Vibraciones mecanicas

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SINALOA

ESCUELA DE INGENIERIA MAZATLAN

Asesor: Isaac Morales García

Equipo 7Tema:

Unidad VII Vibraciones Mecánicas

Integrantes:• Gerardo Rojas Romero

• Abel Olivas Arballo• Marco Bravo Ovalle

• Carlos Aguilar• Ismael Navarro

• Martínez Pérez José Carlos• Daniel Coronado Ramírez

VIBRACIONES

MECÁNICAS

Movimiento periódico.- Es el tipo de evolución temporal que presenta un sistema cuyo estado se repite exactamente a intervalos de tiempo regulares, el tiempo mínimo T necesario para que el estado del sistema se repita se llama periodo.

Movimiento oscilatorio.-  Es el movimiento periódico de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio estable.

Vibración.- Es el movimiento periódico de un cuerpo o de un sistema de cuerpo conectados desplazados desde una posición de equilibrio; es un movimiento oscilatorio pero con desplazamientos relativamente pequeños con respecto a su posición de equilibrio. Básicamente existen dos tipos de vibraciones: vibraciones libres y vibraciones forzadas.

Movimiento armónico simple.- Es un movimiento periódico, oscilatorio y vibratorio en ausencia de fricción, producido por la acción de una fuerza recuperadora que es directamente proporcional a la posición pero en sentido opuesto.

Conceptos previos

Vibraciones libres sin amortiguamientoEs el movimiento vibratorio más simple, representado en la siguiente figura, muestra que el bloque tiene masa m y está unido a un resorte con rigidez k. El movimiento vibratorio ocurre cuando el bloque es liberado desde una posición desplazada x de manera que el resorte tire de él. El bloque alcanzara una velocidad tal que no estará en equilibrio cuando x =0, y si la superficie de soporte es lisa, la oscilación continuara in definidamente.

La trayectoria de movimiento dependiente del tiempo del bloque puede ser determinada aplicando la ecuación de movimiento al bloque cuando esté en la posición desplazada. La fuerza elástica restauradora F=kx está dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, mientras que la aceleración a se supone actuando en la dirección del desplazamiento positivo.

La aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento se denomina movimiento armónico simple. Reordenando los términos de una “forma estándar” obtenemos

Ẍ + Wn2x = 0

La constante Wn es llamada frecuencia circular o frecuencia natural, expresada en rad/s, y en ese caso

La primera ecuación puede obtenerse considerando que el bloque está suspendido y midiendo el desplazamiento desde la posición de equilibrio del bloque. Cuando el bloque esta en equilibrio, el resorte ejerce una fuerza hacia arriba de F=W=mg sobre el bloque. Por consiguiente, cuando el bloque es desplazado una distancia y hacia abajo desde esta posición, la magnitud de la fuerza en el resorte es F=W+ky.

Se puede mostrar, usando los métodos de las ecuaciones diferenciales, que la solución general es

Donde A y B representan dos constantes de integración. La velocidad y la aceleración del bloque son determinadas tomando derivadas sucesivas con respecto al tiempo.

Estas constantes de integración A y B, generalmente son determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema.

Esta ecuación también puede ser expresada en términos de un movimiento senoidal simple. Sea

Donde y son nuevas constantes por determinar en vez de A y B. sustituyendo en una ecuación anterior resulta.

Si esta ecuación es graficada sobre un eje x contra un eje , se obtiene la grafica mostrada. El desplazamiento máximo del bloque desde su posición de equilibrio es definido como la amplitud de la vibración.

A partir de la figura o de la ecuación la amplitud es . El Angulo se llama ángulo de fase ya que representa la cantidad que la curva es desplazada desde el origen cuando t= 0. Las constantes y están relacionadas con A y B mediante otras ecuaciones. Elevando al cuadrado y sumando estas 2 ecuaciones la amplitud se convierte en

Observando que la curva seno, completa un ciclo en el tiempo cuando , este intervalo de tiempo se llama periodo, puede ser representado también como

La frecuencia f es definida como el número de ciclos completados por unidad de tiempo, y es el reciproco del periodo:

o bien

La frecuencia es expresada en ciclos/s. esta razón de unidades se llama hertz (Hz), donde

Cuando un cuerpo o un sistema de cuerpos conectados, experimenta un desplazamiento inicial desde su posición de equilibrio y es liberado, vibrara con la frecuencia natural . Si el cuerpo tiene un solo grado de libertad, esto es, si únicamente requiere de una coordenada para especificar completamente la posición del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio del cuerpo tendrá las mismas características que el movimiento armónico simple del bloque y el resorte que acabamos de presentas. En consecuencia, el movimiento del cuerpo es descrito por una ecuación diferencial de la misma “forma estándar” , esto es:

Sistema masa-resorteConsiste en una

masa “m” unida a un resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie horizontal.

Sistema masa-resorte

Ejemplo para demostración

Vibraciones forzadas sin amortiguamiento

La vibración forzada proviene de una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema, esta al no ser amortiguada, puede continuar indefinidamente ya que los efectos de fricción son despreciados en el análisis.

La vibración forzada sin amortiguamiento es de los tipos mas importante de movimiento vibratorio en los trabajos de ingeniería.

Los principios que describen la naturaleza de este movimiento pueden ser usados para analizar las fuerzas que causan las vibraciones en muchos tipos de maquinas y estructuras.

El bloque y el resorte mostrados en la figura proporcionan un modelo conveniente que representa las características vibratorias de un sistema sometido a una fuerza periódica

Esta fuerza tiene una amplitud de y frecuencia forzada

Aplicando la ecuación de movimiento resulta o bien

Esta ecuación es una ecuación diferencial de segundo orden no homogénea. Su solución general consta de una solución particular , más una solución complementaria en donde:

Por lo tanto:

X describe 2 tipos de movimiento vibratorio del bloque. La solución complementaria define la vibración libre, que depende de la frecuencia circular y de las constantes A y B, la solución particular describe la vibración forzada del bloque causada por la fuerza aplicada.

Vibraciones libres con amortiguamiento

En muchos casos, el amortiguamiento es atribuido a la resistencia creada por la sustancia, digamos agua, aceite o aire, en que vibra el sistema. Si el cuerpo se mueve lentamente a través de la sustancia, la resistencia al movimiento es directamente proporcional a la rapidez del cuerpo. El tipo de fuerza desarrollada bajo esas condiciones se llama fuerza de amortiguamiento viscoso. Su magnitud es:

Donde c se llama coeficiente de amortiguamiento viscoso.

Este movimiento vibratorio puede ser caracterizado por la siguiente figura:

El efecto de amortiguamiento es proporcionado por el amortiguador conectado al bloque en su lado derecho. El cilindro P contiene un fluido, y el movimiento del pistón se retarda ya que el fluido debe fluir alrededor del pistón. Se supone que el amortiguador tiene un coeficiente c de amortiguamiento viscoso.

El efecto de amortiguamiento es proporcionado por el amortiguador conectado al bloque

Tanto la fuerza del resorte kx como la fuerza de amortiguamiento se oponen al movimiento hacia adelante del bloque, por lo que al aplicar la ecuación del movimiento resulta y tiene su solución de la forma: en donde lambda es una constante.

Sustituyendo para conocer el valor de lambda se obtiene mediante la formula cuadrática los valores de lambda son:

La solución general de la ecuación es una combinación lineal de funciones exponenciales que contienen estas dos raíces. Existen tres combinaciones posibles de las raíces. Que dan como resultado los sistemas: sobreamortiguamiento, amortiguado críticamente y subamortiguado. Antes que nada debemos conocer el coeficiente de amortiguamiento critico mediante:

Sistema sobreamortiguado

Cuando c>cc ambas raíces lambda son reales y su solución general es: el movimiento correspondiente a esta solución no es vibratorio. El efecto del amortiguamiento es tan fuerte que cuando el bloque es desplazado y liberado, simplemente regresa a su posición original sin oscilar.

Sistema amortiguado críticamenteSi c=cc entonces las raíces de lambda son iguales,

representa una condición donde c tiene el mínimo valor necesario para que el sistema no vibre. Su solución es:

Sistema subamortiguadoCuando c<cc en estas circunstancias las raíces de

lambda son números complejos, y su solución es: Donde D y el ángulo de desfase son constantes

generalmente determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema. La constante

Se llama frecuencia natural amortiguada del sistema y tiene el valor:

Donde la razón c/cc se llama factor de amortiguamiento.

en la figura el limite inicial de movimiento, D, disminuye con cada ciclo de vibración, ya que el movimiento está confinado dentro de los limites de la curva exponencial. Usando la frecuencia natural amortiguada, el periodo de vibración amortiguada puede escribirse como

El análisis de este tipo particular de vibración es de valor practico cuando se aplica a sistemas con características importantes de amortiguamiento.

Vibraciones forzadas con amortiguamiento

Si un amortiguador es unido al bloque y al resorte mostrados en figura, la ecuación diferencial que describe el movimiento se convierte en: :

Como la ecuación es no homogénea, la solución particular general es la suma de la solución complementaria una solución particular.