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Physik II für Chemiker (4-st., SS 2006)
I) Vektorraum, Fourierzerlegung, Operatoren I, Matrizen
VIII)Physik des LasersErzeugung kohärenter elektromagnetischer Wellen
IX) Grundzüge der magnetischen KernresonanzAtome signalisieren ihre chemische Umgebung
X) Streiflichter aus der FestkörperphysikGitterstruktur, Phononen
Prüfungsanmeldung: im kommentierten Vorlesungsverzeichnis der Unihomepage http://univie.ac.atbei Vorlesung Physik II den Link Prüfungsanmeldung und Information anklickenabmelden, neuen Termin anfordern: e-mail [email protected], 06991 3325267 (Sprachbox)Prüfungsort: 1090 Wien, Boltzmanngase 5, Parterre Zimmer 32 nebem dem Aufzug
Lernbehelfe:
math Formalismus:
C.B.Lang und N.Pucker, Mathematische Methoden der Physik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998
H.G.Zachmann; Mathematik für Chemiker, korr.Nachdruck der 5.Aufl., Wiley VCH, Weinheim 2004
H.Schulz, Physik mit Bleistift, 4. Aufl. Springer, Be rlin 2001
Tensorrechnung:
E.Klingsbeil, Tensorrechnung für Ingenieure, BI, Mannheim 1966
Fouriertransformation:
T.Butz, Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner, Leipzig 1998
J.F.James, A Student’s Guide to Fourier Transformations, 2. Aufl., Cambridge University Press, Cambridge 2002
Relativitätstheorie:
K.R.Atkins, Physik, 2. Aufl., Walter de Gruyter, Berlin 1986
P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003
Quantenmechanik:
H.Pietschmann, Quantenmechanik verstehen, korr. Nachdruch der 1. Auflage, Springer, Berlin 2003
P.A.Tipler, R.A.Llewellyn, Moderne Physik, Oldenbourg, München 2003
ist F(t) gerade und reell, ist es Φ(ω) ebenso, dann AA ˆˆ 1 =− ,
ist F(t) ungerade und reell, ist Φ(ω) imaginär und AA ˆˆ 1 −=−
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Klang und Frequenzspektrum
Knall und Frequenzspektrum
Gorgas
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Fraunhofer’sche Beugung
Ausdehnung normal zur Zeichenebene sei überall die Einheitslänge
Ebene Apertur in einer Phasenfläche der einlaufenden ebenen Welle mit Durchlässigkeitsfunktion A(x) ergibt die Sekundärquelle.
Sei in Q der Sekundärquelle die Amplitude tiexACtxy ω)(),( = , dann verursacht ein infinitesimaler Streifen der Höhe 1 am Ort Q eine Amplitude auf dem Schirm in P rkiti
s eexACdy ′−′= ω)( ,mit -2πr´/λ = - k r´ Phasendifferenz der Welle zwischen Q und P
Wählt man den Zeitpunkt t = 0 so, dass die Phase der Welle in S verschwindet, ergibt sich für den Punkt P:
∫ ′−′=Apertur
rkis edxxACPy )()( mit r´ = r0 – x sinθ ergibt die Aufsummierung
aller Streifen der Sekundärquelle:
∫−′=Apertur
xkirkis edxxAeCPy ϑsin)()( 0 und mit p = k. sinθ
∫+∞
∞−
= dxexACPy ips
π
π2´´ )(
2
1.)( ,
die Lage auf dem Schirm hängt dann noch vom Abstand selbst ab.Das Beugungsmuster ergibt sich als Fouriertransformierte der Durchlässigkeitsfunktion mit p = k. sinθ.Die Größe des Musters hängt von der Geometrie ab.
Kastenfunktion F(x)
F(x)
pa
pasina)p(
ππ=Φ
)p(Φ
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Diracsche Deltafunktion
<<−=
sonst0
x21
)x(dεεε
)x(dlim)x(0→
=ε
δ
Alternativ: ∫∞
∞−
−⋅=+
⋅= dkee2
1
x
2
2
1)x(d kikx
22ε
πεε
π
Limes ergibt ∫∞
∞−= dke
2
1)x( ikx
πδ
Fouriertransformierte von δ - Funktionen
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OperatorenGaußfunktion
22 axe)x(G −=
)x(G
222 paea)p(g ππ −=
)p(g
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Vektorraum der quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen(z.B. Wellenfunktionen, Orbitale)
betrachtet werden Funktionen Ψ (x), x ∈ R1, eindeutig und stetig mit
Cdxxdxxx =Ψ=ΨΨ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
2|)(|)().(* reell, endlich
Betrag |a+ib| = r kpl. Größen aus a +ib = r.eiϕ, r = (a+ib).(a−ib)= a2+b2
)(xΨ (auf 1) normierbar, Ψ(x) = )(1
xC
Ψ , ∫∞
∞−=ΨΨ 1)().(* dxxx ,
also muss Funktion integrierbar sein und hinreichend rasch im
Unendlichen verschwinden.
Dann kann skalares Produkt definiert werden:
(Ψ(x), Φ(x)) = ∫∞
∞−ΦΨ dxxx )().(* , auch )(|)( xx ΦΨ
(bracket) bra- und ket- Vektor
mit der Norm ( ))(),( xx ΨΨ = 1 (siehe oben)
Operatoren A vermitteln Abbildungen des Vektorraums auf sich selbst
A Φ = ψ(x) und sind linear, wenn für bel. komplexe Zahlen a und b
sowie Fkt. f(x) und g(x) gilt: A(a.f(x)+b.g(x)) = a.A(f(x) +b.A(f(x))
Einfache hermitesche Operatoren quadratint. Fkt.
Definition des adjungierten (= hermitesch konjugierten) Operators:A† ist adjungiert zu A, wenn für f und g bel.: <f|A g> = <A†f|g>A ist hermitesch (= selbstadjung.), wenn A† = A, also <f|A g> = <A f|g>
oder explizit mit <f(r)|g(r)> = ∫f(x)g(x)dx:
A hermitesch: ∫f*(x) A g(x) dx= ∫A*(f*(x)) g(x) dx= ∫ (A.f(x))* g(x) dx
Einfachste hermitesche Operatoren: Ortskoordinate x; weil reelle Zahl,
kein Einfluss von Reihenfolge und komplex konjugieren
∫∞
∞−*f (x).x.g(x)dx = ** fx∫
∞
∞−
(x) g(x)dx = *fx∫∞
∞−
(x) g(x)dx
Einfacher Differentialoperator: c.d/dx = c.∂x hermitesch, mit c= const.
b ist noch frei wählbar (physikalisch sinnvoll − : Impulsoperator).
Hermitesche Operatore haben reelle Eigenwerte: setze in Definition für
hermiteschen Operator gleiche Eigenfunktion ein:
λ*.∫fn*(x).fn(x) dx = λ.∫fn*(x).fn(x)dx ⇒ λ* = λ
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Michelson - Morley – Experiment Lichtuhr
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Messung der Relativgeschwindigkeit Uhrenvergleich - die bewegte Uhr erscheint langsamer
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Lorentztransformation
Transformation soll c invariant lassen, Übergang für v << c inGalileitransformation x‘ = x + v.t; x = x‘ − v.t; t bleibt untransformiert.
Ansatz: Faktor γ: x‘ = γ.(x + v.t); x = γ.(x‘ − v.t‘) mit γ → 1 für v/c→0
Für t =0 sei Ursprung in S und S‘ gemeinsam, Lichtsignal werde ausgesandt,Ort zum Zeitpunkt t in beiden Systemen betrachtet zur Berechnung von γ: in S: x =c.t, in S‘: x‘ = c.t‘, setze Ansatz für x und x‘ ein:
zur Berechnung der neuen Transformationsgleichung der Zeit setzt man in x‘ = γ.(x + v.t) für x = γ.(x‘ − v.t‘) ein: x‘ = γ.(γ.(x‘ − v.t‘) + v.t) und ordnet neu: γ.v.t = (1−γ2).x‘ + γ2vt‘ ⇒ t = x‘.(1−γ2)/γv + γ .t‘ = γ .[t‘ + (1/γ 2 – 1).x‘/v] = γ.(t‘ – v.x‘/c2), alsozusammen
Lorentztransformation:
x = γ.(x‘ – v.t‘), y = y‘, z = z‘, 2v.x't .(t'- )c
γ=
x‘ = γ.(x + v.t), y‘ = y, z‘ = z, 2
v xt tc
γ= + .' .( )
Geschwindigkeitsaddition: bewegt sich ein Teilchen in einem System mit v‘ und dieses bewegt sich mit vr gegen ein weiteres System, so misst man
dort als Teilchengeschwindigkeit rr
2
v vvv' v1c
+′=+
Neuformulierung der Mechanik:
Masse m = m0.γ , mit m0 Ruhemasse; Impuls p = m.v = m0.v.γ;Gesamtenergie eines Körpers der Ruhemasse m0 bei v: E = m0c
2.γ , nähertman γ ≈ 1 + ½.(v/c)2 ⇒ E = m0.c
2 + ½.m0.v2
Energiedichte der Hohlraumstrahlung
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Der photoelektrische Effekt
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Unschärferelation
hxpc
hsinp
sinx
x
x
≈⋅
=
≈
∆∆
∆
∆
νθ
θλ
Operatoren des Elektronenspins: Spinmatrizen
Gibt man Richtung vor (z-Richtung): 2 Einstellungen des Elektronenspins. Faktor h/2 zuerst herausheben und weglassen; am Ende wieder einfügen. Basis zur Messung in z-Richtung η+, η−, Spinoperator in z-Richtung σz mit σz η+ = 1.η+, σz η− = (−1).η−.
Struktur der Zusammenhänge lässt sich mit Matrizen und ihrenEigenvektoren (keine Vektoren im Ortsraum!!) am besten darstellen:
−=
=
= −+ 10
01
1
0
0
1zσηη ; η±, keine EV von
=
01
10xσ
da gilt: σx η+ = η−, σx η− = η+, aber σx ist ebenfalls hermitesch,Eigenvektoren η± sind orthonormale Basis, Eigenwerte ±1, Spinwerte: ± h/2; σx hat andere Eigenvektoren, Messung des Spins in x-Richtung:
σx ξ+ = 1.ξ+, σx ξ− = (−1).ξ−, mit
−=
= −+ 1
1
2
11
1
2
1 ξξ ;
σz, σx haben verschiedene Eigenvektoren, Reihenfolge wichtig:Kommutator
[ ] =
−
−
−=−=
10
01
01
10
01
10
10
01, zxxzxz σσσσσσ
−
=
−
−
−=
02
20
01
10
01
10≠
00
00.
Haben A, B gleiche Eigenvektoren: A ν = a.ν; B ν = b.ν ⇒⇒AB ν = a.b.ν BA ν = b.a.ν und AB = BA das bedeutet:
Reihenfolge der Messungen umkehren gibt dieselben Meßwerte, Operatoren vertauschbar, Kommutator [A, B] = (A B − B A) = 0.
Struktur besser erkannt, wenn p ⇒ dxdi /h− in A2 im Ausdruck ganz obenund zwei neue Operatoren definiert, die verschiedene Zustände verbinden:
adx
d
mx
m
m
Pix
ma ,
2
ˆ
2
+=
+= hω
ωω
ω†
−=
−=
dx
d
mx
m
m
Pix
m hωω
ωω 2
ˆ
2
nicht hermitesch, daher entspricht ihnen keine Messung.
man kann x und P)
damit darstellen: aam
x += (2
1
ω†), aa
miP −−= (
2ˆ ω † );
für die Quadratbildung braucht man die Kommutatoren: es gilt
[a,a†] = [ ] [ ] ( ) hhh =−−=
−=
−+ ii
iPx
m
ixP
m
im
m
Pix
m
Pix
m
2ˆ,,ˆ
2
ˆ,
ˆ
2ωω
ωωω
ω daher
x2=ωm2
1(a2+a†2+a†a+aa†),
2ˆ 2 ωm
iP −= .(a2+a†2−a†a−aa†), einsetzen für H gibt:
H = ω/2.(a†a+aa†)= ω.(a†a+ h /2); wegen [AB,C] = A[B,C] + [A, C]B: [H, a]= ω[ a†a, a] = ω[ a†, a]a = −h ω a, ebenso [H, a†] = h ω a†; a†, a Leiteroperatoren, denn wenn un(x) Energieeigenfunktion mit EW ωn:a† un(x) = wn
+ (x): (H a†−a† H) un(x) = h ω a†un(x) ⇒ H wn+−ωn wn = h ω wn
+, also H wn
+ = h (ωn+ ω) wn+, analog: a un(x) = wn
−(x) ⇒ H wn− = (ωn− ω) wn
−,
Eigenwertspektrum wird En = h ω(n + ½), Grundzustandsenergie hω/2
Grundzustand a u0(x) = 0, also 0)(0 =
+⋅ xu
dx
d
mx
hω gibt
u0(x) = C.exp(−mωx2/(2h) = h
h24
2xm
em
ω
πω
−
(Normierung); höhere aufbauen mit a† und
Normierung: un(x) = cn a†.un-1 = hn
1 a un-1 = )()(
2 1 xudx
d
mx
n
mn−−
ωω h
h.
Lösungen sind Produkte der Hermitepolynome Hn(x) mit Exponentialfunktion: