Vibraciones Mecánicas 5ta Edicion Singiresu S. Rao Esp

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Q U I N T A E D I C I N

V I B R A C I O N E S M E C N I C A S

S I N G I R E S U S . R A O

A L W A Y S L E A R N I N G PEARSONhttp://librosysolucionarios.net

M a s a s e q u iv a le n te s , r e s o r te s y a m o r t ig u a d o r e s

M asas equivalentes

. 'XM IM IM

MM asa (M ) fija en e l extrem o d e un resorte d e m asa m = M + j

< = - D t

> i

Viga en voladizo d e m asa m con una carga M en su extrem o libre

m ,v = M + 0.23 m

Viga simplemente apoyada d e m asa m con una carga M a la mitad

m ,q = M + 0 .5 m

M asas translacionalcs y rotacionales R '

Jrq = Jq + m R 7

m , m 2 " ! l^ ______ _______

*- / | -*1 Masas sobre u na barra conectada a la bisagra m*i = mi + ( t ) - + (

R esortes equivalentes

Varilla som etida a una carga axial

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QUINTA EDICIN

Singiresu S . RaoU n iv e r s i ty o f M ia m i

TRADUCCIN

R odo lfo N a v a rro S a lasIngen iero MecnicoU niversidad N acional A u t n o m a d e M xico

REVISI N TCNICA

D avid S e p lv e d a G arc aEscuela S u p erio r de Ingeniera Mecnica y E lctrica U nidad P ro fesional A zcapotzalco In s titu to Politcnico N acional

R ic a rd o R o d r g u e z F ig u e ro aD epartam ento d e Ingen iera M ecatrnica In stitu to Tecnolgico d e Coacalco

G a b rie la del V alle D az M u o zD epartam ento d e C iencias Bsicas Universidad A u t n o m a M etropolitana Unidad A zcapotzalco

PEARSON


Dalos de catalogacin bibliogrfica

RA O , S IN G IR iS l) S.V ibraciones m ecnicasQuinta edicin

PEA R SO N EDUCACIN. M xico. 2012

ISBN: 978-607-32-0952-6

rea: Ingeniera

fo rm ato 20 x 25.5 cm fginas: 776

A uthorized translation from tlie English language edition entitled M echanical Vibralions. 501 Edition. by Singiresu S. Rao. published by foarson Education, Inc., publishing a s Prcnticc Hall. Copyright O 2011. All rights rcscrvcd.

ISB N 9780132128193

Traduccin autorizada d e la edicin en idioma ingles titulada M echanical Vibralions, 5* edicin, p o r Singiresu S. Rao, publicada por foarson Education. Inc., publicada com o Prentice Hall. Copyright 2 0 1 1. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol e s la nica autorizada.

D ireccin general: L aura KocstingerDireccin d e Educacin Superior: M ario ContrerasE d ito r Luis M iguel Cruz Castillo

c-mail: luis.cruz@ pearson.com E ditor d e desarrollo: B em ardino Gutirrez HernndezSupervisor d e produccin: Juan Jos G arca GuzmnG erencia editorial

Educacin Superior Latinoamrica: M arisa d e Anta

QUINTA EDICIN. 2012

D.R. 2 0 1 2 por foarson Educacin d e M xico, S.A . d e C.V.A acom ulco 500. 5o. piso C ol. Industrial Atoto, C.P. 53519 N aucalpan d e Jurez, Estado d e Mxico

Cmara Nacional d e la Industria Editorial M exicana. Rcg. Nm. 1031

R esen ad o s todos los derechos. Ni la totalidad ni parte d e esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transm itirse, por un sistema de recuperacin d e informacin, en ninguna form a ni p o r ningn medio, sea electrnico, m ecnico, fotoqum ico, m agntico o clcctrop- tico. por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin perm iso previo p o r escrito del editor.

E l prstam o, a lqu iler o cualquier o tra form a d e cesin d e uso d e e s te ejem plar requerir tam bin la autorizacin del ed ito r o d e sus representantes.

ISB N VERSIN IM PRESA: 978-607-32-0952-6 ISB N VERSIN E-BOOK: 978-607-32-0953-3 ISB N E-CHAPTER: 978-607-32-0954-0

Im preso en M xico. Prinied in M xico.

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A Lord Sri Venkatesuiara


CONTENIDO

P re fa c io xiii

R e c o n o c im ie n to s xviii

L is ta de s m b o lo s xviii

CAPTULO 1______________________________________________

F u n d a m e n to s d e v ib ra c i n 21.1 C o m en ta rio s p re lim in a re s 312 B reve h isto ria d e l estu d io d e la v ib rac i n 4

1.2.1 Orgenes del estudio d e la vibracin 41.2.2 D e Galilco a Raylcigh 61.2.3 Contribuciones recientes 9

1 3 Im p o rta n c ia del e s tu d io d e la v ib rac i n 101.4 C oncep tos bsicos d e la v ib rac i n 13

1.4.1 V ibracin 131.4.2 Partes elem entales

de sistem as vibratorios 131.4.3 Cantidad d e grados d e libertad 141.4.4 Sistem as discretos y continuos 15

1 3 C lasificacin d e la v ib rac in 161.5.1 V ibracin libre y forzada 161.5.2 Vibracin no amortiguada

y am ortiguada 161.5.3 V ibracin lineal y no lineal 161.5.4 V ibracin dctcrm instica y aleatoria 16

1.6 Proced im ien to del anlisis d e la v ib rac i n 171.7 E lem entos d e re so r te 21

1.7.1 R esortes no lineales 221.7.2 Laicalizacin d e un resorte no lineal 231.7.3 Constante d e resorte

de elem entos elsticos 251.7.4 Com binacin d e resortes 281.7.5 Constante d e resorte asociada

con la fuerza d e restauracin producida p o r la gravedad 36

13 E lem entos d e m asa o inerc ia 371.8.1 Com binacin d e m asas 38

1.9 E lem entos d e a m o rtig u am ien to 421.9 .1 Construccin d e amortiguadores

viscosos 431.9.2 Iincalizacin d e un am ortiguador

no lineal 491.9.3 Com binacin d e am ortiguadores 49

LIO M ovim iento a rm n ico 511.10.1 Representacin vectorial del movim iento

arm nico 521.10.2 Representacin p o r medio

de nm eros com plejosdel movim iento arm nico 53

1.10.3 lgebra com pleja 551.10.4 O peraciones con funciones arm nicas 551.10.5 Definiciones y term inologa 58

1.11 A nlisis a rm n ic o 611.11.1 Expansin d e la serie d e Fouricr 6 11.11.2 Serie d e Fourier com pleja 631.11.3 Espectro d e frecuencia 641.11.4 Representaciones en e l dom inio

del tiempo y la frecuencia 651.11.5 Funciones pa r e im par 651.11.6 Expansiones d e medio rango 671.11.7 Clculo num rico d e coeficientes 68

L 12 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A T L A B 721.13 L ite ra tu ra a ce rca d e la v ib rac in 75

R esum en del cap tu lo 76 R eferen cias 76 P reg u n tas d e re p a so 78 P ro b lem as 81 Proyectos d e d iseo 111

CAPTULO 2________________________________________________

V ib ra c i n lib re d e s is te m a s d e u n so lo g ra d o de l ib e r ta d 1142.1 In tro d u cc i n 1162 3 V ibracin lib re d e u n sistem a tras lac io n a l

no a m o rtig u ad o 1182.2.1 Ecuacin de movim iento basada en la segunda

ley del m ovim iento d e Newton 1182.2.2 Ecuacin d e movim iento utilizando otros

m todos 1202.2.3 Ecuacin del movim iento d e un sistema

de resorte-m asa en posicin vertical 1212.2.4 Solucin 123Z 2 .5 M ovim iento arm nico 124

2 J V ibracin lib re d e u n sistem a to rsio n alno a m o rtig u ad o 135 Z 3 .1 Ecuacin d e movim iento 136 Z 3 .2 Solucin 136


C on ten id o v ii

2.4 R espuesta d e sistem as d e p r im e r o rd en y c o n stan te d e tiem po 139

2 .5 M todo d e la en erg a d e R ay le igh 1412.6 V ibracin lib re con am o rtig u am ie n to viscoso 146

16.1 Ecuacin d e movim iento16.2 Solucin 14716.3 Decrcm ento logartmico16.4 Energa disipada

a i am ortiguam iento viscoso16.5 Sistem as torsionalcs

con am ortiguam iento viscoso2.7 R ep resen tac i n g r fica d e ra c e s c a ra c te rs tica s

y soluciones c o rre sp o n d ien te s 1622.7.1 Races d e la ecuacin caracterstica 1621 7 .2 Representacin grfica d e races

y soluciones correspondientes 1632.8 V ariaciones d e p a r m e tro s y rep re sen tac io n es

del lu g a r g eo m trico d e las ra ces 1641 8 . 1 Interpretaciones d e w ,, y r

en e l plano r 1641 8 .2 L ugar geom trico d e las races

y variaciones d e parm etro 1672.9 V ibracin libre con am o rtig u am ien to

de C o u lo m b 1731 9 .1 Ecuacin d e m ovim iento 1741 9 .2 Solucin 1751 9 .3 S istem as torsionalcs

con amortiguamiento d e Coulom b 1771 1 0 V ibracin lib re con am o rtig u am ien to

h ister tico 1791 1 1 E stab ilidad d e sistem as 1851 1 2 E jem plos re su e lto s u tilizando M A TI.A B 189

R esum en del cap tu lo 195R eferencias 196P reg u n tas d e rep aso 196 P ro b lem as 201P ro y ec tes d e d iseo 237

CAPTULO 3______________________________________________

V ib ra c i n a r m n ic a m e n te e x c ita d a 2403.1 In tro d u cc i n 2423 2 Ecuacin d e m ovim ien to 2423 J R espuesta d e u n s is tem a n o a m o rtig u ad o som etido

a n a fu e rz a a rm n ica 2433.3.1 Respuesta total 2473.3.2 Fenm eno de batido 247

3 .4 R espuesta d e u n sistem a a m o rtig u ad o som etidoa u n a fu e rz a a rm n ica 2503 .4 .1 Respuesta total 2543.4.2 Factor d e calidad y ancho d e banda 255

3.5 R espuesta d e u n sistem a am o rtig u ad osom etido a F (l) = / V - * 257

3.6 R espuesta d e u n sistem a am o rtig u ad osom etido a l m ov im ien to a rm n ico d e la b a se 2593.6.1 Fuerza transm itida 2613.6.2 M ovim iento relativo 262

3.7 R espuesta d e u n sistem a a m o rtig u ad o som etidoa d esb a la n ce ro ta to rio 265

3 .8 V ibracin fo rz a d a con am o rtig u am ien tode C ou lom b 269

3.9 V ib rac i n fo rz a d a con am o rtig u am ien tode h istresis 273

3.10 M ovim iento fo rn id o con o tro s tipos de a m o rtig u am ien to 275

3.11 A utoexcitacin y a n lis is d e estab ilidad 2763 .1 1. 1 Anlisis d e estabilidad d inm ica 2763 .11.2 Inestabilidad d inm ica provocada

por e l flujo de un fluido 2793.12 M todo d e la fu ncin d e tra n s fe re n c ia 2853.13 Soluciones o b te n id a s u tilizando tran s fo rm a d as

d e L ap lace 2883.14 Funciones d e tra n s fe re n c ia d e frecu en cia 291

3 .14 .1 Relacin entre la funcin d e transferencia general T (s )y la funcin d e transferencia de frecuencia Hito) 293

3 .14 .2 Representacin de las caractersticas d e respuesta d e frecuencia 294

3.15 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A T L A B 297R esum en d e l c ap tu lo 302R eferencias 302 P reg u n tas d e re p a so 303 P ro b lem as 307 Proyectos d e d iseo 328

CAPTULO 4________________________________________________

V ib ra c i n e n c o n d ic io n e s fo rz a d a s 3 3 04.1 In tro d u cc i n 3314.2 R espuesta b a jo u n a fuerza perid ica g en era l 332

4.2.1 Sistem as d e primer o rden 3334.2.2 Sistem as d e segundo o rden 339

4 .3 R espuesta b a jo u n a fuerza perid icade fo rm a ir re g u la r 345

4.4 R espuesta b a jo u n a fu e rz a no perid ica 3474.5 In teg ra l d e convoluc in 347

4 .5 .1 Respuesta a un im pulso 3484.5.2 Respuesta a u na condicin forzada

general 3514.5.3 Respuesta a excitacin d e la base 352

4.6 E spectro d e re sp u es ta 359


v iii C o n ten id o

4.6.1 Espectro d e respuesta para excitacinder la base 361

4.6.2 Espectros d e respuesta a sism os 3654.6.3 Diserto bajo un am biente d e ch oque 368

4.7 T ra n s fo rm a d a d e L aplace 3714.7.1 R espuestas transitoria

y de estado estab le 3714.7.2 Respuesta d e sistem as

de primer o rden 3724.7.3 Respuesta d e sistem as

de segundo orden 3744.7.4 Respuesta a una f u e r a gradual 3794.7.5 Anlisis d e la respuesta escalonada 3854.7.6 Descripcin de u na respuesta

transitoria 3864 .8 M todos num rico s 392

4.8.1 M todos d e Runge-K utta 3934.9 R espuesta a condiciones

fo rrad a s irreg u la re s ob ten id a ap lican d o m todos n u m rica s

4.10 E jem plos resuelto s400 403

396

u tilizando M A TLA B R esum en d e l cap itu lo R eferen cias 404 P reg u n tas d e rep aso P ro b lem as 407Proyectos d e d iseo 428

404

CAPTULO 5

S is te m a s d e d o s g ra d o s de l ib e r ta d 4 3 05.1 In tro d u cc i n 4315.2 Ecuaciones d e m ovim iento

p a ra v ib rac in fo rz a d a 43553 A nlisis d e v ib rac in lib re d e u n sistem a

no a m o rtig u ad o 4365.4 S istem a to rsio n al 4445.5 A coplam iento d e c o o rd en a d as

y c o o rd en a d as p rin c ip a le s 4495 .6 A nlisis d e v ib rac in fo rz a d a 4555.7 S istem as sem idefin idos 4585.8 A utoexcitacin y anlisis

d e estab ilidad 4615.9 M todo d e la funcin d e tran sfe re n c ia 4625.10 Soluciones ob ten id as ap lican d o

la tran s fo rm a d a d e ta p la c e 4645.11 Soluciones o b ten id a s u tilizan d o funciones

d e tran sferen c ia d e frecu en cia 4725.12 E jem plos resuello s u tilizan d o M A T L A B 475

R esum en d e l c ap tu lo 481

R eferen cias 481 P reg u n tas d e rep aso P ro b lem as 484 Proyectos d e diseo

482

507

CAPTULO 6

S is te m a s d e v a r io s g ra d o s de l ib e r ta d 508

6.1 In tro d u cc i n 5106 .2 M odelado d e sistem as con tinuos

com o sistem as d e varios g rad o s d e lib e rtad 510 6 3 Uso d e la se g u n d a ley d e N ew ton p a ra d e r iv a r

ecuaciones d e m ovim ien to 5116 .4 C oefic ien tes d e influencia 516

6 .4 .1 Coeficientes d e influencia d e rigidez 5176.4.2 Coeficientes d e influencia

d e flexibilidad 5216.4.3 Coeficientes d e influencia d e inercia 525

6 J E xpresiones d e e n e rg a po tencialy cintica e n fo rm a m atric ia l 527

6 .6 C o o rd en ad as genera lizad asy f u e rz a s g e n e ra l iz a d a s 529

6 .7 Uso d e las ecu ac io n es d e L ag ran g ep a ra d e r iv a r ecuaciones d e m ovim ien to 530

6 .8 Ecuaciones d e m ov im ien to d e sistem asno am o rtig u ad o s en fo rm a m atric ia l 534

6 .9 P ro b lem a de v a lo r eigen 5356 .1 0 Solucin del p ro b lem a

d e v a lo r e igen 5376.10.1 Solucin d e la ecuacin

caracterstica (polinom ial) 5376.10.2 O itogonalidad

de los m odos norm ales 5426.10.3 Valores eigen repetidos 545

6.11 T eo rem a d e expansin 5476 .1 2 S istem as no re s tr in g id o s 5476.13 V ibracin lib re

d e sistem as n o am o rtig u ad o s 5516 .1 4 V ibracin fo rzad a d e sistem as n o am o rtig u ad o s

m edian te anlisis m odal 5546.15 V ibracin fo rzad a d e sistem as v iscosam ente

am o rtig u ad a s 5616 .1 6 A utoexcitacin y a n lis is d e e s tab ilid ad 5666.17 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A T L A B 568

R esum en del cap tu lo 576R eferen cias 576 P reg u n tas d e re p a so 577 P ro b lem as 581 Proyectos d e d iseo 601


C on ten id o ix

CAPTULO 7______________________________________________

D e te rm in a c i n d e f re c u e n c ia s y m o d o s n a tu r a le s 6027.1 In tro d u cc i n 6037 .2 F rm u la d e D u n k erley 604 1 3 M todo d e R ayleigh 606

7.3.1 Propiedades del cociente de Raylcigh 607

7.3.2 Clculo d e la frecuencia natural fundamental 609

7.3.3 Frecuencia fundamental d e vigas y flechas 610

7 .4 M todo d e H o b e r 6137.4.1 Sistem as torsionalcs 6137.4.2 Sistem as d e resorte-m asa 616

7 .5 M todo d e ite rac i n m atric ia! 6177.5.1 C onvergencia a la frecuencia

natural m s a lta 6197.5.2 Clculo d e frecuencias naturales

interm edias 6 197 .6 M todo d e Ja c o b ! 6247 .7 (Y oblem a d e valor eigen e s t n d a r 626

7.7.1 Descom posicin cfc Cholcski 6277.7.2 Otros m todos d e solucin 629

7 .8 F jem plos re su e lto s u tilizan d o M A TI.A R 629R esum en d e l c ap tu lo 632R eferencias 632 P re g u n ta s d e rep aso 633 P ro b lem as 636 P royectos d e d iseo 643

CAPTULO 8______________________________________________

C o n tro l d e la v ib ra c i n 6448.1 In tro d u cc i n 6468 .2 N om grafo d e v ib rac in

y c rite rio s d e v ib rac in 6468 3 R educcin d e la v ib rac in en la fuen te 6508 .4 B alanceo d e m q u in a s ro ta to r ia s 651

8.4.1 B alanceo en un p lano 6518.4.2 B alanceo en dos planos 654

8 .5 R em olineo d e flechas ro ta to r ia s 6598.5.1 Ecuaciones d e m ovim iento 6598.5.2 V elocidades crticas 6618.5.3 Respuesta del sistema 6618.5.4 Anlisis d e estabilidad 663

8 .6 B alanceo d e m o to re s rec ip ro can tes 6658 .6 .1 F u cr/as dcshalanccadas debido

a fluctuaciones en la presin d e gas 665

8.6.2 F u e r a s dcshalanccadas debido a inercia d e las partes m viles 667

8.6.3 B alanceo d e m otores reciprocantes 6698.7 C on tro l d e v ib rac in 6718.8 C n tro l d e frecu en cias n a tu ra le s 6718.9 In tro d u cc i n a l a m o rtig u am ien to 6728.10 A islam iento d e la v ib rac in 673

8 .10 .1 Sistem a d e aislam iento d e vibracin con cim iento rgido 676

8 .10 .2 Sistem a d e aislam iento d e vibracin con movim iento d e la base 685

8 .10 .3 Sistem a d e aislam iento de vibracin con cim iento flexib le 692

8 .10 .4 Sistem a d e aislam iento d e vibracincon cim iento parcialm ente flexible 693

8.10.5 Aislamiento contra choques 6948.10.6 C ontrol d e vibracin activo 698

8.11 A b sorbedores de v ib rac i n 7028 .1 1.1 A bsorbedor d e vibracin dinm ico no

amortiguado 7038.11.2 A bsorbedor d e vibracin dinmico

amortiguado 7088.12 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A T L A B 712

R esum en d e l c ap tu lo 718R eferencias 718P reg u n tas d e re p a so 720P ro b lem as 722Proyecto d e d iseo 735R espuestas a p rob lem as se leccionados 736nd ice 744

L o s c a p tu lo s 9 a l 12 y a p n d ic e s se e n c u e n tr a n (e n e s p a o l) e n e l s i t io w eb de e s te lib ro .

CAPTULO 9_________________________________________________

S is te m a s c o n t in u o s 9-19.1 In tro d u cc i n 9-39 3 V ib rac i n tran sv e rsa l d e u n a c u e rd a o cab le 9-3

9.2.1 Ecuacin d e m ovim iento 9-39.2.2 Condiciones iniciales y lm ite 9-59.2.3 Vibracin libre cfc una cuerda uniform e 9-69.2.4 V ibracin libre d e una cuerda con dos

extrem os fijos 9-69.2.5 Solucin d e la onda viajera 9-10

9 3 V ib rac i n lo n g itu d in a l d e u n a b a r ra o varilla 9-119.3.1 Ecuacin d e movim iento

y solucin 9-119.3.2 O rtogonalidad d e funciones norm ales 9-13


x C o n ten id o

9 .4 V ibracin to rsio n al de u n a (lecha o varilla 9-189.5 V ibracin la te ra l d e vigas 9-21

9.5.1 Ecuacin d e m ovim iento 9-219.5.2 Cbndiciones iniciales 9-239.5.3 V ibracin libre 9-239.5.4 Gandiciones lm ite 9-249.5.5 Ortogonalidad d e funciones norm ales 9-269.5.6 Vibracin forzada 9-299.5.7 Efecto d e una fuerza ax ia l 9 -3 19.5.8 Efectos d e inercia rotatoria

y deform acin p o r cortante 9-349.5.9 Otros efectos 9-38

9 .6 V ibracin d e m em b ran a s 9-389 .6 .1 Ecuacin d e m ovim iento 9-389.6.2 C ondiciones iniciales y lm ite 9-40

9.7 M todo d e R ayleigh 9-419.8 M todo d e R ayleigh-R itz 9-439.9 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A TL A B 9-46

R esum en d e l c ap tu lo 9-48R eferen cias 9-49 P reg u n tas d e re p a so 9-50 P ro b lem as 9-53 Proyecto d e d iseo 9-65

CAPTULO 10_______________________________________________

M e d ic i n de v ib ra c i n y a p lic a c io n e s 10-110.1 In tro d u cc i n 10-210.2 T ran sd u c to res 10-4

10.2.1 Transductores d e resistencia variable 10-410.2.2 Transductores piezoelct ricos 10-710.2.3 Transductores electrodinmicos 10-810.2.4 Transductor d e transform ador diferencial

variable lineal 10-91 0 J D etectores d e v ib rac in 10-10

10.3.1 V ibrm ctro 10-1110.3.2 Acclcrmctro 10-1310.3.3 V clm ctro 10-1510.3.4 Distorsin d e fase 10-17

10.4 In stru m en to s d e m ed ic in d e frecu en cia 10-1910.5 E xcitadores d e v ib rac in 10-21

10.5.1 Excitadores m ecnicos 10-2110.5.2 Agitador electrodinmico 10-22

10.6 A nlisis d e seales 10-2410.6.1 A nalizadores d e espectros 10-2410.6.2 Filtro pasabanda 10-2510.6.3 A nalizadores de ancho d e banda

de porcentaje constante y d e ancho d e banda constante 10-27

10.7 P ru eb a d in m ica d e m q u in a s y e s tru c tu ra s 10-28

10.7.1 Uso d e las m ediciones operacionalcs de deflexin 10-28

10.7.2 Uso d e u na prueba m odal 10-2810.8 A nlisis m o d a l e x p e rim e n ta l 10-29

10.8.1 L a idea bsica 10-2910.8.2 Equipo necesario 10-2910.8.3 Procesam iento d e seales dig itales 10-3110.8.4 Anlisis de seales aleatorias 10-3310.8.5 Determinacin de datos m odales a partir

de picos observados 10-3510.8.6 Determinacin d e los datos m odales

con la g fica de N yquist 10-3810.8.7 M edicin d e m odos 10-39

10.9 M onitoreo y diagnstico d e la condicin d e u n a m q u in a 10-4210.9.1 Criterios d e sev eridad d e vibracin 10-4210.9.2 Tcnicas d e m antenimiento

de m quinas 10-4210.9.3 Tcnicas d e monitoreo d e la condicin

de m quinas 10-4410.9.4 Tcnicas d e m onitoreo d e vibracin 10-4510.9.5 Sistem as d e instrum entacin 10-5010.9.6 Seleccin del parm etro d e m onitoreo 10-50

10.10 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A TL A B 10-51 R esum en del cap tu lo 10-54R eferen cias 10-54 P reg u n tas d e re p a so 10-55 P ro b lem as 10-58 Proyectos de d iseo 10-64

CAPTULO 11____________________________________________

M to d o s de in te g ra c i n n u m r ic a e n e l a n lis is d e v ib ra c i n 11-111.1 In tro d u cc i n 11-2 112 M todo d e d ife ren c ia fin ita 11-3 11J M todo d e d ife ren c ia c e n tra l p a ra sistem as

d e u n solo g ra d o d e lib e rtad 11-411.4 M todo d e R u n g e-K u tta p a ra sistem as

d e u n so lo g ra d o d e lib e rtad 11-711J M todo d e d ife ren c ia c e n tra l p a ra sistem as

d e v a r io s g rad o s d e l ib e r ta d 11 -811.6 M todo d e d ife ren c ia fin ita p a r a sistem as

co n tin u o s 11-1211.6.1 Vibracin longitudinal de barras 11-1211.6.2 Vibracin transversal d e v igas 11-16

11.7 M todo d e R u n g e-K u tta p a ra sistem as d e v a r io s g rad o s d e l ib e r ta d 11-20

11.8 M todo d e H ou b o lt 11-22


11.911.10

M todo d e W son 11-25 M todo d e N ew m ark 11-28

11.11 E jem plos re su e lto s u tilizando M A TLA BR esum en d e l c ap itu lo 11-37R eferen cias 11-37P re g u n ta s d e rep aso 11-38P ro b lem as 11-40

CAPTULO 1 2 ______________________________________________

M to d o d e lo s e le m e n to s f in i to s 12-112.1 In tro d u cc i n 12-212.2 Ecuaciones d e m ov im ien to d e u n e lem ento 12-31 2 J M a triz d e m asa , m a triz d e rig idez y vecto r

de fu e rz a 12-512.3.1 Elemento d e una barra 12-512.3.2 Elemento d e torsin 12-712.3.3 Elemento d e una v iga 12-8

12.4 T ran sfo rm aci n d e m atrice s y vectores de u n e lem en to 12-11

12.5 E cuaciones d e m ov im ien to del sistem a com pleto de e lem en to s fin ito s 12-13

12.6 In c o rp o ra c i n d e cond ic iones lim ite 12-1512.7 M atrices d e m asa consisten te

y d e m asa c o n ce n tra d a 12-2412.7.1 M atriz d e m asa concentrada para un elemento

de una barra 12-2412.7.2 M atriz d e m asa concentrada para un elemento

de una viga 12-2412.7.3 M atrices d e m asa concentrada en com paracin

con m atrices d e m asa consistente 12-2512.8 E jem plos re su e lto s u tilizan d o M A T1.AB 12-27

R esum en del c ap tu lo 12-30R eferencias 12-30 P re g u n ta s d e rep aso 12-31P ro b lem as 12-33

C on ten id o xi

APNDICE A

R e la c io n e s m a te m tic a s y p ro p ie d a d e s d e m a te r ia le s

APNDICE B

A l

D eflex i n d e v ig a s y p lacas A4

APNDICE C

M a tr ic e s A 6

APNDICE 0

T ra n s fo rm a d a d e L ap lace A 13

APNDICE E

U n id a d e s A21

APNDICE P

In tro d u c c i n a M ATLAB A 24

M ate ria l e n in g l s e n s i t io w ebCAPTULO 13_________________________

N o n lin e a r V ib ra tio n 13-1

CAPTULO 14____________________

R a n d o m V ib ra tio n 14-1


PREFACIO

C a m b io s e n esta e dici nE ste lib ro p re sen ta el te rn a d e in g e n ie r a d e v ib rac io n e s a n iv e l d e lic e n c ia tu ra . L as re a c c io n e s fa v o ra b le s d e p ro fe so re s y e s tu d ia n te s a la c u a r ta e d ic i n m e m o l v a r n a p re p a ra r e s ta q u in ta e d ic i n . C o n se rv e l e s t i lo d e las e d ic io n e s a n te r io re s e n la p re se n ta c i n d e la te o r a , lo s a sp e c to s d e c lc u lo y la a p lic ac i n d e la v ib rac i n d e la m an e ra m s se n c illa p o sib le , c o n e sp ec ia l n fa s is e n las t cn ica s d e a n lis is p o r c o m p u ta d o ra . S e o f re c e n a m p lia s e x p lic a c io n e s d e lo s fu n d a m e n to s en las q u e se re c a lc a la im p o r ta n c ia y la in te rp re ta c i n fsica q u e a c re c ie n ta n l a s e x p e r ie n c ia s a d q u ir id a s e n c u rso s p re v io s d e m e c n ic a y s e u til iz a n n u m e ro s o s e je m p lo s y p ro b le m a s p a ra i lu s tra r p rin c ip io s y c o n ce p to s .

E n e s ta e d ic i n s e m o d ific a ro n a lg u n o s te m a s y s e v o lv ie ro n a e sc r ib ir o tro s , s e a g re g a ro n m u ch o s m s y s e in tro d u je ro n n u e v a s c a ra c te rs tic a s . L a m a y o r a d e e sa s a d ic io n e s y m o d if ic a c io n e s fu e ro n a su g e re n c ia d e lo s u su a r io s y re v iso re s d e l te x to . E n tre lo s c a m b io s im p o rta n te s d e s ta c a n lo s s ig u ien te s :

1. A l p r in c ip io d e c a d a c a p tu lo s e p re se n ta u n e s q u e m a y lo s o b je tiv o s d e ap ren d iza je .2 . A l fin a l d e c a d a c a p tu lo se o f r e c e u n re su m e n d e re p aso .3 . L a p re sen ta c i n d e a lg u n o s te m a s s e h a m o d if ic a d o p a ra o f re c e r u n a m a y o r c o b e r tu ra y m e jo r c la r id a d . E s to s tem a s

in c lu y e n lo s c o m p o n e n te s b s ic o s d e la v ib rac i n : e le m e n to s d e re s o r te , e le m e n to s d e a m o rtig u a c i n y e le m e n to s d e m asa o in e rc ia , a s c o m o a is la m ie n to y c o n tro l a c t iv o d e la v ib rac i n .

4 . M u c h o s te m a s n u e v o s s e p re se n ta n c o n d e ta lle s y e je m p lo s i lu s tra tiv o s , e n tr e e llo s la re sp u es ta d e s is te m a s d e p rim er o rd e n y la c o n s ta n te d e tie m p o ; re p re se n ta c i n g r f ic a d e la s ra c e s y so lu c io n e s c a ra c te rs tic a s ; v a r ia c io n e s d e p a r m e tro s y la re p re se n ta c i n d e l lu g a r g e o m tric o d e las ra ces ; la e s ta b ilid a d d e los s is te m a s ; e l m to d o d e fu n c i n d e tra n s fe re n c ia p a ra p ro b le m a s d e v ib ra c i n fo rz a d a ; e l m to d o d e la tra n s fo rm a d a d e L ap lac e p a ra s o lu c io n a r p ro b le m a s d e v ib ra c i n lib re y fo rz a d a ; e l m to d o d e la fu n c i n d e tra n s fe re n c ia d e frec u e n c ia ; e l d iag ra m a d e B o d e p a ra s is tem as d e un so lo g ra d o d e l ib e r ta d ; la re sp u e s ta g ra d u a l y la d e sc r ip c i n d e la re sp u e s ta tra n s ito r ia , y lo s im p a c to s e l s tic o s y n o e l s tic o s .

5 . S e a g re g a ro n 128 e je m p lo s . 160 p ro b le m a s , 7 0 p re g u n ta s d e re p a so y 1 0 7 ilu s tra c io n e s .6 . S e e lim in a ro n lo s e je m p lo s y p ro b le m a s b a sa d o s e n lo s p ro g ra m a s C + + y F o r tra n , q u e en la e d ic i n a n te r io r se

p re sen ta b an a l fin a l d e c a d a c a p tu lo .

C a ra cte rstica s so b re sa lie n te s del libro C a d a te m a d e e s te lib ro e s in d ep e n d ien te ; to d o s lo s c o n c e p to s s e e x p lic a n p e rfe c ta m e n te y la s d e r iv a c io n e s s e p re sen ta n

con to d o s s u s d e ta lle s .

A lo la rg o del tex to se re ca lc a n lo s a sp e c to s d e c lcu lo a s is tid o s p o r co m p u tad o ra . E n la l tim a seccin d e c a d a c ap tu lo e n co n tra r e je m p lo s b a sa d o s e n M A T L A B , a s c o m o v a rio s p ro g ram a s M A T L A B d e u so general c o n e jem p lo s ilu s tra tiv o s .

A lg u n o s te m a s s e p re se n ta n d e u n a fo rm a u n tan to n o c o n v e n c io n a l; e n p a r tic u la r e n lo s c a p tu lo s 8 . 1 0 y 11. L a m a y o r a d e lo s lib ro s d e tex to a b o rd a n lo s p u n to s d e lo s a is la d o re s , lo s a b so rb ed o re s y e l b a la n ce o e n c a p tu lo s d ife re n te s . S in e m b a rg o , d a d o q u e u n o d e lo s o b je tiv o s p r in c ip a le s d e l e s tu d io d e la s v ib ra c io n e s e s c o n tro la r la re sp u e s ta a s ta s , to d o s lo s tem a s re la c io n a d o s c o n e l c o n tro l d e la v ib ra c i n se p re se n ta n e n e l c a p tu lo 8. L o s in s tru m e n to s d e m ed ic i n d e v ib rac i n , ju n to c o n lo s e x c ita d o re s d e v ib rac i n , e l p ro c e d im ie n to d e a n lis is m odal e x p e r im e n ta l y e l m o n ito rc o d e la c o n d ic i n d e m q u in a s , e s t n ju n to s en e l c a p tu lo 10 (e n e l s i t io w e b ) . A s im ism o , to d o s lo s m to d o s d e in te g rac i n n u m rica a p lic a b le s a s is te m a s d e u n o y v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d , a l igu a l q u e lo s s is te m a s c o n tin u o s , s e e n c u e n tra n en e l c a p tu lo 11 (e n e l s itio w eb).


xiv Prefacio

O tra s c a ra c te rs tic a s so b re sa lie n te s so n las s ig u ie n te s :

M s d e 2 4 0 e je m p lo s ilu s tra tiv o s p a ra c o m p le m e n ta r la m a y o r a d e lo s tem as. M s d e 9 8 0 p re g u n ta s d e re p a so p a ra q u e lo s e s tu d ia n te s rev ise n y p ru e b e n s u c o m p re n s i n d e l te x to . E s ta s p re g u n

tas so n d e d ife re n te s tip o s: d e o p c i n m ltip le , c o n re sp u es ta s b re v es , d e v e rd a d e ro o fa lso ; d e c o rre sp o n d e n c ia d e d e sc rip c io n e s , y d e c o m p le ta r e sp a c io s e n b la n c o .

C ad a c a p tu lo o f re c e u n e x te n so c o n ju n to d e p ro b le m a s (m s d e 1150 e n to d o e l l ib ro ) q u e re sa ltan v a rias a p lic a c io n es d e l m a te ria l e x p lic ad o e n e l te x to . (L a s re sp u e s ta s s e p ro p o rc io n a n e n e l d e so lu c io n e s p a ra e l p ro fe so r) .

A l final d e a lg u n o s c a p tu lo s s e p re sen ta n p ro b le m a s d e l tip o p ro y e c to d e d ise o (m s d e 3 0 a lo la rg o d e l te x to ) , m u ch o s s in so lu c i n n ica .

M s d e 2 5 p ro g ra m a s M A T L A B p a ra a y u d a r a lo s e s tu d ia n te s en la im p le m c n ta c i n n u m rica d e los m to d o s e s tu d ia d o s e n e l tex to .

In fo rm a c i n b io g r f ic a (a l in ic io d e c a d a c a p tu lo y e n lo s a p n d ic e s ) d e a lre d e d o r d e 2 0 c ie n tf ic o s e in g e n ie ro s q ue c o n trib u y e ro n a l d e sa rro llo d e la te o r a d e v ib rac io n es .

L o s p ro g ra m a s M A T L A B y la s re sp u e s ta s a lo s p ro b le m a s y a las p re g u n ta s d e re p a so q u e s e p re se n ta n e n e l tex to se e n c u e n tra n d isp o n ib le s p a ra lo s p ro fe so re s e n e l s i t io w eb d e e s te l ib ro e n w v v w .p e a rs o n c d u c a c io n .n c t/ra o .

El M anual d e so lu c io n e s d e to d o s lo s p ro b le m a s y su g e re n c ia s p a ra d is e a r p ro y e c to s e s t d is p o n ib le p a ra lo s p ro fe s o re s q u e a d o p te n e s te l ib ro c o m o te x to e n su s c u rso s . C o n su lte a s u re p re se n tan te d e P c a rso n .

U n id a d e s y no ta ci nE n los e je m p lo s y p ro b le m a s d e e s te l ib ro h e m o s u tiliz a d o tan to u n id ad es d e l S is te m a In te rn a c io n a l (S I ) c o rn o d e l S is te m a In g l s . D esp u s d e lo s R e c o n o c im ie n to s a p a re c e u n a l is ta d e s m b o lo s ju n to c o n la s u n id ad e s a so c ia d as en e s to s s is te m as. E n e l A p n d ic e E s e a n a liz a b re v e m e n te la a p lic a c i n d e las u n id a d e s S I e n e l c a m p o d e las v ib ra c io n e s . H e m o s u tiliz a d o f le c h a s so b re lo s s m b o lo s p a ra in d ic a r lo s v e c to re s d e c o lu m n a y p a r n te s is re c tan g u la re s (c o rc h e te s ) p a ra in d ic a r las m atrice s.

O rg a n iza c i n del m ateria lE s te l ib ro e s t o rg an izad o en 8 cap tu lo s . A d ic io n a lm en te e n e l s i t io w eb e n c o n tra r m ate ria l e n espao l s o b re tem as a v an zad o s d e v ib rac iones m ecn icas (cap tu los 9 a 12) y ap nd ices ( tam b in e n esp a o l), a s c o m o u n pa r d e cap tu lo s e n ingls (1 3 y 14 ). S e a su m e q u e e l lec to r tie n e c o n o c im ien to s b sico s so b re e s t t ic a , d in m ica , re s is te n c ia d e m ate ria le s y ecu ac io n es d ife ren c ia le s . A u n c u an d o e s d e se a b le u n c ie r to co n o c im ie n to d e la teo ra d e m atrice s y la tran s fo rm a d a d e L ap lacc , e n los a p n d ice s C y D (en e l s itio w eb ) s e h ace u n rep aso g en era l d e e s to s tem as.

H c a p tu lo 1 in ic ia c o n u n a b re v e se m b la n z a d e la h is to r ia e im p o rta n c ia d e la s v ib ra c io n e s , y a b o rd a e l m o d e la d o d e s is te m a s p r c t ic o s p a ra e l a n lis is d e la v ib ra c i n ju n to c o n lo s d iv e rs o s p a so s im p lica d o s . S e d e sc rib e n las p a ite s e le m e n ta les d e un s is te m a so m e tid o a v ib ra c i n , c o m o so n r ig id e z , a m o rtig u a m ie n to y m a sa ( in e rc ia ) . S e p re sen ta n lo s c o n c e p to s b s ic o s y la te rm in o lo g a q u e s e u t il iz a e n e l a n lis is d e v ib ra c io n e s . E l c a p tu lo 2 a b o rd a la v ib ra c i n lib re d e s is te m a s d e un so lo g ra d o d e l ib e r ta d so m e tid o s a tra s la c i n y to rs i n v isc o sa m e n te a m o rtig u a d o s y n o a m o rtig u a d o s . S e a n a l iz a , a d e m s , la re p re se n ta c i n g r f ic a d e las ra c e s c a ra c te rs tic a s y la s so lu c io n e s c o rre sp o n d ie n te s , las v a r ia c io n e s d e p a r m e tro y las re p re se n ta c io n e s d e l lu g a r g e o m tric o d e las ra c e s . A u n c u a n d o e l m to d o d e l lu g a r g e o m tric o d e la s ra c e s s e u t il iz a en s is te m a s d e c o n tro l , s u u so e n la v ib ra c i n s e i lu s tr a e n e s te c a p tu lo . T a m b i n s e c o n s id e ra la re sp u e s ta b a jo a m o rtig u a c i n h is te r tic a y d e C o u lo m b . E n e l c a p tu lo 3 s e e s tu d ia n las re sp u es ta s a m o rtig u a d a y n o a m o rtig u a d a d e s is te m a s d e u n so lo g rad o d e lib e rtad a e x c ita c io n e s a rm n ic a s . S e d e lin e a n lo s c o n c e p to s d e fu e rz a y tra n sm is ib ilid a d e s d e d e sp la z a m ie n to y su a p lic a c i n e n s is te m a s p r c tic o s . T a m b i n s e p re se n ta e l m to d o d e fu n c i n d e tra n s fe re n c ia , la so lu c i n m e d ia n te la tra n s fo rm a d a d e L ap lac c d e p ro b le m a s d e v ib ra c i n fo rz a d a , la re sp u e s ta d e fre c u e n c ia y e l d ia g ra m a d e B o d e .

El c a p tu lo 4 s e o c u p a d e la re sp u e s ta d e u n s is te m a d e u n so lo g ra d o d e lib e rtad b a jo u n a fu n c i n fo rz a d a g e n e ra l. L o s ro le s d e la e x p a n s i n d e la s e r ie d e F o u r ie r d e u na fu n c i n p e ri d ica , la in te g ra l d e c o n v o lu c i n . la tra n s fo rm a d a d e L ap lac c y lo s m to d o s n u m ric o s s e d e sc rib e n c o n e je m p lo s i lu s tra tiv o s . T a m b in s e a n a liz a la e sp e c if ic a c i n d e la re sp u e s ta d e un


Prefacio xv

s is te m a s u b a m o r tig u a d o e n fu n c i n d e t ie m p o p ic o , t ie m p o d e e le v a c i n y t ie m p o d e a s e n ta m ie n to . E n e l c a p tu lo 5 se c o n s id e ra la v ib ra c i n lib re y fo rz a d a d e s is te m a s d e d o s g rad o s d e lib e r ta d . Se a n a liz a la v ib ra c i n a u lo c x c ita d a y la e s ta b i lid ad d e l s is te m a . E l m to d o d e la fu n c i n d e tra n s fe re n c ia y la so lu c i n p o r m ed io d e la tra n s fo rm a d a d e L ap lac c ta m b i n s e p re se n ta n c o n e je m p lo s i lu s tra tiv o s . E n d c a p tu lo 6 v e re m o s la v ib rac i n d e s is te m a s d e v a r io s g rad o s d e lib e rtad y lo s m to d o s d e a n lis is m a t r d a le s q u e s e u til iz a n p a ra p re se n ta r la teo ra . E n e s te m is m o c a p tu lo s e d e sc r ib e e l p ro c e d im ie n to d e a n l is is m odal p a ra la so lu c i n d e p ro b le m a s d e v ib rac i n fo rzad a . L o s d iv e rso s m to d o s p a ra d e te rm in a r fre c u e n c ia s n a tu ra le s y fo rm a s d e m o d o d e s is te m a s d is c re to s se d e lin e a n e n e l c a p tu lo 7 . L o s m to d o s d e D u n k e rie y . R a y le ig h , H o l- z e r , Ja c o b i e i te ra c io n e s m a t r d a le s s e e x p lic a n a p o r ta n d o e je m p lo s n u m rico s . E l c a p tu lo 8 a b o rd a lo s d iv e rs o s a sp e c to s d e c o n tro l d e v ib ra c i n , e n tre e l lo s lo s p ro b le m a s d e e lim in a d n . a is la m ie n to y a b so rc i n . El n o m g ra fo d e v ib r a d n y lo s c r ite r io s d e v ib r a d n . lo s c u a le s in d ic a n los n iv e le s a c e p ta b le s d e v ib ra c i n , ta m b i n s e p re se n ta n aq u . El b a la n ce o d e m q u in a s ro ta to r ia s y re c ip ro ca n te s y la fo rm ac i n d e re m o lin o s d e f le c h a s s e c o n s id e ra n . T a m b i n s e d e sc rib e n la s t c n ic a s d e c o n tro l a c t iv a s p a ra c o n tro la r la re sp u es ta d e s is te m a s v ib ra to rio s .

M a te r i a l en e s p a o l e n e l s i t i o w ebM ie n tra s q u e la s e c u a d o n e s d e m o v im ie n to d e s is te m a s d is c re to s a p a re ce n e n la fo rm a d e e c u a c io n e s d ife re n c ia le s o r d i n a ria s . la s d e lo s s is te m a s c o n tin u o s y d is tr ib u id o s a p a re c e n e n la fo rm a d e e c u a c io n e s d if e re n d a le s p a rd a le s . E l a n lis is d e la v ib rac i n d e s is te m a s c o n tin u o s , c o m o c u e rd a s , b a rra s , f le c h a s , v ig a s y m e m b ra n a s , s e p re se n ta e n e l c a p tu lo 9 . F.I m to d o d e se p a ra c i n d e v a r ia b le s s e p re se n ta p a ra la s o lu d n d e e c u a c io n e s d if e r e n d a le s p a r d a le s a so c ia d a s c o n s is te m a s c o n tin u o s . L o s m to d o s d e R a y le ig h y R a y le ig h -R itz p a ra e n c o n tra r la s frecu en c ias n a tu ra le s a p ro x im a d a s ta m b i n se d e s c r ib e n c o n e je m p lo s . L o s m to d o s e x p e r im e n ta le s q u e s e u til iz a n p a r a m ed ir la re sp u es ta d e la v ib ra c i n s e c o n s id e ra n en e l c a p tu lo 10, y s e d e sc rib e n t c n ic a s d e a n lis is d e se a le s y e l e q u ip o d e m e d id n d e v ib r a d n . T a m b i n s e p re sen ta n tcn ica s d e m o n ito rc o y d ia g n s tic o d e la c o n d ic i n d e m q u in as.

E l c a p tu lo 11 p re sen ta v a r ia s t c n ic a s d e in te g ra c i n n u m rica s p a ra d e te rm in a r la re sp u e s ta d in m ic a d e s is te m a s d is c re to s y c o n tin u o s . S e a n a liz a n e ilu s tra n lo s m to d o s d e d ife re n c ia c e n tra l , lo s d e R u n g c -K u tta . H o u b o lt . W ilso n y N ew m ark . E l a n lis is d e d e m e n to s f in ito s , c o n a p lic a c io n e s q u e im p lic a n e le m e n to s u n id im e n s io n a le s , s e a b o rd a e n e l c a p tu lo 12 . Se u til iz a n e le m e n to s d e b a r ra , v a rilla y v ig a p a ra e l a n l is is e s t tic o y d in m ic o d e a rm a d u ra s , v a r illa s s o m e tid a s a to rs i n y v ig as . E n e s te c a p tu lo ta m b i n s e a b o rd a e l u so d e m atrice s d e m a sa c o n c e n tra d a y d e m a sa c o n s is te n te e n e l a n lis is d e v ib rac i n . L o s p ro b le m a s d e v ib ra c i n n o lin e a l re g id o s p o r e c u a c io n e s d ife re n c ia le s n o lin e a le s p re sen ta n fen m e n o s q u e n o a p a re c e n e n lo s p ro b le m a s l in e a liz a d o s c o rre sp o n d ie n te s .

l-o s a p n d ic e s A y B se e n fo c a n e n la s re la c io n e s m ate m tic a s y e n la d e f le x i n d e v ig a s y p lacas . L o s fu n d a m e n to s d e la te o r a d e m a tr ice s , la tra n s fo rm a d a d e I .a p la c e y la s u n id ad e s S I s e tra ta n e n lo s a p n d ic e s C , D y E . P o r l tim o , el a p n d ic e F o f re c e u n a in tro d u c c i n a la p ro g ra m a c i n c o n M A T I.A B .

M a te r i a l en in g l s e n e l s i t io w ebE n e l c a p tu lo 13 s e p ro p o rc io n a u n tra ta m ie n to in tro d u c to r io d e v ib rac i n n o l in e a l, c o n u n a n lis is d e o sc ila c io n e s su b a r- m n ic a s y s u p e ra n n n ic a s . c ic lo s l m ite , s is te m a s c o n c o e f ic ie n te s d e p e n d ie n te s d e l tie m p o y c a o s . L a v ib ra c i n a le a to r ia d e s is te m a s d e v ib ra c i n lin ea l s e c o n s id e ra en e l c a p tu lo 14. E n e s te c a p tu lo ta m b i n s e a p lic a n lo s c o n c e p to s d e p ro c eso a le a to r io , p ro c e so e s ta c io n a r io , d e n s id a d e sp ec tra l d e p o te n c ia , a s c o m o a u to c o rre la c i n y p ro c e so s d e b a n d a a n c h a y a n g o s ta , s in d e ja r d e c o n s id e ra r la re sp u e s ta d e v ib ra c i n a le a to r ia d e s is te m a s d e u n o y v a r io s g ra d o s d e lib e r ta d .

T e m a rio tpicoEl l ib ro p ro p o rc io n a o p c io n e s f le x ib le s p a ra d ife re n te s t ip o s d e c u rso s so b re v ib rac i n . L o s c a p tu lo s I a 5 , e l c a p tu lo 8 . y partes d e l 6 . co n s titu y e n u n c u rso b s ic o d e v ib rac i n m ecn ica . P u e d e d a rse d ife re n te n fa s is y o r ie n ta c i n a l c u r o s i se h ace u n a c o b e r tu ra a d ic io n a l d e d ife re n te s c a p tu lo s c o m o se in d ic a a c o n tin u a c i n :

El c a p tu lo 9 p a ra s is te m a s c o n tin u o s o d is tr ib u id o s . Los c a p tu lo s 7 y 11 p a ra so lu c io n e s n u m rica s . El c a p tu lo 12 p a ra a n lis is d e e le m e n to s fin ito s.


xv'i Prefacio

Q u e s p e ra r d e e ste cursoB m ate ria l q u e s e p re sen ta e n e l tex to a y u d a a lo g ra r a lg u n o s d e lo s re su lta d o s e sp e c if ic a d o s p o r la A B E T (A c c rc d ita tio n B o a rd fo r E n g in c c r in g a n d T e c h n o lo g y ):

C a p ac id a d d e a p lic a r e l c o n o c im ie n to d e m a te m tic a s , c ie n c ia e in g en ie ra :E l te m a d e v ib rac i n , tal c o m o se p re sen ta en e l l ib ro , a p lic a c o n o c im ie n to s d e m ate m tic a s (e cu a c io n e s d ife re n c ia le s , lg e b ra m a t r id a l , m to d o s v e c to r ia le s y n m e ro s c o m p le jo s ) y c ie n c ia (e s t tic a y d in m ic a ) p a ra r e so lv e r p ro b le m a s d e v ib ra c i n d e in g en ie ra .

C a p ac id a d d e id e n tif ic a r , fo rm u la r y re so lv e r p ro b le m a s d e in g en ie ra :N u m e ro so s p ro b le m a s i lu s tra tiv o s , p ro b le m a s d e p r c tic a y p ro y e c to s d e d is e o a y u d a n a l e s tu d ia n te a id e n tif ic a r v a r io s t ip o s d e p ro b le m a s d e v ib ra c i n p r c tic o s y a d e sa rro lla r , a n a l iz a r y re so lv e r m o d e lo s m a te m tic o s p a ra h a lla r la re sp u es ta c in te rp re ta r lo s re su lta d o s .

C a p ac id a d d e u t il iz a r las t c n ic a s , h a b ilid a d e s y h e rra m ie n ta s m o d e rn a s n e ce sa r ia s p a ra la p r c tic a d e in g en ie ra .

L a ltim a se c c i n d e c a d a c a p tu lo i lu s tra la a p lic a c i n d e l m o d e rn o so f tw a re . M A T L A B . p a ra la so lu c i n d e p ro b le m a s d e v ib rac i n . L o s fu n d a m e n to s d e p ro g ra m a c i n M A T L A B se r e s u m en e n e l a p n d ic e F .

B u so d e la m o d e rn a t c n ic a d e a n lis is , e l m to d o d e l e le m e n to f in ito , p a ra la so lu c i n d e p ro b lem as d e v ib ra c i n s e a b o rd a e n u n c a p tu lo a p a rte (c a p tu lo 12). B m to d o d e lo s e le m en to s f in ito s e s u n a t c n ic a d e a m p lio u s o e n la in d u s tr ia d e l m o d e la d o , a n lis is y so lu c i n d e s is tem as v ib ra to r io s c o m p le jo s .

C a p ac id a d d e d ise a r y re a liz a r e x p e r im e n to s , a s c o m o d e a n a liz a r e in te rp re ta r d a to s :

Los m to d o s e x p e r im e n ta le s y e l a n l is is d e d a to s re la c io n a d o s c o n la v ib ra c i n se p re sen ta n en e l c a p tu lo 10. T a m b i n se a n a liz a e l e q u ip o q u e s e u t il iz a e n la re a liz a c i n d e e x p e rim e n to s (fc v ib rac i n , y s e a b o rd a e l a n lis is d e s e a le s e id en tif ic ac i n d e lo s p a r m e tro s del s is te m a a p a r ti r d e lo s d a to s .


RECONOCIMIENTOS

Q u is ie ra e x p re sa r m i a g ra d e c im ie n lo a lo s m u ch o s e s tu d ia n te s , in v es tig a d o re s y p ro fe so re s c u y o s c o n t n ta n o s m e h an a y u d a d o a m e jo ra r e l l ib ro . M e s ie n to su m a m e n te a g ra d e c id o c o n las s ig u ie n te s p e rso n a s p o r s u s c o n t n ta n o s , su g e re n c ia s e ideas:

A ra A ra b y a n . U n iv e rs ity o f A tiz o n a ; D an ie l G ra n g e r , P o ly tec h n ic S c h o o l o f M o n tre a l. C a n a d ; K .M . R a o . V .R .S . R n g in ee rin g C o lle g e V ija y a w a d a . In d ia ; K. S . S h iv a k u m a r A ra d h y a . G a s T u rb in e R e se a rc h R s ta b lish n te n t, B a n g ak tre . In d ia ; D o n a ld G . G ra n t , U n iv e rs ity o f M a in e ; T o m T h o m to n . A n a lis ta d e E s fu e rz o : A le ja n d ro J . R iv a s , A tiz o n a S ta te U n iv e rs ity : Q in g G u o . U n iv e rs ity o f W ash in g to n ; Ja m e s M . W id m a n n . C a lifo rn ia D jly te c h n ic S ta te U n iv e rs ity ; G . Q . C a i, F lo rid a A tla n tic U n iv e rs ity ; R ich a rd A le x an d e r. T e x a s A & M U n iv e rs ity ; C . W . B c r t, U n iv e rs ity o f O k la h o m a ; R a y m o n d M . B ra c h . U n iv e rs ity o f N o trc D am e; A lfo n so D ia z -J im e n e z . U n iv e rs id ad D is tr ita l "F ra n c is c o Jo s d e C a ld a s " , C o lo m b ia ; G e o rg c D o y le , U n iv e rs ity o f D a y to n ; H a m id H a m id z a d e h . S o u th D a k o ta S ta te U n iv e rs ity ; H . N . H a sh c m i. N o r th c a s tc m U n iv e rs ity ; Z h ik u n H o u . W o rc h e s tc r P o ly tec h n ic In s titu te ; J . R ich a rd H o u g h to n . T c n n c s s e e T c c h n o lo g ic a l U n iv e rsity ; F a ry a r J a b b a r i , U n iv e rs ity o f C a lifo rn ia . I rv in c : R o b c rt J c f fc r s . U n iv e rs ity o f C o n n e c tic u t; R ich a rd K c ltic . N o r th C a ro lin a S ta te U n iv e rsity ; J . S . L am an c u sa . P c n n sy lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; H a rry L aw . C lc m so n U n iv e rs ity ; R o b c rt L c o n a rd . V ir g in ia P o ly tec h n ic In s titu te a n d S ta te U n iv e rs ity ; J a m e s L i. C o lu m b ia U n iv e rs ity ; S a m c c r M a d a n sh c tty . B o s to n U n iv e rsity ; M a so u d M o jta h c d . P u rd u c U n iv e rs ity . C a lu m e t; F a issa l A . M o s lc h y , U n iv e rs ity o f C e n tra l R o n d a ; M . G . P ra sa d . S tc v cn s In s titu te o f T e c h n o lo g y ; M o h n D . R a o . M ic h ig a n T e c h ; A m ir G . R e z a e i. C a lifo rn ia S ta te P o ly te c h n ic U n iv e rs ity ; F . P . J. R im ro tt , U n iv e rs ity o f T o ro n to ; S u b h a sh S in h a , A u b u m U n iv e rsity ; D an iel S tu lts . U n iv e rs ity o f M isso u ri-R o lla ; M a sso u d T av ak o li, G eo rg ia Institu te o f T ech n o lo g y ; T h eo d o re T erry . L eh ig h U niversity ; D avid F . T h o m p so n , U niversity o f C in c in n a ti; C h u n g T su i . U n iv e rs ity o f M a ry la n d . C o lle g e P a rk ; A le x a n d e r V a k a k is . U n iv e rs ity o f I l lin o is . U rb a n a . C h a m p a ig n ; C h u ck V an K a rse n . M ic h ig a n T e c h n o lo g ic a l U n iv e rs ity ; A le k sa n d ra V in o g ra d o v . M o n tan a S ta te U n iv e rs ity ; K . W . W a n g . P e n n - s y lv a n ia S ta te U n iv e rs ity ; G lo r ia J . W ie n s . U n iv e rs ity o f R o n d a , y W ill ia m W e b s te r . G M I E n g in e e rin g a n d M a n a g em en t In s titu te .

Q u ie ro d a r la s g ra c ia s a la U n iv e rs id ad d e P u rd u e p o r p e rm itirm e u t il iz a r e l B o ilc rm a k e r S p e c ia l e n e l p ro b le m a 2 .104 . M is s in c e ra s g ra c ia s a l D r. Q in g L iu p o r a y u d a n n e a e sc r ib ir a lg u n o s d e lo s p ro g ra m a s M A T L A B . P o r l tim o , d e se o d a r le las g ra c ia s a m i e s p o s a , K a m ala . s in c u y a p a c ie n c ia , m o tiv a c i n y a p o y o e s ta e d ic i n n u n c a s e h u b ie ra p o d id o te rm in a r .

S 1 N G IR E S U S . R A O sra o @ m ia m i.ed u


LISTA DE SMBOLOS

Sm bolo Significado Sistem a ingls S istem a In ternacional

a , do*ai .

a'J[a]A

A . 4 o , 4 | , . . .b , b \ , b 2 , . . .

B

c , Cc . co. c i , c j , . . .c

Cc

CU[c]c ,c c 2.c i ,c idD

[D]

EE[x)

ff/ . /

constantes, longitudescoeficiente d e flexibilidad pulg/lbm atriz d e flexibilidad rea pulg2constantesconstantes, longitudes constantespeso de balanceo Ibcoeficiente d e am ortiguacin viscosa Ib-s/pulgconstantesvelocidad de onda pulg/sconstante d e amortiguacin viscosa c ritica Ib-s/pulgconstante d e amortiguacin del am ortiguador r-simo Ib-s/pulg coeficiente d e am ortiguacin Ib-s/pulgm atriz d e am ortiguacin Ib-s/pulgconstantesdim etro , dim ensin pulgdim etro pulgm atriz dinm ica s2base d e logaritm os naturalesexcentricidad pulgvectores unitarios paralelos a las d ireccionesx y y M dulo d e Y oung b /p u lg 2valor esperado d e xfrecuencia lineal Hzfuerza por unidad d e longitud b /p u lgim pulso unitario Ib-sfuerza Ibam plitud d e fuerza F (i) Ib

m/N

tn/N

NN -s /m

m/sN - s /m N - s /m N - s /m N - s /m

mmsJ

m

Pa

HzN/mN - sNN


Lista d e s m b o lo s xix

Sm bolo Significado Sistem a ingls Sistem a Internacional

F u F t fuerza transmitida Ib NF , d ie r a q ue acta en la m asa i-sim a Ib NF vector d e fuerza Ib NF .F impulso Ib-s N - s8 aceleracin debida a la gravedad fulg/s* m /s 28 (0 tncin d e respuesta a l impulsoG mdulo d e cortante Ib/pulg- N /m 2h constante d e amortiguacin d e histresis Ib/pulg N/mH ( t o )i

funcin d e respuesta d e frecuenciaV h

/ momento d e inercia d e rea pxilg* m411) matriz identidadIm() parte im aginaria d e 0

j enteroJ momento polar d e inercia [Xllg m4

momento d e inercia d e masa b-p u lg /s2 k g -m 2

M constante d e resorte Ib/pulg N/m*, constante d e resorte del resorte -simo Ib/pulg N/m*, constante d e resorte torsional b-pu lg /rad N-m/rad

*/> coeficiente d e rigidez Ib/pulg N/m1*1 matriz d e rigidez Ib/pulg N/mU i longitud F*ilg mftx, /n masa lb-s2/pulg kgm, masa /-sima Ib -styu lg kgm ij coeficiente d e masa lb-s74>ulg kg|m] matriz d e masa lb-s24>ulg kgM masa Ib -styu lg kgM momento d e flexin b -p u lg N niM , M jj, M ,; , . . . par d e torsin b -p u lg N Mil , 0 amplitud d e M,(l) b -p u lg N mn un entero

n o m ero d e grados d e libertad

N tuerza norm al Ib NN total d e escalones de tiempo

P presin Ib/pulg2 N /m 2p(x) tncin d e densidad d e probabilidad d e x

P (x) tncin d e distribucin d e probabilidad d e x

P terza. tensin Ib NQj coordenada generalizada / s im a

q vector d e desplazam ientos generalizados-iq vector d e velocidades generalizadas

Q, f u e ra generalizaday'-csima4r relacin d e frecuencia = io/tun

r vector radio Flg m


xx L ista de s m b o lo s

Smbolo Significado Sistem a ingls Sistema Internacional

* ( )R ( r )RRRss s d, s F S J as)I

hTTT ,Td.T f

UJU .U iuu

[U]V , V 0

VV

Viw , w w J,o)i

**0 0wIVIVIV

W;W(x) x ,y> z *0. * (0 )to. (0 )XJXJx U

xjx

I I

%

parte real d e ( ) funcin d e autocorrelacinresistencia elctrica ohmfuncin d e disipacin d e Rayleigh lb-pulg/scociente d e Rayleigh l/s2raz d e ecuacin, v ariable d e Laplace aceleracin, desplazam iento, espectro d e velocidad espectro d e xtiempo sestacin d e tiem po /-sim o spor d e torsin Ib-pulgenerga cintica pulg-lbenerga cintica d e la m asa i-sima pulg-lbdesplazam iento, transmisibilidad d e fuerza un elem ento d e m atriz [U]desplazamiento axial pulgenerga potencial pulg-lbpeso dcsbalanccado Ibm atriz triangular superiorvelocidad lineal pulg/sfuerza cortante Ibenerga potencial pulg-lbenerga potencial del resorte i-simo pulg-lbdeflexiones transversales pulgvalor d e w cuando r = 0 pulgvalor d e w cuando i = 0 pulg/strodo ensim o d e vibracinpeso d e una m asa Ibenerga total pulg-lbdeflexin transversal pulgvalor d e W cuan d o i = / , pulguna funcin d e xcoordenadas cartesianas, desplazam ientos pulgvalor d e x cuando / 0 pulgvalor d e x cuando / 0 pulg/sdesplazamiento d e la m asa j-s im a pulgvalor d e x cuando i = pulgvalor d e x cuando i = ij pulg/sporte hom ognea d e x ( i) pulgporte particular d e x ( i) pulgvector de desplazam ientos pulgvalor d e cuando / = pulgvalor d e * cuando t = / , pulg/svalor d e x cuando i = it pulg/s3

N - m /sl / s 2

ssN-mJJ

mJN

m/sNJJmmm/s

NJmm

m/sm

m/s

mmm/sm /s 2


Lista d e s m b o lo s xxi

Smbolo Significado S istem a ingls S istem a In ternacional

modo i-csimoX amplitud d e *(/) H g m

XJ amplitud d e x / ) F*>'g nijf (0 \cc to r m odal /-sim o pu'g m

x componente /-sim o de m odo /'-simo pulg m

[X] matriz modal PU'g in

x . aproxim acin r-sima a un modo

y desplazamiento d e base Fu 'g m

Y amplitud d e >

xxii L ista de s m b o lo s

Smbolo Significado Sistem a ingls Sistem as Internacional

r esfuerzo cortante lb/pulg2 N /m

ngulo, ngulo d e fase rad radngulo de fase en e l m odo /-simo rad rad

(O frecuencia d e oscilacin rad/s rad/s0), frecuencia natural /-sima rad/s rad/s

frecuencia natural rad/s rad/sfrecuencia d e vibracin amortiguada rad/s rad/s

S u b n d ic e s

Sm bolo Significado

en valor crticoeq valor equivalente1 valor /-sim oL plano izquierdomx valor mxim on correspondiente a la frecuencia naturalR plano derecho0 valor especfico o d e referencia1 torsional

O perac iones

Sm bolo Significado

O d i )d i

0d 2( )

d ,2_*

( ) vector colum na < )

[ ] m atriz

i r ' inversa d e ( J

[ f transpuesta d e l )

A ( ) increm ento d e ( )

* < ) transform ada d e Laplacc d e ( )

! T ' ( ) transformada inversa d e Laplacc < )


CAPTULO I

Fundam entos de vibracin

E ste a s tr n o m o ita l ia n o , f il so fo y p ro fe s o r d e m ate m tic a s en las u n iv e rs id a d es d e R s a y P a d u a , fu e , e n 1 609 , e l p r im e r h o m b re q u e a p u n t u n te le sc o p io h a c ia e l c ie lo . En 1 590 . e s c r ib i e l p r im e r tra ta d o d e d in m ic a m o d ern a . S u s o b ra s re sp ec to a las (B c ilac io n cs d e un p n d u lo s im p le y la v ib ra c i n d e la s c u e rd a s s o n d e im p o rta n c ia fu n d am en ta l e n la teo rfa d e la s v ib ra c io n e s . (C o rte s a d e D irk J. S tru ik , A C o n c ise H is to ry o f M a l h e m a l es ( 2 a . e d . r e v .) , D o v e r P u b lic a tio n s , In c ., N u e v a Y o rk . 1948].

Galileo Cali le(1564-1642)

E sq u e m a d e l captulo

O bjetivos d e aprendizaje 3 1.10 Movimiento arm nico 51l .l C om en tarios prelim inares 3 l .l 1 Anfisis arm nico 611.2 Breve h istoria del estudio d e b vibracin 4 1.12 Ejemplos resuelto s utilizando MATLAB 721.3 Importancia del estudio d e b vfcracin 10 1.13 Literatura acerca d e b vfcracin 751.4 C oncep tos bsicos d e b vibracin 13 Resumen del capitulo 7615 C bslfkacin d e b vibracin 16 Referencias 761.6 Procedim iento del anlisis d e b vfcracin 17 Preguntas d e repaso 781.7 Elem entos d e re so r te 21 Problem as 811.8 Elem entos d e m asa o inercia 37 P royectos d e diserto 1111.9 Elem entos d e am ortiguam iento 42

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1.1 C o m en ta r io s p re lim in a res 3

E ste c a p tu lo p re se n ta e l te m a d e la s v ib ra c io n e s e n u n a fo rm a re la tiv a m e n te se n c illa . E m p ie z a c o n u n a b re v e h is to r ia d e l te m a y lu e g o p re sen ta u n e x a m e n d e la im p o rta n c ia d e la v ib rac i n . L o s c o n c e p to s b s ico s d e g ra d a s d e l ib e r ta d y d e s is te m a s c o n tin u o s y d is c re to s s e o fre c e n ju n to c o n u n a d e sc rip c i n d e las p a r te s e le m e n ta le s d e lo s s is te m a s v ib ra to rio s . S e in d ic a n la s d iv e rs a s c la s if ic a c io n e s d e v ib ra c i n , a s a b e r v ib ra c i n lib re y fo rza d a ; v ib rac i n n o a m o rtig u a d a y a m o r t ig u ad a ; v ib rac i n lin ea l y n o l in e a l, y v ib ra c i n d e te rm in s tic a y a le a to r ia . S e d e lin e a n y p re sen ta n a s im ism o las d e fin ic io n e s y lo s c o n c e p to s e se n c ia le s d e v ib rac i n .

S e d e sc r ib e e l c o n c e p to d e m o v im ie n to a rm n ic o y s u re p re se n tac i n p o r m ed io d e v e c to re s y n m ero s c o m p le jo s . S e a p o rta n la s d e f in ic io n e s y te rm in o lo g a b s ic a s c o m o c ic lo , a m p litu d , p e r io d o . frec u e n c ia , n g u lo d e f a s e y fre c u e n c ia n a tu ra l, re la c io n a d as c o n e l m o v im ie n to a rm n ic o . A l fin a l s e d e sc r ib e e l a n lis is a rm n ic o , q u e t ie n e q u e v e r c o n la re p re se n ta c i n d e c u a lq u ie r fu n c i n p e r i d ica e n t rm in o s d e fu n c io n e s a rm n ic a s , u til iz a n d o la s e r ie d e F o u r ie r . A s im ism o , s e a n a l i z a n e n d e ta lle lo s c o n c e p to s d e e sp e c tro d e frec u e n c ia , re p re se n tac io n es en e l d o m in io d e l tie m p o y fre c u e n c ia d e fu n c io n e s p e r i d ic a s , a s c o m o las e x p a n s io n e s d e m e d ia n o in te rv a lo y e l c lc u lo n u m ric o d e c o e fic ie n te s d e F o u rie r .

O b jetivos d e aprendizaje

A l te rm in a r e s te c a p tu lo , u s te d d e b e r s e r c a p a z d e re a liz a r lo s ig u ie n te :

D e sc r ib ir b re v e m e n te la h is to r ia d e la v ib rac i n . In d ica r la im p o r ta n c ia del e s tu d io d e la v ib rac i n .

P ro p o rc io n a r v a r ia s c la s if ic a c io n e s d e la v ib rac i n .

E n u n c ia r lo s p a so s im p lic a d o s en e l a n lis is d e la v ib rac i n .

C a lc u la r lo s v a lo re s d e c o n s ta n te s d e re s o r te , m a sa s y c o n s ta n te s d e a m o rtig u am ie n to .

D e fin ir e l m o v im ien to a rm n ico y d ife ren te s posib les rep resen tac iones d e m o v im ien to arm nico .

S u m a r y re s ta r m o v im ien to s a rm n ic o s .

R e a liza r la e x p a n s i n d e la se rie d e F o u r ie r d e fu n c io n e s p e r i d ica s d ad as .

D e te rm in a r lo s c o e f ic ie n te s d e F o u r ie r n u m ric a m e n te , a p lic a n d o e l p ro g ra m a M A T L A B .

1.1 C o m e n ta r io s p re lim in a re s

El tem a d e la v ib rac i n s e p re sen ta a q u e n u na fo rm a re la tiv am en te senc illa . E l c ap tu lo em p ieza c o n u na b re v e h is to r ia d e la v ib rac i n y co n tin a con u n e x a m e n d e s u im p o rtan c ia . Se pe rfilan lo s d iv erso s p a so s q ue in te rv ien en e n e l a n lis is d e la v ib rac i n d e un s is te m a d e in g en ie ra y s e p resen tan las d e fin ic io n es y co n cep to s e se n c ia le s d e la v ib rac in . A q u ap ren d em o s q u e to dos lo s s is te m a s m e c n ic o s y e stru c tu ra le s s e p u e d en m o d e la r c o m o s is tem as d e m asa-re so rte -am o rtig u ad o r. E n a lg u n o s sis tem as, c o m o e n un au to m v il, l a m asa, e l r e s o n y e l am o rtig u ad o r s e p u e d en id en tifica r co m o co m p o n e n te s sep a rad o s ( la m a sa en la fo rm a d e l cu erp o , e l re so rte en la su sp en s i n y e l am o rtig u ad o r en la fo rm a d e lo s am o rtig u ad o re s). E n a lg u n o s ca so s , la m asa , e l r e so r te y el am o rtig u ad o r no a p a re c e n c o m o com p o n en tes d is tin to s , p u es so n in h eren te s c in teg ra les a l s is tem a . P o r e je m p lo , e n e l a la d e u n a v i n , la m a sa e s t d is tr ib u id a e n to d a e l a l a In c lu so , d eb id o a s u e la s tic id ad , e l a la ex p erim en ta u n a n o tab le d e fo rm ac i n d u ra n te e l v u e lo , d e m o d o q u e p u e d e m odelarse c o m o u n reso rte . A d e m s , la d e f le x i n del a la in tro d u ce u n e fe c to d e am o rtig u am ie n to p ro d u c id o p o r e l m o v im ien to re la tiv o en tre co m p o n e n te s c o m o ju n ta s , co n ex io n es y so p o rte s , al igu a l q ue la fr ic c i n in te rn a p ro d u c id a p o r d e fec to s m ic ro estru c tu ra les del m ate ria l. E n el c ap tu lo s e d e sc rib e e l m o d e lad o d e e lem en to s d e reso rte .


4 C ap tu lo 1 F u n d a m en to s de vibracin

m asa y a m o rtig u am ie n to , s u s carac te rs ticas y la c o m b in a c i n d e v a rio s re so r te s , m asas o e le m en to s (fc a m o rtig u a m ie n to q u e a p a re ce n en un s is te m a . D e a l l s e d e r iv a u n a p re sen ta c i n d e l c o n c e p to d e a n lis is a rm n ic o , e l c u a l p u e d e u til iz a rse p a ra e l a n lis is d e m o v im ie n to s p e r i d ic o s g e n e ra le s . En este c a p tu lo n o s e p re te n d e a g o ta r lo s te m a s ; lo s c a p tu lo s s ig u ie n te s d e sa rro l la r n c o n m s d e ta lle m uchas d e las id eas.

2 B re v e historia del e stu d io d e la v ib ra ci n

O rg e n e s del e s tu d io d e la v ib ra c i n

H in te r s e n la v ib rac i n s u rg e c u a n d o s e c re a n lo s p r im e ro s in s tru m e n to s m u s ic a le s , p ro b a b le m en te s ilb a to s o ta m b o re s . D e sd e e n to n c e s , tan to m s ic o s c o m o f il s o fo s h a n b u sc a d o la s re g la s y fas le y e s d e la p ro d u c c i n d e l s o n id o , las h a n u tiliz a d o p a r a m e jo ra r lo s in s tru m e n to s m u s ica le s , y las h an p a sa d o d e g e n e ra c i n en g e n e ra c i n . Y a en e l a o 4 0 0 0 a .C . [ I . I ] . l a m sica h a b a a lc a n - ado u n a lto n iv e l d e d e sa rro llo y e r a m uy a p re c ia d a p o r c h in o s , h in d e s , ja p o n e s e s y . q u iz , los e g ip c io s . E s to s p u e b lo s a n tig u o s o b se rv a ro n c ie r ta s re g la s d e f in id a s q u e d e a lg u n a m an e ra e s ta b a n re la c io n a d as c o n e l a rte d e la m s ic a , a u n q u e su c o n o c im ie n to n o lle g a n iv e l d e c ie n c ia .

f e p ro b a b le q u e lo s in s tru m e n to s m u s ica le s d e c u e rd a s e h a y a n o r ig in a d o e n e l a rc o del c a z a d o r , a rm a fa v o re c id a p o r lo s e j rc i to s d e l a n tig u o E g ip to . U n o d e lo s in s tru m e n to s d e c u e rd a m s p r im itiv o s . la n tm x a , s e p a re c e a u n a ip a d e tre s o c u a tro c u e rd a s .y c a d a c u e rd a p ro d u c e s lo u n a n o ta ; en d M u seo B rit n ico s e e n c u e n tra u n e je m p la r q u e d a ta d e 15 0 0 a o s a .C . A h m ism o se e x h ib e un a rp a d e 1 1 c u e rd a s , d e c o ra d a en o ro y c o n c a ja d e re so n a n c ia e n fo rm a d e c a b e z a d e to ro , la cu a l se e n c o n tr e n U r en u n a tu m b a rea l q u e d a ta d e a p ro x im a d a m e n te 2 6 0 0 a o s a .C . E n lo s m u ro s

tu m b a s e g ip c ia s c o n u na a n tig e d a d d e 3 0 0 0 a o s a .C . s e h a lla ro n p in tu ra s d e in s tru m e n to s d e cu erd a se m e ja n te s a a rp as .

N uestro s is te m a m u sica l a c tu a l tie n e s u s b a se s en la c iv il iz a c i n g r ie g a a n tig u a . Se co n sid e ra q ue e l f i l s o fo y m a te m tic o g r ie g o P it g o ra s (5 8 2 -5 0 7 a .C .) fiie la p r im e ra p e rso n a q u e in v es tig d so n id o m u s ica l c o n u n a b a se c ie n tf ic a ( f ig u ra 1.1). E n tre o tra s c o sa s . P itg o ra s re a liz e x p e r i m en to s c o n u n a s o la c u e rd a p o r m e d io d e u n a p a ra to s e n c illo l la m a d o m o n o c o rd io . E n e l e je m p lo q j e s e m u es tra e n la f ig u ra 1 .2 . lo s p u e n te s d e m ad era 1 y 3 e s t n f ijo s . E l p u e n te 2 e s m o v ib le en t in to q u e la ten s i n en la c u e rd a s e m an tien e c o n s ta n te m ed ia n te e l p e s o c o lg a n te . P itg o ra s o b s e r v q u e s i s e s o m e te n a la m ism a te n s i n d o s c u e rd a s s im ila re s d e d ife re n te s lo n g itu d e s , la m s c o r ta em ite u n a n o ta m s a lta ; a d e m s , s i l a c u e rd a m s c o r ta e s d e la m itad d e la lo n g itu d d e la m s la rg a , la m s c o r ta e m itir u na n o ta u n a o c ta v a a r r ib a d e la o tra . P it g o ra s n o d e j n in g n d o c u m e n to d e su

F igura 1.1 Pitgoras. (Reimpreso con p erm iso d e l.E. Navia, Pitgoras: A n A n m ta te d B ibliography, G arland Publish ing, Inc., Nueva York. 1990).


12 B reve h isto r ia d e l e stu d io d e la v ib ra ci n 5

C uerda \

A \ P c s o F ig u ra 1.2 Monocordio.

trab a jo ( f ig u ra 1.3 ), p e ro h a s id o d e sc r i to p o r o tro s . A u n q u e e n e l tie m p o d e P it g o ra s s e d e sa rro ll e l c o n c e p to d e to n o . la re la c i n e n tre e l to n o y la fre c u e n c ia n o s e e n te n d i s in o h a s ta e l t ie m p o d e G a lile o . en e l s ig lo x v i .

H a c ia 3 5 0 a .C . A r is t te le s e sc rib i tra ta d o s s o b re m s ic a y so n id o c h iz o o b se rv a c io n e s c o m o L a v o z e s m s d u lc e q u e e l so n id o d e lo s in s tru m e n to s , y E l so n id o d e la f la u ta e s m s d u lc e q u e e l d e la lira . E n 3 2 0 a . C . A ris t g e n es . a lu m n o d e A ris t te le s y m s ic o , e s c r ib i u na o b ra en tres v o l m e n e s t i tu la d a E lem en to s d e a rm o n a . E s to s lib ro s so n q u iz lo s m s a n tig u o s d e q u e se d isp o n g a so b re la m s ic a y e sc rito s p o r lo s in v e s tig a d o re s m ism o s . A lre d e d o r d e 3 0 0 a . C . e n un lib ro l la m a d o In tro d u c c i n a la a rm o n a , F .uc lides e sc r ib i b re v e m e n te s o b re la m s ic a p e ro s in h a ce r re fe re n c ia a lg u n a a la n a tu ra le z a fsica d e l so n id o . L o s g r ie g o s n o lo g ra ro n m s a v a n c e s e n e l c o n o c im ie n to c ie n t f ic o d e l so n id o .

P a rece q u e los ro m an o s re c ib ie ro n to d o su co n o c im ie n to m usica l p o r p a r te d lo s g r ie g o s , e x c e p to V itm v io , fa m o so a rq u itec to ro m a n o q u e e sc rib i a lred ed o r d e l a o 2 0 a .C . so b re las p ro p ied ad es a c s tic a s d e lo s te a tro s . Su tra ta d o D e A rc h ite c tu ra L ib r i D e c e m (D ie z l ib r o s s o b r e a rq u itec tu ra ), es tu v o p e rd id o d u ran te m u ch o s a o s , y s e h a b ra d e re d esc u b rir s lo h asta e l s ig lo x v . A l p a rec e r, d u ra n te ca s i 16 s ig lo s n o hu b o d e sp u s d e l tra b a jo d e V itru v io n in g n d esa rro llo e n las teo ras d e l so n id o y la v ib rac i n .

F igura 1.3 Pitgoras co m o m sico . (Reim preso con p erm iso d e D.E. S rr ith , H h to ry o M a th em a - tcs.W o l. I. Dover P ublications, Inc., Nueva York. 1958).



En la a n tig e d a d . C h in a e x p e rim e n ta b a m u ch o s s ism o s . Z h an g H c n g . q u e s e d e se m p e co m o h is to r ia d o r y a s tr n o m o e n e l s ig lo , p e rc ib i la n e ce s id ad d e d e sa rro l la r un in s tru m e n to p a ra m ed ir b s s ism o s c o n p re c is i n . E n e l a o 132 in v e n t e l p r im e r s ism g ra fo d e l m u n d o [ 1. 3 . 1.41, e l cu a l e s tab a h e c h o d e l in o b ro n c e fu n d id o , c o n u n d i m e tro d e o c h o c h i (u n c h i e q u iv a le a 0 .2 3 7 m etros) y te n a la fo rm a d e u n a ja r r a d e v in o ( f ig u ra 1.4 ). D e n tro d e la j a r r a h a b a u n m e c a n ism o q u e c o n e s t a e n un p n d u lo ro d e a d o p o r u n g ru p o d e o c h o p a la n ca s q u e a p u n ta b a n e n o c h o d ire c c io n e s . En b p a r te e x te rn a del s ism g ra fo h a b a o c h o f ig u ra s d e d ra g n , c a d a u n a c o n u n a b o la d e b ro n c e en las fa u c e s . D e h a jo d e c a d a d ra g n h a b a u na ra n a c o n la b o c a a b ie rta h a d a a r rib a . U n s ism o fuerte e n c u a lq u ie r d ire c c i n in c lin a ra d p n d u lo en e sa d i r e c d n y a c t iv a r a la p a la n c a en la c a b eza d d d ra g n . E s to a b r a la b o c a d e l d ra g n y la b o la d e b ro n c e s e so lta b a y c a a e n la b o c a d e la ran a c o n u n so n id o m e t lico . A s , e l s ism g ra fo p e rm ita a l p e rso n a l d e v ig ila n c ia s a b e r tan to e l tiem p o c o m o la d irec c i n d e la o c u rre n c ia del s ism o .

F igura M H prim er sism grafo del m undo inventado e n China en el ao 132 de n u e s tra era. (Reimpreso con perm iso d e R. T aton (ed.), M slo ry o f Sc ience , Basic Books, Inc.. Nueva York, 1957).

1 . 2 . 2 ________ Se c o n s id e ra q u e G a lilc o G a l i ld ( 1 5 6 4 - I6 4 2 ) e s e l fu n d a d o r d e la c ie n d a e x p e rim e n ta l m od ern a .De h e ch o , a m en u d o a l s ig lo x v il se le c o n s id e ra c o m o e l " s ig lo d d g e n io " p u e s to q u e lo s c im ien to s

De G a lile o a (fc l a filo so fa y la c ie n d a m o d e rn a s s e se n ta ro n d u ra n te e sc p e r io d o . L o q u e m o tiv a G a lile o a e s -R a yle ig h tu d ia re l c o m p o rta m ie n to d e u n p n d u lo s im p le fu e la o b se rv a c i n d e lo s m o v im ien to s d e v a iv n d e

u na l m p a ra en u n a ig le s ia d e P isa . U n d a , m ie n tras s e a b u rra d u ra n te u n s e rm n , G a lile o m irab a h a d a e l te c h o d e la ig lesia . U n a lm p ara o sc ila n te c ap t s u a te n c i n . C o m e n z a m e d ir e l p e rio d o cfc lo s m o v im ien to s d e p n d u lo d e la l m p a ra c o n s u p u lso , y p a ra s u so rp re sa s e d io c u e n ta d e q ue el tie m p o e ra in d ep e n d ie n te d e la a m p litu d d e las o s c i la d o n e s . E s to lo lle v a re a l iz a r m s e x p e rim en to s c o n e l p n d u lo s im p le . E n s u o b ra D isco rs i e d im o s tm z io n e n u a e m a iic h e in to rn o a d u e n u o v e s c ie n z e {D i lo g o s so b re d o s n u e v a s c ie n c ia s) , p u b lic a d a e n 1 6 3 8 , G a lile o an a liz lo s cu erp o s v ib ra to rio s . D e sc rib i la d e p e n d e n c ia d e la f recu en c ia d e la v ib r a d n e n la lo n g itu d d e u n p n d u - b s im p le , ju n to c o n e l fen m en o d e v ib rac io n e s s im p tic a s (re so n an c ia ) . L o s e sc rito s d e G a lileo tu n b i n in d ic a n q u e e n te n d a c o n c la r id a d la re la c i n e n tre la f re c u e n c ia , la lo n g itu d , la te n s i n y b d e n s id ad d e u na c u e rd a v ib ra to ria ten sa | L 5 J. S in e m b a rg o , e l p r im e r in fo rm e c o rre c to p u b licad o ifc la v ib ra c i n d e cu erd a s lo p ro p o rd o n e l m a te m tic o y te lo g o fran c s M a rio M c rsc n n c ( I5 8 8 - I 6 4 8 )c n su l ib ro H arm ortie u n iv e r s e lle

12 B reve h isto r ia d e l e stu d io d e la v ib ra ci n 7

c r d ito le p e r te n e c e a G a lilc o . p u esto q u e e sc rib i la s ley es m u ch o s a o s a tra s y s u p u b lic a c i n fue p ro h ib id a p o r rd e n e s del In q u is id o r d e R o m a h a s ta 1638.

In sp ira d a e n e l tra b a jo d e G a lilc o , e n 16 5 7 s e fu n d la A c a d e m ia d e l C im e n to e n F lo re n c ia ; a sta le s ig u ie ro n la s fo rm ac io n es d e la R o y a l S o c ic ty o f L o n d o n e n 1 662 . y la P a r s A c ad e m ie d es S c ien c es en 1 666 . M s ta rd e . R o b e rt H o o k e (1 6 3 5 -1 7 0 3 ) ta m b i n re a liz e x p e r im e n to s p a ra d e te rm in a r u n a re la c i n e n tre e l to n o y la fre c u e n c ia d e v ib ra c i n d e u n a c u e rd a . S in e m b a rg o . J o s e p h S a u v e u r (1 6 5 3 -1 7 1 6 ) in v e s tig a fo n d o e s to s e x p e rim e n to s y a c u la p a la b ra "a c s tic a " p a ra la c ie n c ia d e l so n id o 11.61. S a u v e u r en F ra n c ia y J o h n W allis (1 6 1 6 -1 7 0 3 ) e n In g la te rra o b s e r v a ro n , d e m an era in d e p e n d ie n te , e l fe n m e n o d e las fo rm a s d e m o d o , y e n c o n tra ro n q u e u n a c u e rd a ten sa q u e v ib ra p u e d e n o te n e r m o v im ie n to en c ie r to s p u n to s , y u n m o v im ie n to v io le n to e n p u n to s in te rm ed io s . S a u v e u r l la m n o d o s a lo s p r im e ro s p u n to s y b u c le s a lo s se g u n d o s . S e e n c o n tr q u e ta les v ib ra c io n e s te n a n fre c u e n c ia s m s a l ta s q u e la a s o c ia d a c o n la v ib ra c i n s im p le d e la c u e rd a s in n o d o s . D e h e c h o , s e e n c o n tr q u e la s a l ta s fre c u e n c ia s s o n m ltip lo s in te g ra le s d e la fre c u e n c ia d e v ib ra c i n s im p le , y S a u v e u r l la m a rm n ic o s a la s a lta s fre c u e n c ia s y fre c u e n c ia fu n d a m e n ta l a la f re c u e n c ia d e u n a v ib ra c i n s im p le . S a u v e u r ta m b i n e n c o n tr q u e u n a c u e rd a p u e d e v ib ra r s in v a rio s d e su s a rm n ic o s p re se n te s a l m ism o tie m p o . A d e m s , o b se rv e l fen m en o d e l p u lso c u a n d o d o s tu b o s d e rg a n o d e to n o s le v e n re n te d ife re n te s s e h a c e n s o n a r ju n to s . F ji 1 700 , S a u v e u r ca lcu l , m ed ia n te un m to d o un ta n to d u d o s o , la fre c u e n c ia d e u n a c u e rd a ten sa d a a p a r ti r d e la c o m b a m ed id a d e s u p u n to m ed io .

S i r Isaac N e w to n (1 6 4 2 -1 7 2 7 ) p u b lic e n 16 8 6 s u o b ra m o n u m e n ta l P h ilo so p h ia e N a turaU s P r in c ip io M a th e m a tic a ( P r in c ip io s m a te m tic o s d e f i lo s o f a n a tu ra l) , q ue d e sc rib e la le y d e la g ra v itac i n u n iv e rs a l , a s c o m o las t r e s ley es d e l m o v im ien to y o tro s d e sc u b rim ie n to s . l a s e g u n d a le y del m ov im ie n to d e N e w to n e s u n lu g a r c o m n e n lib ro s s o b re v ib ra c io n e s p a ra d e r iv a r las e c u a c io n e s d e m ov im ie n to d e u n cu e rp o q u e v ib ra . B rook T a y lo r (1 6 8 5 -1 7 3 1 ) . m a te m tic o in g l s , h a ll en 1713 la so lu c i n te r ic a (d in m ic a ) d e l p ro b le m a d e la c u e rd a v ib ra to r ia , y a s u v e z p re se n t e l fam o so te o re m a d e T a y lo r s o b re u n a se rie in f in ita . L a fre c u e n c ia n a tu ra l d e la v ib ra c i n o b te n id a c o n la e c u a c i n d e m o v im ie n to d e r iv a d a p o r T a y lo r c o n c u e rd a c o n lo s v a lo re s e x p e rim e n ta le s o b se rv ad o s p o r G a lilc o y M c rse n n c . E l p ro c ed im ie n to a d o p ta d o p o r T a y lo r fu e p e rfe c c io n a d o c o n la in tro d u c c i n d e d e r iv a d a s p a rc ia le s e n las e c u a c io n e s d e m o v im ien to p o r D an iel B e m o u lli (1 7 0 0 - 17 8 2 ) , J c a n D 'A lc m b e r t ( 17 1 7 -1 7 8 3 ) y L co n ard E u lc r (1 7 0 7 -1 7 8 3 ) .

L a p o s ib ilid a d d e q u e u na c u e rd a v ib re c o n v a rio s d e s u s a rm n ic o s p re se n te s a l m ism o tie m p o (s i e l d e sp la z a m ie n to d e c u a lq u ie r p u n to en c u a lq u ie r in s ta n te e s igu a l a la su m a a lg e b ra ic a d e lo s d e sp laz am ien to s d e c a d a a rm n ic o ) s e c o m p ro b c o n la s e c u a c io n e s d in m ic a s d e D an ie l B e m o u lli e n s u s m e m o ria s , p u b lic a d a s p o r la A c ad e m ia B e rlin e sa e n 17 5 5 11.7], E s ta c a ra c te r s tic a s e c o n o c e c o m o e l p rin c ip io d e la c o ex is ten c ia d e p e q u e a s o sc ila c io n e s lo c u a l , e n te rm in o lo g a a c tu a l , e s e l p rin c ip io d e su p e rp o s ic i n . S e c o m p ro b q u e e s te p r in c ip io e s m s v a lio so e n e l d e sa rro l lo d e la teo ra d e v ib rac io n e s y c o n d u jo a la p o s ib ilid a d d e e x p re sa r c u a lq u ie r fu n c i n a rb itra r ia (e s d e c ir , c u a lq u ie r fo rm a in ic ia l d e la c u e rd a ) u t il iz a n d o u n a s e r ie in fin ita d e s e n o s y c o se n o s . D e b id o a e s ta im p lic a c i n . D 'A le m b e r l y E u le r d u d a ro n d e la v a lid e z d e e s te p r in c ip io . S in e m b a rg o . J . B. J. F b u rie r < 17 6 8 -1 8 3 0 ) e n s u o b ra A n a ly t ic a l T h e o r y o f H e a tc n 1822 c o m p ro b la v a lid e z d e e s te tip o d e ex p an s i n .

J o s e p h L a g ra n g e (1 7 3 6 -1 8 1 3 ) p re se n t la so lu c i n a n a l tic a d e la c u e rd a v ib ra to r ia e n s u s m e m o rias p u b lic a d as p o r la A c a d e m ia d e T u rn e n 1 759 . E n su e s tu d io . L a g ra n g e su p u so q u e la c u e rd a se c o m p o n a d e u n a in f in id a d d e p a r tc u la s d e m asa id n tica e q u id is ta n te s , y e s ta b le c i la e x is te n c ia d e v a r ia s frecu en c ias in d e p e n d ie n te s ig u a le s a la c a n tid a d d e p a rtcu la s d e m a sa . C u a n d o s e p e r m iti q u e la c a n tid a d d e p a rtcu la s fu e ra in f in ita s e e n c o n tr q u e la s fre c u e n c ia s re su lta n te s e ra n las m ism a s q u e la s fre c u e n c ia s a rm n ic a s d e la c u e rd a te n sa . E l m to d o d e e s ta b le c e r la e c u a c i n d ife re n c ia l d e l m o v im ie n to d e u n a c u e rd a ( l la m a d a e cu a c i n d e o n d a ) , p re sen ta d o e n la m ay o ra d e lo s l ib ro s a c tu a le s s o b re te o r a d e la v ib ra c i n , lo d e sa rro ll p o r p rim e ra v e z D A lc m b e rt e n su s m em o rias p u b lic a d a s p o r la A cad em ia d e B e rln e n 1750. L a v ib ra c i n d e v ig a s d e lg a d a s a p o y ad a s



y su je ta s d e d ife re n te s m a n e ra s fu e u n e s tu d io h e c h o p o r p r im e ra v e z p o r E u lc r en 17 4 4 y D an ie l B e m o u lli e n 1 751 . S u m to d o s e c o n o c e c o m o te o r a d e v ig as d e lg a d a s o d e E u le r-B e m o u lli .

C h a r le s C o u lo m b re a l iz e s tu d io s ta n to te r ic o s c o m o e x p e r im e n ta le s e n 1784 s o b re la s o sc i la c io n es to rs io n a le s d e u n c il in d ro d e m eta l su sp en d id o d e u n c a b le ( f ig u ra 1.5). A l s u p o n e r q u e e l p a r (fc to rs i n re s is te n te del a la m b re to rc id o e s p ro p o rc io n a l a l n g u lo d e to rs i n , d e d u jo la e c u a c i n d e m o v im ien to p a ra la v ib ra c i n to rs io n a l d e l c il in d ro su sp e n d id o . In teg ra n d o la e c u a c i n d e m o v im ie n to , e n c o n tr q u e e l p e r io d o d e o sc ila c i n e s in d ep e n d ie n te d e l n g u lo d e to rs i n .

H ay u n in te re s a n te re la to e n c u a n to a l d e sa rro l lo d e la te o r a d e v ib ra c i n d e p lac as ( 1 .8 |. En 1802, e l c ie n tf ic o a le m n E . F . F . C h lad n i (1 7 5 6 -1 8 2 4 ) d e sa rro ll e l m to d o d e c o lo c a r a ren a s o b re u n a p lac a v ib ra to ria p a ra h a lla r s u s fo rm a s d e m o d o y o b se rv la b e lle z a y c o m p le jid a d d e los po tro n es m o d a le s d e la s p la c a s v ib ra to ria s . E n 18 0 9 la A c a d e m ia F ra n c e sa in v it a C h lad n i a q ue h ic ie ra u n a d e m o s tra c i n d e e s to s e x p e r im e n to s . N a p o le n B o n a p a rte . q u ie n a s is t i a la re u n i n , se im p re s io n m u c h s im o y d o n 3 0 0 0 fran c o s a la a c a d e m ia p a ra q u e se o to rg a ra n a la p r im e ra pe rso n a q u e e la b o ra ra u n a te o r a m a te m tic a sa tis fac to ria d e la v ib rac i n d e p lacas . C e rca d e la fe ch a lm ite d e la co m p e ten c ia , e n o c tu b re d e 1811. s lo u n c a n d id a to . S o p h ic G e rm a in , h a b a e n tra d o a l c o n cu rso . P e ro L ag ra n g e , q u e e ra u n o d e lo s ju e c e s , d e sc u b ri u n e r ro r e n la d e r iv a c i n d e s u e c u a cin d ife ren c ia l d e m o v im ien to . L a a c a d e m ia a b r i d e n u ev o la co m p e ten c ia , c o n u na n u e v a fe ch a lm ite p a ra o c tu b re d e 1813. S o p h ic G e rm a in e n tr d e n u e v o a l c o n c u rso y p re sen t la fo rm a c o rrec ta d e la e cu a c i n d ife re n c ia l. S in e m b a rg o , la a c a d e m ia n o le o to rg e l p rem io p o rq u e e l j u e z cfcseaba u n a ju s tif ic a c i n f s ica d e la s su p o s ic io n es h e ch a s e n su d e riv ac i n . l a c o m p e te n c ia s e ab ri u na v e z m s . E n 1 8 1 5 , en s u te rc e r in te n to . S o p h ie G e rm a in o b tu v o p o r fin e l p rem io a u n cuan d o b s ju e c e s n o s e s in tie ra n d e l to d o sa tis fec h o s c o n su te o r a . D e h e ch o , m s ta rd e s e e n co n tr q u e la ecu ac i n d ife re n c ia l e ra c o rre c ta pero las c o n d ic io n e s lm ite e ra n e rr n e a s . E n 1 850 , G . R . K irc h h o ff (1 8 2 4 -1 8 8 7 ) d io las co n d ic io n es lm ite c o rrec ta s p a r a la v ib rac i n d e la s p lacas .

M ien tras ta n to , e l

Vibraciones Mecánicas 5ta Edicion Singiresu S. Rao Esp

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