VETOR POSIÇÃO ( ) . - s3.amazonaws.com · XY, entre dois instantes, t 1 e t 2 ... Logo, o vetor deslocamento , no intervalo de tempo ... Na figura, são representados vetores deslocamento

Prof. Marcelo França

VETOR POSIÇÃO ( ) .

No capítulo precedente, estudamos as propriedades e as operações envolvendo vetores. Temos, agora, plenas condições de iniciar o estudo dos movimentos no plano e no espaço. Para tanto, precisamos definir alguns conceitos básicos.

Dado um sistema de coordenadas, no plano ou no espaço, podemos determinar a posição de qualquer objeto pontual (partícula) com o auxílio de um vetor posição , que vai da origem do sistema coordenado até o ponto onde a partícula se encontra.

A figura acima mostra uma partícula descrevendo uma trajetória no plano XY, entre dois instantes, t1 e t2, e seus respectivos vetores posição são e

, tal que,

VETOR DESLOCAMENTO ( ).

No intervalo de tempo t = t2 - t1, que vai do instante t1 ao instante t2, a partícula sofre, ao longo da trajetória, um deslocamento vetorial , tal que,

Note que o vetor é o vetor diferença entre e e que, portanto, vai da posição inicial à posição final (ver figura abaixo).

Vejamos o exemplo abaixo:

No instante t1, o vetor posição de uma partícula é dado por:

No instante t2, o vetor posição é:

Logo, o vetor deslocamento , no intervalo de tempo t = t2 - t1 será:

Logo,

(em unidades S.I.)

(em unidades S.I.)

(em unidades S.I.)

Vamos representar os vetores no plano.

Observe que o vetor deslocamento independe da forma da trajetória, pois o mesmo vai da posição inicial à posição final de uma partícula que se move no plano ou no espaço (os argumentos acima podem ser aplicados ao espaço tridimensional).

RELAÇÃO ENTRE O VETOR DESLOCAMENTO E O DESLOCAMENTO ESCALAR. Vimos na seção anterior que o vetor deslocamento vai da posição inicial à posição final num movimento plano qualquer. Por outro lado, o deslocamento escalar s corresponde ao deslocamento ao longo da trajetória ( ver figura abaixo).

Verifica-se, a partir da figura ao lado, que

A igualdade se verifica para trajetórias retilíneas, ou seja,

(trajetórias retilíneas)

VETOR VELOCIDADE MÉDIA ( ):

Na seção anterior vimos que, para o plano,

representa o vetor deslocamento no intervalo de tempo t = t2 - t1.

Definimos o vetor velocidade média como a razão

ou seja,

Das relações obtidas acima, concluímos que o vetor velocidade média tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento .

De acordo com o exemplo anterior, se a partícula se desloca da posição

para a posição

num intervalo de tempo t = 2 s, o vetor velocidade média será dado por

Ao representarmos o vetor no plano, teremos

Portanto, a direção e o sentido do vetor velocidade média representam a direção e o sentido do movimento, enquanto seu módulo nos fornece a rapidez com esse deslocamento é realizado.

Vejamos uma comparação entre o vetor velocidade média e a velocidade escalar média num movimento circular.

Consideremos, a princípio, uma trajetória circular de centro O ( tomado como origem ) e raio R e que, em to = 0, a partícula se encontre na posição P1 da trajetória.

Vamos supor que, no intervalo de tempo t = t1 - to a partícula percorra ¼ de volta, atingindo o ponto P2 da trajetória.

Note que o deslocamento escalar tem módulo igual a

Enquanto o módulo do deslocamento vetorial é dado pelo teorema de Pitágoras, ou seja,

Observe que, , portanto,

(verifique!)

Admitamos, agora, o intervalo de tempo t = t2 - to, em que a partícula percorre 1/2 volta, atingindo o ponto P3 da trajetória.

Neste caso, o módulo do deslocamento escalar é

ao passo que o deslocamento vetorial possui módulo

,

.

VETOR VELOCIDADE INSTANTÂNEA :

No estudo da cinemática escalar, definimos a velocidade escalar instantânea como sendo o limite da velocidade escalar média para intervalos de tempo muito pequenos. Da mesma forma, definimos o vetor velocidade instantânea ou, simplesmente, vetor velocidade como o limite do vetor velocidade média para intervalos de tempo muito pequenos, ou seja, para . De fato,

No plano, o vetor velocidade seria representado por

onde e são os módulos das componentes ortogonais de nas direções OX e OY, respectivamente. Isto é,

E, portanto,

,

A interpretação da definição acima pode ser feita geométrica e intuitivamente (embora haja uma demonstração mais rigorosa) com o auxílio da figura abaixo que mostra deslocamentos sucessivos de uma partícula em intervalos de tempo cada vez menores culminando com o limite, para o qual, determinamos a direção e o sentido do vetor . Na figura, são representados vetores deslocamento e velocidade média para intervalos de tempo cada vez menores. Note que, no limite, quando , os vetores velocidade média tendem a um vetor tangente à trajetória que representa a direção e o sentido do vetor velocidade no instante t1.

Do exposto, concluímos que:

Os vetores velocidade são tangentes à trajetória em cada ponto da mesma.