[Versión preliminar] Prof. Isabel Arratia Z. · Cálculo III - Geometría vectorial 2 Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionales El espacio ℜ3 Las coordenadas rectangulares

__________________________________________________________________ Cálculo III - Geometría vectorial 1

[Versión preliminar]

Prof. Isabel Arratia Z.

Geometría vectorial


Sistema de coordenadas rectangulares tridimensionalesEl espacio 3ℜ

Las coordenadas rectangulares en el plano se generalizan de manera natural a las coordenadas rectangulares en el espacio.

La posición de un punto en el espacio queda descrita por su localización con respecto a tres ejes coordenados perpendiculares entre sí y que pasan por el origen 0.

P(x, y, z)

0


Cada par de ejes determina un plano coordenado. La figura muestra el plano XZ


Vectores en el espacio 3ℜ

Si utilizamos los vectores unitarios i, j, k, el vector v =(a, b, c) se denotará también v = a i + b j + c k.


Suma en 3ℜ3ℜPonderación en


El producto escalar o producto punto en 3ℜ

Si v = (v1, v2, v3) y u = (u1, u2, u3) son vectores de , el producto escalar o producto punto de v y u es:

3ℜ

332211 uvuvuvuv ++=•

El producto escalar o producto punto nos permite calcular:

(1) Longitud o norma de los vectores

|| v || =

(2) Distancia entre vectores

d(v, u) = || v – u ||

23

22

21 vvvvv ++=•


(3) Ángulo entre vectores:

o equivalente,

•=θ −

|| u || || v ||uvcos 1

θ=•⇔•

=θ cos ||u || || v || uv || u || || v ||

uvcos


v

u

)u(prv

v || v|| uv)u(pr 2v

•=

(4) Proyecciones

La proyección escalar de u en v.

θ=•

= cos || u || || v ||uvucomp v

u

θ

El vector proyección de u en v.

v

)u(compv


Ejercicio: Considere los vectores v = (1, -2, 2) y u = (4, 1, -3). a) Muestre un vector unitario en la dirección opuesta a v.b) Calcule el ángulo entre v y u.

Ejercicio: Describa el lugar geométrico de todos los puntos P(x, y, z) que satisfacen simultáneamente los siguientes pares de ecuaciones:a) z = 4y2, x = 4b) z = 3, x2 + y2 = 4

Ejercicio: Calcule el ángulo ABC si A, B, C son los puntos A = (1, -3, -1), B = (4, 2, -5) y C = (3, -1, 2).


Las gráficas de las superficies z = 4y2 y z = x2 + y2 - 3 que se muestran a continuación se realizaron con Maple.

plot3d(4y^2, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);

plot3d(x^2+y^2-3, x=-4. .4, y=-4. .4, axes=normal, labels=[y,x,z]);


¿Cuál es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) que satisfacen simultáneamente z = 4y2, x = 4? (Ejercicio Diap 9)

> p1:=plot3d(4*y^2,x=-4..6,y=-4..4,axes=normal,labels=[y,x,z]):> p2:=plot3d([4,y,z],y=-4..4,z=-4...74,axes=normal,labels=[y,x,z],color= yellow):> p3:=plot3d([4,y,4*y^2],x=-4..4,y=-4..4,thickness=4):> plots[display]({p1,p2,p3});


¿Cuál es la ecuación de la esfera E con centro en el punto C(a, b, c) y de radio r?

} r)cz()by()ax( / z) y,(x, {

} r C) d(P, / )z,y,x(P {E222 =−+−+−=

==

Podemos concluir que la ecuación de la esfera E es (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = r2

Ejercicio: Determine la ecuación de la esfera que tiene como diámetro el segmento de recta que une A(-1, 2, 3) con B(5, -2, 7).


El producto vectorial o producto cruz en 3ℜ

Si u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) son vectores de , el producto vectorial o producto cruz de u y v es:

3ℜ

k)vuvu(j)vuvu(i)vuvu( vvvuuukji

vu

122113312332

321

321

−+−−−=

=×

El producto vectorial tiene las siguientes propiedades algebraicas:

1) v x v = 02) v x 0 = 0 = 0 x v


3) u x v = -(v x u)

4) u x (v1 + v2) = (u x v1) + (u x v2)

5) u x av = a (u x v) = au x v , a

6) u (v x w) = (u x v) w (Producto mixto)

ℜ∈

••

El producto vectorial tiene las siguientes importantes propiedades geométricas:

1) u x v es ortogonal a u y a v

2) u x v = 0 v // u u) v v (u ⇔β=∨α=⇔


3) || u x v || = || u || || v || , con ángulo entre u y v.

|| u x v || corresponde al área A del paralelógramo que tiene a u y a v como lados adyacentes.

αsen α

Como

y el área A = || u || h

= || u || || v ||

= || u x v ||

α==α sen ||v|| h ,||v||

hsen

αsenu

v

4) De lo anterior sigue que el área A del triángulo que tiene

a u y a v como lados adyacentes es .||vu||A 21 ×=


Por ejemplo, para calcular el área del triángulo de vértices A(1,3,5), B(3,3,0) y C(-2, 0, 5) consideramos los vectores u = AB = (2,0,-5) y v = AC = (-3,-3,0) y calculamos el producto vectorial de los vectores u y v. El área es:

486||)6,15,15(|| ||vu||A 21

21

21 =−=×=

Ejercicio: Muestre que los puntos A(1,1,1), B(2, 3, 4), C(6, 5, 2) y D(7, 7, 5) son vértices de un paralelógramo. Cálcule el área de ese paralelógramo.


El producto mixto El producto mixto de los vectores u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) y w = w1, w2, w3) es el número real:

El valor absoluto del producto mixto corresponde al volumen del paralelepípedo que forman los vectores u, v y w.

321

321

321

wwwvvvuuu

)wv(u =×•

|)wv(u|cos||wv|| ||u||)cos||u(||||wv||hAV ×•=β×=β×=⋅=

βA


Rectas en el espacioUna recta en el espacio se determina mediante un punto fijo Q(x1,y1,z1) y un vector fijo v = (a,b,c) llamado vector director de la recta.

+=+=+=

⇔

=−−⇔ℜ∈=⇔

ctzzbtyyatxx

(*)

)tc,tb,ta()zz,yy,x-(x t algún tv, QP v // QP

1

1

1

111

P

Q

Un punto P(x,y,z) está en la recta que pasa por Q y que tiene vector director v si

Las ecuaciones (*) son las ecuaciones paramétricas (no únicas) de la recta L.

L


Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación de la recta se expresa:

w – w0 = t v

o bien, w = w0 + t v (ecuación vectorial de L)

Si a, b, c son distintos de cero, podemos despejar t en las ecuaciones paramétricas de L para obtener:

ecuaciones simétricas de L.c

zzb

yya

xx 111 −=

−=

−


Ejercicios: Determine,1) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por

P(-2, 1, 5) y es paralela al vector v = (5, 2, -1).2) Las ecuaciones paramétricas y simétricas de la recta que

pasa por A(-4, 1, 3) y B(-1, 5, 2).3) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por

P(1, -2, 3) y es perpendicular tanto al eje X como a la

recta cuyas ecuaciones simétricas son .

4) La intersección de las rectas L1 de ecuaciones x = 1 + t,

y = 2t, z = 1+3t y L2 de ecuaciones x = 3s, y = 2s y z =

2+s.

5z

13y

24x

=−−

=−


Planos en el espacioUn plano en el espacio puede caracterizarse de varias

maneras: como el plano que pasa por tres puntos no contenidos en una recta, como el plano que contiene a una recta y a un punto que no está en la recta o como el plano que pasa por un punto y es perpendicular a una dirección dada.

Un punto P(x,y,z) está en el plano que pasa por Q(x1,y1,z1) y es perpendicular al vector no nulo n = (a, b, c) (vector normal) si el vector QP es perpendicular a n, es decir, .0QPn =•

PQ

n


Si llamamos w = OP y w0 = OQ a los vectores de posición de P y Q respectivamente, entonces QP = w – w0 y la ecuación constituye la ecuación vectorial del plano.

0)ww(n 0 =−•

Como w - w0 = (x – x0, y – y0, z – z0), la última ecuación puede escribirse:

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0

(ecuación cartesiana del plano que contiene a Q y con vector normal n).

Más aún, puede expresarse ax + by + cz + d = 0.


Dos planos en el espacio o son paralelos o se intersectanen una recta. Si y son planos con vectores normales n1 y n2, entonces

1π

2121 n // n // ⇔ππ

Si los planos se intersectan, el ángulo entre ellos es tal que

||n|| ||n||nncos

21

21 •=θ

Y estos planos serán perpendiculares cuando

0n n 21 =• θ

2π


Ejercicios: 1) Calcule el ángulo entre los planos cuyas ecuaciones son

x – 2y + z = 0 y 2x + 3y – 2z = 0. Además determine la recta intersección de estos planos.

2) Determine el punto en el cual la rectaintersecta al plano x + 2y + 2z = 22.

3) Determine la ecuación del plano que pasa por P(-4,-1,2) y que es paralelo al plano XY.

4) Encuentre una ecuación para el plano que pasa por los puntos A(2,1,1), B(0,4,1) y C(-2,1,4).

24z

23y

12x −

=+

=−


> p1:=plot3d(x+1.5*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=blue):> p2:=plot3d(-x+2*y,x=-3..3,y=-3..3,axes=normal,labels=[y,x,z],color=yellow):> plots[display]({p1,p2});

> with(geom3d):> plane(p,2*x+3*y-2*z=0,[x,y,z]), plane(q,x-2*y+z=0,[x,y,z]):> line(l,[p,q]); l> Equation(l,'t'); [t, 4t, 7t] recta intersección de los planos del Ejercicio 1


Distancia entre un punto y un plano en el espacio Si P es el plano de ecuación ax + by + cz + d = 0 y

A(x0, y0, z0) es un punto del espacio, entonces la distancia

entre P y A es P222

000

cba

|dczbyax| A), d(++

+++=

Distancia desde un punto a una recta en el espacio Si L es una recta que tiene a u como vector director, Q

es un punto de L y A es un punto del espacio, la distancia

entre A y L es .||u||

||u QP||L) d(A, ×=


Ejercicios: 1) Calcule la distancia entre el punto P y el plano de

ecuación -3x + 2y + z = 9 si i) P(2, 6, 3) ii) P(2, 1, -1).

2) Calcule la distancia entre los planos paralelos de ecuaciones 3x - 4y + 5z = 9 y 3x – 4y + 5z = 4.

3) Determine la distancia que hay desde el punto A(3, -1, 4) a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x = -2 + 3t, y = -2t, z = 1 + 4t.

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