Vectors

เวกเตอร์ เวกเตอร์ ((VectorsVectors))

• บทนาํ• การรวมเวกเตอร์

• เวกเตอร์หนึ�งหน่วย

315 102 General Physics I อ. ดร. ศรีประจักร์ ครองสุข

• เวกเตอร์หนึ�งหน่วย

• การแยกเวกเตอร์

• ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์

• ผลคูณสเกลาร์ของสามเวกเตอร์

6/4/20081

บทนาํ (Introduction)

ปริมาณที�วดัในทางฟิสิกส์แบ่งออกเป็น 2 ประเภทคือ• ปริมาณสเกลาร์ (scalar quantity) คือ ปริมาณที�ระบุขนาดเพียงอยา่งเดียว เช่น อุณหภมูิ, ปริมาตร, มวล, เวลา เป็นตน้• ปริมาณเวกเตอร์ (vectors) คือ ปริมาณที�ตอ้งระบุทัFงขนาดและทิศทางพร้อมกนั เช่น การกระจดั, ความเร็ว, ความเร่ง, แรง, สนามแม่ไฟฟ้าและสนามแม่เหลก็ เป็นตน้

อุณหภมูิ

A

B

ปริมาณสเกลาร์

N

E

ABθA

θB

ปริมาณเวกเตอร์6/4/20082

การรวมเวกเตอร์

สมบตัิของเวกเตอร์(1) การเท่ากนัของสองเวกเตอร์

ถา้เวกเตอร์ A และเวกเตอร์ B เท่ากนั จะตอ้งมีขนาดเท่ากนั (A = B) และมีทิศทางเดียวกนัดว้ย

A AAB

A = B

AB

A ≠ B

AB

A ≠ B แต่ A = -B

AB

A ≠ B6/4/20083

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(2) การบวกเวกเตอร์โดยใชว้ธิีเรขาคณิต (geometric method)

• การบวกสองเวกเตอร์

A

B

R = A + B

A

BRθB

A• การบวกเวกเตอร์ที�มีมากกวา่สองเวกเตอร์ขึFนไป

120°

60°A

BC

AB

CR

θ

R = A + B + C

6/4/20084

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)การบวกของสองเวกเตอร์สามารถเขียนในอีกแบบหนึ�ง ซึ� งเรียกวา่การบวกเวกเตอร์แบบสร้างรูปสี� เหลี�ยมดา้นขนาน (parallelogram)

A A

BRB

A A(3) การสลบัที�ของการบวก (commutative law of addition)

A + B = B + A

A

B

A

B R

6/4/20085

A + (B + C) = (A+ B) + C

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(4) การเปลี�ยนกลุ่มของการบวก (associative law of addition)

B

C

B+CB

C

A+B

AB

AB

(5) เวกเตอร์ที�ติดลบ (Negative of a vector)

A + (-A) = 0 เวกเตอร์ A และ –A มีขนาดเท่ากนัแต่มีทิศตรงขา้ม

(6) การคูณปริมาณสเกลาร์(m) กบัเวกเตอร์

B = mA เวกเตอร์ B ยาวเป็นจาํนวน m เท่าของเวกเตอร์ A6/4/20086

การรวมเวกเตอร์ (ต่อ)(7) การลบเวกเตอร์ A – B = A + (– B )

AB R = A - B

A

BA- B

R = A - BA

6/4/20087

คาํถาม (question)?

B

C

D

E

จงหาเวกเตอร์ลพัธ์ R = A+B+C+D+E

CD

A

BE

AB

CD

E

R

6/4/20088

การหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลพัธ์

A

BR

α

β

γ θ ( )2.1cos2

sincoscos2

)sin()cos(

22

222222

222

θ

θθθ

θθ

ABBAR

BBABAR

BBAR

++=

+++=

++=

ขนาดของเวกเตอร์ลพัธ์

A

ทิศของเวกเตอร์ลพัธ์

( )3.1cos

sintan

cos

sintan

1

+

=

+=

−

θθ

α

θθ

α

BA

B

BA

B

สมการที� 1.2 และ 1.3 เรียกวา่ กฎของโคไซน์(cosine’s law) นอกจากนีFยงัสามารถหาค่าเหล่านีFไดโ้ดยใชก้ฎของไซน์ (sine’s law)

( )4.1sinsinsin αβγBAR

==

6/4/20089

เวกเตอร์หนึ�งหน่วย

เวกเตอร์หนึ8งหน่วย (unit vectors) คือ เวกเตอร์ที�มีขนาดเท่ากบั 1 หน่วย ซึ� งถูกกาํหนดโดย

( )1.1A

A eA = A

eAในระบบพิกดัแบบคาทีเซียน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์หนึ�งหน่วยในแนวแกน

AeA A=

ในระบบพิกดัแบบคาทีเซียน (cartesian coordinates system) เวกเตอร์หนึ�งหน่วยในแนวแกนx, y, และ z แทนดว้ยสัญลกัษณ์ i, j, k ตามลาํดบั

x

y

z

i

jk

6/4/200810

การแตกเวกเตอร์

เวกเตอร์ใดสามารถแตกเป็นองคป์ระกอบที�ตัFงฉากกนั สาํหรับระบบพิกดัแบบคาร์ทีเซียนจะไดว้า่

A = Ax + Ay + Az = Axi + Ayj + Azk

A

z

Az

จากรูปจะเห็นวา่

θ

φθ

φθ

cos

sinsin

cossin

AA

AA

AA

z

y

x

=

=

=

ijk

A

xyAx

Ayθ

φ

θcosAAz =

ดงันัFนขนาดของเวกเตอร์ A222

zyx AAAA ++=

และมีเวกเตอร์หน่วย eA

kcosjsinsinicossineA θφθφθ ++=

eA

6/4/200811

การแตกเวกเตอร์ (ต่อ)ในกรณีที�แตกเวกเตอร์บนระนาบ (2 มิติ) จะได้

x

y

o

A

Ax

AyeA

ij θ

A = Ax + Ay = Ax i + Ay j

θ

θ

sin

cos

AA

AA

y

x

=

=โดยที�

ดงันัFนขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์หน่วยxo Axi ดงันัFนขนาดของเวกเตอร์ A และ เวกเตอร์หน่วย

jsinicose

,

A

22

θθ +=

+= yx AAA

6/4/200812

การรวมเวกเตอร์ดว้ยวธิีแยกองคป์ระกอบ

x

y

A1

A2

A3

A1 = A1x i + A1y jA2 = -A2x i + A2y jA3 = -A3x i - A3y j

จากรูปจะเห็นวา่

ดงันัFนเวกเตอร์ลพัธ์ของสามเวกเตอร์คือA3

jiR

j iR

AAAR 1

yx

yyyxxx

RR

AAAAAA

+=

−++−−=

++=

)()( 321321

32

ดงันัFนเวกเตอร์ลพัธ์ของสามเวกเตอร์คือ

RRx

Ryθ x

yขนาดและทิศทางของ R คือ

=

+=

−

x

y

yx

R

R

RRR

1

22

tanθ 6/4/200813

การรวมเวกเตอร์ดว้ยวธิีแยกองคป์ระกอบ

ถา้มีเวกเตอร์จาํนวนมาก การรวมเวกเตอร์ในแต่ละองคป์ระกอบจะเป็นดงันีF

jiR

�

i

iyy

�

i

ixx

RR

RR

RR

+=

=

=

∑

∑=1

ผลบวกแบบพีชคณิตของเวกเตอร์องคป์ระกอบตามแกน x

ผลบวกแบบพีชคณิตของเวกเตอร์องคป์ระกอบตามแกน y

jiR yx RR +=

6/4/200814

ตวัอยา่ง 1กาํหนดให้

kjiA

kjiA

34

53

2

1

+−=

−+= จงหา21 A AR

AAR (1)

−=

+=

)2(

21

วิธีทาํ

(1) (2)

21214

24

)31()45()13(

222 =++=

++=

+−+−++=

R

kjiR

kjiR

101)4(92

)31())4(5()13(

222 =−++=

+=

−−+−−+−=

R

4k- 9j 2i R

kjiR

(1) (2)

6/4/200815

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์

การคูณเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ • การคูณแบบสเกลาร์ (scalar product)

• การคูณแบบเวกเตอร์ (vector product)ปริมาณสเกลาร์

ปริมาณเวกเตอร์

ผลคูณแบบสเกลาร์

A

B

θ

)2.1(cos. θAB=BA

o1800 ≤≤θ

โดยที�

6/4/200816

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)สมบัติการคูณแบบสเกลาร์

0k.ij.ki.j

1k.kj.ji.i (4)

(A.B) B) A.( A).B(A.B) (3)

A.C A.B C) A.(B(2)

B.A A.B(1)

===

===

===

+=+

=

( mmmm

B Athen 0B 0, Aif 0 A.B(6)

B.B

A.A

A.B

kji B , kj i A(5)

⊥≠≠=

++==

++==

++=

++=++=

2222

2222

zyx

zyx

zzyyxx

zyxzyx

BBBB

AAAA

BABABA

BBBAAA

6/4/200817

ตวัอยา่ง 2

จงแสดงใหเ้ห็นวา่ 1k.kj.ji.i === และ 0k.ij.ki.j ===

วธิีทาํ

จากนิยามของการคูณแบบสเกลาร์ θcosAB=A.B

เนื�องจากเวกเตอร์หนึ�งหน่วย i, j และ k ทาํมุมตัFงฉากกนัคือ θ = 90° ดงันัFน 090cos,090cos,090cos ====== kijkij k.i j.k i.jดงันัFน 090cos,090cos,090cos ====== kijkij k.i j.k i.j

ส่วน 1k.kj.ji.i === เนื�องจากเวกเตอร์มีทิศเดียวกนั

6/4/200818

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)

ผลคูณแบบเวกเตอร์

θB

BA×BA× อ่านวา่ “A cross B”

โดยมีขนาดเป็น

( )3.1sinθAB=×BA

จากรูปแสดงใหเ้ห็นวา่θA

B

AB×

จากรูปแสดงใหเ้ห็นวา่

ABBA ×−=×

6/4/200819

ผลคูณสเกลาร์และเวกเตอร์ (ต่อ)สมบตัิการคูณแบบเวกเตอร์

i k j

k j i

0 k k j j i i (4)

B) (A B)( A B A)( B) (A (3)

C A B A C) (B A(2)

A B - B A(1)

mmmm

=×

=×

=×=×=×

×=×=×=×

×+×=+×

×=×

kji

kji

B A

k j i B

kji A(5)

j ik

i k j

)()()( xyyxzxxzyzzy

zyx

zyx

zyx

zyx

BABABABABABA

BBB

AAA

BBB

AAA

−+−+−=

=×

++=

++=

=×

=×

6/4/200820

การคูณของสามเวกเตอร์การคูณของสามเวกเตอร์มี 2 แบบ คือ • การคูณสามชัFนแบบสเกลาร์ (scalar triple product)• การคูณสามชัFนแบบเวกเตอร์ (vector triple product)

( )4.1.(

zyx

BBB

AAA

C)BA =×

การคูณสามชัFนแบบสเกลาร์ไดผ้ลลพัธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ซึ� งมีนิยามดงันีF

( )4.1.(

zyx

zyx

CCC

BBB C)BA =×

การคูณสามชัFนแบบเวกเตอร์ไดผ้ลลพัธ์เป็นปริมาณเวกเตอร์ซึ� งมีนิยามดงันีF

( )51( .(A.B)C A.C)BCBA −=××

6/4/200821

คาํถาม?

kjiC

kjiB

kjiA

4

2

32

−+−=

+−=

−+=กาํหนดให้

จงหา

B A(2)

A.B(1)

×

C)(B A(4)

C) A.(B(3)

B A(2)

××

×

×

6/4/200822