Investigacin de Anlisis Estructural II: Mtodo de la Viga
Conjugada
ndice PagsIntroduccin..2Definiciones..3Marco
Terico..4-7Ejemplos...8-17Conclusiones18Bibliografa....19
Introduccin
El presente trabajo se basa en la investigacin para conocer un
poco ms sobre otro de los mtodos que permiten determinar la
pendiente y el desplazamiento en cualquier punto de la elstica en
una viga; me refiero al mtodo de la viga conjugada.
En este trabajo daremos a conocer sobre la definicin de este
mtodo, para qu nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qu tipo
de estructura es aplicable este mtodo, qu es una viga ficticia y qu
relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este mtodo
con el que ya estudiamos anteriormente (rea- momento), y por ltimo
procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos
ms bsicos de la teora.
En la definicin, explicaremos a qu se le llama viga conjugada,
en qu fundamentos tericos se basa, que tiene la ventaja de que no
necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual
se puede averiguar directamente la pendiente y deflexin en
cualquier punto de la curva elstica y que se utiliza en vigas y
columnas estticamente determinadas.
Tambin, aprenderemos a travs de un grfico que una viga ficticia
es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la
viga real, y por consiguiente guardan relacin de donde se obtiene
las analogas que se utilizan para resolver los ejercicios.La
convencin de signos en este mtodo se fundamenta en el resultado de
haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga
ficticia, pues segn sea el signo de la respuesta, se sabr el signo
de la flecha o del giro en la viga real.
Por ltimo, despus de haber conocido todos estos conceptos bsicos
para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar
dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teora para
llevarlos a la prctica.
Definiciones
1. Viga: Elemento arquitectnico rgido, generalmente horizontal,
proyectado para soportar y transmitir las cargas transversales a
que est sometido hacia los elementos de apoyo.
2. Viga conjugada (mtodo): consiste en cambiar el problema de
calcular las pendientes y deflexiones causadas en una viga, por un
sistema de cargas aplicadas, por otro problema en que se averiguan
las fuerzas de corte y momentos de una viga especial, llamada viga
conjugada, que est cargada con el diagrama M/EI de la viga
original.
3. Momento: es la suma de los productos de cada elemento de un
cuerpo por su distancia a un eje.
4. Empotramiento: es un tipo de unin entre slido resistente y
otro slido inmvil respecto a un sistema referencia tambin inmvil,
que elimina por completo la posibilidad de movimiento de un slido
respecto al otro en los puntos del empotramiento.
5. Pasador: Elpasadorutilizado enestructurases un elemento
-estructural- de inercia pequea que atraviesa la superficie que se
ha deslizado y "cosen" el terreno desplazado al terreno que es
estable. As el conjunto forma una estructura de contencin capaz de
soportar los esfuerzos. 6. Rodillo: Apoyo estructural que impide la
traslacin en cualquier direccin excepto la del propio plano.
Marco Teorico El mtodo de la viga conjugada fue primero
presentado por Otto Mohr en 1860. Esencialmente, requiere la misma
cantidad de clculos que los teoremas de rea-momento para la
determinacin de la pendiente o la deflexin de una viga; sin
embargo, este mtodo se basa slo en principios de la elstica y, por
lo tanto, su aplicacin ser mas familiar.La base del mtodo se deriva
de la semejanza entre dos ecuaciones:( = -w) y ( que relacionan la
fuerza cortante y el momento con su carga aplicada. Las siguientes
ecuaciones relacionan la pendiente y la deflexin de su curva
elstica con el momento interno dividido entre EI. y ).Para
encontrar esta semejanza podemos escribir estas ecuaciones:
o integrando,
V = -
Aqu, la fuerza cortante V se compara con la pendiente , el
momento M se compara con el desplazamiento v y la carga externa w
se compara con el diagrama M/EI.
Podemos establecer dos teoremas relativos a la viga conjugada;
estos son:Teorema 1: La pendiente en un punto en la viga real es
igual a la fuerza cortante en el punto correspondiente en la viga
conjugada.Teorema 2: El desplazamiento de un punto en la viga real
es igual al momento en el punto correspondiente en la viga
conjugada.
Soportes de la viga conjugada Como cada una de las ecuaciones
anteriores requiere integracin, es importante usar las condiciones
de frontera apropiadas cuando se integre. Igualmente, cuando se
dibuje la viga conjugada, es importante que la fuerza cortante y el
momento desarrollados equivalgan a la correspondiente pendiente y
desplazamiento de la viga real en sus soportes, lo que es una
consecuencia de los teoremas 1 y 2.
Procedimiento de anlisisEl siguiente procedimiento proporciona
un mtodo que puede usarse para determinar el desplazamiento y la
pendiente en un punto sobre la curva elstica de una viga usando el
mtodo de la viga conjugada.Paso 1 Viga Conjugada: dibujar la viga
conjugada para la viga real. Esta viga tiene la misma longitud que
la viga real y los correspondientes soportes de acuerdo con la
tabla 8-2. La viga conjugada se carga con el diagrama M/EI de la
viga real. Se supone que esta carga esta distribuida sobre la viga
conjugada y esta dirigida hacia arriba cuando M/EI es positivo y
hacia abajo cuando M/EI es negativo.Nota: Si el soporte real
permite una pendiente, el soporte conjugado debe poder desarrollar
una fuerza cortante; y que si el soporte real permite un
desplazamiento, el soporte conjugado debe poder desarrollar un
momento.Paso 2 - Equilibrio: Usando las ecuaciones de equilibrio,
determine las reacciones en los soportes de la viga conjugada.
Luego seccione la viga conjugada en el punto en que deben
determinarse la pendiente y el desplazamiento de la viga real. En
la seccin, muestre la fuerza cortante V y el momento M desconocidos
que actan en sus sentidos positivos. Determine la fuerza cortante y
el momento usando las ecuaciones de equilibrio. V y M equivalen a ,
respectivamente, para la viga real. Si estos valores son positivos,
la pendiente es en sentido contrario a las manecillas del reloj y
el desplazamiento es hacia arriba.
Ejemplos
Ejemplo 1. (8-9) Determine la pendiente y la deflexin en el
punto B de la viga de acero mostrada en la figura 8-21 a. Las
reacciones ya se han calculado. E = 29(ksi, I = 800
Siguiendo el procedimiento de anlisis tenemos:
Paso 1 Viga conjugada:
En donde los soportes A y B corresponden a los soportes A y B
sobre la viga real. El diagrama M/EI es negativo, por lo que la
carga distribuida acta hacia abajo.Paso 2 Equilibrio
Dado que se desea terminar , debemos calcular en la viga
conjugada.-Sumatoria de fuerzas en y = 0 para obtener la pendiente
; + = 0 = = = - 0.00349 rad-Sumatoria de momentos =0 para obtener
el desplazamiento ; = 0 =
= -0.0873 ft = - 1.05 inY para terminar el problema dibujamos
nuestra curva elastica que nos permite visualizar los signos. Los
signos negativos indican que la pendiente de la viga de mide en
sentido contrario a las manecillas del reloj y que el
desplazamiento es hacia abajo.
Ejemplo 2. (8-10)
Solucin:La viga conjugada cargada con el diagrama M/EI se
observa a continuacin. La carga distribuida acta hacia arriba
debido a que el diagrama M/EI es positivo.
+Fy = 0
x = 6.71 m (0x9m) OK
Usando el valor de x, la deflexin mxima corresponde al momento
M. Por esto:+M = 0
mx. = M = = = 0.0168 m = 16.8 mm*El signo negativo indica que la
deflexin es hacia abajo.
Ejemplo 3. (8-11)
(a) (b)Solucin:La curva de la viga elstica en la figura b, se
muestran las pendientes desconocidas (B)L y (B)R a la izquierda y a
la derecha del pasador; y el desplazamiento desconocido B Tenemos
el diagrama de la viga conjugada en la figura c. Para simplificar
los clculos, el diagrama M/EI se ha dibujado en partes usando el
principio de superposicin descrito anteriormente. Para hacerlo as,
la viga real se considera como una viga en voladizo desde el
soporte izquierdo. Se indican el diagrama de momentos para la carga
8k, la fuerza reactiva Cy =2k y el momento concentrado de 30 k ft.
Las regiones negativas d este diagrama desarrollan una carga
distribuida que acta hacia abajo y viceversa.
(c) (d)Las reacciones externas en B y en C, se calculan primero
y los resultado se indican en la figura d. Para determinar (B)R la
viga conjugada se secciona justo a la derecha de B y se calcula la
fuerza cortante (VB)R (figura d).
(VB)R (B)R = (VB)R = = 0.0378 rad (e) El momento interno en B da
el desplazamiento del pasador, entonces,;
= -0.381 ft. = -4.58 in.La pendiente (B)L puede encontrarse de
una seccin de viga justo a la izquierda de B, figura f asi, (VB)L
(B)L = (VB)L = 0 Est claro que B = MB, pues este segmento es el
mismo previamente conocido, ya que los brazos de momento son slo
ligeramente diferentes en la figura f. (f)
Ejemplo 4. (8-12)La trabe de la figura est hecha con una viga
continua reforzada en su posicin central con cubreplacas que
incrementan el momento de inercia. Los segmentos extremos de 12 ft
tienen un momento de inercia de I = 450 in4 y la porcin central
tiene un momento de inercia de I = 900 in4 . determinar su deflexin
en el centro del claro C. Considere E = 29103 ksi. Las reacciones
ya se han calculado.
Diagrama de momento
Viga conjugada
I = 2I
Reacciones externas
Reacciones internas
Reemplazando los valores de EI
Conclusin
Aunque el mtodo de la viga conjugada no es novedoso, e inclusive
en desuso, debidamente utilizado es un recurso con varias bondades,
no solo para el clculo de deformaciones o reacciones, sino en el
mbito educativo, del Anlisis Estructural. Es un medio que ayuda a
reforzar varios conceptos del caso de flexin simple, en especial
los conceptos de fuerza cortante y momento flexionante; de cmo el
momento flexionante, est directamente ligado a la curva elstica de
una viga real. Por su metodologa la viga conjugada requiere un
anlisis (descomposicin en partes de un conjunto) y de una sntesis
(suma de partes). El tiempo de clculo de momentos de empotramiento
se reduce sensiblemente, con una seleccin de vigas conjugadas
apropiadas, en especial para vigas de dos o ms secciones
transversales en su claro. El uso de mtodos grficos permite el
entendimiento directo del comportamiento de variables que definen
la resistencia o rigidez de un elemento, adems de comprender la
relacin que guardan dichas variables entre s por ejemplo relacin
carga, fuerza, momento, deformacin; lo cual en la gran mayora de la
veces no se logra con la aplicacin de una ecuacin matemtica que al
integrarla de manera directa, se realiza por memorizacin, perdiendo
con esto el entendimiento del fenmeno. Siempre hay algo que
explorar e innovar por muy estudiado y aejo del tema.
Bibliografa
Libro de Anlis Estructural Tercerca Edicin R.C. Hibbeler
Editorial Pearson. Captulo 8 de la pgina 370 hasta la 380.
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