Viera Kolbaská mate- matika 9 - vagdsz.edupage.orgvagdsz.edupage.org/files/Matematika_9-1.pdf · 2012-15889/49049:4-919 szám alatt mint a matematika-tankönyv elsö részét az

V i e r a Ko lbaská

mate-matika

9 1. r

ész

S l o v e n s k é p e d a g o g i c k é n a k l a d a t e ľ s t v o

S l o v e n s k é p e d a g o g i c k é n a k l a d a t e ľ s t v o

az alapiskola 9. osztálya és a nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára

Szerző – Autorka © RNDr. Viera Kolbaská, 2012

Szakmai tanácsadó – Odborný garant: prof. RNDr. Beloslav Riečan, DrSc.

Lektorok – Lektori: PaedDr. Dagmar Andová; RNDr. Marcel Tkáč Illustrations © Bystrík Vančo, 2012

Translation © RNDr. Horváth Géza, 2013

A magyar fordítást lektorálta – Maďarský preklad lektorovala: S. Havas Éva

Grafický dizajn a obálka © Ing. Urbán Zsolt

Jóváhagyta a Szlovák Köztársaság Oktatási, Tudományos, Kutatási és Sportminisztériuma 2012. október 31-én 2012-15889/49049:4-919 szám alatt mint a matematika-tankönyv elsö részét az alapiskola 9. osztálya és a nyolc-osztályos gimnázium 4. osztálya számára. A jóváhagyási szám 5 évig érvényes.

Első kiadás, 2013

Schválilo Ministerstvo školstva, vedy, výskumu a športu Slovenskej republiky pod č. 2012-15889/49049:4-919 zo dňa 31. októbra 2012 ako prvú časť učebnice matematiky pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom. Schvaľovacia doložka má platnosť 5 rokov.

Prvé vydanie, 2013

Všetky práva vyhradené.Toto dielo ani žiadnu jeho časť nemožno reprodukovať bez súhlasu majiteľa práv.

ISBN 978-80-10-02356-1

3

Bevezető .............................................................................................................................. /4

1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása ................................................................... /5

1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés ........................................................................ /5 1.2. Természetes kitevőjű hatványok ........................................................................ /13 Számolás természetes kitevőjű hatványokkal (kiegészítő tananyag) ................ /19

1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés .................... /23 1.4. A számok normálalakja ...................................................................................... /27 1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés ................................... /33 1.6. Négyzetgyök és köbgyök ................................................................................... /38

2. Pitagorasz tétele ........................................................................................................... /45

2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög .................................................. /45 2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása ..................................................... /62

3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása ............................................ /66

3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével .................. /66 3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek ................................................................ /75 3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel ............................... /89

3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből .................................................................. /97 3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok .......................................................................... /102

4. Szimmetria a síkban ................................................................................................... /116

4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése ................................ /116 4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése ........................... /122

Eredmények ..................................................................................................................... /128

Módszertani megjegyzések a pedagógusok részére .................................................. /142

Tartalom

4

Bevezető

Kedves Kilencedikes!

Az új kilencedikes tankönyv első részét tartod kezedben.

Az a célunk, hogy ismételd át az eddig tanult tananyagot, és bővítsd ki újabb ismeretekkel, amelyekre a felvételi vizsga és egyéb vizsgák alkalmával szükséged lesz.

Ezért a tankönyv megjegyzéseiben találkozhatsz különféle megoldásmódokkal, a korábbi ismeretekre és készségekre vonatkozó utalásokkal, valamint azok felhasználásával az új témakörökben.

Olyan „dolgokkal” is találkozhatsz, amelyeknek egyesek szerint semmi köze sincs a matematikához. Bekerül-tek a tankönyvbe, mert minden mindennel összefügg. Reméljük, hogy a hagyományostól eltérő képregény-illusztrá-ciók színesebbé teszik, közelebb hozzák korosztályodhoz a száraz matematikai szakszöveget.

A matematikai feladatok megoldása fejleszti a gondolkodást. Felfrissíti az emlékezetet, és képessé tesz arra, hogy helyesen becsüljük meg a probléma megoldásának eredményét. A szövegértést is gyakorolhatod, és azt is, miképp lehet kiválasztani, csoportosítani és hasznosítani a szükséges információkat. A mindennapi életben épp erre lesz szükséged, amikor információkkal fogsz dolgozni vagy különböző tudományágakban problémákat kell majd megoldanod.

Hogy épül fel ez a tankönyv?Első része négy fő fejezetből áll.Minden alfejezet

• olyan szöveggel vagy feladattal kezdődik, amelynek a címe: Idézzük fel! Ennek a sárga téglalapba írt résznek az a feladata, hogy emlékeztessen rá: mit kel-

lene tudnod a korábbi évekből (hogyan számoltál az előző évfolyamokban).

• ezt a részt különféle feladatok követik:

– a megoldott feladatok szövegét sárga téglalapban, kék sorszámmal láthatod;

– ezt követi a feladatok megoldása;

– a megoldatlan feladatokat (amelyek a tananyag begyakorlására szolgálnak) sárga téglalapban piros sorszámmal találod;

– az igényesebb feladatokat – az igényességétől függően – a feladat sorszáma mellett álló egy vagy két csillag jelzi;

– a számológép piktogramja azt jelzi, hogy a feladat megoldásához zsebszámoló- gépet javasolunk,

– a gondolkodtató feladatokat csak azoknak szántuk, akik különösen érdeklőd- nek a matematika iránt;

– a projektfeladatokat rendszerint otthon kell megoldanod, nem kötelezőek, arra szolgálnak, hogy különféle (nemcsak matematikai jellegű) információkat szerezzél.

• a fontos tudnivalók egy paragrafusjellel ellátott kék téglalapban olvashatók;

• a segítség olyan információkat tartalmaz, amely segíthet a feladatok megoldásá-ban;

• a tudáspróba gyakorlásra és önértékelésre alkalmas feladatsort tartalmaz;

• különféle érdekességekkel is találkozhatsz a tankönyvben – ezeket a zöld mezőbe írt Tudod-e? cím jelzi;

• az átvett tananyag összefoglalására a témakör végén található Jegyezd meg! cím utal;

• ha javasoljuk az internet használatát, azt a következő piktogram jelzi:

• a tankönyvben többnyire két tizedesjegyre kerekített értékekkel dolgozunk. A kerekí-téssel a korábbi évfolyamokban már találkoztál.

Reméljük, hogy ebből a tankönyvből könnyen tudsz majd tanulni.

A szerző

§

Tudáspróba

Jegyezd meg!

Tudod-e…?

Gondolkodtató feladat

Projektfeladat

Segítség

2.*2.*

2.2.

1.1.

Idézzük fel!

1. 1. megoldás

5

1. Hatványok, gyökök, a nagy számok írása

1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés

Idézzük fel!Ki tudjuk számítani a négyzet és a téglalap kerületét ésterületét, a téglatest és a kocka térfogatát és felszínét. Mi közük van a hatványokhoz?

Oldd meg ezt a két feladatot, és rögtön megérted!

1.1. Számítsd ki az a = 6 cm oldalú négyzet területét!2.2. Számítsd ki az a = 5 cm élű kocka felszínét és

térfogatát!

Az első feladatot egyesek így, mások pedig így oldották meg:

A második feladatot egyesek így, mások pedig így oldották meg:

a = 6 cm

a = 6 cm

T területT = a · a T = a2 T = 6 cm · 6 cm T = 62 cm2

T = 36 cm2 T = 36 cm2

Milyen új ismerettel találkozhattunk itt?

F felszínF = 6 · a · a F = 6 ∙ a2 F = 6 ∙ 5 cm· 5 cm F = 6 ∙ 52 cm2

F = 150 cm2 F = 150 cm2

V térfogatV = a · a · a V = a3 V = 5 cm ∙ 5 cm ∙ 5 cm V = 53 cm3

V = 125 cm3 V = 125 cm3

Milyen új ismerettel találkozhattunk itt?

a = 5 cma = 5 cm

Hogy számítjuk ki egy szám négyzetét és köbét?Ugyanúgy, mint ahogy a négyzet területének vagy a kocka felszínének és térfogatának kiszámításakor láthattuk.

Projektfeladat Keress olyan képleteket, amelyek második vagy harmadik hatványt tartalmaznak! Írd le, mit számíthatunk ki velük!

a · a = a2

Az a2 az a szám második hatványa.Így olvassuk: „ a a négyzeten”.Azt mondjuk, hogy az a számot

négyzetre emeljük.

§

a · a · a = a3 Az a3 az a szám harmadik hatványa.

Így olvassuk: „a a köbön”.Azt mondjuk, hogy az a számot

köbre emeljük.

§

a = 5 cm

1. 1. megoldásmegoldás 2. 2. megoldásmegoldás

6

Az alábbi feladatok segítségével begyakoroljuk a tanultakat.

3.3. Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala:a) a = 12 cmb) b = 0,4 dmc) c = 32 mm

Dolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!

4.4. Számítsd ki a négyzet területét, ha oldala:a) k = 11 cmb) l = 0,53 dmc) m = 302 mmDolgozz a hatványt tartalmazó képlettel! 7.7. Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha

élének hossza:a) e = 9 cmb) f = 0,12 dmc) g = 25 mmDolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!

8.*8.* Medencénk szabályos négy-oldalú egyenes hasáb alakú. Alap-élének hossza 10 m, mélysége pe-dig 1,5 m. Javításakor ki kellett belőle szivattyúznunk a vizet.

Hány liter vizet szivattyúztunk ki a medencéből?

Hány m2 csempét kellett megren-delnünk a medence fenekének új-racsempézéséhez?

6.6. Számítsd ki a kocka térfogatát és felszínét, ha éle: a) a = 10 cmb) b = 0,8 dmc) c = 15 mmDolgozz a hatványt tartalmazó képlettel!

Tudod-e…?Az emberek már 4000 éve ismerik a csempét. Gyönyörű, csempékkel ki-rakott képeket találtak az ókori egyip-tomi piramisokban, Babilon romjai közt és az ókori görög házakban is. A csempe Közel-Keletről származik. Egész épülethomlokzatokat is borítot-tak vele.

Tudod-e…?A térkövezés is több mint 2500 éves múltra tekint vissza. Főleg utakat rak-tak ki kővel – ezek közül azok a leg-híresebbek, amelyeket a rómaiak épí-tettek… Birodalmuk területén több ezer kilométernyi utat építettek.

3. 3. megoldásmegoldás

a) T = 122 cm2 = 144 cm2

A négyzet területe 144 cm2. 12 ∙ 12

b) T = 0,42 dm2 = 0,16 dm2 A négyzet területe 0,16 dm2.

0,4 ∙ 0,4

c) T = 322 mm2 = 1024 mm2

A négyzet területe 1024 mm2. 32 ∙ 32


A mértékegység átalakítása: 0,60 m = 60 cmA kijavítandó terület T = 602 cm2 = 3600 cm2

A mértékegységek átváltása: 2 dm = 20 cmA csempék száma: 60 cm : 20 cm = 3; 3 ∙ 3 = 9.3600 cm2-nyi területen kell a csempéket kicserélni, ehhez 9 csempére lesz szükség.

8.8. megoldásmegoldás

Az alaplap négyzet alakú. Az eredményt literben kell megadnunk, ezért az élhosszúságokat dm-ben adjuk meg.A mértékegységek átalakítása:a = 10 m = 100 dm, h = m = 1,5 m = 15 dm

A kiszivattyúzott vízmennyiség: V = a2 ∙ m (dm3) = 1002 ∙ 15 (dm3) = 150 000 dm3 = = 150 000 l.

A medence alja négyzet alakú: T = 102 m2 = 100 m2.

A medencéből 150 000 liter vizet szivattyúztunk ki, és a javításhoz 100 m2 csempére lesz szükségünk.

6.6. megoldásmegoldás

a) V = 103 cm3 = 1000 cm3 F = 6 ∙ 102 cm2 = 600 cm2

10 ∙ 10 ∙ 10 6 ∙ 10 ∙ 10A kocka térfogata 1000 cm3, felszíne pedig 600 cm2.

b) V = 0,83 dm3 = 0,512 dm3 F = 6 ∙ 0,82 dm2 = 3,84 dm2

0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 6 ∙ 0,8 ∙ 0,8A kocka térfogata 0,512 dm3, felszíne pedig 3,84 dm2.

c) V = 153 mm3 = 3375 mm3 F = 6 ∙ 152 mm2 = 1350 mm2

15 ∙ 15 ∙ 15 6 ∙ 15 ∙ 15A kocka térfogata 3375 mm3, felszíne pedig 1350 mm2.

h = 1,5 m = m

a = 10 ma = 10 m

5.*5.* Az osztályban, a mosdó körül, ki kell cserélni néhány csempét egy olyan négyzet ala-kú területen, amelynek oldala 0,60 m hosszú. Mekkora terüle-ten kell a csempét kicserélni? Az eredményt add meg cm2-ben! Hány darab 2 dm oldalú, négyzet alakú csempére lesz szükség?

7

9.9. Számítsd ki az alábbi számok négyzetét szorzással:

a) 12, 162, 2012, 30142 b) (– 1)2, (– 16)2, (– 201)2, (– 3014)2


a) 0,12, (– 0,1)2, 3,52, (– 3,5)2

b)


a) 212, 4,72, 0,912,

b) (– 45)2, (– 1,8)2,


a) 12 = 1 ∙ 1 = 1 b) (– 1)2 = (– 1) ∙ (– 1) = 1 162 = 16 ∙ 16 = 256 (– 16)2 = (– 16) ∙ (– 16) = 256 2012 = 201 ∙ 201 = 40 401 (– 201)2 = (– 201) ∙ (– 201) = 40 401 30142 = 3014 ∙ 3014 = 9 084 196 (– 3014)2 = (– 3014) ∙ (– 3014) = 9 084 196


a) 0,12 = 0,1 ∙ 0,1 = 0,01 (– 0,1)2 = (– 0,1) ∙ (– 0,1) = 0,01 3,52 = 3,5 ∙ 3,5 = 12,25 (– 3,5)2 = (– 3,5) ∙ (– 3,5) = 12,25

Az előző feladatokat négyzetre emeléssel vagy köbre emeléssel oldottuk meg.Lássunk most néhány olyan feladatot, melyben nem területet, felszínt vagy térfogatot számítunk ki.

b)

A 9. feladat megoldásából látható, hogy:

Az ellentett számok négyzetei egyenlők:a2 = (– a)2.

Az a és a – a kölcsönösen ellentett számok. §

Négyzetre emeléskor sokat segíthet az alábbi táblázat.Másold át a füzetedbe, töltsd ki, és tanuld meg fejből!A második sorba az első sorban levő számok négyzeteit írd!

Tudod-e…?Néhány szám négyzetre emelésekor különös számokat kapunk:

12 = 1 112 = 121 1112 = 1232111112 = 1234321

92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001

Azokat a számokat, amelyek számjegyeit fordított sorrendben írva az eredeti számot kapjuk vissza, palindrom számoknak nevezzük.

Školská encyklopédia matematiky, Pavlič Gregor, Príroda, 2001

Mennyi 01, 02, 03...?

Mennyi 21, 3 1, 41...?

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a2 25 144 169 400

8

12.12. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással:a) 13, 123, 3503, 12003 b) (– 1)3, (– 12)3, (– 350)3, (– 1200)3

13.13. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással:

a) 0,13, (– 0,1)3, 1,43, (– 1,4)3

b)

14.14. Számítsd ki az alábbi számok köbét szorzással:

a) 113, 0,73, 1,23, b)

12. 12. megoldás

a) 13 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1 b) (– 1)3 = (– 1) ∙ (– 1) ∙ (– 1) = – 1 123 = 12 ∙ 12 ∙ 12 = 1728 (– 12)3 = (– 12) ∙ (– 12) ∙ (– 12) = – 1728 3503 = 350 ∙ 350 ∙ 350 = 42 875 000 (– 350)3 = (– 350) ∙ (– 350) ∙ (– 350) = – 42 875 000 12003 = 1200 ∙ 1200 ∙ 1200 = 1 728 000 000 (– 1200)3 = (– 1200) ∙ (– 1200) ∙ (– 1200) = – 1 728 000 000

13. 13. megoldás

a) 0,13 = 0,1 ∙ 0,1 ∙ 0,1 = 0,001 (– 0,1)3 = (– 0,1) ∙ (– 0,1) ∙ (– 0,1) = – 0,001 1,43 = 1,4 ∙ 1,4 ∙ 1,4 = 2,744 (– 1,4)3 = (– 1,4) ∙ (– 1,4) ∙ (– 1,4) = – 2,744

b)

Tudod-e…?A hármat bűvös számnak tartják…

a 3

pára

tlan

prím

szám

és

a m

ásod

ik le

gnag

yobb

prím

szám

háromszög

3 oldal, 3 csúcs,

3 belső szög, 3 magasságvonal

a kémiában a lítium atomszáma 3

Köbre emeléskor nagy hasznát veheted az alábbi táblázatnak. Másolt át a füzetedbe!Írd a második sorba az első sorban levő számok köbét (harmadik hatványát)!

a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a3 8 27 512 8000

Mit gondolsz , van a köbre emelésnek valamilyen szabálya?

Egyébként valaki azt mondta a hatványról, hogy„A hatvány olyasvalami, ami képes hatni”.

Mit szólsz hozzá?

Neked mit mond a 3-as szám?

9

15.15. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat:

a) 63, 142

b) 112, (– 5,1)3

c) 3,23, (– 6,4)2

17.*17.* Számítsd ki a kifejezések értékét:

a) 23 + (– 3)2 + (– 2)2 + 33

b) (– 5)2 + (– 1)3 – 42 – 12

c) 0,23 + (– 0,4)2 + (– 0,3)3 + 0,13

d) (– 1,2)3 – (– 1,3)2 + (– 0,5)3 – 1,012

e) f)

16.16. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi hatványokat:

a) 0,33; 0,092 c) 5,13; (– 7,1)2

b) 172, (– 21)3 d)

15. 15. megoldás

A feladatot többféleképpen is megoldhatjuk. Mi úgy fog-juk megoldani, hogy kiszámítjuk a hatványok értékét, és ezeket hasonlítjuk össze. Javasolj más megoldást osztálytársaidnak!

a) 63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216 142 = 14 ∙ 14 = 196 216 > 196 63 > 142 Tehát: 63 > 142.

b) 112 = 121 (– 5,1)3 = – 132,651

121 > – 132,651 112 > (– 5,1)3 Tehát: 112 > (– 5,1)3.

c) 3,23 = 32,768 (– 6,4)2 = 40,96

32,768 < 40,96 3,23 < (– 6,4)2 Tehát: 3,23 < (– 6,4)2.

d)

> >

Tehát:

.

Elevenítsük fel a törtek összehasonlítását!Az egyenlő nevezőjű törteket a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze:

Összehasonlítás:

.

A különböző nevezőjű törteket először közös nevezőre hozzuk, majd a számlálójuk alapján hasonlítjuk össze.

A közös nevező a 3, 6, 12 legkisebb közös többszöröse, tehát 12.

Ezért és .

Innen: , vagyis .

e) negatív tört

pozitív tört

Mivel bármely pozitív szám nagyobb bármely nega-tív számnál, ezért:

17. 17. megoldás

Először a hatványozást végezzük el, majd a kapott érté-keket összeadjuk vagy kivonjuk egymásból.

a) 23 + (– 3)2 + (– 2)2 + 33

= 8 + 9 + 4 + 27 = 48 A kifejezés értéke 48.

b) (– 5)2 + (– 1)3 – 42 – 12 =

= 25 + (– 1) – 16 – 1 =

= 25 – 18 = 7 A kifejezés értéke 7.

c) 0,23 + (– 0,4)2 + (– 0,3)3 + 0,13 =

= 0,008 + 0,16 + (– 0,027) + 0,001 = = 0,008 + 0,16 – 0,027 + 0,001 = = 0,008 + 0,16 + 0,001 – 0,027 = = 0,169 – 0,027 = 0,142 A kifejezés értéke 0,142.

d) (– 1,2)3 – (– 1,3)2 + (– 0,5)3 – 1,012 =

= – 1,728 – 1,69 + (– 0,125) – 1,020 1 = = – 1,728 – 1,69 – 0,125 – 1,020 1 = = – 4,563 1 A kifejezés értéke – 4,563 1.

e)

A törteket közös nevezőre hozzuk, majd összeadjuk.

A kifejezés értéke .

f) =

A vegyes számokat törtekre alakítjuk, majd hatvá-nyozzuk:

=

=

A törteket közös nevezőre hozzuk, majd kivonjuk egy-másból:

=

Az áltörtet vegyes számra alakítjuk:– 2733 : 200 = – 13 m. 133

d)

e)


10

18.*18.* Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét:

a) 33 + (– 2)2 + (– 3)2 + 23

b) (– 1)2 + (– 1)3 – 12 + 13

c) 0,43 + (– 0,2)2 + (– 0,4)3 + 0,22

d)

20.20. a) A táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racio- nális szám négyzetét!

144 72

0,25 1000

6400 0,9

b) A táblázatban levő számok közül írd ki azokat, amelyeket már ismered mint valamilyen racionális szám köbét!

64 0

– 1 100

0,125 0,27

21.21.** Számítsd ki a táblázatban feltüntetett kifejezések értékét!

a2 + 2 · a a3 + 3 · a a3 – a2 a3 + a2

a

3– 2

22.22.** Írj a ♪ és a ? helyébe olyan számokat, hogy igaz legyen az egyenlőség!

a) ♪ = 0,25 b) = (? : 0,25)2 c) –(– 2)3 = (?)3 d)

♪ =

Gondolkodtató feladatA hatványról tanultakból és az előző feladatok eredmény-eiből kiindulva fogalmazz meg egy összefüggést az alábbi hatványműveletekről:

– (– 4)2, – (+ 4)2, – (– 4)3, – (+ 4)3

Tudod-e…?Az ókori rómaiak a nullát nullae-nek, azaz semminek nevez-ték.

19.19. Másold a füzetedbe a táblázatokat, és számítsd ki az adott számok négyzetét és köbét!

a) a– 4 – 3 – 2 2 3 4

a2

a3

b) a– 0,4 – 0,3 – 0,2 0,2 0,3 0,4

a2

a3

c) a

a2

a3

ProjektfeladatMennyi a nulla négyzete és köbe?Ki állapította ezt meg először a műveiben?

11

Tudáspróba

Minden feladatban csak egy helyes választ találsz.Ha bekarikázod a helyes válasz betűjelét, akkor ezeket összeolvasva megkapod az alábbi mondás hiányzó szavait:

„…. BARÁTSÁG LÉTEZIK.”

1. A –9 négyzete:

O – 81 C 81 R 18 S – 18

2. A –4 köbe:

N – 12 O 64 P 16 S – 64

3. A (– 5)2 hatvány értéke:

A 25 B 10 C – 25 D – 10


U – 18 K – 216 Z 18 X 216

5.

Á E Í Ó

6.

I G K L

7. A (– 0,03)2 hatvány értéke:

Y 0,000 9 F 0,09 G 0,009 H 0,000 6

8. A 0,82 hatvány értéke:

A 0,006 4 B 0,16 C 0,001 6 I 0,64

9. Az és a (– 0,8)3 hatványokra igaz, hogy:

M < (– 0,8)3 G > (– 0,8)3 A = (– 0,8)3 P (– 0,8)3

10. A és a 2,73 hatványokra igaz, hogy:

M > 2,73 N ≥ 2,73 A < 2,73 P = 2,73

11. A –10 négyzete:

T – 20 M – 100 G 20 Z 100

Tudod-e…?Vannak érdekes összecsengések. Például: 412 = 1681. 1681-ben tartották a soproni országgyűlést, ahol a protestáns hívők több enged-ményt is kaptak, melyeket a késmárki Thököly gróf harcolt ki számukra. Ezek alap-ján a garamszegiek (Hronsek) is felépíthették a templomukat. A templomot a város falain kívül kellett felépíteni, és:

1. csak faanyagból épülhetett, 2. vasszegek felhasználása nélkül,3. főbejárata nem nézhetett a falu vagy a város felé,4. nem lehetett tornya,5. egy év alatt el kellett készülnie.

Győződj meg az információk valódiságáról, és próbálj meg néhány hatványhoz hozzárendelni egy történelmi eseményt!

12

Négyzetre emelés Köbre emelés

Két egyenlő tényező szorzatát az adott szám négyze-tének (második hatványának) nevezzük.Például:62 = 6 ∙ 6 = 36

0,82 = 0,8 ∙ 0,8 = 0,64

Három egyenlő tényező szorzatát az adott szám köbének (harmadik hatványának) nevezzük.Például:63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216

0,83 = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 = 0,512

Bármely pozitív és bármely negatív szám négyzete pozitív szám.Például: 32 = 3 ∙ 3 = 9(– 3)2 = (– 3) ∙ (– 3) = 9

Bármely pozitív szám köbe pozitív szám.Például:33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27Bármely negatív szám köbe negatív szám.Például:(– 3)3 = (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) = – 27

Általában: (– a)2 = a2 a és – a kölcsönösen ellentett számok

Általában: (– a)3 = – a3, ha a ≠ 0

További összefüggések:02 = 012 = 1, (– 1)2 = 1

További összefüggések:03 = 013 = 1, (– 1)3 = – 1

Jegyezd meg!

13

1.2. Természetes kitevőjű hatványok

Idézzük fel!Ismerjük a négyzetre emelést és a köbre emelést:

a2 = a · a a3 = a · a · a Így számítottuk ki:a = 2 22 = 2 · 2 23 = 2 · 2 · 2 a = – 2 (– 2)2 = (– 2) · (– 2) (– 2)3 = (– 2) · (– 2) · (– 2)

Mi az a, és mit mondhatunk a 2, 3 számokról? Gondolkodj el rajta!

Egyszer egy bölcs azt kérte az uralkodójától, hogy szolgá-lataiért egy sakktábla első mezőjére mindössze két pénzér-mét tegyen, és minden következőre kétszer annyit, mint az előzőre. Az uralkodó megállapította, hogy ezt a jutalmat nem képes kifizetni, pedig a legkisebb pénzérmékről volt szó. Mintha ma egycentesekből indulnánk ki. Figyeljük meg, hogy miképp alakulna a jutalom mennyisége, ha a táb-la első mezőjére 2 egycentest tennénk:

Látható, hogy már a nyolcadik mezőre is hatalmas pénz-mennyiségnek kellene kerülnie.

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 256

A természetes kitevőjű hatványok fogalmának bevezeté-sét az tette indokolttá, hogy az egyenlő tényezők szorzatát egyszerűbben le lehessen írni. A sakktáblán keletkező szor-zatokat így lehet egyszerűbben leírni:2 = 21

2 · 2 = 22

2 · 2 · 2 = 23

2 · 2 · 2 · 2 = 24

2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 26

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 27

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 28

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 29

2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 210

A 2 ezekben a hatványokban a hatvány alapja.Az 1, 2, 3, …, 10 számokat hatványkitevőnek (expo-nensnek) nevezzük.Így olvassuk: 25 ... kettő az ötödiken 27 ... kettő a hetediken 210... kettő a tizediken és a 21 kettő az elsőnDe két kitevőt a magyar nyelvben különlegesen olvasunk: 22 ... kettő a négyzeten 23 ... kettő a köbönHa megfigyeljük a 2-es tényezőkből álló szorzatokat, megállapíthatjuk, hogy mi a kitevő jelentése.

1.1. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban!

3 · 3 · 3 · 3 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 74 · 4 · 4 · 4 · 4 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 25 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1

1. 1. megoldás

3 · 3 · 3 · 3 4 · 4 · 4 · 4 · 4 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5

Ez 4 hármas. Ez 5 négyes. Ez 7 ötös.Így írjuk le: 34. Így írjuk le: 45. Így írjuk le: 57.Így olvassuk: három a negyediken. Így olvassuk: négy az ötödiken. Így olvassuk: öt a hetediken.

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1

Ez 9 hetes. Ez 11 kettes. Ez 16 egyes.Így írjuk le: 79. Így írjuk le: 211. Így írjuk le: 116.Így olvassuk: hét a kilencediken. Így olvassuk: kettő a tizenegyediken. Így olvassuk: egy a tizenhatodikon.

14

2.2. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat?

a) 0,3 · 0,3 · 0,3b) (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4) · (– 1,4)

c)

d)

e) 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0

2. 2. megoldás

a) 0,33 Így olvassuk: 0,3 a harmadikon.b) (– 1,4)5 Így olvassuk: –1,4 az ötödiken.

c) Így olvassuk: egy ketted a kilencediken.

d) Így olvassuk: a hetediken.

e) 06 Így olvassuk: nulla a hatodikon.

4. 4. megoldás

hatvány hatványérték

65 7776

(– 0,4)3 – 0,064

(– 10)6 1 000 000

(– 1)7 – 1

3.3. Írd fel a következő szorzatokat hatványalakban! Hogy olvassuk ezeket a hatványokat?

a) 15 · 15 · 15 · 15 c)

b) (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7) · (– 0,7) d)

4.4. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd felhatványalakban, és számítsd ki az értéküket!

szorzat hatvány hatványérték

6 · 6 · 6 · 6 · 6

(– 0,4) · (– 0,4) · (– 0,4)

(– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10) · (– 10)

(– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1)

53

5 · 5 · 5 · 5

Helyes ez?

A hatványok értékét többnyire zsebszámológéppel vagy táblázat segítségével állapítjuk meg.

A természetes kitevőjű hatvány egy olyanan

kifejezés, amelyben az a tetszőleges valós szám a hatvány alapja,

az n tetszőleges természetes szám pedig a hatvány kitevője. Így olvassuk: „a az n-ediken”.

§

SegítségAz n természetes szám, amit n ∈ N alakban írunk és így olvassuk: n eleme a természetes számok halmazának. Természetes számok: 1, 2, 3, 4, 5…

15

5.5. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a szorzatokat írd fel hatványalakban, és számítsd ki az értéküket!

szorzat hatvány hatványérték

(– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2)

0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3

(– 100) · (– 100) · (– 100)

(– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1) · (– 1)

(– 1,2) · (– 1,2) · (– 1,2)

. . . . .

6.6. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét!

a)

hatvány szorzat hatványérték

28

0,54

b)


(– 2)8

(– 0,5)4

7.7. Másold a táblázatot a füzetedbe, majd a hatványalakban írt számot írd fel szorzatként, és számítsd ki a hatvány értékét!

a)


37

1,23

b)


(– 3)7

(– 1,2)3

6. 6. megoldás

a)

szorzat hatványérték

2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 256

0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 0,062 5

b)


(– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) 256

(– 0,5) ∙ (– 0,5) ∙ (– 0,5) ∙ (– 0,5) 0,062 5

. . . . .

7. 7. megoldás

a)


3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 2 187

1,2 ∙ 1,2 ∙ 1,2 1,728

b)


(– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) ∙ (– 3) – 2187

(– 1,2) ∙ (– 1,2 ) ∙ (– 1,2) – 1,728

28(– 2)8

Helyes ez?

16

8. 8. megoldás

a) (– 15)2 A kitevő páros szám (2), ezért a hatvány értéke pozitív. (– 15)2 > 0

b) (– 6)11 A kitevő páratlan szám (11), az alap negatív (–6), tehát a havány értéke negatív.

(– 6)11 < 0

c) (– 0,03)14 A kitevő páros szám (14), tehát a hatvány értéke pozitív. (– 0,03)14 > 0

d) (– 0,27)9 A kitevő páratlan (9), a hatvány alapja pedig negatív szám (–0,27), ezért a hatvány értéke negatív.

(– 0,27)9 < 0

e) < 0

f) < 0

g)* (3,5 – 7,8)5 Kiszámítjuk a zárójelben levő különbség értékét: 3,5 – 7,8 = – 4,3.Ebből (3,5 – 7,8)5 = (– 4,3)5. A kitevő páratlan (5), a hatvány alapja pedig negatív szám (– 4,3), tehát a hatvány értéke negatív.

(3,5 – 7,8)5 < 0

h)*

A kitevő páros szám (8), tehát a hatvány értéke pozitív. > 0

Mit mondhatunk a pozitív és a negatív számok hatványairól?Tudjuk, hogy:

(– 2)4 = 24

(– 3)5 = – 35

(– a)2k = a2k, ahol a 2k páros számot jelent, ha k ∈ N, a > 0.

(– a)2k – 1 = – a2k – 1, ahol a 2k – 1 páratlan számot jelent, ha k ∈ N, a > 0.

8.8. Írd le, hogy pozitív vagy negatív eredményt kapunk-e a hatványozás után!

a) (– 15)2 c) (– 0,03)14

b) (– 6)11 d) (– 0,27)9

e) g)* (3,5 – 7,8)5

f) h)*

Tudod-e…?Mezopotámiában már a Kr. e. 3. évezredben sok feladatot táblá-zattal oldottak meg. Táblázataik a számok második és harmadik hatványait is tartalmazták.Dejiny prírodných vied, Jaroslav Folta és Luboš Nový, Smena,1981

A kitevő páratlan (17), a hatvány alapja pedig negatív szám , ezért a hatvány értéke negatív.

A pozitív és a negatív számok páros kitevőjű hatványa mindig pozitív szám. §

A kitevő páratlan (3), a hatvány alapja pedig negatív szám , ezért a hatvány értéke negatív.

Tudod-e…?Egy felnőtt ember agyának (latinul encephalon) a tömege körülbelül 1400 gramm. Körülbelül 1,2 . 1010 neuronból és 5 . 1010 támasztósejtből áll. Az agy az egész testünk működé-sét irányítja, és egyetlen számítógép sem veheti fel vele a versenyt.

A negatív szám páratlan kitevőjű hatványa negatív szám. §

Két ellentett szám páros kitevőjű hatványa egyenlő. §

1717

9.9. Írd a számok közé a <, > jelek közül a megfelelőt!

a) 2,73 ... 0 c) ... 0

b) (– 0,6)4 ... 0 d) ... 0

10.10. Írd a számok közé a <, >, = jelek közül a megfelelőt!

a) 34 ... (– 3)4 c) ...

b) (– 1,9)15 ... – 1,915 d) ...

11.11. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műve-leteket!

a) (– 6)3 + (– 4)2

c)

b) (– 0,03)2 + (– 0,1)4

d)

12.12. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó műve-leteket!

a) (– 2)5 – (– 3)2

c)

b) (– 0,01)2 – (– 0,1)4

d)

13.13. Számítsd ki a hatványkifejezéseket tartalmazó mű-veleteket, majd rendezd az eredményeket növekvő sorrendbe!

(– 2)4 · (– 3)3

(– 0,02)2 · (– 0,1)4

14.14. a) Az alábbi feladatok eredményei az 1, – 64, 32,

64, – 32, – 1 számok közül kerülnek ki:

45 : (– 2)4 = 83 : (– 4)2 = (– 3)4 : (– 9)2 =

Párosítsd össze az eredményeket a feladatokkal!

b) A = és a (– 0,75 + 0,25)3 =

feladatok eredményeit az alábbi hatványok között találod:

0,253 0,53 (– 0,5)3 (– 0,25)3


c) A törtek mindegyike az

alábbi feladatok valamelyikének eredménye:

= (– 1)2 – = – 14 =



Alkoss néhány feladatot az alábbi hatványok felhasználá-sával!

(– 1)2, (– 2)4, (– 3)3, (– 4)2

Számítsátok ki közösen ezeket a feladatokat!

Tudod-e…?A 20. század ötvenes éveiben a Kassa (Košice) melletti Bárca (Barca) községben, amely ma már a város része, olyan számolókockákat találtak, amelyek állítólag a Kr. e. 14. századból származnak.Keress az interneten információkat a számolókockákról!

A Zichy-család kastélya Bárcán. Fotó: Tizo1

18

TudáspróbaMinden feladatban csak egy helyes választ találsz.

1. A – 8 negyedik hatványa:

A pozitív szám B negatív szám C 0 D – 84

2. A – 7 ötödik hatványa:

A pozitív szám B negatív szám C 0 D 75


A – 1 B 1 C – 6 D 6


A 1024 B – 20 C 20 D – 1024

5.

A B C D 64

6.

A B C D

7. Az adott hatványok értékei közül melyik a legnagyobb?

A (– 1)5 B (– 2)3 C 14 D 22

8. Az adott hatványok értékei közül melyik a legkisebb?

A (– 0,2)5 B 0,31 C 0,052 D (– 0,01)6

9. A és a (– 0,5)7 hatványokról elmondható:

A < (– 0,5)7 B > (– 0,5)7 C = (– 0,5)7

10. A és a 1,34 hatványokról elmondható:

A < 1,34 B > 1,34 C

= 1,34

A természetes kitevőjű an hatvány n darab a tényező szorzata. Például:a4 = a ∙ a ∙ a ∙ a 4-tényezős szorzata5 = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a 5-tényezős szorzat a a hatvány alapja Az a egy tetszőleges valós szám, amit a kívánt hatványra emelünk.

n a hatványkitevő (exponens) Az n természetes szám (1, 2, 3, 4, 5...).Az n azt mutatja, hogy hány egyenlő tényezőt kell összeszoroznunk.Ha a kitevő páros, akkor (– a)2k = a2k, ahol k ∈ N, a > 0.Ha a kitevő páratlan, akkor (– a)2k – 1 = – a2k – 1, ahol k ∈ N, a > 0.További összefüggések: 1n = 1, 0n = 0 (n ∈ N ).

Jegyezd meg!

19

Összeadhatók?Kivonhatók egymásból?Összeszorozhatók?

Eloszthatók egymással?

Számolás természetes kitevőjű hatványokkal

31 3

33 2 7

35 2 4 3

37 2 1 8 7

39 1 9 6 8 3

Idézzük fel!15.15. Számítsd ki a következő kifejezés értékét:

15. 15. megoldás

Így számolunk:Először kiszámítjuk szorzással az összes hatvány értékét:

(– 4)2 = (– 4) · (– 4) = 16

(– 2)4 = (– 2) · (– 2) · (– 2) · (– 2) = 16

De így is számolhatunk: Hasznosítjuk a negatív számok páros és páratlan kitevőjű hatványairól tanultakat.

(– 4)2 – (– 2)4 – =

Ezt követően ugyanúgy adhatjuk össze a kapott értékeket, mint az előző módszernél:

Majd összeadjuk az eredményeket:


16. 16. megoldás

Kiszámítjuk a hatványok értékét, megszorozzuk a törteket, egyszerűsítünk, majd összeadjuk a szorzatokat.

A kifejezés értéke 86.

Ha tudjuk, mi a természetes kitevőjű hatvány, nem árt,ha számolni istudunk vele.

p j y

Más megoldás is létezik. Biztosan magadtól is rájössz , ha áttanulmányozod

ezt a fejezetet .

16.16. Ha a 15. feladat nehéznek tűnt, számítsd ki az alábbi kifejezés értékét!

43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64(– 9)2 = (– 9) ∙ (– 9) = 81

A törteket a szorzás elvégzése • előtt is egyszerűsíthetjük. Oldd meg a feladatot a törtek • egyszerűsítésével!

20

18.18. Add össze az alábbi hatványokat!

a) c) 0,5 · y9 + 1,5 · x2 + 2,5 · y9 + 3,5 · x2

b) 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x2 + x3 d)

17.17. Számítsd ki a kifejezés értékét!

18. 18. megoldás

Összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat.

a)

b) 2 · x2 + 3 · x3 + 4 · x2 + x3 = 2 · x2 + 4 · x2 + 3 · x3 + x3 = = (2 + 4) · x2 + (3 + 1) · x3 = 6 · x2 + 4 · x3

c)

= (0,5 + 2,5) · y9 + (1,5 + 3,5) · x2 = 3 · y9 + 5 · x2

d) =

= =

19. 19. megoldás

Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat kivonjuk egymásból.a) 5 · 34 – 2 · 34 = (5 – 2) · 34 = 3 · 34 = 35

b) 2 · a3 – 5 · a3 = (2 – 5) · a3 = – 3 · a3

c) 10,8 · y9 – 1,2 · y9 = (10,8 – 1,2) · y9 = 9,6 · y9

d) 6 · x2– 0,8 · x7 – 4 · x2 – 0,2 · x7 = = (6 – 4) · x2 + (– 0,8 – 0,2) · x7 = 2 · x2 + (– 1) · x7 = = 2 · x2 – x7

17. 17. megoldás

Ezt a feladatot is úgy oldjuk meg, hogy először elvégezzük a hatványozást.

Aztán elvégezzük a szorzást, majd az összeadást.= 250 + 500 = 750Más módon is megoldhatjuk a feladatot. Figyeld meg, hogyan!2 · 53 + 4 · 53 = (2 + 4) · 53 = 6 · 53 = 6 · 125 = 750

Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat összeadjuk.

2 · b2 + 5 · b2 = (2 + 5) · b2 = 7 · b2

Kiemeljük, majd összeadjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok

előtt álló számokat.

Az egyenlő alapú és kitevőjű hatvá-nyokat kivonhatjuk egymásból.

4 · 32 – 2 · 32 = 32 + 32 + 32 + 32 – 32– 32 == 32 + 32 = 2 · 32

4 · 32 – 2 · 32 = (4 – 2) · 32 = 2 · 32

Kiemeljük, majd kivonjuk egy-másból az egyenlő alapú és kitevőjű

hatványok előtt álló számokat.

19.19. Vond ki egymásból az alábbi hatványokat!

a) 5 · 34 – 2 · 34 c) 10,8 · y9 – 1,2 · y9

b) 2 · a3 – 5 · a3 d) 6 · x2 – 0,8 · x7 – 4 · x2 – 0,2 · x7

Hatványok kivonása

A kifejezés értéke 750.

Algebrai hatványok összeadása

Az egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat össze lehet adni és ki lehet vonni egymásból. §

53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125

A törteket külön is összeadhatjuk.

21

Hatványok szorzása

Hatványok osztása

Hatványok hatványozása

20.20. Szorozd össze az alábbi hatványokat!

a) 42 · 41 c) (2 · x9) · (4 · x6)

b) a7 · a4 d)

21.21. Oszd el az alábbi hatványokat!

a) 53 : 51 c) (12 · x9) : (4 · x6)

b) a8 : a5 d)

22.22. Hatványozd az alábbi hatványokat!

a) (72)3 c) (3 · b3)4

b) (a5)3 d)

20. 20. megoldás

A közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeadjuk.a) 42 · 41 = 42 + 1 = 43 b) a7 · a4 = a7 + 4 = a11

c) (2 · x9) · (4 · x6) = (2 · 4) · x9 + 6 = 8 · x15

d) =

21. 21. megoldás

A közös alapot leírjuk, a kitevőket pedig kivonjuk egymásból.a) 53 : 51 = 53 – 1 = 52 b) a8 : a5 = a8 – 5 = a3

c) (12 · x9) : (4 · x6) = (12 : 4) · x9 – 6 = 3 · x3

d) =

= . y5 – 3 =

22. 22. megoldás

Az alapot leírjuk, a kitevőket pedig összeszorozzuk.a) (72)3 = 72 · 3 = 76

b) (a5)3 = a5 · 3 = a15

c) (3 · b3)4 = 34 · b3 · 4 = 34 · b12

d) = · x3 · 4 · y2 · 4 = · x12 · y8

A törtek szorzásánál az ún. keresztszabályt alkalmaztuk.

A vegyes számot törtre alakítottuk, majd elosztottuk egymás-sal. Ez azt jelenti, hogy az első törtet megszoroztuk a második tört reciprok (fordított) értékével.

Az egyenlő alapú hatványokat eloszthatjuk egymással.

35 : 33 = 243 : 27 = 9 = 32

(24 · b6) : (6 · b4) =

=

= 4 · b2

Az egyenlő alapú hatványok osztásakor a kitevőket kivonjuk

egymásból:ar : as = ar – s

Ha a hatványok előtt más számok is állnak, azokat külön elosztjuk

egymással.

Hatványokat hatványozhatunk.

(33)2 = (27)2 = 729 = 36

(a4)3 = a4 · a4 · a4 = a4 + 4 + 4 = = a3 . 4 = a4 . 3 = a12

(2 · a3)2 = (2 · a3) · (2 · a3) = = (2 · 2) · a3 + 3 = 4 · a2 . 3 = 4 · a3 . 2= 4 · a6

Hatvány hatványozásakor a kitevőket összeszorozzuk:

(ar )s = ar . s

Az egyenlő alapú hatványokat összeszorozhatjuk.

32 · 33 = (3 · 3) · (3 · 3 · 3) = 243 = 35

a3 · a4 = (a · a · a) · (a · a · a · a) = a7

(5 · b2) · (3 · b4) = (5 · 3) · b2 · b4 = = 15 · (b · b) · (b · b · b · b) = 15 · b6

Az egyenlő alapú hatványok szor-zásakor a kitevőket összeadjuk:

ar · as = ar + s

Ha a hatványokat más számokkal is szorozzuk, akkor azokat külön

szorozzuk össze.

22

Vegyes műveletek hatványokkal

25.**25.** Hozd egyszerűbb alakra!

a) (– 3a3 + 4a2) · (– 2a4) + (3a + 2a4) · a3

b) (0,5b6 + 0,5b) · b2 – b3 · (0,4b5 + 0,2b4)c) (25c5 + 5c4) : (– 5c3) + (9c2 + 3c4) : (3c2)d) (1,5d 7 + 2,5d 5) : (0,5d 4) – (0,4d 5 – 0,2d 3) : d 3

e) (2e4)3

f)

Melyik tananyag jut eszedbe a hatványokról? … Ez az algebrai kifejezésekről szóló tananyag.

Segítség16 = 4 . 4 = 4 216 = 2 . 2 . 2 . 2 = 2 4

Egyenlő alapú és kitevőjű hatványokat úgy adunk össze vagy vonunk ki egymásból, hogy összeadjuk vagy kivonjuk az egyenlő alapú és kitevőjű hatványok előtt álló számokat. Például: 3x4 + 10x4 = 13x4

5,8y2 – 3,5y2 = 2,3y2

Az egyenlő alapú hatványokat úgy szorozzuk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.

ar · as = ar + s, az r, s kitevők természetes számok, például: x2 . x5 = x7

Az egyenlő alapú hatványokat úgy osztjuk el egymással, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük.

ar : as = ar – s, az r, s kitevők természetes számok és az a ≠ 0, például: y5 : y3 = y2, y ≠ 0Hatványok hatványozásakor az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

(ar )s = ar . s, az r, s kitevők természetes számok, például: (z5)2 = z10

Jegyezd meg!

24.24. Hozd egyszerűbb alakra az alábbi kifejezéseket!

a) (– 5a2 + 2a3) · (– 3a2)b) (– 15b2 + 6b4) : (– 3b2)

24. 24. megoldás

A műveletek disztributív tulajdonságát és a hatványokról tanultakat alkalmazzuk:a) (– 5a2 + 2a3) · (– 3a2) = (– 5a2) · (– 3a2) + (2a3) · (– 3a2) = = 15a4 – 6a5

b) (– 15b2 + 6b4) : (– 3b2) = (– 15b2) : (– 3b2) + (6b4) : (– 3b2) = = 5 – 2b2

Egy bölcs egyszer ezt mondta:

Nem mindenki lát, aki néz.Ezért figyelmesen olvasd el

a magyarázatokat, segítségedre lehetnek a feladatok

megoldásakor!

Megegyezés

Az algebrai kifejezésekbena 3 ∙ x szorzatot 3x

alakban írjuk.Ugyanígy: – 3 ∙ a2 = – 3a2

23.*23.* Hozd a hatványokat közös alapra, majd számítsd ki!

a) 73 · 49 c) 34 · 96 b) 56 : 125 d) 210 : 162

SegítségA disztributív törvény:(a + b) · c = a · c + b · c(a + b) : c = + ; c ≠ 0

23

1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek előtagjai közti összefüggés

Idézzük fel!1.1. Írd fel a 243; 3725; 2,136; 10,59 számok tízes számrendszerbeli kifejtését!

Sokszor emlegetjük a hatványokat. Vajon miért?Hatványokra szükség van a síkidomok területének, a kocka felszínének, térfogatának kiszámításához, de a henger és a kúp felszínének és térfogatának kiszámításához is. És ez még csak a matematika. Hol van még a többi tudományág? A fizika, a kémia, a biológia? Állapítsd meg, hol fordulnak elő még hatványok! Ez a következő projektfeladatod. Külön fejezetet érdemelnek a 10 hatványai. Még mielőtt mást is mondanánk róluk, felidézünk néhány olyan feladatot, amelyekben hatványokkal kellett számolni.

Tudod-e…?A számok helyiértékes írását először az ókori egyiptomiak alkalmazták. A 10-et a sarokcsont alakjával, a 100-at egy felemelt kötéllel, az 1000-et lótuszvirággal, a 10 000-et fölemelt ujjal, a 100 000-et békával szemléltették.

Školská encyklopédia matematiky, Príroda, 2001

Nem beszéltünk a 10 negatív kitevőjű hatványairól.

Ez az ismeret nem tartozik a kötelező tananyaghoz. De mindig jobb többet tudni, mint kevesebbet.

1. 1. megoldás

Eddig így írtuk le: 243 = 2 ∙ 100 + 4 ∙ 10 + 3 ∙ 1 3725 = 3 ∙ 1000 + 7 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 ∙ 1

2,136 = 2 ∙ 1 + 1 ∙ + 3 ∙ + 6 ∙

10,59 = 1 ∙ 10 + 0 ∙ 1 + 5 ∙ 0,1 + 9 ∙ 0,01

Most hatványok segítségével fogjuk leírni, tehát így: 243 = 2 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 3 ∙ 100

3725 = 3 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 2 ∙ 101 + 5 ∙ 100

2,136 = 2 ∙ 100 + 1 ∙ 10– 1 + 3 ∙ 10– 2 + 6 ∙ 10– 3

10,59 = 1 ∙ 101 + 0 ∙ 100 + 5 ∙ 10– 1 + 9 ∙ 10– 2

Nem beszéltünk még a 0 kitevőről.

Miért 1 a 0 kitevőjű hatványok értéke?Végezzük el pl. a következő osztást:

Megegyezés

Bármely nullától különböző szám nulladik hatványa 1.

30 = 1 0,560 = 1

= 1 (– 7)0 = 1

53 : 53 = 53 – 3 = 50

53 : 53 50 = 1

53 : 53 = 125 : 125 = 1

kiffejtéssét!!

Megjegyzés

A tízes számrendszert tízes alapú helyiértékes rendszer-nek is nevezhetjük.

Megjegyzés

Egy szám 10 hatványaival történő felírását a szám tízes számrendszerbeli kifejtésének is nevezhetjük.

Megegyezés

A 10 negatív hatványainaktulajdonságai:

0,1 = = 10– 1 0,01 = = 10– 2

0,001 = = 10– 3 0,000 1 = = 10– 4

24

Azt mondják, hogy

a nullatényezős szorzatot

le sem kell írni.

Én inkább leírom,

hogy kevesebb hibát

kövessek el.

3.3. Írd fel a 12, 347, 3560, 56 709, 102 568 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival!

5.5. Írd fel a 3,5; 0,23; 42,025; 305,123 05 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival!

4.4. Írd fel az 1 002 304, 60 985 321, 132 465 021, 9 780 325 405 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványaival!

6.6. Írd fel a 6,731; 105,3; 652,34; 0,231 056 számokat tízes számrendszerbeli helyiértékes felbontásban a 10 hatványai nélkül és a 10 hatványaival!

7.7. Írj a � helyébe alkalmas számjegyeket, hogy igaz legyen az egyenlőség!A �-ok helyébe különböző számjegyek kerülhetnek.

a) 2� = � · 101 + 6 · 100

5�7 = � · 102 + 4 · 101 + � · 100

8509 = � · 103 + � · 102 + 0 · 10� + 9 · �0

36 026 = � · 104 + 6 · 10� + � · 102 + 2 · �1 + 6 · 10�

b) 0,2 = � · 100 + 2 · 10�

5,7� = � · 100 + � · 10– 1 + 4 · 10– 2

20,921 = � · 101 + � · 100 + 9 · 10� + 2 · 10� + � · 10– 3

328,36 = � · 102 + � · 101 + � · 10� + 3 · 10� + � · 10– 2

3. 3. megoldás

12 = 1 ∙ 101 + 2 ∙ 100

347 = 3 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 7 ∙ 100

3560 = 3 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 0 ∙ 100

56 709 = 5 ∙ 104 + 6 ∙ 103 + 7 ∙ 102 + 0 ∙ 101 + 9 ∙ 100

102 568 = 1 ∙ 105 + 0 ∙ 104 + 2 ∙ 103 + 5 ∙ 102 + 6 ∙ 101 + 8 ∙ 100

5. 5. megoldás

Felbontás hatványok nélkül: 3,5 = 3 · 1 + 5 · 0,1 0,23 = 0 · 1 + 2 · 0,1 + 3 · 0,01 42,025 = 4 · 10 + 2 · 1 + 0 · 0,1 + 2 · 0,01 + 5 · 0,001 305,123 05 = 3 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 1 · 0,1 + 2 · 0,01 + 3 · 0,001 + 0 · 0,000 1 + 5 · 0,000 01

Felbontás hatványokkal: 3,5 = 3 · 100 + 5 · 10– 1

0,23 = 0 · 100 + 2 · 10– 1 + 3 · 10– 2

42,025 = 4 · 101 + 2 · 100 + 0 · 10– 1 + 2 · 10– 2 + 5 · 10– 3

305,123 05 = 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 + 1 · 10– 1 + 2 · 10– 2 + 3 · 10– 3 + 0 · 10– 4 + 5 · 10– 5

2.2. Írd fel a táblázatban olvasható számokat a 10 hatványaként! Az így felírt számok megkönnyíthetik a követ-kező feladatok megoldását.

n 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

10n

!

25

Mit kellene tudnunk a 10 hatványairól?A Mértékegységek Nemzetközi Rendszerében (SI) alkalmazzuk a 10 hatványait.Egyezményes nevük, jelölésük van… Egy részüket az alábbi táblázatban olvashatod.

SI-rendszerbeli előtagok

10n előtag jele jelentése hányszoros eredete példa

106 mega- M millió 1 000 000 görög – nagy MeV – megaelektronvolt

103 kilo- k ezer 1 000 gör. – ezer kg – kilogramm

102 hekto- h száz 100 gör. – száz hPa – hektopascal

101 deka- da tíz 10 gör. – tíz dag – dekagramm

100 – – egy 1 m – méter

10– 1 deci- d tized 0,1 lat. decimus – tizedik dB – decibel

10– 2 centi- c század 0,01 lat. centum – száz cm – centiméter

10– 3 milli- m ezred 0,001 lat. mille – ezer mm – milliméter

10– 6 mikro- μ milliomod 0,000 001 gör. – kicsi μA – mikroamper

10– 9 nano- n milliárdad 0,000 000 001 gör. – törpe nT – nanotesla

Az SI-rendszerben például a kilo előtag azt jelzi, hogy az alapegység ezerszerese, tehát a kilométer 1000 métert, a kilowatt ezer wattot jelent. Ezzel szemben a milli azt jelzi, hogy az alapegység ezredrésze, tehát a milliméter a méter ezrede, a milliamper az amper ezrede.

ProjektfeladatDolgozz ki egy olyan projektet, amelyben felhasználod a táblázatban felsorolt előtagokat.A többi tantárgy – mint a fizika, a kémia, a biológia ésa földrajz – bőségesen szolgálhat példákkal.

8.8. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel!

a) 2,3 km (m), 0,5 km (dm), 0,025 km (cm)b) 4,29 m (dm), 0,8 m (cm), 0,05 m (mm)c) 6,8 dm (cm), 0,8 dm (mm)


a) 2,3 km2 (m2), 0,5 km2 (dm2), 0,025 km2 (cm2)b) 4,29 m2 (dm2), 0,8 m2 (cm2), 0,05 m2 (mm2)c) 6,8 dm2 (cm2), 0,8 dm2 (mm2)d) 0,8 ha (a), 1,2 ha (m2)e) 45 a (m2)


a) 5620 dm3 (m3), 952 cm3 (m3), 7450 mm3 (m3)b) 10 253 cm3 (dm3), 650 280 mm3 (dm3)c) 450 l (hl), 56 000 dl (hl), 4 580 000 cl (hl), 350 cl (dl)d) 320 dl (l), 4120 cl (l), 10 250 ml (l), 3520 ml (dl)


a) 36 580 m2 (km2), 389 560 cm2 (km2), 4 500 200 dm2 (km2), b) 30 250 dm2 (m2), 106 520 cm2 (m2), 560 000 mm2 (m2)c) 3298 cm2 (dm2), 6280 mm2 (dm2)d) 125 a (ha), 650 250 m2 (ha)e) 562 m2 (a)

jjelele zizi, , , hohoogygygygygy azaza a aalalaapepepepppppp gygygygygygyyséséségg gggggg ezeze rereedrdrd ésésészezee,,, t ttehehe átátát a aa m milillilimémééteteterr

Az alábbi feladatokban ismételd át a mérték-egységek átváltását!

Az előtagok jelentését leolvas-hatod a fenti táblázatból.


a) 420 m (km), 2 050 dm (km), 310 256 cm (km)b) 260 dm (m), 10 260 cm (m), 36 560 mm (m)c) 560 cm (dm), 3075 mm (dm)

10.10. Fejezd ki az alábbi mennyiségeket a zárójelben megadott mértékegységgel

a) 4,29 m3 (dm3), 0,8 m3 (cm3), 0,05 m3 (mm3)b) 6,8 dm3 (cm3), 0,8 dm3 (mm3)c) 0,5 hl (l), 2,5 hl (dl), 0,09 hl (cl)d) 4,1 l (dl), 0,60 l (ml), 0,003 l (cl)

26

15.15. Döntsd el, hogy az állítás igaz vagy hamis!

a) Egy méter több, mint 50 cm. Igaz – Hamis Egy km kevesebb, mint 1500 m. Igaz – Hamis 10 dm több, mint 1000 cm. Igaz – Hamis 1000 mm kevesebb, mint 100 dm. Igaz – Hamis

b) 100 m2 több, mint 100 dm2. Igaz – Hamis Egy cm2 kevesebb, mint 1 m2. Igaz – Hamis 10 000 dm2 ugyanannyi, mint 10 m2. Igaz – Hamis 100 000 mm2 több, mint 100 cm2. Igaz – Hamis

c) Egy liter több, mint 1 dm3. Igaz – Hamis 100 hl annyi, mint 10 dm3. Igaz – Hamis 1 000 000 cm3 kevesebb, mint 1 liter. Igaz – Hamis Egy m3 több, mint 10 liter. Igaz – Hamis

14.14. Ha az alábbi különböző egységekben adott számkártyákat a rajtuk olvasható mennyiségek szerint csökke-nő sorrendbe rendezed, akkor a betűjeleikből egy-egy értelmes szót kapsz.

0,652 dm

T

0,000 356 a

Ő

5,87 dm3

E

2,65 m

G

526 mm

I

56,3 dm2

R

8750 cm3

Z

0,000 625 km

A

35 600 cm2

Ö

0,007 58 hl

Ü

5,62 dm

F

53 600 mm2

Z

5,78 l

T

256 cm

R

3,65 m2

K

0,785 m3

F

a)

b)

c)

Megjegyzés Emlékszel még a mértékegységek átalakítására?

Ha nagyobb mértékegységet alakítunk kisebbre, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel … kell megszoroznunk.

nagyobbat kisebbre 0,5 dm-t cm-re 0,5 szer 10

0,5 ∙ 10 = 5 0,5 dm = 5 cm

Ha kisebb mértékegységet alakítunk nagyobbra, akkor a mérőszámot 10-zel, 100-zal, 1000-rel … kell elosztanunk.

kisebbet nagyobbra 420 mm-t dm-re 420 osztva 100

420 : 100 = 4,20 420 mm = 4,2 dm

És a vízierőművek? A halgazdálkodás,

a hajózás, a pihenés…?

1.4. A számok normálalakja

Idézzük fel!1.1. Számítsd ki az alábbi feladatokat! Jó bemelegítés lesz

ez a további számításokhoz.

2 150 000 + 3 425 000 = 5 890 000 – 2 560 000 =7 891 000 . 500 =12 150 000 : 5000 =

Ebben a fejezetben minden feladatot zsebszámológép nélkül számítunk ki.

27

2.2. Életünk a víztől függ. Add össze a táblázatban feltünte-tett szlovákiai folyók hosszát!

A folyó neve Hossza méterben

Nyitra (Nitra) 196 700

Vág (Váh) 403 000

Garam (Hron) 298 000

Hernád (Hornád) 193 000

Ipoly (Ipoly) 232 500

Duna (Dunaj) 172 000

Szerinted mire használható a kiszámított adat?

A Garam Barsváradnál (Tekovský Hrádok).fotó: Gcenkei

Tudod-e, hogy... valamikor ezeket a számokat „nagy számoknak” ne-vezték? Például azokat is, amelyek az alábbi táblázat-ban a szomszédos országok népességét tartalmazzák 2011-ből. Forrás: Wikipédia

Ország Népesség

Magyarország 10 019 000

Lengyelország 38 116 000

Ukrajna 46 490 000

Ausztria 8 402 000

Csehország 10 507 000

A statisztikusok sorba rendeznék, oszlopdiagramot ké-szítenének az adatokból, kiszámítanák a százalékará-nyukat, és kördiagramot szerkesztenének.Hogy nevezzük azt a tudományágat, amely az egyes térségek népességével foglalkozik?

demográfia? �etnográfia? �ökonómia? �

Állapítsd meg, hogy mit ír erről az Idegen szavak szótára.

kk

1. 1. megoldás

Nullák nélkül is számolhatunk. 2 150 000 3 425 000

Most visszaírjuk a nullákat:5 575 000

Nullák nélkül is számolhatunk. 5 89 0 000 – 2 56 0 000

Most visszaírjuk a nullákat:3 330 000

Nullák nélkül is számolhatunk. 7 891 000 . 5 00

Most visszaírjuk a nullákat: 3 945 500 000

Úgy is számolhatunk, hogy ugyanannyi nullát törlünk mindkét számból.

12 150 000 : 5000 = 2430

2 150 0003 425 0005 575 000

5 890 000 – 2 560 000 3 330 000

7 891 000 . 500 3 945 500 000

12 150 000 : 5000 = 2430– 10 000 2 150 0 – 2 000 0 150 00 – 150 00 00 – 0 0

28

Ha nagy számokkal számolunk, másfajta segítséget is kaphatunk.Például a 10 hatványaitól.

3.3. Írd fel a 100 000-et,

az 1 000 000-t, a 10 000 000-t és a 100 000 000-t 10 hatványaként!Segítségül veheted az előző részben található táblázatot!

Hol találkozunk leggyakrabban a 10 hatványaival írt számokkal? A fizikában… A földrajzban… A csillagászatban…

… 1983 ban a tudósok megegyeztek, hogy a fénysebesség pontosan 299 792 458 méter másodpercenként, azaz körülbelül 3 . 108 méter másodpercenként.

… A Földünk a Naprendszer egyik bolygó-ja, amelynek központja egy csillag: a Nap, amely a Tejútrendszer (Galaxis) közép-pontjától 33 000 fényévnyire van.

… Egy fényév 9 460 730 472 580 800 méternek felel meg, ami körülbelül 9,460 7 . 1015 méter.

A Föld felszíne 510,1 millió km2, ami 5,101 . 108 km2. Ebből 149 millió km2 a szárazföld, ami 1,49 . 108 km2.

A vízfelszín 361 millió km2, ami 3,61 . 108 km2.

A Fö

ld té

rfoga

ta 1

083

210

000

000

km

3 . Ez

kör

ülbe

lül 1

,083

21

. 1012

km

3 .

Segítség

10 = 101

100 = 102

1000 = 103

10 000 = 104

50 = 5 . 101

300 = 3 . 102

2 000 = 2 . 103

50 000 000 = 5 . 107

150 = 1,5 . 102

2 300 = 2,3 . 103

372 000 = 3,72 . 105

41 200 000 = 4,12 . 107

A 10 hatványaival (normálalakban) így írjuk le a nagy számokat:

Miből áll a normálalak?A 10, 100, 1000, 10 000… számok10-es alapú hatványánakés egy számnak a szorzatából.

50 = 5 . 101 150 = 1,50 . 100 = 1,5 . 102

300 = 3 . 102 2 300 = 2,3 . 1000 = 2,3 . 103

2 000 = 2 . 103 372 000 = 3,72 . 100 000 = 3,72 . 105

50 000 000 = 5 . 107 41 200 000 = 4,12 . 10 000 000 = 4,12 . 107

A normálalak felírásakor hasonlóan járunk el, mint a számok helyiértékes felbontásakor vagy a mértékegységek átalakításakor.

A számok normálalakjában a 10 hatványa előtt mindig 1-nek vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél kisebb számnak kell állnia.

Megegyezés

A nagy számokat így írjuk le normálalakban:a . 10n, ahol 1 ≤ a < 10, n∈N.

29

4.4. Írd fel az alábbi számokat normálalakban:

a) 400, 6000, 30 000, 500 000, 9 000 000b) 360, 7800, 62 000, 890 000, 7 200 000c) 3160, 72 500, 163 000, 8 910 000, 25 200 000A feladatot szóban is megoldhatod.

4. 4. megoldás

a) 4 ∙ 102, 6 ∙ 103, 3 ∙ 104, 5 ∙ 105, 9 ∙ 106

b) 3,6 · 102, 7,8 ∙ 103, 6,2 ∙ 104, 8,9 ∙ 105, 7,2 ∙ 106

c) 3,16 ∙ 103, 7,25 ∙ 104, 1,63 ∙ 105, 8,91 ∙ 106, 2,52 ∙ 107

7.7. Írd le normálalakban az állatok világá-ból vett adatokat!

A legnagyobb szárazföldi állat az » elefánt. Tömege az 5500 kilogrammot is elérheti.A Föld legnagyobb élőlénye a » kék bálna. Tömege akár 150 000 kg is lehet. Ez körül-belül 1800 ember tömegének felel meg. A legnagyobb hal a » cetcápa, mely sekély vizekben planktonnal táplálkozik. Töme-ge kb. 40 000 kg.A » zsiráf a legmagasabb állat. 550 cm ma-gas. Az » anakonda a leghosszabb kígyók közé tartozik. 1000 cm hosszúságúra is meg-nőhet. Forrás: www.dennikrelax.sk.

Lássuk, milyen adatokat szerezhetünk a szlovákiai víztárolókról!

Segítség

1 ha = 100 a = 10 000 m2

1 a = 100 m2

1 km2 = 1 000 000 m2

Gondolk

ozz el

azon,

hogy m

ilyen ö

sszefü

ggés v

an

a szám

ok hely

i érték

e és

a norm

álalak

közt!

Tudod-e…?Az előző feladatok egyikében a vízről és a szlovákiai folyókról beszéltünk.

Mit tudunk a vízről?

A víz drágább az aranynál.A víz – ital.Vízienergia – hajóközlekedés.Tavak, víztárolók – üdülés.Zárógátak – villanyáram-termelés.

Liptovská Mara, fotó: Pudelek

6.6. A táblázatban néhány szlovákiai víztároló vízfelületének területét láthatjuk a legmagasabb vízállás mellett.

Alakítsd át ezeket a területeket m2-ekre, majd írd le ezt a számot normálalakban!

Víztároló Liptovská Mara Ružín Nitrianske

Rudno Domaša Zemplínska šírava

Terület 21,6 km2 600 ha 0,96 km2 1422 ha 3350 ha 21,6 km2 = 21 600 000 m2 = 2,16 ∙ 107 m2

600 ha = 60 000 a = = 6 000 000 m2 = 6 ∙ 106 m2

0,96 km2 = 960 000 m2 = 9,6 ∙ 105 m2

1422 ha = 142 200 a = = 14 220 000 m2 = 1,422 ∙ 107 m2

3350 ha = 335 000 a = = 33 500 000 m2 = 3,35 ∙ 107 m2

7. 7. megoldás

5500 kg = 5,5 ∙ 103 kg

150 000 kg = 1,5 ∙ 105 kg

1800 = 1,8 ∙ 103

40 000 kg = 4 ∙ 104 kg

550 cm = 5,5 ∙ 102 cm

1000 cm = 1 ∙ 103 cm

5.5. Írd fel az alábbi számokat normálalakban:

a) 500, 7000, 20 000, 600 000, 3 000 000 c) 6130, 52 700, 361 000, 1 980 000, 35 300 000, 571 000 000b) 230, 8700, 72 000, 980 000, 2 700 000 d) 80 800, 50 000, 580 000, 15 000 000, 40 000 000, 600 000 000

6. 6. megoldás

30

9.9. Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül!

a) 7 ∙ 104; 3 ∙ 105; 5 ∙ 101; 2 ∙ 1010 b) 5,6 ∙ 101; 3,7 ∙ 104; 0,3 ∙ 105; 9,1 ∙ 106 c) 4,15 ∙ 107; 1,13 ∙ 1012; 2,18 ∙ 1010; 8,23 ∙ 1011

d) 1,135 ∙ 107; 1,153 ∙ 1012; 2,718 ∙ 1010; 8,253 ∙ 1011

11.11. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét!

a) 5 · 102 + 3 · 103 + 9 · 101

b) 5,1 · 103 – 2,3 · 102 – 8,5 · 101 c) 7,12 · 102 + 1,92 · 103 – 2,78 · 101 d) 6,02 · 103 – 3,2 · 103 + 2,005 · 103

8.8. A szomszédos országok fővárosainak népességét (az adatok 2011-ből származnak) normálalakban írtuk fel. Írd fel hatványok nélkül!

Varsó 1,70 ∙ 10 » 6 lakosKijev 2,71 ∙ 10 » 6 lakosBudapest 1,69 ∙ 10 » 6 lakosBécs 1,66 ∙ 10 » 6 lakosPrága 1,18 ∙ 10 » 6 lakos Forrás: internet

9. 9. megoldás

a) 7 ∙ 104 = 7 ∙ 10 000 = 70 000 3 ∙ 105 = 3 ∙ 100 000 = 300 000 5 ∙ 101 = 5 ∙ 10 = 50 2 ∙ 1010 = 2 ∙ 10 000 000 000 = 20 000 000 000

b) 5,6 ∙ 101 = 5,6 ∙ 10 = 56 3,7 ∙ 104 = 3,7 ∙ 10 000 = 37 000 0,3 ∙ 105 = 0,3 ∙ 100 000 = 30 000 9,1 ∙ 106 = 9,1 ∙ 1 000 000 = 9 100 000

c) 4,15 ∙ 107 = 4,15 ∙ 10 000 000 = 41 500 000 1,13 ∙ 1012 = 1,13 ∙ 1 000 000 000 000 = = 1 130 000 000 000 2,18 ∙ 1010 = 2,18 ∙ 10 000 000 000 = = 21 800 000 000 8,23 ∙ 1011 = 8,23 ∙ 100 000 000 000 = = 823 000 000 000

d) 1,135 ∙ 107 = 1,135 ∙ 10 000 000 = 11 350 000 1,153 ∙ 1012 = 1,153 ∙ 1 000 000 000 000 = = 1 153 000 000 000 2,718 ∙ 1010 = 2,718 ∙ 10 000 000 000 = = 27 180 000 000 8,253 ∙ 1011 = 8,253 ∙ 100 000 000 000 = = 825 300 000 000

11. 11. megoldás

a) 5 · 102 + 3 · 103 + 9 · 101 = = 5 · 100 + 3 · 1000 + 9 · 10 = = 500 + 3000 + 90 = 3590

b) 5,1 · 103 – 2,3 · 102 – 8,5 · 101 = = 5,1 · 1000 – 2,3 · 100 – 8,5 · 10 = = 5100 – 230 – 85 = 4785

c) 7,12 · 102 + 1,92 · 103 – 2,78 · 101 = = 7,12 · 100 + 1,92 · 1000 – 2,78 · 10 = = 712 + 1920 – 27,8 = 2604,2

d) 6,02 · 103 – 3,2 · 103 + 2,005 · 103 = = 6,02 · 1000 – 3,2 · 1000 + 2,005 · 1000 = = 6020 – 3200 + 2005 = = 4825

8. 8. megoldás

1,70 ∙ 106 = 1,70 ∙ 1 000 000 = 1 700 0002,71 ∙ 106 = 2,71 ∙ 1 000 000 = 2 710 0001,69 ∙ 106 = 1,69 ∙ 1 000 000 = 1 690 0001,66 ∙ 106 = 1,66 ∙ 1 000 000 = 1 660 0001,18 ∙ 106 = 1,18 ∙ 1 000 000 = 1 180 000

10.10. Írd fel az alábbi számokat hatvány nélkül!

a) 9 ∙ 106; 4 ∙ 107; 1 ∙ 1012; 8 ∙ 100

b) 6,5 ∙ 101; 7,3 ∙ 104; 0,8 ∙ 105; 1,9 ∙ 106 c) 5,14 ∙ 107; 3,23 ∙ 1012; 2,81 ∙ 1010; 3,28 ∙ 1011

d) 3,153 ∙ 107; 0,215 378 ∙ 1012; 25,817 ∙ 1010; 325,523 ∙ 1011

A népességadatok ebben

a formában nekem jobban

tetszenek.

Segítség

A 10-zel, 100-zal, 1000-rel való szorzást

a tizedesvessző mozgatásával oldottuk meg.

Szorzáskor a tizedesvesszőt annyi hellyel

visszük jobbra, ahány nulla van a kerek szám-

ban.

1,7 · 1 000 000 = = 1 700 000

1,700 000

Az 1 000 000-ban 6 nulla van, ezért

a tizedesvesszőt az 1,7-ben 6 hellyel

visszük jobbra.

Projektfeladat

Keresd meg Szlovákia (Slovensko) tíz legmagasabb hegycsúcsának adatait! Először írd fel hatvány nélkül, majd normálalakban! Rendezd az adatokat csökkenő sorrendbe, majd írj mindegyikről egy rövid jellemzést!

31

Tudod-e…?Milyen fontos a 10-es szám?

A 10-es szám a tízes számrendszer alapja,amely a leggyakrabban használt számrendszer

a hétköznapi életben.

Püthagorasz, az ógörög bölcs és matematikus a 10-es számot a tökéletesség csúcsának tekintet-te. A 10 ugyanis a – szerinte ugyancsak nagyon fontos – 1, 2, 3 és 4 összege.

Az 1-et egy konkrét pontnak tekintette.A 2-t egyenesnek tekintette, mert van kezdete és vége.A 3-at a síkkal hozta összefüggésbe (mert 3 pont meghatároz egy síkot), mert van kezdete, vége, és ott van még a köztük elhelyezkedő „tér”.A 4-et a térrel azonosította, ahol a negyedik dimen-zió az idő jelenti.

Forrás: internet

Tudáspróba

Minden feladatban csak egy helyes választ találsz.

1. A 30 200 normálalakja:

A 3,02 ∙ 104 B 3,2 ∙ 102 C 3,02 ∙ 102 D 3,2 ∙ 104

2. A 10 020 000 normálalakja:

A 1,002 ∙ 104 B 1,2 ∙ 107 C 1,002 ∙ 107 D 1,2 ∙ 104

3. A 9 ∙ 102 értéke:

A 90 B 900 C 9,0 D 1,9

4. Az 5,03 ∙ 103 értéke:

A 5030 B 53 000 C 5003 D 5300

5. Az 1,302 ∙ 104 értéke:

A 1 302 000 B 13 020 C 132 000 D 1320

6. A milliót így írjuk:

A 107 B 1 ∙ 105 C 1 ∙ 106 D 103

7. A 3,5 km2 annyi, mint:

A 3,5 ∙ 106 m2 B 3,5 ∙ 103 m2 C 3,5 ∙ 106 m D 3,5 ∙ 103 m

8. A 7800 km annyi, mint::

A 7,8 ∙ 103 m B 7,8 ∙ 106 m C 7,8 ∙ 102 m D 7,8 ∙ 104 m

9. A 4 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 2 ∙ 101 kifejezés értéke:

A 4310 B 4302 C 4032 D 4320

10. Az 5,5 ∙ 103 – 5,5 ∙ 102 – 5,5 ∙ 101 kifejezés értéke

A 48 950 B 44 C 4445 D 4895

13.**13.** Adott az A = (1,6 ∙ 103 – 2,04 ∙ 105) ∙ 102

kifejezés.Alkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy teljesüljön a B < A < C egyenlőtlenség, és mindkét kifejezés tartalmazzon legalább két a ∙ 10n alakú tagot, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N!

14.**14.** Adott az A = (– 9,086 ∙ 104 + 7,041 ∙ 103) : 102

kifejezés.Alkoss egy B és egy C kifejezést úgy, hogy tel-jesüljön az A = B = C egyenlőség, és mindkét kifeje-zés tartalmazzon legalább két a ∙ 10n alakú tagot, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N!

12.12. Számítsd ki anélkül, hogy kiszámítanád a hatványok értékét!

a) 9 · 102 + 7 · 103 + 3 · 101 d) 16,2 · 103 – 3,201 · 103 + 2,05 · 103

b) 6,3 · 103 – 1,5 · 102 – 3,5 · 101 e) 1,25 · 105 + 0,356 21 · 104 – 3,056 · 102

c) 9,17 · 102 + 0,29 · 103 – 0,08 · 101 f) 0,369 45 · 103 – 3,694 5 · 104 + 36,945 · 101

32

Idézzük fel!15.15. Először számítsd ki ezeket a feladatokat, így

könnyebben megérted az új tananyagot!0,000 567 + 0,000 126 =0,005 678 – 0,003 246 =0,000 567 . 0,003 =0,006 309 : 0,003 =

Egy kis többlet a kis számokról

15. 15. megoldás

0,000 567 0,005 678 0,000 126 – 0,003 246 0,000 693 0,002 432

0,000 567 0,006 309 : 0,003 = /. 1000. 0,003 6,309 : 3 = 2,1030,000 001 701

Ezeket a számokat korábban „kis” számoknak nevez-tük. A fizika-, kémia-, biológia-tankönyvekben, valamint az enciklopédiákban találkozhatunk velük. Többnyi-re valamilyen konstans (állandó) értékeket jelentenek. A mindennapi életben ritkábban találkozunk velük, mint a „nagy számokkal”.

A nagy számok normálalakja: a ∙ 10n, ahol 1≤ a < 10 és n ∈ N.Például:1 000 000 = 1 ∙ 106 1 000 000 000 = 1 ∙ 109

7 000 000 = 7 ∙ 106 7 000 000 000 = 7 ∙ 109

8 200 000 = 8,2 · 106 8 200 000 000 = 8,2 · 109

3 125 000 = 3,125 · 106 3 125 000 000 = 3,125 · 109

A normálalakú számot valós számmá alakíthatjuk.Például:1 ∙ 104 = 10 000 1 ∙ 109 = 1 000 000 0005 ∙ 106 = 5 000 000 6 ∙ 108 = 600 000 0007,3 ∙ 105 = 730 000 4,3 ∙ 1010 = 43 000 000 0009,031 ∙ 106 = 9 031 000 2,103 ∙ 103 = 2103

„n„nagaggyy y szszámámokokkakall .

„Elhagyha

tjuk-e”

a nullá

kat a

kis sz

ámok

kivonás

akor?

Csak a

z egyik

válasz

lehet

helyes:

igen vag

y nem?

Ha kivonunk vagy osztunk, hasznos lehet

az ellenőrzés.Ezt most rád bízzuk.

Tudod-e…?Ha a kis számokat emlegetjük, akkor erről legtöbbünknek– a legkisebb részecske,– a legkisebb elem,– a legkisebb állat,– a legkisebb bolygó stb. jut eszünkbe.Sok éven át az atomot tekintették a legkisebb részecskének.Ernest Rutherford és Niels Bohr bebizonyította, hogy az atom nem oszthatatlan.Az alábbi táblázat az atom elemi részecskéinek tömegét tartalmazza.

elemi részecske felfedező (év) tömeg

elektron Joseph John Thomson (1897) 9,109 1 · 10– 31 kg

proton Ernest Rutherford (1918) 1,672 9 · 10– 27 kg

neutron James Chadwick (1932) 1,674 9 · 10– 27 kg

Jegyezd meg!

ProjektfeladatÁllapítsd meg, mit ír az internet a kis számokról vagya konstansokról! Hogyan kell velük számolni?

Forrás: internet

Megegyezés

A kis számokat így írjuk le normálalakban:

a . 10– n, ahol 1 ≤ a < 10, 10– n = , n∈N.

33

Képzeld el, hogy a boltban a pénztár előtt állsz, és hamarosan fizetned kell. Mennyi pénzt kell előkészítened, ha két 35 centes joghurtot, három 6 centes kiflit és két 74 centes nápolyit vásárolsz?

Meg tudod-e becsülni a szöveg elolvasása után, számolás nélkül, hogy hány eurót kell előkészítened?Ha igen, akkor jó érzéked van a becsléshez.

Az alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép alkalmazása nélkül!

Idézzük fel!Az előző fejezetben nagy és kis számokról beszéltünk.

Ismételjük át a 10 hatványait, amelyek segítségével felír-tuk a normálalakjukat!

101 = 10 ... tíz 102 = 100 ... száz103 = 1 000 ...ezer 104 = 10 000 ... tízezer 105 = 100 000 ... százezer 106 = 1 000 000 ... millió

1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés

1.1. Becsüld meg az összeget, majd add össze a szá-mokat! Hasonlítsd össze becslésedet az össze-adás eredményével!

a) 125 369 567 + 1 758 369 b) 0,236 586 + 1,369 258 125

1. 1. megoldás

a) 125 369 567 + 1 758 369 =Hogyan lehet becslésünk a lehető legpontosabb?A becslés különböző pontosságú lehet. Az eredményt megbecsülhetjük egyesekre, tízesekre, százasokra, ezre-sekre… vagy tizedekre, századokra, ezredekre…Ezúttal milliókra kerekítünk, mert a második összeadan-dó első számjegyének helyi értéke millió.Ezért az összeadandókat milliókra kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk.

125 369 567 � 125 000 000

3 < 5 lefelé kerekítünk

1 758 369 � 2 000 000

7 > 5 fölfelé kerekítünk

A kerekített összeg:

125 000 000 + 2 000 000 = 127 000 000

A 125-öt és a 2-t adjuk csak össze, a nullákat hozzáírjuk.

A pontos összeg:125 369 567 1 758 369127 127 936

A becsült és a pontos eredmény közti különbség:

127 127 936 – 127 000 000 127 936

Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés!

Segítség

Hogyan kell kerekíteni?

Az 5-ösnek meghatározó szerepe van.

Kerekítsük az 1236-ot tízesekre!

1236 � 1240

6 > 5, ezért fölfelé kerekítünk.

Kerekítsük a 4253-at százasokra!

4253 � 4300

5 = 5, ezért fölfelé kerekítünk.

Kerekítsük a 3254-et ezresekre!

3254 � 3000

2 < 5, ezért lefelé kerekítünk.

tized ... 0,1 = 10– 1

század ... 0,01 = 10– 2

ezred ... 0,001 = 10– 3

tízezred ... 0,000 1 = 10– 4

százezred ... 0,000 01 = 10– 5

milliomod ... 0,000 001 = 10– 6

Most a kis és nagy számok kerekítéséről lesz szó, és arról, hogy a kerekítés segítségével hogyan kell megbecsülni a helyes eredményt.Ilyen szavakat használunk majd: becslés, körülbelül, megközelítőleg…Mikor érdemes becslést és mikor kerekítést alkalmazni?Erre a kérdésre az alábbi feladatok megoldásai adnak választ.

folytatás

A nagyobb számbólkivonjuk a kisebbet.

34

1. 1. megoldás – – folytatás

b) 0,236 586 + 1,369 258 125 =A becslést tized pontossággal végezzük el, mert a kiseb-bik szám első értékes számjegye a tizedek helyén áll.Ezért az összeadandókat tizedekre kerekítjük, majd ezeket az értékeket fejben összeadjuk.

0,236 586 � 0,200 000 = 0,2


1,369 258 125 � 1,400 000 000 = 1,4


A kerekített számok összege: 0,2 + 1,4 = 1,6

A pontos összeg: 0,236 586 000 1,369 258 125 1,605 844 125

A becsült és a pontos eredmény közti különbség: 1,605 844 125 – 1,600 000 000 0,005 844 125

Döntsd el, hogy ez sok-e vagy kevés!

ProjektfeladatÁllapítsd meg, hogy mely munkakörökben érdemes becslést alkalmazni! Mondj legalább egy példát!

3.3. Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a ki-vonást! Mennyivel tér el a becslés a tényleges eredménytől? Hasonlítsd össze saját eredménye-det osztálytársaid eredményeivel!

46 896 321 – 40 526 302

5.5. Becsüld meg a szorzatot, majd végezd el a szorzást! Mennyivel tér el a becslés a tény-

leges eredménytől? Hasonlítsd össze saját ered-ményedet osztálytársaid eredményeivel!

a) 786 ∙ 350 b) 0,27 ∙ 2,81

3. 3. megoldás

46 896 321 – 40 526 302 =Mindkét számban ugyanaz a számjegy áll a tízmilliós helyi értéken: a 4.

Ezért a becslést milliós pontossággal végezzük el.46 896 321 � 47 000 000

8 > 5 fölfelé kerekítünk40 526 302 � 41 000 000 5 = 5 fölfelé kerekítünk

A kerekített számokat kivonjuk egymásból.47 000 000 – 41 000 000 = 6 000 000A 47-ből fejben kivonjuk a 41-et, majd visszaírjuk a nullákat.A tényleges különbség: 46 896 321– 40 526 302 6 370 019

A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 6 370 019– 6 000 000 370 019

A tízmilliókhoz képest ez elhanyagolható eltérés.

5. 5. megoldás

a) 786 ∙ 350 =Mindkét tényezőben a legnagyobb helyi érték százas: 786 ∙ 350. Százasokra kerekítünk.786 � 800


350 � 400

5 = 5 fölfelé kerekítünk

Összeszorozzuk a kerekített értékeket:800 ∙ 400 = 320 000(A 8-at és 4-et fejben szorozzuk össze, majd hozzáírjuk a nullákat.)A tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki:786 ∙ 350 = 275 100A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 320 000– 275 100 44 900

2.2. Becsüld meg az összeget, majd végezd el az ösz-szeadást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!

a) 12 369 258 + 321 569 485b) 569 458 158 + 26 352 786c) 1,567 321 + 0,326 97d) 2,369 564 398 + 0,025 973

4.4. Becsüld meg a különbséget, majd végezd el a ki-vonást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!

a) 3 000 236 987 – 236 258 269 b) 5 102 003 698 – 1 000 236 102 c) 0,259 369 – 0,000 269 d) 2,236 258 369 – 2,126 458 126 e) 0,000 269 247 – 0,000 000 247

Az alábbi feladatokban az eredeti számok szorzását és osztását zsebszámológéppel is elvégezheted.

folytatás

A nagyobb számbólkivonjuk a kisebbet.

e::

35

7.7. Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel, majd hasonlítsd össze az eredmé-nyedet osztálytársaid eredményével!

964 258 : 320 =

5. 5. megoldás folytatása

Százasokat szoroztunk össze, a becsült és a tényleges eredmény tízezresekben tér el egymástól. Alkalmasabb lenne a tényezőket is, majd a becslés után kapott szorzatot is tízesekre kerekíteni.Nézzük, hogy alakul így az eredmény.Kerekítsük a számokat tízesekre!786 � 790


350 � 350

0 < 5 lefelé kerekítünkAmikor így kerekítjük a számokat, szorzatukat többnyire zsebszámológéppel számítjuk ki.Vagyis ilyen esetben a becslés nem sokat segít.Ezért mindig mérlegelni kell, mikor érdemes becslést alkalmazni, mikor hasznos a becslés és mikor nem.

b) 0,27 ∙ 2,81 =Az első tényező a kisebb, és első értékes számjegye a ti-zedek helyén áll. Ezért mindkét számot tizedekre kere-kítjük, és a kapott számokat fejben összeszorozzuk.0,27 � 0,3


2,81 � 2,8


A kerekített számokat fejben összeszorozzuk:2,8 ∙ 0,3 = 0,84

A tényleges szorzatot zsebszámológéppel számítjuk ki:0,27 ∙ 2,81 = 0,758 7A becslés és a tényleges eredmény közti különbség: 0,840 0– 0,758 7 0,081 3

Ismét föltehetjük a kérdést:Érdemes volt kiszámítani a hozzávetőleges értékeket, majd azokkal számolni?

6.6. Becsüld meg a szorzatokat, majd végezd el a szor-zást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges ered-ménnyel!

a) 325 ∙ 12 b) 4 510 ∙ 19c) 4,56 ∙ 0,97 d) 35,9 ∙ 2,8

8.8. Becsüld meg a hányadost, majd végezd el az osztást! Hasonlítsd össze a becslést a tényleges eredménnyel!

a) 256 : 36b) 3961 : 48 c) 36,25 : 7,9 d) 0,002 567 : 0,000 87 e) 0,000 000 357 : 0,000 000 058

7. 7. megoldás

964 258 : 320 =Az osztandót és az osztót így alakítjuk át:964 258 900 000320 300

A kerekített értékeket elosztjuk egymással: 900 000 : 300 = 3000

Most zsebszámológéppel elvégezzük az osztást.964 258 : 320 = 3 013,306 25

A becslés és a tényleges eredmény közti különbség:3 013,306 25 – 3000 = 13,306 25

Ez sok vagy kevés? Úgy tűnik, ez elég pontos.

Tudod-e…?Nagy számokkal mindenekelőtt a csila-gászatban találkozunk. A Föld méretét Eratoszthenész „fokméréssel” határozta meg. Megmérte, hogy hány fokkal tér el a napsugarak beesési szöge Alexandriá-ban és Sziénében. Ebből és a két város távolságából kiszámította, hogy a délkör hossza 252 000 sztadion. Méréséhez gnomónt használt, amivel meg tudta ha-tározni a Nap delelési magasságát. Mivel a sztadion vidékenként más-más hosszú-ságot jelentett (az egyiptomi 157,7 m, a gö-rög olimpiai sztadion 177,6 m, a ión szta-dion 210 m), ezért nem tudhatjuk, hogy a kapott eredmény pontosan milyen tá-volságnak felel meg. Feltételezzük, hogy az egyiptomi sztadiont használta. Ebben az esetben a délkör hossza 39 690 km.

Alexandria

Sziéné

Ráktérítő

Baktérítő

Egyenlítő

mamajdjdj a azozokkkkalal s százámomolnlni?i? asrdavaa

Rá

36

9.9. NÉPESSÉG A Szlovák Statisztikai Hivatal jelentéséből: „2011. május 21-én, tehát a népszámlálás meghatáro-zó pillanatában a Szlovák Köztársaságnak (Slovenská republika) 5 397 036 állandó lakosa volt. A tíz évvel korábbi népszámlálással összehasonlítva, a Szlovák Köztársaság népessége 17 581 fővel nőtt. A 2001–2011 közti népességnövekedés a szlovákiai népszámlálások történetében az eddigi legalacsonyabb volt. Az állandó lakosok száma állandóan növekszik, de egyre alacso-nyabb ütemben.” A 2011. május 21-i népességszámnak körülbe-lül hány százalékát teszi ki a növekedés? Az eredményt add meg törttel!

9. 9. megoldás

A törtet ilyen alakban írhatjuk fel: a tört számlálója – népességnövekedés

a tört nevezője – az állandó lakosok száma

Azt mondjuk, hogy ennek a törtnek kicsi a kifejezőereje. Ezért (amennyiben lehetséges) törzsalakra hozzuk, vagy úgy egyszerűsítjük, hogy a mennyiségeket érthetőbben, szemléletesebben fejezze ki.

A tizedestörtet ezredekre (az első értékes jegyre) kerekítjük.

A törtet így is egyszerűbb alakra hozhatjuk:

A 306,98… értéket egész számra, tehát 307-re kerekítjük.

Melyik a jobb eredmény? Van-e valamilyen összefüggés az eredmények közt?

Hasonlítsd össze a és az törtet!

Az első törtet olyan törtté alakítjuk, amelynek a számlálója 1:

Összehasonlítva:

Jelentős-e ez a különbség? Mit fejeznek ki ezek a törtek?

A azt fejezi ki, hogy 2001-hez viszonyítva, 2011-ben – 1000 lakosra számítva – 3-mal több lakos volt.

A 2011. május 21-i népességszám-emelkedés körülbelül volt.

A lakosság természetes szaporulatát általában százalékban adjuk meg.Fejezzük ki százalékban a következő feladat megoldását!A növekedést elosztjuk az állandó népességgel:

A tizedestörtet előre meghatározott feltételek szerint kerekítjük.

Mivel ilyen feltételt előzetesen nem állapítottunk meg, tízezredekre kerekítünk:

A százaléklábat 100-zal való szorzás után kapjuk meg:

0,003 3 ∙ 100 = 0,33.

Az állandó lakosság 2011. május 21-én megállapított népességszaporulata körülbelül 0,33% volt.

37

10.10. ISKOLÁINK

A 2010–2011-es tanévben 148 733 középiskolásból 55 499-en gimnáziumba, 93 234-en pedig szakközépiskolába jártak. Fejezd ki törttel, hogy az említett tanévben a diákoknak körülbelül hányad része tanult tovább gimnázium-ban és hányad része szakközépiskolákban!

12.12. GÉPKOCSIELADÁS 2011-ben Szlovákiában

2012. január 16-i hír, szerző: Ladislav Holop.

2011-ben Szlovákiában 73 938 M1 és N1 kategóriájú gépkocsit adtak el. Ez 2987-tel több, mint tavaly, de 16 470-nel kevesebb, mint 2009-ben.

2011-ben a márkák sorrendje is megváltozott. A Škoda, Renault, VW sorrend már a múlté. A Renault jelentősen meggyengült, nemcsak a VW előzte meg, hanem a Peugeot és a Kia is. A kis autók közül a Fiat végzett az első helyen 24,48%-os részesedéssel.

2011-ben Szlovákiában Škoda Fabia gépkocsiból adtak el a legtöbbet. 12 hónap alatt 2515-en vásárolták a hatchback-, 2455-en pedig a kom-bi-változatot.

A Szlovákiában, 2011-ben eladott gépkocsitípusok sorrendje:

1. Škoda Fabia 4973 db

2. Škoda Octavia 4483 db

3. Kia Sportage 1904 db

4. Škoda Octavia Tour 1742 db

5. Suzuki SX4 1684 db

5. Kia cee´d 1627 db

7. VW Polo 1562 db

8. VW Golf 1525 db

9. Dacia Duster 1200 db

10. Hyundai i30 1019 db

http://zavolantom.autovia.sk/2012/01/16/predaje-2011-poradie-znaciek-aut-na-slovensku/

a) Fejezd ki törttel, hogy a tíz legkeresettebb autótípus hányad részét tette ki Szlovákiában a Škoda Octavia és hányad részét a VW Golf!

b) Az eladott autóknak hányad része volt KIA márkájú?

11.11. KÖZTÁRSASÁGIELNÖK-VÁLASZTÁS 2009-BEN (második forduló)

A Szlovák Köztársaság köztársasági elnökjelöltjeire leadott érvényes szavazatok száma:

Kereszt- és vezetéknév

A leadott szavazatok száma Megjegyzés

Ivan Gašparovič 1 234 787 Az SZK (SR) megválasztottköztársasági elnöke

Iveta Radičová 988 808

Összesen: 2 223 595

Forrás: http://portal.statistics.sk/showdoc.do?docid=67

Fejezd ki törttel, hogy a szavazatoknak körülbelül hányad részét szerezte meg Iveta Radičová a köztársaságielnök-választás során 2009-ben!

38

Idézzük fel!

1.6. Négyzetgyök és köbgyök

A számtani műveletek inverze (fordított ill. ellentett művelete).

összeadás – kivonás kivonás – összeadás szorzás – osztás osztás – szorzás

A hatványozás inverz művelete (bizonyos feltételek mellett) a gyökvonás.

0,5 : 23 + 4

a – ba – b

2 · 0,5a + b

3 – 43 – 4aa

22

x x 33

1.1. A városszéli, négyzet alakú díszkert területe

100 m2. Milyen hosszú az oldala?

a

a

1. 1. megoldás

A kert oldala valójában egy 100 m2 területű négyzet oldala. A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk: így is: és így is:

Ha a négyzet oldalának nagysága a, területe pedig T,akkor a területét kiszámíthatjuk:

szorzással T = a ∙ a hatványozással T = a2 T = 100 m2 T = 100 m2 a ∙ a = 100 m2 a2 = 100 m2

Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 100-at ad? Mely szám négyzete 100?

10 ∙ 10 = 100 102 = 100

A négyzet oldala 10 m. A négyzet oldala 10 m.

A feladatot négyzetgyökvonással is megoldhatjuk:

T = a2

a2 = 100 a = a = 10, mert 102 = 10 · 10 = 100

A négyzet alakú kert oldalhosszúsága 10 m.

Ha telket, kertet vagy nyaralót akarunk vásárolni, akkor annak területét négyzetméterben vagy árban tüntetik fel.

Hatványozás hatvány négyzetre emelés,köbre emelés,hatványozás természetes kitevőre

Gyökvonás négyzetgyök,köbgyök, negyedik gyök…

négyzetgyökvonás,köbgyökvonás

Igaz ez is:(– 10)2 = 100.De itt a > 0, mert a a négyzet oldalhosszúsága.

39

3. 3. megoldás

Ha a négyzet oldalát a-val jelöljük, akkor: T = a2 49 = a2

a = a = 7, mert 72 = 49A négyzet oldalának hossza 7 cm.

Ezt a feladatot bizonyára sokan fejben is meg tudnák oldani.

2.2. Mekkora a park 12,56 m2 területű, kör alakú virágágyá-sának a sugara? Számolj a π � 3,14 értékkel!

Válaszd ki az A–D lehetőségek közül a helyeset!A 3,14 m B 4 m C 2 m D 6,28 m

3. Határozd meg a 49 cm2 területű négyzet oldalá-nak hosszát! .

2. 2. megoldás

A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: és így is:

Ha a kör sugara r, területe pedig T,akkor a területét kiszámíthatjuk:

szorzással T = π ∙ r ∙ r hatványozással T = π ∙ r2 T = 3,14 ∙ r ∙ r T = 3,14 ∙ r2 12,56 = 3,14 ∙ r ∙ r 12,56 = 3,14 ∙ r2 12,56 : 3,14 = r ∙ r 12,56 : 3,14 = r2

4 = r ∙ r 4 = r2

Melyik az a szám, amely önmagával szorozva 4-et ad? Mely szám négyzete egyenlő 4-gyel? 2 ∙ 2 = 4 22 = 4 A kör alakú virágágyás sugara 2 m. A kör alakú virágágyás sugara 2 m.

A helyes felelet a C.A feladatot gyökvonással is meg tudjuk oldani:

T = π ∙ r2 T = 3,14 ∙ r2 12,56 : 3,14 = r2 r2 = 4

r = r = 2, mert 22 = 4

A fenti feladatok megoldása során a négyzetre emelésről tanultakat alkalmaztuk: Egy számot négyzetre emelni annyit jelent, mint megszorozni önmagával.

Egyúttal azt is megmutattuk, hogy mit jelent négyzetgyököt vonni.

4.4. Határozd meg a négyzet oldalának hosszát, ha területe:

a) 144 dm2

b) 625 mm2

c) 121 m2

d) 2500 cm2

e) 4900 m2

6.6. Határozd meg a kör sugarát, ha területe:

a) 3,14 m2

b) 25,12 dm2

c) 314 cm2

d) 20,24 mm2

e) 78,5 m2

a

a

33

AA

5.5. Határozd meg a 28,26 mm2 területű kör sugarát!

Igaz ez is:(– 2)2 = 4.De itt r > 0, mert r a kör sugaránakhossza.

r

K

S

5. 5. megoldás

Ha a kör sugara r, akkor: T = π ∙ r2 28,26 = 3,14 ∙ r2 28,26 : 3,14 = r2 9 = r2 r = r = 3, mert 32 = 9A kör sugara 3 mm.

40

Egy szám négyzetgyökét így is írhatjuk: Ez a két jelölés ugyanazt jelenti: Ezeket a négyzetgyökértékeket érdemes megjegyezni:

0, mert 02 = 0 · 0 = 0

1, mert 12 = 1 · 1 = 1

, mert 102 = 100

2, mert 22 = 4

5, mert 52 = 25

4, mert 42 = 16

9, mert 92 = 81

Tudod-e…?A Kr. e. 3. évezredben a mezopotámiai matematikusok feladatmeg-oldásaik során olyan táblázatokat használtak, amelyek a számok négyzetét, köbét, négyzetgyökét és köbgyökét tartalmazták. A gyök-vonást az ún. regula falsi (hibás számítás) módszerével végezték el.Először megbecsülték a gyökvonás eredményét, majd négyzetre emeléssel megállapították, hogy ez milyen mértékben tér el a gyök-alaptól. Ezzel a módszerrel 5 tizedesnyi pontossággal meg tudták határozni a 2 négyzetgyökét: .

7. 7. megoldás

, mert 1102 = 12 100

, mert 92 = 81 és 102 = 100

mert

,

mert 52 = 25 a 42 = 16

mert

10. 10. megoldás

Először a négyzetgyökvonást végezzük el, majd az így kapott értékeket összevonjuk.

= 4 + 11 – 2 – 1 =

= 15 – 3 = 12A kifejezés értéke 12.

7.7. Vonj négyzetgyököt!

a) b) c)

10.10. Számítsd ki az alábbi kifejezés értékét:


a)

b)

c)

d)


a)

b)

c)

Javasolj egy szabályt a fenti feladatok kiszámítására!


Fogalmazz meg olyan feladatokat, amelyekben a négy-zetgyökértékeket zsebszámológép használata nélkül is meg lehet határozni! Add fel az osztálytársaidnak, mintha te lennél a tanáruk!

Ha a ≥ 0, b ≥ 0, akkor a = b akkor és csak akkor, ha b2 = a.

gyökjel gyökalap a négyzetgyökvonás eredménye§

Egy nemnegatív (pozitív vagy nulla) a szám négyzetgyöke egy olyan nemnegatív b szám, amelynek a négyzete az a számmal egyenlő. Matematikai szimbólumokkal:

Igaz ez is:

(– 1 ) 2 = 1

(– 2) 2= 4

(– 4) 2= 16

41

12. 12. megoldás

Először kiszámítjuk, majd összehasonlítjuk a négyzet-gyökök értékét:

A = C =

B = D =

7 < 10 < 11 < 12 ⇒ B < D < C < A

Az A kifejezés a legnagyobb (A = 12).

12.12. Az A–D kifejezések közül melyiknek a leg-nagyobb az értéke?

A = C =

B = D =

11.11. Számítsd ki az alábbi kifejezések értékét:

a)

b)

c)

d)

e)

13.13. Az A–D kifejezések közül melyiknek a leg-nagyobb az értéke?

A = C =

B = D =

14.14. Murphy könyveiben a piramisokról is olvashatunk.Eredetileg nem gúlák lettek volna. Amikor az építész bemutatta a fáraónak a terveit, a fáraó azt mondta:„A piramis magassága tetszik, de a költségvetés nem.”Így lett a piramis gúla alakú, mert ez olcsóbb volt.Ha az alábbi négyzetgyökértékeket csökkenő sorrend-be állítod, akkor a megfelelő betűkből megkapod a vá-laszt az alábbi kérdésre:Murphy szerint milyen alakúnak kellett volna eredeti-leg lennie a piramisnak?

B A Á S H

A négyzetgyök értékét általában zsebszámológéppel számítjuk ki. Mivel a zsebszámológépeknek számos fajtája van, ezért érdemes alaposan áttanulmányozni a hozzájuk kapott kézikönyvet.

Miért jó az eredményt megbecsülni? Ha zsebszámológéppel dolgozunk, előfordulhat, hogy tévesen ütjük be a számot vagy a műveleti jelet. Ha előzőleg megbecsültük a várható eredményt, kisebb a valószínűsége, hogy elhisz-szük a hibás eredményt, amelyet a zsebszámológép ad meg.

15. 15. megoldás

a) A a és a között áll. Mivel = 7 és = 8, ezért a értéke 7 és 8 között lesz.

A becsült eredmény 7,2. Zsebszámológéppel:

b) A értéke a és a között van. Mivel és , ezért a értéke a 0 és az 1 között lesz.


15.15. Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!Előtte becsüld meg az eredményt!

a) b) c)

c) A értéke a és a között áll. Mivel és , ezért a értéke 3 és 4 között lesz.


42

16.16. Vonj négyzetgyököt zsebszámológéppel! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre! Előtte becsüld meg az eredményt!

a)

b)

c)*

17.17. Válaszd ki az Igaz és a Hamis feleletek közül a megfelelőt!

a) A négyzetgyök értéke mindig pozitív vagy nulla. Igaz – Hamisb) Bármely számnak van négyzetgyöke. Igaz – Hamisc) Az 1 négyzetgyöke nulla. Igaz – Hamisd) A négyzetgyökvonás a szorzás inverz művelete. Igaz – Hamise) A –100 négyzetgyöke –10. Igaz – Hamis

19.19. Állapítsd meg, hogy az alábbi egyenlőtlenségek közül melyek igazak!

a)

b)

c)

18. 18. megoldás

A feladatot úgy oldjuk meg, hogy kiszámítjuk a bal olda-lon álló kifejezés, majd a jobb oldali kifejezés értékét.Ha a két kifejezés értéke egyenlő, akkor igaz az egyen-lőség.

Bal oldal:

Jobb oldal:

30 = 30, tehát az egyenlőség igaz.

18.18. Állapítsd meg, hogy igaz-e a

egyenlőség!


Határozd meg, hogy igaz-e:

A négyzetgyökvonáson kívül más gyökvonás is létezik. Foglalkozzunk még a köbgyökkel!

A következő feladat és valószínűleg a köbgyökvonás is már ismerős számodra. Az alábbi feladatokat oldd meg zsebszámológép nélkül!

Victor Vasarely festménye

20.20. Milyen hosszú lehet a 8 dm3 térfogatú játékkocka éle?

20. 20. megoldás

A feladatot kétféleképpen is kiszámíthatjuk így is: és így is:

Ha a kocka éle a, térfogata pedig V, akkor a térfogatát kiszámíthatjuk:

szorzással V = a ∙ a ∙ a V = 8 dm3

a ∙ a ∙ a = 8 dm3

Melyik az a három egyenlő szám, amelyek szorzata 8? 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 ⇒ a = 2 dmA játékkocka éle 2 dm.

hatványozással V = a3 V = 8 dm3 a3 = 8 dm3

Mely szám köbe egyenlő 8-cal? 23 = 8 ⇒ a = 2 dmA játékkocka éle 2 dm.

A feladatot köbgyökvonással is kiszámíthatjuk:

V = a3 V = 8 dm3 a3 = 8 dm3 a = dm a = 2 dm, mert 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8 dm

Miért érdemes megbecsülni az eredményt?Ha zsebszámológéppel dolgozol, előfordulhat, hogy egy számot vagy egy műveleti jelet tévesen ütsz be. Ha meg-becsülöd az eredményt, akkor a zsebszámológép „nem csaphat be” olyan könnyen.

43

22. 22. megoldás

a) = 0,5,

mert 53 = 125

mert 1003 = 1 000 000

vagy

b) , mert 0,63 = 0,216

c) , mert 0,43 = 0,064

22.22. Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket!

a) b)

c)

21.21. Határozd meg a kocka élének hosszát, ha térfogata:

a) V = 729 cm3 b) V = 0,027 dm3 c) V = m3

Alkalmazd a köbgyökvonást!

23.23. Határozd meg köbre emeléssel vagy szorzással az alábbi köbgyökértékeket!

a)

b)

c)

Projektfeladat

Foglald össze a négyzetgyökről és a köbgyökről tanul-takat! Hasonlítsd össze definícióikat és tulajdonságai-kat! Készíts számítógépes bemutatót osztálytársaiddal a gyökvonásról!

A 20. feladat megoldása során a köbre emelésből indultunk ki, ugyanakkor a köbgyökvonást is alkalmaztuk.Három egyenlő szám szorzatát az adott szám köbének nevezzük. Most bevezetjük a köbgyök fogalmát – kizárólag a nemnegatív számokra értelmezve.A nemnegatív a szám köbgyöke egy olyan nemnegatív b szám, melynek köbe az a szám.Matematikai szimbólumokkal:

a = b akkor és csak akkor, ha b3 = a, ahol a ≥ 0, b ≥ 0.

gyökjel gyökalap a köbgyökvonás eredménye§

Ezeket a köbgyökértékeket érdemes megjegyezni:

→ 103 = 1000 → 0,13 = 0,001

→ 23 = 8 → (0,2)3 = 0,008

→ 43 = 64 → 53 = 125

→

→

24.24. Határozd meg zsebszámológéppel az alábbi köbgyökértékeket! Az eredmé-nyeket kerekítsd két tizedesjegyre!

a)

b)

c)*

25. 25. megoldás

Egyenként elvégezzük a gyökvonást, majd növekvő sor-rendbe rendezzük az eredményeket.

Mivel 0,5 < 1,75 < 5 < 8,

ezért .

25.25. Rendezd növekvő sorrendbe a <, = jelek segítsé-gével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértéke-ket!

44

26.26. Hasonlítsd össze a <, >, = jelek segítségével az alábbi négyzetgyök- és köbgyökértékeket!

a) b) c) d)

e) f) g) h)

TudáspróbaMinden feladatban csak egy helyes választ találsz. A helyes eredmények betűjelét összeolvasva egy értelmes szót kapsz.

1. A 144 négyzetgyöke:

A – 72 B 12

C – 11 D 72

2. A 0,64 négyzetgyöke:

O 0,08 P – 8,0

R 0,8 S 0,4

3. A értéke:

A

B

C

D

4. A értéke:

P R

S T

5. A 64 köbgyöke:

H 2 I 4

J – 2 K – 4

6. A 0,027 köbgyöke:

P 0,9 R 0,03

S 0,3 T 0,009

7. A értéke:

I

J 0,14

K

L 0,6

8. A értéke:

A B C D 9. Az alábbi egyenlőtlenségekből is csak egy igaz.

U V

W Z

10. Az alábbi mondatokból csak egy igaz:

A Negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni.

B Egy szám négyzetgyöke és köbgyöke egyenlő.

C 0-ból nem lehet négyzetgyököt vonni.

D Az 1 köbgyöke 0,3.

Négyzetgyök Köbgyök

Ha a ≥ 0, b ≥ 0 akkor akkor és csak akkor, ha b

2 = a.Ha a ≥ 0, b ≥ 0 akkor akkor és csak akkor, ha b3 = a.

Például: , mert 92 = 81

, mert 0,52 = 0,25

,

mert

Például: , mert 23 = 8

, mert 0,53 = 0,125

,

mert

b ≠ 0

b ≠ 0

Jegyezd meg!

45

2. Pitagorasz tétele

2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög

Pitagorasz tételére szinte mindenki emlékszik, aki iskolába járt. Kérdezd meg szüleidet, mit tudnak Püthagoraszról! Háromszögekről és a geometriáról fognak beszélni.

Idézzük fel!Biztosan meg tudod oldani a következő két feladatot:

1. 1. megoldás

Elemzés: Vázlat:

|AB| = c = 5 cm|BC| = a = 4 cm|AC| = b = 3 cm

Megszerkesztjük az AB 5 cm-es szakaszt.A k1(B, 4 cm) és a k2(A, 3 cm) körívek metszeteként meghatározzuk a C pont helyzetét.A C pont a két körív metszéspontja, amit a ∩ (metszet) jellel így írhatunk le: .

A szerkesztés lépései:1. AB; |AB| = 5 cm2. k1; k1(B, 4 cm)3. k2; k2(A, 3 cm)4. C; 5. ABCΔ

Megvitatás:A feladatnak ebben a síkrészben két megoldása van. A méréssel nyert szögméretek:

|ABC� | = 37°, |BAC� | = 53°, |BCA� | = 90°.A 90°-os BCA szög derékszög, tehát az ABC háromszög derékszögű.

2. 2. megoldás

Az a oldalú négyzet területe: T = a · a vagy T = a2

A négyzetek területe:

T1 = a2 = 42 = 16 T2 = b2 = 32 = 9T1 = 16 cm2 T2 = 9 cm2

T3 = c2 = 52 = 25 T3 = 25 cm2

Mi az érdekes ezekben a négyzetekben?

A két kisebb négyzet területének összege megegyezik a legnagyobb négyzet területével:

T1 + T2 = T3

1.1. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm!

Mérd meg a háromszög belső szögeit, és határozd meg, milyen háromszögről van szó!

2.2. Számítsd ki a négyzetek területét!

c = 5 cm

b = 3 cm

T1

T2

T3

a = 4 cm

A

C

B

k1k2

Az stenek azért adtak az embernek

két kezet, hogy ne zaklassa o k et

m nden aprósággal.

Püthagorasz

Megjegyzés

Szögméréskor számolnunk kell a szerkesztés esetleges pontatlanságával. A rajzok a tankönyvben többnyire kicsi-nyítve jelennek meg.

46

Segítség

Idézzük fel a derékszögű háromszög oldalainak

megnevezéseit:

átfogó – a derékszöggel szemközti, leghosszabb

oldal;

befogók – a háromszög rövidebb oldalai, a derék-

szög szárai.

·befogó

befogó

átfogó

C

A B

·

c = 5 cm

a = 4 cmb = 3 cm

25 cm2

16 cm2

9 cm2

a befogók fölé rajzolt négyzetek

az átfogó fölé rajzolt négyzet

Pitagorasz tétele

Ha egy derékszögű háromszögnek c az átfogója, a, b pedig a két befogója, akkor

c2 = a2 + b2. Ezt a képletet az alábbiakban

Pitagorasz-összefüggésnek fogjuk nevezni.

A derékszögű háromszög átfogójára rajzolt négyzet területe egyenlő a befogók fölé rajzolt

négyzetek területösszegével.

§

Megszerkesztettük a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú háromszöget. Kiszámítottuk a 3 cm, 4 cm, 5 cm oldalú négyzetek területét. Hogyan függ össze az előző feladatok megoldása Pitagorasz tételével?

Készítsünk ábrát a megszerkesztett háromszögből és a négyzetekből.

Figyeljétek meg ezeket az ábrákat!

Balra egy a, b befogójú és c átfogójú derékszögű háromszög, jobbra pedig két egybevágó, a + b oldalhosszúságú négyzet látható. Mindkét négyzet tartalmaz négy-négy egybevágó derékszögű háromszöget (A, B, C, D), de ezek a két négyzetben más-más helyzetben vannak. Az első négyzetben fennmarad egy a és egy b oldalú négyzet, amelyek területe a2 és b2. A másik négyzetben fennmarad egy c oldalú négyzet, amelynek területe c2. Mivel mindkét nagy négyzet területe ugyanazzal a területtel (az A, B, C, D háromszögek területével) csökkent, a megmaradt részeknek is ugyanakkora a területe, azaz a2 + b2 = c2. Minden derékszögű háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés.

Tudod-e…?

Nézd meg jól ezt az ábrát! A négyzetrácsban háromszögek és négyzetek láthatók.

A piros háromszögről és a zöld négyzetekről elmondható, hogy az AB oldalú négyzet összeállítható az AC és a BC oldalú négyzetekből.

Mivel a négyzeteket alkotó háromszögek derékszögűek, az ABC háromszögre tel-jesül Pitagorasz tétele. A B

C1.

32 4

3 14

2

c2

A

BC

Db

a

a2

b2

b

aC

D

A

B

b2

a2

b c

a.

47

A Pitagorasz-tétel megfordítása

Ha egy háromszög a, b, c oldalaira fennáll a c2 = a2 + b2 Pitagorasz-összefüggés,

akkor ez a háromszög derékszögű.Ennek a derékszögű háromszögnek a c az átfogója,

az a és a b pedig a befogói.

§

3.3. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, melynek

��szöge 90°-os, oldalainak hossza pedig: a = 8 cm, b = 15 cm!

Mérd meg a c oldal hosszát, és győződj meg róla, hogy teljesül-e a c2 = a2 + b2 Pitagorasz-összefüggés!

3. 3. megoldás

Elemzés: Vázlat:|ACB�| = � = 90° |BC| = a = 8 cm|AC| = b = 15 cmMegszerkesztjük az |AC| = b = 15 cm-es szakaszt.Majd megszerkesztjük az |ACX�| = � = 90°-os szöget.A B pontot a k(C, 8 cm) körívvel szerkesztjük meg.

A szerkesztés lépései:

1. AC; |AC| = 15 cm

2. ACX�; |ACX�| = 90°3. k; k(C, 8 cm)

4. B;

5. ABCΔ

Megvitatás:A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.A lemért c oldal hossza 17 cm.

A háromszög derékszögű, derékszöge a C csúcsnál van.A c oldal az átfogó (a derékszöggel szemközt fekvő, leghosszabb oldal), az a és a b a két befogó.

A Pitagorasz-összefüggés: c2 = a2 + b2.Behelyettesítjük a háromszög oldalhosszúságait:

c2 = 172 = 289

a2 + b2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289

Meggyőződtünk róla, hogy az ABC háromszögre teljesül a Pitagorasz-összefüggés.

Megjegyzés

Az oldalhosszúságok mérésekor számolnunk kella szerkesztés pontatlanságával. Az eltérés olykor 1-2 mm is lehet.

Megjegyzés

Ha az ABCΔ egyik belső szöge derékszög, akkor a há-romszög derékszögű. Pytagorova rovnosť preň platí.

Ez egy igaz egyenlőség.

X

A

C

B

k

·

48

Tudod-e…?Az ókori Egyiptomban az óriási épületek, főleg a templomok ala-pozásakor először kikövezték az alapterületet, majd ebbe a köve-zetbe vonalakat véstek. Az alap-rajzot meghatározó téglalap négy csúcsát ünnepélyesen tűzték ki, ami olykor hónapokig is eltartott. Aki eltért a meghatározó téglalap-tól, azt halállal is büntethették.

4.4. Szerkeszd meg a KLM háromszöget, ha adott |KL| = 5 cm, |KM| = 12 cm és |LKM�| = 90°.

Mérd meg az LM oldal hosszát, majd győződj megarról, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pitagorasz-összefüggés!

5.5. Szerkeszd meg a DEF háromszöget, ha adott:|DF| = 6,5 cm, me = 2,8 cm (az e oldalhoz tartozó magasság), |DFE�| = 60°.

Mérd meg a háromszög többi oldalát, és állapítsd meg, hogy derékszögű-e a DEF háromszög!

4. 4. megoldás

Elemzés: Vázlat:|LKM�| = 90°|KL| = m = 5 cm|KM| = l =12 cmSzerkesszük meg a |KL| = 5 cm szakaszt.Majd szerkesszük meg az|LKX�| = 90°-os szöget.Az M pontot a k(K, 12 cm)körívvel szerkesztjük meg.

A szerkesztés menete:1. KL; |KL| = 5 cm2. LKX�; |LKX�| = 90°3. k; k(K, 12 cm) 4. M; 5. KLMΔ

Megvitatás:A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.Az LM szakasz lemért hossza 13 cm.A háromszög derékszögű, derékszöge a K csúcsnál van.Az LM oldal az átfogó (a derékszöggel szemközti, leg-hosszabb oldal), a KL és a KM a két befogó.A Pitagorasz-összefüggés:

|LM|2 = |KM|2 + |KL|2.Behelyettesítjük a háromszög oldalainak hosszúságát, és megállapítjuk, hogy igaz-e az egyenlőség:

|LM|2 = 132 = 169

|KM|2 + |KL|2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169

Meggyőződtünk róla, hogy a KLM háromszögre tel-jesül a Pitagorasz-összefüggés.

kM

X

K L·

5. 5. megoldás

Elemzés: Vázlat:|DFE�| = 60°|DF| = e = 6,5 cm

me = 2,8 cm

Megszerkesztjük a |DF| = 6,5 cm szakaszt.

Megszerkesztjük a 60°-os DFX� szöget.Az E pont rajta van a DF szakasztól 2,8 cm-re levő p párhuzamoson.

A szerkesztés menete:

1. DF; |DF| = 6,5 cm

2. DFX�; |DFX�| = 60°3. p; p || DF, |p, DF| = 2,8 cm

4. E;

5. DEFΔ

Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.A DE oldal lemért hossza 5,6 cm, az FE oldalé 3,3 cm.A leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmara-dó két oldal a befogó.A Pitagorasz-összefüggés:

|DF|2 = |DE|2 + |FE|2.A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.|DF|2 = 6,52 = 42,25|DE|2 + |FE|2 = 5,62 + 3,32 = 31,36 + 10,89 = 42,25

Meggyőződtünk róla, hogy a DEF háromszögre tel-jesül a Pitagorasz-összefüggés.

Következtetés:Pitagorasz tételének megfordítása értelmében a DEFΔ derékszögű.

Megjegyzés

Milyen következtetésre jutsz, ha az oldalak helyett a háromszög szögeit méred meg?

D F

EX

.

Az egyen-lőség igaz.

Az egyenlőség igaz.

p

49

6.6. Szerkeszd meg a PRQ háromszöget, ha adott:|PR| = 7 cm, mq = 4 cm (a háromszög q oldalához tartozó magasság), |PRQ�| = 45°.

Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!

7.7. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: c = 5 cm, a = 4 cm, sc = 3 cm (a c oldalhoz tartozó súlyvonal).

Mérd meg a fennmaradó oldal hosszát, és állapítsd meg, hogy teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!

6. 6. megoldás

Elemzés: Vázlat:|PR| = q = 7 cm

mq = 4 cm |PRQ�| = 45°

Megszerkesztjük a |PR| = 7 cm-es szakaszt,majd megszerkesztjük a 45°-os PRX szöget.A Q pont rajta van a PR szakasszal párhuzamos p egye-nesen, amely a PR-től 4 cm-re fekszik, mivel mq = 4 cm.


1. PR; |PR| = 7 cm

2. PRX�; |PRX�| = 45°3. p; p || PR, |p,PR| = 4 cm

4. Q;

5. PRQΔ

Megvitatás: A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.Az oldalak lemérésével megállapítjuk, hogy a RQ oldal hossza 5,5 cm, a PQ oldalé pedig 5 cm. A leghosszabb oldalt fogjuk átfogónak tekinteni, a rövidebbek lesznek a befogók. A Pitagorasz-összefüggés:|PR|2 = |PQ|2 + |RQ|2.A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.|PR|2 = 72 = 49|PQ|2 + |RQ|2 = 52 + 5,52 = 25 + 30,25 = 55,25

49 ≠ 55,25 Az egyenlőség hamis.

Megállapítottuk, hogy a PQR háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés.

7. 7. megoldás

Elemzés: Vázlat:|AB| = c = 5 cm |BC| = a = 4 cm

sc = 3 cm

Megszerkesztjük az |AB| = 5 cm szakaszt.A c oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja a C, a má-sik pedig az O, amely az AB szakasz középpontja. Ezért a C pontot a k1(O, 3 cm) és k2(B, 4 cm) körívek metsze-teként kapjuk meg.


1. AB; |AB| = 5 cm

2. O; O ∈ AB,|AO| = |OB|3. k1; k1(O, 3 cm)

4. k2; k2(B, 4 cm)

5. C;

6. ABCΔ

Megvitatás:A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.Az AC oldal lemért hossza 4 cm. De a BC oldal is 4 cm.Megállapítjuk, hogy teljesül-e erre a háromszögre a Pi-tagorasz-összefüggés. A leghosszabb oldalt tekintjük az átfogónak, a fennmaradó két oldal pedig a befogó. A Pitagorasz-összefüggés:|AB|2 = |AC|2 + |BC|2.A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.|AB|2 = 52 = 25|AC|2 + |BC|2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32

25 ≠ 32 Az egyenlőség hamis.

Megállapítottuk, hogy a ABC háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés.


Állapítsd meg, hogy létezik-e egyenlő szárú derékszögű háromszög!

RP

Q

X

p

Segítség

A háromszög súlyvonala

egy olyan szakasz, amely

az egyik csúcspontot

a szemközti oldal közép-

pontjával köti össze.

A B

C

O

k1

k2

50

8.8. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, ha adott: b = 5 cm, |BAC�| = 30° és sb = 3 cm (a b oldal-

hoz tartozó súlyvonal). Mérd meg a háromszög többi oldalát is, és állapítsd meg, teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!

10.10. Állapítsd meg, hogy az adott háromszögek derékszögűek-e!

a) KLMΔ, |KL| = 3367 mm, |LM| = 34,56 dm, |KM| = 482,5 cmb) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11

8. 8. megoldás

Elemzés: Vázlat:|AC| = b = 5 cm |BAC�| = 30°sb = 3 cm

Fölvesszük az |AC| = 5 cm szakaszt.A B pont a b oldalhoz tartozó súlyvonal egyik végpontja, és illeszkedik a CAX szög AX szögszárára is. A B pontot a k(O; 3 cm) körív segítségével szerkesztjük meg.

A szerkesztés lépései:1. AC; |AC| = 5 cm2. CAX�; |CAX�| = 30°3. O; O∈ AC, |AO| = |OC|4. k; k(O, 3 cm)5. B; 6. ABCΔ

Megvitatás:A feladatnak ebben a síkrészben egy megoldása van.Az AB szakasz lemért hossza 5 cm, a CB szakaszé pedig 2,5 cm. Győződj meg róla számítással, hogy erre a háromszögre nem teljesül a Pitagorasz-összefüggés!

10. 10. megoldás

A Pitagorasz-tétel megfordításából indulunk ki.

a) KLMΔ, |KL| = 3367 mm, |LM| = 34,56 dm, |KM| = 482,5 cm

Az oldalhosszúságok különböző mértékegységekben sze-repelnek, ezért minden hosszúságot mm-ben fejezünk ki. Így minden mérőszám természetes szám lesz – ezekkel könnyebb lesz számolni.

|KL | = 3367 mm |LM| = 3456 mm|KM| = 4825 mm

Felírjuk a Pitagorasz-összefüggést, majd megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.A leghosszabb oldal (KM) lesz az átfogó, a rövidebbek (az LM és a KL) a befogók.

|KM|2 = 48252 = 23 280 625|KL|2 + |LM|2 = 33672 + 34562 = 11 336 689 + 11 943 936 = = 23 280 625 23 280 625 = 23 280 625 Igaz egyenlőséget kaptunk.

Következtetés:A Pitagorasz-tétel megfordítása értelmében a KLM háromszög derékszögű.

b) XYZΔ, x = 17, y = 14, z = 11 A leghosszabb oldal (x) lesz az átfogó, a másik kettő (az y és a z) a befogó.A Pitagorasz-összefüggés:

x2 = y2 + z2

A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.

x2 = 172 = 289y2 + z2 = 142 + 112 = 196 + 121 = 317 289 ≠ 317 Az egyenlőség hamis.

Következtetés: Az XYZ háromszög nem derékszögű.

Tudod-e…?Nemcsak Egyiptomban, hanem Indiában is figyelemre méltó épületeket emeltek már az ókorban. A derékszöget így tűzték ki: Egy kifeszített spárgára 13 csomót kötöttek egymástól egyenlő távolságra, (például 50 cm-re). A spárga 1. és 13. csomóját egy adott pontban rögzítették, majd a 4. és 8. csomóban kifeszítették (lásd az ábrát). Az 148 háromszög derékszögű.

9.9. Szerkeszd meg az adott háromszögeket! Mérd meg a többi oldal hosszát is, és állapítsd meg, hogy a háromszögre teljesül-e a Pitagorasz-összefüggés!

a) ABCΔ, |AB| = 4 cm, |BC| = 7 cm, |BAC�| = 70° b) ABCΔ, a = 4 cm, b = 6 cm, sb = 5 cm c) ABCΔ, c = 6 cm, |ABC�| = 30°, mc = 4 cm

11.11. Döntsd el, hogy az alábbi háromszögek derékszögűek-e!

a) ABCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, c = 17 cmb) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, f = 0,5 dmc) PRSΔ, |PR| = 5 m, |RS| = 12 m, |PS| = 13 m d) MNOΔ, |MN| = 0,12 m, |NO| = 13 dm, |MO| = 50 mm

A

C

B X

Ok

1 2 3 4

5

6

79

10

11

1213

8

·

51

12.12. Az alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik?

a) XYZΔ, x = 15 cm, y = 12 cm, z = 11 cmb) KLMΔ, |KL| = 6 dm, |LM| = 10 dm, |KM| = 8 dmc) DEFΔ, d = 130 mm, e = 215 mm, f = 100 mm

14.14. Számítsd ki az ábrán látható derékszögű három-szögek x-szel jelölt oldalának hosszát!

Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!a) b)

12. 12. megoldás

Ebben a feladatban bátran alkalmazhatjuk a becslés (intu-íció – megérzés) módszerét, amelyre sok hasonló feladat megoldása révén tehetünk szert.Tegyük fel, hogy a b) feladatban adott háromszög a meg-oldás. A Pitagorasz-tétel megfordítását alkalmazva győ-ződünk meg arról, hogy sejtésünk igaz-e. Az LM oldalt tekintjük átfogónak, a KL és KM oldalakat pedig befogók-nak. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést!|LM|2 = |KL|2 + |KM|2.A háromszög oldalhosszúságainak behelyettesítésével megállapítjuk, hogy igaz egyenlőséget kapunk-e.|LM|2 = 102 = 100 |KL|2 + |KM|2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 100 = 100 Az egyenlőség igaz.

Megállapítottuk, hogy a Pitagorasz-tétel megfordítása ér-telmében a KLMΔ derékszögű. A megoldás a b) feladat háromszöge.Miért zártuk ki már az elején az a) és a c) lehetőséget? Mert becsléssel is láthatjuk, hogy az a) esetben 152 ≠ 122 ++ 112, vagyis 225 ≠ 265.Hasonlóan a c) esetben fejben kiszámítható, hogy 1302 + 1002, kevesebb, mint 2152.

13.13. Az alábbi három háromszög közül csak az egyik derékszögű. Melyik?

a) ABCΔ, a = 13 cm, b = 11 cm, c = 7 cmb) PRSΔ, |PR| = 5 dm, |RS| = 40 cm, |PS| = 0,3 mc) DEFΔ, d = 1,7 cm, e = 15 mm, f = 4 cm

·

·12 15

1,8

x

x

14. 14. megoldás

A háromszögek derékszögűek, tehát az ismeretlen ol-dal kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét. Először megállapítjuk, hogy az oldalak közül melyik az átfogó és melyek a befogók.a)

·12 15

x

2,6

Azt a számot keressük, amelynek a négyzete 369 – ezért négyzetgyököt vonunk.

Két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20.

Az átfogó a derékszöggel szemközt fekszik – ez az x ol-dal. A háromszög átfogójának hosszát kell kiszámíta-nunk. A befogók hossza 12 és 15 egység.

Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:

Az x átfogó hossza 19,20 hosszegység.

b)


2,62 = 1,82 + x2

6,76 = 3,24 + x2

x2 = 6,76 – 3,24 x2 = 3,52

x = 1,876 1...

A befogó hossza 1,87 hosszegység.

Azt a számot keressük, amelynek négyzete 3,52 – ezért négyzetgyököt vonunk.

Két tizedesjegyre kifejezve: x = 1,87.

·

1,8

x

2,6

Az átfogó a derékszöggel szemben fekszik. Ennek hossza 2,6 hosszegység. Az egyik be-fogó hossza 1,8 hosszegység, a másiké x. A másik befogó hosszát kell kiszámítanunk.

Megjegyzés a 14. feladathoz

Két tizedesjegyre dolgozni nem ugyanaz, mint az ered-ményt két tizedesjegyre kerekíteni.

x = 19,209 37 két tizedesjegyre kifejezve: x = 19,20 (a harmadik tizedesjegytől kezdve minden számjegyet elhagyunk)x = 19,209 37 két tizedesjegyre kerekítve x � 19,21 (századokra kerekítünk)


Némely feladat kiszámításához sok idő kell.Egy filozófus szerint:„Az idő a gondolkodás egyik módja.” Állapítsd meg, ki mondta ezt!Érdekes megállapításra juthatsz.

52

17.17. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát:

a) ABCΔ, a = 8 cm, b = 15 cm, |ABC�| = 90° b) DEFΔ, d = 1,2 dm, e = 1,3 dm, |DEF�| = 90° c) KLMΔ, |KL| = 100 mm, |LM| = 60 mm, |KML�| = 90°d) XYZΔ, x = 1,4 m, y = 28 dm, |XZY�| = 90° Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

19.*19.* Az alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz.Ha az ABCΔ derékszöge az A csúcsban van, akkor az átfogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani:

A c = B a = C b =

20.*20.* Az alábbi összefüggések közül csak az egyik igaz.Ha az ABCΔ derékszöge a B csúcsban van, akkor a má-sik befogóját az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani:

A c = B a = C b =

18.**18.** Írd le, milyen képlettel számítható ki:a) az ABC háromszög átfogójának hossza, ha a B csúcsban van a derékszög;b) az ABC háromszög befogóinak hossza, ha az A csúcsban van a derékszög!

15.15. Számítsd ki az ábrán látható derékszögű háromszögek x oldalának hosszát!

Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre! a) b)

c) d)

·

4523

x

·

2

4x

·

5,6

2,1x·

26

12

x

16.16. Számítsd ki a derékszögű háromszögek hiányzó oldalainak hosszát:

a) PRSΔ, |PR| = 6 m, |RS| = 12 m, |PRS�| = 90° b) MNOΔ, |MN| = 34 cm, |NO| = 1,4 dm, |MON�| = 90° Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

16. 16. megoldás

A háromszögek derékszögűek, ezért ismeretlen oldalaik kiszámításához felhasználhatjuk Pitagorasz tételét.a) PRSΔ, |PR| = 6 m, |RS| = 12 m, |PRS�| = 90°

Az átfogó a derékszöggel szemben fekvő PS oldal. A két befogó a PR és az RS.


|PS|2 = |PR|2 + |RS|2

r2 = 62 + 122

r2 = 36 + 144 r2 = 180

r = r = 13,416 4...

A PS oldal hossza 13,41 hosszegység.

b) MNOΔ, |MN| = 34 cm, |NO| = 1,4 dm, |MON�| = 90°

Az átfogó a derékszöggel szemben fekvő MN oldal,|MN| = 34 cm. Az egyik befogó az 1,4 dm hosszúságú NO, a másik az MO oldal. Az MO befogó hosszát kell kiszámítanunk.

Azt a számot keressük, amelynek négyzete 180 – ezért négyzetgyököt vonunk.

Két tizedesjegyre kifejezve: r = 13,41.

S

p = 12 m

s = 6 m

r = ?

RP·

o = 34 cm

n = ?m = 1,4 dm = 14 cm

M

O

N

·

16. 16. megoldás – folytatás


|MN|2 = |NO|2 + |MO|2

342 = 142 + |MO|2

1156 = 196 + |MO|2|MO|2 = 1156 – 196|MO|2 = 960

|MO| =

|MO| = 30,983 8...

Az MO oldal hossza 30,98 cm.

Azt a számot keressük, amelynek négyzete 960 – ezért négyzetgyököt vonunk.

Két tizedesjegyre kifejezve: r = 30,98.

53

Pitagorasz tétele és a háromszögek

Pitagorasz tételét talán a háromszögekkel kapcsolatos számításokban alkalmazzuk a leggyakrabban. Bármely ál-talános háromszög a magasságával feldarabolható két derékszögű háromszögre.

21.21. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magas-ságának hosszát, ha szárainak hossza 6 cm!

Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

23.23. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magasságát, ha az alap hossza 6 cm, a száraké pedig 5 cm!

21. 21. megoldás

A megoldás elején vázlatrajzot készítünk az egyenlő szárú ABC háromszögről. Mivel a háromszög mc magas-ságvonala merőleges az AB oldalra, a keletkező AKC háromszög derékszögű, ahol a K pont az AB oldal közép-pontja. Tehát alkalmazható Pitagorasz tétele.

Az mc magasság (KC szakasz) az egyenlő szárú három-szöget két derékszögű háromszögre darabolja. A háromszögek egyikét külön lerajzoljuk, majd megke-ressük az átfogóját és a befogóit.

Az átfogó az AC szakasz, a két befogó pedig az AK és a KC szakasz. Az mc magasság a derékszögű három-szög KC befogója. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AK|2 + |KC|2

62 = 32 + mc2

36 = 9 + mc2

mc2 = 36 + 9

mc2 = 27

mc =

mc = 5,196 1...

Két tizedesjegyre kifejezve: mc = 5,19.Az egyenlő szárú ABC háromszög magassága 5,19 cm.

m

23. 23. megoldás

A megoldás elején vázlatrajzot készítünk.Az AB alapú, egyenlő szárú ABC háromszög vázlatrajzá-ban megrajzoljuk az alaphoz tartozó magasságot.

Az m magasság, vagyis a KC szakasz két derékszögű háromszögre darabol-ja az egyenlő szárú háromszöget. A K pont az AB oldal felezőpontja.A háromszögek egyikét újralerajzoljuk, majd megkeressük az átfogóját és a befogóit.A megoldáshoz Pitagorasz tételét alkalmazzuk.

Az átfogó az AC szakasz, a két befogó pedig az AK és a KC szakasz. Az m magasság a derékszögű háromszög KC befogója.Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AK|2 + |KC|2

52 = 32 + m2

25 = 9 + m2

m2 = 25 – 9 m2 = 16 m = m = 4 Az egyenlő szárú ABC háromszög magasságának hossza 4 cm.

·

KA

5 cm 5 cm

3 cm3 cmB

C

m

·KA

5 cm

3 cm

C

22.22. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, amelynek:

a) alapja 106 mm;b) alapja 0,23 dm;c)* alapja a Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

24.24. Számítsd ki az egyenlő szárú háromszög magasságát, ha

a) alapja 23 mm, szárainak hossza pedig 35 mm;b) alapja 0,7 dm, szárainak hossza pedig 9 cm;c)* alapja a, a szárainak hossza pedig b.Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

·

KA

6 cm 6 cm

3 cm3 cmB

C

mc

·KA 3 cm

6 cm

C

mc

54

Pitagorasz tétele és a paralelogrammák

A paralelogrammákra vonatkozó feladatokban is gyakran alkalmazzuk Pitagorasz tételét. Hogy oldjuk meg ezeket a feladatokat? A paralelogrammákat – amennyiben lehet-séges – derékszögű háromszögekre daraboljuk.

25.25. Számítsd ki az 5 cm oldalú négyzet átlóinak hosszát!


27.27. Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amelynek átlója 7 cm hosszú?


25. 25. megoldás

Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait, oldalait és az egyik átlóját. Megnézzük, keletkezett-e va-lahol derékszögű háromszög. Mivel a négyzet oldalai merőlegesek egymásra, a keletkező ABC háromszög derékszögű, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele.

A négyzetben kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget. Ajánlatos külön megrajzolni:

Ennek a háromszögnek az e = AC átló az átfogója, a két befogója az AB és a BC. Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

e2 = 52 + 52

e2 = 50 e = e = 7,071 06...Két tizedesjegyre kifejezve: e = 7,07.A négyzet e átlójának hossza 7,07 cm.

27. 27. megoldás

Vázlatot készítünk a négyzetről: megjelöljük a csúcsait és az oldalait. Kijelöljük az e átlót. A négyzet oldalai merőlegesek egymásra, így derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele.

A négyzetben kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget.

Ennek a háromszögnek az e = AC átló az átfogója, két befogója az AB és a BC.Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

72 = a2 + a2

72 = 2 · a2

a2 = 49 : 2 a2 = 24,5 a = a = 4,949 7... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 4,94.A négyzet oldalának hossza 4,94 cm.

26.26. Számítsd ki a négyzet átlójának hosszát, ha oldalának hossza:

a) 7,2 dmb) 56 mmc)* aAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

A

D

B

C

a = 5 cm

a = 5 cm

az ABCD négyzet átlója

·

e

A

D

B

C

a

a

az ABCD négyzet átlója

·

e = 7 cm

A B

C

a

a

·

e

BA

C

a

a

·

e

28.28. Milyen hosszú annak a négyzetnek az oldala, amely átlójának hossza:

a) 4,8 dmb) 32 mm c)* eAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

55

30.30. Számítsd ki a téglalap átlójának hosszát, ha oldalainak hossza:

a) 2,8 dm és 3,6 dmb) 53 mm és 26 mm c)* a és (a + 3) Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

32.32. Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha:a) átlójának hossza 35 mm, az egyik oldaláé pedig

28 dm b) átlójának hossza 91 mm, az egyik oldaláé pedig

68 dmc)* átlójának hossza e, az egyik oldaláé pedig (e – 2)Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

29.29. Számítsd ki a 4 cm és 3 cm oldalhosszúságú téglalap átlójának hosszát!

31.31. Számítsd ki a téglalap másik oldalának hosszát, ha a téglalap átlójának hossza 6,5 cm, az egyik oldala pedig 4,5 cm!


29. 29. megoldás

Felvázoljuk a téglalapot, megjelöljük az oldalait, a csú-csait és az átlóját. Ebben az esetben is derékszögű há-romszöget keresünk. Mivel a téglalap oldalai merőle-gesek egymásra, egy átló a téglalapot két derékszögű háromszögre bontja. Ezek egyike az ABC háromszög, amelyre alkalmazható Pitagorasz tétele.

A téglalapban kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget.

Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, befogói a téglalap AB és BC oldalai.Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

e2 = 42 + 32

e2 = 25 e = e = 5A téglalap e átlójának hossza 5 cm.

A B

C

b = 3 cm

a = 4 cm

·

31. 31. megoldás

Vázlatrajzot készítünk a téglalapról. A téglalap oldalai merőlegesek egymásra, az átló a téglalapot két derék-szögű háromszögre osztja. Ezek egyike az ABCΔ, amely-re alkalmazható Pitagorasz tétele.

A téglalapban kijelöljük a derékszögű ABC háromszöget.

Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, be-fogói a téglalap AB és BC oldalai. Az AB oldal hosszát tekintjük 4,5 cm-nek, tehát a BC oldal hosszát kell ki-számítanunk.Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést:|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

6,52 = 4,52 + b2

42,25 = 20,25 + b2

b2 = 42,25 – 20,25 b2 = 22 b = b = 4,690 4...Két tizedesjegyre kifejezve: b = 4,69.A téglalap másik oldalának hossza 4,69 cm.

·

e = 6,5 cm

A

D

B

C

a = 4,5 cm

b az ABCD téglalap átlója

e = 6,5 cm

·A B

C

a = 4,5 cm

b

A B

CD

b = 3 cm

a = 4 cm

·

az ABCD téglalap átlójae

e

Projektfeladat Pitagorasz tételének felhasználása a következő feladatban is jelen van. Oldd meg, és keress olyan gyakorlati esete-ket, amelyet Pitagorasz tételével lehet megoldani!Az ABCD téglalap AB és BD oldalának aránya 4 : 3. A téglalap köré írt kör átmérője 10 cm. Számítsd ki a téglalap oldalainak hosszát!

56

33.33. Milyen hosszú annak az egyenlő szárú PRST trapéznak a magassága, amely alapjainak hossza p = 2 dm, s = 12 cm, száraié pedig r = t = 9 cm?


35.35. Számítsd ki az egyenlő szárú PRST trapéz szárainak hosszát, ha adott a két alap: p = 1,8 dm, s = 1,1 dm és a trapéz magassága: m = 5 cm.


33. 33. megoldás

Vázlatot készítünk, amelyben megjelöljük a trapéz ma-gasságát. Mivel a trapéz magassága merőleges az alapra, a PT0 T háromszög derékszögű, amelyre alaklmazható Pi-tagorasz tétele.

Megkeressük az átfogót és a befogókat.A PT0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik be-fogó a PT0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T0 T szakasz).Először kiszámítjuk a PT0 szakasz hosszát:|PT0

| = (20 – 12) : 2|PT0

| = 8 : 2|PT0

| = 4 cm

Pitagorasz tétele szerint:|PT|2 = |PT0

|2 + |T0T|2

92 = 42 + m2

81 = 16 + m2

m2 = 81 – 16 m2 = 65 m = m = 8,062 2...

Két tizedesjegyre kifejezve: m = 8,06.A trapéz magassága 8,06 cm.

35. 35. megoldás

A trapéz vázlatrajzában meghúzzuk az egyik magassá-got. Kijelöljük a derékszögű PT0 T háromszöget, és alaklmazzuk Pitagorasz tételét.

A PT0 T háromszög átfogója a PT szakasz, az egyik be-fogó a PT0 szakasz, a másik a trapéz keresett magassága (tehát a T0 T szakasz). Először kiszámítjuk a PT0 szakasz hosszát:|PT0

| = (18 – 11) : 2|PT0

| = 7 : 2|PT0

| = 3,5 cm

Pitagorasz tétele szerint:|PT|2 = |PT0

|2 + |T0T|2

t2 = 3,52 + 52

t2 = 12,25 + 25 t2 = 37,25 t = t = 6,103 2...

Két tizedesjegyre kifejezve: t = 6,10.A trapéz szárainak hossza 6,10 cm.

Pitagorasz tétele és a trapéz

A trapézról szóló feladatokban is gyakran felhasználjuk Pitagorasz tételét. A trapéz magasságának meghúzásá-val derékszögű háromszög keletkezik.

P

m = 5 cm

p = 1,8 dm = 18 cm

S

R

s = 1,1 dm =11 cm

r t

·

T

T0 a trapéz magassága

m

S

R

s = 12 cm

p = 2 dm = 20 cm

r = 9 cm

·P

T

T0

t = 9 cm

3,5 cm

m = 5 cmt

·

P

T

T0

34.34. Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz magasságát, ha adott a két alapja és a két szára:

a) ABCD , a = 8 cm, c = 2 cm, b = d = 5 cmb) EFGH , e = 12 cm, g = 9 cm, f = h = 4 cmc) OPRS , o = 65 mm, r = 2,5 cm, p = s = 3,5 cmAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

36.36. Számítsd ki az egyenlő szárú trapéz szárainak hosszát, ha adott a trapézok két alapja és magassága:

a) ABCD , a = 8 cm, c = 2 cm, m = 4 cmb) EFGH , e = 15 cm, g = 10 cm, m = 3 cmc) OPRS , o = 5 cm, r = 25 mm, m = 15 mmAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

·P

T

T0

t = 9 cm

4 cm

m

57

39. 39. megoldás

Vázlatot készítünk az O középpontú, r sugarú körről, benne az AB húrral. A húr merőleges a középpontjába húzott sugárra, ezért egy derékszögű háromszög ke-letkezik, amelyre alakalmazható Pitagorasz tétele.

A keletkezett OB0B háromszög derékszögű.

Pitagorasz tétele és a kör

A körre vonatkozó feladatokban is gyakran szükség van Pitagorasz tételére. Itt is keletkezhet derékszögű há-romszög.

37.37. Milyen hosszú a 3,14 dm sugarú körhöz tartozó húr, amely 12 cm-re van a kör középpontjától?

Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!

39.39. Számítsd ki a kör átmérőjének hosszát, ha az 57 mm hosszú AB húrja 2 cm-re van a kör középpontjától!


37. 37. megoldás

Készítsünk vázlatot egy O középpontú, r sugarú körről, benne egy AB húrral!Mivel a húr merőleges az OC szakaszra (a kör sugará-ra), derékszögű háromszög keletkezik, amelyre alkal-mazható Pitagorasz tétele.Az AB húr távolsága a kör O középpontjától|OB0

| = 12 cm.

A keletkezett OB0 B háromszög derékszögű.

Az OB0B háromszög átfogója az OB szakasz – a kör sugara. Az egyik befogó a BB0 szakasz – a húr fele (ezt kell kiszámítanunk – x-szel jelöljük) a másik pedig az OB0 szakasz – a húr távolsága a kör középpontjától. Pitagorasz tétele alapján: |OB|2 = |OB0

|2 + |BB0|2

31,42 = 122 + x2

985,96 = 144 + x2

x2 = 985,96 – 144 x2 = 841,96 x = x = 29,016 5...Az x a húr fele, ezért: |AB| = 2 · x = 2 · 29,016 5... = = 58,033...Két tizedesjegyre kerekítve: |AB| � 58,03. A kör húrja körülbelül 58,03 cm hosszú.

38.38. Milyen hosszú a kör húrja, haa) a kör sugara 6 cm, a húr távolsága a kör középpontjától 4 cm;b) a kör sugara 1,28 dm, a húr távolsága a kör közép- pontjától 10 cm;c) a kör sugara 15 cm, a húr távolsága a kör közép- pontjától 2,5 cm;d) a kör sugara 7 dm, a húr távolsága a kör közép pontjától 32 mm?


·O

B0

B

A

r

2 cm == 20 mm

B

O B0

r = 57 : 2 = 28,5

·20 mm

B

O B0

r = 3,14 dm = 31,4 cm= x

·

12 cm

Segítség

A kör húrja egy olyan

szakasz, amely a kör-

vonal két pontját köti

össze.

Segítség

A kör átmérője

a sugár kétszerese.

A kör sugarát r-rel jelöljük.

A kör átmérőjét d-vel jelöljük.

d = 2 ∙ r.

folytatás

·

O B0

B

A

r

Cr

k

k

58


A háromszög átfogója az OB szakasz, vagyis a kör r sugara, amiből majd a d = 2 ∙ r összefüggés alapján ki-számítjuk a kör átmérőjét. Az egyik befogó a BB0 sza-kasz – a húr fele, a másik az OB0 szakasz – a húr távol-sága a kör középpontjától.Pitagorasz tételét alkalmazva:|OB|2 = |OB0

|2 + |BB0|2

r2 = 202 + 28,52

r2 = 400 + 812,25 r2 = 1212,25 r = r = 34,817 3...A kör átmérője: d = 2 ∙ r = 2 ∙ 34,817 3... = 69,634 76...Két tizedesjegyre kerekítünk: d � 69,63 mm.A kör átmérője körülbelül 69,63 mm.

Pitagorasz tételét alkalmazva:

|AC|2 = |AB|2 + |BC|2

e2 = 102 + 102

e2 = 100 + 100 e2 = 200 e = e = 14,142 1...

Két tizedesjegyre kifejezve: e = 14,14.A kocka lapátlójának hossza 14,14 cm.

41. 41. megoldás

Megoldásunk elején szemléltetjük a kockát. Mivel a koc-ka lapjai négyzetek, a lapátló valójában egy négyzet átló-ja, amely a négyzetet két derékszögű háromszögre dara-bolja, tehát alkalmazhatjuk Pitagorasz tételét.

A négyzetben kijelöljük az ABC háromszöget.

Ennek a háromszögnek az átfogója az e = AC átló, két befogója pedig a négyzet AB és BC oldala.

Pitagorasz tétele és a mértani testek

Az alábbiakban bemutatunk néhány olyan feladatot, amely gyakran szerepel a tankönyvekben.

41.41. Számítsd ki a 10 cm élű kocka lapátlójánakhosszát!


42.42. Számítsd ki a kocka lapátlójának hosszát, ha a kocka éle:

a) 2,7 dm b) 35 mm c)* aAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

40.40. Számítsd ki a kör sugarának hosszát, ha

a) a húr hossza 8 cm, távolsága a kör közép-pontjától 3 cm;

b) a húr hossza 3,8 dm, távolsága a kör középpontjától 1,5 dm;

c) a húr hossza 26 cm, távolsága a kör középpontjától 1,2 dm;

d) a húr hossza 6,2 cm, távolsága a kör középpontjától 3.1 cm.


·

B

C

A

D

a = 10 cm

a = 10 cm

a = 10 cm

eA kocka lapátlója az ABCD négyzet e átlója

·

A B

C

e

10 cm

10 cm

Gondolkodtató feladat Fejezd ki a kocka éléből a kocka testátlójának hosszát!

Tudod-e, hogy…a geometria, matematika, aritmetika szavak görög eredetűek? Arkhimédész volt az egyik legnagyobb ókori görög matemati-kus, fizikus, tervező és hadmérnök.

59

43. 43. megoldás

Szemléltetjük a hasábot.Alapja négyzet, négy oldallapja négy egybevágó tégla-lap. Ezért elég kiszámítani egyetlen lapátló hosszát.

A téglalapban kijelölt derékszögű ABF háromszög átfo-gója nem más, mint az e = AF átló. A két befogó a tégla-lap AB és BF oldala.Pitagorasz tételét alkalmazva:

|AF|2 = |AB|2 + |BF|2

e2 = 52 + 72

e2 = 25 + 49 e2 = 74 e = e = 8,602 3...

Két tizedesjegyre kifejezve: e = 8,60.A hasáb oldallapátlójának hossza 8,60 cm.

45. 45. megoldás

Szemléltetjük a téglatestet. Megjelöljük a csúcsait, fel-tüntetjük az ismert élhosszúságokat és a kiszámítandó testátlót.Mivel a téglatest mindhárom éle különböző, a lapjai is különböző méretű téglalapok. Téglalapokról lévén szó, ebben a feladatban is alkalmaz-hatjuk Pitagorasz tételét.

a)

Szemléltettük a téglatestet az élméreteivel.Most kijelöljük a BH testátlót, amely egy derékszögű há-romszög egyik oldala.

Megjegyzés Az AG, EC és FD szakasz is testátló.

A BDH háromszögben a D pont a derékszög csúcsa, a BH testátló a derékszögű háromszög átfogója, a BD és a DH a befogói.

Írjuk fel a Pitagorasz-összefüggést!

|BH|2 = |BD|2 + |DH|2

|BH|2 = |BD|2 + 32

A BD befogó hosszát nem ismerjük, de tudjuk, hogy a BD a téglalap alakú alaplap átlója. Az átló ezt a tégla-lapot két derékszögű háromszögre osztja.A derékszögű BAD háromszög derékszöge az A csúcs-nál van, a BD szakasz az átfogója, az AD és AB pedig a befogói.

43.43. Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb (négyzetes oszlop) testátlóinak hosszát, ha a hasáb alapéle 5 cm, magassá-ga pedig 7 cm!


·

B

C

G

FE

H

A

D

5 cm

5 cm

7 cm

e a hasáb oldallap-átlója az ABFEtéglalap e átlója

44.44. Számítsd ki a szabályos négyoldalú hasáb oldallapátlóinak hosszát, ha a hasáb

a) alapéle 1,2 dm, magassága 39 cm;b) alapéle 60 mm, magassága 4 cm;c)* alapéle a, magassága b;d) alapéle a, magassága (a + 3).


45.45. Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza:

a) 5 cm, 4 cm és 3 cm b) 6,2 dm, 30 cmés 0,25 m


H

A

E F

B

CD

G

3 cm

4 cm

5 cm

H

A

E F

B

CD

G

.

a

a

b

folytatás

60


Alkalmazzuk Pitagorasz tételét a BAD háromszögre:A |BD|2 = |AB|2 + |AD|2 összefüggést behelyettesítjük a |BH|2 = |BD|2 + 32

összefüggésbe.Ebből:|BH|2 = |AB|2 + |AD|2 + 32

|BH|2 = 52 + 42 + 32

|BH|2 = 25 + 16 + 9|BH|2 = 50|BH| = |BH| = 7,071 0...

Két tizedesjegyre kifejezve: |BH| = 7,07 cm. A téglatest testátlója 7,07 cm hosszú.

b) Szemléltetjük a téglatestet, feltüntetjük az élmére-teit. Az élek hosszát közös mértékegységben (cm-ben) fejezzük ki.

Kijelöljük a téglatestben az EC testátlót mint egy derék-szögű háromszög egyik oldalát.

A CAE háromszög derékszöge az A csúcsban van, az EC testátló a háromszög átfogója, az AC és az AE pedig a két befogója.

Alkalmazzuk Pitagorasz tételét a CAE háromszögre:

|EC|2 = |AC|2 + |AE|2

|EC|2 = |AC|2 + 252

Az AC befogó hosszát nem ismerjük. Tudjuk azonban, hogy az AC a téglatest lapátlója, amely a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Az ABC derékszögű háromszög derékszöge a B csúcs-nál van, az AC az átfogója, a BC és az AB a befogója.

Alkalmazzuk Pitagorasz tételét az ABC háromszögre:Az |AC|2 = |AB|2 + |BC|2 összefüggést behelyettesítjükaz |EC|2 = |AC|2 + 252

összefüggésbe.Ebből:|EC|2 = |AB|2 + |BC|2 + 252

|EC|2 = 622 + 302 + 252

|EC|2 = 3844 + 900 + 625|EC|2 = 5369|EC| =|EC| = 73,273 4...

Két tizedesjegyre kifejezve: |EC| = 73,27 cm.A téglatest testátlója 73,27 cm hosszú.

46.46. Számítsd ki a téglatest testátlójának hosszát, ha éleinek hossza:

a) 15 cm, 12 cm és 11 cmb) 3,7 dm, 52 cm és 0,36 mc) 5 dm, 7 cm és 45 mmd) 6,7 cm, 2 dm és 135 mmAz eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

H

A

EF

B

CD

G

0,25 m = 25 cm

30 cm

6,2 dm = 62 cm

D

A B.

C

A B.

H

A

E F

B

CD

G

.

61


1. Jelöld meg az igaz állítást.

A A 12 cm, 13 cm, 5 cm oldalú háromszög derékszögű.

B Az 5 cm, 4 cm, 3 cm oldalú háromszög nem derékszögű.

C Az , , 1 oldalú háromszög derékszögű.

D Nem létezik egyenlő szárú derékszögű háromszög.

2. Ha az ABC háromszög derékszöge a B csúcsban van, akkor a c oldal:

M befogó N átfogó O súlyvonal

3. Ha a KLM háromszög derékszöge a K csúcsban van, akkor a Pitagorasz-összefüggés:

E |KL|2 = |LM|2 + |KM|2 É |LM|2 = |KL|2 + |KM|2 F |KM|2 = |KL|2 + |LM|2

4. Ha a PQR háromszög derékszöge az R csúcsban van, valamint |PR| = 8 cm és |PQ| = 10 cm, akkor a harmadik oldalt az alábbi összefüggéssel lehet kiszámítani:

P R S T

5. Ezzel az összefüggéssel számítjuk ki a 20 cm oldalú négyzet e átlójának hosszát:

C D E É

6. A 4 cm és 3 cm oldalú téglalap f átlóját az alábbi összefüggéssel számíthatjuk ki:

R f = S f 2 = T f

2 = U f =

Ha jól oldottad meg a fenti feladatokat, akkor a helyes válaszok betűjeleinek összeolvasásával megkapod a választ arra a kérdésre, hogy:

Mi a leggyakoribb MŰVELET A GEOMETRIÁBAN?Természetesen…

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek egyik belső szöge derékszög (90°).A derékszöggel szemközti, leghosszabb oldalt átfogónak nevezzük.A derékszög két szárán fekvő két rövidebb oldal a befogó.

Minden derékszögű háromszögre teljesül Pitagorasz tétele:

A derékszögű háromszög átfogója fölé emelt négyzet területe egyenlő a két befogóra emelt négyzetek területeinek összegével.

A derékszögű ABC háromszögre felírható a Pitagorasz-összefüggés, ha a derékszög csúcsa a C pontban van:

c2 = a2 + b2 vagy |AB|2 = |AC|2 + |BC|2.

Az a és b befogók hosszát az alábbi összefüggésekkel lehet kiszámítani:

A Pitagorasz-tétel megfordítása: Ha egy háromszögre teljesül a c2 = a2 + b2 vagy |AB|2 = |BC|2 + |AC|2 egyenlőség,akkor ez a háromszög derékszögű.

Jegyezd meg!

·

a2

b2

c2

C

A B

62

Tudod-e…?A szimbólum-ábécében a négyzet a Föld jelképe.

Idézzük fel!Oldd meg az alábbi feladatot! Alkalmazd az előző fejezetben tanultakat!

2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása

1.1. Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! A csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben fel lehessen írni!

a) b) c)

2.2. Írd fel a Pitagorasz-összefüggést az alábbi derékszögű háromszögekre, amelyek egy négyzet, téglalap vagy trapéz részei! A csúcsokat és az oldalakat jelöld meg úgy, hogy az összefüggéseket a lehető legegyszerűbben le lehessen írni!

a) b) c)

·

·

·

·

·

·

1. 1. megoldás

Hogy a megoldást a lehető legegyszerűbben le lehessen írni, mindhárom háromszögben jelöljük a csúcsokat A, B, C betűkkel, az oldalakat pedig a, b, c-vel! A derékszög csúcsa legyen C.a) b) c)

Az ABC háromszög c oldala az átfogó, az a és a b a befogó.Ilyen jelölés mellett mindhárom háromszögre így írható fel a Pitagorasz-összefüggés: c2 = a2 + b2

·A A A

B B B

C C Cbb b

cc

caa a

· ·

63

3.*3.* Írd fel a Pitagorasz-összefüggést azokra a derékszögű háromszögekre, amelyet egy-egy kockába írtunk, haa) a kocka éle a; b) a kocka éle b!

4.4. Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az ABC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója. Az eredményt fejezd ki két tizedesjegyre!

a) b) c)

a 15 cm ? 0,28 m

b ? 2,5 dm 0,73 m

c 21 cm 8,7 dm ?

·

C

c

ab

A B

ab

A B

4. 4. megoldás

A feladatot Pitagorasz tételének alkalmazásával oldjuk meg. Minden esetben a c-t átfogónak, az a-t és a b-t befogó-nak tekintjük.

a) a = 15 cm c2 = a2 + b2

c = 21 cm 212 = 152 + b2

b = ? 441 = 225 + b2

b2 = 441 – 225 b2 = 216 b = b = 14,696 9... Két tizedesjegyre kifejezve: b = 14,69 cm.

b) b = 2,5 dm c2 = a2 + b2

c = 8,7 dm 8,72 = a2 + 2,52

a = ? 75,69 = a2 + 6,25 a2 = 75,69 – 6,25 a2 = 69,44 a = a = 8,333 0... Két tizedesjegyre kifejezve: a = 8,33 dm.

c) a = 0,28 m c2 = a2 + b2

b = 0,73 m c2 = 0,282 + 0,732

c = ? c2 = 0,078 4 + 0,532 9 c2 = 0,611 3

c =

c = 0,781 8... Két tizedesjegyre kifejezve: c = 0,78 m.

5.5. Számítsd ki a táblázatból hiányzó adatokat, ha az a és a b az ABC háromszög egy-egy befogója, a c pedig az átfogója.

a 2,5 dm 42 mm ? 3 m 25 cm ?

b 3,6 dm ? 74 cm ? 250 mm 56 cm

c ? 96 mm 128 cm 72 dm ? 9,2 m

64

6.*6.* Hogyan aránylik az ABC háromszög magassága a DEF háromszög magasságához, ha az ABC háromszög alapja 8 cm, szára 5 cm, a DEF háromszög alapja 6 cm, szára pedig 5 cm?

6. 6. megoldás

Hogyan oldjuk meg a feladatot? Elkészítjük mindkét háromszög vázlatát. Kiszámítjuk mindkét magasságot, majd felírjuk ezek arányát. Az ABC háromszög magasságának kiszámítása:A magasságvonal a háromszöget két egybevágó derékszögű háromszögre bontja. Az O pont az AB szakasz középpontja. Az AOC háromszög átfogója az AC szakasz, befo-gói pedig az AO és az OC szakaszok. Az ABC há-romszög m magassága azonos az AOC derékszögű háromszög OC befogójával.Pitagorasz tételét alkalmazva:|AC|2 = |AO|2 + |OC|2

52 = 42 + m2

25 = 16 + m2

m2 = 25 – 16 m2 = 9 m = m = 3 Az ABC háromszög magassága 3 cm.

A DEF háromszög magasságát ugyanígy számítjuk ki:

|DF|2 = |DO|2 + |OF|2

52 = 32 + m2

25 = 9 + m2

m2 = 25 – 9 m2 = 16 m = m = 4 A DEF háromszög magassága 4 cm. A kapott magasságokat az adott sorrendben arányba állítjuk. A magasságok aránya 3 : 4.

a háromszög magassága

m

C

A B

5 cm

4 cm 4 cm

5 cm

·O

3 cm 3 cm

·

F

OD E

5 cm5 cm

a háromszög magassága

m

Megjegyzés Az előző fejezetben foglalkoztunk az egyenlő szárú há-romszögek magasságának kiszámításával, ezért arányu-kat azonnal fel tudnánk írni.Ennek ellenére megadjuk a teljes megoldást.


Mekkora az ABC háromszög c átfogójához tartozó magassága, ha a háromszög területe 48 cm2, az egyik befogó hossza pedig a = 12 cm?

7.**7.** AZ ŐSZ ÉS A SÁRKÁNYSok országban még ma is él egy régi szokás: a sárkányeresztés. A sárkányoknak különböző alakjuk van, és nemegyszer sárkányeresztő versenyeket is rendeznek.a) A mi iskolánk is rendez ilyen versenyt. Tavaly az volt a részvétel feltétele, hogy a sárkányt két síkidomból kellett összeállítani: két egyenlő szárú háromszögből úgy, hogy a sárkánytest hossza 150 cm és 180 cm között legyen. A sárkány többi méretét a tanulók aszerint válasz-

tották meg, ahogy a díszítés megkívánta. Az ábrán az egyik sárkány rajza látható. Hossza 150 cm, legnagyobb szélessége 60 cm. Az egyenlő szárú háromszögek alapja a sárkányt 3 : 7 arányban osztja 2 részre. A bírák számára a sárkány rajzát az összes oldal hosszának feltüntetésével kellett leadni. Mely hosszúságokat kellett a versenyzőknek kiszámítaniuk? Írd le ezeket az értékeket!b) A versenysárkány kötele 25 m hosszú. A versenybíró a versenyzőtől 10 m-re áll, és a sárkány épp a feje fölött lebeg. Milyen magasan van a sárkány?

Projektfeladat

Állapítsd meg, hogy mely európai országokban szokás ősszel sárkányt ereszteni! Milyen versenysárkány-típusok léteznek, és hazánkban hol szoktak sárkányeregető versenyt rendezni?

Tudod-e…?Több városcímer is ábrázolja Szent György küzdelmét a sárkánnyal. Állapítsd meg, hogy az itt látható címer mely szlovákiai városé!

65

8.**8.** A PARK ÉS A KÖRNYEZETVÉDŐKVárosunkban lebontottak egy régi épületet. A környezetvédők azt javasolják, hogy a bontás helyén létesítsenek egy 180 m széles és 200 m hosszú téglalap ala-kú parkot. A park alaprajza az oldalai mentén és az átlóiban vezető gyalogutakkal az ábrán láthatók. Az utak a parkot négy részre osztanák, amelyekbe a kicsiknek játszóteret, a nagyobb gyerekeknek labdajátékokra alkalmas pályát, egy kisebb hangversenypódiumot és padokat terveztek a pihenni vágyó idősebbek részére. Egy cukrászda is lehetne itt.

A parképítés költségvetésének kidolgozásához szükség volt az összes rész területére. Hány méter a járdák teljes hossza? Mekkora az egyes részek területe? A gyalogutak szélességét elhanyagoljuk.

Az átlókba azért terveztek gyalogutakat, hogy gyorsabban át lehessen jutni a park egyik sarkából az átellenesbe. A B

Hány méterrel rövidíted meg az utad, ha nem az A, hanem a B útvonalon haladsz végig?

10.10. Milyen hosszúnak kellene lennie a 9. feladatban szereplő létrának, hogy az alja a 2,20 m magasságú kőfaltól csak 1,5 m-re legyen?

11.11. GÖRDESZKARÁMPAA sporttelepen rámpát építettek a gördeszkások számá-ra. Keresztmetszetének egyik eleme egy derékszögű háromszög. Milyen magas a rámpa?

9.9. ELVESZÍTETTÜK A KAPUKULCSOTHázunkat egy 2,20 m magas kőkerítés veszi körül. Csak egy utcaajtó és egy eltolható kapu van rajta. Ha valaki elveszíti a kulcsot, át kell másznia a kerítésen. Mivel ez egyszer megesett velünk, egy létrát kellett a szomszédból kölcsönkérnünk. Elég hosszú volt (3 m), ezért a kerítéstől jó távol kellett felállítanunk, hogy a legfelső foka épp a fal tetejéig érjen. A kerítéstől mekkora távolságra helyeztük el a létra alját?

9. 9. megoldás

Vázlatot készítünk. Mivel a kerítést függőlegesen, tehát a vízszintes terepre merőlegesen emelték, ezért a kerítés, a kerítéshez támasztott létra és a vízszintes terep egy derékszögű háromszöget (ABC) alkot. Átfogója (AB) a létra, egyik befogója a létra aljának távolsága a kőkerítéstől a vízszintes terepen (AC), másik befogója pedig a kerítés (BC).Alkalmazzuk Pitagorasz tételét:|AB|2 = |AC|2 + |BC|2

32 = |AC|2 + 2,22

9 = |AC|2 + 4,84|AC|2 = 9 – 4,84|AC|2 = 4,16|AC| = |AC| = 2,039 6...

Az eredményt két tizedesjegyre kerekítjük. A létra alja kb. 2,04 m-re van a kőfaltól.

·

CA

B

4 m

2,5 m 7,5 m

Projektfeladat

Állapítsd meg, hogy milyen rámpatípusok kaphatók ke-rékpárosok és gördeszkások részére! Írd le, hogy milyen síkidomokat alkalmaznak a formájuk kialakításához! Tervezz te is egy saját rámpát! Határozd meg a méreteit, és becsüld meg, hány euróba kerülne az anyagráfordítás!

3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása

3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével

Idézzük fel!1.1. Állapítsd meg, hogy igaz-e! 3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22.

2.2. Milyen szám írható a négyzet helyébe, hogy a2 ∙ � + 1 = – 12 + 3

egyenlőség igaz legyen?

1. 1. megoldás

Így számoltunk:

3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22

3 ∙ 2 + 5 = 15 – 4 6 + 5 = 11 11 = 11

Így is számolhatunk:

3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 5 ∙ 3 – 22

bal oldal jobb oldal

B = 3 ∙ (– 2 + 4) + 5 = 3 ∙ 2 + 5 = 6 + 5 = = 11J = 5 ∙ 3 – 22 = 15 – 4 = = 11

2. 2. megoldás

Így számoltunk:Kiszámítottuk a – 12 + 3 = – 9 kifejezés értékét.– 9-et kaptunk.Ezt követően olyan számot kerestünk (többnyire becsléssel, találgatással),amelyet a négyzet helyébe írva a 2 ∙ � + 1 kifejezés értéke – 9 lesz.Legyen ez a szám a – 5!A – 5-öt behelyettesítve kapjuk, hogy 2 ∙ (– 5) + 1 = – 10 + 1 = – 9A négyzet helyébe a – 5-öt kell beírni.

Fejszámolással meggyőződünk róla, hogy igaz egyen-lőséget kaptunk-e.

Így is számolhatunk:A négyzetet egy x ismeretlennel helyettesítjük:

2 ∙ x + 1 = – 12 + 3.Ezt a felírást egyenletnek nevezzük, amelyet az ellentett műveletek módszerével oldunk meg:

2 ∙ x + 1 = – 9 2 ∙ x = – 9 – 1 2 ∙ x = – 10 x = – 10 : 2 x = – 5

Az x ismeretlen értéke – 5.

Ellenőrizzük a megoldást: az x ismeretlenbe behelyette-sítjük a – 5-öt.B = 2 ∙ (– 5) + 1 = – 10 + 1 = – 9

B = JJ = – 12 + 3 = – 9

B = J = 11

Mindkét megoldásból látható, hogy az egyenlőség igaz. Gondold végig, hogy mi a különbség a két megoldás közt!

A keresett egyenlőség: 2 ∙ – 5 + 1 = – 12 + 3.

Mi a különbség

az egyenlőség és

az egyenlőtlenség közt?

Miben különbözik egymástól a fenti megoldás két módja?

66

67

Az egyenleteket különböző módon oldhatjuk meg.Talán már ti is tanultátok valamelyiket.

Ehelyett így is írhatjuk:

x + 1 = 5 x + 1 = 5 / – 1 x = 5 – 1 x = 4 x = 4

x – 3 = 9 x – 3 = 9 / + 3 x = 9 + 3 x = 12 x = 12

2 ∙ x = 16 2 ∙ x = 16 / : 2 x = 16 : 2 x = 8 x = 8

x : 10 = 9 x : 10 = 9 / ∙ 10 x = 9 ∙ 10 x = 90 x = 90

/ ∙ 5

x = 20 ∙ 5 x = 100 x = 100

Az egyenleteket az ellentett műveletek elve alapján így oldjuk meg:

x + 1 = 5 Látható, hogy x = 4. x = 5 – 1

összeg különbség

x – 3 = 9 Látható, hogy x = 12. x = 9 + 3

különbség összeg

2 ∙ x = 16 Látható, hogy x = 8. x = 16 : 2

szorzat hányados

x : 10 = 9 Látható, hogy x = 90. x = 9 ∙ 10

hányados szorzat

Látható, hogy x = 100. x = 20 ∙ 5

hányados szorzat

Projektfeladat Az egyenlőség fogalmát nemcsak a matematika ismeri. Az emberi jogok nyilatkozata többször emlegeti az egyen-lőség fogalmát, mint a matematikusok. Mit tudsz róla?

Az x-ismeretlenes a ∙ x + b = c alakú egyenlőséget, ahol a, b és c valós számok, a ≠ 0,

x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük.Az elsőfokú egyenlet (megoldása) gyöke: az a tetszőleges x szám,

amelyre igaz az a ∙ x + b = c egyenlőség.

§

Az egyenletmegoldás egyes lépéseiben azonos (ekviva-lens) átalakításokat alkalmaztunk. Az azonos átalakítás megváltoztatja az egyenletet, de nem változtatja meg az egyenlet gyökét. A 3. feladatban ezt egy kicsit másképp is megmutatjuk.

3.3. Oldd meg az alábbi x-ismeretlenes egyenleteket:a) x – 12 = – 3 b) x + 8 = 1 c) 6 ∙ x = – 18 d)

a) x – 12 = – 3 / + 12 x – 12 + 12 = – 3 + 12 x = 9

A + 12 azonos átalakítás jelentése:Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot.

b) x + 8 = 1 / – 8 x + 8 – 8 = 1– 8 x = – 7

A – 8 azonos átalakítás jelentése:Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a tetszőleges számot.

c) 6 ∙ x = – 18 / : 6 (6 ∙ x) : 6 = – 18 : 6 x = – 3

A : 6 azonos átalakítás jelentése:Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal.Egy másfajta megoldás: 6 ∙ x = – 18 / : 6

x = – 3

d) / ∙ 7

· 7 = 9 · 7

x = 63

A ∙ 7 azonos átalakítás jelentése:Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyan-azzal a 0-tól különböző tetszőleges számmal.

3. 3. megoldás

A fenti egyenletek x ismeretlene kizárólag első hatványon szerepel. Azt az egyenletet, amelyben az ismeretlen nincs a nevezőben, gyökjel alatt, illetve abszolútértékjelek között, x-ismeretlenes elsőfokú egyenletnek nevezzük.

Segítség

Az a ∙ x + b kifejezést

x-változós elsőfokú

(lineáris) kifejezésnek

nevezzük.

68

4.4. Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést!

a) 4 ∙ x – 12 = 16 b)

6.6. Oldd meg az elsőfokú egyenleteket! Végezz ellenőrzést!

a) 5 ∙ x + 7 = – 3 + 15 b) 9 + 4 ∙ x – 3 = – 1 + 5

c) d) – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2

5.5. Számítsd ki az egyenlet gyökét, majd végezz ellenőrzést!

a) 3 ∙ x – 8 = 7 b) 7 ∙ x + 3 = – 18

c) d)

Meg tudnád-e oldani fejben is ezeket a feladatokat?

6. 6. megoldás

Az azonos átalakítások alkalmazása előtt rendezzük az egyenletet. (A kifejezéseket mindkét oldalon egyszerűbb alakra hozzuk.)a) 5 ∙ x + 7 = – 3 + 15 5 ∙ x + 7 = 12 / – 7 5 ∙ x = 5 / : 5 x = 1Ellenőrzés: B = 5 ∙ 1 + 7 = 5 + 7 = 12 B = JJ = – 3 + 15 = 12Az egyenlet gyöke: 1.


b) 9 + 4 ∙ x – 3 = – 1 + 5 4 ∙ x + 6 = 4 / – 6 4 ∙ x = – 2 / : 4 x = – 0,5

Ellenőrzés: B = 9 + 4 ∙ (– 0,5) – 3 = 9 – 2 – 3 = 4 B = JJ = – 1 + 5 = 4

Az egyenlet gyöke: – 0,5.

c)

A törteket közös nevezőre hozzuk. A közös nevező 6.

A megoldásnak többféle módja van.Íme, egy további mód:

Néhány sor után a megoldás menete megegyezik.

Ellenőrzés:

B =

J =

Az egyenlet gyöke: .

4. 4. megoldás

a) 4 ∙ x – 12 = 16 / + 12

4 ∙ x = 28 / : 4 x = 7

Elvégezzük az ellenőrzést. Az x ismeretlenbe behelyet-tesítjük a 7-et:B = 4 ∙ 7 – 12 = 28 – 12 = 16 J = 16 B = J

A 4 ∙ x – 12 = 16 egyenlet gyöke 7.

b)

Elvégezzük az ellenőrzést. Az x ismeretlenbe behelyet-tesítjük a –8-at:

B =

J = – 5 B = J

A egyenlet gyöke –8.

Segítség

A kifejezésekben és az egyenletekben

az alábbi írásmóddal is találkozhatunk:

5 ∙ x = 5x

– 3 ∙ x = – 3x

folytatás

B = J

69


d) – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2 – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1,2 / + 3,2 0,6 ∙ x = 2 / : 0,6

Ellenőrzés:

B =

B = J

J = – 1 – 0,2 = – 1,2


Segítség

A tizedestörteket olykor törtszám vagy

vegyes szám alakjában is írjuk.

Idézzük fel ezt az írásmódot!

A 0,7-et így olvassuk: nulla egész hét tized.

Az 1,02-ot így olvassuk: egy egész két század.

Segítség

Sokan közületek már ismerhetik és

alkalmazták is ezt az írásmódot:

2 · (x + 3) = 1 – 4x

2x + 6 = 1 – 4x

2x + 4x = 1 – 6

6x = – 5

Különböző megoldási módokat lát-

hattunk, amelyekkel ugyanazokat

a gyököket kaptuk.

Eddig csak olyan egyenletekkel foglalkoztunk, amelyek jobb oldalán csak számok vagy számkifejezések voltak.Most olyan egyenletekkel folytatjuk, amelyek jobb oldalán is változót tartalmazó kifejezés áll.

7.7. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést!

a) 6 ∙ x + 3 = – 14 + 5

b) 2,5 + 2 ∙ x – 0,5 = 2 – 3,5

c) 4,2 – 0,5 ∙ x = – 7,5 – 0,2

d)

8.8. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést!a) 2 · (x + 3) = 1 – 4xb) 5x – 4 = 3 · (x – 1)c) – 3 · (0,2x + 1) = 2 – (1,6x + 1)d) 5 · (1,2 + x) – 4 · (0,5x – 1) = 0

8. 8. megoldás

Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd – szükség szerint –rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azonos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét.

a) 2 · (x + 3) = 1 – 4x

2x + 6 = 1 – 4x / – 6

2x = – 5 – 4x / + 4x

6x = – 5 / : 6

Ellenőrzés:

B =

J =


B = J

folytatás

Tudod-e…?A számjegyeknek, számoknak és mértani formáknak különféle jelké-pes értelmet szokás tulajdonítani. Clare Gibson: Abeceda symbolov (Szimbólumábécé) (Slovart, s. r. o., Bratislava, 2009) című könyve alap-ján csillagunkhoz, a Naphoz az 1-es szám kapcsolható.

Az egyenletet bővítéssel úgy is átalakíthatjuk, hogy először eltávolítjuk a tizedestörteket, vagyis az egyen-let mindkét oldalát szorozzuk 10-zel: – 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1 – 0,2

– 3,2 + 0,6 ∙ x = – 1,2 / ∙ 10 – 32 + 6 ∙ x = – 12 / + 32 6 ∙ x = 20 / : 6

MegjegyzésAz előző feladatokban ellenőrzéssel győződtünk meg az egyenletek megoldásának helyességéről. Ha a megoldás során kizárólag azonos átalakításokat alkalmaztunk, akkor nincs szükség ellenőrzésre. (Az azonos átalakítások nem változtatják meg az egyenlet gyökét.)

70

9.9. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést!

a) 7 · (x – 2) = – 4 – 3xb) 6x – 5 = 4 · (x – 1)c) – 2 · (1,5x + 1) = 1 – (x + 1)d) 0,5 · (3 + x) – 0,2 · (0,5x – 5) = 0

11.*11.* Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést!

a) 2x · (3 – x) + 5 = x · (1 – 2x)b) (x + 2) · (x + 1) = x · (x – 7)c) (x – 5) · (x + 5) = (x – 10) · xd) (1 – x) · (1 + x) = (4 – x) · x

10.10. Oldd meg az egyenletet! Végezz ellenőrzést!a) 5x · (1 – x) – 3 = x · (2 – 5x) b)* (x – 1) · (x + 3) = x · (2 + x)


b) 5x – 4 = 3 · (x – 1)

5x – 4 = 3x – 3 / + 4

5x = 3x + 1 / – 3x

2x = 1 / : 2 x = 0,5Ellenőrzés:B = 5 · 0,5 – 4 = 2,5 – 4 = – 1,5J = 3 · (0,5 – 1) = 3 · (– 0,5) = – 1,5

Az egyenlet gyöke: 0,5.

c) – 3 · (0,2x + 1) = 2 – (1,6x + 1) – 0,6x – 3 = 2 – 1,6x – 1 / + 3 – 0,6x = – 1,6x + 4 /+ 1,6x 1x = 4 x = 4Ellenőrzés:B = – 3 · (0,2 · 4 + 1) = = – 3 · (0,8 + 1) = = – 3 · 1,8 = – 5,4J = 2 – (1,6 · 4 + 1) = = 2 – (6,4 + 1) = = 2 – 7,4 = – 5,4

Az egyenlet gyöke: 4.

d) 5 · (1,2 + x) – 4 · (0,5x – 1) = 0 6 + 5x – 2x + 4 = 0 3x + 10 = 0 /– 10 3x = – 10 / : 3

Ellenőrzés:

B

J = 0


10. 10. megoldás

Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd – szükség sze-rint – rendezzük az egyenlet mindkét oldalát. Végül azo-nos átalakításokkal kiszámítjuk az ismeretlen értékét.

a) 5x · (1 – x) – 3 = x · (2 – 5x) 5x – 5x2 – 3 = 2x – 5x2 / + 5x2

5x – 3 = 2x / + 3 5x = 2x + 3 / – 2x 3x = 3 / : 3 x = 1Ellenőrzés:B = 5 · 1 · (1 – 1) – 3 = 5 · 0 – 3 = 0 – 3 = – 3J = 1 · (2 – 5 · 1) = 1 · (2 – 5) = 1 · (– 3) = – 3

Az egyenlet gyöke 1.

b)* (x – 1) · (x + 3) = x · (2 + x) x2 + 3x – x – 3 = 2x + x2

x2 + 2x – 3 = 2x + x2 / – x2

2x – 3 = 2x / + 3 2x = 2x + 3 / – 2x 0 ≠ 3

Az egyenlet rendezése során egy egyenlőtlenséget (0 ≠ 3) kaptunk, ezért az egyenletnek nincs megoldása – nincs gyöke.

Segítség

Ne felejtsd el, hogy:

1 ∙ x = x

(– 1) ∙ x = – x

MegjegyzésTörtekkel néha nehézkes a számolás, és az ellenőrzést sok esetben nehezebb elvégezni, mint az egyenletet megolda-ni. A törtekkel sokan sokféleképpen számolnak. Te is azt a módszert válaszd, amely a leginkább megfelel neked!

B = J

B = J

B = J

B = J Tudod-e…?A ószlávok ugyanúgy, mint a rómaiak, a számok leírásához betűket használtak. Nem nagyokat, mint a rómaiak, hanem kis betűket.

1 az 6 zeló2 védi 7 zemlja3 glagóľ 8 íže4 dobró 9 fitá5 esľ

A 10 000 olyan nagynak tűnt, hogy tma (=sötétség) lett a neve.

71

12.12. Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellen-őrzést!

a)

b)*

c)* (x – 1)

14.14. Az u ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két kifejezés egyenlő?

12. 12. megoldás

Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd – szük-ség szerint – rendezzük mindkét oldalt. Végül az azonos átalakítások segítségével kiszámítjuk az egyenlet gyökét.

Ellenőrzés:

B =

J =

Az egyenlet gyöke: – 4.

Ellenőrzés:

B

J

Az egyenlet gyöke: – 6.


0 = 0

A megoldás során egy igaz egyenlőséget (0 = 0) kap-tunk. Ez azt jelenti, hogy az egyenletnek bármely szám megoldása lehet, vagyis az egyenletnek végtelen sok megoldása van.

MegjegyzésEzt a következtetést már korábban is levonhattuk volna:

x – 1 = x – 1 x = x

14. 14. megoldás

Ha a két kifejezést egyenlővé tesszük, akkor az alábbi egyenletet kapjuk:

A két kifejezés akkor egyenlő, ha .

A megoldás helyességét úgy ellenőrizzük, hogy megál-lapítjuk, vajon ugyanazt az eredményt kapjuk-e, ha az

értéket mindkét kifejezésbe behelyettesítjük.

13.13. Számítsd ki az egyenlet gyökét, és végezz ellen-őrzést!

a) d)*

b) e)*

c) f)*

B = J

B = J

A közös nevező: 4.


folytatás

– (5x + 15) = – 5x – 15

72

16.16. Az y milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0?

18.18. A felsorolt számok közül melyik a 2 · (x + 5) = x – 4 egyenlet megoldása?

A – 5 B 1 C – 14 D – 9

16. 16. megoldás

A kifejezést 0-val egyenlővé téve ismét egyenletet ka-punk.a)

A kifejezés akkor egyenlő nullával, ha y = – 2.Az ellenőrzést végezd el önállóan!

18. 18. megoldás

Ilyen feladatok megoldásakor gyakran alkalmazzuk a tip-pelést (becslést). Válasszuk a D esetet, amikor az egyenlet gyöke – 9!A – 9-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába:B = 2 · (x + 5) = 2 · (– 9 + 5) = 2 · (– 4) = – 8J = x – 4 = – 9 – 4 = – 13

Mivel – 8 ≠ – 13, azaz B ≠ J, a – 9 (D) nem gyöke az egyenletnek.Válasszuk a C esetet, tehát tekintsük a – 14-et az egyen-let gyökének!A – 14-et behelyettesítjük az egyenlet bal oldalába, majd a jobb oldalába:B = 2 · (x + 5 ) = 2 · (– 14 + 5) = 2 · (– 9) = – 18J = x – 4 = – 14 – 4 = – 18

Mivel B = J, a – 14 az egyenlet megoldása, a C válasz a helyes.


A kifejezés akkor egyenlő, ha y = – 0,2.

Az ellenőrzést végezd el önállóan!


A két kifejezés akkor egyenlő, ha u = – 1.


Megjegyzés

A 3,5 · (2y + 4) = 0 egyenlet megoldásakor a következő té-telből is kiindulhattunk volna: Egy szorzat akkor egyen-lő nullával, ha legalább az egyik tényezője nulla. Mivel 3,5 ≠ 0, elég lett volna az alábbi egyenletet megoldani:

2y + 4 = 0 y = – 2

15.15. A w ismeretlen milyen értéke mellett lesz a két adott kifejezés egyenlő?

17.17. Az m milyen értéke mellett lesz a kifejezés értéke 0?

Gondolkodtató feladat a) A p milyen értéke mellett nem lesz a

(2p – 1) · x + 4 = 12 x-változós egyenletnek megoldása?

b) A q milyen értéke mellett lesz a q · x – 1 = 2· x – 2 + 1

x-változós egyenletnek végtelen sok megoldása?

B = J


73

Tudáspróba


1. Az egyenlet megoldása:

A 8 B 2 C 4 D – 8

2. A egyenlet megoldása:

A 0,5 B – 0,5 C 0,2 D – 0,2

3. A 2 · (x – 3) – 1 = x – 2 egyenlet megoldása:

A 3 B 2 C 5 D 4

4. A 3x – 4 · (x + 1) = 1 – 6x egyenlet megoldása:

A 1 B 5 C 0 D 2


A 11 B 4 C – 4 D 10


A 3 B 1,2 C 4,5 D 2

7. Az alábbi számok közül melyik megoldása az egyenletnek?

A 10 B 15 C 16 D 14

8. Az alábbi számok közül melyik megoldása az egyenletnek?

A 8 B 12 C 7,5 D 6

9. A 0,3 · (b – 2,5), kifejezések akkor egyenlők, ha b értéke:

A 2,5 B 1 C – 0,25 D 2,75

10. Az 1,16 · p + 0,08 – 0,16 · (p – 2) kifejezés akkor egyenlő 0-val, ha p értéke:

A 0,40 B 4 C – 4 D – 0,40

11.* Az alábbi egyenletek közül melyiknek a gyöke egyezik meg az egyenlet gyökével?

A

B C

D

12. A egyenlet gyöke:

A 2-nél kisebb B 2-nél nagyobb C 5-nél nagyobb D negatív szám

13. Az alábbi egyenletek közül melyiknek nagyobb a gyöke 10-nél?

A B C D

14. Az alábbi egyenletek közül melyiknek nincs megoldása?

A B C D

74

Az a ∙ x + b = c egyenletet elsőfokú, x-ismeretlenes egyenletnek nevezzük, ahol a, b és c valós számok.

Ha a ≠ 0, az elsőfokú egyenlet gyöke (megoldása) egy olyan tetszőleges x szám, amelyre a ∙ x + b = c.Ha a = 0, c = 0 és b ≠ 0, akkor az a . x + b = c egyenletnek nincs megoldása.Ha a = 0, b = 0 és c = 0 akkor az a . x + b = c egyenletnek végtelen sok megoldása van.

Az egyenletek azonos átalakításai:

Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.

Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.

Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a – nullától különböző – számmal.

Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a – nullától különböző – számmal.

Jegyezd meg!

75

3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek

Idézzük fel!1.1. Rendezd növekvő sorrendbe az alábbi kifejezé-

sek értékeit!

Szinte naponta összehasonlítunk valamit valamivel.Magasabb vagyok, mint…Ez nehezebb vagy könnyebb?Többe kerül vagy kevesebbe?Ez hosszabb, mint…A matematikában az összehasonlítást az egyenlőtlenségjelek és az egyenlőségjel segítségével végezzük el.

> > >

Segítség

Egyenlőtlenségjelek, egyenlőségjel

Jel Így olvassuk

> nagyobb

< kisebb

≥ nagyobb vagy egyenlő

≤ kisebb vagy egyenlő

≠ nem egyenlő

=egyenlő

Gondolkodtató feladat Keress a matematikán kívül olyan tantárgyakat, amelyek-ben szükség van az egyenlőtlenségjelek alkalmazására!

1. 1. megoldás

Így számolunk, … de számolhatunk így is:

A legkisebb érték A legnagyobb érték

– 7 < – 5 < – 4 < 7

A rendezéshez (az értékek sorba állításához) olykor számegyenest használunk.

– 7 – 5 – 4 0 7

Tudod-e…?Utazáskor is gyakran összehasonlítgatunk:

leggyorsabb vonat • ↔ legrövidebb időlegnagyobb távolság • ↔ legolcsóbb közlekedésleghosszabb autópálya • ↔ legmagasabb autópályadíjAz világ leggyorsabb vonata Kínában közlekedik. Rövidítése CRH2. Vonattípus-•

tól függően 250–350 km/h sebességet ér el. A THSR vonat óránként 335 km-t megtéve száguld Tajvan nyugati partvidékén. 2007-től Kaoshiung és Taipei között közlekedik.Gyorsvonatok közlekednek Kóreában is. A Korean Train eXpress sebessége az óránkénti 350 km-t is eléri.

76

2.2. Hasonlítsd össze a (– 5)3 és a (– 4)2 hatványokat a <, >, = jelek segítségével!

4.4. Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőség- vagy egyenlőtlenségjelet!

a) 5 · (– 2 + 1) � 5 · (– 2) + 1

b) 2,5 : 0,5 – 0,5 � (2,5 – 0,5) : 0,5

c) 1 – (– 1)4 � 1 + (– 1)3

d) �

2. 2. megoldás

Így számolunk:Megállapítjuk, hogy a hatvány értéke pozitív-e vagy ne-gatív, és ez alapján döntjük el, hogy melyik a nagyobb érték. A kitevő páratlan szám. (– 5)3 A hatványalap negatív szám.

A (– 5)3 hatvány értéke negatív szám.

A kitevő páros szám.(– 4)2 A hatványalap negatív szám.

A (– 4)2 hatvány értéke pozitív szám.

Bármely pozitív szám nagyobb egy negatív számnál,ezért (– 5)3 < (– 4)2.

Így is számolhatunk:A hatvány értékét szorzással számítjuk ki, majd összeha-sonlítjuk a szorzatokat.

(– 5)3 = (– 5) ∙ (– 5) ∙ (– 5) = – 125

(– 4)2 = (– 4) ∙ (– 4) = 16

– 125 < 16

Tehát (– 5)3 < (– 4)2.

3.3. Hasonlítsd össze az alábbi kifejezéseket a <, >, = jelek segítségével!

a) 7 . (– 3 + 1) és 7 . (– 3 ) + 1b) 0,25 + 0,32 : 0,8 és (0,25 + 0,32) : 0,8

c) és

e) és 2,75

d) és f) és

5.5. Írd a négyzetek helyébe a megfelelő egyenlőség- vagy egyenlőtlenségjelet!

a) – 1 · (3 – 5) � (– 1) · (– 5) + 3

b) 0,36 · 10 – 0,25 · 10 � 10 · (0,36 – 0,25)

c) d)

4. 4. megoldás

A feladatot úgy oldjuk meg, hogy először kiszámítjuk a kifejezések értékét, és ezeket összehasonlítjuk.a) 5 · (– 2 + 1) � 5 · (– 2) + 1

B = 5 · (– 2 + 1) = 5 · (– 1) = – 5 J = 5 · (– 2) + 1 = – 10 + 1 = – 9

Tehát: 5 · (– 2 + 1) > 5 · (– 2) + 1.

b) 2,5 : 0,5 – 0,5 � (2,5 – 0,5) : 0,5 B = 2,5 : 0,5 – 0,5 = 5 – 0,5 = 4,5 J = (2,5 – 0,5) : 0,5 = 2 : 0,5 = 4

Tehát: 2,5 : 0,5 – 0,5 > (2,5 – 0,5) : 0,5c) 1 – (– 1)4 � 1 + (– 1)3

B = 1 – (– 1)4 = 1 – 1 = 0 J = 1 + (– 1)3 = 1 – 1 = 0

Tehát: 1 – (– 1)4 = 1 + (– 1)3.


d) �

B =

J =

Tehát: .

– 5 > – 9

0 = 0

– 4,2 = – 4,2

4,5 > 4

77

6.6. Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség?

5 · 3 + � < 30 – 8

8.8. Milyena) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 4 < 10 egyenlőtlenség?

b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x – 3 > – 7 egyenlőtlenség?

c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 2 ∙ x < 10 egyenlőtlenség?

d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > – 1 egyenlőtlenség?Oldd meg számegyenessel!

6. 6. megoldás

Így számolunk:Kiszámítjuk az 5 ∙ 3 = 15 és a 30 – 8 = 22 értékeket,amiből a 15 + � < 22egyenlőtlenséget kapjuk,majd olyan számot keresünk (többnyire találgatással, becsléssel), amelyet a négyzet helyébe írva, 22-nél kisebb értéket kapunk.A keresett számnak pozitívnak kell lennie.A 6 eleget tesz a feltételeknek, hiszen 15 + 6 = 21 21 < 22A 6 beírható a négyzetbe.Így az 5, 4, 3, 2, 1 számok is a feladat megoldásai.A megoldás helyességéről fejszámolással győződünk meg.A 7-et behelyettesítve láthatjuk, hogy erre az értékre nem teljesül az egyenlőtlenség

Így is számolhatunk:A négyzet helyébe x-et írunk. 5 ∙ 3 + x < 30 – 8

Az egyenlőtlenség bal oldalán elvégezzük a szorzást, jobb oldalán pedig a kivonást: 15 + x < 22

Az egyenlőtlenséget az ellentett műveletek alkalmazá-sával oldjuk meg. 15 + x < 22 x < 22 – 15 x < 7

Föltesszük a kérdést: Melyek azok a pozitív egész szá-mok, amelyek kisebbek, mint 7?A 7-nél kisebb pozitív számok: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Az ellenőrzést például az x = 1 értékre végezzük el.B = 5 ∙ 3 + 1 = 15 + 1 = 16 J = 30 – 8 = 22

B < J

Ha a négyzet helyébe 1-et, 2-t, 3-at, 4-et, 5-öt vagy 6-ot írunk, akkor igaz egyenlőtlenséget kapunk.Mi a különbség a két levezetés közt?

7.7. Mely pozitív egész számokat helyettesítheted a négyzet helyébe, hogy igaz legyen az egyenlőtlenség?

a) 4 ∙ 3 + � < 42 – 8 b) � – 18 : 3 > – 5 + 6 c) � + 2 ∙ (– 3) < – 1 – 3 d) � – 12 : 4 > 6 – 1

8. 8. megoldás

a) x + 4 < 10 x < 10 – 4 x < 6 6-nál kisebb pozitív egész számokat keresünk.

Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4, 5 számok adják a megoldást.

6-nál kisebb pozitív egész számok.

b) x – 3 > – 7 x > – 7 + 3 x > – 4 –4-nél nagyobb negatív egész számokat keresünk.

Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy a –1, –2, –3 számok adják a megoldást

–4-nél nagyobb negatív egész számok.

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

folytatás

78

9.9. Milyena) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x + 12 < 15 egyenlőtlenség?

b) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az x – 8 > – 10 egyenlőtlenség?

c) pozitív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az 4 ∙ x < 20 egyenlőtlenség?

d) negatív egész számokat helyettesíthetsz az x helyébe, hogy igaz legyen az > – 2 egyenlőtlenség?


c) 2 ∙ x < 10 x < 10 : 2 x < 5 5-nél kisebb pozitív egész számokat keresünk.

Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az 1, 2, 3, 4 számok adják a megoldást.

5-nél kisebb pozitív egész számok.d) x

6 > – 1

x > – 1 ∙ 6 x > – 6 – 6-nál nagyobb negatív egész számokat keresünk.

Számegyenes nélkül is tudjuk, hogy az – 5, – 4, – 3, – 2, – 1 számok adják a megoldást.

– 6-nál nagyobb negatív egész számok.

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Az a · x + b > c a ∙ x + b < c a ∙ x + b ≥ c a ∙ x + b ≤ c alakú egyenlőtlenséget,

ahol a, b, c valós számok, a ≠ 0,elsőfokú x-ismeretlenes egyenlőtlenségnek nevezzük.

Az elsőfokú egyenlőtlenség megoldáshalmazának elemeit az egyenlőtlenség gyökeinek nevezzük.

§

Az elsőfokú egyenlőtlenségeket is – néhány kivételtől eltekintve – ugyanazokkal az azonos átalakításokkal oldjuk meg, mint az elsőfokú egyenleteket.Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.Az egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.Az egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kife-jezéssel. Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a nullától különböző számmal vagy algebrai kifejezéssel.Foglaljuk össze! Eddig így írtuk: Ezentúl így fogjuk írni: x + 3 < – 2 x + 3 < – 2 / – 3 x < – 2 – 3 x < – 5 x < – 5

x – 8 > – 10 x – 8 > – 10 / + 8 x > – 10 + 8 x > – 2 x > – 2

4 ∙ x < 20 4 ∙ x < 20 / : 4 x < 20 : 4 x < 5 x < 5

x5

> – 2 x5

> – 2 / ∙ 5

x > – 2 ∙ 5 x > – 10 x > – 10

MegjegyzésHogy mi történik az egyen-lőtlenséggel, ha mindkét oldalát negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk, arról később lesz szó.

79

10.10. Oldd meg az alábbi x-változós egyenlőtlenségeket azonos átalakítások segítségével a valós számok tartomá-nyában.

a) 2 · x + 4 < 8 b) 3 · x – 2 > x + 4 c) d)

10. 10. megoldás

x < 2

A megoldás minden olyan valós szám, amely eleget tesz az x < 2 egyenlőtlenségnek.A számegyenesen a 2-nél kisebb számok halmazát kell kijelölnünk. Mivel végtelen sok valós szám van, ezért a meg-oldás a számegyenes egy része, amelyet a számegyenesen a 2-től balra jelölünk ki, tehát a kijelölt rész a 2-nél kisebb

számokat fogja tartalmazni, pl.: ...

A 2-eshez üres karika kerül, mert a 2 nincs benne a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes 2-nél kisebb valós szám.

Az egyenlőtlenség megoldásának helyességéről úgy győződünk meg, hogy a megoldáshalmaz néhány elemét behe-lyettesítjük az eredeti egyenlőtlenség mindkét oldalába, majd a kapott eredményeket összehasonlítjuk.

Az ellenőrzéshez olyan számokat választunk a megoldáshalmazból, amellyekkel könnyű lesz számolni.Válasszuk a 0-t!B = 2 · 0 + 4 = 0 + 4 = 4J = 8 Mivel 4 < 8, ezért B < J.

Válasszuk a – 2-t!B = 2 · (– 2) + 4 = – 4 + 4 = 0J = 8Mivel 0 < 8, ezért B < J.

x > 3

A számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb számok halmazát.A 3-nál nagyobb számok a számegyenesen a 3-tól jobbra helyezkednek el.

Ilyenek pl.: ... A 3-ashoz üres karika kerül, mert a 3 nincs benne a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes 3-nál nagyobb valós szám.

Az ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, amellyel egyszerű lesz a számítás, pl. a 4-et.

B = 3 · 4 – 2 = 12 – 2 = 10J = 4 + 4 = 8Mivel 10 > 8, ezért B > J.

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

folytatás

A megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. az 5, 8, 10 behelyettesítésével!

80

x < – 4

A számegyenesen kijelöljük a – 4-nél kisebb számok halmazát.A – 4-nél kisebb számok a számegyenesen a – 4-től balra helyezkednek el. Ilyenek pl.: ...A – 4-hez üres karika kerül, mert a – 4 nincs benne a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes – 4-nél kisebb valós szám.

Az ellenőrzéshez kiválasztunk a megoldáshalmazból egy alkalmas számot, pl. a – 6-ot.

B =

J = 1

Mivel 0 < 1, ezért B < J.

x > – 5

A számegyenesen kijelöljük a – 5-nél nagyobb számok halmazát.A – 5-nél nagyobb számok a számegyenesen a – 5-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.: ...A –5-höz üres karika kerül, mert a –5 nincs benne a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes – 5-nél nagyobb valós szám.

Az ellenőrzéshez legmegfelelőbb, ha a 0-t választjuk.

B = – 1 = 0 – 1 = –1

J = – 2

Mivel – 1 > – 2, ezért B < J.

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

11.11. Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyen-lőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!

a) 5 · x + 1 < 11 b) 7 · x – 10 > 3 · x + 2 c) d)

Tudod-e…?… hogy a nagyobb > kisebb < jeleket szigorú egyenlőtlenségjeleknek nevezzük?Ha az egyenlőtlenség ilyen jeleket tartalmaz, akkor szigorú egyenlőtlenségnek nevezzük.

Projektfeladat Olykor az „útirány” kijelölésére is egyenlőtlenségjeleket használunk. Keress az interneten egyenlőtlenségjeleket tartalmazó alkalmazásokat!


A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a –8, –10, –20 behelyettesítésével!

A megoldás helyességéről győződj meg további számok, pl. a –4, 5, 25 behelyet-tesítésével!

81

12.12. Oldd meg a valós számok tartományában azonos átalakítások segítségével az alábbi x-ismeretlenes egyen-lőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!

a) b)

12. 12. megoldás

A számegyenesen kijelöljük a 4-nél kisebb vagy a 4-gyel egyenlő számok halmazát.A 4-nél kisebb számok a számegyenesen a 4-től balra helyezkednek el.

Ilyenek pl.: ...

A 4-eshez teli karika kerül, mert a 4 is benne van a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes 4-nél kisebb vagy 4-gyel egyenlő valós szám.

Az ellenőrzéshez két számot választunk:az egyik a 4 (ennél egyenlőséget kell kapnunk),a másik a 3 (a 4-nél kisebbbb számok halmazának legnagyobb eleme).

B (4) = 2 · 4 – 3 = 8 – 3 = 5 J (4) = 4 + 1 = 5

Mivel 5 = 5, azaz B(4) = J(4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.

B (3) = 2 · 3 – 3 = 6 – 3 = 3 J (3) = 3 + 1 = 4

Mivel 3 < 4, azaz B(3) < J(4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.

A számegyenesen kijelöljük a – 1-nél nagyobb vagy a – 1-gyel egyenlő számok halmazát.A – 1-nél nagyobb számok a számegyenesen a – 1-től jobbra helyezkednek el. Ilyenek pl.: ; ...A –1-hez teli karika kerül, mert a –1 is benne van a megoldáshalmazban.

Az egyenlőtlenség megoldása az összes –1-nél nagyobb vagy –1-gyel egyenlő valós szám.

AAz ellenőrzéshez két számot választunk: az egyik a –1 (ennél egyenlőséget kell kapnunk),a másik a 0 (a –1-nél nagyobb számok halmazának legkisebb eleme).

B (– 1) = J (– 1) = – 0,6

Mivel – 0,6 = – 0,6, azaz B( –1) = J( –1), ami megfelel a B ≥ J feltételnek.

B (0) =

J (0) = – 0,6

Mivel – 0,2 > – 0,6, azaz B(0) > J(0), ami megfelel a B ≥ J feltételnek.

Segítség

Az elsőfokú egyenlőtlensé-

geknél is alkalmazni fogjuk

a rövidebb írásmódot:

– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 – 1 0 1 2 3 4 5 6 7

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7

A megoldás helyességéről győződj meg

további három szám, pl. a 0, , –1 be-

helyettesítésével!

A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z 1,

5, 10 be-

helyettesítésével!

82

14.14. Oldd meg azonos átalakítások segítségével a valós számok tartományában az alábbi egyenlőtlenségeket! A megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen is!

14. 14. megoldás

Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük.a) 2 · (1 – x) ≤ 7 – x 2 – 2x ≤ 7 – x /– 2 – 2x ≤ 5 – x / + x –x ≤ 5 / . (– 1) x ≥ – 5 Negatív számmal való szorzás után az egyenlőtlenségjelet megfordítottuk.Miért? Figyeld meg az egyenlőtlenség megoldását más módszerrel: 2 · (1 – x) ≤ 7 – x 2 – 2x ≤ 7 – x / +2x 2 ≤ 7 + x / – 7 – 5 ≤ xMi lesz az x ≥ – 5 és mi a – 5 ≤ x egyenlőtlenségek megoldása? Mindkét esetben arra a kérdésre kell felelnünk, hogy melyek azok a számok, amelyek kisebbek – 5-nél vagy egyenlők – 5-tel? Tehát ennek a két egyenlőtlen-ségnek ugyanaz a megoldása. A számegyenesen ezért azokat a számokat jelöljük ki, amelyek nagyobbak – 5-nél vagy egyenlők – 5-tel.

Az egyenlőtlenség megoldása minden – 5-nél nagyobb vagy – 5-tel egyenlő valós szám.Az ellenőrzéshez kiválasztunk két számot:a – 5-öt (ekkor egyenlőséget kapunk),és a – 4 -et (ez a megoldáshalmaz – 5-nél nagyobb elemei közül a legkisebb egész szám).

B(– 5) = J(– 5) =

Mivel 12 = 12, azaz B(– 5) = J(– 5), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.

B(– 4) = J(– 4) =

Mivel 10 < 11, azaz B(– 4) < J(– 4), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.

b) – 3 · (2x + 4) > – 8 – (x – 1) – 6x – 12 > – 8 –x + 1 – 6x – 12 > –x – 7 /+ 12 – 6x > –x + 5 /+ x – 5x > + 5 / : (– 5) x < – 1

A számegyenesen szemléltetjük a – 1-nél kisebb számokat.

A megoldás: minden – 1-nél kisebb valós szám.Az ellenőrzéshez pl. a – 2-t választjuk, mert ez a megoldáshalmazban található egész számokból a legnagyobb.

B =

J = Mivel 0 > – 5, ezért B > J.

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7


a) 4x – 2 ≤ 3x – 5 b) 9x + 0,3 ≥ 2x + 7,3 c) d)

SegítségElevenítsük fel!

– 2x + x = – 2x + 1x = – 1x = –x

– 2 + 1 = – 1

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát elosztjuk egy ne-gatív számmal, akkor az egyenlőtlenségjel megfordul.

A megoldás helyességéről győződj meg további három szám, pl. a z – 1,

0, 1 behelyettesítésével!

83



a) b)

c) d)

16. 16. megoldás

Először közös nevezőre hozzuk a törteket, majd rendezzük az egyenlőtlenség mindkét oldalát, végül azonos átalakítások segítségével megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük.

A számegyenesen kijelöljük az -nál nagyobb vagy az -dal egyenlő számok halmazát.

Az egyenlőtlenség megoldása minden olyan valós szám, amely nagyobb -nál vagy egyenlő -dal.

Az ellenőrzéshez kiválasztunk két számot:

az -ot (ekkor egyenlőséget kapunk),

és az 1-et (ez a megoldáshalmaz egész értékei közt a legkisebb).

B =

J =

Mivel , azaz B = J , ami megfelel a B ≥ J feltételnek.

B(1)

J(1)

Mivel , azaz B(1) < J(1), ami megfelel a B ≤ J feltételnek.

A közös nevező 8. Megjegyzés

A törtekkel másképp is dolgozhatunk. Ezt az egyenlőtlenséget így is megoldhatjuk:

/ ∙ 8 közös nevező

Ettől a lépéstől kezdve a két levezetés meg-egyezik.

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7

folytatás

A megoldás helyességéről győződj meg további há-rom szám behelyettesítésével! A számokat a megol-dáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen.

84

18.*18.* a) Az a-nak milyen negatív egész értékei mellett lesz a kifejezés értéke 7-nél nagyobb?

b) A b-nek milyen pozitív egész értékei mellett lesz az kifejezés értéke 7-nél kisebb?


a)* b)* c)** d)**


x > 3

A számegyenesen kijelöljük a 3-nál nagyobb vagy a 3-mal egyenlő számok halmazát.Mivel a 3 nem megoldása az egyenlőtlenségnek, a 3-hoz üres karika kerül.

Az egyenlőtlenség megoldása minden 3-nál nagyobb valós szám. Ellenőrzésképpen behelyettesítjük a 4-et, a legkisebb egész értéket a megoldáshalmazból.

B

J

Mivel , ezért B < J.


/ : (– 3)

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7

18. 18. megoldás

a) Ha a kifejezés értékének 7-nél nagyobbnak kell lennie, akkor tulajdonképpen a egyenlőtlen- séget kell megoldanunk. A bal oldalon eltávolítjuk a zárójelet.

4 · (a + 5) – 3a > 7

4a + 20 – 3a > 7 a + 20 > 7 / – 20 a > – 13

Az a-nak – 13-nál nagyobb negatív egész számnak kell lennie, tehát a megoldáshalmazt a következő számok al-kotják: – 12, – 11, – 10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1.

Vagyis a kifejezés értéke akkor lesz nagyobb 7-nél a negatív egész számok tartományában, ha az a értéke: – 12, – 11, – 10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1.

A megoldás helyességéről önállóan kell meggyőződnöd.

Segítség

A vegyes számot így írhatjuk

fel törttel:

folytatás

Ha a tört előtt mínusz van, a számláló minden tagjának megváltozik az előjele.(Lásd a kifejezésekről szóló fejezetet!)

Negatív számmal osztottunk, ezért az egyenlőtlenségjel megfordul.

A megoldás helyességéről győződj meg további há-rom szám behelyettesítésével! A számokat a megol-dáshalmazból válasszátok ki tetszőlegesen.

85


b) Ha a kifejezés értékének 7-nél kisebbnek kell lennie, akkor tulajdonképpen az egyenlőtlenséget kell megoldanunk.

Mivel a b-nek 3,4-nél kisebb pozitív egész számnak kell lennie, az 1, 2, 3 számok alkotják a megoldáshalmazt.

Vagyis a kifejezésnek akkor lesz 7-nél kisebb az értéke, ha a b értéke 1, 2 vagy 3.

A megoldás helyességéről győződj meg önállóan!

19.19. a) A b mely pozitív egész értékeire lesz az kifejezés értéke nagyobb 6-nál?

b) A b mely pozitív egész értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 1-nél?

c) A c mely negatív egész értékeire lesz a kifejezés értéke nagyobb 6-nál?

d) A c mely negatív egész értékeire lesz az kifejezés értéke kisebb 1-nél?

20.20. a) Az y mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál?

b) A z mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál?

c) Az m mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál?

d) Az n mely értékeire lesz a kifejezés értéke kisebb 0-nál?

21.21. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a egyenlőtlenség megoldásai?

A – 14, – 15, – 16 B – 3, – 4, – 14 C – 9, – 11, – 14 D – 9, – 8, – 7

21. 21. megoldás

Ezt a feladatot megoldhatjuk becsléssel vagy próbálgatással – kísérletezéssel, de megoldhatjuk az egyenlőtlenséget az azonos átalakítások alkalmazásával is. Az alábbiakban a próbálgatást választjuk.Három esetben is előfordul a –14, válasszuk ki ezek közül az egyiket! Ha a –14 nem lesz a kiválasztott egyen-lőtlenség megoldáshalmazának eleme, akkor sem az A, sem a B, sem a C esetben felsorolt számok nem lehetnek a megoldáshalmaz elemei. Ebben az esetben a D lenne a megoldás. Feltételezzük, hogy a –14, –15, –16 számok mindegyike eleme az egyenlőtlenség megoldáshalmazának – ez az A eset.

Mivel – 18 = – 18, a – 14 megoldása az egyenlőtlenségnek.

Az egyenlőtlenség igaz, a –15 is megoldása az egyenlőtlenségnek.

Az egyenlőtlenség igaz, a –16 is megoldása az egyenlőtlenségnek.Az A esetben felsorolt számok mindegyike megoldása az adott egyenlőtlenségnek.

0 1 2 3 4

86

23. 23. megoldás

Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget, és a megoldáshalmazt számegyenesen szemléltetjük.

0 < 29

A egyenlőtlenség azonos átalakításaival egy igaz egyenlőtlenséget (0 < 29) kaptunk. Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenség megoldása az összes valós szám.

Számegyenesen szemléltetve:


0 ≤ – 5

Az rendezése során egy hamis egyenlőtlenséget (0 ≤ – 5) kaptunk.

Ezért kijelenthetjük, hogy az egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

25. 25. megoldás

Először eltávolítjuk a zárójeleket, majd rendezzük az egyenlőtlenség bal és jobb oldalát. Végül azonos átalakítások alkalmazásával megoldjuk az egyenlőtlenséget.

22.22. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek a egyenlőtlen-ség megoldásai?

A 2, 3, 4 B 0, 1, 2 C – 1, 0, 1 D 4, 5, 6

24.*24.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen!

a) b)

23.*23.* Oldd meg az alábbi elsőfokú egyenlőtlenségeket a valós számok tartományában, majd a megoldáshalmazt szemléltesd számegyenesen!

a) b)

25.*25.*

Mely pozitív egész számok megoldásai az

egyenlőtlenségnek?

– 1– 7 – 5– 6 – 4 – 3 – 2 0 1 2 3 4 5 6 7


folytatás

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadjuk a kifejezést.

87


Az egyenlőtlenség megoldáshalmazát olyan pozitív x számok alkotják, amelyekre .

Mivel bármely pozitív szám nagyobb, mint , ezért a megoldáshalmaz az összes pozitív egész szám, tehát az 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7… számok. Mivel ezekből végtelen sok van, ezért csak az első számokból írunk le néhányat, majd pontokat írunk.

/ : (– 8)

/ · 6

26.*26.* Mely negatív egész számok megoldásai a

egyenlőtlenségnek?


Írd le, hogy függ az a ∙ x + b > 0a ∙ x + b < 0a ∙ x + b ≤ 0a ∙ x + b≥ 0

egyenlőtlenségek megoldása az a-tól és a b-től!

Tudáspróba


1. Az alábbi számok egyike az 5x – 12 < 3 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!

A 3 B 3,2 C D

2. Az alábbi számok egyike a 2x + 3 > – 5 egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!

A B – 5,2 C – 4 D – 4,3

3. Az alábbi számok egyike az 5x + 2 ≤ 3 + 4x egyenlőtlenség megoldása. Keresd meg, melyik!

A 1,5 B 1 C D 2

4. A 2 · (x – 3) ≤ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme:

A 3,1 B 5,8 C D

5. A – 4 · (x + 1) ≥ 1 – 6x egyenlőtlenség megoldáshalmazának eleme:

A 2 B C 0,3 D

6. Ha x egy negatív egész szám, akkor az egyenlőtlenség megoldása:

A 5 B 1,6 C 1 D 2


0 1 2 3 4 5 6 7

88

7. Ha x egy negatív egész szám, akkor az egyenlőtlenség megoldása:

A 5 B – 4 C – 6 D – 5

8. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az egyenlőtlenség megoldásai?

A 6, 7, 8 B 18, 19, 20 C 15, 16, 17 D 11, 16, 21

9. Az A–D esetek melyikében szerepelnek csupán olyan számok, amelyek az egyenlőtlenség megoldásai?

A 2, 1, 0 B 3, 4, 5 C 1, 2, 3 D 2, 3, 4

10. Mely b értékre lesz a kifejezés értéke nagyobb 0-nál?

A 0,5 B 0,4 C 0,3 D 0,6

11. A akkor nagyobb az kifejezésnél, ha:

A x < 0 B x > 0,4 C x > 2 D x > – 4

12. Az egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldása, mint az alábbi egyenlőtlenségek egyikének:

A B C D

13. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az x + 3 < 0 és az x + 6 ≥ 0 egyenlőtlenségnek is?

A – 3 B – 5 C 0 D 4

14. Melyik az az x érték, amely egyidejűleg megoldása az és az egyenlőtlenségnek is?

A 0 B 1 C 2 D 5

Az a · x + b > c a ∙ x + b < c a ∙ x + b ≥ c a ∙ x + b ≤ c alakú egyenlőtlenséget, ahol a, b, c valós számok, a ≠ 0,elsőfokú x-ismeretlenes egyenlőtlenségnek nevezzük.

Az egyenlőtlenség megoldásai megoldáshalmazt alkotnak, amit számegyenesen szemléltetünk.

Az elsőfokú egyenlőtlenségeket azonos átalakításokkal oldjuk meg:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot vagy algebrai kifejezést.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a pozitív számmal.

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a pozitív számmal.

Ha az egyenlőtlenség oldalait megszorozzuk vagy elosztjuk ugyanazzal a negatív számmal, akkor az egyen-lőtlenségjel az ellenkezőjére fordul.

Jegyezd meg!

89

88

88

3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel

tört

ismeretlent tartal-mazó kifejezés

egyenlet

számok 1 0,5 ...

ismeretlen ... x, y, z ...

ismeretlent tartal-mazó kifejezés

x – 2 ...

Idézzük fel!Tanultunk az elsőfokú egyenletekről.Tanultunk a nevezőről – a számlálóval és a törtvonallal együtt alkotják a törtet.

Mit mondhatunk azokról az egyenletekről, amelyekben az ismeretlen a nevezőben szerepel?A következő részben bemutatjuk néhány megoldási lehetőségüket.Az első feladatot minden bizonnyal meg tudod oldani.Ha nem képlettel, akkor józan ésszel.

+

+

=

=100100

50 100

20 100

20 100

10 100

+

+ +

+

1. 1. megoldás

Oldjuk meg a feladatot (kissé leegyszerűsítve) egy fizikaórán tanult képlet segítségével!

A sebességet a képlettel számíthatjuk ki, ahol s az út kilométerben (km), t az idő órában (h).

Ebből: s = 120 km, t = 4,8 h, v = ? km/h

Gyuri 25 km/h átlagsebességgel haladt.

2. 2. megoldás

A sebesség képletéből indulunk ki, ahol v = 21 km/h, s = 31,5 km, t = x h (az idő ismeretlen, tehát x, x ≠ 0):

Mivel t = x h, Gyuri 1,5 óra alatt ért a barátjához.

A feladatban a egyenletet oldottuk meg, melyben az ismeretlen a nevezőben található.

Az ellenőrzést elvégezve kapjuk, hogy:

B = 21, J = = 21 Mivel 21 = 21, B = J, az egyenlet megoldása 1,5.

1.1. Gyuri új kerékpárt és hozzávalókat vásárolt. Még a szavatossági időben szeretné alaposan kipróbálni. Egy 120 km-es útvonalat választott, amelyet 4,8 óra alatt tett meg. A további kerékpárutainak tervezéséhez tudni szeretné, milyen átlagsebességgel haladt. Számítsd ki!

2.2. Gyuri elment az új kerékpárjával egy barátjához a 31,5 km-re fekvő településre. Meddig tartott az út, ha 21 km/h átlagsebességgel haladt?

ProjektfeladatMely szlovákiai városok vannak egymástól megközelí-tőleg 120 km-re?Keress legalább 5 pár ilyen várost, és hasonlítsd össze a városokat népességük szerint!

Egy olyan egyenlet keletkezett, amely x ismeretlenje a nevezőbe került. Ennek az értékét kell kiszámítanunk.Mivel a tört valójában osztás, az x ismeretlen osztó, ezért az egyenlet mindkét oldalát meg kell szoroznunk x-szel.

90

Úgy gondolom, hogy ezekbe a mondatokba ezt kell beírni: „ugyanazt a számot vagy kifejezést”, „ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel”.

Mit szólsz hozzá? Gondolkodj el ezen!

Az előző feladat megoldása során olyan egyenletet kaptunk, amelyben az x ismeretlen a nevezőbe került .

Hogyan oldjuk meg ezt az egyenletet?

A = f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg,

hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk, ahol az a, b, c valós számok.

A megoldhatóság feltétele: a tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x ≠ – e.

Oldjunk meg néhány egyenletet!Megoldásuknál alkalmazhatjuk a korábban tanult módszereket.Idézzük fel az egyenletek azonos (ekvivalens) átalakításait!

Fejezd be az alábbi mondatokat:Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadjuk…Ha az egyenlet mindkét oldalából kivonjuk…Ha az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk…Ha az egyenlet mindkét oldalát elosztjuk…

3. 3. megoldás

Elvégezzük az ellenőrzést:

B = 7

J =

Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 4 ≠ 0. Az egyenlet gyöke 4.

3.3. Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést!

a) b) c) d)

Tudod-e…?Kassa–Tátra (Tatry)–Kassa Kerékpárverseny (K–T–K)1924-ben a Kassai Atlétikai Klub (KAC) kezdeményezésére megszüle-tett a ma már világhírű kassai maraton, a kerékpáregylet, amelyet abban az időben Fekete József vezetett, sem szeretett volna tétlen maradni. Ekkor született meg a Magas-Tátra (Vysoké Tatry) szerelmesének a fejé-ben a Kassáról a Magas-Tátrába és onnan vissza, Kassára vezető keré-kpárverseny megszervezésének gondolata. Sajnos, a K–T–K versenyek első szervezőinek nem sikerült ehhez hivatalos keretet biztosítaniuk. A gondolat és a remény azonban tovább élt, és a kerékpározás meg-szállottjainak köszönhetően 1928 egy hűvös októberi reggelén 14 mindenre elszánt kerékpáros állt rajthoz a kassai Andrássy Kávéház előtt. Az első szakasz végén, a Csorba-tónál (Štrbské pleso) – 6 °C várta a versenyzőket. Az első évfolyam győztese Vlasto Ružička lett a kassai KAC-ból.

Forrás: http://www.k-t-k.sk/sk/history.php

ProjektfeladatA fizika-, kémia- vagy biológiaórán számolt felada-tok közül válaszd ki azokat, amelyeket olyan egyen-lettel kell megoldani, amelyben az ismeretlen a nevezőben szerepel! Keresésed eredményét ha-sonlítsd össze az osztálytársaidéval! Az internetről is meríthetsz információkat.

B = J

A törtre ki kell kötnünk, hogy

nevezője nem lehet nulla, azaz

x ≠ 0.

folytatás

91

A biztonság kedvéért figyelmeztetlek!3 · x = 3x

3 · (x – 1) = 3x – 3


Elvégezzük az ellenőrzést:B = – 3

J =

Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert – 3 ≠ 0. Az egyenlet gyöke – 3.


B =

J = 1

Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert 5 ≠ 0. Az egyenlet gyöke 5.


B =

J = 7

Az egyenlet gyöke eleget tesz az x-szel szemben támasztott feltételnek, mert ≠ 0. Az egyenlet gyöke .

5. 5. megoldás

Először megoldjuk az egyenletet, elvégezzük az ellen-őrzést, és meghatározzuk a nevezőben szereplő isme-retlenre vonatkozó feltételt.

B = J

B = J

B = J

4.4. Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést!

a) b) c) d)

5.5. Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést!

a) b) c) d)

Az törtre ki kell kötnünk, hogy


x ≠ 0.



x ≠ 0.

folytatás


nevezője nem lehet nulla, azaz: 2x ≠ 0 / : 2 x ≠ 0

92


Ellenőrzés:B = 3

J =

A törtre ki kell kötnünk,

hogy nevezője nem lehet nulla: x – 1 ≠ 0 / + 1 x ≠ 1Mivel 4 ≠ 1, az egyenlet gyöke 4.

Ellenőrzés:B = – 2

J =


hogy nevezője nem lehet nulla: 3 – x ≠ 0 / + x 3 ≠ xMivel 7 ≠ 3, az egyenlet gyöke 7.

Felmerülhet benned a kérdés: Miért „tűnik el” a tört?Megmutatjuk részletesen a tört eltávolítását:

A bal oldalon nem végeztük el a szorzást.Nem volt rá szükség, mert a kifejezések kiegyszerűsödtek.

Ellenőrzés:

B = J = 4B = J


hogy nevezője nem lehet nulla: x + 2 ≠ 0 / – 2 x ≠ – 2Mivel – 0,75 ≠ – 2, az egyenlet gyöke – 0,75.

Az áltörtet felírjuk vegyes számmal. Ehhez a számlálót elosztjuk a nevezővel.

maradék 4

Ellenőrzés: A tört alakú gyökkel végezzük el.

B

J = 7


hogy nevezője nem lehet nulla: x + 1 ≠ 0 / – 1 x ≠ – 1

Mivel ≠ – 1, az egyenlet gyöke .

7. 7. megoldás

6.6. Számítsd ki az egyenletek gyökét, majd végezz ellenőrzést!

a) b) c) d)

7.*7.* Oldd meg az egyenleteket, majd végezz ellenőr-zést!

a) b)

B = J

B = J

B = J

folytatás

93


Ellenőrzés:

B =

J =


hogy nevezője nem lehet nulla: 2x – 1 ≠ 0 / + 1 2x ≠ 1 x ≠ 0,5

Mivel 6,5 ≠ 0,5, az egyenlet gyöke 6,5.

Ellenőrzés:

B =

J =

B = J

A törtre ki kell kötnünk, hogy nevezője

nem lehet nulla:

Mivel , az egyenlet gyöke .

B = J

A vegyes számot törtre alakítjuk.

8.*8.* Oldd meg az egyenleteket, és végezz ellenőrzést!

a) b)

10.10. Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére?

a) b)

c) d)

e) f)*

g)* h)**

9. 9. megoldás

Az egyenletekben az ismeretlen a nevezőben szerepel, ezért ki kell kötnünk, hogy a nevező értéke nem lehet nulla.

a) A tört nevezője x + 4.

Ezért: x + 4 ≠ 0 / – 4 x ≠ – 4A megoldás feltétele, hogy x ≠ – 4. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet – 4.

b) Az tört nevezője 3 – 6x.

Ezért: 3 – 6x ≠ 0 / – 3 – 6x ≠ – 3 / : (– 6) x ≠ 0,5A megoldás feltétele, hogy x ≠ 0,5. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet 0,5.

c) A tört nevezője 3x + 1.

Ezért: 3x + 1 ≠ 0 / – 1 3x ≠ – 1 / : 3

x ≠

A megoldás feltétele, hogy x ≠ .

Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet .

d) A tört nevezője x + 1.

Ezért: x + 1 ≠ 0 / – 1 x ≠ – 1 A megoldás feltétele, hogy x ≠ – 1. Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyöke nem lehet – 1.

9.9. Milyen feltételnek kell teljesülnie az egyenlet gyökére?

a) b)

c) d)

94

Ha pozitív és negatív számokkal kell dol-

goznod, gondolj a számegyenesre!

11. 11. megoldás

Ezt a feladattípust tippeléssel oldjuk meg. Válasszuk a B lehetőséget, tehát legyen az egyenlet gyöke – 3!Behelyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb oldalába, mintha ellenőrzést végeznénk.

B =

J = 2

≠ 2, B ≠ J, tehát a – 3 (a B) nem gyöke az egyen-

letnek.Válasszuk most gyöknek az 5-öt, tehát a C esetet! Behe-lyettesítünk az egyenlet bal oldalába, majd jobb olda-lába, mintha ellenőrzést végeznénk.

B =

J = 2

2 = 2, B = J, tehát az 5 (a C) az egyenlet gyöke.

13. 13. megoldás

A megoldást ezúttal nem tippeléssel oldjuk meg. Felír-juk az egyenletet, és az azonos átalakítások segítsé-gével megoldjuk.


hogy nevezője nem lehet nulla: a – 5 ≠ 0 / + 5 a ≠ 5Mivel 0,5 ≠ 5, ezért a feladat megoldása: a = 0,5, tehát az A lehetőség.

15. 15. megoldás

A feladatot egyenlettel oldjuk meg.


hogy nevezője nem lehet nulla: b – 1 ≠ 0 / + 1 b ≠ 1Mivel – 4 ≠ 1, a feladat megoldása a B eset, tehát b = – 4.

11.11. Az A–D lehetőségek közül melyik az

egyenlet gyöke?

A – 5 B – 3 C 5 D 3

13.13. Az A–D lehetőségek közül melyik a érték eseté-

ben lesz a kifejezés értéke nulla?

A a = 0,5 B a = 1 C a = 5 D a = – 4

14.*14.* Az A–D lehetőségek közül melyik a érték eseté-

ben lesz a kifejezés értéke nulla?

A a = 0 B a = 4 C a = 0,8 D a = 1,25

A matematikai feladatok megoldása közben és más tan-tárgyak tanulásával kapcsolatban is sok pedagógus han-goztatja, hogy

„… az ismétlés a tudás anyja…”

Történelemtanárunk pedig azt szokta mondani, hogy

„… már a régi rómaiak is azt mondták…”

Mire vonatkoznak ezek a mondatok? Beszélgessetek el a témáról! Az információk felkutatásához használd az in-ternetet, lapozd fel az enciklopédiákat!

15.*15.* Az A–D lehetőségek közül melyik b érték ese-

tében lesz a kifejezés értéke a legkisebb

pozitív egész szám?

A b = 3 B b = – 4 C b = 4 D b = 0,75

12.12. Az A–D lehetőségek közül melyik az

egyenlet gyöke?

A – 3 B 3 C – 1,5 D 1,5

A legkisebb pozitív egész szám az 1.

95

16.*16.* Az A–D lehetőségek közül melyik c érték eseté-

ben lesz a kifejezés értéke a legnagyobb

negatív egész szám?

A c = B c = C c = D c =

17.**17.** Oldd meg az egyenletet, és végezz ellenőrzést! Ne feledkezz meg a kikötésről!

a) b)

c) d)

Gondolkodtató feladatMit mondhatunk az alábbi egyenletek gyökeiről?

Nehéznek találod ezek megoldását?

Egy bölcs szerint:

„Semmi sem nehéz, csak akarni kell.”

Mi még hozzátesszük:

„… gondolkodni és figyelmesen olvasni…”

TudáspróbaAz egyenletekkel kapcsolatos fogalmak más tananyagokban is felbukkannak. Ha helyesen oldod meg a tesztet, vá-laszt kapsz az alábbi találós kérdésre:

A FÁNAK VAN, AZ EGYENLETNEK NINCS. MI AZ?

Vigyázz, a betűket összekevertük! Rakd őket megfelelő sorrendbe!Minden feladatban csak egy helyes választ találsz.

1. A egyenlet gyöke:

Y 2 V W Z 3

2. Az egyenlet gyöke:

E 2 F 5 H – 3 G 8

3. A egyenlet megoldható, ha:

L M N

O

4. Az alábbi lehetőségek közül melyik az gyöke?

C – 5 D – 0,4 E – 2,5

P – 5,5

5. A d mely értéke mellett egyenlő a kifejezés értéke az értékével?

J d = 3 K d = – 3 L d = 13 M d = – 9

6. A egyenletnek

E nincs megoldása. É van megoldása, ha x ≠ 0. F a gyöke x = 0. G a gyöke x = – 2.

96

A

= f alakú egyenletet (d, e, f valós számok), amelyben az x ismeretlen a nevezőben szerepel, úgy oldjuk meg,

hogy azonos átalakításokkal ax + b = c alakú elsőfokú egyenletté alakítjuk (a, b, c valós számok).

A megoldhatóság feltétele: a tört nevezője nem lehet nulla, vagyis x ≠ – e.

Különböző egyenletek különféle ismeretleneket tartalmazhatnak: x-et, t-t, y-t, a-t…Például:

Jegyezd meg!

a megoldhatóság feltétele ;

a megoldhatóság feltétele t ≠ 0;

a megoldhatóság feltétele a ≠ 0.

97

Idézzük fel!

Mi a képlet?Mi az ismeretlen?Tanultunk már róluk algebra-, geometria-, fizikaórán.Beszélhetünk ismert személyiségekről, ismert bolygókról, ismert városokról…Ugyanakkor elmondhatjuk, hogy őt nem ismerem, őt még nem láttam, ez számomra ismeretlen…És – természetesen – az ismeretlen embereket, dolgokat, városokat, országokat meg szeretnénk ismerni.

3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből

1. 1. megoldás

A feladatot így is megoldhatjuk:Először vázlatrajzot készítünk.Felírjuk a képletet.Behelyettesítünk a képletbe, majd kiszámítjuk a szük-séges adatot.

T = 4,05 a = 405 m2

h = 18 msz = ? m

T = h · sz 405 = 18 · sz / : 18 22,5 = sz sz = 22,5

A szomszéd kertjének szélessége 22,5 m.

A feladatot másképp is megoldhatjuk:Felírjuk a szükséges képletet: T = h · szEbből kifejezzük az ismeretlen adatot, ez esetben a kert sz szélességét.Azonos átalakításokat alkalmazva oldjuk meg az egyen-letet:

Felírjuk a szélességre vonatkozó képletet:

sz =

majd behelyettesítjük az ismert adatokat, és kiszámít-juk a szélességet:

sz

A szomszéd kertjének szélessége 22,5 m.

h = 18 m

sz = ? m

A kép alkotója René Magritte

1.1. A SZOMSZÉD KERTJE A szomszéd kertje téglalap alakú. Területe 4,05 a, hossza 18 m. Milyen széles a kert?

Ebben a fejezetben sok ismert matematikai feladattal fogunk foglalkozni, amelyekben az ismeretlent – a kere-sett adatot – egy-egy képletből fogjuk kifejezni.

sz

sz h ≠ 0

98

2. 2. megoldás

a) Nevezzük a négyzetet ABCD-nek, és oldalát jelöljük a-val!

k = 12,8 cm a = ? cm

Felírjuk a négyzet kerületképletét:

k = 4 · a

Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget:

Behelyettesítjük a mérőszámokat:

A négyzet oldalának hossza 3,2 cm.

b) Nevezzük a téglalapot ABCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! k = 36,32 cm, a = 2 cm, b = ? cmFelírjuk a téglalap kerületképletét: k = 2 · (a + b) Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget:


A téglalap másik oldalának hossza 16,16 cm.

2.2. Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből!a) A négyzet kerülete 12,8 cm. Milyen hosszú az oldala?b) A téglalap kerülete 36,32 cm, egyik oldala pedig 2 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala?c) A szabályos háromszög kerülete 16,74 cm. Milyen hosszú az oldala?d) Az egyenlő szárú trapéz kerülete 18,6 dm, alapjainak hosszúsága 7 dm és 5 dm. Milyen hosszúk a szárai?

Egy képletből kifejezni az ismeretlent annyit jelent, mint a keresett adatot (ismeretlent) felírni az ismert ada-tok segítségével.

Az ismeretlent a képletből az egyenlet azonos átalakításait alkalmazva fejezzük ki. Az ellenőrzést úgy végezzük el, hogy az eredeti képletbe behelyettesítjük az adott és a kiszámított értékeket.

Ha az a, b oldalú téglalap kerületképletét k = 2 · a + 2 · b alakban írjuk fel, akkor a levezetés így alakul:

aa

a

a

bb

a

a

Olvasd el ezeket a feladatokat, amelyeket a tanulók 1935-ben oldottak meg!A feladatok a Meroveda a rysovanie pre školy občianske című, valószínűleg 1935-ben megjelent tankönyv második kötetéből valók, szerzőjük Karol Buzek.

„A téglalap alakú játszótér hossza 58 m, szélessége 39 m. Drótkerítéssel szeretnék bekeríteni.A drótot karókhoz erősítik, és ötször kerítik vele körbe a játszóteret. Hány méter drótot rendelje-nek?”

„A prágai Károly tér téglalap alakú. Hossza 520 m, szélessége 160 m. Hány perc alatt járhatjuk körbe, ha egy perc alatt 80 m-t teszünk meg?”

„A négyszög alakú kertet léckerítéssel akarják körülvenni. A kert oldalainak hossza 65 m, 78 m, 40 m és 32 m. A karókat egymástól 6 m-re kell leütni, a lécek tengelyeinek egymástól 15 cm-re kell lenniük. Hány karóra és hány szál deszkára lesz szükség, ha egy deszkából 3 lécet lehet le-vágni?”

ismeretlen adat ismert adatoksz=

b

b

b

ba

a

a

folytatás

99

c) Nevezzük a szabályos háromszöget ABC-nek, olda- lát a-nak!

k = 16,74 mm a = ? mm

Felírjuk a szabályos háromszög kerületképletét: k = 3 · aKifejezzük az ismeretlen mennyiséget:


A szabályos háromszög oldalának hossza 5,58 cm.

d) Nevezzük az egyenlő szárú trapézt ABCD-nek, alap- jait jelöljük a-val és c-vel, szárait pedig b = d-vel! k = 18,6 dm a = 7 dm c = 5 dm b = d = ? dm

Felírjuk az egyenlő szárú trapéz kerületképletét:k = a + b + c + d (az általános trapézra)k = a + c + 2 · b (az egyenlő szárú trapézra, amelynek b és d a két szára).Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget:


Az egyenlő szárú trapéz szárainak hossza 3,3 dm.

3.3. Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből!a) A négyzet kerülete 12,56 cm. Milyen hosszú az oldala?b) A téglalap kerülete 150 cm, egyik oldala pedig 30 cm hosszú. Milyen hosszú a másik oldala?c) A szabályos háromszög kerülete 64,2 cm. Milyen hosszú az oldala?d) Az egyenlő szárú trapéz kerülete 52,6 dm, alapjainak hosszúsága 10 dm és 16 dm. Milyen hosszúak a szárai?

4.4. a) A négyzet területe 64 cm2. Milyen hosszú az oldala?b) A téglalap területe 60 cm2, és egyik oldalának hossza 12 cm. Számítsd ki a másik oldal hosszát!c) A derékszögű háromszög területe 24 dm2. Egyik befogójának hossza 6 dm. Milyen hosszú a másik befogója?d) A rombusz területe 3,2 m2, magassága 0,8 m. Milyen hosszú az oldala?


a

b

b

b b

a

a

a

a abb

c

a

folytatás

a) Jelöljük a négyzetet ABCD-vel, oldalát pedig a-val! T = 64 cm2, a = ? cm

Felírjuk a négyzet területképletét: T = a2 Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T = a2

Behelyettesítjük a mérőszámokat: A négyzet oldalának hossza 8 cm.

b) Nevezzük a téglalapot ABCD-nek, oldalait jelöljük a-val és b-vel! T = 60 cm2, a = 12 cm, b = ? cmFelírjuk a téglalap területképletét: T = a · b Kifejezzük az ismeretlen mennyiséget: T = a · b / : a


A téglalap másik oldalának hossza 5 cm.

c) Nevezzük a derékszögű háromszöget ABC-nek, a és b oldala legyen a befogója, c pedig az átfogója! T = 24 dm2

a = 6 dm b = ? dm

Felírjuk a derékszögű háromszög területképletét:



A derékszögű háromszög másik befogójának hossza 8 dm.

4. 4. megoldás

a a

b b

.a

cb

b

b

b b

négyzetgyököt vonunk

Az a)–d) feladatok ellenőrzését végezd el önállóan!

100

d) Jelöljük a rombuszt ABCD-vel, az oldalát a-val, a ma- gasságát pedig ma-val!

T = 3,2 m2 ma = 0,8 m a = ? m

A rombusz területképlete:T = a · ma



A rombusz oldalának hossza 4 m.

5.5. Az alábbi feladatok megoldásához fejezd ki az ismeretlent a képletből!

a) A négyzet területe 144 cm2. Milyen hosszú az oldala? b) A téglalap területe 192 cm2. Egyik oldalának hossza 16 cm. Milyen hosszú a másik oldala? c)* A derékszögű háromszög területe 56 dm2. Egyik befogójának hossza 8 dm. Milyen hosszú a másik befogója és az átfogója? d) A rombusz területe 1,62 m2, magassága 0,9 m. Milyen hosszú az oldala?

6.6. Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az értékét! Végezz ellenőrzést!

a) Egyenlő szárú ABCD trapéz: k = a + c + 2 · b, a = ? k = 35 cm, c = 12 cm, b = 5 cm

b) ABCD trapéz: , c = ? T = 56,5 cm2, a = 10 cm, m = 4 cm


.

a

a

ma

6. 6. megoldás

a) Adott az egyenlő szárú ABCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b = d a két szára.Az egyenlő szárú trapéz kerületképletéből kifejez-zük az a ismeretlent:

k = a + c + 2 · b /–c – 2 · b

k – c – 2 · b = a / : 2

Az ismeretlen: a = k – c – 2 · b.Behelyettesítjük az adott mérőszámokat:a = k – c – 2 · ba = 35 – 12 – 2 · 5 = 35 – 12 – 10 = 13a = 13 cm

Ellenőrzés:Az egyenlő szárú trapéz kerületképletébe behelyettesít-jük a mérőszámokat:

k = a + c + 2 · bk = 13 + 12 + 2 · 5k = 35 cm, ami megegyezik az adott értékkel.

Tehát az a ismeretlen kiszámítására alkalmazhatjuk az a = k – c – 2 · b képletet.

b) Adott az ABCD trapéz, amelynek a és c az alapja, b és d pedig a két szára.Fejezzük ki a c ismeretlent a trapéz területképletéből:

Az ismeretlen: .

Behelyettesítjük a mérőszámokat a kapott képletbe:

c = 18,25 cm

Ellenőrzés:A trapéz területképletébe behelyettesítjük az adott mé-rőszámokat:

T =

T =

T = 56,5 cm2, ami megegyezik az adott értékkel.

Tehát a c oldal kiszámításához alkalmazhatjuk

a c képletet.

a = 13 cm c = 12 cm

b = 5 cm a = 10 cm m = 4 cm c = 18,25 cm

c

c

c

c

c

c

a

a a

101

7.7. Fejezd ki az alábbi képletekből az ismeretlent, majd számítsd ki az ismeretlen értékét! Végezz ellenőrzést!

a) k = 3 · a, a = ?, k = 129 dm b) k = 2 · (a + b), b = ?, k = 48 m, a = 12 m c) k = a + c + 2 · b, b = ?, k = 35 cm, c = 2 cm, a = 5 cm d) T = a · ma, a = ?, ma = 7 mm, T = 101,5 mm2

e) , b = ?, a = 5 cm, T = 125 cm2 f) , a = ?, T = 56,5 cm2, c = 10 cm, m = 4 cm

8.8. Válaszolj a kérdésekre!a) Mekkora a k = 28,26 cm kerületű kör r sugara?b) Mekkora a k = 3,14 dm kerületű kör d átmérője?

Fejezd ki az ismeretlent a képletből!Számolj a π � 3,14 értékkel!

9.9. Számítsd kia) a T = 28,26 dm2 területű kör r sugarának hosszát!b) a T = 3,14 cm2 területű kör d átmérőjének hosszát!

Fejezd ki az ismeretlent a képletből!Számolj a π � 3,14 értékkel!

Tudáspróba


1. A téglalap k = 2 · (a + b) kerületképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B C D

2. A háromszög k = a + b + c kerületképletéből a c oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A c = k + a + b B c = a – b – k C c = k – a – b D c = a + b – k

3. A téglalap T = a · b területképletéből az a oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B C a = T – b

D a = b – T

4. A háromszög területképletéből a b oldal hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B C

D

5. A trapéz T területképletéből, ahol az alapokat a és c, a két szárat pedig b és d jelöli, az m magasság hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B C D

6. Az a, b, c élű hasáb V térfogatképletéből a b él hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B b = V · a · c C b = V – a – c

D b = V : (a · c)

7. A kör k = π · d kerületképletéből, ahol d kör átmérője az r sugár hosszát az alábbi képlet fejezi ki:

A B r = k : (2π) C D

102

3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható

szöveges feladatok

1.1. Egy számot 17-tel növelve 77-et kapunk. Melyik ez a szám?

2.2. Egy számot 15-tel csökkentve 65-öt kapunk. Melyik ez a szám?

3.3. Egy számot harmadára csökkentve 123-at kapunk. Melyik ez a szám?

4.4. Egy szám kétszerese 46. Melyik ez a szám?

1. 1. megoldás

Így számoltunk:

77 – 17 = 60

A keresett szám a 60.

De így is szoktunk számolni:Az ismeretlen mennyiséget x-szel jelöljük.Felírjuk az egyenletet, majd megoldjuk:

x + 17 = 77 x = 77 – 17 x = 60

Ellenőrzés: 60 + 17 = 77A keresett szám a 60.

2. 2. megoldás

Így számoltunk:

65 + 15 = 80

A keresett szám a 80.


x – 15 = 65 x = 65 + 15 x = 80

Ellenőrzés: 80 – 15 = 65A keresett szám a 80.

3. 3. megoldás

Így számoltunk:123 · 3 = 369A keresett szám a 369.


x : 3 = 123 x = 123 · 3 x = 369

Ellenőrzés: 369 : 3 = 123A keresett szám a 369.

4. 4. megoldás

Így számoltunk:46 : 2 = 23A keresett szám a 23.


2 · x = 46 x = 46 : 2 x = 23

Ellenőrzés: 2 · 23 = 46.A keresett szám a 23.

Az első módszer egyszerűbb, a második

általánosabb.

Milyen szöveges feladatokat oldottunk meg eddig? Milyen feladatokkal „melegítettünk be” az óra elején?

Hányadrészére kell csökkenteni?:

Hányszorosára kell növelni?·

Ennyivel kell növelni.+

Ennyivel kell csökkenteni.–

103

5.5. Oldd meg tetszőleges módszerrel az alábbi feladatokat:a) Egy számot 5-tel növelve kétszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Melyik ez a szám?b) Egy számot 10-zel csökkentve az eredeti szám felét kapom. Melyik ez a szám?c) Egy számot 36-tal növelve négyszer akkora számot kapok, mint az eredeti volt. Mi volt az eredeti szám?d) Egy szám 8-cal csökkentve ugyanannyi, mintha ennek a számnak a negyedét 4-gyel növelnénk. Mi volt az eredeti szám?

Egyenlettel összetettebb szöveges feladatokat szoktunk megoldani.

A szöveges feladatok egyenlettel történő megoldásának lépései:

1. matematikai eszközökkel kifejezzük az ismert és az ismeretlen (kiszámítandó) mennyiségeket;

2. ha nincs kifejezetten meghatározva, hogy milyen módszerrel dolgozzunk, akkor olyan módszert választunk, amellyel a lehető legegyszerűbb módon találjuk meg a keresett mennyiséget. (A módszer lehet hármasszabály, egyenlet, egyenlőtlenség, következtetés…);

3. a keresett érték meghatározása után ellenőrizzük az eredményt;

4. feleletet írunk.

§

Az ismeretlen számot x-szel jelöljük.Felírjuk és megoldjuk az egyenletet.

a) A keresett szám 5-tel növelve: x + 5 Az eredeti szám kétszerese: 2 · x x + 5 = 2 · x / –x 5 = x x = 5

Az ellenőrzést a feladat szövege alapján (nem pedig az egyenletbe való behelyettesítéssel) végezzük el.

A keresett szám 5-tel növelve: 5 + 5 = 10.

Az eredeti szám kétszerese: 2 · 5 = 10. A két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám az 5.

b) A keresett szám 10-zel csökkentve: x – 10

A keresett szám fele: x

22 x – 10 = / ∙ 2

2x – 20 = x / + 20 – x

x = 20

Ellenőrzés:A keresett szám 10-zel csökkentve:

20 – 10 = 10.A keresett szám fele:

20 : 2 = 10. A két érték egyenlő: 10 = 10, tehát a keresett szám a 20.

c) A keresett szám 36-tal növelve: x + 36 A keresett szám négyszerese: 4 · x x + 36 = 4 · x / – x 36 = 3x / : 3 12 = x x = 12

Ellenőrzés:A keresett szám 36-tal növelve:

12 + 36 = 48.

A keresett szám négyszerese: 4 · 12 = 48.

A két érték egyenlő: 48 = 48, tehát a keresett szám a 12.

d) A keresett szám fele 8-cal kisebbítve: x

2 2

– 8

A keresett szám negyede 4-gyel növelve: x

44 + 4

Ellenőrzés:A keresett szám fele 8-cal kisebbítve: 48 : 2 – 8 = 24 – 8 = 16.A keresett szám negyede 4-gyel növelve: 48 : 4 + 4 = 12 + 4 = 16.

A két érték egyenlő: 16 = 16, tehát a keresett szám a 48.

5. 5. megoldás

A közös nevező 4.

104

6.6. BEVÁSÁRLÁSa) Három barátnő: Dóri, Évi és Zsuzsi elment tanszereket vásárolni. Dóri 6 euróval többet kapott a szüleitől,

mint Évi, Zsuzsi pedig 12 euróval kevesebbet, mint Dóri. Összesen 84 eurót kaptak. Melyikük kapott legtöb-bet? Mennyit?

b) Dóri hátizsákot, Évi körzőkészletet, Zsuzsi pedig rajzeszközöket vásárolt. Dóri a hátizsákért kétszer annyit fizetett, mint Évi a körzőkészletért, Zsuzsi pedig a rajzeszközeiért 3,60 euróval kevesebbet, mint Évi. Együtt fizettek, mert minden 25 eurónál nagyobb vásárlásért a bolt egy három tollból álló készletet adott ajándékba. Összesen 36,80 eurót fizettek.

Mennyit kellett a lányoknak a vásárlásukért külön-külön fizetniük?

7.7. REJTVÉNYFEJTŐK KLUBJAA rejtvényeket majdnem mindenki kedveli. Ezért iskolánkban megalakult a rejtvényfejtők klubja. A klubdélutánra minden tag elkészít egy-egy találós kérdést. Az összejövetel végeztével az takarítja ki a klubhelyiséget, aki nem fejti meg a találós kérdést. Hogy telik az idő? – ez volt az egyik találkozó rejtvénytémája. Íme, néhány elhangzott kérdés:• Hány éves most édesanyám, aki négyszer annyi idős, mint én, és 5 évvel ezelőtt ráadásul hétszer annyi idős volt, mint én?• A fiú most 30 évvel fiatalabb, mint az apja. 7 évvel ezelőtt az apa hétszer olyan idős volt, mint a fia. Hány éves most a fiú?• Az apa 38 éves, lánya 12, fia pedig 14. Hány év múlva lesz az apa annyi idős, mint a gyerekei együttvéve?

6. 6. megoldás

a) Kiszámítjuk, hány eurót kaptak a lányok külön-kü-lön. A feladatot egy x-ismeretlenes egyenlettel oldjuk meg.

Évi ............................. xDóri ........................... x + 6 összesen 84 € Zsuzsi ........................ (x + 6) – 12Felírjuk az egyenletet: x + (x + 6) + (x + 6) – 12 = 84 3x = 84 / : 3 x = 28Ellenőrzés:Évi .................... 28 eurót kapottDóri .................. 28 + 6 = 34 eurót kapottZsuzsi ............... 34 – 12 = 22 eurót kapott

Összesen 28 + 34 + 22 = 84 eurót kapott.

Évi 28 eurót,Dóri 34 eurót,Zsuzsi 22 eurót kapott.Dóri kapott legtöbbet, 34 €-t.

b) Kiszámítjuk, hány eurót fizettek a lányok külön-külön a vásárlásukért. A feladatot most is x-isme-retlenes egyenlettel oldjuk meg.

Évi ............................ xDóri ........................... 2 · x összesen 36,80 €Zsuzsi ........................ x – 3,60Felírjuk az egyenletet: x + 2 · x + (x – 3,60) = 36,80 4x – 3,60 = 36,80 / + 3,60 4x = 40,40 / : 4 x = 10,10Ellenőrzés:Évi .................... 10,10 eurót fizetettDóri .................. 10,10 . 2 = 20,20 eurót fizetettZsuzsi ............... 10,10 – 3,60 = 6,50 eurót fizetett

Összesen 10,10 + 20,20 + 6,50 = 36,80 eurót fizettek.

Évi 10,10 eurót, Dóri 20,20 eurót, Zsuzsi 6,50 eurót fizetett. Ha külön-külön fizettek volna, akkor egyikük sem kapott volna ajándékba tollkészletet.

7. 7. megoldás

Táblázatot készítünk, és annak adataiból felírjuk, majd megoldjuk az egyenletet.

most 5 évvel ezelőtt

lány x x – 5

anya 4 ∙ x 4 ∙ x – 5

5 évvel ezelőtt az anya hétszer annyi idős volt, mint a lánya. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel:

Ellenőrzés:A lány életkora 5 évvel ezelőtt:10 – 5 = 5

Az anya életkora 5 évvel ezelőtt:

4 ∙ 10 – 5 = 35

Az anya életkora hétszer annyi, mint a lányáé:35 : 5 = 7

Az anya ma 40 éves, a lánya pedig 10.

A többi találós kérdést fejtsd meg önállóan!

8.8. EGY KIS MOZGÁSa) Milyen hosszú utat teszek meg gyalog 15 perc alatt

4,5 km/h átlagsebességgel?b) Milyen átlagsebességgel halad Jakab, ha kerékpár-

jával 18 km-t tesz meg 20 perc alatt? Sebességét add meg km/h-ban!

c) Mennyivel kell az apának növelnie a sebességét, hogy a szokásosnál 12 perccel hamarabb érkezzen a nyaralóba? A nyaraló 72 km-re van. Ezt az utat autóval 1,2 óra alatt szokta megtenni.

9.9. SEBESSÉG ÉS EGYENLETMennyi idő múlva ér utol a barátnőm, aki 30 perccel később indult el ugyanazon az úton, amelyen én 6 km/h sebességgel haladok? Barátnőm, mivel siet, 8 km/h sebességgel halad.

8. 8. megoldás

a) A sebességet méter/percben fejezzük ki. 60 perc alatt 4500 m-t teszek meg 1 perc alatt 4500 : 60 = 75 m-t teszek meg 15 perc alatt 75 · 15 = 1125 m-t teszek meg.

b) Jakab 20 perc alatt 18 km-t tesz meg kerékpárjával 1 perc alatt 18 : 20 = 0,9 km-t tesz meg

60 perc alatt 0,9 · 60 = 54 km-t tesz meg

Jakab 54 km/h átlagsebességgel haladva tesz meg 18 km-t 20 perc alatt.

c) Az ismert fizikai képlet segítségével (v – sebesség, s – út, t – idő) kiszámítjuk az autó eredeti sebes- ségét.

Az autó eredeti sebessége 60 km/h.Az új sebesség:

Az új sebesség 72 km/h.A sebességek különbsége: 72 – 60 = 12.

Ha az apa a szokásosnál 12 perccel korábban szeretne a nyaralóhoz érni, akkor a sebességét 12 km/h-val kel-lene növelnie.

9. 9. megoldás

A feladatot egyenlettel oldjuk meg. Ismét az ismert fizi-kai képletből indulunk ki, amelyből ezúttal az utat fejez-zük ki: s = v · t.

Ha ki akarjuk számítani barátnőm idejét, ehhez ismer-nünk kell a saját időmet, a megtett utamat és a sebes-ségemet. A saját időm ismeretlen, ezért ezt jelöljük x-szel! Barátnőm késett, ezért az ő ideje fél órával ke-vesebb volt: x – 0,5.x óra alatt 6 km/h sebességgel haladva 6 · x km-t teszek meg.Barátnőm x – 0,5 óra alatt 8 km/h sebességgel haladva 8 · (x – 0,5) km-t tesz meg.A két út megegyezik. Ezt egyenlettel így írhatjuk fel:6 · x = 8 · (x – 0,5).

Ellenőrzés:2 óra alatt 6 · 2 = 12 km-t teszek meg.Barátnőm 1,5 óra alatt (hiszen 30 perccel, azaz fél órával később indult, mint én) 8 · 1,5 = 12 km-t tett meg.A két út egyenlő, tehát a megoldás helyes.

A barátnőm 1,5 óra múlva ér utol engem.

Sokan szeretik a táblázatokat.A 9. feladat megoldása táblázattal így nézne ki:

t idő v sebesség út: s = v · t

én x 6 km/h 6 · x

barátnőm x – 0,5 8 km/h 8 · (x – 0,5)

Segítség

1 óra = 60 perc

1 km = 1000 m

Használd

a hármasszabályt!

Segítség

Ne felejtsd el, hogy

a mozgásra vonatkozó

feladatok mindig az

időről, a sebességről

és az útról szólnak.

A 12 percet órában fejezzük ki:12 : 60 = 0,2 12 perc annyi, mint 0,2 óra

105

106

11.11. UTAK ÉS EGYENLETEKA városból B városba utazhatunk 140 km/h átlagsebességgel közlekedő gyorsvonattal, de 60 km/h átlagsebességgel közlekedő személyvonattal is. Mennyi idő múlva találkozik a két vonat, ha a két városból ugyanabban az időpontban indulnak el egymással szemben, és ezen az útszakaszon nem állnak meg sehol? A két város egymástól 96 km-re van.

12.12. UTAK ÉS EGYENLETEKEgy zsolnai és egy kassai partneriskola cserelátogatást szervezett. Úgy tervezték, hogy a kassai tanulók Zsolnára (Žilina), a zsolnaiak pedig Kassára látogatnak. Autóbusszal utaztak. Megegyeztek, hogy ugyanazon az útvona-lon haladnak majd, hogy útközben találkozhassanak. Zsolnáról 7:00 órakor indultak Kassára, Kassáról Zsolnára viszont csak 8:30-kor. Kassától mekkora távolságra és hány órakor találkoztak? A zsolnaiak autóbusza 84 km/h, a kassaiaké 95 km/h átlagsebességgel haladt. Kassa és Zsolna távolsága megközelítőleg 269,2 km.

10.10. Jani és Peti a nyaralóba készül. Együtt akartak indulni kerékpáron 6:30-kor Janiék háza elöl. Peti nem jött meg, ezért Jani 7:00 órakor elindult egyedül a házuk elől 40 km/h sebességgel. Peti, aki elaludt, 7:30-kor ért Janiék háza elé. Mikor éri utol Peti Janit, ha Janiék házától 48 km/h sebességgel haladt?

11. 11. megoldás

Ha azt akarjuk kiszámítani, hogy mikor találkoznak, akkor a megtett útból kell kiindulni. Ha találkozniuk kell, akkor egymással szemben kell haladniuk. A találkozásig megtett útjaik összege a városok távolsága, tehát 96 km.Az út a vonat sebességének és a találkozásig eltelt időnek a szorzata (az s = v · t képlet szerint).A vonatok találkozásáig eltelt időt nem ismerjük, ezért ezt választjuk az egyenlet ismeretlenének, és x-szel jelöljük. Mivel a vonatok ugyanabban az időpontban indultak, a találkozás pillanatáig a két vonat menetideje megegyezik.A gyorsvonat útja 140 · x (km)A személyvonat útja 60 · x (km)A szerelvények egymással szemben haladnak, megtett útjaik összege a két város távolsága, amit ezzel az egyenlettel lehet kifejezni:140 · x + 60 · x = 96

A megoldás: x = 0,48 óra, tehát 0,48 · 60 perc = 28,8 perc.

Ellenőrzés:A gyorsvonat által megtett út: 140 · 0,48 = 67,2 km.A személyvonat útja: 60 · 0,48 = 28,8 kmA két vonat megtett útjának összege: 67,2 + 28,8 = 96 km, ami megfelel az A és B város közti távolságnak.A megoldás helyes, tehát a két vonat 0,48 óra, azaz 28,8 perc múlva találkozik.Ezt a feladatot is meg lehet oldani táblázattal:

t idő v sebesség út: s = v · tgyorsvonat x 140 km/h 140 · x személyvonat x 60 km/h 60 · x

a teljes út: 96

12. 12. megoldás

Most is az utat kell kiszámítanunk. Látható, hogy a két autóbusz által megtett út összege a Kassa és Zsolna közti távolsággal egyenlő, tehát 269,2 km.Jelöljük a Zsolnáról induló autóbusz útját a találkozásig x-szel! A Kassáról in-duló autóbusz 1,5 órával kevesebb időt tölt el az úton a találkozásig, hiszen csak 8:30-kor indult (a zsolnai viszont 7:00-kor). Oldjuk meg táblázattal!

t idő v sebesség út: s = v · tZsolnáról x 84 km/h 84 · x Kassáról x – 1,5 95 km/h 95 · (x – 1,5)

a teljes út: 269,2folytatás

107


Az utak összegéből kapjuk az egyenletet:

84 · x + 95 · (x – 1,5) = 269,2.

Az egyenlet megoldása: x = 2,3 óra tehát 2 óra 18 perc (0,3 · 60 perc).Kiszámítottuk, hogy mennyi idő múlva találkoztak.Meg kell állapítanunk, hogy hány órakor találkoztak. Mivel a Zsolnáról induló autóbusz menetidejét számítottuk ki,a 2 óra 18 percet a zsolnai autóbusz indulási időpontjához kell hozzáadnunk:7 óra 0 perc + 2 óra 18 perc = 9 óra 18 perc

Az ellenőrzés során egyúttal azt is kiszámítjuk, hogy Kassától mekkoratávolságra találkoztak:A Zsolnáról induló autóbusz útja: 84 · 2,3 = 193,2 km.A Kassáról induló autóbusz útja: 95 · (2,3 – 1,5) = 95 · 0,8 = 76 km.A két út összege: 193,2 + 76 = 269,2 km, ami megfelel a Kassa–Zsolna távolságnak.

Ez azt jelenti, hogy helyes a megoldás.Az autóbuszok 9:18-kor találkoztak Kassától 76 km-re.

13. 13. megoldás

A közös munkavégzésre vonatkozó feladatokban többnyire azt kell kiszámítanunk, hogy a munkának hányad részét végzik el 1 óra alatt.A kilencedikesek 1 óra alatt a fák -ét ültették volna el, a nyolcadikosok az -ét ültették el. Együtt dolgozva

egy óra alatt a fák + -ét ültették el. Ha együtt x óra alatt végzik el a munkát, akkor x óra alatt fát

ültetnek ki, és ezzel „elvégzik az egész munkát”, ami 1 egész munka.

Tehát az egyenletet így írhatjuk fel: .

Ellenőrzés: A kilencedikesek óra alatt a fák részét ültetik ki, a nyolcadiko-

sok óra alatt az részét. Együtt óra alatt elvégzik a munka

részét, ami 1 egész, tehát az összes fát elültetik.

Együtt óra alatt ültették ki a fákat a városi parkban.

13.13. VÁROSI PARKA kilencedikesek facsemetéket ültettek a városi parkban. Tudták, hogy 4 óra alatt elkészülnek vele. De a nyolcadikosok is szerettek volna fát ültetni, akik viszont egyedül 5 óra alatt végeztek volna. Hány óra alatt végezték el a munkát együtt?

Eltávolítjuk a zárójelet, a törteket közös nevezőre hozzuk.

Tudod-e…?„Az erdő a Föld tüdeje” – szokás mondani. Ezért mindenhová, ahová csak lehetséges, igyekszünk parkokat telepíteni, megfiatalítani az elörege-dett erdőt, a beteg fákat pedig egész-ségesekkel pótolni…

A megoldás: óra.

108

14. 14. megoldás

A zsákok száma megegyezik a tanulók számával.Ha x darab ötkilós zsák volt, akkor x hatodikos vett részt a gyűjtésben.A háromkilós zsákok száma 30 – x, tehát az ötödikesek száma is 30 – x.

Az ötkilósokban 5 · x gesztenye van.A háromkilósokban 3 · (30 – x) kg gesztenye van.Összesen 120 kg gesztenyét gyűjtöttek, tehát az egyenlet:

5 · x + 3 · (30 – x) = 120

Ellenőrzés:Az ötkilós zsákokban 5 · 15 = 75 kg gesztenye volt.A háromkilós zsákokban 3 · (30 – 15) = 45 kg gesztenye volt.Az összes zsákban (75 + 45) kg = 120 kg gesztenye volt.

Ez megfelel a feladat feltételeinek.A hatodikosok száma x, tehát 15.Az ötödikesek száma 30 – x = 30 – 15, azaz 15.

15. 15. megoldás

Az első szombaton a 12,6 km hosszú ösvény egyharmadát tisztították ki.

Ez

km, amit így is kiszámíthatunk 12,6 : 3 = 4,2 km

Maradt még 12,6 – 4,2 = 8,4 km.A második szombaton a 8,4 km háromnegyedét tisztították ki, azaz

km, amit így is kiszámíthatunk: (8,4 : 4) ∙ 3 = 6,3 km

Maradt még 12,6 – 4,2 – 6,3 = 2,1 km.

A természetvédő csapatnak tehát március harmadik szombatján a turista-ösvény 2,1 km-ét kellett még kitakarítania.

14.14. VADGESZTENYEAz ötödikesek és a hatodikosok minden évben gesztenyét gyűjtenek a park-ban A vadgesztenye állati táplálék, de gyógyászati célokat is szolgál, és különféle dísztárgyakat is készítenek belőle. A tanulók öt- és háromkilós zsákokba gyűjtötték a gesztenyét: az ötödikesek háromkilósba, a hatodikos ötkilósba. Amikor befejezték a gyűjtést, megállapították, hogy összesen 30 zsákjuk van, és 120 kg gesztenyét gyűjtöttek.Hány ötödikes és hány hatodikos vett részt a gyűjtésben, ha minden tanuló pontosan egy zsáknyi gesztenyét gyűjtött?

15.15. TERMÉSZETVÉDŐKA hetedikesek szombatonként az erdőt takarítják. Egy természetvédő csa-patot is létrehoztak. Rendszerint a turistaösvények mentén haladnak. A leghosszabb a kék ösvény. Március első szombatján ennek az ösvénynek a harmadát, a második szombaton pedig a megmaradt rész háromnegyedét sikerült kitisztítaniuk.Hány km-es szakaszt hagytak a harmadik hétre, ha a kék ösvény teljes hosz-sza 12,6 km?

Tudod-e…?A gesztenyefélék (Aesculus) családjába 12 fa- és bokorfaj tartozik.Angliában, Észak-Amerikában, Kínában és Görögországban különös tisztelet-nek örvend. Franciaországban szent-képeket szoktak rá akasztani.Nagy mennyiségben tartalmaz B- és C-vitamint, valamint ásványi anyago-kat: káliumot, magnéziumot, foszfort és vasat.

109

16. 16. megoldás

Hasonló feladattal már találkoztunk. Foglaljuk táblázatba, hogy a munkának hányad részét végzi el a fiú és hányad részét az apja!

egyedül elvégzi 1 nap alatt elvégzi x nap alatt elvégzi x nap alatt közösen elvégzik

fiú 3 nap alatt a munka -részét a munka részét a munka

részét

Ede 5 nap alatt a munka -részét a munka részét

Az egyenlet megoldását rád bízzuk.

Ha helyesen dolgoztál, akkor azt kaptad, hogy . Ellenőrzés:

A fiú nap alatt elvégzi a munka részét.

Ede nap alatt elvégzi a munka részét.

Együtt nap alatt elvégzik a munka részét,

tehát az egész munkát. A feladat megoldása helyes.

A napokban kapott eredményt órákra alakítjuk:

nap = nap = h = 15 h. Közösen 15 óra alatt végzik el a munkát.

18. 18. megoldás

A feladatot egyenlettel oldjuk meg.A kártyák számát jelöljük x-szel!Az 1. barátjának adta a harmadát: Megmaradt még a kétharmada.

A 2. barátjának adott: darabot.Maradt 12 kártyája.Összesen x darab kártyája volt, tehát a feladatot az egyenlettel oldhatjuk meg.

16.16. KÖZÖS MUNKAVÉGZÉS – EMBEREK ÉS ESZKÖZÖKEde házát magas palánk veszi körül. Tele van firkákkal. Elhatározta, hogy az egészet átfesti. Egyedül 5 munkanap alatt tudná a munkát elvégezni. (1 munkanap 8 órából áll.) A fiának egyszer már sikerült a mázolást 3 nap alatt elvégeznie. Hány óráig fog tartani a munka, ha közösen fognak hozzá a mázoláshoz?

18.18. TESTVÉRIES OSZTOZKODÁSRudi elköltözött egy másik városba. Úgy döntött, hogy a jékorongozókat ábrázoló kártyagyűjteményét szét-osztja barátai közt. Egyiküknek odaadta a harmadát, másikuknak pedig a maradék felét. Maradt még 12 kártyája. Hány kártyát osztott szét?

17.17. KÖZÖS MUNKAVÉGZÉSa) Edéék kertjében van egy medence is. Két gumicsövön keresztül szokták megtölteni. A vastagabbal 6 óra alatt,

a vékonyabbal 10 óra alatt tudják a medencét feltölteni. Ede minél hamarabb fürödni szeretett volna, ezért a két csövet egyszerre használta a feltöltéshez. Mennyi idő alatt sikerül így a medencét feltöltenie?

b) Janka hozzáfogott, hogy kifesse a szobáját. Egyedül 5 óra alatt tudná kifesteni. Amikor már 3 órája festett, csat-lakozott hozzá a barátnője, ezért 1,5 óra alatt befejezték a munkát. Meddig tartana Janka barátnőjének egyedül kifesteni a szobát? Gyorsabb lenne-e, mint Janka?

folytatás

110


Ellenőrzés:

Az 1. barátjának adott: darabot.

A 2. barátjának adott: darabot.

Összesen 12 + 12 + 12 = 36.

A megoldás helyes. Janinak 36 kártyája volt.

20. 20. megoldás

A feladatot egyenlettel oldjuk meg, amelyet az alábbi táblázat segítségével írunk fel. A befejezést rád bízzuk.

kerékpár-típus

ennyit adtak el

darabonkénti ár

bevétel az eladott darabokból

1. típus x 210 € 210 · x

2. típus 12 – x 350 € 350 · (12 – x)

összesen 2940

Ebből ezt az egyenletet írhatjuk fel: 210 · x + 350 · (12 – x) = 2940 A megoldás: x = 9.Az olcsóbb típusból 9, a drágább típusúból 3 darabot adtak el. Az olcsóbb kerékpárból kell rendelni.

20.20. MIT ÉRDEMES VENNI?A kerékpár-szaküzletben kétféle városi kerékpárt árulnak. Egy hét alatt 12 da-rabot adtak el belőle összesen 2940 euró értékben. Az olcsóbb darabja 210, a drágábbé 350 euróba került. A raktárosnak azt mondták, hogy abból ren-deljen, amelyikből több fogyott. Segíts neki kiszámítani, hogy melyikből kell rendelnie!

19.19. OSZTOZKODÁS BARÁTNŐK KÖZÖTTDóri szétosztotta a pénzt, amelyet régi játékok eladásából kaptak az iskolai börzén. Hogy igazságos legyen, a pénz felét Jankának, a maradék negyedét pedig Tányának adta, magának 9 eurót hagyott meg. Mekkora összeget osztott szét Dóri?

21.21. NÉVNAPTomi a névnapjára készült. Úgy döntött, hogy osztálytársainak kétféle kis csokoládészeletet vásárol: mogyorós csokit a lányoknak (darabját 30 centért), nugátszeletet a fiúknak (darabját 35 centért). A 20 csokoládéért össze-sen 6,60 eurót fizetett. Hány darab mogyorós csokit és hány darab nugátszeletet vásárolt Tomi?

Tudod-e…?Karl Friedrich Drais von Sauerbronnt tartják a kerékpár feltalálójának. A kerékpárt akkor drezinának nevezték. 1813-ban egy négykerekű, 1817-ben pedig kétkerekű járművet szer-kesztett fából, és kormánya is volt. Csak úgy lehetett vele közlekedni, hogy váltott lábbal el kellett rugaszkodni a földtől.1885-ben jelent meg a valóban alacsony és biztonságos kerékpár. Megtervezői, William Sutton és John Starley (mindketten agolok) Rover Safetynek nevezték el.Nézd meg az interneten, hogyan néztek ki ezek a kerékpárok! Megéri!Forrás: internet

111

22.22. KIRÁNDULÁSKomáromból (Komárno) 23 tanuló készül a bajmóci kirán-dulásra. Velük tart az osztályfőnökük és két szülő is, akik magukkal viszik két, 5 évnél fiatalabb ikergyermeküket. A tanulók most azt számolják, mennyibe fog kerülni a ki-rándulás.

• A tanulók egyik csoportja megállapította, hogy amennyi-ben 20-nál többen lesznek, egy felnőtt belépése ingyenes lesz. Ezenkívül családi jegyet is vehetnek két felnőtt (férfi és nő) és egy gyermek részére 11 euróért. Most már csak az a kérdés, hogy „Hány euróba kerül egy belépő?”

• A tanulók egy másik csoportja megállapította, hogy sem autóbusszal, sem vonattal nem tudnak közvetlenül Baj-mócra jutni, ezért egyszerűbb lesz a szállítást egy közle-kedési magánvállalattal intézni. A legrövidebb távolság Komárom és Bajmóc közt 145 km.

A kirándulásról és a várlátogatásról a tanulók egy fotóalbu-mot szeretnének készíteni az osztályfőnökük részére. Ezért a kirándulás költségeihez hozzá kell adni 2 fényképezőgép használatát. Az útiköltség kiszámításakor a kilométerkölt-ségeken kívül számolni kell a parkolás és az állás költsé-geivel, valamint az autópályadíjjal. Minden a konkrét rész-letektől függ, ezért a végleges költségben előre meg kell egyezni. Az árjegyzék, amelyet a tanulók megkaptak, csak két adatot tartalmazott: az út kilométerenként 0,45 €-ba, az állás pedig óránként 7 €-ba kerül. Más költséget a cég nem fog felszámolni. Kiszámítható-e ezek után az útiköltség?

Vigyázat! A kilencedikesek 14 vagy 15 évesek. Meg kell határozni, hány órát fognak Bajmócon tölteni. A javaslat: 3 órát.Végezetül: Hány órásra kell tervezniük a kirándulást, ha 80 km/h átlagsebességgel haladnak?

A szöveges feladat valószínűleg onnan kapta a nevét, hogy sok benne a szöveg. Ugyanakkor azt szokták mon-dani, hogy „Beszélni ezüst, hallgatni arany”.

Állapítsd meg, miért nevezik ezeket a feladatokat szöve-geseknek!Tudakold meg a választ az osztálytársaidtól is!

22. 22. megoldás

Belépők:Tanulók: 23 · 2,90 = ................. 66,70 €Felnőttek és gyerekek 1 felnőtt ..................... ingyen 2 felnőtt és 1 gyerek . 11,00 € 1 gyerek ...................... 0,70 €

2 fényképezőgép: .................... 2 · 2,00 = 4,00 €

Közlekedés:Útiköltség: ...... 145 · 2 · 0,45 = 130,50 €Állásköltség: ................. 3 · 7,00 = 21,00 €

Összesen: ............................... 233,90 €A kirándulás 233,90 euróba fog kerülni.

Az egész kirándulás megközelítőleg 7 óráig fog tartani, mert: (145 · 2) : 80 + 3 = 6,625 A 6,625 órát 7 órára kerekítjük.

Szlovákiában sok szép város van. Ide sorolható Bajmóc (Bojnice) is a vármúzeumával, az állatkertjével és a gyógyfürdőjével. Tervezzünk egy közös kirándulást

ebbe a városba!

Belépőjegyek a kiállításra – éjjeli megtekintés

Felnőttek ................................................................ 6,70 €Gyermekek 18 éves korigcsak júliusban és augusztusban .............................. 5,00 €

Felárak a belépti díjhozFényképezőgép-használatért ................................... 2,00 €Videokamera használatáért ..................................... 5,00 €Idegen nyelvű idegenvezetésértaz angol és a német nyelven kívül csoportonként ... 13,30 €

Belépőjegyek a kiállításra – nappali megtekintésFelnőttek – személyenként ...................................... 5,70 €Gyermekek 6–15 éves korig .................................... 2,90 €Gyermekek 3–6 éves korig ...................................... 0,70 €

ggel haladnak?

112

Ezt a feladatot könnyen meg

lehetett oldani. A legtöbb

számítást „fejben” el lehetett

végezni.

23.23. KORCSOLYÁZÁSA korcsolyázás – mozgás, sport és relaxáció. Ezért két jó barát, Gyuri és Endre korcsolyát vásárolt.Gyuri 50 eurót kapott a szüleitől. Barátja, Endre, 40 euróval töb-bet. Gyurinak a boltban egy 45 eurós korcsolya nyerte meg a tet-szését. Endrének olyan korcsolya tetszett, amely a felével többe került, mint Gyurié.

a) Hány euróba került Endre korcsolyája? Ha a fiúk együtt vennék meg a két pár korcsolyát, akkor 10%-os kedvezményben részesülnének. Ha Gyuri egyedül veszi meg a korcsolyát, akkor csak 5%-os ked- vezményre jogosult, Endre viszont 10%-osra.

b) Mi az előnyösebb a fiúk számára: ha közösen vásárolnak, és közben a megtakarítást egyenlően elosztják egymás közt, vagy ha külön-külön vásárolnak? Az elárusító a korcsolyához kesztyűt is kínált. Ha megveszik, mindkettejüknek 5%-os kedvezményt ad.

c) Elég pénze lenne-e a két fiúnak a kesztyű megvételére is, ha külön-külön vennék meg a korcsolyát? A kesztyű ára kedvezmény nélkül 8,70 euró.

23. 23. megoldás

a) Gyuri korcsolyája 45 euróba került. Endre korcsolyája a felével többe, azaz 45 + 45 : 2 = 45 + 22,5 = 67,50 euróba került.

b) A fiúknak a korcsolyákért összesen 45 + 67,5 = 112,50 eurót kellett fizetniük. Kedvezmény: 100% .... 112,50 euró 1% .... 112,50 : 100 = 1,125 10% .... 1,125 ∙ 10 = 11,25 A kedvezmény 11,25 euró lenne. Ennek fele, tehát külön-külön 11,25 : 2 = 5,625 euró kedvezményt kapnak.

Gyuri 100% ... 45 euró 1% ... 45 : 100 = 0,45 euró 5% ... 0,45 ∙ 5 = 2,25 euró Gyuri 2,25 eurót takarítana meg.

Endre 100% ... 67,50 euró 1% ... 67,50 : 100 = 0,675 euró 10% ... 0,675 ∙ 10 = 6,75 euró Endre 6,75 eurót takarítana meg. Mivel a közös vásárlásból származó kedvezmény fele csak 5,625 euró lenne, Endre számára nem lenne előnyös a közös vásárlás.

c) Kesztyű 100% ... 8,70 euró 1% ... 8,70 : 100 = 0,087 95% ... 0,087 ∙ 95 = 8,265 euró Ha Gyuri egyedül venné meg a korcsolyát, nem maradna pénze a kesztyűre, mert 50 – 42,75 = 7,25 euró < 8,265 euró.

Azt, hogy mi lenne a helyzet Endre esetében, számítsd ki önállóan.

a került.

k.

113


1. Ha egy számot 30-cal növelünk, akkor az eredetinél négyszer akkora számot kapunk. Az eredeti szám:

A 6 B 40 C 10 D 5

2. Ha egy számot 15-tel csökkentünk, akkor az eredetinél háromszor kisebb számot kapunk. Az eredeti szám:

A 7,5 B 3,75 C 45 D 22,5

3. Erikának 126 €-ja van, Renátának csak harmadannyi, Hannának pedig 12 €-val kevesebb, mint Renátának. Hány €-ja van Hannának?

A 30 B 42 C 12

D 72

4. Ferinek kártyás mobiltelefonja van: 27 euróért 300 percig beszélhet. Barátjának kölcsönadta a mobiltelefonját – azzal a kikötéssel, hogy a lebeszélt perceket kifizeti. Barátja szerdán 12 percig, csütörtökön 6 percig, pénte-ken 15 percig beszélt Feri telefonján. Hány eurót fog ezért a barátja fizetni?

A 2,97 eurót B 3,66 eurót C 10,8 eurót

D 13,5 eurót

5. Mekkora sebességgel teszünk meg korcsolyán 10 perc alatt 15 km-t?

A 150 km/h B 45 km/h C 90 km/h D 50 km/h

6. 4,5 km/h sebességgel haladva hány km-t teszek meg 20 perc alatt?

A 1,5 km-t B 3,5 km-t C 9 km-t D 45 km-t

7. Tánya és Márti fogadtak, hogy görkorcsolyán mennek iskolába. Tányának a 2700 m-es út 18 percig tartott, Márta a 3600 m-es utat ugyanúgy 18 perc alatt tette meg. Hány km/h-val volt kisebb Tánya sebessége Már-táénál?

A 3 km/h-val B 9 km/h-val C 12 km/h-val D 0,3 km/h-val

8. Róbert kölcsönadta Ádámnak megtakarított pénzének háromnegyedét, azaz 48 eurót. Róbertnek maradt még:

A 12 eurója B 64 eurója C 16 eurója D 24 eurója

9. A kereskedő bevételének egyötödét a penztárban hagyta, a másik rész felét pedig bevitte a bankba. Ami meg-maradt, áruvásárlásra költötte. Ha 1200 euró volt a bevétel, akkor hány eurója maradt?

A 240 euró B 480 euró C 720 euró D 600 euró

10. 24,60 euróm van. A születésnapi ünnepségemre kétféle süteményt szeretnék vásárolni. A képviselőfánk darab-ja 1,80 euró, a dobosszeleté 0,60 euró. Minden vendégnek mindkét szeletből szeretnék adni. Hány vendéget hívhatok meg?

A 10-et B 11-et C 12-t D 13-at

11. Ha az tört értéke 0, akkor az n értéke:

A 12 B 15 C 3 D 0

12. Ha a zsebpénzem 20%-a 6,80 €, akkor a zsebpénzem:

A 68 € B 13,60 € C 40,80 € D 34 €

13. Ha ma kétszer annyi éves vagyok, mint a a nővérem 4 évvel ezelőtt, akkor hány éves vagyok most?

A 4 B 8 C 12 D 16

14. Az egyik kertész 4 óra alatt kaszálná le a kertet, a másik 3 óra alatt. Meddig tartana a munka, ha együtt dol-goznának?

A 12 h B h C 7 h D h

15. A medencét az egyik csapon keresztül 3,5 h alatt, a másikon keresztül 6,3 h alatt lehet feltölteni. Hány óra alatt töltenék meg a medencét, ha mindkét csapot megnyitnák?

A 4,9 B 2,25 C 1,4 D 2,80

114

A feladatot számegyenesen is szemléltethetjük.Gyuri:

8 9 10 11 12 13 14 15 16

Tomi (a megoldásnak csak egy részét szemléltettük):

8 9 10 11 12 13 14 15 16

Dénes:

8 9 10 11 12 13 14 15 16

25. 25. megoldás

Először felírjuk a megoldáshalmazt alkotó számokat, majd felírjuk az egyenlőtlenséget.A megoldás során egyenlőtlenségjelekkel és x ismeretlennel fogunk dolgozni.

a) A feladatot úgy módosítjuk, hogy bal oldalra kerüljön a kisebb, a jobb oldalra a nagyobb szám, majd megkeres- sük az összes olyan természetes számot, amely nagyobb 7-nél, de kisebb 12-nél.

Ezek: a 8, 9, 10 és 11. Tehát: 7 < 8, 9, 10, 11 < 12 7 < x < 12 A keresett egyenlőtlenség: 7 < x < 12 , ahol x természetes szám.b) A – 6 és a 2 között (beleértve az ezzel egyenlőket is) a következő egész számokat találjuk: – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2. Tehát: – 6 ≤ – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2 ≤ 2 – 6 ≤ x ≤ 2 A keresett egyenlőtlenség: – 6 ≤ x ≤ 2, ahol x egész szám.c) A – 7,2 és a +4,6 közötti egész számok: – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, +1, +2, +3, +4. Tehát: – 7,2 < – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 < +4,6 – 7,2 < x < +4,6 A keresett egyenlőtlenség: – 7,2 < x < +4,6, ahol x egész szám.d) Ilyen számok nem léteznek. Két egyenlőtlenséget kapunk: 5,2 < x és az x < 2,5.

24. 24. megoldás

Soroljuk fel mindhármuk lehetőségeit.Gyuri 11, 12, 13 vagy 14 napig kirándulhatott.Tomi 16 napnál kevesebbre mehetett kirándulni, tehát 15, 14, 13, 12, 11, 10, … napra.Dénes 9, 10 vagy 11 napig lehetett a kiránduláson.A fenti adatok alapján mindhárman 11 napig voltak kirándulni.

24.24. KIRÁNDULÁSGyuri 10-nél több, de 15-nél kevesebb napig volt szüleivel kirándulni.Barátja, Tomi, 16 napnál kevesebbet volt szüleivel kirándulni.Dénes 8-nál több, de 12-nél kevesebb napot volt a szüleivel kirándulni.Végezetül tudjuk, hogy mindhárman ugyanannyi ideig voltak szüleikkel kirándulni.Meg tudod-e ebből mondani, hogy hány napig?

Szöveges feladatok megoldása egyenlőtlenséggel

25.*25.* a) Sorold fel az összes 12-nél kisebb, de 7-nél nagyobb természetes számot! Írd fel az egyenlőtlenséget!b) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb vagy egyenlő, mint – 6, de kisebb vagy egyenlő, mint 2!

Írd fel az egyenlőtlenséget!c) Sorold fel az összes olyan egész számot, amely nagyobb –7,2-nél, de kisebb +4,6-nél! Írd fel az egyenlőtlenséget!d) Sorold fel az összes, 2,5-nél nagyobb, de 5,2-nél kisebb egész számot! Írd fel az egyenlőtlenséget!

115

26. 26. megoldás

Először az egyenlőtlenségnek megfelelően felsoroljuk a számokat,majd az oszthatóság jelei alapján kiválasztjuk a megfelelőket.a) A megoldás: 10, 8, 6, 4, 2.b) A megoldás: 12, 15, 18.c) A feltételnek a 36, 32, 28, 24, 20, 16, 12, 8, 4 számok felelnek meg, azaz 9 szám.A feladatokat számegyenessel is megoldhattuk volna. Számegyenessel oldd meg önállóan!

26.26. a) Sorold fel az összes kettővel osztható, 12-nél kisebb számot! b) Sorold fel az összes hárommal osztható, 10-nél nagyobb, de 20-nál kisebb számot! c) Hány 40-nél kisebb 4-gyel osztható természetes szám van?

27. 27. megoldás

A feladatok egyszerű következtetéssel is megoldhatók. Ezúttal oldjuk meg egyenlőtlenséggel!a) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az eurók számát jelöli. x ≥ 15 · 0,20 x ≥ 3 Legalább 3 euróra lesz szükségem.b) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x a kéteurósok számát jelöli.

A darabszám csak természetes szám lehet. 2 · x ≥ 6 · 1,20 x ≥ 3,60 Legalább 4 kéteurósra lesz szükségem.c) Olyan egyenlőtlenséget írunk fel, amelyben az x az öteurósok számát jelöli.

A darabszám csak természetes szám lehet. 5 · x ≥ 8 · 2,05 x ≥ 3,28 Legalább 4 öteurósra lesz szükségem.

27.27. a) Legkevesebb hány euróból vehetek 15 darab 20 centes kiflit? b) Legkevesebb hány kéteurósra lesz szükségem, ha ki akarok fizetni 6 joghurtot, amelynek darabja

1,20 €-ba kerül? c) Legalább hány öteurósra lesz szükségem, hogy meg tudjak venni 8 csokoládét, amelynek darabja 2,05 €?


1. Melyik az a természetes szám, amely nagyobb 8,5-nél, de kisebb 9,5-nél?

A 8 B 8,5 C 7,5 D 9

2. Egy természetes szám kisebb vagy egyenlő, mint 6,2, de nagyobb, mint . Melyik ez a szám?

A 6 B 7 C 5 D 8

3. Egy 3-mal osztható természetes szám kisebb 12-nél. Az alábbiak közül melyik ez a szám?

A 12 B 11 C 10

D 9

4. Hannának 8 tolla van, Dórinak kevesebb, de több, mint Jankának. Jankának 5 tolla van. Hány tolla lehet Hannának?

A 8 B 5 C 7

D 13

5. Fülöpnek kevesebb pénze van, mint Daninak, Daninak viszont 10 €-nál kevesebb pénze van. Fülöpnek több pénze van, mint Gyurinak, akinek 5 €-nál több pénze van. Mennyi pénze lehet Fülöpnek?

A 7 € B 10 € C 5 € D 15 €

6. Legalább hány eurósra lesz szükségem 10 darab 0,45 eurós zsemlye megvételéhez?

A 5-re B 3-ra C 4-re D 6-ra

7. Hány kéteurósra lesz szükségem, ha 15 darab 25 centes kiflit szeretnék vásárolni?

A 3-ra B 4-re C 5-re D 2-re

116

4. Szimmetria a síkban

4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése

Az épületek, házak, boltok, garázsok,a körülöttünk előforduló tárgyak mértani alakzatok.Az épületek téglatestek vagy kockák,a háztetők gúlák vagy kúpok,az épületek helyiségeinek falai négyzetek, téglalapok, trapézok,a számítógép képernyője téglalap,a számítógép-asztal lapja is téglalap,az abrosz, az ágynemű, a pokrócmind egy-egy négyzet vagy téglalap…

Fejtsd meg, milyen mértani alakzatokról van szó az alábbi mondatokban!» Minden házon van, ezen járnak be.» Nélküle az autó meg sem mozdulna.» Egyenes, mint az autópálya.» Légvonalban köt össze két várost.» A kés hegyén van.

Nyírj ki néhány szép alakzatot üzenetek írásához!Végy egy darab papírt, hajtsd ketté, és nyírj ki belőle egy tetszőleges alakzatot!A papír kettéhajtásával egy szabályos – szimmetrikus alakzat keletkezik.Íme, néhány egyszerű minta. A szaggatott vonal a kettéhajtás helyét mutatja.

Ezekről az alakzatokról elmondhatjuk, hogy tengelyesen szimmetrikusak.A szaggatott vonal (a papír kettéhajtásának helye) a kinyírt alakzatok szimmetriatengelye (vagy tükörtengelye).

Léteznek tengelyesen tükrös szavak is.Például a DOB szó tengelyesen szimmetrikus. A TAT szó is tengelyesen szimmetrikus.

DOB TAT

117

A téglalap• tengelyesen szimmetrikus, két szimmetriatengelye van.A szabályos háromszög• tengelyesen szimmetrikus, három szimmetriatengelye van.A • négyzet tengelyesen szimmetrikus alakzat, négy szimmetriatengelye van.A • paralelogramma nem tengelyesen szimmetrikus alakzat. Feldarabolható 2 egyforma paralelogrammára,

de a részek az e egyenes mentén egymásra hajtva nem fedik egymást.

1.1. SZIMMETRIATENGELYEKET KERESÜNKÁllapítsd meg, hogy az alábbi alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak!

1. 1. megoldás

Ha egy alakzat tengelyesen szimmetrikus, akkor kell, hogy legyen szimmetriatengelye.Szimmetriatengelyeket keresünk – azt kutatjuk, hogy az alakzatot fel lehet-e darabolni két egyenlő részre.

Gondolkodtató feladatÍrd fel az ábécé összes olyan nyomtatott nagybetűjét, amely tengelyesen szimmetrikus! Alkoss legalább négy olyan szót, amely nyomtatott nagybetűkkel leírva tengelyesen szimmetrikus!

Gondolkodtató feladat Karneváli díszítést készítünk az osztályunkban – ehhez girlandokat gyártunk papírból.Tégy javaslatot ezek előállításának módjára! HH

MMOOKK

RR

téglalap szabályos háromszög négyzet paralelogramma

téglalap szabályos háromszög négyzet paralelogramma

e

t1 t1t1

t2 t2 t2

t3

t3t4

Egy tengelyesen szimmetrikus alakzat két egybevágó részből áll. Ezeket egy egyenes (a szimmetriatengely) vá-lasztja el egymástól. Ha az alakzatot kinyírjuk, és a részeket a szimmetriatengely mentén egymásra helyezzük, a két résznek fednie kell egymást.

A szimmetriatengelyt t-vel jelöljük.Ha több szimmetriatengelye van, akkor ezek jelölése: t1, t2, t3...

118

2.2. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS ALAKZATOKHatározd meg, hogy a következő alakzatok közül melyek a tengelyesen szimmetrikusak: szakasz, egyenes, félegyenes, egyenlő szárú háromszög, derékszögű háromszög, rombusz, egyenlő szárú trapéz, derékszögű trapéz, körlap, körvonal!Írd le, hány szimmetriatengelyük van!

4.4. Az alábbi figurákat fiatalabb tanulók készítették papírból. Állapítsd meg, hogy ezek közül melyek a tenge-lyesen szimmetrikusak!

3.3. Állapítsd meg, hogy az alábbi virágszerű ábrák tengelyesen szimmetrikusak-e! Ha igen, rajzold meg a szim-metriatengelyeiket!

2. 2. megoldás

A feladatot úgy is megoldhatjuk, hogy az alakzatokat egy rajzlapra rajzoljuk, majd a kinyírhatókat kinyírjuk, és megpróbáljuk kettéhajtani úgy, hogy a fél alakzatok fedjék egymást.Tengelyesen szimmetrikus:a szakasz, az egyenes, az egyenlő szárú háromszög, a rombusz, az egyenlő szárú trapéz, a körlap és a körvonal.• A szakasznak két szimmetriatengelye van.• Az egyenesnek végtelen sok szimmetriatengelye van.• Az egyenlő szárú háromszögnek egy szimmetriatengelye van.

• A rombusznak két szimmetriatengelye van.• Az egyenlő szárú trapéznak egy szimmetriatengelye van.• A körnek végtelen sok szimmetriatengelye van.

A feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha pontosan ismerjük az alakzat tulajdonságait.

4. 4. megoldás

A feladatot egyszerű következtetéssel is meg tudjuk oldani, ha felsoroljuk, milyen alakzatokból tevődnek össze ezek a figurák, majd meghatározzuk az adott alakzatot és tulajdonságait. Mindhárom ábra tengelyesen szimmetrikus.

Projektfeladat A 3. ábrán látható rajzok mandalák. Keressetek hasonló tengelyesen szimmetrikus ábrákat!

Először rajzold le

az alakzatokat, és

csak azután válaszolj!

t

BA

C

t1

t2

t3

t4t5

O

t1

t2

A B

.

.

t1

A B

O2

O1

CD

.

O

O O

t2

A B

CD

t1

.

119

5.5. ALAKZATOKKAL JÁTSZUNKa) Alkoss négy egyenlő szárú háromszögből egy tengelyesen szimmetrikus alakzatot! Próbálj minél több megol- dást találni!b) Van egy 4 cm oldalú négyzeted és négy 4 cm oldalú szabályos háromszöged. Alkoss ezekből minél több tengelyesen szimmetrikus alakzatot!

6.6. KIEGÉSZÍTŐMásold át az alábbi háromszögeket a füzetedbe, majd egészítsd ki egy ugyanilyen háromszöggel úgy, hogy ten-gelyesen szimmetrikus alakzat keletkezzék!

a) b) c)

8.8. CSILLAGSzerkeszd meg a tengelyesen szimmetrikus csillag hiányzó részét!

7.7. Szerkessz a füzetedbea) egy négyzetet és egy téglalapot, úgy, hogy egyik oldaluk közös legyen, majd az így kapott alakzatot egészítsd

ki tengelyesen szimmetrikus alakzattá!b) egy egyenlő szárú és egy szabályos háromszöget, majd az így kapott alakzatot egészítsd ki tengelyesen szim-

metrikus alakzattá!

6. 6. megoldás

Ez egy könnyű feladat. A háromszögek oldalait körzővel és vonalzóval megmérve megszerkesztjük a háromszöge-ket, majd hozzárajzoljuk ugyanazt a háromszöget. Több megoldás is létezik. Íme, néhány ezek közül:

a) b) c)

8. 8. megoldás

A t szimmetriatengely segítségével, derékszögű háromszögvonalzót és körzőt használva megszerkesztjük az ábrát. A csillag meglévő csúcsait A, B, C, D, E, F betűkkel jelöljük. Megkeressük a szimmetriatengely másik oldalán ezeknek a pontoknak a szimmetrikus párjait, és A´, B´, C´, D´, E´, F´ betűkkel jelőljük őket. Az adott pontokból merőlegeseket szerkesztünk a szimmetriatengelyre, majd körívek segítségével, úgy jelöljük ki a keresett pontokat, hogy ugyanakkora távolságra legyenek a szimmetriatengelytől, mint az eredeti pontok. A körív középpontja a szimmetriatengelyrehúzott merőlegesek talppontjában van.Az A, B, C, D, E, F pontok megnevezése: eredeti vagy ős.Az A´, B´, C´, D´, E´, F´ pontok megnevezése: kép.A B, B´, C, C´, D, D´ a E, E´ pontpárokat összetartozó pontpároknak nevez-zük a t szimmetriatengely szerint, vagy egyszerűen tengelyesen szimmet-rikus pontpároknak. A t tengelyen fekvő pontok, tehát az A, A´ és az F, F´ pontokat a t tengely szerinti invariáns (önmaguknak megfelelő) pontoknak nevezzük.

Hogyan kell tengelyesen szimmetrikus alakzatot szerkeszteni?Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a t egyenes szerint, ha minden A pontjának A‘ tükörképe is pontja az alakzatnak.

C

A

t

B

D

E

F

E´

F´D´

C´

A´

B´.

.

.

120

9. 9. Egészítsd ki az alakzatokat tengelyesen szimmetrikus alakzatokká!

11.11. Szerkeszd mega) az ABC háromszög tetszőleges képét a BC egyenes szerinti tükrözésben!b) az ABC háromszög tetszőleges képét az AC egyenes szerinti tükrözésben!

13.13. Szerkeszd mega) az ABC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes nem metszi a háromszög oldalait!b) az ABC háromszög tükörképét a t egyenes szerinti tükrözésben, ha a t egyenes a háromszög két oldalát metszi!

14.14. Melyek azok az arab számjegyek, amelyek tengelyesen szimmetrikusak?

Segítség

Jelöld meg az alakzatok

csúcsait, és vegyél föl egy

szimmetriatengelyt!

10.10. MEGSZERKESZTJÜK AZ 1. HÁROMSZÖGETSzerkeszd meg az ABC háromszög képét az AB egyenes szerinti tükrözésben, ha a = 4 cm, b = 3 cm és c = 5 cm!

12.12. MEGSZERKESZTJÜK A 2. HÁROMSZÖGETAdott egy ABC háromszög és a háromszög oldalait nem metsző t szimmetriatengely.Szerkeszd meg az ABC háromszög A B C képét a t egyenes szerinti tükrözésben!

12. 12. megoldás

A tengelyes tükrözésben az A pont az A pont képe, a B a B ponté, a C pedig a C ponté.Az ABC háromszög A B C képe az ABC háromszög minden pontjának tükörképét tartalmazza, és ezeken a ponto-kon kívül semmilyen más pontot nem tartalmaz.

10. 10. megoldás

Vonalzó és körző segítségével megszerkesztjük az ABC háromszöget.Felvesszük az AB szimmetriatengelyt, és megjelöljük a háromszög A, B, C csúcsait. Az A és B pont invariáns pont, tehát A ≡ A , B ≡ B .A C pontot úgy szerkesztjük meg, hogy a C pontból merőlegest szerkesztünk a szimmetriatengelyre, és a körzőt a merőleges talppontjába szúrva a C pontig terjedő távolságot átvisszük a merőleges másik oldalára.

C

c

b

a

C´

A ≡ A

B ≡ B´

.

kokonn kíkívüvüll sesemmmmililyeyenn mámáss popontntotot n nemem t tarartatalmlmazaz.

B

A

C

tk3

k3

k2

k2

k1

k1

C´

B

A

.

.

.

121

16.16. Szerkeszd meg az 5 cm oldalú ABCD négyzet szimmetrikus képét az X és Y pontokon áthaladó t egyenes szerint, ha X ∈ AB és Y ∈ BC!

17.17. Szerkeszd meg a 4 cm és 3 cm oldalú KLMN téglalap szimmetrikus képét a t = KM egyenes szerint!

18.18. Adott egy egyenlő szárú ABCD trapéz, amelyben a = 6 cm, b = 4 cm és m = 3 cm. Szerkeszd meg a trapéz szimmetrikus képét a t = AC egyenes szerint!

eredeti B C F K P Q

kép

t

Á

B

K

H

RD

A

C

T

G

M

F

Q

PY

Projektfeladat Alkoss számítógépen érdekes tengelyesen szimmetrikus alakzatot!

19.*19.* Keresd meg az összetartozó tengelyesen szimmetrikus alakzatpárokhoz a megfelelő szimmetriatengelyeket, majd jelöld meg, hogy melyik az ős, és melyik a kép!

a) b) c) d)

e) f) g)

15.15. FEJTÖRŐKeresd meg a táblázat felső sorába írt pontok t tengely szerinti szimmetrikus képének betűjelét!A megoldás az alábbi mondat befejezése:Eredeti és kép – ez a kultúra és a művészet…

Az alábbi feladatokba

n

a tengelyes szimmetriáról

tanultakat kell

felhasználnod.

12212122222

A háromszögnek is lehet szimmetria-középpontja?

4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése

SS ZZNN

A szabályos háromszög is a középpontosan szimmetrikus alakzatok közé tartozik?

Az előző oldalakon a tengelyes tükrözéssel foglalkoztunk.Most bemutatjuk a középpontos tükrözést.Középpontosan szimmetrikus például az S és a Z betű, sőt az N betű is.

Középpontosan szimmetrikus alakzat például a szakasz, a négyzet és a téglalap is.

Miért?

Mert van szimmetria-középpontjuk.Jelöljük O-val!

Mit tudunk róla?

|AO| = |OA |, |BO| = |OB |, |KO| = |OK |, |XO| = |OX |és az A, A , B, B , K, K , X, X pontok mindegyikeaz adott alakzathoz tartozik.

Az A, B, K, X pontokat őspontoknak, az A , B , K , X pontokat pedig képpontoknak nevezzük.

Az alakzat középpontosan szimmetrikus az O pont szerint, ha minden A pontjának az A képe is pontja az alakzatnak.

AOA

A B

A

K´

B´

K

X

X´

B´

K´

X´

X´

A

B

K

A

XO

O

123

Milyen az AB és

A’B’ szakaszok

kölcsönös helyzete?

Egybevágók és

párhuzamosak.

Az alábbi alakzatok középpontosan szimmetrikusak, de láthatjuk, hogy a középpontosan szimmetrikus alakzatok közt lehetnek tengelyesen szimmetrikusak is.

1.1. Az arab és a római számjegyek közül melyek a középpontosan szimmetrikusak? A nyomtatott nagybetűk közül melyek a középpontosan szimmetrikusak?

3.3. JÁTSSZUNK A FORMÁKKAL!a) Alkoss négy szabályos háromszögből minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot!b) Van egy 3 cm oldalú négyzeted és négy 3 cm oldalú szabályos háromszöged. Alkoss belőlük minél több középpontosan szimmetrikus alakzatot!

5.5. Szerkessza) egy 4 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon kívül fekszik!b) egy 5 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakaszon fekszik!c) egy 6 cm hosszúságú szakaszt, majd szerkeszd meg az O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a szakasz fe- lezőpontja!

2.2. Szerkessz középpontosan szimmetrikus alakzatokat! Jelöld meg a szimmetria-középpontjukat!

4.4. Adott egy AB szakasz, és rajta kívül egy O pont. Szerkeszd meg az AB szakasz O pont szerinti tükörképét!

Hogyan szerkesztjük meg egy alakzat középpontos tükörképét?

B

B´

A

A

O

4. 4. megoldás

Fölvesszük az AB szakaszt, és rajta kívül az O pontot.Fektessünk egyeneseket a szakasz A, B végpontjaiból az O ponton keresztül, majd körzővel vigyük át az AO és BO távolságokat az egyenes O ponton túli részére!

124

6.6. MEGSZERKESZTJÜK A 3. HÁROMSZÖGET Adott egy ABC háromszög és rajta kívül egy O pont. Szerkeszd meg az ABC háromszög O pont szerinti A B C´ tükörképét!

6. 6. megoldás

Megszerkesztjük az ABCΔ-et és a rajta kívül fekvő O pontot. Egymás után megszerkesztjük az A, B, C pontok O pont szerinti A , B , C tükörképeit.Az ABC háromszög szimmetrikus képe az A B C háromszög.|AO| = |OA ||BO| = |OB ||CO| = |OC |

7.7. Szerkeszd mega) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont azonos a B csúcsponttal!b) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a háromszögön belül fekszik!c) az ABC háromszög O pont szerinti tükörképét, ha az O pont a háromszögön kívül fekszik!

8.8. EGY KIS SZÓRAKOZÁSKeresd meg a táblázat felső sorába írt pontok O pont szerinti szimmetrikus képének betűjelét!

eredeti B C G H J

kép

Szimmetria és számolásAz alábbi számlépcső a tengelyes szimmetria jó példája.Balról jobbra, vízszintesen kell kitölteni. A középső, vastagabb vonal a tizedesvessző helye.Minden négyzetbe egy számjegynek kell kerülnie.1. 0,5 + 0,6 = 2. 31,4 + 0,83 = 3. 104,39 + 92,301 = 4. 2 153,402 1 + 901,048 2 =

1.

2.

3.

4.

A

A´C

B

O

B´

C´

Projektfeladat A táblázatban kapott szóról állapítsd meg az interneten, hogy mi köze a matematikához!

R

K

C

O

ÓDJ

U

B

M

A

H

F

G

125

9.9. Szerkeszd meg a 4 cm oldalú ABCD négyzet tükörképét az O ∈ BC szerinti tükrözésben, ha az O pont a BC átló középpontja!

11.11. Adott az egyenlő szárú ABCD trapéz, amelyben |AB| = 6 cm, |CD| = 4 cm és amagassága m = 3 cm. Szerkeszd meg a trapéz tükörképét az O ≡ C pont szerinti tükrözésben!

13.**13.** Szerkeszd meg az ABCD rombuszt, amelyben a = 3 cm, |DAB� | = 40°! Szerkeszd meg az ABCD rombusz A B C D tükörképét az O ≡ C pont szerinti tükrözésben, majd szerkeszd meg az A B C D rombusz t ≡ A B egyenes szerinti tükörképét! Mit mondhatunk a három alakzatról?

10.10. Szerkeszd meg a 4 cm és 3 cm oldalú KLMN téglalap tükörképét az O pont szerinti tükrözésben, ha az O pont az átlók metszéspontja!

A tengelyes tükrözést egyértelműen meghatározza az az egyenes, amelyet a tükrözés tengelyének nevezünk és amit általában t-vel jelölünk.A tengelyes tükrözés távolságtartó.Azt az alakzatot, amelynek a tengelyes tükörképét meg kell szerkesztenünk, ősnek vagy eredetinek nevezzük.A tengelyes tükrözésben megszerkesztett alakzatot képnek nevezzük.Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a t egyenes szerint, ha bármely X pontjának – ősének – X‘ tükörképét is tartalmazza.A tükrözés tengelyén fekvő pontok invariáns pontok (az ős és a kép egybeesik).

A középpontos tükrözést egyértelműen meghatározza a tükrözés középpontja, amelyet általában O-val je-lölünk.A középpontos tükrözés távolságtartó.Azt az alakzatot, amelynek a középpontos tükörképét meg kell szerkesztenünk, ősnek vagy eredetinek nevezzük. A középpontos tükrözésben megszerkesztett alakzatot képnek nevezzük. Egy alakzat középpontosan szimmetrikus az O pont szerint, ha bármely X pontjának – ősének – X‘ tükörképét is tartalmazza.

Jegyezd meg!

12.*12.* Keresd meg az összetartozó középpontosan szimmetrikus alakzatpárokhoz a megfelelő szimmetria-közép-pontokat!

a) b) c) d)

e) f) g)

126

Tudáspróba – ismétlés

Tankönyvünk 1. részének végén olyan feladatokat közlünk, amelyeket az előző fejezetekben kellett megoldanod.Ezek közül 7 feleletválasztásos, 7 pedig olyan, amelyre rövid választ kell adnod, mint a Tesztelés 9 tudásszint-felmérés során.

1. Az alábbi kifejezések közül melyik értéke kisebb, mint 100,001?

A 6,3 . 103 + 5 . 101 – 5,9 . 102 – 0,08 . 100 B 0,25 . 104 – 0,3 . 103 + 1,2 . 100 – 6,1 . 102

C 6 . 102 – 0,32 . 103 + 0,01 . 101 – 0,01 . 104 D 4,5 . 102 – 0,23 . 103 – 0,015 . 104 + 3 . 101

2. Legyen x egy valós szám! Melyik számegyenes szemlélteti az 5x – 3 ≤ 2 . (x + 8) + 5 egyenlőtlenség megol- dáshalmazát?

A

B

C

D

3. A 2 · (3x – 4) – 3x = x – (3x – 2) egyenlet megoldása:

A páros szám B nagyobb vagy egyenlő mint 2

C tizedestört D negatív szám

4. A egyenlet gyöke megegyezik az alábbi egyenletek egyikének gyökével.

Melyikkel?

A

B

C D

5. A egyenlet gyökéről elmondható, hogy:

A x = 6, x ≠ 2 B x = 6, x ≠ 0,5 C x = 6, x ≠ 0,5 D x = 6, x ≠ 2

6. A VILÁGŰRAz ISS nemzetközi űrállomás 92 perc alatt kerüli meg a Földet. Kb. hányszor kerüli meg a Földet egy nap alatt? Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!

A 17,35 B 16,18 C 15,65 D 14,32

7. A SEBESSÉG ÉS AZ ISKOLAGyuri és nővére ugyanazon az útvonalon jár iskolába. Sokszor görkorcsolyával mennek. Gyuri általában 8 km/h, nővére pedig 12 km/h átlagsebességgel halad. Házuk az iskolától 2400 m-re van. Hány perccel érkezik később az iskolába Gyuri, mint a nővére, ha együtt indulnak?

A 4 perccel B 18 perccel C 12 perccel D 6 perccel

8

8

8

8

127

8. 8. A SEBESSÉG ÉS A KERT

Fülöp a kerti kis medencét egyedül 4 óra alatt tisztítaná ki. Ha segít neki a nővére, akkor 3 óra alatt végeznének. Hány óra alatt tisztítaná ki a medencét Fülöp nővére egyedül?

9. 9. A KERT

Az ábrán egy egyenlő szárú trapéz alakú kert alaprajza látható, amelyen kijelölték a szemközti oldalakat ösz- szekötő járdákat is. A járdákat, amelyek szélességét 1 méterre tervezték, ki szeretnék kövezni. Számítsd ki, mekkora területet kell kővel burkolni! Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!

10.10. Szerkeszd meg az ABC háromszöget, amelyben c = 4,5 cm, sc = 3 cm (a c oldalhoz tartozó súlyvonal) és |ABC�| = 60°. Mérd meg mm-pontossággal az a oldal hosszát!

11.11. Számítsd ki a derékszögű ABCD trapéz BC szárának hosszát, ha |AB| = 12,5 cm, |CD| = 3,5 cm és |AD| = 6 cm. Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre!

12.12. A telek negyedét a családi ház foglalja el, a fennmaradó rész egyharmadát pedig a konyhakert tölti ki. A többit, azaz 35 m2-t kövezet borítja. Mekkora az egész telek területe? Az eredményt kerekítsd két tizedesjegyre, és add meg m2-ben!

13.13. Helyettesítsd be a képletbe a T = 12,3, a = 12, b = 35, c = 0,16, m = 0,5 értékeket,

és számítsd ki az d ismeretlen értékét!

14.14. HÁROM JÁTÉKOS VITATKOZOTT

Egyikük azt mondta: – Ha neked több mint 99 tallérod van, nekem meg 101-nél kevesebb, akkor ugyanannyi pénzünk van. A második azt mondta: – Ha neked 101-nél kevesebb tallérod van, és a harmadiknak kevesebb tallérja van, mint neked, de több, mint nekem, akkor mindhármunknak ugyanannyi pénze van. A harmadik megkérdezte: – Hány tallérunk van hármunknak? Felelj a kérdésére!

20 m

40 m

15 m15 m

128

Eredme nyek

1. Hatványok, gyökök, nagy számok írása1.1. Négyzetre emelés, köbre emelés

4. 4. a) 121 cm2 b) 0,280 9 dm2 c) 91 204 mm2

7.7. a) V = 729 cm3, F = 486 cm2 b) V = 0,001 728 dm3, F = 0,086 4 dm2 c) V = 15 625 mm3, F = 3750 mm2

11.11. a) 441; 22,09; 0,828 1; b) 2025; 3,24; ;

14.14. a) 1331; 0,343; 1,728; b) – 0,064; –24,389; ;

16.16. a) 0,33 > 0,092 b) 172 > (–21)3 c) 5,13 > (–7,1)2 d)

18.*18.* a) 48 b) 0 c) 0,08 d)

19. 19.

a) a

–4 –3 –2 2 3 4

a2 16 9 4 4 9 16

a3 – 64 – 27 – 8 8 27 64

b) a

– 0,4 – 0,3 – 0,2 0,2 0,3 0,4

a2 0,16 0,09 0,04 0,04 0,09 0,16

a3 – 0,064 – 0,027 – 0,008 0,008 0,027 0,064

c) a

a2

a3

20.20. a) 144 = 122; 0,25 = 0,52; ; 6400 = 802 b) 64 = 43; ; 0 = 03; –1 = (–1)3; 0,125 = 0,53

21.*21.*

a

3 15 36 18 36 3

– 2 0 – 14 – 12 – 4 – 2

129

22.* 22.*

a) b) c) – (– 2)3 = 23 d)

TudáspróbaCsak egy igaz barátság létezik. 1 C 2 S 3 A 4 K 5 E 6 G 7 Y 8 I 9 G 10 A 11 Z

1.2. Természetes kitevőjű hatványok

3. 3. a) 154 b) (– 0,7)5 c) d)

5. 5. hatvány hatványérték

(–2)4 16

0,35 0,002 43

(–100)3 –1 000 000

(–1)6 1

(–1,2)3 –1,728

11

9. 9. a) 2,73 > 0 b) (– 0,6)4 > 0 c) d)

10.10. a) 34 = (– 3)4 b) (– 1,9)15 = –1,915 c) d)

11.11. a) – 200 b) 0,001 c) d)

12.12. a) – 41 b) 0 c) d)

13. 13. (– 2)4 · (– 3)3 = – 432 (– 0,02)2 · (– 0,1)4 = 0,000 000 04

14.14. a)

b)

c)

Tudáspróba1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B

Számolás természetes kitevőjű hatványokkal – kiegészítő tananyag

23.*23.* a) 75 = 16 807 b) 53 = 125 c) 316 = 43 046 721 d)

25.**25.**a) b) c)

d) e) f)

130

1.3. A 10 hatványai és a mértékegységek közti összefüggés

2. 2.

1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000

100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

4. 4. 1 002 304 =

60 985 321 =

132 456 021 =

9 780 325 405 =

6. 6. 6,731 =

6,731 = 105,3 = 1 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1 + 3 · 0,1 105,3 = 1 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100 + 3 · 10–1

652,34 =

652,34 =

0,231 056 =

0,231 056 =

7. 7. a) 26 = b) 0,2 = 0 · 100 + 2 · 10–1

547 = 5,74 = 5 · 100 + 7 · 10–1 + 4 · 10–2

8509 = 20,921 = 2 · 101 + 0 · 100 + 9 · 10–1 + 2 · 10–2 + 1 · 10–3

36 026 = 328,36 = 3 · 102 + 2 · 101 + 8 · 100 + 3 · 10–1 + 6 · 10–2

8. 8. a) 2,3 km = 2300 m b) 4,29 m = 42,9 dm c) 6,8 dm = 68 cm 0,5 km = 5000 dm 0,8 m = 80 cm 0,8 dm = 80 mm 0,025 km = 2500 cm 0,05 m = 50 mm

9. 9. a) 2,3 km2 = 2 300 000 m2 b) 4,29 m2 = 429 dm2 c) 6,8 dm2 = 680 cm2

0,5 km2 = 50 000 000 dm2 0,8 m2 = 8000 cm2 0,8 dm2 = 8000 mm2

0,025 km2 = 250 000 000 cm2 0,05 m2 = 50 000 mm2

d) 0,8 ha = 80 a e) 45 a = 4 500 m2

1,2 ha = 12 000 m2

10.10. a) 4,29 m3 = 4 290 dm3 b) 6,8 dm3 = 6800 cm3 c) 0,5 hl = 50 l d) 4,1 l = 41 dl 0,8 m3 = 800 000 cm3 0,8 dm3 = 800 000 mm3 2,5 hl = 2500 dl 0,60 l = 600 ml 0,05 m3 = 50 000 000 mm3 0,09 hl = 900 cl 0,003 l = 0,3 cl

11.11. a) 420 m = 0,42 km b) 260 dm = 26 m c) 560 cm = 56 dm 2050 dm = 0,205 km 10 260 cm = 102,6 m 3 075 mm = 30,75 dm 310 256 cm = 3,102 56 km 36 560 mm = 36,56 m

12.12. a) 36 580 m2 = 0,036 58 km2 b) 30 250 dm2 = 302,5 m2

389 560 cm2 = 0,038 956 0 km2 106 520 cm2 =10,652 m2

4 500 200 dm2 = 0,045 002 km2 560 000 mm2 = 0,56 m2

c) 3298 cm2 = 32,98 dm2 d) 125 a = 1,25 ha e) 562 m2 = 5,62 a 6280 mm2 = 0,628 dm2 650 250 m2 = 65,025 ha

13.13. a) 5620 dm3 = 5,62 m3 b) 10 253 cm3 = 10,253 dm3 c) 450 l = 4,5 hl d) 320 dl = 32 l 952 cm3 = 0,000 952 m3 650 280 mm3 = 0,650 28 dm3 56 000 dl = 56 hl 4120 cl = 41,2 l 7450 mm3 = 0,000 007 45 m3 4 580 000 cl = 458 hl 10 250 ml = 10,25 350 cl = 35 dl 3520 ml = 35,2 dl

131

14.14.a)

2,65 m == 2650 mm

256 cm == 2560 mm

0,000 625 km = = 625 mm

5,62 dm = = 562 mm

526 mm0,652 dm == 65,2 mm

G R A F I T

b)

3,65 m2 = = 3 650 000 mm2

35 600 cm2 = = 3 560 000 mm2

56,3 dm2 = = 563 000 mm2 53 600 mm2 0,000 356 a =

= 35 600 mm2

K Ö R Z Ő

c)

0,785 m3 = 785 000 cm3 8 750 cm3

5,87 dm3 = 5 870 cm3 5,78 l = 5 780 cm3 0,007 58 hl =

758 cm3

F Ü Z E T

15.15. a) Egy méter több, mint 50 cm. Igaz Egy km kevesebb, mint 1500 m. Igaz 10 dm több, mint 1000 cm. Hamis 1000 mm kevesebb, mint 100 dm. Igaz

b) 100 m2 több, mint 100 dm2. Igaz Egy cm2 kevesebb, mint 1 m2. Igaz 10 000 dm2 ugyanannyi, mint 10 m2. Hamis 100 000 mm2 több, mint 100 cm2. Igaz

c) Egy liter több, mint 1 dm3. Hamis 100 hl annyi, mint 10 dm3. Hamis 1 000 000 cm3 kevesebb, mint 1 liter. Hamis Egy m3 több, mint 10 liter. Igaz

1.4. A számok normálalakja

2. 2. 1 495 200 m = 1495,2 km

3. 3. 100 000 = 105, 1 000 000 = 106, 10 000 000 = 107, 100 000 000 = 108

5. 5. a)

b)

c)

d)

10.10. a) 9 000 000; 40 000 000; 1 000 000 000 000; 8 b) 65; 73 000; 80 000; 1 900 000 c) 51 400 000; 3 230 000 000 000; 28 100 000 000; 328 000 000 000 d) 31 530 000; 215 378 000 000; 258 170 000 000; 32 552 300 000 000

12.12. a) 7930 d) 15 049 b) 6115 e) 128 256,5 c) 1206,2 f) –36 206,1

13.**13.** B (– 1,6 · 105 – 2,04 · 107) · 102 < A (1,6 · 103 – 2,04 · 105) · 102 < C (0,1 · 101) · (1,012 ·107)

14.**14.** A (– 9,086 · 104 + 7,041 · 103) : 102 = B (– 0,908 6 · 105 + 0,704 1 · 104) : 102 = C (– 9,086 · 102 + 7,041 · 101) : 100

Tudáspróba1 A 2 C 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 B 9 D 10 D

132

1.5. Műveletek nagy és kis számokkal, kerekítés és becslés

2. 2. a) Pontosan: 333 938 743. Becslés: milliókra 334 000 000. Különbség: 61 257 b) Pontosan: 595 810 944. Becslés: milliókra 595 000 000. Különbség: 810 944 c) Pontosan: 1,894 291. Becslés: tízezredekre 1,9. Különbség: 0,005 709 d) Pontosan: 2,395 537 398. Becslés: századokra 2,40. Különbség: 0,004 462 602

4.4. a) Pontosan: 2 763 978 718. Becslés: 2 800 000 000. Különbség: 36 021 282 b) Pontosan: 4 101 767 596. Becslés: 4 000 000 000. Különbség: 101 767 596 c) Pontosan: 0,259 1. Becslés: 0,259 1. Különbség: 0 d) Pontosan: 0,109 800 243. Becslés: 0,1. Különbség: 0,009 800 243 e) Pontosan: 0,000 269. Becslés: 0,000 269. Különbség: 0

6.6. a) Pontosan: 3 900. Becslés: tízesekre 3300. Különbség: 600 b) Pontosan: 85 690. Becslés: tízesekre 90 200. Különbség: 4510 c) Pontosan: 4,423 2. Becslés: egészekre 5. Különbség: 0,576 8 d) Pontosan: 100,52. Becslés: egészekre 108. Különbség: 7,48

8.8. a) Pontosan: . Becslés: tízesekre 6,5. Különbség:

b) Pontosan: . Becslés: tízesekre 79,2. Különbség:

c) Pontosan:4,588 6 ... Becslés: egészekre 4. Különbség: 0,588 6...

d) Pontosan: 2,950 57... Becslés: tízezredekre 2,888 88... Különbség: 0,061 69

e) Pontosan: 6,155 17... Becslés: 6. Különbség: 0,155 17...

10.10. Gimnáziumokban: vagy

Szakközépiskolákban: vagy

11.11. I. Radičová:

12.12. a) Škoda Octavia: VW Golf: b) KIA:

1.6. Négyzetgyök és köbgyök

4.4. a) 12 dm b) 25 mm c) 11 m d) 50 cm e) 70 m

6.6. a) 1 m b) 2,83 dm (két tizedesjegyre) c) 10 cm d) körülbelül 2,54 mm e) 5 m

8.8. a) 6, 8, 13, 14, 30, 50, 400 b) 0,3; 0,2; 0,5; 0,8; 0,11; 0,15 c) d) 0,4; 0,2; 1;

9. 9. a) 0; 1; 10; 100; 1 000 b) 0,1; 0,01; 0,001 c)

11.11. a) 4 b) –0,1 c) –0,28 d) e)

13.13. A = 0,3

14.14.

= 0,7 = 0,6 = 0,5 = 0,4 = 0,2

H A S Á B

17.17. a) Igaz b) Hamis c) Hamis d) Hamis e) Hamis

19.19. a) Igaz b) Hamis c) Hamis

21.21. a) 9 cm b) 0,3 dm c) m

23.23. a) 1; 100; 0,01; 0 b) 0,9; 0,5; 0,07; 0,03 c)

133

26.26. a) b) c) d)

e) f) g) h)

Tudáspróba

1 B 2 R 3 A 4 T 5 I 6 S 7 L 8 A 9 V 10 A

2. Pitagorasz tétele 2.1. Pitagorasz tétele és a derékszögű háromszög

9. 9. a) A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB| = 4 cm 2. BAX�; | BAX� | = 70° 3. k; k(B, 7 cm) 4. C; 5. ABCΔ Az AC oldal hossza mérés alapján 7 cm. Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.

b) A szerkesztés lépései: 1. AC; |AC| = 6 cm 2. O; |OC| = |AO|, O ∈ AC 3. k

1; k

1(C, 4 cm)

4. k2; k

2(O, 5 cm)

5. B; B ∈ (k1 ∩ k

2)

6. ABCΔAz AB oldal hossza mérés alapján 4,5 cm.Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.

c) A szerkesztés lépései: 1. AB; |AB| = 6 cm 2. ABX�; |ABX� | = 30° 3. p; p || AB, |p, AB| = 4 cm 4. C; 5. ABCΔ Mérés alapján a BC oldal hossza 6 cm, az AC oldalé pedig 4 cm. Pitagorasz tétele erre a háromszögre nem igaz.

11.11. a) Derékszögű: 172 = 82 + 152. b) Derékszögű: 1,32 = 1,22 + 0,52. c) Nem derékszögű: 132 = 122 + 52. d) Nem derékszögű: 13002 ≠ 1202 + 502.

13.13. b) PRSΔ

15.15. a) x � 38,67 b) x � 4,47 c) x � 28,63 d) x � 5,19

17.17. a) c � 12,68 b) f = 0,5 dm c) |KM|= 80 mm d) z � 31,30 dm

18.**18.** a) b) ,

19.*19.* B

20.*20.* B

Pitagorasz tétele és a háromszögek

22.22. a) m � 91,80 mm b) m � 0,19 dm c)* m

24.24. a) m � 33,05 mm b) m � 8,29 cm c)* m

Pitagorasz tétele és a paralelogrammák

26.26. a) e � 10,18 dm b) e � 79,19 mm c)*

28.28. a) a � 3,39 dm b) a � 22,62 mm c)*

30.30. a) e � 4,56 dm b) e � 59,03 mm c)*

32.32. a) b = 21 dm b) b � 60,47 mm c)*

134

Pitagorasz tétele és a trapéz

34.34. a) m = 4 cm b) m � 3,7 cm c) m � 28,72 mm

36.36. a) A szár hossza 6 cm. b) A szár hossza kb. 3,9 cm. c) A szár hossza kb. 19,52 mm.

Pitagorasz tétele és a kör

38.38. a) A húr hossza kb. 8,94 cm. b) A húr hossza kb. 15,97 cm. c) A húr hossza kb. 14,14 cm. d) A húr hossza kb. 28,35 mm.

40.40. a) r = 5 cm b) r � 2,42 dm c) r � 17,69 cm d) r � 4,38 cm

Pitagorasz tétele és a mértani testek

42.42. a) e � 3,81 dm b) e � 49,49 mm c)*

44.44. a) e � 40,80 cm b) e � 72,11 mm c)* d)

46.46. a) f � 22,13 cm b) f � 73,27 cm c) f � 506,87 mm d) f � 250,42 mm

Tudáspróba1 A 2 M 3 É 4 R 5 É 6 SMi a leggyakoribb művelet a geometriában? Természetesen A MÉRÉS.

2.2. Pitagorasz tételének gyakorlati alkalmazása

2. 2. a) , e a négyzet átlója, a pedig az oldala

b) , e a téglalap átlója, a és b a téglalap oldalai

c) m2 , ahol m a trapéz magassága, a és c a trapéz alapjai és d a trapéz szára.

3.*3.* a) , e a kocka lapátlójának hossza, a a kocka éle

b) , f a kocka testátlója, b a kocka éle

5.5.

a 2,5 dm 42 mm 104,44 cm 3 m 25 cm 918,29 cm

b 3,6 dm 86,32 mm 74 cm 65,45 dm 250 mm 56 cm

c 4,38 dm 96 mm 128 cm 72 dm 353,55 mm 9,2 m

7.** 7.** a) |AO| = 45 cm, |OD| = 105 cm, |BO| = |OC| = 30 cm,

|AB| = |AC| � 54,08 cm |BD| = |CD| � 109,20 cm

b) m � 22,91 m

8.**8.** A park járdáinak hossza kb. 1298 m. Az egyes részek területe egyformán 9000 m2. A B járdát használva az utat csaknem 111 m-rel rövidítjük le.

10.10. Körülbelül 2,66 m.

11.11. Körülbelül 3,12 m.

C

A

B

O D

135

3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása 3.1. Elsőfokú egyenletek megoldása azonos átalakítások segítségével

5. 5. a) x = 5 b) x = –3 c) x = 16 d) x = – 9

7. 7. a) x = –2 b) x = – 1,75 c) x = 23,8 d) x =

9. 9. a) x = 1 b) x = 0,5 c) x = – 1 d) x = 6,25

11.*11.* a) x = – 1 b) x = –0,2 c) x = 2,5 d) x = 0,25

13.13. a) x = – 15,5 b) x = c) x = 0,5 d)* x = – 4,25

e)* tetszőleges (valós) szám f)* tetszőleges (valós) szám

15.15. a) b) w = 1 c) w = 3 d)

17.17. a) b) m = 0,7 c) m = 7 d) m = – 1,5

Tudáspróba1 A 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 B 10 D 11* D 12 B 13 C 14 A

3.2. Egyszerű elsőfokú egyenlőtlenségek

3. 3. a) b) c)

d) e) f)

5. 5. a) b)

c) d)

7. 7. a) 1, 2, 3, ... , 20, 21 b) 8, 9, 10, 11, ... c) 1 d) 9, 10, 11, 12, ...

9. 9. a) 1, 2 b) – 1 c) 1, 2, 3, 4 d) – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1

11.11. a) x < 2 b) x > 3 c) x < –25 d) x > 6

13.13. a) x ≤ – 3 b) x ≥ 1 c) x ≥ – 4 d) x ≤ 9

15. 15. a) – 6 ≤ x b) x ≥ 2 c) – 3 < x d) 3 > x

17.17. a)* x ≤ 2 b)* x ≥ 0,5 c)** d)** x < – 42

19.19. a) b > – 0,4, ha b pozitív egész szám b) , ha b = 1

c) c > – 2, ha c = – 1 d) c > – 2,5, ha a c értéke –2 vagy –1

20.20. a) ha y < – 2 b) ha z < – 2,8 c) ha m < – 1,7 d) ha n < – 1,5

22.22. D

24.* 24.* a) 3 ≥ –2, minden valós számra b) 0 ≤ 0, minden valós számra

26.*26.* x < – 2, a megoldás az összes negatív egész szám, kivéve a –2-t és a –1-et, tehát a –3, –4, –5...

Tudáspróba1 C 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 A 9 A 10 D 11 B 12 D 13 B 14 C

3.3. Egyszerű egyenletek a nevezőben szereplő ismeretlennel

4. 4. x ≠ 0 a) x = 8 b) x = –3 c) x = 4 d) x = – 1,2

136

6. 6. a) x = 5, x ≠ 3 b) x = 7, x ≠ 5 c) x = –3, x ≠ – 6 d) x = , x ≠ – 7

8.* 8.* a) x = 0, x ≠ b) x = , x ≠ 2,5

10.10. a) x ≠ – 6 b) x ≠ 4 c) x ≠ d) x ≠ 0,5 e) x ≠ f)* x ≠ 2,5 g)* x ≠ – 1 h)** x ≠

12.12. D

14.*14.* C

16.*16.* D

17.** 17.** a) x = 18, x ≠ 0 b) x = –5, x ≠ 0 c) x = 3, x ≠ 1 d) x = –3,5, x ≠ –2

Tudáspróba1 V 2 E 3 L 4 E 5 L 6 EA fának van, az egyenletnek nincs. Mi az? LEVELE

3.4. Az ismeretlen kifejezése a képletből

3. 3. a) , a = 3,14 cm b) , b = 45 cm

c) , a = 21,4 mm d) , b = d = 13,3 dm

5. 5. a) , a = 12 cm b) , b = 12 cm

c)* , b = 14 dm, c � 16,12 dm d) , a = 1,8 m

7. 7. a) , a = 43 dm b) , b = 12 m c) , b = 14 cm

d) , a = 14,5 mm e) , b = 50 cm f) , a = 18,25 cm

8. 8. a) , r = 4,5 cm b) , d = 1 dm

9. 9. a) , r = 3 dm b) , d = 2 cm

Tudáspróba1 B 2 C 3 A 4 B 5 B 6 D 7 B

3.5. Elsőfokú egyenlettel vagy egyenlőtlenséggel megoldható szöveges feladatok

7.7. Az első rejtvény: a fiú 12 éves (az apja 42) A harmadik rejtvény: 12 év múlva

10.10. Az egyenlet: , 2,5 óra múlva

17.17. a) Az egyenlet: , óra múlva b) Az egyenlet: , 15 óra alatt

19.19. Az egyenlet: , 24 eurót.

21.21. 8 leány és 12 fiú

Tudáspróba1 C 2 D 3 A 4 A 5 C 6 A 7 A 8 C 9 B 10 A 11 C 12 D 13 A 14 B 15 B

Tudáspróba1 D 2 A 3 D 4 C 5 A 6 A 7 D

137

4. Szimmetria a síkban 4.1. A tengelyes tükrözés, a szimmetriatengely. Az alakzatok tengelyes tükörképének megszerkesztése 3. 3. A t egyenes a tükrözés tengelye

5. 5. Néhány megoldás: a) b)

7. 7. Néhány megoldás: a) b)

9. 9. Néhány megoldás:

MEGSZERKESZTJÜK AZ 1. HÁROMSZÖGET

11.11. a) b)

t1

t2

t1

t2

t t

A

k k

B ≡ B

C ≡ C

A.

t B

B

k

kA ≡ A

C ≡ C.

t

t1

t3

t4

t t2

t3

t4

t5

t6

nem szimmetrikus

t

t t

tt

t

138

MEGSZERKESZTJÜK A 2. HÁROMSZÖGET

13.13. a) b)

15.15. FEJTÖRŐ

eredeti B C F K P Q

kép T Á R G Y A

16.16. 17.17.

A

C

Bk1 k1

k2

k2

k3 k3

A

C

B.

.

. A

C

B

k1

k1

k3

k3

t

t

k2

k2

A

C

B

. . .

N

L

M ≡ M

t

K ≡ K

L

k1

k1

k2

k2

N

.

.

A

C

X

t

Y

D

Bk1

k1

k3

k3

k4

k4

k2

k2

A

C

D

.

.

.

B

18.18.

.

.D

D´

C ≡ C´

B

Bk3

k3

k2

k2k1

A ≡ A

t

139

2. 2.

19.*19.* a) b) c) d)

e) f) g)

C

t

A

B

C´

B

AC

t

BA

C´

BA

C

tBA

D

D

BA C

t

B

A

B´

A´

D

C´

D´

O1 ≡ O2

k1 k2

O1 O1 ≡ O2

t1

A ≡ A

C´

4.2. A középpontos tükrözés, a tükrözés középpontja. Az alakzatok középpontos tükörképének megszerkesztése

A

O

A

A

A

A

O

O

O

A

A

A

.. . .

k1 k2

O1 O1 ≡ O2

t1

t2

A ≡ A

B ≡ B

.

.

.

3. 3. a) b)

A

B

O

B

A

k1

k2

140

5. 5. a) b)

A

B

k2

k2

k1

k1

O

A

B

A ≡ B B ≡ A

k k

O

MEGSZERKESZTJÜK A 3. HÁROMSZÖGET

7. 7. a) b)

B ≡ O ≡ B

C

A

k2

k2

k1

k1

A

C´

B

O

C

A

k2

k2

k3

k3

k1

k1

A

C´

B

c)

A B

k2

k2

k1 k1

O AB

C

B

C´

A k2

k2

k3

k3

k1

k1

O

AB

c)

8. 8.

eredeti B C G H J

kép F Ó R U M

9. 9.

O

kk

k kC ≡ B

B ≡ CA

D A

D

141

Tudáspróba – ismétlés1 D 2 B 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D

8.8. 12 h 9.9. 22,36 m2 10.10. 3,4 mm 11.11. 10,82 cm 12.12. 70 m2 13.13. d � 0,48 14.14. 300

10.10. 11.11.

k

k

k

k

L ≡ N

O

M ≡ K N ≡ L

K ≡ M

12.*12.* a) b) c) d)

A B

C

C

ABO

középpontosan nem szimmetrikusak

B

BA

A

C

C

D

D

O

B

B

A

A

C

C

D

D

O

C ≡ O ≡ C

B ≡ B ´ A ≡ A ´

k

D

A B

D

D ´C ´

e) f) g)

13.**13.**

középpontosan nem szimmetrikusak

O

A

B

k

C

C A

B

k

O

A

Bk

A

B

k

C ≡ O ≡ C

D

A B

k2

k2

k3 k3

k1

k1

AB

D

142

AMatematika az alapiskola 9. osztálya és a nyolc-osztályos gimnázium 4. osztálya számára című

tankönyv írásának, tartalmi és formai szempontjainak kialakításakor azt az alapgondolatot tartottuk szem előtt, hogy a könyv a tananyagot folyamatában mu-tassa be a fogalomalkotástól az összefüggések feltárásán keresztül a matematikatudomány törvény-szerűségeinek felfedezéséig. Azt az alapelvet követ-tük, hogy a tanulóknak ne kész ismereteket nyújtsunk, inkább arra ösztönözzük őket, hogy a meglévő is-mereteik alapján szerezzék meg az újakat, az Állami Művelődési Program által előirányzott kompetenciákat.

A tankönyvjavaslat elkészítésekor a tanulók életkori sajátosságait figyelembe véve:1. a feladatok szövegében előnyben részesítettük a ta-

nulók közvetlen megszólítását (a tegezést) – a tan-könyv a tanuló tansegédeszköze;

2. a tankönyvi szöveget – a tananyagot az új ismeretek elsajátításának folyamata (alkotó káosz) szerint bon-tottuk elemeire;

3. különféle grafikus elemekkel segítettük az átmenetet az egyes, egymásra épülő részek közt;

4. minden témakör elején felhívtuk a figyelmet azokra az ismeretekre, amelyeket a tanulóknak már ismerniük kell;

5. feleletválasztásos feladatsorokkal tettük lehetővé a gyors visszacsatolást;

6. a projektfeladatokat csoportmunkára szántuk;7. a tanulók motivációja végett a tankönyvi szövegben

színben és formában is megkülönböztettük egymás-tól a történelmi szövegeket, a más tudományágakból vagy tantárgyakból vett érdekességeket, az ismere-tek fejlesztését szolgáló gondolkodtató és gyakorlati feladatokat.

Azokat a fejlesztési követelményeket (kompetenciá-kat), amelyeket a tanulónak a matematika tanulása során el kell sajátítania, a tanterv Matematika és az informá-ciók kezelése elnevezésű része tartalmazza – különös tekintettel az IKT felhasználására.

A tankönyvben a problémákat, gyakorlatokat és példá-kat egységesen feladatoknak nevezzük. A megoldott és a megoldatlan feladatok szerepe az átvett tananyag is-mertetése, gyakoroltatása vagy megszilárdítása.

Az Állami Művelődési Program kulcskövetelményei-nek elsajátítását szolgálják azok a matematikán túlmuta-tó szöveges feladatok, amelyek megoldása kedvet adhat a hagyományos feladatok megoldásához is (és egyúttal teljesíteni igyekeznek a kerettanterv határterületi téma-köreinek – pl. a globális, környezeti, regionális és multi-kulturális nevelés – céljait).

Az egyes fejezetcímek általában megegyeznek az Állami Művelődési Programban használt megnevezé-sekkel. Ezzel főleg a kezdő pedagógusoknak szeretnénk segíteni, hogy könnyebben tájékozódjanak a tankönyvben, és megkönnyítsük az évközi tervezést (a tanmenet-készí-tést).

A tankönyv 1. részében az alábbi fejezetek kaptak he-lyet:

Hatványozás és gyökvonás. Ebben a fejezetben először a négyzetre emeléssel és a köbre emeléssel, majd a természetes kitevőjű hatványokkal foglalkozunk. Kiegészítő tananyagként a természetes kitevőjű hatvá-nyok műveletei következnek. Azt követi a 10 hatványa-iról szóló rész, a kis és nagy számokkal végzett műve-letek, valamint a számok normálalakja, majd a négyzet-gyökvonás és a köbgyökvonás. A hatványozás és gyök-vonás gyakorlati alkalmazása végett a második fejezet Pitagorasz tételével foglalkozik.

A Pitagorasz-tétel levezetését háromszög-szer-kesztési feladatokkal kötöttük össze, hogy a tanulók átismételjék a háromszög alapelemeit, és hogy lehető-ségük legyen derékszögű háromszöget szerkeszteni. A tanulók feladata, hogy megmérjék az egyes oldalak hosszát, és meggyőződjenek arról: derékszögű-e az adott háromszög. Ezekkel a feladatokkal szeretnénk fejleszteni a tanulók bizonyítási készségét.

A Pitagorasz-tételről szóló fejezetrészben gyakorlati feladatok is találhatók. A tanulók feladata, hogy kiszámít-sák pl. a háromszög magasságát, a négyszögek átló-jának hosszát, a trapéz magasságát, a kör húrjának hosszát, a kocka és a téglatest lapátlójának, valamint testátlójának hosszát. Ezeket a számításokat annyira fontosnak tartjuk a tanulók középiskolára való felkészí-tésében, hogy a gyakorlati feladatok fejezetéből áthelyez-tük ebbe a fejezetbe.

A második alfejezet a Pitagorasz-tétel gyakorlati al-kalmazásáról szól. Tartalmilag az alapiskola felső tago-zatos tanulóinak lehetséges tapasztalataira épít.

A harmadik fejezet az x-ismeretlenes elsőfokú egyen-lettel és egyenlőtlenséggel foglalkozik. Ezért az összes feladatban az egyenletekben és az egyenlőtlenségekben x az ismeretlen. Más ismeretlent azokban a képletekről szóló feladatokban választottunk, ahol a tanuló keresi a ki-fejezések értékét. Ezzel vezettük be az ismeretlen képlet-ből való kifejezéséről szóló fejezetrészt.

Az elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megol-dására többféle levezetést is javasoltunk, mint ahogy iskolánként is más-más módszert részesítenek előnyben. Tudatában vagyunk annak, hogy a pedagógus és a tanuló is azt fogja ebből választani, ami neki a legmegfelelőbb.

A nevezőben ismeretlent tartalmazó egyszerű egyenletek megoldását az ismeretlen képletből való

Módszertani megjegyzések a pedagógusok részéreTisztelt Kolléga!

143

kifejezésének alkalmazásaként vezettük be. Tekintet-tel a tanulóknak – a kerettantervben meghatározott – fej-lesztési követelményeire, nem vezettük be a törtkife-jezés fogalmát, ehelyett a törtet mint az egész részét értelmeztük, amely osztással keletkezik. A pedagóguson múlik, hogy kiegészítő tananyagként bevezeti-e a tört-kifejezés fogalmát, és hogy ezt az egyenlettípust kiegé-szíti-e más, összetettebb egyenletekkel.

A tanulók által megoldandó szöveges feladatok közt találunk egyszerűbbeket, és bonyolultabb szövegösz-szefüggést (kontextust) tartalmazókat. Ezért többfé-le megoldási módot alkalmazunk. Figyelembe vettük a szöveges feladatok megoldása során fölmerült korábbi tapasztalatokat, és több lehetséges megoldási stratégiát is kínálunk.

Az utolsó fejezet A szimmetria a síkban. Azért soroltuk az első félév tananyagához, hogy a lehető legegyenlete-sebben forduljon elő benne az aritmetika, az algebra és a geometria. Egyszerű, igénytelen formában dolgoztuk fel, az egyszerű mértani alakzatok szerkesztéséhez csu-pán szerkesztési alapismeretekre van szükség.

Az egyes fejezeteket úgy állítottuk össze, hogy a tanu-ló lássa a helyes megoldást, és amennyiben lehetsé-ges, egyszerre többet is. Ha a tanuló rosszul oldja meg a feladatot, a pedagógus feladata, hogy figyelmeztesse, és segítsen neki megtalálni a helyes utat.

A megoldott feladat után rendszerint a tananyag gya-korlását szolgáló, hasonló típusú megoldatlan felada-tok következnek. Ebből a feladattípusból igyekeztünk besorolni a lehető legtöbbet.

Némely megoldott feladathoz segítséget is adtunk. Ezek azokat a készségeket, képességeket közlik, amelyek-kel a tanulónak a korábbi tanulmányai alapján rendel-keznie kell.

Néhány feladat szövegében kiemeltük a megoldás-hoz szükséges fontos adatokat. Ezzel a tanulási zava-rokkal küzdő tanulóknak szeretnénk segíteni, akiknek ez segíthet a megértésben.

A feladatokat nehézségi sorrendbe állítottuk. A köny-nyebb feladatokat követik az igényesebbek. Többsé-gében olyan nyitott feladatokról van szó, amelyekkel

a tanulók az országos kompetenciamérés alkalmával is találkozhatnak.

A gondolkodtató és a projektfeladatokat azzal a céllal soroltuk be, hogy támogassuk a tanulók kutatási igényét olyan tudományterületeken is, amelyekhez a ma-tematikának lehet, de nem biztos hogy van köze. Ezért ezeknek a feladatoknak az eredményeit nem közöljük, de esetenként utalunk rájuk a témakör végén, a Jegyezd meg! cím alatt.

A pedagógusoknak azt javasoljuk, hogy azokat a fela-datokat oldassák meg a tanulókkal, amelyek megfelel-nek a megszerzett képességeiknek. Továbbá javasoljuk, hogy a megoldás stratégiáját is a tanulók képességeinek és készségeinek megfelelően válasszák meg.

Viszonylag kevés a tankönyvben a figyelemfelkeltő szöveg és a történelmi utalás. Ezek kiválasztása is a kerettanterv határterületi témaköreinek megjelenítését szolgálta.

Néhány fejezetet Tudáspróba zár, amely feleletvá-lasztásos feladatokat tartalmaz. Arra szolgál, hogy se-gítsen a tanulónak a témakör összefoglalásában. Ezért kevés és egyszerű feladatok alkotják. Egyúttal segíthetik a tanulók felvételi vizsgára és különféle képességfelmé-résre való felkészülését.

Egyes fejezetek végén rövid megjegyzés található ar-ról, mit kellene a tanulónak a témakör végén tudnia. A Je-gyezd meg! című összefoglalót a tanuló az önálló tanulás során is hasznosíthatja.

A tankönyv második része a következő fejezeteket tartalmazza majd:• Az összefüggések grafikus szemléltetése• Háromszögek hasonlósága• Statisztika• Néhány további mértani test térfogata és felszíne

Reméljük, hogy ez a tankönyv segítségükre lesz, és megkönnyíti felkészülésüket a tanítási órára.

A szerző

matematika 9az alapiskola 9. osztálya ésa nyolcosztályos gimnázium 4. osztálya számára

1. rész

pre 9. ročník základnej školy a 4. ročník gymnázia s osemročným štúdiom s vyučovacím jazykom maďarským

1. časť

Zodpovedná redaktorka Judita HolláTechnická redaktorka Ivana BronišováVýtvarná redaktorka Mgr. Ľubica Suchalová

Vyšlo vo vydavateľstve Slovenské pedagogické nakladateľstvo – Mladé letá, s. r. o.,Sasinkova 5, 811 08 Bratislava

Vytlačil Polygraf print, spol. s r. o., Prešov

ISBN 978-80-10-02356-1

Sorszám A tanuló neve TanévA tankönyv állapota

a tanév elején a tanév végén

Viera Kolbaská

Viera Kolbaská mate- matika 9 - vagdsz.edupage.orgvagdsz.edupage.org/files/Matematika_9-1.pdf · 2012-15889/49049:4-919 szám alatt mint a matematika-tankönyv elsö részét az

Documents