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Vorwort
Walter Michaeli
Extrusionswerkzeuge für Kunststoffe und Kautschuk
Bauarten, Gestaltung und Berechnungsmöglichkeiten
Beiträge von Ulrich Dombrowski, Ulrich Hüsgen, Matthias
Kalwa,Michael Meier, Claus Schwenzer
ISBN: 978-3-446-42026-7
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
http://www.hanser.de/978-3-446-42026-7
sowie im Buchhandel.
© Carl Hanser Verlag, München
http://www.hanser.de/978-3-446-42026-7
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Vorwort zur dritten Auflage
Im Januar 2003 erschien dieses Buch in seiner 3. Auflage in
englischer Sprache. Durchaus angemessen, denn die so genannte
Globalisierung war bereits zum Begriff und Handlungs-strang
geworden.Ein gewisser Aufschrei blieb danach jedoch nicht aus.
Plötzlich entwickelte sich – und dies bis zum heutigen Tage –
wieder Nachfrage nach dem Buch in deutscher Sprache. Dem werden wir
hiermit nun gerecht, so dass diese Aktualisierung – und auch das
gesamte Buch – weiterhin in Ihrem Beruf und Leben hilft und dabei
hoffentlich auch Freude bereitet. Das bewährte Gliederungskonzept
haben wir nach viel positivem Zuspruch beibehalten.Wenn ich von
„wir“ spreche, so spreche ich vornehmlich von meinen beiden
wissenschaft-lichen Mitarbeitern, Herrn Dipl.-Ing. Micha Scharf und
Herrn Dipl.-Ing. Christian Windeck, die Inhalte, Gleichungen,
Literaturverzeichnisse etc. kritisch hinterfragt, geprüft und
ergänzt haben, sowie von der studentischen Hilfskraft Jan Kohlwey,
der sie dabei unterstützt hat. Hierfür gilt ihnen mein besonderer
Dank.Auch danken wir Frau Monika Stüve und Frau Dr. Christine
Strohm beim Hanser Verlag, München, für die Unterstützung und
finale Publikation unserer Arbeit.In ein solches Buch, so es aus
der Kraft eines Forschungsinstituts erstellt wird und wie es auch
hier der Fall war, fließen natürlich vielfältige
Forschungsergebnisse. So gilt auch für die Inhalte dieser Auflage
mein besonderer Dank dem Bundesministerium für Wirtschaft und
Technologie (BMWi), Berlin, für die Förderung vieler Projekte der
industriellen Gemein-schaftsforschung über die Arbeitsgemeinschaft
industrieller Forschungsvereinigungen e. V. (AiF), Köln, der
Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG), Bonn-Bad Godesberg, und dem
Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF), Berlin bzw.
Bonn, und der Euro-päischen Kommission, Brüssel.
Aachen, im Oktober 2009 Walter Michaeli
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Vorwort zur zweiten Auflage
Zehn Jahre nach Erscheinen der ersten Auflage dieses Buches ist
es angemessen, mit der vorlie-genden, überarbeiteten Ausgabe die
weiteren Entwicklungen und Ansätze zur Gestaltung und Auslegung auf
dem Gebiet der Extrusionswerkzeuge neu einzufangen und zu
dokumentieren. Sicherlich sind die wesentlichen Werkzeugprinzipien
heute noch die gleichen. Dennoch hat es inzwischen
Weiterentwicklungen und Verfeinerungen im Werkzeugbereich aufgrund
stetig steigender Qualitätsanforderungen, höherer
Ausbringungsmengen sowie neuer Polymeren und neuartiger Produkte
gegeben. So hat z. B. die Coextrusion deutlich an Bedeutung
gewon-nen; auch stehen mit den flüssigkristallinen Polymeren
bereits wieder neue Werkstoffe, die gegebenenfalls neue
Extrusionswerkzeugkonzepte erfordern, vor der Tür. Das bedeutet,
die Entwicklung wird weitergehen, und daher kann diese zweite
Ausgabe den gegenwärtigen Stand der Technik aktuell zusammenfassen
und vor allem das theoretische Handwerkszeug, welches in dem
vergangenen Jahrzehnt deutlich erweitert wurde (man denke an die
Verbreitung der Methode der Finiten Elemente), zur Lösung von
aktuellen Fragestellungen liefern.Die grundsätzliche Zielsetzung
dieses Buches – wie bereits im Vorwort der ersten Ausgabe
beschrieben – soll unbedingt erhalten bleiben; es soll dem
Praktiker helfen und ihn bei seiner täglichen Arbeit unterstützen
und den Studierenden in die komplexe Welt der Extrusions-werkzeuge
einführen und ihm dort eine umfassende Orientierung und Ausbildung
geben.Die Resonanz auf die erste Ausgabe dieses Buches war äußerst
positiv. Dennoch kann man Dinge immer noch verbessern. Diesen
Versuch haben wir mit dem vorliegenden Buch unter-nommen. So wurde
ein Kapitel zur Auslegung von Werkzeugen für Elastomere neu
aufge-nommen, der Bereich der Coextrusionswerkzeuge wesentlich
ergänzt, und auch alle anderen Kapitel erfuhren eine umfassende
Überarbeitung. Wenn ich von „wir“ spreche, so meine ich besonders
meine Mitarbeiter am Institut für Kunststoffverarbeitung (IKV) an
der Rheinisch-Westfälische Technischen Hochschule Aachen. Dies sind
die Herren Dr. U. Dombrowski, Dr. U. Hüsgen, M. Kalwa, M. Meier und
Dr. C. Schwenzer. Sie haben sich für dieses Buch hart engagiert und
viele Stunden ihrer Freizeit geopfert. Dies gilt auch für die Damen
N. Petter und D. Reichelt, die den Text des Buches auf einen
Datenträger übertrugen, sowie Frau G. Zabbai und Herrn M. Cosler,
welche für die entsprechende Qualität der Bilder sorgten. Ihnen
allen gilt mein besonderer und ganz persönlicher Dank!Viele in
diesem Buch vorgestellte Ergebnisse wurden von Studenten im Rahmen
ihrer Studien- und Diplomarbeiten des Instituts erarbeitet. Ihnen
gilt auch ein herzliches Dankeschön.Anregungen aus dem Bereich der
Kunststoff- sowie Kautschukverarbeitung wurden gerne aufgegriffen
und fanden in dieser zweiten Ausgabe ihren Niederschlag, Allen, die
hierbei an-geregt und geholfen haben, sei gedankt; dieser Dank gilt
vor allem auch den Mitgliedern der Fachbeiratsgruppen „Extrusion“
und „Extrusionsblasformen“ sowie „Kautschuktechnologie“ der
Fördervereinigung des IKV.Viele Forschungs- und
Entwicklungsarbeiten des IKV, die Grundlage für einen Teil der in
diesem Buch beschriebenen Zusammenhänge bilden, wurden
dankenswerterweise finanziell ermöglicht durch die direkte
Gemeinschaftsforschung zwischen Industrie und IKV, durch
Unterstützung durch die Arbeitsgemeinschaft Industrieller
Forschungsvereinigungen (AIF),
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VIII
Köln, der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG), Bonn-Bad
Godesberg, und dem Bun-desminister für Forschung und Technologie
(BMFT), Bonn, sowie der Stiftung Volkswagen-werk, Hannover.
Aachen, im Winter 1990 Walter Michaeli
Vorwort zur zweiten Auflage
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Vorwort zur ersten Auflage
Das vorliegende Buch versucht, dem Praktiker und dem
Studierenden eine umfassende Darstellung aller Werkzeuge zur
Extrusion von Kunststoffen zu geben. Hierbei werden die
verschiedenen Werkzeugarten und ihre Besonderheiten ausführlich
vorgestellt, Gestaltungs-hinweise gegeben und die Möglichkeiten,
Wege und Grenzen ihrer rechnerischen Auslegung aufgezeigt. Dies um
so mehr, da in der jüngsten Vergangenheit und gegenwärtig allgemein
verstärkte Anstrengungen sowohl in der Industrie als auch an den
Hochschulen zur theo-retischen Beschreibung der fließtechnischen
(rheologischen) Phänomene und Wärmeaus-tauschvorgänge
(thermodynamische Vorgänge) in Extrusionswerkzeugen unternommen
wurden bzw. werden; diese wichtigen Arbeiten werden primär
motiviert durch die Forderung nach höheren Ausstoßleistungen bei
Verbesserung der Produktqualität (z. B. Toleranzen,
Oberflächenqualität) der extrudierten Halbzeuge. Auch ist in
zunehmendem Maße der rein empirische Weg der Gestaltung von
Extrusionswerkzeugen aus wirtschaftlichen Überlegungen nicht mehr
vertretbar.Eine zentrale Stellung nimmt bei Extrusionswerkzeugen
die Gestaltung des Fließkanals ein. So werden in diesem Buch
zunächst die notwendigen Stoffdaten für seine Auslegung genannt und
diskutiert.Die Ableitung einfacher Grundgleichungen erlaubt
anschließend die Abschätzung von Druck-verlusten, Kräften an den
Fließkanälen, Geschwindigkeitsprofilen, mittleren
Geschwindigkei-ten usw. im Fließkanal. Die hierzu in Tabellen
zusammengestellten Gleichungen erlauben für die Mehrzahl von
Extrusionswerkzeugen eine recht gesicherte rheologische
Auslegung.Wege zur Berechnung von Geschwindigkeits- und
Temperaturfeldern mit numerischen Me-thoden unter Anwendung des
Differenzenverfahrens und der Methode der Finiten Elemente (FEM)
werden ebenfalls als für die Werkzeuggestaltung zunehmend wichtiger
werdende Verfahren vorgestellt.Die verschiedenen Arten und
Besonderheiten von Extrusionswerkzeugen zur Austragung einer bzw.
mehrerer Schmelzen werden in Kapitel 5 und 6 umfassend diskutiert.
Es folgen anschließend eine Betrachtung der thermischen und
mechanischen Werkzeuggestaltung und Anmerkungen zur
Werkstoffauswahl für Extrusionswerkzeuge sowie zu ihrer Fertigung.
Be-trachtungen zur Handhabung, Reinigung und Pflege von Werkzeugen
sowie zur Kalibrierung von Rohren und Profilen runden die
Betrachtungen ab. Am Ende der Arbeit befindet sich ein
umfangreiches Literaturverzeichnis.Das vorliegende Buch entstand
während meiner Tätigkeit als Abteilungsleiter der Abteilung
Extrusion und Spritzgießen am Institut für Kunststoffverarbeitung
(IKV) an der RWTH, Aachen, unter Verwendung der wichtigsten
Forschungsergebnisse des IKV auf dem Gebiet der Gestaltung von
Extrusionswerkzeugen.Den hierbei maßgeblich beteiligten ehemaligen
und derzeitigen Mitarbeitern des IKV, insbe-sondere den Herren J.
Wortberg, A. Dierkes, U. Masberg, B. Franzkoch, H. Bangert, L.
Schmidt, W. Predöhl, P. B. Junk, H. Cordes, R. Schulze-Kadelbach,
P. Thienel, E. Haberstroh, G. Wübken, U. Thebing, K. Beiß, U. Vogt,
aus deren Forschungsarbeiten zahlreiche Ergebnisse stammen,
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sei, wie allen weiteren beteiligten Mitarbeitern sowie Studien-
und Diplomarbeitern des Insti tuts, herzlich gedankt. Mein
besonderer Dank gilt Herrn Professor Dr.-Ing. G. Menges für die
Anregung zu diesem Buch und die stete Hilfe, Förderung und
Unterstützung, die mir die Ausführung ermöglichten.Weiterhin gilt
mein Dank verschiedenen Herren der Kunststoffbranche für wertvolle
Hin-weise und Anregungen; dieser Dank gilt vor allem den
Mitarbeitern der Fachbeiratsgruppe „Extrusion“ und
„Extrusionsblasformen“ der Fördervereinigung des IKV.Viele
Forschungs- und Entwicklungsarbeiten des IKV, die in diesem Buch
angesprochen werden und die Grundlage für einen Teil der
Zusammenhänge bilden, wurden erst dankens-werterweise finanziell
ermöglicht durch die direkte Gemeinschaftsforschung zwischen
Industrie und IKV, durch Unterstützung durch die
Arbeitsgemeinschaft Industrieller For-schungsvereinigungen (AIF),
Köln, der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG), Bonn-Bad
Godesberg, und dem Bundesministerium für Forschung und Technologie
(BMFT), Bonn.
Aachen, im Juli 1979 Walter Michaeli
Vorwort zur ersten Auflage
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Leseprobe
Walter Michaeli
Extrusionswerkzeuge für Kunststoffe und Kautschuk
Bauarten, Gestaltung und Berechnungsmöglichkeiten
Beiträge von Ulrich Dombrowski, Ulrich Hüsgen, Matthias
Kalwa,Michael Meier, Claus Schwenzer
ISBN: 978-3-446-42026-7
Weitere Informationen oder Bestellungen unter
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2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Wählt man die theoretische Beschreibung von
Prozesszusammenhängen in Extrusionswerk-zeug und Kalibrierung zur
gesicherten Auslegung solcher Systeme, so müssen zwei Dinge
besonders beachtet werden:
Die den physikalischen Modellen zugrunde liegenden
Vereinfachungen und Rand- •bedingungen müssen immer in Bezug auf
das vorliegende Problem kritisch analysiert werden.Die in die
Modelle eingehenden Stoffdaten des zu verarbeitenden Materials
nehmen eine •Schlüsselstellung ein. Dies sind Daten, die die
Fließ-, Deformations- und Relaxationsvor-gänge sowie den
Wärmetransport charakterisieren, d. h. rheologische und
thermodyna-mische Stoffwerte [1].
2.1 Rheologisches Verhalten
Eine allgemeine Strömung wird durch die Erhaltungssätze von
Masse, Impuls und Energie sowie durch eine rheologische und
thermodynamische Zustandsgleichung vollständig be-schrieben. Die
rheologische Zustandsgleichung, die auch Stoff- oder Materialgesetz
genannt wird, beschreibt den Zusammenhang zwischen dem
Strömungsgeschwindigkeitsfeld und dem resultierenden Spannungsfeld.
In diese gehen sämtliche Fließeigenschaften des jeweiligen
Kunststoffs ein. Das Messen, Beschreiben und Erklären der
Fließeigenschaften von Stoffen ist zentraler Gegenstand der
Wissenschaft von der Deformation und dem Fließen der Körper, die
man Rheologie nennt [2]. Die Rheologie wird in diesem Kapitel
einführend soweit behandelt, wie sie für die Auslegung von
Extrusionswerkzeugen benötigt wird.Polymerschmelzen verhalten sich
nicht rein viskos, sondern sie besitzen zusätzlich eine nicht
unerhebliche Elastizität. Ihre Eigenschaften liegen damit zwischen
denen eines idealen Fluids und eines idealen (Hooke’schen)
Festkörpers. Man spricht deshalb von viskoelastischem Ver-halten
oder Viskoelastizität. Bei der rheologischen Beschreibung werden
daher üblicherweise Materialdaten, die das rein viskose Verhalten
beschreiben, und solche, die das zeitabhängig-elastische Verhalten
beschreiben, unterschieden.
2.1.1 Viskose Schmelzeeigenschaften
Beim Fließprozess, wie er in Extrusionswerkzeugen auftritt, wird
die Schmelze hauptsächlich geschert. Verursacht wird dieses
sogenannte Scherfließen dadurch, dass Kunststoffschmelzen an den
Oberflächen der sie verformenden Werkzeuge haften (Stoke’sche
Haftung). Dadurch ergibt sich über dem Fließkanalquerschnitt eine
Geschwindigkeitsänderung, die durch die Schergeschwindigkeit gemäß
Gleichung (2.1) beschrieben wird.
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8 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
γ = −dd
vyd
(2.1)
mitv = Fließgeschwindigkeit in z-Richtungy = Koordinate
senkrecht zur Fließrichtung
Bei einer stationären Scherströmung tritt an jedem beliebigen
Ort eine Schubspannung τ zwischen den Fluidschichten auf. Im
einfachsten Fall eines Newton’schen Fluids ist die Schubspannung τ
proportional der Schergeschwindigkeit γ. Es gilt:
τ η γ⋅η . (2.2)
Man bezeichnet den Proportionalitätsfaktor η als dynamische
Scherviskosität oder kurz nur als Viskosität. Sie hat die Dimension
Pa·s. Die Viskosität ist ein Maß für den inneren Fließ-widerstand
im gescherten Fluid.Kunststoffschmelzen verhalten sich im
Allgemeinen nicht Newton’sch. Ihre Viskosität ist nicht konstant,
sondern abhängig von der Schergeschwindigkeit. In Anlehnung an die
für Newton’sche Fluide gültige Beziehung (2.2) gilt für das
Fließgesetz:
τ η γ( )γ) (2.3)bzw.
ητ
γ( )γ = ≠ konst. (2.4)
Hinweis:Viele Polymere zeigen eine mehr oder weniger ausgeprägte
Zeitabhängigkeit der Viskosität (Thixotropie, Rheopexie,
Anlaufverhalten der Viskosität bei plötzlich einsetzender Scherung
oder Dehnung (Spannviskosität) [2 bis 4]). Diese Zeitabhängigkeit
wird bei der Auslegung von Extrusionswerkzeugen im Allgemeinen
jedoch nicht berücksichtigt und wird deshalb im Folgenden ebenfalls
vernachlässigt.
2.1.1.1 Viskositäts- und Fließfunktion
Trägt man die Viskosität η in Abhängigkeit von der
Schergeschwindigkeit γ in einem Dia-gramm doppeltlogarithmisch auf,
ergibt sich (bei konstanter Temperatur) für Polymere ein
prinzipieller Verlauf, wie er in Bild 2.1 dargestellt ist. Man
erkennt, dass für kleine Scherge-schwindigkeiten die Viskosität
konstant bleibt, mit steigenden Schergeschwindigkeiten jedoch in
einem Bereich mit (bei doppeltlogarithmischer Auftragung)
näherungsweise konstant fallender Viskosität übergeht.Das
Verhalten, dass die Viskosität mit der Schergeschwindigkeit fällt,
bezeichnet man als strukturviskos, aber auch pseudoplastisch oder
scherentzähend. Die für kleine Schergeschwin-digkeiten konstante
Viskosität bezeichnet man als scheinbar Newton’sche Viskosität,
untere Newton’sche Grenzviskosität oder kürzer als Nullviskosität
ηo. Neben der Auftragung der
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92.1 Rheologisches Verhalten
Viskosität in Abhängigkeit von der Schergeschwindigkeit in der
sogenannten Viskositätskurve ist auch die Darstellung des
Zusammenhangs zwischen der Schubspannung und der
Scherge-schwindigkeit (ebenfalls doppeltlogarithmisch) als
Fließkurve üblich (Bild 2.2).Bei einem Newton’schen Fluid besteht
Proportionalität zwischen Schergeschwindigkeit und Schubspannung.
Die doppeltlogarithmische Auftragung der Wertepaare liefert deshalb
eine Gerade mit der Steigung 1, d. h., der Winkel zwischen der
Abszisse und der Fließkurve beträgt 45°. Eine Abweichung der
Fließkurve von dieser Steigung zeigt somit direkt
nicht-Newton’sches Fließverhalten an.
Schergeschwindigkeit log(γ.)
Vis
kosi
tät
log(η
)η0
Bild 2.1: Darstellung der Abhängigkeit der Viskosität von der
Schergeschwindigkeit in Form einer Viskositätskurve
Sch
erge
schw
ind
igke
it lo
g (γ.
)
Schubspannung log(τ)
Newtonsches Fluid
45°
strukturviskoses Fluid
Bild 2.2: Darstellung der Abhängigkeit der Schergeschwindigkeit
von der Schubspannung in Form einer Fließkurve
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10 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Für ein strukturviskoses Fluid erhält man Kurven mit Steigungen
größer gleich 1, d. h., die Schergeschwindigkeit nimmt progressiv
mit steigender Schubspannung zu. Umgekehrt be-deutet dies, dass die
Schubspannung mit der Schergeschwindigkeit bzw. der Druckverlust
mit dem Durchsatz nur unterproportional ansteigt (siehe auch
Kapitel 3).
2.1.1.2 Mathematische Beschreibung des strukturviskosen
Schmelzeverhaltens
Zur mathematischen Beschreibung der Viskositäts- und Fließkurven
sind verschiedene Modelle entwickelt worden, die sich im
mathematischen Aufwand einerseits und in der An-passungsfähigkeit
und damit der Genauigkeit andererseits unterscheiden. Überblicke
geben beispielsweise [2, 5]. Die für Thermoplaste und Elastomere
gebräuchlichsten Modelle werden im Folgenden kurz erläutert. In den
folgenden Abschnitten wird ausschließlich auf die hier
beschriebenen Modelle zurückgegriffen.
Potenzansatz nach Ostwald und de Waele [6, 7]
Trägt man die Fließkurven verschiedener Polymere in
doppeltlogarithmischem Maßstab auf, so erhält man Kurven, die aus
zwei näherungsweise linearen Abschnitten und einem Übergangsbereich
bestehen (Bild 2.3). In vielen Fällen bewegt man sich nur in einem
der beiden Bereiche, sodass sich zur mathematischen Beschreibung
des Kurvenabschnitts eine Funktion der Form
γ φ τ⋅φ m (2.5)
eignet. Gleichung (2.5) stellt den sogenannten Potenzansatz nach
Ostwald und de Waele mit den beiden Parametern Fließexponent m und
Fluidität φ dar. Charakterisierend für das Fließvermögen eines
Stoffes und seiner Abweichung vom Newton’schen Verhalten ist dabei
der Fließexponent m. Es gilt:
m =( )( )
ΔΔ
lglg
. (2.6)
m ist also die Steigung der Fließkurve im betrachteten Bereich,
aufgetragen im doppeltloga-rithmischen Diagramm (Bild 2.3).Bei
Kunststoffschmelzen liegt m in der Regel im Bereich 1 ≤ m ≤ 6; im
für die Auslegung von Extrusionswerkzeugen relevanten
Schergeschwindigkeitsbereich von ca. 100 s–1 bis 104 s–1 meist nur
zwischen 2 und 4. Für m = 1 wird φ = 1/η, d. h., es liegt
Newton’sches Fließverhalten vor.Mit
ητ
γ= (2.7)
erhält man aus Gleichung (2.5) für die Viskositätsfunktion:
η φ τ φ γ⋅φ ⋅φ−− −1 τ1 1
1 1 1m m mγ⋅ (2.8)
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112.1 Rheologisches Verhalten
Mit
k m=−φ
1
(2.9)
nm
=1 (2.10)
erhält man die übliche Darstellung der Viskositätsfunktion
η γ −k n 1 . (2.11)
Der Faktor k heißt Konsistenzfaktor. Er gibt die Viskosität bei
einer Schergeschwindigkeit von γ = −1 1s an. Der
Viskositätsexponent n ist gleich 1 für Newton’sches Verhalten und
liegt für
die meisten Polymeren zwischen 0,2 und 0,7. Er beschreibt die
Steigung der Viskositätskurve im betrachteten Bereich (Bild
2.3).Der Potenzansatz ist mathematisch sehr einfach aufgebaut und
gestattet daher eine analytische Behandlung nahezu aller einfachen
Strömungsprobleme, die mit dem Newton’schen Ansatz
Log.
sch
einb
are
Sch
erge
schw
ind
igke
it lo
g γ.
New
ton’
sche
r B
erei
ch m
= 1
Üb
erga
ngsb
erei
ch m
≠ k
onst
.
Pot
enzb
erei
ch m
≈ k
onst
.
Log. Wandschubspannung log τw
Beispiele für Gültigkeits-bereiche der Regressions-gleichung
p
ϑ
m = (log γ.)
(log τw)
Bild 2.3: Approximation der Fließkurve durch den
Potenzansatz
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12 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
lösbar sind (vgl. Kapitel 3). Als Nachteil dieses Ansatzes ist
anzusehen, dass bei verschwin-dender Schergeschwindigkeit der
Viskositätswert unendlich groß wird und dass somit der
näherungsweise schergeschwindigkeitsunabhängige Newton’sche Bereich
nicht beschrieben werden kann. Ein weiterer Nachteil ist, dass der
Fließexponent m in die Dimension der Flui-dität eingeht.Generell
kann der Potenzansatz eine Fließ- oder Viskositätskurve nur in
einem gewissen Schergeschwindigkeitsbereich mit genügender
Genauigkeit beschreiben. Dabei hängt die Größe dieses Bereichs bei
vorgegebener Genauigkeit von der Krümmung der Kurve ab.Soll eine
Fließkurve über einen größeren Bereich mit dem Potenzgesetz
beschrieben werden, so bietet sich eine Aufteilung der Kurve in
Segmente an, wobei für jeden Abschnitt φ und m bestimmt werden
müssen [8].In einer Standarddatensammlung für rheologische
Stoffdaten [9, 10] werden deshalb entspre-chend den
Schergeschwindigkeitsbereichen unterschiedliche Werte für φ und m
angegeben.
Sinus-Hyperbolicus-Gesetz nach Prandtl und Eyring [8, 11 bis
13]
Über die Betrachtung von Platzwechselvorgängen von Molekülen
beim Fließen kamen Prandtl und Eyring zu der Fließfunktion
γτ
= ⋅ ⎛⎝⎛⎛ ⎞
⎠⎞⎞C
Asinh (2.12)
mit den Stoffkonstanten C in [s–1] und A in [N/m2].Die Vorteile
des Prandtl-Eyring-Modells liegen in der Beschreibung einer
endlichen Viskosität bei kleinen Schergeschwindigkeiten
(Nullviskosität) und seiner guten Anwendbarkeit bei
Ähnlichkeitsbetrachtungen [14, 15]. Etwas schwierig gestaltet sich
jedoch seine mathematische Anwendung aufgrund seiner
Unhandlichkeit.
Carreau-Ansatz [10, 16, 17]
Ein Stoffmodell, das große Bedeutung in der Praxis der
Extrusionswerkzeugauslegung erlangt hat, ist der drei-parametrige
Ansatz von Carreau. Er lautet:
η( )γ =( )γ+ ⋅
AC , mit [A] = Pa·s, [B] = s und [C] = [–]. (2.13)
Hierbei beschreibt A die Nullviskosität, B die sogenannte
reziproke Übergangsschergeschwin-digkeit und C die Steigung der
Viskositätskurve im strukturviskosen Bereich für γ→ ∞ (Bild
2.4).Dieses Carreau-Modell hat den Vorteil, dass es das
tatsächliche Stoffverhalten innerhalb eines breiteren
Schergeschwindigkeitsbereichs als der Potenzansatz richtig
wiedergibt, und dass es auch für γ→ 0 sinnvolle Viskositätswerte
liefert.Darüber hinaus lässt sich für eine zylindrische Bohrung und
einen planparallelen Spalt das Druck-Durchsatzverhalten in
analytisch geschlossener Form berechnen [10, 17]. Damit kann dieses
Modell auch für überschlägige Berechnungen mittels Taschenrechner
verwendet werden.
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132.1 Rheologisches Verhalten
Dies gilt insbesondere, wenn anstatt der analytisch exakten
Lösung bequemer zu handhabende Näherungslösungen verwendet werden
[10, 17].
Universelle Viskositätsfunktion nach Vinogradov und Malkin [18,
19]
Vinogradov und Malkin [18] fanden, dass bei
temperaturinvarianter Auftragung (siehe Abschnitt 2.1.1.3) die
Viskositätsfunktionen der folgenden Stoffe innerhalb des in Bild
2.5 dargestellten Streubereichs zusammenfallen: diverse
Polyethylene, Polypropylen, Polystyrol, Polyisobutylen,
Polyvinylbutyrat, schmelzeförmiger Naturkautschuk,
Butadien-Styrol-Gummi sowie Zelluloseacetat.
lg η
A
C
1/B lgγ.
Bild 2.4: Approximation der Viskositätskurve durch den
Carreau-Ansatz
Nor
mie
rte
Vis
kosi
tät η
/ η
0
Normierte Schergeschwindigkeit γ. · η0
100
10–1
10–2
10–3
10–4
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109Pa
I II III IV V VI VII VIII IX
PMMA
PS
ABS
CAB
PE-HD
PE-LD
PP
Bild 2.5: Universelle Viskositätsfunktion nach Vinogradov und
Malkin
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14 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Die Mittellinie im Streubereich kann – zu Abschätzungszwecken –
somit als scheinbar universelle, temperatur- und druckinvariante
Viskositätsfunktion angesehen werden. Diese Funktion ermöglicht die
Abschätzung des Viskositätsverlaufs in weiten
Schergeschwindig-keitsbereichen, wenn nur ein Punkt der Funktion
bekannt ist, indem iterativ die Nullviskosität bestimmt wird.Der
Verlauf dieser universellen Viskositätsfunktion wird nach [18]
durch folgende Regressi-onsgleichung beschrieben:
ηηα αα( )γ = + ( )γ ⋅ ( )η γ
0
1 (η 2 (η 21 A Aαα⋅ ( )η γ +1 (η, (2.14)
mit η η γ0 = η( )γ 0→γ = Nullviskosität, d. h. Grenzwert der
Viskosität für γ→ 0, A1 = 1,386 · 10–2,
A2 = 1,462 · 10–3, α = 0,35
Al und A2 sind abhängig von der Einheit der Viskosität und der
Schergeschwindigkeit. Die hier angegebenen Werte gelten für [η] =
Pa∙s und [ ]γ = −s 1 .Vorteil der universellen Vinogradov-Funktion
ist, dass sie nur einen freien Parameter, nämlich η0 besitzt, der
leicht aus Viskositätsmessungen ermittelt werden kann. Hält man die
Regres-sionskoeffizienten A1, A2 und α konstant, ist die
Genauigkeit der Beschreibung natürlich begrenzt. Für γ→ 0 strebt
die Vinogradov-Funktion gegen den Grenzwert η0.Natürlich kann das
Vinogradov-Modell auch in allgemeiner Form zur Beschreibung des
Viskositätsverlaufs verwendet werden. In diesem Fall sind A1 und A2
und α freie Parameter, die durch Regression bestimmt werden. Damit
ist im speziellen Fall eine genauere Approxi-mation als mit den
Parametern der universellen Funktion möglich. Andererseits braucht
als universelle Viskositätsfunktion, die die Mittellinie des
Streubereichs beschreibt (Bild 2.5), nicht unbedingt die Funktion
aus Gleichung (2.14) verwendet zu werden. Hier kann jedes Modell,
das mit genügender Genauigkeit die Kurve approximieren kann,
eingesetzt werden.Im Folgenden wird noch kurz beschrieben, wie sich
aus einem gemessenen Wertepaar [Scher-geschwindigkeit γp ,
Viskosität η γ( )γp ] durch ein einfaches Iterationsschema die
Nullviskosität und damit der Verlauf der Viskositätsfunktion
berechnet werden kann. Allerdings stellt eine so ermittelte
Viskositätsfunktion nur eine Abschätzung dar, die eine
Viskositätsmessung im gesamten relevanten
Schergeschwindigkeitsbereich nicht ersetzen kann.Die Abweichungen
vom realen Funktionsverlauf werden dabei umso größer sein, je
weiter man sich von dem bekannten Punkt der Kurve [ , ( )](γ η,p
p(η, γ entfernt.Zunächst werden in Gleichung (2.14) die bekannten
Werte eingesetzt. Dann wird sie folgen-dermaßen umgestellt:
η ηα α
0 η2( )γγ + ( )γ0η ( )η γ0η ⋅⎡⎣⎣⎣ ⎤⎦⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎤⎤⎤⎤) (⎡) ⎣⎣⎣ 2) (
γ0η1 A A( )η γ0η ⋅η +( . (2.15)
Gleichung (2.15) enthält η0 auf beiden Seiten. Ein explizites
Auflösen nach η0 ist nicht möglich. Deshalb wird Gleichung (2.15)
als Iterationsvorschrift aufgefasst. Es folgt:
η ηα α
0 1η 22
nη
1A1 A( )y 1 ⋅ ( )η γγnη + ⋅2A ( )η γ0n⎡⎣⎣⎣ ⎤⎦⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎤⎤⎤⎤A) (11 (η
γnη0 . (2.16)
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13:46:03
-
152.1 Rheologisches Verhalten
Gleichung (2.16) liefert im n-ten Iterationsschritt mit dem
Schätzwert η0n für die Nullvisko-sität einen verbesserten
Schätzwert η0 1n+ , der im (n + 1)-ten Schritt wieder eingesetzt
wird. Damit ergibt sich folgendes Iterationsschema:
Schritt 0: Setze η00 gleich dem bekannten Viskositätswert η γ(
)γp ;Schritt 1: Berechne neuen Schätzwert für η0 i durch Einsetzen
des vorherigen Schätzwertes
in Gleichung (2.16);Schritt 2: Entscheidung: Ist die Differenz
zweier aufeinander folgender Schätzwerte genü-
gend klein, wird die Iteration abgebrochen. Der letzte
Schätzwert für η0 ist das gesuchte Ergebnis. Ist die Differenz noch
nicht klein genug, dann springe zurück zu Schritt 1.
Ein genügend genaues Ergebnis wird meist nach 5 bis 10
Iterationen erreicht. Dieses Itera-tionsschema lässt sich leicht
auf einem Taschenrechner programmieren, da nur sehr wenige
Programmschritte benötigt werden.
Herschel-Bulkley-Modell [2, 13, 20]
Bei vielen Polymeren, insbesondere bei Kautschuken, beobachtet
man eine sogenannte Fließgrenze. Solche Fluide beginnen erst zu
fließen, wenn eine endliche Schubspannung (Fließgrenzschubspannung
oder kurz Fließgrenze) überschritten wurde. Fluide mit diesem
Verhalten bezeichnet man allgemein als Bingham-Fluide.Die
Fließkurve eines Bingham-Fluids ist schematisch in Bild 2.6
dargestellt. Man erkennt, dass die Schergeschwindigkeit bis zur
Fließgrenze τ0 gleich Null ist, d. h., dass das Fluid nicht fließt.
Erst oberhalb von τ0 tritt Fließen ein. Für die Viskosität bedeutet
dies, dass sie für Schubspannungen unterhalb der Fließgrenze
unendlich groß ist [2].Für das ausgebildete
Strömungsgeschwindigkeitsprofil eines Bingham-Fluids ergibt sich
ein Scherströmungsbereich, in dem die Schubspannung τ größer als τ0
ist, und ein Blockströ-mungsbereich, in dem τ < τ0 ist (Bild
2.7). Wie Bild 2.7 außerdem zeigt, nimmt dabei die Blockströmung
einen umso geringeren Bereich ein, je größer das Verhältnis
Wandschub-spannung/Fließgrenze ist. So ist das
Block-Scherströmungsmodell auch immer dann relevant, wenn die
Wandschubspannung niedrig ist, d. h., bei geringen Volumenströmen
oder großen durchströmten Querschnitten.Für die Beschreibung des
Fließverhaltens von Polymeren mit Fließgrenze hat sich das
Her-schel-Bulkley-Modell [20] bewährt. Dieses ergibt sich durch
eine Übertragung des einfachen Bingham-Modells (Newton’sches Fluid
mit Fließgrenze, d. h. η τ( )τ τ =)τ0 konst. [2]) auf den
Potenzansatz:
γ φ ⋅φ ( )τ τ m . (2.17)Für τ0 = 0 ergibt sich wieder der
Potenzansatz (Gleichung (2.5)), mit m = 1 erhält man das einfache
Bingham-Modell.Umstellen von Gleichung (2.17) liefert eine
Beziehung für die Schubspannung:
τ τ γ γ φ=τ = =φ−
01
1 1k kγ γ⋅ γ 1 nm
n m−1 , und . (2.18)
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-
16 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
a) geringe Wandschubspannung
b) hohe Wandschubspannung
ν(r)
ν(r)
τ(r)
τ(r)
τ0 τw
τw
τ0
Bild 2.7: Geschwindigkeitsprofile eines Bingham-Fluids in
Abhängigkeit von Wandschubspannung und Fließgrenze [21]
lg γ.
lg ττ0
Bild 2.6: Schematische Darstellung der Fließkurve eines
Bingham-Fluids
Mit
ητ τ
γ= 0 (2.19)
ergibt sich aus Gleichung (2.18) für τ > τ0 für die
Viskosität
η γ −k n 1 . (2.20)
und damit Potenzansatz-Verhalten analog der Gleichung
(2.11).
2.1.1.3 Einfluss der Temperatur und des Drucks auf das
Fließverhalten
Neben der Schergeschwindigkeit γ und der Schubspannung τ
bestimmen für nur ein be-trachtetes Grundmaterial (z. B. PS oder
PE) die Schmelzetemperatur T, der hydrostatische Druck in der
Schmelze phyd, das Molekulargewicht und die
Molekulargewichtsverteilung sowie Zusätze in Form von Füllstoffen,
Gleitmittel etc. das Fließverhalten von Schmelzen. Bei einem
vorgegebenen zu verarbeitenden Kunststoff (Rezeptur) bleiben als
freie Einflussgrößen nur γ oder τ, phyd und T.
Bild 2.8 vermittelt einen quantitativen Eindruck des Temperatur-
und Druckeinflusses auf die Scherviskosität. Eine Druckerhöhung um
ca. 550 bar führt bei dem betrachteten PMMA zu einer zehnfach
höheren Viskosität. Um die Viskosität in diesem Falle konstant zu
halten, müsste die Temperatur um ca. 23 °C erhöht werden.
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-
172.1 Rheologisches Verhalten
Bild 2.9 gibt einen Eindruck von der Änderung der Viskosität mit
der Temperatur für ver-schiedene Polymere. Deutlich erkennt man,
dass die teilkristallinen Polymeren mit ihrer im Vergleich zu den
amorphen Materialien geringen Einfriertemperatur eine wesentlich
geringere Temperaturabhängigkeit der Viskosität aufweisen.
p = 550 barp = 300p = 50p = 0
T = 205 °C
106
105
190 200
Temperatur T [°C] Hydrost. Druck p [bar]
Werkstoff: PMMA
Vis
kosi
tät η
0 [P
as]
210 220 0 100 200 300 400 500
Bild 2.8: Viskosität als Funktion der Temperatur und des
isotropen Drucks [nach 22]
Einfriertemperatur TEPE-HD ca. –120 °CPOM ” –70 ” PE-LD ” –40 ”
PP ” –10 ” PA 6 ” 40 ” PS ” 70 ” PVC ” 80 ” PMMA ” 90 ” GA ” 90 ”
PC ” 140 ”
5000
0,025
0,0410
0,0615
0,0820
Δα≈ Δη δ lgηΔT ΔT ΔT
0,1
PS (TE = 90 °C)
PVC
PSCA PVC
PPPC
PA 6PE-LD
PP PP
PE-LD
PMMA (TE = 90 °C)
differenzierte WLF-Kurve
PS PS (TE = 65 °C)
25
%
150T – TE
250 °C 350
PE-LD
PE-HD
PE-HD
PP
PP
Bild 2.9: Änderung der Viskosität mit der Temperatur für
verschiedene Polymere [28]
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18 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Diese Beeinflussung der Fließfähigkeit von Kunststoffschmelzen
kann im Wesentlichen auf zwei Einflüsse zurückgeführt werden [23,
24]:
Ein thermisch aktivierter Prozess, dem man die Beweglichkeit der
Kettensegmente in einer •Molekülkette, d. h. die intramolekulare
Beweglichkeit, zuordnen kann,die Wahrscheinlichkeit, dass für
Platzwechselvorgänge von Molekülketten ein genügend •großes freies
Volumen zwischen den Molekülketten vorhanden ist.
Temperatureinfluss
Trägt man für ein- und dieselbe Polymerschmelze die
Viskositätskurven doppeltlogarithmisch für jeweils unterschiedliche
Temperaturen auf (Bild 2.10), so stellt man zweierlei fest:
Erstens ist der Einfluss der Temperatur auf die Viskosität bei
kleinen Schergeschwin- •digkeiten, insbesondere im Bereich der
Nullviskosität, wesentlich größer als bei hohen
Schergeschwindigkeiten.Zweitens verändert sich zwar die Lage der
Viskositätskurven im Diagramm je nach Tem- •peratur, ihre Form
bleibt aber gleich.
Es kann gezeigt werden, dass man für fast alle Polymerschmelzen
(sogenannte thermo-rheolo-gisch einfache Fluide [25]) die
Viskositätskurven in eine einzige temperaturinvariante Master-kurve
überführen kann, indem man die Viskosität durch den η0-Wert der
entsprechenden Temperatur dividiert und die Schergeschwindigkeit
mit η0 multipliziert [1, 2, 3, 25]. Grafisch bedeutet dies, dass
man die Kurven im doppeltlogarithmischen Diagramm entlang einer
Ge-raden mit der Steigung –1, d. h. entlang einer Linie konstanter
Schubspannung τ η γ⋅η [25], um die Strecke lg( ( ))η0 T nach rechts
und gleichzeitig nach unten verschiebt und ineinander überführt
(Bild 2.10). Man spricht dabei vom
Zeit-Temperatur-Verschiebungsprinzip.
10–1 1 10 102 s–1 103102
103
104
Pa · s
Schergeschwindigkeit γ.
lg aT (220 °C)
lg aT (165 °C)
T* = 190 °C
Verschie-bungs-richtung
(205 °C)Hauptkurve
CAB gemessen beiT = 165 °CT = 175 °CT = 190 °CT = 205 °CT = 220
°C(175 °C)
Vis
kosi
tät η
Bild 2.10: Viskositätsfunktionen für Cellulose-Acetat-Butyrat
(CAB) bei verschiedenen Temperaturen
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192.1 Rheologisches Verhalten
Diese Zeit-Temperatur-Verschiebung führt zur Auftragung der
sogenannten reduzierten Viskosität η/η0 über der Größe η γ0 . Man
erhält somit eine einzige für das Polymer charak-teristische
Funktion:
η
ηf
( )γ,T( )T
= ( )γTη ( )T0
. (2.21)
Die Temperatur T ist hierbei als Bezugsgröße frei wählbar.Ist
die Viskositätsfunktion für eine bestimmte Temperatur T gesucht und
ist nur die Master-kurve bzw. die Viskositätskurve bei einer
zunächst willkürlichen Bezugstemperatur T0 ge-geben, so muss eine
Temperaturverschiebung durchgeführt werden, um den gewünschten
Kurvenverlauf zu erhalten. Dabei ist aber zunächst nicht bekannt,
um welchen Betrag die Viskositätskurve verschoben werden muss.
Gesucht ist demnach der sogenannte Tempera-turverschiebungsfaktor
aT mit
aT 0 bzw.=( )T( )T ( )aT =
( )T( )T
⎛
⎝⎜⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟⎞⎞
⎠⎠η
η
η
η0 0
0
0 0lg lg (2.22)
lg( )T ist dabei direkt die Strecke, um die die Viskositätskurve
der Bezugstemperatur T0 jeweils in Richtung der Koordinatenachsen
verschoben werden muss (Bild 2.11). Zur Berechnung des
Temperaturverschiebungsfaktors existieren verschiedene Ansätze, von
denen die beiden wich-tigsten, der Arrhenius-Ansatz und die
WLF-Gleichung, dargestellt werden sollen. Eine genauere Herleitung
und eine physikalische Begründung für diese Ansätze finden sich z.
B. bei [10].Der Arrhenius-Ansatz lässt sich aus Betrachtungen eines
rein thermisch aktivierten Platz-wechselprozesses von Molekülen
herleiten:
lg lgER T T
( )aT =( )T( )T
−=⎛⎝⎜⎛⎛⎝⎝
⎞⎠⎟⎞⎞⎠⎠
η
η0
0 0
0
0TT1 1 . (2.23)
lg aT
lg η(T)
lg γ·
lg (ηo γ· )
Messkurve lg(η) = f(lgγ·)bei Temperatur T
lg η
lg η
η
o
Masterkurve
lgηηo
= f(lg(ηo γ·))
45°
lg a
T
Bild 2.11: Zeit-Temperatur-Verschiebungsprinzip für eine
Viskositätsfunktion
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20 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Dabei sind E0 die materialspezifische Fließaktivierungsenergie
([E0] = J/mol) und R die universelle Gaskonstante mit R = 8,314
J/(mol∙K). Der Arrhenius-Ansatz eignet sich insbe-sondere zur
Beschreibung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität von
teilkristallinen Thermoplasten [10, 25].Für kleine
Temperaturverschiebungsbereiche oder überschlägige Rechnungen kann
aT durch einen physikalisch nicht begründeten Ansatz der Form
lg ( )aT ( )T T−T TT . (2.24)
angenähert werden [1, 10]. Dabei ist α der materialspezifische
Temperaturkoeffizient der Viskosität.Eine andere Betrachtungsweise,
die auf der Grundlage des freien Volumens aufbaut, d. h. auf der
Wahrscheinlichkeit von Platzwechselvorgängen, wurde von Williams,
Landel und Ferry [26] zur Beschreibung der Temperaturabhängigkeit
von Relaxationsspektren entwickelt und später auf die Viskosität
übertragen. Sie fanden die Beziehung (auch WLF-Gleichung
genannt)
lg lgC
C( )aT =
( )T( )TSTT
⎛
⎝⎜⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟⎞⎞
⎠⎠= −
( )T TSTT−T( )T TSTT−T
η
η1
2, (2.25)
welche die Viskosität η( ) bei einer gesuchten Temperatur T mit
der Viskosität η( )S bei der Standardtemperatur TS bei konstanter
Schubspannung verknüpft. Für TS ≈ TE + 50 K [26], wobei TE die
Einfriertemperatur ist, werden C1 = 8,86 und C2 = 101,6 K.Die
Einfriertemperaturen einiger Polymere sind in Bild 2.9 eingetragen;
weitere Werte gibt Lee [27] an. Bei Messungen von TE kann für
amorphe Polymere das Verfahren zur Ermittlung der
Formbeständigkeitstemperatur nach DIN 53461, Verfahren A,
eingesetzt werden. Die so ermittelte Formbeständigkeitstemperatur
kann gleich TE gesetzt werden [8].Eine genauere Beschreibung ist
möglich, wenn TS (und gegebenenfalls auch C1 und C2; diese können
im Allgemeinen aber als näherungsweise materialunabhängig angesehen
werden) durch Regression aus Viskositätskurven, die bei
verschiedenen Temperaturen gemessen wurden, ermittelt wird.Obwohl
der WLF-Ansatz nur für amorphe Polymere physikalisch begründbar dem
Arrhenius-Ansatz überlegen ist [10, 24, 25], lässt er sich mit
guter Genauigkeit auch für teilkristalline Polymere einsetzen [28
bis 31, 33].Bild 2.12 vergleicht die Beschreibung des
Verschiebungsfaktors aT aus dem Arrhenius-Ansatz mit dem aus der
WLF-Gleichung [30]. Beschränkt man sich auf einen für die Praxis im
All-gemeinen ausreichenden Temperaturbereich von ±30 K um eine
Bezugstemperatur, so sind beide Beschreibungsformen zufrieden
stellend.
Für die Bevorzugung der WLF-Gleichung sprechen im Wesentlichen
zwei Gründe:die Standardtemperatur • TS ist mit genügend großer
Genauigkeit mit der für den jeweiligen Stoff bekannten
Einfriertemperatur verknüpft (TS ≈ TE + 50 K) undder Druckeinfluss
auf die Viskosität lässt sich über die Standardtemperatur einfach
erfassen •(dies wird noch erläutert).
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212.1 Rheologisches Verhalten
Soll nun mittels der WLF-Gleichung die Verschiebung von einer
Viskositätskurve bei einer beliebigen Bezugstemperatur T0 auf die
bei der gesuchten Temperatur T durchgeführt werden, wird Gleichung
(2.21) zweifach angesetzt:
lg lg lgaC
CT= ( )T( )T =
( )T( )TSTT
⋅( )TSTT( )T
⎛
⎝⎜⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟⎞⎞
⎠⎠=
( )T TSTT−+
η
η
η
η
η
η)TT ( )TSTT (TT⎝ η η1 (TT
2
CC
1
2( )T TTT0TTTT−
( )T T−( )T T−TTT
TTTT
(2.26)
mit C1 = 8,86 und C2 = 101,6 K.
Hierbei ist T0 die Bezugstemperatur, für die die Viskosität
bekannt ist.
Druckeinfluss
Der Einfluss des Drucks auf das Fließverhalten lässt sich in dem
Ausdruck für die Tempera-turabhängigkeit nach WLF mit erfassen
[29]. Es zeigt sich nämlich, dass sich die Standardtem-peratur TS,
die bei 1 bar nach WLF zu TS ≈ TE + 50 K angesetzt wird, mit
steigendem Druck zu höheren Werten verschiebt. Diese Verschiebung
entspricht wiederum der Verschiebung der Einfriertemperatur TE die
direkt aus einem p-υ-T-Diagramm entnommen werden kann [28, 34].
MesswerteArrhenius-GesetzWLF-Gleichung
Standard-Temp. Ts PS 125 °CPP 0 °CPE-LD 10 °CPE-HD -70 °C
PS
PPPE-LD
PE-HD
T*=170 °C
T*=190 °C
50
Tem
per
atur
vers
chie
bun
gsfa
ktor
aT
10
5
1
0,1
0,5
250
1,9 2,0 2,1reziproke abs. Temperatur 1/T
Temperatur T
2,2 2,3 2,4 2,5 10–3K–1
230 210 190 170 150 °C 130
Bild 2.12: Temperaturverschiebungsfaktor aT für verschiedene
Polymere
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22 2 Eigenschaften von Polymerschmelzen
Die Druckabhängigkeit der Einfriertemperatur kann bis zu Drücken
von etwa 1 kbar als linear angenommen werden (Bild 2.13 [32]). Es
gilt somit:
T TE ETT barpTETT p( ) =pTETT (( ) + ⋅1 ξ . (2.27)Es ergeben
sich Verschiebungen der Einfriertemperatur in der Größenordnung von
15 bis 30 K/kbar. Bei Drücken größer 1 kbar steigt die
Einfriertemperatur mit wachsendem Druck nur noch degressiv an.Ist
für einen vorgegebenen Kunststoff kein p-υ-T-Diagramm vorhanden,
aus dem die Druckabhängigkeit der Einfriertemperatur abgelesen
werden konnte, so kann in guter Nä-herung mit
T TE ETT b r bi K/barpbarTETT( ) ( ) (( ) −1 b rbar 0 3bis 0 1)
⋅ 0 3 (2.28)gerechnet werden. Generell gilt, dass der Druck das
Fließverhalten amorpher Polymeren wesentlich stärker als das
teilkristalliner Polymere beeinflusst.Somit lässt sich nun die
WLF-Verschiebung von einer Viskositätskurve bei der Temperatur T1
und dem Druck p1 auf die Temperatur T2 und den Druck p2
durchführen. Es gilt für den Verschiebungsfaktor aT:
lg lgaC
CT=
( )T( )T
⎛
⎝⎜⎛⎛
⎝⎝
⎞
⎠⎟⎞⎞
⎠⎠=
( )T TSTT− ( )( )T TSTT−T ( )
−η
η
,TT,TT
1 (TT2 (TTT
CCCC
1
2
( )T T1TT − ( )1( )T T1TT −T1TT ( )1
TTTT
, (2.29)
Standard-PSPSPMMAPVC
40
K
30
20
10
0 250hydrostatischer Druck phyd
Vers
chie
bun
g d
er E
infr
ier-
bzw
. S
tand
ard
tem
per
atur
ΔT E ΔT s
500 750 bar 1000
Bild 2.13: Druckeinfluss auf die Einfrier- bzw.
Standardtemperatur
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13:46:22
-
232.1 Rheologisches Verhalten
Rechnerische Anwendung
Soll ein Punkt P [ , ( )]γ η,1 1η, 1 einer Viskositätskurve, die
bei der Temperatur T1 gemessen wur-de, auf die bei der Temperatur
T2 gültigen Viskositätskurve verschoben werden (Bild 2.11), so
gilt:
η ηa ηa( )T γ2 2γγ2γγ ⋅a ( )γT1 1γTT (2.30)
mit γ γ2 1= aT. (2.31)
aT wurde dabei mit einem der Verschiebungsansätze errechnet. Im
Falle der WLF-Gleichung kann aT auch noch eine Druckverschiebung
enthalten, wenn p1 ≠ p2. Entsprechend lassen sich die
Viskositätsfunktionen temperatur- und druckunabhängig formulieren.
Es gilt für den Carreau-Ansatz:
ηa A
C( )γ, ,T p =( ),T p ⋅
( )γa B+ ( ),T p ⋅ ⋅BT . (2.32)
Für den Ansatz nach Vinogradov und Malkin folgt analog:
ηη
ηα
aA a Aα aη γ
( )γ, ,T p = ( ),T p ⋅+ A ( )T η⎡⎣ ⎤⎦ AA ( )T pT ⋅ ⋅η
T
T γγγη γγ(T η ⎦ A a0
1 0a ( )⎣⎡⎡ T ηηηηη( ),T , p 0η( )p,TTa1 γα⎡⎣⎡⎡ ⎤⎦⎤⎤
2 . (2.33)
Da mit
A
A1
2
23
1 386 10
1 462 100 355
= ⋅1 386
= ⋅1 462=
⎫
⎬⎪⎫⎫
⎬⎬⎪⎪⎬⎬⎬⎬
⎭⎪⎬⎬
⎭⎭⎪⎪⎭⎭⎭⎭
[ ]
−
−
,
,,α
]fur P[ ]] = ⋅ d [ ]γ[[ = −s 1 (2.34)
die Vinogradov-Malkin-Funktion näherungsweise materialunabhängig
ist [18], stellt Glei-chung (2.34) eine universelle, material-,
temperatur- und druckinvariante Viskositätsfunktion dar.
2.1.2 Ermittlung des viskosen Fließverhaltens
Zur Messung der Fließfunktion γ τf ( )τ oder der
Viskositätsfunktion η f Tγγ ) werden im für die Auslegung von
Extrusionswerkzeugen relevanten Schergeschwindigkeitsbereich ( )1 4
1γ Kapillarviskosimeter (oder auch Laborextruder, denen eine
Viskosi-meter-Düse mit entsprechenden Druck- und
Temperaturmessmöglichkeiten vorgeflanscht wird) eingesetzt. Der
Kapillarquerschnitt kann kreis-, schlitz- oder ringspaltförmig
sein.Das Messprinzip besteht darin, dass definierte Volumenströme V
bei möglichst konstanter Massetemperatur T durch die geometrisch
exakt definierte Kapillare gedrückt und dabei der in der Kapillare
auftretende Druckverlust Δp ermittelt wird.
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