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MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL APLICADO A UNA VIGA QUE SI EST
SOMETIDA A CARGA AXIAL Y SU PROGRAMACIN EN MATLAB
Ortiz David, Molina Marcos, Martnez Hugo, J. Bernal Elan,
Hernndez Daniel,
Garca Pascual, Berruecos Sergio, Palomino Alex Henrry, Anchapuri
Hernan M.
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PROBLEMARIO
2D Y 3D
Ortiz DavidMolina MarcosMartnez HugoJ. Bernal Elan
Hernndez DanielGarca Pascual
Berruecos Sergio
AN
LI
SIS
DE
EST
RU
CT
UR
AS
-
Se ha escrito este libro con la finalidad primor-dial de apoyar
a pro-fesores y estudiantes en la enseanza y el aprendizaje del
anlisis estructural. Esta discipli-na es trascendental en las
li-cenciaturas de Ingeniera Civil, Ingeniera Mecnica, Ingeniera
Aeronutica, Arquitectura, entre otras. Su dominio es fundamental
para todo aquel profesionista cuya ocupacin sea el diseo de obras,
tales como naves industriales, rascacielos, puentes, presas,
plantas industriales, plataformas martimas, etc.
En el libro se ofrece inicialmente conceptos bsicos sobre la
teora del anlisis estructural y finalmente la aplicacin de ello a
travs de un problemario consistente en una gran variedad de
ejercicios resueltos minuciosa-mente sobre estructuras isostticas e
hiperestticas, en el pla-no y en el espacio, particularmente vigas,
marcos y armaduras, los cuales son comunes encontrarlos en las
tareas y exmenes de varias asignaturas del rea de Estructuras en
los cursos de Licenci-atura, Propedutico y Maestra.
Se les recomienda a los lectores tener conocimientos acerca de
mecnica de materiales, esttica, estructuras isostticas, algebra,
al-gebra matricial, clculo diferencial e integral, ecuaciones
diferenciales y si es posible, programacin con matlab.
Los autores consideramos que el dominio de los principios bsicos
es indispensable para el uso de los programas de cmputo disponibles
hoy en da, debido a que una vez desarrollada en el lector la
habilidad de analizar a mano las estructuras, este comprender el
modo de funcionamiento de los softwares y poseer un mejor criterio.
Con-trariamente, si se hace uso de programas sin dicho
conocimiento, es muy riesgoso.
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MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL APLICADO A UNA VIGA QUE SI EST
SOMETIDA A CARGA AXIAL Y SU PROGRAMACIN EN MATLAB.
Ortiz David1, Molina Marcos2, Martnez Hugo1, J. Bernal Elan2,
Hernndez Daniel1,
Garca Pascual2, Berruecos Sergio1, Palomino Alex Henrry3,
Anchapuri Hernan M.4
1. Escuela Superior de Ingeniera y Arquitectura, Unidad
Zacatenco, Instituto Politcnico
Nacional, Distrito Federal, Mxico.
2. Facultad de Estudios Superiores Aragn, Universidad Nacional
Autnoma de Mxico,
Nezahualcyotl, Estado de Mxico.
3. Universidad Nacional de Cajamarca, Per.
4. Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann, Per.
-
Viga propuesta a resolver
Use el anlisis matricial de la rigidez para calcular las
reacciones en los apoyos de
la viga de tres claros que se muestra en la figura. De igual
forma, determine las
funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal, de
pendiente y de
deflexin, y detalle los resultados.
Considere el mdulo de elasticidad del acero y una seccin
transversal tipo con
las siguientes dimensiones
SOLUCIN
Notacin
-
Se divide la viga en elementos finitos. Por conveniencia, se
opta porque cada
elemento se extienda entre apoyos. Los elementos se identifican
arbitrariamente
usando un nmero inscrito en un cuadrado. Sin importar que los
nodos estn o no
predeterminados en el problema, de manera opcional se puede
identificar cada uno
de ellos usando un nmero dentro de un crculo. Para esta viga
continua en
particular, se tienen tres elementos y cuatro nodos que desde el
inicio han sido
definidos por , , y .
Los extremos cercano y lejano de cada elemento se especifican
simblicamente
con una flecha a lo largo del elemento cuya punta se dirige
hacia el extremo alejado.
El sistema de coordenadas globales , , tiene su origen en con la
finalidad de
que los nodos restantes tengan coordenadas positivas. Tales ejes
tienen su
direccin positiva hacia la derecha, hacia arriba y en el sentido
antihorario.
Dado que la viga est sometida a al menos una carga horizontal
(es obvio que la
carga puntual de 5 tiene componentes horizontal y vertical),
tienen que tomarse en
cuenta los efectos de la flexin, la fuerza cortante y la fuerza
axial. En consecuencia,
en cada nodo hay tres grados de libertad, los cuales
corresponden a un
desplazamiento horizontal, un desplazamiento vertical y una
rotacin, y que deben
ser codificados numricamente de tal forma que los nmeros ms
bajos de cdigo
representen los desplazamientos desconocidos (grados de libertad
no restringidos),
mientras que los nmeros ms altos indiquen desplazamientos
conocidos (grados
de libertad restringidos).
Como recordatorio, un empotramiento restringe los tres grados de
libertad
mencionados, un soporte articulado slo permite la rotacin y un
apoyo simple
nicamente impide el desplazamiento vertical, en sus
correspondientes puntos de
ubicacin. Si en algn nodo hay ausencia de soporte, entonces los
tres grados de
libertad son incgnitas.
De los doce grados de libertad en la viga, los codificados del 1
al 5 representan
desplazamientos cuyo su valor se desconoce, en tanto, los nmeros
de cdigo del
8 al 10 referencian desplazamientos conocidos, que en este caso
son todos iguales
a cero.
Las coordenadas de los nodos ya no se identifican por una razn
que ms adelante
se explicar.
Vector de desplazamientos
Al igual que en las armaduras, para las vigas se formula un
vector de
desplazamientos que se secciona dando origen a dos vectores: el
de
-
desplazamientos desconocidos y el de desplazamientos conocidos .
Por las
condiciones de apoyo en el problema se tiene
= () =
(
123456789101112)
=
(
0000000 )
123456789101112
Vector de Cargas
Obsrvese que sobre la longitud del elemento 1 se extiende una
carga distribuida
tipo parablica, y que los elementos 2 y 3 soportan a la mitad de
su claro y de forma
respectiva, una carga puntual inclinada y un momento de par. El
anlisis matricial
de la rigidez requiere que la carga externa se aplique en los
nodos debido a que la
matriz de rigidez del elemento ha sido deducida para cargas
aplicadas en sus
extremos.
Para atender esta situacin, se usa el principio de superposicin.
Suponemos que
cada nodo est restringido de movimiento, motivo por el cual se
les impone un
empotramiento.
A continuacin se calculan las fuerzas de fijacin y momentos de
empotramiento
perfecto asociadas a cada elemento. Para ello remtase al tema
4.1 y note como los
elementos 1 y 3 corresponden a vigas del tipo 4 y 7; adems, el
caso general para
el elemento 2 ya fue resuelto en el tema 3.1.
-
Elemento 1.
= =
3=(3/)(2)
3= 2
= =2
15=(3/)(2)2
15= 0.8 .
Elemento 2.
= =sin
2=(5)(sin(50))
2= 1.9151
= =cos
2=(5)(cos(50))
2= 1.6070
= =sin
8=(5)(2)(sin(50))
8= 0.9576 .
Elemento 3.
= =3
2=(3)(2/)
(2)(2)= 1.5
-
= =
4=2.
4= 0.5 .
Las fuerzas de fijacin y momentos de empotramiento calculados
existiran si
restringiramos de movimiento a todos los nodos, algo que en no
ocurre. En
consecuencia, las fuerzas y momentos elsticos o efectivos actan
sobre los nodos
en sentido contrario al que definimos, por lo que para fines de
anlisis estas son las
fuerzas que aparecen
Al hacer la suma algebraica de las fuerzas y momentos en cada
nodo se obtiene la
viga cargada que se analizar con el mtodo de la rigidez.
Haga un cotejo entre sta figura y el esquema efectuado en la
parte de notacin
para plantear el vector de cargas , el cual debe dividirse en un
vector de cargas
conocidas y un vector de cargas desconocidas .
= () =
(
123456789101112)
=
(
0.50
1.45760.15761.6070 1.5
0.4151 1.6070 3.9151 2
0.8 )
123456789101112
-
Por la superposicin, los resultados del anlisis matricial para
las cargas de la ltima
figura se modificarn posteriormente con la viga sujeta a la
carga real y a las
reacciones fijamente apoyadas.
Matriz de rigidez global para cada elemento
El sistema de coordenadas globales ya ha sido identificado con
los ejes , , .
Luego hacemos que las coordenadas locales , , tengan su origen
en el extremo
cercano de cada elemento, y que el eje positivo se dirija hacia
el extremo lejano.
Bajo esas circunstancias, para cada componente de la viga los
ejes y sern
colineales dado que las coordenadas globales y del elemento sern
todas paralelas.
Por esta razn, a diferencia del caso de las armaduras, no es
necesario desarrollar
matrices de transformacin entre estos dos sistemas de
coordenadas. En resumen,
las matrices de rigidez global y local para un elemento de viga
sern las mismas;
ello explica que las coordenadas de los nodos no fueran
identificadas al inicio del
problema, puesto que lgicamente, el clculo de los cosenos
directores ya no es
necesario. Para determinar el momento de inercia con respecto al
eje neutro
(pasando a travs del centroide de la seccin transversal), usamos
la tabla
mostrada. Por la simetra del perfil , el centroide est a 11.5 de
la parte inferior.
Bloque (4) (2) d (cm) 2 (4)
1
(1
12) (20)(43)
= 106.6667
(20)(4) = 80
9.5
7220
2 (1
12) (4)(153)
= 1125
(4)(15) = 60
0
0
3
(1
12) (20)(43)
= 106.6667
(20)(4) = 80
9.5
7220
1338.3334 220 14440
Aplicando el teorema de los ejes paralelos se tiene
-
= +2 = 1338.3334 + 14440 = 15778.3334 4 = 0.000157783 4
El rea de la seccin transversal y el mdulo de elasticidad del
acero son
= 2202 = 0.0222 = 2.1 107 2
Se calcula la matriz de rigidez global para cada elemento
aplicando la ecuacin ().
Los nmeros de cdigo para cada columna y fila de estas matrices,
que tienen la
peculiaridad de ser siempre simtricas, deben establecerse
apropiadamente.
Elemento 1.
1 =
(
0 0
0 0
012
36
20
12
36
2
06
24
0
6
22
0 0
0 0
0 12
36
20
12
36
2
06
22
0
6
24
)
11 10 12 5 9 4
= 105
(
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663
0 0.0497 0.0331
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331
0 0.0497 0.0663 )
111012594
Elemento 2.
5 9 4 8 7 3
2 = 105
(
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663
0 0.0497 0.0331
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331
0 0.0497 0.0663 )
594873
-
Elemento 3.
8 7 3 2 6 1
3 = 105
(
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0663
0 0.0497 0.0331
2.31 0 0 2.31 0 00 0.0497 0.0497 0 0.0497 0.04970 0.0497 0.0331
0 0.0497 0.0663 )
873261
Matriz de rigidez de la estructura
Ya que las matrices de rigidez de todos los elementos fueron
determinadas, se
ensamblan para calcular , la cual tambin debe ser simtrica y
tiene un orden de
12X12 debido a que doce grados de libertad fueron designados
para la viga.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
= 105
(
0.0663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31
0 0 0 0
0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331
0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31
0
0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0
0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 00 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0
0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0994 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0
0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0
0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663 )
123456789101112
Ya que hay cinco incgnitas de desplazamiento, la matriz de
rigidez de la estructura
se secciona de tal forma que en la parte izquierda haya 5
columnas y en la porcin
superior haya 5 filas. Se sigue usando la misma nomenclatura que
en las armaduras
para cada una de las submatrices.
= (11 1221 22
)
Clculo de las incgnitas
Al hacer = se tiene
(
0.50
1.45760.15761.6070 1.5
0.4151 1.6070 3.9151 2
0.8 )
= 105
(
0.0663 0 0.0331 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00 2.31 0 0 0 0 0 2.31
0 0 0 0
0.0331 0 0.1325 0.0331 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0 00 0 0.0331
0.1325 0 0 0.0497 0 0 0.0497 0 0.03310 0 0 0 4.62 0 0 2.31 0 0 2.31
0
0.0497 0 0.0497 0 0 0.0497 0.0497 0 0 0 0 00.0497 0 0 0.0497 0
0.0497 0.0497 0 0.0497 0 0 00 2.31 0 0 2.31 0 0 4.62 0 0 0 00 0
0.0497 0 0 0 0.0497 0 0.0994 0.0497 0 0.04970 0 0 0.0497 0 0 0 0
0.0497 0.0497 0 0.04970 0 0 0 2.31 0 0 0 0 0 2.31 00 0 0 0.0331 0 0
0 0 0.0497 0.0497 0 0.0663 )
(
0000000 )
-
El sistema matricial anterior es equivalente a
() = (
11 1221 22
) ()
Se calculan los desplazamientos desconocidos al extraer y
resolver un primer
subsistema que corresponde a
= 11 + 12
Como vale cero, la ecuacin anterior pasa a ser
= 11
Por lo tanto,
(
0.50
1.45760.15761.6070)
= 105
(
0.0663 0 0.0331 0 00 2.31 0 0 0
0.0331 0 0.1325 0.0331 00 0 0.0331 0.1325 00 0 0 0 4.62)
(
)
(
)
=
(
0.0000176 0
0.0001158 0.0000408 0.0000035 )
Se puede hacer un anlisis de los resultados; por ejemplo, note
como el nodo
experimenta una rotacin antihoraria de 0.0000176 y en realidad
no se desplaza
horizontalmente.
Las reacciones se obtienen de resolver un segundo subsistema que
es
= 21 + 22
Como ya se mencion, = 0, as que
= 21
Al usar los desplazamientos calculados se tiene
(
1.5 0.4151 1.6070 3.9151 2
0.8 )
= 105
(
0.0497 0 0.0497 0 00.0497 0 0 0.0497 00 2.31 0 0 2.310 0 0.0497
0 00 0 0 0.0497 00 0 0 0 2.310 0 0 0.0331 0 )
(
0.0000176 0
0.0001158 0.0000408 0.0000035 )
=
(
0.66280.29020.80350.57550.20300.80350.1353)
-
En consecuencia,
1.5 = 0.6628 = 0.6628 + 1.5 = 0.8372 = 0.8372
0.4151 = 0.2902 = 0.2902 + 0.4151 = 0.7053 = 0.7053
1.6070 = 0.8035 = 0.8035 + 1.6070 = 2.4105 = 2.4105
3.9151 = 0.5755 = 0.5755 + 3.9151 = 4.4906 = 4.4906
2 = 0.2030 = 0.2030 + 2 = 1.7970 = 1.7970
= 0.8035 = 0.8035
0.8 = 0.1353 = 0.1353 + 0.8 = 0.6647 . = 0.6647.
Se muestran los resultados obtenidos en el siguiente
diagrama
Se comprueba el equilibrio externo de la viga. Al resolver la
fuerza de 5 en sus
componentes y resulta
1 = 5 sin 50 = 3.8302 1 = 5 cos 50 = 3.2139
La fuerza resultante de la carga distribuida y su punto de
aplicacin son
= (2
3) (3 )(2) = 4 = 1
+ =1.7970 4 + 4.4906 3.8302 + 0.7053 + 0.8372 = 0
+ =0.8035 3.2139 + 2.4105 0
-
+ =
0.6647 + 4(1) 4.4906(2) + 3.8302(3) 0.7053(4) + 2 0.8372(6)
0
Funciones de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal
Al aplicar el mtodo de las secciones tenemos
0 2
La carga concentrada equivalente de la carga distribuida
seccionada es
= 4
323 +
2
2 =
4 3
3 223 +
2 3
22 = 3 + 32
y su lnea de accin se localiza a una distancia de
= 24 +
43
3
=3224 +
4 33 2
3
3 + 32=34
4 + 23
3 + 32
+ = 0
1 0.6647 + 1.7970 (3 + 32) (
34
4 + 23
3 + 32) = 0
1 =4
4 3 + 1.7970 0.6647 1 =
1
= 3 32 + 1.7970
+ = 0 1 + 0.8035 = 0 1 = 0.8035
-
2 3
+ = 0 2 0.6647 + 1.7970 4( 1) + 4.4906( 2) = 0
2 = 2.2876 5.6459 2 =2
= 2.2876
+ = 0 2 = 0.8035
3 4
+ = 0
-
3 0.6647 + 1.7970 4( 1) + 4.4906( 2) 3.8302( 3) = 0
3 = 5.8447 1.5426 3 =3
= 1.5426
+ = 0 0.8035 3.2139 + 3 = 0 3 = 2.4104
4 5
+ = 0 4 0.6647 + 1.7970 4( 1)
+4.4906( 2) 3.8302( 3) + 0.7053( 4) = 0
4 = 3.0235 0.8373 4 =4
= 0.8373
+ = 0 0.8035 3.2139 + 2.4105 + 4 = 0 4 0
5 6
+ = 0 5 0.6647 + 1.7970 4( 1)
+4.4906( 2) 3.8302( 3) + 0.7053( 4) + 2
5 = 5.0235 0.8373 5 =5
= 0.8373
+ = 0 5 0
-
Funciones de pendiente y de deflexin
Se aplica el mtodo de la doble integracin. Al Aplicar la ecuacin
diferencial
2
2=
e integrarla dos veces en cada tramo se obtiene
0 2
2
2=4
4 3 + 1.7970 0.6647
()
= (
4
4 3 + 1.7970 0.6647)
= 0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1
1 = 0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1 (1)
= (0.055 0.254 + 0.89852 0.6647 + 1)
1 = 0.0083336 0.055 + 0.29953 0.332352 + 1 + 2 (2)
2 3
2
2= 2.2876 5.6459
()
= (2.2876 5.6459)
2 = 1.14382 5.6459 + 3 (3)
-
= (1.14382 5.6459 + 3)
2 = 0.381273 2.822952 + 3 + 4 (4)
3 4
2
2= 5.8447 1.5426
()
= (5.8447 1.5426)
3 = 5.8447 0.77132 + 5 (5)
= (5.8447 0.77132 + 5)
3 = 2.922352 0.25713 + 5 + 6 (6)
4 5
2
2= 3.0235 0.8373
()
= (3.0235 0.8373)
4 = 3.0235 0.418652 + 7 (7)
= (3.0235 0.418652 + 7)
4 = 1.511752 0.139553 + 7 + 8 (8)
5 6
2
2= 5.0235 0.8373
()
= (5.0235 0.8373)
5 = 5.0235 0.418652 + 9 (9)
= (5.0235 0.418652 + 9)
5 = 2.511752 0.139553 + 9 + 10 (10)
Se plantean diez condiciones que permitan resolver el sistema de
ecuaciones. Se
sabe que en el empotre no hay rotacin ni deflexin, as que se
tienen las
siguientes dos condiciones de frontera
1) = 0 = 0 y 2) = 0 = 0.
Sustituyendo las condiciones 1) y 2) en (1) y (2)
respectivamente, da
-
(0) = 0.05 05 0.25 04 + 0.8985 02 0.6647 0 + 1 1 = 0
(0) = 0.008333 06 0.05 05 + 0.2995 03 0.33235 02 + 0 0 + 2 2 =
0
Las otras ocho constantes se pueden conocer a partir de
establecer un mismo
nmero de condiciones de continuidad, tal y como se efecta a
continuacin
Si 3)1 = 2 = 2, entonces
0.05 25 0.25 24 + 0.8985 22 0.6647 2 = 1.1438 22 5.6459 2 +
3
3 = 6.5812
Dado que 4)1 = 2 = 2, tenemos
0.008333 26 0.05 25 + 0.2995 23 0.33235 22
= 0.38127 23 2.82295 22 + 6.5812 2 + 4 4 = 4.920848
Al hacer 5)2 = 3 = 3 resulta
1.1438 32 5.6459 3 + 6.5812 = 5.8447 3 0.7713 32 + 5
5 = 10.6547
Al plantear 6)2 = 3 = 3 obtenemos
0.38127 33 2.82295 32 + 6.5812 3 4.920848
= 2.92235 32 0.2751 33 10.6547 3 + 6 6 = 12.3151
Como 7)3 = 4 = 4, se tiene
5.8447 4 0.7713 42 10.6547 = 3.0235 4 0.41865 42 + 7
7 = 5.0123
Si 8)3 = 4 = 4, entonces
2.92235 42 0.2571 43 10.6547 4 + 12.3151
= 1.51175 42 0.13955 43 5.0123 4 + 8 8 = 4.7919
Puesto que 9)4 = 5 = 5, tenemos
3.0235 5 0.41865 52 5.0123 = 5.0235 5 0.41865 52 + 9
9 = 15.0123
-
Al efectuar 4 = 5 = 5 se obtiene
1.51175 52 0.13955 53 5.0123 5 + 4.7919
= 2.51175 52 0.13955 53 15.0123 5 + 10 10 = 29.7919
Las funciones de la pendiente y la deflexin de la viga se
obtienen al sustituir las
constantes de integracin en las ecuaciones correspondientes,
adems de hacer
= (2.1 107 2 )(0.0001577834) = 3313.443 .2
0 2
1 = (1
3313.443 ) (0.055 0.254 + 0.89852 0.6647)
1 = (1
3313.443 ) (0.0083336 0.055 + 0.29953 0.332352)
2 3
2 = (1
3313.443 ) (1.14382 5.6459 + 6.5812)
2 = (1
3313.443 ) (0.381273 2.822952 + 6.5812 4.920848)
3 4
3 = (1
3313.443 ) (5.8447 0.77132 10.6547)
3 = (1
3313.443 ) (2.922352 0.25713 10.6547 + 12.3151)
4 5
4 = (1
3313.443 ) (3.0235 0.418652 5.0123)
4 = (1
3313.443 ) (1.511752 0.139553 5.0123 + 4.7919)
5 6
5 = (1
3313.443 ) (5.0235 0.418652 15.0123)
-
5 = (1
3313.443 ) (2.51175 0.139553 15.0123 + 29.7919)
Diagramas de momento, de fuerza cortante, de fuerza normal, de
pendiente y
de deflexin
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6 7
V (
Ton
)
x (m)
DIAGRAMA DE CORTANTE
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 1 2 3 4 5 6 7
M (
Ton
*m)
x (m)
DIAGRAMA DE MOMENTO
-
-0.00015
-0.0001
-0.00005
0
0.00005
0.0001
0.00015
0 1 2 3 4 5 6 7 (
rad
)
x (m)
DIAGRAMA DE ROTACIN
-0.0001
-0.00008
-0.00006
-0.00004
-0.00002
0
0.00002
0.00004
0 1 2 3 4 5 6 7
Y (
m)
X (m)
DIAGRAMA DE FLECHAMIENTO
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 1 2 3 4 5 6 7
N (
Ton
)
x (m)
DIAGRAMA DE NORMAL
-
Cdigo en Matlab
A continuacin se presenta la codificacin en matlab para el mtodo
de la rigidez
matricial aplicado a vigas con carga axial.
%PROGRAMA PARA CALCULAR LAS REACCIONES DE UNA VIGA EN LA QUE SE
PRESENTAN
%CARGAS AXIALES CON EL MTODO DE LA RIGIDEZ MATRICIAL clear; clc;
k=zeros(6); disp('------------------- DATOS PARA EL ANALISIS
------------------------
') GL=input('DAME EL NUMERO DE GRADOS DE LIBERTAD GL =');
KT=zeros(GL); n=input('DAME EL NUMERO DE ELEMENTOS n =');
disp('-------------------------------------------------------------------
') for i=1:n fprintf('ELMENTO %i.\n\n',i) E=input('DAME EL
MODULO DE ELASTICIDAD = '); A=input('DAME EL AREA DE LA SECCIN =
'); I=input('DAME LA INERCIA DE LA SECCIN = '); L=input('DAME LA
LONGITUD DEL ELEMENTO= '); disp('NODO
N-------------------------------------------------------------
') Nx=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Nx=');
Ny=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Ny=');
Nz=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Nz='); disp('NODO
F-------------------------------------------------------------
') Fx=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fx=');
Fy=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fy=');
Fz=input('DAME EL NUMERO DEL GRADO DE LIBERTAD Fz=');
disp('-------------------------------------------------------------------
') k(1,1)=(A*E)/L; k(1,2)=0; k(1,3)=0; k(1,4)=-(A*E)/L;
k(1,5)=0; k(1,6)=0; k(2,1)=0; k(2,2)=(12*E*I)/(L^3);
k(2,3)=(6*E*I)/(L^2); k(2,4)=0; k(2,5)=-(12*E*I)/(L^3);
k(2,6)=(6*E*I)/(L^2); k(3,1)=0; k(3,2)=(6*E*I)/(L^2);
k(3,3)=(4*E*I)/L; k(3,4)=0; k(3,5)=-(6*E*I)/(L^2);
k(3,6)=(2*E*I)/L; k(4,1)=-(A*E)/L; k(4,2)=0;
-
k(4,3)=0; k(4,4)=(A*E)/L; k(4,5)=0; k(4,6)=0; k(5,1)=0;
k(5,2)=-(12*E*I)/(L^3); k(5,3)=-(6*E*I)/(L^2); k(5,4)=0;
k(5,5)=(12*E*I)/(L^3); k(5,6)=-(6*E*I)/(L^2); k(6,1)=0;
k(6,2)=(6*E*I)/(L^2); k(6,3)=(2*E*I)/L; k(6,4)=0;
k(6,5)=-(6*E*I)/(L^2); k(6,6)=(4*E*I)/L; fprintf('MATRRIZ K%i.',i)
k
disp('-------------------------------------------------------------------
') K=zeros(GL); K(Nx,Nx)=k(1,1); K(Nx,Ny)=k(1,2);
K(Nx,Nz)=k(1,3); K(Nx,Fx)=k(1,4); K(Nx,Fy)=k(1,5); K(Nx,Fz)=k(1,6);
K(Ny,Nx)=k(2,1); K(Ny,Ny)=k(2,2); K(Ny,Nz)=k(2,3); K(Ny,Fx)=k(2,4);
K(Ny,Fy)=k(2,5); K(Ny,Fz)=k(2,6); K(Nz,Nx)=k(3,1); K(Nz,Ny)=k(3,2);
K(Nz,Nz)=k(3,3); K(Nz,Fx)=k(3,4); K(Nz,Fy)=k(3,5); K(Nz,Fz)=k(3,6);
K(Fx,Nx)=k(4,1); K(Fx,Ny)=k(4,2); K(Fx,Nz)=k(4,3); K(Fx,Fx)=k(4,4);
K(Fx,Fy)=k(4,5); K(Fx,Fz)=k(4,6); K(Fy,Nx)=k(5,1); K(Fy,Ny)=k(5,2);
K(Fy,Nz)=k(5,3); K(Fy,Fx)=k(5,4); K(Fy,Fy)=k(5,5); K(Fy,Fz)=k(5,6);
K(Fz,Nx)=k(6,1); K(Fz,Ny)=k(6,2); K(Fz,Nz)=k(6,3); K(Fz,Fx)=k(6,4);
K(Fz,Fy)=k(6,5); K(Fz,Fz)=k(6,6);
-
KT=K+KT; end disp('---------------- MATRIZ GLOBAL DE LA
ESTRUCTURA -------------------
') KT
disp('-------------------------------------------------------------------
') v=input('DAME EL VECTOR DE FUERZAS CONOCIDAS=') V=length(v);
K=KT(1:V,1:V) d1=(inv(K))*v d2=zeros((length(KT))-(length(d1)),1) '
VECTOR TOTAL DE DESPLAZAMIENTOS' D=[d1;d2] ' VECTOR TOTAL DE
FUERZAS' F=KT*D
-
Manual para el usuario
Ahora se muestra la forma de utilizar el programa expuesto
previamente tomando
como ejemplo la viga propuesta a resolver al inicio. Una vez que
se corre el
programa, se sigue el siguiente procedimiento
1.- Inserte el nmero de grados de libertad y de elementos
identificados en la viga.
2.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los
grados de libertad
del elemento 1.
En automtico aparecer la matriz de rigidez global del elemento
1.
3.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los
grados de libertad
del elemento 2.
-
Instantneamente aparecer la matriz de rigidez global del
elemento 2.
4.- Digitalice las propiedades y la codificacin numrica de los
grados de libertad
del elemento 3.
-
De inmediato aparecer la matriz de rigidez global del elemento
3.
Luego de obtener la matriz de rigidez global de cada elemento,
el programa
ensambla tales matrices y nos arroja la matriz de rigidez global
la estructura.
-
5.-Capture el vector de Fuerzas Conocidas.
Se imprimir el vector anterior:
Se imprimir la submatriz K11:
-
El programa nos proporciona los valores de los desplazamientos
desconocidos:
Se imprime el vector de desplazamientos conocidos:
Se imprime el vector total de desplazamientos:
-
Se imprime el vector total de fuerzas, es decir, aquel vector
que contiene al vector
de fuerzas conocidas y al vector de fuerzas desconocidas:
Referencias
1. R. C. Hibbeler. Anlisis estructural. Editorial Pearson.
2. Gonzlez Cuevas. Anlisis estructural. Editorial Limusa.
3. Selva Colindres Rafael. Dinmica de suelos y estructuras
aplicadas a la
ingeniera ssmica. Editorial Limusa.
4. Magdaleno Carlos. Anlisis matricial de estructuras
reticulares. Independiente.
5. James Stewart. Clculo de una variable: Conceptos y contextos.
Editorial
CENGAGE Learning.