Vektory a matice Aplikovan´ a matematika I Dana ˇ R´ ıhov´ a Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Z´ akladn´ ı pojmy a operace Line´ arn´ ı z´ avislost a nez´ avislost vektor˚ u 2 Matice Z´ akladn´ ı pojmy, druhy matic Operace s maticemi Hodnost matice Carl Friedrich Gauss
21
Embed
Vektory a matice - user.mendelu.czuser.mendelu.cz/qqrihova/zvm/PDF_soubory/predn_tisk/Matice_tisk.pdf · Vektory De nice (vektor) Necht’ n je pevn e zvolen e p rirozen e c slo.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Vektory a matice
Aplikovana matematika I
Dana Rıhova
Mendelu Brno
Obsah
1 Vektory
Zakladnı pojmy a operaceLinearnı zavislost a nezavislostvektoru
2 Matice
Zakladnı pojmy, druhy maticOperace s maticemiHodnost matice
Carl Friedrich Gauss
Vektory
Definice (vektor)
Necht’ n je pevne zvolene prirozene cıslo. Cıselnym vektorem ~a rozumımeusporadanou n-tici realnych cısel, znacıme
~a = (a1, a2, . . . , an).
Cısla a1, . . . , an se nazyvajı slozky (souradnice) vektoru ~a, prirozene cıslo n senazyva rozmer (dimenze) vektoru ~a.
Vektory rozmeru 2 a 3 lze zobrazit jako orientovane usecky s pocatecnım bodemv pocatku souradnicoveho systemu a koncovym bodem o souradnicıch [a1, a2]resp. [a1, a2, a3].
Rıkame, ze vektory ~a1, ~a2, . . . , ~ak ∈ Rn jsou linearne zavisle, jestlize existujıtakova realna cısla c1, c2, . . . , ck , ze alespon jedno z nich je nenulove a platı
c1~a1 + c2~a2 + · · ·+ ck~ak = ~o.
V opacnem prıpade (c1 = c2 = · · · = ck = 0) rıkame, ze vektory jsou linearnenezavisle.
Maticı typu (m, n) rozumıme obdelnıkove schema m · n realnych cısel sestavenychdo m radku a n sloupcu
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
......
. . ....
am1 am2 · · · amn
.
Cısla aij , (i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n) nazyvame prvky matice A.
Poznamka (matice)
Prvek aij lezı v i-tem radku a j-tem sloupci matice A.
i = 1, 2, . . . ,m je radkovy index, j = 1, 2, . . . , n je sloupcovy index.
Radky nebo sloupce matice lze chapat jako vektory.
Druhy matic
Definice (ctvercova a obdelnıkova matice)
Je-li m = n, pak matice A se nazyva ctvercova matice radu n. Prvkya11, a22, . . . , ann, tj. prvky se stejnym radkovym a sloupcovym indexem, senazyvajı prvky hlavnı diagonaly.
Je-li m 6= n, matice A se nazyva obdelnıkova matice.
Prıklad (ctvercova a obdelnıkova matice)
Obdelnıkove matice A typu (2, 4) a B typu (4, 3), ctvercova matice C radu 3:
A =
(1 −2 3 −15 0 1 2
), B =
−2 5 1
3 −1 05 2 20 −1 4
, C =
−6 2 −34 −2 01 3 6
Matice typu (1, n) se nazyva radkovy vektor.
Matice typu (m, 1) se nazyva sloupcovy vektor.
Definice (nulova matice)
Matice, jejız vsechny prvky jsou nulove, se nazyva nulova matice a znacı se O.
Definice (jednotkova matice)
Ctvercova matice radu n, ktera ma na hlavnı diagonale jednicky a vsude jindenuly, se nazyva jednotkova matice radu n. Znacı se I nebo In.
Definice (diagonalnı matice)
Ctvercova matice, ktera ma vsechny prvky krome hlavnı diagonaly rovny nule, senazyva diagonalnı matice.
Prıklad (nulova, jednotkova a diagonalnı matice)
O =
(0 0 00 0 0
), I2 =
(1 00 1
), I3 =
1 0 00 1 00 0 1
, A =
3 0 0 00 −1 0 00 0 2 00 0 0 −2
.
Definice (transponovana matice)
Matice transponovana k matici A = (ai j) typu (m, n) je matice AT = (aj i ) typu(n,m), ktera vznikne z matice A zamenou radku za sloupce v temze poradı.
Prıklad (transponovana matice)
A =
4 3 0 42 0 −2 1−3 2 1 −2
, AT =
4 2 −33 0 20 −2 14 1 −2
.
Definice (symetricka matice)
Matice A se nazyva symetricka matice, platı-li AT = A.
Prıklad (symetricka matice)
B =
2 −3 1−3 5 −1
1 −1 0
, BT =
2 −3 1−3 5 −1
1 −1 0
.
Operace s maticemi
Definice (rovnost dvou matic)
Dve matice A,B stejneho typu (m, n) si jsou rovny, majı-li vsechny odpovıdajıcıprvky stejne, tj.
aij = bij
pro vsechna i , j (i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n). Pıseme A = B.
Definice (soucet matic)
Souctem matic A a B stejneho typu (m, n) rozumıme matici C typu (m, n), projejız prvky platı
cij = aij + bij
pro vsechna i , j . Pıseme C = A + B.
Prıklad (soucet matic)
Mejme matice
A =
3 2 12 0 −11 −1 3
, B =
−5 1 −21 −1 20 2 −3
, C =
−3 10 12 −3
.
A + B =
3 2 12 0 −11 −1 3
+
−5 1 −21 −1 20 2 −3
=
3−5 2 + 1 1−22 + 1 0−1 −1 + 21 + 0 −1 + 2 3−3
=
−2 3 −13 −1 11 1 0
,
soucet A + C nelze urcit, protoze matice A a C nejsou stejneho typu
Definice (nasobenı matice realnym cıslem)
Soucinem realneho cısla α a matice A typu (m, n) rozumıme matici B typu(m, n), pro jejız prvky platı
A + (−A) = (−A) + A = O existence opacne matice (−A) k matici A
Veta (nasobenı matic realnym cıslem)
Pro nasobenı matic realnym cıslem platı
α · A = A · α zakon komutativnı
α1 · (α2 · A) = (α1 · α2) · A = α1 · α2 · A zakon asociativnı
(α1 + α2) · A = α1 · A + α2 · A zakon distributivnı
α · (A + B) = α · A + α · B zakon distributivnı
Nasobenı matic
Definice (nasobenı matic)
Necht’ matice A je typu (m, n) a matice B je typu (n, p). Soucinem matic A a B(v tomto poradı) rozumıme matici C typu (m, p), pro jejız prvky platı
ci j = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj
pro i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p. Pıseme C = A · B (resp. C = AB).
Poznamka (nasobenı matic)
Soucin A · B lze slovne charakterizovat radek krat sloupec. Radky matice Anasobıme (skalarnım soucinem) sloupci matice B.Prvek ci j matice C se rovna skalarnımu soucinu i-teho radku matice A aj-teho sloupce matice B.
Pocet sloupcu prvnı matice A se musı rovnat poctu radku druhe matice B!
Pro nasobenı matic neplatı komutativnı zakon: obecne A · B 6= B · A.Existuje-li soucin A · B, nemusı soucin B · A existovat.
Chceme-li zduraznit poradı matic v soucinu A · B, rıkame, ze matici Anasobıme zprava maticı B nebo, ze matici B nasobıme zleva maticı A.
PoznamkaProtoze pro soucin matic neplatı komutativnı zakon, rozlisujeme dva distributivnızakony pro nasobenı maticı zprava a zleva.Stejne tak musıme rozlisovat mezi vytykanım matice doprava a doleva.
Definice (k-ta mocnina matice)
Soucin A · A · A · · ·A (k-krat) oznacme Ak a nazveme jej k-tou mocninoumatice A.
Prıklad (nasobenı matic)
Pro A =
(2 1−1 1
)je A2 = A · A =
(2 1−1 1
)(2 1−1 1
)=
(3 3−3 0
)
Veta (vlastnost jednotkove matice)
Pro ctvercovou matici A a jednotkovou matici I stejneho radu platı
AI = IA = A.
Prıklad (vlastnost jednotkove matice)
AI =
(2 −3−4 5
)(1 00 1
)=
(2 −3−4 5
)= A
IA =
(1 00 1
)(2 −3−4 5
)=
(2 −3−4 5
)= A
Hodnost matice
Definice (hodnost matice)
Hodnostı matice A rozumıme maximalnı pocet linearne nezavislych radkumatice. Hodnost matice A znacıme h(A).
Poznamka (hodnost matice)
Matice A ma hodnost h(A) = k, jestlize mezi radky teto matice existuje k linearnenezavislych radku, ale kazdych k + 1 radku matice je jiz linearne zavislych.
Prıklad (hodnost matice)
Matice
1 2 −10 −3 12 4 −2
ma hodnost 2, protoze
vektory ~a = (1, 2,−1), ~b = (0,−3, 1) jsou linearne nezavisle, ale
Rekneme, ze matice A je ve schodovitem tvaru, jestlize prıpadne nulove radkyjsou usporadany na konci matice a nenulove jsou usporadany tak, ze kazdynasledujıcı radek zacına vetsım poctem nul nez predchozı radek.
VetaLibovolnou nenulovou matici lze konecnym poctem ekvivalentnıch radkovychuprav prevest na matici ve schodovitem tvaru.
Poznamka (urcenı hodnosti matice)
Pri urcovanı hodnosti matice, prevedeme danou matici pomocı ekvivalentnıchradkovych uprav na schodovity tvar. Hodnost puvodnı matice se potom rovnapoctu nenulovych radku matice ve schodovitem tvaru.
Poznamka (klıcovy prvek)
Klıcovym prvkem rozumıme nenulovy prvek matice, pomocı nehoz ekvivalentnımiradkovymi upravami vytvarıme ve sloupci pod nım nuly.Radek a sloupec obsahujıcı klıcovy prvek se nazyvajı klıcovy radek a klıcovysloupec.
Uprava matice do schodoviteho tvaru
Postup upravy matice do schodoviteho tvaru1 Zacneme s nenulovym sloupcem nejvıce vlevo, tzv. klıcovy sloupec. V tomto
sloupci vybereme nenulovy prvek, tzv. klıcovy prvek. Vyhodne je za klıcovyprvek zvolit cıslo 1 nebo −1.
2 Klıcovy radek premıstıme pomocı zameny radku na pozici prvnıho radkuv matici.
3 Pomocı ekvivalentnıch radkovych uprav vytvorıme pod klıcovym prvkem nuly- vhodne nasobky klıcoveho radku pricteme ke vhodnym nasobkum radku podnım. Vznikne-li nulovy radek nebo radek, ktery je nasobkem jineho radku,vynechame ho.
4 Upravy 1–3 pouzijeme znovu na podmatici, ktera vznikne z puvodnı maticevynechanım klıcoveho radku.
5 Postup opakujeme tak dlouho, az dostaneme matici ve schodovitem tvaru.
Prıklad (hodnost matice)
Ucete hodnost matice A.3 −2 1 0 1−2 8 −1 −1 3
1 2 0 −1 2−1 2 0 1 0
←−
←− ∼
1 2 0 −1 2−2 8 −1 −1 33 −2 1 0 1−1 2 0 1 0
←−2
+
←−−−−
−3
+
←−−−−−−−+
∼
1 2 0 −1 20 12 −1 −3 70 −8 1 3 −5
0 4 0 0 2
←−←−
∼
1 2 0 −1 2
0 4 0 0 20 −8 1 3 −50 12 −1 −3 7
←−2
+
←−−−−
−3
+
∼
1 2 0 −1 20 4 0 0 20 0 1 3 −10 0 −1 −3 1
∼1 2 0 −1 2
0 4 0 0 20 0 1 3 −1
Ekvivalentnı matice ve schodovitem tvaru ma tri nenulove radky, proto hodnostmatice A je h(A) = 3.
VetaTransponovanı matice nemenı jejı hodnost, tj. pro libovolnou matici A platı
h(A) = h(AT ).
Poznamka (hodnost matice)
Vsechny uvedene ekvivalentnı radkove upravy muzeme provadet nejens radky, ale i se sloupci, a to aniz by se tım zmenila hodnost matice.
Hodnost matice lze chapat take jako maximalnı pocet linearne nezavislychsloupcu matice.
Poznamka
Ma-li matice A typu (m, n) hodnost h(A) = k, pak zrejme platı
k ≤ min{m, n}.
Linearnı zavislost, nezavislost vektoru pomocı hodnosti
Poznamka (linearnı zavislost a nezavislost vektoru)
O linearnı zavislosti ci nezavislosti vektoru muzeme rozhodnout pomocı hodnostimatice.Mejme m vektoru stejneho rozmeru n. Tyto vektory zapıseme do matice A tak, zejejı radky budou tvorit dane vektory. Dostaneme matici A typu (m, n). Vektoryjsou
linearne nezavisle, pokud h(A) = m,
linearne zavisle, pokud h(A) < m.
Prıklad (linearnı zavislost a nezavislost vektoru)