Vektorilaskenta

VEKTORILASKENTA

Timo Mäkelä

SISÄLTÖ:

1 VEKTORIN KÄSITE ...........................................................................................................1

2 VEKTOREIDEN PERUSLASKUTOIMITUKSET ..........................................................3

2.1 VEKTOREIDEN YHTEENLASKU..........................................................................................3 2.2 VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU .....................................................................................4 2.3 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA...................................................................................6 2.4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY................................................................................7

3 TASON VEKTORIT.............................................................................................................9

3.1 KOORDINAATTIESITYS ...................................................................................................10 3.2 PAIKKAVEKTORI.............................................................................................................12 3.3 VAIHEKULMA.................................................................................................................13 3.4 TASON NAPAKOORDINAATISTO ......................................................................................19

4 AVARUUDEN VEKTORIT...............................................................................................20

4.1 SUORAKULMAINEN AVARUUSKOORDINAATISTO ............................................................20 4.2 KOORDINAATTIESITYS ...................................................................................................20 4.3 AVARUUDEN KANTA ......................................................................................................23 4.4 PAIKKAVEKTORI.............................................................................................................24 4.5 SOVELLUKSIA.................................................................................................................25 4.6 SUORA............................................................................................................................28

4.6.1 Tasosuora ..............................................................................................................31

5 SKALAARITULO ..............................................................................................................33

5.1 MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET ...................................................................................33 5.2 SKALAARITULO KOORDINAATTIMUODOSSA ...................................................................35 5.3 VEKTORIN KOHTISUORA PROJEKTIO ...............................................................................39 5.4 TASO ..............................................................................................................................40

5.4.1 Pisteen etäisyys tasosta .........................................................................................41 5.4.2 Tasosuora ..............................................................................................................42

5.5 PALLO ............................................................................................................................43 5.5.1 Ympyrä ..................................................................................................................44 5.5.2 Neliöksi täydentäminen .........................................................................................46

6 VEKTORITULO.................................................................................................................47

6.1 POSITIIVINEN SUUNNISTUS .............................................................................................47 6.2 MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET ...................................................................................48 6.3 VEKTORITULO KOORDINAATTIMUODOSSA .....................................................................49 6.4 VOIMAN MOMENTTI PISTEEN SUHTEEN...........................................................................51

Vektorilaskenta 2

7 SKALAARIKOLMITULO ................................................................................................53

7.1 MÄÄRITELMÄ.................................................................................................................53 7.2 SOVELLUKSIA.................................................................................................................54 7.3 TASON DETERMINANTTIMUOTO......................................................................................55

Vektorilaskenta 1

1 VEKTORIN KÄSITE Monet suureet voidaan ilmaista yhdellä luvulla ja siihen liittyvällä yksiköllä. Tällaisia ovat esi-merkiksi janan pituus, kappaleen tilavuus, lämpötila, aika jne. Näitä suureita kutsutaan skalaa-reiksi. On myös suureita, joiden kuvaamiseen tarvitaan tieto paitsi suuruudesta myös suunnasta. Tällai-sia suureita ovat esimerkiksi voima, nopeus, kiihtyvyys jne. Näitä kutsutaan vektoreiksi. Vekto-rille on ominaista, että sillä on suuruus ja suunta. Vektori on jana, johon liitetään suunta sopimalla janan toinen päätepiste alkupisteeksi ja toi-nen loppupisteeksi.

A

B

AB

Sovittu suunta osoitetaan nuolen kärjellä. Vektoria, jonka alkupiste on A ja lop-pupiste on B, merkitään AB . Loppupistettä B kutsutaan vektorin kärjeksi. Vektoria voidaan merkitä myös yhdellä kirjaimella au , , GF , ,...

Vektorin AB pituudella eli itseisarvolla eli normilla tarkoitetaan janan AB pituutta ja sitä mer-kitään AB .

Pituus AB on reaaliluku, johon voi liittyä yksikkö. Vektorin pituus on aina suurempi tai yhtä

suuri kuin nolla: 0≥AB .

Vektorit a ja b ovat yhdensuuntaiset a || b jos ne sijaitsevat yhdensuuntaisilla suorilla. Yhdensuuntaiset vektorit a ja b voivat olla • samansuuntaiset ba ↑↑ • vastakkaissuuntaiset ba ↑↓ Tärkeitä erikoisvektoreita ovat • nollavektori, joka on sellainen vektori, jonka alku- ja loppupisteet yhtyvät. Nollavektoria

merkitään 0 . Siis nollavektori on vektori, jonka pituus on nolla: 00 =⇔= aa Nollavektori eroaa muista vektoreista siinä, että sen suunta on epämääräinen. Sovitaan, että nollavektori on samansuuntainen jokaisen vektorin kanssa.

aa°

1

• yksikkövektori, joka on sellainen vektori, jonka pituus on yksi. Vektorin a kanssa samansuuntaista yksikkövektoria merkitään 0a . Yksikkövekto-ria käyttäen voidaan ilmoittaa suunta avaruudessa.

Vektorilaskenta 2

Vektorin määrittää täysin sen pituus ja suunta: Vektorit ba ja ovat samat

ba = , ba

jos niillä on sama pituus ja sama suunta. Siis

⎪⎩

⎪⎨⎧

↑↑

=⇔=

ba

baba

Edellä olevan perusteella vektori ei ole sidottu tiettyyn paikkaan: Vektori voidaan siirtää sen suunta ja pituus säilyttäen ilman, että vektori muuttuu toiseksi.

a −a

Vektorin a vastavektori a− on vektori, joka on yhtä pitkä kuin vektori a , mutta vastakkaissuuntainen. Määritelmän mukaan aa =−

a− ↑↓ a Vastavektorin vastavektori on vektori itse: ( ) aa =−− .

Nollavektorista eroavien vektoreiden ba ja välisellä kulmalla ( )ba , tarkoitetaan pienempää niistä kahdesta kulmasta, jotka muodostuvat, kun vektorit on asetettu alkamaan samasta pistees-tä. Tällöin ( ) ( )abba ,, = a

b

( )ba ,

( ) °≤≤° 180,0 ba .

Erikoisesti on voimassa a ↑↑ ( ) °=⇔ 0,bab

a ↑↓ ( ) °=⇔ 180,bab .

Vektoreiden ba ja sanotaan olevan kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos ( ) °= 90,ba . Tällöin merkitään ba ⊥ . Siis

( ) °=⇔⊥ 90,baba .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 1: 1. Olkoon nelikulmio ABCD suunnikas. Mitkä nelikulmion kärkipisteitä yhdistävistä vektoreis-

ta ovat samoja kuin

a) BC b) AB− ?

A B

CD

2. Määritä kuvan tilanteessa kulmat: a) ( )ba , b) ( ca , ) c) ( )cb ,

Vektorilaskenta 3

ca

35°

b

2 VEKTOREIDEN PERUSLASKUTOIMITUKSET Seuraavassa esitetään vektoreiden peruslaskutoimitukset yhteenlasku, vähennyslasku ja luvulla kertominen.

2.1 Vektoreiden yhteenlasku

ab

ba +

Vektoreiden a ja b summa ba + on vektori, jonka alkupiste on a :n alkupiste ja loppupiste b :n loppupiste, kun b on asetettu alkamaan a :n loppupisteestä.

Summavektoria kutsutaan myös resultantiksi ja yhteenlaskettavia komponenteiksi. Vektoreiden yhteenlasku noudattaa seuraavia sääntöjä:

aaa =+=+ 00 Nollavektorin ominaisuus ( ) ( ) 0=+−=−+ aaaa Vastavektorin ominaisuus

abba +=+ Vaihdantalaki ( ) ( )cbacba ++=++ Liitäntälaki

Perustelu: Koska nollavektorin alku- ja loppupiste yhtyvät, on nollavektorin ominaisuus voimassa. Jos vektorin loppupistettä siirretään sen vastavektorin verran, niin päädytään alkupisteeseen. Siis vastavektorin ominaisuus pätee.

Yllä olevien kuvien perusteella nähdään, että vektoreiden yhteenlasku noudattaa vaihdanta- ja liitäntälakia.

a b+a cb

b c+a

a

b

b

( ) ( )cbacba ++=++

Vektorilaskenta 4

Liitäntälain perusteella vektoreiden summa voidaan esittää ilman sulkuja ja Summa voidaan muodostaa asettamalla komponenttivektorit peräkkäin. Koska kolmiossa sivun pituus on pienempi kuin kahden muun sivun pituuksien summa, on voi-massa kolmioepäyhtälö:

baba +≤+

25o

FN

G 25o

G F

ESIMERKKI: Kappale kaltevalla tasolla Tarkastellaan tapausta, jossa kappale (massa m = 60 kg) pysyy levossa kitkattomalla kalte-valla tasolla. Kuvan tilanteessa kappaleeseen vaikuttaa kolme voimaa: painovoima G , tuki-voima N ja kaltevan tason suuntainen vetävä voima F . Voiman G itseisarvo on

N81,960 ⋅== mgG . Määritetään voiman F itseisarvo siten, että kappale pysyy paikal-laan. Kappaleen levossa pysymisen ehtona on, että kaikkien siihen vaikuttavien voimien summa on nollavektori. Piirretään summakuvio. Se on suorakulmainen kolmio, josta saadaan

N250N753,24825sinN81,960 ≈=°⋅⋅=F .

2.2 Vektoreiden vähennyslasku Vektoreiden a ja b erotuksella ba − tarkoitetaan a :n ja vektorin b vastavektorin summaa:

( )baba −+=−

a

−bb

a b−

ab

a b−

Vektoreiden erotus voidaan muodostaa pelkästään a :n ja b :n avulla seuraavasti:

Kun vektorit a ja b asetetaan alkamaan samasta pisteestä, erotusvektorin a b− alkupiste on b :n loppupiste ja loppupiste a :n loppupiste.

Vektorilaskenta 5

Usein vektorin päätepisteisiin osoittavat samasta pisteestä alkavat vektorit. Tällöin vektori voidaan esittää loppupisteeseen osoitta-van ja alkupisteeseen osoittavan vektorin erotuksena.

a

b c

Kuvassa O bac −=

HARJOITUSTEHTÄVÄT 2:

1. Vektoreiden 7=b ba + ba −4=a ja b pituudet ovat , . Määritä ja a , kun

a) a ↑↑ b b) a ↑↓ b c) a ⊥ b .

2. Vektoreista a ja b tiedetään, että 86,3=a , 74,2=b ja ( ) °= 2,69,ba . Määritä ba +

ja ba − . H

3. Oheinen kuvio esittää suuntaissärmiötä. Lausu vektoreiden DAu = , DCv = , DHw = avulla vektorit

a) AC b) BH c) BG .

G

E F C D

4. Köysi on kuormitettu kuvion mukaisesti. Laske köysiin kohdis-tuvat voimat, kun F = 760 N

B A

F

5. Tolppaa vedetään irti maasta kohdistamalla tolpan päähän kuvan osoittamalla kaksi voimaa F ja G , jotka ovat samas-sa pystysuorassa tasossa. Mikä on voimien suuruksien suh-teen oltava, jotta voimien resultantti suuntautuisi suoraan ylöspäin?

6. Purjelentokone lentää kohti etelää 160 km/h (nopeus maahan nähden). Tuuli puhaltaa itäkaa-kosta ja purjelentokoneen nopeusmittarin lukema on 185 km/h. Mihin suuntaan lentäjä ohjaa konetta ja mikä on tuulen nopeus?

66° 35°

G F

73° 50°

Vektorilaskenta 6

2.3 Vektorin kertominen luvulla Reaaliluvuille käytetään vektoreiden yhteydessä nimitystä skalaari. Vektorin kertominen skalaa-rilla määritellään seuraavasti:

Reaaliluvun p ja vektorin a tulo ap on vektori, joka toteuttaa ehdot

1. apap = (tulovektorin pituus)

2. ⎪⎩

⎪⎨⎧

<↑↓

>↑↑

0 jos ,0 jos ,

paappaap

. (tulovektorin suunta)

a

3a−2a

−4a

Määritelmän ehdosta 1 seuraa tulon nollasääntö (totea tämä!):

0 tai00 ==⇔= apap

Reaaliluvun ja vektorin tulon määritelmän mukaan vektorit a ja pa ovat yh-densuuntaiset. Kääntäen on voimassa:

Jos a ja 0≠b ovat yhdensuuntaiset vektorit, niin on olemassa skalaari p siten, että bpa = .

Perustelu: Suoraan skalaarin ja vektorin tulon määritelmää käyttäen todetaan helposti (tarkista kohdat 1 ja 2), että

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

↑↓−

↑↑

=

babba

babba

akun ,

kun ,

Erityisesti, jos ba ↑↑ , niin

bba

a =

Olkoot a ja b vektoreita sekä p ja q skalaareja. Voidaan osoittaa, että seuraavat laskulait ovat voimassa:

( ) ( )apqaqp = Liitäntälaki

( )

( ) aqapaqpbpapbap

+=++=+

Osittelulait

ESIMERKKEJÄ 1. aa =1 ( ) aa −=−1

2. Jos vektori e on yksikkövektori ( 1=e ), niin vektorin pe pituus on

Vektorilaskenta 7

pepep == .

3. Vektorin a suuntainen yksikkövektori on

aa

a 10 =

sillä

a) aaa

↑↑1 , koska 01

>a

b) 111== a

aa

a

Kertomalla yo. yhtälö puolittain a :lla saadaan

0aaa = .

Edellä olevan mukaan vektori on määrätty, kun tunnetaan sen normi ja suunta: Jos vektori a normi on r, niin 0ara =

Voimilla laskettaessa tämä voidaan esittää seuraavassa muodossa:

Jos voimasta F tunnetaan

• itseisarvo pF =

• vaikutussuunta s , niin voima F voidaan esittää muodossa 0spF =

2.4 Vektorilausekkeiden käsittely Verrattaessa vektoreiden laskusääntöjä reaalilukujen laskusääntöihin havaitaan että ne ovat hy-vin samanlaisia. Vektorilausekkeita sievennettäessä voidaankin soveltaa tuttuja algebran sääntö-jä. Myös skalaariyhtälöiden käsittelysäännöt ovat voimassa vektoriyhtälöille.

ESIMERKKEJÄ 1. On laskettava summa wvu 32 +− , kun

kjiwkjiv

kjiu

42243

32

++=

−+=

+−=

Ratkaisu: ( ) ( ) ( )kjikjikjiwvu 42324332232 +++−+−+−=+−

kjikjikji 1263243642 ++++−−+−=

Vektorilaskenta 8

kji 2022 +−=

2. On ratkaistava vektoriyhtälö xbax +=− 263 .

bax

baxxbax

+=

+=

+=−

3262263

3. Piste P jakaa janan AB suhteessa AP : PB = m : n. Piste O on janan AB ulkopuolella1 oleva piste. On lausuttava vektori OP vektoreiden OAa = ja OBb = avulla.

Ratkaisu: Kuvan merkinnöillä havaitaan, että vektori OP voidaan lausua vektoreiden sum-mana

OA

B

(m)

(n)

P b

a

APOAOP += .

Koska ABAP ↑↑ , on luvun 2.3 tuloksen perusteella

ABAB

APAP = .

Jakosuhteen perusteella tämä voidaan kirjoittaa muotoon

ABnm

mAP+

= .

Lausumalla vektori AB päätepisteisiin osoittavien vektoreiden a ja b avulla (ks. luku 2.2) saadaan edelleen

( )abnm

maABnm

maAPOAOP −+

+=+

+=+=

bnm

manm

nbnm

manm

manm

mbnm

ma+

++

=+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+−

++= 1

Saatiin siis bnm

manm

nOP+

++

= .

Erikoisesti silloin kun P on janan AB keskipiste (m n= = 1), on

( )babaOP +=+=21

21

21

HARJOITUSTEHTÄVÄT 2:

7. Lausu wvu 342 −− vektoreiden , b ja a c avulla, kun cbau −+= cbav +−= 32 cbaw 232 ++−= .

8. Ratkaise vektori x yhtälöstä ( ) bxax 35,625,2 +=+ .

1 Piste O saa olla myös janalla AB.

Vektorilaskenta 9

9. Oheisessa kolmiossa on OP : PA = 2 : 1 ja AQ : QB = 5 : 2. Lausu vektori PQ vektoreiden OAa = ja OBb = avulla.

O A

BQ

P

a

b

10. Oheisessa tetraedrissa on AP : PB = 1 : 3 ja AQ : QC = 7 : 2. Lausu vektori PQ vektoreiden

OAa = , OBb = ja OCc = avulla.

O A

B

Q

Pa

bc

C

11. Oheisessa kuviossa C on sivun AB keskipiste ja OM : MC = 3 : 7. Lausu vektori MA vekto-

reiden OAa = ja OBb = avulla.

O

B

C M A

A B

CD12. Olkoon ABCD kuvan mukainen suunnikas. Olkoon P sivun AB keskipiste ja Q sivun CD piste siten, että CQ : QD = 4 : 1. Lausu PQ vektoreiden a AB= ja b AD= avulla.

3 TASON VEKTORIT Jos vektori u on yhdensuuntainen tason T kanssa, niin sanotaan, että u on tason T vektori. Eri-tyisesti vektori, jonka alku- ja loppupiste sijaitsevat tasossa, on tason vektori. Tässä luvussa ole-tetaan, että vektorit ovat saman tason vektoreita. Olkoot a ja b kaksi erisuuntaista vektoria tasossa. Osoi-tetaan, että mielivaltainen tason vektori u voidaan jakaa a :n ja b :n suuntaisiin komponentteihin.

Olkoon ABu = . Piirretään u :n alkupisteen A kautta vektorin a suuntainen suora ja u :n loppupisteen B kaut-ta vektorin b suuntainen suora. Koska vektorit a ja b ovat erisuuntaisia, leikkaavat suorat toisensa. Merkitään leikkauspistettä kirjaimella C (ks. kuvaa). Vektori u voidaan nyt esittää summana

a

b u B

C A

Vektorilaskenta 10

CBACu += .

Koska aAC || on olemassa luku p (ks. luku 2.3) siten, että

apAC = .

Vastaavasti on olemassa luku q siten, että

bqCB = .

Siis vektorille saadaan esitys bqapu += ,

eli vektori u voidaan jakaa a :n ja b :n suuntaisiin komponentteihin. Erisuuntaisia vektoreita a ja b sanotaan tason kantavektoreiksi ja lukuja p ja q vektorin u koordinaateiksi kannan a , b suhteen. Koska pisteen A kautta kulkee täsmälleen yksi vektorin a suuntainen suora ja pisteen B kautta kulkee täsmälleen yksi vektorin b suuntainen suora ja erisuuntaiset suorat leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä, ovat luvut p ja q yksikäsitteiset: ne määräytyvät täysin vektorista u .

3.1 Koordinaattiesitys Yksinkertaisin tason koordinaattiesitys on sellainen, missä vektorit esitetään toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien yksikkövektoreiden i ja j avulla.

ji

u

u ix

u jy

Edellä todetun perusteella jokainen vektori u voidaan yksi-käsitteisesti jakaa vektoreiden i ja j suuntaisiin koh-tisuoriin komponentteihin ts. esittää muodossa

juiuu yx +=

Lukuja ja u sanotaan vektorin ux y u koordinaateiksi vektoreiden i ja j suhteen. Itse esitystä sanotaan vektorin koordinaattiesitykseksi. Vektorin koordinaatit i :n ja j :n suhteen ovat yksikäsitteiset: kaksi vektoria ovat samat täsmäl-leen silloin, kun niiden koordinaatit ovat samat

⎩⎨⎧

==

⇔

+=+

yy

xx

yxyx

vuvu

jvivjuiu

Erikoisesti vektori on nollavektori täsmälleen silloin kun sen molemmat koordinaatit ovat nollia

⎩⎨⎧

==

⇔

+==+

00

000

y

x

yx

uu

jijuiu

Tarkastellaan vektoria juiuu yx += . Koska (!) xxx uiuiu == ja

vastaavasti yy uju = , saadaan Pythagoraan lauseen (!!) perusteella (ks. kuvaa)

u x

u yu

Vektorilaskenta 11

22222yxyx uuuuu +=+= .

Täten vektorin normi eli pituus voidaan laskea seuraavasti:

Vektorin juiuu yx += normi on

22yx uuu +=

Huomautus: Vektorin normin kätevä kaavaa perustuu siihen, että i ja j ovat

• yksikkövektoreita (kohta !) • kohtisuorassa toisiaan vastaan (kohta !!) Käyttäen vektoreiden laskulakeja havaitaan, että koordinaattimuodossa annettujen vektoreiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen voidaan suorittaa koordinaateittain:

Jos juiuu yx += ja jvivv yx += , niin

( ) ( ) jvuivuvu yyxx +++=+ .

Jos juiuu yx += ja p on reaaliluku, niin

( ) ( ) jpuipuup yx += .

Huomautus: Koska vektorin u koordinaattiesitys vektoreiden i ja j suhteen

juiuu yx +=

on yksikäsitteinen, määräytyy vektori täysin koordinaateistaan. Vektori voidaan siis esittää myös ilmoittamalla vain koordinaatit eli muodossa ( )yx uuu ,= .

Tässä muodossa annettujen vektoreiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen tapahtuvat seuraa-vasti: ( ) ( ) ( )yyxxyxyx vuvuvvuu ++=+ ,,,

( ) ( )yxyx pupuuup ,, =

ESIMERKKEJÄ 1. Määritetään vektorien jiu 32 += ja jiv +−= 5 resultantin normi.

Ratkaisu: ( ) ( ) jijivu 431352 +−=++−=+ . Siten

( ) 543 22 =+−=+ vu .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 3: 1. Oheisessa kuvassa yksikön pituus on kaksi ruutua. Määritä kuvan vektoreiden koordinaatit

vektoreiden i ja j suhteen.

Vektorilaskenta 12

d

c

b a j

i 2. Millä s:n ja t:n arvoilla on voimassa

( ) ( ) 01 =−−− jsits ? 3. Millä s:n ja t:n arvoilla vektorit

( ) jsitv −−= 32 ja ( ) jtisw 13 ++= ovat samat?

4. Määritä seuraavien vektoreiden pituudet a) jiu 53 += b) jiv 62 +−=

5. Määritä vektoreiden jia 5,15,3 −= , jib 6,23,2 +−= ja jic 2,57,4 −= resultantti. Mikä on resultantin normi?

6. Määritä vektorin wvu 5,44,23,3 −+ normi, kun

jiwjiv

jiu

−−=

−=

−=

223

7. Ratkaise vektoriyhtälö jxix 5,190,25,155,4 −=−

8. Millä t:n arvoilla vektorin ( ) jti ++ 25 pituus on 10. 9. Määritä vektorin ji 53 +− kanssa

a) samansuuntainen b) vastakkaissuuntainen yksikkövektori.

10. Suunnikkaan sivuina ovat vektorit ji +4 ja ji 32 + . Määritä suunnikkaan lävistäjien pituu-det.

3.2 Paikkavektori Vektoria r , jonka alkupiste on xy-koordinaatiston origo ja loppupiste on P, kutsutaan pisteen P paikkavektoriksi. Paikkavektori ilmaisee xy-tason pisteen sijainnin origon suhteen.

P (x ,y )

x

y

jix

y

O

Vektorit i ja j valitaan aina siten, että • i on positiivisen x-akselin suuntainen yksikkövektori • j on positiivisen y-akselin suuntainen yksikkövektori. Tällöin pisteen P(x, y) paikkavektorin r koordinaattiesitys vektoreiden i ja j suhteen on

jyixr +=

eli pisteellä ja paikkavektorilla on samat koordinaatit.

Vektorilaskenta 13

Jos vektoreille käytetään edellisen luvun huomautuksessa käytettyä esitystä, on pisteen ( )yx, paikkavektori ( )yxr ,= .

Siis pisteellä ja paikkavektorilla on sama esitys. Tämä ei kuitenkaan haittaa, sillä piste voidaan samaistaa paikkavektorinsa kanssa.

ESIMERKKEJÄ 1. Janan AB päätepisteet ovat A = (6, 4) ja B = (–3, 2). Määritä janan keskipiste P. Ratkaisu: Janan päätepisteiden paikkavektorit ovat

jib

jia23

46+−=

+=

Luvun 2.4 esimerkin 3 mukaan keskipisteen P paikkavektori on

( ) ( ) ( ) jijijijibaOP 35,163212346

21

21

+=+=+−+=+=

x

A

BP

O

ab

Siis janan AB keskipiste on P(1,5; 3,0).

HARJOITUSTEHTÄVÄT 3: 11. Olkoon A = (5, 4) ja B = (–2, 1). Määritä sen pisteen koordinaatit, joka jakaa janan AB pis-

teestä A lähtien suhteessa 2 : 5.

3.3 Vaihekulma Vektori on suure, jolla on pituus ja suunta. Siirretään vektori alkamaan origosta. Olkoon siirretty vektori u . Tämä siirretty vektori on samansuuntainen kuin alkupe-räinen vektori. Vektorin u suunta voidaan ilmoittaa suunnattuna kulmana x-akselin positiivisen suuntaan nähden: vektorin u vaihekulmalla tarkoitetaan positii-visen x-akselin ja u :n välistä suunnattua kulmaa ϕ. Positiivinen vaihekulma mitataan vastapäivään ja nega-tiivinen myötäpäivään.

y

u

ϕ x

Vektorin normi ja vaihekulma määräävät vektorin täy-sin. Vektorille on siis kaksi esitystapaa:

• koordinaattiesitys • normi-vaihekulma-esitys eli napakoordinaattiesitys.

Napakoordinaattiesitys on havainnollinen esitys vektorille. Laskenta tässä esitysmuodossa on kuitenkin hankalaa. Siksi on osattava siirtyä esitysmuodosta toiseen. Johdetaan siirtymäkaavat. Napakoordinaattiesityksestä koordinaattiesitykseen Vektori juiuu yx += voidaan esittää muodossa (ks. luku 2.3)

0uru = ,

Vektorilaskenta 14

missä

22yx uuur +== ,

on vektorin normi ja 0u on u :n suuntainen yksikkövektori. Siir-retään yksikkövektori 0u alkamaan origosta. Tällöin 0u :n lop-pupiste sijaitsee origokeskisen yksikköympyrän kehällä. Tri-gonometristen funktioiden sini ja kosini määritelmien perusteella

0u :n loppupiste on , missä ϕ on vektorin ( ϕϕ sin,cos ) u vaihe-kulma. Siten paikkavektorina

ϕ

(cosϕ,sinϕ )

jiu ϕ+ϕ= sincos0 .

Näin on saatu vektorille u esitys ( ) jrirjiru ϕ+ϕ=ϕ+ϕ= sincossincos

Kootaan tulos:

Jos tunnetaan vektorin u normi r ja vaihekulma ϕ, niin jriru ϕ+ϕ= sincos .

Vektorin juiuu yx += koordinaatit ovat siten

⎩⎨⎧

ϕ=ϕ=

sincos

ruru

y

x

Nämä tulokset voi palauttaa helposti mieleen viereistä kuvas-ta. Kuvion mukaan

x

y

j

iϕ

uyu

xu

uu

uu yx =ϕ=ϕ sin ja cos ,

josta saadaan

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϕ=

ϕ=

sin

cos

uu

uu

y

x

Tämä päättely on voimassa kuitenkin vain kun kulma ϕ on välillä 0°…90° (miksi?). Koordinaattiesityksestä napakoordinaattiesitykseen Jos kääntäen tunnetaan vektorin koordinaatit ja , on vektorin normilla lauseke xu yu

22yx uur += .

Tutkimalla eri tilanteita havaitaan, että nollasta eroavan vektorin juiuu yx +=

vaihekulma voidaan määrittää seuraavasti (selvitä tämä itsellesi):

Vektorilaskenta 15

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

<=°−

>=°

<°+

>

=ϕ

0 ja 0kun ,90

0 ja 0kun ,90

0kun ,180arctan

0kun ,arctan

yx

yx

xx

y

xx

y

uu

uu

uuu

uuu

(*)

Näin määritelty vaihekulma on aina välillä –90°… 270°. Vaihekulman ei suinkaan tarvitse olla tällä välillä, vaan vaihekulma on 360° kulmaa vaille yksikäsitteisesti määrätty. Laskimessa TI-89 on valmiit toiminnot edellä esitettyjen muunnosten suorittamiseksi.

ESIMERKKEJÄ 1. Vektorin u itseisarvo ja vaihekulma ovat: °=α= 7,39;9,15u .

Määritetään vektorin koordinaattiesitys. Koordinaattiesitys saadaan kaavalla juiuu α+α= sincos ,

joten jijiu 2,102,127,39sin9,157,39cos9,15 +≈°+°=

2. Määritetään vektoreiden

jiujiu

jiujiu

6,28,13,56,7

6,67,27,42,3

4

3

2

1

−−=

+−=

−=

+=

normit ja vaihekulmat. Vektoreiden normit lasketaan kaavalla

22yx uuu += ,

joten

( )

( )( ) ( ) 2,36,28,1

3,93,56,7

1,76,67,2

7,57,42,3

224

223

222

221

≈−+−=

≈+−=

≈−+=

≈+=

u

u

u

u

Vaihekulma α lasketaan yo. kaavalla.

Vektorilaskenta 16

°≈°=°+−−

=ϕ

°≈°=°+−

=ϕ

°−≈°−=−

=ϕ

°≈°==ϕ

235...305,2351808,16,2arctan

145...109,1451806,7

3,5arctan

68...75,677,26,6arctan

56...75,552,37,4arctan

4

3

2

1

3. Määritetään oheisessa kuvassa annettujen voimien resultantin itseisarvo ja suunta.

On laskettava voimien resultantti eli summa

61°78°

111°410 N

320 N270 N

370 N

1F

2F

3F

4F

4321 FFFFR +++= .

Summan laskeminen käy helposti, jos voimavektorit on annettu koordinaattimuodossa. Tätä varten kiinnitetään positiivisen x-akselin suunta voiman 410 N suuntaiseksi. Määritetään voimien itseisarvot, vaihekulmat ja koordinaattiesitykset:

Voima Itseisarvo (N) Vaihekulma Koordinaattiesitys (N)

1F 410 0o i410

2F 320 61 o ji 87,27913,155 +

3F 270 139o ji 13,17777,203 +−

4F 370 –111o ji 42,34559,132 −−

R ji 58,11177,228 +

Koordinaattiesitykset määrätään kaavalla

jFiFF ϕ+ϕ= sincos .

Voimien resultantti on jiR 58,11177,228 +=

Tämän itseisarvo on

Vektorilaskenta 17

250...53,25458,11177,228 22 ≈=+=R

ja vaihekulma on

°≈°==ϕ 26...00,2677,22858,111arctan

Vastaus: Voimien resultantin itseisarvo on 250 N ja suunta 26o voimasta 410 N vastapäivään. Laskin TI-89:

Vektori esitetään kirjoittamalla koordinaatit pilkulla erotettuna hakasulkujen sisään: Esim. tasovektori ji 52 + syötetään seuraavasti: [2, 5];

avaruusvektori (ks. seur. luku) kji 432 ++− syötetään seuraavasti: [-2, 3, 4].

Laskenta: vektorien laskutoimitukset muodostetaan luonnollisella tavalla käyttäen operaatto-reita +, –, *, /.

Vektorin normi muodostetaan komennolla norm: Esim. ji 32 + muodostetaan komennolla norm([2, 3]).

Vektorin suuntainen yksikkövektori muodostetaan komennolla unitV: Esim. vektorin kji 452 ++− suuntainen yksikkövektori muodostetaan komennolla

unitV([-2, 5, 4]). Vektorin syöttö napakoordinaateissa: [r, <α], missä r on vektorin itseisarvo ja α vektorin

vaihekulma: esim. [2, <37] on vektori, jonka itseisarvo on 2 ja vaihekulma 37°. Kun paine-taan ENTERiä, niin laskin tulostaa vektorin koordinaattimuodossa.

Koordinaattimuodossa annetun vektorin napakoordinaattiesitys muodostetaan komennolla 4Polar: Esim. vektorin ji 9,43,2 − itseisarvo ja vaihekulma saadaan komennolla [2.3, -4.9]4Polar.

Laskettaessa vektorit voidaan syöttää napakoordinaateissa.

ESIMERKKI 3 laskimella TI-89: Kiinnitetään positiivisen x-akselin suunta ja määritetään voimien itseisarvot ja vaihekulmat

kuten esimerkissä. Sen jälkeen lasketaan laskimella voimien summa napakoordinaattimuo-dossa:

[410,<0]+[320,<61]+[270,<139]+[370,<-111] Tulos: [228.771, 111.589]. Muodostetaan napakoordinaattiesitys: [228.771, 111.589] 4Polar Tulos: [254.536, <26,0021], josta saadaan vastaus.

Vektorilaskenta 18

ESIMERKKEJÄ 4. Määritä kuvan vektoreiden summan pituus ja suunta.

Ratkaisu: Asetetaan vektorit alkamaan samasta pisteestä. Siirrytään koordinaattiesitykseen kiinnittämällä positiivisen x-akselin suunta vektorin suun-taiseksi. Vektoreiden normit ja vaihekulmat ovat tällöin

67,4°

2,49 3,57

Normi Vaihekulma

3,57 0° 2,49 67,4°-180° 67,4°-180°

2,49

3,57

Lasketaan laskimella vektoreiden summa napakoordinaatti-muodossa: [3.57,<0]+[2.49,<180-67,4] Tulos: [2.6131, –2.29879]. Muodostetaan napakoordinaattiesitys: [2.6131, –2.29879] 4Polar Tulos: [3.48034, <–41.3386] Siis vektoreiden summan

• pituus: 3,48 • suunta: 41,3° myötäpäivään vektorista, jonka pituus on 3,57

HARJOITUSTEHTÄVÄT 3: 12. Vektoreiden u , 1 u ja 2 u itseisarvot ja vaihekulma ovat: 3

°−=α= 3,71;278,0: 111 uu

°=α= 1,117;185: 222 uu

°=α= 2,13;52,6: 333 uu

Määritä vektoreiden koordinaattiesitykset. 13. Määritä seuraavien vektoreiden itseisarvot ja vaihekulmat

a) ji 85,065,0 − b) ji 04,327,1 +− c) ji 31,1152,8 − c) ji 13793 −−

14. Määritä oheisessa kuviossa annettujen voimien resultantin itseisarvo ja suunta.

Vektorilaskenta 19

340 N290 N

77° 68° 530 N

109

3.4 Tason napakoordinaatisto Tasossa on yleisesti käytössä xy-koordinaatiston lisäksi napakoordinaatisto. Olkoon xy-tason pisteen (x, y) paikkavektori jyixr += . Pisteen (x, y) napakoordinaatit (r, ϕ) määritellään vektorin r normina ja vaihekulmana: • r on pisteen (x, y) etäisyys origosta eli vektorin r normi r

22 yxr += . (*)

r

ϕ x

y

P Normina . 0≥r

• ϕ on vektorin r vaihekulma eli napakulma. Edellisen luvun perusteella tason pisteiden suorakulmaiset koordinaatit voidaan esittää napakoordinaattien r ja ϕ avul-la seuraavasti:

⎩⎨⎧

ϕ=ϕ=

sincos

ryrx

Käänteinen muunnos xy-koordinaateista napakoordinaatteihin suoritetaan kaavaa (*) ja luvun 3.3 kaavan (*) tapaista kaavaa käyttäen (muotoile tämä kaava!). Jokaista napakoordinaattien arvoparia (r, ϕ), vastaa yksikäsitteinen xy-tason piste. 0≥rKäänteinen vastaavuus ei ole yksikäsitteinen, vaan • origoa vastaa napakoordinaatit r = 0, ϕ on mikä tahansa • muita xy-tason pisteitä vastaa yksikäsitteinen arvo r ja 360°:n monikertoja vaille yksikäsit-

teinen arvo ϕ

ESIMERKKEJÄ 1. Määritä R-säteisen origokeskisen ympyrän napakoordinaattiesitys.

Ratkaisu: Piste on ympyrän kehällä, jos sen etäisyys origosta on R. Vaihekulma saa olla mikä tahansa. Siten napakoordinaattiesitys on Rr = .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 3: 15. Pisteiden napakoordinaatit (r; ϕ) ovat

a) (0,178; –71,3°) b) (175; 117,1°) c) (6,52; 13,2°)

Vektorilaskenta 20

Määritä pisteiden xy-koordinaatit. 16. Määritä seuraavien xy-tason pisteiden napakoordinaatit:

a) (2; 4) b) (–2,5; 6,7) c) (–4,3; –2,7)

4 AVARUUDEN VEKTORIT

4.1 Suorakulmainen avaruuskoordinaatisto Tason käsittelyyn käytettiin kahta toisiaan vastaan kohtisuorassa olevaa koordinaattiakselia: x- ja y-akselit. Avaruuden kuvioiden ja kappaleiden käsittelyyn tarvitaan vielä kolmas koordinaat-tiakseli, z-akseli, joka on kohtisuorassa x- ja y-akselia vastaan. Yleensä koordinaattiakselit sijoi-tetaan kuvan osoittamalla tavalla, jolloin ne muodostavat positiivisesti suunnistetun eli oikeakä-tisen järjestelmän1. x- ja y-akseli määräävät siis xy-tason, jota vastaan kohtisuorassa z-akseli on.

z

( )000 ,, zyx

0y 0x

0z

y

x

Avaruuden suorakulmaisessa koordinaatistossa jokaisella pisteellä on kolme koordinaattia: x, y ja z. Kuvassa on merkitty piste . Kääntäen jokaista lukukolmikkoa vastaa täysin määrätty avaruuden piste. Siis:

),,( 000 zyx ( zyx ,, )

Avaruuden jokaista pistettä vastaa täsmälleen yksi reaalilukukolmikko ( )zyx ,,

Kun on etsittävä esimerkiksi pisteen (3, –4, –2) paikka koordinaatistossa, menetellään seuraavas-ti: origosta siirrytään ensin 3 yksikköä x-akselin positiiviseen suuntaan, siitä jatketaan 4 yksik-köä y-akselin negatiiviseen suuntaan ja tästä edelleen 2 yksikköä z-akselin negatiiviseen suun-taan.

4.2 Koordinaattiesitys

i

k

j

Tason vektorit voidaan esittää kahden toisiaan vastaa kohtisuorassa olevan yksikkövektorin i ja j avulla. Avaruuden vektorien esittä-miseen tarvitaan vielä kolmas yksikkövektori k , joka on kohtisuo-rassa vektoreita i ja j vastaan. Seuraavassa osoitetaan, että ava-ruuden vektorit voidaan esittää kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran yksikkövektorin i , j ja k avulla. 1Kun oikean käden peukalo osoittaa x-akselin positiiviseen suuntaan ja etusormi osoittaa y-akselin positiiviseen suuntaan, niin taivutettu keskisormi osoittaa z-akselin positiiviseen suuntaan.

Vektorilaskenta 21

Olkoon ABu = mielivaltainen avaruusvektori. Asetetaan u :n alkupisteen A kautta vektoreiden i ja j suuntainen taso T ja u :n loppupisteen B kautta vektorin k suuntainen suora. Koska k ei ole tason T vektori, leikkaa suora tason. Merkitään leikkauspistettä kirjaimella C (ks. kuvaa). Vektori u voidaan esittää summana

CBACu += ,

u

B

C

A

missä AC on tason T vektori ja kCB || . Koska AC on vektoreiden i ja j määräämässä tasossa, on luvun 3.1 mukaan

j

k

i

juiuAC yx +=

joillain luvuilla ja . Koska xu yu kCB || , on luvun 2.3 mukaan

kuCB z=

jollain luvulla . zuOn siis saatu tason mielivaltaiselle vektorille u esitys

kujuiuu zyx ++=

Lukuja , ja uux uy z sanotaan vektorin u koordinaateiksi vektoreiden i , j ja k suhteen. Itse esitystä sanotaan vektorin koordinaattiesitykseksi. Voidaan osoittaa1, että vektorin koordinaatit ovat yksikäsitteiset.

Koska yo. esityksessä vektori k on kohtisuorassa tasoa T vastaan, on CBAC ⊥ . Pythagoraan lauseen mukaan

222 CBACu += .

Tasovektorin normin kaavaa käyttäen

222

yx uuAC += .

Koska k on yksikkövektori, on

zz ukuCB == .

Siten

2222zyx uuuu ++=

Vektorin pituus eli normi voidaan siis laskea seuraavasti:

1 Tämä johtuu siitä, että alkupisteen A kautta kulkee täsmälleen yksi vektoreiden i ja j suuntainen taso ja loppu-

pisteen B kautta täsmälleen yksi vektorin k suuntainen suora. Nämä leikkaavat täsmälleen yhdessä pisteessä.

Vektorilaskenta 22

Jos kujuiuu zyx ++= , niin

222zyx uuuu ++=

Laskutoimitukset avaruusvektoreilla suoritetaan kuten tasovektoreillakin koordinaateittain:

Jos kujuiuu zyx ++= ja kvjvivv zyx ++= , niin

( ) ( ) ( )kvujvuivuvu zzyyxx +++++=+ .

Jos kujuiuu zyx ++= ja p on reaaliluku, niin

( ) ( ) ( )kpujpuipuup zyx ++= .

Huomautus: Tasovektorin tapaan avaruusvektori kujuiuu zyx ++=

voidaan esittää ilmoittamalla vain koordinaatit eli muodossa ( )zyx uuuu ,,= .

Vektoreiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen tapahtuvat tällöin seuraavasti: ( ) ( ) ( )zzyyxxzyxzyx vuvuvuvvvuuu +++=+ ,,,,,,

( ) ( )zyxzyx pupupuuuup ,,,, =

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 1. Määritä seuraavien vektoreiden pituudet:

kjiw

kjivkjiu

3,124,113,177,19,22,3+−−=

+−=

+−=

2. Määritä vektoreiden kjia −+= 72 , kib 43 +−= ja c i j= − −5 3 resultantin normi.

3. Määritä vektorin cbav +−= 23 normi, kun a) jia += , jib += 3 , jic +−=

b) kjia ++= , kjib 23 +−= , kjic 52 −+−=

4. Millä t:n arvoilla vektorin kjtitv +−= 2 pituus on 9?

5. Määritä vektorin kjiu 32 +−= kanssa yhdensuuntaiset yksikkövektorit. 6. Vektorin v itseisarvo on 12 ja se on samansuuntainen vektorin

a) jis 3+−= b) kjis 43 +−= kanssa. Määritä vektori v .

Vektorilaskenta 23

4.3 Avaruuden kanta Samaan tapaan kuin edellisessä luvussa voidaan osoittaa, että jos a , b ja c ovat kolme nolla-vektorista eroavaa vektoria, jotka kaikki eivät ole saman tason suuntaiset, niin jokaisella vek-torilla u on yksikäsitteinen esitys czbyaxu ++= ,

missä x, y ja z ovat reaalilukuja. Tällaisia vektoreita a , b ja c kutsutaan kantavektoreiksi ja vektorikolmikkoa ( )cba ,, ava-ruuden kannaksi. Itse esitystä kutsutaan vektorin u koordinaattiesitykseksi kannassa ( )cba ,, . Reaalilukuja x, y ja z sanotaan vektorin u koordinaateiksi kannassa ( )cba ,, .

Yleisimmin käytetty kanta on toisiaan vastaan kohtisuorassa olevien yksikkövektoreiden i , j ja k muodostama luonnollinen kanta.

ESIMERKKI: Vektorin jako komponentteihin. Jaetaan vektori kjiu 43 ++= vektoreiden

kjia ++= 3

kjib 2−+=

kjic 22 ++−=

suuntaisiin komponentteihin. Ratkaisu: On löydettävä luvut x, y ja z siten, että czbyaxu ++=

eli

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )kzyxjzyxizyx

kjizkjiykjixkji2223

222343+−++++−+=

++−+−++++=++

Koordinaattiesityksen yksikäsitteisyyden perusteella yksikkövektoreiden kertoimet yhtälön mo-lemmilla puolilla ovat samat, joten saadaan yhtälöryhmä1

, ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++=−+

4223231

zyxzyxzyx

josta ratkaistaan

1 Vertaamalla vektoreita ja yhtälöryhmän kertoimia keksit helposti säännön, jonka perusteella voit heti kirjoittaa yhtälöryhmän. Mikä tämä sääntö on?

Vektorilaskenta 24

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

=

3235

2

z

y

x

Saadun tuloksen perusteella

cbau32

352 −−= .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:

7. Jaa vektori kji 3−+=v kolmeen komponenttiin, jotka ovat vektoreiden kjia +−= , kjb −= ja kjic ++= 22 suuntaiset.

4.4 Paikkavektori z Vektoria r , jonka alkupiste on xyz-

koordinaatiston origo ja loppupiste on P, kut-sutaan pisteen P paikkavektoriksi. Paikka-vektorin avulla voidaan ilmaista jokaisen ava-ruuden pisteen sijainti origon suhteen.

kz

jy

ix

r

(x, y, z)

x

xyz-koordinaatistossa vektorit i , j ja k vali-taan aina siten, että • i on positiivisen x-akselin suuntainen

y • j positiivisen y-akselin suuntainen • k positiivisen z-akselin suuntainen. Tällöin pisteen P x y z( , , ) paikkavektorin r koordinaattiesitys vektoreiden i , j ja k suh-teen on kzjyixr ++=

eli pisteen koordinaatit ovat samalla sen paikkavektorin koordinaatit. Jos vektoreille käytetään luvun 4.2 huomautuksessa käytettyä esitystä, on pisteellä ja paikkavek-torilla sama esitys (vrt. luku 3.2) ( )zyxr ,,= .

Olkoon ja kaksi avaruuden pistettä. Nii-den paikkavektorit ovat

( )1111 ,, zyxP ( 2222 ,, zyxP )

1P

2r

1r

kzjyixr 1111 ++=

2P kzjyixr 2222 ++= .

Tällöin vektori 21PP voidaan kirjoittaa päätepisteiden koordinaattien avulla (vrt. luku 2.2):

O

Vektorilaskenta 25

( ) ( ) ( )kzzjyyixxrrPP 1212121221 −+−+−=−= .

Pisteiden ja välinen etäisyys 1P 2P ( )21, PPd on vektorin 21PP pituus:

( ) ( ) ( ) ( )212

212

21221, zzyyxxPPd −+−+−= .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4:

8. Olkoon P = (3,–2,7) ja Q = (1,–3,0). Missä pisteessä vektorin PQ kärki on silloin, kun sen alkupiste on origossa?

9. Määritä janan AB keskipiste, kun A = (7, 10, –4) ja B = (2, 4, –2). 10. Olkoot A = (–3, 2, 1) ja B = (2, 4, 6). Piste P jakaa janan AB A:sta lukien suhteessa 1 : 3.

Määritä pisteen P koordinaatit. 11. Olkoon A = (2, 4, –3) ja B = (3, 0, –2). Määritä vektori AB . Mikä on pisteiden välinen etäi-

syys ? ( )BAd ,12. Määritä kolmion ABC sivujen pituudet, kun A = (2, –1, 1), B = (–3, 0, –2) ja C = (–1, 2, –5). 13. Suunnikkaan ABCD kolme kärkeä ovat A(1,0,1), B(2,1,1) ja C(1,2,3).

a) Määritä piste D. b) Määritä suunnikkaan lävistäjien pituudet. c) Määritä suunnikkaan lävistäjien leikkauspiste.

4.5 Sovelluksia Seuraavassa esimerkissä käytetään luvussa 2.3 esitettyä tärkeää tulosta

Jos voiman suuruus pF = ja vaikutussuunta on s , niin °= spF .

ESIMERKKI: Voimien esittäminen avaruudessa (laskimen TI-89 käyttö). Taakka, jonka massa on 1700 kg, riippuu kuvan osoittamalla tavalla puomin varassa. Määritä puomin rasitus sekä harusvaijerien jännitykset. A

10 m

6 m 8 m

15 m

11 m

1F

2F 3F

4F

i j

k

Ratkaisu: Pisteeseen A vaikuttaa kuvan mukaiset neljä voimaa. Valitaan kantavektoreiden i , j ja k suunnat kuvan mukaisesti.

Voimien kanssa samansuuntaiset yksikkövektorit ovat1 (TI-89: unitV) • Nostovaijerin suuntainen voima 1F : ks −=0

1 1 Laskimen arvot on katkaistu kolmeen numeroon; laskimessa arvot tarkemmin!

Vektorilaskenta 26

• Puomin suuntainen voima 2F : kjskjs 857,0514,0106 022 +=⇒+=

• Harusvaijerin suuntainen voima1 3F : kjiijks 1014111114103 −−=+−−=

kjis 489,0685,0538,003 −−=⇒

• Harusvaijerin suuntainen voima 4F :

kjiskjis 438,0613,0657,0101415 044 −−−=⇒−−−=

Pisteeseen A vaikuttavien voimien suuruudet ovat (yksikkö N)

1667781,9170017001 =⋅=⋅= gF

xF =2

yF =3

zF =4 ,

joten voimat ovat: ksF 1667716677 0

11 −==

kxjxsxF 857,0514,0022 +==

kyjyiysyF 489,0685,0538,0033 −−==

kzjzizszF 438,0613,0657,0044 −−−==

Tasapainotilanteessa voimien resultantti = 0 . Lasketaan summa (laskimella TI-89):

( ) ( )( ) 016677438,0489,0857,0

613,0685,0514,0657,0538,04321

=−−−+

−−+−

=+++

kzyxjzyxizy

FFFF

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−−=−−

=−⇔

016677438,0489,0857,00613,0685,0514,0

0657,0538,0

zyxzyx

zy

Ratkaistaan yhtälöryhmä (TI-89: solve):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≈=≈=≈=

120001207815000147353400034035

zyx

Vastaus: Puomin rasitus on 34000 N ja harusvaijerien jännitykset 15000 N ja 12000 N. Laskin TI-89: Esitetään vielä tarkemmin laskimen TI-89 käyttöä. Esimerkki voidaan ratkaista seuraavilla komennoilla:

[0,0,-1]→s1

1 Vektorin koordinaattiesitys on aina syytä kirjoittaa järjestyksessä kji ,, , muuten laskimen käytössä saattaa tulla virheitä!

Vektorilaskenta 27

unitV([0,6,10])→s2 unitV([11,-14,-10])→s3 unitV([-15,-14,-10])→s4 16677*s1+x*s2+y*s3+z*s4→f solve(f[1,1]=0 and f[1,2]=0 and f[1,3]=0,{x,y,z})

Laskun voi myöhempää käyttöä varten tallentaa tiedostoon komennolla F1: Save Copy As … Tallennettua tekstitiedostoa voi tarkastella ja muutella tekstieditorissa APPS: Text Editor. Tie-doston komennot voidaan suorittaa viemällä kohdistin tiedoston alkuun ja antamalla komento F2: Execute to EOF.

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 14. Kuvassa on esitetty voimat 1130 N ja 870 N.

a) Määritä voimien koordinaattiesitykset b) Määritä voimien resultantti. Mikä on resultantin suuruus?

z

15. Pylvään päähän vaikuttaa kolme voimaa 1F , 2F ja 3F , joista tiedetään:

iF N10001 = , jF N7002 = ja N15003 =F .

Voimien resultantin on suuntauduttava suoraan alaspäin. Mikä on voiman 3F suuntainen yk-sikkövektori?

x

y

z

1500

1200

800

1000

700 1130 N

870 N

y

x

Vektorilaskenta 28

16. Masto on tuetaan kolmella samalle korkeudelle kiinnitettävällä harusvaijerilla. Harusvaije-reista kaksi asennetaan kuvan osoittamalla tavalla. a) Määritä näistä mastoon kohdistuvien voimien koordinaattiesitykset. b) Määritä näiden kahden voiman resultantti. c) Kolmanteen harusvaijeriin on vedetään 800 N jännitys ja sen toinen pää sijoitetaan koh-taan . Määritä tästä mastoon kohdistuvan voiman koordinaattiesitys. ( yx, )

d) Mihin kohtaan xy-tasolla kolmas vaijeri on kiinnitettävä, jotta näistä kolmesta vaijerista mastoon kohdistuvien voimien resultantti olisi maston suuntainen.

30 m

850 N 1100 N

10 m 20 m

25 m

z

y

x

4.6 Suora Suora on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja suunta. Suoran suunta voidaan ilmaista vek-torilla, jota kutsutaan suoran suuntavektoriksi. Olkoon L pisteen kautta kulkeva suora, jonka suuntavektori on 0P 0≠s .

Olkoon 0r tunnetun pisteen paikkavektori ja 0P r suoran mielivaltaisen pisteen P paikkavektori. Tällöin voidaan päätellä seuraavasti (ks. kuva):

s

r

0r

L

P

P0

PPLP 0⇔∈ || s 0rr −⇔ || s

Luvun 2.3 tuloksen perusteella saadaan edelleen

RR

∈+=∈=−⇔

⇔ tstrrtstrr

,,

0

0 O

Esitystä

R∈+= tstrr ,0

sanotaan suoran L vektorimuotoiseksi parametriesitykseksi. Kerroin t on parametri.

Vektorilaskenta 29

Edellä oleva parametriesitys tarkoittaa seuraavaa: Piste P on suoralla L täsmälleen silloin, kun sen paikkavektori on muotoa strr += 0 jollain t. Voidaan ajatella, että kun parametri t saa eri arvoja, niin vektorin strr += 0 kärki piirtää suoran L. z Olkoon nyt ja . Tällöin ( )0000 ,, zyxP = ( zyxP ,,= ) kzjyixr 0000 ++= ja kzjyixr ++= .

Olkoon lisäksi ksjsiss zyx ++= .

Tällöin parametriesitys strr += 0 voidaan kirjoittaa seuraavasti:

( )( ) ( ) ( )ktszjtsyitsx

ksjsistkzjyixkzjyix

zyx

zyx

+++++=

+++++=++

000

000 .

( )000 ,, zyx

y ( )zyx ,,

L

0r

r

s

x Vertaamalla yksikkövektoreiden kertoimia päädytään suoran L koordinaattimuotoiseen parametriesitykseen

R∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

+=+=

ttszztsyytsxx

z

y

x

,

0

0

0

Edellä on esitetty avaruussuoran koordinaattimuotoinen parametriesitys. Tasosuoran koordinaat-timuotoinen parametriesitys on muuten sama, mutta siitä puuttuu z-koordinaatti.

ESIMERKKEJÄ 1. Pisteen (3, 1, –4) kautta kulkevan vektorin kji +− 52 suuntaisen suoran parametriesitys

vektorimuodossa on

( )

( ) ( ) ( ) RR∈+−+−++=

∈+−+−+=

tktjtitrtkjitkjir

;45123;5243

Suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys on

R∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−=+=

ttztytx

;4

5123

Koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä näkee välittömästi suoran pisteen ja suuntavek-torin (miten?). Suoran kaikki pisteet saadaan antamalla parametrille t eri reaaliarvoja. Esimerkiksi piste on suoralla, sillä yhtälöryhmällä )2,9,7( −−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−−=−

=+

24951

723

ttt

on ratkaisu . 2=t

Vektorilaskenta 30

Sen sijaan piste )2,12,9( − ei ole suoralla, sillä yhtälöryhmällä

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=−

=+

241251

923

ttt

ei ole ratkaisua: ensimmäisen yhtälön ratkaisu on 3=t ; tämä ei kuitenkaan toteuta toista yh-tälöä.

2. Tasosuorien leikkauspiste Määritä suorien

ja ⎩⎨⎧

+−=−=

tytx31

23

⎩⎨⎧

−=+=

tytx22

1

leikkauspiste. Ratkaisu: Suorien parametrit eivät riipu toisistaan. Merkitään jälkimmäisen suoran paramet-ria t:n sijasta s:llä. Leikkauspisteessä x- ja y-koordinaateilla on samat arvot. Siten

⎩⎨⎧

−=+−+=−

stst

2231123

Tämän yhtälöparin ratkaisu on

⎩⎨⎧==

10

ts

Leikkauspisteen koordinaatit saadaan jälkimmäisestä parametriesityksestä parametrin arvolla (tai edellisestä parametrin arvolla 0=s 1=t )

⎩⎨⎧

=⋅−==+=

2022101

yx

Leikkauspiste on siis . ( )2,1

3. Kahden pisteen kautta kulkeva suora Edellä suoran esityksen lähtökohtana oli suoran yksi piste ja suunta. Suora on myös määrätty, jos tunnetaan sen kaksi pis-tettä. Tarkastellaan tällaisen suoran esitystä. Olkoon L pisteiden ja kautta kulkeva suora. Pisteiden paikkavektorit olkoot

1P 2P

1r ja 2r . Tällöin suoran suuntavektori on 1221 rrPPs −== . Ottamalla suoran pisteeksi piste , saadaan suoran vektorimuotoiseksi parametriesitykseksi

1P

( ) R∈−+= trrtrr ,121 .

Jos pisteiden koordinaattiesitykset ovat ( )1111 ,, zyxP = ja ( )2222 ,, zyxP = , voidaan suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys kirjoittaa seuraavasti:

( )( )( )

R∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+=−+=−+=

tzztzzyytyyxxtxx

,

121

121

121

2P

1P

L

s

2r

1r

O

Vektorilaskenta 31

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 17. Mitä suoran

( )kjitkjir 432 +−−+−+= pistettä vastaa parametrin t arvo

a) 0 b) –3 c) 13

d) 7

18. Onko piste a) b) )1,3,2( − )13,0,7(− c) )7,2,10(

suoralla

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=

−=

tztytx

413

32

19. Piirrä xy-tason suora

a) b) ⎩⎨⎧

−=+−=ty

tx31

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−= jitjir

213

20. Kirjoita pisteen )4,2,1( − kautta kulkevan ja vektorin kis 43 −= suuntaisen suoran paramet-riesitys

a) vektorimuodossa b) koordinaattimuodossa 21. Koordinaattimittauslaitteella määritettiin pisteet ( )827,10321 −P ja , joiden

kautta kulkevaa suoraa pitkin laserleikkurin tuli leikata levy kahtia. Määritä suoran paramet-riesitys sekä pisteitä ja vastaavat parametrin arvot.

( 1121,1932 −P )

1P 2P22. Määritä xy-tason suorien

ja ⎩⎨⎧

+=+=

tytx2221

⎩⎨⎧

+=+−=

tytx

212

leikkauspiste. 23. Määritä suoran

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

=

tzty

tx

112

ja tason 32 =−+ zyx leikkauspiste.

4.6.1 Tasosuora Edellisen luvun mukaan xy-tason suoran koordinaattimuotoinen parametriesitys on

R∈⎩⎨⎧

+=+=

ttsyytsxx

y

x ;0

0

Tasosuora esitetään yleensä yhtälömuodossa. Katsotaan kuinka tämä esitys saadaan aikaiseksi. Koska suoran suuntavektori

Vektorilaskenta 32

jsiss yx +=

on nollasta eroava, on tai 0≠xs 0≠ys . Molemmissa tapauksissa eliminoimalla t suoran para-metriesityksestä, päädytään yhtälöön (tarkista asia ratkaisemalla t toisesta yhtälöstä ja sijoitta-malla toiseen yhtälöön)

( ) ( )

00

00

00

=+−−⇔

=−−−

ysxsysxsyysxxs

xyxy

xy

Merkitsemällä

(*) ⎩⎨⎧

−=

=

x

y

sb

sa

ja , 00 ysxsc xy +−=

voidaan tämä kirjoittaa yhtälönä

, 0=++ cbyax

missä tai . Tämä on tasosuoran yhtälömuotoinen esitys. 0≠a 0≠bYhtälöistä (*) nähdään, että

Suoran suuntavektori on 0=++ cbyax jaibs +−= .

Tasosuoran koordinaattimuotoisesta parametriesityksestä siirrytään siis yhtälöesitykseen eli-minoimalla parametri t. Yhtälöesityksestä voidaan puolestaan siirtyä koordinaattimuotoiseen parametriesitykseen valitsemalla parametriksi toinen muuttujista x ja y.

ESIMERKKEJÄ 1. Muunna parametriesitys

⎩⎨⎧

+−=−=

tytx45

32

yhtälöesitykseksi. Ratkaisu: Ratkaistaan ylemmästä yhtälöstä t:

3

2 xt −= .

Sijoitetaan tämä toiseen yhtälöön, jolloin saadaan yhtälöesitys

33

245 ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−=xy

( )xy −+−= 24153 xy 48153 −+−=

. 0734 =++ yx

2. Muunna yhtälöesitys 0943 =+− yx

parametriesitykseksi.

Vektorilaskenta 33

Ratkaisu: Valitsemalla tx = saadaan , 0943 =+− yt

josta

49

43

+= ty

Siis suoran parametriesitys on

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

=

ty

tx

43

49

Jos parametriksi olisi valittu muuttuja y, olisi saatu toisenlainen parametriesitys. Yleisemmin suoralla on ääretön määrä erilaisia parametriesityksiä. Keksi pari muuta parametriesitystä!

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 24. Muunna parametriesitys

⎩⎨⎧

+−=−=

tytx51

23

yhtälöesitykseksi.

5 SKALAARITULO

5.1 Määritelmä ja ominaisuudet Luvussa 1 määriteltiin vektoreiden välinen kulma ( )ba , . Tätä käsitettä käyttäen määritellään vektoreiden välinen skalaaritulo eli pistetulo:

Vektoreiden a ja b skalaaritulo on

),cos( bababa =⋅

Skalaaritulo on skalaari, ei vektori. Merkintä a b⋅ luetaan "a piste b", josta tulee skalaaritulon nimitys pistetulo. Koska skalaaritulon merkkinä käytetään pistettä, ei luvun ja vektorin kertolas-kussa tule käyttää pistettä. Kosinifunktion ominaisuuksien perusteella skalaaritulon positiivisuus ja negatiivisuus määräytyy vektoreiden välisen kulman suuruudesta:

°===⇔=⋅

°≤≤°⇔≤⋅

°≤≤°⇔≥⋅

90),( tai0 tai00180),(900

90),(00

bababababa

baba

Erityisesti vektoreille a ≠ 0 ja b ≠ 0 pätee

0=⋅⇔⊥ baba

Vektorilaskenta 34

Jos a ≠ 0 ja b ≠ 0, niin skalaaritulon määrittelevästä kaavasta voidaan ratkaista lauseke vekto-reiden väliselle kulmalle

bababa ⋅

=),cos( .

Tästä saadaan vektoreiden väliselle kulmalle esitys

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅=

bababa arccos),( .

Vektorin normi voidaan lausua skalaaritulon avulla:

( ) 22 0cos,cos aaaaaaaa =°==⋅ .

Siis

aaa ⋅=2

josta saadaan

aaa ⋅= .

Koska ( ) 1,cos ≤ba , on skalaaritulon määrittelevän kaavan perusteella voimassa Schwarzin epäyhtälö:

baba ≤⋅

Voidaan osoittaa, että skalaaritulo noudattaa seuraavia laskusääntöjä:

abba ⋅=⋅ Vaihdantalaki

( )

( ) bababaabababba⋅+⋅=⋅+

⋅+⋅=+⋅

2121

2121 Osittelulait

( ) ( ) ( )bpabapbap ⋅=⋅=⋅ Skalaaritekijän siirtosääntö

Skalaaritulon laskusäännöt muistuttavat siis hyvin paljon reaalilukujen tulon laskusääntöjä.

ESIMERKKEJÄ

1. ( ) ( ) 22 babbabbaaababa −=⋅−⋅+⋅−⋅=−⋅+ .

Vertaa tätä algebrassa esiintyvään samojen lukujen summa ja tulon kaavaan. Mitä eroja ha-vaitset?

2. ( ) ( ) 22 823423243432 bbaabbabbaaababa −⋅+=⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅=−⋅+ .

Kertolasku suoritetaan siis tavallisia algebran sääntöjä käyttäen: kertojan jokaisella termillä kerrotaan kerrottavan jokainen termi. Lopuksi on käytetty kertolaskun vaihdannaisuutta ja skalaaritulon ja normin välistä yhteyttä.

3. Vinokulmaisen kolmion ratkaisemisessa käytetään kosinilausetta, jonka mukaan kolmiossa (ks. ylempää kuvaa)

Vektorilaskenta 35

γ−+= cos2222 abbac

Johdetaan kosinilause skalaarituloa käyttäen. Määritellään alem-man kuvan mukaiset vektorit. Tällöin

aa = , bb = , cc = ja ( )ba ,=γ

Koska bac −= , on

( ) ( ) bbabbaaababaccc ⋅+⋅−⋅−⋅=−⋅−=⋅=2

baba ⋅−+= 222 .

Käyttämällä skalaaritulon määrittelevää kaavaa saadaan tästä

( )bababac ,cos2222 −+= ,

josta kosinilause seuraa.

γ

c a

b

a

b

c

( )ba ,

4. Jos vakiovoima F siirtää kappaletta vektorin s verran, niin tehty työ on sFW ⋅=

Fs

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 1. Perustele skalaaritulon vaihdantalaki. 2. Perustele skalaaritekijän siirtosääntö tapauksessa

a) 0>p b) . 0<p

3. Määritä vu 3+ , kun 67,2=u , 58,4=v ja 05,8=⋅ vu .

4. Vektoreiden a ja b pituudet ovat 3,75 ja 3,52 sekä 03,2=⋅ba . Määritä vektoreiden välinen kulma.

5. Vektoreista u ja v tiedetään, että 5=u , 4=v ja ( ) °=120,vu . Määritä vektoreiden vu − ja u välinen kulma.

5.2 Skalaaritulo koordinaattimuodossa Koordinaattimuodossa annettujen vektoreiden skalaaritulo on helppo laskea: koska yksikkövek-toreiden i , j ja k pituus on yksi ja ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, on

1=⋅=⋅=⋅ kkjjii

0=⋅=⋅=⋅ ikkjji .

Siis skalaaritulon kertotaulu1 yksikkövektoreille on seuraava:

1 Laskujärjestys: ensin vaakariviltä sitten pystyriviltä (vaikka ei ole väliä, sillä skalaaritulo on vaihdannainen).

Vektorilaskenta 36

⋅ i j k

i 1 0 0 j 0 1 0

k 0 0 1

Lasketaan nyt vektoreiden kajaia zyx ++=a ja kbjbibb zyx ++= skalaaritulo käyttäen osit-telulakia ja yllä olevaa kertotaulua ( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx ++⋅++=⋅

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )kkbajkbaikba

kjbajjbaijba

kibajibaiiba

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅=

zzyyxx bababa ++= .

Saatiin tulos:

Jos kajaiaa zyx ++= ja kbjbibb zyx ++= , niin

zzyyxx babababa ++=⋅

Skalaaritulo lasketaan siis kertomalla vastinkoordinaatit keskenään ja laskemalla tulot yhteen. Yo. kaava pätee myös tasovektoreille: jätetään vain yksikkövektori k pois.

ESIMERKKEJÄ 1. Laske vektoreiden kjia −+= 32 ja kjib 253 ++−= välinen kulma.

Ratkaisu: Kulman laskenta perustuu kaavaan

bababa ⋅

=),cos(

Tätä varten lasketaan ( ) 7215332 =⋅−⋅+−⋅=⋅ba

14)1(32 222 =−++=a

3825)3( 222 =++−=b

Siis

...303488,03814

7),cos( =⋅

=ba ,

josta vektoreiden väliseksi kulmaksi saadaan ( ) °== 3,72...303488,0arccos,ba

2. Määritä jokin tasovektoria jbiau += vastaan kohtisuorassa oleva vektori.

Ratkaisu: Vektori

Vektorilaskenta 37

jyixv +=

on kohtisuorassa vektori u vastaan, jos 00 =+⇔=⋅ byaxvu .

Tämä yhtälö pätee, jos esimerkiksi aybx =−= , , jolloin

jaibv +−= .

Tasovektoria vastaan kohtisuorassa oleva vektori saadaan siis vaihtamalla koordinaatit kes-kenään ja sen jälkeen ensimmäisen (tai toisen koordinaatin) etumerkki. Tällä toimenpiteellä saadaan esimerkiksi yksikkövektori j yksikkövektorista i .

Tarkempi tarkastelu osoittaisi, että muut vektoria u vastaan kohtisuorassa olevat vektorit ovat muotoa ( ) R∈+−= tjaibtv , .

3. Osoitetaan, että puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora kulma. Puoliympyrän sisältämällä kehäkulmalla tarkoitetaan kulmaa, jonka kärki on puoliympyrän kehällä ja kyljet leikkaavat puoliympyrän kehän halkaisijan päätepisteissä. Olkoot a ja b kulman kylkien suuntaiset vektorit, joiden alkupiste on kulman kärki ja loppupisteet ovat halkaisijan päätepisteet (ks. kuva). Kuvan merkintöjä käyttäen saadaan sra += srb −= Siten

( ) ( ) 22 srsrsrba −=−⋅+=⋅ .

Koska sr = = ympyrän säde,

on 0=⋅ba , joten vektorit a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa ja kulma ( )ba , on suora kulma.

r

ss

b a

Laskin TI-89: Vektorien skalaaritulo muodostetaan komennolla dotP:

Esim. ( ) ( kjkji 2,45,23,27,32 +⋅+− ) lasketaan komennolla dotP([2,-3.7,2.3],[0,2.5,4.2]).

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:

6. Määritä vektoreiden välinen kulma ( )ba , , kun

a) jia 35 −= ja jib 43 +=

b) kjia 2,41,32,1 +−= ja kjib 8,17,04,2 −−= 7. Ovatko vektorit

a) kjiv +−= 2 ja kjiu −+= 3

Vektorilaskenta 38

b) kjiv −+−= 32 ja kjiu 73 ++=

c) kjbiav ++= ja jaibu +−= kohtisuorassa toisiaan vastaan?

8. Määritä tasovektoria u i= +3 4 j vastaan kohtisuorat tason yksikkövektorit. 9. Neljäkäs on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Osoita, että neljäkkään lävistäjät

ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. 10. Nelikulmion OABC kärkinä ovat pisteet ( )0,0=O , ( )1,3 −=A , ja ( yxB ,= ) ( )2,1=C .

Määritä x ja y siten, että kulmat OAB ja OCB ovat suoria.

11. Määritä oheisessa suorakulmaisessa särmiössä vektoreiden AB ja CD välinen kulma ( )CDAB, .

12. Kuvan säännöllisen nelisivuisen pyramidin pohjaneliön sivun pituus on 5,00 m ja korkeus on

7,00 m. Pisteet P ja Q ovat sivusärmillä siten, että AP : PE = 2:3 ja CQ : QE = 4:1. Määritä vektoreiden PQ ja BE välinen kulma ( )BEPQ,

13. Vakiovoima kjiF N40,3N30,8N70,6 +−−= kuljettaa kappaletta vektorin

kjis m40,2m90,3m40,3 +−= verran. Määritä voiman tekemä työ.

A

B

C

D 98 cm

32 cm

47 cm

A B

C D

E

P

Q

B C

A O

Vektorilaskenta 39

5.3 Vektorin kohtisuora projektio Tarkastellaan tilannetta, jossa on kaksi vektoria a ja 0≠v . Pyrkimyksenä on jakaa vektori a kahteen komponenttiin ⊥+= aaa v , (*)

a a ⊥

v

va

joista va || v ja va ⊥⊥ .

Komponenteilla on seuraavat nimitykset: • va on a :n projektio v :llä

• a⊥ on normaalikomponentti. Määritetään lauseke projektiolle va . Koska va || v , on luvun 2.3 mukaan olemassa luku t siten, että vtav = .

Määritetään luku t. Yhtälön (*) perusteella vtaaaa v −=−=⊥

Siis ( ) vvtava ⊥−⇔⊥⊥

Koska vektorit ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa täsmälleen silloin, kun niiden skalaaritulo on nolla, saadaan

( )0

0=⋅−⋅⇔

=⋅−vvtva

vvta

josta voidaan ratkaista t:

2vva

vvvat ⋅=

⋅⋅

=

Näin on saatu lauseke vektorin a projektiolle v :llä

vv

vaav 2

⋅=

Normaalikomponentti määrätään projektion avulla: vaaa −=⊥ .

ESIMERKKEJÄ 1. Jaetaan vektori kjia 32 −+= kahteen komponenttiin, joista toinen on vektorin

kjiv 3+−= suuntainen ja toinen sitä vastaan kohtisuorassa.

Ratkaisu: Komponentit ovat projektio va ja normaalikomponentti a⊥ . Lasketaan ensin va .

( ) ( )

( ) 11311

83311122222 =+−+=

−=−⋅+−⋅+⋅=⋅

v

va

Siten

Vektorilaskenta 40

( ) kjikjivv

vaav 1124

118

1183

118

2 −+−=+−−=⋅

= .

Normaalikomponentti a⊥ on

kjikjikjiaaa v 119

113

1130

1124

118

11832 −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−−−+=−=⊥ .

2. Jos e on yksikkövektori, on 1=e . Siten vektorin a projektiolle e :llä saadaan esitys

( )eeaee

eaae ⋅=⋅

= 2 .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5:

14. Olkoot kjia 31,1291,787,11 −−= kjib 50,335,245,1 −+−= . Määritä a ja b b . ja a

15. Jaa voima kjiF N610N350N870 +−= kahteen komponenttiin, joista toinen on vektorin kia 32 += suuntainen ja toinen tätä vastaan kohtisuorassa.

5.4 Taso Taso on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori, joka on kohtisuorassa tasoa vastaan. Tätä vektoria kutsutaan tason normaa-livektoriksi.

T

n

r0P

P

0r

Olkoon T pisteen kautta kulkeva taso, jonka normaalivektori on 0P0≠n . Olkoon 0r pisteen paikkavektori ja 0P r tason mielival-

taisen pisteen P paikkavektori. Oheisen kuvan merkinnöin voidaan päätellä seuraavasti:

( ) 00

00

=−⋅⇔⊥−⇔⊥⇔∈

rrnnrrnPPTP

O

On saatu tason vektorimuotoinen yhtälö

( ) 00 =−⋅ rrn .

Olkoon nyt ja , jolloin paikkavektorit ovat ( )0000 ,, zyxP = ( zyxP ,,= ) kzjyixr 0000 ++= ja kzjyixr ++= .

Olkoon lisäksi normaalivektori kcjbian ++= .

Tällöin yhtälö ( ) 00 =−⋅ rrn voidaan kirjoittaa seuraavasti:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) 0

0

0

000

000

000

=−+−+−⇔=−+−+−⋅++⇔

=++−++⋅++

zzcyybxxakzzjyyixxkcjbia

kzjyixkzjyixkcjbia

Saatiin tulos

Vektorilaskenta 41

Pisteen kautta kulkevan vektoria ( 000 ,, zyx ) kcjbian ++= ( )0≠ vastaan kohtisuoran tason yhtälö on ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzcyybxxa .

Jos tässä yhtälössä ainakin yksi kertoimista a, b ja c on nollasta eroava, niin yhtälön kuvaaja on vektoria kcjbian ++= vastaan kohtisuora taso, joka kulkee pisteen ( )000 ,, zyx kautta.

Edellä oleva yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon 0000 =−−−++ czbyaxczbyax .

Jos merkitään , päädytään tason koordinaattimuotoisen yhtälöön 000 czbyaxd −−−=

. 0=+++ dczbyax

Tässä muodossa annetun tason normaalivektori voidaan lukea suoraan x:n, y:n ja z:n kertoimista: kcjbian ++= .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 16. Mitkä ovat koordinaattitasojen yhtälöt? 17. Janan päätepisteet ovat ja ( )0,4,1 −A ( )2,1,3B . Määritä janan keskinormaalitason koordinaat-

timuotoinen yhtälö. 18. Määritä pisteiden ja kautta kulkevan suoran ja tason ( )3,1,0A ( 4,1,2−B )

a) x y z− + + =2 3 00

b) 2 4x y z+ − − = leikkauspiste.

19. Muodosta tasojen 2 014 ja 033 =−++ zyx leikkaussuoralle parametriesitys. =+−+ zyx

5.4.1 Pisteen etäisyys tasosta Määritetään pisteen ( )1111 ,, zyxP etäisyys δ yhtälön 0=+++ dczbyax

määrittämästä tasosta.

Olkoon jokin tason piste. Kuvasta nähdään, että etäisyys δ on vektorin ( 0000 ,, zyxP ) 10 PPv = tason normaalivektorille kcjbian muodostetun projektion normi ++=

n

nvn

n

nvn

nnv ⋅

=⋅

=⋅

=δ 22

n

0P

n

v 1P

δ

Koska ( ) ( ) ( )kzzjyyixxv 010101 −+−+−= ,

saadaan edelleen

Vektorilaskenta 42

( ) ( ) ( )

222

000111

222

010101

cba

czbyaxczbyaxcba

zzcyybxxan

nv

++

−−−++=

++

−+−+−=

⋅=δ

Koska P0 on tason piste, on

dczbyax

dczbyax=−−−⇔=+++

000

000 0

Sijoittamalla tämä etäisyyden lausekkeeseen saadaan seuraava tulos:

Pisteen etäisyys tasosta ( 1111 ,, zyxP ) 0=+++ dczbyax on

222

111

cba

dczbyax

++

+++=δ

ESIMERKKEJÄ 1. Määritä pisteen ( 3,1,2 )− etäisyys tasosta 05867 =+++− zyx .

Ratkaisu: Käyttäen edellä johdettua kaavaa saadaan etäisyydeksi D

( )

( )737309,0

1499

867

5381627222

≈=++−

+⋅+−⋅+⋅−=D .

5.4.2 Tasosuora Tasosuora on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori (normaa-livektori), joka on kohtisuorassa suoraa vastaan. Lähtökohta on siis sama kuin avaruudessa olevan tason tapauksessa. Jos lukujen 5.4 ja 5.4.1 tarkasteluissa jätetään z-koordinaatti pois, päädytäänkin tasosuoria koskeviin tuloksiin. Kootaan nämä tulokset. • Tasosuoran vektorimuotoinen yhtälö on

( ) 00 =−⋅ rrn ,

missä 0r suoran pisteen paikkavektori ja 0P 0≠n on suoran normaalivektori.

0P

n

• Pisteen kautta kulkevan vektoria ( 00 , yx ) jbian += ( )0≠ vastaan kohtisuorassa olevan suoran yhtälö on ( ) ( ) 000 =−+− yybxxa .

• Suoran koordinaattimuotoisen yhtälö on , 0=++ cbyax

missä tai 0≠a 0≠b . Tässä muodossa annetun suoran normaalivektori on jbian += .

• Pisteen etäisyys suorasta ( 111 , yxP ) 0=++ cbyax on

22

11

ba

cbyax

+

++=δ

Vektorilaskenta 43

5.5 Pallo Pallopinta eli pallo1 on niiden avaruuden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä (säteen etäisyydellä) kiinteästä pisteestä (pallon keskipisteestä).

0P

P

Olkoon pallon r • keskipisteen paikkavektori on 0P 0r ,

• säde on R 0r ja pallopinnan mielivaltaisen pisteen P paikkavektori

r . Tällöin piste P on pallopinnalla, jos ja vain jos P:n etäisyys pisteestä P on R: 0

O

Rrr =− 0 .

Tämä on pallopinnan vektorimuotoinen yhtälö. Jos ja on ( )0000 ,, zyxP = ( )zyxP ,,= kzjyixr 0000 ++= ja kzjyixr ++= . Pallopinnan vektorimuotoinen yhtälö voidaan nyt kirjoittaa seuraavasti:

( ) ( ) ( ) Rzzyyxx =−+−+− 20

20

20 .

Korottamalla tämä toiseen potenssiin saadaan pallopinnan koordinaattimuotoinen yhtälö

( ) ( ) ( ) 220

20

20 Rzzyyxx =−+−+−

Tästä esitysmuodosta nähdään välittömästi pallon keskipiste ja säde. Suorittamalla edellisessä yhtälössä neliöön korotukset ja hieman muokkaamalla, saadaan . 0222 22

020

20000

222 =−+++−−−++dcba

Rzyxzzyyxxzyx

Pallopinnan yhtälö voidaan siis aina kirjoittaa muodossa

, 0222 =++++++ dczbyaxzyx

missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja. Tällaisen yhtälön kuvaaja ei kuitenkaan aina ole pallopinta. Se esittääkö yhtälö palloa, voidaan selvittää neliöksi täydentämisellä. Tätä tarkastellaan lähem-min luvussa 5.5.2.

ESIMERKKEJÄ 1. Pallon keskipiste on (–2, 3, –1) ja säde 5. Mikä on pallon yhtälö?

Ratkaisu: Sijoittamalla koordinaattimuotoiseen yhtälöön saadaan

( )( ) ( ) ( )( ) 2222 5132 =−−+−+−− zyx

( ) ( ) ( ) 25132 222 =++−++ zyx

Tämä voidaan edelleen kirjoittaa muodossa 0

11264222 =−+−+++ zyxzyx

1 Pallopintaa sanotaan joskus lyhyesti palloksi.

Vektorilaskenta 44

2. Määritä pallon

( ) ( ) ( ) 30132 222 =−+−++ zyx

pisteeseen ( asetetun tangenttitason yhtälö? )6,5,3−

Ratkaisu: Piste on todellakin pallopinnalla, sillä ( 6,5,3− )

))

. ( ) ( ) ( ) 30163523 222 =−+−++−

Pallon keskipisteen ja sivuamispisteen kautta kulkeva suora on kohtisuorassa tan-

genttitasoa vastaan. Täten vektori

( 1,3,20 −=P( 6,5,31 −=P

( )( ) ( ) ( ) kjikjiPP 5216352310 ++−=−+−+−−−= .

on tangenttitason normaalivektori. Koska sivuamispiste on tangenttitason eräs piste, niin tason yhtälö on

( ) ( ) ( )

04352065523

=−++−⇔=−+−++−

zyxzyx

1P

0P

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 20. Pallon keskipiste on (3, –1, 2) ja säde 3. Kirjoita pallon koordinaattimuotoinen yhtälö. Määri-

tä kaksi pallopinnan pistettä. 21. Pallon keskipiste on (1, –2, 4) ja piste (4, 5, 3) on pallopinnalla. Määritä pallon yhtälö. 22. Määritä pallon

( ) ( ) 931 222 =−+−+ zyx

pisteeseen (2, 0, 1) asetetun tangenttitason yhtälö.

5.5.1 Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä (säteen etäisyydellä) kiinteästä pisteestä (ympyrän keskipisteestä).

y

Tarkastelu on samanlainen kuin edellä pallon tapa-uksessa: vain z-koordinaatti jää pois. Siten ympy-rän vektorimuotoinen yhtälö on sama kuin pallo-pinnan ja koordinaattimuotoinen yhtälö on

( ) ( ) 220

20 Ryyxx =−+−

Ympyrän yhtälö voidaan aina saattaa muotoon , 022 =++++ cbyaxyx

( )yx,

( )00 , yx

R

x missä a, b ja c ovat reaalilukuja. Ympyrän yhtälö on siis sekä x:n että y:n suhteen toiseen asteen yh-

Vektorilaskenta 45

tälö, jossa toisen asteen termien kertoimet ovat yhtä suuret ja josta puuttuu sekatermi xy. Tätä muotoa olevan yhtälö kuvaaja ei kuitenkaan aina ole ympyrä. Tätä selvitetään luvussa 5.5.2.

ESIMERKKEJÄ 1. Yksikköympyrä. Origokeskistä ympyrää, jonka säde on

1, sanotaan yksikköympyräksi. Yksikköympyrän yhtälö on 122 =+ yx

2. Määritä pisteiden (2, –1), (3, 5) ja (5, 1) kautta kulkevan

ympyräviivan yhtälö. Ratkaisu: Ympyräviivan yhtälö on muotoa . 022 =++++ cbyaxyx

Pisteiden on sijaittava ympyrällä, joten niiden koordinaattien on toteutettava ympyrän yhtä-lö:

⇔ ( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+⋅+⋅++

=+⋅+⋅++

=+−⋅+⋅+−+

0151505353

01212

22

22

22

cbacba

cba

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++=+++

=++−

026503453

052

cbacba

cba

Yhtälöryhmän ratkaisu on

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

−=

−=

858334

17

c

b

a

joten annettujen pisteiden kautta kulkeva ympyrä on

085

833

41722 =−−−+ yxyx

Tämä voidaan kirjoittaa myös muodossa 05333488 22 =−−−+ yxyx

y 1

1 –1

x

–1

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 23. Kirjoita ympyrän yhtälö, kun ympyrän keskipiste on P ja säde on r ja

a) P = (0, 0); r = 5 b) P = (2, 1); r = 3 24. Piste (–3, 2) on ympyrän kehällä ja ympyrän keskipiste on (2, –5). Määritä ympyrän yhtälö. 25. Määritä pisteiden (0, 0), (–2, 1) ja (1, -3) kautta kulkevan ympyrän yhtälö.

Vektorilaskenta 46

5.5.2 Neliöksi täydentäminen Koska binomin neliön kaavan mukaan1

, ( ) 222 2 aaxxax +±=±

voidaan tyyppiä oleva lauseke kirjoittaa seuraavasti: pxx ±2

2222

222

222222

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅±=⋅⋅±=±

ppxppxpxxpxpxx .

Tätä toimenpidettä sanotaan neliöksi täydentämiseksi, sillä muodossa 22

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ±

ppx muut-

tuja x esiintyy yhdessä lausekkeessa, joka on korotettu toiseen potenssiin.

ESIMERKKEJÄ

1. ( ) 36666626212 222222 −−=−+⋅⋅−=⋅⋅+=+ xxxxxxx

2. 449

27

27

27

272

2727

222222 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅−=⋅−=− xxxxxxx

Neliöksi täydentämistä käyttäen voidaan selvittää milloin yhtälö 022 =++++ cbyaxyx

esittää ympyrää2. Kirjoitetaan yhtälö muotoon . cbyyaxx −=+++ 22

Täydennetään merkityt lausekkeet neliöksi lisäämällä yhtälö molemmille puolille sopivat termit:

cbabybyaxax −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅+

2222

22

22222

222

cbabyax −+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

422

2222

Jotta tämä esittäisi ympyrää, on lausekkeen cba−

+4

22

oltava säteen neliö eli positiivinen. Pää-

dytään seuraaviin tapauksiin:

• Jos 04

22

>−+ cba , on yhtälön kuvaaja ympyrä, jonka keskipiste on ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2,

2ba ja säde

cba−

+4

22

.

1 Tässä kuten seuraavissakin lausekkeissa merkinnässä ± ylemmät merkit vastaa toisiaan, samoin alemmat. 2 Vastaava tarkastelu voidaan tehdä pallon tapauksessa.

Vektorilaskenta 47

• Jos 04

22

=−+ cba , on yhtälön kuvaaja piste ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

2,

2ba .

• Jos 04

22

<−+ cba , ei yhtälö ole minkään käyrän kuvaaja.

ESIMERKKEJÄ 3. Määritä ympyrän

01941022 =++−+ yxyx

keskipiste ja säde. Ratkaisu: Neliöksi täydentämällä saadaan

( ) ( ) 1025

251922255219410

22

222222

22

=++−

++−=+⋅+++⋅−

−=++−

yx

yyxxyyxx

Tästä nähdään, että yhtälö esittää ympyrää, jonka keskipiste on (5, –2) ja säde 10 .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 26. Täydennä neliöksi seuraavat lausekkeet:

a) b) xx 62 + xx 32 −

c) d) xx 92 − xx 112 +27. Tutki, onko seuraavien yhtälöiden kuvaaja ympyrä. Myönteisessä tapauksessa selvitä millai-

nen ympyrä on kyseessä. a) b) 0322 =−+ yyx 013222 =+−++ yxyx

c) d) 096333 22 =+−++ yxyx 03222 =++− yxyx28. Määritä niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys pisteestä (0, 0) on aina kaksi kertaa niin suu-

ri kuin sen etäisyys pisteestä (5, 3). Piirrä kuvio. 29. Millä t:n arvoilla yhtälön

01222 =++−+ tyxyxkuvaaja on ympyrä?

6 VEKTORITULO

6.1 Positiivinen suunnistus Olkoon a , b ja c kolme avaruuden vektoria, jotka muodostavat kannan. Tällöin kolmikko ( )cba ,, on positiivisesti suunnistettu, jos seuraava ehto pätee: kun oikean käden peukalo osoit-taa vektorin a suuntaan ja etusormi vektorin b suuntaan, niin taivutettu keskisormi osoittaa vek-torin c suuntaan. Sanotaan myös, että kolmikko ( )cba ,, muodostaa oikeakätisen järjestelmän.

Jos taivutettu keskisormi osoittaa vektorin c− suuntaan, niin kolmikko ( )cba ,, on negatiivises-ti suunnistettu. Tätä sanotaan myös vasenkätiseksi järjestelmäksi.

Vektorilaskenta 48

6.2 Määritelmä ja ominaisuudet Vektoreiden välinen vektoritulo eli ristitulo määritellään seuraavasti1:

Jos vektorit a ja b ovat erisuuntaisia, niin niiden vektoritulo on

( )ebababa ,sin=× ,

missä e on vektoreita a ja b vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori, jolle kolmikko ( )eba ,, on positiivisesti suunnistettu.

Jos vektorit a ja b ovat yhdensuuntaisia, niin niiden vektoritulo on nollavektori 0=× ba .

Jos vektorit a ja b ovat erisuuntaiset, niin niiden väliselle kulmalle ( )ba , pätee ( ) °<<° 180,0 ba , jolloin ( ) 0,sin >ba . Siten vektoritu-lossa vektorin e kerroin ( ) 0,sin >baba . Siis erisuuntaisilla vekto-

reilla a ja b

a

b ba ×

• vektoritulo a b× ≠ 0 ja on kohtisuorassa vektoreita a ja b vas-taan:

a b× ⊥ a , a b× ⊥ b . • kolmikko ( )baba ×,, on positiivisesti suunnistettu.

a

b

( )ba , Vektoritulon normilla

( )bababa ,sin=×

on seuraava geometrinen tulkinta (perustele tämä!):

Vektoritulon normi ba × on sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina ovat vektorit a ja b .

Vektoritulolle ovat voimassa seuraavat laskusäännöt:

abba ×−=× Antisymmetrisyys!

( )

( ) cbcacbacabacba

×+×=×+

×+×=+× Osittelulait

( ) ( ) ( )bpabapbap ×=×=× Skalaaritekijän siirtosääntö

Liitäntälaki ei vektoritulolle ole voimassa: yleensä ( ) ( ) cbacba ××≠×× .

Huomaa, että suoraan määritelmän perusteella 0=× aa .

ESIMERKKEJÄ 1. ( ) ( ) babababbabbaaababa ×−=−×−×−=×−×+×−×=−×+ 200

1 Miksi on määriteltävä erikseen yhdensuuntaisten vektoreiden vektoritulo?

Vektorilaskenta 49

Vertaa tätä algebrassa esiintyvään samojen lukujen summan ja tulon kaavaan. Mitä eroja ha-vaitset?

2. Osoita, että skalaarituloa ja vektorituloa sitoo toisiinsa seuraava yhtälö

( ) 2222bababa =⋅+×

Ratkaisu: Koska

( )bababa ,sin=×

( )bababa ,cos=⋅

saadaan trigonometrian peruslausetta käyttäen

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) 222222

22222222

,cos,sin

,cos,sin

babababa

babababababa

=+=

+=⋅+×

3. Määritetään pisteen (paikkavektori 1P 1r ) etäisyys d suorasta

strr += 0 .

Kuvan merkinnöin ( 0r on pisteen paikkavektori) havaitaan, että 0P

( ) ( )srrrrsPPPPd ,sin,sin 01011010 −−==

Etäisyyden lauseke voidaan kirjoittaa vektorituloa käyttäen seuraavasti:

1P

0P s

d

( ) ( )

ssrr

ssrrsrr

d×−

=−−

= 010101 ,sin

HARJOITUSTEHTÄVÄT 6: 1. Perustele vektoritulon antisymmetrisyys. 2. Perustele skalaaritekijän siirtosääntö tapauksessa

a) 0>p b) . 0<p

6.3 Vektoritulo koordinaattimuodossa Avaruuden yksikkövektorit i , j ja k valitaan aina siten, että kolmikko ( )kji ,, on positiivisesti suunnistettu. Tällöin vektoritulon määritelmästä saadaan seuraava kertotaulu1 yksikkövektorei-den i , j ja k vektoritulolle:

× i j k

i 0 k − j j

i j

k

−k 0 i k j −i 0

1 Laskujärjestys: ensin vaakariviltä sitten pystyriviltä.

Vektorilaskenta 50

Yksikkövektoreiden i , j ja k vektoritulojen arvot muistaa parhaiten yo. kaaviosta. Jos kier-retään nuolten osoittamaan suuntaan arvo on positiivinen. Jos kierretään vastakkaiseen suuntaan arvo on negatiivinen. Olkoon nyt kajaiaa zyx ++= ja kbjbibb zyx ++= .

Käyttäen vektoritulon laskusääntöjä ja yllä olevaa kertotaulua saadaan vektoreiden a ja b vekto-rituloksi ( ) ( ) ( )kbabajbabaibababa xyyxxzzxyzzy −+−−−=×

2-rivisten determinanttien avulla vektoritulo voidaan kirjoittaa muotoon

kbbaa

jbbaa

ibbaa

bayx

yx

zx

zx

zy

zy +−=×

Tämä voidaan edelleen kirjoittaa kolmirivisenä determinanttina:

Jos kajaiaa zyx ++= ja kbjbibb zyx ++= ,niin

zyx

zyx

bbbaaakji

ba =×

ESIMERKKEJÄ 1. Vektoreiden kjia 42 +−= ja kjib +−= 32 vektoritulo on

132421

−−=×

kjiba

kjikji ++=−−

+−−−

= 7103221

1241

1342

2. xy-tason kolmion kärjet sijaitsevat pisteissä ( )111 , yxP , ( )222 , yxP ja . Osoita, että kolmion pinta-ala on

( 333 , yxP )

||21

1313

1212

yyxxyyxx

A−−−−

=

Ratkaisu: Kolmion pinta-ala on puolet sen suunnikkaan pinta-alasta, jonka sivuina ovat vek-torit 21PP ja 31PP . Koska

( ) ( ) jyyixxPP 121221 −+−=

( ) ( ) jyyixxPP 131331 −+−= ,

on

1P

2P

3P

Vektorilaskenta 51

kyyxxyyxx

yyxxyyxx

kjiPPPP

1313

122

1313

12123121

00

−−−−

=−−−−=× .

Siis kolmion pinta-ala on

||21

21

1313

1212

1313

1212

yyxxyyxx

kyyxxyyxx

A−−−−

=−−−−

=

Laskin TI-89:

Vektorien vektoritulo muodostetaan komennolla crossP: Esim. ( ) ( kjkji 2,45,23,27,32 +×+− ) lasketaan komennolla

crossP([2,-3.7,2.3],[0,2.5,4.2]).

HARJOITUSTEHTÄVÄT 6: 3. Määritä a , kun b×

a) kjia 243 +−= ja kjib 32 −+−=

b) kjia 42 −−= ja kib 2+−=

4. Olkoot kjia +−= 2 , kjib 234 −+−= ja kjic 432 −−= . Määritä ( ) cba ×× ja ( )cba ×× .

5. Määritä ne yksikkövektorit, jotka ovat kohtisuorassa vektoreita kjiu 25 −+−= ja kjiv 22 −+= vastaan.

6. Suunnikkaan sivuina ovat vektorit kjia 3,32,21,1 −−= ja kjib 0,21,42,3 +−−= . Määritä suunnikkaan pinta-ala.

7. Kolmion kärjet ovat pisteissä (1,–2), (–8,7) ja (–7,2). Määritä kolmion pinta-ala. 8. Kolmion kärjet ovat pisteissä ( )1,0,2 − , ( )2,2,3 ja ( )1,3,0 . Määritä kolmion pinta-ala. 9. Jaa voimavektori

kjiF N90N100N210 −+=

kolmeen komponenttiin, joista yksi on vektorin jia −= 2 ja yksi vektorin kjb 2+= suun-tainen sekä yksi näitä vastaan kohtisuorassa.

6.4 Voiman momentti pisteen suhteen Voima vaikuttaa kappaleeseen ulkoisesti seuraavasti: • Se yrittää liikuttaa kappaletta vaikutussuoransa suuntaisesti • Se yrittää pyörittää kappaletta sellaisen akselin (tai suoran) ympäri, joka ei ole voiman vaiku-

tussuoralla. Voiman pyörityskykyä kuvataan voiman momentilla:

Vektorilaskenta 52

Voiman F momentilla pisteen O suhteen tarkoitetaan lauseketta FrM ×= ,

missä r on pisteen O ja voiman F vaikutussuoralla olevan pisteen P välinen vektori OP .

Pisteen O etäisyyttä voiman F vaikutussuorasta kutsutaan voiman momenttivarreksi d. Ohei-sesta kuvasta nähdään, että ( )Frrd ,sin=

d

P

F

r

O ( )Fr ,

Siten momentin itseisarvo voidaan esittää seuraavasti

( ) dFFrFrM == ,sin .

eli momentin itseisarvo on voiman itseisarvon ja momentti-varren tulo. Tätä tulosta käytetään tasostatiikan tehtävissä. Momentin määritelmässä momentin arvo näyttää riippuvan voiman vaikutussuoran pisteen P valinnasta. Osoitetaan näin ei ole asian laita. Valitaan voiman vaikutussuoralta kaksi pistettä P ja P′ . Merkitään OPr = ja POr ′=′ . Tällöin

PPrr ′+=′ .

r ′P F

r O

P' Koska PP ′ ⎜⎜F on 0=×′ FPP . Siten

( ) FrFPPFrFPPrFr ×=×′+×=×′+=×′ .

Tästä saadaan sama arvo sekä pisteellä P että pisteellä P′ . Tä-ten momentti on riippumaton pisteen P valinnasta.

HARJOITUSTEHTÄVÄT 6: 10. Kuvan sauva (pituus 0,87 m) ja voima (suuruus 110 N) ovat samassa pystysuorassa tasossa.

Määritä voiman momentin itseisarvo akselin O suhteen a) kaavalla dFM =

b) vektoritulon avulla.

Vektorilaskenta 53

11. Määritä kuvan voiman momentti ja momentin itseisarvo origon suhteen.

7 SKALAARIKOLMITULO

7.1 Määritelmä Olkoot a , b ja c avaruuden vektoreita. Koska vektoritulo a b× on vektori, on skalaaritulo ( ) cba ⋅× määritelty ja sen arvo on skalaari. Tämä tulo voidaan kirjoittaa myös ilman sulkuja cba ⋅× , sillä tulon voi laskea vain yhdellä tavalla: ensin vektoritulo ja sitten skalaaritulo. Tälle tulolle käytetään nimitystä skalaarikolmitulo. Olkoot kajaiaa zyx ++= , kbjbibb zyx ++= ja kcjcicc zyx ++=

vektoreiden koordinaattiesitykset. Käyttäen aikaisemmin vektoritulolle johdettua esitystä saa-daan

x

y

z

0,69 m 1,14 m

0,53 m

1,78 m

0,72 m

350 N

52° 110 N 130°

0,87 m O

Vektorilaskenta 54

( )

zyx

zyx

zyx

zyx

yxy

zx

zxx

zy

zy

zyxyx

yx

zx

zx

zy

zy

cccbbbaaa

cbbaa

cbbaa

cbbaa

kcjcickbbaa

jbbaa

ibbaa

cba

=+−=

++⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⋅×

Viimeinen lauseke on saatu kehittämällä determinantti alimman rivinsä mukaan. On johdettu skalaarikolmitulon determinanttiesitys

Jos kajaiaa zyx ++= , kbjbibb zyx ++= ja kcjcicc zyx ++= , niin

zyx

zyx

zyx

cccbbbaaa

cba =⋅×

ESIMERKKEJÄ 1. Vektoreiden kjia 32 ++= , kjib −+−= 2 ja kic += 4 skalaarikolmitulo on

15104112

321−=−−=⋅× cba .

HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:

1. Määritä vektoreiden kji 7,36,11,2 +−=u , kjiv 2,15,48,0 +−−= kjiw 0,14,15,1 +−= ja skalaarikolmitulo wvu ⋅× .

7.2 Sovelluksia Vektoritulon määritelmän mukaan

ebaba ×=× ,

missä e on vektoreita a ja b vastaan kohtisuorassa oleva yksikkövektori. Siten skalaarikolmitu-lon itseisarvo

cebacba ⋅×=⋅× .

Yllä olevassa yhtälössä

a

h ba × c

b

• ba × on sen suunnikkaan pinta-ala, jonka sivuina ovat

vektorit a ja b . • ce ⋅ on projektion ( )eecce ⋅= pituus. Koska ec on

vektorin c kohtisuora projektio vektorille e , on ce ⋅ sen suuntaissärmiön korkeus, jonka särminä ovat vekto-rit a , b ja c ja pohja on vektoreiden a ja b määräämä suunnikas.

On saatu seuraava tulos:

Vektorilaskenta 55

Vektoreiden a , b ja c määräämän suuntaissärmiön tilavuus = cba ⋅×

ESIMERKKEJÄ 1. Tetraedrin kolmena samasta kärjestä lähtevinä särminä ovat vektorit kjia 3−+= ,

kjib +−= 2 ja kjic 23 ++= . Määritä tetraedrin tilavuus.

Ratkaisu: Olkoon vektoreiden a , b ja c määräämän suuntaissärmiön korkeus h ja pohjan

pinta-ala A. Tetraedrin korkeus on tällöin h ja pohjan pinta-ala 2A (ks. kuvaa). Kartion tila-

vuuden kaavaa käyttäen tetraedrin tilavuus V saadaan vastaavan särmiön tilavuudesta W seu-raavasti:

WAhhAV61

61

231

=== .

Siis

167,36

19

213112311

61

61

≈=−−

=⋅×= cbaV

Vastaus: Tetraedrin tilavuus 3,167. a

c

b

HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:

2. Määritä sen suuntaissärmiön tilavuus, jonka särminä ovat vektorit kjia 7,28,33,7 +−= , kjib 5,52,61,4 +−= ja kjic 6,31,83,1 −+= .

3. Vektorit kjita 22 ++−= , kitb −= 3 ja kjtitc −+= 4 ovat suuntaissärmiön särminä. Millä t:n arvoilla suuntaissärmiön tilavuus on 6?

4. Tetraedrin kärjet ovat pisteissä (3, 3, 0), (4, –2, 1), (5; 2,7; 2,7) ja (0, 1, 5). Määritä tetraedrin tilavuus.

7.3 Tason determinanttimuoto Aikaisemmin todettiin, että taso on määrätty, jos tunnetaan sen yksi piste ja vektori (normaali-vektori), joka on kohtisuorassa tasoa vastaan. Jos tason tunnetun pisteen paikkavektori on 0P 0r ja tason normaalivektori on 0≠n , on tason vektorimuotoinen yhtälö ( ) 00 =−⋅ rrn .

Edellisessä yhtälössä r tason mielivaltaisen pisteen P paikkavektori. Taso on määrätty myös, jos tunnetaan sen kolme pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Ol-koon , ( )1111 ,, zyxP ( )2222 ,, zyxP ja ( )3333 ,, zyxP kolme tällaista pistettä. Tällöin vektorit

3P

2P

n

1P

( ) ( ) ( )kzzjyyixxPP 12121221 −+−+−=

ja

( ) ( ) ( )kzzjyyixxPP 13131331 −+−+−=

ovat erisuuntaisia tason vektoreita. Niiden vektoritulo

Vektorilaskenta 56

3121 PPPPn ×=

on kohtisuorassa tasoa vastaan eli on tason normaalivektori. Otetaan tason pisteeksi , jonka paikkavektori olkoon

1P

1r . Tason yhtälö voidaan nyt kirjoittaa muotoon

( ) ( ) 00 3121113121 =×⋅−⇔=−⋅× PPPPrrrrPPPP .

Koska ( ) ( ) ( )kzzjyyixxrr 1111 −+−+−=− ,

voidaan skalaarikolmitulon determinanttiesitystä käyttäen tason yhtälö esittää determinantti-muodossa

0

131313

121212

111

=−−−−−−−−−

zzyyxxzzyyxxzzyyxx

ESIMERKKEJÄ 1. On määrättävä pisteiden , ja )1,2,1( −A )0,1,2(B )3,3,1(−C määräämän tason yhtälö.

Ratkaisu: Tason yhtälö on

( )( )( )

016650412111

1210

132311102112121

=+−−−⇔=−

−+−−

⇔=−−−−−−−−−−−−−

zyxzyxzyx

HARJOITUSTEHTÄVÄT 7:

5. Määritä pisteiden , ja ( )2,1,1−A ( )2,3,0B ( )3,2,1 −C määrittelemän tason jokin koordinaatti-muotoinen yhtälö.

6. Taso on kohtisuorassa tasoja 022 =−+ zyx ja 032 =++− zyx vastaan. Lisäksi tiedetään, että piste ( on tasossa. Määritä tason yhtälö. )3,0,2−