UE PHY303 Vibrations et Ondes DLST – Université Grenoble Alpes 1 Travaux Dirigés : Vibrations 1.* Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est s rad / 1 . L’équation différentielle régissant le déplacement de son centre de gravité xt (= est donc 2 0 x x . a) Quelle est la caractéristique du mouvement d’un oscillateur non amorti ? b) Donner la forme générale de la solution de l’équation différentielle ci-dessus. c) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cette oscillateur (tracer une sinusoïde pour vous aidez) ? d) Expliciter xt (= dans les cas suivants : 1) A t=0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle. 2) x 0 (= =- 1 cm et s cm x / 1 0 . 3) xt 1 (= = x 1 et 1 1 v t x . Relations utiles pour cet exercice : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et sin(a+b)=cos(b)sin(a)+cos(a)sin(b) 2.* Soient deux signaux sinusoïdaux, représentant par exemple l’intensité et la tension aux bornes d’un dipôle dans un circuit électrique : t I I cos 0 et t U U cos 0 avec un déphasage 4 . a) Tracer les deux signaux sur un diagramme en temps, sur deux périodes. 3.* Soit un oscillateur mécanique constitué d’un ressort horizontal de constante de raideur k, au bout duquel est accrochée une masse m. Cette masse repose sur un table à coussin d’air qui permet d’avoir un mouvement sans frottement. A l’équilibre, le centre de gravité de la masse est en X=0. On écarte la masse de cette position d’équilibre jusqu’à une distance X=d 0 =+1cm. Puis on la lâche à l’instant t=0 sans vitesse. 1. Donner un bilan des forces appliquées sur le centre de gravité dans la direction horizontale 2. Montrer que le mouvement du centre gravité est décrit par l’équation: d 2 X(t) dt 2 = -ω 0 2 X(t) 3. La masse oscille avec une période de 0.25s (1/4s). Déterminer la masse m sachant que la constante de raideur du ressort vaut = 32 2 N.m -1 . 4. En utilisant les conditions initiales, décrivez le mouvement du centre de gravité.
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Vibrations - Laboratoire Interdisciplinaire de Physique · du volume de fluide déplacé ». 5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible
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Travaux Dirigés : Vibrations
1.* Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est srad /1 . L’équation
différentielle régissant le déplacement de son centre de gravité
x t( ) est donc 2 0x x .
a) Quelle est la caractéristique du mouvement d’un oscillateur non amorti ?
b) Donner la forme générale de la solution de l’équation différentielle ci-dessus.
c) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cette oscillateur (tracer
une sinusoïde pour vous aidez) ?
d) Expliciter
x t( ) dans les cas suivants :
1) A t=0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle.
2)
x 0( ) = -1cm et scmx /10 .
3)
x t1( ) = x1 et 11 vtx .
Relations utiles pour cet exercice : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et
sin(a+b)=cos(b)sin(a)+cos(a)sin(b)
2.* Soient deux signaux sinusoïdaux, représentant par exemple l’intensité et la tension aux
bornes d’un dipôle dans un circuit électrique :
tII cos0 et tUU cos0 avec un déphasage 4
.
a) Tracer les deux signaux sur un diagramme en temps, sur deux périodes.
3.* Soit un oscillateur mécanique constitué d’un ressort horizontal de constante de raideur k, au
bout duquel est accrochée une masse m. Cette masse repose sur un table à coussin d’air qui
permet d’avoir un mouvement sans frottement. A l’équilibre, le centre de gravité de la masse
est en X=0. On écarte la masse de cette position d’équilibre jusqu’à une distance X=d0=+1cm.
Puis on la lâche à l’instant t=0 sans vitesse.
1. Donner un bilan des forces appliquées sur le centre de gravité dans la direction
horizontale 𝑢𝑥
2. Montrer que le mouvement du centre gravité est décrit par l’équation:
d2X(t)
dt2= -ω0
2X(t)
3. La masse oscille avec une période de 0.25s (1/4s). Déterminer la masse m sachant que
la constante de raideur du ressort vaut 𝑘 = 32𝜋2N.m-1
.
4. En utilisant les conditions initiales, décrivez le mouvement du centre de gravité.
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4.** Un cylindre de masse volumique , de rayon r et de hauteur h flotte à la surface d’un
liquide de masse volumique ’. Les conditions sont telles que le cylindre ne bascule pas et garde
sa face circulaire inférieure horizontale. On ne prend en compte ni la pression de l’air ni les
frottements. A l’instant t=0, on enfonce le cylindre dans le fluide (hauteur totale immergée d0)
et on le lâche sans vitesse initiale.
1) Faire un schéma décrivant le problème. On notera : G le centre de masse du cylindre, xi
la hauteur immergée du cylindre, et X la distance entre le centre de gravité G et la
surface de l’eau. On prendra un repère cartésien dont l’axe vertical O x est orienté vers
le bas et dont l’origine est situé à la surface de l’eau.
2) Définir le centre de gravité de l’objet.
3) Déterminer l’ensemble des forces qui s’exercent sur le cylindre.
4) Déterminer la hauteur immergée xeq à l’équilibre, en déduire la position Xeq du centre
de gravité à l’équilibre.
5) Décrire le mouvement du centre de gravité et déterminer l’équation différentielle
correspondante pour x0 <h (cylindre pas complètement immergé). Un changement de
variable est nécessaire afin d’obtenir une équation différentielle portant sur une
grandeur D dont l’origine correspond à la position d’équilibre du centre gravité.
6) Donner la solution de cette équation différentielle.
7) En déduire la pulsation et la période T des oscillations du cylindre autour de sa
position d’équilibre.
8) Calculer pour un cylindre de glace dans l’eau (h=1m, r=1m, =0.7 103 kg.m
-3,
’=103 kg.m
-3, g=10 m.s
-2).
9) Que se passe-t-il pour un cylindre de mêmes dimensions en cuivre (=8.92 103 kg.m
-3) ?
Notions utiles pour cet exercice : Principe fondamentale de la dynamique, Principe
d’Archimède : « Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou
traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids
du volume de fluide déplacé ».
5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible de
longueur l. On néglige toutes les sources de frottements. On note M le centre de gravité de la
masse et O le point de fixation du fil. On repère la position du centre de gravité de la masse par
l'angle θ entre la verticale et la direction du fil. On écarte le centre de gravité de la masse d’un
angle θ0 et on la lâche sans vitesse. On limite l’étude à des angles θ petits (θ<<1).
1. Quel système de coordonnées utilise-t-on pour étudier ce système ? Faire un bilan des
forces appliqué sur M dans ce système de coordonnées.
2. En utilisant les conditions initiales et le théorème de l’énergie mécanique, décrivez le
mouvement du centre de gravité de la masse.
3. En utilisant les conditions initiales et le théorème du moment cinétique, décrivez le
mouvement du centre de gravité de la masse.
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Notions utiles pour cet exercice : Théorème de l’énergie cinétique, Théorème du moment
cinétique.
6.** Un enfant de masse m se tient debout ou assis sur une balançoire en mouvement. On note
O le point de fixation de la balançoire et M le centre de gravité de l’enfant. On repère la
position du centre de gravité Mi par l'angle θ entre la verticale et la balançoire. On note hD la
distance entre O et la position du centre de gravité de l’enfant débout, et hC la distance entre O
et la position du centre de gravité de l’enfant assis.
Position du centre de gravité quand
l’enfant est debout
Position du centre de gravité quand
l’enfant est assis
La position du centre de gravité de l’enfant est repérée par des points A, B, C, D et E au cours
du mouvement de balancier sur un aller. Pour prendre de la vitesse, l’enfant s’accroupit très
rapidement (θ=constante pendant cette action) lorsque que la balançoire est dans la position
arrière la plus élevée, le centre de gravité (enfant + siège de la balançoire) passe alors du point
A au point B. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la verticale du point de fixation O,
le centre de gravité passe alors du point B au point C. A ce moment-là, l’enfant se relève très
rapidement (θ=constante pendant cette action=0), le centre de gravité passe alors du point C au
point D. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la position avant la plus élevée, le centre
de gravité passe alors du point D au point E. L’enfant attend d’être à nouveau dans la position
arrière c’est-à-dire au point A pour recommencer, ainsi de suite…
On considère qu’il passe de A en B et de C en D en un temps très bref comparativement à la
période globale d’oscillation de la balançoire (θ=constante pendant cette action). On note
respectivement A et E les angles que fait la balançoire aux positions A et E. On note
respectivement La et Ld la distance entre le centre de gravité de gravité de l’enfant lorsque il est
assis et debout. On veut étudier le mouvement de cet oscillateur, pour cela :
1) Dessiner le mouvement du centre de gravité de l’enfant sur une figure.
2) Quelle est la vitesse du centre de gravité en A et B ?
3) A l’aide du théorème du moment cinétique, déterminer la relation entre les vitesses
de la balançoire en C et D.
4) A l’aide du théorème de l’énergie mécanique entre les points B et C, exprimer la
vitesse CV en C en fonction de l’angle A que fait la balançoire en B.
5) Déterminer à l’aide du théorème de l’énergie mécanique la relation entre la vitesse
DV en D en fonction de l’angle E que fait la balançoire en E.
6) Déduire des questions 3), 4) et 5) une relation entre les angles A et E .
Mdebout θ
Massis θ
hD
hC
O O
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7) Comparer le mouvement de la balançoire avec celui du pendule simple de l’exercice
5. Quelle est la particularité de cet oscillateur, expliquer physiquement.
8) Quelle est l’angle que fait la balançoire au bout de 5 allers-retours sachant que
l’angle initial est de 20 et hC=2,8m et hD=2,3m ?
Notions utiles pour cet exercice : Théorème de l’énergie cinétique, Théorème du moment
cinétique, la relation trigonométrique : 1-cos(x)=2sin(x/2)2
7.* Oscillateur amorti :
Soit un cube de masse m situé au point M, suspendu à l’extrémité d’un ressort de rigidité k lui-
même fixé au point P, et plongé dans un liquide de coefficient de frottement visqueux f. On
note x0 la position du ressort en l’absence de la masse. On note m’ la masse du liquide déplacé
lors de l’immersion du cube. On néglige la pression (force) exercée par l’eau au-dessus du cube
immergé (faible immersion). Les conditions initiales du mouvement sont : 00 tx et
00 vtdt
dx
1) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m lorsqu’elle est en mouvement. On
note m’ la masse du volume de liquide déplacée par le cube immergé.
2) Déterminer l’équation du mouvement de la masse m (on prendra par exemple le point P
comme origine des coordonnées en orientant l’axe Ox suivant la verticale vers le bas)
3) Donner la position d’équilibre xequ.
4) Réécrire l’équation du mouvement en termes de la variable X(t) mesurant l’écart de la
masse à sa position d’équilibre suivant la verticale.
5) Donner la pulsation propre du système (faire l’analogie avec un oscillateur non
amorti).
6) Les solutions X(t) sont reliées aux solutions possibles de l’équation caractéristique :
02 2
0
2 rr . Déterminer les expressions de et 2
0 en fonction de m, k et f.
7) Donner la solution générale de X(t) dans le cas : kmf 4 En utilisant les conditions
initiales, exprimer la solutions X(t). Dessiner leur allure de X(t).
8) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4
9) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4 .
Notions utiles pour cet exercice : Principe fondamental de la dynamique, solution d’une
équation différentielle du second ordre sans second membre, notation complexe de fonction
trigonométrique.
k
m M
P
𝑢𝑥 x
𝑢𝑦
x
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8.* Oscillations forcées :
Un appareil fragile de masse m repose sur un socle horizontal au moyen de quatre ressorts de
raideur K/4. Ce socle est soumis à des vibrations verticales sinusoïdales tdtD sin0 de
pulsation et d’amplitude d0. On note z le déplacement vertical de l’appareil par rapport à sa
position d’équilibre zeq et f le coefficient de frottement. On note z0 la position des ressort en
l’absence de la masse m. On note G le centre de gravité de la masse m. On note
�� le vecteur unitaire vertical orienté vers le haut.
1. Déterminer la constante de raideur k du ressort équivalent aux 4 ressorts.
2. Donner l’expression de la force 𝐹𝑒𝑥𝑡 qu’il faut exercer sur le ressort équivalent pour le
déformer (variation de longueur) de D(t).
3. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le centre de gravité G de la masse m lorsqu’elle
est en mouvement.
4. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’appareil tz en présence de la
vibration du socle tD .
5. Déterminer la position d’équilibre Zeq du système en l’absence de vibrations verticales.
6. Réécrire l’équation différentielle du mouvement en fonction de la variable Z’=z-zeq et la
simplifier en posant m
K0 et
m
f
2 .
7. Déterminer la solution particulière (régime permanent) de cette équation en cherchant
l’amplitude de l’oscillation tZ ' de l’appareil sous la forme complexe : 𝑍′(𝑡) =
𝑍0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑), on a alors 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = 𝑒𝑖(𝜔𝑡−
𝜋
2). Déterminer 𝑍0 𝑒𝑡 𝜑.
8. Calculer le rapport R=Z0/d0 caractérisant la réponse du système, en l’exprimant en fonction
de la variable x=𝜔/𝜔0 et du paramètre Q=𝜔0/2α sous la forme : 𝑅(𝑥) =1
√(1−𝑥2)2+(𝑥
𝑄)2
9. Montrer que R(x) présente un maximum pour 𝜔 proche de 𝜔0 lorsque le système est
faiblement amorti (Q >>1). Donner l’allure de R(x).
10. Montrer que R(x) décroît continument pour 𝑄 ≲ 1
√2. Donner l’allure de R(x).
11. En supposant que10
0 , trouver la condition sur K et ω pour que R(x)<<1.
D
Y
z m
k/4
��
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*Clarinette
(Onde stationnaire et harmoniques)
Une clarinette peut être modélisée comme un tube cylindrique, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. En
termes de pression, la partie fermée correspond toujours à un ventre, et le côté ouvert à un noeud. La
clarinette "classique" fait 660mm de long.
1. Quelle est la plus grande longueur d'onde accessible avec cet instrument ? Tracer la pression en
fonction de la position à différents temps.
2. Quelle est la fréquence associée à cette longueur d'onde (vitesse du son dans l'air : 340m/s) ?
3. On précise que la note la plus basse pouvant être produite est un ré (2) à 147Hz. Etes-vous
d'accord avec cette affirmation ?
4. Les clarinettes alto sont plus courtes. Les notes les plus basses atteintes par ces clarinettes sont-
elles plus aiguës ou plus graves ?
5. Les instruments différents se distinguent par leurs harmoniques. Donner les fréquences des 3
premières harmoniques associées à la note fondamentale et les représenter sur le graphique.
6. Quelle est la taille maximale d'un instrument à vent pour qu'il reste dans le domaine de l'audible
(f > 20Hz) ?
7.
*Etude d’une onde harmonique
A. Onde progressive
On considère une corde tendue de masse linéique μ=10-3
kg.m-1
, de tension T0=10N et d’une
longueur L = 40cm. La corde est tendue horizontalement (selon la direction 𝑢𝑥 ) La corde est
légèrement écartée de sa position d’équilibre dans la direction verticale (direction 𝑢𝑦 ) et
lâchée à l’instant t=0. On considère des petites perturbations transverses de la corde par
rapport à la longueur de la corde. Dans ces conditions, le mouvement de la corde dans la
direction verticale (𝑢𝑦 ) est décrit par l’équation d’onde suivante : 𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 −𝑇0
𝜇
𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =0
1. Donner l’expression de la vitesse de propagation de l’onde.
2. Calculer cette vitesse à l’aide des données numériques.
3. Quel temps faut-il pour qu’une onde progressive se déplace de 10 cm le long de la
corde ?
L’onde harmonique générée à t=0 a pour expression : 𝑌(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) avec A=0.01m
4. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde.
5. Montrer que Y(x,t) est solution de l’équation différentielle donnée ci-dessus. Rappeler
pour cela la relation entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω de l’onde.
6. Pour une onde de fréquence f=500Hz, représenter sur un graphique Y(0.04,t) en
fonction du temps, c’est-à-dire au point x=4cm.
7. Pour une onde de fréquence de f=500Hz, représenter sur un graphique Y(x,0.002) en
fonction du x, c’est-à-dire à l’instant t=2ms. Bien préciser l’abscisse du graphique.
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B. Onde stationnaire
La corde tendue est fixée à chacune de ses extrémités (x=0 et x=L). L’onde harmonique
progressive se réfléchit donc à chacune de ses extrémités.
8. Expliquer pourquoi le coefficient de réflexion en amplitude de l’onde aux extrémités de
la corde est égal à r=-1
9. Ecrire l’expression de l’onde totale Ytotale(x,t) (superposition de l’onde incidente et de
l’onde réfléchie) qui se propage sur cette corde tendue.
10. A l’aide des relations trigonométriques données en annexe, exprimer cette onde totale
à l’aide d’un produit de sinus.
11. Est-ce que Ytotale(x,t) est une onde progressive ? Justifier clairement votre réponse.
12. Est-ce qu’une onde harmonique de fréquence f=500Hz permet de satisfaire les
conditions limites (aux extrémités de la corde tendue) ?
Relations utiles pour cet exercice : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
Puissance, Intensité sonore
Une fusée explose à une altitude de 400m produisant une intensité sonore au sol de 6.7 10-2
W/m² et ce,
pendant 0.2s. On considère que l’émission sonore se fait de façon isotrope et que la source sonore peut
être considérée comme ponctuelle.
1. Déterminer la puissance totale émise par l’explosion
2. Quelle est l’énergie sonore totale due à cette explosion ?
3. Donner l’expression qui relie l’intensité acoustique I0 à une distance r0 à l’intensité acoustique I(r) à
une distance r.
4. Quelle est la puissance sonore à 10m du point d’explosion ?
Une personne parlant normalement produit un niveau sonore de 40dB à 1m. On rappelle que l’intensité
acoustique de référence est de 10-12
W.m-2
, ce qui correspond à une pression acoustique de référence p0=2
10-5
Pa.
5. Rappeler à quoi correspond cette intensité acoustique de référence. (Comment elle a été choisie ?)
6. Si le niveau d’audition convenable pour une conservation est de 30dB, à quelle distance peut-on
encore comprendre la conversation ?
Le niveau d’intensité en décibel varie pour l’oreille humaine entre une puissance surfacique sonore de 10-
12W/m² et 1 W/m².
7. Quels sont les niveaux extrêmes correspondant en décibel, sachant que l’on prend comme intensité
sonore de référence le seuil d’audition ?
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Corrigé travaux dirigés : Vibrations
1.* Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est srad /1 . L’équation
différentielle régissant le déplacement de son centre de gravité
x t( ) est donc 2 0x x .
a) Quelle est la caractéristique du mouvement d’un oscillateur non amorti ?
La caractéristique d’un oscillateur non amorti est que l’amplitude d’oscillation reste constante au cours du temps. Il n’y a pas de dissipation d’énergie lors des oscillations. Pas de force non conservative exercé sur le centre de gravité
b) Donner la forme générale de la solution de l’équation différentielle ci-dessus.
avec :𝑨 = 𝒅. 𝒔𝒊𝒏 (𝝋) 𝒆𝒕 𝑩 = 𝒅. 𝒄𝒐𝒔 (𝝋) et : 𝝋 = 𝒂𝒕𝒂𝒏(𝑨
𝑩)
c) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cette oscillateur (tracer
une sinusoïde pour vous aidez) ?
Les paramètres qui permettent de décrire le mouvement sont l’amplitude d, la pulsation w et φ phi. Bien identifier la phase φ sur le graphe. Comparer avec un cas ou φ=0.
d) Expliciter
x t( ) dans les cas suivants :
1) A t=0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle.
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𝑨 =𝑿𝟏 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒘𝒕𝟏))
. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕𝟏)−
𝒗𝟏
𝒘𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕𝟏) = 𝑿𝟏𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕𝟏) −
𝒗𝟏
𝒘𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕𝟏)
2.* Soient deux signaux sinusoïdaux, représentant par exemple l’intensité et la tension aux
bornes d’un dipôle dans un circuit électrique :
tII cos0 et tUU cos0 avec un déphasage 4
.
a) Tracer les deux signaux sur un diagramme en temps, sur deux périodes.
Bien insister sur le déphasage et comment le retrouver sur le graphe
Ici retrouver I0=U0=1, T=1s donc ω=2π rad.s-1.
A t=0 I= 𝒄𝒐𝒔 (𝝅
𝟒).
3.* Soit un oscillateur mécanique constitué d’un ressort horizontal de constante de raideur k, au
bout duquel est accrochée une masse m. Cette masse repose sur un table à coussin d’air qui
permet d’avoir un mouvement sans frottement. A l’équilibre, le centre de gravité de la masse
est en X=0. On écarte la masse de cette position d’équilibre jusqu’à une distance X=d0=+1cm.
Puis on la lâche à l’instant t=0 sans vitesse.
1. Donner un bilan des forces appliquées sur le centre de gravité dans la direction
horizontale 𝑢𝑥
Le ressort: �� = −𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎)𝒖𝒙
2π
π
π/4
cos (𝜋
4)
π/4
En t=0
I=cos (𝜋
4)
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A l’équilibre, la somme des forces est nulle, donc �� = −𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎)𝒖𝒙 = 𝟎
X= 𝒙 − 𝒙𝟎 donc �� = −𝒌(𝑿)𝒖𝒙
2. Montrer que le mouvement du centre gravité est décrit par l’équation:
d2X(t)
dt2= -ω0
2X(t)
On applique le PFD: 𝒎𝒅𝟐𝑿
𝒅𝒕𝟐= −𝒌(𝑿) soit encore
𝒅𝟐𝑿
𝒅𝒕𝟐= −
𝒌
𝒎(𝑿)
𝝎𝟎𝟐 =
𝒌
𝒎
3. La masse oscille avec une période de 0.25s (1/4s). Déterminer la masse m sachant que
la constante de raideur du ressort vaut 𝑘 = 32𝜋2N.m-1
.
On a T=1/4 soit 𝝎𝟎𝟐 =
𝟒𝝅𝟐
𝑻𝟐 = 𝟒. 𝟏𝟔.𝝅𝟐 =𝒌
𝒎 on a alors 𝒎 =
𝒌
𝟒.𝟏𝟔.𝝅𝟐 = 𝟎, 𝟓𝒌𝒈
4. En utilisant les conditions initiales, décrivez le mouvement du centre de gravité.
La solution de l’équation différentielle est :
𝑿(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕) + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝟎𝒕)
𝑿(𝟎) = 𝑨 = 𝟏𝒄𝒎
��(𝒕) = −𝒘𝟎𝑨. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝟎𝒕) + 𝒘𝟎𝑩. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕)
��(𝟎) = 𝒘𝟎𝑩 = 𝟎 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑩 = 𝟎
𝑿(𝒕) = 𝟏𝟎−𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕)
4.** Un cylindre de masse volumique , de rayon r et de hauteur h flotte à la surface d’un
liquide de masse volumique ’. Les conditions sont telles que le cylindre ne bascule pas et garde
sa face circulaire inférieure horizontale. On ne prend en compte ni la pression de l’air ni les
frottements. A l’instant t=0, on enfonce le cylindre dans le fluide (hauteur totale immergée d0)
et on le lâche sans vitesse initiale.
1) Faire un schéma décrivant le problème. On notera : G le centre de masse du cylindre, xi
la hauteur immergée du cylindre, et X la distance entre le centre de gravité G et la
surface de l’eau. On prendra un repère cartésien dont l’axe verticale « x » est orienté
vers le bas et dont l’origine est situé à la surface de l’eau.
y
xi
G X
x
h
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2) Définir le centre de gravité de l’objet.
Le centre de gravité est au centre du cylindre en x et y, à h/2 du haut ou du bas du cylindre et à r/2 du bord droite ou gauche du cylindre
3) Déterminer l’ensemble des forces qui s’exercent sur le cylindre.
Le poids : 𝑭𝒑 = 𝒎𝒈𝒖𝒙 = 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈𝒖𝒙
La poussée d’Archimède 𝑭𝑨 = −𝒙𝒊𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈𝒖𝒙
4) Déterminer la hauteur immergée xeq à l’équilibre, en déduire la position Xeq du centre
de gravité à l’équilibre.
La position d’équilibre du système à t=0 est donnée par : 𝑭𝒑 + 𝑭𝑨
= 𝟎
−𝒙𝒆𝒒𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒖𝒙 = 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈𝒖𝒙
Soit :
𝒙𝒆𝒒 = 𝒉𝝆
𝝆′= (
𝒉
𝟐+ 𝑿𝒆𝒒)
On en déduit 𝑿𝒆𝒒 = 𝒉𝝆
𝝆′−
𝒉
𝟐
5) Décrire le mouvement du centre de gravité et déterminer l’équation différentielle
correspondante pour x0 <h. Un changement de variable est nécessaire afin d’obtenir
une équation différentielle portant sur une grandeur D dont l’origine correspond à la
position d’équilibre du centre gravité.
On applique le PFD : 𝒎𝒅��
𝒅𝒕= ∑ ��
Toutes les forces sont selon 𝒖𝒙 , le mouvement se fait donc dans cette direction, pas de mouvement selon y :
𝒎𝒅𝟐𝑿
𝒅𝒕𝟐= 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈 − 𝒙𝒊𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈
Attention xi dépend de X, il faut donc l’exprimer en fonction de X, on a : xi=h/2+X, l’équation devient alors :
𝒎𝒅𝟐𝑿
𝒅𝒕𝟐= 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈 − (
𝒉
𝟐+ 𝑿)𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈
𝒅𝟐𝑿
𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (
𝒉
𝟐+ 𝑿)
𝝆′
𝒉𝝆𝒈
On prend comme origine l’état d’équilibre, on pose D=X-Xeq on a alors :
𝒅𝟐𝑫
𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (
𝒉
𝟐+ 𝑫 + 𝑿𝒆𝒒)
𝝆′
𝒉𝝆𝒈
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𝒅𝟐𝑫
𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (
𝒉
𝟐+ 𝑫 + 𝒉
𝝆
𝝆′−
𝒉
𝟐)
𝝆′
𝒉𝝆𝒈
𝒅𝟐𝑫
𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (𝑫 + 𝒉
𝝆
𝝆′)
𝝆′
𝒉𝝆𝒈
𝒅𝟐𝑫
𝒅𝒕𝟐= −
𝒈𝝆′
𝒉𝝆𝑫
On a bien l’équation d’oscillation :
𝒅𝟐𝑫
𝒅𝒕𝟐= −
𝒈𝝆′
𝒉𝝆𝑫
6) Donner la solution de cette équation différentielle.
D(t)= Acos(wt)+Bsin(wt)
A=d0 et B=0
7) En déduire la pulsation et la période T des oscillations et l’équation du mouvement.
𝒘𝟎 =𝒈𝝆′
𝒉𝝆
𝑻 = 𝟐𝝅𝒉𝝆
𝒈𝝆′
8) Calculer pour un cylindre de glace dans l’eau (h=1m, r=1m, =0.7 103 kg.m
-3,
’=103 kg.m
-3, g=10 m.s
-2).
𝒘𝟎 = 𝟑, 𝟕𝟗𝒓𝒂𝒅. 𝒔−𝟏 𝒆𝒕 𝑻 = 𝟏, 𝟔𝟔𝒔
9) Que se passe-t-il pour un cylindre de mêmes dimensions en cuivre (=8.92 103 kg.m
-3) ?
Il coule !!!!
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5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible de
longueur l (distance OM). On néglige toutes les sources de frottements. On note M le centre de
gravité de la masse et O le point de fixation du fil. On repère la position du centre de gravité de
la masse par l'angle θ entre la verticale et la direction du fil. On écarte le centre de gravité de la
masse d’un angle θ0 et on la lâche sans vitesse. On limite l’étude à des angles θ petits (θ<<1).
1. Quel système de coordonnées utilise-t-on pour étudier ce système ? Faire un bilan des
forces appliqué sur M dans ce système de coordonnées.
2. Le mouvement étudié est un mouvement de translation, on va donc choisir travailler en coordonnées polaires pour décrire le mouvement, et donc en 3D en coordonnée cylindrique.
Le bilan de force, on a :
Le poids : 𝐹𝑝 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 cos(𝜃) 𝑢𝑟 − 𝑚𝑔 sin(𝜃)𝑢𝜃
La Tension T0 du fil �� = 𝑇0𝑢𝑟
3. En utilisant les conditions initiales et le théorème de l’énergie mécanique, décrivez le
mouvement du centre de gravité de la masse.
La grandeur physique qui permet de repérer la masse en mouvement est θ.
Le théorème de l’énergie mécanique : ∆𝐸𝑀 = 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠
Ici pas de frottement, alors pas de forces non conservatives ∆𝐸𝑀 = 0
∆𝐸𝑀 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝
∆𝐸𝑐 =1
2𝑚𝑣2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣 = 𝑙�� 𝑎𝑣𝑒𝑐 �� 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒
∆𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ 𝑎𝑣𝑒𝑐 ℎ = 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃)) dans le cadre de l’approximation des petits
angles on a 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 1 −𝜃2
2
∆𝐸𝑀 =1
2𝑚(𝑙��)
2+ 𝑚𝑔𝑙
𝜃2
2= 0 on dérive par rapport au temps et on obtient :
𝑑𝐸𝑀
𝑑𝑡= 𝑚𝑙2���� + 𝑚𝑔𝑙𝜃�� = 0 soit :
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2 = −𝑔
𝑙𝜔0
2𝜃 = 0
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2 + 𝜔02𝜃 = 0 avec 𝜔0
2 =𝑔
𝑙
La solution de l’équation différentielle est :𝜃(𝑡) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡) + 𝐵. 𝑠𝑖𝑛(𝑤0𝑡)
On dispose d’un système créant des ondes qui se propagent le long d’une corde tendue. On émet d’abord
une seule perturbation, qui se propage. La corde est représentée dans 2 états séparés de 2 secondes (t=0s
et t=2s).
1. Représentez-la aux instants t=4; 6; 8 et 10s.
T=4 secondes
T=6 secondes
T=8 secondes
T=10 secondes
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Am
plit
ud
e
position en cm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Am
plit
ud
e
position en cm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Am
plit
ud
e
position en cm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Am
plit
ud
e
position en cm
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4
2. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ?
La vitesse de l’onde est de 0,5cm.s-1, en effet elle avance de 1cm en 2 secondes. 3. Représentez l’élévation yB du point B au cours du temps.
4. Sur le même graphique, représentez l’élévation du point A au cours du temps.
5. On se rend compte que la forme de yB est la même que celle de yA, décalée dans le temps. Quel
est ce déphasage ? Donner le résultat sous la forme : yB (t) = yA (t-Δt).
YB(t) correspond à la fonction YA(t) translatée dans le temps de Δt. Le déphasage entre les deux courbes est Δt=4s. Avec Δt=XAB/vitesse de l’onde, c’est-à-dire Δt=4s. On a bien alors YB(t) = YA(t- Δt), Par exemple : YB(4) = YA(0) ou YB(8) = YA(4), comme on peut le vérifier sur la courbe ci-dessus.
6. D’une manière générale, donner la relation qui existe entre l'élévation de 2 points C et D aux
abscisses xC et xD.
D’une manière générale on a YD(t) = YC(t- XCD/vitesse)
Le générateur est mis en mode répétition : à chaque fois que l'extrémité gauche (coté générateur) de la
corde revient à 0, une nouvelle impulsion est donnée.
7. Tracer la forme spatiale de la corde à un temps quelconque.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12
Elé
vati
on
de
B
Temps en s
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12
Elé
vati
on
Temps en s
élévation B
élévation A
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8. Quelle est la longueur d’onde de la perturbation ?
La longueur d’onde λ est la période spatiale d’une onde, on a donc λ=3cm. 9. Tracer l’élévation d’un point quelconque au cours du temps.
L’onde périodique du graphe ci-dessus se propage à la vitesse de 0,5cm.s-1. Donc le point situé par exemple à 6cm aura l’élévation suivante en considérant que le graphe ci-dessus correspond à t=0s
. 10. Quelle est sa fréquence ?
La période temporelle τ de l’onde est 8 secondes, ce qui correspond à une fréquence de 0,125Hz.
11. En notant que 2 points séparés d’une longueur d’onde vibrent toujours en phase dans le temps,
donner la relation entre Δt et la période τ dans ce cas. En déduire la relation qui relie la célérité
de l'onde v, la période τ et la longueur d'onde λ.
On a la relation suivante : YD(t) = YC(t- XCD/vitesse). Si les points C et D sont séparés d’une longueur d’onde, on a : YD(t) = YC(t- λ/vitesse). Or ces deux points vibrent en phase au cours du temps. Cela veut dire qu’ils sont déphasés d’une période temporelle τ, soit τ= λ/vitesse. On en déduit que : λ= τ*vitesse.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8
Am
plit
ud
e
position en cm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 2 4 6 8 10 12 14
Elé
vati
on
Temps en s
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2. *Réflexion
(Somme de signaux, conditions de réflexion)
2 perturbations opposées se propagent le long d’une corde à la même vitesse (v=1cm.s-1
), comme sur le
schéma suivant. Dans ce cas, l’état de la corde est donné par la somme des 2 perturbations.
1. Tracez la forme de la corde aux différents instants.
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2. Que se passe-t-il au point M, situé au milieu de la corde ?
Les deux ondes incidente et réfléchie sont de signe opposé et disposées de manière symétrique par rapport au point M, d’abscisse 6 cm. L’élévation de ce point qui est la somme des déformations induites par chacune des ondes est donc toujours nulle.
Ce cas de figure est identique à une réflexion. Quand une perturbation rencontre un bord, elle repart en
sens inverse. Si on fixe le point M, la perturbation va repartir en sens inverse. Comme le point M est
statique, l’onde réfléchie est inversée, on parle de cas fermé. Une réflexion ouverte est également possible
: dans ce cas le point M est libre de bouger.
3. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas fermé.
Pour étudier ce cas il faut faire le cas précédent, imaginer un espace virtuel à droite du point M avec une onde opposée et symétrique de l’onde incidente par rapport à M. On a alors la même résultante que dans la question précédente.
4. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas libre.
Pour étudier ce cas il faut, comme dans le cas précédent, imaginer un espace virtuel à droite du point M avec une onde symétrique de l’onde incidente par rapport à M, mais cette fois-ci avec une amplitude positive.
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3. * Relation entre l’énergie transportée par une onde et son amplitude
(Énergie transportée, amplitude d’une onde)
Une corde subit une vibration transverse, comme montré sur la figure ci-dessous. Cette déformation se
propage le long de la corde à une vitesse constante V vers les x positifs. Nous nous plaçons toujours dans
le cas où il y a propagation de la déformation (donc d’énergie) sans perte d’énergie. On se propose de
calculer l’énergie propagée dans le cas de cette déformation. Pour ce faire, On calcule le travail en un
point C (voir graphe ci-dessous). Au cours du temps ce point C monte à une hauteur L puis il redescend.
On rappelle que ce mouvement est engendré par la tension du le fil que l’on note T0 la tension.
1. Donner l’expression du travail de la tension du fil pendant un temps dt c’est-à-dire
pour un déplacement dy. On peut décomposer le mouvement en deux phases, une
phase ou le fil monte et une phase ou le fil redescend.
On a le système suivant :
Le point C monte sous l’action d’une tension TO.
Pendant dt, il subit un
déplacement dy
Le point C va de a à b puis de b
à c
Lorsque le début de la perturbation arrive en C, le point est tiré vers le
haut (selon y) du fait de la tension dans le fil, dans le sens des y positifs :
pendant dt, il subit un déplacement dy. Le travail correspondant vaut
dyTdyTdW y sin
2. En déduire, le travail ou l’énergie transmise à la corde par déformation.
Entre le moment où la partie ab du signal arrive en C, le travail total est
donc : sinsin0
TLdyTW
L
.
L
x
y
C
�� = 𝑉𝑢𝑥
L
c
b
a
Ty
T0
l
x
y
C
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Lorsque la partie bc du signal arrive en C, la tension de la corde est vers les y négatifs sinTTy et le déplacement dy est vers les y négatifs (de L à
0). Le travail vaut donc sinsin
0
TLdyTWL
.
Le travail total ou énergie transmise par la déformation vaut donc 24
22tan2sin2 L
l
T
l
LTLTLTLW (car 𝛼 est petit).
3. Quelle est la relation entre entre l’énergie transportée par une onde et son
amplitude ?
L’énergie varie comme le carré de l’amplitude de la déformation, ce qui est un résultat
général.
4. * Période-fréquence-célérité
* Une onde sinusoïdale de déplacement transverse se propage le long d’une corde suffisamment tendue.
Nous savons qu’un point quelconque de la corde passe de son déplacement maximum à son déplacement
nul en 0.2 seconde.
1. Quelle est la fréquence du phénomène et sa période ?
On a la fonction suivante :
Le passage d’un zéro à un max correspond à un quart de période, la période de cette
onde est donc de 0,8s soit une fréquence f=1,25Hz.
2. Sachant que la longueur d’onde observée expérimentalement est de 0.4m, donner la vitesse de
propagation (célérité) de cette onde.
La longueur d’onde λ est de 0,4m et c’est la distance parcourue par l’onde en une période c’est-à-dire 0,8s, la vitesse est donc de 0,5m.s-1.
Une onde mécanique induit un déplacement sinusoïdal suivant Oy et se propage selon les x négatifs a une
fréquence de 600Hz et une célérité de 300m/s. Le déplacement autour de la position moyenne est au
maximum de 2 micromètres (µm) d’amplitude.
3. Donner l’expression de cette onde?
𝒀(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕 + 𝝋)
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Am
plit
ud
e
Temps
τ
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12
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝝅 et 𝒌 =𝟐𝝅
𝝀 avec 𝝀 =
𝒗
𝒇=
𝟑𝟎𝟎
𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓𝒎, donc 𝒌 = 𝟒𝝅
On ne peut pas déterminer φ avec les données du problème.
Une onde sinusoïdale, de période 2 10-3
seconde, se propage avec une célérité de 340m/s.
4. Quelle distance sépare deux points déphasés de 30°?
On a : 𝒀(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕)
𝝎 =𝟐𝝅
𝟎,𝟎𝟎𝟐= 𝟏𝟎𝟎𝟎𝝅 et 𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀 avec 𝝀 = 𝟑𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟖𝒎
Le déphasage entre deux de l’espace séparé de Δx est égal à : 𝝋 = 𝒌𝚫𝒙 =𝟐𝝅
𝟏𝟐
Donc 𝚫𝒙 =𝟐𝝅
𝟏𝟐𝒌=
𝟎,𝟔𝟖
𝟏𝟐=5,6cm
5. Quelle est en un point déterminé de l’espace la différence de phase entre les déplacements (si la
grandeur physique correspond à un déplacement) aux temps t1 et t2 si t2-t1=0.5 10-3
s ?
Le déphasage entre deux instants séparés de Δt est égal à 𝝋 = 𝝎𝚫𝒕
𝝋 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝝅 ∗ 𝟎, 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 =𝝅
𝟐
5. * Corde tendue et onde stationnaire
(Onde stationnaire et harmoniques)
Soit une corde très tendue entre les deux points fixes A et B. La corde effleure un petit support en C (voir
figure ci-dessous), ce qui empêche son mouvement transverse (AC=3/4AB). On déclenche un phénomène
vibratoire dans la corde.
1. Donner les amplitudes a(xA,t), a(xB,t) et a(xC,t)
Ces 3 amplitudes sont nulles quel que soit t, car la corde ne peut pas bouger en ces points. 2. Quelle est la fréquence sonore détectable la plus basse ?
Cette fréquence est associée à la longueur d’onde la plus grande (car 𝝀 =𝒗
𝒇) qui
permet d’avoir : a(XA,t)= a(XB,t)= a(XC,t)=0. La distance entre deux zéros d’une
fonction sinusoïdale est une période sur 2, soit 𝝀
𝟐.
On a donc λ=2BC, 𝒇𝟎
=𝒗
𝝀=
𝒗
𝟐𝑩𝑪
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3. Donner la fréquence des 3 premières harmoniques supérieures. Aidez-vous d’un schéma.
L’harmonique supérieure correspond à une longueur d’onde λ entre B et C, comme sur
le graphe ci-dessus, on a alors λ =BC, , 𝒇𝟏
=𝒗
𝝀=
𝒗
𝑩𝑪= 𝟐𝒇
𝟎
1
2
0
A
A
C
C
B
B
C BA
u
u
u
A chaque fois que l’on ajoute une demi période entre B et C on a bien un zéro en A, B
et C. l’harmonique suivante correspond alors à 3/2 λ =BC, soit 𝒇𝟐
=𝒗
𝝀= 𝟑
𝒗
𝟐𝑩𝑪= 𝟑𝒇
𝟎,
Etc….
4. Donner une application numérique sachant que : AB=1m, F0tension = 90N, µ=3.2 10-3
kg/m.
Dans une corde, la vitesse de propagation est donnée par
mkg
NFV
/102.3
903
0
(F0 est la tension de la corde et µ la masse
linéique de la corde). On a donc f0=335.4Hz.
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Les harmoniques sont représentées sur la figure ci-dessus : on a
012 , 023 donc 01 2 ff 02 3 ff … 0nff i .
6. *Clarinette
(Onde stationnaire et harmoniques)
Une clarinette peut être modélisée comme un tube cylindrique, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. En
termes de pression, la partie fermé correspond toujours à un ventre, et la côté ouvert à un noeud. La
clarinette "classique" fait 660mm de long.
1. Quelle est la plus grande longueur d'onde accessible avec cet instrument ? Tracer la pression en
fonction de la position à différents temps.
La plus grande longueur d’onde possible est celle pour laquelle on a juste un maximum en x=0 et un zéro en x=660mm, soit :
Donc λ =4*0,66=2,64m. En effet dans une fonction sinusoïdale la distance entre un max et un zéro est un quart de période.
2. Quelle est la fréquence associée à cette longueur d'onde (vitesse du son dans l'air : 340m/s) ?
𝒇𝟎
=𝒗
𝝀=
𝟑𝟒𝟎
𝟐, 𝟔𝟒=
𝟑𝟒𝟎
𝟒 ∗ 𝟎, 𝟔𝟔= 𝟏𝟐𝟖, 𝟖𝑯𝒛
3. On précise que la note la plus basse pouvant être produite est un ré (2) à 147Hz. Etes-vous
d'accord avec cette affirmation ?
Non, on trouve 128,8Hz, cette différence peut être due au pavillon de l’instrument qui donnerait une longueur effective un peu plus petite.
4. Les clarinettes alto sont plus courtes. Les notes les plus basses atteintes par ces clarinettes sont-
elles plus aiguës ou plus graves ?
Plus l’ instrument est petit, plus les notes les plus basses ont une fréquence
élevée : 𝒇 =𝒗
𝝀=
𝟑𝟒𝟎
𝟒∗𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕
5. Les instruments différents se distinguent par leurs harmoniques. Donner les fréquences des 3
premières harmoniques associées à la note fondamentale et représenter-les sur le graphique.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
x en m
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A chaque fois que l’on ajoute une demi période on a bien un max en x=0 et un
zéro en x=0,66m. 3/4 λ =0,66, soit 𝒇𝟏
=𝒗
𝝀= 𝟑
𝒗
𝟒∗𝟎,𝟔𝟔= 𝟑𝒇
𝟎, 𝒇
𝟓=
𝒗
𝝀= 𝟓
𝒗
𝟒∗𝟎,𝟔𝟔=
𝟓𝒇𝟎. Etc….
6. Quelle est la taille maximale d'un instrument à vent pour qu'il reste dans le domaine de l'audible
(f > 20Hz) ?
𝒇 =𝒗
𝝀=
𝟑𝟒𝟎
𝟒∗𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕 donc 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕 =
𝟑𝟒𝟎
𝟒∗𝒇= 𝟒, 𝟐𝟓𝒎
7. *Etude d’une onde harmonique
A. Onde progressive
On considère une corde tendue de masse linéique μ=10-3
kg.m-1
, de tension T0=10N et d’une
longueur L = 40cm. La corde est tendue horizontalement (selon la direction 𝑢𝑥 ) La corde est
légèrement écartée de sa position d’équilibre dans la direction verticale (direction 𝑢𝑦 ) et lâchée à
l’instant t=0. On considère des petites perturbations transverses de la corde par rapport à la
longueur de la corde. Dans ces conditions, le mouvement de la corde dans la direction verticale
(𝑢𝑦 ) est décrit par l’équation d’onde suivante : 𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 −𝑇0
𝜇
𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2 =0
1. Donner l’expression de la vitesse de propagation de l’onde.
Dans l’expression 𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)
𝝏𝒙𝟐−
𝛍
𝑻𝟎
𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)
𝝏𝒕𝟐 figurant dans l’équation d’onde, le coefficient
multipliant le terme de dérivée seconde en temps peut être identifié comme l’inverse du carré de la célérité des ondes dans le milieu considéré (ici la corde
tendue). La vitesse de propagation de l’onde est donc égale à = √𝐓𝟎
𝛍 .
2. Calculer cette vitesse à l’aide des données numériques.
Avec μ=10-3kg.m-1et T0=10N, on a 𝒗 = √𝐓𝟎
𝛍 =100m.s-1
3. Quel temps faut-il pour qu’une onde progressive se déplace de 10 cm le long de la corde ?
Temps= 1ms
L’onde harmonique générée à t=0 a pour expression : 𝑌(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) avec A=0.01m
4. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde.
L’onde se propage selon les x croissant.
5. Montrer que Y(x,t) est solution de l’équation différentielle donnée ci-dessus. Rappeler pour cela
la relation entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω de l’onde.
𝛚
𝒌= 𝒗
𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)
𝝏𝒕𝟐−
𝑻𝟎
𝝁
𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)
𝝏𝒙𝟐 = 𝝎𝟐𝒀(𝒙, 𝒕) −𝑻𝟎
𝜇𝒌𝟐𝒀(𝒙, 𝒕)=0
6. Pour une onde de fréquence f=500Hz, représenter sur un graphique Y(0.04,t) en fonction du
temps, c’est-à-dire au point x=4cm.
On a 𝒌. 𝟎. 𝟎𝟒 = 𝟐𝝅𝟓𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟒 = 𝟎. 𝟒𝝅, ce qui donne.
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7. Pour une onde de fréquence de f=500Hz, représenter sur un graphique Y(x,0.002) en fonction du
x, c’est-à-dire à l’instant t=2ms. Préciser bien l’abscisse du graphique.
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅′𝒐𝒏𝒅𝒆 = 𝒗𝝉 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟐𝒎
𝛚 = 𝟐𝛑.𝟓𝟎𝟎 𝛚. 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟒𝛑. On a donc
B. Onde stationnaire
La corde tendue est fixée à chacune de ses extrémités (x=0 et x=L). L’onde harmonique progressive
se réfléchit donc à chacune de ses extrémités.
8. Expliquer pourquoi le coefficient de réflexion en amplitude de l’onde aux extrémités de la corde
doit être égal à r=-1
La corde est fixe en x=0 et x=L Y=0, ce qui veut dire que la superposition de
l’onde incidente et de l’onde réfléchie est nulle, donc r=-1
9. Donner l’expression de l’onde totale Ytotale(x,t) (superposition de l’onde incidente et de l’onde
-0,012
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Am
plit
ud
e
Temps en seconde
-0,015
-0,01
-0,005
0
0,005
0,01
0,015
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Am
plit
ud
e
x en m
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réfléchie) qui se propage sur cette corde tendue.
𝒀𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) − 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕)
10. A l’aide des relations trigonométriques données en annexe, exprimer cette onde totale à l’aide
d’un produit de sinus.
On utilise 𝒄𝒐𝒔(𝒂) − 𝒄𝒐𝒔(𝒃) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 (𝒂−𝒃
𝟐) 𝒔𝒊𝒏 (
𝒂+𝒃
𝟐)
On a alors : 𝒀𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆(𝒙, 𝒕) = 𝟐𝑨𝒔𝒊𝒏(𝒌𝒙)𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)
11. Est-ce que Ytotale(x,t) est une onde progressive ? Justifier clairement votre réponse.
Non, on n’a plus une fonction dont la dépendance spatiotemporelle est en x-vt. On
a une onde stationnaire.
12. Est-ce qu’une onde harmonique de fréquence f=500Hz permet de satisfaire les conditions limites
(aux extrémités de la corde tendue) ?
𝝀 =𝒗
𝟓𝟎𝟎=
𝟏𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎=
𝟏
𝟓=0.2m, L est un multiple de la longueur d’onde, donc oui
13. Est-ce que d’autres fréquences permettent de satisfaire ces conditions limites ? Si oui, donner
leur expression.
Oui, toutes les valeurs de fréquence qui permettent de satisfaire kL=mπ
C’est-à-dire f=m.v/2L
8. Puissance, Intensité sonore
Une fusée explose à une altitude de 400m produisant une intensité sonore au sol de 6.7 10-2
W/m² et ce,
pendant 0.2s. On considère que l’émission sonore se fait de façon isotrope et que la source sonore peut
être considérer comme ponctuelle.
1. Déterminer la puissance totale émise par l’explosion
On a une émission sonore isotrope et donc se propageant dans toutes les directions
de l’espace. La source étant considérée ponctuelle, on a émission d’une onde
sphérique (équivalent en 3D du caillou que l’on jette dans l’eau) En un point situé à
une distance de 400m, on mesure une intensité sonore (densité surfacique de
puissance) de 6.7 10-2 W/m².
La puissance totale est celle émise dans toutes les directions. Elle est égale au
flux de l’intensité sonore à travers une surface fermée contenant le point source.
𝑷 = ∬ 𝑰𝒓𝒖𝒓 𝒅𝒔 avec 𝒖𝒓 le vecteur radial car on a une émission sphérique.
A une distance r l’intensité sonore est constante sur toute la surface d’une sphère
de rayon r (émission isotrope). Donc pour calculer le flux on choisit comme surface
une sphère de rayon r. 𝑰𝒓 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒕 𝒖𝒓 ∥ 𝒅𝒔 . On a : 𝑷 = 𝑰𝟒𝟎𝟎𝟒𝝅𝟒𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝑲𝑾
2. Quelle est l’énergie sonore totale due à cette explosion ?
La puissance est l’énergie émise pendant une seconde, donc l’énergie totale émise
est égale à la puissance fois la durée d’émission. 𝑬 = 𝑷. ∆𝒕 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝑲𝑾 ∗ 𝟎, 𝟐 = 𝟐𝟔𝑲𝑱
3. Donner l’expression qui relie l’intensité acoustique I0 à une distance r0 à l’intensité acoustique I(r) à
une distance r.
Le calcul de la puissance totale ne dépend de la distance à laquelle on fait le
calcul (en l’absence de mécanismes d’absorption). On a donc 𝑷 = 𝑰𝒓𝟒𝝅𝒓𝟐 = 𝑰𝟎𝟒𝝅𝒓𝟎𝟐.
Soit : 𝑰𝒓 =𝑰𝟎𝒓𝟎
𝟐
𝒓𝟐
4. Quelle est la puissance sonore à 10m du point d’explosion ?
UE PHY303 Vibrations et Ondes DLST – Université Grenoble Alpes
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𝑰𝟏𝟎 =𝑰𝟒𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟔𝟎𝟎𝑰𝟒𝟎𝟎
Une personne parlant normalement produit un niveau sonore de 40dB à 1m. On rappelle que l’intensité
acoustique de référence est de 10-12
W.m-2
, ce qui correspond à une pression acoustique de référence p0=2
10-5
Pa.
5. Rappeler à quoi correspond cette intensité acoustique de référence. (Comment elle a été choisie ?)
L’intensité de référence I0 correspond au seuil d’audition, c’est la petite densité
surfacique de puissance que l’oreille peut détecter.
6. Si le niveau d’audition convenable pour une conservation est de 30dB, à quelle distance peut-on
encore comprendre la conversation ?
Le niveau L est égal à 𝑳 = 𝟏𝟎. 𝒍𝒐𝒈 (𝑰
𝑰𝟎).
A 1m le niveau sonore est de 40dB soit 10000 fois I0
𝟒𝟎 = 𝟏𝟎. 𝒍𝒐𝒈 (𝑰
𝑰𝟎
) 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 à 𝒍𝒐𝒈 (𝑰
𝑰𝟎
) = 𝟒 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑰 = 𝟏𝟎𝟒 𝑰𝟎
Un niveau sonore de 30 db correspond à 1000 fois I0.
Or on a la relation
𝑰𝒓 =𝑰𝟏𝒓𝟏
𝟐
𝒓𝟐 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝒓 = √
𝑰𝟏𝒓𝟏𝟐
𝑰𝒓= √𝟏𝟎
Le niveau d’intensité en décibel varie pour l’oreille humaine entre une puissance surfacique sonore de 10-
12W/m² et 1 W/m².
7. Quels sont les niveaux extrêmes correspondant en décibel sachant que l’on prend comme intensité