cole
Doctorale
COLE POLYTECHNIQUE
Modlisation et tude numrique des e e e vibrations non-linaires
de plaques e circulaires minces imparfaites. Application aux
cymbales.` THESEprsente et soutenue publiquement le 2 fvrier 2009 e
e e pour lobtention du
Doctorat de lEcole Polytechniquepar
Cdric Camier e
Composition du jury Directeur de th`se : e Prsident : e
Rapporteurs : Examinateurs : Cyril Touz e Emmanuel de Langre Bruno
Cochelin Jean-Claude Golinval Francis Collino Jol Frelat e
Ecole Nationale Suprieure de Techniques Avances - Unit de
Mcanique e e e e
Mis en page avec la classe thloria.
cole
Doctorale
COLE POLYTECHNIQUE
Modlisation et tude numrique des e e e vibrations non-linaires
de plaques e circulaires minces imparfaites. Application aux
cymbales.` THESEprsente et soutenue publiquement le 2 fvrier 2009 e
e e pour lobtention du
Doctorat de lEcole Polytechniquepar
Cdric Camier e
Composition du jury Directeur de th`se : e Prsident : e
Rapporteurs : Examinateurs : Cyril Touz e Emmanuel de Langre Bruno
Cochelin Jean-Claude Golinval Francis Collino Jol Frelat e
Ecole Nationale Suprieure de Techniques Avances - Unit de
Mcanique e e e e
Mis en page avec la classe thloria.
i
Dans le dsert de la science. l'homme scientique apparaissent
durant ses dmarches humbles et pnibles qui sont bien souvent par
force des marches travers le dsert, ces merveilleux mirages que
l'on appelle systmes philosophiques : ils montrent, la porte de la
main, avec la force magique de l'illusion, la solution de toutes
les nigmes et la coupe rafrachissante de la vritable boisson de vie
; le cur palpite de joie et l'homme fatigu touche dj presque des
lvres la rcompense de sa peine et de sa persvrance scientiques, en
sorte qu'il va presque involontairement, toujours de l'avant. Il
est vrai que certaines natures s'arrtent comme tourdies par le beau
mirage : alors le dsert les engloutit et elles sont mortes pour la
science. D'autres natures encore, celles qui ont souvent fait
l'exprience de ces consolations subjectives, sont prises d'un
extrme dplaisir et maudissent le got du sel que ces apparitions
laissent la bouche et d'o rsulte une soif ardente, sans que l'on
soit d'un pas seulement rapproch d'une source quelconque.
Friedrich Nietzsche, Opinions et sentence mles (Humain, trop
humain, tome II).
ii
TABLE DES MATIRES
Chapitre 1 Introduction1.1 Applications de l'tude . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.1
1.2.2 1.2.3 Applications musicales . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Applications industrielles . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . Vibrations non-linaires de coques . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . Modles rcents . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle tendu et
organisation du manuscrit . . . . . . . . . . . . . .
11 1 4 5 5 5 7
Cadre de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
I Eet des imperfections gomtriques sur les vibrations
non-linaires de plaques circulaires minces 9Chapitre 2
Imperfections gomtriques2.1 2.2 2.3 Introduction . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exprience sur
une coque de laboratoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison au modle de coque sphrique mince . . . . . . . . . . .
. . . . 2.3.1 2.3.2 2.4 Comparaison sur les modes propres . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Quelques lments de comparaison sur des
coecients non-linaires .
1111 11 14 14 14 15
Autres exemples de la littrature . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Chapitre 3 Modle de plaque circulaire imparfaite3.1 quations
non-linaires des plaques circulaires minces parfaitement planes . .
3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Hypothses . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . quations locales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux limites . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adimensionnement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1719 19 19 20 20
iv 3.1.5 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5
Table des matires
Projection modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Dnition du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Ajout d'un dfaut dans les quations locales du cas
parfait . . . . . . Projection modale . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . Diagonalisation du problme . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Discussion et introduction aux
tudes de convergence . . . . . . . . .
22 23 23 24 26 32 33
quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites
. . . . . .
Chapitre 4 Application quelques dfauts de forme4.1 4.2 4.3
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Calcul de la tendance de non-linarit . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Cas d'un dfaut de forme sphrique .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1
4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.6 Comparaison thorique avec le modle
de coque sphrique mince . . . Comparaisons des rsultats entre
dirents modles analytiques . . .
3535 36 38 38 40 46 46 46 52 53 53 59 61
Cas de dfauts axisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,1) .
. . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode
(0,2) . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la forme du
mode (2,0) . . . . . . . . . . . . . . . . . Imperfection de la
forme du mode (3,0) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas de dfauts asymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
Conclusion sur les cas d'imperfections de formes donnes . . . .
. . . . . . .
Chapitre 5 Cas de coques de laboratoire5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Mesure de la gomtrie . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . Projection gomtrique . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comparaison sur les
frquences propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaisons dans le domaine non-linaire . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 5.5.1 5.5.2 5.6 5.7 Cas d'une rsonance interne 1 : 1 :
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coecients quadratiques . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
6363 64 65 67 71 71 72 74 77 78 80 82 82
Mise en vidence de l'erreur de projection . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Prise en compte de cette erreur. Retour sur les
rsultats. 5.7.1 5.7.2 5.7.3 Nouveaux rsultats sur les coecients
non-linaires et dveloppements Inuence des coecients cubiques . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . Rsultats sur d'autres coques de
laboratoire . . . . . . . . . . . . . . .
5.8
Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
v
II
tude numrique de la transition vers le chaosChapitre 6
Introduction6.1 Exprience reproduire . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.2 6.2.1 6.2.2
Protocole de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Stratgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . quations . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dicults numriques . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
858787 87 87 88 88 88 90
Rappel sur la dynamique intgrer . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
Chapitre 7 Schmas numriques7.1 7.2 7.3 tat de l'art . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition
de quelques oprateurs aux dirences nies . . . . . . . . . . . . .
Quelques proprits sur les intgrateurs temporels numriques 7.3.1
7.3.2 7.3.3 7.3.4 7.4 7.5 Stabilit . . . . . . . . Consistance . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
9393 95 96 96 96 97 97 97 99 99
Mthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Mthodes multi-pas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 7.5.2 Mthodes d'Adams . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mthodes des direntiations rtrogrades . . . . . . . . . . . . . .
. . 100
7.6
Mthode de Strmer-Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 101
Chapitre 8 Schmas conservatifs8.1 8.1.1 8.1.2 8.2
103
Proprit des systmes Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 103 Dnition du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 103 Proprit de symplecticit . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Exemple de l'oscillateur de Dung . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 104
Chapitre 9 Application un oscillateur de Dung9.1 9.2
107
Expriences numriques tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 107 criture des direntes mthodes . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 109 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4 Mthode
de Strmer-Verlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109 Mthodes de Runge-Kutta explicites . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 109 Mthode des direntiations rtrogrades . . . . . . . . . .
. . . . . . . 109 Implmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 110
vi 9.3
Table des matires
Comparaison des simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 110 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 Cas d'une excitation
harmonique faible amplitude . . . . . . . . . . 110 Cas d'une
excitation harmonique forte amplitude . . . . . . . . . . . 112 Cas
particulier d'un diagramme de bifurcation jusqu'un forage trs lev .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 119 Cas d'une excitation impulsionnelle . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 120
Chapitre 10 Application au systme N degrs de libert10.2
Construction du schma conservatif appliqu la dynamique des plaques
imparfaites
127
10.1 nergie continue drive des quations modales de plaques
imparfaites . . . . 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 130 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 133
10.3 Implmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 131 10.4 Rsultats dans le cas d'un ot
autonome 10.4.1 Exprience numrique test . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 133 10.4.2 Mthode de Strmer-Verlet . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 10.4.3 Mthode conservative
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapitre 11 Conclusions gnrales et perspectives
137
11.1 tude de l'eet du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 137 11.1.1 Principaux rsultats . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 11.1.2 Applications . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
11.1.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 140 11.2 Intgrateurs numriques . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 11.2.1 Principaux
rsultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141 11.2.2 Premires conclusions et suite des travaux . . . . . . .
. . . . . . . . . 142
Bibliographie Annexe A Variation de l'paisseur sur le pourtour
de la coque 3 Annexe B Imperfections de la forme de cymbales
145 153 155
CHAPITRE
1INTRODUCTION
Sommaire
1.1 1.2
Applications de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .1.1.1 1.1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3
1 55 5 7 1 4
Cadre de l'tude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
Applications musicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Applications industrielles . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Vibrations non-linaires de coques . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . Modles rcents . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . Modle tendu et organisation du manuscrit .
. . . . . . . . . . . .
1.1 Applications de l'tude1.1.1 Applications
musicalesL'application premire vers laquelle sont orients les
travaux prsents dans ce manuscrit est la comprhension des
vibrations de cymbales de percussion. L'tude s'inscrit dans la
ligne des travaux de Cyril Touz, qui a dirig cette thse, et
d'Olivier Thomas. Leurs travaux, entrepris depuis leur thses
respectives [94, 79] diriges par Antoine Chaigne taient motives par
l'tude des instruments de percussion dits non-linaires 1 . Cyril
Touz s'tait intress l'interprtation des signaux chaotiques dlivrs
par de telles structures lorsqu'elles sont soumises de fortes
sollicitations. Olivier Thomas a propos un modle complet de
vibration de plaque circulaire puis de coque sphrique, ces gomtries
correspondant aux approximations successives de la cymbale. Cette
thse tend les rsultats prcdemment obtenus dans deux directions.
Premirement, les modles mcaniques sont ans an de pouvoir prendre en
compte les imperfections gomtriques et tre en mesure de traiter des
formes arbitraires. Deuximement, la transition vers les rgimes
chaotiques est tudie numriquement. Les rsultats de tous ces travaux
sont assez gnraux pour permettre de dpasser l'application premire.
La simplicit de la structure tudie, la coque mince circulaire, lui
assure un usage courant et vari : industrie du transport,
architecture, nanotechnologies, etc. Avant de se plonger dans les
dveloppements mcaniques et numriques associs au sujet, il convient
de dire quelques mots sur ces applications principales.1. Le terme
vient du fait que les mcanismes de gnration sonore ne peuvent tre
dcrit par un modle linaris.
1
2
Chapitre 1. Introduction
CymbalesLes cymbales sont des instruments d'origine asiatique
caractriss gnralement par leur forme lgrement incurve,
axisymtrique, et par leur condition libre au bord. Elles possdent
souvent une forme bombe dans leur rgion centrale, nomme cloche et
sont troues au centre an de pouvoir les xer sur des pieds ou pour
les tenir au moyen de lanires. Les cymbales sont fabriques en
bronze (alliage d'tain et de cuivre, parfois avec ajout d'or), la
plupart du temps l'aide d'un tour. Aujourd'hui leur production est
industrielle.
(a)Figure 1.1 Cymbales Chinoise (Zildjian).
(b)
(c)
de formes usuelles : (a) Ride (Paiste), (b) Crash (Sabian) et
(c)
Les cymbales sont prsentes dans tous les registres musicaux.
Leur timbre enrichit autant les orchestres symphoniques que les
formations de Jazz, de Rock, etc. La classication usuelle des
cymbales par les batteurs repose sur la spcicit de leur son,
elle-mme relie l'utilisation qu'ils en font. Les 4 principales
familles sont dcrites ci-dessous. La charleston 2 est en fait
compose de deux cymbales se faisant face, dont la pression de
contact, rgle via une pdale, agit sur le son lors de la frappe.
Elle peut se jouer galement uniquement grce la pdale par choc ou
frottement entre les deux parties. Son diamtre 3 varie communment
de 13 14 (soit entre 33 cm et 35.6 cm) et son paisseur est de 1 mm
environ. Son son, prcis et grsillant, marque le rythme et souligne
le tempo. Cette fonction peut galement tre assure grce la ride
(voir gure 1.1(a)). Son diamtre est compris entre 18 et 22 (45.7 cm
et 55.9 cm) et son paisseur entre 2 3 mm. Lorsqu'elle est frappe
par l'olive de la baguette, le son qu'elle produit appel ping est
prcis et scintillant. Elle peut tre joue sur sa cloche, produisant
alors un son plus sec et plus puissant comparable celui d'une
cloche de carillon. Les crashs (voir gure 1.1(b)) ponctuent les
temps forts de la musique. Leurs diamtres peuvent tre compris entre
14 et 20 (35.6 cm et 50.8 cm) et elles sont un peu plus nes que les
rides. Elles sont frappes vigoureusement, avec le plat de la
baguette de sorte que leur son est caractris par une explosion,
remplissant l'espace frquenciel et sans hauteur tonale
discernable.2. appelle ainsi car elle apparut au dbut du XXime
sicle avec la danse du mme nom. 3. Dans le commerce, l'unit de
rfrence du diamtre des cymbales et des peaux de batterie est le
pouce technique international et vaut 2.54 cm.
1.1. Applications de l'tude
3
Les splashs et les chinas (voir gure 1.1(c)), appeles cymbales
d'eet, viennent agrmenter la panoplie du percussionniste. Elles
jouent le mme rle que les crashs. Les premires sont nes et petites,
de diamtre compris entre 8 et 12 (20.3 cm et 30.5 cm). Leur son est
plus brillant et moins sonore que celui des crash. Les secondes
prsentent la particularit d'tre releves sur le bord. Elles orent un
son agressif et puissant, se rapprochant de celui des gongs.
(a)
(b)
(c)
Figure 1.2 Nouvelles gnrations de cymbales aux formes exotiques
: (a) Splash bossele (Istanbul ), (b) Ride avec cloches dcentres
(Hammerax) et (c) Crash tordue (Zildjian).
Les appellations mentionnes ci-dessus viennent pour la plupart
d'onomatopes. Ces familles de cymbales composaient jusqu' prsent
l'attirail classique des batteries. Avec l'inuence des musiques
lectroniques, les fabricants se sont essays, ces dernires annes,
des formes plus exotiques, tentant ainsi d'obtenir des sonorits
originales. Quelques unes de ces nouvelles cymbales sont montres
gure 1.2. On note en particulier l'intrt port par les fabricants
sur la recherche de formes plus irrgulires, asymtriques. On trouve
mme parmi les modles les plus audacieux des formes non circulaires
ou dcoupes.
Instruments plus complexesLes coques de formes circulaires sont
galement prsentes dans plusieurs instruments de musique plus
labors. Quelques uns sont cits ci-dessous. Originaire des carabes,
le Steel-drum (voir gure 1.3(a)) est une coque sphrique sertie de
creux de direntes tailles et encastre dans un cylindre mtallique
clos. Frapp en dirents endroits par des mailloches, il produit tout
une gamme de notes accordes et riches en harmoniques. L'accord de
l'instrument se fait grce la forme particulire qu'on lui applique
[43]. Le Hang-drum (voir gure 1.3(b)) est un instrument trs rcent
(invent en 2000) et driv du Steel-drum. Il est compos de deux
coques circulaires jointes en leurs bords. L'une est accorde la
manire du Steel-drum grce la taille et la forme des creux pratiqus
dans le mtal et l'autre fait oce de rsonateur de Helmoltz dont on
peut faire varier la main la taille de l'embouchure [67]. L'onde
Martenot (voir gure 1.3(c)) fut invente en 1928 et porte le nom de
son constructeur. Il s'agit d'un instrument monodique, contrl par
un clavier et/ou des potentiomtres qui engendre un signal partir
d'oscillateurs lectroniques, traduit acoustiquement grce des
diffuseurs spciques. Le diuseur gong est l'un d'entre eux. Ce
transducteur est constitu
4
Chapitre 1. Introduction
(a)Figure 1.3
(b)
(c)
Instruments utilisant des coques de formes particulires : (a)
Steeldrum, (b) Hangdrum, (c) Diuseur Gong de l'onde Martenot.
d'un puissant systme bobine-aimant dont le noyau est li au
centre d'une coque mince. travers la coque, les signaux accrochent
des frquences de rsonances puis des phnomnes non-linaires qui
enrichissent le son produit.
1.1.2 Applications industriellesHaut-ParleursParmi les secteurs
industriels qui utilisent les coques minces en rgime de vibration,
on trouve en particulier les constructeurs Hi-Fi, qui s'intressent
de prs aux proprits de vibration des membranes de haut-parleurs
lectrodynamiques. Leur principe est de faire vibrer une structure
mince et rigide (membrane) via une bobine dans laquelle circule un
courant alternatif et qui est place dans l'entrefer d'un aimant
permanent. Les membranes pousent direntes formes selon qu'elles
sont destines la restitution de bandes de frquences situes dans les
basses frquences (boomer), dans les hautes frquences (tweeter) ou
dans les frquences intermdiaires (medium). La forme agit sur la
raideur de la membrane et inue sur son taux de distortion. Elle
conditionne galement le rayonnement de la source en champ proche et
en champ lointain [63].
Autres exemplesLes moyens de transport motoriss sont pour la
plupart constitus de coques minces qui sont soumises aux vibrations
du moteur ou celles dues au contact du milieu sur lequel ils
voluent. Certaines parties de ces structures telles que les nez
d'avion, de sous-marin, de fuse, les cockpits d'hlicoptre (gure
1.4) sont trs proches des structures que l'on tudie. De lourdes
simulations numriques sont menes pour prvoir le comportement de ces
structures et ce an de rduire les vibrations en vue d'attnuer
l'endommagement des matriaux ou d'amliorer le confort des
passagers. Dans le domaine mdical, des micro-systmes mcaniques sont
aujourd'hui dvelopps pour laborer des capteurs et des actionneurs
l'chelle microscopique. Un des capteurs de recon-
1.2. Cadre de l'tude
5
(a)Figure 1.4 Exemples
(b)
(c)
divers de produits industriels comprenant des structures minces
circulaires ou approches : (a) haut-parleur boomer , (b) hlicoptre
Robinson R44, (c) schma de microsystmes lectromcaniques.
naissance biomolculaire actuellement en dveloppement (cf. gure
1.4) utilise les vibrations de petites plaques circulaires pour
mesurer des quantits molculaires [82].
1.2 Cadre de l'tude1.2.1 Vibrations non-linaires de coquesDans
le cas de la cymbale, l'aspect trs simple de la structure contraste
avec les phnomnes trs complexes qu'elle engendre. En rgime normal
de jeu, les amplitudes de vibration sont grandes devant l'paisseur
de la structure. La non-linarit gomtrique ne peut plus tre nglige
[56, 77, 105] et c'est cette non-linarit qui est prise en compte
dans ces travaux. Lors d'tudes exprimentales, plusieurs phnomnes
typiquement non-linaires ont pu tre mis en vidence tels que des
phnomnes de saut, d'hystrsis, de dpendance de la frquence de
rsonance avec l'amplitude de vibration, de couplages internes,
synonymes d'changes d'nergie entre les modes et un comportement
chaotique [106, 91, 94]. Le but poursuivi est la modlisation des
vibrations de ces structures an de comprendre et de prdire les
comportements observs dans les dirents rgimes de vibration.
1.2.2 Modles rcentsLa premire approximation faite tait de
considrer les cymbales comme des plaques circulaires minces bord
libre. Les prcdentes recherches [98] avaient notamment conduit au
dveloppement analytique des modes propres de cette structure.
Quelques uns de ces modes sont d'emble prsents gure 1.5, ce qui
nous donne l'occasion d'introduire une nomenclature qui sera
utilise tout au long de cette monographie. Les modes sont ainsi
nomms (k, n), k pour le nombre de diamtres nodaux et n pour le
nombre de cercles nodaux. Particulirement, on distingue les modes
axisymtriques, symtrie de rvolution, des modes asymtriques. Les
dveloppements avaient pu tre pousss jusqu'au cas de la coque
sphrique mince [80, 85]. Le modle dynamique, driv des quations de
plaque de von Krmn, a t rsolu spatialement
6
Chapitre 1. Introduction
(2, 0)
(0, 1)
(3, 0)
20 = 5.262
01 = 9.0689
30 = 12.2439
(1, 1)
(4, 0)
(5, 0)
11 = 20.5131
40 = 21.5272
50 = 33.0618
(2, 1)
(0, 2)
(6, 0)
21 = 35.2425
02 = 38.5070
60 = 46.8087
(3, 1)
(1, 2)
(7, 0)
31 = 52.9210
12 = 59.8591
70 = 62.7394
Figure 1.5
Dformes modales et pulsations propres adimensionnes kn
correspondant aux 12 premiers modes propres transverses (k,n) d'une
plaque circulaire mince ( = 0.33) . La nomenclature des modes
adopte dans le prsent document est illustre ici ; le mode propre
appel (k, n) possde k diamtres nodaux et n cercles nodaux.
1.2. Cadre de l'tude
7
de manire pouvoir crire le problme sous forme modale[80, 78,
56]. Dans le domaine nonlinaire, la rduction de modle ainsi que
l'emploi du formalisme des modes non-linaires [100, 95] ont pu
tablir des prdictions thoriques sur les changes d'nergie
intermodaux et sur la tendance de non-linarit de certains modes
[86]. Une fois compares aux rsultats exprimentaux dcrits plus en
dtail par la suite, ces prdictions ont rvl qu'un facteur important
faisait dfaut aux modles labors : les imperfections gomtriques.
1.2.3 Modle tendu et organisation du manuscritDivers exemples
donns au prochain chapitre de ce manuscrit soulignent l'importance
de l'effet des imperfections gomtriques, ou dfauts de forme, sur
les caractristiques vibratoires. Le premier objectif de cette thse
tait donc l'laboration d'un modle tendu incluant ce paramtre. Cette
dmarche, ainsi que les rsultats originaux associs constituent la
premire partie du prsent document. En premier lieu, le chapitre 2
rappelle brivement le modle de vibration de plaque parfaite. Les
modes propres de plaques circulaires minces bord libre ainsi
introduits servent discrtiser les quations locales de la plaque
imparfaite, selon la mthode de Galerkin. Les nombreuses questions
de prcision numrique, souleves ds le dbut de ces travaux nous ont
rapidement conduit envisager des tudes de convergence systmatiques
sur tous les paramtres impliqus dans les tapes de prise en compte
analytique du dfaut tant la validit des rsultats obtenus y tait
sensible, voire extrmement sensible pour certains. La prcision de
ces paramtres de calcul, l'image de la minutie des dfauts de forme
exprimentaux traiter, presqu'imperceptibles l'il nu, a exig
l'optimisation de nos programmes. L'expression des nouveaux
coecients dynamiques est donc explicite et quelques proprits
remarquables sur ces coecients (expressions simples, symtries) et
sur la projection du dfaut (invariance par rotation) sont en
particulier dveloppes. Le chapitre 4 est consacr l'emploi du modle
labor sur des dfauts de formes typiques. Tout d'abord, le cas de la
coque sphrique sert de validation au modle de plaque imparfaite.
Les termes des modles sont compars, ainsi que les rsultats, ce qui
permet de dgager les limites de l'approximation de faible courbure
faite dans le modle de coque. Ensuite, des dfauts de formes
simples, axisymtriques et asymtriques sont tudis. La comparaison
avec un code de calcul par lments nis permet de tester les rsultats
dans le domaine linaire. Des nouveaux rsultats dans le domaine
non-linaire sont tablis. Les cas de gomtries relles, correspondant
des coques de laboratoire, sont regards chapitre 5. Une tude
complte est propose, comprenant la mesure de la gomtrie
tridimensionnelle des coques et des tests de convergence selon
plusieurs paramtres ainsi qu'une confrontation avec des rsultats
exprimentaux provenant d'une analyse modale ou d'expriences sur le
comportement non-linaire. Une exprience pratique, permettant de
questionner de manire reproductible les phnomnes non-linaires
produits par les coques circulaires, consiste eectuer un forage
harmonique de la coque [45, 94]. L'avantage est de pouvoir contrler
les modes de vibrations en jeu et de pouvoir analyser le mouvement
en rgime permanent. Lorsqu'on augmente progressivement l'amplitude
de forage, la dynamique montre alors une succession de deux
bifurcations [83]. La premire marque la n d'un rgime uni-modale et
entame un rgime quasi-priodique ; la seconde aboutit un
comportement chaotique. La simulation numrique par dirences nies de
cette exprience constitue le deuxime objectif poursuivi pendant la
thse et fait l'objet de la seconde partie du manuscrit.
8
Chapitre 1. Introduction
La mthode envisage repose sur les rsultats obtenus en premire
partie. C'est donc le systme d'quations modales dcrivant la
dynamique de la plaque imparfaite qu'il est question d'intgrer. Un
descriptif des rsultats exprimentaux et des dicults numriques
inhrentes au systme et l'exprience que l'on veut reproduire est
donn chapitre 6. Aprs avoir dress un panorama des schmas numriques
classiques et de leurs principales proprits chapitre 7, nous nous
penchons plus spciquement sur des schmas conservant certaines
proprits spciques au systme Hamiltonien que l'on discrtise. Le
chapitre 8 est ddi au rappel de quelques proprits utiles de tels
systmes et l'laboration d'un schma aux dirences nies prservant
l'nergie d'un oscillateur de Dung. Un ventail d'expriences
numriques sur l'oscillateur de Dung, forage faible puis lev met en
vidence des dirences notables entre les dynamiques simules. Ce
rsultat original est comment chapitre 9. L'extension de la proprit
de conservation un systme N degrs de libert coupls est ensuite
dtaille puis teste chapitre 10. Les premiers rsultats sont tablis
sur un forage impulsionnel, n'ayant eu la possibilit de pousser
plus en avant l'tude numrique.
Premire partie
Eet des imperfections gomtriques sur les vibrations non-linaires
de plaques circulaires minces
9
CHAPITRE
2IMPERFECTIONS GOMTRIQUES
Sommaire
2.1 2.2 2.3 2.4
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Exprience sur une coque de laboratoire . . . . . . . . .
. . . . . Comparaison au modle de coque sphrique mince . . . . . .
. .2.3.1 2.3.2
11 11 14 1514 14
Autres exemples de la littrature . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Comparaison sur les modes propres . . . . . . . . . . . . . . .
. . . Quelques lments de comparaison sur des coecients
non-linaires
2.1 IntroductionCe chapitre propose de reprendre les principales
observations dsignant les imperfections gomtriques comme un facteur
essentiel intgrer dans les modles de vibration, d'abord sur
l'exemple d'une coque de laboratoire puis travers quelques exemples
tirs de la littrature.
2.2 Exprience sur une coque de laboratoireLes prcdents travaux
l'Unit de Mcanique incluent une campagne exprimentale sur les
vibrations de coques sphriques minces. cette n, une srie de coques
sphriques de faible courbure a t spcialement usine. Les
caractristiques gomtriques retenues couvrent un panel reprsentatif
de congurations adaptables au modle de coque sphrique savoir, 3
courbures direntes et 2 paisseurs. Ces caractristiques sont
rapportes en dtail dans le tableau 2.1. Elles incluent, pour chaque
coque, le rayon de courbure stipul dans le cahier des charges Rth
dirent de celui Ropt correspondant l'arc de cercle approchant de
manire optimale les cotes d'un prol mesur au comparateur. Figurent
galement dans le tableau leurs dnominations adoptes dans le reste
du texte : coque peu courbe, coque paisse, coque de rfrence (celle
sur laquelle on s'attardera dans nos comparaisons et nos
dveloppements) et coque fortement courbe. Les rsultats exprimentaux
livrs dans la suite de ce paragraphe proviennent de l'analyse
modale exprimentale trs complte mene antrieurement et que l'on peut
trouver dans [80] et [86]. Seuls les rsultats essentiels, et qui
serviront pour la suite, sont prsents dans ce manuscrit. Les
dirences maximales observes entre le prol mesur et le prol d'une
coque sphrique de rayon de courbure optimis sont de 1.17 mm pour la
coque 1, de 0.51 mm pour la coque 11
12
Chapitre 2. Imperfections gomtriques
Coque 1 15 Hauteur [mm] 10 5 0
Rth = 4505 mm Ropt = 4158 mm 0 50 100 150 Coque 2 200 250
300
Hauteur [mm]
30 20 10 0 Rth = 1515 mm Ropt = 1480 mm
0
50
100
150 Coque 3
200
250
300
Hauteur [mm]
30 20 10 0 Rth = 1515 mm Ropt = 1557 mm
0
50
100
150 Coque 4
200
250
300
Hauteur [mm]
40
20
Rth = 925 mm Ropt = 958 mm 0 50 100 150 Rayon [mm] 200 250
300
0
Figure 2.1 Prols des 4 coques de laboratoire prsentes. Rth est
le rayon fourni par le constructeur et Ropt celui mesur grce arc de
cercle passant au plus prs des points de mesure (o).
2.2. Exprience sur une coque de laboratoire
13
coque n 1 2 3 4Table 2.1
Dnomination coque peu courbe coque paisse coque de rfrence coque
fortement courbe
h [mm] 1 1.5 1 1
a [mm] 300 300 300 300
Rth [mm] 4505 1515 1515 925
Ropt [mm] 4158 1480 1557 958
Dnominations et donnes gomtriques des coques du laboratoire.
50 45 40 35 Hauteur [mm] 30 25 20 15 10 5 0 coque fortement
courbe coque peu courbe coque paisse coque de rfrence
0
50
100
150 200 Rayon extrieur [mm]
250
300
350
Figure 2.2 Prols des 4 coques de laboratoire ramens sur une mme
chelle.
14
Chapitre 2. Imperfections gomtriques
2, de 1.21 mm pour la coque 3 et de 1.91 mm pour la coque 4. Ces
dirences, de l'ordre de l'paisseur, semblent petites compares aux
autres dimensions gomtriques de la structure tudie. Cependant elles
ont une inuence quantitative et qualitative sur la dynamique plus
grande qu'on ne pourrait le souponner.
2.3 Comparaison au modle de coque sphrique minceLes rsultats
prsents dans les paragraphes suivants concernent en particulier la
coque de rfrence. Cet exemple rete les raisons qui nous ont motivs
nous intresser l'eet des imperfections gomtriques sur la dynamique
des plaques et coques sphriques.
2.3.1 Comparaison sur les modes propresDans le domaine linaire,
lorsqu'on calcule les frquences propres thoriques des coques
sphriques quivalentes aux coques de laboratoire grce au modle de
coque sphrique dvelopp par O. Thomas [80, 85], et qu'on les compare
aux frquences mesures, des erreurs importantes apparaissent. Le
tableau 2.2 rassemble les frquences propres de quelques modes
asymtriques et axisymtriques mesures sur la coque de rfrence et
calcules grce au-dit modle. Si les frquences propres des modes
asymtriques semblent tre correctement prdites, l'erreur sur les
modes axisymtriques est parfois trs grande. Elle atteint 70% pour
le mode (0,1) par exemple. On remarque par ailleurs la scission des
frquences propres des modes asymtriques compagnons. La coque n'est
en eet pas rellement symtrie de rvolution et les valeurs propres de
multiplicit 2, issues du problme spatial, se trouvent spares en
deux valeurs propres distinctes, ce que ne dcle pas le modle de
coque sphrique dans lequel le problme spatial respecte la symtrie
de rvolution. Nous reviendrons par la suite en dtail sur
l'obtention des valeurs dimensionnes des frquences issues du modle
thorique. Les rsultats sont ici brivement prsents pour conclure sur
l'intrt d'un modle de plaque imparfaite. Toujours dans le domaine
linaire, la gure 2.3 prsente les dformes mesures des modes (0,1) et
(0,2) de la coque de rfrence en comparaison des dformes thoriques
calcules partir du modle de coque sphrique. La dirence entre
exprience et thorie y est notable. En eet, dans le cas des dformes
mesures, l'amplitude de la dforme se concentre dans la rgion
centrale de la coque, contrairement ce que prdit le modle
thorique.
2.3.2 Quelques lments de comparaison sur des coecients
non-linairesDans le domaine non-linaire, on choisit de ne prsenter
pour le moment que quelques coecients non-linaires. Les eets
non-linaires qui en dcoulent seront dtaills dans la partie
suivante. Les dveloppements exprimentaux qui permettent de les
dduire, dcris dans [86], seront galement rappels dans la partie
suivante. Nanmoins, on peut noter ds prsent que les comportements
non-linaires typiques observs tels que les comportements
raidissants ou assouplissants, les changes d'nergie intermodaux,
sont directement dduits des valeurs de ces coecients. Les zones de
stabilit et de couplage des coordonnes modales y sont d'ailleurs
extrmement sensibles. titre d'exemple le tableau 2.3 rapporte
quelques coecients non-linaires mesurs et calculs partir du modle
de coque sphrique. Sans rentrer dans les dtails, on peut noter un
facteur multiplicatif entre les ordres de grandeur de l'exprience
et de la thorie allant
2.4. Autres exemples de la littrature Mode Dforme exprimentale
Dforme thorique
15
(0,1)
(0,2)
Dformes exprimentales des modes (0,1), (0,2) et calcules d'aprs
le modle de coque sphrique mince.Figure 2.3
de 10 jusqu' 30.
M ode (2, 0) (3, 0) Fexp (Hz) 13.75 34 17.5 35.5 Fth (Hz) 11.02
26.37Table 2.2
(4, 0) (5, 0) (6, 0) (7, 0) (8, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4)
57.25 83 110 141 172.25 225 354 444.25 555.5 58.25 83.75 111 141.5
176 46.90 72.17 101.77 135.45 173.01 386.03 393.11 423.17
495.65
Valeurs exprimentales et thoriques des frquences propres de la
coque de rfrence. Fexp sont les frquences mesures exprimentalement
et Fth sont les frquences thoriques donnes par le modle de coque
sphrique parfaite de [86] ; les frquences propres des modes
compagnons sont direntes cause de la partie asymtrique de la
gomtrie de la coque.
2.4 Autres exemples de la littratureEntre les annes 1960 et
1980, de nombreuses tudes exprimentales sur les coques minces ont
dsign les dfauts de forme comme tant la cause des divergences entre
prdiction partir d'une forme idale et mesures sur une structure
invitablement imparfaite [20, 15, 16, 88]. En raison de leur
importance dans le gnie civil ainsi que dans d'autres domaines de
l'ingnierie, les coques cylindriques ont t tudies en priorit[42,
19, 22]. Les premires tudes s'astreignaient des chargements
axisymtriques [42, 65]. Puis furent tudies les imperfections
asymtriques [66]. Aujourd'hui, nous trouvons dans la littrature
nombre de travaux sur l'eet des imperfections gomtriques sur les
vibrations grande amplitude de ces coques, tant sur le plan
exprimental que grce des modles thoriques. Nous en devons une bonne
part Amabili [2, 6, 5]. Du fait de leur utilisation courante, les
plaques rectangulaires ont galement retenu une grande atten-
16
Chapitre 2. Imperfections gomtriques
.1 .2 .3 .4Table 2.3
Exprience 476 455 635 667
Thorie 19 057 19 057 8 766 8 766
Valeurs exprimentales et thoriques de quelques coecients
non-linaires.
tion dans ce domaine. Ainsi, Hui et Leissa ont utilis un
dveloppement de Galerkin tronqu au premier mode pour regarder l'eet
d'un dfaut simple sur les frquences propres [38]. Les tudes sur les
coques cylindriques et les plaques rectangulaires attestent de la
grande inuence d'un dfaut de forme sur les modes propres. Les tudes
exprimentales menes sur des structures relles montrent que de
faibles dfauts, de l'ordre de l'paisseur conditionnent
invitablement et drastiquement les dformes modales et les frquences
propres associes [4, 3, 44] Dans le domaine non-linaire, Lin et
Chen [46] puis Ostiguy et Sassi [59] montrent que la prsence
d'imperfections gomtriques dans les plaques rectangulaires peut
dtourner leur comportement classiquement raidissant vers un
comportement assouplissant. Le cas de plaques circulaires minces
fut quant lui moins tudi [24, 30, 77, 89]. Des rsultats sur la
tendance de non-linarit ont d'abord t tablis par Hui mais avec
l'hypothse trop restrictive d'une dynamique un seul degr de libert
[37]. Yamaki poussa ensuite l'tude de la plaque encastre une
dynamique dveloppe sur 3 modes en prenant en compte un dfaut
axisymtrique [108, 109]. Finalement, Touz et Thomas dvelopprent les
cas de la plaque circulaire mince bord libre puis de la coque
sphrique mince bord libre [93, 97]. Un nombre susant de modes tait
conserv dans la dynamique, permettant notamment de mieux prdire le
comportement non-linaire de la structure. Le modle de coque
sphrique mince n'inclut pas proprement parler de dfaut de forme.
Cependant, comme nous le verrons par la suite, cette gomtrie peut
tre vue comme une plaque circulaire mince comportant une
imperfection de la forme d'une calotte sphrique. Les rsultats issus
de ce modle montrent ainsi l'eet de la courbure sur les modes
propres d'une part puis sur le calcul de la tendance de non-linarit
et sur les changes d'nergie d'autre part. La tendance de
non-linarit de certains modes devient assouplissante, ce partir de
lgres courbures. La symtrie de la structure, brise cause de la
courbure, permet des relations de couplages supplmentaires entre
les modes, complexiant ainsi le spectre de rponse de la coque en
rgime de vibrations grande amplitude.
CHAPITRE
3CIRCULAIRE MINCE IMPARFAITE
MODLISATION DE LA DYNAMIQUE D'UNE PLAQUE
Sommaire
3.1
quations non-linaires des plaques circulaires minces
parfaitement planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4
3.2.5 Hypothses . . . . . . . quations locales . . . Conditions aux
limites Adimensionnement . . Projection modale . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
1919 19 20 20 22
3.2
quations non-linaires des plaques circulaires minces imparfaites
23Dnition du dfaut de forme . . . . . . . . . . . . . . . . Ajout
d'un dfaut dans les quations locales du cas parfait Projection
modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagonalisation du problme . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discussion et introduction aux tudes de convergence . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 24 26 32 33
17
18
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
Les principales grandeurs introduites dans ce chapitre sont
rpertories dans le tableau suivant :
Notationa h E D F w(r, , t) w0 (r, ) ap qp (t) Xp (t) wmp Gp p p
p p p pp rs
Signicationrayon extrieur paisseur masse volumique module
d'Young coecient de Poisson rigidit en exion fonction de force
paramtre de courbure du dfaut sphrique facteur d'adimensionnement
des termes nonlinaires dplacement transverse imperfection gomtrique
projection du dfaut sur le mode de plaque parfaite p coordonne
modale dans la base des modes de plaque parfaite coordonne modale
dans la base des modes de plaque imparfaite hauteur de
l'imperfection forces extrieures projetes sur le mode p
amortissement modal adimensionn pour le mode de plaque parfaite p
amortissement modal adimensionn pour le mode de plaque imparfaite p
pulsation propre adimensionne du mode de plaque parfaite p
pulsation propre adimensionne du mode de plaque imparfaite p
Dnition 3.1 3.1 3.1 3.1 3.1 Eq. (3.2) Eq. (3.6) Eq. (4.7) Eq.
(3.10) 3.1 Eq. (3.27) Eq. (3.35) Eq. (3.23) Eq. (3.32) Fig. 4.11a
Eq. (3.32) Eq. (3.29) Eq. (3.65) Eq. (3.23) Eq. (3.64) Eq. (3.19)
Eq. (3.21) Eq. (3.32) Eq. (3.32) Eq. (3.65) Eq. (3.65) Eq. (3.33b)
Eq. (3.35) Eq. (3.33a)
p
i`me e
mode propre transverse (plaque parfaite)
e pi`me mode propre de membrane (plaque parfaite)
coecient quadratique crit dans la base des modes propres de
plaque parfaite coecient cubique crit dans la base des modes
propres de plaque parfaite coecient quadratique crit dans la base
des modes propres de plaque imparfaite coecient cubique crit dans
la base des modes propres de plaque imparfaite nombre de modes
propres membranaires retenus dans les quations modales nombre de
modes propres transverses retenus lors de la projection du dfaut
dimension du systme d'quations modales rgissant le mouvement
p rsqp grs
hp rsq NF N0 Nw
3.1. quations non-linaires des plaques circulaires minces
parfaitement planes
19
3.1 quations non-linaires des plaques circulaires minces
parfaitement planesNous considrons une plaque mince de diamtre 2a,
d'paisseur h constitue d'un matriau homogne et isotrope de densit ,
de coecient de Poisson et de module d'Young E . Les quations du
mouvement de plaques circulaires minces vibrant grande amplitude
adoptes sont connues comme les analogues dynamiques des quations de
von Krmn. Le dveloppement de ces quations peut tre trouv dans [79,
24, 98, 56]. On en rappelle nanmoins ici les principales
articulations, an d'tablir un canevas d'quations dans lequel nous
insrerons ensuite les dveloppements analytiques dcoulant de l'ajout
de l'imperfection.
3.1.1 HypothsesLe modle est tabli sous les hypothses suivantes :
1. La plaque est mince : h/a 1; 2. Les hypothses cinmatiques de
Kirchho-Love sont respectes : le cisaillement transverse est nglig
et ainsi tout segment normal et droit avant dformation reste normal
et droit aprs dformation ; 3. Les rotations sont faibles (sinus et
cosinus des rotations de tout segment de la plaque sont linariss au
premier ordre) ; 4. Le dplacement transverse w est de l'ordre de
l'paisseur h ; 5. Le dplacement longitudinal est d'un ordre
infrieur au dplacement transverse ; 6. Le comportement du matriau
est lastique linaire ; 7. Les termes d'inertie longitudinale sont
ngligs, ainsi que l'inertie de rotation.
3.1.2 quations localesLes quations dynamiques locales pour le
dplacement transverse w, relatif au plan mdian de la plaque plane
circulaire s'crivent, en un point de coordonnes polaires (r, ), r
[0 a] et [0 2[ :
Dw + hw = L(w, F ) cw + p, Eh F = L(w, w), 2o D est la rigidit
en exion :
(3.1a) (3.1b)
D=
Eh3 . 12(1 2 )
(3.2)
L'expression du Laplacien en coordonnes cylindriques est donne
par :
1 1 () = (),rr + (),r + 2 (), r ret L est l'oprateur quadratique
bilinaire :
(3.3)
L(w, F ) = w,rr
F, F,r + 2 r r
+ F,rr
w, w, w,r w,r + 2 2 2 r r r r
F, F,r 2 r r
.
(3.4)
c est le coecient d'amortissement et p la pression locale
normale applique la plaque ; w et w, sont respectivement les drives
secondes partielles de w par rapport au temps et aux
20
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
coordonnes spatiales. On note que l'oprateur L est symtrique,
c'est dire que pour toute fonction f et g , dnie sur [0 a] [0 2[ et
de classe L2 :
L(f, g) = L(g, f ).
(3.5)
La fonction de force F dcrivant les eorts de membrane (ou
fonction d'Airy) est dnie par :
1 1 Nr = F,r + 2 F, , r r
N = F,rr ,
Nr = Nr =
1 1 F F,r , 2 , r r
(3.6)
o N , , {r, } sont les eorts de membrane par unit de surface en
coordonnes polaires, issues des composantes du second tenseur
lagrangien des contraintes de Piola-Kirchho , appel aussi tenseur
des contraintes de Kirchho-Tretz :h/2
[Nr , Nr , N ] =
h/2
[r , r , ]dz.
(3.7)
L'Eq.(3.1b) provient de l'quation de compatibilit qui lie de
manire non-linaire le dplacement transverse w et l'longation du
plan mdian de la plaque et introduit ainsi la fonction de force F .
C'est prcisment de ce couplage que natra le terme cubique puis,
lors de l'introduction d'un dfaut, le terme quadratique.
3.1.3 Conditions aux limitesNotre tude se restreint au problme
de vibration en bord libre. On impose ainsi aux eorts extrieurs
d'tre nuls sur le bord de la plaque. Ainsi, pour tout t et [0; 2],
il vient :
F et w sont borns 1 1 F,r + F, = 0, F,r + F, = 0, a a w,rr + w,r
+ 2 w, = 0, a a 1 1 2 3 w,rrr + w,rr 2 w,r + w,r w, = 0, a a a2
a3
en r = 0, en r = a, en r = a, en r = a.
(3.8a) (3.8b) (3.8c) (3.8d)
Ces conditions aux limites sont valables pour la coque sphrique
bord libre ainsi que pour la plaque imparfaite bord libre.
3.1.4 AdimensionnementLes prcdentes tudes [84, 85] faisaient tat
de plusieurs adimensionnements possibles. Le mouvement transverse
pouvait tre adimensionn selon plusieurs facteurs, h, h2 /a, h3 /a2
. Le choix de cet adimensionnement tait bas sur l'ordre de grandeur
des termes non-linaires adimensionns. En eet, lors de l'tude de la
rduction du modle et plus particulirement lors de l'application de
la mthode perturbative des chelles multiples, il semblait important
d'obtenir des termes quadratiques et cubiques d'un ordre infrieur
aux termes linaires. Cette hypothse n'a en fait gure d'importance
dans l'application de la mthode [55, 56]. De fait
l'adimensionnement le plus simple, en h, est donc adopt pour la
suite :
w = hw.
(3.9)
3.1. quations non-linaires des plaques circulaires minces
parfaitement planes La coordonne radiale est galement adimensionne,
selon a :
21
r = aret les facteurs d'adimensionnement suivants sont
introduits :
(3.10)
F = Fadim F ,
t = Tadim t,
p = padim p.
(3.11)
Selon les nouvelles variables r et F , les oprateurs linaires de
drivation () et L(, ) deviennent :
() =et
1 () a2
(3.12)
L(w, F ) =
1 L(w, F ). a4
(3.13)
Les facteurs adimensionns peuvent tre alors dnis :
Fadim = Eh3 , = a4 c, Eh3
Tadim = padim
ha4 , D h4 E = 4 . a
=
Eh3 = 12(1 2 ), D
(3.14a) (3.14b)
Les quations (3.1) deviennent alors :
Dh h2 hFadim w + 2 w = L(w, F ) chw + padim p, 4 a a4 T0 Fadim
Eh h2 F = L(w, w) . a4 2 a4
(3.15a) (3.15b)
En choisissant d'ter la notation () pour plus de clart, les
quations du mouvement de la plaque parfaite s'crivent de manire
adimensionne :
w + w = [L(w, F ) 2w + p], 1 F = L(w, w). 2Par ailleurs les
conditions aux limites (3.8) s'crivent alors :
(3.16a) (3.16b)
F et w sont borns F,r + F, = 0, w,rrr + w,rr F,r + F, = 0, w,rr
+ w,r + w, = 0, 1 w,r + (2 )w,r (3 )w, = 0, a2
en r = 0, en r = 1, en r = 1, en r = 1.
(3.17a) (3.17b) (3.17c) (3.17d)
22
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
3.1.5 Projection modaleLa mthode la plus largement utilise pour
rsoudre analytiquement les problmes de vibration est de discrtiser
les quations locales du mouvement sur une base de fonctions (mthode
de Galerkin). Une application pertinente de cette mthode consiste
donc projeter les quations dynamiques sur la base forme par les
modes propres du problme linaris associ [56, 47]. Le problme
temporel est alors scind du problme spatial. Il en rsulte un systme
constitu d'une innit d'quations direntielles du second ordre,
non-linaires et couples permettant de rsoudre les volutions
temporelles de chacune des coordonnes modales. Les problmes de
plaque puis de coque ont t traits en dtail [79, 99, 85, 80]. Le
problme spatial peut tre rsolu analytiquement dans les cas de
gomtries simples et de conditions aux limites classiques, telles
que la plaque rectangulaire simplement supporte, la plaque
circulaire en condition de bord libre, appui simple, bord encastr,
etc. Les dveloppements de ce paragraphe concernent les quations
modales du mouvement de la plaque circulaire mince bord libre et
sont issus de [99, 79]. On y trouve galement le dtail du calcul des
modes propres, lui mme inspir des travaux de [48, 31]. Supposant
que le dplacement transverse w(r, , t) peut tre crit comme le
produit d'une fonction spatiale et d'une fonction temporelle et que
le comportement non-linaire du mouvement est port par la partie
temporelle, nous pouvons crire :
w(r, , t) =p=1
p (r, )qp (t)
(3.18)
o qp (t) est l'amplitude temporelle et o p (r, ) est le mode
propre linaire solution du problme spatial associ 2 p p p = 0
(3.19)
et aux conditions limites (3.17a,c,d) . De la mme manire, le
fonction de force F (r, , t) peut tre crite sous la forme :
F (r, , t) =s=1
s (r, )s (t)
(3.20)
o s est l'inconnu temporelle et o p (r, ) est choisie comme la
solution de
(r, ) = 4 (r, )
avec ( rel)
(3.21)
et des conditions aux limites (3.17a-b). De fait, les fonctions
s montrent la mme dpendance spatiale que les modes propres linaires
d'une plaque circulaire encastre au bord. On introduit le produit
scalaire :
< f |g >=S
f g dS
(3.22)
valable pour toutes fonctions f et g dnies en tout point du
domaine (r, ) [0 1] [0 2]. Aprs avoir substitu (3.18) et (3.20)
dans (3.16), et projet le rsultat par (3.22) sur le mode , nous
obtenons les quations modales de la plaque parfaite (3.23).
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites 2 q (t) + q (t) = p=1 q=1 u=1
23
qp (t)qq (t)qu (t) 2 q (t) + Q (t) pqu
(3.23)
avec
Q =
S
p dS 2 dS
,
(3.24a)
S
2
=
S
dS 2 dS S
et
(3.24b)
S
upq
1 = 2
b=1
L(u , b )dS 4 b S 2 dS
S
b L(p , q )dS . 2 S b dS
(3.24c)
La simplicit des termes ci-dessus prsupposent bien entendu la
proprit d'orthogonalit des modes propres transverses p et encastrs
s . L'orthogonalit des modes propres de plaque bord libre par
rapport au produit scalaire utilis est dmontre dans [79]. Le cas
particulier des modes de solide rigide mritent cependant de s'y
attarder. Ces modes de dplacements nonnuls mais auxquels aucune
nergie n'est associe sont solutions du problme spatial. Ils font
donc partie de la base des modes propres dynamiques du systme et
leurs frquences propres correspondantes est 0. Dans le cas des
plaques circulaires minces bord libre, les modes propres de
vibrations s'crivent :
0n (r, ) = R0n (r) kn1 (r, ) cos k = Rkn (r) kn2 (r, ) sin k
pour k = 0, pour k > 0.
(3.25)
Comme la gomtrie du systme tudi est symtrie circulaire, les
variables r et peuvent tre nouveau spares. Rkn (r) sont les
composantes des dformes modales selon r. Ils sont solutions
d'quations de Bessel ordinaires et modies non dtailles ici mais que
l'on peut retrouver dans [53, 85, 79, 98]. On retrouve dans ces
expressions les congurations prfrentielles des modes asymtriques
kn,k=0 , l'une en cosinus et l'autre en sinus. Ce sont des modes
propres dgnrs ; leurs valeurs propres possdent une multiplicit gale
2. On trouve parmi ces derniers le mode de solide rigide (0,0) (le
mode piston-plan), et les modes de solide rigide (1,0,c) et (1,0,s)
(correspondant aux deux rotations, radiale et orthoradiale selon
l'axe = 0). Leurs expressions sont :
00 (r, ) = 1, (1,0,c) (r, ) cos () =r sin () (1,0,s) (r, )
(3.26a) (3.26b)
3.2 quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites3.2.1 Dnition du dfaut de formeLa plaque imparfaite est
vue comme une plaque parfaite dans laquelle est introduite une
imperfection gomtrique, appele galement dfaut de forme. Ce dernier
rend compte d'une
240.8 1 1 0.5 0 0.5 0.6
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
0.4
0.2 0.2 0 0.4 0.6 0.8 1
Position dynamique Position de la plaque au repos w
r ~ w wo
ar1
a
(a)Figure 3.1
(b)
Denition de l'imperfection gomtrique w0 . (a) Vue suprieure et
coordonnes polaires. (b) Prol d'une coupe arbitraire.
position gomtrique de la plaque au repos dirente du plan mdian
(gure 3.1). Notre but est d'insrer ce dfaut de forme dans les
dveloppements analytiques rappels prcdemment. Pour ce faire, le
dplacement transverse local de la structure imparfaite est dcompos
selon une quantit uctuante et une composante statique non nulle
:
w(r, , t) = w(r, , t) + w0 (r, ).
(3.27)
La modication de l'tat au repos de la structure impose une
compensation statique des contraintes F et des forces appliques p
:
F (r, , t) = F (r, , t) + F0 (r, ), p(r, , t) = p(r, , t) + p0
(r, ).
(3.28a) (3.28b)
Ces termes sont ajouts de manire articielle an de retrouver
l'quilibre statique sous-jacent aux quations dynamiques (3.1) du
cas parfait. En eet, nous voulons tudier ici l'eet d'un dfaut
gomtrique initial, hors de toute prcontrainte ou de force applique.
Ces termes permettent l'quilibrage statique des quations de
mouvement alors modies. Il conviendra d'ailleurs par la suite de
faire abstraction des termes issus de la contrainte ajoute pour ne
s'intresser qu' l'eet de la composante gomtrique.
3.2.2 Ajout d'un dfaut dans les quations locales du cas
parfaitEn substituant (3.28a) et (3.28b) dans (3.1), on obtient
:
Dw + D w0 +hw = L(w, F ) + L(w0 , F ) + L(w, F0 ) + L(w0 , F0 )
cw + p + p0 ,T.C. T.P. T.C. T.C.
(3.29a) (3.29b)
F + F0 = T.C.
Eh [L(w, w) + 2L(w, w0 ) + L(w0 , w0 )] . 2T.C.
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites
25
quilibrage statique des nouvelles quationsL'quilibrage statique
de (3.29) tablit :
Dw0 = L(w0 , F0 ) + p0 , Eh F0 = L(w0 , w0 ). 2
(3.30a) (3.30b)
Exemptes des termes constants (T.C.) et galement du terme
non-linaire issu de la prcontrainte ajoute (T.P.), les quations
non-linaires du mouvement (3.29) deviennent :
Dw + hw = L(w, F ) + L(w0 , F ) cw + p, Eh F = [L(w, w) + 2L(w,
w0 )]. 2
(3.31a) (3.31b)
Discussion sur l'apparition des nouveaux termesL'inertie
longitudinale tant nglige, la fonction de force F dpend du
dplacement transverse selon {w} et {w}2 . En eet, l'oprateur L(, )
tant bilinaire, le terme L(w0 , F ) de (3.31a) cre un terme linaire
et un terme quadratique en w. Ainsi, la premire partie du terme
L(w0 , F ) de (3.31a) traduit le couplage linaire entre le
mouvement transverse et l'tirement membranaire rsultant de la
gomtrie non plane du dfaut (dpendance en w0 ). La seconde partie du
terme L(w0 , F ) quant lui, ainsi que le terme L(w, F ) rendent
compte du couplage non-linaire d aux grandes longations. Il
comporte un terme quadratique issu la fois de L(w0 , F ) et de L(w,
F ) et un terme cubique issu uniquement de L(w, F ), indpendant du
dfaut w0 . Ce dernier est donc naturellement gal celui de la plaque
plane circulaire sans dfaut. Par contre, le terme quadratique tait
auparavant absent des quations non-linaires de plaque [98]. En eet,
il a t montr dans [90, 107, 60, 77, 98] que les quations
non-linaires rgissant la dynamique d'une structure symtrique
prsentent des termes non-linaires seulement d'ordre impair. Les
quations rgissant les mouvements d'une plaque plane ne prsentent
d'ailleurs qu'un terme cubique alors que celles rgissant les
mouvements d'une coque prsentent la fois un terme cubique et
quadratique. Ici, le dfaut fait perdre la plaque sa proprit de
symtrie, d'o le terme quadratique supplmentaire, rsultats galement
retrouvs dans [60, 62, 83].
Conditions aux limites et adimensionnementLes conditions aux
limites de la plaque imparfaite bord libre sont les mmes que celles
de la plaque parfaite bord libre [98] de mme que celles de la coque
sphrique mince [80, 85]. Elles proviennent de l'absence de toute
force externe sur le bord. Elles sont dcrites par les quations
(3.8). De mme que pour le cas de la plaque parfaite, on choisit
d'adimensionner le mouvement transverse w et par consquent le dfaut
w0 par l'paisseur h de la plaque. Les facteurs d'adimensionnement
(3.14) sont donc conservs. En omettant la notation (), les quations
non-linaires rgissant le mouvement transverse de la plaque avec
dfaut deviennent :
26
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
w + w = [L(w, F ) + L(w0 , F ) 2w + p], 1 F = [L(w, w) + 2L(w,
w0 )]. 2
(3.32a) (3.32b)
3.2.3 Projection modaleAn de pousser au plus loin les
dveloppements analytiques, on se propose maintenant de projeter le
dfaut de forme sur les modes propres transverses de vibration de la
structure parfaite dans laquelle il est introduit. Cette opration
est rendue possible grce aux proprits de base des modes propres et
est facilite par la proprit d'orthogonalit. Comme soulign dans le
paragraphe 3.1.5, il est important de noter ici que les modes de
solide rigide font partie de la base des modes propres dynamiques
de la structure parfaite. Lors de la projection du dfaut de forme,
la composante piston-plan traduit ainsi la position du centre de
masse de la structure non parfaite. L'objectif de ce paragraphe est
d'crire le systme d'quations aux drives ordinaires nonlinaires et
couples de la structure imparfaite, de manire similaire aux
quations (3.23). L'criture numrique du systme de dimension innie
passe de manire vidente par une troncature, que l'on eectue sur les
modes transverses et membranaires :Nw
w(t, r, ) =p=1 NF
qp (t)p (r, ),
(3.33a) (3.33b)
F (t, r, ) =p=1
p (t)p (r, ).
Nous faisons en outre l'hypothse que les fonctions (i )iN et (i
)iN sont normalises selon le produit scalaire (3.22), si bien que
pour tout p N ,
S
2 dS = 1 , p
S
2 dS = 1. p
(3.34)
Projection du dfaut sur les modes propres dynamiquesLe dfaut est
discrtis sur la base tronque N0 des modes propres transverses de la
plaque parfaite :N0
w0 =p=1
ap p (r, ).
(3.35)
D'aprs la proprit d'orthogonalit des modes propres, les
amplitudes ap des projets du dfaut sur les modes se dduisent par
:
ap =
S
w0 p dS.
(3.36)
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites
27
Projection du dfaut sur les modes de solide rigideDans le cas
particulier des modes de solide rigide voqus prcdemment, (0,0)
(3.26a), (1,0,c) et (1,0,s) (3.26b) qui une fois normaliss
deviennent :
1 (0,0) = et 2 (1,0,c) cos = r , (1,0,s) sin
(3.37a) (3.37b)
les projets modaux associs renseignent d'une part sur la
position du centre de masse zg et d'autre part sur les composantes
angulaires t et r du plan mdian de la structure imparfaite, ainsi
:
zg = a00 =
S
w0 (0,0) dS ,avec
(3.38a)
t a = arctan 10c r a10s
a10c = a10s
S
w0
(1,0,c) dS . (1,0,s)
(3.38b)
criture des nouvelles quations modalesEn injectant les quations
de projection (3.35), (3.33b) et (3.33a) dans les quations compltes
du mouvement (3.32), on obtient :Nw Nw Nw Nw Nw Nw
qs s +p=1 p=1
s = qs
qp qq L(p , q ) +p=1 q=1 Nw NF p=1 q=1 Nw
ap qq L(p , q ) q s s + p , ap qq L(p , q ) .p=1 q=1
(3.39a)
+p=1 q=1 NF
qp q L(p , q ) 2s=1
s s = s=1
1 2
Nw Nw
Nw Nw
qp qq L(p , q ) + 2p=1 q=1
(3.39b)
Les quations (3.39) projetes sur les modes propres fournissent
les quations modales de la plaque comportant l'imperfection :
+ 2 qu = qu u 1 q = 4 2qavec Qu =S Nw Nw r=1 s=1
Nw NF p=1 q=1 S
u L(p , q )dS qp q + ap q 2u q u + Qu ,Nw Nw r=1 s=1 S
(3.40a) (3.40b)
1 q L(r , s )qr qs dS 4 q S
q L(r , s )ar qs dS,
p.u dS et u l'amortissement modal associ au mode u.
Pour visualiser plus aisment l'origine des termes quadratique et
cubique issus du dfaut de forme, on reprend le systme d'quations
(3.32) en dressant un parallle entre chacun des termes
28 dsigns par :
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
w + w = [L(w, F ) + L(w0 , F ) 2w +terme 1 terme 2 terme 3
p
],(3.41)
terme 4
1 F = [L(w, w) + 2L(w, w0 )] 2et leur projets :Nw NF Nw Nw
< L(w, F ) |u >terme 1
= p=1 q=1 r=1 s=1 Nw Nw Nw Nw
1 4 2q 1 4 q 1 4 2q 1 4 q
S
u L(p , q )
S
q L(r , s )dS.qp qr qs
p=1 q=1 r=1 s=1 Nw NF Nw Nw
S
u L(p , q )
S
q L(r , s )dS ar qp qs ,
< L(w0 , F ) |u > = terme 2 p=1 q=1 r=1 s=1 Nw NF Nw
Nw
S
u L(p , q )
S
q L(r , s )dS ap qr qs
p=1 q=1 r=1 s=1
S
u L(p , q )
S
q L(r , s )dS ap ar qs ,
< 2w |u >terme 3
= 2q u , = Qu =S
pu dS .(3.42)
Ces dveloppements corroborent les prvisions nonces puisque l'on
retrouve bien ici que le terme linaire provient de L(w0 , F ), que
le terme quadratique provient la fois de L(w0 , F ) et de L(w, F )
et que le terme cubique provenant de L(w, F ) n'a aucune dpendance
en w0 . On retrouve d'ailleurs ici l'expression du coecient cubique
des quations modales de la plaque mince circulaire sans dfaut
introduite quation (3.24c). En substituant l'expression de la
variable membranaire (3.40a) dans (3.40b) et en utilisant
l'expression du coecient cubique de plaque (3.24c), les quations
modales peuvent ensuite grandement se simplier.
Expressions analytiques des nouveaux coecientsAinsi, en ajustant
les indices de sommation de chaque quadruple somme dans les termes
ci-dessus Eq.(3.42), on dduit l'quation suivante :Nw Nw Nw p=1 r=1
s=1
+ 2 qu = qu u
u qp qr qs + 2qp ar qs + ap qr qs + 2ap ar qs 2u q u + Qu .
rsp
(3.43)
Nous pouvons ainsi regrouper termes linaires, quadratiques et
cubiques pour former les u u nouveaux coecients linaires et
quadratiques p et pr :
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites
29
+ 2 qu = qu uavec
Nw u p qp + p=1
Nw Nw u pr qp qr + p=1 r=1
Nw Nw Nw p=1 r=1 s=1
u qp qr qs 2u q u + Qu rsp
(3.44)
Nw Nw u p = r=1 s=1 Nw u pr = s=1
2u ar as , rps
(3.45)
(u + 2u )as . rps srp
(3.46)
Ces quations constituent un rsultat important des travaux
prsents. Nous obtenons en eet des expressions analytiques simples
(3.45, 3.46) pour dcrire les nouveaux coecients modaux contrlant la
dynamique du nouveau systme et ce pour toute structure circulaire
imparfaite, sans restriction de symtrie. Les nouveaux coecients
linaires et quadratiques s'crivent uniquement en fonction des
coecients cubiques issus du cas parfait et des projets modaux du
dfaut de forme. Les coecients cubiques de la structure modie ne
subissent quant eux pas d'altration. Ces formes simples, drives des
expressions analytiques, faciliteront grandement l'tude des modes
propres dans un premier temps puis dans un second temps l'tude du
comportement non-linaire des coques imparfaites.
Inuence d'un dcalage angulaire du dfautLa base utilise pour la
projection du dfaut ncessite de dnir une origine pour la coordonne
. Dans le cas d'une plaque circulaire parfaite ou bien mme dans
celui d'une structure symtrie de rvolution telle que la coque
sphrique, il ne se pose pas l de problme particulier. Dans le cas
d'un dfaut quelconque par contre, il devient intressant de regarder
comment la position angulaire du dfaut inuence sa projection sur
une base modale tronque. On considre ici les modes {p }p[1 N0 ]
sous leur formulation en variables spares selon r et (Eq. (3.25)).
On peut donc dtailler la projection (3.35) de w0 en introduisant
les coordonnes aknc et akns des congurations en cosinus et en sinus
du mode dcrit par k diamtres nodaux et n cercles nodaux. Les modes
axisymtriques peuvent galement tre pris en compte dans cette
notation en considrant qu'ils sont dcrits pour k = 0. Les
composantes radiales des modes axisymtriques s'criront donc a0nc .
Ainsi pour tout k [0 Nk ] et tout n [0 Nn ], avec (Nk + 1) (Nn + 1)
= N0 , on a :
aknc = akns =On peut ainsi crire :Nk Nn
S
w0 Rkn (r)cos(k)dS , w0 Rkn (r)sin(k)dS .
S
w0 =
Rkn (r)(aknc cos(k) + akns sin(k)) .k=0n=0
(3.48)
30
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
Et on dnit par ailleurs akn et kn :
akn = knce qui nous permet d'crire :Nk Nn
a2 + a2 , knc kns akns , = atan aknc
w0 =
Rkn (r)akn cos(k kn ) .k=0n=0
(3.50)
On considre maintenant le mme dfaut dcal de 0 :
w0 (r, 0 ) = w0 (r, )
(3.51)
On introduit la variable = + 0 puis on procde aux mmes
dveloppements. On pose cette fois :Nk Nn
w0 =et
Rkn (r)akn cos(k kn )k=0n=1
(3.52)
aknc = akns =
S
w0 Rkn cos(k)dS = w0 Rkn sin(k)dS =
S
w0 (r, )Rkn cos(k k0 )dS , w0 (r, )Rkn sin(k k0 )dS .
(3.53a) (3.53b)
S
S
Les relations fondamentales de la trigonomtrie, ainsi qu'un
changement de variable = 0 sous les intgrales des quations (3.53),
nous permettent d'crire :
aknc = aknc cos(k0 ) + akns sin(k0 ) akns = akns cos(k0 ) aknc
sin(k0 )On cherche dduire les grandeurs similaires au premier dfaut
et il vient en dveloppant :
akn =De mme,
2 2 aknc + akns =
a2 + a2 . knc kns
(3.55)
a akns aknc tan(k0 ) tan(kn ) = kns = = tan k0 atan akns aknc 1
+ aknc tan(k0 ) akncce qui nous permet de dduire kn :
akns
,
kn = kn k0 .
(3.56)
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites Finalement, l'quation (3.52) devient grce Eq. (3.55) et
Eq. (3.56) :Nk Nn
31
w0 (r, ) = w0 (r, ) =
Rkn (r)akn cos(k( + 0 ) + kn ).k=0n=1
(3.57)
Cette dernire quation est comparer (3.50). L'eet d'un dcalage en
0 sur le dfaut n'intervient pas sur le module akn . L'eet sur la
composante asymtrique est un dcalage uniforme en 0 pour tout couple
(k, n) de [1 Nk ] [1 Nn ]. En prenant ce rsultat en compte travers
les dveloppements des deux paragraphes prcdents, il apparat que
tant que la troncature Nw conserve les deux congurations en cosinus
et en sinus pour chaque mode asymtrique pris en compte, les
coecients linaires et non-linaires seront les mmes quelque soit le
dcalage 0 . On n'a donc pas a priori 4 se soucier de la position
angulaire de la gomtrie que l'on veut discrtiser, mme sur un nombre
rduit de modes. Cette conclusion a par ailleurs t vrie numriquement
sur des dfauts arbitraires introduits dans le modle et dont on
faisait varier le dcalage angulaire. Les rsultats en terme de modes
propres et coecients non-linaires, en sortie de modle, taient
rigoureusement identiques.
Proprit de symtrie des coecients non-linairesDans ce paragraphe,
sont mises en lumire d'importantes relations de symtrie, utiles la
fois pour la rduction des oprations numriques et galement pour les
dveloppements des calculs de la seconde partie de la monographie.
La proprit de symtrie (3.5) de l'oprateur bilinaire L dnit par
(3.13) nous permet d'crire (les termes commutants sont crits en
gras pour une meilleure lisibilit) :
k = k . pij pji
(3.58)
De plus, d'aprs les travaux d'O. Thomas [81], l'oprateur L crit
pour une plaque plane de forme arbitraire vrie sous certaines
conditions aux limites 5 , dont celle de bords libres, la relation
de symtrie suivante :
S
k L(p , s )dS =
S
L(k , p )s dS.
(3.59)
Il vient ainsi les relations de symtrie suivantes :
k = p pij kij k = i . pij jkp
et
(3.60a) (3.60b)
Les coecients k respectent donc trois symtries distinctes. Grce
ces relations, nous pouvons pij k dduire une proprit de symtrie sur
les coecients i dnis par (3.45). En eet :4. Cette assertion
concerne en eet le domaine continu. Lors d'une projection numrique,
il faut prendre garde au placement du maillage en regard des
ventuels dfauts localiss sur la gomtrie tudie. 5. Les hypothses que
doivent vrier ces conditions aux limites sont dtailles dans
l'article en question.
32
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
Nw Nw k i = p=1 j=1
2k ap aj pij Nw Nw
relation de symtrie (3.60b)
k i = p=1 j=1
2i ap aj jkp Nw Nw
permutation des sommes
k i = j=1 p=1
2i aj ap pkj
La relation de symtrie respecte par les coecients est donc :k i
i = k
(3.61)
k Une relation particulire peut galement tre tablie sur les
coecients pp . En utilisant les relations de symtrie prcdentes, on
peut montrer que : p p k 2pp = pk + kp .
(3.62)
3.2.4 Diagonalisation du problmeAn de pouvoir tudier l'inuence
du dfaut de forme sur les caractristiques linaires et non-linaires
de la plaque imparfaite, il nous faut crire les quations modales
obtenues dans la nouvelle base des vecteurs propres de la structure
dforme. Soit A la matrice de la partie linaire de (3.44) :u 2 A =
{p + u up }u,p[1 Nw ] .
(3.63)
j La relation de symtrie sur les coecients p nous permet de
montrer que la matrice A est symtrique, proprit gnralement retrouve
dans les systmes mcaniques. La diagonalisation de A permet de
calculer numriquement les pulsations propres p et les dformes
modales de la plaque avec dfaut selon la formule :
{u up }u,p[1
Nw ]
= P1 AP,
(3.64)
o P est la matrice des vecteurs propres. En appliquant le
changement de coordonnes q = PX avec q = (qi )i[1 Nw ] et X = (Xi
)i[1 Nw ] , il vient :
Xu + 2 Xu = u
Nw Nw u gpr Xp Xr p=1 r=1
Nw Nw Nw
+p=1 r=1 s=1
hu Xp Xr Xs 2u Xu + Gu , rsp
(3.65)
o Xu est la coordonne modale, associe aux modes propres de la
plaque imparfaite. u , Gu u sont respectivement l'amortissement et
le forage modal crits dans la nouvelle base. gpr et hu rsp sont les
nouveaux coecients non-linaires quadratiques et cubiques. Ils
s'crivent en fonction 1 des termes Pij et Pij des matrices P et P1
:
3.2. quations non-linaires des plaques circulaires minces
imparfaites
33
Nw u gpr = i,j,k=1 Nw 1 i jk Pui Pjp Pkr ,
(3.66a) (3.66b)
hu = rspi,j,k,n=1
1 i Pui Pjr Pks Pnp . jkn
3.2.5 Discussion et introduction aux tudes de convergenceDans le
cas parfait comme dans le cas imparfait, il n'existe pas de
solution exacte au problme non-linaire de vibration de plaque. Dans
le cas de la plaque parfaite, les dveloppements ont t pousss jusqu'
obtenir une formulation analytique de la solution du problme
spatial, dcoupl du problme temporel. Les modes propres sont alors
dduits analytiquement. Cet avantage non-ngligeable en terme de cot
de calcul tient la simplicit de la gomtrie et des conditions
limites tudies. Dans le cas de gomtries plus complexes, il est
d'usage d'avoir recours des techniques numriques, telles que les
lments nis. La mthode prsente a pour avantage de permettre le
dveloppement analytique des coecients linaires et non-linaires
partir du cas parfait. Le calcul des modes propres de la structure
imparfaite impose toutefois de passer par une tape de
diagonalisation du problme qui exige de tronquer le systme
d'quations aux drives ordinaires non-linaires et couples. Les
direntes troncatures appliques concernent : la projection de
l'imperfection sur les N0 modes propres dynamiques de la plaque
parfaite, la discrtisation des quations locales du mouvement de la
plaque imparfaite sur les Nw modes transverses et sur les NF modes
de membrane. La troncature sur les modes de membranes ne fait pas
l'objet d'une tude de convergence particulire. Il a t montr au
cours des prcdents travaux, et vri au cours de cette thse, qu'une
troncature 12 modes de membrane permettait de garantir une prcision
sur les coefcients non-linaires cubiques de 4 chires signicatifs.
En revanche, les paramtres N0 et Nw , intimement lis la prcision de
la reconstruction du dfaut grce la base de modes propres et la
prcision du rsultat de la diagonalisation sont laisss libres. Ils
seront l'objet d'une attention particulire dans les deux prochains
chapitres dans lesquels des dfauts de forme typiques puis
correspondant des coques relles sont tudis.
34
Chapitre 3. Modle de plaque circulaire imparfaite
CHAPITRE
4APPLICATION QUELQUES DFAUTS DE FORME
Sommaire
4.1 4.2 4.3 4.4
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . Calcul de la tendance de non-linarit . . . . . . . . . .
. . . . . Cas d'un dfaut de forme sphrique . . . . . . . . . . . .
. . . . .4.3.1 4.3.2 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5.1 4.5.2
35 36 38 4646 46 52 53 59 38 40
Cas de dfauts axisymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .
Comparaison thorique avec le modle de coque sphrique mince .
Comparaisons des rsultats entre dirents modles analytiques . .
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . Imperfection de la forme du mode (0,1) . . . . . . . . . .
. . . . . . Imperfection de la forme du mode (0,2) . . . . . . . .
. . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (2,0) . . . . . .
. . . . . . . . . . Imperfection de la forme du mode (3,0) . . . .
. . . . . . . . . . . .
4.5 4.6
Cas de dfauts asymtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . Conclusion sur les cas d'imperfections de formes donnes . . .
.
53 61
4.1 IntroductionDans ce chapitre, le modle de coque imparfaite
est confront deux autres, l'un aux dveloppements analytiques pousss
ddi aux coques sphriques minces et l'autre utilisant les lments
nis. Dans le domaine linaire, une comparaison systmatique est mene
sur les modes propres. Dans le domaine non-linaire, lorsque le
modle comparer nous le permet, nous confrontons, terme terme, des
coecients quadratiques et cubiques (les rsultats de ces travaux
peuvent galement tre trouvs dans [12, 13]). Nous regardons galement
la tendance de non-linarit pour quelques modes, an de mettre en
vidence un eet global impliquant un grand nombre de coecients (ces
travaux sont galement reports dans [96, 92]). Cette quantit, ainsi
que le moyen de la calculer (grce au formalisme des modes
non-linaires) sont dnis section 4.2. Le modle de coque sphrique
mince est compar au modle de coque imparfaite au sein duquel
l'imperfection introduite est une calotte sphrique. On regarde en
dtail les dirences analytiques ventuelles et leurs eets sur les
rsultats. Ces premires validations sont reportes section 4.3.1.
Ensuite, les cas d'imperfections de formes donnes sont documents
sections 4.4 et 4.5. Le modle par lments nis vient conforter ces
rsultats dans le domaine linaire. 35
36
Chapitre 4. Application quelques dfauts de forme
Enn, les gomtries compltes des coques de laboratoire (prsentes
au chapitre 2 de ce manuscrit) sont implmentes dans le nouveau
modle. Dans le cas de la coque de rfrence, une exprience, dtaille
dans le chapitre appropri, a permis de dgager quelques coecients
nonlinaires. Nous pouvons donc comparer les prdictions des modles
thoriques au comportement non-linaire de la coque. Dans tous les
cas d'tude qui suivent, la convergence sur les troncatures N0 et Nw
est regarde ; les rsultats importants sont comments.
4.2 Calcul de la tendance de non-linaritDans cette section sont
livrs les lments thoriques des calculs de tendance de non-linarit
eectus pour les dfauts typiques de la forme du mode (0,1) et du
mode (2,0) et dont les rsultats gurent sections 4.4.2 et 4.5.1. la
dirence des oscillateurs linaires, un des comportements typiques
des oscillateurs nonlinaires est la dpendance de la frquence avec
l'amplitude de vibration. La tendance de nonlinarit dnit ce
comportement, qui peut tre raidissant (la frquence crot quand
l'amplitude de vibration crot) ou bien assouplissant (la frquence
dcrot quand l'amplitude crot). Une abondante littrature est
consacre la prdiction de cette tendance de non-linarit pour les
structures continues et spcialement dans le cas de structures
comportant une courbure telles que les arches et les coques pour
lesquelles les quations comportent un terme quadratique, rendant le
calcul plus compliqu. En eet, il est avr thoriquement et
exprimentalement que les structures planes prsentent des tendances
de non-linarit raidissantes [88, 107, 60, 77, 98, 84]. La prsence
d'un terme quadratique peut modier le comportement raidissant en
comportement assouplissant. La rduction du systme d'quations
direntielles ordinaires (EDOs) couples non-linairement, un seul
degr de libert reprsent par un mode linaire est trop restrictive et
fournit des rsultats errons, comme l'attestent [57, 100]. Pour
prdire correctement le type de non-linarit, il faut soit conserver
un grand nombre de modes linaires, soit utiliser le formalisme des
modes nonlinaires an de rduire le systme dynamique un degr de
libert. Cette mthode a notamment t applique avec succs dans le cas
de la coque sphrique mince [97] pour lequel la tendance de
non-linarit et l'eet des rsonances internes peuvent tre
correctement prdits avec un seul mode non-linaire au lieu d'une
dizaine de modes linaires. La dmarche consiste appliquer aux
quations modales crites dans la base Xp un changement de coordonnes
non-linaires an d'crire la dynamique dans une base de coordonnes
normales Rp dcrivant le mouvement dans une varit invariante de
l'espace des phases. Le changement de coordonnes est calcul selon
les thormes de Poincar et Poincar-Dulac, en liminant successivement
les termes de couplage superus dans les quations des oscillateurs
non-linaires. Le changement de coordonnes peut tre ainsi crit :
4.2. Calcul de la tendance de non-linarit
37
N
N
Xp = Rp +i=1 j1 N N
(ap Ri Rj ijN
+
bp Si Sj ) ij
N
N
+i=1 j=1
cp Ri Rj + ij
p (rijk Ri Rj Rk + sp Si Sj Sk )+ ijk
i=1 j1 k1 N N N
(tp Si Rj Rk + up Ri Sj Sk ), ijk ijk + p Si Sj ) ijN N
(4.1a)p ij Ri Rj +
i=1 j=1 k1 N N
Yp = Sp +i=1 j1 N N
p (ij Ri Rj N
+i=1 j=1
(i=1 j1 k1 N N N
p ijk Ri Rj Rk
+ p Si Sj Sk )+ ijk(4.1b)
p (op Si Rj Rk + ijk Ri Sj Sk ). ijk
i=1 j=1 k1
Une approximation au troisime ordre est applique au changement
de coordonnes. Les p expressions analytiques des coecients
ci-dessus, savoir {ap , bp , cp , rij , sp , tp , up } et {p , ij
ij ij ij ij ij ij p p p ij , ij , p , p , ij , op } ne sont pas
dtailles dans ce paragraphe mais peuvent tre trouves ij ij ij dans
[100] et [95]. Une fois le changement de coordonnes eectu, des
troncatures adquates peuvent tre opres. En l'occurrence, en ne
conservant qu'un seul mode normal non-linaire Rp , on peut
correctement prdire le type de non-linarit du pime mode. Ainsi
rduite un seul mode non-linaire, la dynamique s'crit :2 3 p p 2 2
Rp + p Rp + 2p p Rp + (hp + Ap )Rp + Bppp Rp Rp + Cppp Rp Rp = 0,
ppp ppp
(4.2)
p p o Ap , Bppp et Cppp sont les nouveaux coecients issus du
changement de coordonnes. Leurs ppp i expressions font seulement
intervenir les coecients quadratiques gij et quelques coecients du
changement de coordonnes, {ap , bp , cp } : ij ij ij N
Ap pppp Bppp
=li N
p gpl al + pp li p gpl bl + pp li p gpl cl + pp li
p glp al , pp
(4.3a) (4.3b) (4.3c)
=li N
p glp bl , pp
p Cppp
=li
p glp cl . pp
A partir du dveloppement asymptotique au troisime ordre de la
dynamique tronque un mode non-linaire (4.2), on peut correctement
prdire la tendance de non-linarit du mode tudi. Un dveloppement
perturbatif au 1er ordre permer d'exprimer la dpendance de la
pulsation non-linaire d'oscillation N L en fonction de l'amplitude
de vibration a :
38
Chapitre 4. Application quelques dfauts de forme
N L = p (1 + Tp a2 ),
(4.4)
o p est la pulsation propre de l'oscillateur p. Tp est le
coecient traduisant le type de nonlinarit, son expression est (voir
[95]) :
Tp =
1 2 p [3(Ap + hp ) + p Bppp ]. ppp ppp 2 8p
(4.5)
Lorsque Tp est positif, le comportement est raidissant ; il est
assouplissant lorsque Tp est ngatif. Des rsultats de calculs de
tendance de non-linarit sont donns dans les chapitres prochains,
dans les cas particuliers de dfauts typiques. Sont montres en
particulier les volutions de ces tendances en fonction de
l'amplitude de l'imperfection contenue dans la plaque.
4.3 Cas d'un dfaut de forme sphrique4.3.1 Comparaison thorique
avec le modle de coque sphrique mincequations du modle de coque
sphriquew0
h R H r a
Figure 4.1
Caractristiques gomtriques d'une plaque comportant un dfaut
sphrique.
An de valider la mthode d'introduction d'un dfaut de forme dans
les quations de mouvement de la plaque circulaire, nous nous
appliquons retrouver les termes du modle de vibration de coque
sphrique mince de [85] partir du modle de plaque plane circulaire
dans lequel est introduit une imperfection de forme sphrique, telle
que prsente gure 4.1. Les quations non-linaires de vibrations de
coques sphriques peu profondes donnes par [85] sont les suivantes
:
1 F + hw = L(w, F ) cw + p, R Eh Eh F w = L(w, w). R 2 Dw +
(4.6a) (4.6b)
Les conditions aux limites restent les mmes que pour la plaque
plane circulaire (cf. Eqs (3.8)). On adopte le mme adimensionnement
que pour la plaque circulaire mince, (3.9), et les facteurs
4.3. Cas d'un dfaut de forme sphrique
39
d'adimensionnement (3.10, 3.11) restent valables. Il convient en
outre d'ajouter le paramtre adimensionn : a4 = 12(1 2 ) 2 2 . (4.7)
R h Dans le cas des coques sphriques, est le seul paramtre
gomtrique libre car il permet de caractriser entirement la gomtrie
courbe. Les quations (4.6) s'crivent de manire adimensionnes :
w +
Rh a2 F +w = L(w, F ) + [2 w + p] , a2 Rhterme coque a2
(4.8a)
F
1 w = L(w, w), Rh 2
(4.8b)
terme coque
o la mention terme coque dsigne les termes supplmentaires par
rapport aux quations de plaque mince circulaire parfaite.
Gomtrie du dfautOn se propose maintenant de comparer les termes
coques aux termes supplmentaires issus de l'introduction d'un dfaut
sphrique dans les quations de mouvement de plaque mince circulaire.
Il sut pour cela d'expliciter les termes des quations (3.32a) et
(3.32b) o apparat le dfaut w0 . tablissons tout d'abord la gomtrie
du dfaut sphrique. En posant H la hauteur du dfaut et R son rayon
de courbure (voir gure 4.1), un dfaut sphrique peut s'crire de
manire adimensionne :
w0 (r) =avec
1 h
R 2 a2 r 2 + H R , R 2 a2 .
(4.9) (4.10)
H =R
Dveloppement de Taylor de quelques termesr La condition de
petite courbure ( R/a Nw ou bien ajouter des coecients ap
supplmentaires lorsque N0 < Nw .
10.2 Construction du schma conservatif appliqu la dynamique des
plaques imparfaitesNotre but est ici de trouver une quantit discrte
consistante l'nergie totale continue dveloppe ci-dessus. De la mme
manire que dans le cas une dimension, c'est le placement judicieux
des oprateurs de moyennage t , t et de l'oprateur de dcalage et qui
nous permet ce tour de main. Plusieurs tentatives de discrtisation
des quations (10.6) ont t ncessaires avant l'obtention d'une
criture discrte adquate des quations de mouvement. Nous ne dcrivons
pas ici ces tentatives infructueuses. Nous dtaillons plutt le
calcul permettant d'obtenir l'nergie discrte partir de la
formulation propose. Le schma que nous adoptons par la suite est
implicite et multi-pas. Par ailleurs, pour allger l'criture des
quations suivantes, la notation ( est omise. ) Un schma aux
dirences nies correspondant aux quations (10.14) peut tre crit :Nw
NF
tt qu +
2 u qu
=p=1 q=1
Gu qp t q + ap t q pqNw Nw q Hrs qr et qs + qs et qr + 4ar t qs
r=1 s=1
(10.15a) (10.15b)
1 t q = 4 4q
En multipliant l'quation (10.15a) par t qu et en sommant sur u,
on obtient, de mme que dans le cas plaque :Nw Nw NF
t+ Hlin = u=1 p=1 q=1
Gu t qu (qp + ap )t q pqHlin =
(10.16a) (10.16b)
avec
1 2
Nw 2 2 (t qu )2 + u t q . u=1
10.3. Implmentation
131
Ainsi, en suivant les dveloppements du cas continu et en se
servant de la proprit de symtrie de G (donnes par les quations
(10.11a,10.11b), on peut crire :Hlin =
2
NF
Nw Nw
t qq=1 p=1 u=1
Gu t qu qp + t qp qu + 2t qu ap . pq
(10.17)
Ensuite, d'aprs (7.12, 7.11),Hlin
= 4
t qq=1 p=1 u=1
t+ Gu qu et qp + qp et qu + 4ap t qu . pq
(10.18)
En utilisant l'quation (10.15a) et en identiant l'expression
obtenue ((10.15b)) puis aux identits remarquables (7.11-7.13), on
crit :NF Nw 4 q t q t+ t q q=1
Hlin =
= q=1
4 q t q t q
= 2
Nw 4 2 q t+ t q . q=1
(10.19)
Et nalement, on peut crire la conservation de la quantit discrte
H :
t+ H = 0 avec H =
1 2
Nw 2 2 (t qu )2 + u t q + u=1
NF 4 2 q t q . q=1
(10.20)
Nous vrions que la quantit H est bien consistante l'nergie H du
systme continu. Nous pouNw
vons d'ailleurs en dtailler les parties discrtes correspondant
l'nergie cintiqueNw
1 2 u=1 NF
(t qu )2 ,4 2 q t q .
l'nergie potentielle linaire
1 2 u=1
2 2 u t q et l'nergie potentielle non-linaire
1 2 q=1
En notant H0 la quantit d'nergie injecte au systme initialement.
On peut tablir que 2H0 2H0 u |qu | et |qu | , u u ce qui garantit
la stabilit du schma tout pas de temps.
10.3 ImplmentationBien que le schma propos soit implicite, la
dpendance au vecteur yn+1 peut tre crite de manire linaire. On
montre dans cette partie les calculs qui aboutissent l'criture
matricielle du problme de rsolution du pas n+1. crit explicitement,
le systme (10.15) devient :
1 n+1 2 n+1 n n1 n1 qu 2qu + qu + u qu + qu = 2 k 2 2 1 n+1 1 n
q + q = 4 2 4qNw Nw
Nw NF n n+1 n1 Gu qp + ap q + q pq p=1 q=1
(10.21a) (10.21b)
q n+1 n n+1 n n+1 n Hrs qr qs + qs qr + 2ar qs + qs r=1 s=1
.
132
Chapitre 10. Application au systme N degrs de libert
En se servant de la relation de symtrie (10.11a), on peut
remarquer que :Nw Nw q n+1 n Hrs (qr qs r=1 s=1 Nw Nw
+
n n+1 qr qs )
=2r=1 s=1
q n+1 n Hrs (qr qs ).
(10.22)
Ainsi (10.21b) devient :n+1 n q = q
1 4 q
Nw Nw q n+1 n n+1 n Hrs qr qs + ar (qs + qs ) . r=1 s=1
(10.23)
En injectant l'expression den+1 qu
n+1 q
dans (10.21a), on obtient : (10.24a)
1 2 1 n1 2 n1 n + u + 2 (qu 2q