Page 1
VIGAS CONT!NUAS EM HASTES DE PAREDES
DELGADAS - ESTUDO DA TORÇÃO
Ingrid Ilg
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORD~NAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE
JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.Sc.)
Aprovado por:
J Adolpho Polillo
Fernando Luiz Lobo Barbosa Carneiro
RIO DE JANEIRO, RJ. - BRASIL
OUTUBRO DE 1983
Page 2
ii
ILG, INGRID
Vigas Contínuas em Hastes de Paredes Delgadas - Estudo da
Torção (Rio de Janeiro), 1983.
X\! , 224 p. 29, 7 cm (COPPE-UFRJ, M. Se., Engenharia Civil,
1983)
Tese - Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE.
1. Linhas de Influência para Bimomentos em vigas contínuas,
I. COPPE/UFRJ II. Título (Série)
Page 3
iii
Meus sinceros agradecimentos á:
Adolpho Polillo, professor, chefe e amigo, cujo
incentivo me levou a lecionar na UFRJ e posteriormente ao cur
so de mestrado.
Sidney Santos, professor, orientador e in-
centivador.
Lobo Carneiro, professor e consultor.
Kollbrunner e Hajdin, pela atenção dispensada.
Page 4
lV
RESUMO
Trata-se de um trabalho dividido em VI Capítulos
que estuda a torção em hastes de paredes delgadas.
No Capítulo I foram conceituados os elementos ne
cessários ao desenvolvimento do trabalho: Bimomento e Torção
de Empenamento, Propriedades Setoriais de uma Seção.
No Capítulo II foi feito o estudo analítico do
Bimomento: o empenamento da Seção, tensões normais e tangen
ciais, a equação diferencial do Bimomento.
O Capítulo III apresenta a resolução de vigas
contínuas em hastes de paredes delgadas, através dos métodos
usuais da Hiperestática: método das forças e método dos deslo
camentos.
O Capítulo IV estuda o traçado das Linhas de ln
fluência em vigas contínuas sujeitas a carga de momento torçor
sendo os hiperestáticos, os Bimomentos.
No Capítulo V há um exemplo de determinação nume
rica das tensões em hastes de paredes delgadas.
O Capítulo VI relaciona as conlusões do estudo.
Em todos os Capítulos foram desenvolvidos vários
exemplos esclarecedores da matéria exposta.
Page 5
V
ABSTfül.CT
This is a thesis, divided in six Chapters, that
studies torsion in thin walled beams.
In Chapter I, the necessary concepts to the de
velopment of the thesis are exposed: Bimoment and warpihg torsion,
sectorial properties of a section.
In Chapter II, an analytical study of bimoment
is presented: the warping of a section, normal and shear stres
ses, the bimoment differential equation.
Chapter III shows the resolution of a thin walled
continuous beam through the usual hyperstatics methods:
method and displacement method.
force
Chapter IV studies the construction of bimoment
influence lines of continuous beams subjected to torsional mo
ment.
In Chapter V there is an example of
determination of tensions in thin walled beams.
numerical
Chapter VI relates the conclusions found in this
study.
In all Chapters, various examples were developed
in order to clarify the exposed subjects.
Page 6
vi
INDICE
CAPITULO I - CONCEITOS INICIAIS
I.l - Definição de uma Haste de Paredes Delgadas
I.2 - O Conceito de Bimomento e de Torção de
Empenamento .
I. 3 - Propriedades Setoriais de uma Seção -
Definições . . . . . . . .
I. 4 - Propriedades Setoriais de uma Seção -
Determinação . . . .
.
.
Pág.
1
1
3
. . . 7
. . . 13
CAPfTULO II - ESTUDO ANALfTICO DO BIMOMENTO . . . . . . 25
II.l - Hipóteses Simplificadoras . . . . . . . . . . . . 25
II.2 - O Empenamento da Seção 27
II~3 - Tensões Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II.4 - Tensões Tangenciais . . . . . . . . . . . . . . . 39
II.5 - Relação entre o Ãngulo de Rotação da·Haste
e o Carregamento Externo 45
Page 7
vii
II.6 - A Equação do Bimomento . . . . . . . . . . . . . 46
II.7 - Exemplo Resolvido . . . . . . . . . . . . . . .
CAPITULO III - RESOLUÇÃO DE VIGAS CONTINUAS EM HASTES
DE PAREDES DELGADAS
III.l - Introdução
III.2 - Método das Forças . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 - Exemplo Resolvido
III.4 - Método dos Deslocamentos
III.S - Exemplo Resolvido
56
62
62
64
73
93
108
CAPITULO IV - LINHAS DE INFLUtNCIA PARA BIMOMENTO . . . 112
IV.l - Linhas de Influência dos Hiperestáticos
IV.2 - Exemplos Numéricos
IV. 3 - Linhas de · Influência :das Seções
Intermediárias
IV. 4 - Exemplo Numérico .
112
138
183
184
IV.S - Observações Finais ....... , . . . . . . . 187
Page 8
viii
CAPITULO V - DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES . . . . . . . . . 192
CAP!TULO VI - CONCLUSÕES. . . . . . . . . . . . . . . . 203
APENDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
BIBLIOBRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Page 9
ix
NOTAÇOES
A = area da seçao transversal ] 1 2 i
B = bimomento concentrado i F 1 2]
e = coeficiente de transmiss.ão ] 1 °]
eh = cosseno hiperbólico
E módulo de elasticidade ou de deformação longitudinal
G =
It =
I z
I y
I = w
I = wy
I wz
E = 1
1
1 - v 2
módulo de deformação transversal - 2 jF1 J
G = E
2 (1 + V)
momento de inércia a torção j 14 1
momento de inércia da seçao transversal em
eixo z 1 14 1
momento de inércia da seçao transversal em
eixo y 1 14
1
momento de inércia setorial ] 1 6]
relação
relação
produto de inércia setorial em relação ao eixo y
produto de inércia setorial em relação ao eixo z
ao
ao
] 1 5]
J 1 5
J
Page 10
X
k = ~ - comprimento característico
El Iw
- l L j
= vao da haste ] L 1
= bimomento distribuído ] F L j
= momento torçor total por unidade de comprimento 1 F]
mv = momento torçor de Saint Venant por unidade de compri-
menta J F]
m = momento fletor distribuído 1 F] y
m z = momento fletor distribuído ] F j
m = momento torçor w de empenamento por unidade de comprime!!_
to 1 F 1
M = y
momento fletor cujo vetor representativo e paralelo ao
eixo y 1 F L 1
M = momento fletor cujo vetor representativo e paralelo ao z
eixo z IFLI
N = esforço normal J F 1
carga distribuída paralela ao eixo z
= carga distribuída paralelo ao eixo y
Page 11
xi
px = carga concentrada paralela ao eixo X J F J
p = carga concentrada paralela y
ao eixo y J F J
p = carga concentrada paralela ao eixo z J F J z
s = coordenada curvilínea J L J
sh = seno hiperbólico
Sw = momento estático setorial J L" 1
sy = momento estático da seçao transversal em relação ao
eixo y J L' 1
s = momento estático da seçao transveral em relação ao z
eixo z 1 La 1
t = espessura da seçao J L J
th = tangente hiperbólica
T = momento torçor total 1 FL 1
T momento torçor de Saint Venant J F L 1 V
Tw = momento torçor de empenamento J F L J
u empenamento 1 LJ
V = esforço cortante paralelo ao eixo y 1 F 1 y
Page 12
V z
w =
xii
esforço cortante paralelo ao eixo z \ F \
trabalho J F L J
Page 13
xiii
deformação, deslocamento J L J
E alongamento unitário J LO
J
rotação da haste J LO
J
rotação específica J L -1
J
y distorção J LO
J
À coeficiente de distribuição J LO
J
V coeficiente de Poisson J LO
J
coofderladé setoriàl
T tensão tangencial
tensão normal devida ao bimomento
X rigidez ao empenamento J F L 2 [
Page 14
xiv
APRESENTAÇÃO E JUSTIFICATl'VA
A IMPORTÂNCIA DO ESTUDO
· Há uma grande tendência em se adotar hastes de
paredes delgadas para. se obter a relação peso/resistência ideal
em termos econômicos.
Sob as mesmas condiçôes de carregamento, hastes
de paredes delgadas. comportam-se de maneira muito diferente das
hastes de paredes espessas. Urna haste de paredes delgadas sujeita
a torção tende a empenar. Geralmente adotam-se apoios, liga
çBes e enrigecedores para restringir o empenamento, resultando
dai deslocamentos e tensôes longitudinais, que por sua vez náo
têm efeito somente local, isto é, transferem-se a vãos adjace!lc
tes mesmo descarregados.
Com o desenvolvimento ocorrido nos perfis estru
turais, com a diminuição dos coeficientes de segurança, conseqüê!lc
eia do aprofundamento dos conhecimentos do comportamento estru
tural e das propriedades dos materiais, a irnportãncia da torção
nos projetos estruturais vem crescendo substancialmente nos Úl
timos anos, pois as tensBes e deforrnaçôes produzidas pela tor
çao são geralmente decis:ivas .no dimensionamento.
O OBJETIVO DO ESTUDO
Procuramos dar um caráter prático ao estudo, is
Page 15
XV
to e, além do desenvolvimento teórico puramente académico, indl
camos métodos práticos de cálculo para atender aos objetivos
dos engenheiros projetistas; talvez nor este motivo tenhamos si
do às vezes um pouco minuciosos.
Page 16
1
CAPÍTULO I
CONCEITOS INICIAIS
I.l - DEFINIÇÃO DE UMA HASTE DE PAREDES DELGADAS
De acordo com Zbirohowski-KÕscia:
Qualquer haste cujo momento de inércia principal
setorial seja diferente de zeroC 1 J.
De acordo com Vlassov:
Hastes que apresentam
t 1 --:::--d 10
sendo
t + espessura da parede
e d
L
d + dimensão característica da seçao
(altura ou largura)
L + comprimento da peça
l
10
C 1 ) Definição de momento de inércia principal setorial (veja pág. 9).
Page 17
2
De acordo com Kollb_runner:
Hastes com eixo reto ou curvo cuja seçao trans
versal contêm elementos de espessura pequena em relação as
suas dimensões características (altura e largura)
De acordo com sugestão de Zhi rohowski-KÕs eia:
Quando -1
k > 1,0 pol = 2,54
ser considerada de paredes espessas.
Quando -j
k < O, 5 pol · = 1,27
de ser considerada de paredes delgadas.
- 1 cm
-1 cm
a haste pode
a haste terá
Quando 1,0 > k > 0,5 -1 - l ou 2 ,54 cm >k >l,27 cm
a haste poderá ser de parede espessa ou delgada.
sendo
k =
o'tomprimento característicd'da h~ste.
De acordo com T. H. G. Megson:
t max
h
:, O , 1
Page 18
3
sendo:
t espessura máxima da seçao. max
Os valores de b estão indicados nas figuras
abaixo:
I I[ b b
1 1 1 b b
FIG I.1
I.2 - O CONCEITO DE BIMOMENTO E DA TORÇÃO DE EMPENAMENTO
Examinemos urr perfil I sujeito aos carregamentos
indicados nas figuras:
p~p--d-
1
I 1 I 1
1 1
FIG I.2
M r'\
FIG I.3
Page 19
4
Analisadas pela teoria das hastes de paredes es
pessas os perfis não apresentariam nem empenamentos nem tensões
internas (.pois a resultante do carregamento, num e noutro caso,
é nula).
O aparecimento de distorçôes e tensôes internas
nao se explica pelo efeito de tens8es locais na vizinhança dos
oontos de aplicação. das forças externas pois, se assim fosse,.
elas desapareceriam numa pequena distância deste ponto de apll
caçao.
Para explicaçâo do fenómeno V lasov introduziu
dois novos tipos de "esforços" denominados ''torção de empenameE:
to ·rw" e "Bimomento B", além de novas propriedades geomêtrl
cas da seção transversal denominadas: coordenada setorial W,
momento estático setorial Sw, momento de inércia setorial Iw, produtos
de inércia setorial I wy e I · , que serão definidas adiante. wz
Analisemos um perfil I com uma extremidade livre
e outra engastada sujeito a um momento torçor T;
fl G I.4
Page 20
5
+
------ "'-}1P --1 I
\__, -JJ- u V T Tv Tw
FIG I.5
A seçao I submetida a açao do momento torçor T
ficará distorcida. Esta distorção e a soma de dois efeitos:
1 9 Efeito: Tanto as mesas quanto a alma sofreram uma rotação
29 Efeito:
ip em relação a seus centros de gravidade. !: a defor
,maçao causada pela torção de Saint Venant Tv;
Cada mesa sofreu um deslocamento ~- !: a deformação
causada por uma torção associada a uma "flexão", que
V lasov denominou torção ªdeª empenamento T . w
A torção total T sofrida pela seçao seria então a soma dessas
torç6es parciais Tv e Tw
Esta torção de empenamento provoca o efeito equl
Page 21
6
valente ao da açao de um par de momentos de flexão iguais mas
de sentidos opostos atuando em dois planos paralelos. 6 o cha
mado Bimomento B. Seu valor numérico é dado pelo produto da
distância entre esses dois plano pelo momento em um dos planos.
Sua dimensão é pois JFL 2 J.
Sua representação física seria a da figura:
M n
FIG I.6
-M r\
h
No Capítulo II desenvolveremos
esses conceitos.
B = Mh
matematicamente
Convém salientar que os efeitos de bimomento, to~
çao de empenamento e da torção de Saint Venant podem estar pre
sentes numa haste de paredes delgadas mesmo quando não houver
a solicitação externa de um momento torçor (como nos exemplos
das Figuras I. 2 e I. 3) .
Page 22
7
I.3 - PROPRIEDADES SETORIAIS DE UMA SEÇÃO - DEFINIC,:ÕES
I.3.1 - Coordenada Setorial w
h
X
FIG I.7 z ""'.
p
/
/ /
A coordenada setorial do ponto S medida a partir
do polo P e com raio inicial PO sera:
sendo:
r h (s) ds o
h . , • a distância entre o polo P e a tangente a curva
no ponto S
ds .•. elemento da curva média
Observemos que:
média
a) POS abrange uma area de valor íl e a coordenada setorial w
Page 23
8
e numericamente igual ao dobro desta area
b) w tem pois a dimensão de uma area
[ w J = L2
Sinal de w
quando o ângulo OPS é medido a partir de PO no sentido
hofirio, w sera positivo.
-Seja a seçao transversal de uma haste de paredes
delgadas:
X
·Y
FIG I.8
Page 24
9
I.3.2 - Momento Estático Setorial S -----·-----------w
A partir de um polo P e de um raio inicial PO
e definido pela expressão:
t w dA
sendo A a areada seçao transversal,
I. 3. 3 - Produtos de Inércia Setoriais I e I -------------------,wz wy
I.3.3.1 - Em Relação ao Eixo z
t y W' d A
I.3.3.2 - Em Relação ao Eixo y
i z w d A 'A
I. 3. 4 - Momento de Inércia Se·toYial I -----------------w
Iw t w2
d A
Page 25
10
I.3.5 - Coordenadas Básicas
Coordenadas básicas de uma seçao transversal sao
aquelas para:
eixos quaisquer,
polo P qualquer e
raio inicial qualquer.
Neste caso teremos, além das grandezas Sw, Iwz'
I · I aquelas J0
á conhecidas da geometria das massas que wy' w'
sao:
e
e I z
(momentos estáticos em relação aos eixos
respectivamente);
(momentos de inércia em relação aos eixos
respectivamente);
y
y
e z
e z
(produto de inércia em relação aos eixos y e z).
perfazendo um total de 9(nove) grandezas que caracterizam a se
çao.
Page 26
11
I. 3. 6 - Coordenadas Normalizadas de Uma Seção Transversal
São obtidas quando os eixos
baricêntricos, o polo· P é qualquer e o
s = º· w
y e
raio
z sao eixos
PO e tal que
Neste caso teremos 6 grandezas a caracterizar a
seçao, que sao:
I wy
I w
I wz I yz
I z
uois as outras serao iguais a zero.
s ú)
= s z o
I. 3. 7 - Coordenadas Principais de Uma Seçao Transversal
São obtidas quando os eixos y e
baricêntricos principais de inércia, o polo P
cisalhamento e o raio PO é tal que Sw = O.
z sao eixos
e o centro de
Neste caso teremos 3 grandezas a caracterizar a
seçao, que sao:
Page 27
I w
12
pois serao nulas as outras grandezas:
= =
I.3.8 - Centro de Cisalhamento
= I - I = O wz yz
Para determinarmos o centro de gravidade da se
çao, anulamos os momentos estáticos, isto é:
o
Para determinarmos a direção dos eixos
pais de inércia anulamos o produto de inércia, isto é:
o
princi-
De maneira análog·a, para determinarmos o centro
de cisalhamento, anulamos os produtos de inércia.setoriais, ou
seja:
Page 28
13
o
= o
o raio inicial principal será determinado anulando-se o momento
estático setoriil, isto;;
s o w
As coordenadas do centro de cisalhamento serão:
= I wz I wy
O · centro de cisalhamento sera o ponto em torno do qual
girará a seçao quando sujeita a um momento torçor.
I. 4 - DETERMINAÇÃO DAS PROPRIEDADES SETORIAIS DE ID1
LI 6" x 2"
FIG I.9
X
s;t
23,1 __)gf/m
-! -13,8
N11--,---,,---~ y I{)
,J4,2
z 57,9
PERFIL
Page 29
14
Dados fornecidos pela tabela da Companhia Side
rúrgica Nacional:
Área= 29,4 cm 2
815 cm 4
= 52,4 cm 4
Largura das mesas tf
152,4 X 14,2 2164 mm 2
(5 7, 9 - 14, 2) tf X 2 2940 - 2164 = 776 tf = 8 ,9 mm
Perfil Simplificado
8,9~
t4,2 .-------'-------, J_ r - - - - - - - - - -:,
: i 1 1- 1 50,8
1 1 LL LL
1 ll!3,5 l
FIG I.10
Page 30
15
I. 4 .1 - Obtenção do Diagrama dos wG: (auxiliar)
Para polo tomaremos o centro de gravidade e o
raio inicial sera Pl.
Calculando as coordenadas setoriais nos
1, 2, 3, 4 e 5 da seção obtemos:
2 143,5
2
X ( 13, 8 - 7, 1) =
2
480,7mm 2 =
pontos
+ 50,8 X 143,5
2
= 480, 7 + 3644, 9 = 4125,6 nnn2 = -w 5
o
4 + 2
P"CG +
5 3
FIG I.11
· I. 4. 2 - Coordenadas do Centro de Cisalhamento
Conforme ji sabemos as expressoes das coordena-
Page 31
16
das sao as seguintes:
= e =
sendo
e
z
Obtenção das Integrais·
Diagrama dos y:
- 4 2 -
z +-__;::t:-----+----71'---
+ + 3 5
y
FIG I.12
Page 32
Cálculo de
17
= - (13,8 - 7,1) = -6,7 mm
= + (50,8 - 6,7) = + 44,l mm
Diagrama dos Z:
z--1----l------;:---
=
l y WG d s s
+
= +
y
FIG I.13
143, 5
2
=
3
+ 71 "S;; 72nnn=-Z =-Z '' 2 3
Conforme podemos observar o valor desta integral
será nulo resultando dai
to ser y eixo de simetria.
Z = O o que já era previsível, vis o
Page 33
y
~6,7
+44,1 v 4
6,7 1 - j
4 1 2
6,7~ 3
44,1
z
1 + 1 71,8
5 50,8 4
71,8~ 4 1 -71,8
l -1
71, 8
2 50,8 3
18
rs-=--3J -480,7 412~
d 480,7
[S-71 2 480,7
480,7 ~ 4125,6 2 3
Cálculo de
WG
5 4
4125,6 v480.7
~480,7
480,7
480,7d 41°25,6
2 3
t
8, 9
14,2 o
8,9 +fl
ds:
t f z w s G ds
8,9 -8,9xlx 50,8x71,8(4125,6_+48Q,7 2
= -747,65 cm 5
14 ,2 -14, 2x lx71,8x480,7xl43,5, 3
1 = 234,4 cm 5
8,9 -747,7 cm5
- 1729,8 cm 5
Page 34
19
Achamos para o valor da integral -1729,8 cm 5 resultando daí
-1729,8 cm 5
= - 2,12 cm
815 cm'
I. 4. 3 - Diagrama dos w :
Neste caso o polo e o centro de cisalhamento.
Distância entre o polo e o ponto inicial 1 (raio
inicial Pl)
21.; 2 13,8 + 7,1 = 14,5 mm
FIG I.14
""-----' 5 +
"'-----1 3
Calculando as coordenadas setoriais nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5
achamos:
= o
= 143,5
2 14,5 = - l O 4 O , 4 mm2 =
Page 35
(2x)
(Zx)
+2604
143,5 w2
+ 50,8 X~~~
2
Cálculo de
w t
~41040 14,2
. 143, 5
2
vl040 8,9 +
20
- 1040,4 + 3644,9 +2604, 5 mm2 = -w5
I = w f w2 t d s
s
Iw
1 143 '5 X 14 2 = 734,7 cm6 = 2 X-X 1040 X 1040 X ' 3 2
= Zx~ /1040 2 +2604 2 -1040x2604,50,8x8,9=155.3/5 cm6
1 1
I = 2288, 2 cm6
w
NOTA: Na Bibliografia J 101 estão indicados os valores dessas
propriedades geométricas para os perfis correntes.
I.4.4 - Determinação de s w w dA
Vide Figura I.15.
Page 36
21
p
b CG
FIG I.15
Na seçao em estudo temos:
a = 14,S mm
b = 50,8 mm
h = 143,S mm
tf = 8,9 mm
t 14, 2 mm w
A expressão da coordenada setorial para a seçao
s1 sera:
Page 37
= - a h
2
22
+ (b - z ') h . h
= (b - a - z ') =
2 2
143, 5 e = 50, 8 - 14, 5 - z ') = 2604,,5-
2
O elemento de area sera:
dA = = 8,9 d z'
a expressao dó momento estático setorial para a seçao s1
b b rt Í (2604,5 - 71,75 z') 8,9 dZ' = f 23180 dz'-;, 638,6 Jo o o
= 23180 X Z' 638,6 z.' 2
2
Nas seçoes A e D teremos Z' =O, como
seqüência
= = o
Nas seçoes B e C teremos z' b 50,8
Page 38
23
SwB = SWC = 23180 X 50,8 - 319,3 X 50,8 2 = 353545,6 mm"
= 35,4 cm"
A expressão da coordenada setorial para a seçao
s2 sera:
. h w
2 = - (~- - y') a - 14,5 (_!43,S - y')
2
= -1040,4, + 14,S y'
2
Sendo o elemento de area
dA = 14,2 dy'
A expressao do momento estático setorial para a
seçao s2 será:
Sw = S +J w dA = 353545,6 + 2 wG A . J
h/2 . ·
0
(14,5 y' -1040,4) 14,2 dy'
Jh/2 JW2 •
20s ,9 y' dy' - 14773,7dy'=35354S,6a-2os,9 L -14773,7 y' o o 2
Obtenção dos pontos máximos da curva s : w
Page 39
24
Derivando e igualando a zero vem:
23180 638,6 z' = O
swA' = 23180 x 36,3 - ~ 38 • 6 x 36,3 2
2
z' = 36,30 mm
420695 mm 4 = 42,1 cm 4
SwB' = 353545,6 + 103 (71,75) 2 - 14773,7 x 71,75 = -176211-mm'
= -17,6 cm'
8 B' e
136,3 /1.
D A--r
FIG I.16
Page 40
25
CAPITULO II
ESTUDO ANALITICO DO BIMOMENTO
II.l - HIPÕTESES SIMPLIFICADORAS
A teoria de Vlasov baseia-se em três
simplificadoras:
1~ Hipótese:
hipóteses
A forma do perfil da seçao transversal permanece
inalterada sob a ação do carregamento externo. Isto e, o per-
fil pode sofrer uma rotação ou uma translação em relação a pos~
çao inicial sob a açao de um carregamento externo, porém a p~
sição relativa de seus pontos permanecera inalterada no plano
yz (mas não ao longo do eixo longitudinal x) (Veja Figura II.3).
Esta hipótese justifica-se desde que as deforma
çoes nao sejam exageradas, isto é, desde que a seção transver
sal seja suficientemente rígida para absorver tensões transver
sais sem apresentar deformações substanciais. Nem sempre é es
te o caso das hastes de paredes delgadas; deverão então ser es
tudadas por outro método em que seja levada em consideração a
deformação da seção transversal. Os perfis laminados em geral
apresentam uma grande rigidez transversal, satisfazendo nortan
to esta hipótese.
Page 41
26
2ª . -, Hipotese:
A distorção na superfície média da haste e despr~
zível.
Trata-se de uma generalização da hioótese de
Bernouilli (as seções se mantêm planas após as deformações)
sobre a qual esti desenvolvida a teoria clissica de flexão de
vigas (a deformabilidade por cortante é desprezada).
Isto significa dizer que as tensões de cisalha-
mento oriundas da torção de Saint Venant distribuem-se anti
metricamente em relação à linha média da haste.
-! . ______.. -l
1 T
T T
t - -- --i <---
T Fip:ura II .1 Figura II.2
Conforme se sabe da Resistência dos Materiais,
T = G y
na linha média, como Y. = ·o, T. = Ü,
Page 42
27
3ª . -. Hipotese:
Um elemento linear perpendicular ã suoerfície me
dia da haste, após a deformação da mesnia, permanece reto e pe_:i::
pendicular ã superfície média deformada, não apresentando alte
ração de comprimento. •
Esta ê a hipótese de Kirchhoff usual na Teoria de
Placas, e ê justificada pelo fato de as espessuras das hastes
de paredes del,.adas serem pequenas, tanto em relação às dimensões
da seção transversal, quanto ao comprimento da haste.
II.2 - O EMPENAMENTO DA SEr:Ao
Eixos considerados:
y
Figura II.3
X
y e z eixos baricêntricos principais de inércia
Page 43
28
x eixo longitudinal da haste
Estudemos o elemento dx ds apos a seçao trans
versai sofrer um empenamento provocado por um momento torçor T
dx
Figura II.4
/ /
B
1 A
I
Page 44
Sejam:
...
o
h
r = OM
M' ...
de
du ...
A ...
B
CI "- ~ ...
Temos que:
29
~
tangente a seçao transversal no ponto M
centro de cisalhamento da seçao transversal
distância de O -~
a tangente
ponto correspondente a M na seçao empenada
deslocamento linear na direção da tangente
deslocamento linear na direçâo x
deslocamento angular elementar da seçao A em rela
çâo à seçâo infinitamente próxima A'
linha média da seçao transversal da haste antes de so
frer um empenamento
- linha média da seção transversal da haste apôs ·sofrer
um empenamento
ângulo que }~1' forma com a tangente.
Page 45
mas,
então
a distorção
30
de = ~· CDS a =
r CDS a = h
de = h d 1/J
será:
= dU
as + ae
ÔX
r d 1/J CDS CJ.
porem, por hipótese, a distorção na superfície média e despre
zada.
então
ou
au
as
=
=
o
·ae
ax h -2t_
ÔX
= - h 1/1'
Page 46
31
ou
u = J h ij,' ds = ij,' J h ds
mas, a e:xpressao J h ds ~ w '
e por definição a coorde-
nada setorial.
Então,
u = .,P' w
ou
u = - .ij,' lú
O empenamento i portanto -proporcional a rotaçáo
específica ij,' (conseqüentemente, ao momento torçor que a or1
-ginou) e a função w (coordenada setorial) que caracteriza a
forma do empenamento.
Note-se que o empenamento e função de s e de :x.
II. 3 - TENSÕES NORMAIS
Da Teoria da Elasticidade temos que os alongame~
tos unitários são definidos pelas e:xpressoes:
Page 47
çao pura.
Mas,
E = X
E: = X
3u
3x
1
32
- \) 2
ªx = E
Visto serem nulas as tensões
3u
ax = 1jJ " w
ªx
El
e na tor-
Portanto, na seçao transversal da haste verifica-se uma tensão
normal ªx cuja expressão será
= 1jJ" w
Quando nao existirem na seçao outros esforços que
deem lugar a tensões normais (momentos fletores e esforços nor
mais) as tensões acima definidas devem estar em equilíbrio, is
to é:
f a dA = X
o ou f -E1 1jJ" w dA = O
Page 48
f y (J X
33
d A = o
J z CJx dA ·= O
ou f - E1 ij," w y dA = O
ou f -E1 1jJ " w z d A = O
é constante dentro da seçao, vem:
f w d A = o
fyw dA,= O
J z w dA O
Express6es essas que constituem propriedades ca
racterísticas da função w, anteriormente definidas como mo
mento estático setorial Sw produto de inércia setorial em
relação ao eixo e produto de inércia setorial em re
lação ao eixo Y' I , respectivamente. wy -
çao ou
Diz-se que na seção age um bimomento de flexo-tor
simplesmente bimomento B cuja expressão é:
Page 49
34
B J w dA
(observe-se a analogia com a exp-ressao do momento fletor
M = J ºM y d A),
A expressao do bimomento pode ser escrita na for
ma:
,I," d A 'f' w w = 1/J"
= - E 1/J" 1
B - E 1/J" 1
a tensão normal provocada pelo bimomento terá por expressão:
B
Bw
I w
= - E ~," 1
= - E 1/J" w = o 1
Page 50
35
·Bw
I w
O Bimomento pode portanto ser considerado como um
novo esforço solicitante independente que dá lugar a tensões que
se equilibram entre si. Não terá pois influência no deslocamen
to do eixo da haste nem na rotação da seção transversal.
Quando houver a açao simultânea de força normal
e, de momentos fletores além do bimomento, pelo princípio da
superposição de efeitos, acharemos a tensão normal .resultante
pela soma das tensões provocadas por cada uma dessas grandezas.
CONVENÇÃO DE SINAIS:
Por convençao as tensões de tração serao positi
vas e as de compressão negativas.
como,
- E 1
Temos as seguintes igualdades:
= Bw
e = - E w iJ," 1
Page 51
u
s X
·=
=
36.
- w ,v
- w l}J" = E
Podemos foTrnar o seguinte quadTo de sinais:
.U' ),E.X w ljJ"
+ + -
+ - +
- + +
- - -
Seja a peça da Figura II.5
A
z""'
D
y
Figura II.5
o· B
B
+ +
+ -
- -
- +
Page 52
37
O diagrama dos coeficientes de empenamento w te
rao a forma da Figura II,6. Este diagrama indica a forma da
seçao após sofrer o empenamento.
A
e
Figura II.6
Se a peça sofrer uma rotação ,JJ convencionada co
mo positiva conforme indica a Figura 7, poderemos montar o qu_!:
dro de sinais a partir dos sinais dos alongamentos
EA = + A'
B' EB =
EC =
C' ED = +
D'
Figura II. 7 ,jJ = +
Page 53
38
PONTO w· € ijJ ªB B X
A - + + + -
B + - + - -
e + - + - -
D - + + + -
O diagrama de tensoes está representado na Figu-
ra II.8.
e
D
Figura II.8
A açào do Bimomento poderia ser reuresentada por
dois pares de força atuando conforme indica a Figura II .. 9. Esta
seria.a representaçào do Bimomento negativo.
Page 54
39
Figura II.9
II.4 - TENSÕES TANGENCIAIS
Estudemos o equilíbrio de um elemento dxds da has
te:
ot ds
/ /
/
/ /
t
T t dx
Figura II.10
ot ds + ---ª2:_ t ds dx ax
d·x + ~ tdxds as
Page 55
40
Nestas duas seçoes afastadas de dx temos
resultantes das tensões normais ot ds
respectivamente.
e ot ds + :lo
dX
para
t ds dx
Só haverá equilíbrio se existirem tensões tange_!!
ciais T paralelas ao eixo x tais que:
ou
ao
ax
do
dX
t ds dx
+ d T
dS
+
dS
=
Integrando, tiramos o valor de T:
'[ = - JS o
ds
dX
t dx ds = O
o
supondo-se que nao exista nenhum esforço cisalhante num
livre da haste.
Derivando o em relação a x teremos:
ªº ax
= d
ax
.. B' (,----1!!~)
I w
= aB
ax
w
bordo
Page 56
acima, vem:
41
Substituindo a expressão encontrada na
t = aB
dX
1 f s w ds o
equaçâo
introduzindo a expressão do elemento de área d A = t ds , vem :
dX
1
I t w
w
já sabemos que a expressao:
Jos
w dA
t ds aB
ax
1
I t w
é o momento estático setorial do trecho O - s;
Teremos entao:
T = -B' .s ..
W'
t I w
w dA
Provaremos que a derivada do bimomento em relação
a x nada mais é do que a torção de empenamento que designar~
Page 57
mos por T w
42
Sendo assim,
B' = e T = -T w
s w
t I w
Tw e o momento das tensões de cisalhamento em relação ao cen
tro de cisallramento da seção.
Demonstraremos que B' =
Para que haja equilíbrio, a tensão de cisalhamen
to -r existente ao longo de dx deverá ser igual ã tensão de
cisalhamento existente ao longo de ds.
Figura II.11
o momento elementar das tensões de cisalhamento ·.em relação ao
centro de cisalhamento da seçao sera:
Page 58
(T t ds ) h
43
sendo h a distância do ponto considerado ao cen
tro de cisalhament~.
o momento resultante Tw será a integral dos momentos
tares, isto ê:
elemen
mas
T w = J T t h ds
h ds dw pela definição de coordenada setorial
então,
T = w f T t dw
substituindo o valor de T vem,
como
T = f -.B'
1
I w
t I w
t dw = l B' ( S dw ) w
I w
Page 59
44
sw ~ o para s = o e s = L e d s úl
= w d A, vem:
T 1 B' [ - J úl 2
dA] ·1
B' I = B' = - -- = úl w
Iw I úl
c.q.d.
OBSERVAÇÕES:
19) E interessante notar a analogia com a expressao das ten
sões cisalhantes oriundas da força cortante em peças fle Vv Sz
tidas C T = --L- --) com a expressao encontrada para b I
2
as tensões cisalhantes oriundas da torção de empenamento.
T úl
s -"'-)
t I w
29) Sendo T o momento de torção total que age na seçao e que
equilibra os esforços externos,
à torção de Saint Venant e
ção de empenamento, teremos:
T +
T w
Tv parte correspondente
parte correspondente à tor
ili"' E I · 1 w
39) O deslocamento angular da haste ,P' , por nao ser influen
ciado pelo bimomento, tambêm nao o será pela torção de em
penamento, s6 se verificando ,P' como efeito da torção de
Page 60
45
Saint Venant sendo sua expressao já conhecida da
eia dos Materiais
.T V
= ---
Resistén
49) Quando além da torção houver a açao simultânea de esforços
cortantes, a tensão cisalhante resultante será a soma das
tensoes provocadas por cada uma dessas grandezas pelo pri~
cípio da superposição de efeitos
59) As tensões cisalhantes máximas ocorrem no bordo da seçao
onde a tensão, provocada pela torção de Saint Venant e ma
xima. Sua expressão é:
.± T t T =
V
It
II. 5 - RELAÇÃO ENTRE O ÂNGULO :DE ROTAÇÃO :DA HASTE · ij, · E O CARRE
GAMENTO EXTERNO mt (momento torçor por unidade de c·om
primento)
(Vide Figura II.12)
Page 61
46
X
y
Figura II.12
Estudemos um elemento dx de uma haste:
T = T +T w V
Figura II.13
X
7T + d"T V V
d Tw
Na Figura aclma estâo indicados o carregamento ex
terno m e as forças internas T.
Page 62
T + w
ou
+
47
Das condições de equilíbrio ternos:
=
=
.d T V·
+
dx
T w
d T w
.d T
dx
+
+
w
dT w
= dT
dx
+ ·T V
=
=
dT
+ dT V
mt (1)
Do parãgrafo II.4.temos que a torção de emoenamen
é igual ã derivada do Bimomento em relação a x.
= B'
Do parãgrafo II.3 ternos a expressao do bimomento
em relaçâo ao ângulo de rotação da haste
B = 1jJ" =
d X 2
Derivando o Bimome.nto em relaçao a x obtemos:
dB
dx =
d X 3
Page 63
Substituindo vem:
48
d31jJ
d x 3
Derivando em reiàção, a x vem:
.. d Tw
dx
= (2)
Da Resistência de Materiais conhecemos a relação
entre o ângulo de rotação e a torção de Saint Venan t:
. dijJ TV
Derivando Tv em relação a x vem:
d TV
dx
= G I t
Substituindo as equaçóes (2) e (3) em (l), vem:
d2,JJ
dx 2
=
(._3)
Page 64
49
Dividindo todos os membros ~a equaçio por E I . 1 w
vem:
Fazendo
G It d2l),
d x 2
; k 2 ., vem:
d x• d x 2
que e a expressao procurada.
II,6 - A EQUAÇÃO DO BIMOMENTO
Como
d 2 B
d x 2
B ; E I - 1 w
ou d x•
d x 2
d x"
ou
d x 2
l
d .x•
(4)
B ; - ---=--
· · d 2 B
d x 2
Page 65
50
Substituindo estas expressoes na equaçao (4) vem:
ou
. 1
d 2 B
d x 2
d 2 B
d x 2
k2
+ k2
B
B =
= dT
dx
(S)
A solução desta equaçao diferencial e da forma:
B = + c2
eh k x +
sendo m1 uma solução particular da equaçao.
Para a determinação das constantes de integração
usam-se as condiç6es de extre~idade da haste, notando-se que:
Nas extremidades engastadas:
nao há rotação, então 1j, = o
nao há empenamento, então u = - 1j,' w = O . . . 1)!' = O . · .Tv=O
Page 66
51
Nas extremidades livres de se deformarem:
B e conhecido
T e conhecido
B
T
=
= 1/J' G I t - 1/J"' E I 1 w
Nas extremidades em engaste permitindo empenamento (chamadas
por Kollbrunner de '.'apoios em garfo"):
nao há bimomento: B = O 1/J" = o
nao há rotação: 1/J = o
OBSERVAÇÃO:
A solução da equaçao (S) simplifica-se grandeme~
te quando os valores de k 2 são desprezíveis.
Admitindo-se que k 2 praticamente nulo, a equ~
çao fica:
d 2 B =
dT (6)
d x 2 dx
equaçao análoga a da linha elástica de uma viga carregada trans
ver salmente
Page 67
d x 2
onde sabemos que
e
d3 y
d X 3
d" y
d x 4
=
=
M z
52
E I z
V
E I
q
z
Quando k. = O ternos a chamada torção de empena
mento pura, isto;:
= o
= o
então
T =
rn = rn t w
Page 68
a equação (1) fica:
m w
Temos ainda que:
B
=
=
=
dx
-E I 1 w
-E I 1 w
53
- E I 1 w
d x 3
d x 2
d x 4
Tendo em vista a semelhança entre este
de tr~s equaç6es com as equaç6es da flexão simples,
conjunto
podemos
aplicar as soluç6es do segundo conjunto para o primeiro.
Por exemplo: uma viga simplesmente apoiada com vao 2 sujeita
a um carregamento uniformemente distribuído
para momento fletor máximo: q
=
8
e
para flecha máxima: = s q
384 E I z
q ·tem:· y
Page 69
54
De forma análoga, uma viga simplesmente apoiada
(isto é, sem restrição ao empenamento nos extremos) uniformemen
te carregada com o momento torçor mt terá:
para bimomento máximo: m Q. 2
t
8
para ângulo de rotação máximo: l/Jmax = s
Infelizmente, esta analogia com a flexão simples
soe válida para valores realmente muito pequenos de k. Não é
este o caso dos perfis laminados.
Por outro lado, para valores de k mui to grandes
teríamos a torção de Saint Venant pura, isto é
T = O w
m = O w
e
T =
m =
a equaçao (1) fica:
Page 70
55
=
dx d x 2
= d-X
B = O
O coeficiente k = fI!E que tornou o
nome de "comprimento característico", tem urna grande importância
de ordem prática, é um Índice do comportamento a torção.
Zbirohowski-Kóscia sugere, a partir de sua expe-
. - pessoal, hastes deverão obrigatoriamente riencia que as ser tra
tadas corno hastes de paredes delgadas quando o valor de k for
inferior 0,5 - 1 1, 2 7 - 1 Quando o valor de k for a in ou cm . superior 1,0 - 1 2,54 a in ou
- 1 hastes poderão cm as ser tra
tadas corno de paredes espessas. Para valores intermediários de
k as hastes podem pertencer a urna ou outra categoria.
Kollbrunner e Basler analisam o produto k P.
(sendo P. o vão da haste) concluindo que:
a) quando k P. ; O isto e I -+ co w
teremos torção de ernp~
narnento pura tornando-se o estudo análogo ao da teoria da
flexão;
Page 71
56
b) quando k 2 < 2 a torção de empenamento domina;
c) quando 2<k2<5 a torção e mista, isto~. tanto a
torção de empenamento quanto a torção de Saint Venant sao
relevantes;
d) quando k Q, > s domina a torção de Saint Venant;
e) Finalmente, quando k Q, = 00 isto e
torção de Saint Venant pura.
II.7 - EXEMPLO RESOLVIDO
Resolver a haste indicada
1 T = T*
A1~--------B----ll&~
~-~Q, ----.Y'
y
Figura II.14
apoio A engaste a torção
apoio B extremidade livre
I + O w
z
teremos a
Equação diferencial do ângulo de rotação:
Page 72
57
l =
se T e constante, o segundo membro da equaçao se anula,
então,
d" lj,
d x 4
a solução desta equaçao e da forma:
Derivando, obtemos:
lj,' =
= o
+
+ k c4 eh kx
+
lj,"' = k 3 c3 sh kx + k 3 c4 eh k x
dT
dx
Para determinarmos os valores das constantes de
integração, lançamos mão das condições de extremidade da haste:
Page 73
58
extremidade A: para x = O
extremidade B: para x = .Q,
X = o o = c1 + c3
o = Cz + k c4
X = .Q, B = o mas B
o = k2 C3 eh k 9, +
T = T*
mas
T =
então
+
·r•
T w
iJ, '. = o
T = T*
B = O
c1 = -e (1) 3
C4 = - Cz (2)
k
= -E I iJ," 1jJ" o 1 w
k2 c 4 sh k 9.:. G3"-C4 sh k 9, (3) eh k 9,
1jJ 1 ljJ li 1
1jJ 1 1/J'" = k2 ij,' ,p 11 1
Page 74
ljJ ' ( Q,) =
ljJ"' (Q,) =
T*
= k 2 e 2
59
+ k e 3
sh k Q, + k c4 eh k2
+
- T* =
T* =
T* =
T* ----=
sh k 2
eh k Q,
sh k2
eh kQ,
T*
E I 1 iJJ
T*
Substituindo os valores encontrados na equaçao do
ângulo de rotação, vem:
\ 1 G It ljJ = T* l -~ sh k Q,
eh k Q,
+ X + 1
k
sh kt
eh k2 eh kx - 1
k
Page 75
basta fazer:
da relação:
60
Para achar a expressao da torção de Saint Venant
G It ijJ' = T* [ 1 + sh k,Q,
eh k,Q, sh kx - eh kx]
A expressao do Bimomento sera encontrada através
B =
T*
E I ,I," - 1 w "'
sh k ,Q,
eh k ,Q,
eh k X k sh kx] =
= T-•
k [ sh k X sh k,Q,
eh k,Q, eh k X]
B = -T*
k
[ sh k X sh k,Q,
eh k,Q, eh k X]
Finalmente a torção de empenamento sera:
B' T* =
k [ k eh k X k sh kt
eh kt sh kx]
Page 76
OBSERVAÇÃO:
61
Tw = T* r eh k x
L
As expressoes de
sh ki
eh ki sh k X l
B e T w para hastes
com diferentes tipos de auoios encontram-se nas Ta
belas 1 da Bibliografia 1 5
1
Page 77
62
CAP!TULO III
RESOLUÇÃO DE VIGAS CONT!NUAS
III.l - INTRODUÇÃO
São sete os tipos de carregamentos que
atuar numa haste:
n /'X
X
Pz <E------"-
Mz ~
z
cc/p Figura III. l
V ;
i ~\, t py
podem
1) p X
carga concentrada paralela ao eixo X - esforço normal
2) p y carga concentrada paralela ao eixo y - carga concentra
da vertical
py carga vertical distribuída
3) Pz carga concentrada paralela ao eixo z - esforço
zontal
P carga horizontal distribuída z
hori-
Page 78
5)
63
carga momento - momento fletor
m carga momento distribuída z
M y carga momento - momento fletor transverso
my carga momento distribuída
6) T momento torçor (em relação ao centro de cisalhamento)
7) B
momento torçor distribuído (em relação ao centro
cisalhamento)
bimomento concentrado
bimomento distribuído
de
Os carregamentos que nao provocam torção podem
ser estudados pela hiperestática corrente.
São estes:
p ' y Pz'
Serão objeto de nosso estudo os
que provocam torção. A saber:
M ' y m y
carregamentos
Desenvolveremos a solução das vigas contínuas
pelos dois métodos usuais da hiperestática, quais sejam, o méto
do das forças e o método dos deslocamentos.
Page 79
64
III. 2 - MIÔTODO DAS FORÇAS
A hiperestâtica corrente nos fornece o seguinte
roteiro para a resolução de estruturas pelo método das forças:
1) Escolha do Sistema Principal - Sistema Principal nada mais
é do que a es tru tu:r;a dada. com uma quan.t.:!:_
dade de vínculos rompidos tal que a
transforme numa estrutura isostâtica;
2) Traçado dos diagramas no Sistema Principal - São traçados
os diagramas para os esforços X· introdu l -
zidos existentes nos vínculos rompidos
e para as solicitações externas;
3) Obtenção dos coeficientes o - os coeficientes sao as defor
maçoes que surgem com o rompimento dos
vínculos;
4) Formulação do sistema de equaçoes de compatibilidade elás
tica - ao romper vínculris, liberamos ~e
formações que nao existem - devemos en
tão impor ã estrutura do sistema princ.:!:_
pala condição de serem nulos os desloca
mentas na direção dos hiperestâticos;
S) Obtenção dos hiperestâticos através da solução da
matricial
equaçao
Page 80
65
sendo
{X} + vetor dos hiperestâticos
J B 1
-1 = 1 ó I matriz de rigidez da es-
trutura (matriz inversa da matriz de fle
xi bi lidade)
{ó}+ vetor dos termos de carga (onde o
a influência do carregamento se faz sen
tir)
6) Obtenção dos efeitos finais através da equaçao:
E
sendo
+ l: E. X. 1 1
E : esforço no sistema principal provoo
cado pelas solicitações externas;
Ei: esforço no sistema principal prov~
cado pelas solicitações do hipere2
tático X. com o valor inicialmen 1
te arbitrado.
Procuraremos generalizar o estudo da hiperesti
tica usual para sistemas de hastes de paredes delgadas com per
fil .aberto.
Page 81
66
Façamos o estudo de uma viga contínua conforme
indica a Figura III.2.
o 1 2 l n
X X --- n+l
L 9,1 J, 9-z l 9,. j, 9,n t 9,n+l l l
• ' 1
Figura III. 2
Examinemos o roteiro acima descrito.
1) Escolha do Sistema Principal
o apoio simbolizado por .;_z- admite tor_ç·ão .. cha
mado por Kollbrunner de "apoio em garfo" (Gabellagerung).
Deveremos escolher um Sistema Principal para o
qual os diagramas de Bimomento das barras isoladas sejam co
nhecidos e estaticamente determinados para o momento
çor.
tor-
Transformaremos então os apoios em garfo em ar
ticulações de bimomentos cujo símbolo~ . T
Os pares de bimomentos passam a ser os hipere~
táticos Xi
Page 82
ra III.3.
67
O Sistema Principal esti indicado na
x. 1
Figura III.3
Figu-
Observemos que para n +1 vaos teremos n in
cógnitas. Para apoios extremos, no entanto, os ângulos de
rotaçâo sâo nulos; neste caso, para n vâos, teremos n -1
incógnitas.
2) Traçado dos Diagramas no Sistema Principal
Estes diagramas sao facilmente obtidos através
das Tabelas 1 [ 5 [.
examinando os vaos 1 e 1 + 1 teríamos
(Vide Figura III,4)
Page 83
T --1>1>
Q,. l
xi+l~
X. l
68
X· l Xi+l
I1I (;(; e e e l1I 1 1
Xi+l~~:::::::=:~::--~~~~_-+--,
•
Figura III.4
3) Cálculo das Deformações
A deformação provocada pelo bimomento e o emp~
namente u = - w ljJ'.
Pelo princípio dos Trabalhos Virtuais temos que
o trabalho virtual realizado pelas forças externas será
ao trabalho virtual realizado pelas forças internas.
Trabalho virtual das forças externas
igual
Page 84
69
onde
P representa a carga virtual, que neste caso e o bimomen
to B unitário.
o repres.enta o deslocamento virtual que neste caso é ex
presso pela rotação específica w' que caracteriza o em
penamento da seçao transversal
Trabalho virtual das forças internas
Como estamos no regime linear onde ê válido o
princípio da superposiçao de efeitos, o trabalho virtual rea
lizado pelas forças internas será a soma dos trabalhos vir-
tuais de deformação devidos a cada um dos esforços
atuantes na estrutura;
Trabalho armazenado pelo bimomento:
Figura III. 5
simples
se houver um deslocamento virtual u, o trabalho virtual rea
lizado d WB sera:
Cu + au dx) dll dx d WB ªB ªB li = ªB = dX dX
Page 85
70
sendo ºB a tensão normal provocada pelo bimomento.
Integrando ao longo da área da seçao
sal A e do comprimento da peça L, teremos:
mas sabemos que u
então
3x
Sabemos também que
então
1jJ" =
- wljJ'
aii
ax
= - wljJ"
dx
B = -E I 1/J" w
B e
E I w
dA
aii
ax
=
B = w
transver
a expressao da tensão normal provocada pelo Bimomento e:
teremos:
B --w
Substituindo estas expressoes na equaçao acima
Page 86
porem, por definição
simplificando, vem:
71
B B w (-- w ) (__::......e:_ ) dx dA =
I E I w w
( dx BB w 2 dA
w2 dA = I . w
BB dx
E I w
expressao análoga a do trabalho virtual realizado pelo momento
fletor.
Trabalho armazenado pelo momento torçor
Conforme já vimos, o momento torçor se subdivi
de em torção de Saint Venant e torção de empenamento. A expre~
são do trabalho realizado pela primeir(1. é amplamente conhecida
pelas fórmulas de Resistência dos Materiais, isto é:
w = V f
T T dx V V
Page 87
72
O trabalho realizado pela 2~ será nulo tendo em
vista a hipótese simplificadora exposta no item II.l
a distorção no plano médio da seção).
(é nula
Igualando o trabalho realizado pelas forças ex
ternas ao trabalho realizado pelas forças internas, teríamos:
1 X O = ij;' =
=
B B
E I w
dx +
que e a expressao da deformação.
( )
T T V V
G I t
dx
Estas grandezas podem ser calculadas pela Tabe
la 3 1 5
1 •
OBSERVAÇÃO: quando se despreza a torção de Saint Venant (para
hastes com kt ~ O) os diagramas de Bimomento se
tornam triangulares e há uma perfeita analogia com
a teoria da flexão.
4) Equações de Compatibilidade
X. 1 ]. - 1jJ 1. • 1
l, 1-
Examinando os vaos i e i +l teremos:
+ X. ].
,r,'. + X 'r . 1 1, l l + 1jJ
I
i , i + 1 + 1jJ I
iO = O
i=l,2, ... n
Page 88
73
sendo
ij,! . 1 ... a rotação específica da barra i no no i devida ao l, 1-
carregamento X. l ; 1 1-
o· prireiro indice indica a seçao para a qual se deseja
conhecer ljJ'; o segundo Índice indica o nó onde o
X. 1 ; 1 age, 1-
ljJ ! l, l
+ •d ljJ.
l , l
+
sendo
•e rotação específica da barra lj,io a l no no
carregamento dado.
,d
l
lj,io a rotação específica da barra i +l no no
ao carregamento dado.
. bimomento
devida ao
l devida
Os itens 5 e 6 sao resolvidos de maneira idênti
ca a da hiperestática usual.
III.3 - EXEMPLO RESOLVIDO
Cálculo de uma viga contínua constituída por
Page 89
74
hastes de paredes delgadas sobre três apoios pelo método das
forças.
OBSERVAÇÃO: os apoios oferecem resistência a rotação mas nao
oferecem resistência ao empenamento.
Trata-se de um perfil l___l 6" x 2" x 0,231 KN/m
sujeito a açao de um momento torçor igual a 1 mKN na seção do
meio do primeiro vão.
y
Sabemos que:
=
=
s n t 3 =
n
G =
2288,2 cm 6
=
T=l --!>!>
1,50 L 1
Figura III.6
2 X 5,08 X 0,89 3
3
E
2 (l+ v)
E
1 - \)2
+
1, 50
14,35xl,42 3 _=ló,l cm'
3
(calculado no Capítulo I)
Page 90
75
=J-G It
1
= j (l-v) It = /0;7 k
El I 2 I 2. úl
numero de barras: 2
numero de incógnitas: 1
1) Sistema Principal
2) Diagramas Auxiliares
úl
~I Figura III. 7
O 10
Figura III.8
pela Tabela 1, número 9 J 5
· 1 , temos:
19 vao: B -1
sh. .k . X
16,l
2288,2
sh k Q, sh (4,96 xl,50)
-i = 0,0496 cm -1 = 4,96 m
20
sh (4, 96 x)
851,37.
Page 91
29 vao:
76
Bl = -[ eh kJ
sh kt sh kx - eh kx ] x1 =
~X
eh (4,96 X 1,50)
sh (4,96 X 1,50)
= eh 4,96x - sh 4,96x
+
sh 4,96x + eh 4,96x =
Figura III.9
pela Tabela 1, n 9 2 / 5 / ternos:
B = o
e
B = o
1
k
1
k
sh (k ç') sh kx
sh kt
sh (k ç') sh kx
sh kt
1
k
para Ü ~ X ~ 2 - Ç'
sh (k xJ) para 9.,-Ç'~x~Q,
Substituindo os valores dados, encontramos:
Page 92
B = o
e
B = o
=
1
4,96
77
sh (4,96 x 0,75) sh (4,96x)
sh (4,96 X 1,50) = sh (4,96x)
204,79
para O ~ x ~ 2 - ç'
1
4,96
sh (4,96 x 0,75) sh (4,96x)
sh (4,96 xl,50)
sh (4,96 x)
204, 79 4,96
para
4,96
3) Coeficientes
sendo
Pela Tabela 3, nº 14 1 5 J, vem:
X' = 1
k2
= (X' B B 2) 2
1 (----
th (k2)
1 )
k2
Substituindo os valores dados encontramos:
2. (---1=-----
4,96 X 1,50 th (4,96 xl,50)
---1--J lx lx 1,.50 =0,3490
4,96x 1,50
Page 93
pela Tabela 3, nV 1
sendo
X' a =
78
= X' T B 9- 2
a
1
(k,Q,) 2 [
ç' e-; - sh (k ç') l sh (k,Q,)
Substituindo os valores numéricos, encontramos:
1 Íc0,75
(4,96 xl,50) 2 l 1,50
sh (4,96x0,75)
sh (4,96 xl,50)
4) Equação de compatibilidade
+
5) Obtenção do Hiperestâtico
º10 0,0193
º11 0,3490
Jlxlxl,502
= 0,0193
= Q
=-0,0553 KN m2
Page 94
6) Diagramas Finais
6.1) Diagrama de Bimomentos
lº vao:
B =
B =
sh 4,96 X
204,79
sh4,96x
204,79
sh4,96x
20 7, 5 5
B +
sh 4,96 X
851,37
sh4,96x1
4,96
sh 4,96 x1
4,96
79
0,0553 = sh 4,96 X
207,55
para
Sh 4,96 X
851,37
para
0 :''X :' J!, - Ç 1 = 0, 7 5
0,0553 =
0,75:cx :' t
Substituindo os valores de X e na equaçao
acima, formamos o seguinte quadro para o lº vão da viga:
Page 95
80
'
Seção. X xl B
o 0,00 - o
1 0,15 - 0,0039
2 O, 30 - 0,0101
3 0,45 - 0,0222
4 0,60 - 0,0471
5 O, 7 5 0,00 0,0993
6 0,90 0,15 0,0449
7 1,05 0,30 0,0166
8 1,20 0,45 -0,0022
9 1,35 0,60 -0,0223
10 1,50 O, 75 -0,0553
29 vao:
B = O - (eh 4,96 x - sh 4,96 x) 0,0553
= 0,0553 (sh 4,96 x - eh 4,96 x)
Quadro de valores do Bimomento para o 29 vao da
viga:
Page 96
31
Seção X B ( I<Nm2)
10 o -0,0553
11 O, 15 . -0,0263
12 O, 30 -0,0125
13 0,45 -0,0059
14 0,60 -0,0028
15 0,75 -0,0013
16 O , 9 O -0,0006
17 1,05 -0,0003
18 1,20 -0,0001
19 1,35 -0,0001
20 1,50 o
Diagrama dos Bimomentos
o 5 20
Figura III.10
Page 97
82
DIAGRAMAS DE TORÇÃO
19) Diagrama de Torção Total
T o
Td 5
e TlO
d TlO
Tzo
=
-(_1___
2
T
=
-- -
=
o o e:,.
TO
(_1___
2
BlO
R,
BlO
R,
Obtido a partir do diagrama de Bimomentos.
+
=
=
-0,4631
(-1-
2
+ 1 =
0,0 553 )= - 0,4631 mKN
1,50
+0,5369 mKN
BlO ) 1 0,0553 ) -0.,5369 = -(- + =
R, 2 1,50
-0,0553 -0,0369 mKN
1,50
0,0369 mKN
Diagrama de torção total:
5
"l'>-10 ,:::,. 20
+
Figura III.11
mKN
Page 98
83
Este diagrama é determinado de forma análoga ao
diagrama de esforços cortantes a partir do diagrama.de momentos
fletores.
29) Diagrama de Torção de Saint Venant
19 vao:
T V
+
pela Tabela,l, n9 2 1
~X
TV = _i;_'_ -o ,Q,
= O , 7 5
5 temos:
T --i>I>
·Lxi;l· j,
sh k i; ' eh kx sh k t
S h 4 , 9 6 X O ,7 5
1,50 Sh 4,96 X 1,50
=
eh 4,96 X =
= 0;5 - eh 4,96 X
41,29 para O::x::0,75
_<;_'
= 0,5
= eh 4,96
sh k <;'
sh k t
eh 4,96
41,29
X
eh xl
· eh kx
- 1
4 ,96 X
41,29
- 1 + =
+ eh 4,96 xl
- O, 5 para 0, 75 <x <1,50 ' '
Page 99
pela Tabela 1, n 9 9 1
5 1
6
TV 1 =
1 1,
1 =
1,50
= O, 6 7
84
temos:
Ç' = o t k eh k Ç'
eh k X
sh ki
4,96 eh 4,96 X 0
sh 4,96 X 1,50
eh 4,96 X
171,65
=
eh 4, 96 X =
Substituindo os valores encontrados para TV, o
TV e x1 , temos: 1
para O~ x ~ 0,75
= O, 5
= 0,46
eh 4,96 X
41,29
eh 4,96 X
41,85
para 0,75 ~ x ~ 1,50
- 0,0553 (0,67 - eh 4,96 X) =
171,65
Page 100
= eh 4,96 x1
85
eh 4,96 x _ Q,S _ Q,Q 5.53 (_0, 67 ~ eh4,96x)
41, 29 .
. eh 4, 96 X
41,85
171,65
- Q,54
Quadro de valores do 19 vão para a torção de Saint
Venant:
Seção X xl TV (mKN)
o o - -0,4361
1 0,15 - -0,4292
2 O, 30 - -0,4044
3 0,45 - -0,3474
4 0,60 - -0,2251
5 0,75 o +0,0333
6 0,90 0,15 +0,2878
7 1,05 0,30 +O, 3962
8 1,20 O ,45 +0,4212
9 1,35 O ,60 +0,3773
10 1,50 0,75 +0,2392
Page 101
36
29 vao:
TV sera obtido através da Tabela 1, n9 9 1 5 1 1
=
=
+ c-·-1_ - k eh k. z;' eh kx + k sh kx) sendo z;' = 9.,.
9., sh k 9.,
= c-1 - _ 4,96 eh 4 , 96 xl,SO eh 4,96 x + 4,96 sh 4,96 x) =
1,50 sh 4,96 xl,50
= - (0,67 - 4,96 eh 4,96 x + 4,96 sh 4,96 x)
0,0553 (0,67 - 4,96 eh 4,96 X + 4,96 sh 4,96 x) =
1
27
- 0,27 eh 4,96 x + 0,27 sh 4,96 x
Quadro de valores do 29 vao para a torção de
Saint Venant
Page 102
87
Seção X TV (mKN)
10 o +0,2330
11 0,15 +0,0913
12 0,30 +0,0239
13 0,45 -0,0081
14 0,60 -0,0233
15 O, 75 -O, 0305
16 · O, 90 -0,0339
17 1,05 -0,0356
18 1,20 -0,0363
19 1,35 -0,0367
20 1,50 -O ,0369 -
Diagrama da Torção de Saint Venant
o 20
+
Figura III.12
Page 103
88
39) Diagrama de Torçã:o de Empenamento
Da
19
T . w o
Tabela
vao:
=
=
1 ,
T = w
n9 2
~X
T WO
sh k 1_;'
sh kQ,
eh 4,96 X
41,29
1
=
=
+
5 1 retiramos a expressao de T para o wo
T --1»
,r l_;'
'~ I> Xl
sh k l_;' eh k X
sh kQ,
sh 4,96 X 0,75
sh 4,96 X 1,50
eh 4, 96 X
41,29
eh kx
eh 4,96 x 1
eh 4,96 X =
para O;'Xl:'0,75
=
para 0,75;::x;::l,50
Da Tabela l,·n9 9, Bibliografia 15
1 retiramos a expressao de
T para o 19 vao: wl
Page 104
·T wl
para
T w
para
T w
89
LS ç' = o
= k eh k ç' eh kx = 4,96 eh o eh 4,96 X = eh 4,96 X
sh kt sh 4, 96 X 1, 50 171,65
o < '
X < 0,75 '
eh 4,96 X 0,0553 . eh 4, 96 X eh 4 ,96 X = - =
41,29 171,65 41,85
0,75 :é: X < 1,50 '
=
=
eh4,96x
41,29
eh 4,96 X
41,85
- eh 4, 96 x1
- eh 4,96 x 1
. eh 4, 9 6 :ic 0,0553
171,65
=
Quadro de valores de T para o 1 Q vao: w
Page 105
90
Seção X xl T w
o 0,00 - -0,0239
1 O , 15 - -O ,0308
2 0,30 - -0,0556
3 0,45 - -0,1126
4 0,60 - -0,2349
se 0,75 - -0,4933
sª 0,75 o +0,5067
6 0,90 0,15 +0,2522
7 1,05 0,30 +0,1438
8 1,20 0,45 +0,1188
9 1,35 0,60 +0,1627
lOe 1,50 0,75 +O, 30 O 8
29 vao:
T O w
Obtemos a expressao de T pela Tabela 1, n9 wl
Bibliografia 1 5
/:
9 '
Page 106
91
T· = [ k
eh k 1;' eh k X k Sh k X l wl sh kt
- [ 4, 96 eh (4,96 X 1, 50) eh 4,96 X - 4,96 sh 4,96 x] =
sh (4,96 X 1, 5 O)
= - (4,96 eh 4,96 X 4,96 sh 4,96 x)
T x1 = 0,0553 (4,96 eh 4,96 x wl
4,96 sh 4,96 x) =
= 0,27 (eh 4,96 X sh 4,96 x)
Quadro de valores de
Seção X
10d o
11 0,15
12 0,30
13 0,45
14 0,60
15 0,75
16 0,90
17 1,05
18 1, 20
19 1,35
20 1,50
T para o 29 vao: w
T w
.
-0,2743
-O, 1303
-0,0619
-0,0294
-0,0140
-0,0066
-0,0032
-0,0015
-0,0007
-0,0003
-0,0002
Page 107
Diagrama de T w
T =
Seção
o 1
2
3
4 se
sª
6
7
8
9
lOe
10ª
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
92
+
Figura III.13
TV T T w
-0,4361 -0,0239 -0,4600
-0,4292 -0,0308 -0,4600
...:o, 4044 -0,0556 -0,4600
-0,3474 -0,1126 -0,4600
-0,2251 -0,2349 -0,4600
+0,0333 -0,4933 -0,4600
+0,0333 +0,5067 +0,5400
+0,2878 +0,2522 +0,5400
+0,3962 +0,1438 +0,5400
+0,4212 +0,1188 +0,5400
+0,3773 +0,1627 +0,5400
+0,2392 +0,3008 +0,5400
+0,2330 -0,2743 -0,0413
+0,0913 -0,1303 -O ,0390
+0,0239 -0,0619 -0,0380
-0,0081 -0,0294 -0,0375
-0,0233 -0,0140 -0,0373
-0,0305 -0,0066 -0,0371
-0,0339 -0,0032 -0,0371
-0,0356 -0,0015 -0,0371
-0,0363 -0,0007 -0,0370
-0,0367 -0,0003 -0,0370
-0.0369 ...:0.0002 -O 0371
Page 108
93
III. 4 - MbTODO DOS DESLOCAMENTOS
Faremos uma analogia com o Processo de Cross para
determinação dos momentos fletores nos nós de uma estrutura hi
perestática.
Da Hiperestática corrente temos o seguinte rotei
ro para o cálculo de estruturas pelo Processo de Cross.
1) Calculam-se os coeficientes de distribuição de momentos em
torno de cada nó rígido interno da estrutura.
O coeficiente de distribuição d. l
e calculado p~
la expressao
k. d. ; l
l ,: k.
l
sendo k. a rigidez da barra 1 no no em questão l
e
,: k.. l
a soma dos valores das rigidezas das
concorrentes no nó em questão
·barras
2) Calculam-se os momentos de engastamento perfeito no Sistema
Principal
O Sistema Principal é obtido bloqueando-se as ro
tações de todos os nós internos rígidos da estrutura.
Page 109
94
3) Libera-ie, uma de cada vez, a rotaçao de cada no interno,
equilibrando-se a carga-momento, que nele passa então a
atuar, por momentos de sinais opostos ao desta carga -momen
to cujos módulos sao dados por:
M. = d. M l l
Os momentos equilibrantes surgidos serao propag~
dos aos nós opostos de cada barra, multiplicados pelos coe
ficientes de transmissão de momentos.
O nó equilibrado torna a ser bloqueado e passa-se
ao equilíbrio dos outros nós.
Quanto os momentos equilibrantes propagarem rnorne~
tos de valor desprezível a estrutura pode ser considerada e
quilibrada.
4) Obt~rn-se os momentos finiis de cada nó pela sorna dos rnornen
tos de engastarnento perfeito com aqueles surgidos pelo equt
lÍbrio dos nós.
Baseando-se nesta teoria, teremos as seguintes de
finições:
Page 110
95
1 ~) Rigidez ao empenamento x
E o valor do bimomento que, aplicado em um no da
barra suposto livre para girar, provoca uma rotação especi
fica unitária neste nó estando o outro nó totalmente enga~
tado
;l ~B
Figura III.14
A seção transversal em A apresenta rotação esp_(:)_
cÍfica unitária.
O empenamento u tem para expressao
u ; -lj.,' w mas., l/J' 1
sendo
l/J' dx
Page 111
96
rotação específica ou deslocamento angular da barra,
então u : - w
Portanto, uma rotação específica unitária signifl
ca que a seção transversal está sujeita a deslocamentos
longitudinais (empenamento) que podem ser representados pe
lo diagrama das coordenadas setoriais com o sinal trocado.
neste caso: X
2~) Bimomento Propagado B8
E o bimomento que surge no engaste B devido a ro
tação específica unitária aplicada no nó A.
3~) Coeficiente de Transmissão
E o quociente entre o bimomento propagado e a ri
gidez ao empenamento
e : X
o sinal negativo indica que o bimomento propagado tem si
naloposto ao dó bimomento introduzido no nó A.
Page 112
97
4~) Coeficiente de Dis·tribuição À' num no
f o quociente entre a rigidez de cada barra e a
soma das rigidezas das barras concorrentes neste nó.
o I
À = ij
X·. l
À ij J
Figura III.IS
Àjk x .. +. xjk lJ
CONVENÇÃO DE SINAIS
o K
= X·k
Xrj + Xjk
O sinal dos esforços internos (bimomentos) do la
do direito de cada barra deverá ser trocado, para que a equaçao
de equilíbrio no nó seja satisfeita, isto é:
Bext + Bdir = 0 J J
ROTEIRO DO PROCESSO
1) Calculam-se a rigidez ao empenamento x de cada barra, (co~
forme veremos a seguir), o fator de propagaçao c de cada
barra e o fator de distribuição À de cada nó da estrutura.
Page 113
98
2) Os apoios intermediirios da estrutura sao considerados en
gastes perfeitos. Calculam-se para cada vão os bimomentos
nos engastes devidos ao carregamento aplicado observando-se
a convenção de sinais. Para o cilculo dos bimomentos nos
engastes podem ser utilizadas as Tabelas N9 1 da Bibliogr~
fia 1 5 1;
3) Cada ÍlÔ é liberado então para empenar-se. Faz-se o equilf
brio dos nós através dos coeficientes de distribuição À p~
la expressão
B. À. B l l
4) O empenamento dos nos ocasiona a propagaçao de
através do coeficiente de transmissão C.
bimomentos
5) Os nos desequilibrados sao novamente equilibrados.
6) Torna-se a propagar os bimomentos
Repetem~se os estigios 5 e 6 até que os
tos a serem propagados sejam desprezíveis.
7) Faz-se a soma dos bimomentos em cada no.
bimonien
Page 114
99
DETERMINAÇÃO DO RIGIDEZ AO EMPENAMENTO
X E DO COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO C
1) Barra Bi-engastada
' A B . . ' Figura III.16 ,
J_ X
·1
As condições de bordo sao:
No apoio A a rotação e nula e a rotação específ~
ca e unitiria pela pr6pria definição de X·
No apoio B tanto a rotação como o empenamento
sao nulos.
Então,
quando X = O , ijJ ( 0) = O e ijJ' (0) 1
X = i, ijJ (i) = 0 e ijJ' (i) Ü
A solução da equaçao tem a forma:
= + c3 ch.kx + sh kx
conforme vimos no Capítulo II item II.7.
Page 115
100
A derivada primeira do ângulo sera:
= + k c4 eh kx
Substituindo os valores dados pelas condições de
bordo, teremos 4 equações com 4 incógnitas:
o = c1 + c3 c1 = -C3 (1)
1 = C2 + k c4 C2 = 1 - 1<-C e 2) 4
o = c1 + C2 9-, + c 3 eh kJc + c4 sh kJc e 3)
o = C2 + k e 3 sh kJc + k c4 eh kJc (4)
Substituindo (1) e (2) em (3) e (4) vem:
o = +
o 1 - k e 4 + k e 3 s h k Jc + k e 4 eh k t
reagrupando vem:
o = t + c 3 (eh kJc - 1) + c4 (sh kJc - kt)
o 1 + + c4 k (eh kJc - 1)
Destas duas equaçoes tiramos os valores de c3
e
Page 116
1
k
1
101
k ,11, ( eh k ,11, - 1) - (s h k ,11, - k ,11,)
2 ( eh k ,li, - 1) - k ,li, sh k,11,
(eh k,11, - 1) k,11, sh k,11,
k 2 ( eh k,11, - 1) - k,11, sh k,11,
Nosso objetivo e saber o valor do bimomento no
apoio A porque
· A expressao do Bimomento e:
B = - E I ljJ" w
e
1jJ" = k2 +
Substituindo os valores de c3 e c4 chegaremos a:
E I k,11, 1 (k,11, eh k,11, - sh k,11,) eh kx + B = w
!/, k,11, sh k,11, - Z(ch k,11, - 1)
+ (eh k,11, - 1 - k sh k,11,) sh kx 1
no apoio A teremos:
Page 117
X = AB
102
E .I w k! (k! eh k! ~ sh k!)
! k! .. s.h k! - 2 (eh k! - 1)
O Bimomento no apoio B sera:
E I w k! (k! - sh k!)
! k! sh k! - Z(ch k! - 1)
O coeficiente de transmissão C por definição, e
e = -B
B
X
Substituindo, vem:
sh k! - k!
k! eh k! - sh k!
2) Barra Monoengastada
A~~~~~~~~~~~~-z,., B
r:x !.
Figura III.17
Page 118
103
Para esta estrutura as condições de bordo sao:
No apoio A, rotação nula e rotação específica unitária.
No apoio B, rotação e bimomento nulos.
Então,
quando x = O i/J(O) = O e i/J' (O) = 1
çoes:
ijJ' ··=
ij," =
quando X = ,Q, ijJ (t) = o e i/J"(t)
Já sabemos que sao válidas as seguintes
+ +
+ k c3 sh kx.+ k c4 eh kx
+ k 2 C sh kx 4
Substituindo os valores fornecidos pelas
çoes de bordo, teremos:
o =
1 =
o =
+
+ +
1 - k e 4
o
equa-
condi
(1)
( 2)
(3)
Page 119
104
Q +
Substituindo (1), (2) e (4) em (3)
sh k1
eh k1
(4)
obteremos
o valor de c4 :
remos:
B
1 eh k1
k1 eh kJ sh k1
Substituindo o valor de c4 na equaçao (4) te
1 sh k1
k1 eh k1 sh k1
A derivada segunda do ângulo sera:
(- sh k1 eh kx + eh k1 sh kx)
(k1 eh k1 - sh k1)
E I w
A expressao do bimomento torna-se:
(k1) 2
(sh k1 eh kx - eh k1 sh kx)
1 k1 eh k1 - sh k1
Os bimomentos nos apoios serao:
Page 120
3) Barra em balanço
105
= =
CAB = O
B
k 1
E I w (kR.)2 sh kR.
~ kR. eh k~ - sh kR.
Figura III.18
As condições de bordo sao:
No apoio A, rotação nula e rotação expecífica unitária;
Na extremidade B, bimomento e momento torçor total nulos.
Então,
Page 121
106
quando x = O l/! (O) = O e ij;' (O) = 1
quando x = 9, lj;" (9,) = o e T (9,) = O
mas,
T = E I (k 2 ij;' ij;'") w
então,
k 2 ij;'(t) ij;"' (9,) = o
Temos as seguintes equaçoes:
lj; = + + +
lj;' = + k c3 sh kx + k c4 eh kx
ij;" = k 2 c3 eh kx + k 2 c4 sh kx
W"' = k 3 c3 sh kx + k 3 c4 eh kx
Substituindo os valores fornecidos pelas condi
çoes de bordo, teremos:
o = c1 + c3 c1 = - C3 (1)
1 Cz + k C4 Cz = 1 - k c4 (2)
o = k2 C3 eh kt + )<2 C4 sh kt C3 = C4 · sh k 9, (3) -
eh k9,
Page 122
107
. da equaçao (4) tiramos c2
= O.
Substituindo Cz (2) temos C4 = 1 na equaçao
k.
Substituindo em (3) c3 1 sh kQ,
=
k eh kQ,
Os valores de c3 e c4 nos dão a expressao
de ,P"
,p" = - k ( sh kQ, eh kx + sh kx)
eh kQ,
( sh kQ, B = E I k
w eh kx + sh kx)
eh kQ,
O Bimomento em A sera:
E I w kQ, sh kQ,
=
Q, eh kQ,
O coeficiente de transmissão sera nulo porque
Page 123
108
= o
III. 5 - EXEMPLO RESOLVIDO
Cálculo de uma viga contínua sobre três
pelo método -dos deslocamentos (Processo de Cross).
apoios
Perfil LJ 6" x 2" x 0,231 KN/m sujeito a
açao de um momento torçor igual a lm KN aplicado na seçao do
meio do 19 vao.
OBSERVAÇÃO:
Trata-se da mesma estrutura do item III.3.
T = lmKN A - B e
J 0,75 l 'I
,~ 1,50 J 1,50 J Figura III.19
1) Cálculo das rigidezas ao empenamento:
Barra AB: (monoengas tada)
Page 124
109
(kF,}2 sh k,Q; .E I =
(J) = XAB
k,Q; eh k9. -· s·h. kP. 9,
= (4,96 X 1,50) 2 sh 4,96 X 1,50 E I
__ w_ = 5, 73 E Iw
4,96 x 1,50 eh 4,96 x 1,50 --sh 4,96 x 1,50 l,5Q
Barra BC:
=
2) Cálculo dos coeficientes de transmissão
Barra AB:
c = o
Barra BC:
c o
3) Cálculo dos coeficientes de distribuição
= = 5,73 = 0,5
5,73 + 5,73
Page 125
110
4) Cálculo dos Bimomentos para barras perfeitamente engastadas
Barra AB
T=l A - ~B LS
j, 0,75 + L 1,50 J 'I
pe 1 a Ta b.e 1 a 1 , N 9 4 , 1 5
1 •
(-1-
k
k Ç' sh kR.
sh kR.
Figura III.20
sh kç' ) T
k.Q. eh kR.
1 = -1(-- 4,96 x0,75 sh 4,96 xl,50 -4,96 X:1,50 sh 4;96x0,75) =+O,ll08
4,96 sh 4,96xl,50-4,96 xl,50 eh 4,96 x 1,50
5) Equilíbrio do NÓ
o -<- O , 5 0,5
+0,1108
o -o ,0554. -0,0554 o
+0,0554 -0,0554
+ 0, 110 8 X À = 0,1108 X 0,5 0,0554. O mesmo va-
Page 126
111
lor encontrado pelo método das forças.
Tendo-se encontrado o valor do hiperestitico:
-0,0554 mKn, para se traçar o diagrama de bimomentos proc~
de-se de forma aniloga à do método das forças.
Page 127
112
CAPfTULO IV
LINHAS DE INFLUENCIA PARA BIMOMENTOS
Estudaremos o traçado das linhas de influência
nas vigas contínuas sujeitas a carga de momento torçor.
O processo é análogo ao traçado das linhas de 1n
fluência nas vigas contínuas sujeitas a uma carga vertical em
que os hiperestáticos sao os momentos fletores. No nosso caso
os hiperestáticos são os bimomentos.
IV.l - LINHAS DE INFLUENCIA DOS HIPERESTÁTICOS
O primeiro passo e a determinação das linhas de n-1
influência dos hiperestáticos xi (bimomentos). i=l
O processo baseia-se na matriz inversa, que ex
prime as incógnitas hiperestáticas em função dos termos de car
gas.
X· l = n I
k=l
sendo, conforme já vimos no Capítulo III,
1 13 1 matriz de rigidez da estrutura
Page 128
113
1 º 1 matriz de flexihilidade da estrutura
1 ~ 1 = 1 cS 1 -1
{ ºo } vetor dos termos de carga.
Os coeficientes ºkO terão de ser calculados p~
ra um determinado número de posições do momento torçor
rio.
uni tá-
Roteiro para Determinação da L.I. para Bimomento para Viga Con
tínua sobre n Apoios
Conforme já dissemos, o roteiro é perfeitamente
análogo ao da determinação das linhas de influência para momen
tos fletores.
1. Determinação do Sistema Principal;
2. Determinação dos Diagramas Auxiliares.
Traçam-se os diagramas para os hiperestáticos
unitários n-1 X· = 1 e os diagramas para as cargas atuando
l
i=l
primeiro até o enésimo vao
do
Page 129
114
3. Determinação. dos. coeficientes ºik que formam a matriz I ó 1
que pode ser feita atrav;s das Tabelas 3 1 5 1.
4. Determinação da matriz inversa I B 1 = 1 ó 1 -l
5. Equações de compatibilidade
X· l = n I
k=l B· l
Em seguida calcularemos as linhas de influencia
para vigas continuas com 2, 3, 4 e 5 vãos.
LINHAS DE INFLUENCIA PARA BIMOMENTO
Carga atuante: momento torçor.
1. Viga Contínua sobre 3(três) apoios:
9, 2
Figura IV.l
1.1 - Sistema Principal:
Figura IV.2
Page 130
1.2 - Diagramas Auxiliares:
115
X = 1 1
Figura IV.3
a carga atuando no 19 vao:
s'
T =l ----CC> MI o
Figura IV. 4
a carga atuando no 29 vao:
• b.
l 1
M2 o
Figura IV.5
1.3 - Coeficientes:
T = 1
s'
Da Tabela 3, N9 14, 1 5
1 temos que:
x• = 1 1 e.----thkt
=
_l_)
ki
f B B dx = X' B Bt
k = G
E I w
Page 131
E I w
=
116
E I = + w
Da Tabela 3, N9 1, 1 5
1 temos que:
1
X' = a
T V
dx
1 1;' (-
(k t) 2 t
+ f B B dx =
sh k ç' --~-)
sh kt
x' T B t 2
a
como 1;' e variável, teremos diferentes valores para X'. a
1.4 - Equação de compatibilidade:
X 1 +
para o lº vao
para o 29 vao
Teremos uma expressao de x1 para o 19 vao e
outra para o 2º vão.
Page 132
117
2) Viga Contínua sobre 4 apoios:
...L.S... ::zs::
J Q, 1 J
2.1 - Sistema Principal
2;2 - Diagramas Auxiliares
X = 1 1
carga atuando no 19 vao:
T=l -------D<>
Q, 2
Figura IV. 6
Figura IV.7
Figura IV.8
Figura IV.9
M1 o
Figura IV.10
:zs::: --6.....
J Q, 3 l 1
Xz = 1
Page 133
118
carga atuando no 29 vao: T=l
M2 o
--= L. l;: • 6 A
l i; t ç' j, (Xl)
1 Figura IV .11 i; ' i; (Xz)
carga atuando no 39 vao:
T = 1
~ --------=
• • lS. Â Â .A
'~ i; } ç' l
1
Figura IV .12
2.3 - Coeficientes
Da Tabela 3, n 9 14, / 5 / temos que:
E I 611 J B B dx = x' B B 9, w
x' 1 ( 1 _l_) k
=~ k9, th kt k9, E I
w
= +
= +
Page 134
119
Da Tabela 3, n9 15, J ' J temos que:
x'
Da Tabela 3, n9 l, 1 '
X ' ; a
; f B B dx ; x' B B i
1 (-1-
temos:
1 ;
1 ----)
sh ki
J Tv Tv dx+·{ B B dx ; x~ T B i2
1 ç' (-sh kç' --~-)
(ki) 2
;
i sh ki
no lº vao.
no 2º vao.
no 3 Q vao.
no J? vao.
i2 2
no 2 g· vao.
Page 135
120
no 3º vao.
Observe-se que os valores de x' a
com t; ' •
2.4 - Equaç6es de compatibilidade:
+ º12 Xz
+ 0 22 X2
ou, em linguagem matricial:
1 éi 1 {X} = -{ºo}
tambêm podemos.escrever que:
{ X } = -1 (3 1 { ºo}
o vetor das incógnitas sera:
:: l a matriz de flexibilidade I éi I sera:
sao variáveis
Page 136
121
+
Xz J/,2 +
a matriz de rigidez 1 B I será o inverso da matriz acima.
Finalmente, os vetores dos termos de carga serao
.diferentes para cada vão da estrutura.
Atuando a carga no 19 vao o vetor sera:
o
no 29 vao teremos:
J/,2 1
x' ªz 2
X' ªz
Ji,2 2
no 39 vao:
o
Page 137
122
3) Viga Contínua sobre 5 (cinco) apoios:
..LS...
l 1
3.1 -
L,.
3.2 -
::zs::: l',l ,f l',2
Figura
Sistema Principal
1Ãrl Figura
Diagramas Auxiliares:
X = 1 1
•
::zs:::
J IV .13
lL l xz
IV .14
• X
X =l 2
::::zs::::: 2-"-
l',3 J l',4 J
JÁ l~ À
•
&
X = 1
K~
Figuras_ IV.15, IV.16 .. e IV.17
carga atuando no 19 vão:
-,,---cc, T = 1
t Flgura IV .18
Page 138
123
Carga atuando no 29 vao:
--= T = 1 • •
L A
~' ç J, t' J (Xl)
Ç' ç (X2
)
Figura IV .19
Carga atua.ndo no 3? vao:
• • L L L j, ç
Ç'
Figura IV. 20
Carga atuando no 4? vao.:
Figura IV.21
3.3 - Coeficientes
Da Tabela 3, n9 14, J 5· J já vimos que:
sendo
E lw cS l l = x ' B B 9,
x' = 1
ki
1 (---
th. ki
_l_l
ki
T = 1 -----=
J ç'
ç
• L.
• L. J, (X2)
(X3)
--= T=l
k=E w
L
Page 139
124
Então teremos:
= + Xz
= +
= +
Da Tabela 3, n9 15, J 5
J já vimos que:
sendo
x'
então teremos:
1
ki
=
=
x' B B i
. 1 (-
ki
xz
o
--"'l'--)
sh k,Q,
Da Tahela 3, n9 1, J 5
J já vimos que:
Page 140
sendo
para o 19 vao:
para o 29 vao:
para o 39 vao:
para o 49 vao:
para o 19 vao:
E I
x' a
w =
1
(ki) 2
125
T B ,Q, 2
~, (-',_·
,Q,
E Iw º20 = O
sh k z;' _.c.c __ .c.c._ )
sh kt
Page 141
126
para o 29 vao:
para o 3Q vao:
para o 4Q vao:
-para o 19 vao:
para o 29 vao:
para o 39 vao:
=
para o 49 vao:
Page 142
3. 4 - Equações de Conipatibilidade
Para o 19 vao:
-1
x1 xi )1,1 + X' J1, xz )1,2 o x.;_ J1, 2 2 2 1
1
X2 = -, )1,2 x' ,i + x' )1,3 X3 ,i3 o X2 2 2 3
x3 o X3 ,i3 X3J1,3 + X' J1, 4 4 o
Para o 29 vao:
-1 1
x1 x' \ + Xz ~ x' J1, 2 o 1
x' J1, 2 1 2 ª2 2
X2 ·- x' J1, 2 Xz J1, 2 + x' )1,3 x' )1,3 1 x' ,i2 2 3 3 ª2 2
X3 o X.3 J1, .3 X3 Q,3 + X4 Q,4 o
Para o 39 vao:
_, 1
x1 . ' ,il + X 2 ~ Xz )1,2 X1 o o
o
Page 143
128
Para o 49 vao:
x1 x' 1 )/,1 + x' 2 9, 2 x· 2 9, 2
X2 -,
Q, 2 Xz Q, 2 + X3 9, 3 . - X2
-, x' X3 o X3 Q, 3 3
4. Viga Contínua Sob.re 6 (seis) Apoios:
.LS..
l 9,1 1
4.1 -
A
4.2 -
:zs::
' 1,
Sistema
!L j'' Diagramas
X = 1 1
..2S... :::zs::: tz j, 9,3
-~ i4
Figura IV. 22
Principal
ILI'' 1~ r3
Figura IV. 23
Auxiliares
•
Figura IV. 24
-1
o o
-, X3 9,3 o
i + x' 3 4 9, 4 2
x' 9, ª4 4
:::zs::: :::z::,._
J i5 1, '
I~l X4
2,.
•
Page 144
129
X =l 2
X =l 3
•
A -·~.
. Figuras IV.25, IV.26 e IV.27
Carga atuando no 1v vao:
---= T = 1 .
Carga atuando no zç vao:
---= T=l
• lS.. X
l ç t ç' 1
ç' ç
•
Figura IV.28
• • • L L L '~ (Xl)
(Xz)
Figura IV. 29
L
6.
Page 145
130
Carga atuando no 39 vao:
----D!> T = 1
• • • • L L L L
L ç l Ç' ,b (X2)
1 ç' 1 ç (X3)
Figura IV. 30
Carga atuando no 4ç vao:
-----CC> T = 1
1s. , • 1 •
L L L L
'~ ç '~ ç' L (X3l
ç' ç 1 (X4
)
Figura IV.31
Carga atuando no 59 vao:
Figura IV.32
4. 3 - Coeficientes
Da Tabela 3, n9 14, J 5 f
--------CC> T=l
l ç' 'I
Page 146
x' = 1
então teremos:
E 1 w 011 =
=
E 1w 033 =
=
131
1 (---
th kt
+
+
+
+
_l_)
kt
Da Tabela 3, n9 15, J O
J já vimos que:
sendo
' X =
então teremos:
E I w 012
1
kt
=
=
= X' B B f
(-1-
kt
o
1 ---)
sh k f
k
Page 147
132
o
= o
Da Tabela 3, n9 1, 1 5
1 já sabemos que:
sendo
então teremos:
para o 19 vao:
para o 2 9 vao:
x' a
E l w
=
=
1
(kR.) 2
=
x' T B i2 a
[~
R, 2 1
sh'. k ç•
sh k R. l
Page 148
133
para o 39 vao:
E Iw º10 = O
para o 49 vao:
para o 59 vao:
para o 19 vao:
para o 29 vao:
=
para o 39 vao:
=
Page 149
para o 49 vao:
para o 59 vao:
para o 19 vao:
para o 29 vao:
para o 39 vao:
para o 49 vao:
para o 59 vao;
134
E I ó = Q w 20
E Iw º30 = O
E I ó w 30
=
-, !l 2 Xa 3
3
t2 4
E I ó = O w 30
Page 150
135
para o 19 vao:
para o 29 vao:
para o 39 vao:
para o 49 vao:
=
para o 59 vao:
=
Page 151
136
4. 4- Equações de Compatibilidade
para o 19 vao:
x1 xi 9,1 + Xz ;,2 Xz ;,2 -1
X' ;, ' o o ª1 1
X2 x· 2 9,2 x';, +
2 2 X:3 9,3 X:59,3 o o =
X3 o x3 9,3 X39,3+ X4t4 x,\ 9,4 o
X4 o o x' 4 9,4 ··x't +·x't 4 4 5 5
o
para o 29 vao:
-i
x1 x' ,\',l + Xz 9,2 Xz 9,2 o o x' 9, 2
1 ª2 2
X2 x' 9,2 '9, + '9, x' 9,3 o -, ;_2 2 X2 2 X3 3 3 Xa 2
2 =
X3 -,
,\',3 x't + x4t 4 x,i 9,4 o o X3 3 3 ·
X4 o o x,\ ,\',4 X4i4 +x5i5 o
Page 152
137
para o 39 vao:
-1
o o o
X2 x' 9,2 Xzi2 + X;3i3 x3 9,3 o x' 9,2 2 ª3 3
X3 o x3 9,3 X:39.3 + X4 9, 4 x,i .i4 -, 9, 2 Xa 3 3
X4 o o x' 4 9,4 X4i4 +x5i5 o
para o 49 vao:
-1
r x1 X1 \ + X:z 9.2 x' 9,2 o o o 2
Xz x' 2 9,2 '9. + '9, X2 2 X3 3 x' 3 9,3 o o
=
x3 o x· 9,3 X3i3 + X4 9.4 x,i 9,4 x' 9, 2 3 ª4 4
X4 o o X4 9.4 '9, + '9, x' 9, 2 X4 4 X5 5
ª4 4
Page 153
138
para o 59 vao:
f xl XÍ 21 + Xz 22 x· 1
2 22 o o 1-1 o
X2 x· 2 22 X:z 2z + X:3 23 x' 3 23 o o
=
X3 o X.3 23 • x}/3+ x,i9,4 x' 4 24 o
o o
IV. 2 Exemplos Numéricos
19) Cálculo da Linha de Influência do Hiperestático do Exemplo
da Página 74.
k = 4, 96 - 1
m
9-1 1, 50 m
Figura IV.33
Trata-se de um perfil
9- 2 1,50 m
LJ 6" X 2" X 23,1 com
Page 154
139
a) Cilculo dos coeficientes:
kt =
X' =
= 2 X' 9-
4,96 X 1,50 = 7,44
1
7,44
=
1 (----
th 7,44
1 ---)
7,44
= 0,1163
2 X O ,1163 X 1,5 = 0,3490
Carga atuando no 19 vao:
fazendo Ç'
=
=
= 1 ç' e-. -
sh .f'... 7 44 ,9, , ------)
(7,44) 2 ,9, sh 7,44
n, teremos:
x' = 0,0181 n ª1
-5 2;1219 x 10 sh (7,44n).
= -5 O ,0407 n - 4, 7743 xlO sh (7,44 n)
Carga atuando no 29 vao:
fazendo n' = n-1 (Veja Figura IV.5).
= = 0,0407 n' - 4,7743 X 10- 5 sh (7,44 n')
Page 155
140
b) Equação de Compatibilidade:
Substituindo os valores encontrados na equaçao
acima, teremos:
x1 = - 1 0,1165 n O ,1368 x 10-3
sh (7 ,44 n) j para o l9 vão
e
1
-3 X1 = - 0,1165 n' -Q,1368 X 10 sh(7,44n')I para o 29 vão
c) Quadro de valores
Seção n n' xl
o o o 1 o,io -0,0115 2 0,20 -0,0230 3 0,30 -0,0343 4 O, 40 -0,0453 5 0,50 -0,0554 6 0,60 -0,0640 7 O , 70 -0,0691 8 0,80 -0,0669 9 0,90 -0,0495
10 1,00 . l, 00 o 11 0,90 -0,0495 12 0,80 -0,0669 13 0,70 -0,0691 14 0,60 -0,0640 15 0,50 -0,0554 16 0,40 -0,0453 17 0,30 -0,0343 18 O, 20 . ..:0,0230 19 0,10 -0,0115 20 o o
Page 156
o
141
L. I - Bimomento Seçio 10
10 Figura IV.34
20
Quando o momento torçor T =l está aplicado na S~
çao 5 (meio do vio) o bimomento na Seçio 10 sera igual a 0,0554
conforme havíamos anteriormente encontrado no exemplo da
na 74 •
pag.!:_
2 9) Cálculo das Linhas de Influência dos Hiperes.táticos de um
Perfil I 10" x 4 5/8" x 59,6 kg/m.
Características do perfil:
Da Tabela 15. 3, J 1 ° J tiramos que:
= 82,3 cm 4
= 52500 cm 6
Ü''comprimento característicd'terá entio por va-
lor:
Page 157
I 1 .. t
I w
142
82, 3
52500
= 0,0234 -1
cm
19 caso: Viga continua com 2 vaos iguais a 3,00 m
o 10 20 :::zs::
Figura IV.35
Teremos 3,00 m.
a) Cálculo dos coeficientes:
k1 = 2,34 X 3,00 = 7,02
X' = 1
7, O 2
1 (--'---
th 7, O 2
1 ---)
7, O 2
2,34
0,1222
2 X' 1 = 2_x 0,1222 x 3,00 = 0,7329
Carga atuando no 19 vao:
sh (..f'._ 7, O 2)
x' 1 ç' 1 ) = e-
ª1 (7 ,02)2 1 sh 7,02
Page 158
143
Fazendo Ç' = n, teremos:
x' = 0,0203 n ª1
-s 3,6275 x 10 sh (7 ,02 n)
-• 0 ,1827 n - 3, 2648 X 10
Carga atuando no 29 vao:
sh (7,02 n)
Este ciiculo e dispensivel visto ser a viga sim~
tricaem relação a seção 10.
b) Equação de compatibilidade
= - 10,2493 n - 4,4546 X 10-' sh(7,02n)j
e) Quadro de valores de x10 :
Seção n x10
o o o 1 0,10 -0,0246 2 0,20 -0,0507 3 0,3Q -0,0730 4 0,40 ...:o, 0960 5 0,50 -0,1172 6 Q,60 -0,1346 7 0,70 -0,1442 8 0,80 -0,1382 9_ 0,90 -0,1009
10 1 , O O o
Page 159
144
. Linha de Influência de Bimomento para a seçao 10.
o 10 Figura IV.36
29 caso: Viga contínua com 3 vaos iguais a 3,00 m.
o 10 20
2 9, 9, 1 2 3
Figura IV.37
teremos 9,1 = 9, 2 = 9,3 3,00 m.
a) Cálculo dos coeficientes:
= = 2 X, 9,
(já calculado para o 19 caso).
-x· =
1 1 e·----7,02 7, O 2
= 0,7329
1 ----) sh 7, O 2
=
30
0,0200
Page 160
145
E Iw 612 = j' 1 = 0,Q2QO x 3,0Q = 0,0601
Carga atuando no 19 vao:
_, = 0,1827 n - 3,2648 X 10 sh (7,02 n)
(ji calculado para o 1v caso).
=
sendo n'
E Iw 6~ 0 = O
Carga atuando no 29 vao:
t' sh (- 7 ,02) 1 _ç_'__ ··1
(7 ,02) 2 1 sh 7,02
0,1827 n' -
1 -n.
_, 3,2648 X 10 sh (7,02 n')
_, 0,1827 n - 3,2648 x 10 sh (7.,02 n)
Carga atuando no 39 vao:
Page 161
= E I li 2 = w 10
b) Matriz de Rigidez
0,7329
0,0601
146
_, Q,1827 n' - 3,2648 X 10
0,0601
0,7329
e) Matriz de flexibilidade:
1,3737 -0,1126
1 -0,1126 1,3737
d] Equaç6es de compatibilidade:
sh (7,02n)
x10 -1,3737 E Iw ºIO + 0,1126 E Iw 0 20
= 0,1126
Page 162
147
e} Quadro de valores para x10 e x20
Seção n n' E 1w ª1ó Eiw020 XlO x20
o o o o o o
1 0,10 O ,0180 O. -0,0247 0,0020
2 O, 20 0,0359 o -0,0493 0,0040
3 0,30 0,0535 o -0,0735 0,0060
4 0,40 0,0704 o -O ,0967 0,0079
5 0,50 0,0859 o -0,1180 O ,0097
6 0,60 0,0986 o -0,1354 0,0111
7 O, 70 O ,1057 o -0,1452 O ,0119
8 O ,80 0,1013 o -o ,1392 O, 0114
9 0,90 O ,0739 o -0,1015 0,0083
10 1,00 1,00 o o o o 11 0,90 O ,0739 O, 0180 -0,0995 -0,0164
12 O ,80 0,1013 0,0359 -0,1351 -0,0379
13 o, 70 O ,1057 0,0535 -O, 1392 -0,0616
14 0,60 O ,0986 0,0704 -0,1275 -0,0856
15 0,50 0,0859 0,0859 -0,1083 -0,1083
16 0,40 0,0704 0,0986 -0,0856 -O ,1275
17 0,30 0,0535 0,1057 -0,0616 -O ,1392
18 O ,20 O ,0359 0,1013 -0,0379 -0,1351
19 O ,10 0,0180 0,0739 -0,0164 -0,0995
20 o o o o o 21 o O, 0739 0,0020 -0,1015
22 o 0,1013 0,0040 -0,1392
23 o 0,1057 0,0060 -0,1452
24 o O ,0986 0,0079 -0,1354
25 o 0,0859 O ,0097 -O ,1180
26 o O ,0704 O ,0111 -0,0967
27 o 0,0535 O ,0119 -0,0735
28 o 0,0359 O ,0114 -0,0493
29 o 0,0180 0,0083 -O ,024 7
30 ' o o o o 1
"
Page 163
148
Figura IV.38 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 10
o 10 20 30
Figura IV. 39 - Linha de Influência de Bimomento para a S:eção 20
o 10 20
Page 164
149
39 caso: Viga contínua com 4 vaos iguais a 3,00 rn.
o
teremos
10 7\
=
20 :::zs::_
Figura IV.40
30 :::zs::_
= = R. = 3,00 m.
40
a) Cálculo dos coeficientes:
= = = 0,7329
(já calculado para o 19 caso).
29 caso sendo:
E I w º~o= E I
w
(já calculado para o 2 9 caso).
= o
Os termos de carga já foram determinados para o
=
= E I w
E I w
1 620 = E I w
=
=
E I w
E I w
E I w
031
0 = E I ó 2 = O
w 30
Page 165
150
b) Matriz de rigidez:
0,7329 0,0601 o
0,0601 0,7329 0,0601
o 0,0601 0,7329
e) Matriz de flexibilidade:
1,3737 -0,1134 0,0093
-0,1134 1,3830 -o, 1134
0,0093 -0,1134 1,3737
d) Equações de Compatibilidade
-1,3737 E Iw 610 + 0,1134 E I 620 - 0,0093 E I 630 w . w
0,1134 E Iw 610 1,3830 E Iw 6 20 + 0,1134 E Iw 030
-0,0093 E Iw 610 + 0,1134 E Iw 6 20 - 1,3737 E Iw 630
Page 166
151
e) Quadro de valores para x 10 , x 20 e X30
Seção EiwºlO. E I cS w 20 E Iw '\o :x:10 x20 x30
o o o o o o o 1 0,0180 o o -0,0247 0,0020 -0,0002 2 0,0359 o o -0,0493 0,0041 -0,0003 3 0,0535 o o -0,0735 0,0061 -0,0005 4 0,0704 o o -0,0967 0,0080 -0,0007 5 0,0859 o o -0,1180 0,0097 -0,0008 6 0,0986 o o -0,1354 0,0112 -0,0009 7 0,1057 o o -0,1452 0,0120 -0,0010 8 0,1013 o o -0,1392 0,0115 -0,0009 9 0,0739 o o -0,1015 0,0084 -0,0007
10 o o o o o o 11 O ,0739 0,0180 o -0,0995 -0,0165 0,0014 12 0,1013 0,0359 o -O ,1351 -0,0382 0,0031 13 0,1057 0,0535 o -0,1391 -0,0620 0,0051 14 0,0986 O ,0704 o -0,1275 -0,0862 0,0071 15 0,0859 0,0859 o -0,1083 -0,1091 0,0089 16 0,0704 0,0986 o -0,0855 -0,1284 0,0105 17 0,0535 0,1057 o -0,0615 -0,1401 0,0115 18 0,0359 0,1013 o -0,0378 -0,1360 0,0113 19 0,0180 0,0739 o -0,0163 -0,1002 0,0082 20 o o o o o o 21 o 0,0739 0,0180 -0,0082 -O ,1002 -0,0163 22 o 0,1013 0,0359 0,0113 -0,1360 -0,0378 23 o 0,1057 0,0535 0,0115 -0,1401 -0,0615 24 o 0,0986 0,0704 0,0105 -0,1284 -O ,0855 25 o 0,0859 0,0859 0,0089 -0,1091 -0,1083 26 o 0,0704 0,0986 0,0071 -0,0862 -0,1275 27 o 0,0535 0,1057 0,0051 -0,0620 -0,1391 28 o 0,0359 0,1013 0,0031 -0,0382 -0,1351 29 o 0,0180 0,0739 0,0014 -0,0165 -0,0995 30 o o o o o o 31 o o 0,0739 -0,0007 0,0084 -0,1015 32 o o 0,1013 -0,0009 0,0115 -0,1392 33 o o 0,1057 -0,0010 0,0120 -0,1452 34 o o 0,0986 -0,0009 0,0112 -O, 1354 35 o o 0,0859 -0,0008 0,0097 -0,1180 36 o o O, O 70 4 -0,0007 0,0080 -0,0967 37 o o 0,0535 -0,0005 0,0061 -0,0735 38 o o 0,0359 -0,0003 0,0041 -0,0493 39 o o 0,0180 -0,0002 0,0020 -0,0247 40 o o o o o o
Page 167
Figura IV.41 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 10
10 20 30 40
Page 168
Figura IV.42 - Linha de Influ;ncia de .. Bimomento para a Seçio 20
10 20 30 40
Page 169
Figura IV.43 - Linha de Influincia de Bimomento para a Seçio 30
o 10 20 30 40
Page 170
155
49 caso: Viga contínua com 5 vaos iguais a 3,00 m.
o 10 20 30 40 50 _LS... ::::zs::: ::zs: ::zs: 2.S. ..b...
! ,Q, ,Q, g, 9, 1 2 3 4 5
Figura IV.44
teremos ,Q,l = 9, 2 = 9, 3 = ,Q,4 = 9, 5 = 9, = 3,00 m.
a) Cálculo dos coeficientes:
Foram todos calculados para os casos anteriores.
= = = 0,7329
= = = 0,0601
= = o
= =
= = =
= = = o
= = = o
Page 171
=
=
E Iw a;0
E Iw ô40
b) Matriz de rigidez:
0,7329
0,0601
o
o
=
=
e) Matriz de Flexibilidade:
1,3737
-o, 1134
0,0094
-0,0008
156
0,0601
O, 7 3 29
0,0601
o
-0,1134
1,3831
-o, 1142
0,0094
d) Equaç6es de compatibilidade:
=
=
o
o
o
0,0601
0,7329
0,0601
0,0094
-0,1142
1,3831
-0,1134
o
o
0,0601
0,7329
-0,0008
0,0094
-0,1134
1,3737
X20 = 0,1134 E Iw ô10 - 1,3831 E Iw ô20 + 0,1142 E Iw ô30- 0,0094 ETwô40
X40 = 0,0008 E I~ ôlO - 0,0094 E Iw ô20 + 0,1134 E Iw 030 -1,3737 E Iw ô40
Page 172
157
e) Quadro de valores para ;_ 0., Xzo, x30 e x40 .
Seção E 1wªlO E 1w Ózo E 1w 030 E 1w 040 XlO X20 X30 X40
o o o o o o o o o 1 O ,0180 ,O o o -0,0247 0,0020 -0,0002 a 2 0,0359 o o o -O ,0493 0,0041 -0,0003 o 3 O ,0535 o o o -0,0735 0,0061 -0,0005 o 4 O ,0704 o o o -O ,0967 O ,0080 -0,0007 0,0001 5 0,0859 o o o -0,ll80 0,0097 -0,0008 0;0001 6 0,0986 o o o -0,1354 0,0112 -0,0009 0,0001 7 O, 105 7 o o o .:.o, 1452 0,0120 -0,0010 0,0001 8 0,1013 o o o -0,1392 O ,Oll5 -0,0010 0,0001 9 0,0739 o o o -0,1015 O, 0084 -0,0007 0,0001
10 o o o o o o o o ll 0,0739 0,0180 o o -D, 0995 -0,0165 0,0014 -0,0001 12 0,1013 0,0359 o o -0,1351 -O ,0382 O ,0031 -0,0003 13 O, 105 7 0,0535 o o -0,1391 -0,0620 0,0051 -0,0004 14 0,0986 O, 0704 o o -O, 1275 -o ,0862 O ,0071 -0,0006 15 0,0859 O ,0859 o o -0,1083 -0,1091 0,0090 -0,0007 16 O ,0704 0,0986 o o -0,0855 -O, 1284 0,0106 -0,0009 17 0,0535 0,1057 o o -O ,0615 -0,1401 O ,Oll6 -O ,0010 18 0,0359 0,1013 o o -0,0378 -0,1360 O,Oll2 -0,0009 19 0,0180 0,0739 o o -0,0163 -0,1002 0,0083 -0,0007 20 o o o o o o o o 21 o O ,0739 0,0180 o 0,0082 -0,1002 -0,0165 0,0014 22 o 0,1013 0,0359 o O,Oll3 -0,1360 -o ,0381 O ,0031 23 o O ,1057 0,0535 o O ,Oll5 -0,1401 -0,0619 0,0051 24 o 0,0986 0,0704 o 0,0105 -0,1283 -0,0861 O ,0071 25 o 0,0859 O ,0859 o O ,0089 -0,1090 -0,1090 , 0,0089 26 o 0,0704 0,0986 o O ,0071 -O ,0861 -0,1283 0,0105 27 o 0,0535 0,1057 o 0,0051 -0,0619 -0,1401 O ,Oll5 28 o 0,0359 0,1013 o 0,0031 -0,0381 -o ,1360 O ,Oll3 29 o 0,0180 0,0739 o 0,0014 -0,0165 -0,1002 0,0082 30 o o o o o o o o 31 o o O ,0739 0,0180 -0,0007 0,0083 -0,1002 -0,0163 32 o o 0,1013 0,0359 -0,0009 O,Oll2 -0,1360 -O ,0378 33 o o O ,1057 O ,0535 -0,0010 O ,0116 -0,1401 -0,0615 34 o o 0,0986 O ,0704 -0,0009 0,0106 -0,1284 -O, 0855 35 o o 0,0859 0,0859 -O ,0007 0,0090 -O ,1091 -O ,1083 36 o o 0,0704 0,0986 -0,0006 O ,0071 -O ,0862 -0,1275 37 o o 0,0535 0,1057 -0,0004 0,0051 -0,0620 -0,1391 38 o o O ,0359 0,1013 -0,0003 0,0031 -0,0382 -0,1351 39 o o O ,0180 O, 0739 -0,0001 0,0014 -0,0165 -0,0995 40 o o o o o o o o 41 o o o 0,0739 0,0001 -0,0007 0,0084; -0,1015 42 o o o 0,1013 0,0001 -0,0010 O, 0115 -0,1392 43 o o o O, 105 7 0,0001 -0,0010 0,0120 -O ,1452 44 o o o 0,0986 0,0001 -0,0009 0,0112 -0,1354 45 o o o 0,0859 0,0001 -0,0008 0,0097 -O ,1180 46 Q o o O ,0704 0,0001 -O ,0007 0,0080 -0,0967 47 o o o 0,0535 o -0,0005 0,0061 -0,0735 48 o o o 0,0359 o -O ,0003 0,0041 -0,0493 49 o o o 0,0180 o -0,0002 0,0020 -O ,0247 50 o o o o o o o o
Page 173
Figura IV.45 - Linha de Influ~ncia de Bimomento para a Seçio 10.
20 30 46 50
Page 174
Figura IV.46 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 20
o 10 20 30 40 50
Page 175
Figura IV.4l - Linha de Influ;ncia de Bimomento para a Seçio 30
o 10 20 30 40 50
Page 176
Figura IV.48 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 40
o 10· 20 30 40 50
Page 177
162
39) Cálculo das Linhas de Influência dos Hiperestáticos de um
Perfil I 20" x 7" x 148 ,9 kg/m:
Características do perfil
Da Tabela 15. 3, J 1 u J obtemos:
It
I
It
I w
w
= 410 cm 4
= 1240 000 cm 6
=/ 0,7
2
410
1240000
- 1 - 1 = 0,0108 cm =1,08 m
19 caso: viga contínua com 2 vaos iguais a 3,00 (Veja Fig. IV-35)
A) Cálculo dos coeficientes
k! = 1,08 X 3,00 = 3,24
X, = 1 1 (----
3,24 th 3,24
= 2 X' 1 = 2 X 0,2143 X 3,00
Carga atuando no 19 vao:
--1-) = O, 2143
3,24
1,2860
Page 178
163
X~ 1 ç' = (-
fazendo
1 (3,24) 2
n, vem:
x' = 0,0953 n ª1
i
= x' 1 2 = 0,8573 n ª1
b) Equaçio de compatibilidade:
e) Qua·dro de valores de x10
Seçio n
o o 1 0,10
2 O , 20
3 0,30
4 0,40
5 0,50
6 0,60
7 0,70
8 O, 80
9 0,90
10 1,00
E
sh ç' (- 3, 24) ,Q,
)
sh 3,24
0,0075 sh (3,24 n)
0,0673 sh (3,24 n)
= -0,7776 E Iw 010
I º10 XLO w
o o 0,0635 -0,0494
O, 124 7 -0,0970
0,1810 -0,1407
0,2291 -0,1781
0,2653 -0,2063
0,2841 -0,2209
0,2785 -0,2166
0,2389 -0,1858
0,1520 -0,1182
> o o
Page 179
164
Figura IV.49 - Linha de Influ~ncia de Bimomento para a Seçio 10
o 10 20
Page 180
165
29 caso: Viga contínua com 3. vaos iguais a 3,00 m (Veja Figu
ra IV-37)
a) Cilculo dos coeficientes:
E I . o w 22
x' ; 1
3,24
1,2860
1 (---
3,24
(j i calculado para 19 caso)
1 ----) ; 0,0710
sh 3,24
E Iw 012 ; X' t ; 0,0710 x 3,00 ; 0,2131
carga atuando no 19 vao:
(ji calculado para o 19 caso)_
carga atuando no 29 vao:
sh cX 3,24)
x; 1 _ç_'_ - t 2 (3,24) 2 t sh 3,24
E I w
2 01 O 0,8573 n'
sendo n' ; 1-n
0,0673 sh (3,24 n')
Page 181
E Iw iS ~Q =
carga atuando no 39 vao:
E Iw of o = o
b) Matriz de rigidez:
1
11,2860 1
1
10,2131
=
c) Matriz de flexibilidade:
1
10,7996
1-o, 1325
166
O , 2131
1,2860
-0,1325
0,7996
d) Equaç6es de compatibilidade
= + 0,1325 E Iw <Szo
0,7996 E Iw ºzo
Page 182
167
e) Quadro de valores para x10 e ~O
Seção n E I w '5io
E I o X X w 20. 10 20
o o o o o 1
' 0,0635 -o ,0508 0,0084
2 0,1247 o -0,0997 0,0165
3 0,1810 o -0,1447 0,0240
4 0,2291 o -0,1832 0,0304
5 0,2653 o -0,2121 0,0352
6 0,2841 o -0,2272 O ,0376
7 0,2785 o -0,2227 0,0369
8 0,2389 o -0,1910 0,0317
9 0,1520 o -0,1215 0,0201
10 1,00 o o o o 11 0,90 O, 15 20 0,0635 -0,1131 ...:0,0306
12 O, 80 0,2389 0,1247 -0,1745 -0,0681
13 O, 70 0,2785 0,1810 -0,1987 -0,1078
14 0,60 0,2841 0,2291 -0,1968 -0,1455
15 0,50 O , 26 5 3 0,2653 -0,1770 -0,1770
16 0,40 0,2291 0,2841 -0,1455 -0,1968
17 0,30 0,1810 0,2785 -0,1078 -0,1987
18 0,20 0,1247 0,2389 -0,0681 -0,1745
19 0,10 0,0635 O, 15 20 -0,0306 -0,1131
20 o o o o o 21 o 0,1520 0,0201 -0,1215
22 o 0,2389 0,0317 ~0,1910 23 o 0,2785 0,0369 -0,2227 24 o 0,2841 0,0376 -0,2272
25 o O, 26 53 0,0352 -O, 2121 26 o 0,2291 0,0304 -0,1832 27 o 0,1810 0,0240 -0,1447 28 o 0,1247 0,0165 -0,0997 29 o 0,0635 0,0084 -0,0508 30 o o o o
Page 183
Figura IV.50 Linha de Influ;ncia de Bimomento para a Seção 10
o 10
Page 184
Figura IV.51 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 20
20 30
Page 185
170
3 9 caso: Viga Contínua com 4 vaos iguais a 3,00 m (Veja
ra IV-40)
Figu-
a) Cálculo dos coeficientes:
; ; ; 1,2860 (já calculado
para o 19 caso).
; ; 0,2131 (já calculado para o 29 ca
; o
Os termos de carga já foram determinados para o
2 9 caso, sendo:
E I ; E I w w
E I 3 E I 4 o 810 ; 810 w w
E I 1 E I
4 o 620 8 20 ;
w w
E I 1 E I 2 o 030 030 ·-w w
Page 186
171
bJ Matriz de rigidez:
1,2860 0,2131 o
0,2131 1,2860 0,2131
o 0,2131 1, 2860
e) Matriz de Flexibilidade:
0,8002 -0,1363 0,0226
-0,1363 0,8228 -0,1363
0,0226 -0,1363 0,8002
d) Equaç6es de compatibilidade:
=~O 8002 E I ' w ºIO + 0,1363 E Iw 0 20 0,0226 E Iw 0 30
= 0,1363 E Iw 010 - 0,8228 E Iw 0 20 +
= -0 0226 E I ' w + 0,1363 E Iw 0 20 0,8002 E Iw a30
Page 187
172
d} Quadro de valores para x10 , X20 e X30
Seção E \i 610 E ·I º"O E I 030 XlO x20 ~o w ~ w
o o o o o o o 1 0,0635 o o -0,0508 0,0087 -0,0014 2 0,1247 o o -0,0998 0,0170 -0,0028 3 0,1810 o o -0,1448 0,0247 -0,0041 4 O, 2 291 o o -0,1833 0,0312 -0,0052 5 0,2653 o o -0,2123 0,0362 -0,0060 6 0,2841 o o -0,2273 0,0387 -0,0064 7 0,2785 o o -0,2229 0,0380 -0,0063 8 0,2389 o o -0,1912 0,0326 -0,0054 9 0,1520 o o -0,1216 0,0207 -0,0034
10 o o o o o o 11 0,1520 0,0635 o -0,1130 -0,0315 0,0052 12 0,2389 0,1247 o -0,1742 -0,0700 0,0116 13 0,2785 0,1810 o -0,1982 -0,1110 0,0184 14 0,2841 0,2291 o -0,1961 -0,1498 0,0248 15 0,2653 0,2653 o -0,1761 -0,1821 O, O 30 2 16 0,2291 0,2841 o -0,1446 -0,2025 0,0335 17 0,1810 0,2785 o -0,1069 -0,2045 0,0339 18 0,1247 0,2389 o -0,0672 -0,1796 0,0297 19 0,0635 0,1520 o -0,0301 -0,1164 0,0193 20 o o o o o o 21 o 0,1520 0,0635 0,0193 -0,1164 -0,0301 22 .O 0,2389 0.,124 7 O, O 29 7 -0,1796 -0,0672 23 o 0,2785 0,1810 0,0339 -0,2045 -0,1069 24 o 0,2841 .0,2291 0,0335 -0,2025 -0,1446 25 o 0,2653 .0,2653 0,0302 -0,1821 -0,1761 26 o 0,2291 O , 2 841 0,0248 -0,1498 -0,1961 27 o 0,1810 0,2785 0,0184 -0,1110 -0,1982 28 o 0,1247 0,2389 0,0116 -0,0700 -0,1742 29 o 0,0635 0,1520 0,0052 -0,0315 -0,1130 30 . o o o o o o 31 o o 0,1520 -0,0034 O, O 20 7 -0,1216 32 o o 0,2389 -0,0054 0,0326 -0,1912 33 o o 0,2785 -0,0063- 0,0380 -0,2229 34 o o 0,2841 J-0,0064 0,0387 -0,2273 35 o o 0,2653 1-0,0060 O , O 3.'? 2 -0,2123 36 o o 0,2291 -0,0052 0,0312 -0,1833 37 o o 0,1810 -0,0041 0,0247 -0,1448 38 o o 0,1247 -0,0028 0,0170 -0,0998 39 o o 0,0635 -0,0014 0,0087 -0,0508 40 o o o o o o
Page 188
o 10 40
Figura IV.52 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 10
Page 189
20
Eig~ra IV.53 - Linha de Influ~ncia de Bimomento para a Seção 20
Page 190
o 30 40
Figura IV.54 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 30
Page 191
176
4V ~a~o: Viga contínua com 5 vaos 1gua1s a 3,00 m (Veja Figu
ra IV-44}.
a) Cálculo dos, coeficientes
Foram calculados para os casos anteriores:
= 1,2860
Page 192
177
b) Matriz de rigidez:
1,2860 0,2131
0,2131 1,2860
o 0,2131
o o
e) Matriz de Flexibilidade:
0,8002
-o, 1365
0,0233
-0,0039
-0,1365
0,8235
-0,1403
0,0233
d) Equações de Compatibilidade:
o
0,2131
1,2860
0,2131
0,0233
-0,1403
0,8235
-0,1365
o
o
0,2131
1,2860
-0,0039
0,0233
-0,1365
0,8002
X10 ; -0,8002 E Iw 010 + 0,1365 E Iwô.zO --0,0233EI1!a' ~O +0,0039 E Iwo40
x20
; 0,1365 E Iw 010 - 0,8235 E Iw 620 + 0,1403 E Iwo30 - 0,0233 E Iwo30
X30 ; -0,0233 E Iw 010 + 0,1403 E Iw 620 - 0,8235 E Iwo30
+ 0,1365 E Iwo40
x40
; 0,0039 E Iw ºlO ~ 0,0233 E Iw 020 + 0,1365 E Iwo30 - 0,8002 E Iwo40
Page 193
178
e) Quadro de valores. para ~O, X20 , X30 e x40
Seção E 1w 010 E 1w 020 E I f . . f
XJO x20 ~o x40 º-o, E I04QI (;J .') . w . ,,
o o o o o o o o o 1 0,0635 o o o -0,0508 0,0087 -0,0015 0,0002 2 0,1247 o o o ~0,0998 0,0170 -0,0029 0,0005 3 0,1810 .. o º· .o -O, 1448 0,0247 -0,0042 O ,0007 4 0,2291 o o o i-0,1833 0,0313 -0,0053 0,0009 5 0,2653 o o o ~0,2123 O ,0362 -0,0062 0,0010 6 O, 2841 o o o i-0,2273 0,0388 -0,0066 O ,0011 7 0,2785 o o o t-0, 2229 0,0380 -0,0065 O ,0011 8 0,2389 o o o ~0,1912 O, 0326 -0,0056 0,0009 9 O ,1520 o o o -0,1216 0,0207 -0,0035 0,0006
10 o Q o o o o o o 11 O, 1520 0,0635 o o -o ,1130 -O ,0315 O ,0054 -0,0009 12 0,2389 0,1247 o o -0,1741 -o ,0701 O ,0119 -0,0020 13 0,2785 0,1810 o o -0,1981 -O ,1110 0,0189 -0,0031 14 0,2841 0,2291 o O, -0,1961 -0,1499 0,0255 -0,0042 15 0,2653 0,2653 o o -0,1761 -0,1823 0,0310 -0,0051 16 0,2291 0,2841 o o -0,1445 -0,2027 0,0345 -0,0057 17 O ,1810 O ,2785 o o -0,1068 -0,2046 0,0349 -0,0058 18 0,1247 0,2389 o o -O ,0672 -O, 1797 0,0306 -0,0051 19 0,0635 O, 1520 o o -O, 0301 -0,1165 0,0198 -0,0033 20 o o o o o o o o 21 o O, 1520 0,0635 o 0,0193 -O ,1163 -0,0310 0,0051 22 o 0,2389 0,1247 o O ,0297 -O, 1792 -0,0692 0,0115 23 o O, 2785 0,1810 o 0,0338 -0,2040 -0,1100 0,0182 24 o 0,2841 0,2291 o 0,0334 -0,2018 -0,1488 O ,024 7 25 o 0,2653 0,2653 o 0,0300 -0,1813 -0,1813. 0,0300 26 o O ,2291 0,2841 o O ,024 7 -0,1488 -0,2018 0,0334 27 o O, 1810 0,2785 o 0,0182 -O ,1100 -o, 2040 0,0338 28 o 0,1247 0,2389 o 0,0115 -O ,0692 -O ,1792 O, 0297 29 o 0,0635 0,1520 o 0,0051 -O ,0310 -O, 1163 O ,0193 30 o o o o o o o o 31 o o O ,1520 0,0635 -0,0033 0,0198 -O ,1165 -0,0301 32 o o 0,2389 0,1247 -0,0051 0,0306 -o ,1797 -O ,0672 33 o o 0,2785 0,1810 -0,0058 0,0349 -0,2046 -0,1068 34 o o 0,2841 O, 2291 -0,0057 0,0345 -0,2027 -0,1445 35 o o O, 2653 0,2653 -0,0051 0,0310 -0,1823 -0,1761 36 o o 0,2291 0,2841 -0,0042 0,0255 -0,1499 -0,1961 37 o o 0,1810 O, 2785 -0,0031 O ,0189 -0,1110 -O, 1981 38 o o 0,1247 0,2389 -0,0020 O ,0119 -o ,0701 -0,1741 39 o o 0,0635 O ,1520 -0,0009 0,0054 -0,0315 -O, 1130 40 o o o o o o o o 41 o o o O ,1520 0,0006 -O ,0035 ' 0,0207 -0,1216 42 o o o 0,2389 0,0009 -0,0056 0,0326 -0,1912 43 o o o 0,2785 O ,0011 -0,0065 O ,0380 -0,2229 44 o o o 0,2841 O ,0011 -O ,0066 0,0388 -0,2273 45 o o o 0,2653 0,0010 .:.o ,0062 O ,0362 -O, 2123 46 o o o O, 2291 0,0009 -0,0053 0,0313 -0,1833 47 o o o O ,1810 0,0007 .:.0,0042 0,0247 -O ,1448 48 o o o 0,1247 0,0005 -0,0029 O ,0170 -0,0998 49 o o o 0,0635 0,0002 -0,0015 0,0087 -0,0508 50 o o o o o o o o
Page 194
o 10 40 50
Figura IV.55 - Linha de Influ~ncia de Bimomento para a Seçio 10
Page 195
20 50
Figura IV.56 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 20
Page 196
o 30 50
Figura IV.57 - Linha de Infiu~ncia de Bimomento para a Seçio 30
Page 197
o 10 40 50
Figura IV.58 - Linha de Influincia de Bimomento para a Seçio 40
Page 198
183 ..
IV. 3 - Linhas de Influência das Seções Intermediárias
Conhecidas as ordenadas das linhas de influência
dos hiperestáticos, a obtenção das linhas de influência de uma
seção qualquer será feita a partir da equação:
B +
sendo
i:: l
B~ l
x. l
B0
+ bimomentos da haste simplesmente apoiada sujeita ao carr~
gamento externo T = 1 aplicado na seção em ques tio.
T=~
s .6..
Figura IV.59
B7 + bimomento na seçao em questão, da haste simplesmente apoi~ l
da sujeita ao hiperestático X. = 1 l
Figura IV.60
Page 199
184
X- + ordenadas da linha de influência do hiperestático. l
IV.4 - Exemplo Numérico
Cálculo da Linha de Influência da Seção 5 do
perfil LJ 6 11 X 211 X 23,1.
o 5 10 20
1,50 1 1, 50 l Figura IV.61
a} Determinação de B0
A expressao de B0
foi determinada no exemplo
do item III-3:
e
sh (4,96 x)
204,79
; sh (4,96x)
204, 79
s]:i (d, 9fi x1)
4,96
para O:,x:,0,75
para 0,75:, X:, 1,50
Page 200
185
b) Determinação de B~ 0
A express-ao de
exemplo citado anteriormente:
também foi determinada
= sh (4, 96 x)
851,37
sh (4,96 X 0,75)
851, 3 7
c) Determinação de x10
= 0,0242
no
A Linha de Influência do hiperestâtico X10 foi
calculada no primeiro exemplo do item IV.2 (Veja Figura IV.3~.
d) Determinação de B5
B5 = BO + BlO \o
sh e 4 , 9 6 x) sh (4,96 ,xi)
B5 = + 0,0242 XlO 204,79 4,96
Page 201
186
QUADRO DE VALORES
Seção X xl BO XlO B5
o o - o o o '
1 0,15 - 0,0040 -0,0115 0,0037
2 0,30 - 0,0073 -0,0230 O, 006 7
3 0,45 - 0,0225 -0,0343 O, O 217
4 0,60 - 0,0478 -0,0453 0,0467
5 0,75 o 0,1007 -0,0554 0,0993
6 0,90 0,15 0,0478 -0,0640 0,0462
7 1,05 O, 30 0,0225 -0,0691 0,0208
8 1,20 0,45 0,0073 -0,0669 0,0086
9 1,35 0,60 0,0040 -0,0495 O, O O 28
10 1,50 0,75 o o o
11 - - o -0,0495 -0,0012
12 - - o -0,0669 -0,0016
13 - - o -0,0691 -0,0017
14 - - o -0,0640 -0,0016
15 - - o -0,0554 -0,0013
16 - - o -0,0453 -0,0011
17 - - o -0,0343 -0,0008
18 - - o -0,0230 -0,0006
19 - - o -0,0115 -0,0003
20 - - o o o
Page 202
187
Quando T = 1 está na posição 5, o bimomento da
seçao 5 é igual a +0,0993 conforme havíamos encontrado no exem
plo do item III.3 (veja Figura III.10).
o 5 10 20
Figura IV.62 - Linha de Influência de Bimomento para a Seção 5
IV.S - Observações Finais
1~) Os pontos máximos das Linhas de Influência dependem do
perfil.
Observe-se o quadro comparativo onde sao indica
das as seçoes correspondentes aos pontos máximos das Linhas de
Influência traçadas para os perfis I 10" x 4 5/8" x 59,6 e
I 20" x 7" x 148,9.
Page 203
QUADRO COMPARATIVO DOS PONTOS MÁXIMOS DE BIMOMENTO
' 1 ' ' 1 1 1
Tipo de XlO
vao xzo X30 x4o
1 O 11 20 11 1 O" 20 11 l o li . 20" 10 11 . 20 11
o 10 20 7 e 13 6 e 14
"" "" Z>. Fig.IV,-36 Fig. IV-49
o 10 20 30 7 e 13 6 e 13 17 e 23 17 e 24
"' 2S :zs: zs. Fig.IV-38 Fig.IV-50 Fig.IV-39 Fig. IV-51
o 10 20 30 40 7 e 13 6 e 13 17 e 23 17 e 23 27 e 35 27 e 34 Ã :zs: zs: :zs: Z:., - Fig.IV-41 Fig.IV-52 Fig. lV-42 Fig. IV-53 Fig. IV-4:, Fig.IV-54
o 10 20 30 40 50 7 e 13 6 e 13 17 e 23 17 e 23 27 e 33 . 27 e 33 . 37 e 43 .. 37 e 44 ~ :zs: :zs: zs: zs: . n Fig.lV.45 . Fig.IV,-55 Fig. IV-46 Fig. IV-56 Fig. IV-4 7 Fig.IV-57 Fig. IV-48 Fig. IV-58
Page 204
189
2~] Perfis com comprimento característico k
nulo.
~proximadamente
Conforme vimos no item II. 6 , neste caso, aso
luçio da equaçao diferencial se simplifica e ocorrera uma analo
gia com a Teoria da Flexio. As Linhas de Influência para momen
tos fletores passam entio a serem vilidas para o bimomento.
Lembramos que infelizmente esta simplificaçio nao
ocorre para os perfis laminados cujo valor de k nao e despr~
zível.
Para efeito de comparaçao foi traçada a Linha de
Influência de momentos fletores da viga coritínua com dois vaos
iguais a 3,00 m. Foi utilizada a Tabela de Anger.
ser- e:, O) e:, tj- e:, O) e:,
"" tj- tj- <'-l .--< 00 ,-._ <D tj- e:, ,.,, 00 00 <D .--< .--< <'-l <'-l <'-l <'-l <'-l <'-l . C) e:, e:, e:, e:, e:, e:,
o 10 20
Figura IV.63
Page 205
19 O
Comparando estes valores· com os encontrados para
as Figuras IV-36 (perfil ·r 10) e IV-49 (perfil I 20) observa
-se uma variação de até 202% conforme atesta o Quadro a seguir:
Seção Anger 110 Anger 120
Anger 1 10 120
O = 20 o o - o -1 = 19 ,.;o ,0744 -0,0246 3,02 -O ,0494 1,51
2 = 18 -0,1440 -O ,0507 2,84 -0,0970 1,48
3 = 17 -O, 2049 -0,0730 2, 81 -0,1407 1,46
4 = 16 -0,2520 -0,0960 2,63 -0,1781 1,41
5 = 15 -0,2814 -0,1172 2, 40 -0,2063 1, 36
6 = 14 -0,2880 -0,1346 2,14 -0,2209 1,30
7 = 13 -0,2679 -0,1442 1,86 -0,2166 1,24
8 = 12 -0,2160 -0,1382 1,56 -0,1858 1,16
9 = 11 -0,1284 -0,1009 1, 2 7 -0,1182 1,09
10 o o - o -
Lembrando que os perfis I10" e I 20" aprese!!.
taram, respectivamente,
k = 2, 3 4
ki = 7,02
-1 m e
e
1,08
3,24
-! m
a) Ambos deverão ser considerados como hastes de paredes delg~
das (.k. < 127 m- 1) de acordo com Zbirohowski-Kõscia;
b) Segundo Kollbrunner e Basler, para o perfil I 10" (ki:> 5)
a torção de Saint-Venant domina sendo que para o perfil I 20"
(2 < ki < 5) a torção é mista. Isto é, em nenhum dos casos
existe preponderância da torção de empenamento, não se admi
Page 206
191
tindo portanto, a simplificação da equaçao diferencial.
c) Para o perfil I 10" as variações foram maiores (de 202% a
27%) que as do perfil I 20" (_de 51% a 9%). Portal).to,
quanto maior o valor de k mais se distanciam os valores da
linha de Influência . daqueles. obtidos para a Flexão Sim
ples.
3~) Para as vigas dotadas de balanços, o procedimento para a
determinação das Linhas de Influência é o mesmo, bastando acres
centar o trecho correspondente ao balanço.
Page 207
19 2
CAPITULO V
DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES
Determinação das Tensões num perfil LJ 6'.' x 2" x
x 23,1 kgf/m (0,231 KN/m) sujeito i ação do carregamento indi
cado na Figura V.l.
P= 10 KN p
o l 10 20 l ·x
z~
J 1,50 J 1,50 l y
Figura V.l
a) Determinação das Tensões Normais
Determinaremos as tensõ·es nos pontos indicados
na Figura V.2
7, 62 7,62
1,38 '1 42 ,
z CG
4,41
-· -y
j_J_o ,89
Figura V.2
Page 208
193
O carregamento indicado provoca urna dupla solici
tação no perfil:
1 ~) A carga P ocasiona a açao de momentos fletores paralelos
ao eixo Z (além daqueles provocados pelo peso próprio);
2~) Esta carga P, uela µosiçao em que está atuando (fora do
centro de cisalhamento) ocasiona a ação de momento torçor na Se
ção S de valor igual a
T = P x 7 , 1 7 cm = 71 , 7 KN cm
No exemplo em questão, as tensões normais serao
provocadas pelos momentos fletores e pelos bimomentos.
Pelo princípio da superposição de efeitos, temos
a expressao da tensão resultante:
(J X
M _y_ + B z
Do Capítulo I, item I.4 ternos:
Iz 52 ,4 cm"
Iw 2288 cm 6
(JJ
Page 209
194
Quadro das tensões devidas ao peso próprio (em KN/cm~)
Ponto A ; c B ; D
Seção l~(cm) z(cmKN),
+ 4, 41 - 1, 38
O ; 20 o o o
1 ; 19 1,69 +0,14 -0,04
2 ; 18 2, 68 +0,24 -0,08
3 ; 17 3,51 +0,30 -0,09
4 ; 16 3,64 +O, 31 -0,10
5 ; 15 3,25 +0,27 -0,09
6 ; 14 2,34 +O, 20 -0,06
7 ; 13 0,92 +0,08 -0,02
8 ; 12 -1,03 -0,09 +0,03
9 ; 11 -3,50 -0,29 +0,09
10 -6,50 -0,55 +0,17
No Capítulo I item I.4.3 calculamos os valores
de w e no Capítulo III item III.3 os valores de B para J;lmKN
que nos permitem elaborar o quadro seguinte:
Page 210
19 5
Quadro das tensões devidas a carga vertical P (em KN/cm 2) (efel
to de flexão)
~ Ponto A = C B = D
Seção M~ z (.cmKN +4,41 -1,38
o o o o 1 60,95 5,13 -1,61
2 121,89 10,26 -3,21
3 182,84 15,39 -4,82
4 243, 78 20,52 -6,42
5 304, 73 25,65 -8,03
6 215,67 18,15 -5,68 7 126,62 10,66 -3,33
8 37,56 3,16 -0,99
9 -51,50 - 4,33 +1,36
10 -140,63 -11,84 +3,70
11 -126,63 -10,66 +3,33
12 -112,56 - 9, 4 7 +2,96
13 - 98,49 - 8,29 +2,59
14 - 84,42 - 7,10 +2,22
15 - 70,35 - 5,92 +1,85
16 - 56,28 - 4, 74 +1,48
17 - 4 2, 21 - 3,55 +1,11
18 - 28,14 - 2 , 3 7 +O, 74 19 - 14,07 - 1,18 +0,37 20 o o o
OBSERVAÇÕES:
As tensões normais devidas ao Bimomento sao des
prezíveis para o exemplo em questão (aB = - 1- a M ) . Como este 300 1 z
exemplo foi elaborado em vistas a experimentação ter-se-ia de
Page 211
196
colocar momentos torçores maiores para que aparecessem tensões
normais significativas.
Quadro das tensões devidas aos Bimomentos (em KN/cm 2)
Ponto A B e D
Y ( cm) Seção
B(cm 2 KN -26, os +10,40 -10,40 +26,05
o o o o o o 1 0,28 ' -0,00 +0,00 -0,00 +0,00
2 0,72 -0,01 +0,00 -0,00 +0,01
3 1,59 -0,02 +0,01 -O, 01 +0,02
4 3,38 -0,04 +0,02 -0,02 +0,04
5 7,12 -0,08 +0,03 -0,03 +0,08
6 3,22 -0,04 +0,01 -0,01 +0,04
7 1,19 -0,01 +.O, 01 -0,01 +0,01
8 -0,16 +0,00 -0,00 +0,00 -0,00
9 -1,60 +O, O 2 -0,01 +0,01 -0,02
10 -3,97 +0,05 -0,02 +0,02 -o.os 11 -1,89 +0,02 -0,01 +0,01 -0,02
12 -0,90 +0,01 -0,00 +0,00 -0,01
13 -0,42 +0,00 -0,00 +0,00 -0,00
14 -0,20 +0,00 -0,00 +0,00 -0,00
15 -0,09 +0,00 o o -0,00
16 -0,04 o o o o 17 -0,02 o o o o 18 -0,01 o o o o 19 -O, 01 o o o o 20 o o o o o
b) Determinação das Tensões Tangenciais
As tensões tangenciais serao provocadas, pelo es
Page 212
forço cortante
na Figura V-4.
3,63
197
e pela torção, sendo sua expressao resultante:
s t s V
z ± T s T w
T = + y V w
t I It t I s z s w
Determinaremos as tensões nos pontos indicados
1,42 .
í - - - - - - - - - - -- - - - ::, 1
.: =t 0,78 1
1
1
l
JJ 0,89
X CG
14,35
Figura V.3
1
1
1
1
1 1
Ll
5,08
Já sabemos que:
I2
52 ,4 cm 4
= 2288 cm 6
O momento de inércia a torção terá para valor:
t3
z s n = 2 X 5, 08 ·x o 89 3
' + 14, 35 X 1 42 3
' = 16,l cm" n n
3 3 3
Page 213
SF ; o z
SE ; 2 X z
198
Determinemos o diagrama do Momento Estático S : z
0,89 X 3,63 e 3, 6 3 + 0,78) ; 16,77 cm 3
2
As tensões devidas ao peso próprio terão parava
lares nas diferentes seções: (em KN/cm 2)
Ponto F F
Seção s !'---. z (cm 3 ) 16,77 o
.vy c~(cm) 2 X O, 89 15,24
o ; 20 +0,13 +0,02 o
1 ; 19 +O, 1 O +0,02 o
2 ; 18 +O, 06 +O 01 o. . '
3 ; 17 +0,03 +0,01 o
4 ; 16 ±0,01 = o o
5 ; 15 ±0,04 ±0,01 o
6 ; 14 ±O, 08 ±0,01 o
7 ; 13 ±0,11 ±0,02 o
8 ; 12 ±0,15 ±0,03 o
9 ; 11 ±0,18 ±0,03 o
lOE; 10° ±0,22 ±0,04 o
Page 214
199
Ponto .E F
Seção 1~ 0,89 1,42 )
o - 31,27 - 1,73 - 2;76
1 - 30,77 - 1,70 - 2, 71
2 - 29,00 - 1,60 - 2,56
3 - 24,91 - 1,38 - 2,20
4 - 16,14 - 0,89 - 1,42
5 + 2,39 + O, 13 + O , 21
6 + 20,64 + 1,14 + 1, 8 2
7 + 28,41 + 1,57 + 2,51
8 + 30,20 + 1,67 + 2,66
9 + 27,05 + 1,50 + 2,39
10 + 17,15 + 0,95 + 1,51
11 + 6,55 + 0,36 + 0,58
12 + 1,71 + 0,09 + 0,15
13 - 0,58 - 0,03 - 0,05
14 - 1,67 - 0,09 - 0,15
15 - 2,19 - 0,12 - 0,19
16 - 2, 43 - 0,13 - O, 21
17 - 2 , 5 5 - 0,14 - 0,22
18 - 3, 60 - 0,14 - 0,23
19 - 2,60 - 0,14 - 0,23
20 - 2,60 - 0,14 - 0,23
Page 215
zoo
Tensões devidas ao esforço cortante provocado pela carga P for
mar ao o seguinte quadro: (em KN/cm 2)
Ponto F F
Seção "----Sz (cm 3.). 16 ,77 o
Vy(KN~) 2x0,89 15,24
0=1=2= 4,06 - O, 7 3 o -=3=4=5E
sº=6=7=
=8=9=10E + 5,94 + 1, 07 o
10º=11=12=
=13=14=15= - 0,94 - O, 17 o
=16=17=18=
=19=20
As tensões devidas ã torção de Saint-Venant (que
está calculada no Capítulo III item III.3 para T = 1 mKN) te
rão para valores nas diferentes seções, os indicados no quadro
a seguir:
Page 216
201
As tensões devidas à torção de empenamento (que
foi calculada no Capítulo III, item III.3) terão os valores in-
dicados no quadro abaixo (em KN/cm 2). Os valores de Sw
calculados no Capítulo I, item I.4.4.
'
Pontos E F
Seção S: (cm ) w - 42, 1 - 17, 6
Tw(cmKN~ 0,89 1,42
-o - 1,71 + 0,04 ± 0,01 -1 - 2,21 + 0,05 ± 0,01 -2 - 3,99 + 0,08 ± O, O 2 -3 - 8,07 + 0,17 ± 0,04
4 -16,84 + 0,35 ± 0,09 5E -35,37 + 0,73 ± O, 19 5D +36,33 0,75 - 0,20 ± +
6 + 18,08 ± 0,37 + 0,10
7 + 10,31 ± 0,21 + 0,06 -8 + 8,52 ± 0,18 + 0,05
9 + 11,67 ± 0,24 + 0,06 10E 21,57 0,45 - 0,12 + ± +
10D - 19,67 + 0,41 ± 0,11
11 - 9,34 + 0,19 ± 0,05
12 - 4,44 + 0,09 ± 0,02 -13 - 2,11 + 0,04 ± 0,01 -14 - 1,00 + 0,02 ± 0,01 -15 - O , 4 7 + 0,01 0,00
16 - 0,23 0,00 0,00
17 - 0,11 0,00 0,00
18 - 0,05 O, 00 0,00
19 - 0,02 0,00 0,00
20 - 0,01 0,00 0,00
foram
Page 217
202
Somando os valores encontrados, obteremos as ten
soes tangenciais resultantes (em KN/cm 2)
~ E F o
o -2,52 -2,77
1 -2, 50 . -2,72
2 -2,42 -2,58
3 -2,29 -2,24
4 -1,97 -1, 51
5E -1,32 +0,40
5D +1,96 +0,41
6 +2,59 +1,92
7 +2,87 +2,57
8 +2,95 +2, 71
9 +2,84 +2,45
10E +2,51 +1,63
10D +0,33 +1,62
11 -0,03 +O, 63
12 -0,20 +0,17
13 -0,26 -0,06
14 -0,29 -0,16
15 -0,31 -o, 19
16 -O, 30 -0,21
17 -0,30 -0,22
18 -0,30 ...:o, 23
19 -0,29 -0,23
20 -0,29 -0,23
Page 218
203
CAP!TULO VI
CONCLUSÜES
Da exposição feita conclui-se que o Bimomento
apresenta um comportamento hiperestático análogo ao das demais
solicitações.
Para esse fim a Bibliografia existente, embora
reduzida, já dispõe de elementos e de tabelas de ampla possibi
lidade de aplicação nos projetos correntes.
Em casos particulares corno o que se analisou no
Capítulo II em que a constante G It foi considerada desprezf
velem face de E Iw ainda se torna viável a simplificação de
cálculo tal corno sugerida na obra de Vlasov. Conforme aprese~
tarnos no texto esta simplificação não foi exequível no exern-
plo em que tentamos o uso das tabelas de Anger.
O que se conclui é que a simplificação requer em
cada caso urna avaliação prévia. Avaliação essa sempre recornen
dável pela possível simplificação nas tarefas de cálculo.
A orientação que demos ao cálculo das Linhas de
Influência para a qual não havíamos encontrado encaminhamento
idêntico é passível de estender-se a quadros e mesmo a peças
curvas, assunto que propomos para estudos futuros, inclusive
com preparação de programas computacionais específicos.
Page 219
204
Concluímos então que o Bimomento pode ser consi
derado corno urna sétima solicitação. Apresentamos para o seu es
tudo urna metodologia não muito divulgada, sendo que a redação
procurou ter uma seqüência capaz de ser utilizada oelos estu
diosos da matéria pela primeira vez.
Page 220
205
APENDICE
Como as tabelas de Kollbrunner e Hajdin foram a~
plamente utilizadas, chamamos a atenção para alterações nas fó~
múlas da Tabela 3 n9 1, Tabela 1 n9 9 e Tabela 1 n9 5, aler
tando assim futuros usuários.
Dessas alterações damos comprovaçao na troca de
correspondência mantida com os referidos autores.
Page 221
lNGilID ILG
Jhu Jl r:SIIIQUi, J't.l<ll'fl~ 1".• •• TI.J<'C: .. • "lo "" .>•>:><IO<o • <MI
206
~\, 9utv\JJ,1., f-.k-v'- f>-v:c(- . l!o~-ú..,'l, >
1;k.1i" +.~ Wf:1=~~ ~· kJ:Jc úc1-.\..C ~
c{e,,,.,, UY,k, ~kvt vGvv /2'c cf:_c_ j<-.'\LÍ-'\,C . 'J.'V\., IYYlC -
~ .,L.,5:.tv-..ifdz · ~ ~ /)~\.~-{Á {7'/+cê-)
ff~. .4v fuGcn\~n,t.AV-·\,W~p.,,,.,, - .J-&,_;é,_f!::, .,-,,..,d CÚ: L
~ w.v /"'h,{f, -kL,~ tfYICMtÍ,-,,vJ ~--vvJ dw Jrt.~'"'7,J
.e,:\"\Yl.,, /!.cK!úfv>~ lMv $"~-Svi,. ~ -ffv,..y~ d'.<'.1.-
if'J..4-C .;?'Yv-é;)f',wf,,/::: '{kc,-,,,-,,,{Cv,yl'fr ,j:t/.,J.~ .,uv..ic,1,
íc~.'" - c,lu,,..d~ (Ay;U,1..- ,/1..é:ge/L '." 'i.c,c'v .J!'-<<-f.<.c :fe;.,,s._,,, b.,uJ'.,JA, 'if-h,;A1-- > --í'"'-46.~""
"ÂÍ,l,YV'W:<-.~J<- ..JC:::..C-e ~ f!V"'~'<r'l, .k-J</.)-k'.. ~
&~ ]L ': W't'1... ~ kA.. .()0-{!.e_ ~ -0-~frtvf'v h .ftiélé..1, ~{,J_ --t-u-i!.u:.c~ ~'\<t.
~. l~*-'<u__ D-,~ /fh.isdlu:_ -fa_,c'.,__ uÍ'\,, L/ J/?J:J_ --<hvL
d-.J. ~lk~ ~ ~ cf"'h-...C'Y.),2,..,__ }1{;/\,~ -
4(1:~'\,,Yw--,'ff' i '+v--- ,s.ê. ~~t__.,_,. \rJaYV>-v k --nL.,~
~clJ.,,,, e,"ftt; U-.'\il-'\,Ç),.,uJ0J,..r ~ cÜ<-,~V\,,~7"
(L~ d,\,,,,J'--~'-'f"v"'/__c_ -r~ J{,,-~-e_,,,___ ) -,-vv&-d .. (;;l k .e.é) "r'Vv{ ..J.:.-;r<L -eJ.~.'..J._ c;i,9vv •
v
Page 222
Tw -== T u0o + z_ T wê '/ t, r~~-,= l;i/n,,.t b
~,c0_--4
'I. , Tu; , -l • •. - [~
:t-
e
-12 ,},'f
31G
12 ~e
1s e= l_çc +-
t,.
u=~ 1± :z-- J X ~ ./2,(__ - l..
-
. Tt.cç . /1-Tw1
-972 8'1 1 -f),'fs
- lf'f-!?,2~ --2.'I oc ,
-~Cd\·13 -'+?, 1P
·-ºUi' G'+ }
-C/C7'l 1
- s.2 117 _.{'JG,13
- 'to,:?'+ - 4-J.G ./') 1
2- Tst 'l e,
207
_ 1'i; 'I-S- Le--Á ~ :t-
Tw Tu0 -+ 11Tw,
_qqç '<.~ 1
- 'l-7{;,.:;
- .zsl,3~ -U"l,4-s
-.:/.'+&' 3ü /
-'+6'7,CI
TX, = [ j _ ~ (P~ ~ U,:Wv Í'.J.'1, -f- f2, ç,,;J,~ÇJ /--!:;:. _ .'.(~CC·,t-'17.:\à''t'-'-"'"-~CH· T /.U.nJ... ~ . +e;b Ltr ~ .iz:c
Y1~1 = [-J.. ·_ l (oi,._ é :t j' Xi == -1C'l S 'l + J, 7 '/-t; ú.qíó Í2- '.r .i!.. ~~m , .
Page 223
208
Ts Ili /JUllí ]: Ts.:, 'X1 T<.. TSo+X/111 /J 0R. tlt//T 7;-t-Tv,=T
o 1:r,,s'i -9;),C(, G.3()7J ! 97!/- ~3!(i,S-1 ~ -'lGo. Cié.
A,:,, ,N~/<, -8G,,1 ,/./Â; 7.{ t ,/'7 3 - -~5'1,51
:J,tt -tf./,8? -lb,3V _ ,ic,1-,:i -16& -3,>°~b-2.
", (, '1
-is1,,t -,/1,~72 - i?l:;08 -;263 ~ 359,S-1
4:8 - !97,S3 i?&H _.f.U/!Z -1.73 - 35'/,.Ç <. 1
,
So -.?.c9,f G ~16,Gs +./07,'Jll +J.(;~ -3,'l, ,'L
f;_,.,,, : ' ' <".L<c' a .. ,'lCl,c,..;...1-, ~71,, -{z:c,Á,_ {-(_V1., :
1w is
]: Ts IN 8CX.I+ T? Tr.-t-Tw
o +'IJ.'R/!k + ./oG,?l +-../6<J +li':1'1;6 :2. ~ +?i3'f ók.
1,(, +.:JSO}t -r-2b'+,:io +'f:2:l, +- !:, 1 '+, (, ?,,
3:), t-b'/,'1-J + 1:2 '7, ,/3 +~99 +./9'-i,b/ 1
4;8 -c-~~,c,( -88'/s' 1 -H"l -,1.-i_ S/1-.,/
G,L/ -U1R7 -:2(;./ (,e, . 1
-lf.,/G - '-1 't-ç, 't 7
J;o -5'1-'t,5'/- --' -2 ,/ 8,1, l -3'f:2; - 76ç;(,~ ~ - 76G oi<
o t.'.2.fc/,'/] -::i,q,o, -?,'-f-'.l. +Jú'/2- •; :2 ~ Ck. 1
A,2 +-iC'+,U. .· -1?3/li -H{ .,_.;zcy1{
·~'f i-M;,c11 -./ s, :i./ -'t:1. +;;i_c/72.
3,b -~y3i, + 31,07 +:.i.i +2C,'71.
Y;J _ -b3,13 +.í'J,Ss -d.;(9 t 2(, 7 J.. 1
~(; -lS't;O) +n+,'lq +:2.7'7 . +.2(;,'72...
o j-.').J.),:!f. + n is,'74 +27/ f L-tCC a; · Ok '
' ·d7:2. Cj15 J· n<+, 1e: -t .23,;;crc +- L/(;Ú, (;ú
~ Qj ! t ./ 'ib,68 t:is?i 3,.., 1 +397 1 t L-f{)C100 . , ·
Page 224
209
:/.,,,, .d'-"<Â, a:iuz.J ;
E -IC,cw J = Jf 1ç {ç J.2 ~ft /~w d..t =-~ T" /-1: X
d.:<1--,~v v'~ 'h'0-,"-, Y,~~ ~ ; [FJ'ww !] =[+~-",É~ fL] = [1="L:]
d;_,k,'-'--g,(., \_.
fJ'w00 J-=
3"..) J<Ji~ 1 J #)\. ~ -k~Q f(:l 1-/
~'- #t;.dc ~:
' {~,(_ e-1,'- cl<L .! /\,:,__(!J::?) 1/\,'1. u::. ,'.
16 J.s!J6. .k. 'S cwt{, fc:t \- -t. 0..., .e;, ;,;1 ~~ .
Page 225
DR. se. TECHI!. DR. se. HCliM. H.C.
(TllT F, "-01.1,BHt!."'i."',l•~lt OIPL. SAU·ING(Nl[UA E.1.H. ING.·CONSfü
Frllule,ln Ingrid Ilg Rua Hernr ique Fleiuao Nr. 22 Tijuca Rio de Janeiro 205 21 Eras 11 ien
Sehr geohrtea Frãulein llg,
210
SíO~ zor.r.IKONi'ZH Wi1ellj\.er1:t.!:i0,
l'Dllttl111ei.\:e,10 W·fch .:i.33 '/OS
24.1.1982
Flugpost
Ihren Brieffom ll.lel982 habe ich Herrn Profesoor Hajdin in Beograd 7.ur Bea.ntwortung zugestellt. Er wird lhnen direkt achreiben.
Mit freundlichen Grüssen
Dr. e. F. Kollbrunner
Kopie z.K. und Bea.ntwortung an : Herrn Prof. Dr. N. Hajdin Tetovska 12, YU - 11000 Beograd J-ugoslawien
Mit der Bitte um direkte Beantwortung. Eine Kopie Ihres Briefe& bitte an mich.
Mit freundlichen Crüssen
Dr. e. F. Kollbrunner
Beilage Brief vom. 11.1.1982.
Page 226
Dr. se. !cchn. Nikola HAJDIN, Oipl. Bau.~lng. o. Profes~or en der r a~ultã! für Oauingenieurwesen der Universil.'il Beograd.
211"
o. Mit.;!ie>d der Serl,ischen Al~demie der Wisscnscha!tcn uod Künste
Fraulein
Frau Ingrid I'lg
Rua Henrique Fleivs No 22
Tijuca
RIO DE JANE IRO
20521 - BRASIL
Sehr gehrtes Fraulein Ilg,
YU~11000 BEOG!lAO, ~r.,;i.'~/\Nõ'.c~-X).~ Tetovska 7 2 Jugosln,ien
12.4.1982.
Besten Dank fur Ihren Brief an Herrn Dr. Kollbrunner.
Betreffend Ihre Fragen im Zusarnmenhang mit dem Buch 11 Dunnwantlige
stâbe 11, teile ich Ihnen das folgende mit:
1° Seite 160:
Sie haben recht. Bei der BerechnuI!g des Momentes '1'5
, wurde der
Ausdkuck
coshks.,.
sinhkl
irrtumliche:cweise mit
coshkz + k shkz
1
"-multipliziert
Ihre Werte {d.h. korekte Werte) bekormnt man wenn man im Buch
Stehende Grüsse mit k = 0,648 m- 1 multipliziert.
2° Druckfehler im Buck, (das haben wir nach der Erscheinung des
Buches bemerkt), - Sie haben recht.
3° Dasselbe, fehlt coshkz
4° Tabelle l, no 5, die Formel iro Buch ist korrekt (beiliegend
Ableitung und Beispiel)
Ich glaube dass Ich Sie damit bedient habe.Ich würde mich sehr
freuen wenn Sie mir an oben stehende Adresse ein Exemplar der
Dissertation senden mOchten. ,, Beste Grusse Ihnen und Herrn Professor Sidney Martins Gorner dos
Santos, obwohl ich ihn nicht persOnlich kenne.
~(4íc''j~~ N. Hajdin
Page 227
j 1
212
0'...?: y1t
Cf',;= c;il 0 t
/10 = llw
T1. 7-&_ T*
GifC/'= llw. (r--c,1,,:-;; J -;- To (.i!- -1 d-<.i!) /- T"(-z-J- f,,cí;,:f<7-.f')J
. ( L, - f dJC'.i:,)
TS = -11,.,;. 1:rrt4~ -1- To (/-d.t:;rJj- r (1-a Kz,)
Ileu= #w, c,{',e i! -,'-7; f ./?c-~/- T "f r/Jf"< Z;
T,D = #cu. ,t:./l,r.z -1--T. e4:~ /- e;(c.e_, .,
Page 228
213
j'== I
í:Z) ->
To {!- c.?ctJ = ,t'. llwo ~ ,' T"'("/-CtÍ,r:.T')
z; = f /-< ~cu. &-1' 7'- T~('j-u,,-.r')_j · 1-&kt
/lwº (1-e.k-t) .;- t- f H'_d l,e llf0• Hd-r T(Í'-d-r-.rj /-d.d t'
- 7" (.ri- f .h{ -1: .rJ = o . .
(ª)
1/00
f(l-t!MC!)-1- !'-f~ K<fii~cj= Tj(Y!. f,/4<f}- 1:!~-4/J !. ' 1-eút' -...__ _____ _
J,
'1"' (IC~/ 2-1-KI~-/~= /-~
z'é/-e:tCi«) -1- d~
1-a.-d
r-.? ek.; r e~~ ..,,..,e/'~ -.l"°;l"' ~ /-e.e.d
Page 229
214
,; "' tJ! f' S'ks)f?-t:/41::é)- í.!'- f #<t)(?-a?r:r') /-c>k
Hcvo '1 = T"'~
[/,;0. = T" ..7,, =- · (s/__ f ef'4, f;} (Í'- dd'}-(?'- ;{ ff-<-f/ (Í'- d« J"J] . e:; z7 (Í'-e4c') -r d d':k/
({l)=)' ~~1 .
J;.= « h'w. dW r /- w..r/ /-~ /-e.,{.,c/
To= -L ~ rs! f/4.r'}fJ-«uc(}-f?-eks'J(i:- ;/-o'-k/J l'-t!tÍK/' z>o-d..:'é') ~ rrw
-/- /- e,4-_r/
/-dk/
7; =Í ,tJ,/,.cf(fl ;fc/4-.r'/t?-~1:dta-!'fJ-6kJ)(1'- f-chw-t')
{ :? {/-~) -h:/,/ltq
-1 Z(/-ed,:.r)(i-~) + d~(/-é'-t{,r.r')) ~l-
f("/-dq)~~ /-t!Mct
0: ,(//!,..-/ (?l f JJ/,,y J)/J-tJ4,;,)- -<'~ (Í'-M K._F){P-:' f ,//'~) ,l f(l-dif'f)(Í'- ~éJ /,,P/~t'.<'k'.T)
e]= .e~/.T!_ f- r/l',rJJ!?'-t!k/) .,L J-R.,(4 (1-t't' ,t'f) -,L ,{7 (/ -C'-;{ ,t' .f".) (J-C!W)
~ = e.51.el(Jt f~.fJ(i'-6.Ld} -1-('/-ck.r)(f~z) = (/-e/' d) 2
Page 230
t 0.6'1.í t',5?-2 ,J.O O.O a
o,co,r,,. 07f,f 0.01-1 0.02'3
1~ o.ssa CJ./24- 0.0S8 0.074 l '1,-
1""' ""\-
o .. ,9'r / q#s- 0.05/ O. l:JC
1
i o. G' 2,S" tO?.J 0.020 O. 16'8
J i-o. 3o"'él q?-"d' o,vs i- 0.16':3
" o. 3/-,7 o.o.i7
1 ')
o. /,y,?
$":, o . .'!07 O,é,·'17 o.ro N f-"
Cl'j u,
e--. 0,310 t?,.F.?6' o. o,~f' t
0.053
\ V . 0.52b O.S'Y'l 0.028 1 o.OIS l
tJ, 3Sf-1 \ t 0.?J·'/ \ ~ô o.o
-~ ·- ·----· ·-1
~ 0i-\ ~ ~ "B
Page 231
216
TRADUÇÃO DA CARTA DA PÁG. 206
Rio de Janeiro, 11 de janeiro de 1983
Caro Prof. Kollbrunner,
Sou Prof~ Assistente no Departamento de Estruturas na
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Presentemente desenvol~
vo uma tese de mestrado na área de Engenharia Civil - Estruturas
sob a orientação do Prof. Sydney Martins Gomes dos Santos, seu
conhecido. O tema da tese refere-se a "Hastes de Paredes Delg~
das sob Torção - Vigas Contínuas". Li seus livros, em especial
"Dünnwandige Stiibe mit Geradliniger Achse - Band I" (Hastes de s, .
Paredes Delgadas com eixo reto - l? vol). A respeito desse li-
vro tenho algumas perguntas que estão formuladas em anexo.
Pretendo construir um modelo reduzido em perfil LJ com o objetivo de verificar as tensões normais calculadas. Caso
o Sr. tenha conhecimento de novos estudos ou pesquisas sobre has tes de paredes delgadas, gostaria de ser informada.
Envio recomendações do Prof. Sydney Santos e agradeço calorosamente.
ASS. Ingrid Ilg
Page 232
217
19) Pag. 160 - Item II.61C
T wo
k
T WO
T = T + l: T . X. W WO Wl l
* M = -1500
b G,00
kgf~
x1 =-657,l kgfm 2
co5h k2
5enh k2 . . co5h kz - k 5enh kz] M: (Tab. 1, N9 9)
0,00648 - l cm klc = 3,89; co5h klc =24,417 ; · 5enh kt =·24, 396
= -972,84 co5h kz + 972,00 5enh kz
x. T = [k
co5h kz J x1 = 17,45 co5h kz -l Wl 5enh kJc
T w
z T wo Xl Twl T + X wo 1 Twl
o -972, 84 -17,45 -990,29 1,2 -448,22 -23,00 -471,22
2 ,4. -208,13 -43,18 -251,31
3,6 - 98,64 -90,79 -189,43 4,8 - 52,17 -196 ,13 -248,30
6,0 - 40,84 -426 ,17 -467,01
T = T + l: T X. 5 50 5. l l
. T =[_!-kco5h klc.co5hkz+k5enh kz]M*=-250,00 +972,84 co5h kz +0,648 5enh kz 50 2 5enh k2 w
[ ~ - k co5h kz
5enh klc J x1 = -109,52 + 17,45 co5h kz
Page 233
218
TS No livro
z T xl Tsl TsO + Xl Tsl porem T +T = T sO constam s w
o 722,84 -92,06 630,78 +974 -359,51 "-360 OK 1,2 198,22 -86,51 111,71 +173 -359,51 2,4 -41,87 -66,34 -108,21 -168 -359,52 3,6 -151,36 -18,72 -170,08 - 263 -359,51 4,8 -197,83 86,61 -111,22 -173 -359,52 6,0 -209,16 316,65 +107,49 +169 -359,52
Para as outras seçoes achamos:
z T T T no T T + T s = w s s w livro
o +728,26 +106,36 +169 + 834,62 "+834 OK
1,6 +250,36 +264,26 +422 +514 ,62
3,2 +67,48 +127,13 +199 +194,61
4,8 - 36, 96 -88,45 -139 -125,41
6,4 -183,87 -261,60 -416 -445,47
8,0 -547,54 -218,11 -342 -765,65 "-766 OK
o +239,73 -219,01 -342 +20,72 " 21 OK
1, 2 +104,62 -83,91 -131 +20,71
2,4 +35,93 -15,21 -42 +20,72
3,6 -10,35 +31,07 +22 +20,72
4,8 -63,13 +83,84 +129 +20,72
6,0 -154,07 +174,79 +277 +20,72
o . +221,26 +178,74 +277 +400,00 OK
0,75 +164,10 +235,90 +372 +400,00
1,50 +146,68 +253,32 +397 +400,00
Page 234
219
29) Tabela 3, N9 1, Pág. 177
No livro consta:
cS=-- TT . 1 J -k2 S S
dz + JM M dz w w
Neste caso acharíamos para:
1 1
1 - 2 6. 1 E Jww ô = I FL . L . FL
e para:
x' T* M* 9,·1 a w
porisso pergunto se o correto nao seria:
EJ cS ww x' T* M* 9, 2
a w
39) Tabela 1, N9 9 - Pág. 124
No livro consta:
T = k w
cosh kç'
senh k9, k senh kz
1
pergunto se o correto nao seria:
Tw = k cosh kç' cosh kzl k -senh k 9,
a fim de que
TS T 1 + = w
9,
= x' T* M* 9, a w
senh k~l
Page 235
220
49) Tabela 1, N9 S
No livro consta:
T5 - - Mwo. k senh kz + T0
(1 - 1
p
cosh kz)
,,,(-----------------------'>
-1 + 1
p
cosh kz1
até aqui acham-se valores aceitáveis
f--------------------------~~----->
aqui acham-se valores exageradamente grandes para
contece o mesmo!
T.J':omM a w w
Page 236
221
TRADUÇÃO DA CARTA DA PÁG. 210
24.1.1982
Cara Srta .. Ilg
Envieu sua carta de 11.1.1982 ao Sr. Prof. Hajdin
em Belgrado para ser respondida. Ele escrever-lhe-á diretamente.
Saudações amigáveis
ASS. Dr. C. F. Kollbrunner
Cópia a K. e resposta ao:
Sr. Prof. Dr. N. Hajdin
Tetovska 72, YU - 11000 Belgrado Iugoslávia
Com o pedido de uma resposta direta. Peço uma copia de sua carta.
Saudações amigáveis
ASS. Dr. C. F. Kollbrunner
Page 237
222
TRADUÇÃO DA CARTA DA PÁG. 211
12.4.1982
Cara Srta. I lg
Agradeço sua carta ao Sr. Dr. Kollbrunner.
Com respeito a suas perguntas relacionadas ao livro
"Dunnwandige Stable'' (Hastes de Paredes Delgadas) tenho a infor
mar:
19) Pág. 160:
A sra. tem razao.
pressao T s
1 = - - k cosh ks
,Q, senh k,Q, 1 damente multiplicada por --. k
No cálculo do momento T a ex s
cosh kz + k sh kz, foi erra
Seus valores (isto e, valores corretos) sao encon
trados quando se multiplicam as grandezas apresentadas no livro - 1 por k = 0,648 m .
29) Erro de impressão no livro (o que percebemos apos o lança
mento do livro). A Sra. tem razão.
39) Idem, falta cosh kz.
49) Tabela l, n9 5, a Fórmula no livro está correta. (em anexo
esclarecimento e exemplo).
Acredito que com isso pude satisfazê-la. Ficaria
muito agradecido se a Sra. me enviasse ao endereço acima um
exemplar de seu trabalho.
Recomendações a Sra. e ao Sr. Prof. Sydney Martins
Gomes dos Santos, embora não o conheça pessoalmente.
Page 238
1 1
1
223
. BIBLIOGRAFIA
ZBIROHOWSKI-KOSCIA, K. - "Thin Walled Beams" -
Lockw'ood & Son Ltd. - 1967.
Crosby
1 2
J VLASSOV, B. Z. - "Pieces Longues en Voiles Minces" - Edi
tions Eyrolles - 1962.
J 3
j KHAN, A. H.; TOTTENHAM, H. - "The Method of Bimoment Dis
tribution for the Analysis of Continuous Thin - walled
Structure s Sub j ect to Tors ion" - Proceedings Institute
of Civil Engineers, December, 1977.
1' 1 MEGSON, T. H. - "Linear Analysis of Thin Walled Elastic
Structures" - Surrey University Press.
J 5
J KOLLBRUNNER, C. F. ; HAJDIN, N, - "Dünnwandige Stabe mi t
Geradliniger Achse - Band I" - Springer Verlag - 1972.
J 6
j KOLLBRUNNER, C. F.; BASLER - "Torsion 1n Structures"
Springer Verlag - 1969.
7 1 LANGENDONCK, T, V, - "Resistência dos Materiais - Defor
mações II" - Editora Edgard Blücher Ltda.
1 8 J TIMOSHENKO - "Resistência dos Materiais" - Vol. 1 e 2
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. - 1979.
Page 239
224
1 9
1 ROARK, R. J.; YOUNG, W. C. - "Formulas for Stress and
Strain" - McGraw Hill Kogabusha Ltd. - Vth Edition.
l 1º J PFEIL, W. - ''Estruturas de Aço'' - Livros Técnicos e Cien
tÍficos Editora S.A. - 1977.
l 1 1 J DOS SANTOS, S. M. G. - "Estudo das Hastes de Paredes Del
gadas com Seção Aberta" - PUC - 1967.
l 1 2 I POLLILLO, A. - "Dimensionamento de Concreto Armado" - Vol.
3 - Editora Científica - 1980.