USA:

Corwin.

GUZMÁN, M. DE: (1991) Para pensar mejor, Barcelona: Labor.

UNA EXPERIENCIA DE APLICACIÓN DE HEURÍSTICOS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Tomás Queralt Llopis Universitat de València [email protected]

ANEXO 1. ESTRUCTURA MATEMÁTICA DE LA RESOLUCIÓN DEL NIM

A la vista de la estructura del juego, según el cual ante una determinada disposición de los

palillos, podemos identificar esta situación como “fatal” o perdedora, o como una situación

que nos permite ganar el juego, nos lleva a pensar en una situación binaria. Por ello

recurrimos a la base 2 para identificar si una situación es fatal o no lo es. Fijémonos en que

la primera situación fatal, salvo la impropia cuando nos queda 1 palillo, es la (2,2) como

hemos analizado. Esta disposición de los palillos en binario sería:

Cualquier palillo que elimine el contrario deja

la situación favorable a ganar, y vemos que aquí hay la segunda columna un número par de

elementos. Por tanto, podemos pensar que cuando hay un número par de elementos en cada

columna la situación es fatal.

2 1 0

2 1 0


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¿Cómo podemos identificar si una situación concreta es fatal o no? Por ejemplo, dada la

situación (2,5,6), ¿se trata de una situación fatal? Si pasamos cada valor numérico a binario,

nos quedaría una situación por filas

2 1 0

5 1 0 1

6 1 1 0

2 2 1

Si contamos cuantos elementos hay por columnas en cada posición, vemos que hay un

número par de elementos en la segunda y en la tercera columna, mientras que en la primera

hay un número impar. Esto nos indica que esta situación no es fatal.

A la vista de estos indicios, nos planteamos la siguiente hipótesis que vamos a demostrar:

La condición necesaria y suficiente para que una situación sea fatal es que al pasar a

binario el número de palillos de cada fila, en cada valor posicional debemos tener una

cantidad par, a excepción de las situaciones (1), (1,1), (1,1,1) y (1,1,1,1).

Las situaciones (1) y (1,1,1) son situaciones fatales que no cumplen la condición, mientras

que las situaciones (1,1) y (1,1,1,1) cumplen la condición pero no son fatales, por lo que

resultan excepciones a regla.

Condición necesaria.

Si pasamos cualquiera de las situaciones identificadas como fatales a binario, podemos

comprobar que se cumple la condición. Pongamos por caso la situación inicial (1,3,5,7)

1 1

3 1 1

5 1 0 1

7 1 1 1

2 2 4

Vemos que en las tres columnas hay un número par de elementos. Lo mismo ocurre con todas

las situaciones identificadas como fatales.

Condición suficiente.

Debemos comprobar que todas las situaciones posibles en las que hay un número par de

elementos en cada valor posicional, entonces se trata de una situación fatal. Para ello, vamos


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a revisar todos los casos posibles de forma organizada teniendo en cuenta las distintas

situaciones según el número de filas con palillos.

1. Con dos filas de palillos. El número de elementos en cada valor posicional, para que sea

par, serán 0 ó 2, por supuesto nunca más de 2. Los posibles resultados pueden ser 2, 20,

22, 200, 202, 220, 222. Y esto puede ocurrir en los siguientes casos:

Hemos tachado aquellas situaciones cuya disposición en palillos no se puede dar o bien se

corresponde con una excepción.

2. Con tres filas de palillos. El número de elementos en cada valor posicional puede

sumar 0 ó 2 para que sea par, ya que nunca pueden ser más de 3. Los posibles

resultados pueden ser 20, 22, 200, 202, 220, 222.

3. Con cuatro filas de palillos. El número de elementos en cada valor posicional puede

sumar 0, 2 ó 4. Los posibles resultados pueden ser: 4, 20, 22, 24, 40, 42, 44, 200,

202, 204, 220, 222, 224, de los cuales podemos excluir las situaciones 20, 40, 42, 44,

200, 220 que no pueden darse por tener cuatro filas y por la cantidad inicial de

palillos en cada fila.


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Con este análisis queda demostrada la hipótesis de la que partimos.


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CB-662

EVALUAR LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A TRAVÉS DE LA DINÁMICA

DE SISTEMAS14

Maria T. Sanza – Miguel Arevalillo-Herráeza – David Arnaua – José A. González-Calerob


[email protected] aUniversitat de València (España), bUniversidad de Castilla la Mancha (España)

Núcleo temático: La Resolución de Problemas en Matemáticas.

Modalidad: CB.

Nivel educativo: Educación Primaria.

Palabras clave: Dinámica de Sistemas, Sistemas Tutoriales Inteligente, Resolución de

Problemas, Educación Primaria.

Resumen La Dinámica de Sistemas es una metodología multidisciplinar, desarrollada en el

Massachussets Institute of Technology, que permite crear modelos dinámicos de sistemas

complejos. Los resultados obtenidos mediante esta metodología en determinadas áreas de

las Ciencias Sociales avalan su aplicabilidad al campo educativo. En concreto, este trabajo

considera la construcción de un modelo de aprendizaje para la resolución de problemas

aritméticos en Educación Primaria y su integración en un sistema tutorial inteligente (STI).

El trabajo se enmarca en el campo de Learning Analytics en la medida que se instrumentaliza

el STI para la obtención de una elevada cantidad de información acerca de las resoluciones

de los alumnos. El modelo toma en consideración tanto variables derivadas de las

actuaciones de los estudiantes como otro tipo de variables ligadas con las tareas (p.ej.,

dificultad teórica del problema) o características previas del resolutor (p.ej., nivel de

comprensión lectora). La construcción del modelo se basa en un estudio con un estudio con

64 estudiantes de 4º de Educación Primaria sobre una colección de 16 problemas. La

validación del modelo (r=0.6815) se basa en una colección de 10 problemas completados

por la misma muestra de estudiantes.

Antecedentes y objetivos

Los problemas verbales aritmético-algebraicos forman parte de la enseñanza de las

matemáticas desde el inicio de la primaria a la finalización de la secundaria. Según Cerdán

(2008), estos problemas son “un texto, que presenta la descripción cuantitativa de una

situación o un fenómeno por medio de varias cantidades interrelacionadas [...] el propósito

14

Este trabajo ha contado con el apoyo de los proyectos concedidos por el Ministerio de Educación de España

(EDU2015-69731-R (MINECO / FEDER)), el Ministerio de Economía y Competitividad de España (TIN2014-

5964-C2-1-P) y la Conselleria d'Educació, Investigació, Cultura i Esport (GVPROMETEO2016-143)






ISBN 978-84-945722-3-4

del problema, expresado en el propio texto, es la determinación de una o varias de las

cantidades desconocidas” (Cerdán, 2008, p. 27). Un ejemplo de este tipo de problemas sería:

‘Matilde ha comprado en unos grandes almacenes un libro y un videojuego. El libro costaba

17 euros y el videojuego 69. Si ha vuelto a casa con 103 €, ¿cuánto dinero llevaba al salir de

casa?’.

La complejidad de los procesos de enseñanza aprendizaje de la resolución de problemas

aritmético-algebraicos se refleja tanto en la dificultad de los estudiantes para afrontar estas

tareas, como en la dificultad de los profesores para identificar cuáles son las carencias de los

estudiantes (Lampert, 2003) y organizar secuencias de enseñanza adaptadas (Shulman,

1987). Las dificultades de los profesores son consecuencia en muchos casos de la mera

imposibilidad de recordar o relacionar la gran cantidad de información que se pone en juego

(p.e., el profesor difícilmente puede recordar la actuación, meses atrás, de un estudiante

concreto en problemas similares a los que está resolviendo). En otros casos ponen de

manifiesto la dificultad de algunos profesores para identificar todas las vías de resolución

posibles de un problema (Arnau, Arevalillo-Herráez y González-Calero, 2014).

En este sentido los entornos de aprendizaje computerizados, y en especial los sistemas

tutoriales inteligentes (en adelante STI), podrían ayudar a superar este tipo de dificultades y

facilitar el aprendizaje (Huang, Craig, Xie, Graesser y Hu, 2016). En principio un STI

debería estar formado por cuatro módulos: el modelo del dominio, el modelo de estudiante,

el modelo didáctico, y el modelo de comunicación (Woolf, 2008). Sin embargo, los

programas que habitualmente se orientan hacia la enseñanza de la resolución aritmética de

problemas han centrado su desarrollo en el modelo de comunicación. Así, por ejemplo,

entornos como Schemes for Problem Analysis (Hershkovitz y Nesher, 1996) o HERON

(Reusser, 1993) ofrecían la posibilidad de representar las relaciones entre cantidades

mediante diagramas de árbol para facilitar el planteamiento y resolución de los problemas.

Menos atención se ha ofrecido desde la educación matemática a la investigación en el

desarrollo del resto de componentes para el diseño de STI.

El objetivo de nuestra investigación es elaborar un metodología para la construcción de

modelos de estudiante que permita al modelo didáctico inferir la actuación de los estudiantes

en la resolución aritmética de problemas verbales y sugerir secuencias de problemas

adaptadas a las necesidades de los estudiantes. Con este fin asumimos que el rendimiento de


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un estudiante que se enfrenta a un nuevo problema se puede predecir a partir de variables

relacionadas con la tarea y con las características de los individuos. En la Figura 1, se

presenta el modelo causal predictivo el cual se asemeja al comportamiento de un tutor

humano. Partiendo de que un profesor tiene unos conocimientos previos de sus alumnos

(subsistema población), les asigna una tarea (subsistema tarea) de acuerdo a su modelo

mental de la competencia global del grupo de estudiantes (rendimiento de la población). Este

modelo mental le permite predecir el rendimiento de la población en las tareas disponibles,

y por tanto regular la dificultad del próximo ejercicio. El rendimiento real en la nueva tarea

permite retroalimentar el subsistema población (flecha naranja) y mejorar el modelo de

estudiante.

Figura 1. Diagrama causal del modelo de predictivo.

A diferencia de otros trabajos en el uso de inteligencia artificial en educación, en nuestra

investigación se trata el aprendizaje como un proceso dinámico, y es por ello que se aborda

a través de la Teoría General de Sistemas que propone el uso de metodologías de carácter

transdisciplinar que permitan a los investigadores construir modelos matemáticos con los que

resolver problemas en el ámbito de los sistemas complejos. Fue Jay W. Forrester (1961)

quién desarrolló en los años 50 del siglo pasado la Dinámica de Sistemas en el Massachussets

Institute of Technology (MIT) como metodología transdisciplinar con la que construir

modelos dinámicos de sistemas complejos y usarlos como herramienta de intervención en los

mismos.

Características del sistema tutorial inteligente

El STI escogido en este trabajo es el presentado en Arnau, Arevalillo-Herráez y González-

Calero, (2014), llamado Hypergraph Based Problem Solver (HBPS), que es capaz de

supervisar la resolución, tanto aritmética como algebraica, de problemas verbales aritmético-

http://es.wikipedia.org/wiki/Din%C3%A1mica_de_sistemas


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algebraicos. El sistema tiene las siguientes cuatro características: independencia respecto al

método de resolución, independencia respecto al uso de una o más ecuaciones, independencia

entre cantidad y su representación e independencia de funcionamiento del STI respecto del

problema.

Figura 2. Interfaz del STI.

Actualmente, el sistema está compuesto por tres elementos: (1) una interfaz gráfica (Fig. 2)

la cual permite la interacción usuario-sistema, (2) un módulo didáctico capaz de controlar la

validez del proceso de resolución y ofrecer ayudas a demanda, y (3) una base de datos que

almacena información sobre las actuaciones del usuario. Cuando se inicia la resolución de

un problema, el sistema muestra el enunciado, un conjunto de botones con los valores de los

datos del problema (explícitos o implícitos) y cuatro botones con las operaciones de suma,

resta, multiplicación y división. Así, en el problema anteriormente presentado, el estudiante

podría iniciar la resolución haciendo la operación 17+69 usando los botones (Figura 2). El

sistema evalúa la validez de la operación buscando una relación entre cantidades en las que

aparezca 17 (precio de un libro) y 69 (precio de un videojuego). En este caso, el sistema

identificaría que se está utilizando (correctamente) la relación dinero total gastado

(desconocida) es igual a precio de un libro más precio de un videojuego y asignaría el

resultado de la operación a la cantidad desconocida. Este resultado, 86, aparecerá como un

nuevo botón para que pueda ser utilizado en el siguiente paso. Si el estudiante siguiera la

resolución con la operación 103 - 86. En este caso el sistema supondría un error (Figura 3),


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e informaría al usuario. Si el usuario introduce la operación 103+86, el sistema la detectaría

como correcta, asignaría el resultado (193) a la cantidad desconocida que es el resultado del

problema y daría por finalizada la resolución

Figura 3. Detección de operación errónea durante la resolución del problema

Material y métodos

La muestra del estudio está compuesta por 64 estudiantes de tres grupos naturales de cuarto

de primaria. La intervención se realizó a lo largo de cinco sesiones atendiendo a las variables

de investigación de resolución de problemas elegidas. Se han escogido variables cuantitativas

fácilmente medibles a través de herramientas específicas adaptables a distintas situaciones

experimentales, ya que la intención de este proyecto es la implementación de sistemas que

puedan ser usados en situaciones reales de enseñanza. En concreto, para la determinación de

las características del sujeto nos basamos en: (a) su coeficiente de inteligencia medido a partir

de la resolución de problemas de razonamiento lógico (en adelante I), (b) su nivel de

comprensión lectora (en adelante R) y (c) su destreza matemática previa como resolutor (en

adelante Pi-1).

En la sesión 1 se administró la prueba de PIRLS15 para alumnos de 4º de Educación Primaria.

Esta prueba fue diseñada con un texto narrativo y un texto informativo. A partir de los

resultados se obtuvo la variable R. En la sesión 2 se midió I a través de la subprueba 2 de la

prueba breve de inteligencia de Kaufman y Kaufman (1990). Esta prueba evalúa la capacidad

15

http://evaluacion.educalab.es/timsspirls/

http://evaluacion.educalab.es/timsspirls/


ISBN 978-84-945722-3-4

para resolver problemas de razonamiento a través de estímulos visuales tanto figurativos

como abstractos. Durante las sesiones tercera, cuarta y quinta los alumnos resolvieron

problemas verbales de manera aritmética con el apoyo del STI. Para determinar la dificultad

teórica de estos problemas de varias etapas (Di) se calcula a través de los resultados empíricos

(Si) obtenidos por Ivars y Fernández, (2016) y Riley, Greeno y Heller, (1983) sobre la

dificultad del problema por tipo de estructura para los problemas de una etapa.

Construcción del Modelo y Análisis de Resultados

La Fig. 4 muestra el diagrama de Forrester que es la traducción causal del mapa conceptual

(Fig. 1), donde el subíndice i, representa la tarea que realizan los estudiantes; Si, son los datos

sobre la tarea utilizados para el cálculo de Di; y Ci es una variable auxiliar a la que se le ha

denominado, capacidad de los alumnos en resolución de problemas aritméticos.

Figura 4. Diagrama de Forrester16

El objetivo es encontrar una función que permita predecir el rendimiento de los estudiantes

(Pi) a través de la dificultad a priori de la tarea (Di) y de la capacidad previa como resolutores

(Ci-1), es decir

𝑃𝑖 = 𝑓(𝐷𝑖, 𝐶𝑖−1)𝑃0 = 𝐶0

} (1)

16Variables de Nivel: se requiere de un valor inicial, que es una variable de entrada, y los siguientes valores se actualizan.

Están representados por un cuadrado, ya que pueden ser comparado con los tanques dónde se almacena un fluido.

Variables de Flujo: se pueden comparar con las llaves de paso que regulan el flujo hacia o desde un tanque de líquido. Están

representadas por un icono característico (cuadrado en forma de reloj de arena).

Variable Auxiliar: son las variables intermedias que se utilizan para calcular los flujos, o variables de salida. Están

representadas por un círculo o elipse.

Variable de entrada: se trata de variables de entrada cuyo valor tiene que ser asignado por una constante o con una función

del tiempo. A partir de ellas se eligen las variables de control o decisión y las variables exógenas o de escenario. Están

representadas por un círculo o una elipse de doble línea.

Las fuentes o sumideros están representados por una nube, que representan respectivamente la procedencia o el destino, a

través de los flujos, de los niveles cuando no interesa evaluar la procedencia o el destino de los mismos.


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La primera consideración es el cálculo de la variable Ci-1 (2) como una combinación lineal

normalizada de las variables resultado en el problema anterior (Pi-1), comprensión lectora

(NR) y coeficiente de inteligencia (NI),

𝐶𝑖−1 = 𝛼 · 𝑃𝑖−1 + 𝛽 · 𝑁𝑅 + 𝛾 · 𝑁𝐼 (2)

Para la obtención de la función buscada (3) se ha utilizado el programa Regint (Caselles,

1998). Los primeros 16 problemas se utilizaron para obtener este ajuste, siendo (3) la función

considerada óptima por tres razones: valor del coeficiente de correlación alto (r=0.6857),

aleatoriedad de los residuos y la aceptación de la normalidad de los mismos a través de la

prueba de Kolmogorov-Smirnov.

𝑃𝑖 = 𝛼 + 𝛽 · 𝐶𝑖−1 +1

1+𝛾·ⅇ𝜃·𝐷𝑖) (3)

Finalmente, la validación (Fig. 5) se realiza utilizando los 10 problemas obtenidos por los

estudiantes en la segunda sesión. En este caso el proceso de validación ha sido considerado

exitoso debido a tres razones: la superposición gráfica entre datos históricos y calculados es

buena, el coeficiente de correlación es aceptable y la aleatoriedad de los residuos ha sido

verificada por medio del error máximo relativo.

Figura 5. Datos simulados (línea) y datos reales (puntos) para Pi de la población en las tareas

1 a 10 de la primera sesión. r= 0.6815. Test de Kolmogorov-Smirnov's, D(α,10)> 0.1302,

para un nivel de significación α≥0.01. Con lo que se acepta la hipótesis de la normalidad de

los residuos.

Conclusiones y líneas Futuras

En este trabajo se ha presentado un modelo dinámico matemático en construcción para

estimar el rendimiento de una muestra de alumnos de 4º de Educación Primaria en la

resolución de problemas verbales aritméticos. Las principales variables del modelo actual


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son la dificultad a priori del problema, la comprensión lectora del alumno, la destreza previa

en matemáticas y el rendimiento previo del alumno en problemas aritméticos. El modelo

actual tiene un coeficiente de correlación aceptable, pero es necesaria ponerlo a prueba en

situaciones distintas para mejorar su diseño.

Actualmente, trabajamos en la incorporación de nuevas variables que permitan una mejor

caracterización de los estudiantes, así como la mejora del modelo para validarlo con un solo

usuario y por género. Una futura integración del modelo en el STI permitiría determinar

secuencias de aprendizaje individualizadas en tiempo real de acuerdo con las características

de cada alumno y su trayectoria de aprendizaje.


Arnau. D., Arevalillo-Herraez, M., y Gonzalez-Calero, J. A. (2014). Emulating Human

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CB-664

DRAGONBOX E A PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO ALGÉBRICO

POSSIBILITADA POR UM JOGO DIGITAL

Cristiano Natal Tonéis – Rosa Monteiro Paulo


FIAP – Faculdade de Informática e Administração Paulista, Brasil.

UNESP - Universidade Estadual Paulista, Brasil.

Núcleo temático: V – Recursos para o ensino e aprendizagem das matemáticas

Modalidade: CB

Nível educativo: 3 – Médio ou Secundário (12 a 15 anos)

Palavras chave: games, cálculo algébrico, corporeidade

Resumo Este texto apresenta uma pesquisa que objetiva expor uma metodologia para a introdução

dos conteúdos algébricos para alunos dos anos finais do Ensino Fundamental. Por meio do

game DragonBox Algebra 12+ trabalharemos com um grupo de professores da rede pública

de ensino do Estado de São Paulo, Brasil, analisando e discutindo possibilidades de tratar

as propriedades algébricas fundamentais presentes nesse game. Autores como Merleau-

Ponty (2006); Toneis (2015); Garris; Ahlers & Driskell (2002); Prensky (2007), nos

permitirão compreender de que modo nosso corpo próprio e nossa ação no game colabora

para a produção de conhecimentos algébricos através da resolução de problemas e para a

sistematização do conteúdo em sala de aula. Com base na fenomenologia merleaupontyana

e no Digital Game-Based Learning (DGBL) faremos uma análise da experiência vivida com

o jogo indicando como e quais elementos matemáticos e lógicos emergem na ação de jogar,

a partir da expressão dos sujeitos que jogam.

1. Introdução

Em 1936, Alan Turing elaborou uma máquina, inicialmente teórica ou hipotética, que poderia

executar processos mecânicos como uma pessoa, apresentando o que ficou conhecido como

“Máquina de Turing”. De acordo com Fonseca Filho (2007), o trabalho iniciado por Turing

com o decifrador de códigos durante a Segunda Guerra Mundial (1940) e a construção de

Colossus – uma máquina inteiramente eletrônica – até o projeto inglês do Automatic

Computing Engine (ACE), marcou o início da história dos computadores digitais.

Em particular, com os novos modelos de equipamentos portáteis – mobiles (celulares,

tablets), as potencialidades do computador superam suas atividades aritméticas ou, nas

palavras de Fonseca Filho (2007, p. 79), “Turing estava convencido de que operações de




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cálculo eram somente um dos tipos de sistemas formais que poderiam ser imitados pelos

computadores”.

Fatores como a imersão e a interatividade originam novas potencialidades e os jogos digitais

pressupõem novas experiências a serem vivenciadas que, com objetivos didáticos, podem

estar presente em diferentes áreas do conhecimento, em particular, na Matemática, foco de

nosso interesse.

Tonéis (2015), considerando tais potencialidades, afirmou que alguns jogos digitais com

propósitos educacionais foram desenvolvidos como, por exemplo, em 1971 The Oregon

Trail; em 1985 Where in the World is Carmen Sandiego? E o primeiro jogo digital

envolvendo matemática o Lemonade Stand (em 1979), uma simulação de barraca de

limonada com um gameplay totalmente textual (Heick, 2012).

O jogo é, de acordo com Huizinga (1990), anterior a toda cultura e pelo jogo a cultura é

gerada ou modificada desde o homo culturalis ao homo ludens. Em nossa pesquisa, discutida

neste texto, os jogos nos motivam a reflexão e a busca por compreender o modo de, ao jogar,

o ser no mundo considerado sempre com o outro ao invés de “estar ao lado” deles, se mostra.

Ou seja, trazemos um modo pelo qual a álgebra escolar pode ser apresentada em sala de aula

por meio do game DragonBox Algebra 12+ de modo que pela vivência do jogo digital se

potencialize um modo de descoberta, de produção de sentido para o fazer matemática.

2. De nosso corpo próprio e das metáforas para Matemática: a produção de significados.

Tal qual entendemos, ao protagonizarmos em um game fazemos corpo-a-corpo com esse

universo e é por meio de nosso corpo próprio que o vivenciamos.

Merleau-Ponty (2006) afirma que nosso corpo não pode ser compreendido como uma coisa

ou um objeto de estudo. Este corpo (que eu sou) não é apenas um conjunto fisiológico de

elementos, de ossos, músculos e sangue como o trata, por exemplo, a biologia. Este corpo

ultrapassa a rede de causas e efeitos e a ideia de um suporte para uma alma ou para uma

consciência. É um corpo vivencial, é o nosso das Leib (corpo-próprio).

O corpo próprio escapa ao tratamento objetivista da ciência uma vez que é no tempo e no

espaço e está ligado pela intencionalidade ao mundo. É um corpo que por meio da ação

descobre e confere sentido ao que o rodeia. É uma unidade, como “um nó de significações

vivas e não a lei de um certo número de termos covariantes” (Merleau-Ponty, 2006, p.210).


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Assim compreendido, o corpo próprio é o que realiza a ancoragem do sujeito ao mundo, “sou

meu corpo pelo menos na medida em que tenho adquirido, e reciprocamente, meu corpo é

como um sujeito natural, como um esboço provisório de um ser total” (Merleau-Ponty, 2006,

p. 231).

Ricoeur (1983) procurou definir o sujeito como aquele que se desvela na aplicação

hermenêutica do “eu penso”, “eu posso”, “eu creio”, abrindo-se para o mundo. Ao abrir-se

para o mundo o “eu”, enquanto pessoa identificada, é o “quem” de uma ação, é alguém que

age ou tem o poder de agir com alguma intenção e de intervir no mundo. Com isso pode-se

compreender que todo conhecimento humano se dá em uma determinada perspectiva. Não

podemos conhecer os objetos independentes – sem relação alguma com nós mesmos – pois

somos seres contextualizados, somos no mundo com os outros.

Portanto, “ser uma consciência, ou antes, ser uma experiência, é comunicar-se interiormente

com o mundo, com o corpo e com os outros, ser com eles em lugar de estar ao lado deles”

(Merleau-Ponty, 2006, p. 142). Nesse sentido uma ação fenomenológica nos games atravessa

nossa vivência no jogo digital, pois o mundo virtual demanda potencialidades, provoca-nos

de tal modo que nos reinventamos nele e nesse mesmo movimento reinventamos nosso

mundo vivencial.

Lebenswelt ou mundo vivido ou ainda mundo vivencial é uma expressão advinda da

fenomenologia hermenêutica e está presente em todo nosso percurso acadêmico, uma vez

que corpo e mente ou corpo e mundo são indissociáveis. O corpo se movimentando é afetivo

e transcende o imediatamente dado quando se expressa e fala, pois também fala com o

silêncio de seus movimentos e expressões. É pelo corpo que vivenciamos, agimos e agindo,

conhecemos.

Em nossa adesão ao jogo nos deixamos ser jogados, “é o jogo que é jogado ou que se

desenrola como jogo, sich abspielt (ou o que nos acontece, trata-se da presentificação do ato

de jogar), nisso não há um sujeito fixo que esteja jogando ali, o jogo é a consumação do

movimento como tal.” (Gadamer, 1999, p. 177). Em um único movimento, jogador e jogo se

fundem. Desponta uma forma para reconciliarmos a experiência que temos de nós mesmos

com nosso conhecimento científico e o mundo da experiência vivida.

Somos seres contextualizados (situados) e por isso nos encontramos como uma consciência

que emerge em meio a um mundo pleno de sentidos (Merleau-Ponty, 2006). Nosso pensar


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desenha paisagens que dialogam entre si. A ação no game e a produção de metáforas

favorecem essas paisagens que se transformam buscando um processo de conceituação.

3. DragonBox Algebra 12+: Apresentação do game

As regras de um jogo descrevem sua estrutura e objetivo. Garris et al. (2002, p. 448)

afirmaram que “um jogo exige que o jogador adote papéis ao participar de sua narrativa”. A

Narrativa em DragonBox Algebra 12+ convida o jogador a criar um filhote de dragão desde

o ovo e a alimentá-lo para crescer. Porém, o dragãozinho é tímido e somente se alimenta

quando estiver sozinho em seu espaço.

O game está organizado em 10 capítulos e cada capítulo possui 20 episódios ou níveis

distintos e o jogador recebe “poderes” no decorrer dos capítulos. Esse “poder” se relaciona

de forma metafórica com conteúdos da algébrica escolar.

Compreendendo as regras do jogo o jogador, a partir das metáforas, encontra-se também

apreendendo as regras algébricas. Cada “poder” recebido continua disponível e pode ser

utilizado em capítulos posteriores, ou seja, o jogador acumula “poderes” em sua jornada. Até

o quarto episódio do primeiro capítulo todo espaço é da caixa, mas a partir do episódio 5

surgem duas regiões ou setores no tabuleiro (Figura 1).

Figura 1: Ao centro e à direita Screenshots das telas iniciais de DragonBox Algebra 12+. À esquerda

Episódio 5 do capítulo 1 quando no tabuleiro aparece em duas regiões.

Ao deixar o dragão sozinho em seu espaço o jogador recebe como feedback a possibilidade

de visualizar seu filhote alimentando-se e crescendo e, se existir algum elemento “estranho”

(poder não utilizado), ele diz “eca!” e rejeita os elementos.


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Para apresentar neste texto elegemos os “poderes” recebidos pelo jogador em três capítulos

iniciais e traçamos uma relação com conteúdos matemáticos, objetivando uma analogia entre

a dinâmica do game e as regras algébricas (Figura 2). Apresentamos algumas questões que

podem ser exploradas em sala de aula considerando as metáforas do game.

Capítulo 1: Poderes Relações com conteúdos matemáticos

O tabuleiro em duas seções com cartas e o dragãozinho. Deck de cartas (adicionar ao tabuleiro a mesma carta em ambos os espaços); Virar as cartas (produzir opostas); Cartas opostas se anulam.

O sentido da igualdade em uma equação e a identificação de membros e termos. Princípio aditivo e ideia de números inteiros (sinais) Oposto ou Produto por (-1) Elemento neutro da adição (0).

Questões possíveis: Por que cartões opostos se cancelam? Por que temos que adicionar um mesmo cartão em ambos os espaços do tabuleiro?


Razão entre cartas iguais resulta em inteiro; Ao multiplicar a carta por 1 não há alteração da carta É possível a divisão de todas as cartas do tabuleiro por uma carta.

Frações unitárias (conceitos de razão, identificação do numerador e denominador); Inverso multiplicativo; Elemento neutro da multiplicação (1).

Questões possíveis: Por que quando dividimos (ou multiplicamos) uma expressão (ou sentença) que está de um lado no tabuleiro (em uma das janelas) também se deve fazer o mesmo do outro lado do tabuleiro?


Transferir cartas entre regiões do tabuleiro. Fazer o produto - por uma carta - nas duas regiões e simplificar as frações unitárias.

“Regra prática” - principio aditivo; Combinação linear (equações equivalentes).

Questões possíveis: Por que quando mudamos uma carta de lado (no tabuleiro) ela se torna oposta? Existe outra maneira de resolver o desafio sem trocar a carta de lado?

Figura 2: Quadro explicativo com a descrição das metáforas e respectivos conteúdos matemáticos -

composição do autor.

Nos episódios finais do primeiro capítulo aparecem algumas cartas contendo letras e o baú

do dragãozinho, em algumas ocasiões, é substituído por uma carta com a letra “x” (Figura 3)

abrindo a possibilidade de exploração das metáforas para compreensão das regras

estabelecidas no trabalho com a álgebra em sala de aula.

A produção das metáforas do game deve ser mediada pelo professor (Figura 3) de modo que

seja possível ao aluno (jogador) transitar do domínio do game para o domínio da matemática,

ou seja, compreender a analogia entre as duas formas de linguagem que expressam as

situações vivenciadas. No entanto é possível que alguns jogadores realizem essa tarefa


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sozinhos, embora isso não deva ser entendido como uma consequência do jogar, uma vez

que não está explícito nessa ação. Assim, caberá ao professor o objetivo didático do game,

ao possibilitar que os alunos, ao jogarem, estabeleçam relações entre as ações do jogo (sua

forma de expressão) e a linguagem matemática. Essa analogia é favorecida pelas metáforas

do game, porém ao professor compete a exploração do jogo por meio de questões que

auxiliem o aluno a realizar as analogias.

Figura 3: À esquerda “x” no lugar do baú e à direita exemplos de metáforas do game, composição com

diferentes screenshots.

Tal qual entendemos, essas metáforas (de poderes) contribuem para que o jogador caminhe

das regras do jogo para as regras da álgebra. Na pesquisa em desenvolvimento buscamos

analisar o modo pelo qual esse caminhar se dá, ou seja, procuramos compreender como o

aluno, ao jogar, poderá compreender a sistematização das regras e operações algébricas. Isso

possibilitará explicitar como o jogo contribui para o processo de significação das metáforas

que apresenta.

Se nos voltamos para a literatura vimos, por exemplo, com Aarseth (1997; 1999), que o

espaço inaugurado pelos games, com um discurso ergódico no qual o interlocutor além de

interpretar pode explorar, configurá-lo e produzi-lo, abre, além da participação, a

possibilidade de vivenciá-lo em uma abordagem estética, poética e estrutural em que a

interatividade é indissociável do prazer de envolver-se nas ações. Tais ações no game geram

feedbacks que são imediatamente interpretados e fazem com que essas ações assumam um

caráter de hipóteses a serem verificadas.

Em Toneis (2015) discutimos que essas ações são vivências nos games que conduzem para

o desenvolvimento do raciocínio lógico e da produção de conhecimento matemático,

compreendido em sua forma investigativa de argumentação e validação. Em DragonBox


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Algebra 12+ temos um cenário convidativo às ações que exigem argumentação a partir dos

“poderes” conferidos ao jogador ou das metáforas produzidas pelo game no ato de jogar ou

na vivência que a situação possibilita.

Com o objetivo de deixar o dragão sozinho o jogador possui liberdade de movimentos e de

modos de organização das cartas. Juul (2002; 2013) classificou duas formas pelas quais o

level design de um game pode ser estruturado, como progressivo – quando os desafios são

sequenciais, gradativos e expressos na forma de obstáculos classificados a partir dos níveis

de dificuldade (sequenciais), ou emergente – quando se combina um conjunto de regras

simples para gerar interesse por meio de desafios que promovam a exploração ou a

participação em uma narrativa. No game DragonBox Álgebra 12+ estas estruturas estão

articuladas em conjunto (é progressivo e emergente) o que amplia as possibilidades de

exploração do jogador no jogo.

Necessitamos de games que também “incentivem os jogadores a interpretar suas experiências

no jogo procurando compreender de forma divertida quando erram ou falham em uma

situação” (Gee, 2008).

4. Considerações finais e próximas etapas

O modelo proposto para o ensino de equações algébricas, na maioria dos livros didáticos

(Ponte, 2004), se inicia com definições ou regras algébricas generalizadas, seguidas de

inúmeros exemplos que as justifiquem.

No game o processo está centrado no jogador, ou seja, em seu tempo próprio tornando-se um

espaço propício para apreender as regras pelo prazer da descoberta (Tonéis, 2010). Na

pesquisa que apresentamos neste texto, ate o momento, já mapeamos os capítulos e episódios

do game e organizamos ações para dois momentos distintos em que se pretende jogar: (A)

com Professores de matemática da rede pública estadual de São Paulo; (B) com alunos do

curso de Licenciatura em Matemática da UNESP, campus de Guaratinguetá/SP. O objetivo

é analisar “quais tipos de metáforas o professor utiliza para explicar as operações algébricas

no Ensino Fundamental (2º ciclo)? O professor está atento ao seu uso, isto é, é um uso

intencional? O professor analisa o modo como os alunos compreendem tais metáforas? Qual

o papel das metáforas na negociação de significados?”. Os alunos de graduação, por outro

lado, nos possibilitarão compreender a perspectiva do professor em formação que, embora


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não tenha vivenciado situações de ensino, produz sentido para o fazer algébrico e tem modos

de compreensão que subsidiarão sua prática de sala de aula.

Agradecimentos: A Christian Steen que generosamente cedeu a autorização e licenças para

as copias do game DragonBox Algebra 12+; ao grupo de professores da rede estadual de São

Paulo que aceitaram o desafio de jogar e refletir a respeito dos games e o ensino de

matemática, a UNESP de Guaratinguetá pela disponibilização dos tablets e aos alunos da

Licenciatura em Matemática, pela participação na pesquisa. A CAPES pelo incentivo a

pesquisa.

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CB-666

MATEMÁTICA ARTICULADA

Francisco Escobar Delgado – Oscar Collazos vivas


Institución José Holguín Garcés.

Francisco Escobar. Colombia.

Oscar Collazos Vivas. Colombia.

Núcleo temático: Enseñanza aprendizaje de la matemática en las diferentes modalidades y

niveles educativos.

Modalidad: T

Niveles educativos: Primaria, secundaria y terciaria.

Palabras clave: Articulación, Funciones, autonomía, movimiento.

Resumen

La función el elemento más importante de la matemática en los últimos 300 años (Félix

Klein). Robert Langland construye el método Langland. Siendo estos base científica para

construir Matemática Articulada durante los últimos 38 años. Con el modelo se muestra

como las áreas que conforman la matemática se articulan a través de varias funciones, para

elaborar un solo concepto, una sola representación de números, conjuntos, operaciones

geométricas y operaciones algebraicas. El sentido de construir ideas o representaciones en

el estudiante pretende que la memorización no sea lo más relevante en el aprendizaje de la

ciencia matemática. Las funciones permiten construir articulando la geometría con los

conjuntos, la lógica con los conjuntos, la geometría con álgebra o el álgebra con cálculo.

Así se enseñan las operaciones básicas de la aritmética, pasando por las operaciones del

álgebra, hasta llegar al cálculo, siempre de igual forma desde primer grado en primaria

hasta grado 11 en secundaria. Matemática Articulada se construye paso a paso siguiendo

las leyes de la ciencia, imitando a los grandes matemáticos. Aprendizaje que es atravesado

por la lectura y la autonomía del estudiante. Matemática Articulada construye saberes desde

otros estadios, donde el sentido es fundamental como eje directriz, prevaleciendo sobre el

contenido. La metodología pretende que maestros y estudiantes formen saberes aplicados

para construir y mejorar ciencia y tecnología.


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MATEMÁTICA ARTICULADA

Matemática Articulada es una investigación desde el aula de clase y desde la acción histórica,

siendo producto de los saberes aprehendidos por el doctor Francisco Escobar en sus estudios

de postgrado en la universidad Rice y que le mostraron los errores conceptuales y

metodológicos que se enseñan históricamente a niños y jóvenes en las escuelas de Colombia.

Primero como estudiante, luego como maestro de escuela y universidad por más de 35 años.

Históricamente durante casi 300 años el método de enseñanza aprendizaje de la matemática

ha sido casi único, con pocas alternativas metodológicas. Pareciese como si la matemática

como ciencia no se hubiese desarrollado y la educación matemática no evolucionará.

La metodología posee material didáctico propio que se usa en clase para que mediante la

lectura de los textos y la práctica del estudiante se construyan los conceptos, ideas y saberes.

La regla bicolor, los segmentos, hilos y piolas de colores, metro de modistería, los vectores

en fomi, el ábaco, el plano Cartesiano, el primer cuadrante del plano, sólidos y rectángulos

fabricados en madera y plástico. Como ejemplo de nuestro material tenemos regla bicolor:

La metodología inicia en primer grado de básica primaria y desde su inicio usa la función

cantidad articulada con los conjuntos, el ábaco y el álgebra, la función posición la articula

con los puntos, la función longitud se articula con los vectores y los segmentos, todos los

anteriores para finalmente construir primeramente el conjunto de los números naturales el

conjunto de los vectores y segmentos naturales y el conjunto de puntos naturales. Todas las

funciones anteriores permiten al niño el uso de sus saberes previos del mundo material o

físico con el mundo de las matemáticas, permitiendo que las transposiciones sean

representativas de su entorno. Con estas funciones articuladas con la geometría, los


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conjuntos, la lógica, el concepto de números y conjunto de números naturales se construye

aritmética. Con la base de funciones, los Naturales y la aritmética damos inicio a la

enseñanza de las operaciones aritméticas, partiendo siempre del mundo físico pasando luego

a su representación. El aprestamiento se realiza desde la geometría, desde los conjuntos para

llegar a las operaciones suma y resta. En la suma de puntos naturales usamos el segundo

postulado de Euclides y usamos la traslación de puntos que nos forman la recta y luego el

plano. Estas traslaciones en la recta permiten sumar y restar puntos, sumar y restar segmentos

y vectores, con lo cual se observa claramente como la suma es traslación a la derecha en la

suma y resta es traslación a la izquierda (suma y resta son operaciones opuestas). Se realiza

el proceso de enseñanza de sumas por izquierda, por derecha y otras.

Gradualmente Matemática Articulada realiza la enseñanza de las operaciones suma y resta,

de forma similar en los números enteros, los Racionales, los Irracionales y los Reales.

Con segmentos y vectores naturales, hechos en material real y usando nuestra regla bicolor

o nuestro metro de modistería, desde primer grado de primaria, hacemos comparaciones,

como tener “mayor longitud” o “menor longitud”; “ser más corto que” o “ser más largo que”.

Con conjuntos y el ábaco usando también material real construimos comparaciones como

“tiene más elementos que” o “tiene menos elementos que”. Con la función posición

realizamos comparaciones como “estar a la derecha” o “estar a la izquierda”; también “estar

arriba” o “estar abajo”. Finalmente mediante las articulaciones desde la geometría y los

conjuntos comparamos números “ser menor que” o “ser mayor que”.

En la enseñanza de la multiplicación realizamos el aprestamiento con segmentos y vectores

naturales (longitud) para realizar dilataciones de forma similar como el maestro Thales de

Mileto lo hizo. Estas Simetrías de razón permiten construir las tablas de multiplicar en los

números Naturales. También construimos las tablas de multiplicar con puntos naturales, con

los conjuntos y subconjuntos, y finalmente dibujamos las tablas de multiplicar usando

triángulos semejantes, producto de las dilataciones. La multiplicación con dilataciones

permite observar cómo el resultado nos aleja del punto cero.

Las contracciones con segmentos y vectores naturales permiten a los niños iniciar el

aprestamiento que lo llevaran a realizar operaciones con Naturales. La división también se


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realiza con conjuntos y subconjuntos, y el ábaco mediante restas sucesivas. Al dividir

mediante contracciones se observa como nos acercamos al punto cero. Como siempre con

articulaciones entre las funciones vamos desde conjuntos y geometría hasta números

naturales para finalmente dividir números.

Por qué realizamos de esta forma estos procesos, es la forma que Euclides, Apolonio,

Arquímedes, Galileo y otros maestros construyeron esta ciencia, nos apegamos a sus leyes

ya probadas. Tomamos los nuevos saberes de la educación matemática y los articulamos

coherentemente con el mundo físico. Para qué las enseñamos para su uso en la vida diaria,

para construir, interpretar y transformar ciencia-tecnología. Demostramos cómo se construye

la Pascalina con vectores, cómo se construyen y usan traslaciones en el plano para construir

funciones en la pantalla del computador.

Las operaciones suma, resta, producto, división en los números enteros (Z), los Racionales

(Q), en los Irracionales se realiza desde los mismos ítems que en los Naturales (N). Las

potencias las realizamos desde la función posición y mediante conjuntos, haciendo

empaquetamientos.

Las simetrías, rotaciones, traslaciones en el plano perforado de madera y en lenguaje logo en

el computador para mostrar su importancia en la arquitectura, en las ingenierías etc.

Con longitudes, posiciones y cantidades construimos números x, y, z, a, etc. De idéntica

forma que en los Naturales y Enteros, sumamos los polinomios, mostrando que esta

operación de longitudes nos da una longitud. En el producto de polinomios demostramos

cómo en un principio el resultado es un área, luego un cubo etc.

Con la enseñanza de los 5 postulados de Euclides enseñamos el punto y sus características

como la traslación. Con puntos construimos figuras planas, que son conjuntos de puntos. En

trigonometría usando el 3 postulado de Euclides para mostrar cómo se mueve el punto en

referencia con la circunferencia formando las funciones y su uso en la ciencia de formas

diversas iniciando con las bicicletas, pistones etc. Estos movimientos son fácilmente

observables en geogebra.

El cálculo es construido con la función recta aplicada a las infinitas funciones y su uso en la

construcción de sólidos de revolución mediante la rotación de figuras planas.

Así también el cálculo les permite construir con la derivada el movimiento del punto,

calculando la velocidad y la aceleración de cualquier punto en un tiempo determinado


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(Ejemplo f (t) = t2) mediante esta desplazamiento del punto se construye el movimiento en

las tareas de geogebra que muestran esta característica de las matemáticas, el movimiento.

El trabajo continuo desde grado uno con funciones obtiene importancia para la enseñanza

aprendizaje en el pre cálculo, cuando se trabaja los diversos tipos de funciones.

Matemática Articulada en sus 8 libros recrea para nuestros estudiantes de forma didáctica la

matemática haciéndola agradable, mostrando que fue hecha por hombres para los hombres.

De forma gradual, permitiendo auto formación e inclusión del estudiante en todo el proceso

de aprendizaje, desarrollando habilidades de autonomía, lectura y amor por la ciencia. El

sentido prevalece sobre el contenido y la practica sobre la memorización.


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CB-673

ETNOMATEMÁTICA E A CULTURA AFRO-BRASILEIRA: UMA ANÁLISE DAS

IMPLICAÇÕES DOS NÚMEROS NO BATUQUE DO RIO GRANDE DO SUL

Jackson Luís Santos De Vargas – Isabel Cristina Machado de Lara


Escola Estadual, Brasil; Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Brasil

Núcleo temático: Aspectos socioculturales de la Educación Matemática

Modalidade: CB – Comunicación breve


Palavras-chave: Etnomatemática; Cultura; Batuque; Educação

Resumo Este artigo apresenta parte de uma pesquisa de Mestrado desenvolvida no âmbito do Grupo

de Estudos e Pesquisas em Etnomatemática, da Pontifícia Universidade Católica do Rio

Grande do Sul, Brasil. O objetivo é apresentar um panorama de diferentes saberes

matemáticos envolvidos na associação dos números no Batuque do Rio Grande do Sul.

Metodologicamente, trata-se de uma abordagem qualitativa de cunho etnográfico-cultural.

Os aportes teóricos sobre cultura são baseados, principalmente, nos estudos de Tylor (1871)

e Geertz (1989), a concepção de Etnomatemática está alicerça-se em D’Ambrosio (1985,

1993, 1996, 2001) e a escravidão no Brasil nos estudos de Maestri Filho (1986) e Pereira

(2012). A partir de uma Análise Textual Discursiva das entrevistas de três participantes da

pesquisa, mostra que a geração desses saberes ocorreu por meio de convenções realizadas

pelos precursores da Religião, constituindo os números associados aos orixás como

sagrados e indispensáveis em sua representação e organização do culto. A organização

desses saberes baseia-se no estabelecimento de regras acerca do uso dos números, tanto em

relação ao Batuque quanto ao jogo de búzios e às obrigações religiosas. Por fim, aponta que

a difusão se deve, principalmente, às transmissões de conhecimentos de geração para

geração e inclusão de novos membros.

Introdução

O presente artigo apresenta parte de uma pesquisa de Mestrado realizado na

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Brasil. Este estudo foi

desenvolvido no âmbito do Grupo de Estudos e Pesquisas em Etnomatemática, da mesma

universidade. O objetivo é apresentar um panorama de diferentes saberes matemáticos

envolvidos na associação dos números no Batuque do Rio Grande do Sul. A Religião

Batuque ou como também é conhecido, Nação, foi criada no Brasil por escravos na época

da escravidão. É diferenciada pelos batuqueiros a partir de lados religiosos. A Nação


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praticada na região Sul, especialmente no Rio Grande do Sul, onde foi criada e difundida é

diferente de outras culturas religiosas praticadas no Brasil e em outros países. O Batuque

possui poucas semelhanças em seus rituais, se comparado a outras culturas religiosas como

o Candomblé da Bahia, o Xangô de Pernambuco, o Tambor de Mina, etc. As casas de

nações africanas cultuadas no estado possuem sua cultura própria, a qual é possível perceber

nas danças, nos cantos, nos toques de tambor, no jogo de búzios, na gastronomia ou em

outros rituais. Nesse sentido, optei por utilizar o programa Etnomatemática como linha de

pesquisa, pela afinidade que a mesma tem com a concepção de grupos culturais diversos.

Para D’Ambrosio (1985, p. 45), a Etnomatemática é, [...] “a Matemática que é praticada

em grupos culturais identificáveis, tais como as sociedades nacionais- tribais, grupos de

trabalho, crianças de uma determinada idade, classes profissionais, etc.”. O programa

Etnomatemática teve início com D’Ambrosio ainda na década de 1970. Desde então, o

termo vem sendo utilizado internacionalmente por diversos pesquisadores que acreditaram

nesse novo olhar lançado à Matemática. (D’AMBROSIO, 1993). Para o autor (2001, p.44),

“[...] a Etnomatemática raramente se apresenta desvinculada de outras manifestações

culturais, tais como arte e religião. A Etnomatemática se enquadra perfeitamente numa

concepção multicultural e holística de educação.”. Essa proximidade que a

Etnomatemática traz com grupos culturais como o Batuque do Rio Grande do Sul

justificam minha escolha por essa linha de pesquisa. Para Vargas (2016), a

Etnomatemática, “[...] busca compreender, reconhecer e demonstrar a maneira como os

saberes matemáticos tácitos de um determinado grupo cultural foram criados, ordenados e

transferidos.”. Os dados coletados a partir de entrevistas semistruturadas com os

participantes da pesquisa foram analisados por meio da Análise Textual Discursiva. Tais

participantes são babalorixás que praticam o Batuque do Rio Grande do Sul em seus terreiros.

Segundo Moraes e Galiazzi: “A análise textual discursiva corresponde a uma metodologia

de análise de dados e informações de natureza qualitativa com a finalidade de produzir

novas compreensões sobre os fenômenos e discursos.”. (2011, p. 7). Vale ressaltar que o

objetivo dessa pesquisa não foi esgotar o assunto ou trazer uma verdade absoluta. Por se

tratar de uma Análise Textual Discursiva, se fossem outros pesquisadores os resultados

seriam diferentes, uma vez que cada pesquisador direciona a análise de acordo com seus

interesses de pesquisa.


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Cultura e Etnomatemática

De acordo com Tylor (1871), cultura é o conjunto de saberes que são formados por

determinadas vivências do homem em uma comunidade incluindo suas aptidões. Para o autor

(1871, p. 2), cultura é, “[...] todo complexo que inclui conhecimentos, crenças, arte, moral,

leis, costumes ou qualquer outra capacidade ou hábitos adquiridos pelo homem como

membro de uma sociedade”. Segundo o dicionário Houaiss (2004), cultura é todo o conjunto

de comportamentos padronizados, costumes, bem como de crenças mantidas por um

determinado grupo social. Conforme Geertz (1989, p. 15), o conceito de cultura é, “[...]

essencialmente semiótico, [...] não como uma ciência experimental em busca de leis, mas

como uma ciência interpretativa, à procura do significado”. Para o autor os homens adquirem

sentido em suas experiências vivenciadas a partir de signos e símbolos ordenadamente

semióticos. Isto é, as experiências culturais de um determinado grupo social devem ser

buscadas e interpretadas pela antropologia por meio dos sinais alcançados individualmente

por cada pessoa. Tal aproximação vai ao encontro do programa Etnomatemática. O programa

Etnomatemática apresenta em uma perspectiva da Educação Matemática a busca e

valorização pelo modo como foram criados, organizados e difundidos os saberes

matemáticos legítimos de um determinado grupo social. D’Ambrosio defende que a

Etnomatemática, “[...] é um programa que visa explicar os processos de geração, organização

e transmissão de conhecimento em diversos sistemas culturais e as forças interativas que

agem nos e entre os processos. ” (1985,p. 7). O autor assinala que o programa Etnomatemática

não é apenas um estudo étnico de um determinado grupo social, ou, um estudo acerca de

Matemáticas existentes. Para D’Ambrosio a Etnomatemática traz em si uma abrangência

muito maior, uma vez que, “Diferentemente do que sugere o nome, a Etnomatemática não é

apenas o estudo de “Matemáticas de diversas etnias”. É muito mais do que isso. Uma

liberdade etimológica nos permite falar em Etnomatemática [...]”. (D’AMBROSIO, 1996,

p.48).

Da África ao Brasil

A escravidão não é um fenômeno ocorrido apenas no Brasil. Na África, conforme Maestri

Filho (1986), a escravidão também existiu e tinha, em alguns casos, uma conotação doméstica


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e parental, de subsistência e não de comércio. Os africanos, nessa perspectiva, não eram vistos

como escravos, mas como mão de obra. O desenvolvimento de determinadas relações sociais

de produção, como, “[...] (relações estabelecidas, a partir de certo nível de desenvolvimento

das forças produtivas, entre as classes ‘trabalhadoras’) ”. Maestri Filho (1986, p.3). Nesse

sentido, o homem não pode se apoderar completamente de seu semelhante, todavia em parte

de seu trabalho. Silvério (2013), assinala que apenas após os colonos europeus chegarem em

solo africano é que se iniciaram os tráficos comerciais com os escravizados. O autor ainda

aponta que, ao não terem mais interesse na importação de escravos para uso próprio, “[...] as

ilhas passaram a exportá-los para a América. Enquanto São Tomé e o Congo abasteciam o

Brasil, as ilhas do Cabo Verde, a partir dos anos 1530-1540, voltaram-se para a América

espanhola. ” (SILVÉRIO, 2013, p.480). A partir de então, iniciaram-se os movimentos de

exportação de escravos para fora de seus continentes e, por conseguinte, sua perda de

identidade. Conforme Flores (2013), no século XVIII, os escravos que eram trazidos para o

Rio Grande do Sul eram oriundos do Rio de Janeiro ou de Salvador. Nessa época, existiam

mercados nas cidades de Recife, Salvador e Rio de Janeiro que os comercializavam. Por

terem que pagar impostos anuais por seus escravos junto à alfândega, tendo que inclusive

declarar uma espécie de passaporte com os dados físicos de cada um, surgiram os

contrabandos. Tais atos, segundo Flores (2013, p. 11), começaram com o povoamento

litorâneo no Rio Grande do Sul, ainda no século XVIII e, com isso, “ [...] o contrabando

tornou-se uma atividade que ignorou os limites dos reinos ibéricos. A existência de

propriedades luso-brasileiros em ambos os lados da fronteira facilitou o transito de gado, de

mercadorias e de escravos.”. Pereira (2012), afirma que nessa época os negros e negras

desempenhavam diferentes atividades em suas lides. Dentre elas as de ama de leite,

cozinheiras, carregadoras de água, charqueadores, estivadoras, etc. O autor (2012) afirma

que os negros escravizados no Rio Grande do Sul estiveram fortemente presentes na

Revolução Farroupilha. Entretanto, eram os soldados de primeira tropa, ou seja, os escudos

dos demais.

Gerando, organizando e difundindo os saberes

Neste estudo Entende-se por geração dos saberes a origem, de onde surgiram, quem detinha

esses saberes e quem os explicou. Além disso, como foram convencionados em relação às


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implicações dos números no Batuque do Rio Grande do Sul. A organização dos saberes é

vista no sentido da estruturação de um determinado saber. Diz respeito a tudo o que, com o

passar do tempo, foi feito para organizar esses conhecimentos, incluindo as suas

modificações e aprimoramentos. Em relação à difusão dos saberes considera-se sua

propagação, todas as ações que procuraram e procuram divulgar o Batuque do Rio Grande

do Sul, com o intuito de que a sociedade e a comunidade batuqueira conheçam essa Religião.

Cada Orixá pertencente ao panteão africano, de acordo com o culto do Batuque do Rio Grande

do Sul, é representado por um ou mais números. Por exemplo, o Orixá Bará tem o número 7

como seu representante. Todos os participantes de pesquisa concordam com essa atribuição

ao Orixá. Destacam também que esse número deve ser respeitado nos casos das oferendas.

Alguns orixás, conforme afirma o Bàbá 3, são representados por números de outros orixás

devido a compromissos assumidos com os mesmos. Como, por exemplo, o Orixá Oxum

que, na casa religiosa desse Bàbá, tem por número atribuído o 5. Entretanto, utiliza o número

8 devido à Iemanjá, como pode ser percebido no seguinte excerto: “Oxum porque botaram

o número 8 pra ela, porque a Oxum foi um orixá que foi muito perseguida por exu e Ogum,

foi a maneira que a Iemanjá encontrou para salvar ela desses orixás.” (Bàbá 5). O mesmo

ocorre com o Orixá Oxalá que é representado pelo número 8, por dever obrigação a

Iemanjá. Para todos os entrevistados, o número 9 é relacionado a eguns e só deve ser

utilizado em algumas obrigações específicas. Em relação a organização dos saberes os

excertos que implicaram na emergência da primeira subcategoria, Estabelecimento de

regras acerca do uso dos números, estão aqueles nos quais os participantes de pesquisa

concordam acerca da existência de cálculos específicos que precisam ser seguidos para que

os rituais obtenham o resultado esperado. Isso se evidencia na fala do Bàbá 1: “Às vezes

temos os múltiplos e submúltiplos, mas é fundamental na religião se manter os números.”.

Além disso, o Bàbá 1 afirma que se o número do Orixá for alterado em uma oferenda, o

mesmo não irá responder como desejado. A utilização dos múltiplos e submúltiplos

numéricos nas oferendas dos orixás é permitida apenas em alguns casos. Por exemplo,

quando o adepto não tenha condições financeiras de ofertar a quantidade determinada dos

ingredientes para a oferenda do Orixá em questão, poderá utilizar um submúltiplo desde

que seja autorizado pelo Babalorixá ou Ialorixá. Por exemplo, ofertar 2 quindins a Oxum

em vez de 8. Nesse caso, com a permissão do Babalorixá ou da Ialorixá, há a possibilidade


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de serem oferecidas 8, 4 ou 2 cocadas. Considera-se, conforme o relato do Bàbá 1 que, ainda

assim, os números desse Orixá estão sendo preservados:“ Muitas vezes as pessoas não têm

condições de colocar 32 para Oxalá. Nossa Nação Oxalá come cocada, muitas vezes é difícil

colocar 32 cocadas, então, tu pode colocar submúltiplos.”. As guias seguem os padrões de

ordem numérica utilizadas nas comidas ofertadas aos Orixás e são combinadas a partir das

respectivas cores de cada um. A guia denominada delogun só pode ser utilizada por pessoas

prontas, com Orixás assentados. A guia imperial é exclusiva para identificar um Orixá.

Embora as duas guias possuam vários fios e só possam ser utilizadas por pessoas prontas,

elas se diferem. A guia imperial só pode ser utilizada por babalorixás e ialorixás, pois são

pessoas que possuem assentamentos de todos os Orixás. Eles utilizam uma numeração

comum e convencionada de acordo com a Nação a qual pertencem. Entretanto, essa

convenção pode sofrer variações dentro do Batuque, de acordo com cada Bacia religiosa.

Isso ocorre em rituais particulares que convergem em alguns casos e divergem em outros.

Pelas falas dos participantes de pesquisa, compreende-se uma organização acerca de

múltiplos numéricos atribuídos às representações dos orixás, como mencionado pelo Bàbá

3: “Os múltiplos dos Orixás Bará Lodê, Ogum Avagã, Iansã Dirã e Timboá, é só até 21,

não passa disso, é 7, 14, 21, acabou aí o número deles. Por que acima disso vai passar para

orixás, Odé, Ossãe, Xapanã, e assim por diante.”. Alguns orixás cultuados no Batuque do

Rio Grande do Sul possuem os mesmos números. Em um quarto de santo, caso existam

comidas ofertadas a eles, seria difícil identificar o Orixá ao qual elas se destinam,

principalmente quando possuem a mesma numeração. Nesse caso, a diferença que se dá

entre eles pela comida, já que cada Orixá possui particularidades que os distinguem dos

demais. Algumas coincidências ocorrem nos rituais de música e dança, como por exemplo,

nos toques de tambor. Embora alguns orixás possuam o mesmo toque, os cantos entoados

e as danças rituais os diferenciam. A importância dos números, segundo o Bàbá 2, dentro

do Batuque do Rio Grande do Sul é evidenciada inclusive nos valores arrecadados pelos

ilês em obrigações. Esses valores monetários são estabelecidos levando-se em conta o Orixá

ao qual pertença o dono do Ilê, ou o Orixá que foi solicitado para realizar o pedido. Com

isso, é possível prever possíveis valores a serem pagos por uma obrigação. Quanto maior

for a obrigação a ser realizada, maior será o múltiplo numérico a ser cobrado, em reais. Para

o Bàbá 1, a oferenda que o Orixá Bará recebe, “[...] comida, milho torrado, batata assada,


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bala de mel e opeté, é claro que tu vai identificar que é para o Bará, mas ele não está

recebendo o necessário, a conta máxima dele é 7 e não deveria exceder esse número.”. As

comidas do Orixá Bará, embora sejam o milho torrado, a batata assada, a bala de mel e, o

opeté, devem estar de acordo com seu número para que a mesma tenha efeito. Os números

que representam os orixás, influenciam a realização do pedido a ser alcançado. Quanto a

difusão dos saberes o Bàbá 1, destaca que é possível identificar, pelos números, se um

presente é para determinado Orixá. Além disso, é possível perceber os múltiplos,

submúltiplos e Orixá homenageado pelo tipo e qualidade da oferenda. O Bàbá 2, assinala,

que, “ [...] podemos identificá-los nas oferendas dos Orixás que levarão alguns itens com

seus respectivos números, (Axé), nas suas guias comuns e imperiais, no número de búzios

correspondente aos Orixás etc.”. É possível compreender que os adeptos do Batuque do Rio

Grande do Sul utilizam de diferentes formas os números para se guiarem e distinguirem os

diferentes usos nos rituais religiosos. Ou seja, a difusão da importância do número é reforçada

por meio dessas convenções que devem ser respeitadas por todos os adeptos e simpatizantes

do Batuque.

Algumas considerações

A presente pesquisa teve como foco central o estudo acerca dos processos de geração,

organização e difusão dos saberes, envolvidos na associação dos números à representação

mística utilizada no Batuque do Rio Grande do Sul. Em relação aos registros históricos

existentes sobre a utilização dos números nas religiões de matriz africana trazidas para o Rio

Grande do Sul, foi possível perceber, por meio das entrevistas, que existem diversas

semelhanças dos saberes matemáticos presentes nessa cultura religiosa com a Matemática

Escolar. Contudo, os conhecimentos matemáticos ensinados na escola não são relevantes

para o Batuque do Rio Grande do Sul, pois a implicação dos números tem caráter místico.

Ao direcionar esta pesquisa, seguindo pressupostos do Programa Etnomatemática, definido

por D’Ambrosio foi possível estabelecer as categorias a priori, Geração dos saberes,

Organização dos saberes e Difusão dos saberes, e a partir delas, possibilitar a emergência de

diferentes subcategorias. Portanto, se meu pressuposto teórico fosse outro, possivelmente

viriam à tona outras subcategorias. Deste modo, concluo destacando que a Matemática, em

particular a geometria e os números, utilizada no Batuque do Rio Grande do Sul não possui


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ligações diretas com a Matemática Escolar. Contudo, para esse grupo cultural trata-se de um

saber essencial, válido e legítimo.


D’ambrosio, U. (1985). Etnomatemática. Ática.

D’ambrosio, U.(1993). Etnomatemática: Arte ou técnica de explicar e conhecer. 2. ed.

Ática.

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números no Batuque do Rio Grande do Sul (Master's thesis, Pontifícia Universidade Católica

do Rio Grande do Sul).


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CB-675

HUMOR PARA ENSINAR MATEMÁTICA: AO ATAQUE!

Luís Menezes – Daniel Simões – Marta Carvalho


– [email protected]

Escola Superior de Educação de Viseu e CI&DETS, Portugal

Núcleo temático: Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e níveis

educacionais

Modalidade: Comunicação Breve (CB)

Nível educativo: Primário (6 a 11 anos)

Palavras-chave: Humor no ensino; tarefas matemáticas; ensino exploratório da Matemática.

Resumo A investigação tem procurado encontrar métodos de ensino eficazes que permitam a

aprendizagem produtiva da Matemática, sabendo que esta disciplina suscita em muitos

alunos reações adversas. Este problema didático tem originado respostas que passam pela

valorização da resolução e discussão de problemas significativos para os alunos. Este

ensino, designado de exploratório, depende de tarefas matemáticas ricas, com potencial

para desenvolver o raciocínio e a comunicação matemáticos. As tarefas matemáticas

baseadas em contextos humorísticos, como a banda desenhada, podem cumprir estas

exigências, ou seja: (i) o humor pode favorecer a aprendizagem pois motiva os alunos, cria

bom ambiente e contraria relações negativas com a disciplina; (ii) a discussão de tarefas

matemáticas baseadas em situações humorísticas contribui para o desenvolvimento

matemático dos alunos. Nesta comunicação, apresentamos dados da aplicação de uma

tarefa matemática, apoiada na tira “Ao ataque!” (de Dik Browne), para estudar números

racionais (5.º ano). Os resultados, que têm por base a análise de conteúdo das respostas

escritas e diálogos dos alunos ao discutirem a tarefa, revelam que: os alunos aderem bem à

tarefa e reconhecem o humor existente nela; a compreensão do humor exige competência

matemática dos alunos; a tarefa tem condições para desenvolver o conhecimento

matemático dos alunos.

Introdução

A investigação em educação matemática tem na procura dos melhores métodos de ensino um

campo importante de trabalho. Esta investigação já mostrou que o ensino direto, de natureza

expositiva, baseado na escuta do professor e na repetição de procedimentos, é pouco

adequado para promover as aprendizagens dos alunos do século XXI. Ao invés, tem ganho

força o designado ensino exploratório da Matemática, assente no trabalho dos alunos com

tarefas matemáticas desafiantes, que os levam a envolverem-se na resolução de problemas,


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muitas vezes em pequenos grupos, na discussão coletiva das resoluções efetuadas e, por essa

via, na construção do seu conhecimento matemático. Neste tipo de ensino, para além do

conhecimento aprendido ter mais significado para os alunos, porque é resultado da sua

atividade matemática em torno de temas do seu interesse, eles desenvolvem capacidades

matemáticas fundamentais para a sua cidadania, como o raciocínio, a comunicação e a

resolução de problemas matemáticos (Guerreiro, Tomás Ferreira, Menezes & Martinho,

2015; Ponte, 2005). É neste enquadramento que propomos o humor com fins instrucionais,

com duas funções fundamentais, a afetiva (que se expressa na criação de um clima de

aprendizagem agradável) e a cognitiva (que se materializa quando o humor é o alvo do

raciocínio matemático dos alunos e caminho para a aprendizagem de conteúdos matemáticos)

(Banas, Dunbar, Rodriguez & Liu, 2011; Martin, 2007). Neste texto, pretendemos refletir

sobre uma experiência de ensino realizada por dois futuros professores de Matemática (2.º e

3.º autores deste trabalho) que lecionam, ao 5º ano de escolaridade, o tema números racionais,

através do ensino exploratório e recorrendo a uma tarefa matemática que incorpora humor.

“Ao ataque!”, que faz parte do título deste texto, é simultaneamente o título dessa tarefa

matemática, mas pretende ser, igualmente, um desafio que se coloca aos professores de

Matemática para levar os alunos a pensar sobre propostas humorísticas como um dos

caminhos para o seu empoderamento matemático.

Fundamentos teóricos

Nesta secção apresentamos e discutimos, de forma breve, três ideias importantes que

fundamentam este trabalho: ensino exploratório da Matemática, humor e valor educativo do

humor.

Ensino exploratório da Matemática. Habitualmente, opõe-se o ensino direto ao ensino

exploratório da Matemática (Guerreiro et al, 2015; Ponte, 2005). No ensino direto, o

“professor fala e os alunos ouvem” (Sierpinska, 1998), tendo este uma natureza fortemente

unidirecional. No ensino exploratório da Matemática (designação da expressão inglesa

“inquiry-based teaching”), o “professor e alunos dialogam” (Sierpinska, 1998), tendo este

uma natureza interativa. Para isso, os alunos trabalham com tarefas matemáticas ricas (Stein

& Smith, 1998) que desafiam o seu raciocinio, criando a necessidade de comunicar para

resolverem os problemas propostos (Guerreiro et al, 2015; Stein & Smith, 1998). Uma aula


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de ensino exploratório da Matemática organiza-se, geralmente, em três fases: (i) apresentação

da tarefa; (ii) resolução da tarefa pelos alunos; e (iii) discussão e sintetização (Stein, Engle,

Smith & Hughes, 2008). Para alguns autores, esta última fase, pode subdividir-se em duas:

(a) Discussão das resoluções da tarefa; e (b) Sistematização das aprendizagens (Canavarro,

Oliveira & Menezes, 2014). Após a apresentação da tarefa, os alunos envolvem-se num

trabalho árduo de resolução, no qual o apoio do professor é fundamental, através do diálogo

que estabelece com os alunos, que lhe permite detetar e superar dificuldades dos alunos. A

fase da discussão coletiva é o momento em que todos contactam com as diferentes resoluções

e defendem as suas ideias. A fase de sistematização das aprendizagens é o momento em que

o professor, com a colaboração dos alunos, os leva a abstraírem-se da tarefa e a

sistematizarem as aprendizagens realizadas, conectando-as com as suas anteriores.

Humor. O conceito de humor tem evoluído ao longo do tempo, sendo alvo de estudo de

diversas disciplinas científicas como, por exemplo, a Psicologia, a Linguística e a Sociologia,

desde Platão e Aristóteles (Martins, 2015). Banas et al (2011) salientam que “o humor

envolve a comunicação de múltiplos significados incongruentes que são divertidos de alguma

maneira” (p. 117). O humor é, pois, uma forma de comunicação, que alguns apelidam de

comunicação humorística (Banas et al, 2011), que mobiliza a ambiguidade e a polissemia, e

que agrega elementos cognitivos e afetivos para fazer rir (Banas et al, 2011; Martin, 2007).

Das teorias que procuram explicar o funcionamento do humor, destacamos três delas: teoria

da incongruência, teoria da superioridade e teoria da libertação (Adão, 2008; Martins, 2015).

A teoria da incongruência defende que a existência do fator surpresa ou contradição, é o

elemento essencial no humor, uma vez que uma situação humorística só a é, se as pessoas

forem capazes de decifrar a incongruência presente nela. Já a teoria da superioridade sustenta

que o humor é o resultado do sentido de superioridade de alguém em relação a algo, que usa

esse facto para ridicularizar de forma engraçada. A teoria da libertação atribui às situações

humorísticas um papel influente no alívio de situações de tensão, permitindo que o individuo

se liberte dos problemas emergentes (Adão, 2008).

Valor educativo do humor. Comumente visto como algo sério, o ensino parece, à primeira

vista, incompatível com o humor. Se, em particular, nos referirmos ao ensino da Matemática,

este processo aparenta ser ainda mais incompatível. No entanto, estudos realizados desde

meados do século XX apontam para uma melhoria no desempenho dos alunos quando o


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ensino é acompanhado por humor, como uma imagem, um texto humorístico ou um dito

engraçado (Banas et al, 2011; Flores & Moreno 2011). O humor presente em tarefas

matemáticas tem capacidade para captar a atenção dos alunos, sendo necessário, para tal, a

compreensão da mensagem presente na situação humorística (Banas et al, 2011). Desta

forma, pretende-se que o humor sirva de recurso às aprendizagens dos alunos, melhorando

as suas capacidades de memorização e de compreensão dos conteúdos matemáticos,

desenvolvendo também as capacidades de interpretação de enunciados, de raciocínio e de

resolução de problemas e ainda aumentando a motivação dos alunos (Banas et al, 2011;

Flores, 2003). Habitualmente, a utilização do humor contraria as expectativas dos alunos,

deixando-os mais propensos a participar na aula (função afetiva do humor) e melhora as suas

aprendizagens (função cognitiva do humor), tal como salientam os professores estudados por

Menezes, Viseu, Ribeiro e Flores (2017). Desta forma, a utilização de tarefas de cariz

humorístico poderá potenciar as aprendizagens dos alunos, através da criação de um ambiente

de sala de aula agradável e da criação de conflitos cognitivos.

Metodologia

Nesta seção apresentamos o contexto do estudo e as opções metodológicas seguidas.

Contexto do estudo. O tema das frações é alvo de estudo desde os primeiros anos no 1.º Ciclo

do Ensino Básico (CEB), sendo que no 2.º CEB se dá o aprofundamento deste conteúdo,

esperando-se que os alunos saibam utilizar números racionais em diversos contextos,

comparando-os, efetuando operações e tendo noção do valor que cada um representa (note-

se que, em Portugal, o 1.º ciclo vai do 1.º ao 4.º ano e o 2.º ciclo do 5.º ao 6.º ano). Em

contexto de estágio profissional, foi apresentada uma tarefa de cariz humorístico “Ao

ataque!” (adaptada de Menezes, Rodrigues, Gomes e Tavares (2009)) a uma turma do 5.º

ano, com 15 alunos. Esta tarefa teve como propósito consolidar conhecimentos relativos ao

conceito e representação de números racionais.


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Figura 1. Tarefa “Ao ataque!”.

Opções metodológicas. Este estudo, inserido no estágio profissional dos dois últimos autores

deste trabalho, é de natureza qualitativa e de cunho interpretativo. Os dados recolhidos

resultam de gravações áudio dos diálogos da aula (A), das resoluções dos grupos de alunos

(Gi) e de notas de campo (NC). A análise de dados assenta na análise de conteúdo, tendo em

conta a relação dos alunos com o humor na tarefa matemática, realçando: (a) adesão dos

alunos à tarefa; (b) dificuldades dos alunos na compreensão do humor; e (c) funções do

humor na aprendizagem dos alunos.

Apresentação e análise de dados

Nesta seção apresentamos os resultados, começando por dar a conhecer a aula e depois a

adesão dos alunos à tarefa, as suas dificuldades na compreensão do humor e as funções do

humor.

A aula. A aula, com uma duração de 90 minutos, iniciou-se com a apresentação da tarefa

“Ao Ataque!”. Primeiro, dois alunos leram em voz alta, para a turma, as falas dos

personagens da tira, Hagar e Chiripa. Aquando da leitura dos números racionais ditos por

Chiripa, a maioria dos alunos riu-se, reconhecendo que não é comum “contar” daquela forma.

Depois de um pequeno diálogo, passou-se à segunda fase da aula. Em grupos de três

elementos, os alunos deram início à resolução da tarefa. Ao longo desta fase, o professor

estagiário acompanhou a resolução dos grupos, dando especial ênfase às duas questões


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iniciais, de forma a perceber se os alunos tinham compreendido o humor. Depois disso, cada

grupo apresentou e discutiu na turma, com os colegas, as suas resoluções.

Adesão dos alunos à tarefa. A tarefa suscitou a atenção dos alunos por ser apresentada com

base numa tira de banda desenhada, algo que era novo para eles, por não ser uma prática

habitual nas aulas nem no seu manual escolar. A adesão à tarefa aconteceu logo na primeira

fase da aula, no momento da apresentação da tarefa, aquando da leitura em voz alta. Como

foi dito, “a maioria dos alunos riu ao deparar-se com a estratégia de “contagem” inesperada

que Chiripa adotou” (NC) – esse é um dos mecanismos fundamentais do humor, ou seja, criar

um desequilíbrio cognitivo no leitor/ouvinte por uma resposta inesperada e incongruente. Os

alunos detetaram-no e riram face à incongruência da resposta de Chiripa face ao pedido de

Hagar e à contagem que seria esperada (usando os números naturais). Quando os alunos

avançam para a resolução da tarefa, procuram encontrar, de forma empenhada, a

racionalidade da resposta de Chiripa e rir novamente com a sua “esperteza” (questões 1 e 2

da tarefa).

Dificuldades na compreensão do humor. Os alunos revelam na resolução da tarefa

dificuldades na compreensão dos motivos que levaram Chiripa a fazer uma “contagem”

inesperada. É curioso que alguns alunos apresentam, inicialmente, razões de natureza escolar:

“Beatriz: Porque estamos a aprender os números fracionários” (A) e “Adriana: Porque nós

estamos a dar o numeral misto.” (A). Ou seja, estes alunos parecem ter interiorizado que os

seus professores lhes podem apresentar, nas tarefas matemáticas, situações ridículas ou sem

sentido só para as adaptarem artificialmente ao que querem ensinar.

O diálogo do professor com os alunos, durante o trabalho em grupo, mostrou-se fundamental

para compreender a ação de Chiripa quando este decide contar recorrendo a frações:

Professor: Por que é que ele contou assim? (…)

Miguel: Preparar as armas!

Professor: Prepara as armas? (Virando-se para os restantes elementos do grupo) O que acham? [O

professor aponta para a imagem de Chiripa] Ele aqui começa a contar. Olhem para a expressão

dele, como é que ele está? Até está a suar. Ele está com…?

Ana Sofia: Dificuldade.

Professor: O que é que eles vão fazer? Eles vão…?

Rodrigo: Atacar.

Professor: E estão já a receber flechas. Então ele está o quê?


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Ana Sofia: Com medo?

Professor: Sim, com medo. E por isso está a contar assim para…?

Miguel: Para o tempo passar. (A)

O diálogo permitiu aos alunos compreender a situação e associar o medo de Chiripa à sua

estratégia de “contagem”. Um grupo de alunos, na sua folha de resposta, descreveu

pormenorizadamente a situação da tira, referindo que se tratava de “um momento de luta

entre duas tribos, em que os soldados da tribo apresentada estão com medo” (G1); “A razão

que levou o Chiripa a começar a contar assim foi que desta forma demorava mais tempo

porque estava com medo” (G2). No seguimento, os alunos compreendem quantos números

teriam que ser ditos até 10: 80, 70 fracionários e 10 inteiros:

Figura 2. Resolução da questão 3 da tarefa(G 3).

Funções do humor. Nesta tarefa, o humor desempenha duas funções. Inicialmente, quando

a tarefa é apresentada e os alunos riem perante a estratégia de contagem usada por Chiripa,

emerge a função afetiva. Os alunos, ainda sem perceberem bem os motivos para aquela

estratégia, riem do ridículo daquela contagem. Depois disso, e correspondendo à intenção do

professor quando na tarefa pergunta “2. Por que razão o Chiripa começou a contar daquela

forma?”, emerge a função cognitiva que se sobrepôs à afetiva. Neste momento, os alunos

tiveram de usar o seu raciocínio e comunicação, entre eles e o professor, para encontrar o

racional da situação. A questão seguinte dá continuidade a esta função cognitiva, depois

prolongada nas duas subquestões da 4, quando se procura explorar o caráter humorístico da

situação: “4. Como é que o protagonista poderia: 4.1. Reduzir o tempo de espera? 4.2.

Aumentar ainda mais o tempo de espera?”.


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O ensino exploratório da Matemática envolve os alunos ativamente na resolução de

problemas, através dos quais estes são incentivados a raciocinar e a comunicar (entre eles e

com o professor). As tarefas matemáticas devem ser não rotineiras e provocar nos alunos

ruturas cognitivas. O humor, para além da função afetiva, assenta também em mecanismos

cognitivos, tal como acontece nesta tarefa (Martin, 2007; Menezes et al, 2017). Os alunos

não puderam ficar só pelo “engraçado” da situação de contagem criada pelo protagonista da

tira, rindo, como aconteceu. Os alunos foram desafiados a encontrar o racional da situação e

isso levou-os, apesar das dificuldades sentidas e com o apoio do professor, a desenvolverem

a sua competência matemática sobre números racionais, representados na forma de fração e

de numeral misto fracionário. Esta é a perspetiva que esta tarefa, juntamente com outras que

foram aplicadas, procura defender: conjugar a função afetiva do humor com a função

cognitiva, através de tarefas humorísticas que façam os alunos pensar, para depois rir. Nas

palavras de Flores e Moreno (2011), ser matematicamente competente para rir.

Por último, as primeiras razões que os alunos invocam para Chiripa “contar” daquela

maneira, em que se invocam razões de natureza escolar (“Porque estamos a aprender os

números fracionários” e “Porque nós estamos a dar o numeral misto.”) devem fazer-nos

pensar sobre o tipo de tarefas que colocamos aos nossos alunos. Algumas delas são de tal

forma artificiais que, de modo não intencional, roçam o ridículo. Neste trabalho. defendemos

“rir com a Matemática” e não “rir da Matemática”.


Adão, T. (2008). O lado sério do humor: uma perspectiva sociolinguística do discurso

humorístico. Penafiel: Editorial Novembro.

Banas, J. A., Dunbar, N., Rodriguez, D., & Liu, S. J. (2011). A review of humor in

educational settings Four decades of research. Communication Education, 60(1), 115-144.

Canavarro, A.P., Oliveira, H., & Menezes, L. (2014). Práticas de ensino exploratório da

Matemática: Ações e intenções de uma professora. In J. P. Ponte (Ed.), Práticas Profissionais

dos Professores de Matemática (pp. 217-233). IE: Lisboa.

Flores, P., & Moreno, A.J. (2011). Matemáticamente competentes para reír. Barcelona:

Graó.

Guerreiro, A., Tomás Ferreira, R., Menezes, L., & Martinho, M. H. (2015). Comunicação

na sala de aula: A perspetiva do ensino exploratório da matemática. Zetetiké, 23(4), 279-295.

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Martins, A. I. (2015). A seriedade do Humor ao longo dos séculos: uma retórica do poder

político ou de um contra-poder?. Revista Iberoamericana de Estudios de Desarrollo, 4(1),

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Menezes, L., Rodrigues, C., Gomes, H., & Tavares, F. (2009). Números racionais não

negativos - tarefas para o 5.º ano. Lisboa: DGIDC.

Menezes, L., Viseu, F., Ribeiro, A., & Flores, P. (2017). O humor nas práticas letivas dos

professores que ensinam Matemática. In L. Menezes, A. Ribeiro, H. Gomes, A. P. Martins,

F. Tavares, & H. Pinto (Eds.), Atas do XXVIII Seminário de Investigação em Educação

Matemática (pp. 51-67). Viseu: APM.

Ponte, J. P. (2005). Gestão curricular em Matemática. In GTI (Ed.), O professor e o

desenvolvimento curricular (pp. 11-34). Lisboa: APM.

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Constructivism, sociocultural approaches, interactionism. In H. Steinbring, M. Bussi e A.

Sierpinska (Eds.), Language and communication in the mathematics classroom (pp. 30-62).

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mathematical discussions: Helping teachers learn to better incorporate student thinking.

Mathematical Thinking and Learning, 10(4), 313-340.


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CB-676

CONTRIBUIÇÕES DAS PESQUISAS EM AVALIAÇÃO PARA A

APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ESCOLAR

Nelson Antonio Pirola – Marisa da Silva Dias – Giovana Pereira Sander

[email protected] – [email protected] – [email protected]

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – Campus de Bauru – Brasil

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – Campus de Bauru - Brasil

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” – Campus de Bauru - Brasil

Núcleo temático: Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e níveis

educacionais.

Modalidade: CB – Comunicação Breve

Nível educativo: 7. Sem especificar.

Palavras chave: Avaliação. Aprendizagem em Matemática.

Resumo O CONAVE – Congresso Nacional de Avaliação em Educação – desenvolvido pelo Centro

de Educação Continuada em Educação Matemática, Científica e Ambiental – CECEMCA –

da Universidade Estadual Paulista – UNESP - é um dos maiores eventos da área da

avaliação educacional do Brasil que tem como um dos eixos a avaliação em Matemática. A

quantidade de pesquisas com foco em Matemática tem aumentado consideravelmente a cada

edição do evento, realizado bianualmente, desde 2010. O objetivo da pesquisa foi investigar,

por meio de pesquisa bibliográfica, as contribuições das pesquisas apresentadas nas quatro

edições do CONAVE, em relação à aprendizagem da Matemática escolar. Foi realizado um

levantamento de todos os trabalhos que enfocavam a Matemática e, a seguir, selecionados

aqueles que tratavam da avaliação da aprendizagem, em diferentes níveis de escolaridade.

A análise dos dados mostrou que o aumento quantitativo de trabalhos com ênfase em

Matemática se deu no âmbito da avaliação em larga escala, sendo que a avaliação da

aprendizagem corresponde a 18,18% dos trabalhos apresentados no eixo da Matemática.

De maneira geral, os estudos revistos apontam contribuições na área da resolução de

problemas, aprendizagem de conceitos e dificuldades de aprendizagem. Constatou-se que as

pesquisas se concentraram nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Introdução

O Congresso Nacional de Avaliação em Educação – CONAVE - foi criado em 2010 no

contexto da implantação de uma avaliação em larga escala, denominada Provinha Brasil.

Essa avaliação, de caráter diagnóstico, desenvolvida até os dias atuais, tem como objetivo




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avaliar a aprendizagem das crianças do segundo ano do Ensino Fundamental, nas áreas de

Linguagem e Matemática, bem como identificar, no início do processo de alfabetização,

quais competências e habilidades não foram desenvolvidas pelos alunos. Dessa forma, os

dados oriundos dessa avaliação servem como indicadores para que professores e gestores

desenvolvam ações para a melhoria da qualidade do ensino de Linguagem e de Matemática.

O CONAVE é uma realização do Centro de Educação Continuada em Educação Matemática,

Científica e Ambiental, CECEMCA, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita

Filho”, UNESP, campus de Bauru, SP. Até 2017, já foram realizadas quatro edições desse

congresso e tem se constituído em um dos maiores eventos nacionais de discussão sobre a

avaliação.

Desde a sua criação, o evento tem se dedicado a discutir a avaliação em suas diferentes

vertentes e complexidades que envolvem as avaliações em larga escala e as avaliações da

aprendizagem. Uma parte significativa dos trabalhos recebidos para serem apresentados em

forma de comunicação científica e pôsteres diz respeito à avaliação em Matemática,

englobando os diferentes níveis de escolaridade da Educação Básica, bem como a formação

de professores que ensinam Matemática.

Tendo como contexto o CONAVE, este estudo teve como objetivo investigar, por meio de

uma pesquisa bibliográfica, as contribuições das pesquisas apresentadas nas quatro edições

desse evento, em relação à aprendizagem da Matemática escolar.

Avaliação em Matemática

No Brasil, os resultados das avaliações em larga escala (ALE) têm assumido, cada vez mais,

um papel de definição de políticas públicas para a educação, principalmente para estabelecer

programas de formação continuada de professores nas áreas de Linguagem e de Matemática.

Um exemplo de programa de formação continuada estabelecido a partir desses resultados é

o Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa, PNAIC, que teve início em 2010. Esse

Programa, em vigor até hoje, tem como objetivo desenvolver ações de formação continuada

de professores alfabetizadores que atuam no ciclo de alfabetização (primeiro ao terceiro ano

do Ensino Fundamental).


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No campo da Matemática, os resultados das avaliações em larga escala têm mostrado um

baixo desempenho dos estudantes, principalmente no que diz respeito aos processos de

resolução de problemas. Dados do Ministério da Educação (BRASIL, 2015) mostram que na

edição de 2014 da Avaliação Nacional da Alfabetização – ANA – aplicada a alunos do

terceiro ano do Ensino Fundamental, 57% dos alunos de todo o país tiveram rendimento

inadequado em Matemática, situados nos níveis mais elementares da escala de proficiência.

As avaliações em larga escala (ALE) são compostas de testes de múltipla escolha,

denominados de itens. Esses itens, por sua vez, são elaborados a partir de uma matriz de

referência que contém os conteúdos associados às habilidades e competências que se esperam

que os alunos de determinados anos, ou ciclos, tenham desenvolvidos. Essas matrizes, que

são um recorte do currículo escolar, só contemplam habilidades e competências que podem

ser avaliadas por meio de teste de múltipla escolha e, dessa forma, muitos conteúdos do

currículo não são avaliados por essas avaliações em larga escala. No caso da Matemática, por

exemplo, a habilidade de cálculo mental que é um componente do pensamento aritmético,

não é aferida pelas avaliações em larga escala.

Considerando que as avaliações em larga escala se constituem em molas propulsoras para

definições de políticas públicas e que, em muitos casos, o bom desempenho dos alunos nessas

avaliações incide sobre o salário dos professores, como acontece na rede pública estadual de

São Paulo, as escolas passaram a dar mais importância ao treino das habilidades constantes

nas matrizes de referência, deixando o processo de avaliação da aprendizagem para um

segundo plano.

A avaliação em Matemática não deve se resumir em treino visando a atingir bons resultados

nas avaliações em larga escala. Esses bons resultados devem ser consequências de um

trabalho em que o professor leve em consideração a aprendizagem significativa dos

estudantes, que valorize o seu pensamento, a sua criatividade e a sua capacidade de resolver

problemas. Sendo assim, o processo de avaliação da aprendizagem em Matemática deve ser

contínuo e em processo.

De acordo com Vasconcelos (1995, p. 57), “a avaliação deve ser contínua para que possa

cumprir a sua função de auxílio ao processo de ensino-aprendizagem”. Esse autor defende

que a avaliação da aprendizagem deve ser realizada durante todo o processo educativo, o que

possibilita ao professor acompanhar as dificuldades e progressos dos alunos.


ISBN 978-84-945722-3-4

Pavanello e Nogueira (2006) destacam que a avaliação em Matemática tem assumido um

caráter somativo, dentro da prática pedagógica dos professores, por meio da contagem de

erros, em que se observa somente o resultado final de uma tarefa.

A avaliação contínua e em processo, em Matemática, tal como destaca Vasconcelos (1995),

é um caminho para acompanhar o progresso da aprendizagem dos alunos, o desenvolvimento

de suas estratégias de resolução de problemas, suas dificuldades e superações. Enfim, esse

tipo de avaliação valoriza as diferentes etapas de construção do conhecimento matemático

dos alunos, além de respeitar os diferentes ritmos de aprendizagem.

Metodologia

Este estudo buscou identificar as contribuições das pesquisas apresentadas nas quatro edições

do CONAVE, em relação à aprendizagem da Matemática escolar. A coleta de dados foi feita

nos anais desse evento, publicados em meio digital e páginas da web.

O delineamento se baseou na pesquisa bibliográfica que, de acordo com o entendimento de

Fonseca (2002), é feita a partir de levantamento de referências teóricas já publicadas em

diversos meios, como eletrônicos, livros, revistas, artigos, páginas da web, entre outros. De

acordo com essa autora “existem, porém, pesquisas científicas que se baseiam unicamente

na pesquisa bibliográfica, procurando referências teóricas publicadas com o objetivo de

recolher informações ou conhecimentos prévios sobre o problema a respeito do qual se

procura a resposta” (Fonseca, 2002, p. 32).

Ao total foram apresentados e publicados 326 trabalhos na área da avaliação. Desses, 55

(17%) eram da área da Matemática, sendo que somente 10 deles diziam respeito á área da

avaliação em aprendizagem em Matemática no contexto da Educação Básica. Dessa forma,

esses dez trabalhos fizeram parte da amostra da pesquisa.

A primeira etapa do estudo se concentrou na leitura dessas pesquisas. A segunda etapa buscou

identificar categorias de análise que pudessem evidenciar contribuições para a aprendizagem

da Matemática escolar. Foram identificadas três categorias: resolução de problemas,

dificuldades de aprendizagem e aprendizagem de conceitos.

Análise e discussão dos dados


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A análise dos dados mostrou que o número de trabalhos que enfocam a avaliação em

Matemática, teve um aumento significativo. De 11 trabalhos apresentados no I CONAVE,

em 2010, passou-se a 25 trabalhos em 2016, no IV CONAVE, um aumento de 127,3%.

Dos 10 trabalhos selecionados para a análise, quatro deles enfocou pesquisas com alunos do

primeiro ciclo do Ensino Fundamental, dois trataram da avaliação no segundo ciclo do

Ensino Fundamental e dois discutiram a avaliação da Matemática no Ensino Médio.

Foi possível observar que, do total de 326 trabalhos apresentados nas quatro edições do

CONAVE, nenhuma pesquisa se concentrou na avaliação em Matemática na Educação

Infantil. Esse resultado está em consonância com os resultados de Tortora e Pirola (2012)

que mostraram que a produção científica na área da Matemática na Educação Infantil, de

maneira geral, é bastante reduzida. Segundo esses autores, professores que trabalham na

Educação Infantil têm dificuldades em identificar as principais habilidades matemáticas a

serem desenvolvidas nessa etapa da escolaridade.

Em relação às categorias de análise, foram encontrados dois trabalhos que enfocavam a

resolução de problemas articulada com a avaliação da aprendizagem: Sander (2010) e Plaza

e Curi (2010). O trabalho de Sander (2010) mostra as influências das atitudes

(predisposições) em relação à Matemática no processo de resolução de problemas. A

contribuição desse trabalho para o entendimento sobre a aprendizagem da Matemática

escolar é destacar que, ao avaliar o desempenho dos alunos na resolução de problemas, além

do fator cognitivo, o afetivo pode influenciar de forma preponderante. O fator afetivo pode

ser investigado por meio da avaliação em processo, de forma contínua, em que o professor

poderá verificar se os alunos apresentam atitudes negativas e ansiedade quando estão diante

de uma tarefa matemática.

O trabalho de Plaza e Curi (2010) contribui com o processo de aprendizagem da Matemática

escolar na medida em que destaca a relevância da avaliação diagnóstica na prática do

professor, utilizando produções escritas dos alunos para compreender as dificuldades deles

no processo de resolução de problemas aditivos.

Na categoria “dificuldades de aprendizagem” foram encontrados cinco estudos: Ferreira e

Oliveira (2012), Duarte, Bergamashi e Silva (2012), Charanek e Soares (2016), Zanutto,

Garcia e Garrido (2016) e Stadler e Brandalise (2016).


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Ferreira e Oliveira (2012) mostraram que crianças do segundo ano de escolaridade se sentiam

à vontade para elaborar estratégias próprias quando se submetiam à Provinha Brasil. Nesse

mesmo sentido, Duarte, Bergamasshi e Silva (2016) evidenciaram as potencialidades da

Provinha Brasil como uma avaliação que possibilita ao professor estabelecer metas de

aprendizagem. Outra pesquisa enfocando a ALE foi a de Zanutto, Garcia e Garrido (2016)

que, por meio da Avaliação Nacional da Alfabetização – ANA – aplicada pelo governo

federal, foram identificadas dificuldades dos estudantes do terceiro ano do Ensino

Fundamental, na contagem e na resolução de problemas.

Stadler e Brandalise (2016) realizaram um mapeamento das pesquisas na área da ALE em

Matemática e mostraram que essa área carece de novas pesquisas. Destacam, também, que

ainda é frágil a utilização dos resultados das ALE para a melhoria do ensino e aprendizagem

dos alunos.

As contribuições desses três últimos estudos evidenciam que uma ALE tem suas

potencialidades no processo de avaliação dos alunos. Disso resulta que a ALE e a avaliação

que o professor realiza no cotidiano escolar (avaliação em processo e contínua) devem se

articular no acompanhamento do progresso da aprendizagem dos alunos.

As contribuições do trabalho de Charanek e Soares (2016) para a avaliação da aprendizagem

dos alunos se referem ao confronto dos resultados obtidos em uma avaliação com as

expectativas dos alunos evidenciadas em uma autoavaliação. Por meio dessa autoavaliação,

o aluno pode identificar suas dificuldades e os pontos em que precisa aprofundar mais seus

estudos.

Na categoria “aprendizagem de conceitos” foram selecionadas três pesquisas: Lozada (2010),

Silva (2014) e Oliveira e Duarte (2016).

Lozada (2010) mostrou que a resolução de problemas relacionada à modelagem Matemática

possibilita o desenvolvimento de uma avaliação formativa, em processo e contínua. Silva

(2014) relata algumas possibilidades didáticas para o ensino de conceitos geométricos. As

contribuições dessas pesquisas para o processo da avaliação da aprendizagem dos alunos

estão na direção de, por meio da avaliação formativa, como propõe Lozada (2010) e como,

aparentemente aparece no estudo de Silva (2014), é possível analisar o desenvolvimento

conceitual dos alunos, o uso de conceitos na resolução de problemas e as dificuldades que

vão aparecendo no processo de aprendizagem conceitual.


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O estudo de Oliveira e Duarte (2016) partiu dos resultados de uma ALE, o SIMAVE –

Sistema Mineiro de Avaliação e Equidade da Educação - e investigaram como alunos com

bom rendimento nessa avaliação mobilizavam conhecimentos algébricos, pela ótica dos

registros de representação semiótica. A contribuição desse estudo para a aprendizagem da

matemática, no âmbito da avaliação, nos remete a uma avaliação global dos alunos. Por meio

do uso de diferentes recursos didáticos, o professor poderá avaliar, numa perspectiva de

avaliação em processo, como os seus alunos desenvolvem conceitos matemáticos.


Esta pesquisa teve como objetivo investigar, por meio de uma pesquisa bibliográfica, as

contribuições das pesquisas apresentadas nas quatro edições do CONAVE em relação à

aprendizagem da Matemática escolar.

As dez pesquisas revistas contribuem para o entendimento do processo de aprendizagem dos

alunos na medida em que mostram a necessidade de articulação entre as avaliações em larga

escala e a avaliação da aprendizagem realizada pelo professor. Ainda, as pesquisas destacam

as potencialidades do uso da avaliação em processo e contínua para o acompanhamento da

aprendizagem de conceitos e dos processos de resolução de problemas bem como para a

identificação das dificuldades apresentadas pelos alunos.

A análise dos estudos revistos também mostra a necessidade de se realizar pesquisas na área

da avaliação em Matemática na Educação Infantil e de estudos mostrando como o professor

pode articular os resultados da avaliação em larga escala com as avaliações realizadas pelo

professor em sala de aula.

Referências

Brasil. Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. (2015). Avaliação

Nacional da Alfabetização. Relatório 2013-2014. Análise dos Resultados. Brasília, v.

2. DF: INEP. 120p.

Charanek, K. H. & Soares, R. M. (2016). Análise estatística sobre a antecipação de erros em

situação de trabalho em dupla. Anais do IV Congresso Nacional de Avaliação em

Educação (pp. 1-8). Bauru, SP, Brasil.


ISBN 978-84-945722-3-4

Duarte, L. C., Bergamaschi, E. M. M., Silva, A. A. (2012). Reflexões sobre a Provinha Brasil

de Matemática em uma cidade do sudeste goiano. Anais do II Congresso Nacional de

Avaliação em Educação. (pp. 1-10). Bauru, SP, Brasil.

Ferreira, M. & Oliveira, L. (2012). Provinha Brasil de Matemática: a percepção de estudantes

de escolas ribeirinhas. Anais do II Congresso Nacional de Avaliação em Educação.

(pp. 1-12). Bauru, SP, Brasil.

Fonseca, J. J. S. (2002). Metodologia da pesquisa científica. Fortaleza: UEC, Apostila.

Lozada, C. O. (2010). Avaliação formativa do processo ensino-aprendizagem de conceitos

matemáticos: o caso da resolução de problemas relacionada à modelagem

matemática. Anais do I Congresso Nacional de Avaliação em Educação. (pp. 1-15).

Bauru, SP, Brasil.

Oliveira, P. C. & Duarte, R. C. (2016). Desempenho algébrico em questões do SIMAVE:

estudo de um caso. Anais do IV Congresso Nacional de Avaliação em Educação (pp.

1-13) Bauru, SP, Brasil.

Pavanello, R. M.; Nogueira, C. M. I. (2006). Avaliação em Matemática: algumas

considerações. In Estudos em Avaliação Educacional. (17), (33), pp 29-42.

Plaza, E. M. & Curi, E. (2010). Avaliar em Matemática: análise de procedimentos em

problemas do campo aditivo com respostas construídas por alunos do 5º ano do

Ensino Fundamental. Anais do I Congresso Nacional de Avaliação em Educação. (pp.

1-19). Bauru, SP, Brasil.

Sander, G. P. (2010). As atitudes em relação à matemática e suas influências na resolução de

problemas. Anais do I Congresso Nacional de Avaliação em Educação, (pp. 1-12).

Bauru, SP, Brasil.

Silva, B. A. C. (2014). O ensino de geometria no 1º ano do Ensino Fundamental: da teoria à

prática. Anais do III Congresso Nacional de Avaliação em Educação (pp. 1-8). Bauru,

SP, Brasil.

Stadler, J. C. & Brandalise, M. A. T. (2016). Avaliação em larga escala na Educação Básica

na área da Matemática: as produções científicas de 2010-2015. Anais do IV

Congresso Nacional de Avaliação em Educação (pp. 1-13) Bauru, SP, Brasil.

Tortora, E. & Pirola, N. A. (2012). O desenvolvimento de habilidades geométricas na

Educação Infantil. Anais do XXIII Seminário de Investigação em Educação

Matemática. Coimbra, Portugal.

Vasconcelos, C. S. (1995). Avaliação: concepção dialética-libertadora do processo de

avaliação escolar. In Cadernos Pedagógicos do libertad (3), p. 101. São Paulo:

Libertad.


ISBN 978-84-945722-3-4

Zanutto, M. V., Garcia, P. S.; Garrido, E. L. (2016). Avaliações externas em Matemática:

desempenho dos alunos da região do ABC paulista. Anais do IV Congresso Nacional

de Avaliação em Educação (pp. 1-13). Bauru, SP, Brasil.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-677

EL TRIÁNGULO: ARTE, MATEMÁTICAS Y LITERATURA

Verónica Navarro Navarro

[email protected]

Puntodepapel- España

Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Educación Primaria

Palabras clave: matemáticas, arte, literatura, emociones.

Resumen

La literatura y el arte son dos áreas necesarias para el desarrollo del individuo,

especialmente por su incidencia en las emociones, y dos grandes herramientas para motivar

al alumnado. Por su parte, las matemáticas necesitan de la experimentación y la

manipulación para su mejor comprensión.

Partiendo de estas dos premisas, entendemos el aprendizaje como un espacio de juego,

experimentación e investigación donde las fronteras entre las áreas se diluyan y se

entrelacen para fortalecer el conocimiento. Como afirma H.Gardner facilitar el aprendizaje

poniendo en juego diferentes inteligencias, a través de un abanico de áreas, permite al

alumnado aprender mejor puesto que puede acceder al conocimiento desde aquellas

capacidades que le son más favorables.

Nuevas formas de enseñanza son las que recomiendan tanto Castelnuovo (sobre la

importancia de la manipulación) como Alsina (“La matemática rigurosa se hace con la

mente, la matemática hermosa se enseña con el corazón”), ligadas a la experimentación y

la emoción.

Vivimos en una sociedad cambiante donde los retos que se nos presentan son desconocidos,

donde las fronteras se diluyen y las estructuras que antes nos ofrecían seguridad, se

desintegran. En palabras de Zygmunt Bauman: “todo nos hace sentir como si habitáramos en


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un universo de Escher, donde nadie puede saber en ningún momento, la diferencia entre ir

loma arriba o rodar por la pendiente” (Bauman, 2005 p.114).

Por otra parte, la neurociencia aporta pruebas de lo ineficaz de las clases magistrales como

lo muestra una investigación en la universidad de Massachusetts (Joe Pickett 2017).

Como educadores nos surgen algunas preguntas:

- ¿Es necesario buscar nuevos modelos educativos acordes con los cambios sociales?

- ¿ Si dichos modelos fuesen más atractivos para el alumnado, facilitarían el trabajo en el

aula?

- ¿Estos nuevos modelos deberían tener en cuenta las diferentes inteligencias para

implementar una metodología donde cada alumno/a acceda al aprendizaje desde la

inteligencia que le sea más favorable?.

Es importante conocer las dificultades a los que un docente se enfrenta, en muchas ocasiones

originados por la desmotivación del alumnado, para buscar soluciones. Una de las posibles

vías, puede ser trabajar con metodologías interdisciplinares, alejadas de aquellas que

presentan los conocimientos de forma lineal delimitando las materias mediante fronteras

infranqueables, tan alejadas del aprendizaje natural (Ken Robinson, 2010).

El método por proyectos nos acerca a la identidad del alumnado, y a la vez que éste adquiere

una serie de competencias que van más allá del aprendizaje de una serie de contenidos, le va

a permitir comprender su entorno (Hernández, 2000). Además nos ayuda a plantearnos el

currículum de una forma diferente y globalizada, donde se busca las conexiones entre los

contenidos, deliberando sobre la idea de una única realidad, siendo el docente el guía y no

depositario absoluto del conocimiento. Contando con que estos proyectos son vivos, están

abiertos y pueden sufrir transformaciones durante el proceso, algo similar a lo que acontecerá

en sus vidas.


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Y es que, los contenidos se pueden adquirir de diferentes formas, no existe una única manera.

H. Gardner (2015) certifica la conexión que existe entre las inteligencias múltiples y el

aprendizaje, entendiendo como una buena metodología, aquella que presenta un abanico

amplio de inteligencias, ya que esto favorece el desarrollo de un aprendizaje personificado.

Porque es necesario buscar metodologías que sean más acordes con la generación actual que

deberá enfrentarse a cambios continuos y pensamos que el método por proyectos educa en

este sentido.

Son muchas las voces que abogan por ese cambio desde diferentes disciplinas:

Literatura: Bettelheim (1986) plantea la importancia de la literatura por su capacidad de

activar y canalizar emociones; G. Bachelard (2012) por su enorme poder para desarrollar la

creatividad; o Guerrero (2008) quien plantea abordar la metodología interdisciplinar

partiendo de la literatura como eje vertebrador, sirviendo de guía para explorar el resto de

disciplinas.

Arte: Herbert Read (1986) quien parte de la tesis defendida por Platón, considerando el arte

como base de la educación unido una experiencia lúdica. Y propone tener en cuenta la

educación: visual, plástica, musical, cinética, verbal y constructiva; Eisner (2004) considera

necesaria las artes porque desarrolla la imaginación y educa nuestros sentidos; Torrance y

Myers (1976) advierten: «Toda buena enseñanza es necesariamente creativa» (p. 19) y

reclaman la necesidad de educar en el arte porque consideran que es fundamental para

desarrollar la imaginación y la creatividad, algo que la sociedad debería solicitar; M. Acaso

(2015) se muestra partidaria de estas tendencias valorando el arte como herramienta

unificadora.

Matemáticas: recordemos la conferencia pronunciada por Emma Castelnuovo en Roma, en

marzo en 1946 y publicada en el Periodici di Matematiche, en diciembre 1946, donde para

entender la dificultad a la que se enfrenta el alumnado para comprender conceptos abstractos,

precediendo la teoría a la práctica, nos traslada al inicio de la geometría para explicar que


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ésta surge de forma experimental a través de la necesidad de medir terrenos. (Castelnuovo,

2004). Debemos partir de la realidad para caminar hacia lo abstracto y no al revés.

Otro aspecto que considera de gran importancia es la intuición, entendida como la acción de

mirar en el interior, con atención, esa intuición aflora en la elaboración de la operación,

Castelnuovo (1980); Alsina y Burgués (2015) con el título El alumnado es diverso pero el

profesorado también, realizaron una clasificación de tipos de profesores, considerando al

buen profesor como aquel que abren sus aulas, programa muchas actividades, tienen deseo

por aprender, fomentan la autonomía del alumnado, trabaja por proyectos, son creativos

desde el punto de vista de ser capaz de unir su materia con otras disciplinas.

Y es que es necesario un cambio urgente en nuestro sistema educativo, como muestra el

pedagogo Francesco Tonucci (2007) a través de sus viñetas.

Figura 1. Ilustraciones extraídas del libro 40 años con ojos de niño, de Frato,

pseudónimo de Francesco.

Hasta aquí he querido fundamentar un poco la base de nuestro trabajo en Puntodepapel.

Pasamos ver algunos ejemplos de talleres llevados a cabo:

1. De las matemáticas a la abstracción

Taller impartido por Verónica Navarro, durante el mes de Noviembre de 2012 en

Bilbao, dentro del proyecto “BBK-máticas, las matemáticas en las bibliotecas


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escolares”, programa realizado por la RSME, la BBK y el Gobierno Vasco, para los

centros educativos de Vizcaya. Partiendo del álbum ilustrado “La rebelión de las

formas” (T. Navarro, 2010), realiza aplicaciones concretas basadas en una

metodología globalizada e interdisciplinar que permiten que arte y ciencias se

desarrollen a través de la literatura infantil. Pasar de la segunda a la tercera dimensión

para crear su ciudad a modo de instalación.

Figura 2. Imagen del taller De las matemáticas a la abstracción (2012). Fotografía de Francisco

Cuéllar para ilustrar la página web puntodepapel (Murcia, 2012).

2. Cuando las matemáticas se hacen arte

Taller realizado por Puntodepapel durante una semana en el Cimat, Guanajuato

(México). Dicho taller pretendía mostrar metodologías globalizadas que fuesen útiles

para implementarlas posteriormente en el aula, en museos, en espacios divulgativos,

etc. Trasladar la necesidad de educar en el arte conjuntamente con otras materias,

permitiendo así optimizar los resultados de las áreas implicadas.


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Figura 3. Imagen del taller Cuando las matemáticas se hacen arte (2015). Fotografía de

Francisco Cuéllar para ilustrar la página web puntodepapel (Murcia, 2015).

3. Laboratorio menudo punto

El laboratorio parte del libro “menudo punto” (V. Navarro, 2012) y es diseñado como

parte de la investigación de la tesis doctoral de esta misma autora. La propuesta se

realiza en 2013 en el Centro Párraga de Murcia, propiciando un espacio donde

adentrarnos en varios conceptos geométricos: el punto, la línea y el fractal.


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Figura 4. Imagen del taller Laboratorio menudo punto (2013). Fotografía de

Francisco Cuéllar para ilustrar la página web puntodepapel (Murcia, 2013).


Libro

Acaso, M. (2015). rEDUvolution. Hacer la revolución en la educación. Barcelona, España:

Ediciones Paidós Ibérica.

Bachelard, G. (2012). El aire y los sueños. D.F., México: Fondo de Cultura Económica de

España.

Bettelheim, B. (1986). Psicoanálisis de los cuentos de hadas. Barcelona, España: Editorial

Crítica.

Bauman, Z. (2005). Identidad. Madrid, España: Editorial Losada.

Castelnuovo, E. (1980). Didáctica de la matemática moderna. México D.F.: Editorial Trillas.

Castelnuovo, E. (2004). Las representaciones gráficas en matemáticas. Un estudio histórico-

crítico. En Fuentes, I. y Casalderrey, F.M. (dir.) Ideas de emmatemática astelnuovo (pp. 25-

40). Madrid, España: Editorial Suma.

Eisner, W.E. (2004). El arte y la creación de la mente. El papel de las artes visuales en la

transformación de la conciencia. Barcelona, España: Ediciones Paidós Ibérica.

Gardner, H. (primavera de 2015). Entrevista de Sarah Weiss. [Brain World magazine].

Recuperado de: http://howardgardner.com/2015/04/14/intelligences-and-their-good-use/

Baumant, Z. (20015). Identidad. Madrid, España: Editorial Losada.

Guerrero, P. (2008). Metodología en investigación en educación literaria (el modelo

ekfrástico). Murcia, España: Diego Marín Editor.

Navarro, T. (2010). La rebelión de las formas. Murcia, España: Puntodepapel.


ISBN 978-84-945722-3-4

Navarro, V (2012). Menudo punto. Murcia, España: Puntodepapel.

Read, H. (1986). Educación por el arte. Barcelona, España: Ediciones Paidós Ibérica.

Tonucci, F. (2007). 40 años con ojos de niño. Barcelona, España: Editorial Graó.

Torrance, E.P. y Myers, R.E. (1976). La enseñanza creativa. Madrid, España: Editorial

Santillana.

Información extraída de una página web

Alsina y Burgués (2015). El alumnado es diverso, pero el profesorado también. En B.

Espinar (Presidencia), Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas

(JAEM17), congreso llevado a cabo en Cartagena, Murcia.

https://www.youtube.com/watch?v=oqqzCnHQ_VY Consultado 25/11/2016

Hernández, F (2000). Los proyectos de trabajo: la necesidad de nuevas competencias para

nuevas formas de racionalidad. Barcelona, España: Universidad de Barcelona. Recuperado

de: http://www.raco.cat/index.php/educar/article/viewFile/20726/20566

Pickett, J. (2017). Actively Teaching Active Learning.

https://mitopencourseware.wordpress.com/2017/02/24/actively-teaching-active-learning/


Robinson, K. (2010). La revolución del aprendizaje. En Conferencia Oficial de TED,

Conferencia llevada a cabo en Longbeach, California en 2010. Recuperado de:

http://www.ted.com/talks/sir_ken_robinson_bring_on_the_revolution#t-13498

https://www.youtube.com/watch?v=oqqzCnHQ_VY

http://www.raco.cat/index.php/educar/article/viewFile/20726/20566

https://mitopencourseware.wordpress.com/2017/02/24/actively-teaching-active-learning/


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-678

FORMAÇÃO DE PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA NO ÂMBITO

DO PIBID: ALGUNS APONTAMENTOS

Anemari Roesler Luersen Vieira Lopes

[email protected]

Universidade Federal de Santa Maria – UFSM/ Brasil


Modalidade: CB


Palavras chave: Formação de professores que ensinam matemática. Pibid. Iniciação a

docência.

Resumo As preocupações com o ensino e a aprendizagem têm se refletido diretamente nas discussões

e pesquisas sobre o professor e sua formação. Como decorrência, no Brasil, foram

implementadas algumas políticas públicas sendo umas delas o Programa Institucional de

Bolsa de Iniciação a Docência (Pibid), que é financiado em nível nacional pela Coordenação

de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) e que tem por finalidade fomentar

a iniciação à docência, contribuindo para o aperfeiçoamento da formação de docentes em

nível superior e para a melhoria da qualidade da educação básica pública brasileira. O

objetivo do presente trabalho é discutir sobre as contribuições de um sub-projeto

desenvolvido no âmbito do Pibid, no que diz respeito à formação inicial de professores que

ensinam matemática. Esse projeto desencadeia-se na Universidade Federal de Santa Maria,

(Rio Grande do sul- Brasil) e envolve estudantes das Licenciaturas em Matemática,

Pedagogia e Educação Especial, que estudam, planejam, desenvolvem e avaliam atividades

de ensino de matemática direcionadas a alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental. A

avaliação dos resultados dessas ações indica que a possibilidade de conhecer as escolas e

interagir com os alunos da Educação Básica confere um diferencial positivo ao processo

formativo dos futuros professores.

Introdução

Parece ser consenso entre pesquisadores e educadores que não há como pensar no ensino no

âmbito da educação escolar sem pensar na formação do professor, em especial na formação

inicial, onde uma das principais críticas centra-se na dicotomia entre teoria e prática. No

Brasil, a discussão sobre essa questão se fez mais presente a partir nos anos de 1990 que

apontam a deficiência dos cursos de licenciatura em formar professores capacitados para uma

prática docente que se efetive em aprendizagem para os alunos.


ISBN 978-84-945722-3-4

Entendemos que tais discussões fomentaram reflexões importantes sobre formação de

professores que culminaram no aumento de pesquisas e projetos organizados a partir da

aproximação de futuros professores com a escola de Educação Básica, bem como políticas

públicas de incentivo à essa interação. No Brasil, uma dessas políticas é o Programa

Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência (Pibid), que é financiado em nível nacional

pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e que tem por

finalidade fomentar a iniciação à docência, contribuindo para o aperfeiçoamento da formação

de docentes em nível superior e para a melhoria da qualidade da Educação Básica pública

brasileira.

Nesse contexto, o presente trabalho tem por objetivo discutir sobre as contribuições de um

sub-projeto desenvolvido no âmbito do Pibid, no que diz respeito à formação inicial de

professores que ensinam matemática. Esse sub-projeto desencadeia-se na Universidade

Federal de Santa Maria (UFSM), localizada no estão do Rio Grande do Sul- Brasil, e envolve

estudantes das Licenciaturas em Matemática, Pedagogia e Educação Especial, que estudam,

planejam, desenvolvem e avaliam atividades de ensino de matemática direcionadas a alunos

dos anos iniciais do Ensino Fundamental.

Na sequencia, inicialmente trazemos alguns apontamentos sobre o Pibid, a seguir tratamos

especificamente sobre as contribuições do subprojeto, foco desse trabalho, a partir da

percepção dos futuros professores e finalizamos com algumas considerações.

O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência

O Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência foi idealizado em 2007 pelo

Ministério da Educação brasileiro com o intuito de incentivar e fomentar a iniciação à

docência de estudantes das instituições de Educação Superior e preparar a formação de

docentes, em cursos de licenciatura, para atuar na Educação Básica pública. O seu primeiro

Edital foi lançado em 2017 e priorizava a formação de professores para o Ensino Médio e

especificava algumas áreas prioritárias a serem atendidas. Posteriormente outros editais

foram sendo lançados, com algumas modificações, em especial: na ampliação das áreas de

conhecimento contempladas; na prioridade de formação que passou a abranger toda a

Educação Básica; pela possibilidade de participação não só de instituições federais; e


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inclusão do Pibid Diversidade direcionado a projetos institucionais voltados à Educação no

Campo e Educação Indígena (Lopes e Fajardo, 2003).

Cada Instituição de Ensino Superior participante possui um projeto geral formado por

subprojetos que envolvem as áreas da licenciatura de sua abrangência. O programa é

financiado pela Fundação Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior–

CAPES que fornece bolsas aos professores e futuros professores participantes.

Em 2014, 284 instituições brasileiras, possuíam projetos vinculados ao Pibid,

totalizando 90.254 bolsas, conforme podemos observar no Quadro 01.

Quadro 01: Número de Bolsas Pibid concedidas em 2014

Tipo de Bolsa Pibid Pibid Diversidade Total

Iniciação à Docência 70.192 2.653 72.845

Supervisão 11.354 363 11.717

Coordenação de Área 4.790 134 4.924

Coordenação de Área de Gestão 440 15 455

Coordenação Institucional 284 29 319

Total 87.060 3.194 90.254

Fonte: http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid/relatorios-e-dados

Na UFSM, o programa iniciou com o Edital do ano de 2007 com cinco subprojetos.

Posteriormente, por meio do Edital do ano de 2014 compôs seu atual projeto institucional

com 19 subprojetos, envolvendo: 33 coordenadores de área, 72 professores supervisores e

408 alunos de iniciação à docência. Esses desenvolvem suas ações em escolas públicas da

cidade de Santa Maria e de Palmeiras das Missões, Rio Grande do Sul.

O Subprojeto Interdisciplinar Educação Matemática (Pibid/InterdEM), foco desse

trabalho, é assim denominado por ser composto por estudantes de três licenciaturas

(Matemática, Pedagogia e Educação Especial) e por ter como preocupação principal o ensino

e a aprendizagem da matemática na infância. Atualmente o grupo é composto por 10

estudantes de iniciação a docência (BID); três professoras supervisoras de escolas públicas

(BS), uma coordenadora de área (CA); além de estudantes colaboradores da graduação e da

pós-graduação. Também conta com o apoio do Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação


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Matemática - GEPEMat/UFSM que surgiu no ano de 2009, desenvolvendo atividades de

matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental, por meio do Clube de Matemática –

CluMat (Lopes, 2009), perspectiva adotada para o desenvolvimento das ações do

Pibid/InterdEM.

A fundamentação teórico-metodológica adotada pelo nosso subprojeto é a da

Atividade Orientadora de Ensino de Moura (1996, 2002), que ampara-se na Teoria Histórico

Cultural que tem em Vygotsky (1994, 2009, ) seu maior expoente e, mais especificamente,

na teoria da atividade de Leontiev (1978, 1983). Tais fundamentos nos levam a alguns

pressupostos que norteiam o encaminhamento de nossas ações, dos quais destacamos os

seguintes:

• o conhecimento matemático é construído como produto das necessidades humanas e

insere-se no conjunto dos elementos culturais que devem ser socializados para as gerações

futuras, de modo a possibilitar aos sujeitos o desenvolvimento pleno como indivíduos

capacitados para contribuir com o desenvolvimento da humanidade, no processo que Leotiev

(1978) denomina de humanização;

• a escola é o lugar social privilegiado para apropriação do conhecimento construído

historicamente pela humanidade, qual seja, o conhecimento teórico;

• entender a escola como o lugar social privilegiado para a apropriação de conhecimentos

produzidos historicamente é assumir que a ação do professor deve estar organizada

intencionalmente para esse fim (Moura, 2002);

• a apropriação do conhecimento é resultado do processo de interiorização, ou seja, na

passagem do plano interpsíquico para o intrapsíquico acontece o desenvolvimento psíquico

humano (Vygotsky, 1994);

• o ingresso no Ensino Fundamental (aos 6 anos) não indica o rompimento da criança com

a sua atividade principal, que é o jogo (Leotiev,1983), ou seja, ela não deixa de ser criança e

isso deve ser levado em consideração na organização do ensino, em especial de matemática.

A organização geral do Pibid/InterdEM acontece a partir de encontros semanais

gerais com todos os participante; encontros por Grupos de Trabalho das escolas; e ações

desenvolvidas semanalmente nas três escolas parceiras.

A partir dos pressupostos teóricos adotados, para desenvolvermos nossas ações do Clube

de Matemática do Pibid/Interdem, os encaminhamentos são os seguintes: estudo;


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planejamento e produção de material; desenvolvimento nas escolas das ações planejadas; e

avaliação.

O estudo refere-se a aspectos relativos à Educação, aos fundamentos da Atividade

Orientadora de Ensino e, em especial, ao movimento lógico-histórico (Kopnin,1978) dos

conceitos matemáticos que serão trabalhados. O intuito é de que os futuros-professores se

apropriem da síntese histórica dos conhecimentos matemáticos como subsídio para os

planejamentos. O planejamento das ações a serem desenvolvidas nas escolas, centra-se

especialmente em organizar Situações Desencadeadoras de Aprendizagem de Matemática

que partam de uma situação lúdica, normalmente por meio de uma história virtual do conceito

(Moura e Lanner de Moura, 1998), usando diferentes estratégias como, como exemplo, o

teatro em palitoches, dramatizações, vídeos ou ainda jogos. Tomando por base o

planejamento, são produzidos os materiais necessários para o seu desenvolvimento, tais

como: jogos, materiais impressos, recursos diversos. A partir daí, uma vez por semana

licenciandos vão às três escolas desenvolver as ações planejadas junto às turmas dos anos

iniciais do Ensino Fundamental das professoras participantes do subprojeto. Posteriormente,

as ações realizadas são avaliadas em dois âmbitos: coletivo (em sessões reflexivas com todos

os participantes) e individuais (por meio de um instrumento em que os futuros professores

registram suas ações e percepções sobre cada uma das unidades de ensino desenvolvidas).

Todas essas ações contam com a participação ativa das professoras da Educação

Básica, na perspectiva de que essas atuem como co-formadoras desses estudantes de

licenciatura e que essa interação também as coloque num movimento de aprendizagem.

A Formação de Futuros professores no âmbito do Pibid/InterdEM

Com o objetivo de discutir os principais resultados obtidos pelo subprojeto

Pibid/InterdEM, no que diz respeito à formação inicial de professores que ensinam

matemática, o faremos a partir da percepção dos licenciandos que dele participam. Para isso

nos remeteremos aos dados de uma das avaliações escritas, individuais, realizadas pelos

mesmos referentes à sua participação no projeto no final do ano de 2016.

Os dados produzidos nessa avaliação apontam para a contribuição para a formação

em três âmbitos: em relação a matemática; em relação à docência; em relação a outros


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aspectos. Sobre esses, trazemos excertos de algumas das considerações descritas pelos

futuros professores na avaliação citada.

Em relação à matemática, eles se referem à aprendizagens no que diz respeito à sua

compreensão.

Com o Pibid compreendi a matemática como produto cultural, na sua totalidade e

não apenas como um conceito isolado ensinado em sala de aula. Compreender a

matemática como conhecimento lógico-histórico é perceber e se inserir na

sociedade, de tal forma a visualizar os conhecimentos como também utilizá-los no

dia a dia.(Isabele)

Os estudos e artigos relacionados a conteúdos do ensino fundamental, estudando

desde a parte histórica de tal conceito nos auxiliam muito também, pois na maioria

das vezes é trabalhado de forma mecânica.(Marieh)

Também descrevem um modo de compreender a matemática diferente da que

tradicionalmente conheciam.

O Pibid é rico em aprendizado, por muito tempo quando eu ainda estava na escola

eu realmente não gostava muito da matemática, entrei na graduação com esta

mesma concepção, porém ao entrar no Pibid interdisciplinar em Educação

Matemática eu pude ter uma visão mais ampla sobre a mesma, descobri diversas

possibilidades dela ser trabalhada com as crianças e pude me encantar pela

matemática.. (Sophia)

Ainda mencionam um modo de compreender a matemática para ensinar.

Aprendi uma nova forma de estudar e ensinar conteúdos matemáticos para os

alunos, pois o Pibid através da AOE nos proporciona isso. Olhamos para a

matemática de uma forma mais abrangente, desde seu contexto histórico

(surgimento), que nos mostra a necessidade de aprender o conteúdo até a novas

formas de ensinar o conteúdo. (Rose)

Em relação a matemática estou tendo a oportunidade de retomar conteúdos e me

aprofundar mais em conhecimentos sobre o mesmo, claro para poder saber e

também ensinar para os meus alunos, além disso estou descobrindo e aprendendo

novas formas de ensinar os conteúdos matemáticos. (Lívia)

Em relação à docência indicam a importância da possibilidade de relacionar a teoria

e a prática.

É a oportunidade que tive para unir e vivenciar a teoria e a prática, que somente

pelo curso não é possível. [...]. O Pibid é a oportunidade antes de um estágio, de

acompanhar um pouco o trajeto do professor, de observar um turma e pensar junto

com o professor soluções para ensinar conteúdos, de praticar nossa futura profissão

e sentir os desafios de uma sala de aula.. (Rose)

A experiência que me possibilita relacionar a teoria com a prática, compreendendo

como se dá esse processo para que no futuro, em sala de aula, eu possa me tornar

uma melhor profissional. (Lara)

Também se referem à importância da possibilidade de inserção na escola.


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No Pibid á muita aprendizagem envolvendo a docência, nos debates que fazemos

e como nas inserções na escola. (Eva)

Em relação a docência o Pibid me mostrou a realidade da escola, me trouxe uma

experiência que durante a graduação não tenho. Aprendo que cada escola, turma e

alunos tem suas dificuldades e realidades diferentes, e que isso influência no nosso

papel como docente e algumas vezes até na aprendizagem deles. (Manuela)

Em relação a outras aprendizagens, todos apontam para a aprendizagem do trabalho

coletivo.

Aprendo a trabalhar em grupo .[...] Consigo visualizar os aprendizados da

formação acadêmica nas práticas realizadas, como também compartilho

aprendizados com pessoas de outros cursos e compreendo que o professor é um

sujeito que sempre estará em formação. (Isabele)

A união, o nosso grupo é muito unido e isso faz com que nós trabalhamos com

amor, carinho, amizade. E a forma como trabalhamos partindo quase sempre de

formas lúdicas. (Lara)

Além da interação com o grupo, também aprendo com a interdisciplinaridade que

envolve Educação Especial, Matemática e a Pedagogia que é a minha área. (Eva)

Estou aprendendo a trabalhar em grupo e a ouvir experiências de outros colegas e

delas tirar algo para o meu aprendizado, além disso estudar sobre assuntos

importantes que irão me ajudar a trabalhar em sala de aula. (Lívia)

Aprendo a trabalhar coletivamente, escutar os outros, opinar, trocar

conhecimentos, estudar, desenvolver artigos, apresentar trabalhos. (Marieh)

Também destacam a aprendizagem sobre a criança e a escola.

Na minha pequena ainda experiência com o Pibid eu já aprendi muitas coisas, além

dos aprendizados citados nas questões anteriores eu pude com os estudos também

ver a criança e seu processo de desenvolvimento e isso tem me ajudado bastante na

compreensão de muitos aspectos de meu curso. (Sophia)

Desde que entrei no Pibid, mesmo fazendo pouco tempo, comecei a enxergar a

escola, os alunos,.. de maneira diferente. Os assuntos ( textos, vídeos) que

debatemos durante as reuniões me trazem muito aprendizado, e não somente como

futura docente, mas aprendizados e conhecimentos para a vida. (Manuela)

Os excertos trazem indícios de aprendizagens dos futuros professores, sobre os quais

discutimos a seguir.


A partir das ações desenvolvidas no Pibid/InterdEM, as futuras professoras

participantes avaliaram a influência do programa em relação à sua formação.


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Ao se referirem à aprendizagens sobre matemática, assinalam a possibilidade de

compreender a matemática e, consequentemente, ensiná-la numa perspectiva diferente, como

produto das necessidades humanas e como um conhecimento a ser ensinado. Nesse sentido,

lembramos de Moura (2002) que indica a importância da intencionalidade do professor na

organização do ensino, visando a aprendizagem do aluno.

Os depoimentos destacam a inserção na realidade escolar e a possibilidade da relação

dialética entre teoria e prática. Marques (2000) nos revela que não há como separar teoria e

prática nem, tampouco, considerar a primeira como um sistema autônomo de ideias e a

segunda, como realidade pronta e determinada.

Ao apontarem que a oportunidade de organizar e desenvolver ações de ensino de

matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental permite aprender sobre a criança e sobre

a escola, os graduandos se referem à compreensão de que aprender a ser professor que ensina

matemática implica, além de saber sobre matemática e sobre ensino, compreender quem são

os sujeitos e os espaços que envolvem o trabalho do professor.

Por fim, ressaltamos que a avaliação dos resultados das ações do Pibid/InterdEM indicam

que inserir-se em um projeto que oportuniza de conhecer as escolas e interagir com os alunos

da Educação Básica confere um diferencial positivo ao processo formativo dos futuros

professores


Kopnin, P. (1978). A Dialética como lógica e teoria do conhecimento. Rio de Janeiro:

Civilização Brasileira.

Leontiev, A. (1978). O desenvolvimento do psiquismo. Lisboa: Horizonte Universitário.

Leontiev, A. (1983). Actividad, conciencia e personalidad. Havana: Editorial Pueblo y

Educacion.

Lopes, A. R. L. V. (2009). Aprendizagem da docência em matemática: o Clube de

Matemática como espaço de formação inicial de professores. Passo Fundo: Ed. Universidade

de Passo Fundo.

Lopes, A.R.L.V. e Fajardo, R. (2013). PIBID/UFSM: construindo caminhos para a formação

de professores. In: Lopes, A.R.L.V. e Tomazetti, E.M. (Orgs), PIBID-UFSM: experiências

e aprendizagens, Capítulo 1, pp. 11-24. São Leopoldo: Oikos.


ISBN 978-84-945722-3-4

Marques, M.O.(2000). A formação do profissional da educação. Ijuí: Editora Unijuí.

Moura, M. O. (1996) A atividade de ensino como unidade formadora. Bolema 12, 29-43.

Moura, M. O. (2000). A Atividade de Ensino como ação formadora. In: Castro, A. D. e

Carvalho, A. M. P. (Orgs.), Ensinar a ensinar: didática para a escola fundamental e média,

Capítulo 6, pp. 143-162. São Paulo: Pioneira Thompson Learning.

Moura, M. O. e Lanner de Moura, A. R. (1998). Escola: um espaço cultural. Matemática na

Educação Infantil: conhecer, (re)criar – um modo de lidar com as dimensões do mundo. São

Paulo: Diadema/Secel.

Programa Institucional de Bolsa de Iniciação a Docência- Capes.

http://www.capes.gov.br/educacao-basica/capespibid/relatorios-e-dados / Consultado em

10/01/2017.

Vygotsky, L.S. (1994). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos

psicológicos superiores. São Paulo: Martins Fontes.

Vygotsky, L. S. (2009). A construção do pensamento e da linguagem. São Paulo: Martins

Fontes.


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CB-679

LA RELACIÓN ENTRE LA ESCUELA Y UNA COMUNIDAD GITANA

ARGENTINA.

EL ANÁLISIS DEL TRABAJO MATEMÁTICO: DIVERSIDAD E INCLUSIÓN.

María Julia Améndola

[email protected]

Instituto Superior de Formación Docente “Dr. Ricardo Rojas”. Argentina

Núcleo temático: Aspectos socioculturales de la Educación Matemática

Modalidad: CB

Nivel educativo: Educación Primaria

Palabras clave: Educación Matemática. Escolarización. Comunidad gitana.

Resumen Si bien en Argentina la Ley Nacional de Educación vigente contempla la diversidad cultural;

en las escuelas se aprende y se enseña matemática desde un enfoque monocultural y

eurocéntrico que no considera un pensamiento matemático distinto al difundido por

Occidente (Peña-Rincón y Blanco-Álvarez, 2015). Cabe aquí analizar esta concepción que

la escuela tiene respecto de cómo y qué debe enseñarse en las aulas y, en paralelo, la mirada

de los miembros de la comunidad gitana respecto de lo que la escuela les aporta. Estas dos

razones hacen que esta relación resulte poco fructífera. En este punto vale la pena destacar

que existen dos grupos entre los niños gitanos: el de una deserción extrema – los que nunca

asistieron a la escuela- y otro de abandono escolar prematuro. Atendiendo a estas

cuestiones, en este trabajo se pretende arrojar luz sobre la representación que la comunidad

tiene respecto de la escuela y la valoración de la misma para el trabajo matemático

necesario para sus tareas cotidianas. Para ello se analizaron algunos ejemplos que

evidenciaron la exclusión en las escuelas de las formas de pensar propias de la cultura

gitana.

Introducción

En Argentina se ha tomado conciencia en la sociedad de la diversidad cultural, pero en las

instituciones educativas se aprende y se enseña matemática desde un enfoque monocultural

En este sentido Peña-Rincón y Blanco-Álvarez (2015, p. 10) afirman que: “Estamos tan

naturalizados con la idea de que la matemática es única y tiene carácter universal, que ni

siquiera imaginamos la posibilidad de que existan otros conocimientos y prácticas

matemáticas que amplíen y complementen las matemáticas difundidas por Occidente.”

En este trabajo se analizará, por un lado la concepción que la escuela tiene respecto de cómo

y qué debe ser objeto de enseñanza en las clases de matemática-, y por otro la mirada que los



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miembros de la comunidad gitana tienen respecto de lo que la escuela aporta. Estas dos

visiones contrapuestas hacen que esta relación compleja.

1. Metodología de trabajo

Para indagar acerca de la relación que ésta comunidad17 tenía con la escuela y con los saberes que

en ella se transmiten se realizó un intenso recorrido bibliográfico, que proporcionó información

variada de distintos países, pero muy escasa de la Argentina. Para subsanar esta dificultad y

completar la información se realizaron diversas entrevistas individuales y grupales. De ellas y de las

charlas informales que se fueron desarrollando se pudieron extraer y luego organizar las

consideraciones que aquí se analizan. Por tal motivo todos los que expresan sus opiniones son

miembros de la comunidad, en su mayoría mujeres, que son quienes tienen a cargo la educación y

eventualmente la escolarización de los niños.

2. Representación y valoración respecto de la escuela.

En algunos países en las últimas décadas se ha dado una escolarización casi total de las niñas

y niños gitanos, pero las reacciones de las escuelas y de las familias gitanas han sido

diferentes y hoy nos encontramos con situaciones escolares muy diversas.

En Argentina- lugar en que se desarrolló el trabajo-, no existen datos respecto de los

recorridos de los niños gitanos en la escuela. Pero sí podríamos decir que existen dos grupos

de estudiantes gitanos: uno de ellos con una deserción extrema y otro de un abandono escolar

prematuro. Además no debemos olvidar que, como en muchas otras partes del mundo entre

los adultos gitanos hay un altísimo índice de analfabetismo.

Como sabemos la sociedad gitana siempre ha sido estigmatizada, desvalorizada y sometida

a la presión de los paradigmas culturales predominantes y en nuestro país como en muchos

otros, ha tenido dificultades de integración sociocultural. Tal vez por eso, es notable como el

pueblo gitano ha sabido conservar, a pesar del paso del tiempo su idiosincrasia. En este

sentido el Secretariado Gitano (2016) sostiene: “Muchas son costumbres ancestrales que han

pasado de generación en generación, otras son adaptaciones de las costumbres locales de

17

La comunidad gitana con la que se llevó adelante este trabajo está asentada en la localidad de Moreno en la provincia

de Buenos Aires, si bien es una comunidad bastante grande, para este relevamiento se trabajó sólo con los miembros de

algunas familias.


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las tierras por donde pasaban, pero adaptadas a su propia idiosincrasia y a las necesidades

que impone la vida trashumante que han llevado tradicionalmente.”

Tal vez la falta de interés por la escolarización infantil que demuestran se encuentra ligada a

la propia cultura gitana, que consideraba que el mejor lugar para educar a los hijos pequeños

es en sus propias casas y junto a la madre. Así lo explica Sonia, “a nosotros la escuela no

nos interesa, porque nosotros no estudiamos…a los chicos los instruimos nosotros (…) y así

aprenden”

Algunas otras mujeres que participaron de las distintas charlas dejan claro su indiferencia

respecto de la escuela. Liliana sostiene: “Nos parece bien que vayan los chicos a la escuela.

(…) pero no los hacemos estudiar, pero sí que vayan un poco a aprender a leer y a escribir.”

En consonancia con estos dichos García Guzmán (2005, p. 437-448) afirma: “Esta falta de

interés por la escolarización infantil se ha encontrado muy ligada a la propia cultura gitana

que consideraba que el mejor lugar para educar a los hijos pequeños era el propio hogar,

junto a su madre.”

Pero dentro de la misma comunidad hay quienes sostienen que la escuela no es necesaria y que

nada de lo que en ella se ofrece les puede ser de alguna utilidad; en esto coinciden Hugo y Norma.

Esta última asevera: “No hace falta…les enseñamos a nuestra manera”. En otras conversaciones

informales Norma insiste con la forma en que ella y las demás mujeres de la familia les enseñan a

los niños: “Nosotras les decimos lo que tienen que saber…en la escuela sólo aprenden cosas de

payos18.” En el mismo sentido cuando se le pregunta a Hugo, respondió tajante: “Algunas mujeres

los mandan… pero no les hace falta,…nada bueno aprenden de los criollos”. De los dichos puede

interpretar que la posibilidad de que sus niños aprendan en la escuela algo que les sea útil no es ni

si quiera considerado por ninguno de los entrevistados.

En nuestra sociedad tener ciertos conocimientos escolares posibilita a los individuos a

participar de determinadas tareas, a obtener una identidad social, a estar en definitiva, en

igualdad de condiciones de realizar cualquier actividad. Pero la representación que parecen

tener los miembros de esta comunidad gitana respecto de la escuela no está en consonancia

con esta mirada. Para ellos los conocimientos, las habilidades y los hábitos que la escuela

brinda a los estudiantes se encuentran fuertemente ligados a la cultura dominante. Las formas

18

Payos o criollos es la forma en la que distinguen a todos aquellos que no son gitanos.


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tradicionales observadas en los gitanos muestran que los conocimientos que utilizan

cotidianamente no son sólo impartidos por la escuela; son las madres, las familias quienes a

través de la trasmisión oral, del trabajo cotidiano les enseñan a los más pequeños.

Si bien algunas familias gitanas opinan que la escuela puede ser un instrumento a utilizar no

es un recurso imprescindible para el futuro, porque entienden que la escuela está totalmente

alejada de los valores tradicionales gitanos. En este sentido y pensando en la escolarización

de los niños gitanos de hoy y en los del futuro hay que tener en cuenta que el proceso de

transformación e integración social de los grupos en desventaja sociocultural, - como es el

caso de las comunidades gitanas en la Argentina- es lento y exige miradas y recursos

extraordinarios.

3. La percepción de la escuela respecto de los conocimientos de niños gitanos

A partir de las miradas de los distintos integrantes de la comunidad y para quienes estamos

inmersos en el sistema educativo parece inevitable pensar en la necesidad de intervenir para

apoyar a que los niños y jóvenes gitanos ingresen, permanezcan y egresen en la

escolarización obligatoria. Es por eso que creemos que hay mucho por hacer para integrar a

los niños gitanos, sin perder de vista quienes son, sus costumbres, su idiosincrasia. En este

mismo sentido los docentes que realicen este trabajo deberían ser capaces de crear

instrumentos didácticos que permitan tender puentes entre los conocimientos que los niños

gitanos traen consigo al ingresa a la escuela y los que los diferentes diseños curriculares

proponen como objetos de enseñanza.

En este trabajo nos detendremos a analizar algunos problemas matemáticos que fueron

presentados a un grupo de miembros de la comunidad y a intentar establecer las analogías

necesarias para tender dichos puentes

3.1 Los problemas de división

Aprender a dividir en la escuela primaria incluirá, sin duda, elaborar y dominar diversos

recursos de obtención de resultados, entre ellos y sólo como uno más de los recursos, el

algoritmo. Los alumnos deberán aprender a reconocer cuáles son los problemas que se

pueden resolver utilizando la división y cuáles no; necesitarán reconocer qué relaciones se

pueden establecer entre la división y las demás operaciones aritméticas; qué propiedades


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verifica, cuáles son comunes a otras operaciones, etc. Todo esto es parte del trabajo que los

docentes deben promover en las aulas.

Analizaremos algunos problemas de división que se presentaron al grupo de entrevistados y

los tipos de procedimientos que realizaron; para luego establecer las analogías necesarias con

el trabajo que con esos mismos problemas se pueden realizar en las aulas.

Cabe señalar que la elección de los problemas tiene el propósito de poner en juego uno de

los contenidos matemáticos que más dificultades acarrea en la escuela primaria a los niños

“criollos” y que los niños gitanos enfrentan – como se verá- sin dificultades.

El primer problema de división que se presentó fue: “Si compro 200 flores y quiero

venderlas en paquetes de a 10 ¿Cuántos paquetes voy a poder armar?”

Vale la pena aclarar que la elección del problema tuvo que ver con la necesidad de comprobar

de qué manera realizaban las operaciones con unidades seguidas de ceros. Y los tres

entrevistados que dieron respuesta afirman haber realizado una división.

Norma cuando explica la estrategia que utiliza para resolver el problema, dice: “repartí entre

los 10”. Un asunto sumamente interesante es destacar que en la resolución que plantea la

gestualidad -indicando con las manos como si colocara las flores en los paquetes- da cuenta

de que el cálculo mental que está desplegando es la correspondencia por grupos, en la que a

cada grupo le va asignando una a una las flores que tiene en el conjunto total. Queda claro

que Norma confunde el problema entendiendo que tiene que hacer 10 paquetes y no paquetes

de 10 flores.

Por otro lado si lo analizamos matemáticamente no es posible realizar el procedimiento de

repartir de uno en uno porque no se sabe cuántos paquetes son, sino que hay que partir de la

colección quitándole 10 a 200 tantas veces como sea posible.

Ante el mismo problema Hugo y Liliana, que también pudieron resolverlo, no pudieron

explicar cómo ni de qué manera realizaron la cuenta; Liliana sólo respondió: “Veinte.[…]

porque lo dividís en 10” y Hugo afirma: Tienen que llevar 20 paquetes.

Las dificultades descriptas también son muy comunes en el trabajo que sobre la división se

realiza en la escuela; pero a diferencia de los miembros de la comunidad gitana los alumnos

de la escuela primaria se les pide que den cuenta de la forma en la que resolvieron- utilizando


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el algoritmo-, no pueden explicar los procedimientos que llevaron adelante ni los cálculos

mentales que debieron desplegar para afrontar este algoritmo.

El segundo problema sobre el que se trabajo fue el siguiente: “Si ahora quiero vender 250

de las mismas flores y los voy a empaquetar de a 15, ¿cuántos paquetes voy poder

hacer?”

Si bien tres de los entrevistados pudieron enfrentar este problema; lo resolvieron

transformándolo en un problema de reparto. Para obtener los resultados parciales todos

comienzan realizando la multiplicación de 15x10; calculando primero la cantidad de flores

que utilizarían para armar diez paquetes.

Miguel, por su parte sólo se queda en una estimación parcial: “Porque 150 son 15 y faltan

10 paquetes, son 25” y no parece importarle llegar al resultado exacto.

Norma dice: “[…] 10 paquetes son 150 flores...”. Luego resta al total las 150 flores que ya

repartió, realizando la resta 250 –150 = 100. Posteriormente haciendo sumas de iguales

intenta llegar a la cantidad de flores que le quedaron de la resta: “[...] las otras las repartí

(hace un gesto con las manos indicando el reparto) 15, 15…son 30…45..así.”

La complicación que se le presenta a Norma, tiene que ver con sus prácticas cotidianas y con

los objetos que en esas prácticas son necesarios poner en juego para realizar las operaciones,

esto queda evidenciado cuando afirma “… 10 paquetes son 150 flores, pará que hace mucho

que no vendo flores…”.

Por otro lado, no es muy frecuente, que utilicen estrategias que involucran números que no

sean unidad seguida de cero. Esta dificultad se presenta también en los otros entrevistados.

En este caso la elección de las cantidades involucradas para el problema fue especialmente

pensada para introducir este conflicto y poder visibilizar si ésta era una dificultad. Teniendo

en cuenta que sí lo es en las actividades escolares.

Hugo por su parte enfrenta el problema de igual manera que Norma; pero avanza una poco

más en esta resolución y al realizar las sumas sucesivas recurre a un repertorio aditivo que

sin dudas tiene disponible. Así consigue el número exacto de paquetes de flores que se

pueden formar. Luego realiza la resta de (100-90= 10) para dejar indicado que le sobran


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algunas flores; esto indica que a Hugo lo preocupa la exactitud de la respuesta y dice: “me

queda 10 a fuera de los paquetes” que representan el resto de la división.

Como puede verse todos los entrevistados realizan cálculo mental para enfrentar la resolución

de los problemas; en las respuestas aparecen multiplicaciones por unidad seguida de cero,

sumas sucesivas, estimación y restas. El análisis de dicho trabajo es una buena oportunidad

para asomarse a tareas donde deben tomar decisiones sobre las estrategias a desarrollar ya

que en general existen varias alternativas posibles de resolución y, al mismo tiempo, deben

decidir sobre la validez o no de los procedimientos utilizados.

3.2 Los problemas de división en la escuela

En la escuela el trabajo con cálculo mental es una tarea desafiante para los docentes; no sólo

porque les demanda el seguimiento de diversos razonamientos de los alumnos ante una

misma situación, sino que además implica un trabajo sostenido que debe pensarse siempre a

largo plazo. El esfuerzo que puedan hacer en este sentido bien vale lo que cuesta por la

calidad de los aprendizajes que adquieren los niños. Pero esta tarea desafiante queda

relegada por el trabajo algorítmico que la escuela propone que invisibiliza el trabajo

matemático que las operaciones como la división conllevan.

En la escuela muchas veces de manera explícita y otras no tanto quienes enseñan ponen en

juego criterios para considerar los aprendizajes de los alumnos y cómo se transforman sus

conocimientos. Ello supone reflexionar acerca de qué esperan que los niños aprendan, en qué

tiempos y bajo qué condiciones didácticas. Es en este punto donde es posible tender los

puentes entre los conocimientos que la comunidad gitana tiene disponibles y los que la

escuela ofrece. Es decir, problematizar los objetos de enseñanza, los problemas frente a los

cuales se movilizan, estrategias que ponen en juego, las formas de representación ligadas a

ellos, prácticas en las cuales intervienen, las producciones más personales, los vínculos que

es posible ir construyendo progresivamente entre las relaciones aritméticas. Es indispensable

en este punto hacer una primera aproximación a una discusión sobre los criterios desde los

cuales consideramos los conocimientos de los estudiantes – gitanos o criollos- sobre la

división y sus transformaciones.


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4. Conclusiones

Analizar las causas que han originado el bajo rendimiento escolar y posterior abandono de la

escuela por parte de los niños gitanos. Han sido causa de múltiples estudios y debates por los

expertos en esta materia y se ha dicho que el origen de este fracaso escolar es múltiple y

variado y que tenemos que buscarlo, tanto en aquellas circunstancias propias de la familia

gitana, como en una política educativa nada favorable a este colectivo, lo que ha originado

el ausentismo y el desinterés por la escuela.

Si bien no es pretensión de este trabajo realizar un pormenorizado recuento de las cuestiones

que permitirían la integración de los niños de esta comunidad a las escuelas, pero sí la de

detallar algunos aspectos que harían posible la permanecieran dentro del sistema educativo

y la posibilidad de lograr aprendizajes significativos.

Por un lado trabajar con adultos de la comunidad de manera paralela al trabajo que se lleva

adelante con los chicos, intentando evitar los desequilibrios que puede producir en el niño

gitano la escolarización, a través de la cual recibe unos valores y un esquema diferente de los

que se transmiten en su grupo familiar. Otra cuestión deseable sería la posibilidad de

flexibilizar en el sistema educativo, muy burocratizado y excesivamente rígido tanto en

horarios como en las edades de los niños, atendiendo a las desigualdades que esta rigidez

provoca en el seno de la comunidad gitana.

No menos importante sería que el docente que trabaje con estudiantes gitanos haga un

esfuerzo de reflexión para aprender a conocer su mundo y sus costumbres, esto permitiría,

sin dudas, trabajar con toda la comunidad y afianzar la integración de los niños a la escuela.

Estos docentes deberían ser capaces de crear instrumentos didácticos y de reflexión, que

conformen un programa coherente y adaptado que cubra, por ejemplo, las áreas de la historia,

la lengua, los ritos y las costumbres gitanas. Si bien actualmente, la Ley de Educación

Nacional Nº 26.206 en su artículo 11 sostiene que entre los fines y objetivos de la política

educativa nacional se encuentra “Asegurar a los pueblos indígenas el respeto a su lengua y

a su identidad cultural, promoviendo la valoración de la multiculturalidad en la formación

de todos/as los/as educandos/as”, el pueblo gitano parece no ser tenido en cuenta.



ISBN 978-84-945722-3-4

García Guzmán, A. (2005). La educación con niños gitanos: una propuesta para su inclusión

en la escuela. REICE. Revista Electrónica Iberoamericana sobre Calidad, Eficacia y Cambio

en Educación. 3.1, 437-448

Ley de Educación Nacional Nº 26.206, 2006, Argentina.

Peña, Pilar; Blanco-Álvarez, Hilbert (2015). Reflexiones sobre cultura, currículo y

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m Consultado 25/05/2016

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http://www.gitanos.org/documentos/madrid/paginas/sub_paginas/cultura/cultura_gitana.htm


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-683

ENCULTURACIÓN MATEMÁTICA Y ETNOMATEMÁTICA: FUNDAMENTOS

TEÓRICOS, METODOLÓGICOS Y EMPÍRICOS DE UN PROYECTO DE

FORMACIÓN DOCENTE EN COSTA RICA

Ma. Elena Gavarrete – Veronica Albanese – Margot Martínez – Marcela García – Jesennia Chavarría

[email protected], [email protected], [email protected],

[email protected], [email protected]

Universidad Nacional, Costa Rica, Universidad de Granada, España, Universidad Nacional, Costa Rica,

Universidad Nacional, Costa Rica, Universidad Nacional, Costa Rica, Universidad Nacional, Costa Rica

Núcleo temático: Aspectos Socioculturales de la Educación Matemática

Modalidad: Comunicación Breve


Palabras clave: Etnomatemática, Enculturación Matemática, Formación Docente, Espiral

Etnográfica

Resumen Esta comunicación breve describe los principales fundamentos teóricos, metodológicos y

empíricos para el desarrollo del Proyecto de Formación Docente en la Visión Sociocultural

de las Matemática, que se lleva a cabo en la Universidad Nacional de Costa Rica. El

propósito del proyecto es desarrollar actividades para la formación continua de docentes

acerca de la visión sociocultural de las matemáticas, a partir de la apropiación del

conocimiento matemático del propio contexto, que conlleve a la construcción de recursos

didácticos contextualizados. Los fundamentos teóricos abarcan las ideas de D’Ambrosio

(2008) y Bishop (1988) sobre las etnomatemáticas y la formación docente; respecto a la

metodología y a los fundamentos empíricos, se consideran el modelo del curso de

etnomatemáticas para maestros de zonas indígenas (Gavarrete, 2012) y las concepciones de

Albanese (2014) sobre las perspectivas de investigación etnográfica en la formación docente

a partir de Etnomatemática; así como también los hallazgos del proyecto del Museo de

Historia y Filosofía de las Matemáticas desde una Visión sociocultural que se desarrolla en

la Universidad Nacional de Costa Rica. Además, se presentan algunas reflexiones sobre la

implementación de dicho proyecto en distintas regiones educativas del país.

Palabras clave: Etnomatemática, Enculturación Matemática, Formación Docente, Espiral

Etnográfica

1. Presentación del proyecto y marco contextual

El Ministerio de Educación Pública de Costa Rica (MEP) implementó una reforma curricular

en los programas de Educación General Básica y Diversificada en Costa Rica (MEP, 2012),

donde se integran cinco ejes disciplinares: la resolución de problemas como estrategia

metodológica principal, la contextualización activa como un componente pedagógico




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especial, el uso inteligente de tecnologías digitales, la potenciación de actitudes y creencias

positivas en torno a las matemáticas y el uso de la historia de las matemáticas.

Para contribuir a las nuevas demandas metodológicas para la formación de docentes en el

año 2015 se planteó en la Universidad Nacional de Costa Rica el proyecto Formación

Docente en la visión sociocultural de las matemáticas, para potenciar la competencia de

planificación docente, a partir de los ejes disciplinares mencionados en la reforma.

El proyecto consiste en el diseño e implementación de un curso de formación continua que

se titula “Enculturación Matemática y Etnomatemática” y está dirigido a docentes de

educación primaria de diversas zonas geográficas y entornos socioculturales de Costa Rica,

en el cual participan como integrantes del equipo de trabajo cuatro de las autoras de la

presente comunicación, así como asesores externos nacionales e internacionales.

El equipo de trabajo ha participado en actividades de formación con expertos en

Etnomodelaje, Etnomatemática, Socioepistemología de la Matemática Educativa, Dominio

Afectivo y Formación de profesores, bajo el marco del proyecto del Museo de Historia y

Filosofía de las Matemáticas desde una Visión Sociocultural (Gavarrete, Chavarría y

Martínez, 2016) en los años 2013 y 2014. Esta formación previa nutrió el diseño y

fundamentos de las actividades para promover competencias multiculturales, a través del

conocimiento de la Historia y la Filosofía de las Matemáticas desde una Visión Sociocultural

y también desde una perspectiva holística de la realidad, guardando coherencia con las

distintas actividades vinculadas con la Etnomatemática que se han desarrollado en Costa Rica

en los últimos años (Yojcom, Castillo, Gavarrete, Tun, Pou, Flores, Morales y Aroca, 2016).

El proyecto Formación Docente en la visión sociocultural de las matemáticas, como se

detallará más adelante, promueve metodologías docentes innovadoras y la adquisición de

competencias profesionales científicas y de investigación donde se integra el desarrollo de

estrategias pedagógicas que promueven la innovación docente y favorecen la Educación

Matemática Intercultural, contribuyendo a ensanchar las posibilidades de la competencia de

planificación docente, la cual demanda el desarrollo de capacidades específicas para

identificar, organizar, seleccionar y priorizar los significados de los conceptos matemáticos

que se realizan a partir de las expectativas de aprendizaje y es necesaria para el diseño de

tareas y la constitución de las secuencias de actividades en el proceso de enseñanza-

aprendizaje (Rico, Marín, Lupiañez y Gómez, 2008).


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De este modo, se pretende orientar a los docentes para caracterizar conocimiento matemático

cultural y regional y promover reflexiones en torno a la integración de elementos de la

identidad cultural regional y las matemáticas en el desarrollo curricular, para lograr el diseño

de acciones didácticas contextualizadas que se obtengan como resultado de una experiencia

con los docentes implicados como investigadores de su propio proceso de Enculturación

Matemática.

2. Fundamentos Teóricos del Proyecto

En primer lugar, se realizó una revisión de las teorías y metodologías que se consideraron

relevantes para abordar la Educación Matemática desde una Visión Sociocultural, en

particular aquellas que consideran los significados asociados a los signos en el lenguaje y las

que promueven la innovación curricular a partir del estudio del contexto (Martínez, Chavarría

y Gavarrete, 2015). Se consideraron los aspectos histórico, filosófico y pedagógico desde la

visión sociocultural de las matemáticas que fueron desarrollados por expertos de prestigio

mundial y respaldados por una firme fundamentación teórica que responde al desafío de

atender la diversidad en la Educación Matemática, planteado por la UNESCO (2012).

Dicha revisión permitió definir los principales referentes teóricos para fundamentar la

propuesta formativa: Alan Bishop y Ubiratán D’Ambrosio. Se consensuó con el equipo del

proyecto seguir los principios del Programa de Etnomatemáticas por promover pedagogías

culturalmente relevantes (Rosa, D’Ambrosio, Orey, Shirley, Alangui y Gavarrete, 2016) y la

sensibilización docente hacia la matemática como un fenómeno cultural que es compartido

socialmente (Bishop, 1999).

Desde esta perspectiva, se plantea el proceso de enculturación como un mecanismo teórico

y metodológico que conlleva a una apropiación del conocimiento matemático del propio

contexto, donde el mismo proceso de enculturación facilita que el docente se implique como

investigador de su entorno y de su propia práctica, con el fin de favorecer un aprendizaje

significativo con pertinencia cultural.

Según Bishop (1988) por muchos años la matemática estuvo desvinculada del entorno

cultural. Sin embargo, a partir de investigaciones antropológicas y estudios comparativos de

diferentes culturas, se ha mostrado que "las matemáticas son un hecho cultural y que otros

grupos culturales han creado ideas que claramente son otras matemáticas" (Bishop, 1988,

p.123) y reconoce las matemáticas Occidentales, descontextualizadas y abstractas, son


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consideradas universales porque han dominado en toda sociedad. Sin embargo, para poder

acceder a una re-estructuración curricular en el campo de la Educación Matemática, hay que

considerar las matemáticas como un hecho cultural. Para ellos Bishop (1988, 1999) plantea

seis actividades generadoras de matemáticas que existen en todas las culturas: contar,

localizar, medir, diseñar, jugar, explicar.

La Enculturación de Maestros (culturización) a partir de etnomatemáticas regionales

favorece la generación de recursos didácticos contextualizados que consideran prácticas

matemáticas desarrolladas en cualquier cultura (Bishop, 1988, 1999), para lograr una visión

transversal de la Educación Matemática (D’Ambrosio, 2007, 2008) que posibilite afianzar la

identidad de la cultura regional de los maestros y mejorar el proceso de enseñanza y

aprendizaje de la matemática.

Por otra parte, el impacto de la aplicación del curso se fundamenta en la premisa de que, al

incorporar en el currículum elementos del entorno sociocultural, se propicia el desarrollo de

valores (Bishop, 1999) y se promueve el factor motivacional en el aprendizaje, el cual denota

un cambio en el dominio afectivo (Gómez Chacón, 2010) del aprendizaje matemático.

La evaluación del impacto también se valora a través de las reflexiones sobre matemática,

cultura, educación y sociedad, así como las relaciones que guardan entre sí para orientar hacia

prácticas pedagógicas inclusivas, donde el aprendizaje de las matemáticas pueda abordarse

desde la equidad (Gavarrete, 2012, 2013).

3. Fundamentos Metodológicos y Empíricos del Proyecto

En la revisión realizada (Martínez, Chavarría y Gavarrete, 2015) para fundamentar teórica y

metodológicamente el proyecto, se estudiaron diversos diseños, sin embargo,

congruentemente con el propósito general del proyecto en mención, de establecer un

programa de formación continua dirigido a docentes de primaria, que promueva la

apropiación y comprensión del conocimiento matemático desde una visión sociocultural de

las matemáticas, se concluyó que el enfoque cualitativo-etnográfico-participativo es una vía

metodológica que favorece las investigaciones en Educación Matemática cuyo abordaje

incluya la Visión Sociocultural de las Matemáticas.

El proyecto además aborda cuatro propósitos específicos que se enuncian a continuación:


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• OE1. Conocer la percepción inicial que tienen los docentes acerca del recurso

didáctico que representa la historia y la visión sociocultural de las matemáticas.

• OE2. Desarrollar el curso de formación de docentes orientado a la investigación del

entorno desde una visión sociocultural de las matemáticas y la Etnomatemática, para

la generación de recursos contextualizados.

• OE3. Evaluar los cambios en la percepción que tienen los docentes acerca del recurso

didáctico que representa la historia y la visión sociocultural de las matemáticas luego

de su participación en el proceso formativo.

• OE4. Sistematizar los resultados de la experiencia obtenida por parte del equipo del

proyecto para su divulgación.

El desarrollo del proyecto se aborda en cuatro etapas, algunas de las cuales implican la

ejecución de actividades repetitivas durante los años 2016, 2017 y 2018, como se explicará

seguidamente.

El proyecto inició durante el primer semestre del 2016, donde se realizó el diseño del Curso

de formación en Enculturación Matemática de docentes a partir de Etnomatemática.

Asimismo, se realizó el diseño y la validación de los instrumentos para conocer la percepción

inicial y evaluar los cambios en la percepción que tienen los docentes acerca del recurso

didáctico que representa la historia y la visión sociocultural de las matemáticas; se

consideraron indicadores definidos a partir de la experiencia y la fundamentación teórica

alcanzada por el equipo durante su formación previa.

Además, recursos de índole metodológico están inspirados en las investigaciones de

Albanese (2014) y Gavarrete (2012) realizadas con maestros de primaria en Argentina y

Costa Rica, en las cuales se organizó un curso para la formación docente que propició la

investigación en el entorno a través del desarrollo de Microproyectos Curriculares basados

en Etnomatemáticas sobre un signo cultural; ya que en ambas se propone tomar en cuenta el

conocimiento que manifiestan los docentes acerca de su propia identidad regional, los rasgos

culturales que identifican en su entorno.

El curso “Enculturación Matemática y Etnomatemática” tiene como propósitos:

Promover la sensibilización sobre la dimensión histórica y filosófica de la

matemática.

Promover la sensibilización sobre la visión social y cultural de las matemáticas.


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Promover la formación de los docentes como enculturadores matemáticos, es decir

como sujetos que se apropian de su identidad regional desde la investigación de las

matemáticas de su entorno.

Promover el fortalecimiento de la creatividad docente a partir de actividades que

inducen a la creación de recursos didácticos contextualizados con el entorno del

docente.

La composición del diseño pedagógico de este curso es mixta, pues a nivel procedimental, el

curso se estructura combinando sesiones presenciales (24 horas) de discusión y reflexión,

talleres de producción de material didáctico contextualizado y sesiones no presenciales (16

horas) de investigación en etnomatemáticas regionales.

El trabajo final del curso consiste en la elaboración de un proyecto de creación de recursos

didácticos contextualizados, para diseñar una unidad didáctica que relacione tres elementos:

a) una actividad o un elemento que sea representativo del entorno sociocultural de los

docentes, b) contenidos matemáticos del programa de estudios del MEP, y c) un análisis de

las actividades matemáticas universales.

Dado que el grupo meta está constituido por docentes que habitan en ocho regiones distintas

del país, vinculadas con poblaciones rurales, urbanas marginales, zonas fronterizas, indígenas

o zonas costeras, se pretende devolver a los docentes una antología que recoja las propuestas

didácticas que consideren las etnomatemáticas regionales de cada una de las zonas

geográficas donde se implementó el curso.

Figura 1. Espiral Metodológica del Curso de Enculturación Matemática y Etnomatemática


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La figura 1 muestra una espiral metodológica que describe la secuencia formativa del curso

objeto del proyecto, compuesto por tres sesiones presenciales, en las cuales se desarrolla un

proceso inicial de teorización, cuatro talleres y una sesión de socialización donde se valora

la evolución del trabajo de los docentes en la visión sociocultural de las matemáticas; así

como también dos sesiones no presenciales, donde los docentes realizan dos trabajos

independientes, el primero de ellos fortalece la visión del docente como investigador de su

propio proceso de Enculturación Matemática y el segundo, fortalece la visión del docente

como creador de actividades matemáticas contextualizadas a partir de sus propias

etnomatemáticas.

La primera sesión presencial, incluye una actividad de teorización que considera la

sensibilización sobre la visión sociocultural de las Matemáticas y la Enculturación

Matemática como un proceso de formación profesional (Bishop, 1988, 1999, 2001); así como

los principales fundamentos del Programa de Etnomatemáticas (D’Ambrosio, 2007, 2008).

Además en esta sesión presencial se desarrolla un taller titulado “La medición de mis

abuelos”, cuyos focos de atención son los sistemas tradicionales de medición y su relación

con el sistema internacional de unidades, abarcando las actividades de contar, medir y

explicar.

La segunda sesión presencial se compone de dos talleres. El primero, “Patrones con

armonía”, se centra en analizar diseños tradicionales de carretas típicas de Costa Rica y

analizar diseños de teselaciones a partir de elementos culturales, donde se implican las

transformaciones isométricas para diseñar estrategias didácticas que impliquen las

actividades matemáticas de diseñar, jugar y explicar. El segundo taller, “Hacia dónde me

dirijo”, se vincula con la manera idiosincrática con la que se dan las direcciones postales en

Costa Rica, reflexionando sobre la utilización didáctica de la ubicación espacial y el diseño

de actividades didácticas que impliquen localizar, medir y diseñar.

En la tercera sesión presencial se desarrolla el taller titulado “Jugar o perder: ¿de qué

depende?", el cual está vinculado al estudio de las probabilidades en los juegos tradicionales

del país y el diseño de actividades didácticas que impliquen jugar, explicar, contar, localizar,

medir y diseñar; además en esta sesión se socializa el trabajo independiente de cada docente

que participa en el curso.


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El curso además incluye dos sesiones no presenciales, en las cuales se favorece el desarrollo

del docente como investigador de su contexto a partir de las etnomatemáticas del entorno y

de su propia práctica pedagógica.

En el segundo semestre del 2016 y durante los años 2017 y 2018 se lleva a cabo el proceso

repetitivo de aplicación de instrumentos, implementación del curso y divulgación del

proyecto; de modo que para el segundo semestre del 2018 se logre sistematizar la

información recogida de toda la implementación del curso, con el fin de visualizar el impacto

del mismo en las distintas regiones geográficas, a través de un instrumento que se aplica al

inicio y al final del proceso y que considera los valores, las creencias, emociones y actitudes

manifestadas por los docentes participantes.

4. Visión prospectiva del proyecto y reflexiones

El proyecto ha sido implementado en cuatro regiones geográficas distintas del país y los

resultados están en proceso de sistematización, pero dentro de las entrevistas realizadas, una

sugerencia reiterada es la de realizar una propuesta similar para la educación secundaria; la

cual constituye la siguiente fase del proyecto.

De manera preliminar, se observa que el proceso de implementación del curso ha contribuido

a enriquecer la formación docente desde la perspectiva intercultural, a exaltar la acción

pedagógica desde la perspectiva de las etnomatemáticas y a combatir la exclusión que

promueve un currículo monocultural. Además, al considerar el componente sociocultural de

las matemáticas se propicia vincular la matemática escolar con las matemáticas presentes en

las prácticas cotidianas y se visibiliza el conocimiento de grupos sociales que han sido

menospreciados, invisibilizados o excluidos socialmente, contribuyendo a reivindicar

conocimientos matemáticos de grupos diferenciados y a potenciar la equidad, la inclusión

social, el respeto por la diversidad y la alteridad cultural, así como validar otras historias de

las matemáticas.


Albanese, V. (2014). Etnomatemáticas en artesanías de trenzado y concepciones sobre las

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Gavarrete, M. E. (2012). Modelo de aplicación de etnomatemáticas en la formación de profesores

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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-687

“PISA: COMPRENDER, CONCEBIR, EJECUTAR, EXAMINAR”

María Teresa Casas Sánchez – Manuela Moreno Gil


IES Poeta Sánchez Bautista, Murcia (España)

Núcleo temático: II. La Resolución de Problemas en Matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Secundaria

Palabras clave: PISA, problemas, metodología, aula

Resumen Es una experiencia de aula que aúna un proyecto de innovación y un grupo de trabajo del

departamento de Matemáticas de nuestro instituto. El primero tuvo como objetivo

fundamental trabajar una determinada metodología para resolver problemas, así como el

análisis de diversas variables que contemplamos en la elección de los mismos. Su duración

fue de un curso escolar y se llevó a cabo con alumnos de 2º de ESO que, en su mayoría,

presentaban dificultades en la materia. El segundo, con objeto de mejorar la competencia

matemática del alumnado, consistió en la elaboración, puesta en práctica y modificación (si

procedía) de problemas introductorios tipo PISA, para acometer cada una de las unidades

didácticas que se trabajan en 1º y 2º de la ESO a través de la resolución de problemas, y

siempre a partir de situaciones cotidianas próximas al alumnado. Actualmente ambas

experiencias se complementan perfectamente en nuestras clases, pues trabajamos estos

últimos con la metodología utilizada en la primera.

INTRODUCCIÓN

Con objeto de mejorar la competencia matemática del alumnado, el Departamento de

Matemáticas del IES Poeta Sánchez Bautista vio la necesidad de abordar de forma más

continuada la resolución de problemas como una herramienta eficaz para obtener mejores

resultados, de modo que se pudiesen acometer las unidades didácticas, de 1º y 2º de la E.S.O.,

a partir de ellos.

En consonancia con aportaciones como la didáctica de la escuela de H. Freudenthal,

tendencia conocida como RME (Realistic Mathematics Education), o el movimiento

estadounidense Tech Prep, con planteamientos de atención a la diversidad que pretenden

ayudar a aquellos alumnos con enormes dificultades para el desarrollo del pensamiento

abstracto, en esta obra establecemos una propuesta didáctica cimentada en la elaboración de




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problemas sobre situaciones cotidianas con una estructura semejante a la que los estudiantes

puedan encontrar en cualquier prueba evaluadora a la que tengan que enfrentarse, como es el

caso de PISA.

Por tanto, desde el orbe de las enseñanzas contextualizadas, se gesta este trabajo,

respondiendo además a las orientaciones didácticas que la Orden ECD/65/2015 de 21 de

enero [3], a saber, la instrumentalización de metodologías activas y contextualizadas, dentro

de una línea procedimental que numerosas normativas educativas europeas y americanas han

implementado. La construcción de problemas matemáticos desde la raíz vivencial de

alumnado, que sirvan de pórtico para el desarrollo de diferentes unidades didácticas, será un

inestimable recurso para el fomento del aprendizaje significativo, persiguiendo que cada

estudiante, desde la conexión entre las matemáticas y su mundo, sea capaz de extraer el

conocimiento matemático que ya de por sí posee, gestionar su propia capacidad, aprender

por descubrimiento, siendo protagonista de su propia enseñanza y, por lo tanto, pueda obtener

índices de logro dentro de la competencia matemática en la medida en que se sienta motivado

tanto por el reconocimiento de su propia realidad en el proceso de enseñanza-aprendizaje

como por el hecho de que observe un progreso en el ámbito del pensamiento matemático.

JUSTIFICACIÓN

Dos partes estrechamente relacionadas forman esta comunicación, metodología y

resolución de problemas.

El marco teórico se basó en autores como Arthur J. Baroody, R. Skemp, Guy

Brousseau, Carmen Chamorro y Mª Luisa Ruiz.

Baroody [2] nos habla de dos teorías generales sobre el aprendizaje (la teoría de la

absorción y la cognitiva). Nos dice que “aprender por intuición o comprensión es, en realidad,

un proceso de resolución de problemas: observar indicios y combinarlos, reordenar las

evidencias disponibles y, finalmente, observar el problema desde una perspectiva nueva”.

Nos centraremos en la Teoría cognitiva, en la que las relaciones son la clave básica del

aprendizaje. En ella la esencia de la adquisición del conocimiento estriba en aprender

relaciones generales. Propone que el auténtico aprendizaje no se limita a una simple

absorción y memorización sino que comprender requiere pensar, y la comprensión se

construye mediante la asimilación y la integración. Además esta teoría señala que la


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adquisición del conocimiento implica modificar la pautas de pensamiento, es decir, la

comprensión puede aportar puntos de vista más frescos y poderosos. La teoría cognitiva

advierte que, dado que nuestros alumnos no se limitan simplemente a absorber información,

su capacidad de aprender tiene límites. A causa del proceso de asimilación e integración

hace falta mucho tiempo para aprender la mayoría de las cosas que vale la pena saber

(Duckworth,1982). Puesto que, como hemos visto, tanto la una como la otra precisan

conexiones con los conocimientos ya existentes, el aprendizaje significativo depende de lo

que sabe un individuo dado. Lo que para uno es evidente para otro puede ser insondable.

Afirma que el aprendizaje puede ser una recompensa en sí mismo (regulación interna). Lo

cierto es que la matemática podría describirse como la ciencia de descubrir pautas y definir

órdenes (Jacobs,1970), así pues, es muy parecida a un proceso continuo de resolución de

problemas. Por tanto, el dominio de la matemática requiere comprensión y capacidad para

resolver problemas además, de datos reales.

Skemp, [10] en su “Psicología del aprendizaje de la matemática” nos dice que éstas

no pueden aprenderse directamente del entorno cotidiano. Aunque los primeros pasos del

aprendizaje de las matemáticas son objetivos, el comunicador es quién más necesita conocer

los principios básicos siguientes:

1) “Los conceptos de un orden más elevado que aquellos que una persona ya tiene, no

le pueden ser comunicados mediante una definición, sino solamente preparándola

para enfrentarse a una colección adecuada de ejemplos”.

2) “Puesto que en matemáticas estos ejemplos son invariablemente otros conceptos, es

necesario en principio asegurarse de que éstos se encuentran ya formados en la mente

del que aprende”.

El segundo implica que, antes de que intentemos comunicar un nuevo concepto debemos

encontrar cuáles son sus conceptos contributorios; y así, sucesivamente, hasta que

alcancemos los conceptos primarios. Hay otras dos consecuencias del segundo principio, la

primera es que en la construcción de la estructura de abstracciones sucesivas, si un nivel dado

se comprende imperfectamente, cualquier cosa derivada se encuentra en peligro (en

matemáticas, esta dependencia es mayor que en otra materia). La segunda es la de que los

conceptos contributorios necesitan para cada nueva etapa de abstracción estar disponibles.


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Chamorro en el capítulo 3 del libro “Herramientas de análisis en Didáctica de las

Matemáticas” [5] nos habla de Brousseau (Théorie des situations didactiques [4]), el cual

clasifica las situaciones didácticas en situaciones de acción, formulación y validación,

añadiendo posteriormente las de institucionalización.

Es preciso añadir que, para que las situaciones de formulación tengan éxito debe haber, entre

los alumnos cooperantes una necesidad de comunicación, sus posiciones han de ser

asimétricas y el medio ha de permitir retroacciones para la acción con el receptor del mensaje.

De igual modo, para que haya una situación de validación se requiere que haya necesidad de

comunicación entre los alumnos oponentes, que las posiciones de estos sean simétricas y que

el medio permita retroacciones a través de la acción (mensajes), con el juicio del interlocutor.

Mª Luisa Ruiz [9] nos hace reflexionar diciendo que si aceptamos que para <<hacer

matemáticas>> el alumno debe resolver problemas, entonces debemos considerar normal que

conviva con la incertidumbre: el desconcierto, la duda y los tanteos están en el corazón

mismo del aprendizaje de las matemáticas. Nuestros alumnos deben superar muchas

dificultades, pero sobre todo, muchos errores. Es importante que el profesor entienda que son

algo necesario porque solo si los detectan y son conscientes de su origen pondrán medios

para superarlos. Nos habla de las hipótesis fundamentales sobre las que se apoya la teoría de

“aprender matemáticas significa construirlas”. Son cuatro:

1) El aprendizaje se apoya en la acción.

2) La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa

por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio en el curso de los cuales los

conocimientos anteriores se ponen en duda.

3) Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Es una idea fundamental de

Bachelard [1] sobre el conocimiento científico que Brousseau usó para explicar la

formación de obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas, “La utilización y la

destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender”.

4) Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar

la adquisición de conocimientos. Vygotsky consideraba preciso tener en cuenta lo

que un individuo puede hacer con la ayuda de otros, puesto que el aprendizaje se

produce en un medio social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales

(alumno-alumno) como verticales (alumno-profesor).


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En consecuencia, “el aprendizaje se considera como una modificación del conocimiento que

el alumno debe producir por sí mismo y que el maestro solo debe provocar” (Brousseau,

1994, p. 66).

En cuanto a la resolución de problemas nos centramos en dos autores, Miguel de

Guzmán/G. Polya [8]. Las fases que ambos describen son similares:

Familiarizarse/Comprender el problema.

Búsqueda de estrategias/Concebir un plan.

Llevar adelante la estrategia/Ejecución del plan.

Revisar el proceso y sacar conclusiones de él/Examinar la solución obtenida.

Polya en su libro “Cómo plantear y resolver problemas” [8] nos sugiere una serie de

preguntas que debemos hacernos (o a nuestros alumnos) cuando queremos resolver un

problema. Distingue entre problemas para resolver y problemas para demostrar, siendo los

primeros los que nosotros trabajamos. En cada uno de ellos debemos diferenciar cuáles son

los datos, cuál la incógnita y cuál la condición. En la tercera parte del libro nos sugiere un

breve diccionario de heurística donde explica diversos términos relevantes en el tema,

preguntas, sugerencias, un examen de diversas partes de trascendental importancia en la

resolución, estrategias… Acaba presentando veinte problemas, con las posibles preguntas

para abordarlos y la solución de los mismos.

Nuestro trabajo pretendió ayudar en la medida de lo posible al alumnado a alcanzar

la competencia matemática desde la comprensión de su entorno, con esta metodología basada

en “establecer relaciones”, en la asimilación y la integración, en la construcción de las

matemáticas.

La propuesta que ofrecimos plasma el proceso de contextualización focalizado desde

un doble plano. Por un lado, ampliamos los marcos de referencia de los problemas, forjando

situaciones reales como micrototalidades, de forma que cada problema consta de un amplio

desarrollo situacional. Por otro lado, se ahondó en los niveles de contextualización,

elaborando para los problemas no únicamente espacios reconocibles sino escenarios propios

de la zona y cultura del alumnado. Encontramos, en consecuencia, problemas sobre

personajes locales, tradiciones, empresas del entorno o situaciones con las que pueden

encontrarse en su día a día.


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OBJETIVOS

Tanto el proyecto de innovación como el grupo de trabajo tienen unos objetivos comunes

que pueden sintetizarse en los que a continuación indicamos:

Motivar al alumnado en su aproximación al área matemática.

Fomentar el aprendizaje por descubrimiento (aprender a aprender).

Comprobar la relevancia del lenguaje matemático en la vida.

Leer y entender enunciados de problemas.

Razonar matemáticamente.

Aplicar estrategias de resolución de problemas.

Comunicarse en lenguaje matemático.

Aprender a escuchar y tolerar opiniones distintas a las suyas.

Respetar los turnos de palabra/intervención.

Además de los anteriores, un objetivo específico del proyecto de innovación fue, como

profesores, adquirir una inmersión seria y profunda de la metodología mencionada en la

justificación, así como una motivación del alumno “en el gusto” por la resolución de

problemas, atendiendo sus necesidades educativas específicas.

En cuanto al grupo de trabajo los objetivos específicos fueron:

Introducir los contenidos del primer ciclo de Secundaria a través de problemas.

Dotar a dichos problemas de una estructura semejante a los propuestos en PISA.

Elaborar un “banco” de problemas.

Experimentar con nuestros alumnos los problemas que fuimos elaborando.

DESARROLLO DE LOS PROYECTOS

En el proyecto de innovación, durante el primer trimestre, trabajamos los problemas

abordando distintas variables, como el tipo de soluciones, el contexto, el enunciado, diversas

estrategias…

Tras la lectura de “Problemas” de Bruno D'Amore [6] e “Iniciación al estudio didáctico de la

Geometría” de Horacio Itzcovic [7], durante el segundo y tercer trimestre, aplicamos sus


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contenidos a los problemas planteados. Del primer autor seguimos el esquema presentado en

su libro:

Los conflictos y obstáculos ANTES de la resolución.

Conflictos y obstáculos EN EL MOMENTO de la resolución: “Leer el texto del

problema”, “Representar el texto del problema”.

Redefinición de un problema, creación de la pregunta.

¿Cómo hacer imaginar modelos?.

Con el segundo autor trabajamos la Geometría Sintética que no formaba parte del currículo

de 2º ESO. Fue una forma muy interesante de cubrir este "déficit" y "cultivar" un poco su

"experiencia geométrica".

Un curso después aplicamos esta experiencia a la puesta en práctica de los problemas tipo

PISA elaborados por el departamento. En total realizamos 30 problemas, la mitad dirigidos

a 1º ESO y la otra mitad a 2º de ESO. Aunque inicialmente, pensamos que fuesen de tipo

introductorio, dependiendo del alumnado los hemos utilizado de esta forma o bien en el

desarrollo y/o final de la unidad.

METODOLOGÍA

Nuestro objetivo final fue conseguir la autonomía del alumnado en la resolución de

problemas. En un principio tuvimos que dirigirlos con las preguntas clave que menciona

Polya. Utilizamos tanto el trabajo individualizado como en pequeño o en gran grupo,

dependiendo del momento, atendiendo a los diversos ritmos y/o necesidades. En un principio

fueron más guiados pero, poco a poco, perdieron el miedo cogiendo seguridad y gusto por la

resolución de problemas. El trabajo en gran grupo lo planteamos como un juego. El

coordinador de clase, en la pizarra, gestionaba la puesta en común de los resultados obtenidos

por las distintas agrupaciones. Cada responsable de equipo escribía en el encerado la

respuesta de su grupo aportando su razonamiento. Posteriormente, toda la clase consensuaba

la solución del problema, para ello, si había algún error o algún alumno y/o grupo no había

sabido resolverlo, el resto del alumnado tenía que ayudarle a llegar a la solución mediante

preguntas, con la prohibición de decir esta explícitamente. El profesor solo intervenía cuando

era imprescindible, en caso de bloqueo, o que considerase necesario reconducir el


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razonamiento seguido, formulando alguna pregunta que pudiese ayudarles, o fomentando la

intervención de los alumnos más retraídos.

La elección de los problemas fue crucial para conseguir la motivación y la implicación del

alumnado en la resolución de los mismos. Obviamente, esto lo conseguimos con los

enunciados de los problemas tipo PISA puesto que estaban contextualizados con personajes,

situaciones y lugares de su entorno.

Con esta metodología conseguimos trabajar todas las competencias, en especial la de

“aprender a aprender”.

CONCLUSIONES

Los grupos con los que hemos trabajado estaban compuestos mayoritariamente por

alumnos “difíciles”, y con esto nos referimos no solo a sus dificultades académicas sino

también de comportamiento y/o concentración. Esta forma de trabajo, donde ellos son

absolutos protagonistas de su aprendizaje ha hecho que, incluso aquel que habitualmente se

niega a hacer algo, haya “pensado” con sus compañeros.

Después de esta experiencia hemos hecho de esta metodología una forma habitual de

trabajo en nuestras aulas. Es absolutamente normal que nuestros alumnos, cuando salen a la

pizarra no pregunten nada al profesorado, sino que lo hacen entre ellos. Cuando acaban

demandan a sus compañeros si tienen alguna duda o éstos les piden directamente que

expliquen cómo lo han hecho.

Por otra parte, el uso de los problemas introductorios tipo PISA nos permite, en unas

ocasiones, detectar los conocimientos previos de los alumnos en un tema determinado. Sin

embargo, en otras descubrimos si los contenidos han sido adquiridos o hay algún aspecto que

debemos reforzar. El que ocurra una u otra dependerá de la tipología del alumnado con el

que estemos trabajando.


[1] Bachelard, G. (1983). La formación del espíritu científico. Buenos Aires: Siglo XXI.

[2] Baroody, A.(1988). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Visor.

[3] Boletín Oficial del Estado (2015): Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se

describen las relaciones entre las competencias, los contenidos y los criterios de


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evaluación de la educación primaria, la educación secundaria obligatoria y el

bachillerato. Boletín Oficial del Estado, Madrid (España).

[4] Brousseau, G. (1994). Théorie des situations didactiques. Grenoble: La Pensée

Sauvage.

[5] Chamorro, C. (2003). Herramientas de análisis en Didáctica de las Matemáticas. En C.

Chamorro (Coord.), Didáctica de las matemáticas. Colección Didáctica Primaria.

Capítulo 3, pp.70-94. Madrid: Pearson.

[6] D'Amore, B. ((1997). Problemas. Madrid: Síntesis.

[7] Itzcovich, H. (2005). Iniciación al estudio didáctico de la Geometría. Buenos Aires:

libros del Zorzal.

[8] Polya, G.(1965). Cómo plantear y resolver problemas. México: Trillas.

[9] Ruíz, Mª. L. (2003). Aprendizaje y matemáticas. En C. Chamorro (Coord.), Didáctica de

las matemáticas. Colección Didáctica Primaria. Capítulo 2, pp.32-68. Madrid: Pearson.

[10] Skemp, R. (1980). Psicología del aprendizaje de la matemática. Madrid: Pearson.


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CB-690

METODOLOGIA ‘CRÍTICO-DIALÓGICA’ À INVESTIGAÇÃO SOBRE

PROCESSOS DE ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA

Jacqueline Borges de Paula

[email protected]

Secretaria Estadual de Educação do Estado de Mato Grosso –SEDUC

Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT/ Brasil

Núcleo temático: Investigação em Educação Matemática

Modalidade: CB

Nível educativo: Não específico

Palavras-chave: Matemática, Ensino-Aprendizagem, Metodologia.

Resumo Apresentamos os pressupostos teóricos à metodologia de pesquisa, de abordagem

qualitativa e de cunho interpretativo em fase de construção, denominada de ‘Crítico-

Dialógica’. Esta metodologia está sendo empreendida em investigação sobre processos de

ensino-aprendizagem da Matemática, com alunos do Ensino Fundamental que

demonstrarem baixo desempenho em avaliação diagnóstica ao iniciarem o ano letivo de

2017. Tal metodologia se fundamenta na Teoria Epistemológica Construtivista de Jean

Piaget e na dimensão semiótica do Pensamento sobre Complementaridade ‘Otteana’. Esta

reflexão, na qual os pontos elementares presentes nessas duas vertentes teóricas de

pensamento que sustentam a construção desta metodologia, assume cunho investigativo de

uma intervenção-experimental. Partimos da premissa piagetiana de um processo de

desenvolvimento cognitivo-construtivo relacionado ao desenvolvimento do pensamento, no

sentido do ‘aprender a aprender’ e agregamos uma interpretação semiótica, que situa a

Matemática como a configuração do pensamento simbólico-diagramático e o resultado de

um exercício metarreflexivo no desenvolvimento cognitivo. Desse modo, estabelecemos,

como premissa central na estruturação do método investigativo, uma abordagem

essencialmente dialógica, em que ambos os envolvidos (pesquisadores e sujeitos) no

processo investigativo possam se lançar em busca de novos conhecimentos. Esta

socialização busca ampliar e fortalecer os marcos teóricos para investigações em Educação

Matemática.

Introdução

Apresentamos, neste artigo, os pressupostos teóricos para a metodologia de pesquisa

de abordagem qualitativa e de cunho interpretativo, a qual se encontra em fase de construção,

denominada de ‘Crítico-dialógica’. Tal metodologia está sendo implementada em projeto


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sobre processos de ensino-aprendizagem da Matemática, com alunos do Ensino

Fundamental.

Essa metodologia fundamenta-se na Teoria Epistemológica Construtivista de Jean

Piaget e agrega a dimensão semiótica do Pensamento sobre Complementaridade ‘Otteana’.

Trazemos, para esta reflexão, os pontos elementares que dão sustentação aos

pressupostos à constituição dessa propositura metodológica e à interpretação dos dados

relacionados ao processo ensino-aprendizagem em Matemática.

1 A Metodologia Crítico-Dialógica e seus fundamentos em Piaget: o desenvolvimento

da autonomia e primazia ao processo construtivo na aprendizagem

Para nós, sua conceituação é a maior contribuição de Piaget, ao atribuir, como

finalidade máxima da Educação, o desenvolvimento da autonomia dos indivíduos. Nesta

direção, ‘aprender’ como ‘investigar sobre o aprender’ no ambiente educativo refere-se ao

‘desenvolvimento de autonomia intelectual’. Conceber o desenvolvimento de autonomia

como a finalidade no processo ensino-aprendizagem e investigativo implica profundas

mudanças na maneira de os professores em Educação tomarem decisões a todo momento.

É a partir dessa premissa piagetina que nos propomos refletir sobre a constituição de

uma metodologia diferenciada para investigação na Educação. Efetuando a transposição

desse pensamento de Piaget à pesquisa, a atuação do educador-pesquisador no processo

investigativo também deverá ser redirecionada. Entendemos que o caráter de projetos

investigativos possam assumir a dimensão de projetos investigativo-interventivos, o que, em

certos aspectos, situa os educadores-pesquisadores numa proximidade do trabalho com a

metodologia de pesquisa-ação.

Sobretudo em Piaget, a autonomia assume dois aspectos: o moral e o intelectual os

quais devem estar sempre em relevo em um projeto investigativo e educativo. Nossa atenção

e foco ao estabelecimento desse processo estará no desenvolvimento da autonomia

intelectual do pensar matemático permeada e desencadeada a partir da relação entre educando

e Conhecimento Matemático.

Ser autônomo é ter a capacidade de autogovernar-se. Tem a ver com atitudes,

escolhas, tomadas de decisões, avaliações, juízos, coordenar, selecionar e organizar

informações, descentragem, capacidade heurística, provocando implicações tanto nas


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aprendizagens como no desenvolvimento de processos autorreguladores de aprendizagens.

No âmbito educacional, a autonomia está relacionada a ‘aprender a aprender’.

Propomos uma metodologia que coloque os educandos em situações de descobertas,

constituindo-se em um método pró-ativo. Nesse âmbito, ambicionamos ampliação dessa

perspectiva de desenvolvimento da autonomia, que se direcionará, também, ao pesquisador-

educador.

Entendemos ser no estabelecimento de ambiente dialógico na investigação que

poderemos construir um cenário favorável ao desenvolvimento de postura crítico-reflexiva

(metarreflexiva), e, de mão dupla. Um ambiente de empatia, sem imposições, investigados e

investigadores são estimulados a coordenar pontos de vistas discordantes, a debater soluções

e refletir sobre diferentes perspectivas de análises. Pesquisadores devem priorizar um clima

de colaboração o qual se estabelece quando, na relação estabelecida, as decisões sobre o

processo são sempre tomadas em conjunto.

A autonomia como objetivo da educação e na investigação traz reflexos importantes

também para a concentração e motivação interior, atuando no desenvolvimento da autoestima

o que, certamente, terá consequência positiva para os investigados em sala de aula e em

situações que envolvam atividades matemáticas em suas vidas.

Cabe ao investigador instigar a criticidade do educando no sentido de ser gerador de

opiniões diferentes e de análises sobre outras perspectivas. Deve assumir a criticidade

enquanto método sistêmico, colocando em questão as afirmações e posicionamentos dos

sujeitos, não para medir a solidez de suas convicções, mas para captar sua atividade lógica

mais profunda, a estrutura característica de certo tipo de pensar, de construções (subjetivas)

relacionadas ao Conhecimento Matemático e à pauta investigada.

A criticidade do investigado será operacionalizada e instigada a fim de que os

educandos sejam solicitados a justificarem sempre suas ações e interpretações, buscando-se

identificar os meandros e silhuetas de um modo de pensar, em contexto mais estreitamente

definido – mental ou físico – da atividade, envolvendo um processo de

representação/simbolização.

O objetivo nessa atividade investigativa está em explicitar, nos processos, tanto

lacunas como situações controversas e operantes na formação (ou na inadequação) da própria

razão, relacionada ao pensar matemático e sua formalização. Na perspectiva Piagetiana, isso


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tem a ver com tentar entender como se processa a assimilação inteligente e como é organizada

no plano do pensamento em sistemas operatórios.

Piaget, ao investigar, tomava a direção da ação ao pensamento; já nossa investigação-

intervenção toma, como ponto de partida, a investigação do pensamento à ação, com foco

nas operações simbólicas do pensamento; no entanto, não excluímos a possibilidade de

reflexão sobre as operações efetivas e concretas da e sobre a própria ação. Compreendemos

que os conhecimentos não são construídos apenas do Conceito ou somente da Percepção,

como defendiam o apriorismo ou o empirismo. Para nós, os conhecimentos são elaborados

através da ação do sujeito cognoscente com o meio cujas ações podem ser tanto mentais como

físicas. Em ambas as situações, buscaremos observar aspectos relacionados ao

desenvolvimento do pensamento matemático e sobre o processo de formalização desse

conhecimento.

Segundo Piaget, todo progresso intelectual significativo implica um processo de

equilibração composto de três etapas: 1) o equilíbrio cognitivo em um determinado nível de

desenvolvimento; 2) o desequilíbrio cognitivo produzido pela tomada de consciência de

fenômenos enigmáticos, contraditórios, dissonantes ou, ainda, inassimiláveis, que não

haviam sido observados até então; e 3) a equilibração – ou reequilibração - cognitiva em um

nível de desenvolvimento superior, como resultado da reconceitualização do problema,

dando sentido aos fenômenos antes não assimilados.

Para Piaget, o percurso que envolve essas etapas é, antes de tudo, um processo

construtivo. A aprendizagem de um sujeito ocorre por sua ação (mental ou física), através da

qual ele elabora os próprios instrumentos (em nossa observação, tratando-se das

representações) de sua inteligência, construindo, ou melhor, reconstruindo seus objetos de

conhecimento – o Conhecimento Matemático.

Assim, para ele, construir um conhecimento trataria, na verdade, de reconstruí-lo a

partir das suas estruturas cognitivas, interagindo com o ‘novo’ conhecimento ou com

determinada situação geradora de conhecimento. Se o educando mudar o modo de interação

a partir do ‘novo’ conhecimento apresentado, podemos dizer que houve verdadeira

construção de conhecimento. Se isso não acontecer, o resultado da aprendizagem é apenas

uma informação, que logo será eliminada de sua lembrança.


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2 O ‘start’ da perspectiva semiótica na epistemologia de Piaget

Pela metodologia crítico-dialógica, nosso objetivo, ao empreender uma abordagem

semiótica, buscará compreender e inferir sobre os processos individuais de produção do

Conhecimento Matemático, estudando-se as estratégias e recursos representacionais às

formalizações, e isso tem a ver com um tipo de ‘reinvenção’ dos educandos em função da

Matemática. Tomamos a ação do educando no centro de um construtivismo que reúne, no

processo de simbolização e diagramatização, o educando e o Conhecimento Matemático.

O pensar lógico-matemático é uma abstração refletidora que produz um tipo peculiar

de conhecimento – o Conhecimento Matemático. Através dessa abstração, os objetos se

submetem à ação do sujeito, tornando-se logicizáveis e matematizáveis. Isto tem a ver com

introduzir nos objetos uma ou várias propriedades que eles não possuem por si mesmos. O

Conhecimento Matemático não advém dos objetos em si mesmos, mas, sim, das ações dos

sujeitos sobre esses objetos.

Toda a Lógica e as Matemáticas repousam em definitivo em ações ou operações

dessa natureza, mas cada vez mais complexas, e é precisamente porque esses

conhecimentos são tirados das ações e não dos objetos como tais que podem em

seguida ser traduzidos em operações simbólicas e em linguagem (PIAGET, 1975,

p. 64).

Quando Piaget teoriza, descrevendo a passagem da etapa sensório-motor ao

representativo, da instalação das estruturas operatórias concretas, sobretudo, quando chega

às reflexões sobre a inteligência simbólica, é que entendemos seu pensamento contemplando

o ‘start’ à interpretação e investigação sobre desenvolvimento cognitivo em uma perspectiva

semiótica.

No entanto, Piaget efetua, diferentemente de nossa compreensão, uma distinção muito

clara entre pensamento e representação. Para ele, a inteligência, o pensamento tornam-se

representativos. Em nossa percepção, não existe pensamento sem representação e nem

representação sem pensamento; a distinção entre ambos é relativa.

Mas, para nosso propósito de investidura semiótica, um ponto é relevante no

pensamento de Piaget ao situar uma ligação mais íntima entre representação e pensamento

quando o indivíduo atinge a inteligência operatória formal. Para ele, é nessa etapa que a

função simbólica ou semiótica assumirá o papel da percepção. Anteriormente a isso, a

percepção tendia a limitar a atividade a toda situação presente; porém, a representação, ao


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assumir o papel da percepção por suas estruturas operatórias e figurativas, estenderá o campo

da atividade cognitiva bem além. Ele observa, ainda, que as operações formais mudam

complemente a relação do sujeito com o mundo.

Destacamos essas observações como o ‘start’ e ponto relevante à interpretação e ao

empreendimento investigativo de abordagem semiótica, pois, para Piaget, quando a

representação entra em cena no jogo cognoscível, a inteligência irá se situar num plano de

relação entre o ‘possível’ com o real, de modo inverso ao que ocorria até então. Isto é, ao

invés de o possível manifestar-se sob mera forma de prolongamento do real ou das execuções

sobre a realidade, ele passa a operar uma situação contrária, em que o real se subordinará ao

possível – a ação passa a ficar subordinada ao pensamento.

Nós aprendemos para tentar colocar o possível como realidade primeira do

conhecimento e esta é a característica mais marcante sobre o que Piaget entende como

estrutura operatório-formal. Ou seja, a aprendizagem tem a ver com a antecipação do possível

ao real, ficando este reduzido a um possível que se concretizou; esse é o problema central da

epistemologia genética de Piaget.

Estamos interessados em investigar e inferir nesse processo construtivo que parte do

que existia antes apenas em estado virtual (relacionado ao Conhecimento Matemático) e que

deverá ser atualizado pelo educando (PIAGET, 1976).

O destaque no pensamento de Piaget que reforça a reinterpretação de sua teoria a um

método investigativo sobre processos de ensino-aprendizagem da matemática com

abordagem Semiótica é o fato de ter, também, revelado a ideia de uma inteligência

representativa essencialmente simbólica do indivíduo. Piaget afirma que o pensamento

simbólico repousa, sobretudo, em imagens mentais simbólicas. E o pensamento intuitivo é

caracterizado pela supremacia da assimilação sobre a acomodação.

Nossa investigação, ao se apropriar dos fundamentos da teoria de Piaget, será

estruturada de modo a focar nos processos individuais de formalização do conhecimento

matemático dos educandos, processos esses que envolvem da simbolização à estruturação

diagramática de situações problema do desenvolvimento do pensar matemático – do

raciocínio diagramático hipotético-dedutivo.

Para Piaget, temos autonomia intelectual ao termos os elementos necessários para

raciocinar de modo formal. E esse raciocinar em nosso espaço investigativo tratará dos


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processos individuais – diagramáticos/simbólicos - do desenvolvimento do pensar

matemático, relacionados ao Conhecimento Matemático, ou seja, sobre a relação que envolve

atividade mental mediada pela simbolização. Os momentos e atividades investigativas

buscarão identificar a passagem de um conhecimento menos elaborado, não estruturado ou

estruturado de forma inadequada, para um mais rico e coerente de informações (em

compreensão e extensão).

A autonomia intelectual matemática resulta de um processo de crescimento das

possibilidades cognitivas – da interação da assimilação (PIAGET, 1975) - com a

acomodação, guiada por um movimento de autorregulação no qual a matemática é permeada

pela estruturação de um simbolismo próprio.

3 A Dimensão Semiótica do Pensamento sobre Complementaridade ‘Otteana’ como

fundamento metodológico à investigação crítico-dialógica

A dimensão semiótica extraída do contexto da teoria do Pensamento sobre

Complementaridade ‘Otteana” parte do princípio de reconhecer a Matemática tanto como

atividade quanto linguagem, pois a distinção entre esses aspectos é fundamentalmente

relativa (OTTE, 2014). Sobretudo, não devemos cometer o erro de tomar a Matemática como

linguagem, porque ela é muito mais que isso, embora, sem a linguagem, não exista

Matemática ou Conhecimento Matemático.

Entendemos (PEIRCE, 1970) que todo o raciocínio humano acontece tanto a partir

de signos como da mistura desses signos (ícones, índices e símbolos) e não podemos

dispensar nenhum deles. Na Matemática, especificamente, não temos um estudo de objetos

“naturais” como em outras ciências, mas tratamos do estudo “de” e “sobre” relações.

Relações que envolvem objetos tanto reais como não-reais, e são expressas por

representações diagramáticas que abarcam signos.

Segundo Piaget (1979), o que caracteriza o pensamento lógico-matemático é a

abstração reflexiva tirada não dos objetos e, sim, das ações que podemos exercer sobre eles

e, essencialmente, de suas coordenações mais gerais, como reunir, ordenar, corresponder,

frutos do exercício metarreflexivo. Peirce foi um dos primeiros a observar que a abstração

em que se baseia esse procedimento é muito importante na matemática.


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Toda formalização do pensamento matemático se opera por um processo de

construção que envolve signos. Otte (2012) aponta que os matemáticos generalizam ao

introduzirem objetos ideais em atividades matemáticas que não são nada mais do que

abstrações hipostáticas. Em nosso entendimento, esse mesmo processo é percorrido e

construído pelos educandos em suas aprendizagens.

Outro aspecto destacado por Otte(2014) revela que a Matemática não estabelece seus

objetos por meio de descrições, mas por generalizações o que depende de simbolização –

representações diagramáticas (PEIRCE, 1979). Segundo Otte (2014), isso tem a ver com o

princípio da continuidade, sendo, inclusive, a mesma coisa. Esse princípio é, antes de tudo,

um meio de idealização e de generalização, isto é, um meio para a criação de objetos ideais

ou idealizados, em termos de invariantes, bem como nova forma de raciocínio, ou seja, o

‘raciocínio esquemático’ (PEIRCE, 1970, 4.418).

Para Otte(2014), a essência de algo é a representação desse algo e esta é apenas mais

uma representação, cuja essência é mais outra alegoria. Mas isso não significa que podemos

inventá-las à vontade. Um signo é somente um signo de algum objeto; caso contrário, não é

signo. O mundo empírico precisa ser sempre adaptado. E, nesse sentido, a atividade que

envolve essa adaptação, a relação entre sujeito e objeto (educando e conhecimento), torna-se

elementar e esencialmente importante nas escolhas dos signos e das representações. No ponto

de vista sobre a Complementaridade ‘Otteana’, o significado e a objetividade de uma ideia

representada por um signo repousam na atividade envolvida e nas infinidades de aplicações

últimas desse signo. Nessa direção e com bases nesses fundamentos, entendemos ser uma

interpretação semiótica a nos fornecer elementos sólidos sobre o processo de produção de

Conhecimento Matemático.


As reflexões que aqui trazemos apontam para aspectos que consideramos elementares

à constituição de uma metodologia investigativa sobre processos de ensino-aprendizagem da

Matemática, especificamente, que vão assumir caráter crítico-dialógico.

A compreensão desses pressupostos, relacionados ao desenvolvimento da

Matemática, do Conhecimento Matemático, é fundamental ao entendimento sobre os

processos que permeiam as construções (aprendizagens) matemáticas dos educandos.


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Assumimos o caminho metodológico apresentado não só como método de

investigação, mas, principalmente, como estratégia do ‘conhecimento ao conhecimento’,

capaz de contribuir para a compreensão da questão ‘como se pensa matematicamente?’ e para

repensar nossa prática docente.

Referências Bibliográficas

Houdé, O., Meljac, C. (2002). O Espírito Piagetiano: homenagem internacional a Jean

Piaget. Porto Alegre: Artmed.

Otte, M.F. (1993). O Formal, o Social e o Subjetivo: uma introdução à Filosofia e à Didática

da Matemática. São Paulo – SP: Unesp.

Otte, M. F. (2003). Complementary, sets and numbers. Educational Studies in Mathematics,

v. 53, p.203-228. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003.

Otte, M. F. (2012). A Realidade das Ideias, uma nova perspectiva epistemológica para a

Educação Matemática. Cuiabá-MT: Edufmt.

Otte, M. F. (2014). Generalizar é necessário ou mesmo inevitável. (Manuscrito não

publicado).

Piaget, J. (1976). Seis Estudos de Psicologia. Rio de Janeio:Forense.

___. (1970).Epistemologia Genética, (1990) São Paulo: Martins Fontes.

___. (1970). Psicologia e Pedagogia., Rio de Janeiro: José Olympio.

__. Problemas de Psicologia Genética., São Paulo: AbrilCultural, 1972.

Pierce, C.S. (2003). Semiótica. São Paulo: Perspectiva.


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CB-692

Deducción de la fórmula de Herón a partir de las tangentes de los ángulos medios.

Leonel L. Palomá P. - Fabián F. Serrano S.

[email protected]@unal.edu.co

Universidad de Caldas-Universidad Nacional de Colombia,

Manizales, Colombia

Núcleo temático. Resolución de problemas de Matemáticas.

Modalidad C.B

Nivel Educativo: Formación y actualización docente

Palabras claves: Herón, triangulo, área.

Resumen

En este trabajo presentamos una demostración de la fórmula de Herón, 𝐴 =

√𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

para calcular el área de un triángulo con ángulos internos 𝛼, 𝛽 y 𝛾; longitud de los lados

𝑎, 𝑏 y 𝑐, 𝑠 semiperimetro.

El procedimiento está basado en los puntos determinados por la circunferencia inscrita, el

cálculo de las tangentes de los ángulos medios del triángulo, el teorema de los cosenos y

la identidad

𝑇𝑎𝑛 (𝐴

2) =

√1−𝑐𝑜𝑠 (𝐴)

√1+𝑐𝑜𝑠 (𝐴); así deducimos una nueva fórmula para el área del triangulo

𝐴 = 𝑠2𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛(

𝛾

2).

Analizamos luego los casos particulares: 𝛼 = 𝛽 = 𝛾, triángulos equiláteros

𝐴 =9𝑎2

4𝑇𝑎𝑛3(

𝛼

2);

Si 𝛼 = 𝛽, para triángulos isósceles

𝐴 = (2𝑎+𝑐

2)

2 𝑇𝑎𝑛2(𝛼

2)

𝑇𝑎𝑛(𝛼)

y 𝛼 =𝜋

2, triángulos rectángulos

𝐴 = 𝑠2𝑇𝑎𝑛 (𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛(

𝜋

4−

𝛽

2) .



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Adicionalmente ilustramos esta demostración con una construcción en Geogebra, usando

la ventana gráfica (fórmulas algebraicas) y la ventana grafica 2 (representación

geométrica), que permite asociar los aspectos algebraicos a los geométricos mediante el uso

de las casillas de control.

Introduccion.

La deduccion de una nueva formula para el area de un triangulo en terminos de las tangentes

de los angulos medio y del perimetro, y una alternativa de deducir la formula de Heron fueron

motivadas por la importancia que tiene la geometria y la trigonometria en los diferentes

campos de la ciencia y la tecnologia.

Por ejemplo en la astronomia se usa para medir radios de planetas y distancia entre ellos; en

cartografia para la elaboracion de mapas a partir de angulos y distancias conocidas; en la

ingenieria para construccion de edificios, calculo de de fuerzas interrrelacionadas, calculo de

alturas de objetos inaccesibles y pendientes de carreteras. Otras aplicaciones se encuentran

la navegacion, la geodesia.

Esperamos esta nueva formula tenga su aplicación.

Problema

Dado el triangulo, figura 1, cuadro 1. con angulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 y lados de longitud a, b y c

respectivamente, con la notacion tradicional, es decir el lado a es opuesto al angulo 𝛼 , lado

b opuesto al anfulo 𝛽 y lado c opuesto al angulo 𝛾, deducimo una formula para su area en

terminos de las tangentes de los angulos medios y su perimetro. A partir de esta deducimos

la formula de Heron.

Figura 1.

En primer lugar trazamos las bisectrices, segmentos de recta p, q y r y el punto G incentro

del triángulo en mención, figura 1, cuadro 2. Luego construimos la circunferencia inscrita


ISBN 978-84-945722-3-4

en el triángulo, figura 1, cuadro 3, la cual nos muestra que los segmentos de recta 𝑝′, 𝑞′, 𝑟′

son perpendiculares a los lados a, b, c, respectivamente e iguales al radio de dicha

conferencia.

Por otro lado la circunferencia p1 con centro en el punto A y radio x, figura 2, cuadro 1, la

circunferencia p2 con centro en el punto B y radio y, figura 2, cuadro 2 y la circunferencia p3

con centro en el punto C y radio z, figura 2, cuadro 3, indican que

Figura 2.

i. 𝑏 − 𝑧 = 𝑥, 𝑎 − 𝑦 = 𝑧, 𝑐 − 𝑥 = 𝑦

Sumando las anteriores tres igualdades se obtiene

ii. 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 =𝑎+𝑏+𝑐

2= 𝑠

Donde 𝑠 es el semi perímetro del triángulo. Además se cumple que

iii. 𝑥 + 𝑦 = 𝑠 − 𝑧, 𝑥 + 𝑧 = 𝑠 − 𝑦, 𝑦 + 𝑧 = 𝑠 − 𝑥

Una forma equivalente para las identidades definidas en (i), es:

iv. 𝑎 = 𝑦 + 𝑧 = 𝑠 − 𝑥, 𝑏 = 𝑥 + 𝑧 = 𝑠 − 𝑦, 𝑐 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑠 − 𝑧

𝑥 = 𝑠 − 𝑎, 𝑦 = 𝑠 − 𝑏, 𝑧 = 𝑠 − 𝑐

Así se deduce que:

v. 𝑥 = 𝑠 − 𝑎, 𝑦 = 𝑠 − 𝑏, 𝑧 = 𝑠 − 𝑐

Por otro lado el triángulo ABC se puede descomponer en tres triángulos, figura 3, cuyas

alturas es el radio de la circunferencia inscrita, y las bases las longitudes de los lados del

triángulo.


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Figura 3.

El triángulo ⊿𝐴𝐵𝐷 tiene área 𝐴1 = 𝑟∗𝑐

2 , ⊿𝐵𝐶𝐷 tiene área 𝐴1 =

𝑟∗𝑎

2 y ⊿𝐶𝐴𝐷 tiene

área 𝐴1 = 𝑟∗𝑏

2 , lo que significa que área del triangulo ⊿𝐴𝐵𝐶 es

vi. 𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 = 𝑟 (𝑎+𝑏+𝑐

2) = 𝑟 ∗ 𝑠

A partir de la identidad 𝑇𝑎𝑛 (𝐴

2) =

√1−𝑐𝑜𝑠 (𝐴)

√1+𝑐𝑜𝑠 (𝐴) y el teorema de los cosenos, deducimos las

siguientes igualdades:

vii. 𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) = √

(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

𝑠(𝑠−𝑎) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑐)

𝑠(𝑠−𝑏) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛾

2) = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)

𝑠(𝑠−𝑐)

viii. 𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛾

2) = √

(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏)(𝑠−𝑐)

𝑠3

Y de los triángulos rectángulos determinados por los radios de la circunferencia inscrita y

los ángulos medios, figura 4, encontramos:

Figura 4.

ix. 𝑟 = 𝑥 ∗ 𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑟 = (𝑠 − 𝑎) ∗ 𝑇𝑎𝑛 (

𝛼

2) 𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)𝑇𝑎𝑛 (

𝛼

2)


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x. 𝑟 = 𝑦 ∗ 𝑇𝑎𝑛 (𝛽

2) 𝑟 = (𝑠 − 𝑏) ∗ 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑏)𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2)

xi. 𝑟 = 𝑧 ∗ 𝑇𝑎𝑛 (𝛾

2) 𝑟 = (𝑠 − 𝑐) ∗ 𝑇𝑎𝑛(𝛾/2) 𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑐)𝑇𝑎𝑛(𝛾/2)

Por tanto

xii. 𝐴3 = 𝑠3(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛(

𝛾

2)

Sustituyendo (vii) en (xi)

xiii. 𝐴3 = [𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)]3

2

𝐴 = [𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)]12 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)

xiv. 𝐴3 = 𝐴2𝑠2𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛾

2)

xv. 𝐴 = 𝑠2𝑇𝑎𝑛 (𝛼

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛(

𝛾

2)

Casos particulares.

Si tomamos 𝛼 = 𝛽 = 𝛾, obtenemos un triángulo equilátero, sustituimos en (xv)

xvi. 𝐴 =9𝑎2

4𝑇𝑎𝑛3(

𝛼

2)

Si 𝛼 = 𝛽, se obtiene un triángulo isósceles isósceles

xvii. 𝐴 = (2𝑎+𝑐

2)

2 𝑇𝑎𝑛2(𝛼

2)

𝑇𝑎𝑛(𝛼) .

Si y 𝛼 =𝜋

2, obtenemos un triángulos rectángulo, en tal caso

xviii. 𝐴 = 𝑠2𝑇𝑎𝑛 (𝛽

2) 𝑇𝑎𝑛 (

𝛾

2) 𝑐𝑜𝑛 𝛽 + 𝛾 =

𝜋

2 .

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CB-693

DIDÁTICA DA MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO PROFISSIONALIZANTE DE EDUCADORES

DE INFÂNCIA E DE PROFESSORES EM INSTITUIÇÕES PORTUGUESAS (PÓS)BOLONHA19

Isabel Cabrita

[email protected]

Centro de Investigação Didática e Tecnologia na Formação de Formadores, Dep. de

Educação e Psicologia, Universidade de Aveiro, Portugal


Modalidade: CB


Palavras-chave: Didática da matemática; formação inicial; educadores de infância;

professores dos anos iniciais de escolaridade

Resumo No respeito pelas várias exigências ditadas pelo Processo de Bolonha ao longo de quase

duas décadas e pela legislação nacional, os cursos de formação de Educadores de Infância

e de Professores dos anos iniciais de escolaridade em Portugal têm vindo a sofrer alterações

sucessivas.

Desde 2007, tal formação é de nível de mestrado (2º ciclo de Bolonha) e sucede uma

licenciatura em educação básica (1º ciclo de Bolonha).

No âmbito deste artigo, propomo-nos referir as condições de acesso à licenciatura e ao

mestrado, os modelos de formação subjacentes a tais cursos e a matriz curricular de várias

instituições do ensino superior. Num outro andamento, deter-nos-emos em programas

curriculares da área da didática da matemática no que respeita, principalmente, às

finalidades e objetivos que perseguem, aos conteúdos programáticos selecionados, às

orientações metodológicas privilegiadas, à avaliação das aprendizagens praticada.

Finalmente, discuto a mais recente legislação e as alterações que provocou ao nível dos

respetivos cursos.

Introdução

O desenvolvimento das sociedades está, cada vez mais, dependente das pessoas – seres individuais e sociais

(Cogan, Derricott & Derricott, 2014; Pellegrino & Hilton, 2013). Portanto, uma educação de qualidade afigura-

se imprescindível para um futuro sustentável (Barth, Michelsen, Rieckmann & Thomas, 2015; UNESCO,

19 A apresentação deste trabalho foi financiada por Fundos Nacionais através da FCT –

Fundação para a Ciência e a Tecnologia, I.P., no âmbito do projeto

UID/CED/00194/2013.



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2010). Esta é uma das principais finalidades expressas na Declaração de Bolonha (UE/CE, 1995) e reiterada

nas sucessivas medidas20 que se seguiram.

Portugal aderiu a este desafio, tendo-se envolvido em reestruturações sucessivas de cursos.

Um deles prende-se com a formação, simultânea, de Educadores de Infância e de Professores

dos quatro anos iniciais de escolaridade. Importa, então, analisar como foi concebido,

principalmente no que respeita às unidades curriculares da área da didática da matemática

(DM). Assim, desenvolveu-se um estudo de caso qualitativo e descritivo (Amado, 2014),

abarcando cursos em vigor entre 2007 e 2015. Neste artigo, reportar-nos-emos a 4 instituições

do ensino superior (IES) que foram selecionadas por ter sido possível obter os documentos

necessários a um estudo aprofundado e tendo em conta a sua dimensão – maior (g) ou menor

(p) – e o serem universidades (U) ou escolas superiores de educação (E), localizadas no litoral

ou no interior, no Norte ou no Sul do país. Privilegiaram-se fontes documentais, tendo os

dados sido submetidos a uma análise de conteúdo (Bardin, 2009) orientada por categorias

que se prendem com as condições de acesso ao curso, os modelos de formação subjacentes,

a matriz curricular e as finalidades, objetivos, conteúdos programáticos, orientações

metodológicas e a avaliação das aprendizagens preconizados. O enquadramento teórico

assenta nas mais recentes orientações para os processos formativos e de ensino e de

aprendizagem, em particular da matemática (mat.), defendidas, designadamente, em Barnes

(2011); Clarke, Lodge & Shevlin (2012); Clements et al (2012); Darling-Hammond &

Bransford (2005); Krainer & Wood (2008); McNamara, Murray & Jones (2014).

Cursos portugueses de formação de educadores de infância e professores

A extinção dos cursos das Escolas Normais de Educadores de Infância e das Escolas do

Magistério Primário (Dec.-Lei n.º 101/86, de 17 de maio) deu origem aos bacharelatos em

Educação Pré-Escolar e em Ensino Primário e, posteriormente, às respetivas licenciaturas.

Estas, em consonância com a Lei de Bases do Sistema Educativo (Lei n.º 46/86 e Lei n.º

49/2000), foram fundidas numa única (Dec.-Lei n.º 43/2007 de 22 de fevereiro). O acesso,

pela via geral, a esta Licenciatura em Educação Básica (LEB) considera a conclusão do

ensino secundário (12 anos de escolaridade), a classificação aí obtida e nos exames de

20 Tal como expresso em http://www.ehea.info/pid34363/ministerial-declarations-and-

communiques.html.

http://www.ehea.info/pid34363/ministerial-declarations-and-communiques.html

http://www.ehea.info/pid34363/ministerial-declarations-and-communiques.html


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admissão ao ensino superior. Tem uma duração de 3 anos e 180ECTS, a partir da qual se

ramificam mestrados que profissionalizam para se trabalhar com crianças dos 3 aos 12 anos.

O curso que se analisará é o mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino no 1º Ciclo do

Ensino Básico (MPrePri), na versão em vigor de 2007 a 2015, em 14 das 18 IES portuguesas

responsáveis pelos referidos profissionais.

O acesso ao Mestrado exigia a obtenção da LEB e a aprovação em provas de domínio, oral e escrito da língua

portuguesa. De acordo com a legislação que o suportava, tinha 90ECTS e as IES analisadas – Eg, Ep, Ug, Up

– optaram por distribuí-los pelas componentes de formação21, considerando o máximo de ECTS previstos –

Área da docência (0-5), Educacional geral (5-10), Didáticas específicas (25-30) e Prática de ensino

supervisionada (PES) (40-45). Contemplaram, respetivamente, 14, 11, 11, 14 unidades curriculares (uc), no

geral, no regime obrigatório. A maior parte dos ECTS atribuídos a PES encontrava-se, em todas as IES,

concentrada no último semestre do curso. Relativamente à componente das Didáticas específicas e, em

particular, da matemática, integram uma única uc e independente, de entre 4 na Ep e 6 na outras IES.

Didática da matemática em cursos de formação de educadores e professores

Didática da Matemática do MPrePri na Eg funcionava no 1º semestre do curso, com 6ECTS

e com 60h práticas-laboratoriais (PL) e 20h de orientação tutória (OT) de contacto. As

‘Competências’ visadas envolviam: Desenvolver diferentes tipos de raciocínios lógico-

matemáticos e Atualizar e aprofundar conhecimentos científicos que justifiquem e suportem

conscientemente a futura atividade profissional; Promover a análise crítica e refletida das

orientações curriculares da Educação Pré-Escolar e do Programa do 1º CEB e Fomentar

saberes no âmbito da articulação interciclos, colocando em evidência as metas da

aprendizagem; Desenvolver a capacidade de estruturar cadeias e trajetórias temáticas de

aprendizagem e Fomentar a transferência de conhecimentos, promovendo as conexões mat.

e potenciando a capacidade de resolver problemas; Promover a autoconstrução do saber e do

aprender a aprender, Fomentar a pesquisa, a análise, a seleção e a organização de informação

de âmbito científico e pedagógico-didático e Desenvolver hábitos de observação, análise

crítica e validação de resultados.

Os ‘Conteúdos’ contemplavam: orientações Curriculares da Educação de Infância e ao

Programa do Ensino Básico – articulação entre finalidades, objetivos, temas e capacidades

21 A Formação cultural, social e ética e a Formação em metodologias de investigação educacional

deveriam ser desenvolvidas transversalmente nas três últimas componentes referidas.


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transversais; o desenvolvimento do pensamento lógico da criança – comunicação mat.,

argumentação e demonstração; utilização e interpretação de códigos e aspetos (pré)

numéricos e algébricos – seriação e inclusão e padrões de repetição e não repetitivos;

Números e Operações, Geometria e Medida, Álgebra e Organização e Tratamento de Dados.

Em relação a estes temas mat., incluía-se conceitos e capacidades matemáticos fundamentais;

a utilização pedagógica da calculadora e o desenho, o jogo e a resolução de problemas; o

conhecimento geral do espaço no Jardim de Infância; conexões e percursos temáticos de

aprendizagem, a resolução de problemas e a planificação, prevendo a articulação interciclos.

As ‘Metodologias de trabalho’ incluíam: exploração dos conhecimentos científicos basilares

sobre o tema; aprofundamento do mesmo pelo estudante com a colocação de questões,

pesquisa bibliográfica e exploração didática-pedagógica com a resolução de tarefas e a

exploração de materiais estruturados; (auto) avaliação, reformulação de questões e

clarificação de conceitos e experimentação, reflexão e reformulação de alguns tópicos

aplicados em contexto educativo. A avaliação, formativa, incluía um teste individual escrito

(com um peso de 50%) e um trabalho de pesquisa em grupo, envolvendo a planificação de

uma trajetória de aprendizagem desde a educação pré-escolar ao 1º CEB sobre um tópico

matemático, incluindo as respetivas tarefas (40%) e a construção individual de um kit de

materiais (10%). A ‘Bibliografia’, quase exclusivamente em português, incluía as 4

referências máximas permitidas na ficha, relacionadas com o Programa Oficial de

Matemática do Ensino Básico em vigor e com questões didáticas transversais no Jardim de

Infância e na Educação Básica. Era complementada com uma listagem de 25 referências, a

maior parte da década de 90 e de 2000 a 2010 e de didática da matemática, quer no pré-

escolar quer nos anos iniciais do Ensino Básico. Excetuam-se 2 clássicos de Sebastião e

Silva, da década de 70.

Na Ep, Didática da Matemática era oferecida no 1.º semestre do curso. Foram-lhe atribuídas

7,5ECTS e 40h teóricas (T), 40h teórico-práticas (TP) e 5h de orientação tutória (OT),

presenciais. O Programa iniciava com um breve resumo explicitando que, na uc, seriam

analisados documentos curriculares oficiais, debatidos os conhecimentos e conceções dos

professores, abordados temas do ensino da matemática e assuntos relativos à aula de

matemática. Visava o aprofundamento de conhecimentos de didática da mat. e o

desenvolvimento de competências que permitam um processo educativo da mat. adequado


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aos respetivos níveis de ensino. Atentava às conexões entre níveis, intramatemática e com

outras áreas e a uma atitude positiva relativamente à mat. Mais especificamente, perseguia-

se conhecer documentos curriculares oficiais para esses níveis educativos e temas

matemáticos aí expressos; refletir sobre a importância e influência dos conhecimentos e

conceções dos educadores/professores na educação mat.; selecionar e/ou construir materiais

criativos de suporte à exploração da mat.; concretizar, de forma criativa e adequada as

orientações curriculares; estabelecer conexões múltiplas intramatemática e com outras áreas

do saber; desenvolver poder de análise e sentido crítico. Os conteúdos programáticos

centravam-se: no Currículo e Documentos Curriculares para a Educação Pré-Escolar e

Ensino Básico; nos Conhecimentos e conceções do professor; em Temas do Ensino da mat.

– Princípios lógicos, Números e Operações, Grandezas e Medidas, Transformações

Geométricas, Organização e Tratamento de Dados – e perspetiva didática; na Aula de mat. –

ambiente de sala de aula, planificação, tópicos de avaliação e análise de manuais escolares.

Em termos metodológicos, referia o ensino direto e o trabalho individual ou em grupo,

privilegiando-se a resolução de problemas, o questionamento e a discussão entre professor–

estudantes–estudantes e, portanto, uma participação ativa, reflexiva e crítica. A avaliação

contínua contemplava a participação nas propostas das aulas (10%), o diário individual

“Observações na creche” (15%), a realização, apresentação e discussão de um trabalho, em

pares, sobre um tema mat. (15%) e um teste final individual (60%). A avaliação final

envolvia, com o mesmo peso, uma prova escrita e uma prova oral caso a classificação ali

obtida variasse [9, 20]. O Programa incluía bibliografia principal e complementar,

maioritariamente em português e recente, relacionada com documentos curriculares oficiais;

aspetos transversais da didática e específicos de alguns temas/tópicos mat. (números e

operações, geometria, OTD e álgebra); capacidades transversais de resolução de problemas,

raciocínio, comunicação e, ainda, avaliação das aprendizagens.

Na Ug, o Programa da uc da área da DM explicitava que era ministrada no 1.º semestre do

curso, tendo 5ECTS e 15h T, 30h TP e 5h OT de contacto. A finalidade prendia-se com a

preparação em aspetos didáticos da mat. ao nível da Educação de Infância e do 1ºCEB. Os

principais objetivos visavam preparar os estudantes para a conceção de tarefas para o ensino

e aprendizagem da mat.; incutir o hábito de discutir e analisar tarefas contidas em manuais

escolares e conceptualizar a educação mat. tendo em conta os obstáculos de aprendizagem


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que se conhecem. Analisar criticamente tarefas e materiais didáticos para o ensino da mat.;

estabelecer conexões intramatemática a ensinar e com outras áreas; planificar tarefas para

crianças do pré-escolar e do 1º CEB e reconhecer obstáculos de aprendizagem mat. e formas

de os ultrapassar constituíam-se os resultados esperados. Os tópicos programáticos incluíam:

análise crítica de tarefas (problemas, exercícios e jogos) e de materiais didáticos, incluindo

manipuláveis, para o ensino da mat.; integração de aspetos do ensino da mat. com outros

aspetos matemáticos e de outras áreas e com a vivência diária; inventariação dos obstáculos

à aprendizagem mat. mais relevantes e discussão de formas de os ultrapassar. Em termos

metodológicos, referia-se que haveria lugar a aulas teóricas, teórico-práticas e tutórias e à

realização de trabalho em grupo. A avaliação contemplaria um teste e os trabalhos de grupo,

com pesos a negociar com os estudantes no início das aulas. A bibliografia integrava obras

de referência da década de 90, em português (1) e inglês (3), focada nas primeiras

aprendizagens da mat.

Na Up, Didática da Matemática funcionava no 1º semestre do do MPrePri e tinha 5ECTS e

40h TP e 3h OT. Os objetivos que se perseguiam passam por: conhecer aprofundadamente

as atuais orientações curriculares a mat. para aqueles níveis de ensino e desenvolver

capacidades de conceção de experiências de aprendizagem da mat. adequadas e de reflexão

sobre a aprendizagem da mat., fatores de sucesso ou insucesso e principais desafios do ensino

da mat. nos primeiros anos, com vista à regulação da prática do educador/professor. Os

conteúdos programáticos, a abordar de forma integrada, envolviam Orientações Curriculares

para o ensino da mat. no pré-escolar e 1ºCEB em Portugal; Temas matemáticos e ênfases

programáticas – sentido de número e das operações e fluência de cálculo, sentido espacial e

processo de medir, literacia estatística e pensamento algébrico; Capacidades transversais –

resolução de problemas, raciocínio matemático e comunicação mat.; Tarefas mat. –

problemas, investigações e explorações, projetos, jogos, prática compreensiva de

procedimentos; Recursos para o ensino da mat. – materiais manipuláveis, manuais escolares,

calculadora, computador; A “aula” de mat. – a cultura de sala de aula, o modo de ensino

praticado e Planificação do ensino da mat. – definição de trajetórias de aprendizagem,

planificação de experiências de aprendizagem. Em termos metodológicos, defendia-se o

envolvimento ativo dos alunos (individual, em pequenos grupos e com toda a turma) em

tarefas variadas (análise, discussão, crítica, produção, …) a realizar durante as aulas, algumas


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delas exigindo, previamente, leitura de textos, recolha de dados, resolução de problemas e

construção de material a realizar. A avaliação contínua atenderia à assiduidade e pontualidade

(10%), atividades das aulas (20%), trabalho de grupo (30%) e teste individual escrito (40%).

A aprovação à uc exigiria uma classificação superior a 7,5 em 20 valores nos trabalhos de

grupo e no teste e uma média das classificações obtidas em todos os parâmetros superior a

9,5 em 20 valores. Estava previsto um exame final com um peso de 100% para os estudantes

que optassem por avaliação final e para os que não obtiveram aproveitamento à uc. A

bibliografia incluía 34 referências, essencialmente em português e das décadas de 90 e de

2000 a 2010. Para além de documentos curriculares oficiais, a maior parte eram do âmbito

da didática. Ainda se apresentava uma referência relacionada com Provas de Aferição

nacionais do ensino básico. Os sites referidos pertenciam ao ministério da educação e a

associações nacionais e estrangeiras de âmbito educacional. Ainda se referia que seriam

disponibilizados slides.

Discussão dos resultados e considerações finais

Pelo exposto, verifica-se que, de 2007-2015, nas IES analisadas, o MPrePri apresentava, de

acordo com a legislação em vigor, 90ECTS, distribuídos pelas componentes de formação

estipuladas superiormente. Encontraram-se matrizes curriculares muito atomizadas,

contrariando o defendido em Clarke, Lodge & Shevlin (2012) e Duda & Clifford-Amos

(2011) e como já se pratica em outras instituições portuguesas e de outros países como

Finlândia e Luxemburgo (Cabrita, 2017a,b). Relativamente à Didática da Matemática,

funcionava exclusivamente no 1.º semestre do curso mas o número de horas de contacto (em

consonância com o espírito do Processo de Bolonha que defende, essencialmente, trabalho

autónomo) variava de 43 (Up) a 85 (Ep), incluindo orientação tutória, embora com muito

menor expressão. A maior parte das sessões eram de cariz TP, mas Ep e Up contemplavam

aulas teóricas e Eg sessões práticas laboratoriais. Os objetivos, competências e/ou resultados

de aprendizagem bem como os conteúdos programáticos e a bibliografia apresentados

prendem-se com o aprender a ensinar mat. e, portanto, com aspetos disciplinares, curriculares

e didáticos. Menor expressão é dada a temas transversais e emergentes, como a questão da

criatividade e à dimensão investigativa como o defendem diversos autores (Hökkä &

Eteläpelto, 2014; Sá-Chaves, 2014; Tardif, 2014). Também o contacto efetivo com a futura

prática profissional, que assume uma cada vez maior defesa (McNamara, Murray & Jones,


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2014), não aparece explicitada em qualquer dos programas curriculares analisados. Em

termos metodológicos, a par de momentos de cariz mais expositivo, apela-se, como se

defende hoje em dia, (Clements et al., 2012; Krainer & Wood, 2008) a uma participação ativa

dos alunos em tarefas diversificadas e a diversas formas de trabalho – individual, pequeno

ou grande grupo. A avaliação assume, no geral, um caráter formativo (Fernandes, 2005),

valorizando-se atividades realizadas pelos alunos, mas incluem-se testes individuais, mais

tradicionais, com um peso significativo na classificação final. Assim, muitos passos já foram

dados tendo em vista uma educação em matemática de qualidade mas é urgente investir-se,

designadamente, numa matriz estruturada por temas transversais, a abordar,

transversalmente, por todas as áreas de formação. Além disso, é urgente promover-se um

contacto o mais precoce possível com a realidade profissional futura e com a dimensão

investigativa.

A atual legislação em vigor em Portugal (Dec.-Lei nº 79/2014 de 14 de maio) introduziu

diversas alterações aos mestrados que sucedem a LEB. No que respeita ao MPrePri, passou

a funcionar, desde 2015/2016, com 120ECTS, acréscimo que veio reforçar as áreas de

docência de Matemática e de Língua Portuguesa e a área de Ensino. No entanto, a

componente investigativa sai desvalorizada relativamente a documentos legais anteriores, o

que não favorece a inter-relação entre formação-investigação-inovação (Boissinot, 2010;

Flores, 2015; Hökkä & Eteläpelto, 2014; Sá-Chaves, 2014; Tardif, 2014). Esperemos que as

IES sejam suficientemente criativas para efetivar tal simbiose.


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ISBN 978-84-945722-3-4

CB-694

MAPEAMENTO DAS PESQUISAS BRASILEIRAS SOBRE FORMAÇÃO DE

PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA E A TECNOLOGIA NO

PERÍODO DE 2001 A 2012

Regina Célia Grando – Rosana Giaretta Sguerra Miskulin


UNESP/UFSC – UNESP, Brasil

Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas.

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formação de professores

Palabras clave: formação de profesores que ensinam matemática, tecnologia, mapeamento

Resumo O estudo investiga as tendências teóricas e metodológicas de pesquisas brasileiras,

traduzidas em dissertações e teses, que tratam da articulação da formação do professor que

ensina matemática e as tecnologias de informação e comunicação (TIC). Apresenta como

objetivos: (1) caracterizar o campo de pesquisa brasileiro que toma como objeto de

investigação a formação do professor que ensina matemática e a tecnologia; (2) identificar

as tendências teóricas e metodológicas presentes em tais pesquisas. Esse estudo está inserido

no projeto nacional “Mapeamento e estado da arte da pesquisa brasileira sobre o professor

que ensina matemática”. Apresentamos os resultados parciais referentes ao mapeando do

campo de pesquisa brasileiro que toma como objeto de investigação a formação do professor

que ensina matemática e a tecnologia e destacamos os focos (formação inicial e/ou

continuada) e as temáticas priorizadas nas pesquisas. Os procedimentos da pesquisa

envolvem a consulta a fichamentos das pesquisas já realizados, leitura dos trabalhos na

íntegra e definição de categorias de análise. Tal investigação incorpora conceitos sobre as

articulações entre a tecnologia e a pesquisa do professor, traduzindo-se na compreensão da

diacronia na produção das pesquisas, bem como na identificação de contribuições e lacunas

de investigação brasileira no campo.

Introdução

A pesquisa sobre formação de professores que ensinam matemática se constitui hoje como

um campo vasto de investigação, assumindo diferentes tipologias, como a formação do

professor que ensina matemática dos anos iniciais do ensino fundamental, do professor de

matemática dos anos finais do ensino fundamental e ensino médio, do professor do ensino

superior, do professor de educação de jovens e adultos, ou mesmo, a formação inicial do

professor que ensina matemática, a formação continuada, entre outras. Em muitas dessas




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pesquisas, a tecnologia é considerada como um foco de investigação na formação do

professor. As pesquisas apresentam situações nas quais as tecnologias de informação e

comunicação e o ensino à distância têm contribuído para a formação, aprendizagem e

desenvolvimento do professor que ensina matemática.

A investigação desenvolvida por Fiorentini et. al (2002) apresenta um balanço da pesquisa

brasileira sobre formação de professores que ensinam matemática no período de 1978 a 2002,

fazendo referência a 112 teses e dissertações produzidas do período. Nesse estudo os autores

indicam o quanto a pesquisa brasileira sobre formação de professores refletia uma tendência

mundial em “reconhecer o professor como elemento fundamental nos processos de mudança

educacional e curricular” (p. 139). Os autores apresentam uma discussão e síntese sobre as

pesquisas que envolviam formação inicial de professores, formação continuada de

professores e espaços híbridos de formação, inicial e continuada, como os grupos

colaborativos.

Como uma das considerações dessa investigação os autores apontavam a necessidade de que

houvesse uma sistematização dos conhecimentos produzidos, a partir da prática profissional

docente, afim de trazer contribuições para uma formação de professores tanto inicial quanto

continuada que fosse mais articulada às realidades escolares. Nesse sentido, já nessa pesquisa

sinalizava-se a importância da ampliação de pesquisas que tratasse do professor que ensina

matemática, de suas práticas, conhecimento, profissionalidade, trabalho, identidade etc. para

que se buscasse indícios para se repensar a formação docente.

Na tentativa de dar continuidade a esse balanço inicial o Grupo de estudos e pesquisas sobre

formação de professores que ensinam matemática (GEPFPM/ FE, Unicamp), coordenado

pelo Prof. Dr. Dario Fiorentini, ao qual as autoras desse texto fazem parte, aprovou um

projeto CNPq (Universal, processo no. 486505/2013-8) que visa “mapear, descrever,

sistematizar as pesquisas brasileiras produzidas no âmbito dos programas de Pós-Graduação

stricto sensu das áreas de Educação e Ensino e que tem como foco de estudo o professor que

ensina matemática.” (FIORENTINI et al., 2013, p.3). No projeto, justifica-se a relevância de

estudos de mapeamento como esse:

Os estudos de mapeamento vem cada vez mais ganhando relevância

atualmente devido, de um lado, ao crescente aumento da produção de

pesquisas e da necessidade de sistematizá-las, e, de outro, à

necessidade de clarificar esse campo de inquérito, destacando


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sobretudo os aspectos conceituais, epistemológicos e metodológicas

dessa área de pesquisa. (FIORENTINI et al., 2013, p. 8)

Esse estudo, recém concluido, foi realizado por uma equipe nacional, subdividida em cinco

regiões. Na 1ª fase do projeto foi definido o corpus da pesquisa, a leitura e o fichamento de

cada trabalho completo e um mapeamento de cada regional sobre as pesquisas desenvolvidas

em sua região.

Após a definição do corpus, chamou-nos a atenção a quantidade expressiva de pesquisas que

tratam da formação do professor que ensina matemática e a tecnologia. Do total de 858

trabalhos, reconhecemos 97 trabalhos que fazem referência ao uso da tecnologia no título do

trabalho ou nas palavras-chave.

Apresentamos nesse texto os resultados parciais referentes ao mapeamento do campo de

pesquisa brasileira que toma como objeto de investigação a formação do professor que ensina

matemática e a tecnologia e destacamos os focos (formação inicial e/ou continuada) e as

temáticas priorizadas nas pesquisas.

Pressupostos teóricos sobre a formação de profesores que ensinam matemática e as

contribuições da tecnologia para sua formação

O professor que ensina matemática aprende e se desenvolve em situações de formação inicial,

continuada ou em processos formativos que envolvem a reflexão sobre suas práticas.

Entendemos o professor como um protagonista de sua ação pedagógica e como um parceiro

nas pesquisas escolares, na investigação e sistematização de conhecimento sobre a escola.

Nos vários ambientes nos quais o professor desenvolve o seu trabalho há produção de

conhecimento.

É importante reconhecer o professor como um investigador da sua prática. Cochran-Smith e

Lytle (1999) defendem a importância de o professor registrar e socializar seus conhecimentos

e os acontecimentos reais em sua sala de aula, em grupos, em que:

O resultado do processo é, para o grupo, uma compreensão maior das palavras e

um respeito e estima maiores pelas formas em que as contribuições dos outros

constroem novos entendimentos e, para o indivíduo, um pensamento mais


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divergente que conduz a observações mais refinadas e matizadas (COCHRAN-

SMITH, LYTLE; 1999, p.332, nossa tradução). 22

O registro desse professor pesquisador — de suas experiências, seus relatos, suas vivências

em sala de aula — constitui um material importante para sua reflexão e formação, bem como

para a formação de outros professores. Assim, esses registros possuem tripla importância:

para os outros professores, para os pesquisadores-formadores de professores e para os

futuros professores.

Os projetos brasileiros de parceria universidade-escola (PIBID23, OBEDUC24, PNAIC25), o avanço nas

pesquisas no campo da educação matemática e práticas pedagógicas, bem como o interesse em investigar as

atividades desafiadoras que os professores enfrentam no cotidiano escolar, fizeram com que muitos professores

que atuam em sala de aula, buscassem a pesquisa acadêmica como uma possibilidade de compreender e

transformar a sua prática pedagógica. Muitos desses professores pesquisadores passam a olhar para os processos

de aprendizagem matemática de seus alunos, mas também investigam seus próprios processos de aprendizagem

em situações pedagógicas.

Cochran Smith e Lytle (1999) discutem sobre as relações de aprendizagem e de

conhecimento do professor em três concepções: conhecimento para a prática; conhecimento

na prática e conhecimento da prática. A primeira concepção – conhecimento para a prática,

entende o conhecimento em uma perspectiva da racionalidade técnica: acredita-se que o

professor que sabe mais conteúdos ensina melhor. Essa concepção é comum nos cursos de

formação de professores que consideram o professor um mero reprodutor de teorias

produzidas pelos acadêmicos. Em contrapartida, o conhecimento produzido pelo professor

não é reconhecido.

A segunda concepção – conhecimento na prática, aborda o conhecimento em ação, focando

as metodologias de ensino do professor, analisando as reflexões dos professores sobre a

prática e trabalhando a produção de relatos e de narrativas sobre a prática. O professor é visto

como um “prático”, como nos revelam as ideias de Schön (1995): através da sua prática e da

22 “El resultado del processo es, para el grupo, uma comprensión mayor de las palabras y

um respeto y estima mayores por las formas em que las contribuciones de otros construyen

nuevos entendimientos y, para el individuo, um pensamiento más divergente que conduce a

unas observaciones más refinadas y matizadas. (COCHRAN-SMITH, LYTLE; 1999,

p.332). 23 Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência 24 Programa Observatório da Educação 25 Programa Nacional de Alfabetização na Idade Certa


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sua reflexão na ação; da sua reflexão sobre a ação e da sua reflexão sobre a reflexão na ação,

o professor pode tornar-se um profissional mais reflexivo e capaz de resolver seus problemas

na sala de aula. Nesse sentido, Pimenta (2002) discute que achar que o professor reflexivo

seja a chave de tudo também é algo complicado, pois pode levar essa ideia à banalização e

gerar uma supervalorização do professor, ignorando as outras teorias, como aponta a autora:

“... o saber docente não é formado apenas da prática, sendo também nutrido pelas teorias da

educação” (PIMENTA, 2002, p.24), em que teoria e prática não podem ser vistas como

dissociadas. Essa mesma autora aponta que, para a formação da identidade docente, seria

importante começar a pensar em professores intelectuais críticos e reflexivos, o que

complementaria as ideias de Schön, levando em conta que o professor está inserido em um

contexto escolar, com uma cultura específica, e que a criação de grupos de trabalho nas

escolas torna-se fundamental.

Na terceira concepção – conhecimento da prática, o professor é visto como produtor de teoria.

Não há separação entre teoria e prática, visto que o conhecimento é inseparável do sujeito. A

racionalidade aqui presente é a crítica. A ideia central é que, através da investigação, os

professores problematizam seu próprio conhecimento. A sala de aula torna-se um lugar de

pesquisa e desenvolvimento curricular, em que o professor aprende a identificar questões

importantes da prática, propondoproblematizações e teorizações sobre a prática. Assim se

mostra a importância da formação de grupos colaborativos. Essas autoras apontam:

Um elemento fundamental desta concepção é a idéia de que os

professores aprendem colaborativamente, em comunidades de

investigação e/ou redes onde participantes buscam, com os outros,

construir um conhecimento significativo local, onde a investigação é

reconhecida como parte de um esforço maior de transformar o

ensino, o aprendizado e a escola. (COCHRAN-SMITH; LYTLE,

1999, p.35).

Nesta pesquisa, buscamos focar a formação de professores estendendo um olhar para as

múltiplas dimensões de sua formação, identidade, constituição profissional, aprendizagem,

desenvolvimento profissional, saberes, concepções, atitudes, performance etc., dimensões

essas que podem contribuir para se repensar processos de formação de professores, inicial,

continuada e possibilitar uma sistematização a fim de contribuir com as políticas públicas de

formação docente. (FIORENTINI et al, 2016)


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Com relação às pesquisas que tratam da formação de professores de matemática e tecnologia

é importante considerarmos o papel social que tais pesquisas possibilitam ao vivenciar

experiências de formação que colocam o futuro professor e/ou professor “ à altura do seu

tempo”, experimentando a aprendizagem matemática por meio de tecnologias que

possibilitam novas reflexões e análises epistemológicas da matemática escolar e acadêmica.

Conforma aponta Miskulin et al (2006, p. 8):

acredita-se que pesquisadores que investigam o uso de computadores

na educação alegam que a informática possui uma ação positiva para

o desenvolvimento da capacidade cognitiva e provoca um

rompimento da relação vertical entre alunos e professor da sala de

aula tradicional, fazendo do aprendizado uma experiência mais

cooperativa. As radicais transformações da informática nos anos

noventa reforçaram ainda mais a adoção dessa tecnologia nos meios

educacionais.

A pesquisa em tecnologia na formação de professores que ensinam matemática possibilita

compreender processos formativos que propiciam repensar práticas de formação docente no

sentido de que o futuro professor ou professor seja capaz de reconhecer em seu processo

formativo as contribuições, limites e possibilidades de uso da tecnologia para ensinar

matemática. A tecnologia na educação matemática é muito mais um desafio ao professor do

que ao aluno. Estabelecer parcerias entre professores, futuros professores e professores da

universidade, com o objetivo de discutir práticas e pesquisas que envolvam a tecnologia nas

aulas de matemática, possibilita incluir alunos e professores em uma cultura digital.

Miskulin e Silva (2010) ao abordarem o domínio e a utilização das TIC – na formação de

professores enfatizam a importância da criação de contextos de ensino e aprendizagem, nos

quais os estudantes possam desenvolver conhecimentos críticos para lidarem com as

tecnologias informacionais e comunicacionais; desenvolverem a capacitação para a busca

orientada do conhecimento – os estudantes podem aprender a buscar conhecimento em outras

fontes, diferentes do professor e dos livros didáticos, podem fazer pesquisas sobre

determinados temas na Internet e aprenderem a fazer buscas orientadas na Internet,

objetivando transformar essas informações, advindas dos inúmeros sites, de jornais, da mídia

em geral, em conhecimento.


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Em síntese, tal investigação incorpora conceitos e ideias sobre as articulações entre a

tecnologia e a pesquisa do professor que ensina matemática e poderá traduzir-se na

compreensão da diacronia na produção das pesquisas do campo, bem como na identificação

de contribuições e lacunas no campo de investigação em tecnologia e formação de

professores.

Resultados

A tabela 1 (anexo) apresenta o conjunto de pesquisas que vem sendo investigadas, destacando

os focos de formação.

As instituições que possuem Programas de Pós-graduação e que mais formam esses

pesquisadores são PUC-SP (10), UNESP/RC (9), UFMS (7), UFOP (6) USS (5) e UFU (4).

Em relação aos focos de formação encontrados, há um equilibrio entre as pesquisas que

investigam a formação inicial e a formação continuada envolvendo as tecnologias (

softwares, programas, EAD, ambientes virtuais de aprendizagem). Destaca-se que nesse

período, embora aconteceram iniciativas governamentais em formação de profesores que

articulam a formalção inicial e continuada de profesores, como o PIBID e o OBEDUC,

nenhuma pesquisa explorou esse espaço de formação, articulando com a tecnologia. Por

outro lado, foram muitas as pesquisas (33) que exploraram a Educação à distancia, a maioria

delas investigando os espaços de formação inicial em EAD.

Em relação às temáticas, destacamos: uso de softwares na formação inicial e/ou continuada

de professores, construção de ambientes de aprendizagem docente virtuais, elaboração e uso

de objetos de aprendizagem, uso de computadores e outras tecnologias, uso de softwares

específicos na formação de professores, uso de softwares em disciplinas da Matemática e da

Estatística em cursos de formação de profesores, EAD, pesquisas analisando a formação

inicial e/ou continuada em EAD.

Há uma grande variabilidade de propostas de usos de diferentes recursos tecnológicos na

formação inicial do professor de matemática, há pesquisas que abordam a reflexão do

professor sobre sua prática quando utilizam diferentes recursos tecnológicos, há pesquisas

que abordam o uso de tecnologia em projetos de formação continuada de profesores. Nota-

se uma variabilidade nas formas de produção de dados da pesquisa, como há diferentes

procedimentos de análise de dados, cujos resultados, muitas vezes, se assemelham. Muitas


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pesquisas reproduzem ações semelhantes de formação de professores com o uso da

tecnología e os resultados de tais pesquisas pouco avançam. Com relação aos resultados,

discutem-se: os problemas técnicos e metodológicos no uso de computadores na escola, a

lacuna de formação específica do profesor com relação ao uso da tecnología, as dificuldades

de acesso às salas de computadores das escolas, computadores obsoletos e com falta de

manutenção, o acesso reduzido da internet nas escolas, a dificuldade em envolver os alunos

nas tarefas propostas, sem desviar para outros programas, o desinteresse dos alunos e dos

profesores, a ausência de políticas públicas de implementação e manutenção de um trabalho

com tecnologia na escola, o pouco reconhecimento da gestão escolar de trabalhos com

tecnología na escola, a escassez de programas interessantes e sem custo (softwares livres),

etc.

Considerações

Os resultados iniciais encontrados no primeiro mapeamento nos possibilita levantar alguns

questionamentos: quais mudanças são possíveis observar nos processos investigativos, isto

é, de orientações teóricas e metodológicas das pesquisas sobre formação de profesores que

ensinam matemática e tecnologia? Quais contribuições essas pesquisas trazem para a busca

de novas alternativas para a formação inicial e continuada de professores que ensinam

matemática?

Tais questões nos mobilizam a revisitar os fichamentos das pesquisas afim de identificar

tendências teóricas e metodológicas que orientam essas pesquisas e quais as possibilidades

que tais pesquisas oferecem para o avanço no conhecimento sobre a tecnologia e a formação

docente, seja inicial quanto continuada.

A continuidade da pesquisa prevê o mapeamento das tendencias teóricas e metodológicas,

bem como a realização de entrevistas com os quatro professores que mais orientaram

pesquisas na área, no período considerado, objetivando contextualizar e entender, na

atualidade, as articulações entre as pesquisas acadêmicas e as tecnologias informacionais e

comunicacionais (TIC).



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Os professores e sua formação. pp.77-91. Lisboa: publicações Dom Quixote.

Anexo1: Tabela 1

Tabela 1: Pesquisas sobre formação de professores que ensinam matemática e tecnologia por modalidade de

formação (2001 – 2012)

Formação inicial Formação continuada Formação inicial e continuada

(Brandão, 2005), (Corrêa, 2012), (Dias, 2012), (Schneider, 2008), (Alves,2012), (Alves, 2010), (Campos, 2011), (Campos,SGVB, 2007), (Carvalho, 2009), (Dutra, 2011), (Esteves, 2010), (Gazire, 2009), (Gonçalves, 2012), (Miranda, 2008), (Santos, IN, 2011), (Silva,JC,2005), (Bandeira Junior, 2009), (Maia, 2012), (Silva,IS,2007), (Machado, 2005), (Moraes, 2012), (Silva,JRA,2010), (Athias, 2010),

(Coraça, 2010), (Faria, 2001), (Gregio, 2012), (Momade, 2010), (Oliveira, 2012), (Brito, 2006), (Oliveira,A,2012), (Silva,JX, 2009), (Calil, 2011), (Kawasaki, 2008), (Amarante, 2011), (Góes, 2012), (Nascimento, 2007), (Rocha, 2008), (Pereira, 2005), (Azevedo, 2011), (Gaudio, 2004), (Lopes, 2004), (Medeiros,APM, 2012), (Medeiros, LGF, 2012), (Santos, 2012), (Saviano,

(Santos,VCP, 2008), (Costa,JL,2008), (Fernandes,2009)

http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/


ISBN 978-84-945722-3-4

(Barbosa, 2010), (Cardim, 2008), (Carneiro, 2012), (Carvalho, 2012), (Faria, 2012), (Farias, 2007), (Mussolini, 2004), (Oliveira, 2008), (Richit, 2005), (Bierhalz, 2012), (D’Antonio, 2010), (Feldkercher, 2011), (Hallwass, 2010), (Lopes, 2009), (Osório, 2010), (Serres, 2010), (Sousa, OS, 2010), (Travassos, 2008)

2011), (Alencar, 2012), (Bagé, 2008), (Campos, 2007), (Cancian, 2001), (Costa,CHJ, 2006), (Costa,GLM, 2004) (Costa,RC,2010), (Marchi,2011), (Marin,2009), (Mazon, 2012), (Meconi Junior,2010), (Morgado, 2003), (Porto, 2010), (Richit, 2010), (Santana, 2011), (Santos, JA 2007), (Santos, 2009), (Silva,GHG, 2010), (Socolowski, 2004), (Souza, MF, 2010), (Souza, VSE, 2006), (Viol, 2010), (Zulatto, 2007), (Costa, 2010), (Marco, 2009), (Vianna, 2009), (Machado, 2012), (Brum, 2003), (Costa, 2003), (Purificação, 2005), (Caramori, 2009)

41 53 3

Fonte: autoras


ISBN 978-84-945722-3-4

Anexo 2: Referências das pesquisas

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CB-697

REPRESENTAÇÕES NUMÉRICAS: ESTRATÉGIAS DIDÁTICAS A PARTIR DE

UMA CONFIGURAÇÃO FORMADA POR PROFESSORES E TECNOLOGIAS

Gerson Pastre de Oliveira

[email protected]

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC/SP) – Brasil

Universidade Paulista (UNIP) – Brasil

Núcleo temático: Recursos para o ensino e aprendizagem das matemáticas

Modalidad: CB

Nivel educativo: Formação e atualização docente

Palabras clave: Educação Matemática, representações numéricas, tecnologias digitais,

teorema fundamental da aritmética

Resumo O presente trabalho relata uma investigação qualitativa que teve como sujeitos um grupo de

professores da educação básica pública, participantes de uma oficina cujos temas principais

foram a primalidade de inteiros positivos e o teorema fundamental da aritmética (TFA),

tópicos relevantes da teoria dos números, tratados sob diferentes perspectivas tecnológicas

e analisados sob uma proposta teórica ligada aos conceitos de transparência e opacidade

das representações numéricas e ao constructo seres-humanos-com-mídias. A sessão na qual

aconteceram as interações foi composta por duas atividades: na primeira delas, os

participantes deveriam indicar, a partir de uma representação específica, se determinado

número inteiro positivo seria primo ou não; na segunda, os professores utilizaram uma

aplicação tecnológica digital para determinar quais números de uma relação aleatória

seriam primos. As análises indicaram que os participantes apresentaram dificuldades na

mobilização do conhecimento relativo ao TFA, o que os levou a adotar estratégias de alto

custo cognitivo e a cometer erros; da mesma forma, os dados indicaram que semelhantes

percalços foram superados a partir da proposta didática planejada a partir de uma

configuração de seres-humanos-com-tecnologias.

Introdução

Este trabalho descreve uma pesquisa que teve como participantes um grupo de professores do ensino básico

de escolas públicas, envolvidos no projeto “Tecnologias e educação matemática: investigações sobre a

fluência em dispositivos, ferramentas, artefatos e interfaces”, realizado na Pontifícia Universidade Católica de

São Paulo26. Nas atividades propostas, os docentes deveriam identificar se determinados números eram

primos, em situações nas quais as regras de divisibilidade representavam uma estratégia pouco eficiente e

26 Este projeto recebeu apoio financeiro do CNPq e está ligado ao grupo de pesquisa PEA-

MAT (Processo de Ensino-Aprendizagem em Matemática) do Programa de Estudos Pós-

Graduados em Educação Matemática da PUC/SP.



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que o conhecimento acerca do Teorema Fundamental da Aritmética (TFA) seria importante. Por meio dos

instrumentos utilizados, com distintas interfaces, procurou-se evidenciar as estratégias empregadas pelos

sujeitos, suas concepções acerca da representação de números naturais e a influência do tipo de tecnologia

na mobilização dos conhecimentos matemáticos, com base no tratamento teórico que segue.

Representações numéricas e o uso de tecnologias em Educação Matemática

Um dos conceitos centrais considerado nesta investigação se refere à transparência e à

opacidade das representações numéricas. Neste sentido, o estudo de Zazkis e Liljedahl (2004)

menciona o papel das representações no âmbito dos números naturais. Em seu trabalho, os

autores discutiram os dados obtidos a partir de uma investigação também realizada com

professores de ensino fundamental, com foco na compreensão dos mesmos acerca dos

números primos, de modo a detectar os fatores que influenciam este entendimento. A

argumentação empregada nas análises dos dados coletados é que a falta de transparência da

representação dos números primos seria um obstáculo à sua compreensão. Esta ideia é

apropriada a partir do trabalho de Lesh, Behr e Post (1987). Referindo-se à múltiplas

representações dos números racionais, os autores indicam que as mesmas “incorporam” as

estruturas matemáticas, no sentido de que as representam em termos materiais. Desta forma,

os sistemas representacionais podem ser vistos como opacos ou transparentes: uma

representação transparente teria nem mais, nem menos significado do que as ideias ou

estruturas que representa, enquanto uma representação opaca enfatiza alguns aspectos das

ideias ou estruturas e esconde outros. De posse de variadas possibilidades representacionais,

caberia a uma estratégia didática, por exemplo, capitalizar os pontos fortes de um

determinado sistema representacional e minimizar suas fraquezas. A partir da proposta de

Lesh, Behr e Post (1987), Zazkis e Gadowsky (2001) introduzem a noção de transparência e

opacidade relativas, focando as representações numéricas. As autoras sugerem, em seu

trabalho, que todas as representações relativas aos números são opacas, justamente no sentido

em que, de alguma forma, sempre escondem algumas características, embora possam revelar

outras, em relação às quais podem ser transparentes. Este trabalho, então, apresenta

resultados relativos às atividades que os sujeitos foram convidados a realizar, as quais

envolviam questões relativas às representações numéricas e que foram propostas a partir de

interfaces distintas, com o destaque para o emprego de tecnologias de variada natureza. Por

isso, a perspectiva assumida nesta pesquisa procura compreender o uso de tecnologias na


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construção do conhecimento matemático sem dissociação em relação às pessoas que as

empregam. Neste cenário, as tecnologias não devem ser vistas como substitutas das

capacidades humanas, nem mesmo suplementando as mesmas. Como alternativa,

Tikhomirov (1981) propõe que as tecnologias informáticas reorganizam o pensamento

humano. O autor propugna que o uso de aplicações computacionais permite formas de

mediação inusitadas, delegando ao computador o papel de ferramenta da atividade mental

humana, detentor de funções semelhantes àquelas levadas à efeito pela linguagem na lógica

vygotskiniana. Neste sentido, a aprendizagem em Matemática é um processo que envolve

tecnologias de certa forma integradas às pessoas, o que permite que intencionalidades,

estratégias, planejamentos e vontades entrem em jogo. Para Borba e Villarreal (2005), esta

integração deve ser de tal ordem que exclua qualquer tentativa de enxergar pessoas e

tecnologias como conjuntos separados. Para estes autores, o conhecimento matemático é

constituído a partir de coletivos de seres-humanos-com-mídias, considerando que as mídias

reorganizam o pensamento das pessoas e que a presença de distintas tecnologias condiciona

a produção de diferentes formas de conhecimento. Assim, no trabalho que aqui se relata, as

atividades descritas procuraram investigar a compreensão, por parte de um grupo de

professores, de representações numéricas relativas aos números primos e ao TFA, tendo por

base a mobilização destas pessoas-com-tecnologias em momentos distintos, com mídias

diversas.

Aportes metodológicos

Os participantes desta investigação são oito professores do Ensino Básico de escolas públicas

dos estados de São Paulo (seis) e do Pará (dois), todos voluntários de oficinas realizadas no

âmbito do projeto de pesquisa já mencionado. A investigação, aqui descrita parcialmente, foi

realizada na PUC/SP, em uma única sessão, com aproximadamente quatro horas de duração.

Dentre os sujeitos assim descritos, cinco atuam no Ensino Fundamental e Médio e três apenas

no Fundamental. Além disso, todos concluíram licenciatura em Matemática, sendo que três

cursavam Mestrado Acadêmico em Educação Matemática e dois haviam concluído

especializações em Educação Matemática. A pesquisa empregou 2 tipos de atividades

envolvendo o conhecimento sobre primalidade no âmbito da Teoria dos Números. A primeira

atividade trazia uma questão cujo enunciado era o seguinte: “Considere F = 151 x 157. F é


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um número primo? Indique SIM ou NÃO e explique sua decisão” (Zazkis & Liljedahl, 2004).

Para esta questão, os estudantes deveriam anotar, como resposta, a alternativa “Não”, uma

vez que a representação indicada, com características transparentes, indica que F é composto.

Os estudantes poderiam recorrer ao TFA para concluírem que decomposição exibida é única.

A segunda atividade foi realizada imediatamente em seguida da primeira: os oito professores

tinham diante de si uma tela do Geogebra contendo apenas um botão cujo rótulo trazia a

palavra “Números”. Todos foram informados pelo pesquisador que a aplicação sortearia nove

números e que os mesmos apareceriam na janela de álgebra do software. Os participantes da

oficina deveriam indicar quais deles seriam primos e, neste meio tempo, não poderiam clicar

no botão que trazia a palavra “Coisa” como rótulo (Figura 1). O código em javascript que

efetivava o sorteio levou em conta a escolha aleatória entre números que, neste contexto,

seriam “grandes” (ímpares entre 1001 e 99999), ou seja, do ponto de vista teórico, as

representações providas pelo software seriam completamente opacas quanto à primalidade.

O objetivo consistia em restringir a aplicação direta das regras de divisibilidade e de

algoritmos de divisão pelos primeiros primos conhecidos, na maioria dos casos. Decorridos

20 minutos, os sujeitos eram convidados a clicar no botão “Coisa”. Após esta ação, a janela

de álgebra do Geogebra apresentava a decomposição de cada um dos 9 números em fatores

primos, na forma de listas. O título do botão poderia ser, então, “Decompor em fatores

primos”, mas isto poderia indicar que os professores eram obrigados a adotar esta estratégia,

o que comprometeria sua autonomia. Em seguida, os participantes eram convidados a rever

suas respostas em função dos novos dados, obtidos com o Geogebra. O botão “Apagar Listas”

poderia ser empregado para repetir a experiência inúmeras vezes.


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Figura 1. Aplicação do Geogebra para sortear números (desenvolvida pelo autor)

Análises

Logo no início da primeira atividade, Prof2, após tentar algumas operações de divisão com lápis

e papel, afirmou que o número em questão seria “provavelmente” primo. Estratégias semelhantes

foram usadas por outros quatro participantes, que também afirmaram, erroneamente, que o

número em questão seria primo. Nestes casos, alguns erros típicos, já verificados em Zazkis e

Liljedahl (2004), foram verificados (Quadro 1).

Prof3 faz inúmeras operações de divisão e termina afirmando que “23707 é primo, pois pode ser dividido por ele mesmo e por um”. Desta forma, indica

não perceber que este critério não distingue os números primos dos compostos.

Prof4, após diversas tentativas usando operações de divisão, concluiu que 23707 seria um número primo, pois “termina em 7, e 7 é primo”.

Para Prof5, como os testes de divisibilidade por 2, 3, 5, 7, 11 e 13 “falharam”, o número em questão seria primo – neste caso, o sujeito indica crer que

“a decomposição em fatores primos significa, na verdade, a decomposição em fatores primos pequenos” (Zazkis & Campbell, 1996, p. 215).

Na visão de Prof8, 23707 “é primo, pois o número é ímpar, não é divisível por sua raiz quadrada e nem por nenhum outro primo”. Prof8 limitou os

primos ao intervalo compreendido entre 2 e 13 e apresenta algumas confusões envolvendo os conceitos de números quadrados perfeitos e números

ímpares.

Quadro 1. Erros típicos relacionados à determinação da primalidade de 23707

A representação de F provida no enunciado da questão possui características transparentes

em relação à primalidade, já que apresenta o número por meio de sua decomposição única

em fatores primos, da forma indicada por Zazkis e Liljedahl, (2004). Entretanto, os

professores supramencionados não empregaram esta ideia, expressa no TFA, o que indica

que a representação numérica que possua características matemáticas que a tornam

transparentes pode permanecer opaca quando os conhecimentos relativos a elas não são

mobilizados pelos indivíduos. Os mesmos autores, além de Lesh, Behr e Post (1987) e Zazkis

e Gadowsky (2001), indicam que estratégias didáticas podem ser empregadas para a

construção de evidências que venham a fortalecer as características transparentes de

determinado sistema representacional. Os demais participantes indicaram corretamente que

F, o número candidato, não seria primo. Para Prof1, “F é divisível por 151 e 157, o que faz

com que não seja primo”. Os participantes Prof6 e Prof7 indicaram, de modo semelhante,

que F possuía outros divisores além dele próprio e 1, o que o desqualificaria como número

primo. Entretanto, nenhum dos três participantes que respondeu corretamente evidenciou o

emprego do TFA em suas conjecturas: questionados sobre a possibilidade de F possuir outros

divisores além dos mencionados, os três afirmaram que seria possível, mas que teriam que


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testar os números até determinado limite (para Prof1, até a raiz quadrada do número; para

Prof6 e Prof7, até a metade do número). Em relação à segunda atividade, realizada no

Geogebra, os participantes acessaram a aplicação que estava disponível nos computadores

do laboratório da instituição e sortearam 9 números. A partir deste momento, os professores

tiveram 20 minutos para indicar quais números seriam primos. A maioria dos participantes

alegou que o tempo era curto e que os números eram grandes demais. O pesquisador indicou

que os mesmos deveriam apresentar quantos resultados pudessem no tempo dado. Até este

momento, o aspecto tecnológico no conjunto professores-com-Geogebra não exercia grande

influência sobre a questão da transparência da representação numérica quanto à primalidade,

pois a interface do programa em questão se limitou a fornecer números aleatórios. Assim,

como os números sorteados eram potencialmente diferentes, a quantidade de resultados

corretos ou errados variou entre os sujeitos. Aqueles que tiveram números sorteados em

relação aos quais as regras de divisibilidade ou testes com fatores primos “pequenos” (entre

3 e 13) podiam ser aplicadas obtiveram maior número de acertos do que os colegas que

tiveram sorteados números como 31753 (113 x 281). Após o final do tempo dado, o

pesquisador passou a coordenar um debate com os participantes, cuja principal motivação foi

a de levantar as conjecturas e estratégias que os sujeitos haviam proposto. Nenhum dos

participantes indicou ter pensado em obter a fatoração dos números candidatos em primos,

de modo a usar o TFA. Após a discussão, o pesquisador indicou que os sujeitos podiam clicar

no botão “Coisa”, que mostraria, para cada número sorteado, a respectiva lista de fatores

primos componentes. Em seguida à ação de clicar no botão, os professores passaram a

interpretar os dados disponíveis (Figura 2).

Figura 2. Janela de álgebra do Geogebra: números e respectivos fatores primos


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Dispondo das listas fornecidas e dos números sorteados, os professores começaram a

procurar relações entre os componentes mencionados (ver diálogos do Quadro 2):

Prof6: – Professor, eu gostaria de rever minhas

respostas.

Pesquisador: – Sim, e por quê?

Prof6: – Porque percebi algo que não havia

visto antes... as listas... são fatores de cada

número...

Prof1: – Multiplicando os números que estão

nas listas, resulta os números sorteados,

certinho!

Prof4: – Verdade, mas tem casos em que

aparece um número só... estes números são

primos, pois só podemos multiplicar por um!

Prof1: – Multiplicando os números que estão

nas listas, resulta os números sorteados,

certinho!

Prof3: [não parecendo convencido] –

Professor, vou sortear os números de novo…

[após repetir o sorteio e a fatoração] – Puxa,

verdade! Os primos não têm fatores, só os

compostos.

Prof4: – Os fatores dos primos são ele mesmo e

o um...

Prof7: – Professor, estava pensando... No meu

caso, um dos números é 88739... A fatoração

aparece como 7, 7 e 1811. Podia escrever 49 e

1811, não?

Prof8: [depois de alguma discussão com os

demais] – Acho que pode aparecer o 49, mas 49

não é primo, e as listas mostram os fatores

primos dos números. A ideia é aparecer só os

fatores primos.

Prof4: – Tem razão. Qualquer número pode ser

escrito como um produto de fatores primos! É

isso! Nossa, a primeira questão era óbvia! Só

tem uma decomposição em primos para cada

número

Prof8: – É o teorema fundamental da

aritmética...

Quadro 2. Diálogos envolvendo os sujeitos da pesquisa e o pesquisador

Após estas observações, os sujeitos apontaram quais números eram primos e quais não eram,

repetindo os sorteios e todo o processo diversas vezes. Como apontam Borba e Villarreal

(2005), a visualização e a experimentação foram fatores importantes na nova estratégia

assumida pelos sujeitos a partir da configuração seres-humanos-com-Geogebra. Para estes

autores, tais elementos podem permitir, entre outras ações, por exemplo, investir na criação

de conjecturas acerca dos problemas em exame (e testá-las, por meio de inúmeros exemplos),

trazer à tona resultados que não eram conhecidos antes dos experimentos e testar maneiras

diversas de colher resultados. O acesso aos componentes visuais, na consolidação dos

resultados das ações perpetradas pelas pessoas-com-Geogebra, constituiu uma forma de

transformar a compreensão que detinham sobre os problemas em jogo. Outro elemento que

não pode ser desconsiderado na configuração professores-com-Geogebra é o dinamismo das

tecnologias digitais, aqui visto como a possibilidade de manipulação de parâmetros, atributos

ou valores que serviram à constituição e/ou definição de um constructo matemático em

contexto informatizado. Diante das possibilidades abertas por este recurso, um movimento

investigativo fundamental em matemática encontra subsídios consistentes, qual seja o

trabalho relacionado à elaboração, teste e validação (ou refutação) de conjecturas. Isto se viu

amplamente no experimento aqui descrito, quando os professores investiram, por meio da

experimentação e visualização, na repetição do processo, utilizando as regularidades

observadas nas fatorações como meio para apoiar a reorganização das ideias acerca da


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primalidade dos números apresentados. Todos estes fatores colaboraram para que o

conhecimento acerca do TFA fosse mobilizado na resolução do problema.


Na discussão que se seguiu à última atividade, os participantes declararam que, na atividade

1, não haviam percebido que a “forma” como o número estava escrito (sua representação)

permitia responder à pergunta diretamente, por meio do TFA. Após o transcurso das duas

etapas do experimento, para os professores, o número F não seria primo porque podia ser,

ele mesmo, representado em fatores primos. Em relação à atividade 2, os participantes

indicaram que os números não estavam em uma “forma conveniente” (representação

transparente), ou seja, eram “números grandes” que não estavam decompostos em fatores

primos. Os sujeitos mencionaram ter gasto os 20 minutos para tentar indicar quais eram os

primos, mas que, se dispusessem da representação adequada em fatores e se lembrassem do

TFA, teriam feito de forma muito mais ágil. Esta última característica foi percebida por eles

quando clicaram no segundo botão (Coisa), o que fez com que a decomposição dos números

em fatores primos surgisse. Na conclusão dos participantes, quando existissem outros fatores

que não apenas 1 e o próprio número (fatoração trivial), o número dado não seria primo. Os

professores destacaram a importância do conhecimento do TFA e do uso do Geogebra no

processo, indicando que esta seria uma boa forma de abordar o assunto em sala de aula. Neste

caso, a configuração de pessoas-com-Geogebra concorreu de forma mais eficiente para

direcionar o esforço de resolução do problema para uma trajetória cuja estratégia

representava maior possibilidade de êxito. Os diálogos mostram as renegociações de

significado, as reformulações conjecturais e elementos que indicam a reorganização do

pensamento. O fato de os professores perceberem que havia lhes faltado recuperar os

conceitos explicitados pelo TFA e de o fazerem espontaneamente após o uso da interface

disponibilizada, parece indicar que o emprego de estratégias didáticas com recursos providos

por tecnologias digitais pode ser um dos caminhos para o trabalho com temas desta natureza.

Neste aspecto, a configuração constituída por professores-com-Geogebra pareceu decisiva

para a construção de respostas corretas e para a mobilização do conhecimento matemático

pertinente.



ISBN 978-84-945722-3-4

Borba, M. C, & Villarreal, M. (2005). Humans-with-media and the reorganization of mathematical

thinking: Information and communication technologies, modelling, visualization and

experimentation. New York: Springer.

Lesh, R., Behr, M., & Post, T. (1987). Rational Number Relations and Proportions. In C. Janiver

(Ed.). Problems of Representations in the Teaching and Learning of Mathematics (pp. 41-58).

Hillsdale: Lawrence Erlbaum.

Tikhomirov, O. K. (1981). The psychological consequences of computerization. In Wertsch, J. V.

(Ed.). The concept of activity in soviet psychology (pp. 256–278). New York: M. E. Sharpe.

Zazkis, R., & Campbell. S. R. (1996). Prime decomposition: Understanding uniqueness. Journal of

Mathematical Behavior, 15, 207-218.

Zazkis, R., & Gadowsky, K. (2001). Attending to transparent features of opaque representations of

natural numbers. In Cuoco, A. (Ed.). NCTM 2001 Yearbook: The roles of representation in school

mathematics (pp. 41-52). Reston: NCTM.

Zazkis, R., & Liljedahl, P. (2004). Understanding primes: The role of representation. Journal for

Research in Mathematics Education, 35, 164-186.


ISBN 978-84-945722-3-4

CB-700

Los bloques lógicos en Educación Infantil y Primaria: Una experiencia didáctica en

Italia y España

Roberto Capone - Yasmín Moya López

[email protected] [email protected]

Università Degli Studi del Molise(Italia) - Florida Universitària (Valencia)

Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Modalidad: T

Nivel educativo: Inicial y Primario.

Palabras clave: Bloques lógicos, juego, variables, valores.

Resumen

El trabajo aquí expuesto responde a una unidad didáctica sobre el recurso matemático de

los bloques lógicos. La intención del mismo es ponerlo en práctica en el congreso a modo

taller con un grupo de 20-25 asistentes. Durante el desarrollo del taller se expondrá la

unidad didáctica, con especial atención a los diversos ejercicios, juegos y actividades que se

pueden realizar con este material, así como las diferentes modalidades de evaluación que se

han planteado.

El objetivo de dicho taller será promover entre los docentes y demás profesionales del mundo

de la educación la Renovación Pedagógica, y por ende, promover una enseñanza actica y

experimental, donde se demuestre que la motivación es esencial y el motor del aprendizaje.

Introducción

En el presente trabajo se expone una unidad didáctica sobre los bloques lógicos (Dienes et

al, 1976), la cual tiene su origen en una investigación sobre la importancia de trabajar las

matemáticas desde una metodología eminentemente práctica y manipulativa, y donde el

juego desarrolle un papel fundamental. Por ello, en esta unidad se emplea un método de

enseñanza-aprendizaje donde se fusionan las premisas de “aprender haciendo” (J.

Dewey,1995) y “aprender jugando”, así como simultáneamente los componentes lúdicos y

didácticos.

El propósito y finalidad de esta es comprobar como unos recursos adecuados y una

metodología activa son fundamentales para motivar al alumnado y lograr una mayor

predisposición al aprendizaje. Para ello, esta unidad didáctica ha sido puesto en práctica en

dos contextos y con dos públicos totalmente dispares: Una universidad italiana cuyo público




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eran estudiantes de Grado en Formación Primaria, y un colegio español donde los/as

protagonistas eran niños/as del 1er Ciclo de Educación Primaria. Las conclusiones obtenidos

en ambas experiencias fueron una participación y predisposición total a participar en las

distintas dinámicas, así como el disfrute e interés de ambos colectivos. Así, podemos afirmar

que la motivación es la clave del aprendizaje ( Novak, J. 2010). ; y para ello es fundamental

un cambio en la metodología y recursos tradicionales empleados en la enseñanza actual.

Historia y características

Los bloques lógicos son un material creado por Willian Hull en la mitad del siglo XX, sin

embargo fue Pal Zoltán Dienes quien primeramente los utilizó en Canadá y en Australia para

trabajar los procesos lógicos en el aprendizaje del matemática. En relación a sus

características, los bloques lógicos son un material de fácil manipulación compuesto de 48

piezas sólidas, generalmente de madera o de plástico (M.T. Cascallana, 1988).

Estas piezas son definidas por cuatro variables: Forma, color, tamaño y espesor. A su vez, a

cada una de ellas se le asignan diversos valores: forma: cuadrado (x12), círculo (x12),

triángulo, X12 y rectángulo (X12); color: rojo, azul, amarillo; tamaño: grande y pequeño;

espesor: grueso y delgado.

Utilidad

Los bloques lógicos representa un recursos didáctico muy útil para favorecer en los niños/as

el desarrollo de las competencias base del pensamiento matemáticos, como son la

observación, la comparación, la clasificación y la seriación (L. Jesu, R. Amada, 2015).

A su vez, favorecen el pensamiento lógico y la adquisición de conceptos matemáticos.

Este recurso matemático es especial interesante, en cuanto a que permite al alumnado

identificar y nombrar cada uno de los bloques; describir las piezas atendiendo a sus variables

y valores, clasificar las piezas atendiendo a uno o diversos criterios, comparar los bloques

identificando sus semejanzas y diferencias, realizar seriaciones atendiendo a las reglas dadas,

establecer la relación de pertenencia a conjuntos y trabajar los conectivos lógicos

(conjunción, negación, disyunción e implicación).

Marco teórico


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En el anexo 1 se expone una tabla donde se recogen los objetivos, contenidos y competencias

que se trabajan a través de este recurso matemático en el Segundo Ciclo Educación Infantil

y Primer Ciclo de Primaria.

Las fuentes de legislación son el Decreto 38/2008, de 28 de marzo, del Consell, por el que se

establece el currículo del segundo ciclo de la Educación Infantil en la Comunitat Valenciana

y el Decreto 111/2007, de 20 de julio, del Consell, por el que se establece el currículo de la

Educación Primaria en la Comunitat Valenciana. [2007/9730]

Metodología

En esta unidad didáctica se empleó una metodología eminentemente práctica, manipulativa

y experimental. Igualmente el juego desarrolló un papel muy importante, de modo que el

método de trabajo fue lúdico, pero sin olvidar nunca su objetivo didáctico. Simultáneamente,

el alumnado fue el protagonista de su propio aprendizaje mientras el/la docente representaba

un papel secundario en este proceso de enseñanza-aprendizaje, adquiriendo en tal modo el

rol de mediador. En este sentido, la función y finalidad principal del/a docente fue crear

situaciones de aprendizaje, guiar el procesos y ayudar a los niños/as cuando estos/as lo

precisaban, pero siempre con la intención de que fuesen ellos/as mismos/as quienes

aprendieran por medio del autodescubrimiento, la experimentación y la experiencia personal.

Del mismo modo, para favorecer un correcto aprendizaje se empleó la metodología prueba-

error. Gracias a este método heurístico para la obtención de conocimiento los niños/as

probaron alternativas y verificaron si funcionan. Si era así, obtenían una solución correcta.

En caso contrario-resultado erróneo - intentaban una alternativa diferente. Con esto lo que se

pretendía era no penalizar ni ridiculizar al alumnado por su error, sino hacerles conscientes

del mismo y aprovechar dicha equivocación para generar aprendizaje. En síntesis, con esta

metodología lo que pretendíamos era cumplir con las premisas "aprender haciendo” y

"aprender jugando”, y en consecuencia lograr un aprendizaje significativo (F. Diaz Barriga

Arceo, 2003)

Por otra parte, en lo que que concierna a la organización y los espacios, las actividades se

realizaron de manera individual, por parejas y/o en pequeños grupos. A su vez, las sesiones

se realizaron en el aula, pero podría haber sido en cualquier otro espacio, ya que no se era

necesario un lugar específico para realizarlas. Asimismo, en el desarrollo de esta unidad


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didáctica se emplearon numerosos recursos tecnológicos y aplicaciones informáticas, como

por ejemplo, la aplicación Decide Now para la obtención de los valores de la forma o Plickers

para la evaluación. De este modo se favoreció el empleo de las TICs desde edades tempranas,

fomentamos el uso de las nuevas tecnologías en la enseñanza y acercaremos a los niños/as a

la era tecnológica, de la que sin duda son protagonistas y miembros activos.

Por último, respecto a la atención a la diversidad es importante subrayar los siguientes

aspectos. En primer lugar, se respetó siempre las características y necesidades educativas y

personales de cada niño/a, de modo que se adaptó el ritmo de enseñanza - aprendizaje de

manera individual a cada niño y niña. En este sentido, el/la docente ofreció una atención más

individualizada al niño/a que lo precisaba, y al contrario, mayor autonomía e independencia

al resto. (J. Lave,E. Wenger, 1991).

Recurso real vs adaptación

En el anexo 3 se incluye una tabla comparativa con el propósito de mostrar las diferencias

presentes entre los bloques lógicos tradicionales y nuestra adaptación. Aunque es cierto que

estas son numerosas, aquí únicamente se exponen las más destacadas.

Juegos, ejercicios y actividades

En este apartado se describe brevemente la puesta en práctica de este recurso en ambos

contextos: Los estudiante de Grado en Magisterio de Educación Primaria de la Università

Degli Study del Molise (Italia) y el alumnado de 4º de Educación Infantil de un colegio en

España. La finalidad de esta puesta en práctica fue doble. Primeramente, mostrar a los futuros

maestros/as un recurso para trabajar las matemáticas desde una prospectiva lúdica,

manipulativa y vivencial, donde la motivación es una sin duda la clave del aprendizaje. Por

otra parte, el alumnado de Educación Infantil fue el objeto de estudio para valorar de manera

experiencial el funcionamiento de este recurso didáctico.

A continuación se describe las diversas opciones de juego, ejercicio y actividad que se

realizaron con los bloques lógicos. Previamente, aclarar dos aspectos. Primeramente,

comentar que los valores de las variables se determinaron de las siguientes maneras. La

forma, a través de la aplicación Decide Now; la dimensión mediante tarjetas; el color a través


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de una ruleta con los tres colores; y por último el grosor gracias a un dado. En todos estos

recursos siempre aparece los valores en positivo y en negativo.

En segundo lugar, que la elección del juego, ejercicio o actividad a realizó por parte del

alumnado. A este se le ofreció un libro donde aparecían todos ellos junto con su explicación

y una foto ilustrativa. El alumno/a eligió aquel que deseaba realizar.27

La primera opción se relaciona con el juego libre. Aquí el alumnado jugaba de manera libre

siguiendo sus propios gustos e intereses, sin ninguna norma o pauta. En este sentido, las

opciones de juego desarrolladas fueron varias: construcciones, dibujar la silueta de objetos

y/ elementos sobre el papel, juegos de simulación y objetos simbolizados (coche, árbol).

Seguidamente otra ejercicio llevado a cabo fue la descripción de un bloque. Este fue llevado

a cabo en parejas, de tal manera que uno de los miembros le entregaba un bloque lógico al

otro, y este/a lo describa respondiendo a las cuatro variables: forma, color, dimensión y

espesor. Si se equivoca será el/la otro/a alumno/a quien le corregirá. Del mismo modo, otra

modalidad de ejercicio realizado fue el conocido juego de las familias. Aquí el alumno/a

protagonista agrupaba los bloques teniendo en cuenta un criterio, por ejemplo la forma. Aquí

existían dos posibilidades, que fuese el/la docente quien le indicase el criterio y el

alumno/estudiante agrupaba los bloques, o que este/a último/a los agrupase y fuese el/la

docente quien preguntaba por el criterio seguido. Otro de los ejercicios desarrollados fue el

conocido escondido. En esta ocasión el/la docente cogía un bloque y lo escondía, y el

alumno/a indicaba cuál era la pieza que faltaba. Esta actividad, en el caso de los estudiantes

universitarios se realizó por parejas. Siguiendo con los ejercicios realizados, otro también

desarrollado en ambos contexto fue el de caminos. Este ejercicio fue puesto en prácticas en

diversas variantes, las cuales se describen a continuación.

La primera consistía en dibujar un camino con los bloques lógicos y que el/la alumno/a en

cuestión lo recorriese describiendo las distintas piezas. Si cometía un error empezaba de

nuevo. En la segunda opción el alumnado jugó en grupos reducidos, y consistió en construir

un camino siguiendo un criterio. Este ejercicio es muy similar al dominó. Un/a alumno/a

27 En el anexo 4 se adjunta un código QR con enlace directo al libro de actividades, juegos y ejercicios expuesto

a los niños/as. El propósito de este es facilitar su comprensión y ver ejemplo de los mismos.


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ponía una pieza y el/la compañero/a colocaba la pieza sucesiva de manera que guardase

relación con alguna variable, por ejemplo el color.

La última variable de este ejercicio fue muy similar a la anterior, pues se trataba de

construir un recorrido respondiendo a la variable y al valor que indicaba la docente o el/la

compañero/a. Ejemplo: cuadro amarillo. En esta ocasión se pudo aumentar la dificultad

añadiendo más criterios y valores. Ejemplo: cuadro, amarillo, pequeño y grueso. Siguiendo

con las actividades desarrolladas con los bloques lógicos, cabe mencionar también las series

y sucesiones. En estas la docente o un/a alumno/a colocaba diversos bloques lógicos

siguiendo uno o más criterios, y otro/a alumno/a indicaba de cuál se trataba. En este ejercicio

se trabajaron dos tipología de series, las abiertas y las cerradas. Si era abierta la pieza a

colocar ofrecía diversas posibilidades, por el contrario e la cerrada era una pieza determinada.

Casi llegando al final de las dinámicas desarrolladas encontramos una que despertó un

especial interés y motivación en los niños/as, la de construir una casa.

Esta actividad permitió diversas opciones en función de las variables que se querían indicar:

una, diversas o especificando la variable y el valor de cada uno de los bloques; aunque la

dinámica era siempre la misma. El alumnado construirá una casa respondiendo a uno o

diversos criterios o variables. Excepto la forma. Las casas se formaban de manera que, el

triángulo era el tejado, el cuadrado la fachada, el rectángulo la puerta y el círculo la ventana.

En este ejercicio es importante aclarar un aspecto, y son las indicaciones dadas al alumnado,

pues hay que tener en cuanta que hay excepciones que debemos tener en cuenta a la hora de

indicar las consignas (variables-valores) a seguir. Por ejemplo, el cuadrado de la fachada no

puede ser pequeño y el círculo de la ventana grande, ni tampoco el cuadrado de la fachada

pequeño y el rectángulo de la puerta grande. Para finalizar, el último juego que se realizó con

ambos colectivos fue el de intersección de conjuntos. Para este se colocaron los bloques

lógicos esparcidos en el suelo, y el alumnado jugó en parejas o tríos. La docente o un/a

alumno/a proponía dos valores, por ejemplo círculo y amarillo. Uno/a de los alumnos/as se

encargará de rodear con una tiza de color los círculos, mientras que el otro/a rodeará con una

tiza de otro color todos los bloques de color amarillo. El objetivo era que el alumnado

descubriese que hay bloques que pertenecen simultáneamente a ambos, y por tanto dichos

bloques cumplen ambos valores, es decir, son círculos amarillos.


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Evaluación

En esta unidad de aprendizaje se han realizado simultáneamente diversas evaluaciones y se

han empleados diversos instrumentos evaluativos en función del objetivo a evaluar.

El propósito ha sido no evaluar únicamente el nivel de consecución de los objetivos por parte

de los alumnos/as, sino a su vez valorar otros aspectos igual de importante.

A continuación se exponen las distintas evaluaciones, organizadas en función de quién las

desarrolla; docente o alumnado, qué instrumentos se emplean en cada una y cuál es su

finalidad. En el anexo 2 se adjunta un código QR con acceso a los diversos modelos y/o

ejemplos de las distintas evaluaciones: Evaluación del docente y Evaluación del alumnado.

El /la docente, como responsable del proceso de enseñanza-aprendizaje de su alumnado, es

importante que analizase su propia práctica docente a través de una valoración formativa.

Esta ha permitido conocer el desarrollo de la unidad de aprendizaje y valorar el desempeño

de su función. De este modo, ha podido estimar los puntos fuerte y débiles del proyecto y su

rol como docente, y en consecuencia realizar mejoras en actividades y prácticas futuras. Para

el análisis de la práctica docente distinguimos cuatro ámbitos: Materiales y recursos, atención

a la diversidad, alumnado y planificación de la programación didáctica (temporalidad,

organización, objetivos, contenidos, actividades, etc.). En cuanto a la evaluación del

alumnado, el propósito no ha sido únicamente comprobar si este a alcanzado la consecución

de los objetivos planteados y en qué grado, sino también valorar su nivel de diversión y

aprendizaje desde su propia opinión y perspectiva. Para ello se emplearán las siguientes

evaluaciones e instrumentos (J. Bonals, J., M. Sanchez-Cano, 2007): el cuaderno de

observación del/a docente. Gracias a este instrumento, y a través de la observación directa y

sistemática se recogió en él toda aquella información considerada importante para la

posterior evaluación individual de cada niño/a. Evaluación del aprendizaje y conocimiento

adquirido por el alumnado a través de APP: aquí empleamos la aplicación Plickers, donde se

plantearon una serie de preguntas conceptuales a los niños/as. De este modo, a través de esta

divertida app los niños/as realizaron un cuestionario a modo de juego, el mismo que nos

sirvió a nosotros, los/as docente, para valorar su nivel de aprendizaje. Evaluación del nivel

de diversión y aprendizaje del alumnado: este instrumento evaluativo permitió conocer cómo

individualmente los/as niños/as valoran su nivel de aprendizaje y diversión en la unidad


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didáctica. Evaluación final del alumnado: en ella se evaluó la consecución de los objetivos,

atendiendo a una serie de criterios y unos indicadores de estos.

Conclusiones

En este apartado se exponen las conclusiones de nuestra investigación sobre el empleo de los

bloques lógicos como material didáctico y su método de trabajo, las cuales han sido obtenidos

gracias a la puesta en práctica de esta secuencia de juegos, ejercicios y actividades en ambos

contextos. En primer lugar hemos concluido que, una metodología eminentemente práctica

y vivencial, donde las principios fundamentales son “aprender haciendo” y “aprender

jugando”; junto con el empleo de un recurso manipulativo, juegan un papel fundamental en

la predisposición de los niños/as a participar, trabajar y aprender. Esto se observa y traduce

en un aumento de la motivación, una actitud más favorable a generar nuevos conocimientos,

y por consiguiente un aprendizaje significativo. Seguidamente, otra de la conclusiones

obtenidas es que el empleo de recursos tecnológicos es un aliciente para el alumnado, quien

presenta una mayor atención y predisposición a realizar las tareas indicadas. Esto es debido

a que los niños/as y jóvenes han nacido en la era tecnológica, y estos recursos les resultan

más atrayentes que los tradicionales. Del mismo modo, las diversas actividades y juegos

permiten ser adaptadas a los distintos ritmos de aprendizaje, aumentado o disminuyendo su

grado de dificultad, lo cual es una apuesta por una educación inclusiva. Además la realización

de las distintas evaluaciones ha permitido obtener información muy significativa sobre el

aprendizaje del alumnado, su diversión y nuestro papel y rol como docentes; lo cual es la

mejor manera de valorar el éxito de la actividad y la consecución de los objetivos

conseguidos. Por todo lo dicho, podemos concluir que la motivación es la clave del

aprendizaje, y esto solo se consigue a través de una metodología activa, vivencial y lúdica a

la vez que didáctica. Donde el alumnado sea el protagonista de su propio proceso de

enseñanza-aprendizaje, mientras que el/la docente represente un papel secundario como rol

y mediador. Solo atendiendo a estas premisas obtendremos un aprendizaje significativo.


Bonals, J., & Sanchez-Cano, M. (2007). La evaluación psicopedagógica (No. 37.015. 3).

Graó,.

Cascallana, M. T. (1988). Regletas Cuisenaire. Dins: Iniciación a la matemática, Materiales

y recursos, 94-112.


ISBN 978-84-945722-3-4

Dewey, J. (1995). Democracia y educación: una introducción a la filosofía de la educación.

Ediciones Morata.

Dienes, Z. P., Golding, E. W., & Dotto, E. J. (1976). Lógica e jogos lógicos.

Díaz Barriga Arceo, F. (2003). Cognición situada y estrategias para el aprendizaje

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Egan, K. (1991). La comprensión de la realidad en la educación infantil y primaria (Vol.

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Jesus, L., & Amada, R. (2015). Juegos tradicionales como estrategia didáctica para

desarrollar la competencia de número y operaciones en niños (as) de cinco años.

Lave, J., & Wenger, E. (1991). Situated learning: Legitimate peripheral participation.

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https://itunes.apple.com/es/app/decide-now/id383718755?mt=8

Anexos

Anexo 1. Contenidos, objetivos y competencias trabajas en el Segundo Ciclo de Ed.

Infantil y Primero de Ed. Primaria

SEGUNDO CICLO DE EDUCACIÓN INFANTIL-CONTENIDOS Y OBJETIVOS POR ÁREAS DE CONOCIMIENTO

I. El conocimiento de sí mismo y la autonomía personal

Objetivos Contenidos

9. Tomar la iniciativa, planificar y secuenciar la

propia acción para resolver tareas sencillas y

problemas de la vida cotidiana, reconociendo sus

límites y posibilidades y buscando la colaboración

necesaria.

10. Desarrollar actitudes y hábitos de colaboración

y ayuda articulando su propio comportamiento con

las necesidades, demandas, requerimientos y

explicaciones de los demás.

Bloque 2. El juego y el movimiento

b) La coordinación y control de las habilidades

motrices de carácter fino y grueso. c) Las nociones

básicas de orientación en el espacio y en el tiempo. f)

La actitud de ayuda y colaboración con los

compañeros en los juegos y en la vida cotidiana.

II. El medio físico, natural, social y cultural


1. Adquirir a través de la relación con los demás una

progresiva autonomía personal.

6. Establecer relaciones con los adultos y con sus

iguales, que respondan a los sentimientos de afecto

que le expresan y ser capaces de respetar la

diversidad y desarrollar actitudes de ayuda y

colaboración

Conocer, representar y nombrar a partir de la

observación, descripción, manipulación y juego, los

objetos de la vida cotidiana con formas geométricas

planas: círculo, cuadrado, rectángulo y triángulo y

formas geométricas de volumen: esfera y cubo.

Bloque 1. Medio físico: relaciones y medidas a) Las propiedades y relaciones de objetos y

colecciones: – Color – Forma – Tamaño – Grosor –

Textura – Semejanzas y diferencias – Pertenencia y

no pertenencia. b) La agrupación de objetos en

colecciones atendiendo a sus propiedades y atributos.

c) El gusto por explorar objetos y por actividades que

impliquen poner en práctica conocimientos sobre las

relaciones entre objetos. d) El número cardinal y

ordinal. g) La resolución de problemas que impliquen

la aplicación de sencillas operaciones.

j) El conocimiento de formas geométricas planas y de

cuerpos geométricos. La adquisición de nociones

básicas de orientación y situación en el espacio

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12. Iniciarse en las habilidades numéricas básicas, la

noción de cantidad y la noción de orden de los

objetos.

PRIMER CICLO DE EDUCACIÓN PRIMARIA-CONTENIDOS Y OBJETIVOS POR ÁREAS DE

CONOCIMIENTO

Matemáticas


2. Reconocer situaciones de su medio habitual para

cuya comprensión o tratamiento se requieran

operaciones elementales de cálculo, formularlas

mediante formas sencillas de expresión matemática

o resolverlas utilizando los algoritmos

correspondientes, valorar el sentido de los resultados

y explicar oralmente y por escrito los procesos

seguidos.3. Apreciar el papel de las matemáticas en

la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el

valor de actitudes como la exploración de distintas

alternativas, la conveniencia de la precisión o la

perseverancia en la búsqueda de soluciones, y el

esfuerzo e interés por su aprendizaje.10. Resolver y

plantear problemas matemáticos usando un lenguaje

correcto y los procedimientos adecuados de cálculo,

medida, estimación y comprobación de resultados.

12. Emplear adecuadamente el lenguaje matemático

para identificar relaciones y conceptos aprendidos y

para comprender y nombrar otros nuevos.14.

Comprender la necesidad de la argumentación

mediante razonamientos lógicos en el estudio de las

Matemáticas.

Bloque 1. Números y operaciones

Números naturales-Cifras y números.

Operaciones- Operaciones con números

naturales: adición y sustracción-Resolución de

problemas que impliquen la realización de

cálculos, explicando oralmente el significado de

los datos, la situación planteada, el proceso

seguido y las soluciones obtenidas.

Bloque 2. La medida: estimación y cálculo de

magnitudes

Longitud, capacidad y peso- Comparación de

objetos según longitud, capacidad o peso, de

manera directa (sin mediciones).

Bloque 3. Geometría

La situación en el espacio – Localización

elemental de objetos en el espacio: dentro de,

fuera de, encima de, debajo de, a la derecha de,

a la izquierda de, entre, etc.

Formas planas y espaciales- Identificación de

figuras planas en objetos y ámbitos cotidianos:

triángulos, cuadriláteros, círculos y cuadrados.–

Descripción de las formas geométricas

utilizando el vocabulario geométrico básico.

Clasificación de figuras y cuerpos geométricos

con criterios elementales. – Formación de

figuras planas y cuerpos geométricos a partir de

otras por composición y descomposición.

Competencias comunes a ambos Ciclos: Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología CMCT, Competencia para Aprender a aprender CPAA y Competencia digital CD.

Anexo 2. Modelos y/o ejemplos de evaluación


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Anexo 3. Tabla comparativa entre bloques lógicos tradicionales y nuestra adaptación

de los bloques lógicos

Anexo 4. Libro de ejercicios, juegos y actividades con los bloques lógicos

VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA · 2018-10-25 · 4 VIII CONGRESO IBEROAMERICANO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA. LIBRO DE ACTAS. ISBN 978-84-945722-3-4 trabajo trataremos

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