Vigas Hiperestaticas Password Removed

8/20/2019 Vigas Hiperestaticas Password Removed

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.VIGAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS

.VIGAS CONTINUAS


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3/36

scriba aquí]

scriba aquí]


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[Escriba aquí]

I.- INTRODUCCION

El análisis de las deformaciones en vigas nos permite

limitar los descensos de las mismas, entregando seccionesadecuadas y por otra parte incorporar nuevas expresionespara resolver vigas hiperestáticas.

Una forma de enfocar la resolución de las vigashiperestáticas consiste en descomponer la viga inicial envarias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situaciónoriginal.

Las solicitaciones externas, cargas y reacciones, generancortante, momento y deformación, siendo válido elprincipio de descomposición de las vigas en vigas cuyasacciones sumen el mismo efecto.

Este principio puede ser aplicado a vigas hiperestáticas,tales como

Vigas biempotradas Vigas empotradaapoyadaVigas continuas

[Escriba aquí]


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scriba aquí]

VIGA EMPOTRADA EN AMBOS EXTREMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA

En el caso de viga empotrada en sus dos extremos, lacantidad de reacciones desconocidas supera a la deecuaciones que la estática dispone para el sistema. !araresolver las incógnitas es necesario disponer de otrasecuaciones basadas en las deformaciones.

"onsiderando que las pendientes de las tangentes tra#adasen los dos extremos es nula, se plantean las siguientesecuaciones

Σφ$% & Σφ' % &

!ara establecer las ecuaciones se descompone la viga dadaen tres vigas supuestas que en con(unto equivalgan a laviga inicial.

a. Viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.

b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el

extremo i#quierdo )*a+.

c. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el

extremo derecho )*b+.

.

i las pendientes de las tangentes tra#adas en los dosextremos son nulas, se igualan los valores de ángulo en losextremos de las tres vigas supuestas a cero.

Σφ$% &

scriba aquí]


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scriba aquí]

scriba aquí]


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qL2 12Me

qL224MMAX

[Escriba aquí]

q L-

*e L*eL & = −−/ 0E1 -E1

"omo la viga es sim2trica los momentos aplicados en

ambos extremos son iguales

*a % *b % *e

*eL+ *eL=0E1

qL-

/E1

Una ve# determinados los momentos de empotramiento, laviga puede ser anali#ada como un elemento isostático. edespe(a el momento de tramo, considerando la vigasimplemente apoyada con carga repartida uniformemente yun momento *e aplicado en cada extremo de la viga

3a = 3b =qL

*x=

qLx

qx

−

− *e

El momento máximo en una viga sim2trica se encuentra en

4%L5

* = qL L − q L − *e)L5+

qL qL qL* − −

)L5 +/

6 7

*)L5+

q L

= /

"omo la viga es sim2trica la flecha máxima se encuentra enel punto medio de la viga, es decir, 8max cuando 4% L5..Una forma de resolver es sumar las flechas en 4% L5 de lastres vigas supuestas en la descomposición anterior.

[Escriba aquí]

=


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[Escriba aquí]

La flecha cuando 4% L5 de una viga con carga

uniformemente repartida, ya calculada anteriormente, es9

[Escriba aquí]


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qL4 384EI YMAX

8*$4

:qL/

=-6/E1

e determina la flecha en 4% L5 de una viga con momentoaplicado en un extremo, en este e(emplo se plica elm2todo de viga con(ugada.

*; =*eL L

−*eL L 7 7 L

L 50E1 E1 -

*;L 5

*eL

=70E1

3eempla#ando el valor de *e se obtiene

*; =qL L

L 5 7 70E1

8L5

= *;L 5 =

qL/

7


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VIGA EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y SIMPLEMENTEAPOYADA EN EL OTRO, CON CARGA UNIFORMEMENTEDISTRIBUIDA.

En este caso de viga empotrada en uno de sus extremos, lacantidad de reacciones desconocidas tambi2n supera a lade ecuaciones de estática. !ara resolver las incógnitas esnecesario disponer de las ecuaciones basadas en lasdeformaciones.

"onsiderando que la pendiente de la tangente tra#ada en elextremo empotrado es nula, se plantea la ecuación9

φ$% &

e descompone la viga inicial en dos vigas supuestas que encon(unto equivalen a la viga inicial.


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo i#quierdo.

e iguala los valores de ángulo en el apoyo i#quierdo de lasdos vigas supuestas a cero.

Σφ$% &

q L- *eL& = −

/E1

-E1

*eL

=-E1

qL-

/E1


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qL28Me


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9qL2 128MMAX

!ara determinar el momento de tramo, se considera la vigasimplemente apoyada con carga repartida uniformemente yun momento *e aplicado en el extremo reempla#ando elempotramiento inicial.

Las reacciones se pueden determinar sumando lasreacciones de las vigas supuestas.

qL *e3a = + =

L

qL qL+

6

:qL=

6

3b =qL

−*e

=qL

− qL

=-qL

L 6 6

El momento es máximo cuando el cortante es nulo.

=x%&

:qL

6 − q.x = &

4 =:L6

*x =

:qLx

6

qx

−

− *e

* =:qL :L

−q

:L

− qL

*$46 6 6 6

: qL :qL qL* − −

*$40/ 76 6

>eformación de la viga,9

!ara determinar los valores máximos de pendiente yflecha, en este e(emplo, se aplica el m2todo de dobleintegración. !ara lo cual se establece la ecuación generalde momento y a su ve# la ecuación diferencial de laelástica.

*x =:qLx

−qL qx

6 6

=

−


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E1d y

=:qLx

−qL

−qx

dx 6 6


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15L 15L 2 4. 8 . 6L 2. 8

15L 225L2 192L 2

1ntegrando dos veces la ecuación se obtiene9

E1dy

dx

:qLx

=70

qLx

−6

qx-

−0

+ "7

E1.y

=

:qLx-

/6

qLx

−70

qx/

−/

+ "7x + "

eg?n la deformación de la viga, la pendiente es nula en el

extremo empotrado.

i 4%& " 7 %&

eg?n las condiciones de apoyo, la flecha es nula en losapoyos.

i 4%& o 4%L " %&!ara determinar la flecha máxima de la viga es necesarioprimero ubicar el punto en donde la tangente tra#ada pordicho punto sea de pendiente nula, por lo tanto se iguala laecuación de pendiente a cero

:qLx

qLx qx

-

− − = &

5 se factori#a por qx5

70 6

qx :Lx

L

0

qx

6 − − = &6 0

47%& punto de empotramiento

:Lx

L−

6 /

x− = &-

5@/

7:Lx − 0L − 6x = &

Ardenando la ecuación se tiene

− 6x + 7:Lx − 0L = &

4 =

4 =− 70


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15L 33L2 16

15L 33L2 16

4 = = &,:6L punto de flecha máxima.

4- = = 7,-L

punto fuera de la viga.


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1

qL4 qL4 EI YMAX 185EI 0005

e determina la flecha cuando 4 % &.:6L para obtener la deformación máxima de la viga.

:qL

qL8 = (&,:6L) − (

&,:6L)

−

q

(&,:6L)/

/6E1 70E1 /E1

-


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VIGA CONTINUA DE DOS TRAMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA.

En este caso de viga continua, la cantidad de reaccionesdesconocidas tambi2n supera a la de ecuaciones de

estática. e establece entonces ecuaciones basada en lasdeformaciones.El ángulo que genera la tangente tra#ada en un punto de lacurva de la lBnea elástica, medido hacia la i#quierda es deigual valor, pero de signo contrario que si se mide hacia laderecha.

φ'i #qu ierdo % φ'derecho por ángulos opuestos por el v2rtice

El momento de continuidad que se genera es en este casonuestra primera incógnita. !ara resolverla se separa la vigacontinua en dos tramos y 2stos a su ve#, se descomponenen dos vigas supuestas que en con(unto equivalen a la vigainicial.

C3$*A 7


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho.


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1

qL28Mb

C3$*A


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo i#quierdo.

e iguala los valores de ángulos a ambos lados del apoyo 'para determinar el momento de continuidad entre ambostramos.

Σφ'i#quierdo%Σφ'derecho

qL-

−/E1

*bL

-E1

qL-

= − +/E1*bL

-E1

*bL

-E1

qL-

= 5@E15L7E1

*b=-

qL

7

Una ve# determinado el momento de continuidad, se pudeanali#ar cada tramo de viga como elemento isostático. Elmomento máximo del primer tramo, se determinaconsiderando a ese tramo por separado como una vigasimplemente apoyada con carga uniformemente repartida yun momento *b aplicado en el extremo derecho de la viga.


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9qL2 128M !1

!ara determinar las reacciones en los apoyos se pueden

sumar las reacciones de las vigas supuestas en el tramo.

3a =qL *b

− =

L

qL qL−

6

3a =-qL6

qLi#quierdo *b +

L

qLi#quierdo qL +

6

3bi#quierdo=

:qL

6

"on las reacciones despe(adas se establece la ecuación general de momento para el primer tramo de la viga

-qLx qx

*x = −6

El momento es máximo cuando la cortante es nula.

=x% &

=x =

-qL

6

− qx = &

x =-L6

3eempla#ando el valor de x en la ecuación de momento se obtiene

* =-qL -L

−q -L -L

*$4 6 6 6 6

* =


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VIGA CONTINUA DE TRES TRAMOS CON CARGA

UNIFORMEMENTE REPARTIDA.

"onsiderando que las tangentes tra#adas en los apoyoscentrales generan ángulos iguales en el lado i#quierdo y enel lado derecho pero de signo contrario, por lo tanto sededuce que

φ'i#quierdo %φ'derecho por ángulos opuestos por el v2rtice

φ"i#quierdo %φ"derecho por ángulos opuestos por el v2rtice

e descompone la viga en sus tres tramos y 2stas a su ve#se descomponen en vigas que en con(unto equivalen a laviga inicial.

C3$*A 7


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el


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e"!re#$ %erec&$ 'Mb(.


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C3$*A


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo i#quierdo )*b+.

c. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo derecho )*c+.

C3$*A -


b. Viga simplemente apoyada con momento aplicado en el extremo i#quierdo )*c+.


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q)210Mb Mc M

e igualan los ángulos a ambos lados del apoyo ', por seropuestos por el v2rticeD y del mismo modo se procede en elapoyo "

Σφ'i#quierdo

%Σφ'derecho

qL-

−/E1

*bL

-E1

qL-

= − +/E1

*bL

+-E1

*cL

0E1

@E15L

*b

+-

*c= −0

qL-

/E1

Σφ"i#quierdo%Σφ"derecho

qL-

−/E1

*bL

−0E1

*cL

-E1

qL-

= − +/E1

*cL

-E1

@E15L

*b *c+ =

0 -qL

/

!or simetrBa9 *b % *c % *

* *+- 0

qL=

/

:*=0

qL

7

Una ve# determinados los momentos de continuidad *b y*c se puede anali#ar cada tramo por separado comoelemento isostático.

El momento máximo del primer tramo se determinaconsiderando a ese tramo como una viga simplementeapoyada con carga repartida uniformemente y un momento*b aplicado en el extremo derecho de la viga.

3a =qL *b

− = L

qL qL−

7&


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3a =/ qL

=qL

7& :

qL3b =

*b qL qL+ = +

L 7&


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2qL2 25M!1

3b =0qL7& =

-qL:

"on las reacciones despe(adas se establece la ecuación

general de momento para el tramo/ qL x qx

*x = −7&

El momento es máximo cuando el cortante es nulo.

=x =/qL

− qx = &7&

Lx =

:

3eempla#ando el valor de x en la ecuación general de

momento se obtiene

* =/qL L

−q L L

*$47& : : :

**$4 =/qL

:

/qL−

:&

!or simetrBa se deduce que este valor de momento máximotambi2n es válido para el tercer tramo es decir, *t7 % *t-.

!ara determinar el momento máximo del segundo tramo,se anali#a este tramo como una viga simplemente apoyadacon carga repartida uniformemente y un momento aplicadoen cada extremo.

3b =qL

+*b

−*c

derecho

3bderecho

3b

=

q

L

= 3c

L L

=qL

derechoi#quierdo

uevamente se establece la ecuación general de momento,

pero correspondiente al segundo tramo.

*x = −qL qLx qx7&

+ −


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qL240M!2

!or simetrBa el momento es máximo cuando 4%L5

q L qL L q L L*x = − + −

7&

*x = −qL qL qL7& / 6

+ −


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TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS.

!ara deducir el teorema de los tres momentos es necesarioconsiderar que al existir continuidad del elementoestructural se producen momentos flectores en los apoyosintermedios. "ada tramo de viga es afectado por su carga ypor los momentos de continuidad que se producen en susextremos.

!ara anali#ar el punto ' se consideran dos tramos continuosde la viga y los potenciales momentos de continuidad en losextremos.

En el apoyo ' se plantea entonces que

Σφ'i#quierdo% Σφ'derecho

qL- *aL *bL qL-

*bL *cL

7 − 7 −7 = − − −

/E10E1

-E1

/E1 -E1

0E1

*aL*bL *bL *cL qL- qL

-

7 + 7 + + = 7 + 0E1 -E1 -E1 0E1 /E1 /E1


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2

MaL1 2Mb. L1 L2 McL2 6 * +c1 +c2

3eempla#ando L5E1 por )módulo de flexibilidad+

* aλ7 +*bλ7 +

*bλ +*cλ =

qL7λ7

+ qLλ

5@0

0 - - 0 / /

$l amplificar la expresión 0 veces se tiene

qLλ qL λ *aλ7 + *bλ7 + *bλ + *cλ = 0 @

7 7 +

/

/ qL qL λ

*aλ7 +

*b.(λ

+ λ

)+ *cλ = 0 @

7λ7

+/

/

!or lo general en una viga continua el material y la secciónde la viga es el mismo a lo largo de ella, entonces laelasticidad y la inercia son constantes, por lo que elmódulo de flexibilidad está en función de la lu#, en otraspalabras

i E1% constante λ %L

3eempla#ando F %L en la ecuación se tiene

qL- qL- *aL + *b.(L + L

)+ *cL= 0 @ 7 +

7 7

qL-

/

qL-

/

3eempla#ando7

por Cc7 y/

por Cc se obtiene la

/ecuación de los tres momentos, conocido tambi2n como elteorema de "lapeyrón.9

iendo Cc7 y Cc ángulos que generan las cargas aplicadas ala viga en el tramo i#quierdo y derecho con respecto alapoyo central multiplicado por 0E1

El teorema de los tres momentos, tambi2n conocido comoteorema de "lapeyrón, se aplica sobre dos tramos de laviga, en donde se anali#an las cargas aplicadas en ella y losmomentos flectores en los apoyos, es decir, el teoremarelaciona tres momentos y dos regBmenes de carga de unaviga continua.

7


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qL28Mb

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CLAPEYRON.

VIGA CONTINUA DE DOS TRAMOS CON CARGAUNIFORMEMENTE REPARTIDA.

"omo la viga es de dos tramos se aplica directamente elteorema de "lapeyrón, reempla#ando los valores en laexpresión se determina el momento en el apoyo central.

*aL

+ *b.(L +L)+ *cL= 0 @ [Cc7 + Cc ]

7 7

En este caso el Cc7 al igual que Cc corresponde al ánguloen el apoyo central de la viga, producto la cargauniformemente repartida, y multiplicado por E1.

Cc7 = Cc=

qL-

/E1

.Ε 1 = qL-

/

3eempla#ando Cc7 y Cc en la ecuación se tiene

- -

&.L7 +*b.(L

+ L)+ &.L qL qL= 0 @ 7 +

/ /

- -

*b.(L

+ L )= qL7 + qL si L % L7

/ /7

*b L =qL

-

!ara determinar los momentos de tramo se deberá anali#arcada tramo como elemento isostático, es decir, como unaviga simplemente apoyada con una carga uniformementerepartida y con el momento de continuidad *b en elextremo, )E(emplo anali#ado en las páginas 7-7/+

7


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+c2L 2

2

qL28Mb


VIGA EMPOTRADO EN UN EXTREMO Y APOYADO EN ELOTRO CON CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA.

Esta viga anteriormente anali#ada, se puede resolvertambi2n por el teorema de "lapeyrón. !ara su aplicación,es importante considerar que este teorema relaciona tresmomentos y dos regBmenes de carga. Esta viga es de unsolo tramo y el momento en el empotramiento es laincógnita a resolverD para lo cual es necesario generar untramo ficticio en el extremo i#quierdo, quedando asB unaviga continua de dos tramos y el momento deempotramiento como incógnita en la ecuación.

*aL + *b.(L + L)

+ *cL = Cc7L7

"omo Cc7 corresponde al tramo ficticio, es nulo. *ientras

que Cc corresponde al ángulo que produce la cargauniformemente repartida en el tramo real, y multiplicadopor E1

- &.L + *b.(

L

+ L)+ &.L

qL= 0 @ & +

& & 7 7

/

*b.L7

qL-

= 7/

>espe(ada la incógnita )*omento de Empotramiento+ sepuede determinar el momento de tramo de la viga si seanali#a la viga como elemento isostático9 viga simplementeapoyada con carga uniformemente repartida con unmomento aplicado en el extremo generando el mismoefecto del empotramiento. )E(emplo anali#ado en laspáginas


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Mb2Ma


VIGA DE DOS TRAMOS EMPOTRADO EN UN EXTREMO CONCARGA PUNTUAL EN EL CENTRO DEL SEGUNDO TRAMO.

Esta viga a pesar de tener carga solamente en el segundotramo, la deformación se produce en toda la viga por lacondición de continuidad. Las dos incógnitas a resolver sonlos momentos de empotramiento y de continuidad, para locual es imprescindible plantear dos ecuaciones9La primera ecuación relaciona el tramo ficticio y el primertramoD y la segunda relaciona el primer tramo con elsegundo, quedando asB los momentos de empotramiento yde continuidad como incógnitas en las dos ecuaciones.

C3$*A &7

*oL + *

a.(L+ L

)+ *bL= 0 @[Cc

+Cc ]

& & 7 7 & 7

En este caso los t2rminos de carga Cc& y Cc7 son nulos, yaque el Cc& corresponde al tramo ficticio y Cc7 al primertramo que no tiene carga alguna.

&.L

+ *

a.(L+ L

) + *bL= 0 @ [& + &]

& & 7 7

* a.L7 + *bL7 = &


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Mb 3,L40

3,L280Ma

C3$*A 7

*aL

+ *b.(L + L)+ *cL = [Cc7 + Cc ]

En este caso el t2rmino de carga Cc corresponde al ángulo producido por una carga puntual, y multiplicado E1.

Cc =!L

!L

.Ε 1 =

70E1 70

*aL + *b.(L + L)+ &.L = 0 @ &+

!L

70

-!L

*aL + 0*bL =6

e reempla#a el valor de *a obtenida en la ecuación del

tramo &7

−*b

.L + 0*bL =-!L

6

-!L

− *bL + 0*bL =6

-!L

:*bL =6

i *a % *b5 entonces

8a despe(adas los momentos de empotramiento )*a+ y decontinuidad )*b+, se puede determinar el momento delsegundo tramo, anali#ando el tramo como una viga

7 7


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isostática con carga puntual )!+ en el centro y el momentode continuidad )*b+ aplicado en el extremo.


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$l igual que en los casos anteriores, para determinar lareacción en el apoyo ' se suma las reacciones de las dosvigas supuestas que se puede descomponer este tramo.

3b = -! + ! = -! + &! = -!/& /& /&

-!3c = −

/&

! −-!+ &!

+ = /&

7G!=

/&

El momento máximo se encuentra en el centro donde se encuentra la carga puntual.

* = −-!L

+-! L

*$4 /& /&

*

= −

-!L

+

-!L

*$4 /& 6&

**$4 =−0!L + -!L

6&


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1-,L80MMAX

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