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Universidad Tecnolgica de Panam
Facultad de Ingeniera Elctrica
Dinmica Aplicada
Laboratorio #6
VIBRACIN TORSIONAL
Integrantes:
Alberto Alvendas 8-845-971
Aldahir Chan 8-859-360
Gregorio Mrquez 8-854-1915
Daysi Mendoza 8-856-675
Grupo:
1IE141
Instructor:
Said Zamn
Carrera:
Licenciatura en Ingeniera Electromecnica
Fecha:
18 de noviembre de 2013
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INTRODUCCIN
Un sistema torsional masa-resorte inicia su vibracin cuando se
aplica una condicin
inicial de posicin o velocidad. En este laboratorio analizamos
el comportamiento de un
sistema torsional masa-resorte de un solo disco y de un sistema
con discos satelitales
presentando los modelos matemticos para ambos casos.
Un sistema masa-resorte torsional vibrar libremente al
desplazarse de su posicin de
equilibrio esttico. Posee una naturaleza conservativa, por lo
que no est sujeto a
fuerzas no-conservativas. Para cada caso se determin el periodo,
la frecuencia natural y
la frecuencia natural angular y compararlas con las obtenidas
mediante el uso del
modelo matemtico terico. La ecuacin del movimiento oscilatorio
es una ecuacin
diferencial de segundo grado con coeficientes constantes
Objetivo General
Desarrollar y analizar el modelo fsico y matemtico de un sistema
disco-resorte
torsional, de un grado de libertad, bajo vibracin libre con
movimientos de rotacin.
Objetivos Especficos
Determinar las caractersticas principales de los componentes de
un sistema
dinmico torsional.
Obtener el modelo matemtico de un sistema disco-resorte
torsional.
Determinar el momento masa de inercia de discos y barras con
respecto al eje de
rotacin.
Determinar el momento masa de inercia de discos y barras con
respecto al eje de
rotacin
Reconocer la importancia de la posicin de equilibrio esttico en
el desarrollo
del modelo matemtico de un sistema.
Definir las condiciones iniciales de movimiento de un
sistema.
Calcular la frecuencia natural (Hz) de la vibracin resultante a
partir del periodo
medido
Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) de la vibracin
libre resultante a
partir del periodo medido.
Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) y el periodo
natural de la vibracin
libre resultante a partir del modelo matemtico desarrollado.
Comparar los resultados obtenidos del modelo matemtico con los
resultados
medidos. Explicar las diferencias en funcin de las
aproximaciones y
simplificaciones hechas al desarrollar el modelo.
Comparar los resultados obtenidos al utilizar ms discos y la
constante del
resorte. Explicar el efecto que tiene variar los discos (masa)
y/o la elasticidad en
la frecuencia natural de un sistema
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RESULTADOS Y ANLISIS
Clculo de masa de los elementos:
Masa de la barra:
Masa de disco satelital:
Masa del disco principal:
Tabla 1. Mediciones disco principal
L(cm) t(s)
65 3.84
55 3.31
45 3.14
35 2.7
25 2.3
Tabla2. Mediciones disco principal y satelital
Longitud (cm) t(s)
65 5.10
55 4.6
45 4.0
35 3.6
25 2.40
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Tabla 3. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales
angulares experimentales
disco principal.
T(s) fn wn
0.48 2.08 13.07
0.41 2.43 15.27
0.39 2.56 16.08
0.34 2.94 18.47
0.29 3.45 21.68
Tabla 4. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales
angulares experimentales
disco satelital.
T(s) fn wn
1.27 0.79 4.96
1.15 0.87 5.47
1 1 6.28
0.9 1.11 6.97
0.6 1.67 10.49
Sistema de un solo disco principal:
Periodo est dado por:
Reemplazando en la primera ecuacin:
Tenemos que la frecuencia natural angular es:
Clculo de momento masa de inercia.
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Sistema Disco satelital con tres discos:
El modelo matemtico est dado por la siguiente ecuacin:
Tenemos que la frecuencia natural angular est dada por:
Los valores para el momento masa inercial se calculan mediante
las siguientes
ecuaciones:
Tabla 5. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales
angulares tericos disco
principal.
T(s) fn wn
0.5 2 12.53
0.46 2.17 13.63
0.42 2.4 15.07
0.37 2.72 17.08
0.31 3.22 20.21
Tabla 6. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales
angulares tericos disco
principal.
T(s) fn wn
1.39 0.72 4.55
1.26 0.79 4.95
1.15 0.87 5.47
1.01 0.99 6.2
0.85 1.17 7.34
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Modelo matemtico:
Dnde:
Condiciones Iniciales:
Resolviendo para las condiciones iniciales:
Para
Para
A partir de las condiciones iniciales obtenemos las expresiones
para la posicin,
velocidad y aceleracin.
Tabla 7. Modelo matemtico para posicin, velocidad y aceleracin
angular del sistema
de disco principal.
L= 65cm L= 35cm
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Tabla 8. Modelo matemtico para posicin, velocidad y aceleracin
angular del sistema
de disco satelital.
L= 65cm L=35 cm
Figura 1. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de
sistema de un disco
principal para longitud libre.
Figura 2. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de
sistema de un disco
principal para distancia media de la longitud libre.
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Figura 3. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de
sistema de discos
satelitales para longitud libre.
Figura 4. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de
sistema de discos
satelitales para distancia media de la longitud libre.
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PREGUNTAS
Compare las frecuencias naturales de oscilacin, para los
sistemas disco-resorte
torsional obtenidas de forma experimental y analtica. Calcule y
registre el
porcentaje de error. Explique las posibles fuentes de error en
la realizacin del
laboratorio.
Tabla 9. Porcentaje de error de frecuencias naturales.
% Error
Longitud
libre
12.53 13,07 4.13
Mitad de
longitud
libre
17,08 18,47 7.52
Longitud
libre
4,55 4,96 8.27
1Mi 6,2 6,97 11.05
o Error al colocar el ngulo inicial para las oscilaciones del
sistema debido al
pulso y a errores de visin por lo que el ngulo pudo variar en
algunos
grados afectando el comportamiento del sistema
o Errores en las mediciones, aunque se intent disminuir
aumentando el
nmero de oscilaciones para la medida del periodo, sin embrago en
algunos
momentos se presentaron oscilaciones muy rapidas en las que se
pudo
presentar error.
Qu aproximaciones son necesarias para la simplificacin del
modelo
matemtico estudiado en el laboratorio?
Despreciamos la resistencia del aire que produce un
amortiguamiento ante las
oscilaciones del resorte torsional. Asumimos que el material del
que estn hecho
los componentes del sistema son homogneos.
A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el
periodo y la
frecuencia natural el incrementar el momento masa de inercia de
un sistema.
Al incrementar el momento de masa de inercia en el sistema
disminuimos la
frecuencia natural mientras que aumenta el periodo natural del
sistema. EN el
modelo matemtico vemos que la frecuencia es inversamente
proporcional al
momento de inercia.
A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el
periodo y la
frecuencia natural el disminuir el momento masa de inercia de un
sistema
Disminuir el momento masa de inercia aumenta la frecuencia
natural del sistema
y disminuye el periodo debido a que el resorte almacena menor
energa para
desplazar la masa y esto se evidencia al observar la forma de la
ecuacin del
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modelo matemtico donde observamos que la frecuencia natural
aumenta
cuando la masa de inercia disminuye.
A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el
periodo y la
frecuencia natural el incrementar la elasticidad de un
sistema
Al aumentar la elasticidad el periodo disminuye y aumenta la
frecuencia natural.
Esto se debe a que necesitamos poca energa para desplazarlo sin
embargo estos
desplazamientos son bastantes pequeos pero muy rapidos
A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el
periodo y la
frecuencia natural el disminuir la elasticidad de un sistema
Al disminuir la elasticidad el periodo aumenta y se disminuye
con ella la
frecuencia natural debido a que las oscilaciones sern menores al
disminuirse la
recuperacin de la forma original ante las fuerzas externas.
Cul es su conclusin general sobre las caractersticas dinmicas de
un sistema
torsional?
El sistema torsional muestra caractersticas de pndulo sinple,
disminuyendo la frecuencia natural cuando disminuye la elasticidad,
la nica diferencia es la dependencia de esta del momento de masa
inercial.
CONCLUSION
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La frecuencia natural en movimiento torsional depende de muchas
variables como lo son el material, su elasticidad y los elementos
que lo conforman;
dependiendo de estos valores obtendremos una frecuencia natural
menor o
mayor. Si la elasticidad de los materiales es baja la frecuencia
natural tambin lo
es ya que la frecuencia natural es directamente proporcional a
la elasticidad, sin
embargo si aumenta el momento de inercia disminuye la frecuencia
natural esto
es as porque la fuerza restituiva de la elasticidad disminuye lo
que disminuye
las oscilaciones, podemos observar que para el sistema de discos
satelitales el
momento de ms inercia aumento y la frecuencia natural disminuyo
para este
caso y es que el objetivo de estos discos es estabilizar el
sistema.
Es importante conocer la vibracin de un sistema ya que esto
puede causar problemas en el funcionamiento de los elementos y
dispositivos mecnicos, por
lo que conocer la frecuencia natural y el modelo matemtico para
disminuir en la
medida de lo posible las oscilaciones no deseadas.
Analizando los resultados obtenidos vemos que mediante el modelo
matemtico utilizado el mayor porcentaje de error que obtenemos es
de 11% por lo que e
aceptable para el sistema, sin embargo es necesario tener
presentes los errores
presentes en el anlisis e intentar disminuir los efectos de
estos. Identificando
posibles errores por el material de los elementos, coordinacin
en la medicin
entre las personas encargadas de analizar el sistema y problemas
de calibracin
de los instrumentos de medicin.
REFERENCIAS
Vibraciones mecnicas Singiresu S. Rao. Quinta Edicin
Budynas, Richard. Diseo en Ingeniera Mecnica de Shigley 9na
Edicin,
MacGrawHill