BAB 2 Vektor Pada bab sebelu mny a, kita telah memp elajari bagaim ana melak ukan pengu kuran -pengu kuran suatu besaran, sehingga diperoleh hasil yang akurat dan teliti dan kita juga sudah mengenal 2 macam besaran, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Selain dua macam besaran tersebut ada 2 macam besaran lain yang perlu kita ketahui yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Dal am fi si ka besar an skal ar adal ah besaran yang ni lainya di tent ukan besar ny a saj a.. Contohnya semua besaran pokok, jarak, laju, masa jenis, luas, volume, usaha dan lain sebagainya. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang nilainy ditentukan besar dan arahnya. Contohnya adalah berat, percepatan, kecepatan, perpindahan, gaya, momentum, impuls, dan lain sebagainya. Dalam bab ini ki ta akan membahas tent ang penggambara n dan pe nuli san seb uah vecto r, penjumlahan dan pengurangan vector, menentukan besaran dan arah vektor resultan, penguraian vector, dan perkalian vector. Se tela h me mp el aj ar i ba b ini anda di ha rapa ka n me mi li ki st anda r ko mpetensi mampu menerapka n kon sep besara n fis ika dan pen guk uranny a, da n kompet en si da sa r melakukan penjumlahan vektor . A. Peng gamba ran dan Penu lisan Sebu ah Vekt or Sebuah vektor dapat digambarkan dengan sebuah anak panah. !rah anak panah menunjukkan arah vektor dan panjang anak panah menunjukkan besar vektor. Perhatikan vektor !" pada gambar di ba#ah ini$ Gambar 2.1 Menggambarkan vektor %ekt or AB pada gambar di at as dapa t di tuli skan AB atau AB . %ektor AB dapat juga diny atakan dengan sebuah huruf, misalnya vektor x atau ditulis x . Sedangkan untuk menuliskan besarnya vektor AB dapat ditulis & A B & atau & AB& dan untuk menulisk an besarny a vekto r x dapat ditulis & x &. Dari gambar vektor AB di atas, titik A disebut dengan titik pangkal vektor'titik tangkap vektor atau bisa juga disebut dengan titik asal vektor. Sedangkan titik B disebut dengan ujung vektor. %ektor memiliki sifat-sifat antara lain (. dapat dipi nda hka n as al besar dan arah nya tet ap. ( ! " X
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB 2
BAB 2
Vektor
Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari bagaimana melakukan pengukuran-pengukuran suatu besaran, sehingga diperoleh hasil yang akurat dan teliti dan kita juga sudah mengenal 2 macam besaran, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Selain dua macam besaran tersebut ada 2 macam besaran lain yang perlu kita ketahui yaitu besaran skalar dan besaran vektor.
Dalam fisika besaran skalar adalah besaran yang nilainya ditentukan besarnya saja.. Contohnya: semua besaran pokok, jarak, laju, masa jenis, luas, volume, usaha dan lain sebagainya. Sedangkan besaran vektor adalah besaran yang nilainy ditentukan besar dan arahnya. Contohnya adalah berat, percepatan, kecepatan, perpindahan, gaya, momentum, impuls, dan lain sebagainya. Dalam bab ini kita akan membahas tentang penggambaran dan penulisan sebuah vector, penjumlahan dan pengurangan vector, menentukan besaran dan arah vektor resultan, penguraian vector, dan perkalian vector.Setelah mempelajari bab ini anda di harapakan memiliki standar kompetensi mampu menerapkan konsep besaran fisika dan pengukurannya, dan kompetensi dasar melakukan penjumlahan vektor.
A.Penggambaran dan Penulisan Sebuah Vektor
Sebuah vektor dapat digambarkan dengan sebuah anak panah. Arah anak panah menunjukkan arah vektor dan panjang anak panah menunjukkan besar vektor.
Perhatikan vektor AB pada gambar di bawah ini!
Gambar 2.1 Menggambarkan vektor
Vektor AB pada gambar di atas dapat dituliskan atau . Vektor AB dapat juga dinyatakan dengan sebuah huruf, misalnya vektor x atau ditulis . Sedangkan untuk menuliskan besarnya vektor AB dapat ditulis || atau |AB| dan untuk menuliskan besarnya vektor x dapat ditulis ||.
Dari gambar vektor AB di atas, titik A disebut dengan titik pangkal vektor/titik tangkap vektor atau bisa juga disebut dengan titik asal vektor. Sedangkan titik B disebut dengan ujung vektor.
Vektor memiliki sifat-sifat antara lain:
1.dapat dipindahkan asal besar dan arahnya tetap.
2.dapat dilakukan operasional matematis seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
3.dapat diuraikan menjadi dua vektor atau lebih.B.Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Dua buah vektor atau lebih dapat dicari vektor totalnya atau vektor resultannya dengan cara penjumlahan atau pengurangan kedua vektor tersebut.
1.Penjumlahan dan Pengurangan Vektor yang Segaris
Menjumlahkan atau mengurangkan vektor dapat kita ilustrasikan seperti gambar-gambar berikut:
Sekarang perhatikan gambar 2.2 di bawah ini.
dan
Gambar 2.2 Vektor
dan memiliki arah yang sama, begitu juga dengan titik tangkapnya, maka resultan kedua vektor tersebut adalah = + atau = 4 satuan + 5 satuan = 9 satuan, dan kalau kita lukiskan akan didapat seperti ini.
Gambar 2.3 Resultan dari V1 dan V2Bagaimana bila salah satu vektor berharga negatif, misalnya = 7 vektor dan = 4 satuan, maka resultanya adalah selisih kedua vektor tersebut = + = 7 satuan + (4) satuan = 3 satuan.
Maka resultannya
Gambar 2.4 Pengurangan vektor (resultan vector berlawanan)2. Penjumlahan dan Pengurangan dengan Metode Jajaran Genjang
Untuk mendapatkan resultan vektor dari penjumlahan dan pengurangan adalah salah satunya dengan metoda jajaran genjang. Menjumlahkan dua buah vektor dengan metoda jajaran genjang dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a.Titik tangkap atau titik pangkal kedua vektor disatukan, artinya berimpit jadi satu.
b.Tarik garis-garis yang sejajar dengan kedua vector dari ujung-ujung vektorc.Tarik diagonal dari pangkal kedua vektor sampai ke titik sudut jajaran genjang yang satunya lagi.
Contoh SoalDua buah vektor tempat pada gambar.
Gambarkanlah resultan dari:
a.
b.
Penyelesaian:
a.
b.
3.Penjumlahan dan Pengurangan Vektor dengan Metode Segitiga dan Segi Banyak
Penjumlahan dengan metode segitiga dan segi banyak dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut:
a.Pada ujung vektor pertama sambungkan pangkal vektor kedua. Jika jumlah vektornya banyak, lakukan untuk semua vektor.
b.Tarik garis dari pangkal vektor pertama sampai ke ujung vektor yang terakhir. Garis ini adalah vektor resultannya.
Contoh Soal1.Dua buah vektor tampak pada gambar berikut.
Gambarkanlah:
a.
b.
Penyelesaian: (cara segitiga)a.
b.
2.Tiga buah vektor seperti gambar berikut.
Gambarkanlah:
Penyelesaian: (cara segi anyak/poligon)
C.Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan
1.Menentukan Besar dan Arah Vektor Resultan dengan Rumus Cosinus dan Sinus
Besar resultan vektor (R) dapat ditentukan secara matematik sebagai berikut.
Gambar 2.5 Dua buah vektor yang membentuk sudut
Dari gambar tersebut di atas adalah vektor resultan, adalah sudut apit yang dibentuk antara dan , sehingga besarnya vektor resultannya dapat dihitung dengan rumus cosinus, sebagai berikut:
R = . 2.1
Dengan:
R = besar vektor resultan
V1 = besar vektor 1
V2 = besar vektor 2
= sudut apit antara V2 dan V1Sedangkan untuk menentukan arah vektor resultan (R), dapat digunakan rumus sinus sebagai berikut.
= =
. 2.2
dengan:
V1 = besar vektor 1
V2 = besar vektor 2
R = besar vektor resultan
= sudut antara R dan V1
= sudut antara V2 dan R
= sudut apit antara V1 dan V2
Contoh soal
1.Hitung besar vektor resultan dari dua vektor x dan y yang saling tegak lurus di mana x = 8 satuan dan y = 6 satuan.
Penyelesaian:
R=
=
=
=
=
= 10 satuan
2.Seorang anak berjalan 24 meter ke timur, kemudian ia berjalan lagi 7 meter ke utara. Hitunglah vektor resultan perjalanannya.
Penyelesaian:
R=
=
=
= 25 meter
3.Dua buah vektor gaya = 40 N dan = 30 N keduanya membentuk sudut 60. Hitunglah vektor resultan kedua vektor gaya tersebut!
Penyelesaian:
Diketahui:
= 40 N
= 30 N
= 60
Jawab:
R=
=
=
=
=
= 10N
4.Dua buah vektor V1 dan V2 memiliki besar masing-masing 5 satuan dan 5 satuan bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 90. Besar resultan dan arahnya terhadap V1 adalah .
Penyelesaian
Diketahui:V1 = 5 satuan
V2 = 5 satuan
= 90
Ditanyakan:R ?
?
Jawab:
R=
=
=
=
= 10 satuan
Untuk arah resultan terhadap V1 dapat menggunakan rumus sinus.
=
=
sin =
sin =
sin
=
= arc sin
= 60
Latihan 2.1
1.Lukislah resultan vektor-vektor berikut dengan metode jajaran genjang.
a.
b.
2.Pada gambar tampak vektor , , dan
Lukislah resultan vektornya dengan metode poligon untuk:
a.
b.
c.
3.Dua buah vektor gaya masing-masing F1 = 3 N dan F2 = 5 N bertitik tangkap sama mengapit sudut 60. Tentukanlah besar resultan kedua vektor tersebut!
4.Seorang anak berjalan ke utara sejauh 12 m, kemudian ia berjalan kembali 9 m ke barat. Hitunglah besar resultan perjalanan anak tersebut!
5.Dua buah vektor gaya F1 = 3 N dan F2 = 4 N bertitik tangkap sama membentuk sudut 60. Hitung besar resultan dan arahnya terhadap F1!
2. Menentukan Besar dan arah Vector Resultan dengan Metode Analisis
Misalkan ada dua buah vector seperti tampak pada gambar 2.6
Gambar 2.6 Vektor dan yang masing-masing membentuk sudut terhadap arah mendatar.
Untuk menentukan besar dan arah vektor resultan dengan metode analisis dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut :
a. Buatlah sumbu koordinat Cartesius
b. Lukis dua vektor yang diketahui (pada gambar 2.6) pada koordinat Cartesius
c. Uraikan kedua vektor menjadi komponen-kompenennya dalam arah sumbu x dan sumbu y sehingga di peroleh harga harga komponennya.
Harga komponen-komponennya adalah:
d. Jumlahkan masing-masing komponen sehingga didapat
3.Penguraian Vektor
Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua vektor dalam bidang datar dengan komponen yang saling tegak lurus. Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi 2 vektor yang saling tegak lurus, maka 2 vektor hasil penguraian tersebut disebut komponen vektor yang saling tegak lurus.
Perhatikan gambar 2.7 di bawah ini!
Gambar 2.7 Komponen vektor
Pada gambar tersebut vektor F dapat diuraikan menjadi komponen pada sumbu x, yaitu Fx dan komponen pada sumbu y yaitu Fy.
Dengan:
Fx= F cos dan
Fy= F sin
Jika kedua vektor komponen diketahui, maka besar vektor resultannya dapat dicari dengan persamaan: dan arah resultannya juga dapat dicari dengan persamaan . 2.4
Contoh soal
1.Sebuah gaya sebesar 60 N bekerja pada benda dengan membentuk sudut 60 terhadap sumbu horisontal. Hitung komponen vektor pada sumbu-x dan sumbu-y.
Penyelesaian:
Fx= F cos
= 60 cos 60
= 60 . 0,5
= 30 N
Fy= F sin
= 60 sin 60
= 60 .
= 30 N
2.Tentukan besar dan arah vektor perpindahan yang komponen x dan komponen y-nya adalah Ax = 4 m dan Ay = 4 m.
Penyelesaian:
A=
=
=
=
= 8 m
tan = = =
= 120
3.
D.Perkalian Vektor
Ada dua macam operasi perkalian vektor yaitu perkalian titik vektor (dot product) dan perkalian silang vektor (cross product).
1.Perkalian Titik Dua Vektor
Perkalian titik dari dua vektor A dan B dilambangkan atau dapat ditulis A ( B (dibaca A dot B). Dalam fisika, perkalian titik kita jumpai dalam rumus daya (P).
P = F ( V
. 2.5dan pada rumus usaha (W), yaitu:
W = F ( S
. 2.6
F = gaya, S = perpindahan, V = kecepatan, semuanya adalah besaran vektor. Sedangkan usaha (W dan daya (P) adalah besaran skalar. Hal ini berarti bahwa hasil perkalian titik dua besaran vektor merupakan besaran skalar. Perkalian-perkalian titik dari dua vektor A dan B yang mengapit sudut dapat didefinisikan sebagai berikut:
A ( B = AB cos
. 2.7Sifat-sifat perkalian titik dua buah vektor:
1.Bersifat komutatif
A ( B = B ( A2.Bersifat distributif
(A + B) ( C = A ( C + B ( C2.Perkalian Silang Dua Buah Vektor
Perkalian silang antara dua vektor dan ditanda dengan lambang A B (dibaca A cross B). Besar hasil perkalian silang vektor dan didefinisikan sebagai:
| | = |A| |B| sin
. 2.8Untuk menentukan arah vektor hasil digunakan kaidah tangan kanan.
Gambar 2.8 Perkalian silang dua vektor
Jika A diputar ke B melalui sudut , maka arah vektor A B = C ke atas. Sebaliknya, jika B diputar ke A melalui sudut , maka arah vektor B A = C ke bawah. Jadi, X = ().
Sifat-sifat perkalian silang dua buah vektor:
1.Anti komutatif
X = ().
2.Bersifat distributif
= +
EMBED Equation.3 3.Besar hasil kali silang dua vektor selalu positif
|| = | X | > 0
GLOSARIUM
Besaran skalar:besaran yang nilainya ditentukan oleh besarnya saja.
Besaran vektor:besaran yang nilainya ditentukan oleh besarnya dan arahnya.
Uji Kompetensi Bab 2
I.Pilih satu jawaban yang dianggap paling benar
1.Kelompok besaran di bawah ini yang termasuk besaran-besaran skalar adalah .
a.gaya, perpindahan, jarakd.suhu, kuat arus, gaya
b.jarak, kecepatan, waktue.jarak, usaha, daya
c.massa, panjang, gaya
2.Selisih dua vektor gaya 8 N dan 3 N bertitik tangkap sama dan saling mengapit sudut 0 adalah .
a.5 Nd.11 N
b.7 Ne.14 N
c.9 N
3.Dua buah vektor gaya F1 = 4 N dan F2 = 3 N, bertitik tangkap pada satu titik, maka jumlah kedua vektor gaya tersebut adalah .
a.5 N bila = 30d.1 N bila = 90
b.nol bila = 180e.1 N bila = 0
c.1 N bila = 180
4.Tiga buah gaya masing-masing F1, F2, dan F3
Pernyataan yang benar adalah .
a.F1 = F3 F2d.F3 = F1 F2b.F1 = F2 + F3e.F2 = F3 + F1c.F3 = F1 + F25.Perhatikan diagram vektor di bawah ini!
yang menyatakan adanya hubungan x = y z adalah gambar nomor .
a.1d.4
b.2e.5
c.3
6.Dua buah gaya masing-masing 10 N dan 16 N bertitik tangkap pada satu titik. Jika kedua gaya tersebut membentuk suatu 120, maka besar resultan dari kedua gaya tersebut adalah .
a.22 Nd.12 N
b18 Ne.10 N
c.14 N
7.Dua buah gaya bertitik tangkap sama dan saling tegak lurus. Ternyata besar resultannya 41 N. Jika besar vektor gaya pertama 40 N, maka besar vektor gaya yang kedua adalah .
a.13 Nd.8 N
b.10 Ne.7 N
c.9 N
8.Sebuah vektor x memiliki besar 5 satuan dan vektor y memiliki besar 16 satuan. Hasil perkalian dan kedua vektor jika kedua vektor mengapit sudut 60 adalah .
a.40 satuand.70 satuan
b.50 satuane.80 satuan
c.60 satuan
9.Besar resultan kedua vektor di bawah serta arahnya terhadap F1 adalah .
a.18 N, 30d.20 N, 37
b.18 N, 45e.25 N, 60
c.20 N, 30
10.Jika besar vektor , , dan masing-masing 12,5 dan 13 stauan dan + = , maka sudut antara dan adalah .
a.90d.30
b.60e.0
c.45
Essai
II.Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan singkat dan jelas!
1.Apa yang dimaksud dengan:
a. Besaran skalar
b. Besaran vektor
2.Sebutkan 5 contoh besaran skalar!
3.Sebutkan 5 contoh besaran vektor!
4.Tentukan besar vektor resultan dari dua vektor kecepatan V1 dan V2 yang saling tegak lurus berikut ini:
a. V1 = 20 m/s dan V2 = 10 m/s
b. V1 = 80 km/jam dan V2 = 60 km/jam
5.Dua buah vektor V1 = 6 satuan dan V2 = 8 satuan membentuk sudut 90. Tentukan besar dan arah resultannya terhadap V 1!
KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI BAB 2I. Pilihan Ganda1.E6.C
2.B7.C
3.C8.A
4.E9.D
5.E10.A
II. Essai
1.a.Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar/nilai.
b.Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.
2.Kecepatan, percepatan, perpindaha, berat, gaya, momentum, impuls.
3.Jarak, laju, usaha, volume, massa jenis, luas, usaha, daya.
5.a.Diketahui:V1 = 20 m/s; V2 = 10 m/s
= 90 (saling tegak lurus)
Ditanyakan: R ?
Jawab:
R=
=
=
=
= 10 m/s
b.Diketahui: V1 = 80 km/jam; V2 60 km/jam; = 90
Ditanyakan: R ?
Jawab:
R=
=
=
=
= 100 km/jam
5.Diketahui:V1 = 6 satuan; = 90
V2 = 8 satuan
Diketahui: R ?; arah R ?
Jawab:
R=
=
=
=
=
= 10 satuan
arah R, karena arah R terhadap V1 gunakan ruus sinus.
=
=
sin 1 10 = 8 sin 90
sin 1 10 = 8 1
sin 1 = 0,8
1 = arc sin 0,8
1 = 53
( arah R 53 terhadap V1 A
B
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
R
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
x
y
x
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
PAGE 16
_1219427273.unknown
_1219428353.unknown
_1219477809.unknown
_1219480703.unknown
_1219481276.unknown
_1219481456.unknown
_1219481483.unknown
_1219481519.unknown
_1219481546.unknown
_1219481553.unknown
_1219481531.unknown
_1219481490.unknown
_1219481471.unknown
_1219481350.unknown
_1219481361.unknown
_1219481332.unknown
_1219481240.unknown
_1219481257.unknown
_1219481270.unknown
_1219480721.unknown
_1219480722.unknown
_1219481220.unknown
_1219480704.unknown
_1219478602.unknown
_1219480670.unknown
_1219480683.unknown
_1219480702.unknown
_1219480676.unknown
_1219480007.unknown
_1219480575.unknown
_1219479634.unknown
_1219477882.unknown
_1219478435.unknown
_1219478445.unknown
_1219477891.unknown
_1219478380.unknown
_1219477832.unknown
_1219477871.unknown
_1219477822.unknown
_1219428858.unknown
_1219477661.unknown
_1219477707.unknown
_1219477789.unknown
_1219477673.unknown
_1219477645.unknown
_1219477463.unknown
_1219477539.unknown
_1219428718.unknown
_1219428791.unknown
_1219428821.unknown
_1219428778.unknown
_1219428380.unknown
_1219428392.unknown
_1219428370.unknown
_1219427901.unknown
_1219428105.unknown
_1219428238.unknown
_1219428276.unknown
_1219428277.unknown
_1219428275.unknown
_1219428175.unknown
_1219428187.unknown
_1219428118.unknown
_1219427960.unknown
_1219428061.unknown
_1219428093.unknown
_1219428070.unknown
_1219428087.unknown
_1219427967.unknown
_1219427940.unknown
_1219427950.unknown
_1219427909.unknown
_1219427669.unknown
_1219427768.unknown
_1219427857.unknown
_1219427881.unknown
_1219427835.unknown
_1219427689.unknown
_1219427697.unknown
_1219427681.unknown
_1219427530.unknown
_1219427631.unknown
_1219427652.unknown
_1219427605.unknown
_1219427510.unknown
_1219427521.unknown
_1219427503.unknown
_1219425776.unknown
_1219426478.unknown
_1219427199.unknown
_1219427239.unknown
_1219427260.unknown
_1219427225.unknown
_1219426970.unknown
_1219426987.unknown
_1219426549.unknown
_1219426696.unknown
_1219426504.unknown
_1219425854.unknown
_1219425999.unknown
_1219426105.unknown
_1219425991.unknown
_1219425801.unknown
_1219425839.unknown
_1219425788.unknown
_1141016279.unknown
_1219387470.unknown
_1219419424.unknown
_1219419598.unknown
_1219419709.unknown
_1219419450.unknown
_1219419223.unknown
_1219419410.unknown
_1219419069.unknown
_1219386810.unknown
_1219387291.unknown
_1219387302.unknown
_1219386838.unknown
_1219386727.unknown
_1219386766.unknown
_1141016298.unknown
_1140961730.unknown
_1140988069.unknown
_1140990047.unknown
_1140990150.unknown
_1141016132.unknown
_1140990151.unknown
_1140990149.unknown
_1140989804.unknown
_1140989832.unknown
_1140989507.unknown
_1140989788.unknown
_1140988107.unknown
_1140962198.unknown
_1140987982.unknown
_1140988049.unknown
_1140987922.unknown
_1140962073.unknown
_1140961378.unknown
_1140961697.unknown
_1140961717.unknown
_1140961670.unknown
_1140960865.unknown
_1140961358.unknown
_1140960724.unknown
_1140960765.unknown
_1140960815.unknown
_1140960661.unknown
_1140960351.unknown